ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

Transcript

1 ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ. Ολνκάδνπκε πραγμαηική ζσνάρηηζη κε πεδίο οριζμού ηο Α κηα δηαδηθαζία (θαλόλα), κε ηελ νπνία θάζε ζηνηρείν x A αληηζηνηρίδεηαη ζε έλα κόλν πξαγκαηηθό αξηζκό y. Τν y νλνκάδεηαη ηιμή ηης ζηο x θαη ζπκβνιίδεηαη κε (x). β) Έζησ κηα ζπλάξηεζε : A. Αλ ππνζέζνπκε όηη απηή είλαη,ηόηε έρεη αληίζηξνθε. (ζει 35 ζρνιηθό βηβιίν) γ) Εθόζνλ ηζρύνπλ νη πξνϋπνζέζεηο ηνπ πξνεγνπκέλνπ ηόηε γηα θάζε ζηνηρείν y ηνπ ζπλόινπ ηηκώλ, (A), ηεο ππάξρεη κνλαδηθό ζηνηρείν x ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο Α γηα ην νπνίν ηζρύεη y. Επνκέλσο νξίδεηαη κηα ζπλάξηεζε g : ( A) κε ηελ νπνία θάζε y (A) αληηζηνηρίδεηαη ζην κνλαδηθό x A γηα ην νπνίν ηζρύεη y. Από ηνλ ηξόπν πνπ νξίζηεθε ε g πξνθύπηεη όηη: έρεη πεδίν νξηζκνύ ην ζύλνιν ηηκώλ (A) ηεο, έρεη ζύλνιν ηηκώλ ην πεδίν νξηζκνύ Α ηεο θαη ηζρύεη ε ηζνδπλακία: y g( y) x. Απηό ζεκαίλεη όηη, αλ ε αληηζηνηρίδεη ην x ζην y, ηόηε ε g αληηζηνηρίδεη ην y ζην x θαη αληηζηξόθσο. Δειαδή ε g είλαη ε αληίζηξνθε δηαδηθαζία ηεο. Γηα ην ιόγν απηό ε g ιέγεηαη ανηίζηροθη ζσνάρηηζη ηεο θαη ζπκβνιίδεηαη κε. Επνκέλσο έρνπκε y ( y) x νπόηε ( ) x, x A θαη ( ( y)) y, y ( A ).

2 Α. Έζησ κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζ έλα δηάζηεκα Δ θαη x έλα εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ. Αλ ε παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην ζην x θαη είλαη παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν απηό, ηόηε ( x ). (ζει 4 ζρνιηθό βηβιίν) Α3. Απνδεηθλύνπκε ην ζεώξεκα ζηελ πεξίπησζε πνπ είλαη ( x). Έζησ x, x Δ κε x x. Θα δείμνπκε όηη ( x ) ( x ). Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [ x, x ] ε ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Μ.Τ. Επνκέλσο, ππάξρεη ξ x, x ) ηέηνην, ώζηε ( x ) ( x) ( ξ), νπόηε έρνπκε ( x ) ( x ) ( )( x x ). x x Επεηδή ( ξ) θαη x x, έρνπκε x ) ( x ), νπόηε x ) ( ). Α4.α) Ο ιζτσριζμός είναι λάθος. Αιηιολόγηζη : ( ( x ( Η γλσζηή ζπλέπεηα ηνπ ζεσξήκαηνο κέζεο ηηκήο θαζώο θαη ην πόξηζκά ηνπ ηζρύνπλ ζε δηάζηεκα θαη όρη ζε έλσζε δηαζηεκάησλ. Γηα παξάδεηγκα, έζησ ε ζπλάξηεζε, x., x Παξαηεξνύκε όηη, αλ θαη ( x) γηα θάζε x (, ) (, ), εληνύηνηο ε δελ είλαη ζηαζεξή ζην (,) (, ). (ζει 34 ζρνιηθό βηβιίν) β) Ο ιζτσριζμός είναι λάθος Αιηιολόγηζη: Η ζπλάξηεζε x, αλ x x δελ είλαη ζπλερήο ζην, αθνύ 3, αλ x lim x ( x )( x ) lim lim( x ), ελώ ( ) 3. (ζει 7 ζρνιηθό βηβιίν) x x x Α5. ωζηή επιλογή είναι η γ) ΘΔΜΑ Β Β. Ιζρύεη x lim x lim e, αθνύ x έ xy x y lim e lim e. x ό y y x

3 x Β. Θεσξώ ηε ζπλάξηεζε g κε g x x x e x, x,3. H g ζπλερήο ζην,3 σο πξάμε ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ. g e e e g g g3 e e e Από Θεώξεκα Bolzano ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα x,3 ώζηε g x x Επίζεο g ' x e x γηα θάζε x,3. Άξα ε g γλεζίσο θζίλνπζα, νπόηε ε x x ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ. Β3.. ' x e x. Άξα ε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην, νπόηε είλαη θαη θαη αληηζηξέθεηαη. Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ y ιύλνπκε ηελ εμίζσζε y x x x y x y e y e x y x y Άξα x ln x, x. ln ln. σο πξνο x. Β4. Ειέγρνπκε θαηαθόξπθεο αζύκπησηεο: xy lim x lim ln x lim ln y. x x y y Άξα ε x θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηεο C. 3

4 ΘΔΜΑ Γ Γ. Αθνύ ε ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε ζηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο ζα είλαη θαη ζπλερήο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Άξα ζπλερήο ζην x. Επνκέλσο Αθνύ lim lim lim, () x x x lim ( x ) a, lim ( x ), () ιόγσ ηεο () ζα είλαη. x x Αθνύ ε ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε απαηηώ Είλαη θαη () x a a x x x ( xo) ( xo) lim lim () x x x x x x o x x lim lim lim x x x () e a e x e (x) lim lim lim lim( ) x x x x x x x x x / e e αθνύ lim lim x x dlh. x Επνκέλσο ε () δίλεη,. Τέινο, αθνύ ζα είλαη θαη. x Αλ x x e Γ. Αλ x, ηόηε ( x) x. ζπλερήο ζην x, επνκέλσο είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην. Γηα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο ζα ηζρύεη ή ( ) ( lim, lim ) (, ), αθνύ, ί ύ x x lim (x ) x, lim (e x) xy x x x y, ηόηε ( ), '. Αθόκε, ε είλαη o Γ3.i. Αθνύ lim(x) x θαη αθνύ ε είλαη ζπλερήο ζην ζα ππάξρεη αξηζκόο, ώζηε ( )., () e, ζα ηθαλνπνηνύληαη νη πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεσξήκαηνο Bolzano ζην παξαπάλσ δηάζηεκα. Θα ππάξρεη έλαο ηνπιάρηζηνλ x (, ) (, ) ώζηε ( x ). Αλ ηώξα x, επεηδή ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα πξνθύπηεη (). Άξα x κνλαδηθή ξίδα. ii. α ηρόπος: x x x Έζησ όηη ππάξρεη ξίδα ηεο x ΑΤΟΠΟ, γηαηί κνλαδηθή ξίδα ηεο είλαη ην. x x Αλ x x ηόηε x, x x e x x Όκσο,. x x x x x x. 4

5 x e x x x e x x ΑΤΟΠΟ. Αλ x, ηόηε x x x x. Όκσο, x x x ΑΤΟΠΟ. x Άξα ε εμίζσζε είλαη αδύλαηε ζην x,. β ηρόπος: Άξα x ή x x. x x x x x x H είλαη αδύλαηε δηόηη: αλ ί ύ x x x x x x. Άξα x x. x όκσο Σπλεπώο x, ε νπνία από (Γ3.i.) έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ x x x Άξα ε εμίζσζε x x x είλαη αδύλαηε ζην x,.,. xx ( ) 3 Γ4. (x x) 3, αθνύ (t) ηόηε (t) ((x(t)) x(t)) άξα 3 '(t) ((x(t)) x(t)) (3(x(t)) x'(t) x'(t)). Τελ ρξνληθή ζηηγκή t = t ηζρύεη '(t o) (3(x(t o)) x'(t o) x'(t o)) (6(x(t o)) ) 8 / sec. 5

6 ΘΔΜΑ Γ Γ. α ηρόπος: ln x x x x x x x ' x ln x x x ' x ln x x. x x x x Εθαπηνκέλε ηεο C ζην ζεκείν, : y ' x y x Αθνύ ε y x εθαπηνκέλε ηεο β ηρόπος: ln y x y x. C ζην ζεκείν, x x x x x ' x ln x x x x x x ' Άξα. έρνπκε θαη. Γ. x x ln x x x x x x ln x x Γηα ην x x x x x. Άξα ln x x. Γηα x έρνπκε x ln x x κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη γηα x. Έζησ Ε ην δεηνύκελν εκβαδόλ. ln x x x dx. Θέησ x y νπόηε dx dy. Γηα x: y θαη x : y. 3 y y y y y ln y dy ln y dy ln dy y y y y y ln y dy ln y dy dy ln ln y y y ln ln ln.. Γ3. i. Ιζρύεη x x x x ' ln. Η ηζόηεηα ηζρύεη γηα x. x x 3 3 ln ii. α ηρόπος: 6

7 . Θεσξώ ηε ζπλάξηεζε k κε k x x x, x. Τόηε k x x ' ' (i) θαη k ζπλερήο ζην. Άξα ε k είλαη γλεζίσο αύμνπζα, αθνύ. β ηρόπος: Η αληζνηηθή ζρέζε πνπ δεηείηαη λα απνδεηρζεί κπνξεί λα πξνθύςεη εθαξκόδνληαο Θεώξεκα κέζεο ηηκήο γηα ηε ζπλάξηεζε ζην Γ4. Έζησ x, x,. ην ζεκείν επαθήο ηεο εθαπηνκέλεο ηεο επαθήο ηεο εθαπηνκέλεο ηεο. g C θαη x,gx ην ζεκείν C Γηα λα έρνπλ θνηλή εθαπηνκέλε ζα πξέπεη x g x ' '. Από (Γ3. i.) ηζρύεη ' x γηα θάζε x κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα x. g ' x 3x γηα θάζε x κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα x. Επηπιένλ, ε Άξα ' x g ' x γηα θάζε x, x κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα x θαη x. Σην x ε εθαπηνκέλε ηεο C είλαη ε y x από ππόζεζε. Η εθαπηνκέλε ηεο C g ζην x είλαη ε y g g ' x y x y x. Σπλεπώο, κνλαδηθή θνηλή εθαπηνκέλε ησλ C θαη C είλαη ε y x. g 7