f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

Transcript

1 ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο: Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g() (μον.5) A... Τη νλνκάδεηαη παξάγωγνο ηεο f ζην ; (μον.5). Τη νλνκάδεηαη πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο f; (μον.5) Α3. Να θπθιώζεηε ην (Σ) ή ην (Λ) ζηηο πξνηάζεηο : f () f (). Αλ lim ηόηε limf () f () Σ Λ. Οη εθαπηόκελεο ηωλ γξαθηθώλ παξαζηάζεωλ ηωλ f () 3 θαη g() ζην = είλαη θάζεηεο Σ Λ 3. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην θαη δελ είλαη «-», ηόηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο παξαγώγνπ ηέκλεη ηνλ ζε έλα ηνπιάρηζηνλ ζεκείν. Σ Λ 4. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην,, ηόηε ηζρύεη γηα ηελ f ην ζπκπέξαζκα ηνπ Θ.Μ.Τ 5. Αλ ε f : είλαη ζπλερήο ζην θαη f '(),, ηόηε ε f είλαη ζηαζεξή ζην Σ Λ 6. Αλ ε f :, f '() θαη ε f είλαη ζπλερήο ζην, ηόηε ε f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε. Σ Λ Τρίκαλα ηηλ.-fa( )

2 7. Τα άθξα α, β ηνπ δηαζηήκαηνο, ζην νπνίν νξίδεηαη κηα ζπλάξηεζε f είλαη πάληα, όηαλ ε f είλαη ζπλερήο, ζέζεηο νιηθώλ αθξόηαηωλ ηεο ζπλάξηεζεο. Σ Λ 8. Η γξαθηθή παξάζηαζε πνιπωλπκηθήο ζπλάξηεζεο 3 νπ βαζκνύ, έρεη νπωζδήπνηε ζεκείν θακπήο Σ Λ 9. Η επζεία = θαηαθόξπθε αζύκπηωηεο ηεο C f ηεο 4 f () Σ Λ. Η C f κηαο ζπλάξηεζεο f κπνξεί λα έρεη άπεηξεο θαηαθόξπθεο αζύκπηωηεο. Σ Λ (μον.) ΘΔMA Α. Γίλνληαη νη παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο f, g κε f '() g'(), f '(),. Αλ ζην όξην g() L lim εθαξκόζνπκε ηνλ θαλόλα ηνπ νξίνπ ηνπ f () πειίθνπ ζπλαξηήζεωλ,πξνθύπηεη κνξθή. Α. Να ππνινγίζεηε ην όξην L. Α. Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ζην ηωλ C f θαη C g Α3. Να απνδείμεηε όηη ε C g ηέκλεη ηνλ ην πνιύ ζ έλα ζεκείν. Α.4. Να απνδείμεηε όηη f () g() 4, Β. Έζηω ε ζπλάξηεζε f () ln ( ) ln( ) Β.. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Β.. Να βξείηε ηα όξηα lim f (), lim f () Β.3. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη, (μον.) ώζηε f '( ) (μον.3) Τρίκαλα ηηλ.-fa( )

3 ΘΔΜΑ 3 Α. Γίλεηαη ε δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :, κε f ( ) 3f ( ), γηα ηελ νπνία ηζρύεη όηη : f '() f () f (),, A.. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Α.. Να απνδείμεηε όηη f ( ). Α.3. Αλ f(α)>, λα απνδείμεηε όηη : α ) ε f είλαη θπξηή. β) δελ ππάξρνπλ ηξία ζεκεία ηεο C f ζπλεπζεηαθά 5 3 Β. Έζηω ε ζπλάξηεζε f () Β.. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία, ηελ θπξηόηεηα θαη λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη ε f Β.. Να δείμεηε όηη e e e ΘΔΜΑ 4 Α. Η ζπλάξηεζε f :, είλαη παξαγωγίζηκε, f (e) (μον.6) (μον.3) θαη ηζρύεη όηη f () f '(). Α.. Να απνδείμεηε όηη f () ln Α.. Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο C ζην ζεκείν Α(e,) Α.3. Να απνδείμεηε όηη ηζρύεη e ln e Β. Η ζπλάξηεζε f :, είλαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε, ηζρύεη f '() f () θαη f ''() f '(),. Να απνδείμεηε όηη : B.. f '() f (), (μον.3) Β.. f (), (μον.3) Β.3. f (4) 4f () (μον.3) Β.4. f () f '() ( ) f (), (μον.) Β.5. lim f () (μον.) ΚΑΛΗ ΔΠΙΤΥΦΙΑ f 3 Τρίκαλα ηηλ.-fa( )

4 Απανηήζεις (Δνδεικηικές) ΘΔΜΑ A., Α. Θεωρία Α3. Σ, Σ, 3Σ, 4Σ, 5Σ, 6Σ, 7Λ, 8Σ, 9Σ, Σ ΘΔΜΑ Α.Α.Έρνπκε : g() g'() g'() lim lim lim f () f '() g'() LH lim g() lim g() νπόηε ε Α.. Αθνύ y=- είλαη νξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο C f ζην +. lim f () ( ), ε y είλαη πιάγηα Αθνύ αζύκπηωηε ηεο C f ζην + Α.3. Έζηω όηη ε C g ηέκλεη ηνλ ζε ηνπιάρηζηνλ δύν ζεκεία M(,), N(,).Τόηε είλαη g( ) g( ) θαη ζύκθωλα κε ην Θ.Rolle ζα ππάξρνπλ ηνπιάρηζηνλ έλαο, : g'( ) f '( ), άηνπν αθνύ f '(),. Άξα ε C g ηέκλεη ηνλ ην πνιύ ζ έλα ζεκείν. Α.4. Έρνπκε όηη : f '() g'() f () g() ' ()' f () g() c () f () g() c άξα lim f () lim g() c c c 4 Η () γίλεηαη : f () g() 4, 4 Τρίκαλα ηηλ.-fa( )

5 Β.Β.. Πξέπεη νπόηε A f (,) ln lim ln lim lim LH 3 = lim θαη lim ( ) ln ln νπόηε lim ln ( ) ln( ) Β.. Δίλαη : y Δίλαη lim ln( ) lim y ln y y y lim lim y y y y νπόηε θαη lim ln ( )ln( ) lim ln y y y lim ln ln LH, Β.3. Θεωξώ ηε ζπλάξηεζε g() f (), ε νπνία, είλαη ζπλερήο ζην (,) ωο πξάμεηο ζπλερώλ, lim g() lim f () g(), lim g() lim f () g() νπόηε ε g είλαη ζπλερήο ζην,. Δπίζεο ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην, -αθνύ είλαη ε f- θαη g() g().σύκθωλα κε ην Θ.Rolle, ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλαο, : g'( ) δει.f '( ), αθνύ ζην (,) είλαη f () g(). 5 Τρίκαλα ηηλ.-fa( )

6 ΘΔΜΑ 3 Α.Α.. Έρνπκε όηη f '() f () f () f () f () = f () άξα ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Α.. Έρνπκε : f f ( ) f ( ) f ( ) 3f ( ) f ( ) Α.3.α) Δίλαη : f ''() f () ' (f () ) f '() () f όκωο: f () f ( ) f () f () θαη από ηελ () είλαη f ''(),,, νπόηε ε f είλαη θπξηή. β) Έζηω ππάξρνπλ ηξία ζεκεία,f ( ), B(,f ( )) θαη 3,f ( 3) ηεο C f ζπλεπζεηαθά.τόηε : ζύκθωλα κε ην Θ.Μ.Τ ππάξρνπλ,, μ, 3 : f ( ) f ( ) f ( 3) f ( ) f', f '( ) θαη επεηδή 3 Α, Β, Γ ζπλεπζεηαθά είλαη ι ι άξα f '( ) f '( ) Γηα ηελ f, ηζρύνπλ νη πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Rolle ζην,, : f ( ), άηοπο άξα ζα ππάξρεη γηαηί f ''(). Β. Β. Η f έρεη Af, γλεζίωο αύμνπζα. 3 4 f '() 5 3 άξα είλαη f ''() 6 ( 3) νπόηε ζην, είλαη f ''(), άξα f θνίιε ζην, είλαη f ''(), άξα f θπξηή Αθνύ f, είλαη θαη - άξα αληηζηξέθεηαη. 6 Τρίκαλα ηηλ.-fa( )

7 5 3 5 Β. Η αληζόηεηα e e e ( ) 3 γξάθεηαη f ηζνδύλακα : f e f ( ) e () Η εθαπηνκέλε ηεο g() e ζην Μ(,) είλαη ε y g() g'()( ) δει y y H g() e έρεη g'() e, g''() e άξα είλαη θπξηή. Η () επνκέλωο ηζρύεη.άξα ηζρύεη θαη ε αξρηθή. ΘΔΜΑ 4 Α.Α.. Έρνπκε όηη f () f '(), άξα ' f ()f '() f () ' ln f () ln c () Αιιά () e f (e) ln e c c νπόηε f () ln () Η ln, ζην,, δελ κεδελίδεηαη θαη είλαη ζπλερήο, άξα δηαηεξεί πξόζεκν.από ηελ () ινηπόλ πξνθύπηεη όηη f () ln ή f () ln.δπεηδή f (e) ε αξλεηηθή ηηκή απνξξίπηεηαη.άξα f () Α.. Δίλαη ' ln f '() ln ' ln, ln ln f (e) θαη f '(e). e lne e Η εθαπηνκέλε ηεο C f ζην Α(e,) έρεη εμίζωζε y f (e) f '(e)( e) δει y ( e) δει. e : y. e 7 Τρίκαλα ηηλ.-fa( )

8 Α.3. Δίλαη ' ln f ''() ln 4 ln ln ln ' =, νπόηε ε f είλαη θνίιε. 4 ln Άξα ζα ηζρύεη f () ln e ln e e e Β. Β. Αθνύ f ''() f '() (), f '() f () ' άξα ε f '() f () f '() f () f '() f () δει f '() f () f '() f () () Β. Αθνύ f '() f () f '() f () f '() e f () e (e ) ' f '()e f ()(e )' f () e e f () f () f () f () e άξα ε f () (3) e e e e νη (), (), (3) f ''() f '() f ()!!! Β3. Σύκθωλα κε ην Θ.Μ.Τ θαη,,4 : f () f () f (4) f () f '( ) f (), f '( ). 3 f' f (4) f () Αιιά f '( ) f '( ) f () f (4) 4f () Τρίκαλα ηηλ.-fa( )

9 Β.4. Σύκθωλα κε ην Θ.Μ.Τ ππάξρεη νπόηε : f' f () f () f '( ) f '() f '() Τν = ηζρύεη γηα =. B.5. Δπεηδή f '(), : f '( ) f () f () f () f '()( ) f (), ->, είλαη lim f '()( ) f () Αθνύ f () f '()( ) f () είλαη θαη. lim f (). 9 Τρίκαλα ηηλ.-fa( )