ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ (ΕΙΣΟΔΟΣ ΈΞΟΔΟΣ)

Transcript

1 ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ (ΕΙΣΟΔΟΣ ΈΞΟΔΟΣ) Ορθογώνιο συρμάτινο πλαίσιο (ΔΕΖΗ), αντίστασης και διαστάσεων α και 2α, κινείται με σταθερή ταχύτητα u. To πλαίσιο τη χρονική στιγμή t = 0 εισέρχεται σε Ομογενές Μαγνητικό Πεδίο έντασης Β και πλάτους d=5α, με το επίπεδο του κάθετο στις δυναμικές γραμμές, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ι. Να υπολογιστούν τα εξής: α. η μαγνητική ροή φ που διέρχεται από το πλαίσιο β. η ΗΕΔ από επαγωγή που αναπτύσσεται στο πλαίσιο γ. η ένταση του επαγωγικού ρεύματος δ. η τάση V ΖΗ ε. η δύναμη Laplace που ασκείται στο πλαίσιο στ. η εξωτερική δύναμη που ασκείται στο πλαίσιο ζ. το ρυθμό ηλεκτρικής ενέργειας που εμφανίζεται στο πλαίσιο (θερμότητα Joule) η. η ισχύς της εξωτερικής δύναμης (ρυθμός της προσφερόμενης ενέργειας) θ. το συνολικό φορτίο που διέρχεται από μια διατομή του πλαισίου (κατά απόλυτη τιμή) II. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω μεγεθών

2 Απάντηση: B B σταθ.u σταθ.u σταθ.u σταθ.u σταθ.u x: Το διάστημα που διανύει το πλαίσιο.

3 Ερώτημα I.: Το πλαίσιο κινείται με σταθερή ταχύτητα u Επομένως το διάστημα (x) που διανύει το πλαίσιο, θα δίνεται από την σχέση Είσοδος του πλαισίου στο Ο.Μ.Π. (1 η Φάση) Η είσοδος του πλαισίου στο Ο.Μ.Π. διαρκεί από 0s έως (2α)/u. Δηλαδή, Μαγνητική Ροή: ΦΒs ΦBαx ΗΕΔ από Επαγωγή: Ά τρόπος: Όσο διαρκεί η εισαγωγή του πλαισίου στο Ο.Μ.Π., ΗΕΔ από επαγωγή αναπτύσσεται μόνο στο τμήμα ΖΗ. Στα τμήματα ΚΖ και ΜΗ, δεν αναπτύσσεται ΗΕΔ από επαγωγή, διότι οι δυνάμεις Laplace ωθούν τα ελεύθερα e - προς τις πλευρικές επιφάνειες των αγωγών. Επιπλέον στα τμήματα ΜΔ, ΔΕ και ΕΚ δεν αναπτύσσεται ΗΕΔ, αφού βρίσκονται εκτός του Ο.Μ.Π. Συνεπώς η ΗΕΔ που αναπτύσσεται στο πλαίσιο θα είναι: u FFεΕ. Ε., Βαu. Το αρνητικό πρόσημο προκύπτει, διότι.. Η πολικότητα της ΗΕΔ φαίνεται στο σχήμα. Β τρόπος: Ε. ΔΦ Ε. ΔΒuαt Ε. Βuα. (Ο παραπάνω τρόπος (Β) εφαρμόζεται μόνο για ορθογώνιο ή τετράγωνο πλαίσιο) Γ τρόπος: ΗΕΔ από επαγωγή αναπτύσσεται στο τμήμα του πλαισίου ΚΖΗΜ που βρίσκεται μέσα στο Ο.Μ.Π. Αυτή η ΗΕΔ είναι ίδια με την ΗΕΔ που αναπτύσσεται σε υποθετικό ευθύγραμμο αγωγό ΚΜ. Οπότε θα έχουμε: Ε. BuΚΜ. ταbσbθ.flξ.flbl

4 E επ. Μ Ε B Νu Έ επ. (Θέλουμε να προσδιορίσουμε την ΗΕΔ από επαγωγή που αναπτύσσεται στο αγωγό ΕΜΝ, ο οποίος είναι τυχαίου σχήματος. Θεωρούμε το υποθετικό πλαίσιο ΕΜΝ (ΕΝ (κόκκινος) υποθετικός ευθύγραμμος αγωγός, ο οποίος έχει άκρα τα άκρα του αγωγού τυχαίου σχήματος). Προφανώς ΔΦ 0 Ε.,. 0Ε. Ε. 0. Ε. Άρα η ΗΕΔ από επαγωγή που αναπτύσσεται σε αγωγό τυχαίου σχήματος είναι ίδια με την ΗΕΔ που αναπτύσσεται σε υποθετικό ευθύγραμμο αγωγό με τα ίδια άκρα.) Δ τρόπος : Έστω ότι σε μικρό χρονικό διάστημα το πλαίσιο εισχωρεί στο Ο.Μ.Π. κατά Δx. Τότε η επιφάνεια του πλαισίου που εισέρχεται στο πεδίο, έχει εμβαδό: Οπότε θα έχουμε: Ε. ΔΦ (γραμμοσκιασμένο εμβαδό διαστάσεων α και Δx) B ΔΒ sb. Ε. Ε. B Δs Ε. Βα Δx. Ε. Β αδx (Αυτός ο τρόπος υπολογισμού της ΗΕΔ, είναι ο «καλύτερος», διότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στη περίπτωση που το πλαίσιο δεν είναι ορθογώνιο (π.χ. πλαίσιο σε σχήμα τριγώνου). Σε όλες τις περιπτώσεις θα θεωρούμε το σχήμα εμβαδού Δs (προσεγγιστικά) ως ορθογώνιο διαστάσεων ΚΜ και Δx.) Ένταση επαγωγικού ρεύματος: Αποτέλεσμα της ΗΕΔ από επαγωγή, είναι η κυκλοφορία ρεύματος (επαγωγικό ρεύμα) στο πλαίσιο που από 2ο κανόνα Κirchhoff προκύπτει ότι είναι: Ι. Ι. Ι. Ι. Ε. 0 Ι. Ε. Ι. Ε..... και με φορά που φαίνεται στο σχήμα. Διαφορά δυναμικού V ΖΗ = V Ζ - V H : Εφαρμόζω την Εξίσωση Διαφορών Δυναμικού από το Ζ στο Η. Οπότε: V Z E. I. ZH V H ZH ρ α S ρ 6α ZH.,. V ZH Buα Buα 6 6 S (Προσοχή! Εδώ πρέπει να βγει V ΖΗ > 0, αφού V Ζ > V Η )

5 Δύναμη Laplace F L : Αφού το πλαίσιο διαρρέεται ρεύμα και ένα μέρος του βρίσκεται εντός του Ο.Μ.Π. θα δέχεται δύναμη Laplace. Στα τμήματα ΜΔ, ΔΕ και ΕΚ, δεν έχουμε δύναμη Laplace, διότι βρίσκονται εκτός του πεδίου. Αντίθετα στα τμήματα ΚΖ και ΜΗ, εμφανίζονται δυνάμεις Laplace, αλλά όμως αλληλοεξουδετερώνονται (δίνουν συνισταμένη μηδέν). Τελικά, δύναμη Laplace, εμφανίζεται μόνο στο τμήμα ZH του πλαισίου, και η οποία αντιτίθεται στη κίνηση του. Το μέτρο της δύναμης Laplace που δέχεται το πλαίσιο είναι:. F L B I. α Εξωτερική δύναμη: Το πλαίσιο κινείται με σταθερή ταχύτητα u. Για να συμβαίνει αυτό, πρέπει να του ασκήσουμε κατάλληλη εξωτερική δύναμη F εξ., όπως φαίνεται στο σχήμα, η οποία θα είναι ίση κατά μέτρο με τη δύναμη Laplace και αντίθετη. Δηλαδή: F L uσταθ.σf0f. F L. ισχύς της εξωτερικής δύναμης: P F. ΔW F. F. Δx F. Δx... Ρυθμός ηλεκτρικής ενέργειας: ΔW. Ι. Ι. Συνολικό φορτίο που διέρχεται από μια διατομή του πλαισίου: I. Δq ΔqI. q ΔqI. Buα q Bα uq Bα Δx (Αυτός ο τρόπος υπολογισμού του φορτίου, εφαρμόζεται είτε το ρεύμα είναι σταθερό είτε όχι.)

6 B ταθ.b Επιμέλεια Θεμάτων: Παραμονή του πλαισίου μέσα στο Ο.Μ.Π. (2 η Φάση) Η παραμονή του πλαισίου μέσα στο Ο.Μ.Π. διαρκεί από (2α)/u έως (5α)/u. Δηλαδή, Μαγνητική Ροή: ΦΒs ΗΕΔ από Επαγωγή: Παρατηρούμε ότι η μαγνητική ροή Φ που διέρχεται από το πλαίσιο, παραμένει σταθερή. Δηλαδή: uσ B Φσταθ.ΔΦ0, επομένως. Άρα στο πλαίσιο δεν αναπτύσσετε ΗΕΔ από επαγωγή. (Προσοχή! Στα τμήματα ΕΖ και ΔΗ, δεν αναπτύσσεται ΗΕΔ από επαγωγή, διότι οι δυνάμεις Laplace ωθούν τα ελεύθερα e- προς τις πλευρικές επιφάνειες των αγωγών. Αντίθετα στα τμήματα ΕΔ και ΖΗ, αναπτύσσονται ΗΕΔ από επαγωγή, των οποίων η πολικότητα φαίνεται στο σχήμα. Επιπλέον Ε επ.,εδ =Buα και Ε επ.,ζη =Buα Ε επ.,ζη = Ε επ.,εδ. Για την ολική ΗΕΔ μπορούμε να γράψουμε Ε επ. = Ε επ.ζη - Ε επ.,εδ =0) Ένταση επαγωγικού ρεύματος: Εφόσον η ΗΕΔ από επαγωγή είναι μηδέν, το πλαίσιο δεν διαρρέεται από ρεύμα. Ι. Ε... Διαφορά δυναμικού V ΖΗ = V Ζ - V H : Εφαρμόζω την Εξίσωση Διαφορών Δυναμικού από το Ζ στο Η. Οπότε: V Z E., V H., (Προσοχή! Εδώ πρέπει να βγει V ΖΗ > 0, αφού V Ζ > V Η ) (Προσοχή! Η ΗΕΔ στον αγωγό ZH, είναι διαφορετική από την ΗΕΔ του πλαισίου) Δύναμη Laplace F L : Αφού το πλαίσιο δε διαρρέεται από ρεύμα, κανένα τμήματα του δε θα δέχεται δύναμη Laplace από το πεδίο. Δηλαδή:

7 ταθ.επιμέλεια Θεμάτων: Εξωτερική δύναμη: Το πλαίσιο κινείται με σταθερή ταχύτητα u. Οπότε uσταθ.σf0f. F L F L. ισχύς της εξωτερικής δύναμης: P F. ΔW F. F. Δx F.. Ρυθμός ηλεκτρικής ενέργειας: ΔW. Ι. I.. Συνολικό φορτίο που διέρχεται από μια διατομή του πλαισίου: I. Δq ΔqI.. Δ 0 Έξοδος του πλαισίου από το Ο.Μ.Π. (3 η Φάση) Η έξοδος του πλαισίου από το Ο.Μ.Π. διαρκεί από (5α)/u έως (7α)/u. Δηλαδή, Μαγνητική Ροή: ΦΒs 5αyx BuσFFFεξ.LLFL BBΦ Βα2αx5α Φ7Bα Bαx ΗΕΔ από Επαγωγή: Α τρόπος: Όσο διαρκεί η έξοδος του πλαισίου από το Ο.Μ.Π., ΗΕΔ από επαγωγή αναπτύσσεται μόνο στο τμήμα ΕΔ. Στα τμήματα ΕΛ και ΔΝ, δεν αναπτύσσεται ΗΕΔ από επαγωγή, διότι οι δυνάμεις Laplace ωθούν τα ελεύθερα e - προς τις πλευρικές επιφάνειες των αγωγών. Επιπλέον στα τμήματα ΝΗ, ΗΖ και ΖΛ δεν αναπτύσσεται ΗΕΔ, αφού

8 βρίσκονται εκτός του Ο.Μ.Π. Συνεπώς η ΗΕΔ που αναπτύσσεται στο πλαίσιο θα είναι: Ε. Ε., Βαu. Το θετικό πρόσημο προκύπτει, διότι. φαίνεται στο σχήμα.. Η πολικότητα της ΗΕΔ Β τρόπος: Ε. ΔΦ Γ τρόπος: B B Ε. Δ7Bα Buαt Ε. Βuα. ΗΕΔ από επαγωγή αναπτύσσεται στο τμήμα του πλαισίου ΛΕΔΝ που βρίσκεται μέσα στο Ο.Μ.Π. Αυτή η ΗΕΔ είναι ίδια με την ΗΕΔ που αναπτύσσεται σε υποθετικό ευθύγραμμο αγωγό ΛΝ. Οπότε θα έχουμε: Δ τρόπος : Ε. BuΛΝ. Έστω ότι σε μικρό χρονικό διάστημα το πλαίσιο εξέρχεται από το Ο.Μ.Π. κατά Δy. Τότε η επιφάνεια του πλαισίου που εξέρχεται από το πεδίο, έχει εμβαδό:, διότι Δs < 0 (γραμμοσκιασμένο εμβαδό διαστάσεων α και Δy) Οπότε θα έχουμε: Ε. ΔΦ B ΔΒ sb. Ε. Ε. B Δs, α Δy Ε. Β Ένταση επαγωγικού ρεύματος: Ε. Βα Δy. Αποτέλεσμα της ΗΕΔ από επαγωγή, είναι η κυκλοφορία ρεύματος (επαγωγικό ρεύμα) στο πλαίσιο που από 2ο κανόνα Κirchhoff προκύπτει ότι είναι: Ι. Ι. Ι. Ι. Ε. 0 Ι. Ε. Ι. Ε.....

9 και με φορά που φαίνεται στο σχήμα. Διαφορά δυναμικού V ΖΗ = V Ζ - V H : Εφαρμόζω την Εξίσωση Διαφορών Δυναμικού από το Ζ στο Η. Οπότε: V Z I. ZH V H ZH ρ α S ρ 6α ZH. V ZH Buα 6 S Δύναμη Laplace F L : 6 Αφού το πλαίσιο διαρρέεται ρεύμα και ένα μέρος του βρίσκεται εντός του Ο.Μ.Π. θα δέχεται δύναμη Laplace. Στα τμήματα ΝΗ, ΗΖ και ΖΛ, δεν έχουμε δύναμη Laplace, διότι βρίσκονται εκτός του πεδίου. Αντίθετα στα τμήματα ΕΛ και ΔΝ, εμφανίζονται δυνάμεις Laplace, αλλά όμως αλληλοεξουδετερώνονται (δίνουν συνισταμένη μηδέν). Τελικά, δύναμη Laplace, εμφανίζεται μόνο στο τμήμα ΕΔ του πλαισίου, και η οποία αντιτίθεται στη κίνηση του. Το μέτρο της δύναμης Laplace που δέχεται το πλαίσιο είναι: Εξωτερική δύναμη: F L B I. α. Το πλαίσιο κινείται με σταθερή ταχύτητα u. Για να συμβαίνει αυτό, πρέπει να του ασκήσουμε κατάλληλη εξωτερική δύναμη F εξ., όπως φαίνεται στο σχήμα, η οποία θα είναι ίση κατά μέτρο με τη δύναμη Laplace και αντίθετη. Δηλαδή: F L uσταθ.σf0f. F L. ισχύς της εξωτερικής δύναμης: P F. ΔW F. F. Δx F. Δx... Ρυθμός ηλεκτρικής ενέργειας: ΔW. Ι. Ι.

10 Συνολικό φορτίο που διέρχεται από μια διατομή του πλαισίου: I. Δq ΔqI. q ΔqI. Buα q Bα uq Bα Δx Κίνηση του πλαισίου εκτός του Ο.Μ.Π. (4 η Φάση) Ο χρόνος κίνηση του πλαισίου εκτός του Ο.Μ.Π., αρχίζει από (7α)/u. Δηλαδή Είναι φανερό ότι,.,.,,,.,.,, Το συνολικό φορτίο που διέρχεται από μια διατομή του πλαισίου σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του είναι: q. q q q q q. 2Bα 02Bα 0. Ερώτημα ΙI:, 0t 2α u 2α, Φ u t5α u 5α, u t7α u, t 7α u Ε., 0t 2α u 2α, u t5α u 5α u t7α u, t 7α u Βuα -Βuα Eεπ. 2α/u 5α/u 7α/u t

11 I.,, 0t 2α u 2α u t5α u 5α, u t7α u, t 7α u, 0t 2α u 2α,, u t5α u 5α u t7α u, t 7α u, 0t 2α u 2α, F. F L u t5α u 5α, u t7α u, t 7α u, 0t 2α u 2α, P P F. u t5α u 5α, u t7α u, t 7α u Παρατήρηση I! Το συνολικό φορτίο που διέρχεται από μια διατομή του πλαισίου σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του, μπορεί να υπολογισθεί από τη γραφική παράσταση I επ. = f(t), (q ολ. = (εμβαδόν στο διάγραμμα I επ. = f(t))= E 1 + E 2 ). Παρατήρηση ΙΙ! Το (-) που παρουσιάζεται στο νόμο του Faraday,. εκφράζει το κανόνα του Lenz, o οποίος αναφέρει ότι το επαγωγικό ρεύμα έχει τέτοια φορά, ώστε τα ηλεκτρομαγνητικά του αποτελέσματα να αντιδρούν στην αιτία που το προκαλεί. Πιο συγκεκριμένα στην άσκηση μας, το επαγωγικό ρεύμα προκαλεί την εμφάνιση δύναμης Laplace, η οποία αντιστέκεται στη κίνηση του πλαισίου, δηλαδή στην αιτία που δημιουργεί το ρεύμα. Επιμέλεια Θεμάτων: