ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΑ R ΑΠΟ M ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΑ R ΑΠΟ M ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Αντζουλάκος Δημήτριος, Ρακιτζής Αθανάσιος 1 Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιά dantz@unipi.gr, arakitz@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η χρήση κανόνων διακοπής που βασίζονται στη θεωρία ροών (runs rules) σε ένα διάγραμμα ελέγχου τύπου Shewhart για την παρακολούθηση της μέσης τιμής ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού Χ, βελτιώνει την ικανότητά του στην ανίχνευση μικρών και μεσαίων μετατοπίσεων του μέσου αυτής. Παρόλο που η βελτίωση είναι σημαντική, τα βασικά μειονεκτήματα της χρήσης τέτοιων κανόνων είναι τα εξής δύο: (i) η χρήση πολλών κανόνων ταυτόχρονα αυξάνει το ποσοστό των εσφαλμένων συναγερμών (λανθασμένη ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας) και (ii) η απόδοση του διαγράμματος ελέγχου, σε όρους του μέσου μήκους ροής του, στην ανίχνευση μεγάλων μετατοπίσεων είναι υποδεέστερη έναντι του συνήθους διαγράμματος Shewhart. Στην παρούσα εργασία εισάγεται η έννοια του βελτιωμένου r/m διαγράμματος ελέγχου το οποίο βασίζεται στη χρήση κανόνων ροών τύπου r / m που εισήχθησαν από τους Antzoulakos and Rakitzis (2006). Τα διαγράμματα αυτά επιδεικνύουν βελτιωμένη απόδοση στην ταυτόχρονη ανίχνευση μικρών και μεγάλων μετατοπίσεων του μέσου της διεργασίας και επιτρέπουν να επιλέγουμε το ποσοστό των εσφαλμένων συναγερμών με το οποίο επιθυμούμε να εργαστούμε. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν συγκρίνονται και βρίσκονται καλύτερα από αντίστοιχα αποτέλεσμα που παρουσιάστηκαν πρόσφατα από τους Khoo and Ariffin (2006). 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι κανόνες ροών προτάθηκαν από την Western Electric Company (1956) ως λύση για τη βελτίωση της ευαισθησίας ενός X διαγράμματος ελέγχου στην ανίχνευση μικρών ή/και μεσαίων μετατοπίσεων της μέσης τιμής ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού Χ. Ο Nelson (1984) πρότεινε επιπρόσθετους κανόνες για την ανίχνευση ποικίλων εκτός ελέγχου καταστάσεων μιας παραγωγικής διεργασίας, ενώ οι Champ and Woodall (1987) χρησιμοποιώντας τη θεωρία των Μαρκοβιανών αλυσίδων μελέτησαν την απόδοση ενός X διαγράμματος ελέγχου στο οποίο χρησιμοποιούνται διάφοροι συνδυασμοί τέτοιων κανόνων. Ως μέτρο απόδοσης των διαγραμμάτων ελέγχου χρησιμοποιείται το μέσο μήκος ροής του (average run length (AR) το οποίο ορίζεται ως ο μέσος αριθμός σημείων που πρέπει να απεικονιστούν στο διάγραμμα μέχρι ότου δώσει ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας. Στις εντός 1 Η έρευνα υποστηρίχθηκε από το Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών

2 ελέγχου (αντ. εκτός ελέγχου) διεργασίες το μέσο μήκος ροής θα συμβολίζεται ως ARL (αντ. ARL ). Σύμφωνα με τον Montgomery (2001) παρόλο που η απόδοση in out ενός X διαγράμματος ελέγχου βελτιώνεται με την ταυτόχρονη χρήση πολλών κανόνων ροών, αυξάνεται ταυτόχρονα το ποσοστό των εσφαλμένων συναγερμών. Ο Klein (2000) χρησιμοποιώντας τη μεθοδολογία των Μαρκοβιανών αλυσίδων μελέτησε την απόδοση δύο διαγραμμάτων ελέγχου που βασίζονται σε κανόνες ροών, τα 2-από-2 (2/2) και 2-από-3 (2/3). Τα συγκεκριμένα διαγράμματα επιδεικνύουν αυξημένη ευαισθησία στην ανίχνευση μικρών μετατοπίσεων του μέσου της διεργασίας ενώ ταυτόχρονα το ποσοστό των εσφαλμένων συναγερμών παραμένει σταθερό. Σύμφωνα με τη μεθοδολογία του Klein (2000) ο κανόνας 2-από-2 εφαρμόζεται σε ένα διάγραμμα ελέγχου το οποίο έχει συμμετρικά όρια ελέγχου που τοποθετούνται σε απόσταση d από την κεντρική γραμμή και δίνει σήμα εκτός ελέγχου διεργασίας όταν 2 συνεχόμενα σημεία του διαγράμματος βρεθούν πάνω από το d ή 2 συνεχόμενα σημεία βρεθούν κάτω από το d. Η τιμή του d επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε να επιτύχουμε την τιμή που θέλουμε για το ARL in. Με αντίστοιχο τρόπο εφαρμόζεται ο κανόνας 2-από-3. Ο Khoo (2004) χρησιμοποιώντας προσομοίωση επέκτεινε τη μελέτη του Klein (2000) δίνοντας αποτελέσματα για τους κανόνες 2/4, 3/3 και 3/4. Χρησιμοποιώντας τη μεθοδολογία εμφύτευσης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα (δείτε Fu and Koutras (1994)) οι Antzoulakos and Rakitzis (2006) μελέτησαν το τροποποιημένο r-από-m διάγραμμα ελέγχου ( M r / m ) το οποίο αποτελεί παραλλαγή των κανόνων τύπου r / m που μελετήθηκαν από τους Klein (2000) και Khoo (2004). Η απόδοση του M r / m διαγράμματος ελέγχου είναι ομοιόμορφα καλύτερη από του αντιστοίχου r / m διαγράμματος ελέγχου (δείτε επίσης Αντζουλάκος και Ρακιτζής (2005)). Τα διαγράμματα ελέγχου που βασίζονται σε κανόνες τύπου r-από-m είναι υποδεέστερα των κλασικών X διαγραμμάτων ελέγχου στην ανίχνευση μεγάλων μετατοπίσεων της μέσης τιμής του υπό παρακολούθηση ποιοτικού χαρακτηριστικού. Αυτό συμβαίνει επειδή η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το ARL φράσσεται από αριστερά από την τιμή r σε αντίθεση με το κλασικό X διάγραμμα ελέγχου που φράσσεται από αριστερά από την τιμή 1. Έτσι οι Khoo and Ariffin (2006) βελτίωσαν την απόδοση των διαγραμμάτων ελέγχου 2 / 2 και 2 / 3 προσθέτοντας ένα όριο τύπου Shewhart σε μια (προκαθορισμένη) απόσταση από την κεντρική γραμμή. Ο Acosta-Mejia (2006) επέκτεινε τη μελέτη των Khoo and Ariffin (2006) για κανόνες τύπου m / m και ( m 1) / m για διάφορες τιμές του m. Στην παρούσα εργασία εισάγουμε και μελετάμε το βελτιωμένο τροποποιημένο r- από-m διάγραμμα ελέγχου (improved-modified r / m control chart ( IM r / m )), το οποίο αποτελεί βελτιωμένη έκδοση του M r / m διαγράμματος ελέγχου. Στο μέρος 2 εισάγονται τα διαγράμματα IM r / m, περιγράφεται η μεθοδολογία ανάπτυξής τους και γίνονται συγκρίσεις με αντίστοιχα αποτελέσματα των Khoo and Ariffin (2006). Στο μέρος 3 εξετάζεται η απόδοση των διαγραμμάτων ελέγχου IM r / m

3 για r = 2, m 1, m όπου m = 2(1) 8. όταν το ARL in = Τα συμπεράσματα συνοψίζονται στο μέρος ΤΟ ΙM r / m ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Τα διαγράμματα ελέγχου IM r / m ( 2 r m) χρησιμοποιούνται για την παρακολούθηση της μέσης τιμής ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού X και έχουν τέσσερα όρια ελέγχου: Δύο εξωτερικά άνω και κάτω όρια ελέγχου UCL, LCL αντίστοιχα, και δύο εσωτερικά άνω και κάτω όρια ελέγχου UICL, LICL αντίστοιχα. Τα όρια είναι συμμετρικά ως προς την κεντρική γραμμή CL του διαγράμματος με τα εξωτερικά όρια να τοποθετούνται σε απόσταση L από την κεντρική γραμμή ενώ τα εσωτερικά σε απόσταση d. Έτσι d < L, LCL < LICL < UICL < UCL. O κανόνας που χρησιμοποιείται για να λάβουμε ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας είναι ο ακόλουθος: ένα σημείο βρίσκεται εκτός των (εξωτερικών) ορίων ελέγχου, είτε r σημεία βρίσκονται πάνω από το άνω (εσωτερικό) όριο ελέγχου που διαχωρίζονται από το πολύ με m r σημεία τα οποία βρίσκονται μεταξύ κεντρικής γραμμής και του άνω (εσωτερικού) ορίου ελέγχου, είτε r σημεία βρίσκονται κάτω από το κάτω (εσωτερικό) όριο ελέγχου που διαχωρίζονται από το πολύ με m r σημεία τα οποία βρίσκονται μεταξύ κεντρικής γραμμής και του κάτω (εσωτερικού) ορίου ελέγχου. Θα αναφερόμαστε στον κανόνα αυτό ως κανόνα (ή διάγραμμα ελέγχου) IM r / m. Στην ειδική περίπτωση που ισχύει r = m λαμβάνουμε σήμα εκτός ελέγχου διεργασίας όταν εμφανιστούν m συνεχόμενα σημεία πάνω από το άνω (εσωτερικό) όριο ελέγχου ή m συνεχόμενα σημεία κάτω από το κάτω (εσωτερικό) όριο ελέγχου. Στο σχήμα 1 παρουσιάζεται ενδεικτικά ένα IM 2 / 3 διάγραμμα ελέγχου το οποίο δίνει σήμα εκτός ελέγχου διεργασίας για πρώτη φορά στο 20 ο δείγμα. Εικόνα 1. Το ΙM 2/3 διάγραμμα ελέγχου UCL UICL CL LICL LCL

4 Η αλγοριθμική διαδικασία για το σχεδιασμό ενός IM r / m διαγράμματος είναι η ακόλουθη: Βήμα 1: Επιλέγουμε τα r, m και την επιθυμητή τιμή για το ARLin, έστω ARL in = c. Βήμα 2: Επιλέγουμε μια θετική τιμή L και θέτουμε UCL = L, LCL = L. Βήμα 3: Θέτουμε UICL = d και LICL = d, όπου η θετική τιμή υπολογίζεται έτσι ώστε να ισχύει ARL in = c. Ο τρόπος υπολογισμού της τιμής d ενός IM r / m διαγράμματος ελέγχου περιγράφεται με λεπτομέρειες από τους Antzoulakos and Rakitzis (2006) όπου δίνεται και ο τρόπος υπολογισμού (ακριβής) του ARL. Στον επόμενο πίνακα δίνουμε αναλυτικές εκφράσεις για τον υπολογισμό του ARL για τα διαγράμματα ελέγχου IM m / m, IM 2 / m και IM 2 / 3. in Πίνακας 1. Αναλυτικές τύποι του ARL in για τον υπολογισμό του d για γνωστό L. Διάγραμμα m 1 p i ARL in i= 0 ΙM m / m, p = Φ( Φ( d), q = Φ( + Φ( d) 1 m 2 i 1 q p(1 + q) p 1+ p m 2 q i= 0 i i= 0 ΙM 2 / m, p = Φ( Φ( d), p + q = Φ( 1/ 2 m 2 i m 1 1 2q p 2 q + q i= 0 1+ p + pq ΙM 2 / 3, p = Φ( Φ( d), p + q = Φ( 1/ p (2 + p) q 2 pq Θα πρέπει να σημειωθεί ότι για να επιτύχουμε ARLin η τιμή του L θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 3. Στη συνέχεια θα συγκρίνουμε το διάγραμμα ελέγχου IM 2 / 3 με το κλασικό X διάγραμμα ελέγχου (συμβ. 1/1) και με τα βελτιωμένα 2/3 διαγράμματα ελέγχου των Khoo and Ariffin (2006) (συμβ. Ι 2 / 3). Τα αποτελέσματα δίνονται στον επόμενο πίνακα για ARLin = και για τιμές της μετατόπισης του μέσου του ποιοτικού χαρακτηριστικού Χ από 0 έως 6 σε μονάδες τυπικής απόκλισης. Επιπλέον δίνουμε και τα ζεύγη τιμών ( L, d) τα οποία έχουν προκύψει με χρήση της αλγοριθμικής διαδικασίας που περιγράψαμε παραπάνω ώστε d

5 ARL Για το L έχουμε επιλέξει τις τιμές 3.4(0.1)3.8 οι οποίες είναι ίδιες = in με αυτές που χρησιμοποιήθηκαν από τους Khoo and Ariffin (2006). Πίνακας 2. Απόδοση του διαγράμματος ΙM 2 / 3 για ARL in = /1 Ι 2 / 3 ΙM 2 / 3 L d Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι για κάθε L το διάγραμμα ελέγχου IM 2 / 3 είναι ομοιόμορφα καλύτερο έναντι του αντίστοιχου διαγράμματος I 2 / 3 των Khoo and Ariffin (2006). Επιπλέον το IM 2 / 3 διάγραμμα ελέγχου είναι ομοιόμορφα καλύτερο και από το κλασικό X διάγραμμα ελέγχου για ανίχνευση μετατοπίσεων του μέσου έως 3σ ενώ για μεγαλύτερες μετατοπίσεις η απόδοσή τους είναι συγκρίσιμη. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε αποτελέσματα τα οποία προέκυψαν από τη μελέτη των IM r / m διαγραμμάτων ελέγχου στις περιπτώσεις όπου r = 2, m, m 1 για m = 2(1)8. Γενικά οι κανόνες ροών τύπου 2 / m, m / m, ( m 1) / m χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά στην πράξη αφού παρουσιάζουν ικανοποιητική απόδοση στην ανίχνευση μικρών και μεσαίων μετατοπίσεων του μέσου της διεργασίας. Κανόνες τύπου 2 / m, m / m έχουν προταθεί και μελετηθεί από τον Page (1955). Επίσης αναφέρουμε

6 ενδεικτικά τους κανόνες 2 και 3 της Western Electric Company (1956) καθώς και δύο συναφείς κανόνες, τους 5 και 6, που μελέτησαν οι Champ and Woodall (1987). Κανόνας 2: 2 από 3 συνεχόμενα σημεία στην ίδια πλευρά και σε απόσταση μεγαλύτερη από 2σ από την κεντρική γραμμή του διαγράμματος. Κανόνας 3: 4 από 5 συνεχόμενα σημεία στην ίδια πλευρά και σε απόσταση μεγαλύτερη από 1σ από την κεντρική γραμμή του διαγράμματος. Κανόνας 5: 2 συνεχόμενα σημεία στην ίδια πλευρά και σε απόσταση μεγαλύτερη από 2σ από την κεντρική γραμμή του διαγράμματος. Κανόνας 6: 5 συνεχόμενα σημεία στην ίδια πλευρά και σε απόσταση μεγαλύτερη από 1σ από την κεντρική γραμμή του διαγράμματος. Ακολουθώντας την αλγοριθμική διαδικασία που παρουσιάστηκε στο Μέρος 2 και τη μεθοδολογία των Antzoulakos and Rakitzis (2006), μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές του d στα IM r / m διαγράμματα ελέγχου για r = 2, m, m 1 και m = 2(1)8 έτσι ώστε ARL in = Για το L επιλέχθηκαν οι τιμές 3.1(0.1)4.0. Ο λόγος που δεν επεκτείναμε τη μελέτη μας για τιμές του m μεγαλύτερες του 8 είναι λόγω του ότι οι 4 βασικοί κανόνες της Western Electric Company (1956) δεν χρησιμοποιούν πληροφορία για περισσότερα από 8 συνεχόμενα σημεία. Στη συνέχεια συγκρίναμε την απόδοση κάθε διαγράμματος με την απόδοση του κλασικού X διαγράμματος ελέγχου με σκοπό να βρούμε αυτό το οποίο επιφέρει το μεγαλύτερο ποσοστό βελτίωσης στην τιμή του ARL στην ανίχνευση συγκεκριμένης μετατόπισης του μέσου της διεργασίας. Τα αποτελέσματα της μελέτης αυτής δίνονται στον επόμενο πίνακα: Πίνακας 3. Προτεινόμενα διαγράμματα ΙM r / m για r = 2, m, m 1 και m = 2(1)8, ARL = in 1/1 Τιμές ARL Προτεινόμενο Διάγραμμα ( r/m, L, d ) (7/8, 4.0, ) 28% (6/7, 4.0, ) 52% (5/6, 4.0, ) 61% (5/6, 4.0, ) 64% (4/5, 3.8, ) 63% (2/8, 4.0, ) 61% (2/8, 3.9, ) 58% (2/8, 3.7, ) 54% (2/8, 3.6, ) 48% (2/8, 3.4, ) 41% (2/8, 3.3, ) 35% (2/6, 3.2, ) 28% Μετατόπιση δ Ποσοστό Βελτίωσης

7 (2/4, 3.2, ) 21% (2/4, 3.1, ) 16% (2/3, 3.1, ) 11% Στην 3 η στήλη του παραπάνω πίνακα δίνεται η ελάχιστη τιμή του μέσου μήκους ροής για τη δεδομένη μετατόπιση δ του μέσου της διεργασίας ενώ στη στήλη με το προτεινόμενο διάγραμμα δίνεται ο κανόνας που πρέπει να χρησιμοποιηθεί καθώς και το ζεύγος ορίων ( L, d). Η τελευταία στήλη έχει προκύψει από την ποσότητα ARL I( δ ) = 100 1/1 ( δ ) ARL ARL 1/1 IM r / m ( δ ) ( δ ) % όπου με ARL ) συμβολίζουμε την τιμή του ARL για δεδομένη μετατόπιση δ του 1/1( δ κλασικού X διαγράμματος ελέγχου ενώ με ARLIM r / m ( δ ) συμβολίζουμε την τιμή του ARL για το προτεινόμενο ΙM r / m διάγραμμα ελέγχου. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι οι κανόνες IM r / m αποτελούν μια ικανοποιητική λύση στο πρόβλημα της μη-ευαισθησίας των διαγραμμάτων ελέγχου Shewhart στην ανίχνευση μικρών μετατοπίσεων του μέσου της διεργασίας. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν το ίδιο αποδοτικά για την παρακολούθηση μικρών και μεγάλων μετατοπίσεων έναντι του κλασικού X διαγράμματος ελέγχου ενώ το IM 2 / 3 αποδεικνύεται ομοιόμορφα καλύτερο έναντι των αντίστοιχων διαγραμμάτων που μελετήθηκαν από τους Khoo and Ariffin (2006). Η απόδοση των διαγραμμάτων επηρεάζεται από την επιλογή του κανόνα IM r / m αλλά και από την τιμή του L. Από τη μελέτη που έγινε διαπιστώσαμε ότι για την ανίχνευση μετατοπίσεων μέχρι και 1σ τα διαγράμματα IM ( m 1) / m, για κατάλληλο m, βελτιώνουν την απόδοση του κλασικού X διαγράμματος ελέγχου σε ποσοστό μέχρι περίπου 60% ενώ για μεγαλύτερες μετατοπίσεις κάποιο από τα IM 2 / m διαγράμματα ελέγχου είναι το πλέον κατάλληλο για την ανίχνευση αυτών με το ποσοστό βελτίωσης να βρίσκεται στα ίδια περίπου επίπεδα. Ακόμη, από τη μελέτη προέκυψε ότι για ARL in = και για δεδομένο διάγραμμα ελέγχου IM r / m η ανίχνευση μικρών ή/και μεσαίων μετατοπίσεων στο μέσο της διεργασίας απαιτεί να είναι η απόσταση L των εξωτερικών ορίων από την κεντρική γραμμή μεγαλύτερη από 3.5. Για ανίχνευση μεγαλύτερων μετατοπίσεων τα διαγράμματα IM r / m έχουν καλύτερη απόδοση όταν η απόσταση L είναι μικρότερη από 3.5. Το βασικό πλεονέκτημα των συγκεκριμένων διαγραμμάτων είναι η ευκολία στην εφαρμογή και την ερμηνεία τους καθώς και το ότι η μεθοδολογία που χρησιμοποιήθηκε επιτρέπει την ανάπτυξη και τη θεωρητική μελέτη άλλων παρόμοιων διαγραμμάτων ελέγχου. ABSTRACT The use of stopping rules that based on the theory of runs (runs rules) in a Shewhart X control chart improves the ability of the chart in the detection of small shifts in process

8 average. Although the improvement is substantial, two are the major disadvantages of the use of runs rules: (i) The simultaneous use of too many rules increases the false alarm rate and (ii) for large process average shifts the performance of control charts with supplementary runs rules is inferior to the traditional X control chart. In the present work using the Markov chain embedding technique (Fu and Koutras (1994)) we study an improved version of the modified r-out-of-m control chart introduced by Antzoulakos and Rakitzis (2006). The performance of these new improved control charts is studied and compared in terms of their average run length (AR with the corresponding improved charts studied by Khoo and Ariffin (2006). ΑΝΑΦΟΡΕΣ Acosta-Mejia, Cesar. (2006). Two sets of runs rules for the X chart, Technical Report, Department of Industrial Engineering and Operations, Instituto Tecnologico Autonomo de Mexico. Antzoulakos, D. L., Rakitzis, C. A. (2006). The modified r out of m control chart. Submitted for publication. Champ, C. W., Woodall, W. H. (1987). Exact results for Shewhart control charts with supplementary runs rules. Technometrics, 29, pp Fu, J. C., Koutras, M. V. (1994). Distribution theory of runs: A Markov chain approach. Journal of the American Statistical Association, 89, pp Klein, M. (2000). Two alternatives to the Shewhart X control chart. Journal of Quality Technology, 32, pp Khoo M.B.C. (2004). Design of runs rules schemes. Quality Engineering, 16, pp Khoo, M. B. C., Ariffin, bt. N. K. (2006). Two improved runs rules for the Shewhart control chart. Quality Engineering, 18, pp Montgomery D.C. (2001). Introduction to Statistical Quality Control (4th edn). Wiley: New York. Nelson L.S. (1984). The Shewhart control chart Tests for special causes. Journal of Quality Technology, 16, pp Page, E. S. (1955). Control charts with warning lines. Biometrika, 42, Western Electric Company. (1956). Statistical Quality Control Handbook. Indianapolis IN. Αντζουλάκος Λ. Δ. και Ρακιτζής Α. (2005). Διαγράμματα ελέγχου Shewhart με κανόνες ευαισθητοποίησης που βασίζονται στη θεωρία ροών, Πρακτικά 18 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Στατιστικής