Διεργασιακές μέθοδοι μοντελοποίησης (procedural modeling)

Transcript

1 Διεργασιακές μέθοδοι μοντελοποίησης (procedural modeling)

2 Γιατί διεργασιακή μοντελοποίηση? Μοντελοποίηση κάποιων φυσικών αντικειμένων με αναλυτικό τρόπο δύσκολη Μοντελοποίηση ομίχλης σαν σύνολο σταγονιδίων δύσκολη και όχι απαραίτητη Μας ενδιαφέρει τι επίδραση έχει η ομίχλη στη σκηνή Όμοια για φωτιά, νερό, δένδρα. Χρήση αλγορίθμων που περιγράφουν την διεργασία με τον οποίο δημιουργείται ή κινείται το αντικείμενο

3 Γιατί διεργασιακή μοντελοποίηση? Άλλη χρήση: παραγωγή πολυγώνων σε αριθμό και λεπτομέρεια που μας χρειάζεται Σφαίρα με αναδρομική υποδιαίρεση όχι με προκαθορισμένο αριθμό πολυγώνων. Θα μελετήσουμε 2 είδη διεργ. μοντελοποιησης Εισαγωγή φυσικών νόμων στη μοντελοποίηση και στο animation Συστήματα σωματιδίων για την περιγραφή κίνησης σώματος/σωμάτων Αλγοριθμικές μέθοδοι για σχηματισμό αντικειμένων.

4 Μοντελοποίηση βασισμένη σε φυσικούς νόμους Με τη μοντελοποίηση με γραφικά μπορούμε να κατασκευάσουμε μοντέλα αντικειμένων που δεν υπάρχουν στη φύση Πρωτότυπα αντικειμένων πριν τα κατασκευάσω. Δυσκολία στον χειρισμό αντικειμένων και καταστάσεων που απαντώνται στη φύση Χειρισμός αντικειμένων που συγκρούονται μεταξύ τους ή σε σταθερό αντικείμενο (τοίχο)

5 Μοντελοποίηση βασισμένη σε φυσικούς νόμους Χρήση φυσικών νόμων και περιορισμών κατά τη μοντελοποίηση. Συστήματα σωματιδίων: σημειακές μάζες που ηδυναμικήσυμπεριφοράτουςμπορείνα προσδιοριστεί λύνοντας σύνολα διαφορικών εξισώσεων. Χρήση για τη μοντελοποίηση τυρβώδους ροής στη δυναμική υγρών Χρήση σωματιδίων συνδεδεμένων με ελατήρια και εξωτερικών δυνάμεων για μοντελοποίηση παραμορφώσιμου σώματος

6 Συστήματα σωματιδίων Στα γραφικά: μοντελοποίηση βεγγαλικών, φωτιάς, σμήνους πουλιών, κυμάτων, υφάσματος. Χρήση εξισώσεων που περιγράφουν φυσικούς νόμους Επίλυση για την εύρεση της κατάστασης κάθε σωματιδίου με αριθμητικές μεθόδους. Απεικόνιση κάθε σωματιδίου με κατάλληλο τρόπο Πολύχρωμα σημεία (βεγγαλικά) Cartoon πουλιού για σμήνος πουλιών

7 Newtonian συστήματα σωματιδίων Σύνολο σωματιδίων σημειακής μάζας που υπακούουν στους νόμους του Νεύτωνα. Μοντελοποίηση ποικίλων συμπεριφορών με τη χρήση απλών νόμων (ακόμη και νόμων που δεν είναι σύμφωνοι με τη φυσικη). 2ος νόμος Νεύτωνα ma=f Η κατάσταση σημειακού σωματιδίου προσδιορίζεται πλήρως από τη θέση και την ταχύτητα: 6 βαθμοί ελευθερίας-μεταβλητές κατάστασης.

8 Newtonian συστήματα σωματιδίων p i =v i, v i =(1/m i )f i (t) Συνολικά 6n διαφορικές εξισώσεις για τον προσδιορισμό της κατάστασης του συστήματος σε κάθε χρονική στιγμή. ' ' ', i i i i i i x x y y z z = = i i p v

9 Newtonian συστήματα σωματιδίων Κάθε σωματίδιο μπορεί να συνοδεύεται και από ένα σύνολο ιδιοτήτων που προσδιορίζει ο χρήστης για την αναπαράσταση του (χρώμα, σχήμα κλπ). Άνθρωπος σε σκηνή πλήθους, κομμάτι υφάσματος στον άνεμο. Το σύστημα των εξισώσεων προσδιορίζει την θέση/ταχύτητα κάθε σωματιδίου και στη θέση αυτή ζωγραφίζεται το κατάλληλο αντικείμενο.

10 Newtonian συστήματα σωματιδίων Η συμπεριφορά του συστήματος προσδιορίζεται από τις χρονομεταβλητές δυνάμεις που ασκούνται. Εσωτερικές δυνάμεις (σύστημα ελατηρίων) ή/και εξωτερικές δυνάμεις (βαρύτητα) Καθορίζοντας κατάλληλα τις δυνάμεις πετυχαίνουμε να μοντελοποιήσουμε την επιθυμητή συμπεριφορά.

11 Newtonian συστήματα σωματιδίων Η δυναμική συμπεριφορά καθορίζεται από λύση των διαφορικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους για προσδιορισμό της κατάστασης σε κάθε χρονική στιγμή. For(time=t0; time<t1; time+=delta) Force=force_function(time, state); state=ode(force, time, state, delta); Render(state,time); Βασικό μας έργο: καθορισμός των δυνάμεων.

12 Ανεξάρτητα σωματίδια Οι δυνάμεις σε κάθε σωματίδιο ανεξάρτητες από τα άλλα σωματίδια. f i = f i (p i, v i ) Απλή περίπτωση: εφαρμογή σταθερής δύναμης, π.χ βαρύτηταςf i =g g=[0,-g,0] Παραβολική τροχιά.

13 Ανεξάρτητα σωματίδια Προσθήκη δύναμης ανάλογης της ταχύτητας: δυνάμεις τριβής Χρώμα που μεταβάλλεται με το χρόνο και τυχαία διάρκεια ζωής του σωματιδίου: πυροτεχνήματα. Γενική περίπτωση: εξωτερικές δυνάμεις ανεξάρτητες σε κάθε σωματίδιο Σύννεφα, τυχαία ροή Υπολογισμός δυνάμεων: Ο(n)

14 Δυνάμεις από σύστημα ελατηρίων Αλληλεπίδραση σωματιδίων ανά ζεύγη: υπολογισμός δυνάμεων Ο(n 2 ) Χρήση σωματιδίων για μοντελοποίηση επιφάνειας που μεταβάλλεται με το χρόνο: ύφασμα στον άνεμο Κάθε σωματίδιο κόμβος σε πλέγμα Εξωτερικές δυνάμεις (βαρύτητα, άνεμος) Δυνάμεις μεταξύ σωματιδίων που τα καθιστούν συνεκτική επιφάνεια

15 Δυνάμεις από σύστημα ελατηρίων Θεώρηση ότι τα σωματίδια συνδέονται με ελατήρια. Ελάττωση πολυπλοκότητας υπολογισμού δυνάμεων σε O(n) με επίδραση μόνο από γειτονικά σωματίδια

16 Δυνάμεις από σύστημα ελατηρίων Δύναμη f από q σε p και - f αντίστροφα, στην κατεύθυνση d= p -q Νόμος του Hooke: f d = ks( d s) d Τα σημεία έλκονται / απωθούνται με δύνάμη ανάλογη της απόστασης. Χωρίς απόσβεση (τριβές) το σύστημα θα ταλαντώνεται διαρκώς αν διαταραχθεί.

17 Δυνάμεις από σύστημα ελατηρίων Προσθήκη δύναμης απόσβεσης, προς την κατεύθυνση d = p -q που εξαρτάται από την σχετική ταχύτητα των σωματιδίων Συνιστώσα της ταχύτητας στην κατεύθυνση p -q d' d d f = ( ks( d s) kd ) d d d' = p' q' Χωρίς εξωτερικές δυνάμεις το σύστημα θα καταλήξει σε ηρεμία.

18 Ελκτικές-απωθητικές δυνάμεις Οι δυνάμεις σε σύστημα ελατηρίων κρατούν τα σωματίδια στην ίδια τοπολογική διάταξη. Οι ελκτικές ή απωθητικές δυνάμεις τα φέρνουν κοντά ή τα απομακρύνουν. Απωθητικές δυνάμεις για να κατανείμουμε σωματίδιασεεπιφάνειαήνατααποτρέψουμενα συγκρουστούν Ελκτικές δυνάμεις: μοντέλο ηλιακού συστήματος

19 Ελκτικές-απωθητικές δυνάμεις Δρουνστηνκατεύθυνσηd = p -q και είναι αντιστρόφως ανάλογες της απόστασης Απωθητική αντίστροφου τετράγωνου f = k r d d 3 Στη γενική περίπτωση ο υπολογισμός των δυνάμεων είναι O(n 2 ). Τα σωματίδια αλλάζουν γείτονες, τοπικός υπολογισμός σε γειτονίες δύσκολος.

20 Ελκτικές-απωθητικές δυνάμεις Χωρισμός του χώρου σε υποχώρους και υπόθεση ότι δυνάμεις από σωματίδια σε γειτονικούς υποχώρους αμελητέες. Κόστος για αρχική διαμοίραση των σωματιδίων και υπολογισμό μετάβασης σωματιδίων σε άλλο υποχώρο για κάθε χρονική στιγμή.

21 Ελκτικές-απωθητικές δυνάμεις Εναλλακτική τεχνική: υπολογισμός πεδίου δυνάμεων σε όλα τα σημεία του χώρου και επίδραση του πεδίου σε κάθε σωματίδιο. Ελκτική δύναμη σε σωματίδιο από 1 ήδύο σώματα. Υπολογισμός του πεδίου σε πλέγμα, χρήση τιμών στον κοντινότερο κόμβο για υπολογισμό δύναμης σε σωματίδιο, υπολογισμός νέας κατάστασης σωματιδίων, ανανέωση του πεδίου Ο(nlogn)

22 Επίλυση εξισώσεων συστήματος σωματιδίων Γιααπλάείδηδυνάμεωντοσύστημα προσδιορίζεται από 6n διαφορικές εξισώσεις u =g(u,t) Το g() περιλαμβάνει εξωτερικές & εσωτερικές δυνάμεις. u: θέσεις και ταχύτητες των σωματιδίων u=[u 0, u 1, u 10, u 11 ]=[a x, a y, a z, a x, a y, a z, b x, b y, b z, b x, b y, b z ] u =[a x, a y, a z, f x /m, f y /m, f z /m,.]

23 Επίλυση εξισώσεων συστήματος σωματιδίων Για σωματίδια που συνδέονται με ελατήριο χωρίς απόσβεση: u =g=[u 3, u 4, u 5,-kd x, -kd y, -kd z, u 9, u 10, u 11, kd x, kd y, kd z ] Επίλυση διαφορικής εξίσωσης με τη μέθοδο του Euler (προσέγγιση με 2 όρους Τaylor) t+ h t+ h t u' dτ = u( t+ h) u( t) = g( u, τ) dτ u( t+ h) u( t) + hg( u( t), t) u u u 2 ( t+ h) = ( t) + h '( t) + O( h ) t

24 Επίλυση εξισώσεων συστήματος σωματιδίων Υπολογισμός των δυνάμεων στο t, υπολογισμός του g, προσθήκη στην τρέχουσα κατάσταση. Αναδρομικά για t, t+h, t+2h,..

25 Επίλυση εξισώσεων συστήματος σωματιδίων Η ακρίβεια ανάλογη του τετραγώνου του βήματος στο χρόνο Ελάττωση του βήματος, αύξηση ακρίβειας, αλλά και της πολυπλοκότητας. Δύο πηγές λαθών που αλληλοαναιρούνται η προστίθενται και συσσωρεύονται Προσέγγιση κατά Taylor Αριθμητικά λάθη. Αριθμητική αστάθεια: τα λάθη πολύ μεγαλύτερα από την πραγματική λύση.

26 Επίλυση εξισώσεων συστήματος σωματιδίων Χρήση καλύτερων μεθόδων επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων t+ h u( t+ h) = u( t) + g( u, τ ) dτ t Προσέγγιση του ολοκληρώματος με μέσο όρο t+ h t h gu (, τ) dτ ( gu ( ( t), t) + gu ( ( t+ h), t+ h)) 2 Πρέπει να υπολογίσω το g(u(t+h),t+h) gu ( ( t+ h), t+ h) gu ( ( t) + hgu ( ( t), t), t+ h)

27 Επίλυση εξισώσεων συστήματος σωματιδίων Μέθοδος Runge-Kutta τάξης 2 Το λάθος O(h 3 ) η μέθοδος ευσταθής για μεγαλύτερα βήματα από την Euler. H g πρέπει να υπολογιστεί δύο φορές σε κάθε βήμα. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ακριβέστερες μεθόδους Μέθοδος Runge-Kutta τάξης 4: υπολογισμός της g 4 φορές, σε κάθε βήμα O(h 5 ) Προσαρμογή του βήματος h.

28 Περιορισμοί Για το χειρισμό συγκρούσεων π.χ. Σωματίδια που χτυπάνε τοίχο μπορώ να εισάγω τον τοίχο στο σύστημα Πολύπλοκη επίλυση Εναλλακτικά κρατώ τις εξισώσεις του συστήματος των σωματιδίων και εισάγω περιορισμούς-συνθήκες.

29 Περιορισμοί Αυστηροί περιορισμοί: οι αντίστοιχες συνθήκες πρέπει να ικανοποιηθούν ακριβώς Μια μπάλα δεν μπορεί να διαπεράσει τον τοίχο, πρέπει να ανακλαστεί. Στην ανάκλαση δεν μπορεί απλά να πλησιάσει τον τοίχο, πρέπει να έρθει σε επαφή μαζί του. Ελαστικοί περιορισμοί: αρκεί να ικανοποιηθούν προσεγγιστικά. Σωματίδιασεπλέγμαπρέπεινααπέχουνκάποια απόσταση κατά προσέγγιση.

30 Συγκρούσεις Αυστηρός περιορισμός Δύο στάδια: ανίχνευση σύγκρουσης και καθορισμός της νέας τροχιάς Σύστημα σωματιδίων που απωθούνται και σταθερά αντικείμενα-πολύγωνα. Αρκεί ο έλεγχος σύγκρουσης με τα αντικείμενα

31 Συγκρούσεις Ανίχνευση της σύγκρουσης με έλεγχο εάν η θέση του σωματιδίου σε κάθε χρονική στιγμή επαληθεύει την εξίσωση του επιπέδου Έλεγχος αν το σωματίδιο σε δύο χρονικές στιγμές είναι εκατέρωθεν του επιπέδου, εύρεση της χρονικής στιγμής της σύγκρουσης με γραμμική παρεμβολή του χρόνου.

32 Συγκρούσεις Ανελαστική σύγκρουση: το σωματίδιο δεν χάνει ενέργεια, το μέτρο της ταχύτητας σταθερό Η πορεία μετά τη σύγκρουση ίδια με αυτή φωτός ανακλώμενου σε επιφάνεια. Κατεύθυνση ανάκλασης: r = 2( p p ) nn ( p p ) 0 c 0 c

33 Συγκρούσεις Η εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας αμετάβλητη, η κάθετη αλλάζει φορά. Το σωματίδιο σε απόσταση από το σημείο σύγκρουσης όση και αν αυτή δεν συνέβαινε

34 Συγκρούσεις Ελαστική σύγκρουση: το σωματίδιο χάνει μέρος της ενέργειας. Η εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας αμετάβλητη, η κάθετη αλλάζει φορά και μειώνεται το μέτρο της. Η μεγαλύτερη πολυπλοκότητα στην ανίχνευση της σύγκρουσης Σε αντικείμενα με όγκο προσεγγιστική ανίχνευσημεβάσηταbounding boxes ήμε παράσταση τους ως σωματίδια

35 Δυνάμεις επαφής Αυστηρές συνθήκες Σώμα που δέχεται δύναμη που το υποχρεώνει να κινηθεί κατά μήκος επιπέδου. Το σώμα κινείται με την επίδραση μόνο της εφαπτομενικής συνιστώσας της δύναμης (με πιθανές τριβές)

36 Παράδειγμα: σωματίδια στο εσωτερικό σφαίρας Εφαρμογή αυστηρών συνθηκών Σωματίδια στο εσωτερικό σφαίρας που απωθούνται και προσκρούουν ελαστικά στα τοιχώματα Χρήση μικρών βημάτων χρόνου για επίλυση των διαφορικών εξισώσεων και προσδιορισμό της θέσης & ταχύτητας κάθε χρονική στιγμή. Κάθε στιγμή ελέγχω αν το σωματίδιο εντός της σφαίρας.

37 Παράδειγμα: σωματίδια στο εσωτερικό σφαίρας Αρχή συντεταγμένων: κέντρο της σφαίρας. p q σε χρόνους t, t+h Αν q εντός της σφαίρας q <r συνεχίζω Αν q εκτόςτηςσφαίραςθεωρώγραμμική πορεία και λύνω για το σημείο σύγκρουσης a

38 Παράδειγμα: σωματίδια στο εσωτερικό σφαίρας a=(1-a)p+aq, a =r Διώνυμική εξίσωση για τον προσδιορισμό του a Κάθετο διάνυσμα της σφαίρας στο a, προς το εσωτερικό της: n=- a/r Προσδιορισμός της κατεύθυνσης ανάκλασης

39 Παράδειγμα: σωματίδια στο εσωτερικό σφαίρας Στην στιγμή t+h το σωματίδιο θα βρίσκεται στη θέση a+ar Υπολογισμός και της ταχύτητας τη στιγμή t+h

40 Ελαστικοί περιορισμοί (soft constraints) Ένα σωματίδιο όχι μακριά από κάποια θέση Χρήση penalty (energy) function p-p 0 2 και ελαχιστοποίησή της. Μετατροπή των συναρτήσεων αυτών σε δυνάμεις.

41 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες Περιγραφή αντικείμένου όχι με ακριβή προσδιορισμό των πολυγώνων/γραμμών αλλά με βάση αλγόριθμο ή κανόνες για το πώς δημιουργούνται αυτά Δημιουργία αντικειμένων διαφορετικής λεπτομέρειας, κατά περίπτωση Εισαγωγή τυχαιότητας στον αλγόριθμο για δημιουργία παρεμφερών αλλά όχι πανομοιότυπων αντικειμένων

42 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες Γραμματικές: σύνολα συμβόλων και κανόνες αντικατάστασης συμβόλων (κανόνες παραγωγής) Α->ΒC, B->ABA Δημιουργία συμβολοσειρών με πιθανή εισαγωγή τυχαιότητας Περισσότεροι από ένας κανόνες αντικατάστασης ενός συμβόλου

43 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες Όχι μόνο δημιουργία συμβολοσειρών αλλά και έλεγχος αν μια συμβολοσειρά έχει παραχθεί από συγκεκριμένη γραμματική Με κατάλληλη ερμηνεία των συμβόλων η συμβολοσειρά μπορεί να συμβολίζει κάποιο αντικείμενο Turtle graphics: F forward one unit L left by a certain angle R right by a certain angle

44 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες FRFRFR για γωνία 120 μοίρες: ισόπλευρο τρίγωνο F->FLFRRFLF αναδρομική εφαρμογή για γωνία 60 μοίρες: καμπύλη/νιφάδα Koch

45 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες Αν κλιμακοποιούμε τα στοιχειώδη μήκη σε κάθε επανάληψη, η καμπύλη αυξάνει σε μήκος αλλά παραμένει περιορισμένη μεταξύ τωνδύοαρχικώνσημείων Στο όριο των επαναλήψεων καμπύλη άπειρου μήκους, δεν τέμνει τον εαυτό της, είναι περιορισμένη σε ένα παραλληλόγραμμο, συνεχής αλλά με ασυνεχή παράγωγο παντού

46 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες Καμπύλη Hilbert: κατασκευή από 4 απλά πρότυπα Αναδρομική κατασκευή καμπυλών τάξης Ν από καμπύλες τάξης Ν-1

47 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες Αν κλιμακοποιούμε τις καμπύλες όσο μεγαλώνει η τάξη η καμπύλη Hilbert αυξάνει σε μήκος, δεν τέμνεται, παραμένει σε ένα παραλληλόγραμμο και στο όριο περνάει από όλα τα σημεία του

48 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες Χρήση push pop για δημιουργία κλαδιών F->F[RF]F[LF]F Επανάληψη της εφαρμογής σε κάθε τμήμα δημιουργεί συνθετότερα κλαδιά

49 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες Εισαγωγή τυχαιότητας στο σε ποια τμήματα θα επανεφαρμοστεί ο κανόνας οδηγεί σε παρόμοια αλλά όχι πανομοιότυπα «κλαδιά»

50 Διεργασιακά μοντέλα βασισμένα στις γλώσσες Shape grammar: σχηματισμός αντικειμένου με ορισμό σχημάτων και συναφών μετασχηματισμών Sierpinski gasket από συνεχή (με πιθανή τυχαιότητα) εφαρμογή συναφών μετασχηματισμών σε ένα τρίγωνο

51 Fractals Για την μοντελοποίηση αρκετών αντικειμένων που παρουσιάζουν το φαινόμενο της αυτοομοιότητας (self-similarity) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε γεωμετρία fractals Δύο βασικές αρχές Αυτοομοιότητα Εξάρτηση της γεωμετρίας από την κλίμακα Το παράδειγμα του μήκους μιας ακτής

52 Fractals Η καμπύλη του Koch Σε κάθε επανάληψη φτιάχνω μια καμπύλη που κείται μεταξύ των ιδίων σημείων αλλά έχει μήκος τα 4/3 της αρχικής Στο όριο: άπειρο μήκος και παντού ασυνεχής Τι διάστασης είναι η καμπύλη? 1 ή 2?

53 Fractal dimension Μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα, τετράγωνο, κύβος Μπορώναδιαιρέσωτοκάθεένααπόαυτάσε k=n, n 2, n 3 τμήματα Ισοδύναμα κλιμακώνω κατά h=1/n σε κάθε διάσταση και επαναλαμβάνω k=n d φορές

54 Fractal dimension Τα νέα αντικείμενα είναι ίσα με το αρχικό k=n d d=ln(k)/ln(n) k=με πόσα αντικείμενα αντικαταστήσαμε το αρχικό n=κατά πόσο κλιμακώσαμε το αρχικό Για τα παραπάνω αντικείμενα d=1,2,3

55 Fractal dimension Για την καμπύλη Koch d=ln(4)/ln(3)=1,261 Κλιμακώσαμε το αρχικό τμήμα με συντελεστή n=3 και το αντικαταστήσαμε με k=4 όμοια Για το τρίγωνο του Sierpinski d=ln(3)/ln(2)=1,584

56 Fractal dimension Για το τετράεδρο του Sierpinski d=ln(4)/ln(2)=2 Ο όγκος μικραίνει, η επιφάνεια μεγαλώνει σε κάθε υποδιαίρεση

57 Μια καμπύλη fractal έχει fractal dimension 1<=d<2 Μια επιφάνεια fractal έχει fractal dimension 2<=d<3 Καμπύλες με μικρότερη fractal dimension είναι ομαλότερες Στα γραφικά ενδιαφερόμαστε να κατασκευάσουμε καμπύλες με μετρήσιμη τραχύτητα Περίγραμμα οροσειράς μεγαλύτερη dimension από περίγραμμα ερήμου

58 Κίνηση Brown Τυχαία κίνηση σωματιδίων σε υγρό Προσομοίωση με πολυγωνική γραμμή όπου κάθε κορυφή είναι μετατοπισμένη σε τυχαία θέση και διεύθυνση από την προηγούμενη Χρήσιμη για την δημιουργία καμπυλών που παρουσιάζουν τυχαιότητα στη μορφή

59 Εναλλακτική δημιουργία τυχαίας γραμμής με συνεχή υποδιαίρεση και τυχαία μετατόπιση του μέσου προς την κάθετη κατεύθυνση

60 Η μεταβλητότητα της γεννήτριας τυχαίων αριθμών που γεννά τις μετατοπίσεις μειώνεται (1/2) σε κάθε υποδιαίρεση Παραλλαγή με μετατόπιση σε τυχαία διεύθυνση Θετικές μετατοπίσεις: δημιουργία skylines

61 Αν χρησιμοποιήσω Gaussian γεννήτρια μηδενικής μέσης τιμής με variance ανάλογη του l 2(2-d) (l μήκος του τμήματος) το fractal dimension ίσο με d

62 Fractal mountains Υποδιαίρεση τετραέδρου με μετατόπιση των μέσων Καθορισμός της τραχύτητας με έλεγχο της variance τηςγεννήτριαςτυχαίωναριθμών Προσοχή στην τυχαιότητα για να μην «διπλώνει» το αντικείμενο στον εαυτό του