Κεραίες-Ραδιοζεύξεις-Ραντάρ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Κεραίες-Ραδιοζεύξεις-Ραντάρ Ενότητα: Κεραίες Κεφάλαιο 3 Σαββαΐδης Στυλιανός Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 3.1. Κεραίες Βρόγχου Ηλεκτρικά Μικρή Κυκλική Βροχοκεραία Παράδειγμα Αντίσταση Ακτινοβολίας Κυκλικής Βροχοκεραίας με Περιελίξεις Ηλεκτρικά Μεγάλη Βροχοκεράια Κυκλική Βροχοκεραία με Σταθερή Ρευματική Κατανομή Κυκλική Βροχοκεραία με Ανομοιόμορφη Ρευματική Κατανομή

4 3.1. Κεραίες Βρόγχου Οι κεραίες Βρόχου (ή αλλιώς Βροχοκεραίες) αποτελούν έναν ιδιαίτερα διαδεδομένο τύπο κεραίας με μικρό κόστος και απλή κατασκευή. Από κατασκευαστική άποψη αποτελούν προέκταση των λεπτών γραμμικών κεραιών οι οποίες εξετάστηκαν στο κεφάλαιο - εάν οι τελευταίες καμφθούν σχηματίζόντας ένα βρόχο. Οι Βροχοκεραίες διακρίνονται, ανάλογα με την γεωμετρία του βρόχου, σε κυκλικές, ορθογωνικές, τετραγωνικές, τριγωνικές κ.ο.κ. Ο απλός τρόπος κατασκευής αλλά και η ευχέρεια στην θεωρητική μελέτη αναδεικνύει τις κυκλικές κεραίες σαν μια από τις πιο δημοφιλείς γεωμετρίες στην οικογένεια των Βροχοκεραιών. Επίσης, οι Βροχοκεραίες διακρίνονται -ανεξάρτητα από τη γεωμετρία τους- σε Ηλεκτρικά Μικρές και σε Ηλεκτρικά Μεγάλες. Μια βροχοκεραία με συνολικό μήκος περιφέρειας (λαμβάνοντας υπόψη και τις ενδεχόμενες Ν περιελίξεις) που δεν ξεπερνά το 1/1 του μήκους κύματος λ θεωρείται Ηλεκτρικά Μικρή. Αντίθετα, οι Βροχοκεραίες το μήκος των οποίων είναι συγκρίσιμο με το μήκος κύματος λ θεωρούνται Ηλεκτρικά Μεγάλες. Οι Ηλεκτρικά Μικρές Βροχοκεραίες, όπως και το Δίπολο Hertz, δεν είναι ιδιαίτερα αποδοτικοί ακτινοβολητές. Για αυτό τον λόγο οι Ηλεκτρικά Μικρές βροχοκεραίες δεν χρησιμοποιούνται ως πομποί αλλά συνήθως ως δέκτες ή ανιχνευτές για πεδιακές μετρήσεις. Οι Ηλεκτρικά Μεγάλες Βροχοκεραίες χρησιμοποιούνται πρωτίστως σε κατευθυντικές στοιχειοκεραίες όπως οι Ελικοειδείς κεραίες ή οι κεραίες Yagi- Uda. Η αντικατάσταση των δίπολων από κυκλικούς/ορθογωνικούς βρόχους μπορεί να βελτιώσει το κέρδος αλλά και να μειώσει την ευαισθησία τις κεραίας στις διηλεκτρικές ιδιότητες του εδάφους. Συνοψίζοντας αξίζει να σημειωθεί ότι οι περισσότερες εφαρμογές των βροχοκεραιών συναντώνται στις HF (3-3 MHz), VHF (3-3 MHz), UHF (3-3, MHz) ζώνες συχνοτήτων. Στην περίπτωση των κεραιών ανίχνευσης για πεδιακές μετρήσεις οι συχνότητες λειτουργίας επεκτείνονται και στη μικροκυματική ζώνη συχνοτήτων. 3.. Ηλεκτρικά Μικρή Κυκλική Βροχοκεραία Σύμφωνα με τις επισημάνσεις της προηγούμενης ενότητας η Ηλεκτρικά Μικρή Κυκλική Βροχοκεραία χαρακτηρίζεται από πολύ μικρό συνολικό μήκος περιφέρειας C (πρακτικά C <λ/1). Σε αυτή την περίπτωση -και σε πλήρη αντιστοιχία με τις παραδοχές για το δίπολο Hertz- η ρευματική κατανομή I θεωρείται σταθερή σε όλο το μήκος της περιφέρειας και ίση με φ Ιο. Η γεωμετρία του προβλήματος περιγράφεται στο Σχήμα Ο κυκλικός βρόχος ακτίνας α τοποθετείται στο επίπεδο xy με το κέντρο του να ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων. Σύμφωνα με την προσέγγιση η οποία υιοθετήθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, η ανάλυση των ιδιοτήτων ακτινοβολίας της κεραίας έχει σαν αφετηρία τον υπολογισμό του Διανύσματος Ακτινοβολίας N. Μάλιστα, ο υπολογισμός του N διευκολύνεται σε σημαντικό βαθμό εάν

5 Σχήμα 3.1. Γεωμετρία Κυκλικού Βρόχου (Orphanidis, 3). με αφορμή την κυκλική συμμετρία του προβλήματος ληφθούν υπόψη οι ακόλουθες απλοποιήσεις: Εφόσον η ρευματική κατανομή είναι κυκλικά συμμετρική τότε το Διάνυσμα Ακτινοβολίας έχει μόνο Νφ συνιστώσα, όπως αποδεικνύει και το Σχήμα 3... Εφόσον η γεωμετρία καθώς και η επαγόμενη ρευματική κατανομή παρουσιάζουν κυκλική συμμετρία το μέτρο του Διανύσματος Ακτινοβολίας θα είναι ανεξάρτητο από την μεταβλητή φ N Nφ( θ )φˆ (3.1.) Οι προηγούμενες επισημάνσεις απλοποιούν τους υπολογισμούς σε δύο σημεία: Για τον υπολογισμό του Διανύσματος Ακτινοβολίας δεν είναι αναγκαίος ο υπολογισμός των συνιστωσών Νθ, Νr. Εφόσον το Διάνυσμα Ακτινοβολίας είναι ανεξάρτητο της μεταβλητής φ οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν για μια τιμή της (π.χ. φ) η οποία θα μειώνει το υπολογιστικό κόστος. I o d r Ν 1 z r Ν Α φ I o d Σχήμα 3.. Διάνυσμα Ακτινοβολίας ρευματικής κατανομής με κυκλική συμμετρία. Το Διάνυσμα Ακτινοβολίας περιγράφεται από την γενική σχέση (1.3) 5

6 Ν( θ,φ ) V J( jkr'συνψ r',θ,φ' )e dv' Η στοιχειώδης ρευματική κατανομή για λεπτές (νηματοειδείς) κεραίες είναι J( r,θ,φ )dv Io d (σε αντιστοιχία με την παραδοχή που έγινε στο Κεφάλαιο για τις Λεπτές Γραμμικές Κεραίες). Σύμφωνα με το Σχήμα 3.1. οι συντεταγμένες της στοιχειώδους ρευματικής κατανομής Iod είναι r α,θ π/, φ μεταβλητό. Λαμβάνοντας υπόψη τις προηγούμενες παρατηρήσεις καθώς και την δυνατότητα να τεθεί μια αυθαίρετη τιμή στην μεταβλητή φ(), η σχέση (1.3) διατυπώνεται ως εξής: Ν( θ ) Ιο V jkασυνψ π jkα συνθσυν + ημθημ φ φ ) e d Ιο e d V jkαημθσυν( φ ) π συν( Ιο e d V (3.) όπου d φˆ adφ. Εφόσον το Διάνυσμα Ακτινοβολίας έχει μόνο την Νφ συνιστώσα, η σχέση (3.) περιορίζεται στην ακόλουθη μορφή π jkαημθσυν( φ ) Νφ( θ ) φˆ Ν( θ ) αιο e ( φˆ φˆ )dφ (3.3) όπου φˆ xˆημφ + ŷσυνφ και φˆ ŷ (για σημεία r, θ, φ) (3.) Επομένως το εσωτερικό γινόμενο φˆ φˆ δίνει το ακόλουθο αποτέλεσμα φˆ φˆ συνφ (3.5) Με την αντικατάσταση της σχέσης (3.5) στην (3.3) προκύπτει η ολοκληρωτική έκφραση π jkαημθσυνφ Νφ ( θ ) αιο e συνφ dφ (3.6) Ο υπολογισμός της ολοκληρωτικής παράστασης (3.6) απλοποιείται εάν ληφθεί υπόψη το μικρό ηλεκτρικό μέγεθος του βρόχου (kα<<1). Συγκεκριμένα, ο εκθετικός όρος μπορεί να εκφρασθεί σύμφωνα με το γνωστό ανάπτυγμα Maclaurin. 1 1 () ()( ) ( n 1) n 1 f f + f kα + f ()( kα ) f ()( ka) +...! ( n 1)! (3.7) όπου fejkαημθσυνφ. Με την αντικατάσταση του αναπτύγματος (3.7) στην σχέση (3.6) και αμελώντας τους όρους (kα), (kα)3,...κοκ προκύπτει η ακόλουθη έκφραση π Νφ ( θ ) αιο ( jkαημθσυνφ )συνφ 1+ dφ jkπα Ιοημθ jksioημθ (3.8) όπου Sπα είναι το εμβαδό της επιφάνειας του βρόχου. Σύμφωνα με τις σχέσεις (1.37)-(1.) και εφόσον η θˆ συνιστώσα είναι μηδενική, οι μη αμελητέες συνιστώσες -στο μακρινό πεδίο- είναι οι Εφ και Ηθ. 6

7 jωμ jkr ζ ( kα ) Ι E ζη e N ( θ ) ο jkr φ θ φ e ημθ πr r (3.9) όπου kω/cω με. Σε αυτό το σημείο αξίζει να σημειωθεί ότι οι πεδιακές εκφράσεις (3.9) ταυτίζονται με τις αντίστοιχες εκφράσεις για ένα Μικρό Μαγνητικό Δίπολο με Μαγνητική Ροπή Ιml. I l jsωμ m Ι ο (3.1) Συνεπώς, η Μικρή Κυκλική Βροχοκεραία είναι ισοδύναμη με ένα Μικρό Μαγνητικό Δίπολο σταθερού ρεύματος και διεύθυνσης κάθετης στο επίπεδο του βρόχου όπως φαίνεται και στο Σχήμα Σύμφωνα με την (1.), το Διάνυσμα Poynting έχει ακτινική συνιστώσα και μέτρο που δίνεται από την ακόλουθη σχέση ζk ζ ( kα ) Ι P N ο av φ ημ θ 3π r 3r Η Ένταση Ακτινοβολίας U(θ,φ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση Ιο (3.11) ζ ( kα ) U( θ,φ ) r Pav ημ θ 3 (3.1) Σύμφωνα με τις σχέσεις (3.9) και (3.11)-(3.1), το Διάγραμμα Πεδίου (reφ) και το Διάγραμμα Ακτινοβολίας (U(θ)rPav), στα πρωτεύοντα επίπεδα (φ,θ9ο) και (φο,θ), παρουσιάζουν τα εξής χαρακτηριστικά: Ομοιοκατευθυντική ακτινοβολία στο επίπεδο (φ,θ9ο) η οποία ερμηνεύεται και από την γεωμετρική συμμετρία της κυκλικής βροχοκεραίας. Κατευθυντική ακτινοβολία στο επίπεδο (φο,θ) με ημιτονοειδή εξάρτηση σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση ζ ( kα ) Ι Ε re ο ημθ E ημθ, U(θ(φ) r P ο φ o av ημ θ ζ (3.13) Η συνολική Ακτινοβολούμενη Ισχύς Wακ δίνεται από το ακόλουθο ολοκλήρωμα ππ π πζ ( kα ) Ιο 3 πζ ( kα ) Ι W ο ακ U( θ )ημθdθdφ ημ θdθ 16 1 (3.1) Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος (3.1) είναι ανάλογος με αυτόν ο οποίος περιγράφεται στη σχέση (.1). Η Αντίσταση Ακτινοβολίας Rακ δίνεται από την ακόλουθη σχέση W ζπ ζπ C π R ακ ακ Ι 6 6 λ 3 ks λ ( kα) ζ ( ) (3.15) όπου Cπα είναι το μήκος της περιφέρεια του κυκλικού βρόχου. Στην περίπτωση της Μικρής Κυκλικής Βροχοκεραίας, εφόσον kα<<1, η Αντίσταση Ακτινοβολίας θα λαμβάνει μικρές τιμές και η κεραία όπως και το δίπολο Hertz- χαρακτηρίζεται από «φτωχές» ιδιότητες ακτινοβολίας. Αντίθετα, όμως με το δίπολο Hertz, η Μικρή Κυκλική Βροχοκεραία παρουσιάζει βελτιωμένες επιδόσεις (π.χ. υψηλότερες τιμές της Αντίστασης Ακτινοβολίας) με τη χρήση περιελίξεων. Εάν η κεραία κατασκευαστεί με Ν περιελίξεις η 7

8 Αντίσταση Ακτινοβολίας είναι Ν φορές μεγαλύτερη αυτή που προκύπτει από τη σχέση (3.15). W ζπ ζπ C π R ακ ακ Ι 6 6 λ 3 ks ( kα) N N ζ ( ) N λ (3.16) Σύμφωνα με τη σχέση (3.1) η Ένταση Ακτινοβολίας παρουσιάζει μέγιστο για θ9ο. Συνεπώς το Εμβαδόν Δέσμης της κεραίας δίνεται από τη Στερεά Γωνία ΩΑ π π π π U( θ,φ ) 3 8π ΩΑ dω ημ θdθdφ π U( θ,φ )max 3 3 (3.17) Τέλος, η Κατευθυντικότητα D της κεραίας υπολογίζεται, σύμφωνα με την σχέση (1.69), ως εξής: π D Ω Α 3 15, (3.18) Αξίζει να επισημανθεί ότι τόσο η Στερεά Γωνία όσο και η Κατευθυντικότητα της Μικρής Κυκλικής Κεραίας λαμβάνουν τις ίδιες τιμές με το Δίπολο Hertz Παράδειγμα Αντίσταση Ακτινοβολίας Κυκλικής Βροχοκεραίας με Περιελίξεις. Έστω κυκλική βροχοκεραία κατασκευασμένη από λεπτό χάλκινο σύρμα με ακτίνα b1- λ και αγωγιμότητα σ7 17 (S/m). Ο κυκλικός βρόχος έχει ακτίνα αλ/3 και ακτινοβολεί στον κενό χώρο (ζ1π, μοπ 1-7) σε συχνότητα λειτουργίας f MHz. Σύμφωνα με την σχέση (3.15) η Αντίσταση Ακτινοβολίας λαμβάνει την τιμή W ζπ 1π πλ/ 3 R ακ ακ ( kα), 38 Ι 6 6 λ Ω Η χαμηλή τιμή της Αντίστασης Ακτινοβολίας σε συνδυασμό με την κατά πολύ μεγαλύτερη ωμική του αντίσταση (δηλ. η αντίσταση απωλειών) αποδεικνύει ότι η μικρή κυκλική βροχοκεραία (όπως και το δίπολο Hertz) δεν είναι ένας ιδιαίτερα αποδοτικός ακτινοβολητής. Μια συνήθης προσέγγιση για τον υπολογισμό της ωμικής αντίστασης της κυκλικής βροχοκεραίας είναι η αντιμετώπιση της σαν ένα ευθύγραμμο σύρμα με μήκος ίσο με την περιφέρεια του βρόχου ( πα ). Θεωρώντας ότι το επιδερμικό φαινόμενο (skin effect) περιορίζει την κατανομή του ρεύματος στην δ /( ωµ σ ) επιφάνεια του σύρματος ( ο <<b) η ωμική αντίσταση υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση α ωµ ο α πfµ R ο απ b σ b σ (3.19) Για την υπό εξέταση περίπτωση η ωμική αντίσταση λαμβάνει την τιμή α Rαπ b 8 7 πfµ ο ( λ / 3) π ( 1 )(π 1 ) σ 7 1 λ 8 1 1,5 Ω 8

9 Ο βαθμός απόδοσης η μιας κεραίας υπολογίζεται από τη σχέση (1.7) G W η ακ D Wακ + Wαπ Εφόσον η ισχύς ακτινοβολίας και απωλειών μπορούν να διατυπωθούν με τις ακόλουθες σχέσεις 1 1 W ακ Ι R ακτ, W απ Ι R απ (3.) ο βαθμός απόδοσης η μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως εξής: G Wακ R η ακτ D Wακ + Wαπ Rακτ + Rαπ (3.1) Αντικαθιστώντας στην σχέση (3.1) τις αντίστοιχες τιμές για την κυκλική βροχοκεραία του παραδείγματος ο βαθμός απόδοσης η λαμβάνει την δυσμενή τιμή R,38 η ακτ,66 Rακτ + Rαπ,38 + 1,5 Σε αυτή την περίπτωση μόλις το 6,6% της τροφοδοτούμενης ισχύος θα ακτινοβολείτε ενώ το 7,% θα καταναλώνεται με τη μορφή ωμικών (θερμικών) απωλειών. Στην περίπτωση της κυκλικής βροχοκεραίας η σχετικά φτωχές ιδιότητες του ακτινοβολητή μπορούν να βελτιωθούν με τη χρήση περιελίξεων. Η αντίστοιχη κυκλική βροχοκεραία με Ν1 περιελίξεις θα χαρακτηρίζεται από μια Αντίσταση Ακτινοβολίας με Ν1 φορές μεγαλύτερη τιμή. W ζπ R ακ ακ ( kα) N, Ι 6 Ω Αν και η χρήση των περιελίξεων αυξάνει και την ωμική αντίσταση της κεραίας η αύξηση αυτή δεν είναι ανάλογη του Ν και επομένως αυξάνεται ο βαθμός απόδοσης της κεραίας. Η πιο απλή προσέγγιση για τον υπολογισμό της ωμικής αντίστασης θα ήταν αυτή κατά την οποία η αντίσταση των Ν περιελίξεων θα ήταν το άθροισμα των Ν αντιστάσεων της σχέσης (3.19). Στην πράξη όμως η ωμική αντίσταση των Ν περιελίξεων εξαρτάται τόσο από το επιδερμικό φαινόμενο (σχέση (3.19)) όσο και από την εγγύτητα μεταξύ των περιελίξεων (proximity effect). Συγκεκριμένα, η ωμική αντίσταση μιας κυκλικής βροχοκεραίας με Ν περιελίξεις, ακτίνα βρόχου α, διάμετρο σύρματος b και απόσταση μεταξύ των περιελίξεων c Να Rp Rαπ Rs + 1 b Ro (3.) όπου Rs είναι η επιφανειακή αντίσταση του αγώγιμου σύρματος, όπως περιγράφεται από τη σχέση (3.19) ωµ ο πfµ R ο s σ σ (3.3) Rp είναι η αντίσταση ανά μονάδα μήκους που οφείλεται στην εγγύτητα που παρουσιάζουν οι περιελίξεις. 9

10 Ro είναι η αντίσταση ανά μονάδα μήκους που οφείλεται στο επιδερμικό φαινόμενο NR R s o πb (3.) θεωρώντας ότι ο λόγος Rp/Ro λαμβάνει την τιμή,5 (δηλ. η πυκνότητα των N1 σπειρών είναι τέτοια ώστε το επιδερμικό φαινόμενο και το φαινόμενο της εγγύτητας να συνεισφέρουν εξίσου στην διαμόρφωση της τιμής της ωμικής αντίστασης) η σχέση (3.) δίνει το ακόλουθο αποτέλεσμα Να Rp Rαπ Rs b Ro 1 ( λ / 3) λ 8 7 π ( 1 ) (π 1 ) (,5 + 1) 15, 75 Αντικαθιστώντας στην σχέση (3.1) τις αντίστοιχες τιμές για την κυκλική βροχοκεραία με τις Ν1 περιελίξεις ο βαθμός απόδοσης η λαμβάνει την βελτιωμένη τιμή R 38 η ακτ,77 R + R ,75 ακτ απ Συγκριτικά με την περίπτωση της μεμονωμένης κυκλικής βροχοκεραίας η προσθήκη των περιελίξεων αντέστρεψε την σχέση μεταξύ της ακτινοβολούμενης και της καταναλισκόμενης ισχύος. Με την προσθήκη των 1 περιελίξεων το 7,7% της τροφοδοτούμενης ισχύος θα ακτινοβολείτε ενώ το 9,3% θα καταναλώνεται με τη μορφή ωμικών (θερμικών) απωλειών. Ω 3.3. Ηλεκτρικά Μεγάλη Βροχοκεράια Η έως τώρα ανάλυση των κυκλικών βροχοκεραιών έχει βασισθεί στην παραδοχή του μικρού ηλεκτρικού μεγέθους της γεωμετρίας της κεραίας. Η βασική αυτή παραδοχή διευκολύνει τους αναλυτικούς υπολογισμούς διότι επιτρέπει τη χρήση προσεγγίσεων όπως η θεώρηση μιας σταθερής ρευματικής κατανομής κατά μήκος της βροχοκεραίας ο υπολογισμός του ολοκληρώματος (3.6) με τη χρήση του αναπτύγματος Mclaurin δίχως την εισαγωγή σοβαρού σφάλματος στα αποτελέσματα. Η θεωρητική ανάλυση κυκλικών βροχοκεραιών με τυχαίες διαστάσεις είναι σχετικά πολύπλοκη διότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι προαναφερόμενες προσεγγίσεις. Για παράδειγμα μια ακριβής προσέγγιση για την κατανομή του ρεύματος σε μια κυκλική βροχοκεραία με περιφέρεια μεγαλύτερη του λ/1 οφείλει να λάβει υπόψη της την ανομοιομορφία της κατανομής. Στη σχετική βιβλιογραφία η μελέτη των ηλεκτρικά μεγάλων βροχοκεραιών συνήθως αναλύεται σε δύο στάδια. Το πρώτο στάδιο αφορά βροχοκεραίες με σταθερή ρευματική κατανομή αλλά τυχαίες διαστάσεις. Αν και η σταθερή ρευματική κατανομή δεν αποτελεί ρεαλιστική παραδοχή -για ηλεκτρικά μεγάλες κεραίες- η διαδικασία των υπολογισμών μπορεί να επεκταθεί στη συνέχεια σε ανομοιόμορφες ρευματικές κατανομές. Στο πλαίσιο των σημειώσεων και προκειμένου να μειωθεί η μαθηματική πολυπλοκότητα της παρουσίασης θα περιγραφεί σχετικά λεπτομερώς η 1

11 διαδικασία επίλυσης του προβλήματος για μια κυκλική βροχοκεραία τυχαίων διαστάσεων και σταθερής ρευματικής κατανομής (ενότητα ) και στη συνέχεια θα παρουσιασθούν μόνο τα ποιοτικά αποτελέσματα της μελέτης για μια ανομοιόμορφη ρευματική κατανομή (ενότητα 3.3.) Κυκλική Βροχοκεραία με Σταθερή Ρευματική Κατανομή Η γεωμετρία του προβλήματος περιγράφεται στο Σχήμα Ο κυκλικός βρόχος ακτίνας α τοποθετείται στο επίπεδο xy με το κέντρο του να ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων. Η ρευματική κατανομή θεωρείται σταθερή σε όλο το I μήκος της περιφέρειας και ίση με φ Ιο. Η μέθοδος επίλυσης η οποία υιοθετήθηκε στην ενότητα 3.. για τη μικρή κυκλική βροχοκεραία- ισχύει εν μέρει και στην παρούσα ενότητα διότι τόσο η γεωμετρία όσο και η ρευματική κατανομή είναι ταυτόσημες. Υπό αυτή την έννοια οι σχέσεις (3.)-(3.6) διατηρούν την ισχύ τους εφόσον σε αυτές δεν έχει χρησιμοποιηθεί η παραδοχή των ηλεκτρικά μικρών διαστάσεων. Το σημείο διαφοροποίησης ανάμεσα στον παρόν πρόβλημα και αυτό της μικρής κυκλικής βροχοκεραίας (ενότητα 3..) εντοπίζεται στον υπολογισμό του ολοκληρώματος (3.6) π jkαημθσυνφ Νφ ( θ ) αιο e συνφ dφ Σχήμα 3.3. Γεωμετρία Κυκλικού Βρόχου τυχαίων διαστάσεων (Georgieva, 3) Η χρήση του αναπτύγματος Μaclaurin (σχέση 3.7.) για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος (3.6) ισχύει για μικρές τιμές του kα και επομένως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για βροχοκεραίες τυχαίων διαστάσεων. Εναλλακτικά, ο υπολογισμός του ολοκληρώματος μπορεί να επιτευχθεί με την ανάλυση του σε δύο όρους π π jkαηµθσυνφ jkαηµθσυνφ Νφ ( θ ) αιο e συνφ dφ αιο e συνφ dφ + π αηµθσυνφ + e jk συνφ dφ π 11

12 και στη συνέχεια με τη χρήση αλλαγής μεταβλητής φ φ + π στον δεύτερο όρο π π jkαηµθσυνφ jkαηµθσυνφ Νφ ( θ ) αιο e συνφ dφ e συνφ dφ (3.5) Οι ολοκληρωτικές παραστάσεις στην σχέση (3.5) μπορούν να εκφρασθούν με τη βοήθεια των κυλινδρικών συναρτήσεων Bessel. Συγκεκριμένα, ισχύει η ακόλουθη ολοκληρωτική έκφραση για τις κυλινδρικές συναρτήσεις Bessel π jzσυνφ n e συν ( nφ) dφ πj Jn( z) (3.6) Εφόσον, οι συναρτήσεις Bessel με αρνητικό όρισμα συσχετίζονται με την ακόλουθη εξίσωση n Jn( x) ( 1) Jn( x) (3.7) η παράσταση (3.5) διατυπώνεται ως εξής: Νφ ( θ ) jπ ( αιο ) J1( kαηµθ ) (3.8) Με την αντικατάσταση της (3.8) στις σχέσεις (1.37)-(1.) -στο μακρινό πεδίο- θα ισχύουν οι ακόλουθες πεδιακές εκφράσεις jωµ jkr ( kα ) Ι ζ ( θ ) ζ ο jkr Eφ Ηθ e Nφ e J1( kαηµθ ) πr r (3.9) όπου kω/cω με. Σύμφωνα με την (1.), το Διάνυσμα Poynting έχει ακτινική συνιστώσα και μέτρο που δίνεται από την ακόλουθη σχέση ζk ζ ( kα ) Ι P ο av N ( αηµθ ) φ J k 3π r 8r 1 (3.3) Η Ένταση Ακτινοβολίας U(θ,φ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση ζ ( kα ) Ι U ( θ, φ) r P ο av J1 ( kαηµθ ) 8 (3.31) Σύμφωνα με τις σχέσεις (3.9) και (3.11)-(3.1), το Διάγραμμα Πεδίου (reφ) και το Διάγραμμα Ακτινοβολίας (U(θ)rPav), στα πρωτεύοντα επίπεδα (φ,θ9ο) και (φο,θ), παρουσιάζουν τα εξής χαρακτηριστικά: Ομοιοκατευθυντική ακτινοβολία στο επίπεδο (φ,θ9ο) η οποία ερμηνεύεται και από την γεωμετρική συμμετρία της κυκλικής βροχοκεραίας. Κατευθυντική ακτινοβολία στο επίπεδο (φο,θ) η οποία χαρακτηρίζεται από την συμπεριφορά της κυλινδρικής συνάρτησης Bessel J1(kαημθ). ( ζ kα ) Ιο Ε re 1( αηµθ ) 1( αηµθ ), U(θ φ) ο φ J k EoJ k r Pav J ( ) 1 kαηµθ ζ (3.3) 1

13 Σχήμα 3.. Συνάρτηση Bessel J1(x) (Georgieva, 3). Η συμπεριφορά της συνάρτησης Bessel χαρακτηρίζεται από μια φθίνουσα ταλάντωση γύρω από το μηδέν (Σχήμα 3..) καθώς η τιμή του ορίσματος αυξάνει. Αυτή η συμπεριφορά της συνάρτησης Bessel μεταφέρεται αυτούσια και στο διάγραμμα ακτινοβολίας. Καθώς η ακτίνα α του βρόχου αυξάνει έως περίπου τα,5 λ το διάγραμμα ακτινοβολίας παρουσιάζει ένα κύριο λοβό ο οποίος στενεύει (δηλ. παρουσιάζει αυξανόμενη κατευθυντικότητα). Καθώς η ακτίνα α του βρόχου αυξάνει πέρα από την τιμή των,5 λ η ένταση της ακτινοβολίας στην κατεύθυνση θ9ο μειώνεται και για τιμές α,61 λ παρουσιάζει ένα μηδενισμό. Προφανώς, για τιμές του α μεγαλύτερες του,61 λ η ένταση της ακτινοβολίας στην κατεύθυνση θ9ο ενισχύεται ξανά και το διάγραμμα ακτινοβολίας εμφανίζει περισσότερους από ένα λοβούς. Προς επιβεβαίωση των παραπάνω σχολίων στο Σχήμα 3.5. παρουσιάζονται τα διαγράμματα ακτινοβολίας για κυκλικούς βρόχους με ακτίνα αλ/1, λ/5 και λ/. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα προαναφερόμενα σχόλια προϋποθέτουν την παραδοχή μιας ομοιόμορφης ρευματικής κατανομής. Στο βαθμό που αυτή η παραδοχή καταρρίπτεται για μεγάλες τιμές της ακτίνας α- τα προαναφερόμενα σχόλια χάνουν την ισχύ τους. Για παράδειγμα κυκλικές βροχοκεραίες με μήκος περιφέρειας Cπα λ το διάγραμμα ακτινοβολίας παρουσιάζει μέγιστο στην κατεύθυνση θο. Το διάγραμμα ακτινοβολίας 13

14 Σχήμα 3.5. Ανηγμένο διάγραμμα ακτινοβολίας κυκλικής βροχοκεραίας με ομοιόμορφη ρευματική κατανομή και ακτίνα α,1 λ,, λ και,5 λ (Georgieva, 3). Η συνολική Ακτινοβολούμενη Ισχύς Wακ δίνεται από το ακόλουθο ολοκλήρωμα π π π πζ ( kα ) Ι W ο ακ U ( θ ) ηµθdθdφ J1( kαηµθ ) ηµθdθ (3.33) Το ολοκλήρωμα στη σχέση (3.33) δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά και συνήθως γράφεται ισοδύναμα στην ακόλουθη μορφή: π kα 1 J1 ( kαηµθ ) ηµθdθ α J( x) dx k (3.3) Αν και το νέο ολοκλήρωμα στη σχέση (3.3) δεν μπορεί να υπολογισθεί αναλυτικά επιτρέπει τουλάχιστον ένα προσεγγιστικό υπολογισμό ανάλογα με την περιοχή στην οποία λαμβάνει τιμές η ακτίνα α του βρόχου. Μάλιστα μπορεί να αποδειχθεί ότι για μικρές τιμές της ακτίνας α οι σχέσεις (3.33)- (3.3) δίνουν τα αποτελέσματα της ενότητας Κυκλική Βροχοκεραία με Ανομοιόμορφη Ρευματική Κατανομή Στην προηγούμενη ενότητα (3.3.1) η ανάλυση βασίστηκε στην παραδοχή της ομοιόμορφης ρευματικής κατανομής. Στην πραγματικότητα αυτή η παραδοχή καταρρίπτεται όταν το μήκος της περιφέρειας του βρόχου λαμβάνει τιμές μεγαλύτερες του λ/1. Σε αυτό το εύρος τιμών η ρευματική κατανομή παρουσιάζει διακυμάνσεις κατά μήκος της περιφέρειας. Μια συνήθης προσεγγιστική αναπαράσταση της ρευματικής κατανομής για τις ηλεκτρικά μεγάλες κυκλικές βροχοκεραίες- είναι οι γνωστές σειρές Fourier M I( φ ) Iο + I n συν ( nφ ) n 1 (3.35) 1

15 όπου η γωνία φ υπολογίζεται από το σημείο της τροφοδοσίας έως το σημείο της περιφέρειας για το οποίο υπολογίζεται το ρεύμα Ι(φ ). Η διαδικασία υπολογισμού των πεδιακών μεγεθών -για την κατανομή της σχέσης (3.35)- είναι αρκετά πολύπλοκη και μακροσκελής και γι αυτόν τον λόγο θα παραληφθεί. Τα πλέον ενδιαφέροντα αποτελέσματα από τους υπολογισμούς για μια «μεγάλη» κυκλική βροχοκεραία είναι τα εξής: Ενώ για κεραίες «μικρών» διαστάσεων η κατεύθυνση μέγιστη ακτινοβολίας ανήκει στο επίπεδο που ορίζει ο βρόχος (θ9ο) για «μεγάλες» διαστάσεις μετατοπίζεται στον άξονα του δηλ. για θο και 18ο. Η Κατευθυντικότητα αυξάνει καθώς το μήκος της περιφέρειας C(πα) μεγαλώνει φθάνοντας σε ένα μέγιστο (περίπου,5 db) για μήκος C 1, λ. Στην πράξη επιλέγεται ως βέλτιστο μήκος της περιφέρειας το Cλ και για αυτό το μήκος η κατευθυντικότητα είναι περίπου ίση με 3, db. Στο Σχήμα 3.6. αναπαρίσταται η μεταβολή της κατευθυντικότητας για την κατεύθυνση θο, 18ο- σαν συνάρτηση του ηλεκτρικού μεγέθους του βρόχου (C/λ) για διαφορετικές ακτίνες του αγώγιμου σύρματος Ωln(πα/b). Σύμφωνα και με τις καμπύλες του Σχήματος 3.6. είναι προφανές ότι για μήκη περιφέρειας του βρόχου μικρότερα του 1,3 λ η ακτίνα b του αγώγιμου σύρματος δεν διαφοροποιεί την κατευθυντικότητα της βροχοκεραίας. Αντίθετα για μεγαλύτερα μήκη (C>1,3 λ) η κατευθυντικότητα επηρεάζεται από τις διαστάσεις του αγώγιμου σύρματος. Σχήμα 3.6. Κατευθυντικότητα D(θ) σαν συναρτήση του ηλεκτρικού μεγέθους C/λ για διάφορετικές ακτίνες του αγώγιμου σύρματος Ω (ln(πα/b) όπου α είναι η ακτίνα του βρόχου και b είναι η ακτίνα του αγωγού) (Georgieva, 3) 15