ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ

Transcript

1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 13 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α1 Έστω ότι η κίνηση δύο ατόµων ενός µορίου µπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από ένα δυναµικό της µορφής V a a 4 8 = +, a >, όπου > η σχετική απόσταση των ατόµων. α) Βρείτε τα σηµεία ισορροπίας (ένα ή περισσότερα) και την ευστάθειά τους β) Σχεδιάστε το δυναµικό και το διάγραµµα φάσεων γ) Ποια είναι η περίοδος των µικρών ταλαντώσεων γύρω από το ευσταθές σηµείο ισορροπίας; α) τα σηµεία ισορροπίας είναι οι θετικές (αφού >) ρίζες της εξίσωσης F dv 4a 16a d = 1/4 = + = = 5 9 = a Στην παραπάνω τιµή έχουµε ακρότατο του δυναµικού, και µάλιστα ελάχιστο αφού dv a 144a = + = > d a 6 1 = = άρα το σηµείο ισορροπίας είναι ευσταθές. β) Για το δυναµικό έχουµε lim V = +, lim V =, V( ) = 1/ 8, οπότε η γραφική του + παράσταση είναι η παρακάτω. ίνεται και το αντίστοιχο φασικό διάγραµµα, όπου για Ε< έχουµε ταλαντώσεις (κλειστές φασικές καµπύλες γύρω από το σηµείο ισορροπίας) και για Ε> οι φασικές καµπύλες ανοίγουν από τα δεξιά επιτρέποντας την κίνηση να πάει στο άπειρο. γ) Κοντά στο ευσταθές σηµείο ισορροπίας η µέθοδος διαταραχών µας δίνει την εξίσωση του αρµονικού ταλαντωτή ( ) d a a dv + = + = ω = = π 1/4 Άρα η περίοδος των ταλαντώσεων θα είναι T = = π a ω

2 ΘΕΜΑ Α (α) Υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά στο πεδίο κεντρικών δυνάµεων F () =, >. Αν απότοµα η σταθερά ελαττωθεί στο µισό, να δειχθεί ότι η τροχιά γίνεται παραβολική. (β) Σώµα µάζας m = 4 κινείται στο πεδίο απωστικών κεντρικών δυνάµεων 116 F () =. Αν τη χρονική στιγµή t = το σώµα βρίσκεται στη θέση = iˆ+ 3ˆj 4ˆ µε ταχύτητα u = i ˆ + ˆ j+ 3ˆ, να υπολογίσετε την ενέργεια του E και την στροφορµή του L τη χρονική στιγµή t =. (α) Η ταχύτητα u µε την οποία κινείται το σώµα σε κυκλική τροχιά στο πεδίο κεντρικών δυνάµεων F () = δίνεται από τη σχέση F ( ) u = m = m. Όταν η σταθερά ελαττωθεί στο µισό η ενέργεια το σώµατος γίνεται: 1 1 ( / ) E = mu + V( ) = m =. m Εποµένως έχουµε παραβολική τροχιά. (β) Η ενέργεια και η στροφορµή είναι ολοκληρώµατα της κίνησης οπότε η τιµή τους παραµένει σταθερή για κάθε χρονική στιγµή. Εποµένως η τιµή τους για t = είναι ίδια µε την τιµή τους για t =. Για t = έχουµε u = ( 1) = 11. Οπότε παίρνουµε = ( 4) = 9 και E = mu + = = 4, 9 iˆ ˆj ˆ L = m u = = 4 (9+ 4) iˆ (6 4) ˆj+ (+ 3) ˆ = 5iˆ 8ˆj+ ˆ ΘΕΜΑ 3Α Θεωρούµε έναν τόπο Ο στην επιφάνεια του Βόρειου ηµισφαίριου της Γης στον οποίο επικρατούν χαµηλές πιέσεις σε σχέση µε τις γειτονικές του περιοχές. Λόγω της διαφοράς της πίεσης οι αέριες µάζες θα κινηθούν προς αυτό τον τόπο. Αφού ορίσετε σαφώς ένα

3 κατάλληλο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων να µελετήσετε λεπτοµερώς το φαινόµενο αυτό. Να εξηγήσετε πως θα κινηθούν αέριες µάζες που ξεκινούν να κινούνται προς τον τόπο Ο από τα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα (Ανατολή, ύση, Βορράς, Νότος). Αν ο τόπος Ο βρισκόταν στο Νότιο ηµισφαίριο της Γης θα υπήρχαν αλλαγές στην εξέλιξη του φαινοµένου; Γιατί; Παράγραφος 9.8 στο βιβλίο «Θεωρητική Μηχανική, Τεύχος Α» του Ι.. Χατζηδηµητρίου ή παράγραφος 18.1 στο βιβλίο «Εισαγωγή στη Θ.Μ.» του Κ.Χ. Τσίγκανου ΘΕΜΑ 4Α ύο υλικά σηµεία µε µάζες m 1 και m βρίσκονται αρχικά σε απόσταση και ηρεµούν. Αφήνονται ελεύθερα και έλκονται µε τη δύναµη βαρύτητας που ασκεί το ένα στο άλλο. Να βρεθεί η σχετική ταχύτητα των δύο σωµάτων όταν θα βρεθούν σε απόσταση = /. Πόση είναι η απόλυτη ταχύτητα των δύο σωµάτων σ αυτή την απόσταση; Έστω Ο το κέντρο µάζας των δύο = - 1 σωµάτων το οποίο είναι ακίνητο, αφού δεν επιδρούν εξωτερικές δυνάµεις στο 1 Ο σύστηµα. Τα δύο σώµατα θα κινηθούν πάνω στην ευθεία που τα ενώνει (πχ ο άξονας Ο) και η σχετική τους κίνηση θα περιγράφεται από την εξίσωση Gm1m m1m µ = F1 µ =, µ = ( 1) m1+ m Το σύστηµα (1) µπορεί να περιγράφει τη κίνηση ενός σώµατος µάζας µ, µε ταχύτητα Gm1m =υσχ, στο δυναµικό V =. Συνεπώς έχουµε το ολοκλήρωµα της ενέργειας 1 Gm1m Gm1m E = ( E ) µυ = = σχ α ρχ Από την παραπάνω σχέση βρίσκουµε 1 1 Gm ( 1+ m) υσχ = Gm ( 1+ m) ( για = /) υσχ = όπου το µείον οφείλεται στο ότι < (µειώνεται η απόσταση των σωµάτων) Η απόλυτη ταχύτητα, υ 1 = 1και υ =, των σωµάτων προκύπτει από τις σχέσεις m m = = υ = m G m1+ m m1+ m ( m1+ m) m m = = υ = m G m1+ m m1+ m ( m1+ m)

4 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 13 ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ B1 Η κίνηση δύο ατόµων ενός µορίου µπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από ένα a 1 a δυναµικό της µορφής V = +, a >, όπου > η σχετική απόσταση των ατόµων. 4 8 α) Βρείτε τα σηµεία ισορροπίας (ένα ή περισσότερα) και την ευστάθειά τους β) Σχεδιάστε το δυναµικό και το διάγραµµα φάσεων γ) Ποια είναι η περίοδος των µικρών ταλαντώσεων γύρω από το ευσταθές σηµείο ισορροπίας; α) τα σηµεία ισορροπίας είναι οι θετικές (αφού >) ρίζες της εξίσωσης 8 8 F = dv a a 5 9 d = + a = = = a Στην παραπάνω τιµή έχουµε ακρότατο του δυναµικού, και µάλιστα ελάχιστο αφού dv 4a 7 = + = > 6 1 d a = = 4 3a άρα το σηµείο ισορροπίας είναι ευσταθές. 3 β) Για το δυναµικό έχουµε lim V = +, lim V =, V( ) = a <, οπότε η γραφική + του παράσταση είναι η παρακάτω. ίνεται και το αντίστοιχο φασικό διάγραµµα, όπου για Ε< έχουµε ταλαντώσεις (κλειστές φασικές καµπύλες γύρω από το σηµείο ισορροπίας) και για Ε> οι φασικές καµπύλες ανοίγουν από τα δεξιά επιτρέποντας την κίνηση να πάει στο άπειρο. γ) Κοντά στο ευσταθές σηµείο ισορροπίας η µέθοδος διαταραχών µας δίνει την εξίσωση του αρµονικού ταλαντωτή + = + a = = 3 a ) dv ( ω d = π π Άρα η περίοδος των ταλαντώσεων θα είναι T = = ω 4a

5 ΘΕΜΑ B (α) Υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά στο πεδίο κεντρικών δυνάµεων F () =, >. Αν απότοµα η σταθερά ελαττωθεί στο µισό, να δειχθεί ότι η τροχιά γίνεται παραβολική. (β) Σώµα µάζας m = 4 κινείται στο πεδίο απωστικών κεντρικών δυνάµεων 116 F () =. Αν τη χρονική στιγµή t = το σώµα βρίσκεται στη θέση = 3iˆ ˆj+ 4ˆ µε ταχύτητα u = 3ˆ i + ˆj ˆ, να υπολογίσετε την ενέργεια του E και την στροφορµή του L τη χρονική στιγµή t = 5. (α) Η ταχύτητα u µε την οποία κινείται το σώµα σε κυκλική τροχιά στο πεδίο κεντρικών δυνάµεων F () = δίνεται από τη σχέση F ( ) u = m = m. Όταν η σταθερά ελαττωθεί στο µισό η ενέργεια το σώµατος γίνεται: 1 1 ( / ) E = mu + V( ) = m =. m Εποµένως έχουµε παραβολική τροχιά. (β) Η ενέργεια και η στροφορµή είναι ολοκληρώµατα της κίνησης οπότε η τιµή τους παραµένει σταθερή για κάθε χρονική στιγµή. Εποµένως η τιµή τους για t = 5 είναι ίδια µε την τιµή τους για t =. Για t = έχουµε u = ( 1) = 11. Οπότε παίρνουµε = 3 + ( ) + 4 = 9 και E = mu + = = 4, 9 iˆ ˆj ˆ L = m u = 43 4 = 4 ( 4) iˆ ( 3 1) ˆj+ (3+ 6) ˆ = 8iˆ+ 6ˆj+ 36ˆ

6 ΘΕΜΑ 3B Θεωρούµε έναν τόπο Ο στην επιφάνεια του Βόρειου ηµισφαίριου της Γης στον οποίο επικρατούν χαµηλές πιέσεις σε σχέση µε τις γειτονικές του περιοχές. Λόγω της διαφοράς της πίεσης οι αέριες µάζες θα κινηθούν προς αυτό τον τόπο. Αφού ορίσετε σαφώς ένα κατάλληλο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων να µελετήσετε λεπτοµερώς το φαινόµενο αυτό. Να εξηγήσετε πως θα κινηθούν αέριες µάζες που ξεκινούν να κινούνται προς τον τόπο Ο από τα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα (Ανατολή, ύση, Βορράς, Νότος). Αν ο τόπος Ο βρισκόταν στο Νότιο ηµισφαίριο της Γης θα υπήρχαν αλλαγές στην εξέλιξη του φαινοµένου; Γιατί; Παράγραφος 9.8 στο βιβλίο «Θεωρητική Μηχανική, Τεύχος Α» του Ι.. Χατζηδηµητρίου ή παράγραφος 18.1 στο βιβλίο «Εισαγωγή στη Θ.Μ.» του Κ.Χ. Τσίγκανου ΘΕΜΑ 4B ύο οµώνυµα φορτία +Q 1 και +Q, µε Q 1 =Q =Q και µάζες m 1 και m ( m1 m) βρίσκονται αρχικά σε απόσταση χωρίς αρχική ταχύτητα. Αφήνονται ελεύθερα και απωθούνται λόγω της απωστικής δύναµης Coulomb που ασκεί το ένα στο άλλο (και θεωρείται η µόνη δύναµη που δρα στα φορτία). Να βρεθεί η σχετική ταχύτητα των δύο φορτίων όταν θα βρεθούν σε απόσταση =. Πόση είναι η απόλυτη ταχύτητα των δύο φορτίων σ αυτή την απόσταση; Έστω Ο το κέντρο µάζας των δύο = - 1 φορτίων το οποίο είναι ακίνητο, αφού δεν επιδρούν εξωτερικές δυνάµεις στο 1 Ο σύστηµα. Τα δύο φορτία θα κινηθούν πάνω στην ευθεία που τα ενώνει (πχ ο άξονας Ο) και η σχετική τους κίνηση θα περιγράφεται από την εξίσωση Kηλ Q Q mm 1 µ = F1 µ =, µ = ( 1) m1+ m Το σύστηµα (1) µπορεί να περιγράφει τη κίνηση ενός σώµατος µάζας µ, µε ταχύτητα KηλQ =υσχ, στο δυναµικό V =. Συνεπώς έχουµε το ολοκλήρωµα της ενέργειας 1 K ηλq KηλQ E = µυ σχ + = ( = E α ρχ ) Από την παραπάνω σχέση βρίσκουµε KηλQ 1 1 Kηλ ( ) σχ Q µ µ υσχ = για = υ =

7 όπου θέσαµε το πρόσηµο + στην ταχύτητα αφού > (αυξάνεται η απόσταση των φορτίων) Η απόλυτη ταχύτητα, υ 1 = 1και υ =, των φορτίων προκύπτει από τις σχέσεις m m = = υ = Q mk ηλ m1+ m m1+ m ( m1+ m) m 1 m m = = υ = Q mk ηλ m1+ m m1+ m ( m1+ m) m

8