i) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "i) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και"

Θεοδοσία Θεοτόκης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

Ένα καροτσάκι που περιέχει άµµο, συνολικής µάζας M, εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση σε λείο επίπεδο, µε τη βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k.

1 Ένα καροτσάκι που περιέχει άµµο, συνολικής µάζας M, εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση σε λείο επίπεδο, µε τη βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ένα σφαιρίδιο µάζας m<m αφήνεται να πέσει απο ύψος h εκ της επιφά νειας της άµµου του καροτσιού και σφηνώνεται σ αυτήν, όταν το καρότσι βρίσκεται σε απόσταση x από τη θέση ισορροπίας του. Eάν το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού πριν την κρούση του µε το σφαιρίδιο είναι x, να βρεθούν: i) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και ii) η ελάττωση της µηχανικής ενέργειας του συστήµατος καροτσά κι-σφαιρίδιο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εάν v είναι η ταχύτητα του καροτσιού λίγο πριν την κρούση του µε το σφαιρίδιο και ω η γωνιακή του συχνότητα, θα ισχυει η σχέση: v = x - x = k / M x - x = ( k / M) ( x - x ) () Eξάλλου v ' εάν είναι η ταχύτητα του συσσωµατώµατος καρότσι-σφαιρίδιο αµέσως µετά την κρούση, ω η νέα γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσής του και x το ζητούµενο πλάτος της ταλάντωσης, θα ισχύει: v'= ' x' -x = k /(M + m) x' -x = ( k /(M + m) )( x' -x ) () Όµως κατά τον πολύ µικρό χρονο Δt (Δt ) που διαρκεί η πλαστική κρούση του σφαιριδίου µε το καρότσι η ώθηση της δύναµης από το παραµορφωµένο ελατήριο είναι ασήµαντη (τείνει στο µηδέν) που ση

2 µαίνει ότι η ορµή του συστήµατος κατά την οριζόντια διεύθυνση δεν µεταβάλλεται στον χρόνο Δt, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τη σχέ ση: (),() Mv=(M+m)v' M ( ) =(M+m) k & x M -x km( x -x )= k(m+m) ( x' -x ) x' - x = x' = x + M M+m x - x ( ) x' = x + M ( ) k M+m ) & x' -x ( ) M M+m x - x ( ) (3) M+m x - x ii) Λόγω της πλαστικής κρούσεως του σφαιριδίου µε την άµµο που περιέχεται στο καρότσι η µηχανική ενέργεια του σύστήµατος µειώνε ται κατά τον χρόνο Δt και η µείωση αυτή είναι: E = k x + mgh - k x' (3) ( ) E = k x M - x - M+m x - x ' & + mgh E = ( ) + mgh km (M+m) x - x Ένα ελατήριο κόβεται σε δύο τµήµατα µε µήκη L και L. Eάν T, T, T είναι οι περίοδοι ταλάντωσης ενός σώµατος µε τη βοήθεια του αρχικού ελατηρίου και των δύο ελατηρίων που θα προκύψουν από το κόψιµο του αρχικού ελατηρίου, να δείξετε τη σχέση: T + T = T ΛYΣH: Tα δύο ελατήρια που θα προκύψουν αν κόψουµε το αρχικό ελατήριο σε δύο τµήµατα µε φυσικά µήκη L και L, θα έχουν όµοιες σπείρες µε εκείνες του αρχικού ελατηρίου και εποµένως αν τεντωθούν κατά τη διεύ θυνση του γεωµετρικού τους άξονα µε την ίδια δύναµη F, η µονάδα µήκους των τριών ελατηρίων θα υποστεί την ίδια επιµήκυνση, έστω x *. Έτσι, εάν ΔL, ΔL, ΔL είναι οι επιµηκύνσεις του αρχικού ελατηρίου και των δύο άλλων που θα προκύψουν από το κόψιµό του, εάν τεντωθούν µε τη δύναµη F, θα ισχύουν οι σχέσεις: F=kΔL F=k(L +L )x * ()

3 F=k ΔL F=k L x * () F=k ΔL F=k L x * (3) όπου k, k, k οι σταθερές του αρχικού ελατηρίου και των δύο τµηµάτων του αντιστοίχως. Aπό (), () k(l +L )x * =k L x * k = k(l + L )/L (4) Aπό (), (3) k(l +L )x * =k L x * k = k(l + L )/L (5) Eξάλλου για τις περιόδους ταλάντωσης T, T ενός σώµατος µάζας m, µε τη βοήθεια κάθε ελατηρίου χωριστά, θα ισχύουν οι σχέσεις: T = m/k T = m/k T = 4 m/k T = 4 m/k (+ ) T + T = 4 m + ' k k & (4),(5) T + T L = 4 m k(l + L ) + L ' k(l + L )& T + T = 4 m L + L ' = 4 m k(l + L )& k T + T = T Στις άκρες ενός ελατηρίου σταθεράς k, στερεώ νονται δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m. Tα σώµατα βρίσκονται σε επαφή µε λείο οριζόντιο επίπεδο, ο δε άξο νας του ελατηρίου είναι παράλληλος µε το επίπεδο αυτό. Mετακι νούµε τα δύο σώµατα κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, ώστε αυτό να συσπειρωθεί και τα αφήνουµε ελεύθερα. Nα δείξετε ότι, κάθε σώµα θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση της ίδιας περιόδου, την οποία να υπολογίσετε. ΛYΣH: Στη διάρκεια της ταλάντωσης του συστήµατος των δύο σωµάτων πάνω στο λείο οριζόντιο επιπέδο η ορµή του διατηρείται σταθερή, αφού επί του συστήµατος δεν ενεργούν οριζόντιες εξωτερικές δυνάµεις. Όµως κατά την έναρξη της ταλάντωσης των σωµάτων η ορµή του συστήµατος είναι µηδέν, γεγονός που σηµαίνει ότι και κάθε στιγµή θα είναι µηδέν, δηλαδή το κέντρο µάζας O του συστήµατος θα είναι ακίνητο. Mπορούµε λοιπόν να ισχυ ριστούµε ότι, υπάρχει ένα σηµείο του ελατηρίου, αυτό που ταυτίζεται µε το κέντρο µάζας O των δύο σωµάτων, το οποίο είναι συνεχώς ακίνητο. Έτσι τα

4 σώµατα Σ και Σ εκτελούν οριζόντιες αρµονικές ταλαντώσεις µε τη βοήθεια δύο οριζόντιων ελατηρίων µε σταθερές k και k, ως αυτά να ήσαν στερεωµέ να στο σηµείο O. Eάν L, L είναι τα φυσικά µήκη των δύο αυτών ελατη ρίων, τότε σύµφωνα µε τοπροηγούµενο παράδειγµα θα ισχύουν οι σχέσεις: k = k(l + L )/ L k = k(l + L )/ L (:) k k = L L () Eξάλλου, εάν T, T είναι οι περίοδοι ταλάντωσης των δύο σωµάτων θα έχουµε: T = m /k T = m /k (:) T T = () m k m k T T = m L m L () Όµως, όταν τα δύο σώµατα βρίσκονται στις θέσεις ισορροπίας τους οι αποστά σεις τους από το κέντρο µάζας τους O θα είναι L και L αντιστοίχως, οπότε θα ισχύει η σχέση m L =m L. Έτσι η σχέση () γράφεται: T /T = T = T (3) Aκόµη η σταθερά ταλάντωσης k µπορεί να µετασχηµατιστεί ως εξής: () k = k(l + L )/ L = k( + L / L ) k = k( + m / m )= k(m + m )/ m (4) Έτσι η περίοδος ταλάντωσης T θα είναι: T = m k (3),(4) T = T = m m k(m + m ) Ένα σώµα µάζας m, εκτελεί πάνω σε λείο ορι ζόντιο επίπεδο απλή αρµονική ταλάντωση, µε τη βοήθεια σπειροει δούς ελατηρίου. Kάποια στιγµή που το µέτρο της ταχύτητάς του σώµατος είναι v, αυτό δέχεται στιγµιαία ώθηση της οποίας ο φορέας συµπίπτει µε την ευθεία ταλάντωσης του σώµατος, η δε φορά της είναι προς το κέντρο της ταλάντωσης. Όταν η ώθηση αυτή είναι οµόρροπη της ταχύτητας του σώµατος, τότε το πλάτος

ταλάντωσης του σώµατος γίνεται x, ενώ όταν η ώθηση είναι αντίρροπη της ταχύτητας, τότε το πλάτος ταλάντωσης γίνεται x, µε x <x. Nα βρεθεί το µέτρο της ώθησης που δέχθηκε το σώµα.

5 ταλάντωσης του σώµατος γίνεται x, ενώ όταν η ώθηση είναι αντίρροπη της ταχύτητας, τότε το πλάτος ταλάντωσης γίνεται x, µε x <x. Nα βρεθεί το µέτρο της ώθησης που δέχθηκε το σώµα. Δίνε ται η περίοδος T της ταλάντωσης του σώµατος. ΛYΣH: Eφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά το βρα χύ χρονικό διάστηµα που ενεργεί πάνω σ αυτό η ώθηση έχουµε τις σχέ σεις: mv = mv +, v ± mv = -mv +, v () & όπου v η ταχύτητα του σώµατος αµέσως µετά την δράση της ώθησης στην περίπτωση που αυτή είναι οµόρροπη της v και v η αντίστοιχη ταχύτητα όταν η ώθηση είναι αντίρροπη της v. Aφαιρώντας κατά µέλη τις δύο σχέσεις έχουµε: m(v ± v ) = mv v = v ± v () Eφαρµόζοντας εξάλλου στις δύο περιπτώσεις την αρχή διατήρησης της ενέργειας για τη απλή αρµονική ταλάντωση που εκτελεί το σώµα, αµέσως µετά τη δράση της ώθησης, παίρνουµε τις σχέσεις: Dx / = mv / + Dx /, v Dx / = mv / + Dx /, v όπου x η αποµάκρυνση του σώµατος κατά το µικρό χρονικό διάστηµα που δρα σ αυτό η ώθηση και D η σταθερά της ταλάντωσης. Aφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) έχουµε: m(v - v ) = D(x - x ) m(v + v )(v - v ) = m (x - x ) (v + v )(v - v ) = 4 (x - x )/T (4) i) Eξετάζουµε την περίπτωση v -v =v, oπότε η (4) γράφεται: v(v + v ) = 4 (x - x )/T v + v = (x - x )/vt (5) & (3)

6 Aπό τη λύση του συστήµατος των (4) και (5) παίρνουµε: v = (x - x )/T + v v - v = (x - x )/T (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (6) έχουµε: = m (x - x )/T ii) Eξετάζουµε την περίπτωση v +v =v, oπότε η (3) γράφεται: v(v - v ) = 4 (x - x )/T v - v = (x - x )/vt (7) Aπό τη λύση του συστήµατος των (3) και (6) παίρνουµε: v = (x - x )/T + v v - v = (x - x )/T Έτσι για το µέτρο της ώθησης θα έχουµε: = m (x - x )/T Παρατηρούµε ότι και στις δύο περιπτώσεις η ώθηση είναι η ίδια. Ένα σώµα µάζας M, στερεώνεται ανάµεσα σε δύο οριζόντια ελατήρια που έχουν σταθερές k και k, όπως φαίνε ται στο σχήµα. Tο σώµα µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόν τιο επίπεδο και εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του κατά x. i) Nα δείξετε ότι το σώµα θα εκτελέσει γ.α.τ. της οποίας να υπολογί σετε την περίοδο. ii) Tη στιγµή που το σώµα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του προσκρούει κατακόρυφα πάνω σ αυτό και συσσωµατώνεται, ένα µικρό σφαιρίδιο πλαστελίνης µάζας m. Nα βρεθεί το νέο πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. iii) Nα υπολογιστούν οι ωθήσεις των δυνάµεων που ασκούν τα δύο ελατήρια στο συσσωµάτωµα, για το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί από τη στιγµή της κρούσης µέχρις ότου µηδενιστεί η ταχύτητά του για πρώτη φορά. Nα δεχθείτε ότι τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους µήκος, όταν το σώµα βρίσκεται στο κέντρο της ταλάντωσής του. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε το σώµα σε µια τυχαία θέση M όπου η αποµάκρυνσή του ως προς τη θέση ισορροπίας του O είναι x. Tο σώµα στη θέση αυτή δέχεται το βάρος του w, την κατακόρυφη αντίδραση N απο το λείο οριζόν

7 τιο επίπεδο, τη δύναµη F από το τεντωµένο ελατήριο σταθεράς k και τη δύναµη F από το συµπιεσµένο ελατήριο σταθεράς k. H συνισταµένη F των οριζόντιων δυνάµεων F και F είναι αντίρροπη της αποµάκρυνσης x του σώµατος, δηλαδή αποτελεί δύναµη επαναφοράς αυτού στη θέση ισορροπίας του O, η δε αλγεβρική της είναι: F = -F - F = -k x - k x F = - (k + k )x () H σχέση () εγγυάται ότι, το σώµα εκτελεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο α.α.τ. πλάτους x, µε σταθερά ταλάντωσης D=k +k, οπότε η περίοδος T της ταλάντωσης αυτής θα είναι: T = m D = m k + k () ii) Aς εξετάσουµε τώρα τι ακριβώς συµβαίνει, κατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt (Δt ) της πλαστικής κρούσης του σώµατος µε το σφαιρίδιο της πλαστελίνης. Eπειδή η κρούση συµβαίνει στη θέση ισορροπίας O του σώµατος η δύναµη επαναφοράς F κατά το χρονικό διάστηµα Δt είναι µηδε νική, οπότε το σύστηµα σώµα-σφαιρiδιο είναι µονωµένο κατά το χρόνο Δt. Aυτό σηµαίνει ότι η ορµή του συστήµατος δεν µεταβάλλεται στη διάρκεια του χρόνου Δt, δηλαδή ισχύει: M v + m = (M + m) v ' Mv = (M + m)v' (3) όπου v η ταχύτητα του σώµατος λίγο πριν τη κρούση του και v ' η ταχύτ ητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. Όµως για τις ταχύτητες αυτές ισχύουν ακόµη οι σχέσεις: v = x = x D/ m v' = x' '= x' D/(M + m) (4) όπου x το νέο πλάτος ταλάντωσης του συσσωµατώµατος και ω, ω οι γωνια κές συχνότητες ταλάντωσης του αρχικού σώµατος και του συσσωµατώµατος αντιστοίχως. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε: x D/ m = x' (M + m) D/(M + m) x' = x M/(M + m) (5)

8 iii) Eφαρµόζοντας για το συσσωµάτωµα το θεώρηµα ώθησης ορµής, από την στιγµή της κρούσης, µέχρι τη στιγµή που η ταχύτητά του µηδενίζεται για πρώτη φορά, παίρνουµε τη σχέση: P = P & + ' F + ' F = (M + m) v ' + F + F (6) όπου F, F οι αντίστοιχες ωθήσεις των δυνάµεων F και F που δέχεται το συσσωµάτωµα από τα δύο παραµορφωµένα ελατήρια. Oρίζοντας ως θετική φορά πάνω στην οριζόντια διεύθυνση, τη φορά της ταχύτητας v ', η διανυ σµατική σχέση (6) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, η οποία έχει τη µορφή: =(M + m)v' + F + F F + F = -(M + m)v' () F + F = -Mv F + F = -Mx = -Mx D/ m F + F = - x M(k + k ) (7) Όµως για τις αλγεβρικές τιµές των ωθήσεων F, σχέσεις: F ισχύουν και οι και F = (F dt) = (-k xdt) = -k (xdt) (8) F = (F dt) = (-k xdt) = -k (xdt) (9) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: F / F = k / k () όπου T η περίοδος ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. Aπό τη λύση του συστή µατος των (7) και () έχουµε τελικά τις σχέσεις: F = - k x M/(k + k ) F = - k x M/(k + k )

Σχετικά έγγραφα

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο, Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο