ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

Transcript

1 α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο, ππάξρεη (, ) ηέηνην, f ( ) f ( ) ώζηε f ( ), νπόηε έρνπκε f ( ) f ( ) f ( )( ) Επεηδή f ( ) θαη, έρνπκε f ( ) f ( ), νπόηε f ( ) f ( ) Α α Ψ β Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην, αιιά δελ f f είλαη παξαγωγίζηκε ζ απηό, αθνύ lim lim, f f ελώ lim lim y O Μόλο ηο ζτήκα κε ηο γωληαθό ζεκείο: κόρηο Σο ζτήκα κε δηθαηοιόγεζε (ζσλετής ζηο θαη κε παραγωγίζηκε): κολάδες f : κολάδα Μόλο ηο ην δηάζηεκα θαη ηα όξηα Α Μηα ζπλάξηεζε f ζα ιέκε όηη είλαη ζπλερήο ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα,, όηαλ είλαη ζπλερήο ζε θάζε ζεκείν ηνπ, θαη επηπιένλ lim f () f ( ) θαη lim f () f ( ) Α α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ 5 κνλάδεο ΘΔΜΑ Β f g g f f g f g ln κνλάδεο A / g A / /,, Β B Αξθεί γηα θάζε, ε εμίζωζε h y λα έρεη κνλαδηθή ιύζε γηα θάζε y Είλαη h y ln y y y,άξα y h y, y νπόηε h y, y y y y y y y Η παραπάλω ιύζε ζεωρείηαη άρηηα θαη βαζκοιογείηαη πιήρως ε αληίζεηε περίπηωζε τρεηάδεηαη ηο - θαη θόβοσκε από ηελ επίισζε αλαιόγως (Με τρήζε ηζοδσλακίας κολάδες)

2 Σειίδα από 8 κνλάδεο κνλάδεο B Η θ είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε έρεη αθξόηαηα Η είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε Είλαη Γηα θάζε είλαη άξα ε θ είλαη θπξηή ζην, άξα ε θ είλαη θνίιε ζην, Η θ έρεη ζεκείν θακπήο ην Β A,, lim lim γηαηί αζύκπηωηε ηεο C ζην lim lim lim αζύκπηωηε ηεο C ζην lim, νπόηε ε θ δελ θαη γηα θάζε είλαη κνλάδα, νπόηε ν άμνλαο είλαη νξηδόληηα lim, άξα ε y είλαη νξηδόληηα

3 Σειίδα από 8 ΘΔΜΑ Γ Γ Έζηω f, ην ζεκείν επαθήο ηεο εθαπηνκέλεο ζηε γξαθηθή παξάζηαζε κνλάδεο C ηεο ζπλάξηεζεο f, ηόηε ( ): y f( ) f ( )( ) θαη f, ζεκείν ηεο κνλάδεο, αθνύ f άξα Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε, κε, [, ] Είλαη θαη, όκωο ε ι είλαη παξαγωγίζηκε ζην, κε: κνλάδεο κνλάδεο Γηα θάζε, είλαη είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην, γλεζίωο θζίλνπζα ζην, θαη γηα θάζε, κνλάδεο Οπόηε ε κνλαδηθή ξίδα ζην, θαη ε κνλαδηθή ξίδα ζην, Γηα ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο είλαη γηα ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο είλαη y θαη y Γ Είλαη d θαη, νπόηε 8 κνλάδα κνλάδεο

4 Σειίδα από 8 κνλάδεο ος ηρόπος Έζηω ζπλάξηεζε, κε,, Η θ είλαη παξαγωγίζηκε ζην, κε Είλαη < γηα θάζε, Γηα θάζε, άξα Γ Είλαη lim lim, άξα ε θ είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην κνλάδεο κνλάδεο κνλάδεο lim αθνύ lim θαη lim, άξα lim ος ηρόπος Επεηδή ε f είλαη θπξηή βξίζθεηαη πάλω από θάζε εθαπηνκέλε ηεο ζην δηάζηεκα, εθηόο ηνπ ζεκείνπ επαθήο, άξα f κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα Άξα ος ηρόπος Έζηω ζπλάξηεζε, κε Είλαη <,, Η ηθαλνπνηεί ΘΜΤ ζην [,, άξα ππάξρεη (,, ώζηε Επεηδή είλαη, νπόηε lim ος ηρόπος Γηα θάζε, είλαη Γ Επεηδή ε f είλαη θνίιε βξίζθεηαη πάλω από θάζε εθαπηνκέλε ηεο ζην δηάζηεκα, εθηόο ηνπ f ζεκείνπ επαθήο, άξα f,, άξα f d d ln ος ηρόπος Αξθεί λα απνδείμνπκε d Είλαη d d d d d ln d d ln άξα d d

5 Σειίδα 5 από 8 Γ ος ηρόπος Αξθεί λα απνδείμνπκε d d d d Γηα θάζε, είλαη:, άξα d d ΘΔΜΑ Γ κνλάδα κνλάδα κνλάδα Γ Είλαη lim f f, lim f f νπόηε ε f είλαη ζπλερήο ζην - θαη ζην π Η f είλαη ζπλερήο ζην, ωο ζύλζεζε ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ Η f είλαη ζπλερήο ζην, ωο γηλόκελν ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ Σην είλαη, lim f lim f lim f lim, νπόηε ε f είλαη ζπλερήο θαη ζην άξα είλαη ζπλερήο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο Η f είλαη παξαγωγίζηκε ζην, f Η f είλαη παξαγωγίζηκε ζην, κε f κε f f Είλαη lim lim lim θαη f f lim lim, άξα ε f δελ είλαη παξαγωγίζηκε ζην θαη επεηδή είλαη ζπλερήο ζην ζεκείν απηό, ε f έρεη θξίζηκν ζεκείν ην κνλάδεο f Γηα θάζε, είλαη Γηα θάζε, είλαη: f () ος ηρόπος,, ζην, νπόηε ε () γίλεηαη: ος ηρόπος Παξαηεξνύκε όηη ε () έρεη πξνθαλή ιύζε ηελ Από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ y θαη y ζην δηάζηεκα, παξαηεξνύκε όηη ε πξνθαλήο ιύζε είλαη κνλαδηθή Άξα ε f έρεη θξίζηκν ζεκείν ην 5

6 Σειίδα 6 από 8 Μνλνηνλία f θαη επεηδή ε f είλαη ζπλερήο, είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην, ος ηρόπος Είλαη f γηα θάζε Δηάζηεκα, θαη επεηδή ε f είλαη επηιεγκέλν ζπλερήο, δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην δηάζηεκα απηό Επεηδή f, είλαη f γηα θάζε, θαη πξόζεκν + f επεηδή ε f είλαη ζπλερήο, είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην, Είλαη f γηα θάζε, θαη επεηδή ε f είλαη ζπλερήο, δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν ζην δηάζηεκα απηό Επεηδή f 6, είλαη f γηα Γ Γηα θάζε, είλαη θάζε, θαη επεηδή ε f είλαη ζπλερήο, είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην, Γ ος ηρόπος Από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ y θαη y ηνπ Δ παξαηεξνύκε όηη 6

7 Σειίδα 7 από 8 Μνλνηνλία Αθξόηαηα κνλάδεο Σύλνιν ηηκώλ κνλάδα f γηα θάζε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,, θαη επεηδή ε f είλαη ζπλερήο, Αθόκε f γηα θάζε, θαη επεηδή ε f είλαη ζπλερήο, είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην, Η f έρεη ηνπηθό κέγηζην ην f, ηνπηθό ειάρηζην ην f, ηνπηθό κέγηζην ην f θαη ηνπηθό ειάρηζην ην f ε f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα, νπόηε έρεη αληίζηνηρν ζύλνιν Σην δηάζηεκα, ηηκώλ ην f, Σην δηάζηεκα, ε f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα, νπόηε έρεη αληίζηνηρν ζύλνιν ηηκώλ ην f, Σην δηάζηεκα, ε f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα, νπόηε έρεη αληίζηνηρν ζύλνιν ηηκώλ ην f, f f f f,, Είλαη Είλαη ln ln ln πνπ ηζρύεη αθνύ ln θαη, νπόηε f, Γ ος ηρόπος Επεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην, ην κηθξόηεξν από ηα ηνπηθά ειάρηζηα, είλαη ην ειάρηζηό ηεο θαη ην κεγαιύηεξν από ηα ηνπηθά κέγηζηα είλαη ην κέγηζηό ηεο Είλαη ln ln ln πνπ ηζρύεη αθνύ ln θαη f,, νπόηε Οξηζκόο εκβαδνύ + απαιιαγή απνιύηνπ Γ Τν δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη ην ος ηρόπος 5 d 7 κνλάδα κνλάδεο ην

8 5 Είλαη Σειίδα 8 από 8 γηα θάζε, δελ ηζρύεη ηαπηόρξνλα ( θαη ) ος ηρόπος Σρεδηάδνληαο ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ ζπλαξηήζεωλ y θαη y παξαηεξνύκε όηη γηα θάζε 5, άξα, γηαηί, θαη ε ηζόηεηα Υπνινγηζκόο νινθιεξωκάη ωλ Πξνθαλήο ξίδα: κνλαδηθόηεηα : Είλαη d d d d d d d d 5 Γ 6 f 8 f 6 f () 6 Επεηδή ε f έρεη κέγηζην ην, είλαη f γηα θάζε, θαη ε ηζόηεηα ηζρύεη κόλν γηα Όκωο γηα θάζε θαη ε ηζόηεηα ηζρύεη κόλν γηα, νπόηε ε () ηζρύεη 6 κόλν όηαλ 8