ΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F

Transcript

1 Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k κόβεται σε δύο τµήµατα µε µήκη L και L. Η µία άκρη κάθε τµήµατος συνδέεται στέρεα µε µικρό σφαιρίδιο µάζας m και οι ελέυθερες άκρες τους στερεώνονται σε ακλόνητα σηµεία Α και Β όπως φαίνεται στο σχήµα. Η κατακό ρυφη απόσταση ΑΒ έιναι ίση µε το φυσικό µήκος του ελατηρίου και το σφαιρίδιο κρατείται ακίνητο στο µέσον της απόστασης αυτής. Να βρεθεί ο λόγος L /L ώστε όταν το σφαιρίδιο αφεθεί ελεύθερο να εκτελεί ταλάντωση µε τη µέγιστη περίοδο και να υπο λογιστεί η περίοδος αυτή. ΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w, τη δύναµη F, από το τεντωµένο ελατήριο σταθερας k (επάνω ελατήριο) και τη δύναµη F, από το συµπιεσµένο ελατή ριο σταθερας k (κάτω ελατήριο). Για τα µέτρα των δυνάµεων αυτών ισχύει η σχέση: F, + F, - w = k x + k x = mg (k + k )x = mg ()

2 όπου x η απόσταση του O από τη θέση, όπου το σφαιρίδιο αφέθηκε ελεύθερο και στην οποία θέση τα δύο ελατήρια έχουνν το φυσικό τους µήκος. Στη συνέχεια εξετάζουµε το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση M, όπου η αποµάκ ρυνση του ως προς το O είναι x. Στη θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του w και τις δυνάµεις F, F από τα παραµορφωµένα ελατήρια, οι οποίες είναι αντίρροπες προς το βάρος. Λαµβάνοντας ως θετική φορά πάνω στην κατακόρυφη διεύθυνση τη φορά της αποµάκρυνσης x, η αλγεβρική τιµή της συνισταµένης F " όλων αυτών των δυνάµεων είναι: F " = F + F - w = k(x - x) + k(x - x) - w F " = -(k + k )x = -Dx () µε D=k +k. H σχέση () εγγυάται ότι, το σφαιρίδιο εκτελεί κατακόρυφη απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά ταλάντωσης k +k, η δε περίοδός της T υπολογίζεται από τη σχέση: T = m D = m k + k (3) Εξάλλου εάν L, L είναι τα φυσικά µήκη των τµηµάτων µε σταθερές k και k, έχουν αποδειχθεί σε άλλο λυµένο παράδειγµα οι σχέσεις: k = kl L και k = kl L οπότε η (3) γράφεται: T = m kl(/l + /L ) = ml L kl(l + L ) = ml L kl (4) Aπό την (4) προκύπτει ότι η περίοδος Τ γίνεται µέγιστη, όταν το γινόµενο L L λάβει τη µεγαλύτερη δυνατή τιµή του. Θέτοντας L L =ρ έχουµε: L (L - L ) = L L - L = L - LL + = (5) H (5) αποτελεί εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς L και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, που σηµαίνει ότι η διακρίνουσά της πρέπει να είναι µη αρνητι κή, δηλαδή πρέπει να ισχύει: L - 4 " " L / 4 max = L / 4 H µέγιστη εποµένως τιµή του γινοµένου L L είναι ίση µε L /4, οπότε η µέγιστη τιµή της περιόδου ταλάντωσης του σφαιριδίου είναι: T max = ml 4kL = m k

3 Εξάλλου όταν η περίοδος λάβει την µεγαλύτερη δυνατή τιµή της η εξίσωση (5) θα έχει µια διπλή ρίζα L =L/, οπότε ο ζητούµενος λόγος L /L θα είναι ίσος µε την µονάδα, δηλαδή θα ισχύει: L /L = P.M. fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, στερεώνεται στο ένα άκρο ελαστι κού αβαρούς και µε αρκετά µεγάλο µήκος νήµατος, σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο δένεται σε µια οροφή. Eκτρέπουµε το σφαιρίδιο προς τα κάτω από τη θέση ισορροπίας του κατά mg/k, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας και το αφήνουµε ελεύθερο. Να µελετηθεί η κίνηση του σφαιριδίου και να βρεθεί η µέγιστη από στασή του από το σηµείο που αφέθηκε ελευθερο. ΛYΣH: Eάν O είναι η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου, τότε στη θέση αυτή το βάρος του w εξουδετερώνεται από τη δύναµη F του ελαστικού νήµα τος, δηλαδή ισχύει η σχέση: w = F mg = F () Εκτρέπουµε κατακόρυφα το σφαιρίδιο από τη θέση ισορροπίας του κατά Α, το αφήνουµε ελεύθερο και δεχόµαστε ότι στη διάρκεια της κίνησής του το ελαστικό νήµα δεν χαλαρώνει. Εξετάζοντας το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση Μ, στην οποία η αποµακρυνσή του ως προς τη θέση ισοροπίας του Ο είναι x, και λαµβάνοντας ως θετική φορά πάνω στην κατακόρυφη διεύθυνση την φορά της αποµάκρυνσης παρατηρούµε ότι η αλγεβρική τιµή της συνισταµέ νης F " του βάρους w του σφαιριδίου και της δύναµης F που δέχεται από το ελαστικό νήµα, δίνεται από τη σxέση:

4 F " = mg- F () = mg - (F + kx) F " = -kx () Η σχέση () εγγυάται ότι εφόσον το νήµα δεν χαλαρώνει το σφαιρίδιο εκτε λεί απλή αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης το Ο και σταθερά ταλάντωσης k. Στη διάρκεια αυτής της ταλάντωσης to m;etro τιµή της δυναµης F ικανοποιεί τη σχέση: F = mg + kx µε - A x A Για x=a (κατώτατη θέση του σφαιριδίου) το µέτρο της F παίρνει τη µεγαλύ τερη τιµή του: F max = mg + ka ενώ για x=-a (ανώτατη θέση του σφαιριδίου) το µέτρο της F παίρνει τη µικ ρότερη τιµή του: F min = mg - ka Όµως δεχθήκαµε εξ αρχής ότι το νήµα διαρκώς είναι τεντωµένο, οπότε πρέ πει να ισχύει: F min mg - ka A mg/k (3) H (3) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη ώστε το σφαιρίδιο να εκτελεί ασφαλή ταλάντωση χωρίς το νήµα να χαλαρώνει. Όµως είναι δεδοµένο του προβλή µατος ότι Α=mg/k, που σηµαίνει ότι όταν το σφαιρίδιο βρεθεί στη θέση x=mg/k το νήµα χαλαρώνει και το σφαιρίδιο στη συνέχεια εκτελεί κατακόρυ φη βολή προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα v, της οποίας το µέτρο δίνεται από τη σχέση: v = (mg/k) - (mg/k) = 3mg/k v = 3 k m mg k = g 3m k (4) όπου ω η γωνιακή συχνότητα της απλής αρµονικής ταλάντωσης που εκτελεί το σφαιρίδιο από την κατώτατη θέση του µέχρι τη θέση x=-mg/k. H µέγι στη απόσταση H max στην οποία φθάνει το σφαιρίδιο από την κατώτατη θέση είναι: H max = mg k + mg k + v g H max = 3mg k + g 3m g k = 9mg k P.M. fysikos

5 Mια λεία σφαίρα µάζας m και ακτίνας R κινείται µε ταχύτητα v πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος και κάποια στιγµή προσπίπτει πάνω σε µία όµοια σφαίρα, που ακινητεί στο έδαφος. Η κρούση των δύο σφαιρών είναι τέλεια ελαστική, αλλά όχι µετωπική δίότι τη στιγµή της κρούσεως το κέντρο της ακίνητης σφαίρας απέχει από τον φορέα της ταχύτητας v του κέντρου της κινούµενης απόσταση b<r. i) Nα δείξετε ότι µετά την κρούση oι δύο σφαίρες θα κινηθούν επί καθέτων διευθύνσεων. ii) Nα βρείτε τη γωνία εκτροπής της κινούµενης σφαίρας από την αρχική της διεύθυνση και τη µεταβολή της κινητικής της ενέργει ας. ΛYΣH: i) Eάν P "# είναι η ορµή της κινούµενης σφαίρας πριν από την κρού ση της µε την ακίνητη σφαιρίδιο και P, P οι ορµές των δύο σφαιρών µετά την κρούση τους, τότε σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής κατά την κρούση θα ισχύει η σχέση: P "# = P + P () Όµως τα µέτρα των διανυσµάτων P, P και P "#, ικανοποιούν τον κανόνα του παραλληλογράµµου, δηλαδή τη σχέση: m v = m v + m v + mv mv συν(φ +φ ) v = v + v + v συν(φ +φ ) () όπου v, v οι ταχύτητες των δύο σφαιρών µετά την κρούση και φ, φ οι γωνίες που σχηµατίζουν οι διευθύνσεις κίνησής τους µετά την κρούση, µε την αρχική διεύθυνση της ταχύτητας v. Όµως η κρούση των δύο σφαιριδίων είναι ελαστική οπότε η κινητική ενέργεια του συστήµατος διατηρείται σταθερή, δηλαδή ισχύει:

6 mv / + = mv / + mv / v = v + v (3) Συνδυάζοντας τις () και (3) παίρνουµε τη σχέση: v + v + v v "#($ + $ ) = v + v v v "#($ + $ ) = (4) Eπειδή v, v η σχέση (4) γράφεται: συν(φ + φ ) = φ + φ = π/ Άρα οι δύο σφαίρες µετά την κρούση τους θα κινούνται πάνω στο λείο ορι ζόντιο έδαφος επί καθέτων διευθύνσεων. ii) H κινούµενη σφαίρα µετά την κρούση της κίνειται επί διευθύνσεως που σχηµατίζει µε την αρχική διεύθυνση κίνησης γωνία φ για την οποία ισχύ ει: & "#$ = "# % - $ ) ( + =,µ$ "#$ = b (5) ' * R Ακόµη έχουµε ότι: P = P "# $%&' = mv - (µ ' mv = mv - b / 4R v = v - b / 4R (6) H κινητική ενέργεια της αρχικά κινούµενης σφαίρας µειώνεται κατά ποσό τητα ΔΚ που είναι ίση µε την κινητική ενέργεια Κ που αποκτά η αρχικά ακίνητη σφαίρα µετά την κρούση, δηλαδή ισχύει: K = K = mv (6) K = mv " - b % $ # 4R ' & = mv ( 4R - b ) 8R P.M. fysikos Mια σφαίρα µάζας M, είναι στερεωµένη στο ένα άκρο αβαρούς ράβδου µήκους L, της οποίας το άλλο της άκρο έχει αρθρωθεί στο οριζόντιο έδαφος. Όταν η ράβδος βρίσκεται στη θέση ασταθούς ισορροπίας (βλέπε σχήµα) ένα µικρό βλήµα µάζας m, προσκρούει οριζόντια µε ταχύτητα v στη σφαίρα και σφήνωνεται στο κέντρο της. Tότε η ράβδος ανατρέπεται και τη στιγµή που γίνεται οριζόν τια η σφαίρα συγκρούεται ηµιελαστικά µε το έδαφος.

7 i) Για ποιά τιµή της γωνίας θ η θλίψη της ράβδου µετατρέπεται σε εφελκυσµό; ii) Eάν κατά την κρούση της σφαίρας µε το έδαφος αυτή χάνει το /4 της κινητικής της ενέργειας, να βρείτε τη συνθήκη, ώστε η σφαίρα να επιστρέψει στην αρχική θέση ασταθούς ισορροπίας της. ΛYΣH: i) Έστω θ η γωνία της ράβδου µε την κατακόρυφη διεύθυνση, για την οποία η ράβδος ούτε εφελκύεται ούτε συµπιέζεται (θλίβεται) Στη θέση αυτή η ράβδος δεν εξασκεί δύναµη πάνω στη σφαίρα, οπότε η µοναδική δύναµη που δέχεται η σφαίρα είναι το βάρος της w, που αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα w και στην εφαπτοµενική συνιστώσα w. H συνιστώ σα w παίζει ρόλο κεντροµόλου δύναµης για τη σφαίρα στη θέση αυτή, οπό τε θα ισχύει η σχέση: w = m'v /L m'g"#$ = m'v /L v = Lg"#$ () όπου v η αντίστοιχη ταχύτητα της σφαίρας και m =M+m. Eφαρµόζοντας για τη σφαίρα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, µεταξύ των θέσεων A και Γ έχουµε: K - K A = W w m'v / - m'v / = m'gl( - "#$) v - v = gl( - "#$) v = v + gl( - "#$) () όπου v η ταχύτητα της σφαίρας αµέσως µετά την ενσφήνωση του βλήµα τος. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () έχουµε: gl"#$ = v + gl( - "#$) 3gLσυνθ = v + gl "#$ = v + gl 3gL = v 3gL + 3 (3) Eξάλλου η ορµή του συστήµατος βλήµα-σφαίρα, λίγο πριν από την κρούση τους είναι ίση µε την ορµή αµέσως µετά την κρούση, δηλαδή ισχύει η σχέση:

8 mv + = (M + m)v v = mv /(M + m) (4) Έτσι η σχέση (3) γράφεται: "#$ = m v % 3gL(M + m) + 3 Tο πρόβληµα έχει λύση όταν συνθ<, δηλαδή όταν: m v 3gL(M + m) + 3 < m v gl(m + m) < v < gl(m + m) (M + m) gl v m < m ii) Eάν v είναι η ταχύτητα πρόσπτωσης της σφαίρας στο οριζόντιο έδαφος και v η ταχύτητα ανάκλασης της σφαίρας, τότε σύµφωνα µε το πρόβληµα θα ισχύει: mv = 3 4 mv v = 3v 4 (5) Eφαρµόζοντας για τη σφαίρα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ των θέσεων A και Δ καθώς και µεταξύ των θέσεων Δ και A, όταν αυτή επιστ ρέφει στην αρχική της θέση, παίρνουµε τις σχέσεις: mv / - mv / = mgl " - mv / = -mgl # (+ ) mv - mv - mv = v = v + v (5) 4v /3 = v + v v /3 = v (4) gl 3 = m v (M + m) v = (M + m) m gl 3 (6) H σχέση (6) αποτελεί τη ζητούµενη συνθήκη, ώστε η σφαίρα να επιστρέφει στην αρχική θέση ισορροπίας της, µετά την κρούση της µε το έδαφος. P.M. fysikos Κυκλικό στεφάνι ακτίνας R κυλίεται ισοταχώς µε µεταφορική ταχύτητα v επί οριζοντίου εδάφους και κάποια στιγµή συναντά

9 το ανώτερο σκαλοπάτι µιας σκάλας. Εάν h είναι το ύψος κάθε σκαλοπατιού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, να βρείτε τη συνθήκη, ώστε όταν το στεφάνι φθάσει στο άκρο του σκαλοπατιού να περιστρέφεται περί αυτό, µέχρις ότου συναντήσει το επόµενο σκαλοπάτι. ΛΥΣΗ: Υποθέτουµε ότι το στεφάνι περιστρέφεται περί την ακµή Μ του ανώτερου σκαλοπατιού και το εξετάζουµε, όταν η ακτίνα του CM σχήµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Στη θέση αυτή το στεφάνι δέχεται το βάρος του w και τη δύναµη επαφής από το σκαλοπάτι, η οποία αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα N (κάθετη αντίδραση) και την εφαπτοµενική συνισ τώσα T (στατική τριβή). Η συνισταµένη της N και της ακτινικής συνιστώ σας του βάρους αποτελεί για την κίνηση του κέντρου µάζας C του στεφα νιού κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: mg"#$- N = mv R N = mg"#$ - mv R () Σχήµα α. όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγ µή. Εφαρµόζοντας για το στεφάνι το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας από τη θέση όπου άρχισε η περιστροφή του, (η ακτίνα ΜC της ακµής Μ είναι κατακόρυφη) έως τη θέση που το εξετάζουµε, µε επίπεδο αναφοράς το άνω σκαλοπάτι, παίρνουµε τη σχέση: mv + I C + mgr = I M + mgr"#$% () όπου Ι C, I M η ροπή αδράνειας του στεφανιού ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του C, Ι Μ η ροπή αδρά νειάς του ως προς την ακµή Μ και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής περί την ακµή Μ. Όµως ισχύει Ι C =mr και Ι Μ =mr +mr = mr, ενώ λόγω της αρχικής κύλισης του στεφανιού έχουµε ω =v /R, οπότε η () γράφεται: mv + mv + mgr = mr + mgr"#$% v + gr = R + gr"#$% v + gr = v + gr"#$ v = v + gr- gr"#$ (3) διότι ω=v/r. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε:

10 N = mg"#$ - m R (v + gr- gr"#$) N = m(g"#$ - v /R - g) (4) Λίγο πρίν το στεφάνι έλθει σε επαφή µε το επόµενο σκαλοπάτι (σχήµα ) για τη γωνία φ ισχύει συνφ=(r-h)/r, οπότε τη στιγµή αυτή η (4) γράφεται: Σχήµα β. N = m g R - h $ # & - v ' " R % R - g * ), N = m g - gh ( + R - v $ # " R & (5) % Όµως για να είναι υπαρκτή η περιστροφή του στεφανιού περί την ακµή Μ πρέπει Ν> για όλες τις θέσεις του, όποτε λόγω της (5) θα έχουµε: g - gh R - v R > v R < g - h $ # & v " R < g R - h % ( ) (6) Η (6) αποτελεί τη ζητούµενη συνθήκη. P.M. fysikos