Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1."

Transcript

1 ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηελ επζεία (ε), ηνλ άμνλα θαη ηελ επζεία =α, όπνπ α-, θαη λα βξεζεί lim Δ(α) α - ΛΤΗ α) Ιζρύεη + f() f(- ) = : () Από ηελ () ζέηνληαο όπνπ ην - έρνπκε όηη γηα θάζε IR ηζρύεη - f(- ) f() = : () Από ηελ () έρνπκε + f() f(- ) = f() f() Έηζη από ηελ () πξνθύπηεη όηη γηα θάζε IR ηζρύεη + f(- ) = : (3) Από ηελ (), ιόγω ηεο (3), έρνπκε: f() f() = = 3 f() f() f() = f() = f() = Δίλαη θαλεξό όηη ε f()=, IR ηθαλνπνηεί ηελ () Άξα είλαη f()=, IR Σειίδα

2 β) Δίλαη f()=, f ()=( ) =, f( )=, f ( )=. M,f( ) είλαη Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο C f ζην ζεκείν ηεο y - f( ) = f ( )( - ) y - = - y = + (- ) Γηα λα δηέξρεηαη ε επζεία (ε) από ην ζεκείν (-,-) πξέπεη θαη αξθεί λα ηζρύεη - = (-) = = = - - = g( ) = g(), όπνπ g() = -, IR - - Δίλαη g () = - = - - = + >, γηα θάζε IR, νπόηε ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Άξα ε g, ωο γλεζίωο κνλόηνλε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο, είλαη ζπλάξηεζε -. Έηζη από ηελ πξνθύπηεη όηη είλαη = g( ) = g(), δεδνκέλνπ όηη ε g είλαη ζπλάξηεζε -, Γηα = ε εμίζωζε ηεο (ε) γίλεηαη y=. Άξα ε δεηνύκελε εθαπηνκέλε ηεο C f είλαη ε επζεία (ε):y= θαη ην ζεκείν ηεο επαθήο είλαη ην Μ(,) γ) Δίλαη f () = θαη f () = > γηα θάζε IR, νπόηε ε f είλαη θπξηή ζην IR.Δπεηδή ε f είλαη θπξηή ζην IR έπεηαη όηη ε C f βξίζθεηαη πάλω από ηελ εθαπηόκελε ηεο επζείαο (ε):y=, κε εμαίξεζε ην θνηλό ζεκείν επαθήο Μ(,). Αθόκε ε επζεία (ε):y= ηέκλεη ηνλ άμνλα ζην ζεκείν Ο(,). Τν δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη Δ=Δ +Δ,όπνπ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηνλ άμνλα θαη ηηο επζείεο =α θαη = θαη Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηελ επζεία (ε) θαη ηηο επζείεο = θαη = Σειίδα

3 Δίλαη ν ν ν α α α θαη α Δ = f()d = d = = - η.κ Δ = f() - d = ν - d = d - d = - = = -- (- ) = - η.κ Δπνκέλωο ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη α α Δα = Δ + Δ = = - η.κ α Δίλαη lim Δα = lim - = - = η.κ α- α- Σειίδα 3

4 Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR ΘΕΜΑ. IR ηζρύεη f() - f(y) - + y εκ - εκy γηα θάζε, y R θαη f() =. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g()=f()-,ir είλαη ζηαζεξή ζην IR θαη λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.. Να βξείηε πνην ζεκείν ηεο C f απέρεη από ην ζεκείν Α(5,) ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε. 3. Αλ Μ ν είλαη ην ζεκείν ηεο C f πνπ απέρεη από ην Α(5,) ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε. α) λα δείμεηε όηη ε εθαπηόκελε (ε) ηεο Cf ζην Μ ν είλαη θάζεηε ζηελ επζεία ΑΜ ν. β) λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηνλ άμνλα, ηελ επζεία ΑΜ ν θαη ηελ επζεία =. ΛΤΗ ) Έζηω IR ηπραίνο. Λόγω ηεο () έρνπκε όηη γηα θάζε ν ηζρύεη : εκ - εκ f() - f( ) - + εκ - εκ f() - - f - εκ - εκ εκ - εκ g - g g - g εκ - εκ - g - g εκ - εκ g() - g( ) εκ - εκ - : () Σειίδα 4

5 Η ζπλάξηεζε θ()=εκ είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR κε θ ()=(εκ) =ζπλ, νπόηε είλαη : θαη εκ - εκ εκ - εκ lim = lim θ() - θ( ) = lim lim - = θ = = - εκ - εκ lim - = - =, - g() - g( ) lim = - νπόηε ιόγω ηεο () πξνθύπηεη όηη Δπνκέλωο ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζε θάζε ζεκείν IR θαη ηζρύεη g ( )= γηα θάζε IR. Άξα ε g είλαη ζηαζεξή ζην IR.Δπεηδή ε g είλαη ζηαζεξή ζην IR έρνπκε όηη γηα θάζε IR, ηζρύεη: g() = g() f() - = f() - f() - = f() = + (ηθαλνπνηεί ηελ ππόζεζε) ) Έζηω Μ, + ζεκείν ηεο C f.δίλαη ΑΜ = = Δίλαη θαλεξό όηη ε απόζηαζε (ΑΜ) γίλεηαη ειάρηζηε αλ θαη κόλν αλ ην (AΜ) γίλεηαη ειάρηζην. y C f M(, +) O A(5,) Σειίδα 5

6 Δίλαη (ΑΜ) =(-5) +( +) = =h(), R. Η ζπλάξηεζε h είλαη παξαγωγίζηκε ζην R κε h ()= Δίλαη h ()= +6> γηα θάζε R, νπόηε ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R. Αθόκε είλαη h ()= =. Έηζη έρνπκε h ()>h ()>h ()>, (αθνύ ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R). Όκνηα h ()<h ()<h ()<,(αθνύ ε h είλαη γλ. αύμνπζα ζην R.) h ()=h ()=h ()=, (αθνύ ε h ωο γλεζίωο αύμνπζα ζην R είλαη ζπλάξηεζε - ). - + h () - + h() Από ην πξόζεκν ηεο h () πνπ θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε h είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην (-,] θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην [,+). min Άξα ε h παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην ζην =, ην νπνίν είλαη ην h min =h()=. Γηα = είλαη y=f()= +=. Δπνκέλωο ην ζεκείν ηεο C f πνπ απέρεη από ην Α(5,) ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε είλαη ην Μ ν (,) θαη ε απόζηαζή ηνπ από ην Α είλαη (ΑΜ ν )=(ΑΜ) min = hmin = 5 Σειίδα 6

7 f () = + =, IR, νπόηε ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο 3) α) είλαη: ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο C f ζην ζεκείν Μ ν (,) είλαη ιε=f ()= Ο ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο επζείαο ΑΜ ν είλαη yμ - y ν Α - ι ΑΜ = = = - ν Μν Α Δίλαη β) ιε ι ΑΜ ν = - = - νπόηε ε επζεία (ε) είλαη θάζεηε ζηελ επζεία ΑΜ ν C f Μ ν (,) (,) Ο Β(,) Α(5,) Τν δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη Δ=Δ +Δ, όπνπ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηνλ άμνλα θαη ηηο επζείεο = θαη = θαη Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΜ ν. Δίλαη f()d = Δ = + d = + = - = η.κ Δ = ΑΒ ΒΜ ν = 4 = 4 η.κ Άξα ην δεηνύκελν εκβαδό είλαη θαη 4 6 Δ = Δ + Δ = + 4 = η.κ 3 3 Σειίδα 7

8 ΘΕΜΑ 3. Γηα ηελ δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη f () = - f () + f() γηα θάζε IR θαη είλαη f () =. α) Να δείμεηε όηη f() = -,, = β) Να βξεζεί ε f () θαη ε f (). γ) Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία, ηα ηνπηθά αθξόηαηα, ηελ θπξηόηεηα θαη ηα ζεκεία θακπήο. β - β δ) Αλ <α<β< λα δείμεηε όηη: α - d > ln α Γηα θάζε IR έρνπκε: ΛΤΗ f () + f () () = f () - + f() - f () = - f () + f() f () + f () = - f () + f() f () = - f() f () = - f() + c c IR ζηαζεξά Γηα = έρνπκε f () = - f () + c c = f () = Δηζη γηα θάζε IR έρνπκε : f() + = f() + f() + = c c IR ζηαζεξά f () = - f() + f () + f() = f() + Γηα = έρνπκε : f() + = c c = Δηζη γηα θάζε IR ηζρύεη f() + = f() = - : () Σειίδα 8

9 - Απν ηελ () έρνπκε όηη γηα θάζε είλαη f() =. Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην = (αθνύ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην R), έπεηαη όηη ηζρύεη : limf() = f(). Άξα είλαη : - -, αλ - f() = limf() = lim = lim = lim = Άξα f() = - +, αλ = Β. Γηα θάζε είλαη f () = = = = = Σην =, έρνπκε f() - f() -- lim = lim = lim lim = lim lim = lim = IR, νπόηε ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην = κε f () = Έηζη έρνπκε f () = - +, αλ, αλ = Σειίδα 9

10 Γηα θάζε f () = = = = = Σην = έρνπκε : f () - f () lim = lim = lim = lim = lim = lim = lim = lim = IR 3 3 Άξα ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην = κε f () = 3 Έηζη έρνπκε f () = , αλ 3, αλ = Σειίδα

11 Γ) Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g()=(-) +, R Δίλαη g ()= = έρνπκε : g () > > > g () < < < g () = = - + g () - + g() min Από ην πξόζεκν ηεο g () πνπ θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην -, θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,+, νπόηε ε g παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην κόλν ζην ζεκείν = ην νπνίν είλαη g min =g()=. Δπνκέλωο γηα θάζε IR ηζρύεη g() g() = κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα = Άξα γηα θάζε ηζρύεη - + g() > ( -) + > > f () > Αθόκε είλαη f ()= >, έηζη γηα θάζε R είλαη f ()>, νπόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R θαη ε f δελ έρεη ηνπηθά αθξόηαηα. Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε θ() = - + -, IR Δίλαη θ () = = (-) + ( -+) = γηα θάζε R κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =, νπόηε ε θ είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR Σειίδα

12 Έηζη ) γηα θάζε > έρνπκε θr > θ() > θ() ( - + ) - > 3 > > f () > ) γηα θάζε < έρνπκε θr < θ() < θ() ( - + ) - < 3 < 3) > f () > f () = > 3 Έηζη γηα θάζε IRηζρύεη f ()> νπόηε ε f είλαη θπξηή ζην IR θαη ε C f δελ έρεη ζεκείν θακπήο Γ) Έζηω < α < β <.Γηα θάζε α,βέρνπκε: < < < f() > f( ), αθνύ f IR > > > β - β - β - d > d - d > α α α - - β - β β - β d > α d d > ln = lnβ - lnα α α α - - β - β α - d > ln α Σειίδα

13 ΘΕΜΑ 4 Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :,+ IR ηζρύεη : + f() + f () = + f() γηα θάζε > θαη f()=. ) Να δείμεηε όηη: α) β) f() f() + = + ln, γηα θάζε >. ln f() =, > ) Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα θαη λα δείμεηε όηη ln γηα θάζε > 3) Να δείμεηε όηη γηα θάζε α (,) ηζρύεη : d α ln > α 4) Να βξεζνύλ νη α,β>, ώζηε α αβ β α β = 5) Να ιπζεί ζην,+ ε εμίζωζε : = Σειίδα 3

14 ΛΤΗ ) α) Γηα θάζε > έρνπκε: + f() + f() + f () = f() + f () + f() = + f() f() f() + = + f() + f() = + > f() f() f() + = + f() + = + ln f() f() + = + ln + c, c IR ζηαζεξά Γηα = έρνπκε : f() f() f() + = + ln+ c f() + = + c + = + c c = f() Άξα γηα θάζε > ηζρύεη f() + = + ln : () β) Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g() = +, IR. Δίλαη g () = + > γηα θάζε IR, νπόηε ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Δπνκέλωο ε g είλαη ζπλάξηεζε -. Γηα θάζε > έρνπκε : g "-" f() f() ln f() + = + ln f() + = ln + g f() = g ln ln f() = ln f() = ln Άξα είλαη f() =, >. ( Δίλαη θαλεξό όηη ηθαλνπνηεί ηελ ππόζεζε ) Σειίδα 4

15 ) Δίλαη ln - ln - ln ln - ln f () = = = = έρνπκε : - ln f () > > - ln > ln < ln < ln > > > > > ln,+ < < < > f () < f () = θόκε > θαη = > > + f () + - f() ma Από ην πξόζεκν ηεο f () πνπ θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην, θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην,+, νπόηε ε f παξνπζηάδεη νιηθό κέγηζην κόλν ζην =, ην νπνίν είλαη ην mαf() = f() =. Δπεηδή ε f έρεη νιηθό κέγηζην έπεηαη όηη γηα θάζε > ηζρύεη ln f() maf() ln Δπνκέλωο γηα θάζε > ηζρύεη γηα =. ln : () κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν Σειίδα 5

16 3) Γηα θάζε > ηζρύεη ln Έηζη γηα θάζε α(,)θαη γηα θάζε α, κε ηελ ηζόηεηα κόλν γηα = ηζρύεη: () <α < lnα ln ln ln κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =. Δπνκέλωο είλαη: - d > d - d > ln ln d > d = ln = ln - lnα = ln = α α α α α α ln α IR ln d α d α ln α ln = ln > > α α αβ β α 4)... α β = : Δ αβ β α ln α β = ln Έρνπκε: β α αβ αβ βlnα + αlnβ ln α + ln β = βlnα + αlnβ = = αβ lnα lnβ + = f(α) + f(β) = : Σ α β Από ην () εξώηεκα έρνπκε όηη γηα θάζε > ηζρύεη: f() maf() = f() = κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =. Σειίδα 6

17 Έηζη ηζρύνπλ: f(α) κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα α= θαη ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα β= f(β) κε Έηζη είλαη f(α) + f() θαη ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν όηαλ α= θαη β=. Δπνκέλωο γηα λα ηζρύεη ε (Σ), νπόηε θαη ε ηζνδύλακε ηεο ζρέζε (Δ), πξέπεη θαη αξθεί λα είλαη α=β= 5) Έρνπκε: =, > ln ln ln( ) = ln( ), > ln = ln, > =, > ln f() =, > Έηζη ε εμίζωζε: =, > είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζωζε ln f() = ln Γηα ην =, ηζρύεη f() = νπόηε ην = είλαη ξίδα ηεο εμίζωζεο ln f() = θαη κάιηζηα κνλαδηθή ζην, αθνύ ε f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε, ζην, ln4 Γηα ην =4,+ ηζρύεη f(4) = 4 ln( ) ln ln = = = 4 4 ln νπόηε ην =4 είλαη ξίδα ηεο εμίζωζεο f() = θαη κάιηζηα κνλαδηθή ζην (,+) αθνύ ε f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε ζην (,+). ln Από ηα παξαθάηω πξνθύπηεη όηη ε εμίζωζε f() = νπόηε θαη ε ηζνδύλακή ηεο εμίζωζεο =,> έρεη αθξηβώο δπν ξίδεο ζην,+ νη νπνίεο είλαη : =, =4. Σειίδα 7

18 ΘΕΜΑ 5 Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f: IRIRηζρύεη + tf(t) f () = 3 + f(t)dt - f() dt - γηα θάζε IR θαη f()=f()+7. Να δείμεηε όηη ππάξρεη μ(,), ώζηε f (μ)=3μ. Να δείμεηε όηη - f(t)dt = f() 3. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f 4.Έζηω (ε) ε εθαπηόκελε ηεο C f ζην ζεκείν ηεο Μ (α,f(α)), κε α > α) Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f θαη ηελ εθαπηνκέλε (ε) β) Αλ ην α απμάλεηαη κε ξπζκό 3cm/sc(ηα κήθε ηωλ κνλαδηαίωλ δηαλπζκάηωλ ηωλ αμόλωλ είλαη cm) λα βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ Δ ωο πξνο ηνλ ρξόλν t ηελ ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηελ νπνία είλαη Δ=8cm ΛΥΣΗ. Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g()=f()- 3 Η g είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε g ()=f ()-3, νπόηε ε g είλαη ζπλερήο ζην, θαη παξαγωγίζηκε ζην (,). Σειίδα 8

19 Αθόκε είλαη g()=f()- 3 =f()- θαη g()=f()- 3 =f()-8 Δίλαη όκωο f()=f()+7, νπόηε g() =(f()+7)-8=f()-. Άξα είλαη g()=g() Δπνκέλωο ε gηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Rll ζην,, νπόηε ππάξρεη μ(,) ώζηε g (μ)= f (μ)-3μ =f (μ)=3μ. Από ηελ ππόζεζε έρνπκε όηη γηα θάζε IRηζρύεη : + tf(t) f () = 3 + f(t)dt - f() dt : () Από ηελ () γηα =μ έρνπκε: μ+ tf(t) - μ - f (μ) = 3μ + f(t)dt - f() dt μ+ tf(t) 3μ = 3μ + f(t)dt - f() dt - μ μ+ t f(t) f(t)dt - f() dt = : () - μ είλαη μ < μ + θαη γηα θάζε t μ,μ + μ+ tf(t) tf(t) ηζρύεη dt >, νπόηε είλαη dt > μ Έηζη απν ηελ () πξνθύπηεη όηη f(t)dt - f() = f(t)dt - f() = : (3) - - Σειίδα 9

20 3. Από ηελ () ιόγω ηεο (3) έρνπκε όηη γηα θάζε IRηζρύεη : 3 3 f () = 3 f() = f() = + c, c IRζηαζεξά 3 3 Έρνπκε όκωο f(t)dt = f() t + c dt = + c t + ct = c + c - - c = c c = c c = Άξα f() =, IR (ηθαλνπνηεί ηελ ππόζεζε) α) Δίλαη f() =, f () = 3, f(α) = α, f (α) = 3α νπόηε ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο C f ζην ζεκείν ηεο Μ (α,f(α)), α > 3 3 είλαη y - f(α) = f (α)( - α) y - α = 3α ( - α) y = 3α -α 3 Άξα είλαη (ε) : y = 3α - α Βξίζθνπκε ηηο ηεηκεκέλεο ηωλ θνηλώλ ηεο επζείαο (ε) θαη ηεο C f Λύλνπκε ηελ εμίζωζε 3 f() = 3α - α Έρνπκε : f() = 3α - α - 3α + α = α - 3α + 3α = - α + α + α - 3α - α = -α + α - α = - α - α + α = -α = = α -α + α = ή ή + α = = -α Άξα ηα θνηλά ζεκεία ηωλ C f θαη (ε) είλαη Ν -α,f -α Μ α,f α θαη Σειίδα

21 Τν εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ Ω όπνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f θαη α α ηελ (ε) είλαη: Δ = f() - 3α - α d = - 3α + α d -α -α 3 3 Δίλαη - 3α + α - α + α γηα θάζε -α,α, α > Έηζη είλαη: α α α α Δ = - 3α + α d = d - 3α d + α d -α -α -α -α 4 α α α = - 3α + α α - -α α -6α - α - 4α + 6α 4 4 -α -α α = - α + + 6α = α cm. Άξα είλαη Δ = α cm β) Έζηω θαηά ηελ ρξνληθή ζηηγκή t sc είλαη α = α(t) cm θαη Δ=Δ(t) cm. 7 4 Δίλαη Δ(t) = α (t), νπόηε παξαγωγίδνληαο ωο πξνο t έρνπκε Δ (t) = 4α (t)α (t) = 7α (t) α (t) 4 Γηα ηελ ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηελ νπνία είλαη Δ=8cm Έρνπκε Δ (t ) = 7α (t ) α (t ) 3 Έρνπκε όκωο : αt α t = 3cm / sc θαη Δt = 8 α t = 8 α t = 6 α t = cm 4 Έηζη ν δεηνύκελνο ξπζκόο κεηαβνιήο είλαη : 3 Δ t = 7 3 = 648 cm /sc Σειίδα

22 ΕΤΡΕΗ ΣΤΠΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f() + f(- ) = + γηα θάζε IR.Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη + γηα θάζε IR.Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. f() f(- ) = 3. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f :,, y, θαη είλαη f()= θαη f()=. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. IR ηζρύεη f() - f(y) - y γηα θάζε 4. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR * + IR ηζρύεη f() ln + γηα θάζε > θαη είλαη : + f() + f = γηα θάζε >. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 5. Η ζπλάξηεζε f:irir είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR θαη ηζρύεη f f =, γηα θάζε R. Να δείμεηε όηη f =, R. Σειίδα

23 6. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f f() + f() = γηα θάζε IR θαη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Να δείμεηε όηη f()=, IR. 7. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f() - f(y) - y,yir. γηα θάζε α) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g()=f()-3 είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην R. β) Αλ επηπιένλ ηζρύεη f f() + 3 = 4f() γηα θάζε IR, λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. y 8. Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f() - f(y) - θάζε,yir. Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζηαζεξή. γηα 9. α) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο g() = ln + + θαη ε παξάγωγνο ηεο. β) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = + f () γηα θάζε IR θαη f()=. Σειίδα 3

24 . Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :,+ ηζρύεη f ()= f () γηα θάζε θαη f()=-. IR α) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε - f(t)dt g() = f(), είλαη ζηαζεξή ζην,+. β) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη f() f () = γηα θάζε IR θαη f()=.. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο δπν θνξέο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR * IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = γηα θάζε. 3. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR IR ηελ νπνία ηζρύεη f()- f () = γηα θάζε IR θαη f()=. γηα 4. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = f() + ζπλ γηα θάζε IR θαη f()=. Σειίδα 4

25 5. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR IR ηελ νπνία ηζρύεη f () + f() = f() - f ()γηα θάζεirθαη f()=. γηα 6. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f () -f(α) f(α +) γηα θάζε IR, (αir). Να δείμεηε όηη f()= γηα θάζε IR. 7. Γηα ηελ δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR * + IR ηζρύεη f() f () = - γηα θάζε IR * + θαη f() =,f ()=. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 8. Να βξείηε ηηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο f,g : IR IR, κε f()= θαη g()=-, αλ γηα θάζε IR ηζρύνπλ f () g() = θαη f() g () = -3. Σειίδα 5

26 9. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR * + IR ηζρύεη yf(y) = f() + yf(y) γηα θάζε, y IR * + θαη είλαη ) Να βξεζεί ην f (). f() ) Να δείμεηε όηη f () = - γηα θάζε >. 3) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. f() lim =. -. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : (,π) IR f () εκ = f() ζπλ + f() εκ π π, π θαη f =. γηα θάζε Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. ηζρύεη. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : (,+ ) IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = -f 3 γηα θάζε > θαη f() =.. Να βξείηε ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε ηζρύεη π π f : -, IR γηα ηελ νπνία f() = + - f(t)εκt ζπλt dt γηα θάζε π π -,. Σειίδα 6

27 3. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη 9 f(t)dt + = f() + γηα θάζε IR. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 4. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f :, f ()d = f()d -. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. IR ηζρύεη 5. Να βξείηε ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :,+ IR γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ f()= θαη f(t) f () - dt = ln γηα θάζε >. t 6. Έζηω ζπλερήο ζπλάξηεζε f : IR IR * γηα ηελ νπνία ηζρύεη t f( - t)dt = εκ, γηα θάζε.να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. Σειίδα 7

28 7. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :, 3 4 f() = (- ) f () γηα θάζε,. Να δείμεηε όηη f()=,,. IR ηζρύεη 8. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f: α,β IR ηζρύεη f() = + - α -β f () - γηα θάζε Να δείμεηε όηη f() =, α,β. α,β. 9. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f :, IR ηζρύεη 4 f ()d = 4 f()d -. 3 Να δείμεηε όηη f() =,,. 3. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f () = + f() - f(- ), γηα θάζε IR θαη f()=. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. Σειίδα 8

29 3. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f () = f () f(-), IR θαη f() =. Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε f. 3. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη +-f() + f () = + γηα θάζε IR θαη f()=. 33. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = ζπλ γηα θάζε IR θαη f()=. * 34. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR θάζε,y IR * ηζρύεη yf() - f(y) y - y γηα ) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f() g() =, > είλαη ζηαζεξή. ) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. Σειίδα 9

30 35. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη 3 γηα θάζε IR. 3 f( t)dt + 6 f(t)dt = tdt Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f:irir κε f() = t dt. (τωρίς το σύμβολο τοσ ολοκληρώματος) 37. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη π - γηα θάζε IR. f(t)dt + f(t)dt = εκ + ζπλ Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. * 38. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη t + f() = dt γηα θάζε >. f(t) t + t Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 39. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f( + y) f() + f(y) + y γηα θάζε,yir θαη είλαη f()=f ()=. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. Σειίδα 3

31 4. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f(t) f() = + εκ dt + γηα θάζε IR. +εκt Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. * 4. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη lim h h -f( + h - f + h) h = - f() γηα θάζε > θαη f()=. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. 4. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα f () ηελ νπνία ηζρύεη θαη f()=. f + f (t) - f(t) dt + f () = f() + γηα θάζε IR 43. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη t f - t dt = f() + γηα θάζε R. Σειίδα 3

32 44. α) Να δεηρζεί όηη ε ζπλάξηεζε - () = >, = f, είλαη ζπλερήο ζην,+ β) Να βξείηε ηηο παξάγνπζεο ηεο f. γ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηεο C f, ηωλ επζεηώλ, = θαη ηνπ άμνλα. * 45. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f : IR IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη 4 - f() - f( t)dt = γηα θάζε >. 46. Γηα ηε ζπλάξηεζε f:rr ηζρύεη f(+y)=f()+f(y)+3y(+y) γηα θάζε,yr θαη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην = κε f ()=. ) Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην R ) Να απνδείμεηε όηη f()= 3, R. 47. Γηα ηε ζπλερή ζπλάξηεζε f : (-,)R ηζρύεη εκ f(t)dt = γηα θάζε (-,). Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. Σειίδα 3

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 58 Β Λςκείος Γεν. Παιδείαρ 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Γύν ζεηηθά θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ Αρχική θάζε Οη ζρέζεηο x= Aεκσt π = π max ζπλσt α = - α max εκσt ηζρύνπλ, όηαλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο (x=0) θαη θηλείηαη θαηά

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

BAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ

BAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ BAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ Α. ΘΔΩΡΗΜΑ BOLZANO (Θ.Β) Έζηω κηα ζπλάξηεζε f,νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [α,β].αλ: Ζ f είλαη ζπλερήο ζην [α,β] θαη, επηπιένλ, ηζρύεη f a f 0 Σόηε ππάξρεη ένα, τοσλάτιστον,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: ευτέρα, Ιουνίου 9 7: : ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

Μεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο:

Μεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο: Μεζνδνινγία Κύθινπ Κύθινο νλνκάδεηαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ελόο ζπλόινπ άπεηξσλ ζεκείσλ ηα νπνία ηζαπέρνπλ από έλα ζηαζεξό ζεκείν, ην θέληξν ηνπ. Άξα, έλαλ θύθιν ηνλ ραξαθηεξίδνπλ δύν ζηνηρεία, ην θέληξν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1.2 και 1.3 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 A. Να δηαηππώζεηε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα κε ιόγηα θαη λα γξάςεηε ηελ αληίζηνηρε καζεκαηηθή ζρέζε (ηύπν) πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πζτρα-Ψαλίδι-Χαρτί Κεξδίδεη ΠΔΣΡΑ ΨΑΛΗΓΗ ΧΑΡΣΗ ΠΔΣΡΑ Ψ Α Ψ ΨΑΛΗΓΗ Ψ Ψ Α ΧΑΡΣΗ Α Ψ Ψ Η ζτέζη Κερδίζει αναπαρίζηαηαι από ηο ζύνολο {(Π,Ψ),(Ψ,Χ),(Χ,Π)}. (Εκεί ποσ γίνεηαι αληθές δηλαδή)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο:

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: x = 8ημ(πt+π/6) 1. Να ππνινγίζεηε ηε ζηαζεξά επαλαθνξάο ηνπ. 2. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηελ απνκάθξπλζή ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ 1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access) Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Οη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο είλαη κία ζεκαληηθή θιάζε ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ κηάο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο Τα βαζηθά ζεωξήκαηα ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ζε ζπλδπαζκό κε ηε κνλνηνλία, καο βνεζνύλ λα βγάινπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη: Κινητική 1 Α Λυκείου Γεν. Παιδείας 13-11-11 Θέμα 1 ο : Δπηιέμηε ηε ζωζηή απάληεζε: 1.Σηελ επζύγξακκε νκαιά επηηαρπλόκελε θίλεζε ε επηηάρπλζε ελόο θηλεηνύ είλαη: α)αλάινγε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

α) Να δείμεηε όηη ν ιόγνο δύν δηαδνρηθώλ ηηκώλ ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ζηαζεξόο.

α) Να δείμεηε όηη ν ιόγνο δύν δηαδνρηθώλ ηηκώλ ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάληωζεο είλαη ζηαζεξόο. ΦΘΙΝΟΤΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Η πεξίνδνο κηαο θζίλνπζαο αξκνληθήο ηαιάληωζεο είλαη Τ θαη ην πιάηνο ηεο αθνινπζεί ηνλ εθζεηηθό λόκν Α k = Α 0 e -Λt όπνπ Λ ζηαζεξή πνζόηεηα. α) Να δείμεηε όηη ν ιόγνο δύν

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ 1 Δίδη καμπσλών κόζηοσς Μηα θακπύιε ζπλνιηθνύ θόζηνπο είλαη ε γξαθηθή απεηθόληζε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ ζπλνιηθνύ θόζηνπο ηεο επηρείξεζεο. Μηα θακπύιε κεηαβιεηνύ θόζηνπο είλαη ε

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ

Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ MENU ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ Σε απηό ην ζεκείν ηεο εθαξκνγήο δεκηνπξγνύκε ηα δηάθνξα Ηιεθηξνληθά Αξρεία έηζη ώζηε λα ηα ππνβάινπκε ζηνπο δηάθνξνπο θνξείο. Γηα λα επηιέμνπκε έλα είδνο αξρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΦΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplac Δηεπξύλεη ηε θιάζε ηωλ ζεκάηωλ γηα ηα νπνία κπνξεί λα επηηεπρζεί ε κεηάβαζε από ην πεδίν ηνπ ρξόλνπ ζην πεδίν ηεο ζπρλόηεηαο. Παξέρεη ηε

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΜΑΣΩΝ & ΤΣΗΜΑΣΩΝ. ΜΕΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟ Laplace

ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΜΑΣΩΝ & ΤΣΗΜΑΣΩΝ. ΜΕΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟ Laplace ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΜΑΣΩΝ & ΤΣΗΜΑΣΩΝ ΜΕΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟ plce Αηηηαηόηεηα Με-Αηηηαηόηεηα. Επζηάζεηα. Πεξηνρή ύγθιηζεο Μεηαζρεκαηηζκνύ plce ηωλ Επζηαζώλ & Αηηηαηώλ πζηεκάηωλ. Εθζεηηθά ήκαηα. Πνιπωλπκηθά Εθζεηηθά

Διαβάστε περισσότερα

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( )

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( ) 1. Άζξνηζκα Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Θέινπκε λα εθθξάζνπκε ην άζξνηζκα ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ. Δπνκέλσο έρνπκε: 2. Άζξνηζκα Ξεθηλάκε κε δύν

Διαβάστε περισσότερα

Κινητός και Διάχυτος Υπολογισμός (Mobile & Pervasive Computing)

Κινητός και Διάχυτος Υπολογισμός (Mobile & Pervasive Computing) 1 Κινητός και Διάχυτος Υπολογισμός (Mobile & Pervasive Computing) Δημήτπιορ Κατσαπόρ Χεηκώλαο 2016 Διάλεξη 7η 2 Περιεχόμενα Εςπετήπια 3 Παράμετροι ενδιαφέροντος (1/2) Tuning time: Ο ρξόλνο πνπ ν θηλεηόο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 61 Ον/μο:.. Β Λσκείοσ Ύλη: Ηλεκηρικό ρεύμα Το Φως Γενικής Παιδείας 22-3-2015 Θέμα 1 ο : 1. Μία ειεθηξηθή ζπζθεπή ιεηηνπξγεί γηα ρξνληθή δηάξθεηα 0,5h θαη θαηαλαιώλεη 2kWh ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ Έζησ : R R κηα ζπλάξηεζε πνιιώλ κεηαβιεηώλ. ε θάζε κηα από ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο ε θαζώο θαη όιεο νη ζπλαξηήζεηο πνπ νξίδνληαη ζεσξνύληαη θιάζεο ηνπιάρηζηνλ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών τοιχεία του μαθήματοσ (ημζρα εβδομάδασ, ώρεσ, ζτοσ): ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών Εργαςτηριακή ομάδα αςκήςεων 2 για το μάθημα «ΑΡΧΙΣΕΚΣΟΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Δσζμενές διαηαρατές και Ονομαζηικό-πραγμαηικό επιηόκιο

Δσζμενές διαηαρατές και Ονομαζηικό-πραγμαηικό επιηόκιο Δσζμενές διαηαρατές και Ονομαζηικό-πραγμαηικό επιηόκιο Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall Macroeconomics, 5/e Olivier Blanchard 1 of 43 IS-LM: Μηχανισμός προσαρμογής μετά

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 3: Αζύκπησηεο Επζείεο

Κεθάιαην 3: Αζύκπησηεο Επζείεο Κεθάιαην 3: Αζύκπησηεο Επζείεο Σύλνςε Η έλλνηα ηεο αζύκπηωηεο επζείαο έρεη ήδε ρξεζηκνπνηεζεί ζηε κειέηε ηεο κνλνηνλίαο ζπλαξηήζεωλ ηνπ πξνεγνύκελνπ θεθαιαίνπ. Σην θεθάιαην απηό παξνπζηάδεηαη κηα πεξηζζόηεξν

Διαβάστε περισσότερα

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων):

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων): o Λύκειο Εακύνθος Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Κεθάιαην 3ν Άζθεζε Α Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ 90 0 θαη ΓΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο. Να δείμεηε όηη:. Τν ζεκείν Γ απέρεη ηελ ίδηα απόζηαζε από ηηο πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ.

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο

Διαβάστε περισσότερα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Κοιμωμικά δίκτυα (multiplex network) Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Facebook? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην LinkedIn? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Twitter? Αεροπορικές γραμμές της Ευρώπης(multiplex

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΠΔΡΗΟΓΗΚΑ ΦΑΗΝΟΜΔΝΑ Πεξηνδηθά θαηλόκελα, ιέγνληαη ηα θαηλόκελα πνπ επαλαιακβάλνληαη κε ηνλ ίδην ηξόπν ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Υαξαθηεξηζηηθά κεγέζε πεξηνδηθώλ θαηλνκέλωλ Πεξίνδνο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

α. Να ππνινγίζεηε ηε γσληαθή ζπρλόηεηα ησλ ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ ηνπ θπθιώκαηνο.

α. Να ππνινγίζεηε ηε γσληαθή ζπρλόηεηα ησλ ειεθηξηθώλ ηαιαληώζεσλ ηνπ θπθιώκαηνο. ΗΛΕΚΣΡΙΚΕ ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Iδαληθό θύθισκα LC απνηειείηαη από πελίν κε ζπληειεζηή απηεπαγσγήο L=4mH, ππθλσηή ρσξεηηθόηεηαο C= l0κf θαη δηαθόπηε. Αξρηθά, ν δηαθόπηεο είλαη αλνηθηόο θαη ν ππθλσηήο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money)

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money) Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Te Value of Moey) Εηζαγωγή Η έλλνηα όηη ην ρξήκα έρεη ρξνληθή αμία είλαη κία από ηηο θεθαιαηώδεηο έλλνηεο ζηελ αλάιπζε θάζε πξντόληνο ηεο Κεθαιαηαγνξάο. Σν ρξήκα έρεη ρξνληθή

Διαβάστε περισσότερα

Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER Εμπορική Air Sport Gun 777 Ονομαζία: Διανομέας: V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: 777 Χώρα Προέλεσζης:

Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER Εμπορική Air Sport Gun 777 Ονομαζία: Διανομέας: V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: 777 Χώρα Προέλεσζης: 1 Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER Air Sport Gun 777 V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: 777 2 Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER LH V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: ΧΚ918Α 3 Airsoft Gun κε Φσηεηλό

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΓΑΙΑ 1. Γιαδικησακά πληροθοριακά σζηήμαηα. Ομάδα Δργαζίας: Μεηαπηστιακοί Φοιηηηές. ηέθανος Κονηοβάς ΑΔΜ :283. Πάζτος Βαζίλειος ΑΔΜ :288

ΔΡΓΑΙΑ 1. Γιαδικησακά πληροθοριακά σζηήμαηα. Ομάδα Δργαζίας: Μεηαπηστιακοί Φοιηηηές. ηέθανος Κονηοβάς ΑΔΜ :283. Πάζτος Βαζίλειος ΑΔΜ :288 ΔΡΓΑΙΑ 1 Γιαδικησακά πληροθοριακά σζηήμαηα Ομάδα Δργαζίας: Μεηαπηστιακοί Φοιηηηές ηέθανος Κονηοβάς ΑΔΜ :283 Πάζτος Βαζίλειος ΑΔΜ :288 1.Γιάγραμμα Ονηολογίας. Σην παξαπάλω δηάγξακκα θαίλεηαη ε δηάξζξωζε

Διαβάστε περισσότερα

Μποπούν ηα θέμαηα ηων Εξεηάζεων να ζςμβάλοςν ζηη διδαζκαλία ηηρ Ανάλςζηρ ζηην Γ Λςκείος; Πποβλημαηιζμοί και πποηάζειρ

Μποπούν ηα θέμαηα ηων Εξεηάζεων να ζςμβάλοςν ζηη διδαζκαλία ηηρ Ανάλςζηρ ζηην Γ Λςκείος; Πποβλημαηιζμοί και πποηάζειρ Μποπούν ηα θέμαηα ηων Εξεηάζεων να ζςμβάλοςν ζηη διδαζκαλία ηηρ Ανάλςζηρ ζηην Γ Λςκείος; Πποβλημαηιζμοί και πποηάζειρ Γιάννης Θωμαΐδης, Στολικός Σύμβοσλος Ν. Κιλκίς Δημήτρης Μπαρούτης, 4 ο ΓΕ.Λ. Εσόσμοσ

Διαβάστε περισσότερα

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ 10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ Σσποποιημένες παροτές ΥΣ Γηα ηελ ειεθηξνδόηεζε θάζε εζωηεξηθήο εγθαηάζηαζεο θαηαζθεπάδεηαη κία από ηηο «ηππνπνηεκέλεο» παξνρέο πνπ αλαθέξνληαη παξαθάηω. Γηα θάζε ηππνπνηεκέλε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Τρίπολη 06/07/2007 Τα θέμαηα 1-5 είναι σποτρεωηικά και έτοσν ηοσς ίδιοσς (ίζοσς) ζσνηελεζηές βαρύηηηας Το θέμα 6 δίνει επιπλέον βαθμούς με βαρύηηηα 10% για βεληίωζη ηης βαθμολογίας ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην πλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ θαη νη παξάγσγνί ηνπο.

Κεθάιαην πλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ θαη νη παξάγσγνί ηνπο. Κεθάιαην πλαξηήζεηο πνιιώλ κεηαβιεηώλ θαη νη παξάγσγνί ηνπο. Καξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο ζην ρώξν. Σην ζύζηεκα θαξηεζηαλώλ (ή νξζνγώλησλ) ζπληεηαγκέλσλ θάζε ζεκείν P(,, z ) νξίδεηαη από κία ηξηάδα αξηζκώλ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ

ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ 1. 10078, 9136, 10821 Β 1. Η ζέζε ελόο ζώκαηνο, πνπ θηλείηαη επζύγξακκα θαηά κήθνο ελόο πξνζαλαηνιηζκέλνπ άμνλα x'x, δίλεηαη ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή από ηελ εμίζσζε x =

Διαβάστε περισσότερα

Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή. Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε.

Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή. Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε. Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε. Παξάκεηξνη πξνο αμηνιόγεζε Ννκνζεηηθή ζσξάθηζε Κνηλόο Σύιινγνο Ακνηβή Καηαγγειία/Λύζε

Διαβάστε περισσότερα

Β. Η θακππιόγξακκε θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ

Β. Η θακππιόγξακκε θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ Β. Η θακππιόγξακκε θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ Β.1 Γεληθά γηα ηελ θακππιόγξακκε θίλεζε 1. Πνηα θίλεζε ιέγεηαη θακππιόγξακκε; Κακππιόγξακκε είλαη ε θίλεζε ζηελ νπνία ε ηξνρηά είλαη θακπύιε. 2. Πώο νξίδεηαη θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ

6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ 6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ Σηα πιαίζηα ηεο έθηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital

Διαβάστε περισσότερα

Α.2 Η ελεξγόο έληαζε ελαιιαζζόµελνπ ξεύµαηνο πιάηνπο Θν είλαη: I ελ =10 2A Τν πιάηνο Θ ν ηεο έληαζεο ηζνύηαη µε:

Α.2 Η ελεξγόο έληαζε ελαιιαζζόµελνπ ξεύµαηνο πιάηνπο Θν είλαη: I ελ =10 2A Τν πιάηνο Θ ν ηεο έληαζεο ηζνύηαη µε: ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/11/14 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.1-Α.8 και δίπλα ηο γράμμα ποσ ανηιζηοιτεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

Case Study. Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report.

Case Study. Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report. Case Study Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report. Βήκα 1 ο : Login ζηο Turnitin. Κάλεηε είζνδν ζην Turnitin κε

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικαζία μεηαθοράς δεδομένων Εκκαθαριζηικής για ηο Eιδικό ζημείωμα περαίωζης Φ.Π.Α

Διαδικαζία μεηαθοράς δεδομένων Εκκαθαριζηικής για ηο Eιδικό ζημείωμα περαίωζης Φ.Π.Α Διαδικαζία μεηαθοράς δεδομένων Εκκαθαριζηικής για ηο Eιδικό ζημείωμα περαίωζης Φ.Π.Α Σει.1 Σο ζςγκεκπιμένο εγσειπίδιο δημιοςπγήθηκε για να βοηθήζει ηην καηανόηζη ηηρ διαδικαζίαρ μεηαθοπάρ δεδομένων ηηρ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Ο πολσμεριζμός Πολσμεριζμός είναι η τημική ανηίδραζη καηά ηην οποία πολλά μόρια ίδιων ή διαθορεηικών οργανικών ενώζεων, ποσ ονομάζονηαι μονομερή, ενώνονηαι και ζτημαηίζοσν

Διαβάστε περισσότερα

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Α ο υ ι ς ε κ ς ξ μ ι κ ή ρ ύ μ θ ε ρ η 6 Τ ξ μ έ α π ΘΘΘ, X ώ ο ξ π κ α ι Δ π ι κ ξ ι μ χ μ ί α Η έ μ α : Διδάρκξμςεπ: Τξ εύοξπ ςξσ ξοίξσ Ιεοαμεικόπ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ Β ΣΑΞΗ ΔΝΙΑΙΟΤ ΛΤΚΔΙΟΤ

ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ Β ΣΑΞΗ ΔΝΙΑΙΟΤ ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ Β ΣΑΞΗ ΔΝΙΑΙΟΤ ΛΤΚΔΙΟΤ ΦΤΙΚΗ ΓΔΝΙΚΗ ΠΑΙΓΔΙΑ - ΓΤΝΑΜΔΙ ΜΔΣΑΞΤ ΗΛΔΚΣΡΙΚΩΝ ΦΟΡΣΙΩΝ Γιάπκεια εξέηαζηρ: 3 ώπερ Ονομαηεπώνςμο: ΘΔΜΑ Α: ηιρ επωηήζειρ Α1 ωρ και Α4 επιλέξηε ηην ζωζηή απάνηηζη: (4x5 =

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

1. (Epp 30) Γξάςηε ηελ άξλεζε ησλ παξαθάησ ινγηθώλ πξνηάζεσλ:

1. (Epp 30) Γξάςηε ηελ άξλεζε ησλ παξαθάησ ινγηθώλ πξνηάζεσλ: 1. (Epp 30) Γξάςηε ηελ άξλεζε ησλ παξαθάησ ινγηθώλ πξνηάζεσλ: Α) Ο Γηάλλεο έρεη ύςνο 1,80 κέηξα θαη δπγίδεη ηνπιάρηζηνλ 90 θηιά. Β) Τν ιεσθνξείν άξγεζε ή ην ξνιόη ηνπ Νίθνπ πήγαηλε πίζσ. Α) Ο Γηάλλεο δελ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ. α)απνηειείηαη από ζσκαηίδηα, ηα νπνία πιεξνύλ όιν ην κέζν ρσξίο λα ππάξρνπλ θελά.

ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ. α)απνηειείηαη από ζσκαηίδηα, ηα νπνία πιεξνύλ όιν ην κέζν ρσξίο λα ππάξρνπλ θελά. ΜΗΥΑΝΙΚΑ ΚΤΜΑΣΑ 1.Πνηό ζώκα ραξαθηεξίδεηαη ζαλ ειαζηηθό κέζν; Ση ζα ζπκβεί αλ έλα ζωκαηίδην ηνπ κέζνπ εθηειέζεη εμαλαγθαζκέλε ηαιάληωζε κε ηελ επίδξαζε κηαο εμωηεξηθήο πεξηνδηθήο δύλακεο; Ειαζηηθό κέζν

Διαβάστε περισσότερα

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Μαξία-Ησάλλα Αξγπξνπνύινπ Βαζίιεο Παπιόπνπινο Τνκέαο Ψπρνινγίαο, Παλεπηζηήκην Αζελώλ Αλαθνίλσζε ζην 5 ν Παλειιήλην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα