Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
|
|
- Βενέδικτος Αθανασίου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηελ επζεία (ε), ηνλ άμνλα θαη ηελ επζεία =α, όπνπ α-, θαη λα βξεζεί lim Δ(α) α - ΛΤΗ α) Ιζρύεη + f() f(- ) = : () Από ηελ () ζέηνληαο όπνπ ην - έρνπκε όηη γηα θάζε IR ηζρύεη - f(- ) f() = : () Από ηελ () έρνπκε + f() f(- ) = f() f() Έηζη από ηελ () πξνθύπηεη όηη γηα θάζε IR ηζρύεη + f(- ) = : (3) Από ηελ (), ιόγω ηεο (3), έρνπκε: f() f() = = 3 f() f() f() = f() = f() = Δίλαη θαλεξό όηη ε f()=, IR ηθαλνπνηεί ηελ () Άξα είλαη f()=, IR Σειίδα
2 β) Δίλαη f()=, f ()=( ) =, f( )=, f ( )=. M,f( ) είλαη Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο C f ζην ζεκείν ηεο y - f( ) = f ( )( - ) y - = - y = + (- ) Γηα λα δηέξρεηαη ε επζεία (ε) από ην ζεκείν (-,-) πξέπεη θαη αξθεί λα ηζρύεη - = (-) = = = - - = g( ) = g(), όπνπ g() = -, IR - - Δίλαη g () = - = - - = + >, γηα θάζε IR, νπόηε ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Άξα ε g, ωο γλεζίωο κνλόηνλε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο, είλαη ζπλάξηεζε -. Έηζη από ηελ πξνθύπηεη όηη είλαη = g( ) = g(), δεδνκέλνπ όηη ε g είλαη ζπλάξηεζε -, Γηα = ε εμίζωζε ηεο (ε) γίλεηαη y=. Άξα ε δεηνύκελε εθαπηνκέλε ηεο C f είλαη ε επζεία (ε):y= θαη ην ζεκείν ηεο επαθήο είλαη ην Μ(,) γ) Δίλαη f () = θαη f () = > γηα θάζε IR, νπόηε ε f είλαη θπξηή ζην IR.Δπεηδή ε f είλαη θπξηή ζην IR έπεηαη όηη ε C f βξίζθεηαη πάλω από ηελ εθαπηόκελε ηεο επζείαο (ε):y=, κε εμαίξεζε ην θνηλό ζεκείν επαθήο Μ(,). Αθόκε ε επζεία (ε):y= ηέκλεη ηνλ άμνλα ζην ζεκείν Ο(,). Τν δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη Δ=Δ +Δ,όπνπ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηνλ άμνλα θαη ηηο επζείεο =α θαη = θαη Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηελ επζεία (ε) θαη ηηο επζείεο = θαη = Σειίδα
3 Δίλαη ν ν ν α α α θαη α Δ = f()d = d = = - η.κ Δ = f() - d = ν - d = d - d = - = = -- (- ) = - η.κ Δπνκέλωο ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη α α Δα = Δ + Δ = = - η.κ α Δίλαη lim Δα = lim - = - = η.κ α- α- Σειίδα 3
4 Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR ΘΕΜΑ. IR ηζρύεη f() - f(y) - + y εκ - εκy γηα θάζε, y R θαη f() =. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g()=f()-,ir είλαη ζηαζεξή ζην IR θαη λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.. Να βξείηε πνην ζεκείν ηεο C f απέρεη από ην ζεκείν Α(5,) ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε. 3. Αλ Μ ν είλαη ην ζεκείν ηεο C f πνπ απέρεη από ην Α(5,) ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε. α) λα δείμεηε όηη ε εθαπηόκελε (ε) ηεο Cf ζην Μ ν είλαη θάζεηε ζηελ επζεία ΑΜ ν. β) λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηνλ άμνλα, ηελ επζεία ΑΜ ν θαη ηελ επζεία =. ΛΤΗ ) Έζηω IR ηπραίνο. Λόγω ηεο () έρνπκε όηη γηα θάζε ν ηζρύεη : εκ - εκ f() - f( ) - + εκ - εκ f() - - f - εκ - εκ εκ - εκ g - g g - g εκ - εκ - g - g εκ - εκ g() - g( ) εκ - εκ - : () Σειίδα 4
5 Η ζπλάξηεζε θ()=εκ είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR κε θ ()=(εκ) =ζπλ, νπόηε είλαη : θαη εκ - εκ εκ - εκ lim = lim θ() - θ( ) = lim lim - = θ = = - εκ - εκ lim - = - =, - g() - g( ) lim = - νπόηε ιόγω ηεο () πξνθύπηεη όηη Δπνκέλωο ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζε θάζε ζεκείν IR θαη ηζρύεη g ( )= γηα θάζε IR. Άξα ε g είλαη ζηαζεξή ζην IR.Δπεηδή ε g είλαη ζηαζεξή ζην IR έρνπκε όηη γηα θάζε IR, ηζρύεη: g() = g() f() - = f() - f() - = f() = + (ηθαλνπνηεί ηελ ππόζεζε) ) Έζηω Μ, + ζεκείν ηεο C f.δίλαη ΑΜ = = Δίλαη θαλεξό όηη ε απόζηαζε (ΑΜ) γίλεηαη ειάρηζηε αλ θαη κόλν αλ ην (AΜ) γίλεηαη ειάρηζην. y C f M(, +) O A(5,) Σειίδα 5
6 Δίλαη (ΑΜ) =(-5) +( +) = =h(), R. Η ζπλάξηεζε h είλαη παξαγωγίζηκε ζην R κε h ()= Δίλαη h ()= +6> γηα θάζε R, νπόηε ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R. Αθόκε είλαη h ()= =. Έηζη έρνπκε h ()>h ()>h ()>, (αθνύ ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R). Όκνηα h ()<h ()<h ()<,(αθνύ ε h είλαη γλ. αύμνπζα ζην R.) h ()=h ()=h ()=, (αθνύ ε h ωο γλεζίωο αύμνπζα ζην R είλαη ζπλάξηεζε - ). - + h () - + h() Από ην πξόζεκν ηεο h () πνπ θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε h είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην (-,] θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην [,+). min Άξα ε h παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην ζην =, ην νπνίν είλαη ην h min =h()=. Γηα = είλαη y=f()= +=. Δπνκέλωο ην ζεκείν ηεο C f πνπ απέρεη από ην Α(5,) ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε είλαη ην Μ ν (,) θαη ε απόζηαζή ηνπ από ην Α είλαη (ΑΜ ν )=(ΑΜ) min = hmin = 5 Σειίδα 6
7 f () = + =, IR, νπόηε ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο 3) α) είλαη: ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο C f ζην ζεκείν Μ ν (,) είλαη ιε=f ()= Ο ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο επζείαο ΑΜ ν είλαη yμ - y ν Α - ι ΑΜ = = = - ν Μν Α Δίλαη β) ιε ι ΑΜ ν = - = - νπόηε ε επζεία (ε) είλαη θάζεηε ζηελ επζεία ΑΜ ν C f Μ ν (,) (,) Ο Β(,) Α(5,) Τν δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη Δ=Δ +Δ, όπνπ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηνλ άμνλα θαη ηηο επζείεο = θαη = θαη Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΜ ν. Δίλαη f()d = Δ = + d = + = - = η.κ Δ = ΑΒ ΒΜ ν = 4 = 4 η.κ Άξα ην δεηνύκελν εκβαδό είλαη θαη 4 6 Δ = Δ + Δ = + 4 = η.κ 3 3 Σειίδα 7
8 ΘΕΜΑ 3. Γηα ηελ δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη f () = - f () + f() γηα θάζε IR θαη είλαη f () =. α) Να δείμεηε όηη f() = -,, = β) Να βξεζεί ε f () θαη ε f (). γ) Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία, ηα ηνπηθά αθξόηαηα, ηελ θπξηόηεηα θαη ηα ζεκεία θακπήο. β - β δ) Αλ <α<β< λα δείμεηε όηη: α - d > ln α Γηα θάζε IR έρνπκε: ΛΤΗ f () + f () () = f () - + f() - f () = - f () + f() f () + f () = - f () + f() f () = - f() f () = - f() + c c IR ζηαζεξά Γηα = έρνπκε f () = - f () + c c = f () = Δηζη γηα θάζε IR έρνπκε : f() + = f() + f() + = c c IR ζηαζεξά f () = - f() + f () + f() = f() + Γηα = έρνπκε : f() + = c c = Δηζη γηα θάζε IR ηζρύεη f() + = f() = - : () Σειίδα 8
9 - Απν ηελ () έρνπκε όηη γηα θάζε είλαη f() =. Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην = (αθνύ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην R), έπεηαη όηη ηζρύεη : limf() = f(). Άξα είλαη : - -, αλ - f() = limf() = lim = lim = lim = Άξα f() = - +, αλ = Β. Γηα θάζε είλαη f () = = = = = Σην =, έρνπκε f() - f() -- lim = lim = lim lim = lim lim = lim = IR, νπόηε ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην = κε f () = Έηζη έρνπκε f () = - +, αλ, αλ = Σειίδα 9
10 Γηα θάζε f () = = = = = Σην = έρνπκε : f () - f () lim = lim = lim = lim = lim = lim = lim = lim = IR 3 3 Άξα ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην = κε f () = 3 Έηζη έρνπκε f () = , αλ 3, αλ = Σειίδα
11 Γ) Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g()=(-) +, R Δίλαη g ()= = έρνπκε : g () > > > g () < < < g () = = - + g () - + g() min Από ην πξόζεκν ηεο g () πνπ θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην -, θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,+, νπόηε ε g παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην κόλν ζην ζεκείν = ην νπνίν είλαη g min =g()=. Δπνκέλωο γηα θάζε IR ηζρύεη g() g() = κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα = Άξα γηα θάζε ηζρύεη - + g() > ( -) + > > f () > Αθόκε είλαη f ()= >, έηζη γηα θάζε R είλαη f ()>, νπόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R θαη ε f δελ έρεη ηνπηθά αθξόηαηα. Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε θ() = - + -, IR Δίλαη θ () = = (-) + ( -+) = γηα θάζε R κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =, νπόηε ε θ είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR Σειίδα
12 Έηζη ) γηα θάζε > έρνπκε θr > θ() > θ() ( - + ) - > 3 > > f () > ) γηα θάζε < έρνπκε θr < θ() < θ() ( - + ) - < 3 < 3) > f () > f () = > 3 Έηζη γηα θάζε IRηζρύεη f ()> νπόηε ε f είλαη θπξηή ζην IR θαη ε C f δελ έρεη ζεκείν θακπήο Γ) Έζηω < α < β <.Γηα θάζε α,βέρνπκε: < < < f() > f( ), αθνύ f IR > > > β - β - β - d > d - d > α α α - - β - β β - β d > α d d > ln = lnβ - lnα α α α - - β - β α - d > ln α Σειίδα
13 ΘΕΜΑ 4 Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :,+ IR ηζρύεη : + f() + f () = + f() γηα θάζε > θαη f()=. ) Να δείμεηε όηη: α) β) f() f() + = + ln, γηα θάζε >. ln f() =, > ) Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα θαη λα δείμεηε όηη ln γηα θάζε > 3) Να δείμεηε όηη γηα θάζε α (,) ηζρύεη : d α ln > α 4) Να βξεζνύλ νη α,β>, ώζηε α αβ β α β = 5) Να ιπζεί ζην,+ ε εμίζωζε : = Σειίδα 3
14 ΛΤΗ ) α) Γηα θάζε > έρνπκε: + f() + f() + f () = f() + f () + f() = + f() f() f() + = + f() + f() = + > f() f() f() + = + f() + = + ln f() f() + = + ln + c, c IR ζηαζεξά Γηα = έρνπκε : f() f() f() + = + ln+ c f() + = + c + = + c c = f() Άξα γηα θάζε > ηζρύεη f() + = + ln : () β) Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g() = +, IR. Δίλαη g () = + > γηα θάζε IR, νπόηε ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Δπνκέλωο ε g είλαη ζπλάξηεζε -. Γηα θάζε > έρνπκε : g "-" f() f() ln f() + = + ln f() + = ln + g f() = g ln ln f() = ln f() = ln Άξα είλαη f() =, >. ( Δίλαη θαλεξό όηη ηθαλνπνηεί ηελ ππόζεζε ) Σειίδα 4
15 ) Δίλαη ln - ln - ln ln - ln f () = = = = έρνπκε : - ln f () > > - ln > ln < ln < ln > > > > > ln,+ < < < > f () < f () = θόκε > θαη = > > + f () + - f() ma Από ην πξόζεκν ηεο f () πνπ θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην, θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην,+, νπόηε ε f παξνπζηάδεη νιηθό κέγηζην κόλν ζην =, ην νπνίν είλαη ην mαf() = f() =. Δπεηδή ε f έρεη νιηθό κέγηζην έπεηαη όηη γηα θάζε > ηζρύεη ln f() maf() ln Δπνκέλωο γηα θάζε > ηζρύεη γηα =. ln : () κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν Σειίδα 5
16 3) Γηα θάζε > ηζρύεη ln Έηζη γηα θάζε α(,)θαη γηα θάζε α, κε ηελ ηζόηεηα κόλν γηα = ηζρύεη: () <α < lnα ln ln ln κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =. Δπνκέλωο είλαη: - d > d - d > ln ln d > d = ln = ln - lnα = ln = α α α α α α ln α IR ln d α d α ln α ln = ln > > α α αβ β α 4)... α β = : Δ αβ β α ln α β = ln Έρνπκε: β α αβ αβ βlnα + αlnβ ln α + ln β = βlnα + αlnβ = = αβ lnα lnβ + = f(α) + f(β) = : Σ α β Από ην () εξώηεκα έρνπκε όηη γηα θάζε > ηζρύεη: f() maf() = f() = κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =. Σειίδα 6
17 Έηζη ηζρύνπλ: f(α) κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα α= θαη ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα β= f(β) κε Έηζη είλαη f(α) + f() θαη ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν όηαλ α= θαη β=. Δπνκέλωο γηα λα ηζρύεη ε (Σ), νπόηε θαη ε ηζνδύλακε ηεο ζρέζε (Δ), πξέπεη θαη αξθεί λα είλαη α=β= 5) Έρνπκε: =, > ln ln ln( ) = ln( ), > ln = ln, > =, > ln f() =, > Έηζη ε εμίζωζε: =, > είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζωζε ln f() = ln Γηα ην =, ηζρύεη f() = νπόηε ην = είλαη ξίδα ηεο εμίζωζεο ln f() = θαη κάιηζηα κνλαδηθή ζην, αθνύ ε f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε, ζην, ln4 Γηα ην =4,+ ηζρύεη f(4) = 4 ln( ) ln ln = = = 4 4 ln νπόηε ην =4 είλαη ξίδα ηεο εμίζωζεο f() = θαη κάιηζηα κνλαδηθή ζην (,+) αθνύ ε f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε ζην (,+). ln Από ηα παξαθάηω πξνθύπηεη όηη ε εμίζωζε f() = νπόηε θαη ε ηζνδύλακή ηεο εμίζωζεο =,> έρεη αθξηβώο δπν ξίδεο ζην,+ νη νπνίεο είλαη : =, =4. Σειίδα 7
18 ΘΕΜΑ 5 Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f: IRIRηζρύεη + tf(t) f () = 3 + f(t)dt - f() dt - γηα θάζε IR θαη f()=f()+7. Να δείμεηε όηη ππάξρεη μ(,), ώζηε f (μ)=3μ. Να δείμεηε όηη - f(t)dt = f() 3. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f 4.Έζηω (ε) ε εθαπηόκελε ηεο C f ζην ζεκείν ηεο Μ (α,f(α)), κε α > α) Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f θαη ηελ εθαπηνκέλε (ε) β) Αλ ην α απμάλεηαη κε ξπζκό 3cm/sc(ηα κήθε ηωλ κνλαδηαίωλ δηαλπζκάηωλ ηωλ αμόλωλ είλαη cm) λα βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ Δ ωο πξνο ηνλ ρξόλν t ηελ ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηελ νπνία είλαη Δ=8cm ΛΥΣΗ. Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g()=f()- 3 Η g είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε g ()=f ()-3, νπόηε ε g είλαη ζπλερήο ζην, θαη παξαγωγίζηκε ζην (,). Σειίδα 8
19 Αθόκε είλαη g()=f()- 3 =f()- θαη g()=f()- 3 =f()-8 Δίλαη όκωο f()=f()+7, νπόηε g() =(f()+7)-8=f()-. Άξα είλαη g()=g() Δπνκέλωο ε gηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Rll ζην,, νπόηε ππάξρεη μ(,) ώζηε g (μ)= f (μ)-3μ =f (μ)=3μ. Από ηελ ππόζεζε έρνπκε όηη γηα θάζε IRηζρύεη : + tf(t) f () = 3 + f(t)dt - f() dt : () Από ηελ () γηα =μ έρνπκε: μ+ tf(t) - μ - f (μ) = 3μ + f(t)dt - f() dt μ+ tf(t) 3μ = 3μ + f(t)dt - f() dt - μ μ+ t f(t) f(t)dt - f() dt = : () - μ είλαη μ < μ + θαη γηα θάζε t μ,μ + μ+ tf(t) tf(t) ηζρύεη dt >, νπόηε είλαη dt > μ Έηζη απν ηελ () πξνθύπηεη όηη f(t)dt - f() = f(t)dt - f() = : (3) - - Σειίδα 9
20 3. Από ηελ () ιόγω ηεο (3) έρνπκε όηη γηα θάζε IRηζρύεη : 3 3 f () = 3 f() = f() = + c, c IRζηαζεξά 3 3 Έρνπκε όκωο f(t)dt = f() t + c dt = + c t + ct = c + c - - c = c c = c c = Άξα f() =, IR (ηθαλνπνηεί ηελ ππόζεζε) α) Δίλαη f() =, f () = 3, f(α) = α, f (α) = 3α νπόηε ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο C f ζην ζεκείν ηεο Μ (α,f(α)), α > 3 3 είλαη y - f(α) = f (α)( - α) y - α = 3α ( - α) y = 3α -α 3 Άξα είλαη (ε) : y = 3α - α Βξίζθνπκε ηηο ηεηκεκέλεο ηωλ θνηλώλ ηεο επζείαο (ε) θαη ηεο C f Λύλνπκε ηελ εμίζωζε 3 f() = 3α - α Έρνπκε : f() = 3α - α - 3α + α = α - 3α + 3α = - α + α + α - 3α - α = -α + α - α = - α - α + α = -α = = α -α + α = ή ή + α = = -α Άξα ηα θνηλά ζεκεία ηωλ C f θαη (ε) είλαη Ν -α,f -α Μ α,f α θαη Σειίδα
21 Τν εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ Ω όπνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f θαη α α ηελ (ε) είλαη: Δ = f() - 3α - α d = - 3α + α d -α -α 3 3 Δίλαη - 3α + α - α + α γηα θάζε -α,α, α > Έηζη είλαη: α α α α Δ = - 3α + α d = d - 3α d + α d -α -α -α -α 4 α α α = - 3α + α α - -α α -6α - α - 4α + 6α 4 4 -α -α α = - α + + 6α = α cm. Άξα είλαη Δ = α cm β) Έζηω θαηά ηελ ρξνληθή ζηηγκή t sc είλαη α = α(t) cm θαη Δ=Δ(t) cm. 7 4 Δίλαη Δ(t) = α (t), νπόηε παξαγωγίδνληαο ωο πξνο t έρνπκε Δ (t) = 4α (t)α (t) = 7α (t) α (t) 4 Γηα ηελ ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηελ νπνία είλαη Δ=8cm Έρνπκε Δ (t ) = 7α (t ) α (t ) 3 Έρνπκε όκωο : αt α t = 3cm / sc θαη Δt = 8 α t = 8 α t = 6 α t = cm 4 Έηζη ν δεηνύκελνο ξπζκόο κεηαβνιήο είλαη : 3 Δ t = 7 3 = 648 cm /sc Σειίδα
22 ΕΤΡΕΗ ΣΤΠΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f() + f(- ) = + γηα θάζε IR.Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη + γηα θάζε IR.Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. f() f(- ) = 3. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f :,, y, θαη είλαη f()= θαη f()=. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. IR ηζρύεη f() - f(y) - y γηα θάζε 4. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR * + IR ηζρύεη f() ln + γηα θάζε > θαη είλαη : + f() + f = γηα θάζε >. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 5. Η ζπλάξηεζε f:irir είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR θαη ηζρύεη f f =, γηα θάζε R. Να δείμεηε όηη f =, R. Σειίδα
23 6. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f f() + f() = γηα θάζε IR θαη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Να δείμεηε όηη f()=, IR. 7. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f() - f(y) - y,yir. γηα θάζε α) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g()=f()-3 είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην R. β) Αλ επηπιένλ ηζρύεη f f() + 3 = 4f() γηα θάζε IR, λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. y 8. Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f() - f(y) - θάζε,yir. Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζηαζεξή. γηα 9. α) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο g() = ln + + θαη ε παξάγωγνο ηεο. β) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = + f () γηα θάζε IR θαη f()=. Σειίδα 3
24 . Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :,+ ηζρύεη f ()= f () γηα θάζε θαη f()=-. IR α) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε - f(t)dt g() = f(), είλαη ζηαζεξή ζην,+. β) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη f() f () = γηα θάζε IR θαη f()=.. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο δπν θνξέο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR * IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = γηα θάζε. 3. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR IR ηελ νπνία ηζρύεη f()- f () = γηα θάζε IR θαη f()=. γηα 4. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = f() + ζπλ γηα θάζε IR θαη f()=. Σειίδα 4
25 5. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR IR ηελ νπνία ηζρύεη f () + f() = f() - f ()γηα θάζεirθαη f()=. γηα 6. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f () -f(α) f(α +) γηα θάζε IR, (αir). Να δείμεηε όηη f()= γηα θάζε IR. 7. Γηα ηελ δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR * + IR ηζρύεη f() f () = - γηα θάζε IR * + θαη f() =,f ()=. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 8. Να βξείηε ηηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο f,g : IR IR, κε f()= θαη g()=-, αλ γηα θάζε IR ηζρύνπλ f () g() = θαη f() g () = -3. Σειίδα 5
26 9. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR * + IR ηζρύεη yf(y) = f() + yf(y) γηα θάζε, y IR * + θαη είλαη ) Να βξεζεί ην f (). f() ) Να δείμεηε όηη f () = - γηα θάζε >. 3) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. f() lim =. -. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : (,π) IR f () εκ = f() ζπλ + f() εκ π π, π θαη f =. γηα θάζε Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. ηζρύεη. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : (,+ ) IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = -f 3 γηα θάζε > θαη f() =.. Να βξείηε ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε ηζρύεη π π f : -, IR γηα ηελ νπνία f() = + - f(t)εκt ζπλt dt γηα θάζε π π -,. Σειίδα 6
27 3. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη 9 f(t)dt + = f() + γηα θάζε IR. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 4. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f :, f ()d = f()d -. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. IR ηζρύεη 5. Να βξείηε ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :,+ IR γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ f()= θαη f(t) f () - dt = ln γηα θάζε >. t 6. Έζηω ζπλερήο ζπλάξηεζε f : IR IR * γηα ηελ νπνία ηζρύεη t f( - t)dt = εκ, γηα θάζε.να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. Σειίδα 7
28 7. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :, 3 4 f() = (- ) f () γηα θάζε,. Να δείμεηε όηη f()=,,. IR ηζρύεη 8. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f: α,β IR ηζρύεη f() = + - α -β f () - γηα θάζε Να δείμεηε όηη f() =, α,β. α,β. 9. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f :, IR ηζρύεη 4 f ()d = 4 f()d -. 3 Να δείμεηε όηη f() =,,. 3. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f () = + f() - f(- ), γηα θάζε IR θαη f()=. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. Σειίδα 8
29 3. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f () = f () f(-), IR θαη f() =. Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε f. 3. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη +-f() + f () = + γηα θάζε IR θαη f()=. 33. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = ζπλ γηα θάζε IR θαη f()=. * 34. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR θάζε,y IR * ηζρύεη yf() - f(y) y - y γηα ) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f() g() =, > είλαη ζηαζεξή. ) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. Σειίδα 9
30 35. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη 3 γηα θάζε IR. 3 f( t)dt + 6 f(t)dt = tdt Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f:irir κε f() = t dt. (τωρίς το σύμβολο τοσ ολοκληρώματος) 37. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη π - γηα θάζε IR. f(t)dt + f(t)dt = εκ + ζπλ Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. * 38. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη t + f() = dt γηα θάζε >. f(t) t + t Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 39. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f( + y) f() + f(y) + y γηα θάζε,yir θαη είλαη f()=f ()=. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. Σειίδα 3
31 4. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f(t) f() = + εκ dt + γηα θάζε IR. +εκt Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. * 4. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη lim h h -f( + h - f + h) h = - f() γηα θάζε > θαη f()=. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. 4. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα f () ηελ νπνία ηζρύεη θαη f()=. f + f (t) - f(t) dt + f () = f() + γηα θάζε IR 43. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη t f - t dt = f() + γηα θάζε R. Σειίδα 3
32 44. α) Να δεηρζεί όηη ε ζπλάξηεζε - () = >, = f, είλαη ζπλερήο ζην,+ β) Να βξείηε ηηο παξάγνπζεο ηεο f. γ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηεο C f, ηωλ επζεηώλ, = θαη ηνπ άμνλα. * 45. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f : IR IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη 4 - f() - f( t)dt = γηα θάζε >. 46. Γηα ηε ζπλάξηεζε f:rr ηζρύεη f(+y)=f()+f(y)+3y(+y) γηα θάζε,yr θαη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην = κε f ()=. ) Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην R ) Να απνδείμεηε όηη f()= 3, R. 47. Γηα ηε ζπλερή ζπλάξηεζε f : (-,)R ηζρύεη εκ f(t)dt = γηα θάζε (-,). Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. Σειίδα 3
iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017
α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.
Διαβάστε περισσότεραf '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
Διαβάστε περισσότερα(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΓ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
Διαβάστε περισσότεραΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
Διαβάστε περισσότεραΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΘΔΜΑ Α Α. Έζησ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: ΧΡΔ α) Πόηε ε είλαη ζπλερήο
Διαβάστε περισσότεραΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
Διαβάστε περισσότεραB1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e
8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα
Διαβάστε περισσότεραf x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e
8 9 6. Θ Ε Μ Α B 4 Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Α,. Ζ πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : ln ln ln ln e ln ln ln ln e e To πξόζεκν ηεο ', ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω
Διαβάστε περισσότεραΒ. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΟ γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)
Διαβάστε περισσότεραΕπωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
Διαβάστε περισσότερα3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα
wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x
Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 4 ( ) 7 ( )( ) (ii) 5 7 9 4 (iv) 5 6 4 9 6 0 9 6 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : 7 5 8 (ii) 4 6 8 5 8 ( 6) 4 4 5 (iv) 7 5 4 7 0 7 ( ) 4 8 4 5 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 0 5
Διαβάστε περισσότεραΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
Διαβάστε περισσότεραx x x x tan(2 x) x 2 2x x 1
ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ
Διαβάστε περισσότεραα) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο
Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r
1. Γίλνληαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα και β ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r ηνπ επηπέδνπ απηνύ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ και β ά κνλαδηθό ηξόπν.. Γίλνληαη
Διαβάστε περισσότεραΜηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
Διαβάστε περισσότερα=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 ΓΔΝΗΚΔ ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ 1 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( =90º ) κε πιεπξέο α, β, γ Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):
Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο
Διαβάστε περισσότεραΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
Διαβάστε περισσότεραΑζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
Διαβάστε περισσότεραx x 15 7 x 22. ΘΔΜΑ Α 3x 2 9x 4 3 3x 18x x 5 y 9x 4 Α1. i. . Η ιύζε είλαη y y x 3y y x 3 2x 6y y x x y 6 x 2y 1 y 6
ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΔΒΡΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜ/ΝΙΑ 4 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ 08 ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΩΡΔ ΘΔΜΑ Α Α i 9 4 8 8 5 5 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 4 Η ύζε είλαη,, 6 6 6 5 7 0 5 Γηα 5 ε εμίζωζε 7 Η ύζε είλαη,, 5 γίλεηαη : 5 7 5 7 i 4 4 4
Διαβάστε περισσότεραΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ
ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )
Διαβάστε περισσότεραx-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α
ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α Ππάξειρ μιγαδικών ). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = x x 9 θαη w = y, x, y R. α). Να βξείηε ηνπο x, y ώζηε = w. β) Να βξείηε ηνλ. ). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο = 6 (3 4 ) x 3
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. z2. Να απνδεηρζεί όηη:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΚΖΖ Γύν κηθξέο κύγεο Α θαη Β θηλνύληαη πάλω ζην κηγαδηθό επίπεδν θαη είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ θαη αληίζηνηρα, ώζηε λα ηζρύεη ζπλερώο 4. Να απνδεηρζεί όηη: 5 α).
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Θεσξνύκε ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α, Β, Γ, Γ. Γείμηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην ώζηε ΡΑ ΡΓ ΡΒ ΡΓ, ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.. *Αλ ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν θαη Ρ έλα ζεκείν
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 58 Β Λςκείος Γεν. Παιδείαρ 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Γύν ζεηηθά θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε
Διαβάστε περισσότεραΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =
ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3
Διαβάστε περισσότερα66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι
1 66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι Λεπηή νκνγελήο ξάβδνο Α κήθνπο L=1 θαη κάδαο Μ=Kg, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν ρωξίο ηξηβέο γύξω από νξηδόληην άμνλα πνπ πεξλά από ην άθξν ηεο Α. Σην
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 3 ο v. Θέμα 5 ο Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ z γηα ηνπο νπνίνπο
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΔΤΙΚΗ & ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Δπαλαιεπηηθέο αζθήζεηο θαη ζύλζεηα ζέκαηα Δπηκέιεηα: Άιθεο Τδειέπεο Αζήλα 0 Θέμα ο Έζησ νη α, β R. Να δείμεηε όηη ν κηγαδηθόο αξηζκόο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραΓεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία
Γεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία Ερωτήσεις θεωρίας με κενά για απαντήσεις Εργασίες πάνω στην θεωρία Προπαρασκεσαστικά θέματα Κεφάλαια 3.7 3.8 3.9 ΕΑΚΥΝΘΟΣ 2010 11 Γεωμεηπία Α Λςκείος
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31. Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31 Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Έλα ζώκα θηλείηαη ζε επζεία γξακκή θαη κεηαηνπίδεηαη από ηε ζέζε ρ 1 = +2m ζηε ζέζε ρ 2 = -2m. Πνηα από ηηο επόκελεο
Διαβάστε περισσότεραΧξόλνη xi vi fi% Ni Fi% [5,. ) α+4 [.,. ) 3α-6 [.,. ) 2α+8 [., 45) α-2 ύλνιν
ΑΡΧΗ Η ΔΛΙΓΑ Γ ΗΜΔΡΗΙΩΝ ΣΔΛΟ Η ΑΠΟ 5 ΔΛΙΓΔ ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ΣΔΣΑΡΣΖ ΜΑΪΟΤ 0 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΣΟΗΥΔΗΑ ΣΑΣΗΣΗΚΖ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ ΤΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ
Διαβάστε περισσότεραόπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.
ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,
Διαβάστε περισσότεραΔξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,
Διαβάστε περισσότεραΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ
ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ
ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ Αρχική θάζε Οη ζρέζεηο x= Aεκσt π = π max ζπλσt α = - α max εκσt ηζρύνπλ, όηαλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο (x=0) θαη θηλείηαη θαηά
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ
ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.
Διαβάστε περισσότεραΆζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ
Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΝα ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο.
. Σρεδίαζε Καηεπζπλόκελωλ Γξαθεκάηωλ (.8.) Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο. Κνξπθέο 0 0 0 0 0 0 0 0. Σρεδίαζε(.8.5) Να ζρεδηαζηεί ην παξαθάηω γξάθεκα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1o Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΝΣΩΝΗ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΧΡΗΙΜΕ ΕΠΙΗΜΑΝΕΙ ΣΙ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ
ΑΝΣΩΝΗ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΧΡΗΙΜΕ ΕΠΙΗΜΑΝΕΙ ΣΙ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΜΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΤΠΟΔΕΙΞΕΙ ΑΠΟ ΣΟΝ ΚΩΣΑ ΕΡΙΦΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 009 w w w m a t h e m a t i c a g r ΑΝΣΩΝΗ K ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ
Διαβάστε περισσότερα(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη
Διαβάστε περισσότεραΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΜΑ 1 0. Έζησ Α, Β ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω ώζηε λα ηζρύνπλ: (i) Ζ πηζαλόηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί έλα ηνπιάρηζηνλ
Διαβάστε περισσότεραQ Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 1 από 18 ΛΥΣΔΙΣ ΑΣΚΗΣΔΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΔΩΝ
ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 ΛΥΣΔΙΣ ΑΣΚΗΣΔΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΔΩΝ ) Να γπάτεηε με μοπθή διαζηήμαηορ ή ένυζηρ διαζηημάηυν ηα ζύνολα: i) {R/-
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε
Διαβάστε περισσότεραΜονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.
Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε
Διαβάστε περισσότερα1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη
ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και
Διαβάστε περισσότεραΔπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.
ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε
Διαβάστε περισσότεραΦςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.
Διαβάστε περισσότεραΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
Διαβάστε περισσότεραΣύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:
Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε
Διαβάστε περισσότεραΑ. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2
ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.
Διαβάστε περισσότεραΕξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα )
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα ) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Βϋ Γενικοφ Λυκείου» Κεφ. 1ο: Γραμμικά Συςτήματα 1.1 Γραμμικά υςτιματα (χωρίσ τισ αποδείξεισ
Διαβάστε περισσότεραΜεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο:
Μεζνδνινγία Κύθινπ Κύθινο νλνκάδεηαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ελόο ζπλόινπ άπεηξσλ ζεκείσλ ηα νπνία ηζαπέρνπλ από έλα ζηαζεξό ζεκείν, ην θέληξν ηνπ. Άξα, έλαλ θύθιν ηνλ ραξαθηεξίδνπλ δύν ζηνηρεία, ην θέληξν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ Θέμα Α ( Α1 =10, Α2 = 15 ) 1) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ
ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ 06 ΣΑΞΖ : Β ΖΜ/ ΝΗΑ : 9 05 06 ΜΑΘΖΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα Α ( Α =0, Α = 5 ) ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ i. Αλ ηόηε ii. iii. Οη επζείεο x x, y y
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. 1. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων. y ημω= y π M(,y) ζςνω= π ξ σ εθω= y, 0 ζθω=, y 0 y.σπιγωνομεηπικοί απιθμοί γωνίαρ
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: ευτέρα, Ιουνίου 9 7: : ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραBAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ
BAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ Α. ΘΔΩΡΗΜΑ BOLZANO (Θ.Β) Έζηω κηα ζπλάξηεζε f,νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [α,β].αλ: Ζ f είλαη ζπλερήο ζην [α,β] θαη, επηπιένλ, ηζρύεη f a f 0 Σόηε ππάξρεη ένα, τοσλάτιστον,
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση ευθείας. ) θαη Β( 1,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΔΣΙΚΗ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Δπηκέιεηα: Άιθεο Σδειέπεο Ι. Ερωτήσεις τύποσ «ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ». Η επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(, ) θαη Β(, ) έρεη ζπληειεζηή
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον
Διαβάστε περισσότερα1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h.
ΦΤΙΚΗ A ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 10min ΣΜΗΜΑ:. ONOMA:. ΔΠΩΝΤΜΟ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ 1 ο ΘΔΜΑ ο ΘΔΜΑ 3 ο ΘΔΜΑ 4 ο ΤΝΟΛΟ ΘΔΜΑ A: 1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s
Διαβάστε περισσότερα«Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ
. Άλγεβπα Ά Λςκείος Θεωπία Αζκήζειρ «Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ Σςνοπηική θεωπία Επωηήζειρ θεωπίαρ Θέμαηα Εξεηάζεων Σςνδςαζηικά θέμαηα Θέμαηα ηος ΟΕΦΕ 006 010.. (Α) ΜΕΡΟ: ΕΡΩΣΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΣΑ
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πζτρα-Ψαλίδι-Χαρτί Κεξδίδεη ΠΔΣΡΑ ΨΑΛΗΓΗ ΧΑΡΣΗ ΠΔΣΡΑ Ψ Α Ψ ΨΑΛΗΓΗ Ψ Ψ Α ΧΑΡΣΗ Α Ψ Ψ Η ζτέζη Κερδίζει αναπαρίζηαηαι από ηο ζύνολο {(Π,Ψ),(Ψ,Χ),(Χ,Π)}. (Εκεί ποσ γίνεηαι αληθές δηλαδή)
Διαβάστε περισσότεραΑζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis
Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα
Διαβάστε περισσότεραΕξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 2016
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 ΕΞΕΣΑΣΕΑ ΤΛΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ Β ΣΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ (όλα τα τμήματα) Από το βιβλίο «Μαθηματικά Θετικήσ και Τεχνολογικήσ Κατεφθυνςησ Β
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ
ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.
Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ
1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1.2 και 1.3 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 A. Να δηαηππώζεηε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα κε ιόγηα θαη λα γξάςεηε ηελ αληίζηνηρε καζεκαηηθή ζρέζε (ηύπν) πνπ
Διαβάστε περισσότερα