ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplac

2 Δηεπξύλεη ηε θιάζε ηωλ ζεκάηωλ γηα ηα νπνία κπνξεί λα επηηεπρζεί ε κεηάβαζε από ην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο. Παξέρεη ηε δπλαηόηεηα κειέηεο ζπζηεκάηωλ πνπ δελ βξίζθνληαη ζε αξρηθή θαηάζηαζε εξεκίαο. Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα ελαιιαθηηθώλ ηξόπωλ παξάζηαζεο ηωλ ζπζηεκάηωλ. Μεηαηξνπή ηωλ Δ.Ε. ζε αιγεβξηθέο εμηζώζεηο.

3 Οξηζκόο: L a { } d, j a Αλ α=-, ηόηε έρνπκε ηνλ Ακθίπιεπξν Μεηαζρεκαηηζκό Laplac Αλ α=0, ηόηε έρνπκε ην Μνλόπιεπξν Μεηαζρεκαηηζκό Laplac

4 Ακθίπιεπξνο Μεηαζρεκαηηζκόο Laplac } { j F j Σρέζε Μεηαζρεκαηηζκώλ Fourir θαη Laplac } { F j d L, } {

5 Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} 0 ζ=r{}

6 u a u a Μεηαζρεκαηηζκόο Laplac a a L L Περιοτή Σύγκλιζης Μεηαζτημαηιζμού: Τι ζσμβαίνει;. Υπάρτει Λάθος;

7 Περιοτή Σύγκλιζης Μεηαζτημαηιζμού: a u L, R{ } a a u L, R{ } a

8 a u Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} a u Πόλος ζ=-α ζ=r{} Πεξηνρή Σύγθιηζεο =L{} ζ=r{}<-α Πεξηνρή Σύγθιηζεο =L{} ζ=r{}>-α

9 u Μεηαζρεκαηηζκόο Laplac } R{, Πραγμαηικά Εκθεηικά Σήμαηα: και u u όποσ: } R{, } R{, Όμως: και επομένως, τρηζιμοποιώνηας ηην ιδιόηηηα ηης Γραμμικόηηηας:

10 Πεξηνρή Σύγθιηζεο =L{ } ζ=r{}>- Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} Πεξηνρή Σύγθιηζεο =L{ } ζ=r{}>- Πόλος Μηδενικό - - ζ=r{}

11 Πραγμαηικά & Μιγαδικά Εκθεηικά Σήμαηα: u u u j j όποσ: co u

12 } R{, 0 5 } R{, } R{, j Όμως: και επομένως, τρηζιμοποιώνηας ηην ιδιόηηηα ηης Γραμμικόηηηας: Μεηαζρεκαηηζκόο Laplac Πραγμαηικά & Μιγαδικά Εκθεηικά Σήμαηα: Σσνέτεια } R{, j

13 Πεξηνρή Σύγθιηζεο =L{ } ζ=r{}>- Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} j Πεξηνρή Σύγθιηζεο =L{ } ζ=r{}>- Πόλος Μηδενικό - - ζ=r{} -j

14 u u 4 όποσ: 4 u Κροσζηικά Σήμαηα:

15 Κροσζηικά Σήμαηα: Σσνέτεια } R{, 4, } R{, Όμως: και επομένως, τρηζιμοποιώνηας ηην ιδιόηηηα ηης Γραμμικόηηηας: } R{,

16 Πεξηνρή Σύγθιηζεο =L{ } ζ=r{}>- Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} Πεξηνρή Σύγθιηζεο =L{ } ζ=r{}> Πόλος Μηδενικό - ζ=r{} Πεξηνρή Σύγθιηζεο =L{δ }

17 Περιοτή Σύγκλιζης Μεηαζτημαηιζμού: Μερικές Ιδιόηηηες Ιδιόηηηα : Η ΠΣ ηνπ Φ ζπληίζεηαη από ιωξίδεο παξάιιειεο ζηνλ άμνλα jω. Μηα ζπλάξηεζε είλαη εθζεηηθήο ηάμεο ι αλ: M : M, 0 0,, 0

18 Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} Πεξηνρή Σύγθιηζεο ζ=r{}

19 Περιοτή Σύγκλιζης Μεηαζτημαηιζμού: Μερικές Ιδιόηηηες Ιδιόηηηα : Αλ ην είλαη πεπεξαζκέλεο δηάξθεηαο θαη νινθιεξώζηκo θαη απόιπηε ηηκή, ε ΠΣ ηνπ Φ είλαη νιόθιεξν ην επίπεδν. Τ Τ

20 Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} Πεξηνρή Σύγθιηζεο ζ=r{}

21 Περιοτή Σύγκλιζης Μεηαζτημαηιζμού: Μερικές Ιδιόηηηες Ιδιόηηηα : Αλ ην είλαη έλα ζήκα δεμηάο επέθηαζεο θαη ε επζεία R{}=ζ0 αλήθεη ζηε ΠΣ ηνπ Φ, ηόηε: θάζε : R{}>ζ0 ζα αλήθεη ζηελ ΠΣ ηνπ. Τ

22 Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} ζ0 Πεξηνρή Σύγθιηζεο ζ=r{} επζεία R{}=ζ0

23 Περιοτή Σύγκλιζης Μεηαζτημαηιζμού: Μερικές Ιδιόηηηες Ιδιόηηηα 4: Αλ ην είλαη έλα ζήκα αξηζηεξήο επέθηαζεο θαη ε επζεία: R{}=ζ0 αλήθεη ζηε ΠΣ ηνπ Φ, ηόηε: θάζε : R{}<ζ0 ζα αλήθεη ζηελ ΠΣ ηνπ. Τ

24 Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} Πεξηνρή Σύγθιηζεο ζ0 ζ=r{} επζεία R{}=ζ0

25 Περιοτή Σύγκλιζης Μεηαζτημαηιζμού: Μερικές Ιδιόηηηες Ιδιόηηηα 5: Αλ ην είλαη έλα ζήκα ακθίπιεπξεο επέθηαζεο θαη ε επζεία: R{}=ζ0 αλήθεη ζηε ΠΣ ηνπ Φ, ηόηε: Η ΠΣ ζα είλαη κηα ιωξίδα ζην επίπεδν- πνπ ζα πεξηιακβάλεη ηελ επζεία R{}=ζ0.

26 Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} Πεξηνρή Πεξηνρή Σύγθιηζεο ζ0 Σύγθιηζεο ζ=r{} επζεία R{}=ζ0

27 Περιοτή Σύγκλιζης Μεηαζτημαηιζμού: Μερικές Ιδιόηηηες Ιδιόηηηα 6: Η ΠΣ κηαο ξεηήο Φ δελ πεξηέρεη πόινπο. Ιδιόηηηα 7: Η ΠΣ κηαο ξεηήο Φ ή εθηείλεηαη ωο ην άπεηξν ή πεξηνξίδεηαη από ηνπο πόινπο ηεο.

28 Δίνεηαι ο Μεηαζτημαηιζμός Laplac: Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} - - ζ=r{}

29 Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} - - Πεξηνρή Σύγθιηζεο Δεμηάο επέθηαζεο ζήκαηνο ζ=r{}

30 Πεξηνρή Σύγθιηζεο Μιγαδικό Επίπεδο- Αξηζηεξήο επέθηαζεο jω=im{} ζήκαηνο - - ζ=r{}

31 Πεξηνρή Σύγθιηζεο Ακθίπιεπξεο επέθηαζεο ζήκαηνο Μιγαδικό Επίπεδο- jω=im{} - - ζ=r{}