Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις

Transcript

1 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις ΔΗΜΗΤΡIOΣ ΔΕΛΗΚΑΡΑΟΓΛΟΥ Αθήνα 2010

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Σύντομη Ανασκόπηση της Κλασσικής και της Σύγχρονης Θεώρησης της Βαρύτητας Εισαγωγή Βασικές έννοιες και η φύση του γήινου πεδίου βαρύτητας Ο κεντρικός ρόλος της βαρύτητας στη Νευτώνεια Φυσική Οι θεμελιώδεις δυνάμεις του Σύμπαντος Τεχνητοί δορυφόροι και το γήινο πεδίο βαρύτητας Το σχήμα της Γης και επιφάνειες αναφοράς Η επίδραση του πεδίου βαρύτητας στις γεωδαιτικές μετρήσεις Το γνωστικό αντικείμενο της Φυσικής Γεωδαισίας Σύγχρονες εξελίξεις στις τεχνολογίες μέτρησης του γήινου πεδίου βαρύτητας Πεδία δυνάμεων και η κίνηση των φυσικών σωμάτων. Βασικές έννοιες της Κλασσικής Μηχανικής Βασικές έννοιες της Νευτώνειας Μηχανικής Η Νευτώνεια θεώρηση της κίνησης των φυσικών σωμάτων Πεδία Δυνάμεων Οι Νόμοι του Νεύτωνα και η Αρχές Διατήρησης της Ενέργειας Στοιχεία από τη θεωρεία του γήινου δυναμικού Ο Νόμος της Παγκόσμιας Έλξης του Νεύτωνα Το πεδίο δυνάμεων μιας σημειακής μάζας... 60

4 3.3 Το πεδίο δυνάμεων ενός φυσικού σώματος Το πεδίο δυνάμεων ενός περιστρεφόμενου φυσικού σώματος Η έννοια του δυναμικού Το ελκτικό δυναμικό μιας σημειακής μάζας Το δυναμικό έλξης ενός φυσικού σώματος Το δυναμικό ενός περιστρεφόμενου φυσικού σώματος Το δυναμικό της Γης ως λύση των εξισώσεων Poisson και Laplace Αρμονικές συναρτήσεις και οι ιδιότητες τους Γεωδαιτικά συνοριακά προβλήματα Λύση της εξίσωσης Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Συναρτήσεις και πολυώνυμα Legendre Ιδιότητες και γεωμετρική σημασία των σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων Ανάπτυγμα του γήινου ελκτικού δυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές Φυσική σημασία των συντελεστών του Stokes Μοντέλα σφαιρικών αρμονικών του γήινου δυναμικού Η ανατομία των σύγχρονων μοντέλων του γήινου δυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές Χαρακτηριστικά παραδείγματα σύγχρονων μοντέλων του γήινου δυναμικού Σφάλματα των μοντέλων σφαιρικών αρμονικών συντελεστών Η γεωμετρία και οι προσεγγίσεις του γήινου πεδίου βαρύτητας Η δύναμη και το δυναμικό της βαρύτητας Ισοδυναμικές επιφάνειες και δυναμικές γραμμές

5 4.2 Ορισμός και η σημασία του γεωειδούς Το κανονικό πεδίο βαρύτητας Το κανονικό χωροσταθμικό ελλειψοειδές Το δυναμικό του κανονικού χωροσταθμικού ελλειψοειδούς σε ελλειψοειδείς συντεταγμένες Το δυναμικό του κανονικού χωροσταθμικού ελλειψοειδούς σε σφαιρικές αρμονικές Η κανονική βαρύτητα και οι προσεγγίσεις της Το διεθνές χωροσταθμικό ελλειψοειδές αναφοράς της βαρύτητας Στοιχεία Βαρυτημετρίας Το αντικείμενο της Βαρυτημετρίας Μετρήσεις βαρύτητας βάσει της αρχής του εκκρεμούς Θεώρηση ενός μαθηματικού εκκρεμούς Θεώρηση ενός φυσικού εκκρεμούς Θεώρηση ενός αναστρέψιμου εκκρεμούς Μετρήσεις βαρύτητας βάσει της αρχής της παραμόρφωσης ελατηρίων Μετρήσεις βαρύτητας βάσει της αρχής της ελεύθερης πτώσης των σωμάτων Υπεραγωγικά βαρυτήμετρα Διορθώσεις και αναγωγές των μετρήσεων βαρύτητας Διορθώσεις για τις χρονικές παραλλαγές της βαρύτητας Αναγωγές για τις χωρικές παραλλαγές της βαρύτητας Αναγωγή της βαρύτητας εξ αιτίας του γεωγραφικού πλάτους Αναγωγή υψομέτρου ή ελεύθερου αέρα

6 Αναγωγή Bouguer Αναγωγή τοπογραφικού αναγλύφου Ισοστατικές Αναγωγές Το φαινόμενο της ισοστασίας H μαθηματική θεώρηση της ισοστασίας Τα γεωδαιτικά μοντέλα της ισοστασίας Ισοστατικές ανωμαλίες των μετρήσεων βαρύτητας Μέθοδοι προσδιορισμού του γεωειδούς Το διαταρακτικό δυναμικό και οι ιδιότητες του Βασικές σχέσεις δυναμικού-γεωμετρίας στο πραγματικό πεδίο βαρύτητας Σχέσεις του διαταρακτικού δυναμικού με άλλες παραμέτρους του πεδίου βαρύτητας Σχέση του διαταρακτικού δυναμικού και της απόκλισης του γεωειδούς - Η δεύτερη σχέση του Bruns Σχέση του διαταρακτικού δυναμικού και των συνιστωσών της απόκλισης της κατακορύφου Η σχέση διαταρακτικού δυναμικού και διαταραχής της βαρύτητας Η σχέση διαταρακτικού δυναμικού και ανωμαλίας της βαρύτητας Ανάπτυγμα του διαταρακτικού δυναμικού και των άλλων παραμέτρων του πεδίου βαρύτητας σε σφαιρικές αρμονικές Απαραίτητες εκτιμήσεις για τους τύπους των δεδομένων βαρύτητας και τις φασματικές ιδιότητες τους Ολοκληρωματικές μέθοδοι προσδιορισμού του γεωειδούς Η ολοκληρωματική σχέση του Stokes

7 6.4.2 Πρακτικές πτυχές υπολογισμού της συνάρτησης και του ολοκληρώματος του Stokes Η ολοκληρωματική σχέση του Vening Meinesz Συνδυασμός της ολοκληρωματικής σχέσης του Stokes και μοντέλων του γήινου δυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές Χρήση τροποποιημένων συναρτήσεων του Stokes Γενίκευση της ολοκληρωματικής σχέσης του Stokes για αυθαίρετο χωροσταθμικό ελλειψοειδές Βαρυτημετρικές αποκλίσεις της κατακορύφου με την ολοκληρωματική διαδικασία του Vening Meinesz Υψόμετρα του γεωειδούς και αποκλίσεις της κατακορύφου με φασματικές μεθόδους (FFT) Υπολογισμός του ολοκληρώματος του Stokes με μετασχηματισμό Fourier Υπολογισμός των ολοκληρωματικών σχέσεων του Vening Meinesz με μετασχηματισμό Fourier Τοπογραφική αναγωγή των ανωμαλιών βαρύτητας με FFT Η έμμεση επίδραση της τοπογραφικής διόρθωσης στα υψόμετρα του γεωειδούς Διόρθωση εξ αιτίας της ατμόσφαιρας Υψόμετρα και βαρύτητα Εισαγωγή Συστήματα υψομέτρων και ο ρόλος της βαρύτητας Μέτρηση υψομέτρων, γεωδυναμικοί αριθμοί και δυναμικά υψόμετρα Ορθομετρικά και κανονικά υψόμετρα Κανονικά υψόμετρα και υψόμετρα βασισμένα στην κανονική βαρύτητα

8 7.1.4 Γεωμετρικά υψόμετρα και GPS Κύρια προβλήματα συνδυασμού διαφορετικών τύπων υψομέτρων Χωροστάθμηση με GPS Υπολογισμός τοπικών υψομέτρων του γεωειδούς Πολυωνυμικές μέθοδοι Μέθοδος του πλησιέστερου γείτονα Μέθοδος των συναρτήσεων της αντίστροφής απόστασης Αξιολόγηση των βαρυτημετρικών λύσεων προσδιορισμού του γεωειδούς Στατιστική ανάλυση Παραμετρικά μοντέλα βέλτιστου συνδυασμού υψομέτρων h, H και N Ντετερμινιστικό μοντέλο συνόρθωσης Στοχαστικό μοντέλο συνόρθωσης

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η βαρύτητα, η πιο αινιγματική από τις θεμελιώδεις δυνάμεις της φύσης, διέπει τα πάντα, από την κίνηση των ωκεάνιων παλιρροιών μέχρι τη διαστολή του Σύμπαντος. Αν και αόρατη, η βαρύτητα είναι μια σύνθετη δύναμη της φύσης που έχει ανυπολόγιστο αντίκτυπο στην καθημερινή μας ζωή αφού στην πράξη πολλές εφαρμογές όπως η σωστή λειτουργία ενός μεγάλου αριθμού μηχανών, συσκευών και συστημάτων εξαρτάται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο από την επίδραση της. Για παράδειγμα η υψομετρική διαφορά (από την οποία εξαρτάται η ασκούμενη δύναμη της βαρύτητας) μπορεί να χρησιμεύσει σαν πίεση τόσο στις υδάτινες μάζες ενός υδραγωγείου, όσο και σε έναν ιατρικό ορό. Επίσης, με τη βοήθεια της δύναμης της βαρύτητας γίνεται εφικτή η δυνατότητα παραγωγής ηλεκτρικού ρεύματος από τα υδροηλεκτρικά εργοστάσια ή η λειτουργία ενός εκκρεμούς για τον υπολογισμό του χρόνου. Ακόμα και οι τεχνητοί δορυφόροι ταξιδεύουν αεικίνητοι στο διάστημα εξ αιτίας του νόμου της παγκόσμιας έλξης της βαρύτητας που διατυπώθηκε από τον Νεύτωνα πριν από τρεις αιώνες και στη συνέχεια ενσωματώθηκε στη Θεωρία της Σχετικότητας από τον Αϊνστάιν στις αρχές του εικοστού αιώνα. Ενώ πολλές από τις εφαρμογές της έρευνας και των εμπειριών από τις επιδράσεις της βαρύτητας στο διάστημα βρίσκονται σήμερα στην ιατρική και στην καθημερινή μας ζωή όπως, παραδείγματος χάριν, οι περιστρεφόμενοι βιοαντιδραστήρες που έχουν διερευνηθεί από τη NASA, οι οποίοι εξουδετερώνουν την βαρύτητα ώστε τα κύτταρα να αναπτυχθούν στο αίμα και χρησιμεύουν για την δημιουργία ιστών ή τα πολύτιμα επιστημονικά πειράματα στους διαστημικούς σταθμούς που δεν θα μπορούσαν να συμβούν στη Γη λόγω της βαρύτητας και της ατμόσφαιρας. Τα τελευταία χρόνια, εξ αιτίας μιας σειράς ραγδαίων εξελίξεων και προόδου όπως στις δυνατότητες των οργάνων μέτρηση, στις μεθόδους προσδιορισμού της έντασης και των χωρικών και διαχρονικών μεταβολών του πεδίου βαρύτητας, καθώς και η σημερινή λειτουργία μιας σειράς από σύγχρονους ειδικούς δορυφόρους των οποίων η αποστολή αποσκοπεί στον υψηλής ακρίβειας προσδιορισμό και περιγραφή του πεδίου βαρύτητας για γεωεπιστημονικούς σκοπούς, έχουν δώσει μια περαιτέρω ώθηση, ευρύτερες προοπτικές και νέα ενδιαφέροντα στο επιστημονικό αυτόν κλάδο και στους Μηχανικούς που τον ακολουθούν. Ως εκ τούτου σήμερα, η μελέτη του γήινου πεδίου βαρύτητας είναι ένα από τα βασικά αντικείμενα της επιστήμης της Γεωδαισίας, και ειδικότερα του κλάδου της Φυσικής Γεωδαισίας. Επιπλέον καλύπτει ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών των γεωεπιστημών, δεδομένου ότι οι προαναφερόμενες εξελίξεις συνδέονται άμεσα τόσο με την κλίμακα απόδοσης των χαρακτηριστικών γνωρισμάτων του πεδίου βαρύτητας στον τρισδιάστατο χώρο, γήινο και διαστημικό, όσο και με τη διεπιστημονική προσέγγιση και αξιοποίηση πλήθους πρακτικών εφαρμογών που βασίζονται στον βέλτιστο συνδυασμό μετρήσεων της βαρύτητας, υψομέτρων και μοντέλων της γήινης τοπογραφίας, δορυφορικών δεδομένων εντοπισμού, δορυφορικής αλτιμετρίας στις θαλάσσιες περιοχές, και μετρήσεων της i

10 κατακόρυφης βαθμίδας της βαρύτητας με μετρήσεις από τον αέρα και από το διάστημα. Βάση για τη συγγραφή του βιβλίου αποτέλεσαν οι διδακτικές σημειώσεις με τον τίτλο Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας που δημοσιεύτηκαν για πρώτη φορά το 2006 προκειμένου να εξυπηρετήσουν τις ανάγκες του μαθήματος με τον ίδιο τίτλο που διδάσκεται στον προπτυχιακό κύκλο των μαθημάτων της Σχολής Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών (ΣΑΤΜ), Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (Ε.Μ.Π.). Η ανάγκη παροχής ενός ελληνόφωνου συγχρόνου συγγράμματος για τους φοιτητές της ΣΑΤΜ επιτάχυνε τη δημοσίευση της πρώτης έκδοσης των εν λόγω σημειώσεων που μετεξελίχθηκαν με πολλές διορθώσεις και βελτιώσεις στην παρούσα έκδοση του συγκεκριμένου βιβλίου. Η διδακτική τακτική που επιδιώχθηκε και για το βιβλίο αυτό έχει δύο κύριους στόχους. Ο πρώτος αφορά στην κάλυψη μέρους των ακαδημαϊκών αναγκών προπτυχιακών και μεταπτυχιακών μαθημάτων με ανάλογο γνωστικό αντικείμενο, που διδάσκονται στο Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του Ε.Μ.Π. αλλά και σε συναφή Τμήματα άλλων Σχολών και Πανεπιστημίων της χώρας μας. Ο δεύτερος στόχος είναι να αποτελέσει ένα βασικό εισαγωγικό βοήθημα που θα ξεφεύγει από το στενό πλαίσιο σύγγραμμα-παραδόσεων και να αποτελέσει ένα σύγγραμμα «Βασικής Φυσικής Γεωδαισίας» για κάθε ενδιαφερόμενο σπουδαστή, επιστήμονα ή ερευνητή, που ασχολείται με θέματα του γήινου πεδίου βαρύτητας σε θεωρητικό και εφαρμοσμένο επίπεδο, παρέχοντας τους τις κατευθυντήριες γραμμές αναφορικά με τις σημαντικές προόδους που έχουν πραγματοποιηθεί τα τελευταία χρόνια σε επιστημονικές θεωρήσεις και τεχνολογίες που έχουν ως αντικείμενο τους τη μελέτη του γήινου πεδίου βαρύτητας και την παραγωγή νέας γνώσης θεωρητικής και πρακτικής σημασίας. Έτσι φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα βιβλίο αναφοράς για όλους εκείνους που θέλουν να ανατρέξουν σε ένα σχετικό σύγγραμμα, να κατανοήσουν τις συναφείς απαραίτητες γεωδαιτικές έννοιες όπως το γεωειδές, τα υψόμετρα, τις αποκλίσεις της κατακορύφου ή τις δυναμικές παραμέτρους των ελλειψοειδών αναφοράς, να μάθουν τη γλώσσα της Φυσικής Γεωδαισίας και να ενημερωθούν για τις σύγχρονες θεωρητικές προσεγγίσεις και τις μεθοδολογίες χρήσης των μετρήσεων βαρύτητας και των μοντέλων περιγραφής του γήινου πεδίου βαρύτητας και των τεχνικών εφαρμογών τους. Στην κατεύθυνση αυτή, αξιοποιώντας και τη σχετική διδακτική εμπειρία, καταβλήθηκε προσπάθεια ώστε η δομή του βιβλίου να λάβει υπόψη τη σύγκρουση που προκύπτει μεταξύ της ανάγκης η ύλη των θεματικών ενοτήτων να είναι εύλογα περιεκτική ως προς το γνωστικό περιεχόμενο της Φυσικής Γεωδαισίας, αλλά να είναι ταυτόχρονα με αρκετές θεωρητικές και πρακτικές λεπτομέρειες ώστε η συνολική παρουσίαση των αναγκαίων εννοιών και οι οποιεσδήποτε αναφορές σε συγκεκριμένες μεθοδολογίες και εφαρμογές της μελέτης του γήινου πεδίου βαρύτητας να είναι ουσιαστικές και να αναπαραγάγουν τη βασική γνώση που ισχύει σήμερα. Αυτός είναι επίσης ο λόγος που η ύλη του βιβλίου καλύπτει ένα μάλλον ii

11 ευρύ φάσμα θεωρητικών και πρακτικών θεμάτων, όπως ο ρόλος της βαρύτητας στον καθορισμό των συστημάτων αναφοράς των υψομέτρων, τα σύγχρονα μοντέλα του γήινου δυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές, τον προσδιορισμό του γεωειδούς από επίγεια και δορυφορικά δεδομένα, τις δυνατότητες χωροστάθμησης με υψόμετρα γεωειδούς και GPS κ.ά., πιστεύοντας ότι είναι σημαντικό για τους σπουδαστές να εξοικειωθούν με τις φυσικές έννοιες που χαρακτηρίζουν την περιγραφή και τον υπολογισμό του γήινου πεδίου βαρύτητας και να είναι σε θέση να κατανοήσουν πως η ανάλυση και η ερμηνεία των διαφόρων συνιστωσών του παίζουν σημαντικό ρόλο για τους σκοπούς της βαρυτημετρίας, της γεωδυναμικής, των γεωφυσικών διασκοπήσεων και της γεωφυσικής έρευνας, της γεωτεκτονικής και των εφαρμογών τους στα τεχνικά έργα. Η ξενάγηση στο χώρο της Φυσικής Γεωδαισίας, με το βιβλίο αυτό, ξεκινάει στο κεφ. 1 με μια σύντομη ανασκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας, προκειμένου να τονιστεί η διαχρονική σημασία της γνώσης του γήινου πεδίου βαρύτητας για τις φυσικές επιστήμες και ειδικότερα τις γεωεπιστήμες. Γίνεται σύντομη αναφορά στο ρόλο του γήινου πεδίου βαρύτητας στις γεωεπιστήμες και στην επίδραση του πεδίου βαρύτητας στις γεωδαιτικές μετρήσεις και τους τεχνητούς δορυφόρους. Η εισαγωγή στις θεμελιώδεις αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας οδηγεί σε μια σύντομη ιστορική αναδρομή στις μεθόδους προσδιορισμού του σχήματος της Γης και των μοντέλων για την προσέγγιση του (τη σφαιρική γη, το ελλειψοειδές, και το γεωειδές) και πως οι σύγχρονες τεχνολογικές εξελίξεις ανοίγουν νέους ορίζοντες για τη μελέτη του γήινου πεδίου βαρύτητας. Στη συνέχεια στο Κεφάλαιο 2 δίνονται οι βασικές έννοιες και μαθηματικές σχέσεις που αφορούν στα πεδία δυνάμεων, τις ιδιότητες τους και την περιγραφή τους αρχίζοντας από τον διανυσματικού χαρακτήρα των μεγεθών που χρησιμοποιούνται από τη Νευτώνεια θεώρηση της κίνησης των φυσικών σωμάτων τόσο για την περιγραφή των καμπυλόγραμμων κινήσεων και για τον προσδιορισμό της συνισταμένης δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων, όσο και για την διατύπωση του Νόμου της παγκόσμιας έλξης, το πεδίο έλξης μιας σημειακής μάζας ή ενός φυσικού σώματος, και από τη φυγόκεντρο δύναμη, το πεδίο δυνάμεων στην επιφάνεια ενός περιστρεφόμενου σώματος μέχρι την επιτάχυνση της γήινης βαρύτητας. Στο επόμενο κεφάλαιο 3 αναπτύσσονται, στην έκταση που απαιτούνται στο παρόν βιβλίο, οι θεμελιώδεις έννοιες από την θεωρία του γήινου δυναμικού, όπως έχουν διατυπωθεί διεξοδικά π.χ. στα κλασσικά συγγράμματα των Heiskanen and Moritz (1967) και Vaniček and Krakiwsky (1986), αρχίζοντας από το δυναμικό έλξης μιας σημειακής μάζας και ενός φυσικού σώματος και καταλήγοντας στο δυναμικό της βαρύτητας ενός περιστρεφόμενου σώματος όπως είναι η Γη. Γίνεται αναφορά στις μεταβολές του γήινου πεδίου βαρύτητας έξω από τη γήινη επιφάνεια και δίνονται οι έννοιες της συνοριακής επιφάνειας, των αρμονικών συναρτήσεων και των ιδιοτήτων τους, μαζί με μια ανασκόπηση των μεθόδων υπολογισμού του γήινου δυναμικού ως λύση των θεμελιωδών εξισώσεων της Φυσικής Γεωδαισίας (εξισώσεις του Poisson iii

12 και του Laplace) και ισχυρών εργαλείων όπως είναι τα πολυώνυμα και συναρτήσεις Legendre και η ανάπτυξη του γήινου πεδίου βαρύτητας σε αριθμοσειρές σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στα θεμελιώδη γεωδαιτικά συνοριακά προβλήματα της Φυσικής Γεωδαισίας και στη μέθοδο Fourier για την επίλυση τους και περιγράφονται τα πλέον σύγχρονα (state-of-the-art) μοντέλα σφαιρικών αρμονικών συντελεστών και η συνεισφορά τους στον υπολογισμό των παραμέτρων του γήινου πεδίου βαρύτητας. Στο κεφάλαιο 4, εξετάζεται η γεωμετρία και οι προσεγγίσεις (μοντέλα) του γήινου πεδίου βαρύτητας που χαρακτηρίζεται από τις δυναμικές γραμμές και της ισοδυναμικές επιφάνειες του πεδίου, το γεωειδές και τις φυσικές συντεταγμένες που περιλαμβάνουν τα υψόμετρα πάνω από αυτό. Δίνονται ο ορισμός του κανονικού πεδίου βαρύτητας, του κανονικού δυναμικού και της κανονικής βαρύτητας που σχετίζονται με τη χρήση ενός χωροσταθμικού ελλειψοειδούς εκ περιστροφής ως κανονική επιφάνεια αναφοράς της βαρύτητας, γεγονός που έχει οδηγήσει στα γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς GRS30 και GRS67 στο παρελθόν και στα GRS80 και WGS84 σήμερα. Στη συνέχεια, στο κεφάλαιο 5, γίνεται μια σύντομη ανασκόπηση βασικών στοιχείων της βαρυτημετρίας, το μέρος εκείνο της Φυσικής Γεωδαισίας που αφορά στις μετρητικές διαδικασίες και διατάξεις που επιτρέπουν τη διεξαγωγή απόλυτων και σχετικών μετρήσεων βαρύτητας και των αναγκαίων διορθώσεων και αναγωγών τους, ιδιαίτερα εκείνων που σχετίζονται με τις επιδράσεις της παρακείμενης τοπογραφίας και τον ρόλο της κλασσικής θεωρίας της ισοστασίας. Στο έκτο μέρος του βιβλίου δίνονται οι ορισμοί των ανωμαλιών και διαταραχών της βαρύτητας και εξετάζεται η συσχέτιση τους με τα υψόμετρα, οι σχέσεις τους με τις αποχές του γεωειδούς και των αποκλίσεων της κατακορύφου, καθώς και οι σχέσεις μεταξύ των εν λόγω παραμέτρων του πεδίου βαρύτητας και του διαταρακτικού δυναμικού που εκφράζει τη διαφορά του πραγματικού πεδίου βαρύτητας από το κανονικό πεδίο βαρύτητας που δημιουργείται από ένα επιλεγμένο χωροσταθμικό ελλειψοειδές αναφοράς. Εξετάζονται διεξοδικά οι κυρίες μεθόδοι προσδιορισμού του γεωειδούς, εστιάζοντας κυρίως στις εξισώσεις του Stokes και Vening Meinesz. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στον πρακτικό συνδυασμό της ολοκληρωματικής μεθόδου του Stokes και των μοντέλων του γήινου δυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές, καθώς και στην τεχνική του ταχέως μετασχηματισμού Fourier (FFT) σε σφαιρική προσέγγιση σε 2- και 3-διαστάσεις. Στο τελευταίο μέρος του βιβλίου, το κεφάλαιο 7 ασχολείται με τα προβλήματα που σχετίζονται με τα διάφορα συστήματα αναφοράς των υψομέτρων και πως αυτά σχετίζονται με τη βαρύτητα. Δίνεται ο ορισμός των γεωδυναμικών αριθμών και γίνεται η διάκριση μεταξύ ορθομετρικών, δυναμικών και κανονικών υψομέτρων και την αντίστοιχη σχέση τους με το γεωειδές, το σχεδόν-γεωειδές και το τελλουροειδές, καθώς επίσης και οι ορισμοί για τα υψόμετρα που βασίζονται στην iv

13 κανονική βαρύτητα. Εξετάζονται τα κύρια προβλήματα συνδυασμού διαφορετικών τύπων υψομέτρων και συζητούνται οι σημαντικές πτυχές προσδιορισμού ορθομετρικών υψομέτρων από GPS. Παρουσιάζονται συνοπτικά οι κύριες υβριδικές μέθοδοι προσδιορισμού ενός τοπικού γεωειδούς από παγκόσμια μοντέλα σφαιρικών αρμονικών, ορθομετρικά υψόμετρα και ψηφιακά μοντέλα εδάφους και μετρήσεις GPS, καθώς και οι παράγοντες που επιδρούν στην ακρίβεια τέτοιων μοντέλων. Τέλος, παρουσιάζονται διάφορα μοντέλα βέλτιστης συνόρθωσης ορθομετρικών υψομέτρων, υψομέτρων του γεωειδούς και γεωμετρικών υψομέτρων. Οι βιβλιογραφικές αναφορές που παρατίθενται στο τέλος του βιβλίου δεν αποτελούν ότι πιο πλήρες έχει να επιδείξει η ελληνική και η ξένη βιβλιογραφία στο συγκεκριμένο γνωστικό αντικείμενο, αλλά επιδιώκεται να δώσουν στον αναγνώστη ένα σημείο εκκίνησης για τις δικές του περαιτέρω διερευνήσεις. Μερικές σημαντικές βιβλιογραφικές αναφορές μπορεί έτσι να έχουν διαφύγει αυτής της προσδοκίας, αλλά αυτό δεν έχει γίνει σκόπιμα και οποιεσδήποτε υποδείξεις και εισηγήσεις θα ήθελε κάποιος να προτείνει για την περαιτέρω βελτίωση του βιβλίου θα ενσωματωθούν σε επακόλουθες εκδόσεις. Σημαντική ήταν η ενθάρρυνση για τη συγγραφή αυτού του βιβλίου από τους πρώτους φοιτητές της ΣΑΤΜ που κλήθηκα να διδάξω το μάθημα «Εισαγωγής στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας», αλλά και των σπουδαστών που ακολούθησαν, οι οποίοι στο μεταξύ μου έδωσαν σημαντική βοήθεια στη διόρθωση των πρώτων κειμένων και τους οποίους θερμά ευχαριστώ για την ανεκτίμητη συνεισφορά τους και τις εποικοδομητικές συζητήσεις με τις οποίες συνέβαλαν στην πραγμάτωση αυτού του στόχου. Σημαντική επίσης ήταν η βοήθεια που είχα από τους υποψήφιους διδάκτορες της ΣΑΤΜ, Γιάννη Μιντουράκη και Φωτεινή Καλλιάνου, για τους οποίους έχω τη χαρά να είμαι ακαδημαϊκός και ερευνητικός σύμβουλος. Ανεκτίμητη ήταν επίσης η συμβολή του εξαίρετου συναδέλφου στο Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Δρ. Μηχ. Γεράσιμου Μανουσάκη που αφιέρωσε σημαντικό μέρος από τον χρόνο του, ανάμεσα στις άλλες υποχρεώσεις του, για τη υποστήριξη της διδασκαλίας του μαθήματος Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας και τις ερευνητικές του δραστηριότητες, προκειμένου να βοηθήσει στον προσεκτικό ορθογραφικό, γραμματικό και εννοιολογικό έλεγχο και διόρθωση των επιμέρους κειμένων, εικόνων και σχημάτων του βιβλίου. Για την συνεισφορά τους αυτή τους ευχαριστώ όλους θερμά. Δημήτρης Δεληκαράογλου Επίκ. Καθηγητής, Σχολή Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο v Φεβρουάριος 2010

14

15

16

17 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 1 Σύντομη Ανασκόπηση της Κλασσικής και της Σύγχρονης Θεώρησης της Βαρύτητας Εισαγωγή Ο σκοπός σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο είναι να παρουσιαστούν οι βασικές αρχές της κλασσικής και σύγχρονης θεώρησης και της σημασίας του γήινου πεδίου βαρύτητας για τις φυσικές επιστήμες και ειδικότερα τις γεωεπιστήμες. Ορισμένες βασικές έννοιες παρουσιάζονται με ικανοποιητικές λεπτομέρειες ώστε να επιτραπεί μια πληρέστερη κατανόηση των επόμενων κεφαλαίων, όπου αναπτύσσονται διεξοδικά το θεωρητικό και τεχνικό υπόβαθρο και ειδικά θέματα του δυναμικού μέρους της Γεωδαισίας που αφορούν στη μελέτη του γήινου πεδίου βαρύτητας. Μέσα από χαρακτηριστικά παραδείγματα επιχειρείται να σκιαγραφεί η σχέση και ο ρόλος του γήινου πεδίου βαρύτητας με άλλες γνωστικές περιοχές της Φυσικής επιστήμης και των γεωεπιστημών, όπως την ωκεανογραφία, τη γεωφυσική, τη γεωλογία, κ.ά. και να αναφερθούν μερικοί από τους τρόπους με τους οποίους το πεδίο βαρύτητας είναι ζωτικής σημασίας σε βασικές εφαρμογές του ενδιαφέροντος πολλών κλάδων Μηχανικών, όπως οι γεωφυσικές διασκοπήσεις, γεωτεχνικές εφαρμογές, κ.ά. Συγκεκριμένα εξετάζονται συνοπτικά η επίδραση του πεδίου βαρύτητας στις γεωδαιτικές μετρήσεις και γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή στις μεθόδους προσδιορισμού του σχήματος της Γης και των μοντέλων για την προσέγγιση του (π.χ. τη σφαιρική γη, το ελλειψοειδές και το γεωειδές), προκειμένου να γίνει η απαραίτητη σύνδεση του ρόλου του γήινου πεδίου βαρύτητας και της σχέσης της φυσικής Γης (δηλαδή της γήινης επιφάνειας) με τη μαθηματική Γη (το ελλειψοειδές αναφοράς). Παρουσιάζεται η οικεία σχέση μεταξύ των τεχνητών δορυφόρων και το γήινου πεδίου βαρύτητας, η οποία χαρακτηρίζεται αφ ενός μεν από την αναγκαιότητα της γνώσης του γήινου πεδίου βαρύτητας για το σχεδιασμό και τη επιτυχή λειτουργία ενός δορυφόρου σε τροχιά, αφ ετέρου δε από τη σημαντική συνεισφορά των

18 2 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας τεχνητών δορυφόρων στις σύγχρονες τεχνολογικές εξελίξεις για τη μελέτη του γήινου πεδίου βαρύτητας. Τέλος γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στις θεμελιώδεις αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας, δηλαδή το μέρος εκείνο από το ευρύ γνωστικό αντικείμενο της Φυσικής της Γης, που αφορά στις βασικές αρχές και μεθόδους μέτρησης του γήινου πεδίου βαρύτητας και ειδικότερα του γεωειδούς που χρησιμεύει ως μια επιφάνεια αναφοράς για τον προσδιορισμό των υψομέτρων. 1.1 Βασικές έννοιες και η φύση του γήινου πεδίου βαρύτητας Ποια είναι η αιτία που κάθε αντικείμενο σε ελεύθερη πτώση πέφτει προς το κέντρο της Γης; Τι είναι αυτό που κρατά τους γαλαξίες συνεκτικά συνδεδεμένους μεταξύ τους ή τέτοια μεγάλης κλίμακας φαινόμενα όπως τη δομή των μαύρων οπών και της επέκτασης του κόσμου, καθώς επίσης και περισσότερων στοιχειωδών αστρονομικών φαινομένων όπως οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο; Γιατί το βάρος ενός ατόμου θα άλλαζε σε ένα διαπλανητικό ταξίδι ή ακόμα και σε ένα ταξίδι από τον ισημερινό προς τους πόλους της Γης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις αφορούν μια πτυχή της φυσικής επιστήμης: τη βαρύτητα. Σχήμα 1.1 Καλλιτεχνική απόδοση της θεώρησης του Αριστοτέλη (και του Πτολεμαίου) περί του γεωκεντρικού μοντέλου του Σύμπαντος.

19 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 3 Στη Φυσική, η βαρύτητα καθορίζεται ως η ιδιότητα των σωμάτων να έλκουν άλλα υλικά σώματα. Στην περίπτωση της Γης, η βαρύτητα είναι η δύναμη που εξασκείται σε όλα τα σώματα στο περιβάλλον της. Κάθε υλικό σώμα, πάνω και γύρω από τη Γη, βρίσκεται στο χώρο που πεδίου βαρύτητάς της. Η βαρύτητα έχει επιπτώσεις σχεδόν σε όλες τις ανθρώπινες δραστηριότητες. Από τα υδροηλεκτρικά φράγματα και τους δορυφόρους, και τη λειτουργία ενός εκκρεμούς μέχρι τις παλίρροιες των ωκεανών, η βαρύτητα διαδραματίζει έναν σημαντικό ρόλο, ενώ μας κρατά από την πτώση από την επιφάνεια μιας σφαίρας (τη Γη) που περιστρέφει στο διάστημα κατά περίπου 1700 km/ώρα στον ισημερινό. Παρ όλες τις παραπάνω επιδράσεις της βαρύτητας, στην καθημερινότητα μας έχουμε εξοικειωθεί με την αντιμετώπιση των δυνάμεων που αυτή ασκεί σε κάθε αντικείμενο. Στεκόμαστε εύκολα όρθιοι, περπατάμε, ανυψώνουμε αντικείμενα και στέλνουμε ακόμη και αεροσκάφη και δορυφόρους στον ουρανό και το διάστημα. Δηλαδή φαινομενικά είναι σαν να αγνοούμε τις επιπτώσεις των δυνάμεων της βαρύτητας, οι οποίες περιβάλουν τη Γη και είναι αισθητές στη γήινη επιφάνεια και πάνω από αυτή. Γιατί λοιπόν είναι απαραίτητη η μελέτη του γήινου πεδίου βαρύτητας; Είναι προφανές ότι τόσο αξιοπρόσεκτο φαινόμενο όπως η βαρύτητα προκάλεσε ανάλογες ερευνητικές ανησυχίες από τους αρχαιοτάτους χρόνους (Darling, 2006), όπου σύμφωνα με την επικρατούσα αντίληψη ο φυσικός κόσμος αποτελούσε ένα πεπερασμένο σύνολο με άρτια εσωτερική διάταξη στην οποία μπορούσε κανείς να διακρίνει μια αμετάβλητη αξιοκρατική ιεραρχία. Έτσι ο Αριστοτέλης ( π.χ.) στην πραγματεία του Περί Ουρανού, διατείνεται ότι το Σύμπαν, «πάνω» από τη Γη, διαιρείται σε δύο περιοχές: στον υποσελήνιο χώρο, την περιοχή που φθάνει μέχρι τη τροχιά που διαγράφει η Σελήνη γύρω από τη Γη, όπου βασιλεύουν η φθορά και η μεταβολή και, τον υπερσελήνιο χώρο, την περιοχή που φθάνει μέχρι τις ουράνιες σφαίρες των απλανών αστέρων. Στον πρώτο λαμβάνει χώρα η κίνηση των τεσσάρων απλών φυσικών στοιχείων: γης, νερού, αέρα και φωτιάς, Σχ Στον δεύτερο δεν υπάρχουν τα τέσσερα βασικά στοιχεία αλλά η ύλη που αποτελείται από την πέμπτη ουσία, τον αιθέρα. Κατά συνέπεια, το Σύμπαν στο σύνολό του αποτελεί ένα σφαιρικό χώρο του οποίου το κέντρο κατέχει η επίσης σφαιρική Γη και από τον αιθέρα του «υπερσελήνιου» τόπου σύγκεινται και οι διαφανείς ομόκεντροι ουράνιες σφαίρες επί των οποίων είναι προσηλωμένοι οι απλανείς αστέρες και οι πλανήτες. Αναζητώντας περαιτέρω το αίτιο της κίνησης των σωμάτων, ο Αριστοτέλης εισήγαγε την έννοια της δύναμης πρεσβεύοντας ότι δεν υπήρχε δράση χωρίς εξωτερική αιτία και συνεπώς δεν υπήρχε κίνηση χωρίς την ύπαρξη κάποιας δύναμης. Ειδικότερα, διατύπωσε τη θεώρηση ότι η φυσική κίνηση ενός σώματος εξαρτάται από την αναλογία των τεσσάρων πρωταρχικών φυσικών στοιχείων που περιέχει και από τη θέση όπου αυτό βρίσκεται σε σχέση με τις φυσικές θέσεις των τεσσάρων φυσικών στοιχείων, στις αντίστοιχες ουράνιες σφαίρες. Με τον τρόπο αυτό συμπέρανε ότι τα βαριά σώματα, επειδή αποτελούνται κυρίως από τα στοιχεία γη και νερό, η Γη αναζητώντας τη φυσική τους θέση έπεφταν προς το κέντρο του σύμπαντος που είναι ανάλογα με το βάρος τους. Αντίστοιχα, τα πιο ελαφρά αντικείμενα που αποτελούνται

20 4 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας κυρίως από τα στοιχεία αέρα και φωτιά απομακρύνονται από τη Γη και ανυψώνονται προς τον ουρανό, προς τη Σελήνη και τον Ήλιο. Κάθε κίνηση που παραβίαζε τη φυσική κίνηση θεωρείτο βίαιη και είχε ως αίτιο κάποια εξ επαφής δύναμη ασκούμενη από κάποιο εξωτερικό αντικείμενο ή μέσον. Με όρους σημερινής ορολογίας, στο εν λόγω πλαίσιο της αριστοτελικής Φυσικής θα λέγαμε ότι η θεώρηση αυτή αρνιόταν τις δυνάμεις εξ αποστάσεως, όπως για παράδειγμα γνωρίζουμε σήμερα ότι είναι οι δυνάμεις της βαρύτητας στις οποίες βασίζονται και οι τροχιακές κινήσεις των πλανητών. Έτσι, ο Αριστοτέλης, στην προσπάθεια του να εξηγήσει την επαναλαμβανόμενη κίνηση των ουράνιων σωμάτων, αναγκάζεται να θεωρήσει ότι αυτά αποτελούνται από την πέμπτη ουσία και δεν υπόκεινται σε άλλη μεταβολή εκτός της κατά τόπου κίνησης (κάποιο είδος φυσικής αυτό-κίνησης) εξ αιτίας μιας μόνιμης ενεργητικής κατάστασης χωρίς την επίδραση κάποιας εξωτερικής εξάρτησης. Από την εποχή του Αριστοτέλη έως τον 17ο αιώνα ήταν αποδεκτό ότι η κίνηση ενός σώματος διατηρείται εάν και µόνο εάν προωθείται διαρκώς από μια δύναμη. Ο Γαλιλαίος (Galileo Galilei, ) ήταν ο πρώτος που, το 1632, στο σύγγραμμά του Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (Διάλογος για τα δύο κυριότερα συστήματα του κόσμου), διατύπωσε την άποψη ότι καμιά εξωτερική δύναμη δεν απαιτείται για τη διατήρηση της ταχύτητας ενός σώματος παρά µόνο για τη μεταβολή της. Θεμελιωτής της Μηχανικής και της Πειραματικής Φυσικής, ο Γαλιλαίος επανάφερε τον μαθηματικό ορθολογισμό στην επιστημονική σκέψη της εποχής του και εξαιτίας των πρωτοποριακών εργασιών του σχετικά με τη βαρύτητα και την κινηματική των σωμάτων διατύπωσε ανεπίσημα τις αρχές, που αργότερα περιλήφθηκαν στους δύο πρώτους νόμους της Μηχανικής του Νεύτωνα. Με τις θεωρήσεις του έδωσε σαφείς ωθήσεις στη Φυσική πριν από το Νεύτωνα (Isaac Newton), διαμορφώνοντας αρχές όπως η ελεύθερη πτώση των σωμάτων και η έλξη τους προς το κέντρο της Γης, χωρίς τις οποίες δεν θα ήταν δυνατή η κλασσική Φυσική. Ωστόσο, το 1687, στο μνημειώδες έργο του Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας) Σχ. 1.2, ο Νεύτωνας ήταν εκείνος που διατύπωσε τη θεωρία ότι η ίδια αυτή δύναμη, η βαρύτητα, που αναγκάζει κάθε αντικείμενο σε ελεύθερη πτώση να πέφτει προς το κέντρο της Γης είναι επίσης η δύναμη που διατηρεί τη Γη όπως και τους άλλους πλανήτες στην τροχιά τους γύρω από τον Ήλιο. Επίσης υπολόγισε ότι η Σελήνη θα ταξίδευε σε μια ευθεία γραμμή, αν δεν υπήρχε η έλξη από τη Γη που την αναγκάζει σε μια κυρτή (ελλειπτική) πορεία. Σήμερα, είναι γνωστό ότι η βαρύτητα είναι μια καθολική δύναμη και, υπό αυτήν τη μορφή, δεν περιορίζεται μόνο στη Γη, αλλά επηρεάζει κάθε σώμα στο Σύμπαν. Σύμφωνα με τον αντίστοιχο Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης (Law of Universal Gravitation) του Νεύτωνα, που θα αναλυθεί διεξοδικότερα στην κεφ. 3, οποιαδήποτε δύο αντικείμενα στον κόσμο έλκουν το ένα το άλλο και όσο περισσότερη είναι η μάζα τους όσο ισχυρότερη είναι η μεταξύ τους έλξη και, όσο πιο

21 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 5 Σχήμα 1.2 Το έργο του Νεύτωνα Οι Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας και η θεμελίωση της Θεωρίας της Βαρύτητας Σχήμα 1.3 Οι κινήσεις των πλανητών στο ηλιακό σύστημα διέπονται από τον Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης του Νεύτωνα

22 6 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας Πλανήτης Μάζα (σε σχέση με τη μάζα της Γης) Μέση Απόσταση από τη Γη (σε AU 1 ) Πλησιέστερη απόσταση από τη Γη (σε AU) Σχετική Δύναμη Βαρύτητας Σελήνη Ερμής Αφροδίτη Άρης Δίας Κρόνος Ουρανός Ποσειδώνας Πλούτωνας Πίνακας 1.1 Δυνάμεις της βαρύτητας για τους πλανήτες σε σχέση με την βαρυτική δύναμη που ασκεί η Σελήνη στη Γη κοντά είναι μεταξύ τους, τόσο εντονότερα έλκουν το ένα το άλλο. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη της βαρύτητας, τόσο περισσότερο θα ζυγίζει ένα αντικείμενο όταν είναι κοντά στην πηγή της εν λόγω δύναμης, ενώ ένα αντικείμενο με μεγαλύτερη πυκνότητα (με άλλα λόγια, το πόσο πυκνά είναι κατανεμημένη η μάζα του) θα ζυγίζει περισσότερο από ένα άλλο αντικείμενο ίδιου μεγέθους αλλά με μικρότερη πυκνότητα. Ένα τυπικό παράδειγμα είναι το ηλιακό μας σύστημα (Σχ. 1.3). Οι πλανήτες έχουν διαφορετικές μάζες, και έλκονται με διαφορετικές δυνάμεις ο ένας με τον άλλο, όπως φαίνεται και στον Πίνακα 1.1. Ο πλανήτης Δίας, για παράδειγμα, έχει μια μάζα που είναι 318 φορές μεγαλύτερη από τη μάζα της Γης και η Γη με τη σειρά της έχει μια μάζα 81 φορές μεγαλύτερη από αυτή της Σελήνης. Ωστόσο, η δύναμη που ασκεί ο Δίας στην Γη είναι λιγότερο από το 1% της αντίστοιχης έλξης της Σελήνης στην Γη, ενώ και η συνολική έλξη όλων των πλανητών είναι μόνο 1.6% της αντίστοιχης έλξης της Σελήνης. Οι αριθμοί που παρουσιάζονται υποθέτουν ότι κάθε πλανήτης είναι στην πιο κοντινή προσέγγισή του στη Γη. Ακόμα και κατά τη διάρκεια της "ευθυγράμμισης των πλανητών" που συνέβη το 2000, οι πλανήτες ήταν στην αντίθετη πλευρά του Ήλιου από τη Γη προσθέτοντας δύο επιπλέον AU στην απόσταση στη στήλη 4, μειώνοντας ακόμα περισσότερο το μέγεθος της συνολικής έλξης τους στη Γη, γεγονός που υποδηλώνει πόσο αδύναμες είναι οι ελκτικές δυνάμεις της βαρύτητας σε κοσμογονικό επίπεδο, αλλά και πως 1 Ως Αστρονομική Μονάδα (1 AU ή au ή α.μ.) λογίζεται η μέση απόσταση της Γης από τον Ήλιο. Η τιμή της ορίζεται ως ± km miles.

23 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 7 αυτές δεν μηδενίζονται ακόμα και για τις κοσμολογικές αποστάσεις μεταξύ των ουράνιων σωμάτων. Το γήινο πεδίο βαρύτητας είναι ένα πεδίο δυνάμεων, σε κάθε σημείο του οποίου η ένταση της βαρύτητας ποικίλει λόγω της κατανομής των μαζών στο εσωτερικό της Γης και των διαφορετικών υλικών, με διαφορετικές πυκνότητες, που τις συνιστούν. Συγκεκριμένα, η Γη αποτελείται από τρία κύρια στρώματα τον φλοιό, τον μανδύα και τον πυρήνα (Σχ. 1.4). Κάθε στρώμα έχει διαφορετικά χαρακτηριστικά που, το καθένα με τον τρόπο του, επιδρούν στη διαμόρφωση του γήινου πεδίου βαρύτητας (Παπαζάχος, 1995, Pidwirny, 2008). Σχήμα Η δομή του εσωτερικού της Γης (απλοποιημένο σχηματικό μοντέλο)

24 8 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας Ο Φλοιός Αποτελεί το εξωτερικό στρώμα της Γης, από την επιφάνεια της μέχρι τη λεγόμενη ασυνέχεια Mohorovisch ή απλά Moho, ένα στρώμα σε βάθος περίπου 30 km, που διαχωρίζει τον φλοιό από τον υποκείμενο μανδύα και έχει φυσικές ιδιότητες πολύ διαφορετικές από εκείνες του εξωτερικού περιβλήματος της Γης. Ο φλοιός ποικίλει σε πάχος από 40 έως 70 km κάτω από τις ηπείρους και σε λεπτότερο πάχος μόνο 5-7 km κάτω από τους ωκεανούς και συνίσταται από διαφορετικά υλικά ποικίλων πυκνοτήτων, κυρίως πυρίτιο και οξυγόνο, και άλλα κοινά στοιχεία όπως αλουμίνιο, σίδηρο, ασβέστιο, νάτριο και μαγνήσιο. Το εξωτερικό, σκληρό και άκαμπτο σφαιρικό κέλυφος της γης, πάχους περίπου 80 km, αποτελούμενο από τον φλοιό και τον ανώτερο μανδύα συνιστά τη λιθόσφαιρα. Στο εσωτερικό της λιθόσφαιρας οι παραμορφώσεις είναι πολύ μικρές. Επιπλέον δεν είναι ένα στερεό κομμάτι, αλλά αποτελείται από μια σειρά τμημάτων σε διαφορετικές μορφές και μεγέθη, τις γνωστές τεκτονικές πλάκες που κινούνται συνεχώς με πολύ αργούς ρυθμούς σαν να πλέουν πάνω στην βαρύτερη διάπυρη ασθενόσφαιρα, με τρόπο που είτε να συγκρούονται μεταξύ τους είτε να απομακρύνονται η μία από την άλλη, είτε να βυθίζεται μία κάτω από την άλλη είτε να πλαγιολισθαίνουν και να διαμορφώνουν την εικόνα του στερεού φλοιού που βλέπουμε σήμερα. Ωστόσο καθώς κινούνται, η μάζα κάθε πλάκας ανακατανέμεται διαρκώς, μεταβάλλοντας έτσι το πεδίο βαρύτητας της Γης. Επίσης η σύσταση των πετρωμάτων αποτελεί μια από τις κύριες αιτίες που προκαλούν την τιμή της βαρύτητας να ποικίλει από τοποθεσία σε τοποθεσία. Όπως θα αναφερθεί λεπτομερέστερα στο κεφ. 5, ένα βαρυτήμετρο που μετρά τη βαρυτική έλξη που εξασκεί η Γη σε μια μάζα μέσα σε αυτό παρουσιάζει μείωση ή αύξηση της ένδειξής του αναλόγως εάν τα πετρώματα κοντά στην επιφάνεια του φλοιού έχουν μικρή ή μεγάλη πυκνότητα. Επίσης μεγάλες τεκτονικές ενότητες όπως ζώνες καταβύθισης, οροσειρές κλπ. εμφανίζουν διαφοροποιήσεις στην ένταση της βαρύτητας, π.χ. αρνητικές βαρυτικές ανωμαλίες εξ αιτίας του γεγονότος ότι σε αυτές συγκεντρώνεται μεγάλο πάχος ιζημάτων, ελαφρότερων από γειτονικά πυριγενή πετρώματα. Ο Μανδύας Είναι το μεγαλύτερο ενιαίο μέρος του πλανήτη που επεκτείνεται περίπου ως τη μισή απόσταση προς το κέντρο της Γης - περίπου 2900 km και μπορεί να διαιρεθεί σε τρεις χωριστές περιοχές: το χαμηλότερο μανδύα (Lower Mantle), τη ζώνη μετάβασης ή Μεσόσφαιρα (Mesosphere) και τον ανώτερο μανδύα (Upper Mantle) ή Ασθενόσφαιρα (Asthenosphere). Είναι σε ημισταθερή κατάσταση, με μια πιο πολύπλοκη σύνθεση από το μεταλλικό πυρήνα και αποτελεί περίπου 82% του όγκου και 67% της μάζας της Γης. Αποτελείται από έναν πολύ εύθραυστο στρώμα πετρωμάτων κυρίως από μαγνήσιο και πυριτικά άλατα μεγάλης πυκνότητας τα οποία κάτω από τις πολύ υψηλές θερμοκρασίες που επικρατούν σε αυτά τα βάθη λειώνουν και κινούνται αργά μέσα στον μανδύα. Δεδομένου ότι η πίεση αυξάνει αρκετά κατά βάθος του μανδύα, το χαμηλότερο τμήμα είναι σχεδόν στερεό ενώ το ανώτερο τμήμα είναι πλαστικό (ημι-τηγμένο). Μερικές φορές τα ρήγματα στις τεκτονικές πλάκες του φλοιού επιτρέπουν σε αυτό το λιωμένο υλικό, το μάγμα, να διαφεύγει όπως γίνεται κατά την έκρηξη των ηφαιστείων. Οι παραλλαγές στην

25 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 9 πυκνότητα του γήινου μανδύα έχουν επιπτώσεις άμεσα στη βαρύτητα που μετριέται στην επιφάνεια της Γης. Ο Πυρήνας - Το ενδότατο στρώμα της Γης, είναι σε τέτοια έντονη πίεση που παραμείνει εν μέρει στερεό στο κέντρο του. Αποτελείται από μια στερεά μάζα, σε μια κατ εκτίμηση θερμοκρασία Kelvin, και η οποία συνίσταται κυρίως από στοιχεία σιδήρου και νικελίου και περιβάλλεται από ένα ρευστό (σαν υδάτινο) εξωτερικό στρώμα. Γενικά, όσο πλησιέστερα είναι τα τμήματα του εσωτερικού της Γης στον πυρήνα, τόσο μεγαλύτερες είναι οι θερμοκρασίες και τόσο μεγαλύτερη γίνεται η πίεση που επικρατεί εκεί. Το στερεό εσωτερικό μέρος του πυρήνα (Inner Core) έχει διάμετρο περίπου χιλιόμετρα και αποτελεί περίπου το 1.7% της συνολικής μάζας του πλανήτη. Έξω από το στερεό εσωτερικό στρώμα του πυρήνα, ένα λειωμένο εξωτερικό τμήμα (Outer Core) έχει ένα πάχος περίπου χιλιομέτρων που αποτελούν περίπου το 31% της γήινης μάζας. Ο πυρήνας χωρίζεται από τον μανδύα με τη λεγόμενη ασυνέχεια Gutenberg. Άλλοι ενδεικτικοί παράγοντες που έχουν επιπτώσεις στο πεδίο βαρύτητας, εκτός από τις μεταβολές της πυκνότητας στο εσωτερικό της Γης, είναι επίσης: (i) (ii) Τα στρώματα των πάγων στις αρκτικές περιοχές της Γης (π.χ. στη Γροιλανδία ή στην Ανταρκτική), τα οποία συμπιέζουν το γήινο φλοιό από κάτω τους. Οι οποιεσδήποτε αλλαγές στα υπερμεγέθη στρώματα πάγου, όπως η μείωση του πάχους τους λόγω του φαινομένου του θερμοκηπίου, προκαλούν φαινόμενα όπως η αναπήδηση του γήινου φλοιού και αλλάζουν διαχρονικά το πεδίο βαρύτητας. Οι επιδράσεις αυτές μπορούν σήμερα να ανιχνευθούν από τις μετρήσεις βαρύτητας που διενεργούν οι δύο υπερσύγχρονοι ειδικοί δορυφόροι της αποστολής GRACE (βλ. και ενότητα 1.7) που περιστρέφονται από το 2002 γύρω από τη Γη και χαρτογραφούν με εξαιρετικές λεπτομέρειες τις παραλλαγές του πεδίου βαρύτητας και τις οποιεσδήποτε αλλαγές στη γήινη μάζα 500 χιλιόμετρα κάτω από τις τροχιές τους. Οι οποίες τέτοιες αλλαγές οφείλονται κατά ένα μέρος τους από το σημερινό λιώσιμο των πάγων και το υπόλοιπο τμήμα οφείλεται στο φαινόμενο της αναπήδησης. Με τις μετρήσεις τους οι δορυφόροι της αποστολής GRACE ελέγχοντας τις μεταβολές της μάζας του γήινου φλοιού επιτρέπουν να παρατηρηθούν και οι σημαντικές μεταβολές των παγετώνων, όπως διαπιστώθηκε από τα πρώτα χρόνια των μετρήσεων από τους δορυφόρους GRACE ότι οι πάγοι της Γροιλανδίας μειώνονται με ένα ποσοστό περίπου 200 κυβικών χιλιομέτρων ετησίως. Οι ωκεανοί που καλύπτουν περίπου τα τρία τέταρτα της γήινης επιφάνειας. Η στάθμη των ωκεανών αλλάζει με την προσθήκη νέων όγκων υδάτων από το λιώσιμο των πάγων λόγω του φαινομένου του θερμοκηπίου και των κλιματικών αλλαγών, την αύξηση της θερμοκρασίας του πλανήτη, των ωκεάνιων ρευμάτων, κ.ά. προκαλώντας ανακατανομές και μεταβολές της

26 10 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας γήινης μάζας, επηρεάζοντας έτσι το γήινο πεδίο βαρύτητας Από την πρακτική πλευρά, τα τελευταία χρόνια μετρήσεις από εναέρια συστήματα ραντάρ και νέα όργανα μέτρησης της τοπικής βαρύτητας στην Γροιλανδία και την Ανταρκτική έχουν δείξει ότι αυτό που είναι ιδιαίτερα σημαντικό είναι ότι κάτω από τέτοιες συνθήκες, τα δίκτυα των υδάτινων μαζών μέσα και κάτω από τους παγετώνες κάνουν τους επιφανειακούς πάγους πολύ πιο ασταθείς από ότι τα κλιματικά μοντέλα θεωρούσαν μέχρι σήμερα και κατά συνέπεια πιο ευαίσθητους στην υπερθέρμανση του πλανήτη. Για να ποσοτικοποιηθεί αυτή η συνεισφορά των πολικών πάγων στις κλιματικές αλλαγές είναι απαραίτητες ακριβείς μετρήσεις των μεταβολών του μεγέθους των παγοκαλυμμάτων που με τη σειρά τους θα μπορούν να υποδείξουν τις υπόγειες ροές υδάτων. Προς αυτή την κατεύθυνση, οι δορυφόροι της αποστολής GRACE αποτελούν σήμερα από τα σημαντικότερα εργαλεία που επιτρέπουν τη χαρτογράφηση από μήνα σε μήνα ακόμα και των μικρών παραλλαγών στο πεδίο βαρύτητας εξ αιτίας της κίνησης υδάτινων μαζών από μία θέση σε μια άλλη, και την παρακολούθηση των αλλαγών στους πολικούς πάγους (ή κατ αναλογία στις απρόσιτες λεκάνες των μεγάλων ποταμών ή λιμνών) που επιβάλλονται από τις εποχές, τις καιρικές συνθήκες και τις βραχυπρόθεσμες κλιματικές αλλαγές. Σχήμα 1.5 Οι γήινες παλίρροιες

27 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 11 (iii) Οι παλίρροιες (Σχ. 1.5), που προκαλούνται από τις ελκτικές δυνάμεις της βαρύτητας που ασκεί στους ωκεανούς η Σελήνη και σε μικρότερο βαθμό ο Ήλιος, επίσης αλλάζουν συνεχώς. Σαν συνέπεια, η περιστροφή της Γης επιβραδύνεται βαθμιαία, και με τη σειρά της, η απώλεια ταχύτητας αναγκάζει τη Σελήνη να επιτελεί μια σπειροειδή κίνηση μακριά από τη Γη κατά περίπου 3 cm κάθε έτος. Αυτό έχει μια άμεση επίδραση στις θαλάσσιες παλίρροιες, η οποία έχει επιπτώσεις στους ωκεανούς (ανακατανέμοντας περιοδικά τις θαλάσσιες μάζες) - και κατά συνέπεια στο πεδίο βαρύτητας. Πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι ενώ η Σελήνη είναι πολύ μικρότερη σε μέγεθος από τον Ήλιο, είναι επίσης πολύ πιο κοντά στη Γη, και έτσι η επίδρασή της στις παλίρροιες, και στο πεδίο βαρύτητας είναι πιο σημαντική. Για τους παραπάνω ενδεικτικούς λόγους, γίνεται εύκολα κατανοητό ότι μελετάμε τη βαρύτητα για να μάθουμε περισσότερα για την ίδια τη Γη, τη δυναμική συμπεριφορά της ως ουράνιο σώμα και τη λειτουργία της ως σύστημα, αλλά και για να αξιοποιήσουμε τις δυνάμεις του πεδίου βαρύτητας σε πρακτικές, επιστημονικές και τεχνολογικές εφαρμογές, για τις οποίες η λειτουργία ενός μεγάλου αριθμού μηχανών, συσκευών και συστημάτων εξαρτάται με το ένα ή τον άλλο τρόπο από τη βαρύτητα. Για παράδειγμα η υψομετρική διαφορά (από την οποία εξαρτάται η ασκούμενη δύναμη της βαρύτητας) μπορεί να χρησιμεύσει σαν πίεση τόσο στις υδάτινες μάζες ενός υδραγωγείου, όσο και σε έναν ιατρικό ορό. Επίσης, με τη βοήθεια της βαρύτητας έχουμε τη δυνατότητα να παράγουμε ηλεκτρικό ρεύμα στα υδροηλεκτρικά εργοστάσια ενός φράγματος ή να υπολογίζουμε τον χρόνο με τη βοήθεια ενός εκκρεμούς. Τέλος, οι τεχνητοί δορυφόροι είναι και αυτοί μια εφαρμογή της βαρύτητας που μαθηματικά είχε διατυπωθεί στο έργο "Principia" του Νεύτωνα, ενώ από το 2000 μέχρι σήμερα σειρά από ειδικά σχεδιασμένους σύγχρονους γεωδαιτικούς δορυφόρους επιτρέπουν τον προσδιορισμό του γήινου πεδίου βαρύτητας και των διαχρονικών μεταβολών του με πολύ μεγάλη ακρίβεια. 1.2 Ο κεντρικός ρόλος της βαρύτητας στη Νευτώνεια Φυσική Άσχετα από το εάν ο Νεύτωνας καθόταν ή όχι πραγματικά κάτω από ένα δέντρο μηλιάς ενώ προβληματιζόταν για τη φύση της βαρύτητας, το γεγονός ότι τα αντικείμενα πέφτουν προς την επιφάνεια της Γης ήταν κατανοητό πολύ πριν από την εποχή του. Αλλά και για τον καθένα μας η διαισθητική άποψή του κόσμου περιλαμβάνει την κατανόηση του ότι οποιοδήποτε αντικείμενο που ρίπτεται προς τα πάνω, πέφτει στη συνέχεια προς τα κάτω, ακριβώς εξ αιτίας της βαρύτητας. Οι πρώτες επιστημονικές συλλήψεις της φύσης του κόσμου από τον Αριστοτέλη και μετέπειτα από τον Πτολεμαίο ( μ.χ.) ήταν ένα γεωκεντρικό μοντέλο, με το οποίο η Γη θεωρείτο ότι μένει ακίνητη στο κέντρο του κόσμο, ενώ ο Ήλιος, η

28 12 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας Σελήνη, οι πλανήτες και τ άστρα κινούνται γύρω από αυτή σε τέλειες κυκλικές τροχιές, ενώ το ίδιο το Σύμπαν ήταν ένα πεπερασμένος σφαιρικός χώρος πέρα από τον οποίο δεν υπήρχε τίποτα. Αυτό το μοντέλο του κόσμου εξουσίασε την επιστημονική σκέψη για πολλούς αιώνες, με εξαίρεση τις απόψεις του Αρίσταρχου του Σάμιου, και μέχρι που αντικαταστάθηκε από τις εργασίες σημαντικών αστρονόμων όπως του Κοπέρνικου (Nicolaus Copernicus, ), του Tycho Brahe ( ), του Γαλιλαίου και του Κέπλερ (Johannes Kepler, ), οι οποίοι θεμελίωσαν το ηλιοκεντρικό μοντέλο της άποψης του κόσμου (Σχ. 1.6), με τον Ήλιο στο κέντρο του ηλιακού συστήματος και τους πλανήτες, συμπεριλαμβανομένης και της Γης, να περιφέρονται σε τροχιές γύρω από τον Ήλιο (Σχ. 1.3), βλ. Vollmann (2006) και Banvill (2008). Συγκεκριμένα, το 1530, ο Σχήμα 1.6 Το ηλιοκεντρικό μοντέλο της άποψης του κόσμου Κοπέρνικος ολοκλήρωσε το σπουδαίο έργο του «De Revolutionibus Orbium Coelestium Libri VI» (Έξι Βιβλία για τις Περιστροφές των Ουράνιων Σφαιρών), το οποίο αποτέλεσε τη βάση για την εξέλιξη της σύγχρονης Αστρονομίας (Rabin, 2005, Smith, 2007, Rosen, 2008). Στο έργο αυτό, ο Κοπέρνικος ενσωματώνει περισσότερα από χίλια χρόνια αστρονομικών παρατηρήσεων με διάφορους βαθμούς ακρίβειας. Στο μοντέλο που παρουσιάζεται, το Σύμπαν αποτελείται από 8 ομόκεντρες σφαίρες, από τις οποίες η όγδοη (εξώτατη) σφαίρα ήταν, όπως και στο μοντέλο του Αριστοτέλη και του Πτολεμαίου, πάλι η σφαίρα των απλανών αστέρων, αλλά τώρα ο Ήλιος είναι ακίνητος στο κέντρο. Οι γνωστοί την εποχή του Κοπέρνικου πλανήτες (ο Ερμής, η Αφροδίτη, ο Άρης, ο Δίας και ο Κρόνος) περιφέρονται γύρω από τον Ήλιο με την ίδια σειρά που γνωρίζουμε και σήμερα, ενώ η Σελήνη περιφέρεται περί τη Γη. Επιπλέον, η φαινομενική κίνηση του Ηλίου και των απλανών γύρω από τη Γη εξηγείται από την ημερήσια περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της κάθε μέρα και γύρω από τον Ήλιο κάθε χρόνο. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι το πρωτότυπο χειρόγραφο του De Revolutionibus, ήταν χαμένο για 300 χρόνια και

29 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 13 εντοπίστηκε στην Πράγα στα μέσα του 19 ου αιώνα (Gingerich, 2005). Ακολουθώντας μια τελείως αντίθετη πορεία σκέψης από εκείνη του Κοπέρνικου, ο Tycho Brahe εστίασε στο να βελτιώσει την ποιότητα αλλά την ποιότητα των αστρονομικών παρατηρήσεων και μετρήσεων της θέσης των πλανητών από τις οποίες θα μπορούσε να καταλήξει σε ένα αξιόπιστο μοντέλο σου σύμπαντος. Διορισμένος ως αυτοκρατορικός μαθηματικός στην Πράγα, επί 35 χρόνια έκανε ακριβείς μετρήσεις του τότε γνωστού σύμπαντος, συντάσσοντας ένα ακριβέστατο για την εποχή του κατάλογο περίπου 800 αστέρων και λεπτομερή στοιχεία της κίνησης των τότε γνωστών έξι πλανητών, μεταξύ των οποίων και του Άρη, του οποίου η φαινομενική κίνηση ήταν και η πιο προβληματική και δυσνόητη, σχετικά με τις τροχιές των άλλων πλανητών. Ο Γαλιλαίος, εκατό περίπου χρόνια αργότερα από τότε που δημοσιεύτηκαν οι απόψεις του Κοπέρνικου, προσπάθησε να αποδείξει ότι ήταν σωστές στηριζόμενος στις παρατηρήσεις που έκανε ο ίδιος με το τηλεσκόπιο (εξαιρετικού εργαλείου για την απόδειξη των επιχειρημάτων του), του οποίου υπήρξε και ο εφευρέτης, και το 1610 με την έκδοση του έργου του «Αγγελιαφόρος του Ουρανού» (The Starry Messenger) καθιστά σαφείς τις απόψεις του στον τότε επιστημονικό κόσμο, ενώ το 1616 με το έργο του «Διάλογος περί αμπώτιδας και παλίρροιας» (On the Ebb and Flow of the Tides), καταφέρνει μέσω πειστικών επιχειρημάτων και πειραμάτων πλέον, να αποδείξει τη θεώρηση του Κοπέρνικου για το ηλιοκεντρικό σύστημα (Machamer, 2005). Ωστόσο, ο Κέπλερ ήταν ο πρώτος που κατανόησε σωστά, ποιοτικά αλλά και ποσοτικά, τον τρόπο με τον οποίο κινούνται οι πλανήτες, αλλά και πώς λειτουργεί το ηλιακό σύστημα. Έχοντας διατελέσει μαθητής και συνεργάτης του Brahe, μετά το θάνατο του τελευταίου το 1601, ασχολήθηκε αποκλειστικά με την περίεργη κίνηση του Άρη, που δε φαινόταν να ακολουθεί την κυκλική τροχιά και μετά από πολλές αποτυχημένες θεωρίες, αποφασίζει για πρώτη φορά να δοκιμάσει το μοντέλο της ελλειπτικής κίνησης, το οποίο θα συμφωνήσει απόλυτα με τις παρατηρήσεις του Brahe. Η νέα αυτή θεώρηση τον οδήγησε τελικά, το 1596 και το 1619, στη δημοσίευση των περιώνυμων τριών νόμων της πλανητικής κίνησης που προς τιμή του φέρνουν πλέον την ονομασία Νόμοι του Κέπλερ: 1 ος Νόμος - Ένας πλανήτης κινείται σε ελλειπτική τροχιά, με τον Ήλιο να βρίσκεται στο ένα εστιακό κέντρο της έλλειψης 2 ος Νόμος - Ένας πλανήτης καλύπτει στην τροχιά του ίσα διαστήματα σε ίσους χρόνους 3 ος Νόμος - Το τετράγωνο της περιόδου των πλανητών, που είναι ο χρόνος μιας περιφοράς γύρω από τον Ήλιο, είναι ανάλογο με τη μέση απόστασή τους από αυτόν, υψωμένη στην τρίτη δύναμη,, με σταθερά αναλογίας ίδια για όλους τους πλανήτες. Οι νόμοι της πλανητικής κίνησης του Kepler ήταν εμπειρικοί και καθολικοί, αν και ο Kepler ποτέ δεν αναφέρθηκε στα αίτια της μορφής των τροχιών, κάτι που έκανε ωστόσο ο Νεύτωνας, ο οποίος τους εξήγησε και με φυσικό και μαθηματικό τρόπο.

30 14 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας Αυτή η σημαντική αλλαγή στην αντίληψη του κόσμου έθεσε τα θεμέλια για τον Νεύτωνα να συσχετίσει τη βαρύτητα με τις κινήσεις των πλανητών. Ο Νεύτωνας ήταν αναμφισβήτητα εξοικειωμένος με την έννοια που είχε ήδη καταδείξει ο Γαλιλαίος, ότι δηλαδή όλα τα αντικείμενα πέφτουν προς την επιφάνεια της Γης με την ίδια επιτάχυνση, και ότι αυτή η επιτάχυνση ήταν ανεξάρτητη από τη μάζα του εν πτώση αντικειμένου. Έτσι διατύπωσε τελικά μια ευρύτερη θεωρία της βαρύτητας που κάλυπτε όχι μόνο τη συμπεριφορά ενός μήλου κοντά στην επιφάνεια της Γης, αλλά και τις κινήσεις των πολύ μεγαλύτερων σωμάτων (π.χ. πλανητών) αρκετά μακρινών από τη Γη. Ουσιαστικά, όπως αναφέρεται και στην επόμενη ενότητα, ακριβώς όπως οι φυσικοί επιστήμονες σήμερα αναζητούν τρόπους για να ενοποιήσουν σε μια θεωρία όλες τις θεμελιώδεις δυνάμεις του σύμπαντος, στην εποχή του ο Νεύτωνας επιδίωξε επίσης να ενοποιήσει δύο φαινομενικά ανόμοια φαινόμενα: την κίνηση των αντικειμένων που πέφτουν προς τη Γη και την κίνηση των πλανητών που κινούνται σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Η σημαντική ανακάλυψή του δεν ήταν ότι τα μήλα πέφτουν στη Γη λόγω της βαρύτητας, αλλά ότι οι πλανήτες πέφτουν συνεχώς προς τον Ήλιο για ακριβώς τον ίδιο λόγο: εξ αιτίας της βαρύτητας! Ο Νεύτωνας στηρίχτηκε στην εργασία των πρώτων αστρονόμων, και ιδιαίτερα του Κέπλερ. Ο Νεύτωνας επέκτεινε την περιγραφή της πλανητικής κίνησης από τους νόμους του Κέπλερ στην πρώτη πραγματικά θεωρία της βαρύτητας, η οποία και προς τιμή του φέρνει την ονομασία Νευτώνεια Θεωρία της Βαρύτητας. Με αυτήν διατυπώνει τη μαθηματική θεμελίωση, που καλύπτει και επαληθεύει όχι μόνο τα ευρήματα του Γαλιλαίου και του Κέπλερ για το ηλιακό μας σύστημα, αλλά και για το γαλαξία μας, και για το Σύμπαν ολόκληρο, αντικαθιστώντας έτσι την αριστοτελική άποψη ενός κλειστού κόσμου με την άποψη ότι το Σύμπαν είναι άπειρο, και ως εκ τούτου δεν υπάρχει κάποιο σημείο στο Σύμπαν που να είναι το κέντρο του κόσμου. Με την παραπάνω συνεισφορά του ο Νεύτωνας ουσιαστικά θεμελίωσε τη σύγχρονη Φυσική ως αυστηρή επιστήμη και ταυτόχρονα απομυθοποίησε παλαιότερες μη επιστημονικές θεωρήσεις, ενώ με το έργο του συσχέτισε τη γεωμετρική ομοιογένεια του χώρου με τη δύναμη της βαρύτητας. Σήμερα αυτό θεωρείται αυτονόητο, αλλά χάρη σε αυτόν έχουμε μία πρώτη εικόνα ενός σύμπαντος, το οποίο δεν κυριαρχείται από καμία φυσική ιεραρχία όπου όμως κυριαρχεί τάξη και η ενότητά του είναι αποτέλεσμα των νόμων που το διέπουν και οι οποίοι ισχύουν για όλα τα μέρη που το απαρτίζουν. Ταυτόχρονα, αν και οι νόμοι της πλανητικής κίνησης του Kepler ήταν εμπειρικοί και καθολικοί, και ο Kepler ποτέ δεν αναφέρθηκε στα αίτια της μορφής των τροχιών, το έργο του Νεύτωνα ήταν μαθηματικά τεκμηριωμένο σε υψηλό βαθμό και περιείχε άμεσα την ικανότητα για να γίνονται προβλέψεις στις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων, που ακόμα και σήμερα έχουν πρακτική αξία, όχι μόνο στην καθημερινή

31 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 15 ζωή, αλλά και στις επιστημονικές δραστηριότητες όπως, για παράδειγμα, στη χρήση των τεχνητών δορυφόρων και στα διαστημικά ταξίδια τους. Για παράδειγμα, η NASA και o Ευρωπαϊκός Οργανισμός Διαστήματος (European Space Agency, ESA), π.χ., δεν χρειάζονται σήμερα τίποτα περισσότερο από τη θεωρία του Νεύτωνα, για να σχεδιάσουν τις τροχιές των πλανητών και τις πορείες που πρέπει να ακολουθήσουν τα διαστημικά οχήματα που τίθενται σε τροχιά γύρω από τη Γη ή τους άλλους πλανήτες. 1.3 Οι θεμελιώδεις δυνάμεις του Σύμπαντος Η περιγραφή των δυνάμεων της βαρύτητας σύμφωνα με τη θεωρία του Νεύτωνα αποδείχθηκε ικανοποιητική για σχεδόν δυόμιση αιώνες, μέχρις ότου καλύτερες παρατηρήσεις άρχισαν να υποδηλώνουν ότι ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα δεν είναι απόλυτα σωστός. Η Νευτώνεια Φυσική είχε το μειονέκτημα ότι, εξαιτίας των εννοιών του απόλυτου χώρου και χρόνου που περιείχε, οδηγούσε σε ένα στατικό σύμπαν, χωρίς παρελθόν και μέλλον, με την έννοια ότι όλα τα ουράνια σώματα υπήρξαν ανέκαθεν όπως είναι σήμερα και ότι κινούνται αρμονικά στον ουρανό. Αυτή η αδυναμία προέρχεται από το γεγονός ότι οι Νόμοι του Νεύτωνα αναφέρονται σε ένα απόλυτα ακίνητο (αδρανειακό) σύστημα αναφοράς, πράγμα που πρακτικά δεν είναι εφικτό, αλλά και θεολογικά μη αποδεκτή η ύπαρξή του, και επιπλέον δεν έδινε ικανοποιητικές εξισώσεις για να περιγραφούν αρκετά φυσικά φαινόμενα. Παράλληλα η ίδια η δύναμη της βαρύτητας, η οποία με καταπληκτική ακρίβεια περιγράφεται από το νόμο της Παγκόσμια Έλξης, παρέμενε ένα μυστήριο, αφού έπρεπε να θεωρηθεί πως δρα από απόσταση και έτσι αποκτούσε μεταφυσικό νόημα. Απάντηση σε αυτά τα προβλήματα έδωσε το 1915, ο Αϊνστάιν (Albert Einstein) που πρότεινε μια λύση για τα προβλήματα που είχαν διαπιστωθεί με το νόμο του Νεύτωνα. Παραδόξως, ο Αϊνστάιν δεν πρότεινε τροποποιήσεις στο νόμο του Νεύτωνα για να τον καταστήσει ακριβέστερο. Αντί αυτού, πρότεινε έναν εξ ολοκλήρου νέο τρόπο αντίληψης για τη βαρύτητα. Έτσι, έχτισε επάνω στη Νευτώνεια θεωρία της βαρύτητας και ολοκλήρωσε στη λεγόμενη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, μια ακριβέστερη περιγραφή της δύναμης της βαρύτητας η οποία συνυφαίνεται με τη γεωμετρία του χώρο-χρόνου (geometry of space-time), η οποία με τη σειρά της εξαρτάται από την πυκνότητα ύλης-ενέργειας. Με την εισαγωγή της έννοιας του χώρο-χρόνου ως βάσης μελέτης, περιγραφής και ερμηνείας του σύμπαντος, ο Αϊνστάιν απέδειξε ότι και ο χρόνος και ο χώρος είναι μεγέθη σχετικά και ότι το Σύμπαν υπάρχει και εξελίσσεται μέσα στο χωρόχρονο. Ωστόσο, ακόμα και σήμερα, παρ όλη την επιρροή που ασκεί η βαρύτητα στις καθημερινές ανθρώπινες δραστηριότητες, τον έλεγχο που επιβάλλει στη δυναμική

32 16 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας συμπεριφορά της Γης και σε ολόκληρο το Σύμπαν, και την δυνατότητά μας να περιγράφουμε και να μοντελοποιούμε τα αποτελέσματά της, δεν κατανοούμε πλήρως τους πραγματικούς μηχανισμούς των δυνάμεων της βαρύτητας που αυτή ασκεί στον κόσμο μας. Οι σύγχρονες απόψεις των φυσικών επιστημόνων αναγνωρίζουν την ύπαρξη τεσσάρων θεμελιωδών δυνάμεων (Fundamental Forces) ή φυσικών αλληλεπιδράσεων (Fundamental Interactions): της βαρύτητας, του ηλεκτρομαγνητισμού, της δυνατής και της αδύναμης (πυρηνικής) δύναμης (Weinberg, 1993, Padmanabhan, 1998). Σχήμα Το δυσδιάστατο ανάλογο παραμόρφωσης του χώρο-χρόνου κατά την μοντέρνα αντίληψη της βαρύτητας Στο πλαίσιο των σύγχρονων αυτών θεωρήσεων, μια θεμελιώδης αλληλεπίδραση νοείται ως ένας μηχανισμός με τον οποίο τα μόρια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με τρόπο που δεν μπορεί να εξηγηθεί από μια άλλη πιο θεμελιώδη αλληλεπίδραση. Κάθε φυσικό φαινόμενο που μπορεί να παρατηρηθεί, από τους γαλαξίες που συγκρούονται ο ένας με τον άλλον, μέχρι τα θεωρητικά υποατομικά σωματίδια (τα quarks) σε διαρκή κίνηση μέσα σε ένα πρωτόνιο, μπορεί έτσι να εξηγηθεί από αυτές τις αλληλεπιδράσεις. Μερικές φορές αυτές οι εν λόγω αλληλεπιδράσεις αποκαλούνται θεμελιώδεις δυνάμεις, αν και αυτή η ορολογία είναι μάλλον άστοχη επειδή αυτές δεν μπορούν να

33 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 17 περιγραφούν από τις έννοιες του δυναμικού και των πεδίων δυνάμεων υπό τη κλασσική Νευτώνεια θεωρία. Παραδείγματος χάριν, σύμφωνα με τη γενική θεωρία της σχετικότητας, καμία δύναμη της βαρύτητας δεν ενεργεί σε μια μεγάλη απόσταση για να αναγκάσει ένα σώμα να επιταχύνει. Αντί αυτού, εξηγεί τη βαρύτητα με την έννοια της καμπυλότητας του χωροχρόνου (curvature of space-time), ως αποτέλεσμα συνδυασμού της χρονικής διαστολής εξ αιτίας της βαρύτητας και της καμπυλότητας του χώρου. Οι εν λόγω θεμελιώδεις δυνάμεις ή αλληλεπιδράσεις έχουν διαφορετικές ιδιότητες και έχουν προσδιοριστεί ότι διαδραματίζουν κεντρικούς ρόλους στην παραγωγή του κόσμου μας. Συγκεκριμένα (University of Tennessee): Η ισχυρή αλληλεπίδραση (strong interaction) είναι μια πολύ ισχυρή δύναμη (10 38 φορές μεγαλύτερη από εκείνη της βαρύτητας), αλλά ενεργεί σε πάρα πολύ μικρές αποστάσεις, της τάξης του cm, ως η συνεκτική δύναμη που διατηρεί τους πυρήνες των ατόμων από κοινού. Είναι βασικά μια ελκτική δύναμη, αλλά σε μερικές περιστάσεις μπορεί να ενεργεί και απωθητικά. Η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση (electromagnetic interaction) προκαλεί τα ηλεκτρικά και μαγνητικά αποτελέσματα όπως η απώθηση μεταξύ ομοειδών ηλεκτρικών φορτίων ή της αλληλεπίδρασης των ράβδων ενός μαγνήτη. Ενεργεί σε μεγάλες αποστάσεις, αλλά είναι πολύ πιο αδύναμη από την ισχυρή αλληλεπίδραση (περίπου φορές μεγαλύτερη από εκείνη της βαρύτητας). Το αποτέλεσμα της μπορεί να είναι ελκυστικό ή απωθητικό, και ενεργεί μόνο μεταξύ σωματιδίων της ύλης που φέρνουν ηλεκτρικά φορτία. Η αδύναμη αλληλεπίδραση (weak interaction) είναι η δύναμη που ευθύνεται για το φαινόμενο της αποσύνθεσης της ραδιενέργειας και τις αλληλεπιδράσεις των νετρονίων. Ενεργεί σε πάρα πολύ μικρές αποστάσεις και, όπως υποδηλώνει το όνομά της, είναι πολύ αδύναμη (10 25 φορές μεγαλύτερη από εκείνη της βαρύτητας). Η αλληλεπίδραση της βαρύτητας (gravity interaction) είναι πολύ αδύνατη αλλά ενεργεί σε πολύ μεγάλες (ακόμα και κοσμολογικές) αποστάσεις. Επιπλέον, το αποτέλεσμα της είναι πάντα ελκτικό, και ενεργεί μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σωμάτων στον κόσμο δεδομένου ότι η πηγή προέλευσης της είναι η μάζα τους. Όσον αφορά τα μεγάλης κλίμακας θέματα που ενδιαφέρουν σήμερα την κοσμολογία, η βαρύτητα θεωρείται η σημαντικότερη από τις παραπάνω τέσσερις θεμελιώδεις δυνάμεις, εξ αιτίας των προαναφερόμενων δύο βασικών ιδιοτήτων της. Αν και η ανωτέρω συζήτηση δείχνει ότι οι θεμελιώδεις δυνάμεις στον κόσμο μας είναι ευδιάκριτες και έχουν πολύ διαφορετικά χαρακτηριστικά, η τρέχουσα σκέψη στη θεωρητική φυσική είναι ότι δεν ήταν πάντα έτσι. Υπάρχει μια μάλλον ισχυρή επιστημονική πεποίθηση (αν και δεν έχει ακόμα επιβεβαιωθεί πειραματικά), ότι στον πολύ πρόωρο κόσμο όταν οι θερμοκρασίες ήταν πολύ υψηλές σε σχέση με σήμερα, η

34 18 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας αδύναμη, η ηλεκτρομαγνητική, και η ισχυρή δύναμη ενοποιήθηκαν σε μια ενιαία δύναμη. Μόνο όταν η θερμοκρασία του σύμπαντος μειώθηκε, οι εν λόγω δυνάμεις χωρίστηκαν μεταξύ τους, με την ισχυρή δύναμη να χωρίζεται πρώτη και έπειτα όταν οι θερμοκρασίες έπεσαν ακόμα χαμηλότερα, η ηλεκτρομαγνητική και η αδύναμη δύναμη διαχωρίστηκαν περαιτέρω. Η εν λόγω διαδικασία του χωρισμού των δυνάμεων μεταξύ τους είναι γνωστή ως αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας (spontaneous symmetry breaking). Σήμερα, η θεωρία που περιγράφει τις ενοποιημένες ηλεκτρομαγνητικές και αδύναμες αλληλεπιδράσεις είναι γνωστή ως Τυποποιημένη Ηλεκτροαδύναμη Θεωρία (Standard Electroweak Theory), ή μερικές φορές ως τυποποιημένο μοντέλο (Standard Model) των θεμελιωδών δυνάμεων. Οι θεωρίες που θέτουν ως αίτημα τη ενοποίηση της ισχυρής, της αδύναμης, και της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης καλούνται Μεγάλες Ενοποιημένες Θεωρίες (Grand Unified Theories, GUTs). Οι θεωρίες που επιπλέον προσθέτουν και τη βαρύτητα και προσπαθούν να ενοποιήσουν και τις τέσσερις θεμελιώδεις δυνάμεις σε μια ενιαία δύναμη καλούνται Υπερενοποιημένες Θεωρίες (Superunified Theories), οι οποίες αποπειρώνται να διατυπώσουν μια ενιαία προσέγγιση όπου και οι τέσσερις από αυτές τις δυνάμεις είναι ενωμένες σε ένα φυσικό μοντέλο που περιγράφει τη συμπεριφορά όλου του σύμπαντος. Οι μεγάλες ενοποιημένες και υπερενοποιημένες θεωρίες παραμένουν ως θεωρητικές υποθέσεις, αφού δεν έχουν αποδειχθεί μέχρι σήμερα, αλλά υπάρχουν ισχυρά πειραματικά δεδομένα για τη ενοποίηση των ηλεκτρομαγνητικών και αδύναμων αλληλεπιδράσεων στην τυποποιημένη ηλεκτροαδύναμη θεωρία (Wikipedia, 2008β). Η γενικότερη θεωρία, που προσπαθεί σήμερα να συγχωνεύσει τις θεωρίες της γενικής σχετικότητας και της κβαντικής μηχανικής και την ενοποίηση της βαρύτητας με τις άλλες τρεις αλληλεπιδράσεις σε μια ενιαία δύναμη που είναι απολύτως καθολική, είναι γνωστή ως θεωρία της κβαντικής βαρύτητας (quantum gravity). Στις μέχρι σήμερα εξελίξεις σε αυτή την προσπάθεια, η δύναμη της βαρύτητας είναι η πιο δύσκολη να συμπεριληφθεί σε αυτό το τελευταίο ενιαίο μοντέλο, δεδομένου ότι οι δύο θεωρίες έχουν αποδειχθεί ασυμβίβαστες και η κβαντοποίηση της βαρύτητας παραμένει ένα εν πολλοίς άλυτο πρόβλημα και ένας από τους σημαντικότερους τομείς έρευνας της φυσικής επιστήμης. Ωστόσο, έως ότου η αναζήτηση μιας αποδεκτής θεωρίας της κβαντικής βαρύτητας είναι επιτυχής, η αλληλεπίδραση της βαρύτητας δεν μπορεί να θεωρηθεί ως δύναμη, αλλά σαν έμφυτη καμπυλότητα του χωροχρόνου, επειδή θεωρείται ως γεωμετρικής παρά δυναμικής φύσης. Τα μόρια κινούνται πιθανά όπως κάνουν επειδή η κυρτότητα του χωροχρόνου κατευθύνει τη μετακίνησή τους, και όχι επειδή ωθούνται ή έλκονται από τις βαρυτικές δυνάμεις ως αποτέλεσμα της ανταλλαγής υποθετικών μεσολαβητικών μορίων (gravity mediators) που είναι γνωστά ως βαρυτόνια (gravitons).

35 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις Τεχνητοί δορυφόροι και το γήινο πεδίο βαρύτητας Στη Μηχανική των δορυφορικών τροχιών (Orbital Mechanics), o όρος κίνηση βλήματος (projectile motion) σημαίνει τη δυσδιάστατη κίνηση ή κίνηση σε ένα επίπεδο. Ωστόσο, οι αρχές που διέπουν τη δυσδιάστατη κίνηση ενός βλήματος μπορούν εύκολα να επεκταθούν στις τρεις-διαστάσεις, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση ενός δορυφόρου. Η απλούστερη περίπτωση που ενδιαφέρει περισσότερο είναι το παράδειγμα της ελεύθερης πτώσης ενός αντικειμένου ενδιαφέροντος, που συχνά αποκαλείται βαλλιστική κίνηση (ballistic motion). Η υπόθεση είναι η ίδια με πριν δηλαδή, η κίνηση επιτελείται κοντά στην επιφάνεια της Γης, έτσι ώστε η επιτάχυνση της βαρύτητας να είναι σταθερή, και ελλείψει οποιασδήποτε αντίστασης του αέρα η βαρύτητα είναι η μόνη δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο. Στην πράξη, αντί να αντιμετωπιστεί η ίδια η κίνηση, είναι ευκολότερο να ξεχωρίσει κανείς την κίνηση στην κάθετη και οριζόντια συνιστώσα της, ανάγοντας το πρόβλημα σε δύο προβλήματα γραμμικών κινήσεων ως συνάρτηση του χρόνου. Στην περίπτωση αυτή, ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις του διανύσματος θέσης και ταχύτητας (x, v) x = x v = v o o + v ot + + at 1 2 at 2 (1.1) Σχήμα 1.8 Οι τροχιές έχουν τη μορφή κωνικών τομών, δηλ. κύκλου, έλλειψης, παραβολής ή υπερβολής

36 20 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας δεδομένου ότι η επιτάχυνση a θεωρείται σταθερή. Στην πραγματικότητα, το ισχυρό πλεονέκτημα στην εν λόγω κίνηση είναι ότι κατ' αυτό τον τρόπο η βαρύτητα ενεργεί μόνο στην κάθετη διεύθυνση. Δηλαδή, δεν ασκείται καμία οριζόντια δύναμη και, επομένως καμία οριζόντια επιτάχυνση. Με άλλα λόγια, η ταχύτητα στην οριζόντια κατεύθυνση δεν αλλάζει ποτέ. Στην κάθετη κατεύθυνση έχουμε την επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας. Μπορούμε έτσι να μεταχειριστούμε τις οριζόντιες και κάθετες κινήσεις ως ανεξάρτητες και έπειτα να συνδυάσουμε τις δύο επιμέρους κινήσεις για να παραγάγουμε την αληθινή τροχιά του αντικειμένου ενδιαφέροντος (π.χ. ενός δορυφόρου). Η τελική τροχιά αποδεικνύεται ότι έχει περίπου τη μορφή μιας κυκλικής, ελλειπτικής, παραβολικής ή υπερβολικής καμπύλης ανάλογα με την αρχική ταχύτητα του αντικειμένου (Σχ. 1.8). Οι παραπάνω κατηγορίες καμπυλών αποκαλούνται κωνικά τμήματα, επειδή όλες παράγονται ως η τομή ενός κώνου από ένα επίπεδο υπό διαφορετικές γωνίες τομής. Στην πραγματικότητα, μια τροχιά έχει περίπου τη μορφή μιας κωνικής τομής, επειδή ορισμένες υποθέσεις περί της ελεύθερης πτώσης του αντικειμένου δεν ισχύουν στην πραγματική κατάσταση, π.χ. λόγω της ύπαρξης της ατμοσφαιρικής τριβής. Πλανήτης Ταχύτητα δορυφόρου σε κυκλική τροχιά (km/hr) Ταχύτητα διαφυγής (km/hr) Μέση ακτίνα σε σχέση με την ακτίνα της Γης: 6378 km Μάζα σε σχέση µε τη μάζα της Γης: 5.97 x kg Επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια του πλανήτη σε m/sec 2 Ήλιος 1,570,000 2,220, x Ερμής 7,080 10, Αφροδίτη 21,900 31, Γη 28,500 40, Σελήνη 6,100 8, Άρης 12,700 18, Δίας 58,200 82, Κρόνος 23,000 32, Ουρανός 19,800 28, Ποσειδώνας 28,000 39, Πλούτωνας 1,020 1, Πίνακας 1.2 Ενδεικτικές ταχύτητες που απαιτούνται προκειμένου να υπερκεραστούν οι δυνάμεις της βαρύτητας κατά την τροχιακή κίνηση ενός δορυφόρου γύρω από κάθε πλανήτη

37 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 21 Η περίπτωση της δορυφορικής κίνησης είναι απλά ένα πρόβλημα βαλλιστικής κίνησης όπου ο δορυφόρος κινείται με μεγάλη ταχύτητα. Δεδομένου ότι η κίνηση ενός τεχνητού δορυφόρου είναι παρόμοια με την πλανητική κίνηση, η τροχιακή κίνηση του υπακούει στους ίδιους φυσικούς νόμους της πλανητικής κίνησης του Kepler (Τζίγκανος, 2004). Η καθολικότητα των νόμων του Kepler επιτρέπει τη χρήση τους για τον υπολογισμό της τροχιακής κίνησης ενός δορυφόρου ή ποια ελάχιστη αρχική ταχύτητα θα πρέπει να αναπτύξει αυτός προκειμένου να υπερνικήσει τη βαρυτική έλξη που υφίσταται στην επιφάνεια ενός ουρανίου σώματος (Πίνακας 1.2). Συγκεκριμένα, για τη περίπτωση της Γης, από τον 1 ο Νόμο συνάγεται ότι οι δορυφόροι περιστρέφονται γύρω από αυτή σε ελλειπτικές τροχιές, με το κέντρο της Γης να είναι μια από τις εστίες της ελλειπτικής τροχιάς. Στην πράξη, προκειμένου να υπερκεραστεί η επίδραση της δύναμης της γήινης βαρύτητας, για να τεθεί ένας δορυφόρος, για παράδειγμα, σε κυκλική τροχιά, η απαραίτητη αρχική τροχιακή ταχύτητα του δορυφόρου πρέπει να είναι περίπου 7.8 km/sec, η λεγόμενη κυκλική τροχιακή ταχύτητα (circular orbital velocity). Στο στάδιο της εκτόξευσης, η οριζόντια ταχύτητα είναι κρίσιμη, δεδομένου ότι από το μέγεθος της διασφαλίζεται ότι ο πύραυλος της εκτόξευσης ενός δορυφόρου θα συνεχίσει την ανοδική του πορεία αντιστεκόμενος στη γήινη βαρύτητα που τον έλκει προς τα κάτω. Σχήμα 1.9 Η αρχική τροχιακή ταχύτητα είναι κρίσιμη για την τοποθέτηση ενός δορυφόρου σε τροχιά γύρω από τη Γη Εάν η ταχύτητα ήταν χαμηλότερη των 7 km/sec, ο πύραυλος απλά θα έπεφτε κάπου στο έδαφος (Σχ. 1.9). Αν η αρχική ταχύτητα ήταν λιγότερη ή μεγαλύτερη από το όριο της κυκλικής τροχιακής ταχύτητας, η τροχιά γίνεται ελλειπτικής μορφής. Σχεδόν όλοι οι δορυφόροι τοποθετούνται αρχικά σε ελλειπτικές τροχιές επειδή είναι πρακτικά

38 22 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας δύσκολο να αποκτηθεί ακριβώς η αρχική ταχύτητα για μια κυκλική τροχιά. Όταν η τιμή της αρχικής ταχύτητας λαμβάνει τη λεγόμενη ταχύτητα διαφυγής (escape velocity) των 11 km/sec, η τροχιά παίρνει τη μορφή μιας παραβολής και ο δορυφόρος απελευθερώνεται από την έλξη της Γης. Στην πραγματικότητα, ένας τεχνητός δορυφόρος εκτοξεύεται με μικρότερη ταχύτητα, την οποία αυξάνει με την πάροδο του χρόνου και επιτυγχάνει την τελική ταχύτητα διαφυγής εκτός της γήινης ατμόσφαιρας. Για αρχικές ταχύτητες μεγαλύτερες από την ταχύτητα διαφυγής, η τροχιά γίνεται υπερβολική. Η ταχύτητα διαφυγής ενός τεχνητού δορυφόρου που εκτοξεύεται από τη Γη από το ηλιακό βαρυτικό πεδίο είναι 40 km/sec, δεδομένου ότι η εκτόξευση πραγματοποιείται σε απόσταση περίπου 15 x 10 7 km από το κέντρο του. Από τα προαναφερόμενα συνάγεται ότι όλα τα κλασσικά κωνικά τμήματα αντιπροσωπεύονται ως πιθανές τροχιακές μορφές και των τεχνητών δορυφόρων κάτω από την επιρροή της βαρύτητας (Curtis, 2005, Montenbruck and Eberhard, 2005). Σχήμα 1.10 Δορυφόροι σε διαφορετικά ύψη πάνω από την επιφάνεια της Γης επηρεάζονται διαφορετικά από το πεδίο της γήινης βαρύτητας Γενικά οι δορυφόροι σε χαμηλά ύψη τροχιάς (Low Earth Orbit, LEO) δοκιμάζονται από μια ισχυρότερη έλξη της γήινης βαρύτητας και επομένως κινούνται γρηγορότερα, ενώ αντίθετα όταν ένας δορυφόρος που τίθεται σε μια μεσαίου ύψους

39 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 23 τροχιά (Medium Earth Orbit, MEO) ή σε γεωσύγχρονη τροχιά (Geosynchronous Earth Orbit, GEO), κινείται πιο αργά σε αυτή, επειδή η βαρύτητα είναι πιο αδύνατη (Σχ. 1.10). Ενδεικτικά, σε ένα ύψος χιλιόμετρα, ένας δορυφόρος ταξιδεύει με ταχύτητα περίπου χιλιόμετρα ανά ώρα, ολοκληρώνοντας μια τροχιά κάθε 24 ώρες, δηλαδή με τροχιακή περίοδο που συμβαδίζει με τη διάρκεια μιας πλήρους περιστροφής της Γης. Μια τέτοια τροχιά, αποκαλείται γεωστατική ή γεωσύγχρονη τροχιά, και χρησιμοποιείται για τους μετεωρολογικούς και τηλεπικοινωνιακούς δορυφόρους που τοποθετούνται πάνω από ένα συγκεκριμένο σημείο στη γήινη επιφάνεια. Ένας δορυφόρος σε ελλειπτική τροχιά κινείται σε μεταβλητή απόσταση από τη Γη, με κοντύτερο σημείο στη Γη το λεγόμενο περίγειο και το πιο απόμακρο σημείο του, το απόγειο, με άμεσο αποτέλεσμα καθώς αλλάζει συνεχώς το ύψος του δορυφόρου να αλλάζει και η ταχύτητά του. Για ένα δορυφόρο σε κυκλική τροχιά, η κεντρική δύναμη για να κρατηθεί ο δορυφόρος σε τροχιά παρέχεται από τη βαρύτητα, η οποία παρέχει την απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη. Η περίπτωση αυτή είναι ένα τυπικό παράδειγμα ομοιόμορφης κυκλικής κίνησης δεδομένου ότι η βαρύτητα είναι παντού κάθετη στην πορεία του δορυφόρου, δηλαδή η βαρύτητα δεν έχει ποτέ μια συνιστώσα στην κατεύθυνση της κίνησης του δορυφόρου για να τον επιταχύνει. Σε ειδικές περιπτώσεις, η ύπαρξη της βαρύτητας τόσο της Γης όσο και ενός από τους πλανήτες, μπορεί να αξιοποιηθεί προς όφελος μιας δορυφορικής αποστολής. Για παράδειγμα, αν υποτεθεί ότι ένας δορυφόρος βρίσκεται σε ένα σημείο της γραμμής μεταξύ Γης-Σελήνης, η δύναμη της βαρύτητας της Σελήνης σε αυτόν θα αντιδρούσε με την δύναμη της γήινης βαρύτητας, με αποτέλεσμα η συνολική ελκτική δύναμη που επιδρά στον δορυφόρο να ελαττώνεται, και κατά συνέπεια να αποδυναμώνεται η κεντρομόλος δύναμης που ασκείται σε αυτόν. Αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι ο δορυφόρος κινείται με μειωμένη ταχύτητα, σε σχέση με εκείνη που θα είχε αν δεν υπήρχε η Σελήνη. Στην πραγματικότητα, υπάρχει ένα σημείο στη γραμμή μεταξύ της Γης και της Σελήνης όπου ο δορυφόρος κινείται ακριβώς με την ίδια ταχύτητα γύρω τη Γη και γύρω από τη Σελήνη, και αυτό είναι ένα από τα λεγόμενα σημεία ισορροπίας Lagrange μιας ειδικής τέτοιας τροχιάς, όπως ονομάστηκαν από το όνομα του Γάλλου μαθηματικού Joseph-Louis Lagrange ( ). Γενικά, στην επιστήμη της Αστροναυτικής ως σημεία ισορροπίας Lagrange καθορίζονται τα συγκεκριμένα ενός πεδίου βαρύτητας δύο ουράνιων σωμάτων στο οποίο εάν τοποθετηθεί ένα τρίτο Ουράνιο Σώμα (δηλ. ένας πλανήτης ή ένας δορυφόρος) η συνολική βαρυτική δύναμη που θα εξασκείται πάνω στο σώμα είναι μηδέν, αν συνυπολογιστεί βέβαια και η φυγόκεντρος δύναμη. Για παράδειγμα, υπάρχουν συνολικά πέντε τέτοια σημεία (LL1, LL2,, LL5) στα οποία η συνδυασμένη δύναμη της βαρύτητας που ασκούν η Γη και η Σελήνη σε ένα σώμα ισορροπεί ακριβώς την κεντρομόλο δύναμη που είναι απαραίτητη για να περιστρέφεται σε κυκλική (ή σχεδόν κυκλική) τροχιά (Σχ. 1.11α). Καθώς το ηλιακό

40 24 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας σύστημα περιστρέφεται, ένας δορυφόρος σε αυτά τα σημεία διατηρεί πάντα την ίδια θέση όσον αφορά τη Γη και τη Σελήνη. Αντίστοιχα υπάρχουν 5 τέτοια σημεία (L1, L2,, L5) στα οποία συμβαίνει ακριβώς το ίδιο με τη συνδυασμένη δύναμη της βαρύτητας που ασκούν σε ένα δορυφόρο η Γη και ο Ήλιος (Σχ. 1.11β). (α) (β) Σχήμα 1.11 Σημεία Lagrange για την περίπτωση (α) Γης-Σελήνης και (β) Γης-Ήλιου Τα σημεία Lagrange δεν σχετίζονται απλά με τα αποτέλεσμα κάποιων μαθηματικών υπολογισμών, αλλά χρησιμοποιούνται ήδη από τα διαστημικά σκάφη που ερευνούν το ηλιακό σύστημα, όπως για παράδειγμα ο δορυφόρος SOHO (Solar and Heliospheric Observatory Satellite) που εκτοξεύθηκε το 1995 και κινείται σε τροχιά (περίπου 1.5x10 6 km από τη Γη) γύρω από το σημείο ισορροπίας L1 (και συνεπώς οι συνδυασμένες βαρυτικές δυνάμεις από τη Γη και τον Ήλιο τον διατηρούν είναι συνεχώς στην ευθεία Γης-Ήλιου). Επίσης ο δορυφόρος WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) που παρατηρεί την κοσμική ακτινοβολία από την Μεγάλη Έκρηξη του σύμπαντος σε τροχιά γύρω από το σημείο L2, επίσης περίπου 1.5x10 6 km από τη Γη. Φυσικά το παραπάνω μοντέλο είναι πολύ απλουστευμένο, δεδομένου ότι υπάρχουν περισσότεροι πλανήτες στο ηλιακό σύστημα, των οποίων οι τροχιές είναι ελλειπτικές παρά κυκλικές, και υπάρχουν άλλες δυνάμεις που ασκούνται στους δορυφόρους πέρα από εκείνες της βαρύτητας.

41 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις Το σχήμα της Γης και επιφάνειες αναφοράς Η επίδραση του πεδίου βαρύτητας στις γεωδαιτικές μετρήσεις Στην Τοπογραφία ενδιαφερόμαστε κυρίως για τον προσδιορισμό της αμοιβαίας θέσης μεταξύ σημείων ενδιαφέροντος στην επιφάνεια της Γης ή πάνω από αυτή. Όταν εργαζόμαστε σε μικρές περιοχές η σχέση των συντεταγμένων μεταξύ σημείων μπορεί να προσδιοριστεί απλά από τις εκτελούμενες μετρήσεις (π.χ. γωνίες, αποστάσεις, υψόμετρα, κλπ.). Ως εκ τούτου, η σχέση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να εκφραστεί σχηματικά ως P1 P2, όπως φαίνεται και στο Σχ. 1.12α. Σχήμα 1.12 Ο συσχετισμός μεταξύ σημείων (α) από απευθείας μετρήσεις, ή (β) δια μέσου της χρήσης μιας επιφάνειας (πλαισίου) αναφοράς Σε εκτεταμένες περιοχές δεν μπορούμε να κάνουμε το ίδιο πράγμα, δεδομένου ότι δεν μπορούμε να μετρήσουμε τις άμεσες σχέσεις μεταξύ των σημείων και πρέπει να αναφέρουμε τις μετρήσεις μας σε ένα κοινό πλαίσιο ή επιφάνεια που συσχετίζει τα δύο σημεία. Επομένως, στη προκειμένη περίπτωση μιλάμε πραγματικά για μια σχέση της μορφής P1 f = f ( r, W ) P2, όπως φαίνεται ενδεικτικά στο Σχ. 1.12β.

42 26 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας Η περιγραφή μιας τέτοιας επιφάνειας (ή ενός πλαισίου) αναφοράς και οι σχέσεις μεταξύ των σημείων και της επιφάνειας (πλαισίου) αναφοράς είναι μια από τις κύριες επιδιώξεις της γεωδαισίας, με σκοπό, τη μελέτη του σχήματος και του μεγέθους της Γης και μεταξύ άλλων και τον προσδιορισμό της θέσης σημείων ενδιαφέροντος. Ο όρος Σχήμα της Γης έχει τις διάφορες έννοιες στη Γεωδαισία ανάλογα με τον τρόπο που χρησιμοποιείται και την ακρίβεια με την οποία το μέγεθος και η μορφή της Γης πρόκειται να καθοριστούν. Στη πράξη, συνήθως μια επιφάνεια αναφοράς κοντά στην τοπογραφική επιφάνεια της Γης επιλέγεται ως επιφάνεια αναφοράς που παίζει τον επιδιωκόμενο ρόλο του πλαισίου αναφοράς. Η συναρτησιακή σχέση f = f ( r, W ) εκφράζει το γεγονός ότι όλες οι γεωδαιτικές παρατηρήσεις εξαρτώνται από τη θέση της μέτρησης (το διάνυσμα r του σημείου) και το πεδίο βαρύτητας της Γης (την τιμή του γήινου δυναμικού W). Όταν παρατηρούμε τις θέσεις και τις σχέσεις μεταξύ των σημείων στην επιφάνεια της Γης (καθώς επίσης και επάνω ή κάτω από τα σημεία της γήινης επιφάνειας) οι μετρήσεις μας υπόκεινται σε ποικίλες φυσικές επιρροές από το φυσικό περιβάλλον. Τα όργανά μας υπακούνε σε συγκεκριμένους φυσικούς νόμους και κανόνες που πρέπει να κατανοήσουμε προκειμένου να είμαστε σε θέση να ερμηνεύσουμε τις μετρήσεις μας. Για παράδειγμα, η δύναμη βαρύτητας, η δύναμη Coriolis, η ατμοσφαιρική διάθλαση, οι παραλλαγές της θερμοκρασίας είναι μερικές χαρακτηριστικές τέτοιες επιδράσεις. Για τις γεωδαιτικές μετρήσεις, οι δύο πιο σημαντικές φυσικές επιδράσεις σε αυτές είναι η ατμοσφαιρική διάθλαση και η βαρύτητα, δεδομένου ότι και οι δύο επηρεάζουν τις μετρήσεις και συνεπώς αλλοιώνουν τη γεωμετρία του χώρου των μετρήσεων. Κατά συνέπεια, η μελέτη τους και η όσο το δυνατόν καλύτερη κατανόηση των επιπτώσεων τους είναι απαραίτητα για τη σωστή φυσική ερμηνεία των αποτελεσμάτων των μετρήσεων. Η μελέτη των επιπτώσεων της διάθλασης είναι εκτός του αντικειμένου του παρόντος και δεν θα μας απασχολήσει περαιτέρω. Ωστόσο, οι επιδράσεις και οι επιπτώσεις της βαρύτητας έχουν μια άμεση σχέση με τις επιμέρους επιλογές για την υλοποίηση του κατάλληλου πλαισίου αναφοράς και τον προσδιορισμό του σχήματος της Γης. Ιδιαίτερα οι δορυφορικές μετρήσεις έχουν κάνει περισσότερο σαφές ότι ο προσδιορισμός του σχήματος της Γης από γεωδαιτικές μετρήσεις δεν είναι απλά ένα αμιγές γεωμετρικό πρόβλημα αλλά περιλαμβάνει και τη μελέτη του πεδίου βαρύτητας της Γης. Συγκεκριμένα: Η πραγματική τοπογραφική επιφάνεια χαρακτηρίζεται από την ποικιλία της μορφολογίας του εδάφους και των υδάτινων περιοχών. Αυτή είναι, στην πραγματικότητα, η επιφάνεια στην οποία γίνονται οι πραγματικές γήινες μετρήσεις. Ωστόσο είναι προφανές ότι η αναλυτική περιγραφή της δεν προσφέρεται για την επιλογή της ως µία κατάλληλη επιφάνεια αναφοράς δεδομένου ότι για ακριβείς μαθηματικούς υπολογισμούς, οι τύποι που θα απαιτούνταν για να ληφθούν υπόψη οι ανωμαλίες της τοπογραφικής επιφάνειας θα απαιτούσαν ένα απαγορευτικό ποσό υπολογισμών. Για το λόγο αυτό, είναι φυσικά επιθυμητό η επιφάνεια αναφοράς που

43 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 27 επιλέγεται για αυτό το σκοπό, να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στην τοπογραφική επιφάνεια έτσι ώστε τα μεμονωμένα σημεία (των οποίων θέση σε σχέση με την τοπογραφική επιφάνεια μπορεί να μετρηθεί) να μπορούν να αναφερθούν στην επιφάνεια αναφοράς κατά απλό τρόπο. Από την άλλη μεριά, για μαθηματική ευκολία, είναι επιθυμητό η επιφάνεια αναφοράς να έχει το απλούστερο δυνατό γεωμετρικό σχήμα. Το οριζόντιο επίπεδο είναι μια αποδεκτή επιφάνεια αναφοράς κατάλληλη για τη μελέτη μικρών περιοχών, π.χ. μερικών km 2 ή του μεγέθους μιας πόλης, όπου δεν δίνεται καμία προσοχή στην καμπυλότητα της Γης (Σχ. 1.12α). Για τέτοιες μικρές περιοχές, οι ακριβείς θέσεις μπορούν να καθοριστούν η μια σχετικά με την άλλη χωρίς εξέταση του μεγέθους και της μορφής ολοκλήρου της Γης. Στην προκειμένη περίπτωση, η κατακόρυφος σε κάθε σημείο της μικρής έκτασης της περιοχής ενδιαφέροντος είναι κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο και διατηρεί την παραλληλία της από σημείο σε σημείο. Έτσι τα παραδοσιακά γεωδαιτικά όργανα όπως οι θεοδόλιχοι και οι χωροβάτες στηρίζονται στο πεδίο βαρύτητας για τον προσανατολισμό του κάθετου άξονά τους σύμφωνα με την διεύθυνση της κατακορύφου ή της τοπικής κάθετης διεύθυνσης. Για παράδειγμα, όταν οριζοντιώνουμε ένα θεοδόλιχο ουσιαστικά υλοποιούμε τόσο το οριζόντιο επίπεδο (ως εφαπτόμενο στην ισοδυναµική επιφάνεια στο κεντρικό σημείο της αεροστάθμης) όσο και την κατακόρυφο. Με τον τρόπο αυτό, μετρούνται οι οριζόντιες γωνίες και διευθύνσεις και αναφέρονται επίσης οι οριζόντιες αποστάσεις στο οριζόντιο επίπεδο. Οι χωροβάτες πάλι χρησιμοποιούνται για να μετρηθούν οι διαφορές του γήινου δυναμικού της βαρύτητας μεταξύ σημείων στη γήινη επιφάνεια, που με τη σειρά τους μπορούν να εκφραστούν ως υψομετρικές διαφορές. Σχήμα 1.13 Η σφαίρα αποτελεί ένα ικανοποιητικό μοντέλο του σχήματος της Γης Ωστόσο για τη μελέτη μεγάλων περιοχών ή και όλης της Γης, εξ αιτίας της γήινης καμπυλότητας (ή της επίδρασης του γήινου πεδίου βαρύτητας) οι κατακόρυφες χάνουν την μεταξύ τους παραλληλία καθώς συγκλίνουν προς το εσωτερικό της Γης. Έτσι δεν είναι δυνατή η ίδρυση ενός ενιαίου συστήματος αναφοράς ή τουλάχιστον ενός μικρού αριθμού τοπικών συστημάτων αναφοράς για μεγάλα τμήματα της γήινης επιφάνειας. Η σφαίρα θεωρήθηκε ως κατάλληλο μοντέλο του σχήματος της Γης από τους αρχαίους Έλληνες φιλόσοφους, Πυθαγόρα (600 π.χ.) και Αριστοτέλη, ενώ ο Ερατοσθένης ( π.χ.) πραγματοποίησε την πρώτη ιστορικά διαπιστωμένη

44 28 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας μέτρηση του μεγέθους της σφαιρικής Γης, όταν με απλούστατα αλλά μεθοδικά τέλεια μέσα, υπολόγισε τη διαφορά του γεωγραφικού πλάτους μεταξύ των πόλεων Συήνης (σημερινό Ασσουάν) και Αλεξάνδρειας με αστρονομικές μεθόδους και υπολόγισε το μήκος της περιμέτρου της Γης σε km (μια πολύ ακριβή τιμή συγκρινόμενη με τη γνωστή σήμερα γήινη περίμετρο των περίπου km). Η έννοια μιας σφαιρικής Γης, όπως εμφανίζεται και στις θεαματικές εικόνες από το διάστημα (Σχ. 1.13), προσφέρει μια απλή επιφάνεια που είναι από μαθηματική άποψη εύκολο να εξεταστεί. Πολλοί αστρονομικοί και υπολογισμοί πλοήγησης τη χρησιμοποιούν ως επιφάνεια που αντιπροσωπεύει τη Γη, χωρίς ωστόσο η εν λόγω προσέγγιση να είναι ικανοποιητική για γεωδαιτικές εφαρμογές, όπου απαιτούνται μετρήσεις σε μεγάλες αποστάσεις μεταξύ σημείων, ακόμα και μεταξύ ηπείρων και ωκεανών και κατά συνέπεια είναι απαραίτητη μια ακόμα ακριβέστερη επιφάνεια αναφοράς. Το γεωειδές είναι εκείνη η ισοδυναμική (χωροσταθμική) επιφάνεια του πεδίου της γήινης βαρύτητας που προσεγγίζει περισσότερο τη Μέση Στάθμη Θάλασσας (ΜΣΘ, Mean Sea Level) που εκτείνεται και κάτω από τις ηπείρους (αφού προηγουμένως έχουν ληφθεί υπόψη οι επιδράσεις των παλιρροιών, των θαλασσίων ρευμάτων και των μεταβολών της πυκνότητας και αλμυρότητας του θαλάσσιου νερού). Από τη φυσική σκοπιά θα ήταν η καλύτερη επιλογή ως (φυσική) επιφάνεια αναφοράς, κάτι που υποδηλώνει και η ονομασία γεωειδές, που σημαίνει στην κυριολεξία, η επιφάνεια που είναι κάτι σαν τη Γη (Σχ. 1.14), αφού συμπίπτει με εκείνη την επιφάνεια στην οποία οι ωκεανοί θα προσαρμόζονταν σε ολόκληρη τη Γη εάν ήταν ελεύθεροι να ρυθμίσουν τη συμπεριφορά τους στη συνδυασμένη επίδραση της έλξης της γήινης μάζας και τη φυγοκεντρική ισχύ της γήινης περιστροφής, δηλαδή, τα δύο κύρια συστατικά της βαρύτητας. Σε κάθε σημείο του γεωειδούς η διεύθυνση της Σχήμα 1.14 Το γεωειδές είναι μια μαθηματική, αλλά με φυσική υπόσταση επιφάνεια αναφοράς δύναμης της βαρύτητας (η κατακόρυφος) είναι κάθετη στην επιφάνειά του. Το τελευταίο είναι ιδιαίτερα σημαντικό επειδή στα

45 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 29 τοπογραφικά και γεωδαιτικά όργανα που χρησιμοποιούνται συνήθως για τις γεωδαιτικές μετρήσεις, όταν ρυθμίζονται κατάλληλα, ο κάθετος άξονας τους συμπίπτει με την διεύθυνση της βαρύτητας και είναι, επομένως, κάθετος στο γεωειδές. Το γεωειδές υλοποιείται από τη MΣΘ, µε ακρίβεια ± 1 m για όλη τη Γη, ενώ αποτελεί και την πιο γραφική αντιπροσώπευση του γήινου πεδίου βαρύτητας. Από τη γεωδαισία είναι γνωστό ότι η MΣΘ λαμβάνεται ως η στάθμη µε μηδέν (ορθομετρικό) υψόμετρο και θεωρείται ως η καταλληλότερη επιφάνεια αναφοράς για τα ορθομετρικά υψόμετρα (υψομετρικό datum) που προσδιορίζονται συνήθως µέσω των διαδικασιών γεωμετρικής χωροστάθμησης. Αντιθέτως, το γεωειδές ως μια πολύπλοκη μαθηματική επιφάνεια δεν είναι κατάλληλη για τον οριζόντιο (δυσδιάστατο) προσδιορισμό θέσης και συνεπώς αντί αυτού είναι αναγκαίο να επιλεχθεί μια άλλη επιφάνεια αναφοράς που να διαφέρει λίγο από το γεωειδές και να είναι απλούστερη από μαθηματική άποψη. Σχήμα 1.15 Το γήινο ελλειψοειδές αναφοράς Από τα μέσα του 20 ου αιώνα, η χρήση των τεχνητών δορυφόρων και η έρευνα στις γεωεπιστήμες συνέβαλαν με δραστικές βελτιώσεις στην ακριβέστερη προσέγγιση του σχήματος της Γης. Η αρχική σκοπιμότητα και το κίνητρο για την επίτευξη αυτής της βελτιωμένης ακρίβειας ήταν να παρασχεθούν ακριβή γεωγραφικά δεδομένα και στοιχεία βαρύτητας για τα αδρανειακά συστήματα εντοπισμού και πλοήγησης της εποχής. Δεδομένου ότι η Γη, όπως είναι εύκολα αντιληπτό σήμερα και από τους δορυφόρους, δεν είναι σφαιρική αλλά στην πραγματικότητα είναι ελαφρώς πεπλατυσμένη στους πόλους και αντίστοιχα ελαφρώς διογκωμένη στον ισημερινό, το γεωμετρικό σχήμα που χρησιμοποιείται στη γεωδαισία ώστε να προσεγγιστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια η μορφή της Γης είναι το ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ellipsoid of revolution) ή το διαξονικό ελλειψοειδές ή σφαιροειδές (bi-axial oblate ellipsoid ή spheroid), δηλαδή το σχήμα που προκύπτει με την περιστροφή μιας έλλειψης ως προς τον μεγάλο ή τον μικρό άξονά της. Ένα γήινο ελλειψοειδές εκ περιστροφής που περιγράφει το σχήμα της Γης αποκαλείται γήινο ελλειψοειδές αναφοράς (Σχ. 1.15).

46 30 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας Η χρήση του γήινου ελλειψοειδούς ως επιφάνειας αναφοράς σε παγκόσμιο επίπεδο, για μια ήπειρο ή ακόμα και για μια χώρα δημιουργεί επίσης την ανάγκη καθορισμού με ακρίβεια της γεωμετρικής θέσης του κέντρου του ελλειψοειδούς σε σχέση με το κέντρο μάζας της Γης. Η διαφορά μεταξύ ενός ελλειψοειδούς αναφοράς που αντιπροσωπεύει τη Γη και μιας σφαίρας είναι πολύ μικρή, περίπου μόνο ένα μέρος σε 300, που ισοδυναμεί με μια διαφορά της πολικής ακτίνας (μικρού ημι-άξονα) του γήινου ελλειψοειδούς κατά περίπου 21 km λιγότερο από την αντίστοιχη ισημερινή ακτίνα (μεγάλου ημι-άξονα) του. Το πιο πρόσφατα γήινα ελλειψοειδή αναφοράς είναι το GRS80 - Geodetic Reference System 1980 (IAG, 1980, Wikipedia, 2008α) και το WGS84 - World Geodetic System 1984 (NIMA, 2000), όπου το GRS80 απλά ορίζεται από ένα ελλειψοειδές αναφοράς και ένα πρότυπο μοντέλο του κανονικού γήινου πεδίου βαρύτητας, όπως θα αναλυθεί στην ενότητα 4, ενώ το WGS84 είναι ένα πλήρες γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς που επιπλέον περιλαμβάνει και ένα μοντέλο του γήινου γεωδυναμικού, εκείνο του EGM96 (Lemoine et. al., 1998), Σχ Σχήμα 1.16 Χάρτης του γεωειδούς από το γεωδυναμικό μοντέλο αρμονικών συντελεστών EGM96 (Earth Geopotential Model 1996).

47 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 31 Στις γεωδαιτικές εφαρμογές, ο υπολογισμός των γεωδαιτικών συντεταγμένων των σημείων εκτελείται συνήθως στο ελλειψοειδές αναφοράς που από μαθηματική άποψη είναι μια καθορισμένη κανονική επιφάνεια με συγκεκριμένες διαστάσεις. Οι πραγματικές μετρήσεις που γίνονται στην επιφάνεια της γης με ορισμένα όργανα εν τούτοις αναφέρονται στο γεωειδές. Εξ αιτίας της ανώμαλης διανομής της γήινης μάζας, η επιφάνεια του γεωειδούς είναι ανώμαλη και, κατά συνέπεια, υπάρχουν σημαντικές διαφορές μεταξύ των δύο επιφανειών, του ελλειψοειδούς και του γεωειδούς, της τάξης των ±100 m, οι οποίες αναφέρονται ως αποχές του γεωειδούς (geoidal undulations) ή υψόμετρα του γεωειδούς (geoid heights). Η γωνία μεταξύ της καθέτου στο γεωειδές ή του διανύσματος της βαρύτητας (κατά την διεύθυνση της κατακορύφου ) και της κάθετου στο ελλειψοειδές ορίζεται ως η εκτροπή ή απόκλιση της κατακορύφου (deviation of the vertical), η οποία έχει δύο συνιστώσες: μια κατά τη διεύθυνση Ανατολής-Δύσης και μια κατά τη διεύθυνση Βορρά-Νότου. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι ο συνδυασμός αστρονομικών και γεωδαιτικών παρατηρήσεων απαιτεί τη γνώση της απόκλισης της κατακορύφου. Αντίστοιχα, με τις αποχές του γεωειδούς, οι αποκλίσεις της κατακορύφου δεν υπερβαίνουν τα ±60 arcsec (δευτερόλεπτα τόξου) σε όλη τη Γη. 1.6 Το γνωστικό αντικείμενο της Φυσικής Γεωδαισίας Η Φυσική Γεωδαισία αποτελεί μέρος του ευρύτερου γνωστικού αντικειμένου της επιστήμης της Φυσικής της Γης και εστιάζει στην μελέτη των φυσικών ιδιοτήτων του πεδίου βαρύτητας της Γης και των διαχρονικών μεταβολών του. Αποτελεί όχι μόνο μια επιστημονική περιοχή για τη μελέτη του σχήματος και του πεδίου βαρύτητας της Γης, αλλά και μια χρήσιμη εφαρμοσμένη τεχνολογία για τη μελέτη της Γης ως ένα δυναμικό σύστημα που υποβάλλεται συνεχώς σε αλλαγές. Δεδομένου ότι οι διαδικασίες της αλλαγής έχουν επιπτώσεις στη γήινη τοπογραφία τα ύψη του εδάφους, των πάγων, και της επιφάνειας των ωκεανών μεταβάλλουν επίσης τη διανομή της μάζας μέσα στη Γη και αλλάζουν συνεπώς το πεδίο βαρύτητάς της. Η φυσική γεωδαισία συνδυάζει τη γνώση που έρχεται κάτω από το μαθηματικό γνωστικό αντικείμενο της θεωρίας του γήινου δυναμικού και τον επιστημονικό κλάδο της γεωφυσικής. Ως μέρος της Γεωδαισίας, είναι διαφορετική από άλλες γνωστικές υπό-περιοχές της Γεωδαισίας δεδομένου ότι ενδιαφέρεται για ποσότητες που αφορούν πεδία δυνάμεων που είναι συνεχείς ποσότητες, αντίθετα π.χ. με άλλες γεωδαιτικές μετρήσεις όπως σημείων εντοπισμού, γεωδαιτικά δίκτυα και εικονοστοιχεία (pixels) που εκ φύσεως αφορούν σημειακές ποσότητες. Η προσαρμογή του ελλειψοειδούς αναφοράς (συνήθως του μέσου γήινου ελλειψοειδούς) στο γεωειδές και ο ακριβής προσδιορισμός των υψομέτρων του γεωειδούς αποτελούν ένα από τα κύρια πρακτικά προβλήματα της Φυσικής

48 32 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας Γεωδαισίας, που μπορεί να αντιμετωπιστούν χρησιμοποιώντας είτε γεωμετρικές, είτε φυσικές επίγειες ή δορυφορικές μεθόδους. Οι επίγειες μετρήσεις βαρύτητας διακρίνονται σε δύο συγκεκριμένους διαφορετικούς τύπους μετρήσεων: απόλυτες και σχετικές μετρήσεις βαρύτητας. Απόλυτες μετρήσεις γίνονται κυρίως σε μικρό αριθμό επιλεγμένων σταθμών (εξ αιτίας του υψηλού κόστους τους και των χρονοβόρων διαδικασιών που απαιτούν) και χρησιμεύουν κυρίως να καθιερώσουν σημεία αναφοράς και την κλίμακα για σχετικές μετρήσεις βαρύτητας. Μερικά από τα θεμελιώδη προβλήματα της φυσικής γεωδαισίας απαιτούν γνώση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε πάρα πολλά σημεία που πρέπει να κατανέμονται ομοιόμορφα την ολόκληρη επιφάνεια της Γης. Δεδομένου ότι οι απόλυτες μετρήσεις βαρύτητας έχουν υψηλό κόστος και είναι εξαιρετικά χρονοβόρες και, μέχρι πρόσφατα, δεν μπορούσαν να ληφθούν με ικανοποιητική ακρίβεια, οι σχετικές μετρήσεις βαρύτητας στο έδαφος, εν πλω, ή στον αέρα γίνονται με ειδικά όργανα, με τα βαρύμετρα, τα οποία χρησιμοποιούνται για να καθιερώσουν ένα πυκνό δίκτυο σημείων μετρήσεων βαρύτητας όπου αυτά απαιτούνται. Οι σύγχρονες γεωμετρικές τεχνικές περιλαμβάνουν το GPS και τα δορυφορικά ραντάρ αλτιμετρίας (satellite radar altimetry), βλ. Fu and Cazenave (2000) και Hwang et al. (2004). Η γνώση των υψομέτρων του γεωειδούς με υψηλή ακρίβεια αποκτά σήμερα ιδιαίτερη βαρύτητα, δεδομένου ότι καθιστά πρακτικά εφικτό, σε πολλές περιπτώσεις, τον μετασχηματισμό των γεωμετρικών υψομέτρων που παρέχει το GPS σε υψόμετρα πάνω από τη μέση στάθμη θάλασσας (δηλ. το γεωειδές), χωρίς την ανάγκη των χρονοβόρων και υψηλού κόστους των παραδοσιακών τεχνικών χωροστάθμησης. Αντίστοιχα, μετρήσεις GPS, όταν συνδυάζονται με ορθομετρικά υψόμετρα στα ίδια σημεία, δίνουν διακριτές σημειακές τιμές της θέσης του γεωειδούς. Εντούτοις, τέτοιες κοινές μετρήσεις δεν είναι γενικά διαθέσιμες σε πυκνό αριθμό σημείων και δεν παρέχουν τις απαραίτητες πληροφορίες για τη χρήση του γεωειδούς για τις περισσότερες γεωδαιτικές και γεωφυσικές εφαρμογές. Ωστόσο, συνδυασμένη χρήση τους με σύγχρονα μοντέλα του γεωδυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές επιτρέπει τον ακριβή προσδιορισμό του γεωειδούς σε τοπικό επίπεδο. Στις θαλάσσιες περιοχές, τα δορυφορικά ραντάρ αλτιμετρίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογισθεί η μέση ωκεάνια επιφάνεια (Mean Sea Surface), η οποία περιλαμβάνει το γεωειδές και τη δυναμική τοπογραφία των ωκεανών (της τάξης των ± 2m) που οφείλεται κυρίως στην γενική κυκλοφορία των ωκεανών, τα μεγάλα ρεύματα (Gulf Stream, Kuroshio), κ.ά. (Σχ. 1.17). Αυτές οι δορυφορικές μετρήσεις των υψομέτρων του γεωειδούς μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να παραγάγουν άλλες ποσοτικές παραμέτρους του πεδίου βαρύτητας για της θαλάσσιες περιοχές, όπως ανωμαλίες βαρύτητας.

49 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 33 Σχήμα 1.17 Η μέση ωκεάνια επιφάνεια (επάνω) περιλαμβάνει το γεωειδές και την δυναμική τοπογραφία των ωκεανών (κάτω)

50 34 Σύντομη επισκόπηση της κλασσικής και της σύγχρονης θεώρησης της βαρύτητας Το γήινο πεδίο βαρύτητας συνδέει έννοιες της Φυσικής Γεωδαισίας με γεωφυσικές και γεωδυναμικές εφαρμογές, όπως η χρήση των ανωμαλιών της βαρύτητας στις γεωφυσικές διασκοπήσεις (π.χ. γεωμεταλλευτικές έρευνες) και την εξέταση γεωδυναμικών φαινομένων. Γεωφυσικές παρατηρήσεις, όπως οι χρόνοι διάδοσης, το εύρος και οι συχνότητες των σεισμικών κυμάτων, η ροή της θερμότητας δια μέσου της επιφάνειας της Γης και μετρήσεις του γήινου μαγνητικού πεδίου, αποτελούν παραδοσιακά τις κυρίες πηγές πληροφορίας για τη δομή του εσωτερικού της Γης. Μαζί με γεωδαιτικές παρατηρήσεις του γήινου πεδίου βαρύτητας στον εξωτερικό χώρο της γήινης επιφάνειας και παρατηρήσεις για τον ακριβή προσδιορισμό του σχήματος του πλανήτη μας παρέχουν περαιτέρω δεσμεύσεις για τα μοντέλα που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά της Γης. Πολλές από τις γεωφυσικές παρατηρήσεις είναι συμβατές με σφαιρικά μοντέλα της Γης που υποθέτουν μια ακτινωτά συμμετρική κατανομή της γήινης μάζας. Ωστόσο, τις τελευταίες δεκαετίες, από δορυφορικές παρατηρήσεις του γήινου πεδίου βαρύτητας έχει αναδειχθεί ότι η πλευρική δομή των γήινων μαζών είναι ιδιαίτερα σημαντική για τη μελέτη των φυσικών ιδιοτήτων της Γης, δεδομένου ότι οι εν λόγω παρατηρήσεις συνηγορούν για την ύπαρξη μιας μη-υδροστατικής κατάστασης στο εσωτερικό της Γης. Τα εν λόγω παγκόσμια μοντέλα βαρύτητας παρέχουν πλέον τις δυνατότητες μελέτης των δυναμικών διεργασιών που επιτελούνται στο εσωτερικό της Γης και παρέχουν μια επιπλέον δέσμευση στα μοντέλα για την παρούσα γεωλογική δομή και, εμμέσως, για την γεωλογική εξέλιξη της Γης. Για τους παραπάνω γεωφυσικούς σκοπούς, η μέχρι πρότινος κάλυψη της επιφάνειας της Γης με μετρήσεις βαρύτητας δεν μπορούσε με κανένα τρόπο να θεωρηθεί πλήρης. Υπάρχουν πολλές μεγάλες περιοχές στις ηπείρους όπου οι επίγειες μετρήσεις βαρύτητας λείπουν εντελώς ή είναι διαθέσιμες μόνο σε σχετικά μικρό αριθμό σημείων. Η δορυφορική αλτιμετρία έχει εν πολλοίς υπερνικήσει σήμερα αυτήν την ανεπάρκεια τουλάχιστον στις ωκεάνιες περιοχές. Ωστόσο, για τις άλλες περιοχές όπου ο αριθμός των μετρήσεων βαρύτητας παραμένει ανεπαρκής, μια ουσιαστική βελτίωση μπορεί μόνο να προέλθει από τις νέες τεχνικές, που είναι δυνατές από τις εν ενεργεία ή επερχόμενες διαστημικές αποστολές που στοχεύουν αποκλειστικά στη διαχρονική λεπτομερή παρατήρηση του γήινου πεδίου βαρύτητας. 1.7 Σύγχρονες εξελίξεις στις τεχνολογίες μέτρησης του γήινου πεδίου βαρύτητας Από τη συζήτηση που προηγήθηκε στις παραπάνω ενότητες, είναι εύκολα κατανοητό ότι το πεδίο βαρύτητας διαδραματίζει έναν διπλό ρόλο στις γεωεπιστήμες. Αφ' ενός, με τη σύγκριση του πραγματικού πεδίου με το πεδίο βαρύτητας ενός εξιδανικευμένου σώματος (π.χ. ενός χωροσταθμικού ελλειψοειδούς σε υδροστατική

51 Φυσική Γεωδαισία Θεωρητικές και Τεχνολογικές Βάσεις 35 ισορροπία) μπορούν να καθοριστούν ανωμαλίες της βαρύτητας που χαρακτηρίζουν τις αποκλίσεις από μια κατάσταση της εσωτερικής ισορροπίας της Γης (δηλαδή μη ακτινικά διαμορφούμενες παραλλαγές της γήινης πυκνότητας) και συνεπώς επιτρέπουν (σε συνδυασμό με άλλες γεωφυσικές μεθόδους όπως οι σεισμικές, ηλεκτρομαγνητικές κ.ά.) τη αποτελεσματική μελέτη του εσωτερικού της Γης και την καλύτερη κατανόηση διάφορων φαινομένων, όπως για παράδειγμα τη συσσώρευση των πιέσεων που μπορούν να προκαλέσουν σεισμούς. Αφ ετέρου, η γνώση ενός βελτιωμένου πεδίου βαρύτητας έχει ένα σημαντικό ρόλο να παίξει στη σύνδεση του γήινου πεδίου βαρύτητας και της δορυφορικής αλτιμετρίας, προσφέροντας, για παράδειγμα, νέες δυνατότητες διαχωρισμού των υψομέτρων του γεωειδούς από τη δυναμική τοπογραφία των ωκεανών, κάτι που είναι ιδιαίτερα σημαντικό για τον υπολογισμό των ωκεάνιων ρευμάτων από τις κλίσεις της στάθμης θάλασσας σχετικά με την επιφάνεια αναφοράς. Επιπλέον, η παρατήρηση των χρονικών μεταβολών της βαρύτητας θα βοηθήσει να μελετηθεί ένα ευρύτερο φάσμα γεωφυσικών φαινομένων, π.χ. σχετικών με τη γήινη υδρολογία σε παγκόσμιο επίπεδο. Σχ Οι δορυφόροι CHAMP, GRACE και GOCE Για την εκπλήρωση των παραπάνω επιστημονικών στόχων, μια σειρά από αντιπροσωπευτικές δορυφορικές αποστολές για τη μελέτη του γήινου πεδίου βαρύτητας (Σχ. 1.18), όπως οι σε λειτουργία αποστολές του δορυφόρου CHAMP (Challenging Mini-Satellite Payload for Geophysical Research and Application) που εκτοξεύθηκε το 2000, των διδύμων δορυφόρων της αποστολής GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment) που είναι σε τροχιά από το 2002 (Reigber, 2002), καθώς και η επερχόμενη αποστολή GOCE (Gravity field and steady- state Ocean Circulation Explorer) που η έναρξη της προγραμματίζεται για το 2009 (ESA, 2006). Οι αποστολές αυτές έχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να επιτρέψουν τον προσδιορισμό του στατικού και μεταβλητού μέρους του γήινου πεδίου βαρύτητας, με ανεπανάληπτη μέχρι σήμερα ακρίβεια. Οι ιδιαίτερα ακριβείς μετρήσεις της γήινης βαρύτητας μαζί με την κατάλληλη χωρική και χρονική δειγματοληψία που αναμένεται να προκύψουν μπορούν έτσι να χρησιμοποιηθούν για να καλύτερα κατανοητές οι διαδικασίες που κινούν τη μάζα μέσα στη Γη, καθώς και τις μεταβολές στην επιφάνεια (π.χ. γεωτεκτονικές διεργασίες, φυσικές απώλειες υδάτινων πόρων) ή ακόμα και επάνω