i) Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος και να δείξετε ότι δέχεται λύση της µορφής:

Transcript

1 Μικρό σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο οριζόντιου ιδα νικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο προσδένε ται σε κατακόρυφο τοίχωµα όπως φαίνεται στο σχήµα. Το σώµα µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο έδαφος µε το οποίο παρου σιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης µ, που θεωρείται περίπου ίσος µε τον συντελεστή οριακής τριβής του σώµατος. Εκτρέπουµε το σώ µα ώστε το ελατήριο να επιµηκυνθεί από την φυσική του κατάστα ση κατά x 0 και το αφήνουµε ελεύθερο. i Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος και να δείξετε ότι δέχεται λύση της µορφής: µε [ 1-2n - 1 ]"t - -1 n x 0 α α=µ mg/kx 0, ω 2 =k/m, n θετικός ακέραιος ii Nα βρείτε κάτω από ποιές προυποθέσεις το σώµα σταµατά στην θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε το σώµα κατά µια τυχαία στιγµή t που η αποµάκ ρυνσή του από τη θέση Ο, στην οποία το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος θέση αναφοράς είναι x. Το σώµα στη θέση αυτή δέχεται το βάρος του w, τη δύναµη F " από το ελατήριο και τη δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος, που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή ολίσθησης T, η οποία είναι αντίρροπη της ταχύτητας v του σώµατος. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τη σχέση: m d2 x m d2 x dx = -kx T, dt < 0 dx = -kx - T, " = - kx m µ g, dx dt < 0 = - kx m - µ g, dx "

2 dt 2 x = µ 2 g, dx dt < 0 " dt 2 x = -µ 2 g, dx µε ω 2 =k/m 1 Η πρώτη εκ των διαφορικών εξισώσεων 1 δέχεται µερική λύση της µορφής x 1 t=µ g/ω 2 = µ mg/k και η δεύτερη µερική λύση της µορφής x 2 t=- µ g/ω 2 = -µ mg/k, ενώ η λύση της αντίστοιχης οµογενούς και των δύο έχει τη µορ φή x t=aηµωtφ, όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σώµατος. Εποµένως η γενική λύση των 1 έχει τη µορφή: x = Aµ "t µ mg/k, dx/dt < 0 x = Aµ "t - µ mg/k, dx/ 2 Eξάλλου η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του σώµατος δίνεται από τη σχέ ση: v = dx / dt = A "t 3 Aν αναφερθούµε στο χρονικό διάστηµα της πρώτης απλής αιώρησης του σώµατος, τότε θα είναι dv/dt<0, x0=x 0 και dv0/dt=0, oπότε η πρώτη εκ των 2 και η 3 την χρονική στιγµή t=0 δίνουν: x 0 = A 1 µ" 1 µ mg/k 0 = A 1 " 1 x = A µ" µ mg/k = " 1 x 0 = A 1 µ mg/k 1 = "/2 A = x " 1 = /2 µε α= µ mg/kx 0 <1 4 Για την πρώτη εποµένως απλή ταλάντωση του σώµατος ισχύουν οι σχέσεις:

3 1 - "t x µt 5 H πρώτη εκ των 5 εγγυάται ότι η αποδεικτέα σχέση α ισχύει για n=1. Aς δεχθούµε ότι η α ισχύει για n=ρ, όπου ρ θετικός ακέραιος, οπότε θα έχου µε: " [ ]t - -1 "x 0 6 Aς δεχθούµε ακόµα ότι ο ρ είναι περιττός και ότι το σώµα εκτελεί την ρ1 τάξεως απλή ταλάντωσή του, οπότε κατά την έναρξη της ταλάντωσης αυτής θα ισχύει dxρπ/dt=0 και xρπ= x. Οι εξισώσεις της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του σώµατος που καλύπτουν και την ταλάντωση αυτή θα έχουν τη µορφή: x = A 1 "µ t 1 - x 0 v = A 1 t 1 x = A 1 "µ 1 - x 0 1 = 0 t=" x = A 1 "µ 1 - x 0 0 = A 1 1, x = -A 1 - "x 0 1 = /2 7 όπου x η αποµάκρυνση του σώµατος την στιγµή που περατώνεται η ρ τάξε ως απλή ταλάντωσή του. Όµως για την αποµάκρυνση x ισχύει η σχέση: x = x 0 [ " ] - -1 "x 0 = -x 0 [ " ] "x 0 x = -x 0 1-2" οπότε η οι σχέσεις 7 γράφονται: x 0 1-2" = A 1 "x 0 1 = /2 A 1 = x 0 1-2" - " 1 = /2 8 Mε βάση τις σχέσεις 8 οι εξισώσεις της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του σώµατος που καλύπτουν και την ρ1 τάξεως απλή ταλάντωση του σώµα τος θα έχουν τη µορφή: 1-2" - " t - "x 0 1-2" - " µt t - "x 0 µt 1 - [2 1-1]" 1 - [2 1-1]" 9 Η πρώτη εκ των 9 εγγυάται ότι η αποδεικτέα σχέση α ισχύει και για n=ρ1, οπότε επαγωγικώς θα ισχύει και για κάθε νέα πραγµατοποιούµενη απλή ταλάντωση, είτε αυτή είναι περιττής είτε αρτίας τάξεως.

4 ii Αν υπάρχει θέση στην οποία το σώµα θα ακινητεί, πρέπει στη θέση αυτή η ταχύτητά του να είναι µηδενική και επί πλέον η δύναµη από το παραµορ φωµένο ελατήριο να εξουδετερώνει την στατική τριβή, που σηµαίνει ότι το µέτρο της δύναµης αυτής δεν πρέπει να υπερβαίνει την ποσότητα µ mg. Tα παραπάνω απαίτουν στη θέση ισορροπίας του σώµατος να ισχύουν ταυτόχρο να οι σχέσεις: v = 0 " k x µ mg µt = 0 kx 0 1-2n - 1" [ ]t - -1 n " µ mg 9 -x [2n 1-1]" µ"t = 0 [ 1-2n - 1 ] "t - -1 n 1-2n - -1 n " - " 1-2n - -1 n " 10 Διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: Α O n είναι περιττός, οπότε η 10 γράφεται: - " 1-2n " " n " Αν δεχθούµε ότι η επιτρεπτή τιµή n=1/2α1 είναι περιττός αριθµός, τότε για την τιµή αυτή η θέση ισορροπίας του σώµατος, καθορίζεται σύµφωνα µε την α από τη σχέση: " 2 1-2n = x = 0, δηλαδή στην περίπτωση αυτή η µοναδική θέση ισορροπίας του σώµατος είναι εκείνη όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Στην θέση αυτή από κά ποια στιγµή και µετά το σώµα παραµένει αδιατάρακτο, δηλαδή ισχύει διαρ κώς ΣF=0, που σηµαίνει ότι η θέση αυτή είναι πραγµατική θέση ισορροπίας, δηλαδή θέση συµβατή µε την αρχή της αδράνειας. Β O n είναι άρτιος, οπότε η 10 γράφεται: - " 1-2n - " " n " Αν δεχθούµε ότι η επιτρεπτή τιµή n=1/2α είναι άρτιος αριθµός, τότε για την τιµή αυτή η θέση ισορροπίας του σώµατος, καθορίζεται σύµφωνα µε την α από τη σχέση: " 1-2n - = x = 0 2,

5 δηλαδή και στην περίπτωση αυτή η µοναδική θέση ισορροπίας του σώµατος είναι εκείνη όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Παρατήρηση: Όλα τα παραπάνω έχουν νόηµα εφ όσον ο συντελεστής τριβής µεταξύ του σώµατος και του οριζόντιου επιπέδου επιτρέπει στο σώµα να παλινδροµεί αρκετές φορές περι τη θέση ισορροπίας του. Στην περίπτωση πολύ µεγάλου συντελεστή τριβής το σώµα δεν υπερβαίνει ποτέ τη θέση ισορροπίας και η κίνηση του µελετάται πάλι µε την αντίστοιχη διαφορική εξίσωση.