ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ"

Πύῤῥος Κοσμόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () A. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ α, β ]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [ α, β ], τότε να αποδείξετε ότι: β () = ( ) ( ) α f t dt G β G α Μονάδες 7 A. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.) Μονάδες A3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ ] α, β του πεδίου ορισμού της; Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η εξίσωση z z = ρ, ρ> παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K( z ) και ακτίνα β) Αν lim f ( ) <, τότε ( ) ρ, όπου z, z μιγαδικοί αριθμοί. f < κοντά στο γ) Ισχύει ότι: ημ για κάθε δ) Ισχύει ότι: συν lim = ε) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: ( z )( z ) + z = B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z, K, και ακτίνα ρ = (μονάδες 5) είναι κύκλος με κέντρο ( ) Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό z που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z 3 (μονάδες 3) Μονάδες 8 B. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z, z που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ =, με w μιγαδικό αριθμό, β,γ, και τότε να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) Im z Im z = β = και γ = 5 Μονάδες 9 B3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α, α, α οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση: ΘΕΜΑ Γ τότε να αποδείξετε ότι: v + α v + α v + α = 3 v < Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g: ώστε: ( ) ( ( ) ) ( ) f( ) = και f + f + =, για κάθε 3 3 g = + ( ) Μονάδες 8, με f παραγωγίσιμη τέτοιες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι: f( ) = +, Γ. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης ( ( )) f g = Μονάδες 9 Μονάδες 8 π Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο, ώστε: π f() t dt = f εφ π Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Έστω f: (, + ) μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) f() = ( ) ( ) f + 5h f h lim = h h Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση f() t g( ) = dt t α Να αποδείξετε ότι:, (, ) + και α > Δ. f () = (μονάδες ), καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο = (μονάδες ). Μονάδες 6 Δ. η g είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες 3), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο g(u)du > g(u)du (μονάδες 6) Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ3. η g είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση f() t α dt = ( f( α) ) ( α ), > t α ( ) έχει ακριβώς μια λύση. Μονάδες ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

Θεωξία ζρνιηθό ζει. Α. α. Λάζνο β. Σωζηό γ. Σωζηό δ. Λάζνο ε. Σωζηό ΘΔΜΑ Β Β. z z z z z z z z ή z (Απνξξίπηεηαη).

5 ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΤ 3 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΘΔΜΑ Α ΑΠΑΝΣΖΔΗ Α. Θεωξία ζρνιηθό ζει.335 Α. Θεωξία ζρνιηθό ζει.6 Α3. Θεωξία ζρνιηθό ζει. Α. α. Λάζνο β. Σωζηό γ. Σωζηό δ. Λάζνο ε. Σωζηό ΘΔΜΑ Β Β. z z z z z z z z ή z (Απνξξίπηεηαη). Άξα z, νπόηε ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ z είλαη θύθινο κε θέληξν, θαη αθηίλαο. Ιζρύεη: z z z 3

6 Β. Δπεηδή z, z ξίδεο ηεο εμίζωζεο z z yi yi θαη y y ηζρύεη: Όκωο Όκωο y y Im z Im z y y y y y z y y Άξα z i θαη z i Από ηνπο ηύπνπο ηνπ Vieta έρνπκε: z z z. z 5 Β3. Έζηω. Έρνπκε 3. a. Άξα 3 3 v Λόγω ηεο ηξηγωληθήο αληζόηεηαο είλαη 3. Από Β είλαη 3, 3, 3, άξα Η ηειεπηαία γξάθεηαη (είλαη εθόζνλ ) v 3 3. Όκωο Άξα 3 πνπ είλαη άηνπν. Άξα ΘΔΜΑ Γ Γ. ' ' ' f ( ). f ( ) ( f ( ) ) ( ) γηα θάζε R. Από ζπλέπεηεο Θ.Μ.Τ ηζρύεη f ( ) () f ( ) c. Γηα ηόηε f() c c. Άξα

7 Θεωξώ h( ) f ( ) ε νπνία είλαη ζπλερήο ζην IR ωο άζξνηζκα ζπλερώλ. Άξα h ( ) h( ) γηα θάζε R θαη επεηδή είλαη ζπλερήο, δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν. Όκωο, h() f () h( ). Από ηε ζρέζε () ηζρύεη h( ) h ( ) h( ) f ( ) f ( ) Γ. Θα απνδείμω όηη: f( ) IR Αλ, πξνθαλώο f( ) Αλ, πνπ ηζρύεη. Άξα f( ) IR Γηα ην πεδίν νξηζκνύ ηεο fog ηζρύεη: fog Ag / g( ) Af IR / g( ) IR IR. Έρνπκε: ' f ( ) f ( ). Άξα ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζηo R νπόηε θαη -. Ιζρύεη: f 3 3 ' f g( ) f g( ) f () g( ) g ( ) ( ) ή. Τν πξόζεκν ηεο g θαίλεηαη ζηνλ παξαθάηω πίλαθα: g g (, ] (lim g( ), f f g g ( )] (, ]. Άξα ε g() = δελ έρεη ξίδα ζην,. g (,) (lim g( ), lim g ( )) (, ). Άξα g() = δελ έρεη ξίδα ζην, g g [, ) [ g(),lim g( )) [, ). αθξηβώο κηα ξίδα ζην[, Δπεηδή ε ηηκή g [, ) ε g ( ) έρεη ) θαζώο ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Γ3. Θεωξώ ζπλάξηεζε ( ) f ( t) dt f. / 3

8 Η f είλαη ζπλερήο ζην R θαη, R. Άξα ε ζπλάξηεζε / f () t dt είλαη παξαγωγίζηκε νπόηε θαη ζπλερήο. Η ζπλάξηεζε ζπλερώλ άξα θ() είλαη ζπλερήο ωο δηαθνξά ζπλερώλ. Δπνκέλωο ε ζπλάξηεζε θ είλαη f είλαη ζπλερήο ωο ζύλζεζε ζπλερήο ζην, f t dt δηόηη f t f δηόηη f t Άξα. Δπνκέλωο από ην ζ. Bolzano ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα, ηέηνην ώζηε f ( t) dt f. / ΘΔΜΑ Γ Γ. f ( 5h) f ( h) f ( 5h) f () f () f ( h) lim lim h h h h f ( 5h) f () f ( h) f () lim lim 6f () ζρέζε () h h h h γηα ην ζέηω u=5h. Αλ h u f ( u) f () lim u u 5 f () 5 γηα ην ζέηω t=-h. Αλ h t f ( t) f () f ( t) f () lim lim f () t t t t Άξα f (). γηα θάζε γηα θάζε f f () f () f () f f () f () f ()

9 + f - + f min=f() Γ. H ζπλάξηεζε h(t) f (t) t είλαη ζπλερήο ωο πξάμεηο ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ (ε f(t) είλαη ζπλερήο ωο παξαγωγίζηκε) ζην (,+ ) θαη α (,+ ). Άξα ε g είλαη παξαγωγίζηκε κε: g () f () f επεηδή γηα θάζε > f () f () f () θαη ->. Άξα g Έζηω h() g(u)du g(u)du g(u)du κε > 5 ε h είλαη παξαγωγίζηκε ωο δηαθνξά παξαγωγίζηκωλ γηαηί ε g(u) ζπλερήο ζην (,+ ) θαη α (,+ ), +6,+5 (,+ ) Άξα νη ζπλαξηήζεηο 5 6 g(u)du, g(u)du είλαη παξαγωγίζηκεο. h ()=g(+6)(+6) -g(+5)(+5) = g(+6)-g(+5)> γηαηί ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην (,+ ) θαη +6 > +5 άξα g(+6) > g(+5). Οπόηε ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Ιζρύεη: h g(u)du g(u)du h(8 ) h( ) 8 ( ) Όκωο γηα = ε δνζκέλε αλίζωζε δελ ηζρύεη. Άξα -<<, <<. f (t) Γ3. Ιζρύεη g() dt, (,+ ) θαη α> t f () ε g είλαη παξαγωγίζηκε από Γ εξώηεκα κε g () ε g είλαη παξαγωγίζηκε ωο πειίθν παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ κε f ()( ) (f () ) g () () ( ) Δθαξκόδω Θ.Μ.Τ. γηα ηελ f ζην [,], >. ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην [,] (,+ ). Άξα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ (,) f () f () f () ώζηε λα ηζρύεη f ( ) () γηα ην μ ηζρύεη <μ< θαη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Άξα 5

10 () () f () f f f () f () f ()( ) (f () ) g () Άξα ε g είλαη θπξηή. Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο g ζην ζεκείν κε =α είλαη ε: y-g(α)=g (α)( - α) f (t) f ( ) όκωο g( ) dt θαη g (α)= t f ( ) Άξα ε: y ( ) όκωο ε g είλαη θπξηή νπόηε ηζρύεη: f ( ) g ( ) γηα θάζε > θαη ε ηζόηεηα ηζρύεη κόλν γηα =α. Άξα ε f ( ) εμίζωζε g ( ) έρεη αθξηβώο κία ιύζε ηε =α. f(t)- f(α)- Όκωο dt= (-α) α t- α- f( t) ( a ) dt ( f ( a) )( a) a t Δπνκέλωο ε δεηνύκελε εμίζωζε έρεη αθξηβώο κηα ιύζε. 6

Σχετικά έγγραφα

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2. ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν