Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.

Transcript

1 ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν ζει. 94 Α. Σρνιηθό βηβιίν ζει. 88 Α. Σρνιηθό βηβιίν ζει. 59 Α4. α) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ ΘΔΜΑ Β Β. z 4 z z 4 4 z z 4z 4 4z z zz 4z 4z 6 4zz 4z 4z 4 zz 6 4zz 4 zz zz 4 z 4 z Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=.

2 Β. α) Αξθεί λα δείμνπκε όηη w w. 4 4 z z z z z z w z 4 4 z z z z z Έρνπκε z z w. z z Άξα ν w είλαη πξαγκαηηθόο. z z z z β) w z z z z z z w w w 4 z z Καη επεηδή w 4 w 4. Β. Αλ w 4 z z z z 4 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z iz z i z i 5 z z z iz z i z i 5 Άξα ΑΓ=ΒΓ. Οπόηε ην ηξίγωλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο.

3 ΘΔΜΑ Γ Γ. e e e e Αθνύ,, e A και συνεχής στο o ' Άξα ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Σην A, e A, A, ή A, e A, A, ή Άξα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη A A A Γ.., e e e e 5 e e e e e e e e Αθνύ ην A, από ζεώξεκα ελδηακέζωλ ηηκώλ ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κηα ξίδα θαη αθνύ γλεζίωο αύμνπζα ε ξίδα είλαη κνλαδηθή. Γ. Η πξνο απόδεημε ζρέζε γίλεηαη: 4 t dt t dt 4 : tdt tdt t dt t dt 4 4 ()

4 Έζηω ε t dt, κε ζπλερήο. Άξα ε Κ είλαη παξαγωγίζηκε. Εθόζνλ >, 4 θαη από Θεώξεκα Μέζεο Τηκήο ζην,4,4 ώζηε Με K K 4 t dt t dt K K. (από εξώηεκα Γ ). Άξα K είλαη γλεζίωο αύμνπζα. K Επνκέλωο 4 4, πνπ είλαη ε δεηνύκελε. Γ4. Η g είλαη παξαγωγίζηκε ζην, γηαηί ε είλαη ζπλερήο ζην,,4, Άξα κε g 4 4 t dt t dt t dt t dt tdt t dt 44 tdt g t dt 4 4 t dt 4 Λόγω ηνπ εξωηήκαηνο Γ 4 4 t dt & 4 γηαηί > θαη θαζώο ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα, ηζρύεη Άξα ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,. Θα δείμνπκε όηη ε g είλαη ζπλερήο ζην o Έρνπκε 4 t dt lim lim lim 4 4 g ( ) 4

5 4 g Άξα ε g είλαη ζπλερήο ζην o. Οπόηε ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,. (*) Η ζπλάξηεζε 4 4 είλαη ζπλερήο ωο πξάμεηο ζπλερώλ. ΘΔΜΑ Γ Γ. e e e e e e e e c Γηα e c c. Άξα ε γίλεηαη: e e e e, Θέηω g e. Αθνύ ε g είλαη ζπλερήο θαη δηαηεξεί πξόζεκν. Όκωο g. Άξα g. e e ln "" ln. g, ηόηε 5

6 Γ. ( ) α) Οπόηε ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα. ( ) ( ) ( ) + - Η είλαη θπξηή ζην, Η παξνπζηάδεη θακπή ζην o - + Σ.Κ. θαη θνίιε ζην,.. θαη ε θακπή είλαη ην β) Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ζην y. θαη Οπόηε y. Άξα ε είλαη θνίιε γηα θάζε. Επνκέλωο ηζρύεη Άξα, είλαη: θαη ην ίζνλ ηζρύεη κόλν γηα. d d ln d d ln d I I. 6

7 I I ln d ln d ln d ln d ln ln ln.. Γ. t dt t dt e lim e ln lim ln tdt tdt e tdt e e () ζπλερεο ζην lim lim lim () / DLH / / () ln ln () lim ln lim lim lim lim () DLH / () ζην lim lim lim () () () DLH. Aξα Λ= νπόηε Κ= Γ4. Θεωξώ ( ) 8 Επεηδή K t dt t dt t ζπλερήο ηόηε νη ( t) & ( t ) ζπλερείο ωο ζύλζεζε ζπλερώλ, άξα ε Κ παξαγωγίζηκε θαη ζπλερήο ζην,. 7

8 8 K t dt Αηηηνιόγεζε: Η είλαη θνίιε, ηόηε ε εθαπηνκέλε ηεο y είλαη πάλω από ηελ C. Άξα () t t. Επεηδή ( t ), έρνπκε t () t t tdt t dt t dt. 8 t dt t dt 8 () K t dt Αηηηνιόγεζε: () t t t t t ( t ) t t dt t dt t dt t dt Άξα K() K(). Επνκέλωο από ζεώξεκα Bolzno, ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα K o, : o 8