Διαφορικζσ Εξιςώςεισ. Ενότητα 3: Συςτιματα διαφορικών εξιςώςεων & Θεωρία Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων. Μιχαιλ Μαρκάκθσ Πολυτεχνικι Σχολι Τμιμα HMTY

Transcript

1 Διαφορικζσ Εξιςώςεισ Ενότητα 3: Συςτιματα διαφορικών εξιςώςεων & Θεωρία Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Μιχαιλ Μαρκάκθσ Πολυτεχνικι Σχολι Τμιμα HMTY

2 α. Σθνπνί ελόηεηαο... 3 β. Πεξηερόκελα ελόηεηαο Σρεκαηηθή αλαπαξάζηαζε-μαζεκαηηθή κνληεινπνίεζε Γηεξεύλεζε επζηάζεηαο γηα ην ζεκείν ηζνξξνπίαο (0,0) Αξηζκεηηθέο εθαξκνγέο Λύζε κε νκνγελνύο ζπζηήκαηνο Γξαθηθή αλαπαξάζηαζε ιύζεωλ Χώξνο θάζεωλ Χξνληθέο Απνθξίζεηο... Σεκεηώκαηα... 6 Σειίδα

3 α. κοποί ενότητασ Σκοπόσ τθσ παροφςασ ενότθτασ είναι θ παρουςίαςθ μιασ εφαρμογισ τθσ κεωρίασ ςυςτθμάτων γραμμικών διαφορικών εξιςώςεων ςτθ μοντελοποίθςθ ενόσ γραμμικοφ θλεκτρικοφ κυκλώματοσ RLC(αντιςτάςεωσ-πθνίου-πυκνωτι) ςτο χώρο καταςτάςεωσ (state space) με τθ βοικεια των Νόμων του Kirchhoff. β. Περιεχόμενα ενότητασ α) Κυκλωματικι αναπαράςταςθ - Διατφπωςθ καταςτατικών εξιςώςεων β) Διερεφνθςθ ευςτάκειασ γ) Διαδικαςία επίλυςθσ (αρικμθτικζσ εφαρμογζσ) δ) Γραφικι αναπαράςταςθ λφςεων Σειίδα 3

4 3.. ΧΗΜΑΣΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΜΟΝΣΕΛΟΠΟΙΗΗ - ος Νόμος του Kirchhoff (K) άνω κόμβοσ: i i i 3 0 (ι κάτω κόμβοσ: i i 3 i 0 ) - ος Νόμος του Kirchhoff (K) δεξιόσ βρόχοσ: v v3 0 αριςτερόσ βρόχοσ: v +v 3+E=0 - Σχζσεις διατάξεων: Li v, Cv i, v Ri Κατασκευή συστήματος (μεταβλητζς v, i ): v i v v i C RC C E i v i v L L L K, K v v i i Σειίδα 4

5 0 v RC C v E i i 0 L L 3.. ΔΙΕΡΕΤΝΗΗ ΕΤΣΑΘΕΙΑ ΓΙΑ ΣΟ ΗΜΕΙΟ ΙΟΡΡΟΠΙΑ (0,0) ( E 0) P Χαρακτθριςτικι Εξίςωςθ του P: λ Tr( P) λ det( P) 0 λ λ 0, RC LC 4 με διακρίνουςα Δ C R C L. Άρα: r α. 4 RC LC R C Δ 0 : L<4R C λ, i, ευςτακισ εςτία Δ 0 : L=4R C λ λ, RC β. γ. ευςτακισ εκφυλιςμζνοσ κόμβοσ 4 Δ 0 : L>4R C λ,, RC R C LC ευςτακισ κόμβοσ Σειίδα 5

6 3.3. ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕ (ιδεατζσ τιμζσ) α. R Ohm, C Farad, 4 L Henry. 4 4 P, Δ 6 0, 0 λ i 4λ 4 P λι ξ 0 : ξ 0 λ 4 i s i ξ 4 λ s s i s ξ Θεμελιώδησ Πίνακασ ( r, ): rt t i e cosωt i sin ω tξ e cos t i sin t t cost sin t cost sin t Φt e cost sin t β. R Ohm, C Farad, L Henry P, Δ 0 λ, λ λ 0 Σειίδα 6

7 4λ 4 P λιξ 0 : ξ 0 λ 4 s ξ s4 λ ξ 4 λ 4 P λι n ξ : n λ 4 4λ 4λ 0 0 s0 n s n Φ Θεμελιώδησ Πίνακασ: λt t t t t e ξ, n tξ e γ. R Ohm, C Farad, L Henry P, Δ 8 0 λ, 0 4λ 4 P λι ξ 0 : ξ 0 λ Σειίδα 7

8 4 4 s 4 ξ 4 λ s s 4 ξ Ανάλογα: Φ λt λt t e ξ, e ξ P λ ξ ξ 4 Ι 0 : Θεμελιώδησ Πίνακασ: t t 4 t e e t 4 e 4 e.3.. Λφςη μη ομογενοφσ ςυςτήματοσ (Πηγή E 0) Εt cost (αρικμθτικι εφαρμογι β) Μερική λφση μη ομογενοφς: Ορίηουςα του 0 v p f t f Φ t : Φt E i p f t f L 0 t f t e t f cost 4 t: W detφt e t. Συνεπώσ επιλφουμε το ςφςτθμα με τθ μζκοδο Crammer: Σειίδα 8

9 W t GR [] f t dt t e cost dt GR [] W t e f t cos sin, 8 t t t t W t GR [] f t dt e cost dt W t e f t cost sin t 4 Άρα, θ γενική λφςη του μθ ομογενοφσ ςυςτιματοσ είναι: v c f Φ Φ i c f t c t t cos( t ) t sin( t ) cos( t) sin( t) t e t c 4 t ι sin( t) v t t t ce ce i t 4 cos( t) sin( t) Σειίδα 9

10 3.4. ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΑΗ ΛΤΕΩΝ Χώροσ φάςεων (Ε=0) Εικόνα. Ευςταθήσ Εςτία (E=0) Σειίδα 0

11 Εικόνα. Ευςταθήσ Εκφυλιςμζνοσ κόμβοσ (E=0) Σειίδα

12 Εικόνα 3. Ευςταθήσ Κόμβοσ (Ε=0) Χρονικζσ Αποκρίςεισ Εικόνα 4. Ευςταθήσ Εςτία, v 0 =, i 0 =0., Ε=0 Σειίδα

13 Εικόνα 5. Ευςταθήσ Εκφυλιςμζνοσ κόμβοσ, v 0 =, i 0 =0.5, Ε=0 Εικόνα 6. Ευςταθήσ κόμβοσ, v 0 =, i 0 =0., Ε=0 Σειίδα 3

14 Εικόνα 7. Ευςταθήσ Εςτία v 0 =3, i 0 =0.5, E=cos(t)/4 Εικόνα 8. Εκφυλιςμζνοσ κόμβοσ v 0 =, i 0 =0.5, E=cos(t)/4 Σειίδα 4

15 Εικόνα 9-Ευςταθήσ κόμβοσ, v 0 =, i 0 =0.5, E=cos(t)/4 Βιβλιογραφία [] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Tables of integrals, series and products, Academic Press, New York and London 965 Σειίδα 5

16 Σημειώμαηα Σημείωμα Ιζηορικού ΕκδόζεωνΈργοσ Τν παξόλ έξγν απνηειεί ηελ έθδνζε. Σημείωμα Αναθοράς Copyright Παλεπηζηήκην Παηξώλ, Μηραήι Μαξθάθεο, Δπίθνπξνο Καζεγεηήο, 05.. «Γηαθνξηθέο Δμηζώζεηο. Σπζηήκαηα δηαθνξηθώλ εμηζώζεωλ & Θεωξία Ηιεθηξηθώλ Κπθιωκάηωλ». Έθδνζε:.0. Πάηξαη 05. Γηαζέζηκν από ηε δηθηπαθή δηεύζπλζε: Σημείωμα Αδειοδόηηζης Τν παξόλ πιηθό δηαηίζεηαη κε ηνπο όξνπο ηεο άδεηαο ρξήζεο Creative Commons Αλαθνξά, Με Δκπνξηθή Χξήζε Παξόκνηα Γηαλνκή 4.0 [] ή κεηαγελέζηεξε, Γηεζλήο Έθδνζε. Δμαηξνύληαη ηα απηνηειή έξγα ηξίηωλ π.ρ. θωηνγξαθίεο, δηαγξάκκαηα θ.ι.π., ηα νπνία εκπεξηέρνληαη ζε απηό θαη ηα νπνία αλαθέξνληαη καδί κε ηνπο όξνπο ρξήζεο ηνπο ζην «Σεκείωκα Χξήζεο Έξγωλ Τξίηωλ». [] Ωο Μη Εμπορική νξίδεηαη ε ρξήζε: πνπ δελ πεξηιακβάλεη άκεζν ή έκκεζν νηθνλνκηθό όθεινο από ηελ ρξήζε ηνπ έξγνπ, γηα ην δηαλνκέα ηνπ έξγνπ θαη αδεηνδόρν πνπ δελ πεξηιακβάλεη νηθνλνκηθή ζπλαιιαγή ωο πξνϋπόζεζε γηα ηε ρξήζε ή πξόζβαζε ζην έξγν πνπ δελ πξνζπνξίδεη ζην δηαλνκέα ηνπ έξγνπ θαη αδεηνδόρν έκκεζν νηθνλνκηθό όθεινο (π.ρ. δηαθεκίζεηο) από ηελ πξνβνιή ηνπ έξγνπ ζε δηαδηθηπαθό ηόπν Ο δηθαηνύρνο κπνξεί λα παξέρεη ζηνλ αδεηνδόρν μερωξηζηή άδεηα λα ρξεζηκνπνηεί ην έξγν γηα εκπνξηθή ρξήζε, εθόζνλ απηό ηνπ δεηεζεί. Διαηήρηζη Σημειωμάηων Οπνηαδήπνηε αλαπαξαγωγή ή δηαζθεπή ηνπ πιηθνύ ζα πξέπεη λα ζπκπεξηιακβάλεη: ην Σεκείωκα Αλαθνξάο ην Σεκείωκα Αδεηνδόηεζεο ηε δήιωζε Γηαηήξεζεο Σεκεηωκάηωλ ην Σεκείωκα Χξήζεο Έξγωλ Τξίηωλ (εθόζνλ ππάξρεη) Σειίδα 6

17 καδί κε ηνπο ζπλνδεπόκελνπο ππεξζπλδέζκνπο. Χρημαηοδόηηζη Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό έρεη αλαπηπρζεί ζηo πιαίζηo ηνπ εθπαηδεπηηθνύ έξγνπ ηνπ δηδάζθνληα. Τν έξγν «Ανοικηά Ακαδημαϊκά Μαθήμαηα ζηο Πανεπιζηήμιο Παηρών» έρεη ρξεκαηνδνηήζεη κόλν ηε αλαδηακόξθωζε ηνπ εθπαηδεπηηθνύ πιηθνύ. Τν έξγν πινπνηείηαη ζην πιαίζην ηνπ Δπηρεηξεζηαθνύ Πξνγξάκκαηνο «Δθπαίδεπζε θαη Γηα Βίνπ Μάζεζε» θαη ζπγρξεκαηνδνηείηαη από ηελ Δπξωπαϊθή Έλωζε (Δπξωπαϊθό Κνηλωληθό Τακείν) θαη από εζληθνύο πόξνπο. Σειίδα 7