Επίλυση Προβλήματος Με αφήγηση Ιστοριών

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση Προβλήματος Με αφήγηση Ιστοριών Ιατροπούλου Ουρανία Α.Ε.Μ.: 127 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Μ. ΤΖΕΚΑΚΗ Θεσσαλονίκη, 2009

2 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Σπουδών Που απονέμει το Τμήμα Επιστημών Προσχολικής Αγωγής και Εκπαίδευσης «Προγραμματισμός Αγωγής και Εκπαίδευσης στην πρώτη παιδική ηλικία» Εγκρίθηκε την από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα 1) Τζεκάκη Μαριάννα (Επιβλέπουσα Καθηγήτρια) Καθηγήτρια 2) Μπάρμπας Γεώργιος Επίκουρος Καθηγητής 3) Παπανδρέου Μαρία Λέκτορας

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ τον Κύριο Μπάρμπα Γ. και την Κυρία Παπανδρέου Μ. για τη συμβολή τους ως μέλη της Εξεταστικής Επιτροπής. Απευθύνω ιδιαίτερες ευχαριστίες στην Επιβλέπουσα Καθηγήτρια, Κυρία Τζεκάκη Μαριάννα, για την άριστη συνεργασία που είχαμε κατά την εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Η παρούσα εργασία Αφιερώνεται στην οικογένειά μου

4 Abstract This work aims in the research about the improvement of faculties of children of preschool age, to resolve problems of addition and abstraction. Ιn this paper, the faculties of small children to perceive the elements of problem and to connect them so as to they devise a plan of resolution, which they present with objects, iconic representations, verbal description and other materials (eg measurement of fingers) are studied with the presentation of three increasing difficulty, verbal problems and three narrating ones. The results showed improvement of children s faculties, but no in the same degree in the all types of problems. Περίληψη Αυτή η εργασία στοχεύει στην έρευνα για τη βελτίωση των ικανοτήτων των παιδιών της προσχολικής ηλικίας, να λύσουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Στην παρούσα μελέτη, εξετάζονται οι ικανότητες των μικρών παιδιών να αντιληφθούν τα στοιχεία του προβλήματος και να τα συνδέσουν έτσι ώστε να επινοήσουν ένα σχέδιο επίλυσης, το οποίο παρουσιάζουν με αντικείμενα, εικονικές αναπαραστάσεις, λεκτική περιγραφή και άλλα υλικά. Αυτό πραγματοποιείται με την παρουσίαση τριών, αυξανόμενης δυσκολίας, λεκτικών προβλημάτων και τριών αφηγηματικών. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι βελτίωση των ικανοτήτων, αλλά όχι στον ίδιο βαθμό σε όλους τους τύπους προβλημάτων.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΕΙΣ Η σημασία της ανάπτυξης της ικανότητας επίλυσης προβλήματος Τι είναι πρόβλημα Διαδικασία επίλυσης προβλήματος Κατηγορίες προβλημάτων Ερευνητικά αποτελέσματα για τις επιτυχίες και τις αποτυχίες των μαθητών κατά την επίλυση προβλήματος Ερευνητικά αποτελέσματα για τις στρατηγικές και τα λάθη των μαθητών Ο ρόλος του δασκάλου στην επίλυσης προβλήματος Η Λεκτική διατύπωση των προβλημάτων ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΜΕΣΑ ΣΥΛΛΟΓΗΣ Διαδικασία εξέτασης ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Λεκτικά Προβλήματα Αφηγηματικά Προβλήματα Σύγκριση Λεκτικών Αφηγηματικών Προβλημάτων ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι: «Τα προβλήματα» Α. ΛΕΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β. ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ: «Φύλλα Παρατήρησης» ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ : «Εικονικές Αναπαραστάσεις» Λεκτικά προβλήματα Αφηγηματικά προβλήματα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ελληνόφωνη Ξενόγλωσση Ηλεκτρονικές Πηγές Διαδίκτυο ΕΙΣΑΓΩΓΗ * 1

6 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η επίλυση προβλήματος αποτελεί μια πνευματική διαδικασία, η οποία απαιτεί δεξιότητες υψηλού γνωστικού επιπέδου, όπως σκέψη, προβληματισμό, διατύπωση ιδεών, διαμόρφωση σχεδίων και διερεύνηση Αναπτύχθηκαν πολλές μέθοδοι μελέτης επίλυσης προβλήματος, συμπεριλαμβανομένων της ενδοσκόπησης, του συμπεριφορισμού, της μοντελοποίησης με τη χρήση υπολογιστών και τα πειράματα. Στη Νότια Αμερική η έρευνα στρέφεται στη μελέτη επίλυσης προβλημάτων διαχωρίζοντας τις περιοχές της γνώσης, ενώ στην Ευρώπη επικεντρώνονται περισσότερο σε καινοτόμα και σύνθετα προβλήματα (Funke, 1991). Η μαθηματική γνώση προϋποθέτει την απόκτηση και το συντονισμό τριών ειδών γνώσης, της εννοιολογικής, η οποία αναφέρεται στην ικανότητα κατανόησης των αρχών ενός προβλήματος, της διαδικαστικής, η οποία αφορά στην ικανότητα εκτέλεσης διαδοχικών πράξεων κατά την επίλυση ενός προβλήματος και της χρηστικής, η οποία σχετίζεται με την ικανότητα να γνωρίζει κάποιος πότε να εφαρμόζει συγκεκριμένες διαδικασίες για την επίλυση ενός προβλήματος (Cole, M. Cole S., 2002, σελ ). Η απόκτηση της ικανότητας επίλυσης προβλήματος, θεωρείται καθοριστική για τους μελλοντικούς πολίτες. Οι σύγχρονες κοινωνικές ανάγκες, απαιτούν πολίτες με δεξιότητες χειρισμού δύσκολων καταστάσεων, ικανούς να αντιλαμβάνονται, να σκέφτονται, να αναλύουν και να συνθέτουν και επομένως να μπορούν να χρησιμοποιούν τις γνώσεις τους σε καταστάσεις της προσωπικής και επαγγελματικής τους ζωής. Τον κοινωνικό αυτό ρόλο αναλαμβάνει η μαθηματική εκπαίδευση, από τα προσχολικά ακόμα έτη. Για το λόγο αυτό, τα σύγχρονα αναλυτικά προγράμματα σπουδών θεωρούν την διδασκαλία της επίλυσης προβλήματος από τις μικρές ακόμα ηλικίες, ως μια από τις θεμελιώδους αρχές (Brown & Walter, 1993, Kilpatrick, 1987, Moses, Bjork & Goldenberg, 1990, Silver, 1990, 1994, Silver & Mamana, 1989, [σε ] English, 1998). Το Εθνικό Συμβούλιο για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών (National Council of Teachers of Mathematics, 2003), καθορίζει τους κανόνες που διέπουν αυτά τα προγράμματα, σύμφωνα με τους οποίους οφείλεται να οικοδομηθεί η νέα μαθηματική γνώση μέσα από την επίλυση προβλήματος στα μαθηματικά, αλλά και σε άλλες περιοχές διδασκαλίας. Παράλληλα κρίνεται απαραίτητο οι μαθητές και να αναζητούν και να υιοθετούν κατάλληλες στρατηγικές επίλυσης. Η επίλυση προβλημάτων είναι στενά συνδεδεμένη με τα αριθμητικά προβλήματα. Οι μέχρι τώρα έρευνες αποδεικνύουν την ικανότητα των παιδιών προσχολικής ηλικίας να ΕΙΣΑΓΩΓΗ * 2

7 λύνουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης, ενώ στόχος των σύγχρονων αναλυτικών προγραμμάτων αποτελεί η κατανόηση των πράξεων και η μεταξύ τους σύνδεση. Συγκεκριμένα, σε ότι αφορά την πρόσθεσης και την αφαίρεση, τα παιδιά θα πρέπει να μάθουν να κατανοούν τα αποτελέσματα των δυο πράξεων όλων των αριθμών, να υπολογίζουν και να κάνουν εκτιμήσεις, να αναπτύσσουν στρατηγικές υπολογισμού και να χρησιμοποιούν ποικίλα υλικά και μεθόδους, όπως αντικείμενα, νοητικούς μηχανισμούς, εκτιμήσεις, χαρτιά και μολύβια (NCTM, 2003). Πολλοί ερευνητές ασχολήθηκαν με τις ικανότητες των μικρών παιδιών να επιλύουν λεκτικά προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης και με τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν (Gelman, 1972, Corte & Verschaffel, 1994, Irwin, Sophian, 1987, Houlihan Ginsburg, 1981, Fitzhudge 1978, Glements 1999, Klein & Starkey, 1988, Carpenter, Moser & Romberg, 1982, κ.α.), αν και πολλές από αυτές τις έρευνες αναφέρονται σε μεγαλύτερης ηλικίας παιδιά. Επιπλέον έρευνες, έχουν ασχοληθεί με τη δημιουργία μαθηματικών προβλημάτων από τα παιδιά στα πλαίσια της διαδικασίας επίλυσης προβλήματος (English, 1998, Sáenz - Ludlow, 2006). Ωστόσο, παρόλη τη σπουδαιότητα της επίλυσης προβλημάτων που αφορούν αριθμητικές πράξεις, δεν έχει δοθεί προσοχή στον τρόπο παρουσίασης του περιεχομένου τους, στις μικρές ηλικίες. Τα περισσότερα προβλήματα συνήθως παρουσιάζονται σε πραγματικές καταστάσεις (π.χ. την ώρα του παιχνιδιού), σύμφωνα με τις αρχές της διδασκαλίας των μαθηματικών, ζητώντας από το παιδί για παράδειγμα, να μετρηθούν όταν είναι στη σειρά ή να συμπληρώσουν το ημερολόγιο της τάξης. Παρ αυτά, δεν προκαλούν το ενδιαφέρον των νηπίων, γιατί δεν έχει δράση, πλοκή, διαμάχη, ένταση. Στα πλαίσια αυτά έχει γίνει μια προσπάθεια τα τελευταία έτη να χρησιμοποιηθεί η λογοτεχνία στη διδασκαλία της επίλυσης προβλήματος (Zazkis & Liljedahl, 2009, Casey B., 2004). Η παρουσίαση προβλήματος με προφορική αφήγηση ιστοριών χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα έρευνα προκειμένου σε μια προσπάθεια να εμπλέξει τα παιδιά στη διαδικασία επίλυσης προβλήματος, εξάπτοντας τη φαντασία τους και κάνοντας τη διασκεδαστική. Στην παρούσα μελέτη επιχειρείται η διερεύνηση της βελτίωσης των ικανοτήτων των παιδιών προσχολικής ηλικίας να επιλύουν προβλήματα Μεταβολής (Αύξησης - Ελάττωσης) και Σύνθεσης, όταν αυτά τους παρουσιάζονται με αφηγηματικές ιστορίες. Βασικό ερώτημα της έρευνας είναι το εξής: «Βελτιώνονται οι ικανότητες των παιδιών προσχολικής ηλικίας να λύνουν προβλήματα, τα οποία αποδίδονται λεκτικά;» ΕΙΣΑΓΩΓΗ * 3

8 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 2.1. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΕΙΣ Η σημασία της ανάπτυξης της ικανότητας επίλυσης προβλήματος Η διαδικασία επίλυσης προβλήματος αποτελεί μια από τις σπουδαιότερες πλευρές των μαθηματικών και για το λόγο αυτό δίνεται πολύ μεγάλη σημασία από τους διδάσκοντες στην ανάπτυξη της συγκεκριμένης ικανότητας. Η ανάγκη επίλυσης προβλημάτων εμφανίστηκε ως ανάγκη για την επιβίωση και την εξελικτική διαδικασία του ανθρώπου (Τουμάσης 1994, σελ.241). Πολλές έρευνες στο χώρο της μαθηματικής εκπαίδευσης, είχαν ως αντικείμενο μελέτης την επίλυση προβλήματος και ανέδειξαν τη σπουδαιότητα που κατέχει όχι μόνο για την οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης, αλλά και για την απόκτηση δεξιοτήτων που σχετίζονται με την αντιμετώπιση καταστάσεων ως πολίτες. Από την αρχαιότητα ακόμη τα προβλήματα κατέχουν μια σημαντική θέση στα προγράμματα των σχολικών μαθηματικών. Τα τελευταία όμως, χρόνια δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στην ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων (problem solving). Στα περισσότερα αναλυτικά προγράμματα βρίσκεται στο επίκεντρο των διαδικασιών, ακόμα και στις μικρές ηλικίες (National Council of Teachers of Mathematics, 1989). Αποτελεί στόχο και βασικό μέσο διδασκαλίας μαθηματικών εννοιών και συμβάλει στην ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να σκέφτονται λογικά και δημιουργικά. Επίσης, οδηγεί στη διαμόρφωση μιας γενικότερης αντίληψης και στάση ζωής, η οποία αφορά στην ενθάρρυνση, στη διερεύνηση, τον πειραματισμό, τη σύγκριση, τη συνεργασία, ενώ συμβάλει στη ανάπτυξη της μεταγνώσης (αναγνώριση λαθών, προσαρμοστικότητα, συνειδητοποίηση) (Τζεκάκη 2007). Οι μαθητές πρέπει να έχουν πολλές ευκαιρίες για επίλυση προβλημάτων, τα οποία σχετίζονται με τα βιώματά και τις εμπειρίες τους και τους παρέχουν κίνητρα για ενασχόληση με αυτά, καθώς συμβάλουν στην αντίληψη πληροφοριών, στην ανάπτυξη της υπολογιστικής, συλλογιστικής και συνδυαστικής ικανότητας. Παρέχουν επίσης, την ευκαιρία στα παιδιά να διερευνούν καταστάσεις, να κάνουν υποθέσεις, να πειραματίζονται με διάφορους τρόπους δράσης, να συγκρίνουν τα αποτελέσματα μεταξύ τους και με αυτά των συμμαθητών τους, να αλληλεπιδρούν και να καταλήγουν σε γενικεύσεις (Τζεκάκη 2007, σελ ). Ο όρος «επίλυση προβλήματος» εμπεριέχει το ρόλο της εκπαίδευσης, του σχολείου, των μαθηματικών, αλλά και το λόγο διδασκαλίας των μαθηματικών και τις τεχνικές επίλυσης προβλημάτων (Stanik και Kilpatrick 1989,[σε] Τουμάσης 1994, σελ. 205). ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ * 4

9 Ο Wood αναφέρει ότι η «διαδικασία μάθησης βασίζεται κυρίως στην επίλυση προβλημάτων στα οποία το παιδί θέτει στόχους και αναζητά διάφορες πηγές, τα μέσα για να τα λύσει». Ο Dewey θεώρησε την κατευθυνόμενη σκέψη ως μια προσωπική διαδικασία επίλυσης προβλημάτων, καθώς δε λαμβάνεται υπόψη το γενικό ενδιαφέρον του παιδιού, την ύπαρξη στην προσωπική του εμπειρία δυσκολιών. Ο Bruner θεωρεί την εκπαιδευτική διαδικασία ως μια διαδικασία κατασκευής μιας αλυσίδας καλά επιλεγμένων προβλημάτων. Υπάρχει από τη μια μεριά η παρούσα κατάσταση και από την άλλη η επιθυμητή κατάσταση, που οδηγεί στην επίλυση ενός προβλήματος, (Wood, 1980, σελ. 262) Το 1980 η διαδικασία επίλυσης προβλήματος αποκτά ιδιαίτερη θέση στη διδασκαλία των μαθηματικών στην Πρωτοβάθμια και Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (N.C.T.M 1980, Τουμάσης 1989, σελ. 57, [σε] Τουμάσης 1994, σελ. 205) και σηματοδοτεί τις τρεις βασικές ερμηνείες του όρου, οι οποίες αφορούν στον σκοπό, στη διαδικασία και στη βασική δεξιότητα (Branca, 1980,[σε] Τουμάσης 1994, σελ. 205). Όταν η επίλυση προβλημάτων αποτελεί σκοπό, ο οποίος είναι ανεξάρτητος από ειδικά προβλήματα, διαδικασίες, μεθόδους και περιεχόμενο, τότε η διδασκαλία των μαθηματικών θεωρείται μέσο για την καλλιέργεια των ικανοτήτων επίλυσης προβλημάτων (Begle 1979,, σελ. 143, Halmow 1980,[σε] Τουμάσης 1994, σελ. 205). Όσον αφορά στη διαδικασία, οι μέθοδοι, οι στρατηγικές, οι ευρετικές και οι διαδικασίες που χρησιμοποιούνται κατά την επίλυση ενός προβλήματος αποτελούν το επίκεντρο, ενώ η τρίτη ερμηνεία αναφέρεται στη βασική δεξιότητα που καλούνται να αναπτύξουν οι μαθητές, ώστε να μπορούν αν ανταποκριθούν στις απαιτήσεις της μεταβιομηχανικής κοινωνίας του 21ου αιώνα (Τουμάσης 1994, σελ ). H Θεωρία του Σχήματος προσπάθησε να αναπτύξει ένα πρότυπο μοντέλο επίλυσης προβλημάτων. Πρόκειται για τη θεωρία των αναπαραστάσεων, σύμφωνα με την οποία η γραφική αναπαράσταση μιας δομής συμβάλλει στην ανάπτυξη νοητικών σχημάτων και συνδέσεων που ενεργοποιούνται κατά την επίλυση προβλήματος με παρόμοια δομή (Χαραλάμπους, Φιλίππου, 2001). Το σχήμα ορίζεται σαν μια νοητική δραστηριότητα, η οποία λειτουργεί στο άτομο ως οργανωτής των πληροφοριών που δέχεται, με αποτέλεσμα να μπορεί να αναγνωρίζει όμοια προβλήματα, να ανακαλεί και να επεξεργάζεται νοητικά μοντέλα, να κάνει υποθέσεις, να θέτει στόχους και να διεξάγει σχέδια στηριζόμενο σε ένα μοντέλο, στο οποίο εντάσσονται νέες εμπειρίες και προβλήματα και να χρησιμοποιεί διαδικασίες και κανόνες για την επίλυση ενός προβλήματος (Χρίστου 2001, σελ. 147). Σύμφωνα με τον Goldin, η «Αναπαράσταση» αποτελεί μια από τις διευρυμένες διαδικασίες ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ * 5

10 του National Council of Teachers of Mathematics (2000) (Representation in Mathematical Learning and Problem Solving, 2002). Από τα παραπάνω, γίνεται αντιληπτή η σημασία που έχει η επίλυση προβλήματος όχι μόνο για την ανάπτυξη μαθηματικών εννοιών και τη δόμηση της μαθηματικής γνώσης, αλλά και για το εφοδιασμό του ατόμου με δεξιότητες κατάλληλες να αντιμετωπίσει δυσκολίες στην προσωπική και επαγγελματική του ζωή. Για να αναπτυχθούν όμως οι ικανότητες των μικρών παιδιών, κρίνεται σκόπιμο να γνωρίζει ο εκπαιδευτικός τις δυσκολίες και τις ικανότητες των νηπίων στην επίλυση προβλημάτων. Στο σημείο αυτό κρίνεται απαραίτητο να αποσαφηνιστεί η ορολογία του προβλήματος Τι είναι πρόβλημα Πρόβλημα ορίζεται καθετί που τίθεται προς επίλυση και προκαλεί δυσκολία (Μπαμπινιώτης 2002). Μαθηματικό πρόβλημα θεωρείται μια προβληματική κατάσταση, που προκαλεί ανοιχτές ερωτήσεις, την οποία καλείται το άτομο να αντιδράσει νοητικά και να επιλύσει και η οποία είναι διαφορετική από τις ήδη γνωστές καταστάσεις και δεν έχει τα εφόδια να την αντιμετωπίσει, καθώς δεν την έχει συναντήσει ως τώρα, ενώ δεν υπάρχει έτοιμη τεχνική, αλγόριθμος ή στρατηγική που να οδηγεί στη λύση. Προκειμένου να επιλύσει το άτομο ένα πρόβλημα ανακαλεί προγενέστερες γνώσεις, τις διευρύνει και τις επαναπροσδιορίζει ή τις αναδομεί οδηγώντας το σε νέα γνώση. (Τουμάσης 1994, σελ. 206, Τζεκάκη, 2007, σελ. 270, Niss, 1988 [σε] Μπάρμπας, 2001). Σύμφωνα με τον Polya, «πρόβλημα» αποτελεί μια συνειδητή αναζήτηση τρόπων για ένα συγκεκριμένο, άλλα άγνωστο αποτέλεσμα Διαδικασία επίλυσης προβλήματος Ευρετικές Ο όρος «ευρετικές» (heuristics), παράγωγο του ρήματος ευρίσκω, στη διδακτική των μαθηματικών σχετίζεται με τις στρατηγικές, τις μεθόδους ή τις συνήθειες. Είναι ανεξάρτητες από το ειδικό θέμα και τη φύση ενός προβλήματος και βοηθούν το μαθητή να προσεγγίσει, να κατανοήσει και να βρει τη λύση ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες γνώσεις του. Ο Polya αναφέρει ότι οι σημαντικότερες ευρετικές για τη λύση ενός προβλήματος είναι (Polya 1962, 1965, Schoenfeld 1980, 1985, [σε] Τουμάσης 1994, σελ Polya 1990): 1. Ανάλυση και κατανόηση του προβλήματος: Εξήγηση του προβλήματος Μελέτη της δυνατότητας πραγματοποίησης της συνθήκης. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ * 6

11 Σχεδιασμός διαγράμματος χρήση κατάλληλου συμβολισμού, εύρεση κατάλληλων προτύπων. Χωρισμός διαφόρων μερών της συνθήκης, καταγραφή αυτών. Απλοποίηση του προβλήματος μέσω της συμμετρίας ή της τεχνικής της «άνευ βλάβης γενικότητας». 2. Σχεδιασμός πλάνου επίλυσης του προβλήματος Ιεραρχικός σχεδιασμός λύσεων Συνειδητοποίηση των ενεργειών, του στόχου και της αιτίας των ενεργειών. 3. Εξερεύνηση λύσεων σε δύσκολα προβλήματα Μελέτη ίδιων προβλημάτων με διαφορετική μορφή Χρήση χρήσιμων θεωρημάτων κατάλληλων για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Εξερεύνηση του ρόλου μια μεταβλητής ή συνθήκης, θεωρώντας σταθερές τις υπόλοιπες. Αξιοποίηση προβλημάτων που εμφανίζουν παρόμοια μορφή, δεδομένα ή συμπεράσματα και μεταφορά μεθόδου ή αποτελέσματος σε άλλες καταστάσεις. 4. Επιβεβαίωση της λύσης Έλεγχος κάθε βήματος για χρήση όλων των δεδομένων, έλεγχος του αποτελέσματος, προσπάθεια επίλυσης με άλλο τρόπο, επέκταση του προβλήματος. Οι ευρετικές δέχτηκαν αρνητική κριτική, καθώς η συγκεκριμένη ανθρώπινη δραστηριότητα δεν είναι δυνατό να αντιμετωπισθεί με το συγκεκριμένο τρόπο (Τζεκάκη 2007, σελ. 273). Στάδια επίλυσης προβλήματος Διδακτικοί και μεθοδολογικοί λόγοι έχουν οδηγήσει στο διαχωρισμό της διαδικασίας σε στάδια, τα οποία ακολουθούνται κατά την επίλυσή τους. Στο βιβλίο του G. Polya «Πώς να το λύσω» (How to Solve it) αναφέρονται τέσσερα στάδια επίλυσης ενός προβλήματος, τα οποία είναι τα εξής (Polya, 1990, Τουμάσης 1994): 1ο. Κατανόηση του προβλήματος Συνειδητοποίηση της προβληματικής κατάστασης και εξοικείωση του μαθητή με το συγκεκριμένο πρόβλημα. Ποιο είναι το ζητούμενο, τα δεδομένα, η συνθήκη. Μπορεί να ικανοποιηθεί η συνθήκη; Είναι επαρκής για τον προσδιορισμό του ζητούμενου, είναι ανεπαρκής, αντιφατική, πλεοναστική; Δημιουργία ενός σχήματος, χρήση κατάλληλου συμβολισμού Χωρισμός των μερών της συνθήκης. 2ο. Επινόηση ενός σχεδίου ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ * 7

12 Εύρεση της σχέσης ανάμεσα στο δεδομένα του ζητούμενου. Σε περίπτωση μη εύρεσης άμεσης συσχέτισης, εξετάζονται βοηθητικά προβλήματα. Επινόηση ενός σχεδίου λύσης. Διάσπαση του προβλήματος σε επιμέρους τμήματα, απαρίθμηση των δεδομένων, διαπίστωση του άγνωστου και απομόνωσή του. Ανάκληση προηγούμενων γνώσεων. Σύνδεση βασικών χαρακτηριστικών του προβλήματος με τεχνικές και ευρετικές. Διατύπωση υποθέσεων ή μιας γενικής ιδέας. Διαμόρφωση ενός πλάνου για την επίλυση του προβλήματος: προϋποθέτει το μετασχηματισμό της προβληματικής κατάστασης στη γλώσσα των μαθηματικών, την αναδιατύπωση του προβλήματος με τον ίδιο ή διαφορετικό τρόπο, την ανάλυση σε υπο - προβλήματα που επιλύονται ευκολότερα, την επίλυση ενός απλούστερου προβλήματος, το σχεδιασμό ενός διαγράμματος, ενός πίνακα, μιας γραφικής παράστασης, την επίλυση και τον έλεγχο και τέλος την εύρεση προσωρινής λύσης 3ο. Εκτέλεση του σχεδίου Εκτέλεση του προβλήματος και έλεγχος κάθε βήματος 4ο. Επανεξέταση του προβλήματος, Ανασκόπηση Έλεγχος του αποτελέσματος. Σε περίπτωση μη ορθής απάντησης, απόρριψη των υποθέσεων, της μεθόδου ή της προσωρινής λύσης. Εύρεση μιας εναλλακτικής μεθόδου επίλυσης προβλήματος Χρησιμοποίηση αποτελέσματος ή μεθόδου για τη λύση ενός άλλου προβλήματος. Άλλα μοντέλα επίλυσης προβλήματος που ξεχώρισαν είναι του Shoenfeld (1985, 1992), το οποίο περιλαμβάνει τρία στάδια (ανάλυση εξερεύνηση επαλήθευση), του De Corte (2000), το οποίο αναλύει τις γνωστικές στρατηγικές επίλυσης προβλήματος σε τέσσερα στάδια (προσανατολισμός οργάνωση εκτέλεση επαλήθευση), του Verschaffel et al. (1999) το οποίο περιλαμβάνει πέντε στάδια (νοερή αναπαράσταση του προβλήματος τρόπος επίλυσης εκτέλεση πράξεων ερμηνεία αποτελεσμάτων και διαμόρφωση απάντησης αξιολόγηση λύσης) και το συνδυαστικό μοντέλο του Markou και Lerman (2006), το οποίο συνδέει τις στρατηγικές επίλυσης με τις στρατηγικές της αυτορρυθμιζόμενης μάθησης. (Τζεκάκη, 2007, σελ. 271). Στην έρευνά μας θα χρησιμοποιήσουμε ένα συνδυαστικό μοντέλο ανάλυσης της διαδικασίας επίλυσης προβλήματος, με την ακόλουθη μορφή: (Τζεκάκη, 2007). Α. Κατανόηση προβλήματος και διατύπωση με άλλα μέσα Β. Σχεδιασμός ενεργειών επίλυσης επεξεργασία τρόπων εύρεσης αποτελεσμάτων ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ * 8

13 Γ. Ερμηνεία των αποτελεσμάτων - Παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Δ. Αξιολόγηση, σύγκριση και γενίκευση τρόπων λύσης Κατηγορίες προβλημάτων Διακρίνονται δυο είδη προβλημάτων, τα λεκτικά προβλήματα και τα αριθμητικά προβλήματα. Τα διάφορα είδη προβλημάτων συνδέονται με την αρίθμηση, αλλά και με έννοιες που αφορούν σε προβλήματα χώρου, μετρήσεων, συνδυασμών, πιθανοτήτων, κλπ. (Τζεκάκη 2007). Συνήθως στην μαθηματική εκπαίδευση η λέξη «πρόβλημα» σχετίζεται με λεκτικά αριθμητικά προβλήματα. Τα λεκτικά προβλήματα διακρίνονται: Ως προς το περιεχόμενο των προβλημάτων Οι Greeno & Heller, Riley, De Corte & Verschaffel διαμόρφωσαν ένα θεωρητικό μοντέλο, στο οποίο η σημασιολογική επεξεργασία του προβλήματος κατέχει εξέχουσα θέση. Σύμφωνα με τον Verschaffel, το πρώτο στάδιο της σκόπιμης επεξεργασίας κειμένου αποτελεί σύνθεση αλληλεπίδρασης των υπαρχόντων γνωστικών σχημάτων του παιδιού και των πληροφοριών που προέρχονται από το λεκτικό κείμενο. Δυο κατηγορίες γνωστικών σχημάτων ξεχωρίζουν (Βοσνιάδου 2000): - τα σημασιολογικά σχήματα (αναπαράσταση της γνώσης του υποκειμένου για την αύξηση και την ελάττωση σχήμα αλλαγής, τη σύνθεση και τη σύγκριση συνόλων αντικειμένων - σύγκρισης. - το σχήμα των λεκτικών προβλημάτων, που περιλαμβάνει τη γνώση της δομής των λεκτικών προβλημάτων, το ρόλο και την πρόθεση τους στη διδασκαλία της αριθμητικής και τους λανθάνοντες κανόνες και υποθέσεις που υπόκεινται σε αυτόν τον τύπο κειμένου. Σύμφωνα με έρευνες, τα λεκτικά προβλήματα που επιλύονται με την ίδια αριθμητική πράξη, αλλά διαφέρουν ως προς τη σημασιολογική τους δομή, μπορούν να διαφέρουν στο βαθμό δυσκολίας (Βοσνιάδου, ο.π. Vergnaud [σε] Τζεκάκη, ο.π). Η σημασιολογική δομή ενός προβλήματος είναι καθοριστική για το επίπεδο δυσκολίας του. Μπορούμε να διακρίνουμε προβλήματα : α) ίδιας σημασιολογικής δομής και ίδιου βαθμού δυσκολίας β) ίδιας σημασιολογικής δομής και διαφορετικού βαθμού δυσκολίας (το ένα έχει μεγαλύτερο βαθμό δυσκολίας). γ) που επιλύονται με την ίδια αριθμητική πράξη, αλλά διαφέρουν στη σημασιολογική τους δομή δ) που επιλύονται με διαφορετική αριθμητική πράξη. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ * 9

14 Έρευνες αναφέρουν ότι τα παιδιά της συγκεκριμένης ηλικιακής ομάδας δεν κατέχουν το σημασιολογικό σχήμα για την αναπαράσταση των διαφορετικών τύπων προβλημάτων. Επίσης μερικές αναπαραστάσεις προβλημάτων ταιριάζουν ευκολότερα με την κατάλληλη αριθμητική πράξη απ ότι άλλες (Corte &Verschaffel, [σε] Βοσνιάδου, 2000). Ως προς το είδος των προβλημάτων Η Marshall (1995) κατηγοριοποιεί τα λεκτικά προβλήματα, αθροιστικών και πολλαπλασιαστικών δομών σε τέσσερις κατηγορίες (Πιττάλης, Χρίστου, Φιλίππου, 2001, Baroody,1987): - προβλήματα αλλαγής (αλλαγή μετρήσιμης ποσότητας) - προβλήματα ομαδοποίησης (ένας αριθμός υποομάδων συνδυάζεται ώστε να δημιουργείται μεγαλύτερη ομάδα) - προβλήματα σύγκρισης παράφρασης (συγκρίνονται δυο ποσότητες ή υπάρχει μια συγκεκριμένη σχέση ανάμεσα σε δυο αντικείμενα). - προβλήματα αναλογίας (μια σχέση ανάμεσα σε δυο αντικείμενα η οποία μπορεί να γενικευτεί σε άλλες καταστάσεις ή να δημιουργήσει άλλες σχέσεις). Σύμφωνα με τους De Corte &Verschaffel τα λεκτικά προβλήματα - κυρίως όσον αφορά στα προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης, ανάλογα με τις σημασιολογικές τους σχέσεις διακρίνονται σε προβλήματα (De Corte &Verschaffel, [σε] Βοσνιάδου, ο.π, Τζεκάκη, ο.π): - Μεταβολής (αλλάζω - δυναμικές καταστάσεις κατά τις οποίες ένα γεγονός μεταβάλλει την αξία μιας ποσότητας), - Σύνθεσης (συνδυάζω - αναφέρονται σε στατικές καταστάσεις δυο ποσοτήτων συνδυαστικά ή χωριστά) και - Σύγκρισης (συγκρίνω - δυο ποσότητες για σύγκριση και εύρεση διαφοράς μεταξύ τους). Κάθε κατηγορία χωρίζεται σε διαφορετικούς τύπους προβλημάτων, σε σχέση με την άγνωστη ποσότητα. Συγκεκριμένα: α) προβλήματα μεταβολής: εξαρτώνται από την κατεύθυνση του συμβάντος (αύξηση ή ελάττωση μιας ποσότητας). β) προβλήματα σύνθεσης: όπως και παραπάνω αφορούν την κατηγορία μέρος μέρος όλο, ένωση ποσοτήτων (προσθετικές ή αφαιρετικές αλλαγές δυο ποσοτήτων) γ) προβλήματα σύγκρισης: από τη σχέση ποσοτήτων (περισσότερο /λιγότερο). Με βάση τους τρεις χαρακτηρισμούς των προβλημάτων ο Greeno et al, διακρίνει 14 τύπους προβλημάτων. Ο Fuson (1992) υποστηρίζει ότι προβλήματα ένωσης ή σύγκρισης ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 10 *

15 έχουν μια στατική δράση, ενώ προβλήματα αλλαγής μια δυναμική δράση. Προσθέτει στις παραπάνω κατηγορίες τα προβλήματα «αλλαγής προ ή από» (εξίσωση, δυο ποσότητες, από τις οποίες η μια αλλάζει για να δίνει όσο και η άλλη). Ο Vergnaud (1982) παρουσίασε προβλήματα περισσότερων των δυο ποσοτήτων με τις κατηγορίες: - ένωση μετασχηματισμών ή σχέσεων - σχέσεις μετασχηματισμών - σχέσεις σχέσεων, κλπ. Στην παρούσα έρευνα θα εστιάσουμε σε προβλήματα, τα οποία ως προς το περιεχόμενο αφορούν τις κατηγορίες Μεταβολής με κατεύθυνση την Αύξηση και την Ελάττωση και Σύνθεσης, προκειμένου να εξετάσουμε τις ικανότητες των παιδιών να λύνουν προβλήματα διαφορετικής σημασιολογικής δομής και δυσκολίας Ερευνητικά αποτελέσματα για τις επιτυχίες και τις αποτυχίες των μαθητών κατά την επίλυση προβλήματος Η προσπάθεια ερμηνείας της αποτυχίας των περισσότερων μαθητών στα μαθηματικά, της αρνητικής σχέσης τους με αυτά και του άγχους που τους προκαλούν, οδήγησε τους ερευνητές να εστιάσουν την έρευνα στις διαδικασίες, τις οποίες οι μαθητές χρησιμοποιούν για την επίλυση προβλημάτων, να κατανοήσουν τις δυσκολίες τους και να προσπαθήσουν να τις αντιμετωπίσουν. Η μελέτη των επιστημών για επίλυση προβλήματος από τα παιδιά προσχολικής ηλικίας, δεν αποκάλυψε μόνο τις δυσκολίες τους, αλλά και τις ικανότητές τους. Είναι πολλοί εκείνοι που πιστεύουν, ότι τα μικρά παιδιά δεν είναι ικανά να αναλύουν και να λύνουν λεκτικά αριθμητικά προβλήματα, πριν να τα διδαχτούν. Υποστηρίζεται ακόμα, ότι τα λεκτικά προβλήματα θα πρέπει να εισάγονται στη διδασκαλία αφού τα παιδιά έχουν σταθεροποιήσει τις βασικές αριθμητικές δεξιότητες. Αντίθετα με αυτές τις απόψεις, έρευνες μαρτυρούν ότι τα παιδιά μπορούν να χρησιμοποιήσουν τις άτυπες αριθμητικές τους γνώσεις για να αναλύσουν και να λύσουν απλά λεκτικά προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης (Carpenter, Hiebert, & Moser, 1982, 1983, 1984, Court, 1920 [σε] Baroody, 1987, σελ. 248). Προκειμένου να μελετηθούν βιβλιογραφικά οι ικανότητες και οι αποτυχίες των παιδιών, είναι σημαντικό αρχικά να εξετάσουμε τη σχέση του παιδιού με τους αριθμούς και στη συνέχεια με τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Ο «αριθμητισμός» (numeracy) συνδέεται με τις αριθμητικές πράξεις, όπως και η πρώτη αρίθμηση, η εξοικείωση με τους αριθμούς και τις σχέσεις τους, οι αναλύσεις και οι συνθέσεις των αριθμών. Σύμφωνα ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 11 *

16 με τον Vygotsky (1983) η «εννοιολογική σκέψη» παίζει σημαντικό, καθοδηγητικό ρόλο στην ανάπτυξη των παιδιών και ιδιαίτερα στη γνωστική. Από ψυχολογικής απόψεως, ο σχηματισμός των ιδεών είναι μια διαδικασία μετατροπής της προϋπάρχουσας υποκειμενικής γνώσης σε αντικειμενικές γνωστικές δομές (Gelfman et al., 1972 [σε] Mansfield et al, 1996, σελ.151). Ο Ρώσος ψυχολόγος Menchinskaya (1969) ορίζει ως «έννοια» μια γενική γνώση, η οποία αντανακλά τις ουσιαστικές ιδιότητες των αντικειμένων ή των φαινόμενων. Η έννοια δεν έχει νόημα και λειτουργία από μόνη της, αλλά δέχεται ποικίλες σχέσεις με άλλες έννοιες. Κατ αυτόν τον τρόπο ο όρος αριθμός εκφράζει μια έννοια σε σχέση με άλλες έννοιες, όπως ο απόλυτος αριθμός, η σειρά, η αντιστοίχηση ένα προς ένα, η μέτρηση, κ.α. Ο όρος αριθμός βεβαιώνει άπειρες ενδεχόμενες καταστάσεις στις οποίες διάφοροι αριθμοί είναι αντικείμενα (5, ½, κλπ). (Fischbein [σε] Mansfield et al, 1996, σελ ). Για τους λόγους αυτούς η γνώση του αριθμού αποτελεί μια πολύπλοκη διαδικασία που ξεκινά από πολύ νωρίς στην ανάπτυξη του μικρού παιδιού. Από τη βρεφική ηλικία τα παιδιά μπορούν να διακρίνουν σε μικρά αριθμητικά σύνολα τη διάσταση του αριθμού. Μπορούν ακόμα να διακρίνουν συγκεκριμένες διαφορές στις μονάδες ή στις επαναλήψεις των μονάδων και να αντιληφθούν τις διαφορές μεγέθους. Διαθέτουν κατά κάποιον τρόπο ένα είδους σχήματος ποσοτικής σύγκρισης αντικειμένων (Βοσνιάδου, ο.π). Οι αριθμοί και οι πράξεις χρησιμοποιούνται στην καθημερινή ζωή του παιδιού γι αυτό κι από μικρή ηλικία μαθαίνουν τις αριθμητικές λέξεις και τη διαδοχή αυτών, ενώ γνωρίζουν ακόμα και αριθμητικά σύμβολα (Tomson 1999, Ginsburg 2002 [σε] Τζεκάκη, 2007). Η Cohen (1999) αναφέρει ότι πολλοί βρεφονηπιακοί σταθμοί ανέφεραν μεγάλες επιτυχίες στη διδασκαλία παιδιών από δεκαοχτώ μηνών μέχρι έξι χρονών μέτρησης, πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Κατά τη σχολική ηλικία αναπτύσσουν μη αριθμητική ποσοτική γνώση, ενώ έχουν τις βάσεις της διατήρησης του αριθμού. Ο Resnick αναγνωρίζει τρία είδη πρωτοποσοτικών σχημάτων τα οποία σχετίζονται με την ανάπτυξη αριθμητικών εννοιών, όπως η σύγκριση, η αύξηση /μείωση και το σχήμα του μέρους όλου και οι οποίες διαμορφώνονται μέσα από τις εμπειρίες των παιδιών (Βοσνιάδου, ο.π.). Υποστηρίζεται επίσης, ότι τα παιδιά πρώτα μαθαίνουν λέξεις στο σχηματισμό των εννοιών που τους ενδιαφέρουν και ότι κατανοούν τις σχέσεις μέρους όλου πριν πάνε σχολείο (Irwin [σε] Mansfield et al. 1996, σελ ). Η αριθμητική μάθηση προϋποθέτει καλό χειρισμό των σχέσεων των αριθμών της πρώτης δεκάδας, αλλά επιτυγχάνεται αργά και είναι απαραίτητο να οδηγεί τα παιδιά στην κατάκτηση των εννοιών. Η αντίληψη της ποσότητας και των αριθμών καθορίζει την κατανόηση της λειτουργίας και του νοήματος των πράξεων (Τζεκάκη 2007). Η πρόσθεση και ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 12 *

17 η αφαίρεση θεωρούνται πράξεις που επηρεάζουν τον αριθμό καθώς τον μεταβάλλουν (Gelman [σε] Βοσνιάδου, 2000). Τα νήπια ξέρουν ότι με όποια σειρά κι αν μετρηθούν τα αντικείμενα μιας ομάδας δεν επηρεάζεται το τελικό αποτέλεσμα (Gelman, [σε] Βοσνιάδου, ο.π., Irwin [σε] Mansfield et al. 1996, σελ. 138). Ακόμα και από την ηλικία των τριών ή τεσσάρων ετών, γνωρίζουν να μετρούν με λανθάνοντα τρόπο και χρησιμοποιούν τη μέτρηση ως μέσο καθοριστικό της ποσότητας. Πολλοί ερευνητές αναφέρουν ότι τα παιδιά χρησιμοποιούν με εγωκεντρικό τρόπο συγκριτικές ποσότητες, στην προσπάθεια δόμησης του νοήματος των εννοιών (Irwin [σε] Mansfield et al. 1996, σελ.142). Αντιστοιχούν ένα προς ένα τους αριθμούς με τα αντικείμενα ενός συνόλου και είναι σημαντικό να αναφέρονται με τη σειρά τα αντικείμενα και όχι η σειρά με την οποία αγγίζονται. Τα παιδιά που κατανοούν ότι ο τελευταίος αριθμός στη μέτρηση μιας ακολουθίας αντικειμένων ορίζει το πλήθος των αντικειμένων, γνωρίζουν την πληθικότητα του αριθμού. Ξέρουν ότι κάθε πράγμα αντιστοιχεί με ένα αριθμητικό όνομα και ξεχωρίζουν ότι αυτό πρέπει να μετρηθεί από τα άλλα που μέτρησαν. Αναγνωρίζουν την ανάγκη μιας σταθερής σειράς λέξεων μέτρησης, τον απόλυτο αριθμό, κατανοούν την αφαίρεση, δηλαδή ότι διαφορετικά αντικείμενα που δεν αναφέρονται, μπορούν να μετρηθούν και αντιλαμβάνονται το άσχετο της σειράς. Επιπλέον, έχουν γνώση των αρχών της μέτρησης και τη χρησιμοποιούν για να καθορίσουν την ποσότητα κάποιων συνόλων αντικειμένων ή δημιουργούν σύνολα ορισμένων διαστάσεων, δε μπορούν όμως να ενσωματώσουν τη γνώση της μέτρησης σύμφωνα με την προϋπάρχουσα γνώση των πρωτοποσοτικών σχημάτων τους. Για παράδειγμα δε μετρούν αυθόρμητα όταν τους ζητείται να επιλύσουν ένα πρόβλημα διατήρησης ή παρόμοια προβλήματα (Sophian, 1987 [σε] Βοσνιάδου, ο.π.). Η διατήρηση του αριθμού είναι απαραίτητη προκειμένου ένα παιδί να θεωρήσει έναν αριθμό ως ένα αντικείμενο, το οποίο αποτελεί μέρους μιας ευρύτερης συμβολικής δομής (Semadeni [σε] Mansfield et al., 1996, σελ. 219). Τα ερευνητικά δεδομένα επίσης, μαρτυρούν ότι τα παιδιά προσχολικής ηλικίας έχουν την ικανότητα να εμπλακούν στην επίλυση πραγματικών καταστάσεων που τους αφορούν και ότι οι ικανότητες αυτές μειώνονται με την εισαγωγή στα τυπικά μαθηματικά προβλήματα του σχολείου (Carpenter et al. 1993, NCTM 2000 [σε] Τζεκάκη 2007). Επειδή τα λεκτικά προβλήματα μπορούν να αφομοιωθούν στις άτυπες αριθμητικές γνώσεις των παιδιών, τους δίνεται η δυνατότητα να επινοήσουν ή να αναδημιουργήσουν στρατηγικές για να επιλύσουν το πρόβλημα (Baroody, 1987, σελ. 249). Η ανάπτυξη ικανοτήτων που σχετίζονται με τη διάκριση, την ταξινόμηση, την αντίληψη των στοιχείων του προβλήματος, την επιλογή κατάλληλων στρατηγικών και την εναλλαγή τους καθώς τις χρησιμοποιούν, θεωρείται ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 13 *

18 απαραίτητη για την επίλυση ενός προβλήματος (Suyndam & Weaver 1977, Hollander 1974, Robinson 1973, Dodson 1971 [σε] Χασάπης, 1992). Ο Vergnaud (1991) τονίζει ότι τα παιδιά αποκτούν την αίσθηση των εννοιών μέσα από καταστάσεις και προβλήματα που πρέπει να επιλύσουν. Διακρίνονται δυο είδη καταστάσεων, αυτές στις οποίες το υποκείμενο κατέχει σε σημαντικό βαθμό στην ανάπτυξή του και κάτω από δεδομένες συνθήκες, τις απαραίτητες δεξιότητες που του επιτρέπουν να ασχοληθεί αμέσως με την κατάσταση και αυτές στις οποίες το υποκείμενο δεν κατέχει τις απαραίτητες δεξιότητες και ως εκ τούτου πρέπει να έχει το χρόνο να εκφράσει τις απόψεις του και να εξερευνήσει, με δισταγμούς και προσπάθειες που θα απορρίψει πριν τελικά καταλήξει να επιτύχει ή να αποτύχει. Η έννοια του σχήματος είναι σημαντική και για τους δυο τύπους καταστάσεων, καθώς αποτελεί μια σταθερή οργανωμένη συμπεριφορά για ένα δεδομένο τύπο κατάστασης, αλλά δουλεύει με διαφορετικούς τρόπους σε κάθε μια. Στην πρώτη περίπτωση, παρατηρείται μηχανική συμπεριφορά, οργανωμένη σε ένα μόνο σχήμα. Στη δεύτερη περίπτωση παρατηρείται προοδευτική εισαγωγή διαφόρων σχημάτων, τα οποία μπορεί να βρίσκονται σε ανταγωνισμό μεταξύ τους και τα οποία πρέπει να προσαρμόζονται, αποσυντίθενται και ανασυντίθενται, μέχρι να φτάσουν στην επιθυμητή λύση, μια διαδικασία που απαιτεί ανακαλύψεις. (Brun [σε] Mansfield et al, 1996, σελ. 126). Μεγάλη σημασία δίνεται στη δομή ενός προβλήματος, δηλαδή στις σχέσεις που αποτελούν το πρόβλημα και όχι στο περιεχόμενο του προβλήματος, τη μαθηματική κατάσταση που περιγράφουν, τη σύνταξη ή το είδος των πράξεων που απαιτούνται για την επίλυσή τους (Christou & Philippou 1998, 1999) και επομένως αυτό συμβάλει στη βελτίωση της ικανότητας του μαθητή να αναγνωρίζει προβλήματα ίδιας δομής, να τα απλοποιεί, να καθορίζει τους στόχους και να χρησιμοποιεί αποδοτικές στρατηγικές (Marshal, 1993). Επίσης, υποστηρίζεται ότι τα σχήματα συνδέουν τη λεκτική διατύπωση του προβλήματος και τη μαθηματική δομή του προβλήματος (Nesher & Hershkovitz 1994, Marshal 1995). Η ικανότητα ανάπτυξης γνωστικών σχημάτων σχετίζεται με την ικανότητα «αναλογικής μεταφοράς» (Weaver & Kintsch, 1992 [σε] Πιττάλης, Χρίστου, Φιλίππου 2001), δηλαδή την επίλυση πρότυπων προβλημάτων και την κατασκευή νοητικών σχημάτων ώστε να επιτυγχάνεται η μεταφορά της γνώσης. Επίσης, η αναλογική μεταφορά έχει σχέση με την αξιολόγηση της δυνατότητας αντιστοιχίας των πεδίων μιας αναλογίας, την αντιστοίχηση των στοιχείων ανάμεσα στο πρότυπο πρόβλημα και στο ζητούμενο προς επίλυση και την εφαρμογή της αναλογίας για την επίλυση του προβλήματος (Brown 1989, Goswami 1996, Marzolf & De Loache 1994, Ross 1989 [σε] Πιττάλη, Χρίστου, Φιλίππου, 2001). ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 14 *

19 Η επαφή με προβλήματα ίδιας δομής αλλά διαφορετικού πλαισίου, αναπτύσσει στα άτομα την ικανότητα να σχηματίζουν ένα γενικό σχήμα, το οποίο «δεν οριοθετείται στα πλαίσια κάποιου συγκεκριμένου ερεθίσματος». Επομένως, το γενικό σχήμα διακρίνει προβλήματα με διαφορετικές δομές, αθροιστικές πολλαπλασιαστικές, ή προβλήματα ίδιας κατηγορίας με διαφορετικές στρατηγικές λύσης (Christou & Philippou,1998, Chen, 1999). Η κατοχή γνωστικών σχημάτων ποικίλων ειδών προβλημάτων, ενισχύει την ικανότητα για επίλυση αριθμητικών προβλημάτων ευκολότερα και ταχύτερα (Cooper & Sweller, 1987 [σε] Πιττάλη, Χρίστου, Φιλίππου, 2001). Η διδασκαλία επίλυσης λεκτικών προβλημάτων είναι σημαντικό επομένως, να ενισχύει τις προϋποθέσεις για την ανάπτυξη της αναλογικής μεταφοράς (Πιττάλης, Χρίστου, Φιλίππου, 2001). Οι ερευνητές κατέληξαν να κατηγοριοποιήσουν τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές κατά τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος. Αυτές συνοψίζονται κυρίως σε δυσκολίες (Τζεκάκη, 2007): α) ως προς το περιεχόμενο των προβλημάτων β) ως προς το είδος των προβλημάτων (λεκτικά ή παραστατικά / συμβολικά και περιγραφικά ή υποθετικά) γ) ως προς τον τρόπο διαχείρισης από τον εκπαιδευτικό μέσα στην τάξη Συγκεκριμένα οι μικροί μαθητές εμφανίζουν δυσκολίες στην αντίληψη του περιεχομένου του προβλήματος (κυρίως όταν παρουσιάζεται μόνο λεκτικά), στην επίλυση ενός προβλήματος όταν δεν έχει νόημα γι αυτά και στην έλλειψη κατανόησης του προβλήματος, με αποτέλεσμα να μη γνωρίζουν τις επόμενες ενέργειές τους. Επίσης τα παιδιά αντιμετωπίζουν δυσκολίες στην αντίληψη των στοιχείων του προβλήματος που χρειάζονται διερεύνηση και αποτυγχάνουν να τα συνδέσουν, ώστε να πετύχουν ένα θετικό αποτέλεσμα. Εμφανίζεται ακόμα, έλλειψη σύνδεσης της μαθηματικής γνώσης που είναι απαραίτητη γι αυτήν τη λύση. Δυσκολεύονται ακόμα να παρουσιάσουν τις ιδέες τους με λόγια ή με άλλα μέσα, να τις συγκρίνουν μεταξύ τους και να συνδέσουν λύσεις με αντικείμενα και αναπαραστάσεις. Επιπλέον, αντιμετωπίζουν δυσκολίες να δημιουργήσουν σχέδιο επίλυσης (δυσκολίες στρατηγικές επίλυσης), δίνοντας έμφαση σε δευτερεύοντα για τη λύση στοιχεία προβλήματος. Σημαντικές δυσκολίες έχουν τα παιδιά στην κατασκευή της κατάλληλης αναπαράστασης του προβλήματος και όχι στην επιλογή της κατάλληλης πράξης. Ωστόσο, έχει διαπιστωθεί ότι στα λεκτικά αριθμητικά προβλήματα, η χρήση παραστατικών ή συμβολικών μέσων (οπτικοποίηση), διευκολύνει τα παιδιά να αντιληφθούν το περιεχόμενο του προβλήματος. Συγκεκριμένα τους βοηθά η σχηματική απόδοση (διαγράμματα) και η οπτικοποίηση του προβλήματος, αν και μπορεί οι μαθητές να ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 15 *

20 εντοπίσουν στο σχήμα άλλα στοιχεία ή να δώσουν σημασία σε άσχετες πληροφορίες ή να το αντιληφθούν με διαφορετικό τρόπο και δεν το αντιστοιχούν με το λεκτικό πρόβλημα.. Οι τρόποι οπτικοποίησης προβλημάτων (πραγματικές ή σχηματικές παραστάσεις) στηρίζονται σε τέσσερις λειτουργίες, τη διακοσμητική, την αναπαραστατική, την οργανωτική και την ενημερωτική. Οι τρεις τελευταίες λειτουργίες, δηλαδή η αναπαραστατική, η οργανωτική και η ενημερωτική, βοηθούν στην επίλυση προβλήματος και τη διαδικασία επικοινωνίας σε σχέση πάντα με τις αντιληπτικές ικανότητες των παιδιών ανάλογα με τις προηγούμενες γνώσεις και τις ικανότητές τους. Οι αναπαραστάσεις στα σχέδια των μικρών παιδιών είναι σημαντικές για την σύνδεση του συγκεκριμένου προβλήματος με την αφηρημένη μαθηματική λύση του. Η ποικιλία αναπαραστάσεων βοηθά τα παιδιά να λύνουν αριθμητικά προβλήματα. Τα διαγράμματα συμβάλλουν στο να εστιάσουν οι μαθητές στην ειδική δομή του προβλήματος, ενώ η ποικιλία αναπαραστάσεων βοηθούν στην ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλήματος (Τζεκάκη, 2007). Καταλήγοντας, οι ικανότητες των παιδιών έχουν σχέση με την κατανόηση της δομής του προβλήματος, το σχηματισμό κατάλληλων αναπαραστάσεων (γλωσσικών και συμβολικών), με τη δημιουργία κατάλληλων στρατηγικών επίλυσης και με το μαθησιακό περιβάλλον, το οποίο επιτρέπει στα παιδιά την προσωπική εμπλοκή και προκαλεί το ενδιαφέρον τους Ερευνητικά αποτελέσματα για τις στρατηγικές και τα λάθη των μαθητών Τα ερευνητικά δεδομένα φανερώνουν ότι τα παιδιά μπορούν να αναπτύσσουν στρατηγικές μέτρησης προκειμένου να αντιμετωπίσουν προβλήματα, πριν ακόμα τις διδαχθούν, εφαρμόζοντας τις αρχές τις ένα προς ένα αντιστοιχίας, της σταθερής διαδοχής των αριθμών και του τελικού αριθμού των στοιχείων ενός συνόλου (Houlihan & Ginsburg 1981, [σε] Τζεκάκη, ο.π., Semadeni [σε] Mansfield et al., 1996, σελ. 219). Πολλοί ερευνητές θεωρούν ότι τα μικρά παιδιά μπορούν να αντιληφθούν το πλήθος μιας συλλογής με λίγα (1, 2 ή 3 ) αντικείμενα πριν μάθουν να μετρούν (Fitzhudge 1978, Glements 1999, Klein & Starkey, 1988 [σε] Τζεκάκη, ο.π), ενώ άλλοι πιστεύουν ότι πρόκειται για γρήγορη μέτρηση (Gelman & Gallistel 1978). Ερευνητικά αποτελέσματα μαρτυρούν ότι τα παιδιά όταν αρχίζουν το σχολείο κατανοούν πολλές αρχές που σχετίζονται με τη μέτρηση, την ποσότητα και τις αριθμητικές σχέσεις, ενώ χρησιμοποιούν συντακτικά σωστή μέτρηση μεγάλων αριθμών. Η ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 16 *

21 ανάπτυξη αυτών των εννοιών εμφανίζεται με παρόμοιους τρόπους που τα μικρά παιδιά μαθαίνουν τη γλώσσα (Irwin, [σε] Mansfield et al. 1996, σελ ). Απόδειξη για την ικανότητα του παιδιού να αντιμετωπίζει τον αριθμό ως μια σταθερά αποτελεί το έργο της διατήρησης του αριθμού του Piaget (Gelman, [σε] Βοσνιάδου, ο.π.). Άλλοι ερευνητές ωστόσο, θεωρούν ότι αυτό δεν είναι εφικτό και ότι αυτή η αδυναμία των παιδιών οφείλεται σε δυσκολίες που προέρχονται εκτός της χρήσης της λογικής, όπως, από τη μη κατανόηση των λέξεων, ή της προσοχής του παιδιού σε άσχετες ενδείξεις (Gelman, [σε] Βοσνιάδου, ο.π.). Ακόμα υποστηρίζεται ότι τα παιδιά δε μετρούν αλλά παραμένουν σε μια οπτική σύγκριση (Geonfry, Saxe et al, 1987, Fuson, 1988 [σε] Τζεκάκη, ο.π). Όταν τα παιδιά καταφέρουν να ενσωματώσουν την ακολουθία των ονομάτων των αριθμών με το πρωτοποσοτικό σχήμα σύγκρισης, τότε επιτυγχάνεται η ενσωμάτωση των αριθμητικών εννοιών. Παρόλο δηλαδή που έχουν τη γνώση των αρχών της μέτρησης, δεν έχουν ενσωματωθεί στο παιδί οι αριθμητικές έννοιες. Η ακολουθία στη μέτρηση αποτελεί ακολουθία νοητών αριθμών (Resnick,1983). Μπορούν να αντιληφθούν τον μεγαλύτερο αριθμό ανάμεσα σε δυο αριθμούς, χωρίς να χρειάζεται να βλέπουν τον προηγούμενο από τον επόμενο. Αρχικά τα παιδιά απαγγέλλουν ενωμένες λέξεις, στη συνέχεια τις απαγγέλλουν ξεχωριστά, μετά αρχίζουν να τις συνδέουν με αντικείμενα και τέλος τις συνδέουν με την πληθικότητα (Fuson 19992, [σε] Τζεκάκη, ο.π.). Πολλοί υποστηρίζουν την ικανότητα των παιδιών να γνωρίζουν τη σειρά των αριθμών, να αντιστοιχούν αριθμό με αντικείμενο και να ξέρουν ότι ο τελικός αριθμός είναι το ζητούμενο αποτέλεσμα (Aubrey 1993 [σε] Τζεκάκη, ο.π). Το παιδί κατακτά τη μέτρηση των αριθμών μέσα από τα σχήματα μέρους όλου και αύξησης ελάττωσης (Carpenter, Shavelson, 1981 [σε] Βοσνιάδου, ο.π.), το οποίο σχήμα (αύξησης ελάττωσης) σχετίζεται με τη σειροποίηση και αρχικά εμποδίζει την ικανότητα των παιδιών να εφαρμόσει σχήματα μέρους όλου με αριθμητική αιτιολόγηση (Irwin, [σε] Mansfield et al. 1996, σελ.149). Η εννοιολογική κατάκτηση του αριθμού πραγματοποιείται μέσα από το πέρασμα από τη μέτρηση (διαδοχή ένα προς ένα) στη δημιουργία σύνθετων μονάδων με τη χρήση της επανάληψης (Steffe 1994 [σε] Τζεκάκη, ο.π.), ενώ υποστηρίζεται ότι χρειάζεται κατάλληλη εξάσκηση για να μπορέσουν να χρησιμοποιήσουν τη μέτρηση για σύγκριση ποσοτήτων. Η ανάπτυξη ωστόσο, των ικανοτήτων κατανόησης των μικρών πράξεων συνδέεται με την κατανόηση του αριθμητικού συστήματος και όχι με τη διαδικασία της μέτρησης ή της ένα προς - ένα αντιστοιχίας (Nunes & Bryant,1996. Κορνηλάκη, 1994). ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 17 *

22 Η ικανότητα αναγνώρισης με μια ματιά (subitizing), χωρίζεται σε δυο κατηγορίες, την οπτική (αναγνώριση με μια ματιά) και την εννοιολογική (αντίληψη της ποσότητας ως μονάδες μονάδων) (Clements 1999 [σε] Τζεκάκη, ο.π.) και θεωρείται ικανότητα εξαιρετικής σημασίας για την αντίληψη του αριθμού, την ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών με διαφορετικούς τρόπους, την κατανόηση αθροιστικών και πολλαπλασιαστικών σχέσεων και την αντίληψη της δομής του δεκαδικού συστήματος (Steffe et al 1983 [σε] Τζεκάκη, ο.π.). Οι δραστηριότητες που σχετίζονται με την αναγνώριση αριθμών με μια ματιά, συμβάλλουν στην ανάπτυξη δυναμικών αριθμητικών αναπαραστάσεων και κατανόησης των αριθμών και των αριθμητικών συστημάτων. Η αναγνώριση με μια ματιά σχετίζεται επίσης με τις προσθέσεις μικρών ποσοτήτων (Τζεκάκη 1996). Τα μικρά παιδιά ξεχωρίζουν μικρά σύνολα και μετρούν μεγαλύτερες ποσότητες, μπορούν όμως σε σύντομο χρονικό διάστημα, αν ασκηθούν με κατάλληλες δραστηριότητες να κατακτήσουν την εννοιολογική αναγνώριση (Ginsburg 1977 [σε] Τζεκάκη, ο.π.). Η αντίληψη επομένως του αριθμού απαιτεί ένα συνδυασμό διαδικασιών (Gelman & Gallistel, 1978, Ginsburg & Baroody 1983, Huges 1986, [σε] Τζεκάκη, 2007). Ωστόσο, παρατηρείται δυσκολία στην συστηματοποίηση των διαδικασιών λύσης και στρατηγικών που επιλέγουν τα παιδιά, καθώς αυτές διαφέρουν κάθε φορά. Τα χαρακτηριστικά των προβλημάτων (είδος προβλήματος, τρόπος διατύπωσης, σειρά εμφάνισης των αριθμών στη διατύπωση: «τυπικό σχήμα προβλημάτων», μέγεθος αριθμών) δε συνδέονται με τις διαδικασίες και τις στρατηγικές αυτές (Τζεκάκη ο.π.). Ένα σημαντικό τμήμα στη χρήση στρατηγικών, αποτελούν οι εικονικές αναπαραστάσεις των παιδιών, σύμφωνα με τη θεωρία του σχήματος, όπως ήδη έχει αναφερθεί. Η χρήση εικονιστικών και συμβολικών αναπαραστάσεων, βοηθά τα παιδιά να δώσουν νόημα στον αριθμό (Granemeijer, 1977). Είναι χαρακτηριστικό ότι τα παιδιά εμφανίζουν δυσκολίες στη δημιουργία ενός κατάλληλου σχεδίου επίλυσης προβλήματος, τα σχέδιά τους είναι δηλωτικά των προσωπικών χαρακτηριστικών των παιδιών και ποικίλουν. Άλλοτε είναι περισσότερο διακοσμητικά και απεικονίζουν στοιχεία δευτερεύοντα για την επίλυση προβλήματος και άλλες φορές είναι περισσότερο συμβολικά. Η εικονική απεικόνιση, συνήθως αντανακλά το αντιληπτικό και γνωστικό επίπεδο του παιδιού και απεικονίζει τα στοιχεία που προβλήματος που έχουν γίνει κατανοητά από το παιδί. Τα σχέδια επίσης των μαθητών συνδέονται με την πράξη ή / και τη σημασιολογική δομή του προβλήματος (Τζεκάκη, 2007, Φιλίππου et al, 2001). Ουσιαστικό ρόλο στον καθορισμό της λειτουργικής σκέψης του παιδιού παίζουν τόσο το περιεχόμενο των καθηκόντων όσο και τη γλώσσα που χρησιμοποιείται (Semadeni, [σε] ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 18 *

23 Mansfield et al, 1996, σελ. 219). Επιπλέον, είναι σημαντικό να λαμβάνονται υπόψη στα πλαίσια των διδακτικών προσεγγίσεων οι σταθερές σχέσεις των αριθμών της πρώτης δεκάδας και η χρήση τους στην επίλυση προβλημάτων (Τζεκάκη, ο.π.). Σε έρευνα των Steffe & Cobb (1988) περιγράφονται οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά κατά την επίλυση μαθηματικών καθηκόντων, τα οποία τίθενται από το δάσκαλο ερευνητή. Στην έρευνα αυτή τονίζεται η σημασία της αλληλεπίδρασης μαθητή δασκάλου, ενώ επικεντρώνονται στους μηχανισμούς απόκτησης από τους μαθητές της μαθηματικής γνώσης και οι οποίοι σχετίζονται με αυτούς που περιγράφονται στη δουλειά του Piaget ως σχήματα, αφαιρέσεις και προσαρμογές (Wright [σε] Mansfield et al, 1996, σελ. 264). Αξίζει να αναφερθεί ότι σε έρευνα σχετικά με καινοτόμα αριθμητικά προβλήματα, (novel problems), στα οποία ζητήθηκε να κάνουν υποθέσεις για σχέσεις μέρους όλου, τα παιδιά χρησιμοποίησαν με ενεργητικό τρόπο γνώσεις (Irwin, [σε] Mansfield et al. 1996, σελ. 149). Επίσης, ο English (1991a, 1991b) διαπίστωσε τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά όταν έλυναν καινοτόμα προβλήματα (novel problems) σε συνεργατικό περιβάλλον (Wright [σε] Mansfield et al, 1996, σελ. 264). Οι στρατηγικές επίλυσης που χρησιμοποιούν τα παιδιά, σύμφωνα με έρευνες σε παιδιά της Α τάξης Δημοτικού για την επίλυση αριθμητικών, λεκτικών προβλημάτων, διακρίνονται σε στρατηγικές που αφορούν την πρόσθεση και σε αυτές που αφορούν την αφαίρεση. Ανάλογα με το βαθμό εσωτερίκευσής τους διακρίνονται σε (Carpenter & Moser, 1982 [σε] Βοσνιάδου, ο.π.): - Υλικές (χρήση δακτύλων, φυσικών αντικειμένων, κλπ.) - Λεκτικές (χρήση ακολουθίας της μέτρησης) - Νοητικές (ανάκληση αριθμητικών πράξεων) Οι λεκτικές στρατηγικές μέτρησης κατά την επίλυση λεκτικών προβλημάτων που αφορούν την πρόσθεση χωρίζονται σε παρακάτω στάδια : - Μέτρηση όλων (count all), μέτρηση από τον πρώτο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα. Χρήση προηγούμενων γνώσεων καθώς δεν έχουν πλήρη αντίληψη της κατάστασης που αντιμετωπίζουν. - Μέτρηση από (count on), ξεκινά από το τέλος ενός συνόλου χωρίς απαραίτητα να είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που δίνεται στο πρόβλημα. Όταν ο μεγαλύτερος αριθμός είναι δεύτερος προσθετέος οι στρατηγικές είναι αποτελεσματικότερες. Συνειδητοποίηση της μη αναγκαιότητας της μέτρησης όλων των στοιχείων ενός συνόλου. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 19 *

24 Η χρήση όμως των στρατηγικών εξαρτάται από τη σημασιολογική δομή του προβλήματος (προβλήματα σύνθεσης ή μεταβολής). Παρόμοια είναι τα ευρήματα για τα προβλήματα αφαίρεσης. Σύμφωνα με έρευνες τα παιδιά χρησιμοποιούν μια ποικιλία διαδικασιών προσθέσεων και αφαιρέσεων (Carpenter, Moser, Steffe, Cobb, Fuson 1992 [σε] Η έρευνα στην προσχολική εκπαίδευση Τόμος Β Τυπωθήτω, Αθήνα, 2002). Οι Carpenter, Moser, ξεχωρίζουν τις διαδικασίες για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν στις πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης σε διαδικασίες με Υλικά (αντικείμενα δάχτυλα για την κατασκευή άμεσου μοντέλου των πράξεων που δίνεται σε μια κατάσταση, με Αρίθμηση (ξεκινούν και μετρούν), Νοητικές και συνδυασμοί. (Carpenter,T.P., Moser, J. M. 1982, Riley M.-S., Greeno J.-G. & Heller J.-I. 1983, Καφούση, Σ., Ντζιαχρήστος Β., 1997, Λεμονίδης Χ., 1998). Αναφορικά με τον τύπο προβλημάτων που χρησιμοποιούν τα παιδιά, σύμφωνα με τους de Corte & Verschaffel, τα παιδιά χρησιμοποιούν στρατηγικές διαφορετικές από αυτές που διδάσκονται στο σχολείο (επινοήσεις), που σχετίζονται με τις καθημερινές τους εμπειρίες, όπως είναι αυτή της δοκιμής και του λάθους. Η σημασιολογική δομή των στοιχειωδών αριθμητικών προβλημάτων σχετίζεται με τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά και συγκεκριμένα είναι καθοριστική για το επίπεδο δυσκολίας του προβλήματος. Ως προς την επίδραση σημασιολογικής δομής των λεκτικών προβλημάτων και τις δεξιότητες και τις διαδικασίες που χρησιμοποιούν τα παιδιά, η εννοιολογικά εξειδικευμένη κατά τομείς γνώση, παίζει σημαντικό ρόλο στην επίλυση προβλήματος (Glaser 1984, Resnick 1983 [σε] Βοσνιάδου, ο.π.). Σχετικά με τις επινοήσεις των παιδιών στις αριθμητικές στρατηγικές, αναφέρεται ότι αυτές σχετίζονται με την εποικοδομητική προσέγγιση τις μάθησης, με την ενεργό συμμετοχή και την ερμηνεία από τον ίδιο το μαθητή. Επίσης, σχετίζονται με την προϋπάρχουσα γνώση του παιδιού και συμβάλλουν στη δόμηση και την αφομοίωση της νέας γνώσης στα υπάρχοντα νοητικά σχήματα. Η γνώση των αριθμών και συγκεκριμένα της μέτρησης και της αριθμητικής αποτελούν τη βάση όλων των αναλυτικών προγραμμάτων, στοιχειώδους και μέσης εκπαίδευσης, καθώς θεωρείται ότι οι αριθμητικές έννοιες αποτελούν το θεμέλιο πάνω στο οποίο οικοδομούνται οι ανώτερες μαθηματικές ικανότητες (Resnick, [σε] Βοσνιάδου 2000). Για τους λόγους αυτούς τα σύγχρονα αναλυτικά προγράμματα σπουδών περιλαμβάνουν «διαφορετικές μορφές γνώσεων, ικανοτήτων και τρόπων σκέψης», με στόχο να αναπτυχθεί το «νόημα του αριθμού (number sense), δηλαδή να κατανοήσουν τους αριθμούς και τους τρόπους παράστασής τους και να αντιληφθούν τις αριθμητικές σχέσεις και τους τρόπους ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 20 *

25 δόμησης των αριθμητικών συστημάτων. Επιδιώκεται επίσης, να κατανοήσουν τις πράξεις, τις μεταξύ τους συνδέσεις και τη χρήση τους στη λύση αριθμητικών προβλημάτων, ενώ ενθαρρύνεται η άσκηση σε γραπτούς και νοερούς υπολογισμούς και εκτιμήσεις (NCC 1991 [σε] Τζεκάκη, 2007). Τα προγράμματα σε σχέση με τον αριθμό, περιλαμβάνουν δραστηριότητες που αφορούν στην αναγνώριση αριθμητικών συμβόλων, στην προφορική αρίθμηση, την αναγνώριση ποσοτήτων με μια ματιά (subitizing), την καταμέτρηση και τη μέτρηση. Εκτός όμως από τις ικανότητες που εκτέθηκαν πιο πάνω, τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας κάνουν λάθη, τα οποία σχετίζονται με το αντιληπτικό τους επίπεδο. Όπως έχει αναφερθεί, έχουν γνώση του αριθμού και στοιχειωδών πράξεων, όπως πρόσθεση και αφαίρεση και μπορούν να την εφαρμόσουν σε διάφορες καταστάσεις, με την προϋπόθεση να ενθαρρύνονται στο χειρισμό τους. (Carpenter & Moser 1984, Shavelson 1981 [σε] Βοσνιάδου,ο.π., Wright [σε] Mansfield et al, 1996, σελ. 263). Οι καταστάσεις αυτές δίνουν νόημα στις πράξεις. Κατανοούν την πρόσθεση, την αφαίρεση και τη διατήρηση του αριθμού, αλλά μπορούν να εξαπατηθούν από αντιληπτικές ή γλωσσικές ενδείξεις που αποσπούν την προσοχή τους από την ποσότητα. Η αντίληψη της αριθμητικής ποσότητας ως βασικού τρόπου, απομακρύνει αυτόν τον κίνδυνο. Παρόλο που χρησιμοποιούν μικρές πράξεις σε καταστάσεις της καθημερινής τους ζωής, στόχος της διδασκαλίας αποτελεί η κατανόηση των σχέσεων των αριθμών, της ανάλυσης ή σύνθεσης τους, η οποία ωστόσο χρειάζεται χρόνο, ενώ η τυπική μάθηση και απομνημόνευση δεν έχει αποτελέσματα (Τζεκάκη 2007). Τα παιδιά γνωρίζουν ακόμα την αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης, κυρίως σε προβλήματα πρόσθεσης του τύπου «ένωσης ποσοτήτων», αν και αυτή αναπτύσσεται περισσότερο σε μεγαλύτερη ηλικία (Wright, 1994 [σε] Τζεκάκη, ο.π.) Τα λάθη των παιδιών σε στοιχειώδη αριθμητικά προβλήματα σχετίζονται με την κατασκευή της κατάλληλης αναπαράστασης του προβλήματος (και όχι με την επιλογή της κατάλληλης αριθμητικής πράξης για την εύρεση του αγνώστου στοιχείου). Αυτό οφείλεται στην ανεπάρκεια της βάσης της αντιληπτικής γνώσης των παιδιών (De Corte & Verschaffel, [σε] Βοσνιάδου 2000). Επίσης δυσκολεύονται σε προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης, να φτάσουν σε μια σωστή απάντηση χρησιμοποιώντας διαφορετικές στρατηγικές και νοερές πράξεις, όταν πρόκειται για συνδυασμό της σχετικής αξίας των μονάδων (Κορνηλάκη 1994 [σε] Τζεκάκη, ο.π). Η αριθμητική ανάπτυξη συντελείται όταν το παιδί μπορεί να αντιληφθεί ομάδες, ώστε να συνδέσει ποσότητες και εν συνεχεία αριθμούς (Van de Valle & Wstkins, 1992[σε] Τζεκάκη, ο.π). Δυσκολεύονται ακόμα να διακρίνουν τη διαφορά ανάμεσα στην απόφαση τους για την πράξη που θα χρησιμοποιήσουν και την επιτυχή εκτέλεση της ίδιας ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 21 *

26 της πράξης (Τζεκάκη, ο.π). Σε προβλήματα αλλαγής, ένδειξη των αντιλήψεων των παιδιών για τις σχέσεις των αριθμών, διαπιστώνεται η ανάγκη της χρήσης αντικειμένων ή δαχτύλων. Η μέτρηση όμως ένα προς ένα, όπως ήδη έχει αναφερθεί, σύμφωνα με τους Nunes και Bryant (1977) δεν είναι αρκετή για την κατανόηση του αριθμητικού συστήματος και των αθροιστικών διαδικασιών. Άλλη δυσκολία των νηπίων είναι η αντίληψη των ποσοτήτων ως ομάδες και η ανάλυση και σύνθεση αυτών (προβλήματα αλλαγής), με αποτέλεσμα να δυσκολεύονται στην ολοκλήρωση της πρώτης αρίθμησης με την εισαγωγή των δεκάδων. Σημειώνεται επίσης ότι η βοήθεια υλικών είναι σημαντική για την επιτυχία μιας πρόσθεσης για μεγάλους αριθμούς, ενώ με τους μικρούς αριθμούς τα καταφέρνουν και χωρίς υλικό (Carpenter & Moser 1992, Τζεκάκη 1996). Η χρήση ή μη υλικού επηρεάζει τη χρήση ανάμεικτων στρατηγικών των παιδιών (Carpenter et al, 1992 [σε] Τζεκάκη, 2007), ενώ η αντιστοίχιση αριθμών με σχηματισμούς (ζάρι) συμβάλει στην επιτυχία επίλυσης προβλημάτων πρόσθεσης. Τα παιδιά αποτυγχάνουν να λειτουργήσουν σε νοερό επίπεδο σε έργα ίδιας πράξης χωρίς αντικείμενα, αν και σημειώνουν επιτυχία όταν η κατάσταση τους επιτρέπει να κατανοήσουν πώς να λειτουργήσουν (Hugens 1986 [σε] Τζεκάκη, ο.π). Η απουσία υλικού ενισχύει τους νοερούς μηχανισμούς και η παρουσία υλικού το μηχανισμό της μέτρησης (Τζεκάκη 1996). Τα περισσότερα σχολικά προβλήματα δε σχετίζονται με καταστάσεις της πραγματικής ζωής των παιδιών και δεν έχουν νόημα γι αυτά, με αποτέλεσμα οι μαθητές να χρησιμοποιούν επιφανειακές στρατηγικές επίλυσης (αναστολή δημιουργίας) (Τζεκάκη ο.π.). Ο Siegler (1987) επισημαίνει για την αφαίρεση (Τζεκάκη, ο.π.) έλλειψη σύνδεσης μεταξύ των δυο πράξεων, την αύξηση της δυσκολίας των μαθητών όσο μεγαλώνει ο αφαιρετέος, ενώ όταν ο αφαιρετέος είναι 5 τα παιδιά εμφανίζουν επιτυχία. Η χρήση των δακτύλων βοηθά τα παιδιά να μειώσουν μια ποσότητα άμεσα (ενίσχυση νοερών αναπαραστάσεων στην ανάπτυξη αριθμητικών εννοιών). Επιπλέον, σημειώνουν επιτυχία περισσότερο με τους μικρούς αριθμούς και στη συνέχεια με τους διπλούς (προϋπόθεση η ανάπτυξη στρατηγικών που στηρίζονται στην ανάλυση και σύνθεση των αριθμών, υπερβαίνοντας τη δεκάδα) (Nunes & Bryant 1996, Thompson 1997, Gray et al 1997 [σε] Τζεκάκη, ο.π). Τα περισσότερα παιδιά αντιμετωπίζουν την πρόσθεση ως μια κατάσταση μέρος μέλος όλο, λόγω της έμφασης που δίνεται από τη διδακτική προσέγγιση (Resnic 1983 [σε] Τζεκάκη, ο.π). Τα λάθη των παιδιών ως προς τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν, έχουν νόημα και ακολουθούν κάποιους κανόνες, ενώ δεν είναι τυχαία, αλλά αποτελούν συστηματικές ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 22 *

27 εφαρμογές λανθασμένων εννοιών και διαδικασιών (Brown & Burton, Carpenter, De Corte & Verschaffel, Resnick, 1983). Σύμφωνα με τη θεωρία της επεξεργασίας πληροφοριών, τα λάθη των μαθητών είναι συστηματικά και όχι τυχαία και πολλές φορές οφείλονται στη μη κατανόηση των μαθηματικών προβλημάτων, λόγω γλωσσικής παρερμηνείας ή δημιουργίας λάθους «σχήματος» ή υποδείγματος ενός αριθμητικού προβλήματος. Οι θεωρητικοί της επεξεργασίας πληροφοριών ισχυρίζονται ότι η διαδικασία επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος αρχίζει με την «αναπαράσταση» (εσωτερική απεικόνιση της πληροφορίας που παρέχεται στο πρόβλημα) και βάσει αυτής οι μαθητές επιλύουν το πρόβλημα. Τα λάθη επομένως, των μαθητών είναι λάθη αναπαράστασης, αλλά και λάθη λανθασμένων αντιλήψεων, στρατηγικών, εννοιών και διαδικασιών και για το λόγο αυτό θα πρέπει να λαμβάνονται σοβαρά υπόψη. Υποστηρίζουν ακόμα ότι οι μαθητές επιλύουν προβλήματα αριθμητικών πράξεων στηριζόμενοι σε λανθάνοντα μοντέλα που κατασκευάζουν σύμφωνα με τις εμπειρίες τους και με βάση αυτά τα μοντέλα ερμηνεύουν τα μαθηματικά προβλήματα (De Corte & Verschaffel [σε] Βοσνιάδου, 2000, σελ. 21). Για το λόγο αυτό προτείνουν, η προσοχή των δασκάλων να επικεντρώνεται στον τρόπο που οι μαθητές ερμηνεύουν ένα πρόβλημα και δομούν την εσωτερική τους αναπαράσταση, και παράλληλα να στοχεύουν στον περιορισμό των λαθών που οφείλονται σε λανθασμένες γλωσσικές ερμηνείες, ώστε να ενεργοποιήσουν τα λανθάνοντα μοντέλα που επηρεάζουν την άδηλη σκέψη τους (Βοσνιάδου, 2000, σελ , 82, 125). Λαμβάνοντας υπόψη τις δυσκολίες των παιδιών προσχολικής ηλικίας στην επίλυση ενός προβλήματος, δίνουμε έμφαση στις γλωσσικές παρερμηνείες των παιδιών σε προβλήματα που δεν έχουν νόημα γι αυτά, στη σημασία της αναπαράστασης για την επίλυσή του, στα λάθη που γίνονται στις στρατηγικές, στις έννοιες και στις διαδικασίες και στον τρόπο διαχείρισης των λαθών από τον εκπαιδευτικό. Οι δυσκολίες των παιδιών ανάλογα με το είδος και το περιεχόμενο του προβλήματος, όπως και της αντίληψης και σύνδεσης των δεδομένων του προβλήματος, ώστε να δημιουργήσουν ένα σχέδιο επίλυσης, αποτελούν το κίνητρο της παρούσας έρευνας. Μια παρουσίαση διαφορετικών ειδών προβλημάτων, που στοχεύει στη συναισθηματική εμπλοκή του παιδιού, μπορεί να περιορίσει τις παραπάνω δυσκολίες; ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 23 *

28 Ο ρόλος του δασκάλου στην επίλυσης προβλήματος Έχει διαπιστωθεί ότι οι άνθρωποι κατά την επίλυση προβλημάτων στην καθημερινή τους ζωή, χρησιμοποιούν νοερούς και άτυπους μηχανισμούς, τους οποίους αναπτύσσουν διαισθητικά, γεγονός που δε συμβαίνει στα σχολικά μαθηματικά. Παράλληλα, υποστηρίζεται ότι πολλοί μαθητές δεν κατανοούν τη σχέση ανάμεσα στα τυπικά μαθηματικά σύμβολα και στις πραγματικές καταστάσεις, στις οποίες συνήθως αναφέρονται τα προβλήματα. Η τυπική μαθηματική γνώση δε χρησιμοποιείται στην επίλυση προβλημάτων της καθημερινής ζωής, ενώ οι μαθητές δε χρησιμοποιούν το νόημα των καταστάσεων, ώστε να περιορίσουν τα λάθη τους. Επισημαίνεται ακόμα (Lave κ.α., 1984) ότι οι διαδικασίες που χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων της καθημερινής ζωής είναι διαφορετικές από αυτές που διδάσκονται στο σχολείο (Βοσνιάδου, 2000, σελ ). Πολλοί ερευνητές (Luria, 1976, Donaldson, 1978), θεωρούν ότι η σκέψη της απλής λογικής σε κάποια άτομα βρίσκεται σε ανώτερο επίπεδο από τη σκέψη που έχει συγκεκριμένο αντικείμενο αναφοράς. Για το λόγο αυτό κρίνεται σκόπιμο να μελετηθεί ο ρόλος του δασκάλου μέσα στη σχολική τάξη κατά την επίλυση προβλήματος. Τα μαθηματικά που διδάσκονται στο σχολείο θα πρέπει να ενισχύουν τις διεργασίες της σκέψης, όπως επισημάνθηκε από το Bruner (1972), εμπλουτίζοντας τις γνώσεις των μαθητών μέσα από τη χρήση κατάλληλων παιδαγωγικών μεθόδων που λαμβάνουν υπόψη την καθημερινή λογική σκέψη των ανθρώπων (Garraher, Carraher, Schliemann, [σε] Βοσνιάδου, 2000, σελ. 126). Είναι γνωστό ότι ο παραδοσιακός τρόπος διδασκαλίας δε βοηθά τους μαθητές να κατανοήσουν βασικές μαθηματικές έννοιες και να αντιμετωπίσουν μαθηματικά προβλήματα (Καλδρυμίδου, et al. [σε] Τζεκάκη, 2007, σελ. 18 και 19). Αντίθετα, η σημασία της ενεργητικής συμμετοχής των μαθητών στη διαδικασία μάθησης των Μαθηματικών έχει τονιστεί από διάφορους ερευνητές (Cobb, 1998, Glasersfeld, 1991 [σε] Παναγάκος 2001, σελ. 100). Η κονστρουκτιβιστική (εποικοδομητική) θεωρία υποστηρίζει την αλληλεπίδραση ανάμεσα στους μαθητές, καθώς διευκολύνει την οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης. Μέσα από την επικοινωνία ανάμεσα στους μαθητές αναδύονται «γνήσια προβλήματα», παρέχονται ευκαιρίες για ανάλυση γνωστικών συγκρούσεων και για «έκφραση μαθηματικών ιδεών και λύσεων» και παράλληλα οι μαθητές συντονίζονται με τις ιδέες άλλων μαθητών. Σημαντικό ρόλο στην κατάκτηση και στη χρήση της συμβολικής γλώσσας και των συστημάτων σκέψης στα μαθηματικά (συμβολισμοί, σύμβολα, αναπαραστάσεις, αλγόριθμοι, μέθοδοι, κλπ.) παίζουν το κοινωνικό και πολιτισμικό πλαίσιο, στο οποίο αναπτύσσονται και ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 24 *

29 μεταδίδονται. Άλλωστε, όπως επισημαίνεται από τον Vygotsky και τον Bruner, αντίστοιχα, η γνώση είναι κοινωνικά προσδιορισμένη, ενώ η μάθηση αποτελεί επικοινωνιακή δραστηριότητα. Τονίζεται ακόμα, από τους Edwards και Mercer, η σημασία της αλληλεπίδρασης στην κατάκτηση της «κοινής γνώσης», δηλαδή της κατανόησης των μαθηματικών, ενώ οι ίδιοι επισημαίνουν ότι η μάθηση και η κατανόηση είναι κοινωνική, πολιτιστική και επικοινωνιακή (Παναγάκος, ο.π., σελ. 100). Στα Σύγχρονα Αναλυτικά Προγράμματα σημαντική θέση έχουν οι διαδικασίες και η οικοδόμηση της γνώσης από το παιδί, το οποίο επεμβαίνει δυναμικά στο περιβάλλον του, συμμετέχοντας ενεργά και αλληλεπιδρώντας με όλα τα μέλη της σχολικής τάξης (τους συμμαθητές και το δάσκαλο) σε μια προσπάθεια να διαπραγματευτεί μαθηματικά νοήματα. Θεωρείται σημαντικότερο να αντιληφθούν τα μαθηματικά παρά να απομνημονεύσουν ορισμούς, όρους και κανόνες. Οι διαδικασίες επικεντρώνονται στην επίλυση προβλημάτων, στη δημιουργία υποθέσεων, στον πειραματισμό, στην αναζήτηση επεξήγησης και τη διατύπωση κανονικοτήτων (Shoenfield,1992 [σε] Τζεκάκη, 2007, σελ. 51). Ανάλογα διαμορφώνεται και ο ρόλος του δασκάλου στη διδασκαλία των Μαθηματικών, η οποία αποτελεί μια ιδιαίτερα περίπλοκη διαδικασία και απαιτεί από τον εκπαιδευτικό να έχει γνώσεις Μαθηματικών και Παιδαγωγικής, αλλά και να μπορεί να τα διδάσκει (Τζεκάκη, 2007, σελ. 81, NCOM, 2000). Σύμφωνα με τη θεωρία του κοινωνικού επικοιδομητισμού, στην οποία στηρίζονται τα περισσότερα σύγχρονα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών, η απόκτηση της γνώσης συνδέεται με τα προσωπικά νοήματα που σχηματίζει το άτομο για διάφορες καταστάσεις και έννοιες μέσα από την αλληλεπίδρασή του με το περιβάλλον. Στη βάση αυτής της θεωρίας καθορίζεται ο διαμεσολαβητικός ρόλος του δασκάλου, ώστε οι μαθητές να σχηματίσουν το προσωπικό τους νόημα στο πρόβλημα που πρόκειται να αντιμετωπίσουν (Μπάρμπας, 2001). Ο εκπαιδευτικός αρχικά καλείται να δημιουργήσει τις κατάλληλες συνθήκες και να τα ωθήσει να ασχοληθούν με την επίλυση προβλημάτων, μέσα από τη μαθηματική δράση των μαθητών, αξιοποιώντας τον παιδαγωγικό του ρόλο. Είναι απαραίτητο να δημιουργήσει συνθήκες που αναπτύσσουν την περιέργεια, την κριτική, την πειθαρχία, τον αυτό - έλεγχο και την ικανότητα για διάλογο. Επιπλέον, να παρέχει ένα ψυχολογικά άνετο πλαίσιο πνευματικής δράσης, ώστε να μπορεί ο μαθητής να επιλέγει τις κατάλληλες στρατηγικές του χωρίς να απορρίπτονται οι ιδέες και οι προτάσεις του εκμεταλλευόμενος τις λύσεις και ερμηνείες των μαθητών και να αναδεικνύοντας μαθηματικά θέματα με τρόπο που σχετίζονται με τις φυσικές εμπειρίες των παιδιών (Cobb, Perlwitz & Underwood, 1996, σελ.41, NCOM, 2000). Ο δάσκαλος οφείλει να κατανοεί, να λαμβάνει υπόψη και να εκτιμά τα ατομικά χαρακτηριστικά του παιδιού, αλλά και να ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 25 *

30 σχηματίζει μια άποψη σχετικά με την συνειδητοποίηση της μεταγνώσης του μαθητή (Gelfman et al, [σε] Mansfield et al, 1996, σελ. 162). Δεν υπάρχει ένας μόνο σωστός τρόπος διδασκαλίας, αλλά απαιτείται γνώση και αναζήτηση κατάλληλων υλικών, μεθόδων και τεχνικών από την πλευρά του δασκάλου (NCOM, 2000). Εφόσον τα παιδιά επινοούν λανθασμένες έννοιες και διαδικασίες κατά την επίλυση προβλημάτων εξαιτίας ανεπαρκών γνώσεων και διαδικασιών ή λόγω γλωσσικής παρανόησης του προβλήματος, ο δάσκαλος οφείλει να επαναπροσδιορίσει το ρόλο του και εκμεταλλευόμενος τις αδυναμίες των μαθητών να κατευθύνει τις διδακτικές του ενέργειες Η Λεκτική διατύπωση των προβλημάτων Η γλώσσα είναι ένα μέσο επικοινωνίας, δηλαδή, μετάδοσης και λήψης πληροφοριών μέσω της συζήτησης, των χειρονομιών, της γραφής και των εικόνων και συμβόλων (Semadeni, [σε] Mansfield et al., 1996, σελ. 218). O Saussure υποστήριξε, ότι η γλώσσα «είναι ένα σύστημα διαφορών με τις οποίες προσλαμβάνεται και νοείται ο κόσμος». Μέσα από τη γλώσσα «μαθαίνουμε τον κόσμο και παράγουμε νοήματα» (Τζιόβας 1987, σελ. 42, 44). Ο γλωσσικός παράγοντας παίζει σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της ανθρώπινης μάθησης και πολλές φορές η επιτυχία των μαθηματικών συνδέεται με αυτόν. Η εκμάθηση των σχολικών μαθηματικών αποτελεί μια κοινωνικοποιημένη ενέργεια, η οποία πραγματοποιείται στην τάξη μέσω μιας διαπραγματευτικής διαδικασίας ανάμεσα στα υποκείμενα (δάσκαλος μαθητές, μαθητές μεταξύ τους), τα οποία έχουν αμοιβαίες προσδοκίες και μεταφράζουν αμοιβαία τα μεταξύ τους μηνύματα. Επομένως η διδασκαλία των μαθηματικών ως μια κοινωνική διαδικασία η οποία συμπεριλαμβάνει τη δυναμική της τάξης με τη γλώσσα που χρησιμοποιείται από το δάσκαλο ή/ και τους μαθητές, παίζει τον ίδιο σημαντικό ρόλο με τη διδασκαλία της μαθηματικής γνώσης (Bednarz, [σε] Mansfield et al, 1996, σελ.229). Η θεωρία της αλληλεπίδρασης και ο Κοινωνικός κονστρουκτιβισμός, δίνει έμφαση στην αλληλεπίδραση μαθητών και δασκάλων. Όχι μόνο τα μαθηματικά, αλλά και η ανθρώπινη γνώση, αποκτιέται μέσα από την επικοινωνία των ατόμων. Καταστάσεις προβληματισμού προκύπτουν μέσα από τις κοινωνικές αλληλεπιδράσεις, καθώς οι μαθητές ασχολούνται με μαθηματικές έννοιες (Blummer, 1969, [σε] Παναγάκος, 2001). Η σύνδεση γλώσσας και μαθηματικών όμως εμφανίζει δυο διαφορετικές ερμηνείες. Πολλοί μαθηματικοί υποστηρίζουν ότι τα μαθηματικά αποτελούν τα ίδια μια γλώσσα και κατ αυτόν τον τρόπο μεταφέρουν μηνύματα, ιδέες, συναισθήματα ή προοπτικές και κατ αυτόν τον τρόπο συνδέεται με τις μαθηματικές δραστηριότητες. Αυτού του τύπου η ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 26 *

31 επικοινωνία θεωρείται ένα αποτελεσματικό μέσο, καθώς παρουσιάζει πρότυπα, συσχετίσεις, δομές και ιδιότητες (N.C.T.M , [σε] Τουμάσης 1994, σελ.413, Τζεκάκη, 2007, σελ. 132). Η γλώσσα επίσης, αποτελεί μέσο έκφρασης της σκέψης, μεταφέρει έννοιες και επηρεάζει την επεξεργασία του νοήματος. Από την άλλη πλευρά, η γλώσσα των μαθηματικών λαμβάνεται ως μια γλώσσα αποτελούμενη από λέξεις και σύμβολα που σχετίζονται με το αντικείμενο, όπως για παράδειγμα διάνυσμα, γράφημα, =, +,, κλπ. Η μαθηματική ορολογία διευκολύνει την έκφραση μαθηματικών εννοιών, ενώ η συμβολική τους έκφραση επιτρέπει την περιγραφή πράξεων και διαδικασιών που οδηγούν σε νέα αποτελέσματα (Τουμάσης 1994, σελ. 414). Στην παρούσα έρευνα, λαμβάνοντας υπόψη τις απόψεις του Vygotsky, του Brousseau, του Laborde και του Vergnaud (Bednarz, [σε] Mansfield et al, 1996, σελ.230), δίνεται έμφαση στο ρόλο της γλώσσας στην ανάπτυξη εννοιών και στο σχηματισμό της μαθηματικής σκέψης, η οποία συνδέει τη λειτουργία της επικοινωνίας με αυτήν της ανάπτυξης των εννοιών. Η σπουδαιότητα του ρόλου της γλώσσας ως εργαλείο ανάπτυξης μαθηματικών εννοιών και στρατηγικών κατά την επίλυση προβλήματος, διαπιστώθηκε σε έρευνα που πραγματοποιήθηκε σε παιδιά σχολικής ηλικίας (6 και 7 χρονών), στην αρχή του σχολικού έτους. Στόχος της έρευνας ήταν η ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού και των λειτουργιών του και η ανάπτυξη ικανοτήτων κατανόησης και επίλυσης προβλημάτων από το παιδί, όπως και η κριτική στάση απέναντι σε προβληματικές καταστάσεις. Συγκεκριμένα, διαπιστώθηκε ότι η γλώσσα έπαιξε σημαντικό ρόλο στην επικοινωνία των παιδιών στην ομάδα, την αιτιολόγηση σκέψεων και ενεργειών, την εξήγηση των λύσεων σε άλλους και την αναδιατύπωση του προβλήματος με δικά τους λόγια (Bednarz, [σε] Mansfield et al, 1996). Επιπλέον, η λεκτική περιγραφή των ιδεών του παιδιού σχετικά με την επίλυση ενός προβλήματος, συνδέεται με την οργάνωση της σκέψης του και τη νοερή αναπαραγωγή της δράσης του. Αυτό έχει ως συνέπεια το παιδί να την αντιλαμβάνεται πιο ουσιαστικά. Παράλληλα, αποτελεί ένδειξη του γνωστικού επιπέδου των παιδιών, παρέχοντας στο δάσκαλο εφόδια να επαναπροσδιορίζει την διδακτική του παρέμβαση (Steinbring, 1999 [σε] Τζεκάκη, 2007). Λαμβάνοντας υπόψη τη σπουδαιότητα της γλώσσας ως εργαλείο διαμεσολάβησης ανάμεσα στο μαθητή και το δάσκαλο και δεδομένου την λειτουργία της στο σχηματισμό των προσωπικών νοημάτων και των αναπαραστάσεων, θεωρήσαμε ότι η απόδοση των προβλημάτων μέσω της αφήγησης ιστοριών, είναι καθοριστικής σημασίας για την κατανόηση, την επεξεργασία του προβλήματος και την ανάπτυξη ενός σχεδίου με την ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 27 *

32 επιλογή κατάλληλων στρατηγικών. O εκπαιδευτικός επίσης, λαμβάνει υπόψη του τα λάθη των μαθητών, τα οποία αποτελούν αφετηρία για τη διδασκαλία στρατηγικών μάθησης χρησιμοποιώντας κατάλληλη γλωσσική διατύπωση. Επομένως, δίνοντας προσοχή στη σημασία της επίλυσης προβλημάτων από την προσχολική ακόμα ηλικία, τις ικανότητες και τις αδυναμίες των μικρών μαθητών, όπως επίσης και στο ρόλο της λεκτικής διατύπωσης αυτών των προβλημάτων, διαμορφώνεται ο άξονας του ερευνητικού ενδιαφέροντός, καταλήγοντας στην υπόθεση ότι: «Τα παιδιά προσχολικής ηλικίας εμφανίζουν βελτιωμένες ικανότητες επίλυσης προβλημάτων Μεταβολής αύξησης - ελάττωσης και Σύνθεσης, όταν αυτά παρουσιάζονται μέσα από αφηγηματικές μαθηματικές ιστορίες, ως προς την αντίληψη και σύνδεση των στοιχείων του προβλήματος που χρειάζονται διερεύνηση (κατανόηση), την παρουσίαση των ιδεών τους με λόγια ή / και με αντικείμενα (υλικές στρατηγικές, κατανόηση προβλήματος) και τη δημιουργία ενός σχεδίου επίλυσης (στρατηγικές)» ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΚΗ Η ικανότητα επίλυσης προβλήματος συνδέεται με χαρακτηριστικά μαθηματικά, γλωσσικά, ενώ μπορεί να μελετηθεί σύμφωνα με τον τρόπο που σχετίζεται με τη διαδικασία διδασκαλίας και μάθησης, τις διδακτικές πρακτικές, τη λειτουργία της τάξης, τη διδακτική προσέγγιση (διδακτικό φαινόμενο).ανάλογα διαμορφώνεται και ο ρόλος του δασκάλου. Συνδέεται ακόμα με αντιληπτικά χαρακτηριστικά, με χαρακτηριστικά που αφορούν τη νοημοσύνη, τη δημιουργικότητα, τη μνήμη κλπ., αλλά και τα στοιχεία της προσωπικότητας του παιδιού (ψυχολογικό φαινόμενο). Προσεγγίζεται επίσης ως προς το φύλο, την ηλικία, το κοινωνικο οικονομικό επίπεδο (κοινωνικό φαινόμενο), ενώ μελετάται ως προς τον τρόπο παιδαγωγικής οργάνωσης της τάξης, τις σχέσεις ανάμεσα στους μαθητές και τον εκπαιδευτικό, την εκπαιδευτική διαδικασία (παιδαγωγικό φαινόμενο). Σε ότι αφορά τα κοινωνικά κριτήρια, οι ερευνητές μελετούν την ηλικία, το φύλο την περιοχή του σχολείου και το κοινωνικοοικονομικό και μορφωτικό επίπεδο οικογένειας. Εξετάζουν επίσης τις διαφορές στα διάφορα κοινωνικοπολιτισμικά περιβάλλοντα, όπως την επίδραση της γλώσσας στην επίλυση προβλήματος. Στη συγκεκριμένη έρευνα δε θα ασχοληθούμε με τη μελέτη των κοινωνικών κριτηρίων, καθώς η περιοχή του σχολείου που πραγματοποιήθηκε η έρευνα αφορά ομογενή πληθυσμό (αγροτική περιοχή), το κοινωνικό οικονομικό επίπεδο των γονέων ήταν σχεδόν το ίδιο για όλα τα παιδιά και δεν υπήρχαν ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 28 *

33 ηλικιακές διαφορές (προσχολική ηλικία - νήπια). Όσον αφορά στις διαφορές που παρατηρούνται στο φύλο (αγόρια κορίτσια), έρευνες σχετικές με τις μετρήσεις, υποστηρίζουν ότι οφείλονται κυρίως σε στερεότυπα και εμφανίζονται σε μεγαλύτερες ηλικίες. Παρόλα αυτά διακρίνονται κάποιες διαφορές που αφορούν την άνεση των κοριτσιών στη χρήση της γλώσσας με αποτέλεσμα να είναι πιο αποτελεσματικά στην επίλυση προβλήματος, έναντι των αγοριών τα οποία είναι ικανά στην εφαρμογή και στη χρήση των αριθμών (Shuard, 1986). Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω δεν κρίθηκε απαραίτητη η μελέτη των διαφορών σε παιδιά μικρής ηλικίας. Αναφορικά με τα εκπαιδευτικά κριτήρια, η επίλυση προβλήματος εξετάζεται ως διδακτικό φαινόμενο, σε σχέση με το διδακτικό αντικείμενο (τα μαθηματικά), το περιεχόμενο και το είδος των προβλημάτων και σε σχέση με τις διδακτικές πρακτικές και τη μεθοδολογία που χρησιμοποιεί ο εκπαιδευτικός και οι οποίες συμβάλουν ή όχι στην ανάπτυξη των ικανοτήτων επίλυσης προβλημάτων. Η παρούσα έρευνα εξετάζει την επίλυση προβλήματος σε σχέση με το διδακτικό αντικείμενο, τα μαθηματικά. Συγκεκριμένα, ερευνώνται οι ικανότητες που αναπτύσσονται στο παιδί σε έννοιες που αφορούν, την αρίθμηση, τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης και συγκεκριμένα με προβλήματα Μεταβολής (αύξησης και ελάττωσης) και με προβλήματα Σύνθεσης. Η επιτυχία επίλυσης των λεκτικών προβλημάτων συνδέεται επίσης και με ατομικά κριτήρια, τα οποία αναφέρονται σε: - ατομικά γνωστικά χαρακτηριστικά του παιδιού της συγκεκριμένης ηλικίας - αντιληπτικές ικανότητες - στρατηγικές επίλυσης που χρησιμοποιούν τα παιδιά Στην παρούσα έρευνα τα παιδιά θα παρατηρηθούν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν, οι οποίες συνδέοντα με τη δημιουργία σχεδίου επίλυσης των προβλημάτων που επιλέχτηκαν, με άγνωστο το τελικό αποτέλεσμα (Μεταβολής: αύξησης ελάττωσης και Σύνθεσης) καθώς αναμένεται η χρήση των παρακάτω στρατηγικών: Λεκτικές ( μέτρηση όλων, επίλυση του προβλήματος με μια ματιά, μέτρηση από τον πρώτο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα, μέτρηση από τον τελικό αριθμό, χρήση της μεθόδου της δοκιμής και του λάθους) Υλικές (Παρουσίαση των ιδεών της με λόγια ή/ και με αντικείμενα (χρήση αντικειμένων, δακτύλων, εικονικών σχεδίων, Περιγραφή των ιδεών των παιδιών με λόγο, Συνδυασμός στρατηγικών). Νοητικές ανάκληση αριθμών, νοερή μέτρηση) ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 29 *

34 Αναγνωρίζεται το πρόβλημα (προβληματική) και λαμβάνονται υπόψη οι δυσκολίες των παιδιών, οι οποίες αναφέρθηκαν πιο πάνω. Επιπλέον, εκτός από τη δυσκολία σημασιολογικής δομής του προβλήματος, επιλέγεται ο αριθμητικός βαθμός δυσκολίας του κάθε προβλήματος ανάλογα με τον τύπο και την κατεύθυνση του. Κατ αυτόν τον τρόπο, τα προβλήματα Αύξησης αφορούν σε μικρούς αριθμούς (μικρός βαθμός δυσκολίας), στα Ελάττωσης, προτείνονται διπλοί αριθμοί διευκολύνοντας τα μικρά παιδιά και στα Σύνθεσης επιλέγονται αριθμοί μεγάλοι, αυξάνοντας ακόμα περισσότερο τη δυσκολία του προβλήματος. Ως προς τα εκπαιδευτικά κριτήρια (διδακτικό φαινόμενο), η επίλυση προβλήματος μπορεί να μελετηθεί: - σε σχέση με το διδακτικό αντικείμενο (τα μαθηματικά) - το περιεχόμενο και το είδος των προβλημάτων -σε σχέση με τις διδακτικές πρακτικές και τη μεθοδολογία που χρησιμοποιεί ο εκπαιδευτικός και οι οποίες συμβάλουν ή όχι στην ανάπτυξη των ικανοτήτων επίλυσης προβλημάτων. Στην παρούσα έρευνα δίνεται έμφαση στον τρόπο παρουσίασης των μαθηματικών προβλημάτων στους μαθητές από τον εκπαιδευτικό και στη στάση των μαθητών στην επίλυση συγκεκριμένου είδους και περιεχομένου προβλημάτων. Μέχρι σήμερα μικρή έρευνα έχει πραγματοποιηθεί για τον καθορισμό των χαρακτηριστικών μιας υψηλού επιπέδου μαθηματικής εκπαίδευσης στην προσχολική ηλικία (Kilday, Kinzie, 2008). Σύμφωνα με το National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) σχετικά με τη διδασκαλία των μαθηματικών, οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να ενθαρρύνουν τους μαθητές στην ενεργό δόμηση των μαθηματικών εννοιών, μέσα από τις εμπειρίες που οι δάσκαλοι τους παρέχουν. Η αποτελεσματική διδασκαλία των μαθηματικών προϋποθέτει την κατανόηση και μάθηση από τους μαθητές, υποστήριξη και βαθιά γνώση από τους δασκάλους. Η αποτελεσματική διδασκαλία συνδέεται με την επιλογή κατάλληλων διδακτικών υλικών και τεχνικών Στα Σύγχρονα Αναλυτικά Προγράμματα σημαντική θέση έχουν οι διαδικασίες και η οικοδόμηση της γνώσης από το παιδί, το οποίο επεμβαίνει δυναμικά στο περιβάλλον του, συμμετέχοντας ενεργά και αλληλεπιδρώντας με όλα τα μέλη της σχολικής τάξης (τους συμμαθητές και το δάσκαλο), με στόχο τη δημιουργία μαθηματικών νοημάτων. Θεωρείται σημαντικότερο να αντιληφθούν τα μαθηματικά, παρά να απομνημονεύσουν ορισμούς, όρους και κανόνες, ώστε να μπορέσουν να ανταποκριθούν αποτελεσματικά στην αντιμετώπιση των προβλημάτων της καθημερινής ζωής και στις απαιτήσεις της σύγχρονης κοινωνίας. Τα σύγχρονα διδακτικά περιβάλλοντα μάθησης, επιδιώκουν την ενθάρρυνση από μέρους του ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 30 *

35 εκπαιδευτικού για δυναμική και ενεργό συμμετοχή του μαθητή σε διαδικασίες επίλυσης προβλήματος, διατύπωσης υποθέσεων, πειραματισμών και εξερεύνησης, ενώ απομυθοποιούν τα μαθηματικά επιτρέποντας στους μαθητές να τα προσεγγίσουν χωρίς άγχος. (Shoenfield,1992 [σε] Τζεκάκη 2007, σελ. 51, Τουμάσης 1994, σελ. 218). Η ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλήματος δεν αποτελεί ξεχωριστή δεξιότητα και κατ αυτόν τον τρόπο καλλιεργείται μεθοδικά και συστηματικά μέσα στην πραγματικότητα της σχολικής τάξης. Ο δάσκαλος δημιουργεί στο μαθητή επιθυμίες και κίνητρα να ασχοληθεί με την επίλυση ενός προβλήματος, στηριζόμενος στα ενδιαφέροντα των μαθητών και επιλέγει ρεαλιστικά προβλήματα, τα οποία βοηθούν το μαθητή να αντιληφθεί το πρόβλημα ως μια κατάσταση που είναι αναγκαία να επιλυθεί, χωρίς να του παρέχονται έτοιμες απαντήσεις και λύσεις. Όπως υποστηρίχτηκε από πολλούς παιδαγωγούς, - Dewey, Fremont, Bruner - ο μαθητής καλείται να θέσει τους στόχους του, να ανακαλέσει προγενέστερες έννοιες και κανόνες, για να επιλύσει ένα πρόβλημα χωρίς να αναμένεται απαραίτητα η ορθή λύση. Αναγκαία συνθήκη αποτελεί η παροχή στο μαθητή κατάλληλου χρόνου, ώστε να έχει την ευκαιρία να εργαστεί μεθοδικά πάνω στο πρόβλημα (Τουμάσης 1994, σελ ). Κατά το σχεδιασμό λεκτικών προβλημάτων, ο εκπαιδευτικός οφείλει να λαμβάνει υπόψη τις εποικοδομητικές θεωρίες μάθησης, όπως ότι η μάθηση αποτελεί μια δομική ενεργητική δραστηριότητα (Piaget 1952, Wertheimer 1945, Duncker 1945), ότι είναι σημαντικός ο ρόλος της εξειδικευμένης κατά περιοχή γνώση στην επίλυση προβλήματος, (Davydov 1982) και ότι η διδασκαλία των επιστημονικών εννοιών κατέχει ουσιαστική θέση στην ανάπτυξη της σκέψης (Vygotsky 1962). Επίσης, να λαμβάνεται υπόψη ότι τα παιδιά (κυρίως ηλικίας 8 χρονών) κατατάσσονται σε τρεις κατηγορίες ανάλογα με τις γνώσεις και ικανότητες να επιλύουν προβλήματα: 1. όσους έχουν υψηλές αριθμητικές γνώσεις, αλλά είναι αδύνατοι στη λύση προβλημάτων, 2. όσους έχουν χαμηλές αριθμητικές γνώσεις, αλλά είναι δυνατοί στη λύση προβλημάτων και 3. όσους έχουν γνώσεις και είναι δυνατοί στη λύση προβλημάτων. Οι δυσκολίες των παιδιών στα μαθηματικά, το άγχος που προκαλούν τόσο στους μαθητές, όσο και στο δάσκαλο, αλλά και τα νεότερα ερευνητικά αποτελέσματα και οι συνακόλουθες απαιτήσεις των σύγχρονων αναλυτικών προγραμμάτων, οδήγησαν στην προσπάθεια χρήσης τεχνικών που να προκαλούν το ενδιαφέρον των παιδιών και να προάγουν αισθήματα εμπιστοσύνης μέσα σε συνεργατικά περιβάλλοντα. Προτείνεται ακόμη και ένας ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 31 *

36 οδηγός δεξιοτήτων επίλυσης, σύμφωνα με τον οποίο πρέπει να επιλέγονται όχι συνηθισμένα προβλήματα (Non routin problems), να έχουν ευελιξία, να ενθαρρύνονται τα παιδιά να καταβάλουν προσπάθεια σε προβλήματα που έχουν ενδιαφέρον να τους παρέχετε εμπιστοσύνη. Επιπλέον, γίνονται εκπαιδευτικές προτάσεις που ενθαρρύνουν την επίλυση προβλήματος (Barroody, 1987). Μελέτες της κλινικής ψυχολογίας έδωσαν έμφαση το ρόλο των συναισθημάτων κατά την επίλυση ενός προβλήματος (D'Zurilla & Goldfried, 1971; D'Zurilla & Nezu, 1982), αποδεικνύοντας ότι η απουσία συναισθημάτων μπορεί να απομακρύνει την επικέντρωση των μαθητών από το στόχο και να εμποδίσιε την επίλυση του προβλήματος (Rath, Langenbahn, Simon, Sherr, & Diller, 2004). Η παρουσίαση προβλημάτων μέσα από την αφήγηση ιστοριών αποτελεί μια προσπάθεια συναισθηματικής και γνωστικής εμπλοκής του νηπίου στην επίλυσή του. Σύμφωνα με έρευνες τα αφηγηματικά προβλήματα (προβλήματα - ιστορίες), τα οποία βασίζονται σε καταστάσεις οικίες προς τους μαθητές, συμβάλλουν στην βελτίωση της ικανότητας επίλυσης προβλήματος, κυρίως των μαθητών με μικρότερες ικανότητες (Wesley και Church 1964, [σε] Τουμάσης 1994, σελ. 219). Η «Ιστορία» ορίζεται ως μια αφήγηση γραπτή ή προφορική, φανταστικών ή πραγματικών γεγονότων (Μπαμπινιώτης, 2002). Είναι μια αφηγηματική ενότητα που μπορεί να καθορίσει το νόημα των στοιχείων που την αποτελούν. Υπάρχουν συγκεκριμένα είδη ιστοριών, ενώ η κάθε μια έχει αρχή, η οποία θέτει μια σύγκρουση ή μια προσδοκία, μέση η οποία τα περιπλέκει και τέλος όπου έρχεται η λύση. Αυτό που ξεχωρίζει στις ιστορίες από τα άλλα αφηγηματικά είδη είναι ότι εμπεριέχει συναίσθημα (Egan, 2004, 2008, σε Zazkis & Liljedahl, 2009). Η αξία των ιστοριών έγκειται στο ότι οργανώνουν και μεταφέρουν πληροφορίες, δημιουργούν νοήματα στο άμεσο περιβάλλον μας, ενώ προκαλούν ενδιαφέρον, και ενθουσιασμό. Τις θυμόμαστε πιο εύκολα και κάνουν το μάθημα πιο ζωντανό. Εμπλέκουν συναισθηματικά το παιδί, κάνει το υλικό πιο συγκεκριμένο και το θυμούνται πιο εύκολα. Η αφήγηση της ιστορίας διαφέρει από το βιβλίο στο γεγονός ότι τα παιδιά δημιουργούν νοερές εικόνες της ιστορικής εξέλιξης, ενώ ο αφηγητής έχει τη δυνατότητα να παρακολουθεί το μαθητή την ώρα της αφήγησης (Beatty, 1994 [σε] Casey, 2004). Παράλληλα η αφήγηση ιστοριών μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τις/ τους νηπιαγωγούς στα πλαίσια της διδασκαλίας της γλώσσας συνδέοντας διαθεματικά τα δυο αντικείμενα διδασκαλίας. Η μαθηματική αξία των ιστοριών εντοπίζεται στη μετάδοση δύσκολων εννοιών και ιδεών και στη διευκόλυνση της επίλυσης προβλημάτων, στη διατήρηση ενεργού του ενδιαφέροντος των μαθητών ακόμα και μετά το τέλος της ιστορίας. Το τέλος της ιστορίας ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 32 *

37 συνήθως εμπλέκει ενεργά τους μαθητές στην ανίχνευση και επίλυση του προβλήματος. Επιπλέον, δημιουργούν ανθρώπινα νοήματα αναφορικά με τα μαθηματικά, βοηθά τους μαθητές να κατανοούν έννοιες, να μαθαίνουν ευκολότερα και να θυμούνται. Διακρίνονται τα παρακάτω είδη ιστοριών: - Αληθινές ή φανταστικές ιστορίες - Με πεζό ή έμμετρο λόγο - Ιστορίες που μας ωθούν στον προβληματισμό και στη σκέψη - Ιστορίες που προκαλούν γέλιο ή κλάμα. - Ιστορίες που δε θέλουμε να τελειώσουν ποτέ και ιστορίες που αδημονούμε για το τέλος. - Ιστορίες που μπαίνουν ως πλαίσιο ή ως υπόβαθρο. Τρία είδη πλαισίου: α) ο ήρωας πρέπει να ξεπεράσει τα εμπόδια, β) ύπαρξη ενός μυστικού κώδικα, γ) ύπαρξη συνθήκης ή συμβόλων - Ιστορίες που συνοδεύουν έννοιες ή πλέκονται με έννοιες - Ιστορίες που εισάγουν έννοιες, ιδέες ή μαθηματικές δραστηριότητες - Ιστορίες που εξηγούν κανόνες ή μαθηματικές έννοιες. - Ιστορίες που θέτουν ένα ερώτημα - Χιουμοριστικές ιστορίες Η δημιουργία μιας ιστορίας ακολουθεί το παρακάτω πλάνο: - Τίθεται ο στόχος - Αναγνωρίζεται το πρόβλημα (μαθηματικό πρόβλημα ή θέμα) - Επιλέγεται η ιστορία, τα υλικά η πλοκή και η παρουσίας ή του στους μαθητές με τρόπο παρωθητικό. - Οργανώνεται η παρουσίαση το προβλήματος με την χρήση της αφήγησης και καθορίζονται οι πιθανές δράσεις των μαθητών - Το αρχικό πρόβλημα επεκτείνεται ή δημιουργούνται παραλλαγές - Συμπέρασμα, κλείσιμο. Η αμεσότητα των ιστοριών, η δυνατότητα συνδιαμόρφωσης του προβλήματος από το παιδί και τον αφηγητή και επομένως η προσωπική εμπλοκή του παιδιού, οι δυνατότητες ανάπτυξης δεξιοτήτων επίλυσης προβλήματος και το γεγονός ότι στα μικρά παιδιά (και όχι μόνο) αρέσουν οι ιστορίες, οδήγησαν στην επιλογή της παρουσίασης των μαθηματικών προβλημάτων μέσα από την αφήγηση ιστοριών. Ανακεφαλαιώνοντας, με βάση τα ατομικά γνωστικά χαρακτηριστικά και τις αντιληπτικές ικανότητες του κάθε παιδιού της συγκεκριμένης ηλικίας, πραγματοποιείται η παρουσίαση τριών ειδών προβλημάτων, με δυο τρόπους, την επιλογή λεκτικών ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 33 *

38 προβλημάτων και την επιλογή των αφηγηματικών προβλημάτων. Στη συνέχεια αξιολογούνται οι ικανότητες των παιδιών που παρατηρήθηκαν στα δυο είδη ξεχωριστά, ώστε να εντοπιστούν οι διαφορές των δυο προσεγγίσεων στην επίλυση προβλήματος. Κατά τον ίδιο τρόπο οι στρατηγικές επίλυσης που χρησιμοποιούν τα παιδιά αυτής της ηλικίας και η ακολουθία των σταδίων επίλυσης του προβλήματος, σύμφωνα με το συνδυαστικό μοντέλο που επιλέξαμε, αποτελούν ενδείξεις με βάση το αποτέλεσμα τη βελτίωση των ικανοτήτων των παιδιών. Η παράλειψη κάποιων σταδίων, η αναδιατύπωση του προβλήματος ή οι δυσκολίες σχεδιασμού επίλυσης του προβλήματος, η αδυναμία ερμηνείας των αποτελεσμάτων και εξαγωγής συμπερασμάτων, καταδεικνύουν το βαθμό αντίληψης των εννοιών και την ικανότητα του παιδιού να επιλύει το πρόβλημα. Από την παράθεση της βιβλιογραφικής έρευνας προκύπτουν ορισμένα ερωτήματα, η διερεύνηση των οποίων θα βοηθούσε τη συγκεκριμένη έρευνα: 1. «Ανεξάρτητα από τη σημασιολογική δομή του προβλήματος (σύνθεσης, μεταβολής και σύγκρισης), σημειώνεται βελτίωση στις στρατηγικές (περισσότερες στρατηγικές) που χρησιμοποιούν τα παιδιά για την επίλυση ενός προβλήματος, για κάθε τύπο προβλήματος;» 2. Διαφέρουν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά για κάθε τύπο προβλήματος στις δυο προσεγγίσεις; 3. Βελτιώνονται οι ικανότητες επίλυσης προβλήματος, ανεξάρτητα από το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος; 4. Ο χρόνος επίλυσης του προβλήματος συνδέεται με τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά ή με το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος; ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 34 *

39 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η παρούσα έρευνα εστιάζει στη μελέτη της αντίληψης των προς επίλυση στοιχείων του προβλήματος από τα παιδιά, την ανάπτυξη ενός σχεδίου επίλυσης με βάση τις ατομικές στρατηγικές που χρησιμοποιούν και τη λεκτική περιγραφή του σχεδίου επίλυσης. Είναι φυσική καθώς διερευνούμε και καταγράφουμε ένα ήδη υπάρχον φαινόμενο, χωρίς να παρεμβαίνουμε. Με βάση τον αριθμό των ατόμων που συμμετείχε στην οργάνωση και διεξαγωγή της έρευνας, χαρακτηρίζεται ατομική. Ως προς τη χρονική της διάρκεια η έρευνα κρίνεται συγχρονική, εφόσον μελετήθηκε το φαινόμενο σε μια δεδομένη στιγμή και όχι για ένα χρονικό διάστημα. Λαμβάνοντας υπόψη τη σκοπιμότητα της έρευνας, χαρακτηρίζεται ως διερευνητική, καθώς επιδιώκεται η διερεύνηση τρόπων παρουσιάσεων μαθηματικών προβλημάτων οι οποίοι βελτιώνουν τις ικανότητες των παιδιών προσχολικής ηλικίας στην επίλυση προβλήματος. Ως προς την μορφή των δεδομένων, χαρακτηρίζεται ποιοτική διότι έχει ως σκοπό τον εντοπισμό των στρατηγικών που χρησιμοποιεί το παιδί για να λύσει ένα πρόβλημα. Χαρακτηρίζεται ακόμα, έρευνα ελέγχου θεωρίας (Scott & Wertheimer, 1962 [σε] Δημητρόπουλος, 1999, σελ. 23), αναφορικά με το σκοπό του ερευνητή, καθώς είναι προσανατολισμένη στην εξακρίβωση υποθέσεων στηριγμένων σε διάφορες θεωρίες. Ο χώρος διεξαγωγής της έρευνας είναι ο χώρος στον οποίο εκδηλώνεται το προς μελέτη φαινόμενο και για το λόγο αυτό θεωρείται επιτόπια έρευνα, ενώ όσον αφορά στο κίνητρο της ερευνητικής προσπάθειας θεωρείται ανεξάρτητη. Ο δάσκαλος ερευνητής διεξήγαγε την έρευνα, επί καθημερινής βάσης, λίγο μετά από το τέλος της ώρας προσέλευσης (ώρα έναρξης 9:30 10:00 π.μ.) και είχε διάρκεια τριών εβδομάδων, ξεκίνησε από τις 11 Μαΐου 2009 και τελείωσε 29 Μαΐου. Η παρούσα έρευνα αποτελεί μια ατομική διερεύνηση των ικανοτήτων των παιδιών στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, ώστε αρχικά να καταστεί δυνατόν να ανιχνευτούν οι ικανότητες αυτές των παιδιών και στη συνέχεια να επιδιωχθεί η πιθανή βελτίωσή τους. Καθώς μάλιστα στην ομάδα της τάξης παρατηρείται ετερογένεια των μελών της, τόσο στη σκέψη όσο και στη δράση τους και επειδή μεταφέρουν προϋπάρχουσες κοινωνικές πρακτικές, οι οποίες συνιστούν την κοινωνική πραγματικότητα (Cobb, Perlwitz & Underwood, 1996, σελ.49), κρίνεται σκόπιμη σε ερευνητικό επίπεδο η ατομική παρατήρηση. Λαμβάνετε ακόμα υπόψη έρευνα των Steffe & Cobb (1988), στην οποία δίνεται έμφαση η σημασία της αλληλεπίδρασης μαθητή δασκάλου. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 35 *

40 3.1. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑ Σκοπός της έρευνας είναι να διερευνήσουμε τη βελτίωση των ικανοτήτων των παιδιών προσχολικής ηλικίας να επιλύουν προβλήματα, όταν αυτά παρουσιάζονται μέσα από αφήγηση μιας μαθηματικής ιστορίας, που λειτουργεί ως πλαίσιο ή/ και θέτει ερωτήματα. Η συγκέντρωση αυτών των πληροφοριών μπορεί να αποτελέσει το κίνητρο για τη δημιουργία ενός αποτελεσματικότερου διδακτικού εργαλείου, παρέχοντας κίνητρα στους μαθητές και στους εκπαιδευτικούς και απαλλάσσοντάς τους από το άγχος. Προκειμένου να ελεγχθούν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά για να επιλύσουν τόσο τα λεκτικά όσο και τα αφηγηματικά προβλήματα, επιλέγονται τρία προβλήματα, δυο προβλήματα Μεταβολής, πρόσθεσης (αύξησης) και αφαίρεσης (ελάττωσης), με αιτούμενο το τελικό αποτέλεσμα. και ένα πρόβλημα Σύνθεσης με αιτούμενο επίσης το τελικό αποτέλεσμα. Οι αριθμοί αφορούν την πρώτη δεκάδα του αριθμητικού συστήματος, ώστε το αποτέλεσμα των πράξεων να μην ξεπερνά το «10». Εκτός από την αυξανόμενη δυσκολία της σημασιολογικής δομής των προβλημάτων, υπήρχε κλιμάκωση της δυσκολίας τους ως προς τη μαθηματική τους διάσταση, καθώς τα προβλήματα Μεταβολής αύξησης αφορούσαν σε μικρούς αριθμούς, τα προβλήματα Μεταβολής μείωσης σε διπλούς αριθμούς και τα προβλήματα Σύνθεσης σε μεγάλους αριθμούς λαμβάνοντας υπόψη ότι τα παιδιά σημειώνουν επιτυχία περισσότερο με τους μικρούς αριθμούς και στη συνέχεια στους διπλούς με την προϋπόθεση να αναπτύσσουν στρατηγικές που στην ανάλυση και σύνθεση των αριθμών δεν υπερβαίνουν τη δεκάδα (Nunes & Bryant 1996, Thompson 1997, Gray et al 1997 [σε] Τζεκάκη, ο.π). Τα αριθμητικά δεδομένα ήταν διαφορετικά για τις δυο προσεγγίσεις. Στα Λεκτικά προβλήματα Αλλαγής - Αύξησης επιλέχτηκε η πράξη = 5, ενώ στα Αφήγησης = 6, στα Λεκτικά προβλήματα Αλλαγής Ελάττωσης η πράξη 6 3 = 3 και στα αντίστοιχα Αφηγηματικά 8 4 = 4. Τέλος, στα Λεκτικά προβλήματα Σύνθεσης επιλέχτηκε η πράξη = 9, ενώ στα Αφηγηματικά η πράξη = 9. Σχεδιασμός των αφηγηματικών προβλημάτων Οι ιστορίες δημιουργήθηκαν από τον ερευνητή, στηριζόμενοι στις αρχές της Θεωρίας του αφηγηματικού λόγου, εμπνευσμένοι από το λαϊκό παραμύθι και τη μυθολογία. Πρόκειται για φανταστικές ιστορίες. Τίθεται ο στόχος: τα παρακάτω είδη προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης συμβάλλουν στη βελτίωση: Κατανόησης και Περιγραφής των Πληροφοριών Κατανόησης και Περιγραφής Διαδικασίας επίλυσης Παρουσίασης αποτελέσματος ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 36 *

41 Επιλογής κατάλληλης μεθόδου επίλυσης Καθορισμού του στόχου του προβλήματος (το ζητούμενο άγνωστο) Αναγνωρίζεται το πρόβλημα (προβληματική) : λαμβάνονται υπόψη οι δυσκολίες των παιδιών που αναφέρθηκαν στο θεωρητικό τμήμα της έρευνας και το είδος των προβλημάτων με τις συνακόλουθες δυσκολίες του. Επιλέγεται η ιστορία, τα υλικά, η πλοκή και η παρουσίαση στους μαθητές με τρόπο παρωθητικό. Κατά το σχεδιασμό της ιστορίας, λαμβάνονται υπόψη τα παρακάτω: Βασικά ερωτήματα: τι θα γινόταν αν δεν ξέραμε να προσθέτουμε και να αφαιρούμε; Πώς θα μπορούσε να ελευθερωθεί ένα αγαπημένο μας πρόσωπο από ένα μέρος που δεν έχει διέξοδο, πώς θα χορταίναμε αν κάποιος έφαγε ένα μέρος του φαγητού μας, πώς μπορεί να λειτουργεί ένα μαγικό κουτί; Ο σκελετός: 1 η Ιστορία: ο ήρωας ψάχνει να βρει την πεντάμορφη και να την ελευθερώσει από τον κακό δράκο. Για να το καταφέρει πρέπει να ανοίξει την κλειδαριά του πύργου που κρατείται φυλακισμένη, ο οποίος ανοίγει με τον συνδυασμό = 6 2 η Ιστορία: Ο Οδυσσέας με της συντρόφους του μπαίνουν στη σπηλιά του Κύκλωπα και πίνουν 4 κούπες γάλα. Ο Κύκλωπας κάθε βράδυ αρμέγει τα πρόβατά του και βγάζει 8 κούπες γάλα. Εκείνη την ημέρα ήπιε μόνο 4 κούπες και αδυνατώντας να χορτάσει, δε μπορεί να κοιμηθεί. Πόσες κούπες του λείπουν; 3 η Ιστορία: ο φτωχός ψαράς παίρνει σε αντάλλαγμα της καλής του πράξης, της σωτηρίας δηλαδή ενός ψαριού, ένα μαγικό κουτί που λειτουργεί με έναν μυστικό κώδικα (6 + 3 = 9). Η γυναίκα του ψαρά ζητά παραπάνω από αυτά που μπορεί να δώσει το κουτί και αυτό δε λειτουργεί. Η κόρη του όμως, που καταλαβαίνει τη λειτουργία του, ζητά όσα μπορεί να δώσει το κουτί. Οι τεχνικές: Διαμάχη ανάμεσα στο καλό και το κακό, Συμμετοχή των παιδιών σε επίμαχα σημεία της ιστορίας (ονομασία ηρώων, απόδοση χαρακτηριστικών του αντικειμένου κουτιού, προβληματισμοί που απαιτούν απάντηση για τη συνέχεια της ιστορίας. Το κλείσιμο της ιστορίας: σύνδεση με την αρχική προβληματική κατάσταση Η παρουσίαση: Οργανώνεται η παρουσίαση το προβλήματος με την χρήση της αφήγησης και καθορίζονται οι πιθανές δράσεις των μαθητών, όπως συμμετοχή των παιδιών με παύσεις του ερευνητή, προτάσεις τους για δράση, αλληλεπίδραση με τον αφηγητή. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 37 *

42 Παρουσιάζεται το πρόβλημα με την αφήγηση της ιστορίας, χωρίς να γίνει επέκταση του προβλήματος ή να δημιουργηθούν παραλλαγές στο αρχικό πρόβλημα Τα προβλήματα Μεταβολής αύξησης και Σύνθεσης ανήκουν στην κατηγορία των ιστοριών που μπαίνει ως πλαίσιο ή ως υπόβαθρο, όπου τίθεται ένας μυστικός κώδικας (το μαγικό κουτί που λειτουργεί με ένα μόνο αριθμό, η κλειδαριά που ανοίγει όταν βάζεις μέσα τα 6 κλειδιά και φωνάζεις τον αριθμό, ενώ ο ήρωας πρέπει να ξεπεράσει εμπόδια). Το δεύτερο πρόβλημα μεταβολής ελάττωσης ανήκει στην κατηγορία των ιστοριών που θέτουν ερωτήματα, παρέχοντας την ευκαιρία στα παιδιά να προβληματιστούν, να συμμετέχουν και να αιτιολογήσουν της αποφάσεις της (πόσες κούπες έπρεπε να πιει ο Κύκλωπας για να χορτάσει). Η ίδια η ιστορία εμπλέκει, καθοδηγεί και θέτει ερωτήματα στα παιδιά, παρέχοντας την ευκαιρία να επιλέγουν τον τρόπο δράσης τους, χωρίς να αποκλείεται, σε ορισμένες περιπτώσεις η αλληλεπίδραση μαθητή - ερευνητή ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Σύμφωνα με τα προηγούμενα, τα ερευνητικά δεδομένα οργανώνονται με βάση τους εξής άξονες: 1. Χαρακτηριστικά προβλημάτων πρόσθεση και αφαίρεσης - Τύπος προβλήματος με μεταβλητές τα προβλήματα μεταβολής, σύνθεσης και σύγκρισης - Διεύθυνση προβλήματος με μεταβλητές την αύξηση και την ελάττωση - Το ζητούμενο (άγνωστος) του προβλήματος με μεταβλητές το τελικό σύνολο, το αρχικό, το υποσύνολο, το υπερσύνολο, το σύνολο της διαφοράς ή/ και το συγκρινόμενο σύνολο. Από τις παραπάνω μεταβλητές επιλέγονται, τα προβλήματα Μεταβολής, ένα πρόβλημα με διεύθυνση την Αύξηση και ένα πρόβλημα με διεύθυνση την Ελάττωση. Επίσης επιλέγεται ένα πρόβλημα Σύνθεσης. Όσον αφορά στο ζητούμενο του προβλήματος, τίθεται ως άγνωστο το τελικό αποτέλεσμα. Οι παραπάνω μεταβλητές είναι ανεξάρτητες και αποτελούν οι ίδιες δείκτες. 2. Χαρακτηριστικά αφηγηματικών προβλημάτων - τα είδη ιστορίας με μεταβλητές τις: Αληθινές ή φανταστικές ιστορίες, Με πεζό ή έμμετρο λόγο, Ιστορίες που μας ωθούν στον προβληματισμό και στη σκέψη, Ιστορίες που προκαλούν γέλιο ή κλάμα, Ιστορίες που δε θέλουμε να τελειώσουν ποτέ και ιστορίες που αδημονούμε για το τέλος - τύπος ιστορίας με μεταβλητές: που λειτουργεί ως πλαίσιο των εννοιών (ο ήρωας που ξεπερνά εμπόδια), που έχει ένα μυστικό κώδικα, που η λύση του συνδέεται με έναν ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 38 *

43 κανόνα ή συνθήκη, ιστορίες που εισάγουν έννοιες, ιδέες ή μαθηματικές δραστηριότητες, ιστορίες που εξηγούν κανόνες ή μαθηματικές έννοιες και ιστορίες που θέτουν ένα ερώτημα Από τα παραπάνω είδη, επιλέγονται τρεις φανταστικές ιστορίες που συνδυαστικά λειτουργούν ως πλαίσιο των μαθηματικών εννοιών, ενώ η λύση βασίζεται σε ένα μυστικό κώδικα και θέτουν ερωτήματα. Οι συγκεκριμένες μεταβλητές είναι επίσης ανεξάρτητες και αποτελούν οι ίδιες δείκτες. 3. Ανάλυση των ικανοτήτων των παιδιών α) Αντίληψη και σύνδεση των στοιχείων του προβλήματος που χρειάζονται διερεύνηση με τις ακόλουθες διαστάσεις: - Η ορθότητα του τελικού αποτελέσματος, ή ενός στοιχείου του προβλήματος που απουσιάζει, εξαρτημένη μεταβλητή, η οποία παίρνει τις τιμές «Σωστή» και «Λάθος» - Ο χρόνος επίλυσης του προβλήματος, εξαρτημένη μεταβλητή, η οποία παίρνει τις ακόλουθες τιμές: <1 λεπτό, 1-2 λεπτά, 3-5 λεπτά και >5 λεπτά. - Ο χρόνος απασχόλησης, είναι επίσης εξαρτημένη μεταβλητή, αλλά είναι εκτός του πεδίου μελέτης της συγκεκριμένης έρευνας. β) Κατανόηση του προβλήματος, με τις ακόλουθες διαστάσεις - Η ανάλυση δεδομένων του προβλήματος με στοιχεία: την Κατανόηση και Περιγραφή των Πληροφοριών, την Κατανόηση και Περιγραφή Διαδικασίας επίλυσης, την Παρουσίαση αποτελέσματος και τον Καθορισμός του Στόχου (το ζητούμενο άγνωστο). Η παρούσα έρευνα θα εστιάσει στην κατανόηση των πληροφοριών του προβλήματος, οι οποίες διαχωρίζονται σε: i. Λεκτικές πληροφορίες και αφορούν όσες πληροφορίες δεν αφορούν αριθμούς ii. Αριθμητικές πληροφορίες, δηλαδή τους αριθμούς iii. Παρουσίαση του αποτελέσματος iv. Κατανόηση του στόχου. Οι συγκεκριμένοι δείκτες παίρνουν τιμές θετικές (Ναι) και αρνητικές (όχι). γ) Δημιουργία ενός σχεδίου επίλυσης (στρατηγικές χρήση ευρετικών), με τις ακόλουθες διαστάσεις: Οι Λεκτικές στρατηγικές, που αναλύονται στις εξής μεταβλητές: i. Λύνει το πρόβλημα με μια ματιά (οπτική αναγνώριση) (Τζεκάκη 2007 σελ. 210) ii. Μέτρηση όλων (Τζεκάκη 2007 σελ. 222) iii. Ξεκινά τη μέτρηση από τον πρώτο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 39 *

44 iv. Ξεκινά τη μέτρηση από το μεγαλύτερο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα και v. χρησιμοποιεί τη μέθοδο της δοκιμής και του λάθους (Βοσνιάδου σελ.76-77). Όλες οι μεταβλητές παίρνουν τιμές θετικές (Ναι) και αρνητικές (όχι). Οι Υλικές στρατηγικές, που αναλύονται στις εξής μεταβλητές: Την Παρουσίαση των ιδεών τους με λόγια, με αντικείμενα ή/ και με εικονικά σχέδια (χρήση αντικειμένων, δακτύλων, εικονικών σχεδίων) και παίρνουν θετικές (Ναι) και αρνητικές (όχι) τιμές. Οι Νοητικές στρατηγικές, που αναλύονται στις εξής μεταβλητές: Την ανάκληση αριθμητικών πράξεων και Τη νοερή μέτρηση, οι οποίες έχουν τιμές θετικές (Ναι) και αρνητικές (όχι) τιμές. Η Νοητική στρατηγική «Νοερή Μέτρηση» προέκυψε κατά τη διάρκεια της έρευνας και επινοήθηκε από τον ερευνητή. Τα παιδιά μετρούν νοερά δάχτυλα κάτω από το τραπέζι ή κοιτώντας αντικείμενα. 4. Ανάλυση του ενδιαφέροντος των παιδιών Το ενδιαφέρον των νηπίων μελετάται σε όλη τη διάρκεια παρουσίασης και επίλυσης του προβλήματος, έχοντας ως ανεξάρτητες μεταβλητές: i. Τη συμμετοχή του παιδιού σε όλη τη διάρκεια ii. Την εκδήλωση περιέργειας με ερωτήσεις, σχόλια και εκφράσεις (λεκτικές και μη) iii. Την προσεκτική παρακολούθηση. Όλες οι μεταβλητές παίρνουν τιμές θετικές (Ναι) και αρνητικές (όχι). Επιπλέον, η κατανόηση του στόχου στα λεκτικά προβλήματα ελέγχεται τόσο με ερωτήσεις από πλευράς τους του ερευνητή, όσο και από την επιλογή στρατηγικής και διενέργεια των πράξεων του μαθητή. Η εκδήλωση ενδιαφέροντος των νηπίων σχετίζεται τόσο με το περιεχόμενο της ίδιας της ιστορία, όσο και με τον τρόπο αφήγησης από τον ερευνητή. Ωστόσο, εξωτερικοί παράγοντες, μπορεί να επηρεάσουν την εμπλοκή των νηπίων σε αυτή. Τέλος, συμπληρώνεται το φύλο του παιδιού (αγόρι κορίτσι) ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Κριτήρια επιλογής του πληθυσμού Η συγκεκριμένη έρευνα είναι μια μελέτη περίπτωσης, επειδή η επιλογή του δείγματος έγινε τυχαία και εξετάζει μια μονάδα (τάξη νηπιαγωγείου), σε ομογενή πληθυσμό, καθώς πρόκειται για αγροτική περιοχή της Δυτικής Θεσσαλονίκης, με σκοπό να μελετήσει φαινόμενα της μονάδας προκειμένου να γίνουν γενικεύσεις σχετικά με τον ευρύτερο πληθυσμό, στον οποίο αυτή ανήκει. Η έρευνα έλαβε χώρα σε δυο τμήμα του 2/ θέσιου, 1 ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 40 *

45 Νηπιαγωγείου και σε δυο τμήματα του 2/ θέσιου 2 ου Νηπιαγωγείου Κυμίνων, του Δήμου Αξιού τα οποία στεγάζονται σε έναν σχολικό χώρο. Πήραν μέρος 30 υποκείμενα, ίδιας ηλικιακής κατηγορίες (νήπια), από τα οποία 18 ήταν αγόρια (ποσοστό 60%) και 12 ήταν κορίτσια (ποσοστό 40%). Η πλειονότητα του δείγματος ήταν ελληνικής καταγωγής, δυο κορίτσια (6,7% ) ήταν τσιγγανόπαιδα και δυο παιδιά ήταν αλβανικής καταγωγής ένα κορίτσι και ένα αγόρι, τα οποία μιλούσαν καλά την Ελληνική γλώσσα ΜΕΣΑ ΣΥΛΛΟΓΗΣ Για τη συλλογή των στοιχείων πραγματοποιήθηκε παρατήρηση των μαθητών σε ατομικό επίπεδο, προκειμένου να συγκεντρωθούν στοιχεία που δείχνουν τις ικανότητες επίλυσης προβλήματος του κάθε παιδιού ξεχωριστά, τις στρατηγικές που κάθε φορά χρησιμοποιεί τη συμπεριφορά και τις αντίδραση των νηπίων στην παρουσίαση των μαθηματικών προβλημάτων. Επιλέχτηκε η άμεση, συστηματική, μη συμμετοχικής παρατήρησης, βασισμένη σε ένα συγκεκριμένο σχέδιο, με καταγραφές σε φύλλα (κλείδα) παρατήρησης και ταυτόχρονη ηχογράφηση. Ο τρόπος δόμησης της κλείδας παρατήρησης βασίστηκε στις διαστάσεις των εννοιών με τις αντίστοιχες μεταβλητές. Συγκεκριμένα, αποτελούνταν από τρία φύλλα, ένα για κάθε είδος προβλήματος και σε κάθε ένα από αυτά αναγράφονταν το όνομα του κάθε παιδιού, ο αύξοντας αριθμός συμμετοχής του, το χρονικό διάστημα από την έναρξη παρουσίασης του προβλήματος μέχρι την επίλυσή του και το χρονικό διάστημα που το παιδί έλυνε το πρόβλημα. Περιείχε πέντε (5) κατηγορίες παρατήρησης: στην πρώτη στήλη αναγράφονταν οι Νοητικές στρατηγικές με τις μεταβλητές που αναφέρθηκαν, στη δεύτερη οι Λεκτικές με τις αντίστοιχες μεταβλητές, στην τρίτη οι Υλικές, επίσης με τις αντίστοιχες μεταβλητές, στην τέταρτη η κατανόηση των δεδομένων του προβλήματος, με τις μεταβλητές που αναλύθηκαν παραπάνω και στην πέμπτη κατηγορία το ενδιαφέρον του παιδιού. Για λόγους μεθοδολογικούς, αναγράφονταν στοιχεία που μπορούσαν να επιλεγούν άμεσα και παράλληλα σημειώνονταν εκφράσεις προσώπου, σχόλια του παιδιού, αντιδράσεις ή επιφωνήματα (παράρτημα 2.). Η παρατήρηση διενεργήθηκε στο φυσικό χώρο του σχολείου, στην αίθουσα έξω από την τάξη του ενός τμήματος, καθώς ο ερευνητής ήταν ταυτόχρονα και εκπαιδευτικός και είχε την ευθύνη των παιδιών της τάξης του. Επίσης, χρησιμοποιήθηκε μηχάνημα ηχογράφησης (κασετόφωνο). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 41 *

46 Διαδικασία εξέτασης Υλικό Πάνω σε ένα τραπέζι είχαν τοποθετηθεί χαρτιά, μαρκαδόροι και ουδέτερα αντικείμενα (κύβοι), ώστε να έχει τη δυνατότητα το παιδί, αν το επιθυμεί, να τα χρησιμοποιήσει για να παρουσιάσει το πρόβλημα και τις στρατηγικές που θα χρησιμοποιήσει και στη συνέχεια να εφαρμόσει τη λύση. Αρχικά παρουσιάζονταν στα παιδιά τα Λεκτικά προβλήματα και μετά από διάστημα τριών ημερών τα Αφηγηματικά, ξεκινώντας από τα ίδια παιδιά σύμφωνα με τον αύξοντα αριθμό του φύλλου παρατήρησης, ώστε να μην έχει μεσολαβήσει μεγάλο διάστημα από την παρουσίαση των Λεκτικών προβλημάτων. Η επιλογή αυτή έγινε τόσο για μεθοδολογικούς λόγους, ώστε να έχει τη δυνατότητα ο ερευνητής να παρουσιάσει τα Λεκτικά προβλήματα στο συγκεκριμένο αριθμό παιδιών, όσο και για εξελικτικούς λόγους, ώστε να μην μεσολαβήσει χρονικό διάστημα κατά το οποίο μπορεί να παρέμβουν άλλοι παράγοντες (διδασκαλία εννοιών από τους εκπαιδευτικούς). Κατά το σχεδιασμό της διαδικασίας ο ερευνητής έλαβε υπόψη τη μεθοδολογία του Verschaffel (Βοσνιάδου, 2000), επιλέγοντας τα παιδιά να λύσουν το πρόβλημα εξηγώντας και αιτιολογώντας τη στρατηγική επίλυσης, να κατασκευάσουν μια αναπαράσταση της ιστορίας ή του προβλήματος με χαρτιά και μαρκαδόρους, δάχτυλα ή / και τουβλάκια και άλλα αντικείμενα και να το λύσουν. Τα Λεκτικά προβλήματα είχαν προσωπικό ενδιαφέρον για τα παιδιά, αφού αναφέρονταν σε φίλους ή αδέρφια, πληροφορίες τις οποίες συνέλεγε ο ερευνητής κατά τη διάρκεια γνωριμίας του με το παιδί. Η διαδικασία που ακολουθούνταν ήταν κοινή και για τις δυο προσεγγίσεις και ήταν η εξής: Παρουσιάζονταν στο παιδί τρία λεκτικά προβλήματα, ένα κάθε φορά, τα οποία καλούνταν να λύσει. Ο ρόλος του παρατηρητή ήταν ενεργός. Συγκεκριμένα, έλεγε στο παιδί ότι θα του πει ένα πρόβλημα, το παρουσίαζε και άφηνε να αντιδράσει μόνο του. Στη συνέχεια, έθετε ερωτήματα που αφορούσαν τα δεδομένα του προβλήματος («θυμάσαι πόσα μπαλόνια είχες εσύ, και πόσα σου έδωσε ο/ η», ή «πώς σκέφτηκες και έλυσες το πρόβλημα»). Σε κάποιες περιπτώσεις επηρέαζε το φαινόμενο (ενίσχυση παιδιών ) ενθαρρύνοντας τα παιδιά να χρησιμοποιήσουν υλικά και να εμπλακούν στη λύση του προβλήματος αποσκοπώντας στην ορθότερη παρατήρηση του φαινομένου. Για παράδειγμα, όταν ο μαθητής δίσταζε, δεν αντιλαμβάνονταν τα δεδομένα του προβλήματος, ή έλυνε λάθος το πρόβλημα με νοερή ανάκληση αριθμών, ο ερευνητής το παρακινούσε να χρησιμοποιήσει οτιδήποτε θεωρούσε ότι μπορούσε να το βοηθήσει σε αυτή του την προσπάθεια (θέλεις να δοκιμάσεις να λύσεις το πρόβλημα χρησιμοποιώντας και κάποια άλλα πράγματα;). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 42 *

47 Οι επιλογές του παιδιού καταγράφονταν στο φύλλο παρατήρησης με τον τρόπο που περιγράφτηκε παραπάνω, ξεχωριστά για κάθε τύπο προβλήματος (Αύξησης, Ελάττωσης, Σύνθεσης). Μετά από διάστημα τριών ημερών παρουσιάζονταν τα αφηγηματικά προβλήματα, ένα ένα ξεχωριστά, καταγράφοντας επίσης, στο φύλλο παρατήρησης τις αντίστοιχες επιλογές και επιδόσεις του παιδιού, ενώ η διαδικασία για τη χρήση του υλικού ήταν η ίδια. Κάθε πρόβλημα παρουσιάζονταν με μια ιστορία, η οποία δημιουργήθηκε από τον ερευνητή σύμφωνα με τις μεθοδολογικές κατευθύνσεις των Zazkis και Liljedahl (2009), τη σημασιολογική δομή του προβλήματος και τα αριθμητικά δεδομένα. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 43 *

48 4. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 4.1. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η οργάνωση των δεδομένων στηρίχτηκε στα ατομικά φύλλα παρατήρησης και η επεξεργασία τους πραγματοποιήθηκε με τη χρήση της στατιστικής ανάλυσης του SPSS. Για λόγους μεθοδολογικούς, οι δείκτες των εννοιών, θεωρήθηκαν μεταβλητές και πήραν δυο τιμές (αρνητική θετική), ώστε να αποφευχθεί ο κίνδυνος απώλειας στοιχείων, καθώς πολλά παιδιά χρησιμοποιούσαν παραπάνω από έναν συνδυασμούς στις στρατηγικές και στον πίνακα ελέγχου του ενδιαφέροντος. Εκτός από το χρόνο, η οποία θεωρείται ποσοτική, διαστημική μεταβλητή, όλες οι άλλες είναι ποιοτικές, ονομαστικές μεταβλητές. Επίσης, ως χαμένη τιμή ορίστηκε το ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Συγκεντρώθηκαν στοιχεία για κάθε παιδί ξεχωριστά, στις δυο προσεγγίσεις παρουσίασης προβλήματος και για όλους τους τύπους προβλημάτων (Μεταβολής Σύνθεσης) και κατευθύνσεων (Αύξησης Ελάττωσης). Ο έλεγχος περιλάμβανε την ανάλυση της κάθε προσέγγισης παρουσίασης του προβλήματος χωριστά και στη συνέχεια τη σύγκριση των δυο προσεγγίσεων Λεκτικά Προβλήματα Επίλυση προβλήματος Προκειμένου να εξετάσουμε τις προϋπάρχουσες ικανότητες επίλυσης προβλήματος των παιδιών προσχολικής ηλικίας, μελετήσαμε τις επιδόσεις τους στα Λεκτικά προβλήματα. Σε όλους τους τύπους προβλημάτων, όπως φαίνεται στον πίνακα 1., τα νήπια εμφανίζουν χαμηλές επιδόσεις, οι οποίες ανάλογα με τη δυσκολία του προβλήματος, παρουσιάζουν μια διαβάθμιση, με υψηλότερο ποσοστό επιτυχίας στα προβλήματα Μεταβολής Αύξησης (40%) και χαμηλότερο στα προβλήματα Σύνθεσης (33,3%). Ένα ποσοστό 3,3% (Ν=1) δεν έδωσε καμία λύση στα προβλήματα Αύξησης και Ελάττωσης. ΕΠΙΛΥΣΗ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Σωστά Λάθος Πίνακας1. Επίλυση Λεκτικών Προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 44 *

49 Χρόνος Επίλυσης προβλήματος: Εξετάζοντας το χρόνο επίλυσης που χρειάστηκαν τα παιδιά σε κάθε τύπο προβλήματος, παρατηρούμε ότι τα περισσότερα επιλύουν το πρόβλημα στα πρώτα δευτερόλεπτα μετά την εκφώνησή του, με τη χρήση κυρίως Νοητικών στρατηγικών. Μικρότερο χρόνο χρειάζονται τα νήπια για την επίλυση προβλημάτων Αύξησης (λιγότερο από 1 λεπτό, Μ=1,13, SD=0,346) και μεγαλύτερο για προβλήματα Ελάττωσης (1 ως 2 λεπτά, M=1,5, SD=0,682) και Σύνθεσης (έως 5 λεπτά, M=1,47, SD=0,776). Η αύξηση αυτή οφείλεται στη χρήση Λεκτικών στρατηγικών επίλυσης, όπως η μέτρηση όλων των υλικών (40% στα Ελάττωσης και 23,3% Σύνθεσης). Η επιλογή των νηπίων (Ν=4, 13,3%) να λύσουν προβλήματα Ελάττωσης (3,3%) και Σύνθεσης (10%), με τη χρήση Εικονικών Αναπαραστάσεων, επίσης αυξάνει το χρόνο επίλυσης, από 3 ως 5 λεπτά και πάνω από 5 λεπτά και συνοδεύεται από ανεπιτυχή αποτελέσματα (πίνακας 2). Η χρήση Νοητικών στρατηγικών απαιτεί μικρότερο χρόνο επίλυσης, ενώ η χρήση Υλικών στρατηγικών και κυρίως Εικονικών αναπαραστάσεων, σε προβλήματα μεγαλύτερης δυσκολίας αυξάνει το χρόνο επίλυσής τους. ΧΡΟΝΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Χρόνος Μεταβολής Μεταβολής Σύνθεσης Επίλυσης Αύξησης Ελάττωσης < >5 1 1 Πίνακας 2. Χρόνος Επίλυσης Λεκτικών προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Εκδήλωση ενδιαφέροντος Εμπλοκή Νηπίων Εκδήλωση ενδιαφέροντος εμφανίζει όλο το δείγμα της έρευνας, καθώς η διάρκεια εκφώνησης και επίλυσης του κάθε προβλήματος είναι μικρή με αποτέλεσμα να μη μπορεί να παρατηρηθεί ή να ελεγχθεί τυχόν έλλειψη ενδιαφέροντος. Ο ερευνητής εκφωνεί το πρόβλημα και το παιδί προσπαθεί να το λύσει, χωρίς να διατυπώνει σχόλια και ερωτήσεις ή να εκδηλώνει περιέργεια. Στα προβλήματα Σύνθεσης, παρατηρείται αφαίρεση προσοχής σε ένα μικρό αριθμό παιδιών (6,7%, Ν=2), (πίνακας 3). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 45 *

50 ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Συμμετοχή Ερωτήσεις / Περιέργεια Προσεκτική Παρακολούθηση Πίνακας 3. Εκδήλωση Ενδιαφέροντος στα Λεκτικά Προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Αντίληψη Στοιχείων Η αντίληψη και σύνδεση των στοιχείων ενός προβλήματος, σύμφωνα με τα στάδια επίλυσης ενός προβλήματος κατά τον Polya, είναι απαραίτητη για τη σωστή επίλυσή του. Ελέγχοντας τις σχέσεις Κατανόησης των Δεδομένων του προβλήματος επιδιώκουμε να διαπιστώσουμε το βαθμό που το παιδί αντιλαμβάνεται τα στοιχεία του προβλήματος και κατά συνέπεια τα συνδέει μεταξύ τους, ώστε να λύσει το πρόβλημα. Στα Λεκτικά προβλήματα, οι λεκτικές και οι αριθμητικές πληροφορίες, όπως έχει επισημανθεί ταυτίζονται και επομένως ο αριθμός των παιδιών είναι ίδιος για τις δυο μεταβλητές. Τα νήπια θυμούνται περισσότερο τις πληροφορίες του προβλήματος Μεταβολής - Αύξησης (53,3%), ενώ στα προβλήματα Μεταβολής Ελάττωσης και Σύνθεσης λιγότερα από τα μισά παιδιά θυμούνται τα δεδομένα του προβλήματος (43,3% και 46,7% αντίστοιχα). Το γεγονός αυτό συνδέεται με την αύξηση της δυσκολίας του προβλήματος και παρόλο που πρόκειται για διπλούς αριθμούς στα προβλήματα Ελάττωσης, ένα μεγάλο ποσοστό παιδιών δε θυμάται τις πληροφορίες. Αυτό γίνεται αντιληπτό από τον τρόπο αντίδρασης των νηπίων, μετά την εκφώνηση του προβλήματος από τον ερευνητή. Τα παιδιά που δε θυμούνται τις πληροφορίες, συνήθως δεν προσπαθούν να λύσουν το πρόβλημα, χωρίς όμως να αποκλειστεί η τυχαία απάντηση, η οποία ελέγχεται από το αποτέλεσμα και με ερωτήσεις του ερευνητή. Η πλειονότητα των παιδιών κατανοεί το στόχο του προβλήματος Αύξησης (66,7%), ενώ καθώς αυξάνεται η δυσκολία, σημειώνεται μικρή μείωση του ποσοστού (56,7%). Μερικά παιδιά (20%, Ν=6) κατανοούν το στόχο, χωρίς να θυμούνται τα δεδομένα του προβλήματος στα προβλήματα Αύξησης και Ελάττωσης. Η κατανόηση του στόχου στα λεκτικά προβλήματα, ελέγχεται επίσης, με ερωτήσεις από πλευράς τους του ερευνητή και από την επιλογή στρατηγικής και διενέργεια των πράξεων ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 46 *

51 του μαθητή (πίνακας 4). Ορισμένα παιδιά δε θυμούνται τις πληροφορίες του προβλήματος, παρά μόνο μετά από επανάληψη (10% σε κάθε τύπο προβλήματος). ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Προβλήματα Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Ανάκληση Λεκτικών Πληροφοριών Ανάκληση Αριθμητικών Πληροφοριών Κατανόηση Στόχου Πίνακας 4. Κατανόηση Δεδομένων Λεκτικών Προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Χρήση στρατηγικών: Η χρήση Νοητικών στρατηγικών, είναι η βασική επιλογή επίλυσης όλων τύπων Λεκτικών προβλημάτων και εμφανίζει τη μεγαλύτερη συχνότητα στα προβλήματα Αλλαγής Ελάττωσης και τη μικρότερη στα προβλήματα Σύνθεσης. Παρατηρούμε επομένως, μια διαβάθμιση στην επιλογή Νοητικών στρατηγικών, ανάλογη με τη δυσκολία του προβλήματος, δεδομένου ότι οι διπλοί αριθμοί διευκολύνουν τα νήπια στα προβλήματα Ελάττωσης. Συγκεκριμένα, στα προβλήματα Μεταβολής - Αύξησης, Νοητικές στρατηγικές χρησιμοποίησε 83,3% (Ν=25) των νηπίων (Ανάκληση αριθμών 73,3% και Νοερή Μέτρηση 10%), στα προβλήματα Ελάττωσης, σημειώνεται μικρή άνοδος (Ανάκλησης αριθμών 90%, Νοερή μέτρηση 10%), ενώ στα προβλήματα Σύνθεσης παρατηρείται μείωση (Ανάκληση αριθμών 40%, Νοερή Μέτρηση 3,3%) (πίνακας 5.1). Σε όλους τους τύπους προβλημάτων η επιλογή των παιδιών να λύσουν το πρόβλημα με Νοερή μέτρηση παραμένει σταθερή (3,3%). Χαρακτηριστικό της Νοερής μέτρησης είναι η περίπτωση παιδιών που μετρούν νοερά δάχτυλα, τα οποία τα έχουν κλειστά και τα μετρούν νοερά ενώ τα κοιτούν ή αντικείμενα, τα οποία επίσης μετρούν νοερά καθώς τα κοιτούν. Επιπλέον, φαίνεται ότι επιβεβαιώνεται η άποψη ότι η απουσία υλικού ενισχύει τους νοερούς μηχανισμούς και η παρουσία υλικού το μηχανισμό της μέτρησης, καθώς τα παιδιά δεν καταφεύγουν στη χρήση νοητικών στρατηγικών παρά μόνο με την ενίσχυση του ερευνητή, όπως επισημαίνεται στη συνέχεια. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 47 *

52 Χρήση Νοητικών Στρατηγικών στα Λεκτικά προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Στρατηγικές Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Α Ε Σ Συνδυασμοί Ανάκληση αριθμών Λεκτικές Υλικές Νοερή Μέτρηση Λεκτικές Υλικές Πίνακας 5.1 Χρήση Νοητικών Στρατηγικών και οι Συνδυασμοί τους στους δυο τύπους Λεκτικών Προβλημάτων (Μ- Σ) και στις δυο κατευθύνσεις (Α- Ε) σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Όσο αυξάνει η δυσκολία του προβλήματος, αυξάνει η χρήση Λεκτικών στρατηγικών, οι οποίες συνοδεύουν τις Υλικές στρατηγικές επίλυσης, ιδιαίτερα της «μέτρησης όλων», η οποία αποτελεί το συνδετικό κρίκο με τις προηγούμενες γνώσεις των παιδιών, μην έχοντας πλήρη αντίληψη της κατάστασης που αντιμετωπίζουν. Όπως φαίνεται στον πίνακα 5.2, Λεκτικές στρατηγικές στα προβλήματα Αύξησης χρησιμοποίησε ένα μικρό ποσοστό παιδιών (26,7%, Ν=8), από τα οποία 3,3 % (Ν= 1) έλυσε οπτικά το πρόβλημα με μια ματιά, 23,3 % (Ν=7) χρησιμοποίησε τη μέτρηση όλων των αντικειμένων, ενώ κανένα δεν επέλεξε στρατηγικές της μέτρησης από τον πρώτο αριθμό και της μέτρησης από το μεγαλύτερο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα, όπως και τη μέθοδο της δοκιμής και του λάθους. Στα προβλήματα Ελάττωσης, Λεκτικές στρατηγικές χρησιμοποίησε το 43,3% (Ν=13) των παιδιών, εκ των οποίων 3,3% (Ν=1) επέλυσαν οπτικά (μέτρηση με μια ματιά) το πρόβλημα, 40% (Ν=12) χρησιμοποίησαν τη μέτρηση όλων, ενώ κανένα υποκείμενο του δείγματος δε χρησιμοποίησε τις στρατηγικές της μέτρησης από τον πρώτο αριθμό και από τον μεγαλύτερο αριθμό του προβλήματος και τη μέθοδο της δοκιμής και του λάθους. Λεκτικές στρατηγικές δε χρησιμοποίησε το 56, 6% (Ν=13) του δείγματος. Στα προβλήματα Σύνθεσης, 66,7 % (Ν= 20) των νηπίων χρησιμοποίησε Λεκτικές στρατηγικές, με κυρίαρχη τη μέτρηση όλων (56,7%, Ν=17), ενώ ακολουθούν η επίλυση με μια ματιά (10%, Ν=3) και η νοερή μέτρηση (3,3%, Ν=1). Κανένα υποκείμενο δε χρησιμοποίησε τις στρατηγικές της μέτρησης από τον πρώτο αριθμό, της μέτρησης από το μεγαλύτερο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα και της μεθόδου της δοκιμής και του λάθους. Στο σημείο αυτό αξίζει να επισημανθεί η σημασία της «αναγνώρισης με μια ματιά» (subitizing) όσον αφορά στην αντίληψη του αριθμού (Clements 1999 [σε] Τζεκάκη, 2007) και στην ικανότητα κατανόησης αθροιστικών και πολλαπλασιαστικών σχέσεων και συγκεκριμένα τη σύνδεση με τις προσθέσεις μικρών ποσοτήτων (Τζεκάκη 1996). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 48 *

53 Χρήση Λεκτικών Στρατηγικών στα Λεκτικά προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Στρατηγικές Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Α Ε Σ Συνδυασμο ί Επίλυση με μια Νοητικές ματιά Υλικές Μέτρηση όλων Νοητικές Υλικές Μέτρηση από 1 ο αρ Μέτρηση από μεγ αρ. Μέθοδος δοκιμής - λάθους Πίνακας 5.2 Χρήση Λεκτικών Στρατηγικών και οι Συνδυασμοί τους στους δυο τύπους Λεκτικών Προβλημάτων (Μ- Σ) και στις δυο κατευθύνσεις (Α- Ε) σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Η χρήση των Υλικών στρατηγικών είναι αντίστοιχη με αυτή των Λεκτικών και επιλέγεται από τα παιδιά περισσότερο καθώς αυξάνει η δυσκολία του προβλήματος. Ωστόσο, πολλά παιδιά χρησιμοποιούν Υλικές στρατηγικές μετά από ενίσχυση του ερευνητή και αφού έχει προηγηθεί αποτυχημένη προσπάθεια επίλυσης με Νοητικές στρατηγικές. Συγκεκριμένα, 26,7% (Ν=8), των νηπίων έλυσε το πρόβλημα Μεταβολής - Αύξησης με τη χρήση υλικών στρατηγικών. Από αυτούς, όλοι χρησιμοποίησαν τα δάχτυλά τους, για να λύσουν το πρόβλημα, ενώ κανένα υποκείμενο δε χρησιμοποίησε αντικείμενα και λεκτική περιγραφή. Η χρήση αντικειμένων ή δακτύλων, σε προβλήματα αλλαγής (κυρίως μείωσης), αποτελεί ένδειξη των αντιλήψεων των παιδιών για τις σχέσεις των αριθμών, (Siegler, 1987 [σε] Τζεκάκη, 2007) Η πλειονότητα του δείγματος 66,7% (Ν=20) δε χρησιμοποίησε καθόλου υλικές στρατηγικές. Στα προβλήματα Μεταβολής - Ελάττωσης, αυξάνεται ο αριθμός των παιδιών που επιλέγουν να λύσουν το πρόβλημα με υλικές στρατηγικές (46,7 %, Ν=14), όπως χρήση αντικειμένων (20%, Ν=6), δακτύλων (23,3%, Ν=7) και λεκτικής περιγραφής (3,3%,Ν=1). Ακόμα περισσότερα παιδιά επιλέγουν τις υλικές στρατηγικές για να λύσουν προβλήματα Σύνθεσης (60%, Ν=18), όπως δάχτυλα (33,3%, Ν=10), αντικείμενα (26,7%, Ν=8), ενώ κανένα δε χρησιμοποιεί την λεκτική περιγραφή (πίνακας 5.3). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 49 *

54 Χρήση Υλικών Στρατηγικών στα Λεκτικά προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Στρατηγικές Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Α Ε Σ Συνδυασμοί Αντικείμενα Νοητικές Υλικές Δάχτυλα Νοητικές Υλικές Λεκτική Περιγραφή Υλικές Πίνακας 5.3 Χρήση Υλικών Στρατηγικών και οι Συνδυασμοί τους στους δυο τύπους Λεκτικών Προβλημάτων (Μ- Σ) και στις δυο κατευθύνσεις (Α- Ε) σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) *στον πίνακα δε συμπεριλαμβάνονται οι Συνδυασμοί των Εικονικών Αναπαραστάσεων Εικονικές Αναπαραστάσεις Η σημασία των αναπαραστάσεων, στα σχέδια των μικρών παιδιών, όσον αφορά στην αντιστοίχηση των στοιχείων του προβλήματος με το ζητούμενο για επίλυση, μας οδηγεί στην ιδιαίτερη ανάλυση αυτής της στρατηγικής. Επίσης, η σύνδεση των εικονικών αναπαραστάσεων με την κατασκευή νοητικών σχημάτων, απαραίτητων για τη μεταφορά της γνώσης (Brown 1989, Goswami 1996, Marzolf & De Loache 1994, Ross 1989 [σε] Πιττάλη, Χρίστου, Φιλίππου, 2001) και ο ρόλος τους στη προσωπική νοηματοδότηση του αριθμού (Granemeijer, 1977, Siegler 1987), είναι ενδεικτική της σπουδαιότητας της ανάλυσης αυτής της στρατηγικής. Οι εικονικές αναπαραστάσεις συνδέονται με την επίλυση πρότυπων προβλημάτων, την αξιολόγηση της δυνατότητας αντιστοιχίας των πεδίων μιας αναλογίας, την αντιστοίχηση των στοιχείων ανάμεσα στο πρότυπο πρόβλημα και στο ζητούμενο προς επίλυση Η χρήση Εικονικών αναπαραστάσεων αν και εμφανίζεται περιορισμένη σε όλους τους τύπους προβλημάτων (πίνακας 6.), κυρίως στα προβλήματα Μεταβολής, Αύξησης και Ελάττωσης (6,7%, Ν=2 και στις δυο κατευθύνσεις), διπλασιάζεται στα προβλήματα Σύνθεσης, τα οποία είναι μεγαλύτερου βαθμού δυσκολίας (13,3 %, Ν=4). Τα συγκεκριμένα σχήματα αφορούν δυο κατηγορίες: α) τη συμβολική αναπαράσταση, κατά την οποία το πρόβλημα αναπαρίσταται με σύμβολα (αριθμούς, γράμματα και ψευδογράμματα, ένα παιδί χρησιμοποιεί το συρραπτικό μηχάνημα) που αποτυπώνουν το πλήθος των στοιχείων του προβλήματος ή τους αριθμούς ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 50 *

55 που αναφέρονται στο πρόβλημα (σε προβλήματα Αύξησης εικονίζονται οι αριθμοί, σε προβλήματα Σύνθεσης εικονίζεται τα πλήθος των στοιχείων) β) την εικονική αναπαράσταση, κατά την οποία αποτυπώνονται τα ίδια τα αντικείμενα που αφορούν τα στοιχεία του προβλήματος και το πλήθος τους. Ωστόσο, τα παιδιά καθοδηγούνται από την πράξη του προβλήματος. Συγκεκριμένα στην πρόσθεση, μερικές παραστάσεις απεικονίζουν τους δυο προσθετέους σε απόσταση μεταξύ τους (Σύνθεσης) όπως και από το πλήθος του αθροίσματος, (Χαραλάμπους Χ., 2001). Σε πράξεις αφαίρεσης (Ελάττωσης) εικονίζεται μόνο το σύνολο του πλήθους των στοιχείων, χωρίς να δηλώνεται η πράξη. Στην περίπτωση αυτή οι εικονικές αναπαραστάσεις σχετίζονται με τη χρήση Λεκτικών στρατηγικών και συγκεκριμένα της μέτρησης όλων, σε όλους τους τύπους προβλημάτων (Παράρτημα 3). Χρήση Εικονικών Αναπαραστάσεων στα Λεκτικά προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Ναι Όχι Αύξησης 2 28 Ελάττωσης 2 28 Σύνθεσης 4 26 Πίνακας 6. Χρήση Εικονικών Αναπαραστάσεων Λεκτικών Προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Ενίσχυση από τον ερευνητή : η αποτυχημένη επίλυση των προβλημάτων με τη χρήσης Νοητικών στρατηγικών, οδήγησε στην επέμβαση του ερευνητή και ενίσχυση του μαθητή για προσπάθεια επίλυσης του προβλήματος με τη χρήση υλικών στρατηγικών (κύβους, εικονικές αναπαραστάσεις ή ό, τι άλλο νομίζει ότι μπορεί να χρειαστεί κατά τη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος). Τα περισσότερα παιδιά προτιμούν τα αντικείμενα (κύβοι) και λιγότερα τα εικονικά σχέδια και τα δάχτυλά τους. Με αυτόν τον τρόπο, διαπιστώνουμε τη διαμόρφωση συνδυαστικών στρατηγικών, οι οποίες κυρίως σχετίζονται με τη χρήση ή μη υλικού, αιτία για την ύπαρξη ανάμεικτων στρατηγικών των παιδιών (Carpenter et al, 1992 [σε] Τζεκάκη, 2007). Οι μικτές αυτές στρατηγικές διαμορφώνονται ως εξής : Α) Νοητικές και Λεκτικές Στρατηγικές (πίνακες 5.1 και 5.2). Β) Νοητικές και Υλικές Στρατηγικές (πίνακες 5.1 και 5.3). Η επιλογή Υλικών και Λεκτικών στρατηγικών είναι ανεξάρτητη από τη σημασιολογική δομή του προβλήματος, συνδέεται όμως με τη πράξη της αφαίρεσης, καθώς ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 51 *

56 χρησιμοποιείται περισσότερο στα προβλήματα Αλλαγής - Ελάττωσης, στα οποία παρατηρείται μεγαλύτερη χρήση Νοητικών στρατηγικών και κυρίως η Ανάκληση αριθμών, με την οποία συνδέεται η ανεπιτυχής επίλυση του προβλήματος. Από τις υλικές στρατηγικές, τα περισσότερα παιδιά επιλέγουν τα δάχτυλά τους για να λύσουν το πρόβλημα (20%, Ν=6) και από τις Λεκτικές τη Μέτρηση όλων. Στα προβλήματα Αύξησης όταν τα παιδιά χρησιμοποιούν τη Μέτρηση Όλων (x 2 = 16,279, df =1, p = 0,000) με τη χρήση των Δακτύλων (x 2 = 13,032, df =1, p = 0,000) δε χρησιμοποιούν την Ανάκληση Αριθμών. Στα προβλήματα Ελάττωσης, όσα νήπια χρησιμοποιούν αντικείμενα (x 2 = 11,250, df =1, p = 0,001) και δάχτυλα (x 2 = 3,758, df =1, p = 0,053) τα μετρούν όλα, ενώ αποφεύγουν να λύσουν το πρόβλημα ανακαλώντας αριθμούς (x 2 = 18,802, df =1, p = 0,000). Στα προβλήματα Σύνθεσης, όσα παιδιά κάνουν χρήση της «μέτρησης όλων» (x 2 = 19,027, df =1, p = 0,000) δεν ανακαλούν αριθμούς. Γ) Λεκτικές και Υλικές στρατηγικές, οι οποίες δεν αφορούν την ενίσχυση του ερευνητή, αλλά χρησιμοποιούνται αυθόρμητα από τα παιδιά. Συνήθως οι Λεκτικές στρατηγικές συνοδεύουν τις Υλικές (πίνακες 5.2 και 5.3). Από τους παραπάνω συνδυασμούς προκύπτει ότι, στα προβλήματα Αύξησης, όσοι χρησιμοποιούν δάχτυλα, τα μετρούν όλα (x 2 = 9,355, df =1, p = 0,002). Ο συνδυασμός της μέτρησης όλων των αντικειμένων χρησιμοποιείται περισσότερο από τις άλλες Λεκτικές και Υλικές στρατηγικές (Ν=6, 20%). Όταν τα νήπια ανακαλούν αριθμούς αποφεύγουν τη λεκτική περιγραφή των ιδεών τους (x 2 = 4,138, df =1, p = 0,042). Επίσης, αυτοί που επιλύουν με μια ματιά, χρησιμοποιούν τα δάχτυλά τους (x 2 = 3,399, df =1, p = 0,065). Στα προβλήματα Σύνθεσης, όσοι χρησιμοποιούν δάχτυλα, επιλύουν οπτικά το πρόβλημα (x 2 = 6,667, df =1, p = 0,010). Ωστόσο, υπάρχουν και συνδυασμοί που προκύπτουν ανάμεσα στις Υλικές στρατηγικές. Συγκεκριμένα, ένα παιδί χρησιμοποιεί στα προβλήματα Σύνθεσης, αντικείμενα, επειδή δε μπορεί με τα δάχτυλα να καταλήξει σε αποτέλεσμα. Παρόλο που παρατηρείται δυσκολία στην συστηματοποίηση των διαδικασιών λύσης και στρατηγικών που επιλέγουν τα παιδιά, καθώς αυτές διαφέρουν κάθε φορά, στη συγκεκριμένη έρευνα, επιχειρήθηκε να ταξινομηθούν τα σχέδια επίλυσης που δημιούργησαν. Από τους συγκεκριμένους συνδυασμούς προκύπτουν τα παρακάτω σχέδια, τα οποία συνδέονται όχι τόσο με τη σημασιολογική δομή του προβλήματος, όσο με την πράξη. Συγκεκριμένα: 1. τοποθέτηση στη σειρά ένα προς ένα του πλήθους των αντικειμένων του συνόλου και αφαίρεση του πλήθους του αφαιρετέου μετρώντας ένα προς ένα. Μέτρηση όλων όσων έμειναν (Μεταβολής Ελάττωσης). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 52 *

57 2. η ίδια διαδικασία, αλλά ο υπολογισμός γίνεται με μια ματιά. 3. τοποθέτηση ένα προς ένα σε μια σειρά το πλήθος του 1 ου προσθετέου, το ίδιο σε άλλη σειρά για το 2 ο προσθετέο και μέτρηση όλων των αντικειμένων (Σύνθεσης) 4. ίδια διαδικασία, αλλά υπολογίζεται το άθροισμα με μια ματιά (Σύνθεσης). 5. μέτρηση δακτύλων, ένα προς ένα, του πλήθους των δυο προσθετέων ξεχωριστά και στη συνέχεια όλων μαζί (Μεταβολής Αύξησης) 6. νοερή μέτρηση δακτύλων ένα προς ένα, του πλήθους των δυο προσθετέων ξεχωριστά και υπολογισμός του συνόλου με μια ματιά, κρατώντας κλειστά τα δάχτυλα (Μεταβολής Αύξησης) 7. νοερή μέτρηση δακτύλων ένα προς ένα και αφαίρεση οπτικά (με μια ματιά) του πλήθους του αφαιρετέου (Μεταβολής Ελάττωσης). 8. ίδια διαδικασία και υπολογισμός υπολοίπου με μέτρηση όλων ένα προς ένα (Μεταβολής Ελάττωσης) Αφηγηματικά Προβλήματα Επίλυση προβλήματος Από την επεξεργασία των δεδομένων της παρουσίασης προβλημάτων μέσα από την αφήγηση μαθηματικών ιστοριών, προέκυψε ότι οι επιδόσεις των μαθητών συνδέονται με την πράξη και όχι με τη σημασιολογική δομή ή το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος. Συγκεκριμένα, τα νήπια εμφανίζουν μεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας στα προβλήματα Αύξησης και Σύνθεσης (80%, Ν=24), τα οποία είναι προβλήματα πρόσθεσης, τα οποία μειώνονται στα προβλήματα Ελάττωσης (43,3%, Ν=13). Ένα ποσοστό παιδιών εμφανίζει δυσκολίες επίλυσης, σε όλους τους τύπους προβλημάτων, (20% στα Αύξησης, 33,3% στα Ελάττωσης και 16,7% στα Σύνθεσης) και ένα παιδί (3,3%) δε λύνει καθόλου το πρόβλημα Σύνθεσης (πίνακας 7). ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Προβλήματα Αύξησης Προβλήματα Ελάττωσης Προβλήματα Σύνθεσης Σωστά Λάθος Πίνακας7. Επίλυση Αφηγηματικών Προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 53 *

58 Χρόνος Επίλυσης προβλήματος: Τα περισσότερα παιδιά, όπως φαίνεται στον πίνακα 8, επιλύουν τα προβλήματα σε διάστημα 1 2 λεπτά, σε όλους τους τύπους προβλημάτων (Αλλαγής Αύξησης 56,7%, Αλλαγής - Ελάττωσης και Σύνθεσης 23,3% αντίστοιχα) και τα λιγότερα στο χρονικό διάστημα από 3 5 λεπτά (Μεταβολής - Αύξησης 6,7%, Μεταβολής Ελάττωσης και Σύνθεσης 10%). Παρατηρούμε ωστόσο, ότι ο χρόνος είναι ανεξάρτητος από το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος, καθώς τα παιδιά χρειάζονται περισσότερο χρόνο για να λύσουν προβλήματα Μεταβολής Αύξησης (M=1,7, SD=0,596) και λιγότερο για προβλήματα Μεταβολής Ελάττωσης και Σύνθεσης (M=1,67, SD=0,661). Τέλος παρόλο που ο χρόνος επίλυσης του προβλήματος είναι ανεξάρτητος από τη στρατηγική που χρησιμοποιείται, η χρήση στρατηγικών, όπως η Νοερή Μέτρηση σε προβλήματα μείωσης (x 2 = 8,207, df =1, p = 0,017) ή οι εικονικές αναπαραστάσεις σε προβλήματα Σύνθεσης (x 2 = 30,000, df =2, p = 0,000) απαιτούν περισσότερο χρόνο, ενώ η μέτρηση όλων σε προβλήματα μείωσης απαιτεί 1 2 λεπτά (x 2 =5,959, df =2, p = 0,051). ΧΡΟΝΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Χρόνος Μεταβολής Μεταβολής Σύνθεσης Επίλυσης Αύξησης Ελάττωσης < >5 Πίνακας 8. Χρόνος Επίλυσης Αφηγηματικών προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Εκδήλωση ενδιαφέροντος Εμπλοκή Νηπίων Στα προβλήματα αφήγησης ιστορίας, διατηρείται υψηλό το ενδιαφέρον των νηπίων και η εμπλοκή τους σε αυτές. Συγκεκριμένα, όπως φαίνεται στον πίνακα 9, μεγαλύτερη συμμετοχή (Ν=30), εμφανίζουν τα νήπια στα προβλήματα Μεταβολής - Μείωσης και Σύνθεσης σε όλη τη διάρκεια αφήγησης της ιστορίας. Η εκδήλωση αφαίρεσης προσοχής στα προβλήματα Σύνθεσης (23,35%), δε συνδέεται με την εμπλοκή και το ενδιαφέρον του νηπίου, καθώς είναι αποσπασματική και οφείλεται σε εξωτερικούς παράγοντες. Για παράδειγμα, πολλά παιδιά, ενώ συμμετέχουν και απαντούν σε ερωτήματα που θέτει ο ερευνητής μέσω της ιστορίας, εκφέροντας τις δικές τους απόψεις, αποσπάται η προσοχή τους ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 54 *

59 από διερχόμενα παιδιά. Στα προβλήματα Μεταβολής - Αύξησης, η συμμετοχή των νηπίων και η εμπλοκή τους με ερωτήσεις, σχόλια και απόψεις είναι χαμηλότερη (96,7% και 83,3% αντίστοιχα). Αυτό προκύπτει επειδή ένα μικρό ποσοστό παιδιών, ενώ ακούει την ιστορία και συμμετέχει, δεν εκδηλώνει περιέργεια για την ιστορία με ερωτήσεις ή σχόλια. Μεγαλύτερη αφαίρεση προσοχής εμφανίζεται στα προβλήματα Σύνθεσης (76,7%). ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Εκδήλωση Μεταβολής Μεταβολής Σύνθεσης Ενδιαφέροντος Αύξησης Ελάττωσης Συμμετοχή Ερωτήσεις / Περιέργεια Προσεκτική Παρακολούθηση Πίνακας 9. Εκδήλωση Ενδιαφέροντος Αφηγηματικών Προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Αντίληψη Στοιχείων Από την ανάλυση των αποτελεσμάτων προέκυψε ότι, η πλειονότητα των παιδιών αντιλαμβάνεται τα στοιχεία του προβλήματος. Η Ανάκληση Λεκτικών πληροφοριών συνδέεται με τη δυσκολία του προβλήματος, καθώς στα προβλήματα Μεταβολής (Αύξησης και Ελάττωσης), 80% (Ν=24) των μαθητών θυμάται τις Λεκτικές πληροφορίες του προβλήματος. Αντίθετα, στα προβλήματα Σύνθεσης παρατηρείται μικρή μείωση του αριθμού (76,7% Ν=23). Θα πρέπει ωστόσο, να ληφθεί υπόψη η κούραση των παιδιών, αφού το πρόβλημα Σύνθεσης, είναι το τελευταίο πρόβλημα. Σε αντίθεση, η Ανάκληση Αριθμητικών πληροφοριών και η Κατανόηση του στόχου είναι ανεξάρτητες από την αυξανόμενη δυσκολία των προβλημάτων, αφού 70% (Ν=21) των νηπίων θυμάται τους αριθμούς στα προβλήματα Αύξησης, και 63,3% (Ν=19) στα Σύνθεσης, ενώ στα προβλήματα Ελάττωσης παρατηρείται μείωση του αριθμού των παιδιών που ανακαλεί τα στοιχεία του προβλήματος (50% Ν=15). Στα προβλήματα Ελάττωσης, τα μισά παιδιά (50%), που θυμούνται τις Λεκτικές πληροφορίες, θυμούνται και τους αριθμούς (x 2 =7,500, df =1, p = 0,006). Είναι σημαντικό να αναφερθεί ότι, αρχικά ένα ποσοστό παιδιών θυμάται μόνο τον ένα από τους δυο αριθμούς, συνήθως τους μικρούς αριθμούς, ή από τους διπλούς τον πρώτο αριθμό, ο οποίος επαναλαμβάνεται μέσα από ένα ποίημα. Στη συνέχεια, ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 55 *

60 μετά από επανάληψη των λεκτικών και αριθμητικών πληροφοριών κατά τη διάρκεια τη αφήγησης της ιστορίας, τα περισσότερα νήπια καταφέρνουν να τους θυμηθούν. Η κατανόηση του στόχου συνδέεται με το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος και την αριθμητική πράξη. Τα παιδιά κατανοούν το στόχο περισσότερο στα προβλήματα Αλλαγής - Αύξησης (93,3%, Ν=28) και λιγότερο στα προβλήματα Αλλαγής Μείωσης (80%, Ν=24), γεγονός που γίνεται αντιληπτό από την επιλογή της πράξης που κάνει και από το αποτέλεσμα. Στα προβλήματα Σύνθεσης, 73,3% (Ν=22) των παιδιών που θυμάται λεκτικές πληροφορίες, κατανοεί το στόχο (x 2 =6,887, df =1, p = 0,009), ενώ υπάρχουν παιδιά που κατανοούν το στόχο χωρίς να θυμούνται τις λεκτικές (13,3%) ή τις αριθμητικές (26,7%) πληροφορίες. ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Προβλήματα Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Ανάκληση Λεκτικών Πληροφοριών Ανάκληση Αριθμητικών Πληροφοριών Κατανόηση Στόχου Πίνακας 10. Κατανόηση Δεδομένων Αφηγηματικών Προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Χρήση στρατηγικών Από τις Νοητικές Στρατηγικές, πρώτη επιλογή των παιδιών είναι η Ανάκληση αριθμών, κυρίως στα προβλήματα Μείωσης - Ελάττωσης (66,7%, Ν=20) και δεύτερη η Νοερή Μέτρηση, η οποία χρησιμοποιείται από λιγότερα παιδιά για την επίλυση προβλημάτων Σύνθεσης (10%, Ν=3). Η χρήση της Ανάκλησης αριθμών εμφανίζεται περιορισμένη σε προβλήματα διαφορετικής σημασιολογικής δομής, τα οποία όμως έχουν κοινή αριθμητική πράξη, την πρόσθεση, καθώς χρησιμοποιείται από μικρό ποσοστό παιδιών (Μεταβολής Αύξηση 23,3% και Σύνθεση 13,3%). Τα παιδιά που χρησιμοποιούν Νοερή μέτρηση για να λύσουν τα προβλήματα, περισσότερο την επιλέγουν σε προβλήματα Αλλαγής Αύξησης (20%, Ν=6) και τη συνδυάζουν με υλικές και λεκτικές στρατηγικές. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 56 *

61 Όσα δεν λύνουν σωστά το πρόβλημα με την Ανάκλησης αριθμών, χρησιμοποιούν Υλικές και Λεκτικές στρατηγικές με ενίσχυση του ερευνητή, ενώ η χρήση της Νοερής μέτρησης, πραγματοποιείται αυθόρμητα από τα παιδιά (πίνακας 11.1). Χρήση Νοητικών στρατηγικών στα Αφηγηματικά προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Νοητικές Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Α Ε Σ Συνδυασμοί Ανάκληση αριθμών Λεκτικές Υλικές Νοερή Μέτρηση Λεκτικές Υλικές Πίνακας 11.1 Χρήση Νοητικών Στρατηγικών στα Αφηγηματικά Προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Εξετάζοντας τις Λεκτικές Στρατηγικές, παρατηρούμε ότι τα περισσότερα νήπια επιλύουν όλους τους τύπους προβλημάτων με τη «μέτρηση όλων», η χρήση της οποίας είναι ανεξάρτητη από το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος και την αριθμητική πράξη. Συγκεκριμένα, εμφανίζει μεγαλύτερη συχνότητα χρήσης στα προβλήματα Σύνθεσης, και μικρότερη στα προβλήματα Ελάττωσης, στα οποία έχουμε αυξημένη χρήση της Νοερής Ανάκλησης (Αλλαγής Αύξησης 83,3%, Ελάττωσης 53,3% και Σύνθεσης 90%). Επίσης, συνδέεται με την ένα προς ένα αντιστοίχηση, η οποία αποτελεί στρατηγική μέτρησης για την επίλυση προβλημάτων. Στα προβλήματα Ελάττωσης, σημειώνεται η στρατηγική της οπτικής μέτρησης (10%, Ν=3) και της μέτρησης από τον 1 ο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα (10%, Ν=3). Το γεγονός αυτό αποτελεί ένδειξη ότι τα παιδιά συνειδητοποιούν τη μη αναγκαιότητα της μέτρησης όλων των στοιχείων ενός συνόλου (πίνακας 11.2). Χρήση Λεκτικών στρατηγικών στα Αφηγηματικά προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Λεκτικές Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Α Ε Σ Συνδυασμοί Επίλυση με μια Νοητικές ματιά Υλικές Μέτρηση όλων Νοητικές Υλικές Μέτρηση από 1 ο αρ Νοητικές Υλικές Μέτρηση από μεγ Υλικές αρ. Μέθοδος δοκιμής - λάθους Πίνακας 11.2 Χρήση Λεκτικών Στρατηγικών στα Αφηγηματικά Προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 57 *

62 Παρατηρούμε επίσης, ότι ως προς τη χρήση Υλικών στρατηγικών, τα περισσότερα παιδιά χρησιμοποιούν αντικείμενα για να λύσουν τα προβλήματα (70%, Ν=21), ιδιαίτερα τα Μεταβολής - Αύξησης, όπως υποστηρίζεται και βιβλιογραφικά. Μειωμένος είναι ο αριθμός των παιδιών που επιλέγουν να μετρήσουν με τα δάχτυλα.. Διαπιστώνουμε ότι, η επιλογή των αντικειμένων είναι ανεξάρτητη από το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος, αλλά συνδέεται με την αριθμητική πράξη, αφού χρησιμοποιείται κυρίως σε προβλήματα Μεταβολής - Αύξησης και Σύνθεσης (70% και 76,7% αντίστοιχα). Λιγότερα παιδιά χρησιμοποιούν υλικές στρατηγικές στα προβλήματα Ελάττωσης και από αυτές περισσότερο επιλέγουν τα αντικείμενα(56,7%). Επιπλέον, η χρήση αντικειμένων φανερώνει την ικανότητα των παιδιών να αντιλαμβάνονται τη σημασιολογική δομή του προβλήματος, από τον τρόπο που τα τοποθετούν όταν πρόκειται να τα μετρήσουν (αναλύεται στους συνδυασμούς). Από τα παιδιά που επιλέγουν να χρησιμοποιήσουν δάχτυλα, τα περισσότερα λύνουν προβλήματα Σύνθεσης (23,3%), ενώ ένα μικρό ποσοστό (10%) προτιμά να λύσει προβλήματα Αλλαγής, αύξησης και μείωσης. Παράλληλα, συνδυάζουν όλες τις υλικές στρατηγικές περιγράφοντας λεκτικά τις ιδέες τους για την επίλυση του προβλήματος, περισσότερο όμως στα προβλήματα Αύξησης (86,7%, Ν=26) και λιγότερο στα προβλήματα Σύνθεσης (60%, Ν=18). (πίνακας 11.3). Χρήση Υλικών στρατηγικών στα Αφηγηματικά προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Υλικές Αντικείμενα Νοητικές Λεκτικές Δάχτυλα Νοητικές Λεκτικές Περιγραφή με λόγο Νοητικές Λεκτικές Πίνακας 11.3 Χρήση Υλικών Στρατηγικών στα Αφηγηματικά Προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) *στον πίνακα δε συμπεριλαμβάνονται οι Συνδυασμοί των Εικονικών Αναπαραστάσεων Όσον αφορά στις εικονικές αναπαραστάσεις, από τη μελέτη των αποτελεσμάτων, προκύπτει ότι τα παιδιά τις χρησιμοποιούν σε μικρότερο βαθμό από τις άλλες υλικές στρατηγικές. Η επιλογή τους γίνεται σύμφωνα με την πράξη του προβλήματος (πρόσθεση και αφαίρεση) και όχι με βάση το βαθμό δυσκολίας του (πίνακας 12.). Συγκεκριμένα, τα ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 58 *

63 περισσότερα νήπια χρησιμοποιούν εικονικά σχέδια στα προβλήματα Μεταβολής - Αύξησης και Σύνθεσης (10%, Ν=3 και στους δυο τύπους προβλημάτων), ενώ λιγότερα στο πρόβλημα Μεταβολής - Μείωσης (6,7%, Ν=2) Τα σχήματα αποτυπώνουν εικονικά τα αντικείμενα που αφορούν τα αριθμητικά δεδομένα του προβλήματος, όπως 3 και 2 κλειδιά, 3 κολιέ και 6 κοκαλάκια για τα μαλλιά της κόρης του ψαρά, 8 κούπες του γίγαντα. Επίσης, διαπιστώνουμε ότι τα σχέδιά τους αποτυπώνουν την έλλειψη ικανότητα να αντιλαμβάνονται τη σημασιολογική δομή του προβλήματος και δε διαφέρουν από αυτά των λεκτικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα, τα παιδιά καθοδηγούνται από τη πράξη του προβλήματος (πρόσθεση και αφαίρεση), καθώς κάποιες παραστάσεις απεικονίζουν τους δυο προσθετέους με διαφορετική απεικόνιση στην ίδια σειρά ή πάνω κάτω και από το πλήθος του αθροίσματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι η πράξη της αφαίρεσης, επειδή αναφέρεται σε διπλούς αριθμούς διευκολύνει την απεικόνιση των σχεδίων σε δυο τετράδες (Παράρτημα 3.). Επίσης, οι στρατηγικές επίλυσης δε διαφέρουν από αυτές των Λεκτικών προβλημάτων, προστίθενται όμως ο υπολογισμός του αθροίσματος με τη μέτρηση όλων των αντικειμένων (Μεταβολής Αύξησης), με τη μέτρηση από τον πρώτο αριθμό (Σύνθεσης) και με τη μέτρηση από το μεγαλύτερο αριθμό (Σύνθεσης). Χρήση Εικονικών Αναπαραστάσεων στα Αφηγηματικά προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Ναι Όχι Αύξησης 3 27 Ελάττωσης 2 28 Σύνθεσης 3 27 Πίνακας 12. Χρήση Εικονικών Αναπαραστάσεων στα Αφηγηματικά Προβλήματα σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Ενίσχυση από τον ερευνητή : μετά από αποτυχημένη προσπάθεια του μαθητή να λύσει το πρόβλημα Ανακαλώντας νοερά αριθμούς, παρεμβαίνει ερευνητής και τον ενισχύει να δοκιμάσει όποια μέσα τον εξυπηρετούν προκειμένου να λύσει το πρόβλημα. Οι συνδυασμοί που προκύπτουν αφορούν δυο κατηγορίες: Α) Νοητικές και Λεκτικές Στρατηγικές (πίνακες 11.1 και 11.2). Β) Νοητικές και Υλικές Στρατηγικές (πίνακες 11.1 και 11.3). Όσον αφορά στις Νοητικές στρατηγικές τα περισσότερα παιδιά χρησιμοποιούν Ανάκληση αριθμών και τις συνδυάζουν με Υλικές στρατηγικές, ιδιαίτερα αντικείμενα, σε ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 59 *

64 όλους τους τύπους προβλημάτων (Μ.Ο.=13,3%). Ακολουθούν οι εικονικές αναπαραστάσεις (6,7%, Ν=2) και η χρήση δακτύλων (3,3%, Ν=1). Οι υλικές στρατηγικές συνήθως συνοδεύονται από Λεκτικές στρατηγικές και συγκεκριμένα τη Μέτρηση όλων (Μ.Ο.: 21,11%). Όταν παιδιά λύνουν ένα πρόβλημα Αλλαγής - Μείωσης ανακαλώντας αριθμούς νοερά, αποφεύγουν να μετρήσουν από τον 1 ο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα (x 2 =6,667, df =1, p = 0,010). Οι παραπάνω συνδυασμοί φαίνονται να χρησιμοποιούνται περισσότερο σε προβλήματα Μεταβολής Μείωσης, λόγω της αυξημένης χρήσης Νοητικών στρατηγικών σε προβλήματα αυτού του τύπου. Η Νοερή μέτρηση γίνεται αυθόρμητα από τα παιδιά και όχι με παρέμβαση του ερευνητή. Είναι σημαντικό ότι τα παιδιά που λύνουν προβλήματα Μεταβολής Αύξησης με Νοερή Μέτρηση, χρησιμοποιούν δάχτυλα (x 2 =4,537, df =1, p = 0,033) ξοδεύοντας όμως, περισσότερο χρόνο για να βρουν τη λύση. Αντίθετα στα προβλήματα Σύνθεσης μετρούν από τον 1 ο αριθμό (x 2 =3,810, df =1, p = 0,051). Μεγαλύτερη συχνότητα χρήσης εμφανίζεται σε προβλήματα μικρής δυσκολίας, αλλά οι συνδυασμοί με Λεκτικές και Υλικές στρατηγικές δε φαίνεται να έχει σχέση με τη σημασιολογική δομή ή με αριθμητική πράξη του προβλήματος (πίνακας 11.1). Γ) Λεκτικές και Υλικές στρατηγικές (πίνακες 11.2 και 11.3). Η τρίτη κατηγορία συνδυασμών προκύπτει από τις αυθόρμητες επιλογές των παιδιών και δε συνδέονται με το βαθμό δυσκολίας και τη δομή του προβλήματος, αλλά με την πράξη και εμφανίζουν μικρότερη χρήση σε προβλήματα Αλλαγής- Ελάττωσης. Από την ανάλυση των συνδυασμών προέκυψε ότι, στα προβλήματα Αύξησης, όταν τα νήπια χρησιμοποιούν αντικείμενα για να λύσουν το πρόβλημα, τα μετρούν όλα (x 2 =7,143, df =1, p = 0,008), αλλά χρειάζονται περισσότερο χρόνο για να λύσουν το πρόβλημα. Στα προβλήματα Ελάττωσης, όσα παιδιά χρησιμοποιούν αντικείμενα, τα μετρούν όλα (x 2 = 4,693, df =1, p = 0,030) και περιγράφουν με λόγια τις απόψεις τους για τη λύση του προβλήματος (x 2 =7,989, df =1, p = 0,005), ενώ όταν μετρούν τα δάχτυλά τους, επιλύουν οπτικά το πρόβλημα (x 2 =11,893, df =1, p = 0,001), αλλά η μέτρηση απαιτεί περισσότερο χρόνο. Από τους παραπάνω συνδυασμούς προκύπτουν τα σχέδια επίλυσης που χρησιμοποίησαν τα παιδιά για να λύσουν Αφηγηματικά προβλήματα, τα οποία δε διαφέρουν από αυτά που χρησιμοποιήθηκαν στα Λεκτικά προβλήματα, προστέθηκαν όμως και επιπλέον σχέδια επίλυσης. Συγκεκριμένα: 1. τοποθέτηση αντικειμένων ένα προς ένα στη σειρά, μετρώντας το πλήθος του 1 ου προσθετέου και στη συνέχεια επανάληψη της διαδικασίας για το 2 ο προσθετέο. Μέτρηση ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 60 *

65 όλων από την αρχή (Μεταβολής Αύξησης). Η πλειονότητα των παιδιών χρησιμοποιεί το συγκεκριμένο σχέδιο. 2. η ίδια διαδικασία, αλλά ο υπολογισμός γίνεται με μια ματιά (Μεταβολής Αύξησης). 3. τοποθέτηση στη σειρά ένα προς ένα του πλήθους των αντικειμένων του συνόλου και αφαίρεση του πλήθους του αφαιρετέου μετρώντας από τον 1 ο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα. (Μεταβολής Ελάττωσης). 4. η τοποθέτηση ένα προς ένα σε μια σειρά το πλήθος του 1 ου προσθετέου, το ίδιο σε άλλη σειρά για το 2 ο προσθετέο και μέτρηση των αντικειμένων από τον πρώτο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα (Σύνθεσης) 5. μέτρηση δακτύλων του ενός χεριού ένα προς ένα και του άλλου χεριού και μέτρηση όλων μαζί από την αρχή (Σύνθεση). 6. ίδια διαδικασία, αλλά ο υπολογισμός του αθροίσματος γίνεται μετρώντας από τον πρώτο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα (Σύνθεση). 7. ίδια διαδικασία αλλά ο υπολογισμός του αθροίσματος γίνεται μετρώντας από το μεγαλύτερο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα (Σύνθεση). Ένα μικρό ποσοστό παιδιών (3,3% Αύξησης και 3,3% Σύνθεσης), μετρά δάχτυλα με το ένα χέρι και επειδή δε μπορεί να μετρήσει νοερά, μπερδεύεται και τελικά επιλέγει αντικείμενα Σύγκριση Λεκτικών Αφηγηματικών Προβλημάτων Η υπόθεση της έρευνας εξετάζει τη βελτίωση της ικανότητας των παιδιών να λύνουν προβλήματα. Για το λόγο αυτό προβαίνουμε στη σύγκριση ανάμεσα στις δυο προσεγγίσεις παρουσίασης μαθηματικών προβλημάτων, στους τομείς που εξετάστηκαν χωριστά. Επίλυση προβλήματος Η σύγκριση ανάμεσα στις δυο προσεγγίσεις φανερώνει βελτίωση στις επιδόσεις των νηπίων στα προβλήματα Μεταβολής Αύξησης (40%, Ν=12) και στα Σύνθεσης(46,7%, Ν=14). Στα προβλήματα Ελάττωσης η βελτίωση είναι περιορισμένη (6,7%, Ν=2). Οι επιδόσεις των μαθητών συνδέονται με την πράξη του προβλήματος και όχι με το βαθμό δυσκολίας του, καθώς μεγαλύτερη βελτίωση παρουσιάζεται σε προβλήματα Πρόσθεσης και μικρότερη σε προβλήματα Αφαίρεσης (πίνακας 12). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 61 *

66 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Προβλήματα Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Λεκτικά Αφηγηματικά Πίνακας 12. Σύγκριση σωστών λύσεων Λεκτικών - Αφηγηματικών Προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Λεκιτκά Αφηγηματικά Γράφημα 1. Επιδόσεις μαθητών σε Λεκτικά και Αφηγηματικά προβλήματα (%) Χρόνος Επίλυσης προβλήματος: Ο έλεγχος για τη σύγκριση του χρόνου στις δυο παρουσιάσεις μαθηματικών προβλημάτων, στοχεύει στην εξέταση της υπόθεσής μας για αύξηση του χρόνου ανάλογα με τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά και το βαθμό δυσκολίας των προβλημάτων. Παρατηρούμε ότι τα νήπια χρειάστηκαν περισσότερο χρόνο (χρονικό διάστημα 1 2 λεπτών) για να λύσουν προβλήματα Μεταβολής Αύξησης, στα Αφηγηματικά προβλήματα (Μ= 1,70, SD=0,596) και λιγότερο χρόνο (λιγότερο από 1 λεπτό) στα Λεκτικά, προβλήματα Αύξησης (Μ= 1,13, SD=0,346), στα οποία παρατηρείται και η μεγαλύτερη απόκλιση (t= - 4,958, df=29, p=,000). Η μικρότερη διαφορά χρόνου εμφανίζεται στα προβλήματα Μεταβολής Ελάττωσης, στα οποία όμως εκδηλώνεται αυξημένη χρήση Νοητικών στρατηγικών επίλυσης. Ωστόσο, η αύξηση του χρόνου επίλυσης των Αφηγηματικών προβλημάτων δε συνδέεται με τη δομή του προβλήματος, το βαθμό δυσκολίας ή την αριθμητική πράξη, αφού τα Αφηγηματικά προβλήματα Μεταβολής - Ελάττωσης και Σύνθεσης εμφανίζουν τον ίδιο χρόνο επίλυσης από ίσο αριθμό παιδιών(μ= 1,67, SD=0,661) και συνδέεται με τη στρατηγική επίλυσης, καθώς παρατηρούμε ότι η χρήση της νοερής Ανάκλησης αριθμών απαιτεί το μικρότερο δυνατό χρόνο (πίνακας 13, διάγραμμα 2). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 62 *

67 ΧΡΟΝΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Χρόνος Μεταβολής - Μεταβολής Σύνθεσης Επίλυσης Αύξησης Ελάττωσης Λ. Αφ. Λ. Αφ. Λ. Αφ. < >5 1 1 Πίνακας13. Σύγκριση Χρόνου Επίλυσης Λεκτικών - Αφηγηματικών προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Λ. Αφ. Λ. Αφ. Λ. Αφ. < Μαϊ >5 Μεταβολής - Αύξησης Μεταβολής Ελάττωσης Σύνθεσης Γράφημα 2. Σύγκριση Χρόνου Επίλυσης Λεκτικών - Αφηγηματικών προβλημάτων ( %) Εκδήλωση ενδιαφέροντος Εμπλοκή Νηπίων Στα Προβλήματα Αφήγησης Ιστοριών τα περισσότερα παιδιά εμπλέκονται ενεργά στην αφήγηση, γεγονός που προκαλεί σχόλια, εκφράσεις απορίας ή αγωνίας και ερωτήσεις από τα παιδιά. Αντίθετα, στα Λεκτικά προβλήματα δεν εμφανίζεται εμπλοκή των νηπίων σε κανένα τύπο προβλημάτων. Η συμμετοχή παραμένει σε υψηλά επίπεδα σε όλους τους τύπους των προβλημάτων, αλλά η προσεκτική παρακολούθηση εμφανίζεται μειωμένη, κυρίως στα προβλήματα Σύνθεσης, η οποία οφείλεται σε εξωτερικούς κυρίως παράγοντες (φασαρία από άλλα νήπια, διερχόμενα παιδιά ή κούραση των νηπίων). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 63 *

68 ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Εκδήλωση Ενδιαφέροντος Μεταβολής Αύξησης Μεταβολής Ελάττωσης Σύνθεσης Λ Αφ. Λ Αφ. Λ Αφ. Συμμετοχή Ερωτήσεις / Περιέργεια Προσεκτική Παρακολούθηση Πίνακας 14. Σύγκριση Εκδήλωσης Ενδιαφέροντος Λεκτικών - Αφηγηματικών Προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Αντίληψη Στοιχείων Η σύγκριση για την Κατανόηση των Δεδομένων, φανερώνει διαφορές ανάμεσα στις δυο προσεγγίσεις παρουσίασης μαθηματικών προβλημάτων. Είναι φανερό ότι τα παιδιά στα προβλήματα Αφήγησης ιστοριών αντιλαμβάνονται καλύτερα τα στοιχεία του προβλήματος απ ότι στα Λεκτικά προβλήματα. Συγκεκριμένα, παρατηρούμε ότι, στα Αφηγηματικά προβλήματα Αλλαγής - Αύξησης, περισσότερα παιδιά θυμούνται τόσο τις Λεκτικές (80%, Ν=24), όσο και τις Αριθμητικές πληροφορίες (70%, Ν=21), σε σχέση με τα Λεκτικά προβλήματα (p=,021 και p=,005 αντίστοιχα). Οι διαφορές στην κατανόηση του στόχου δεν είναι μεγάλες. Στα προβλήματα Αλλαγής Ελάττωσης, περισσότερα παιδιά (80%, Ν=24) θυμούνται τις Λεκτικές πληροφορίες του αφηγηματικού προβλήματος (p=,008). Αντίστοιχα, στα Αφηγηματικά προβλήματα Σύνθεσης, τα παιδιά εμφανίζουν βελτιωμένες τις ικανότητες αντίληψης των Λεκτικών πληροφοριών (p=,0013) και της κατανόησης του στόχου (p=, 003). Όσον αφορά στην αντίληψη των στοιχείων του προβλήματος από την πλευρά του βαθμού δυσκολίας και της σημασιολογικής του δομής δε διακρίνονται διαφορές στα Αφηγηματικά προβλήματα ως προς την κατανόηση των πληροφοριών ούτε ως προς την κατανόηση του στόχου. Συγκεκριμένα, λιγότερα παιδιά θυμούνται τις πληροφορίες των προβλημάτων Ελάττωσης, αλλά περισσότερα παιδιά κατανοούν το στόχο στα προβλήματα Σύνθεσης. Στα Λεκτικά προβλήματα παρατηρούμε ότι η ανάκληση λεκτικών αριθμητικών πληροφοριών και η κατανόηση του στόχου, συνδέεται με το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος, αφού λιγότερα παιδιά θυμούνται τις πληροφορίες και κατανοούν το στόχο όσο πιο δύσκολο γίνεται το πρόβλημα (πίνακας 15, διάγραμμα 3). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 64 *

69 ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Ανάκληση Λεκτικών Πληροφοριών Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Λ. ΑΦ. Λ ΑΦ. Λ. ΑΦ Ανάκληση Αριθμών Κατανόηση Στόχου Πίνακας 15. Σύγκριση Κατανόησης Δεδομένων Λεκτικών - Αφηγηματικών Προβλημάτων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Λ. ΑΦ. Λ ΑΦ. Λ. ΑΦ. Προβλήματα Αύξησης Προβλήματα Ελάττωσης Προβλήματα Σύνθεσης Ανάκληση Λεκτικών Πληροφοριών Ανάκληση Αριθμητικών πληροφοριών Κατανόηση Στόχου Γράφημα 3. Σύγκριση Κατανόησης Δεδομένων Λεκτικών - Αφηγηματικών Προβλημάτων ( %) Χρήση στρατηγικών στους δυο τύπους Παρουσίασης του Προβλήματος: Η σύγκριση ως προς τη χρήση των στρατηγικών που χρησιμοποιούν τα νήπια στις δυο προσεγγίσεις, αποσκοπεί στην εξέταση των διαφορών στις επιλογές των παιδιών να δημιουργήσουν ένα σχέδιο επίλυσης προβλήματος. Νοητικές στρατηγικές. Η χρήση των Νοητικών στρατηγικών, είναι ανεξάρτητη από τη σημασιολογική δομή του προβλήματος, συνδέεται όμως με το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος και στις δυο προσεγγίσεις. Ένα ποσοστό παιδιών που έλυσε το πρόβλημα με Ανάκληση αριθμών, εξακολουθεί και τη χρησιμοποιεί σε όλους τους τύπους προβλημάτων (Αύξησης 10%, Ελάττωσης 60%, Σύνθεσης 3,3%), ενώ ένα ποσοστό τη χρησιμοποιεί για πρώτη φορά στα προβλήματα Αφήγησης (Αύξησης 13,3%, Ελάττωσης 6,7%, Σύνθεσης 10%). Συγκεκριμένα, στα Λεκτικά προβλήματα η Ανάκληση αριθμών αποτελεί την κύρια επιλογή των παιδιών για να λύσουν προβλήματα Μεταβολής, Αύξησης και Ελάττωσης ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 65 *

70 (73,3% και 80% αντίστοιχα), ενώ μειώνεται σε προβλήματα υψηλού βαθμού δυσκολίας, όπως είναι τα Σύνθεσης (40%). Στα αφηγηματικά προβλήματα, εκτός των άλλων, οι επιλογές των παιδιών προσδιορίζονται από την αριθμητική πράξη. Για το λόγο αυτό, τα παιδιά λύνουν προβλήματα Μεταβολής Ελάττωσης ανακαλώντας αριθμούς σε μεγάλο ποσοστό (66,7%), ενώ στα προβλήματα Αλλαγής Αύξησης και Σύνθεσης δε την προτιμούν (13,3% και 23,3% αντίστοιχα). (πίνακας 16, Διάγραμμα 4). Όσον αφορά στη Νοερή μέτρηση, παρατηρούμε ότι τη χρησιμοποιούν λιγότερα παιδιά και στις δυο προσεγγίσεις και συνδέεται κυρίως με τη χρήση δακτύλων. Ένα ποσοστό παιδιών, τα οποία έλυσαν το πρόβλημα με Νοερή Μέτρηση, εξακολουθεί να χρησιμοποιεί την ίδια στρατηγική και στα προβλήματα Αφήγησης (Αύξησης 3,3%). Ένα άλλο ποσοστό τη χρησιμοποιεί για πρώτη φορά (Σύνθεσης, 6,7%) στα Αφηγηματικά προβλήματα (x 2 = 9,310, df =1, p = 0,002). Ωστόσο, είναι εμφανές ότι όταν το πρόβλημα παρουσιάζεται με την αφήγηση μιας ιστορίας, επιλέγεται από περισσότερα παιδιά (43,3%, Ν= 13), ενώ περιορίζεται η χρήση της στα Λεκτικά προβλήματα (23,3%, Ν=7). Η χρήση της συγκεκριμένης στρατηγικής συνδέεται με το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος. Παρατηρούμε όμως, ότι στα Λεκτικά προβλήματα διατηρείται σταθερός ο αριθμός των παιδιών (10%,Ν=3) που λύνουν με Νοερή μέτρηση προβλήματα Αλλαγής, Αύξησης και Ελάττωσης, ενώ στα αφηγηματικά προβλήματα μειώνεται σταδιακά η χρήση της με την αντίστοιχη αύξηση της δυσκολίας του προβλήματος (πίνακας 16). Τέλος, σημειώνουμε ότι τα παιδιά που επιλύουν το πρόβλημα μέσα από Νοητικές στρατηγικές και στη συνέχεια καταφεύγουν σε Υλικές και Λεκτικές με ενίσχυση του ερευνητή, είναι λιγότερα στα προβλήματα Αφήγησης, απ ότι στα Λεκτικά προβλήματα. ΝΟΗΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΣΕ ΛΕΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Είδη Προβλημάτων Ανάκληση αριθμών Νοερή Μέτρηση Λ. Αφ. Λ. Αφ. Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Πίνακας 16. Σύγκριση Λεκτικών Αφηγηματικών Προβλημάτων ως προς τη Χρήση Νοητικών Στρατηγικών σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 66 *

71 Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης 0 Λεκτικά Αφηγηματικά Γράφημα 2. Χρήση Νοητικών Στρατηγικών σε Λεκτικά Αφηγηματικά Προβλήματα σε ποσοστά(%) Λεκτικές Στρατηγικές. Είναι φανερό, από τη μελέτη των αποτελεσμάτων της σύγκρισης για τη χρήση των Λεκτικών στρατηγικών στις δυο προσεγγίσεις, ότι στα προβλήματα Αφήγησης ιστοριών τα παιδιά χρησιμοποιούν μεγαλύτερη ποικιλία Λεκτικών στρατηγικών, διευρύνοντας τα σχέδια επίλυσης των προβλημάτων, σε σχέση με τα Λεκτικά προβλήματα. Περισσότερο χρησιμοποιείται η μέτρηση όλων και στους τρεις τύπους προβλημάτων (πίνακας 17). Συγκεκριμένα, στα αφηγηματικά προβλήματα τα παιδιά λύνουν το πρόβλημα κυρίως με τη Μέτρηση όλων, μετρώντας ένα προς ένα τα αριθμητικά δεδομένα του προβλήματος. Χρησιμοποιείται περισσότερο σε προβλήματα που έχουν κοινή αριθμητική πράξη, όπως είναι τα Σύνθεσης (90%) και τα Μεταβολής Αύξησης (83,3%) και περιορίζεται στα προβλήματα Ελάττωσης (53,3%), στα οποία τα παιδιά χρησιμοποιούν Νοητικές στρατηγικές. Στα Λεκτικά προβλήματα παρατηρείται μια διαβάθμιση της χρήσης της στρατηγικής «μέτρησης όλων», σύμφωνα με την οποία καθώς αυξάνει ο βαθμός δυσκολίας του προβλήματος, αυξάνει το ποσοστό εκείνων που χρησιμοποιούν τη μέτρηση όλων. Επίσης, η αναγνώριση με μια ματιά (οπτική μέτρηση, subitizing) αν και χρησιμοποιείται από ίδιο αριθμό παιδιών (13,3%, Ν=4) και στις δυο προσεγγίσεις παρουσίασης μαθηματικών προβλημάτων, στα Λεκτικά προβλήματα, χρησιμοποιείται ανεξάρτητα από τη δομή του προβλήματος (Μεταβολής - Σύνθεσης). Συγκεκριμένα, ίδιος αλλά μικρός αριθμός παιδιών (3,3%, Ν=1) λύνει οπτικά προβλήματα Αλλαγής (Αύξησης - Ελάττωσης), ενώ μεγαλύτερος αριθμός νηπίων, προβλήματα Σύνθεσης (10%, Ν=3). Στα προβλήματα αφήγησης ιστοριών, χρησιμοποιείται μόνο σε προβλήματα Αλλαγής (Αύξησης και Ελάττωσης). Τέλος, στα αφηγηματικά προβλήματα, σε αντίθεση με τα Λεκτικά, ένα μικρό ποσοστό παιδιών μετρά από τον πρώτο αριθμό, τόσο στα προβλήματα Ελάττωσης (10%), ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 67 *

72 όσο και στα προβλήματα Σύνθεσης (6,7%), ενώ 6,7% των νηπίων λύνει το πρόβλημα Σύνθεσης μετρώντας από τον πρώτο αριθμό. ΛΕΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΣΕ ΛΕΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Λ. Αφ. Λ. Αφ. Λ. Αφ. Οπτική μέτρηση Μέτρηση όλων Μέτρηση από 1 ο αρ Μέτ0ρηση μεγ. αρ Μέθοδος δοκιμής λάθους Σύνολο Πίνακας 17. Σύγκριση Λεκτικών Αφηγηματικών Προβλημάτων ως προς τη Χρήση Λεκτικών Στρατηγικών σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Υλικές στρατηγικές. Οι υλικές στρατηγικές κυριαρχούν στην επίλυση των Αφηγηματικών προβλημάτων, γεγονός που δείχνει ότι τα παιδιά δημιουργούν ένα σχέδιο επίλυσης, το οποίο παρουσιάζουν κυρίως με Αντικείμενα και με Λεκτική περιγραφή. Αντίθετα, στα Λεκτικά προβλήματα η χρήση τους είναι περιορισμένη, αλλά εμφανίζει σταδιακή Αύξηση, ανάλογη με τη δομή των προβλημάτων και την αύξηση δυσκολίας τους (πίνακας 18). Αντίστοιχα, η χρήση των υλικών στρατηγικών, στα προβλήματα Αφήγησης ιστορίας, συνδέεται με την αριθμητική πράξη της πρόσθεσης. Το μεγαλύτερο ποσοστό παιδιών τις χρησιμοποιεί για να λύσει προβλήματα Μεταβολής - Αύξησης και προβλήματα Σύνθεσης. Στα προβλήματα Μεταβολής - Ελάττωσης εμφανίζει μικρή πτώση, η οποία σχετίζεται με την αυξημένη χρήση Νοητικών στρατηγικών. Παρόλο όμως, που βιβλιογραφικά υποστηρίζεται ότι σε προβλήματα αλλαγής, διαπιστώνεται η ανάγκη της χρήσης αντικειμένων ή δακτύλων, στην παρούσα έρευνα παρατηρείται μικρότερη χρήση υλικών στοιχείων στα προβλήματα Ελάττωσης (56,7%), και μεγαλύτερη στα προβλήματα μεταβολής αύξησης και σύνθεσης. Στα αφηγηματικά προβλήματα, τα παιδιά χρησιμοποιούν αντικείμενα για να λύσουν το πρόβλημα, κυρίως προβλήματα Σύνθεσης (76,7%, Ν=23), ενώ στα Λεκτικά προβλήματα επιλέγουν τα δάχτυλά τους, επίσης για να λύσουν προβλήματα Σύνθεσης (33,3%, Ν=10). Εξαιρετικό ενδιαφέρον εμφανίζει η Λεκτική περιγραφή των ιδεών και απόψεων των παιδιών ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 68 *

73 για τον τρόπο επίλυσης του προβλήματος, στα προβλήματα αφήγησης ιστορίας, η οποία απουσιάζει από τα Λεκτικά προβλήματα. Ωστόσο, δεν παρατηρούνται διαφορές στους συνδυασμούς επίλυσης προβλημάτων και στις δυο προσεγγίσεις. Στα προβλήματα Αφήγησης όμως, αυξάνονται και εμπλουτίζονται με τη χρήση περισσότερων στρατηγικών, όπως αναφέρονται στο κεφάλαιο παρουσίασης Αποτελεσμάτων των Αφηγηματικών προβλημάτων. Παρατηρούνται επίσης, αλλαγές στις επιλογές των παιδιών, αναφορικά με τις στρατηγικές επίλυσης, ανάμεσα στις δυο προσεγγίσεις. Συγκεκριμένα, από τα παιδιά που έλυσαν Λεκτικά προβλήματα Ελάττωσης με τη Μέτρηση όλων, 10% (Ν=3) χρησιμοποίησε την Οπτική μέτρηση για να λύσει Αφηγηματικά προβλήματα Ελάττωσης. Δηλαδή, 30% (Ν=9) των νηπίων, δεν άλλαξαν στρατηγική για να λύσουν τα Αφηγηματικά προβλήματα (x 2 = 5,000, df =1, p = 0,025). Από τα παιδιά που χρησιμοποίησαν στα Λεκτικά προβλήματα Ελάττωσης Μέτρηση όλων, 10% (Ν=3) των παιδιών επιλέγει να λύσει ο πρόβλημα στα Αφηγηματικά με τη μέτρηση από τον 1 ο αριθμό (x 2 = 5,000, df =1, p = 0,025). Από τα νήπια που χρησιμοποίησαν εικονικές αναπαραστάσεις για να λύσουν Λεκτικά προβλήματα Αύξησης, 3,3% (Ν=1) λύνει με την ίδια στρατηγική και τα Αφηγηματικά προβλήματα, ενώ 6,7% (Ν=2) τη χρησιμοποιεί για πρώτη φορά στα Αφηγηματικά (x 2 = 6,467, df =1, p = 0,011). Από τα παιδιά που χρησιμοποίησαν λεκτική περιγραφή στα Αφηγηματικά προβλήματα Ελάττωσης, κανένα παιδί δεν την έχει χρησιμοποιήσει στα Λεκτικά, καθώς 6,7% (Ν=2) έχει λύσει το Λεκτικό πρόβλημα με εικονικές αναπαραστάσεις (x 2 = 7,041, df =1, p = 0,008). ΥΛΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΣΕ ΛΕΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Λ. Αφ. Λ. Αφ. Λ. Αφ. Αντικείμενα Δάχτυλα Περιγραφή με λόγο Σύνολο Πίνακας 18. Σύγκριση Υλικών Αφηγηματικών Προβλημάτων ως προς τη Χρήση Λεκτικών Στρατηγικών σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Εικονικές αναπαραστάσεις. Ίδιος αριθμός παιδιών (26,7%, Ν=8) σχεδιάζει και παρουσιάζει τη λύση του προβλήματος με Εικονικές αναπαραστάσεις. Παρατηρούμε όμως, διαφοροποίηση ανάμεσα στις δυο προσεγγίσεις, ως προς την κατανομή του αριθμού των ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 69 *

74 παιδιών στους δυο τύπους προβλημάτων και στις δυο κατευθύνσεις. Συγκεκριμένα, στα Λεκτικά προβλήματα περισσότερα παιδιά (13,3%) παρουσιάζουν με εικονικές αναπαραστάσεις το σχέδιο επίλυσης του προβλήματος, καθώς αυξάνει η δυσκολία. Στα προβλήματα Αφήγησης Ιστοριών, η χρήση τους είναι συνδεδεμένη με την αριθμητική πράξη και χρησιμοποιείται περισσότερο σε προβλήματα πρόσθεσης (Αλλαγής και Σύνθεσης, 10% και στους δυο τύπους προβλημάτων) και μειώνεται στα προβλήματα Μεταβολής Ελάττωσης (6,7%). Παρατηρούμε επίσης, ότι τα σχέδια των παιδιών είναι ανεξάρτητα από τη σημασιολογική δομή του προβλήματος και συνδέονται με την αριθμητική πράξη και στις δυο προσεγγίσεις, όπως έχει ήδη αναφερθεί διεξοδικά στις αντίστοιχες ενότητες (πίνακας 19). Επιπλέον, δεν παρατηρούνται διαφορές ως προς την απεικόνιση των σχεδίων, αν και στα αφηγηματικά προβλήματα γίνονται πιο συγκεκριμένα και συνοδεύονται από διακοσμητικό χαρακτήρα. Ο τρόπος υπολογισμού όμως διαφέρει στα παρακάτω σημεία: 1. στα Αφηγηματικά προβλήματα απουσιάζει ο υπολογισμός οπτικά (με μια ματιά) σε όλους τους τύπους προβλημάτων 2. στα Αφηγηματικά προβλήματα προστίθενται η μέτρηση όλων στα προβλήματα Μεταβολής Αύξησης, ενώ στα Λεκτικά χρησιμοποιούν το συγκεκριμένο τρόπο υπολογισμού μόνο στα Αλλαγής Ελάττωσης και στα Σύνθεσης. 3. στα Αφηγηματικά προβλήματα χρησιμοποιούν επιπλέον τη μέτρηση από τον πρώτο αριθμό και 4. τη μέτρηση από το μεγαλύτερο αριθμό. Ωστόσο, αξίζει να επισημανθεί ότι, όταν ο ερευνητής ενισχύει τη χρήση υλικών στρατηγικών, τα νήπια προτιμούν τα αντικείμενα και όχι τις εικονικές αναπαραστάσεις. ΕΙΚΟΝΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΕ ΛΕΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Είδη Λεκτικά Αφηγηματικά Προβλημάτων Αύξησης 2 3 Ελάττωσης 2 2 Σύνθεσης 4 3 Σύνολο 8 8 Πίνακας 19. Σύγκριση Υλικών Αφηγηματικών Προβλημάτων ως προς τη Χρήση Εικονικών Αναπαραστάσεων σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 70 *

75 Γενικά, τα παιδιά χρησιμοποιούν ένα σχέδιο επίλυσης για να λύσουν ένα πρόβλημα. Ειδικότερα, δεν παρατηρήθηκαν διαφορές στα σχέδια που χρησιμοποίησαν, διαπιστώθηκε όμως εμπλουτισμός αυτών στα αφηγηματικά προβλήματα (βλ. χρήση στρατηγικών σε Λεκτικά και σε Αφηγηματικά). Το μεγαλύτερο ποσοστό αλλάζει τη στρατηγική του ανεξάρτητα από τη δυσκολία του προβλήματος και στις δυο προσεγγίσεις. Ένα άλλο μικρό ποσοστό φαίνεται να χρησιμοποιεί στα Αφηγηματικά προβλήματα στρατηγικές οι οποίες φανερώνουν περισσότερο βελτιωμένες τις δεξιότητες στην αντίληψη της έννοιας αριθμού. Για παράδειγμα, στρατηγικές που δε χρησιμοποιήθηκαν καθόλου στα Λεκτικά προβλήματα, χρησιμοποιήθηκαν στα Αφηγηματικά, όπως η χρήση στρατηγικής «Μέτρηση από τον 1 ο αριθμό», η οποία μαρτυρά την γνώση των νηπίων για την πληθυκότητα του αριθμού. Ακόμη, η «Μέτρηση με μια ματιά» (subitizing), η οποία σχετίζεται με την αντίληψη του αριθμού οπτικά και εννοιολογικά και με τις προσθέσεις μικρών ποσοτήτων (Clements 1999 [σε] Τζεκάκη, ο.π.). Επιτυχία Επίλυσης και Αντίληψη των Στοιχείων Η αντίληψη των στοιχείων του προβλήματος, συνδέεται με την επιτυχημένη επίλυσή του. Προκειμένου να ελέγξουμε αν η παρουσίαση του προβλήματος με αφήγηση ιστοριών βελτίωσε τις ικανότητες των νηπίων, προβαίνουμε στη σύγκριση των δυο προσεγγίσεων. Είναι φανερό ότι μέσα από την αφήγηση μαθηματικών ιστοριών τα παιδιά αντιλαμβάνονται καλύτερα τα στοιχεία του προβλήματος (θυμούνται τις πληροφορίες του προβλήματος και αντιλαμβάνονται το στόχο) με αποτέλεσμα να έχουν βελτιωμένες επιδόσεις. ΟΙ διαφορές αυτές εμφανίζονται εντονότερα στα προβλήματα Σύνθεσης ( 43,3% ανάκληση Λεκτικών πληροφοριών, 33,3% ανάκληση αριθμών και 46,7% κατανόηση στόχου). Παρατηρούμε επίσης, ότι στα Λεκτικά προβλήματα, οι επιδόσεις των παιδιών συνδέονται με την αριθμητική πράξη, καθώς περισσότερα παιδιά λύνουν σωστά τα προβλήματα πρόσθεσης Μεταβολής Αύξησης και Σύνθεσης και λιγότερα Μεταβολής - Ελάττωσης. Συγκεκριμένα, όπως φαίνεται στον πίνακα 20, τα παιδιά που θυμούνται τις Λεκτικές και επομένως τις Αριθμητικές πληροφορίες του προβλήματος, λύνουν σωστά τα προβλήματα Μεταβολής Αύξησης (x 2 =17,500, df =1, p=,000) και Σύνθεσης (x 2 =6,696, df =1, p =0,010). Επίσης τα παιδιά που κατανοούν το στόχο, λύνουν σωστά τα προβλήματα Αύξησης (x 2 =10,000 df =1, p =0,002), Ελάττωσης (x 2 =8,294, df =1, p =0,004) και Σύνθεσης (x 2 =11,471, df =1, p =0,001). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 71 *

76 Αντίθετα, στα προβλήματα Αφήγησης ιστοριών, παρατηρούμε μια σταδιακή βελτίωση, η οποία είναι ανεξάρτητη από τη σημασιολογική δομή και την αριθμητική πράξη του προβλήματος Ιδιαίτερα στα προβλήματα υψηλής δυσκολίας (Σύνθεσης) τα παιδιά εμφανίζουν τη μεγαλύτερη βελτίωση. Στα προβλήματα Μεταβολής Αύξησης η επιτυχία επίλυσης του προβλήματος δε συνδέεται με την αντίληψη των στοιχείων, αλλά οι επιδόσεις των παιδιών είναι καλύτερες από αυτές των παιδιών στα Λεκτικά προβλήματα. Συγκεκριμένα, η κατανόηση του στόχου στα προβλήματα Ελάττωσης και Σύνθεσης, συνδέεται με επιτυχημένη επίλυση του προβλήματος (x 2 =5,735, df =1, p =0,017 και x 2 =18,462, df =1, p =0,000 αντίστοιχα), ενώ η ανάκληση αριθμητικών και λεκτικών πληροφοριών οδηγούν σε σωστά αποτελέσματα προβλημάτων Σύνθεσης (x 2 =7,033, df =1, p =0,008 και x 2 =7,873, df =1, p =0,005 αντίστοιχα). Επιτυχία Επίλυσης Προβλήματος και Αντίληψη Στοιχείων του Προβλήματος Σε Λεκτικά και Αφηγηματικά προβλήματα Αύξησης Ελάττωσης Σύνθεσης Λ. Αφ. Λ. Αφ. Λ. Αφ. Ανάκληση Λεκτικών Πληροφοριών Ανάκληση Αριθμητικών Πληροφοριών Κατανόηση Στόχου Σύνολο Πίνακας 20. Επιτυχία Επίλυσης σε Λεκτικά και Αφηγηματικά Προβλήματα ως προς την Αντίληψη των στοιχείων του Προβλήματος σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Επιτυχίας Επίλυσης και Στρατηγικές Προκειμένου να ελέγξουμε τη βελτίωση στις ικανότητες των παιδιών να δημιουργούν ένα σχέδιο επίλυσης προβλήματος, ελέγχουμε την επιτυχία επίλυσης ανάλογα με τη στρατηγική που επιλέγει. Η επιλογή των παιδιών να λύσουν Λεκτικά προβλήματα Ανακαλώντας Νοερά Αριθμούς, συνοδεύεται από αποτυχημένη επίλυση του προβλήματος, σε όλους του τύπους, κυρίως όμως στα προβλήματα Ελάττωσης (x 2 =7,033, df =1, p =0,008), γεγονός που συνδέεται με το βαθμό δυσκολίας. Αντίθετα η χρήση της νοερής μέτρησης, συνδέεται με την πράξη του προβλήματος και συναντάμε μεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας, κυρίως στα ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 72 *

77 προβλήματα Αύξησης (66,6%, Ν=2) και Σύνθεσης (η επιλογή ενός παιδιού ήταν επιτυχημένη). Στα αφηγηματικά προβλήματα, όχι μόνο τα παιδιά δεν εμφανίζουν βελτίωση στις επιδόσεις τους, αλλά αντίθετα μειώνονται, σε όλους του τύπους προβλημάτων, ανεξάρτητα από τη δομή και τη δυσκολία του προβλήματος. Συγκεκριμένα, στα προβλήματα Μεταβολής Αύξησης (x 2 =7,873, df =1, p =0,005) το ποσοστό αποτυχίας είναι 57%, στα Ελάττωσης (x 2 =4,344, df =1, p =0,037) αυξάνει στο 70% και στα Σύνθεσης (x 2 =8,726, df =1, p =0,003) στο 75%. Η χρήση της Νοερής μέτρησης συνδέεται με τη αριθμητική πράξη, αφού στα προβλήματα Αλλαγής Αύξησης και Σύνθεσης όλα τα παιδιά λύνουν σωστά το πρόβλημα, ενώ στα Αλλαγής Ελάττωσης μόνο το ένα από τα τρία παιδιά.(ποσοστό επιτυχίας 33,3%) (πίνακας 21). ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΝΟΗΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΣΕ ΛΕΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Αύξηση Ελάττωση Σύνθεση Νοητικές Λ. Αφ. Λ. Αφ. Λ. Αφ. Ανάκληση Αριθμών Νοερή Επίλυση Σύνολο Πίνακας 21. Επιτυχία Επίλυσης Λεκτικών και Αφηγηματικών Προβλημάτων σε σχέση με τις Νοητικές Στρατηγικές σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Αντίθετα, τα παιδιά που χρησιμοποιούν Λεκτικές στρατηγικές για να λύσουν προβλήματα τα οποία παρουσιάζονται με την Αφήγηση μιας μαθηματικής ιστορίας, εμφανίζουν βελτιωμένες επιδόσεις, σε σχέση με τα παιδιά που λύνουν Λεκτικά προβλήματα, κυρίως όσον αφορά στη χρήση της «μέτρησης όλων» (πίνακας 22). Συγκεκριμένα, στα Λεκτικά προβλήματα, από τα παιδιά που λύνουν προβλήματα Μεταβολής Αύξησης και Ελάττωσης με μια ματιά, κανένα παιδί δεν καταφέρνει να τα λύσει σωστά, κάτι που πετυχαίνει ένα μόνο παιδί στα προβλήματα Σύνθεσης (3,3%, Ν=1) από τα τρία που προσπάθησαν (ποσοστό επιτυχίας 33,3%). Η χρήση της στρατηγικής δε φαίνεται επομένως να συνδέεται με τη δομή ή την πράξη του προβλήματος. Στα Αφηγηματικά προβλήματα, η ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 73 *

78 επιλογή των παιδιών να λύσουν το πρόβλημα με μια ματιά ήταν επιτυχημένη σε όλες τις περιπτώσεις, τόσο στα προβλήματα Μεταβολής Αύξησης (3,3%, Ν=1), όσο και στα προβλήματα Μεταβολής Ελάττωσης (10%, Ν= 3). Η «Μέτρηση όλων» επιλέγεται κυρίως από τα παιδιά στα Αφηγηματικά προβλήματα και συνοδεύει Υλικές στρατηγικές. Οι επιδόσεις των νηπίων στα Λεκτικά προβλήματα είναι σταθερές σε όλους τους τύπους προβλημάτων, όχι όμως ιδιαίτερα υψηλές (ποσοστά επιτυχίας στο πρόβλημα Αύξησης: 42,8%, Ελάττωσης, 41,6%, Σύνθεσης 47%). Η επιλογή της συγκεκριμένης στρατηγικής από τα παιδιά στα Αφηγηματικά προβλήματα συνδέεται με την μαθηματική πράξη της πρόσθεσης, καθώς μόνο στα προβλήματα Αλλαγής Αύξησης και Σύνθεσης τα ποσοστά επιτυχίας είναι μεγάλα (76% και77,7% αντίστοιχα), ενώ στα προβλήματα Αλλαγής Μείωσης μικρότερα (31,25%). Η «μέτρηση από τον πρώτο αριθμό» χρησιμοποιείται μόνο στα Αφηγηματικά προβλήματα, Ελάττωσης και Σύνθεσης και συνοδεύεται από υψηλές επιδόσεις (66,7% στα ελάττωσης και 100% στα Σύνθεσης). Ομοίως η «μέτρηση από το μεγαλύτερο αριθμό» χρησιμοποιείται μόνο στα προβλήματα Σύνθεσης και εμφανίζει μεγάλο ποσοστό επιτυχίας (100%). ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΛΕΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΣΕ ΛΕΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Στρατηγικές Αύξηση Ελάττωση Σύνθεση Λ. Αφ. Λ. Αφ. Λ. Αφ. Οπτική Επίλυση Μέτρηση όλων Μέτρηση από 1 ο αρ Μέτρηση από μεγ/ρο αρ Δοκιμή - Λάθος Σύνολο Πίνακας 22. Επιτυχία Επίλυσης Λεκτικών και Αφηγηματικών Προβλημάτων σε σχέση με τις Λεκτικές Στρατηγικές σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) Στα Λεκτικά προβλήματα τα παιδιά δεν χρησιμοποιούν σε μεγάλο ποσοστό Υλικές στρατηγικές για να δημιουργήσουν ένα σχέδιο επίλυσης του προβλήματος, αφού τα λύνουν κυρίως με Νοητικές στρατηγικές. Η επιλογή όμως αυτή συνδέεται με την αυξανόμενη δυσκολία του προβλήματος, αφού σταδιακά αυξάνει ο αριθμός των παιδιών που λύνουν το πρόβλημα με τη χρήση υλικών. Επίσης,συνδέεται με την ενίσχυση του ερευνητή να ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 74 *

79 στραφούν σε άλλες στρατηγικές μετά την αποτυχημένη προσπάθεια επίλυσης προβλημάτων με τη Νοερή Ανάκληση Αριθμών. Συγκεκριμένα, αντικείμενα χρησιμοποιούν τα παιδιά μόνο στα προβλήματα Αλλαγής Μείωσης και στα προβλήματα Σύνθεσης και εμφανίζουν επιτυχημένα αποτελέσματα σε ποσοστά 66% και 50% αντίστοιχα. Αντίθετα, η πρώτη επιλογή των νηπίων στα αφηγηματικά προβλήματα είναι η χρήση αντικειμένων, τα οποία τοποθετούν στη σειρά και προσθέτουν ή αφαιρούν ανάλογα με το στόχο του προβλήματος. Η επιλογή τους συνδέεται με την αριθμητική πράξη του προβλήματος, και όχι με τη σημασιολογική δομή και δυσκολία του, καθώς στα προβλήματα Αλλαγής Ελάττωσης, επιλέγονται περισσότερο Νοητικές στρατηγικές. Ωστόσο, η ανατροφοδότηση και ενίσχυση του ερευνητή μετά από αποτυχημένη προσπάθεια, οδηγεί πρωτίστως στη χρήση αντικειμένων. Οι επιδόσεις των παιδιών εμφανίζονται υψηλές σε προβλήματα Αλλαγής - Αύξησης και Σύνθεσης (ποσοστό επιτυχίας 71,4% και 78,2%, αντίστοιχα), στα οποία χρησιμοποιούνται και περισσότερο, ενώ στα προβλήματα ελάττωσης μειώνονται στο 35,2%, όπως συμβαίνει και με τη «μέτρηση όλων» η οποία συνοδεύει τη χρήση αντικειμένων. Όσα παιδιά που χρησιμοποιούν τα δάχτυλά τους για να λύσουν Λεκτικά προβλήματα, σταδιακά αυξάνουν τις επιδόσεις τους στα προβλήματα Μεταβολής, σύμφωνα με την αύξηση δυσκολίας των προβλημάτων (Αύξησης 37,5%, Ελάττωσης 42,8%,) και τις σταθεροποιούν στα προβλήματα Σύνθεσης (40%). Αντίθετα η χρήση τους στα Αφηγηματικά προβλήματα συνοδεύεται από υψηλές επιδόσεις σε όλους τους τύπους προβλημάτων και κυρίως στα προβλήματα Μεταβολής (100%, 100% και 85,7% αντίστοιχα για όλους τους τύπους προβλημάτων). Τα παιδιά που χρησιμοποιούν εικονικές παραστάσεις για να λύσουν Λεκτικά προβλήματα, δεν καταφέρνουν να έχουν σωστά αποτελέσματα στα προβλήματα Μεταβολής (Αύξησης και Ελάττωσης), ενώ το ποσοστό επιτυχίας στα προβλήματα Σύνθεσης είναι πολύ χαμηλό (25%). Στα αφηγηματικά προβλήματα η επιλογή τους φαίνεται να συνδέεται με την πράξη του προβλήματος και συγκεκριμένα την πρόσθεση, αφού χρησιμοποιείται μόνο στα προβλήματα Αλλαγής Αύξησης και Σύνθεσης. Τα ποσοστά επιτυχίας εξαρτώνται από το βαθμό δυσκολίας του προβλήματος, καθώς στα Μεταβολής Αύξησης, όλα τα παιδιά λύνουν σωστά το πρόβλημα (ποσοστό επιτυχίας 100%), ενώ στα προβλήματα Σύνθεσης, το ποσοστό επιτυχίας είναι μικρό (33,3%) (πίνακας 23). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 75 *

80 ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΣΕ ΛΕΚΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Στρατηγικές Αύξηση Ελάττωση Σύνθεση Λ. Αφ. Λ. Αφ. Λ. Αφ. Αντικείμενα Δάχτυλα Εικονικά Σχέδια Λεκτική Περιγραφή Σύνολο Πίνακας 23. Επιτυχία Επίλυσης Λεκτικών και Αφηγηματικών Προβλημάτων σε σχέση με τις Υλικές Στρατηγικές σε αναλογία περιπτώσεων (Ν) (όπου «-» κανένα παιδί, όπου «0» καμία επιτυχημένη επίλυση) Η Λεκτική Περιγραφή στα Αφηγηματικά Προβλήματα Η λεκτική περιγραφή των ιδεών και απόψεων των παιδιών για τον τρόπο λύσης του προβλήματος, επιλέγεται μόνο στα προβλήματα αφήγησης ιστοριών. Συνδέεται με την αντίληψη των στοιχείων του προβλήματος, ιδιαιτέρα με την ανάκληση λεκτικών πληροφοριών. Συγκεκριμένα, τα παιδιά που θυμούνται τις πληροφορίες του προβλήματος (εκτός των αριθμητικών), περιγράφουν λεκτικά τον τρόπο που θα μπορούσαν να λύσουν προβλήματα Ελάττωσης (x 2 =7,873, df =1, p =0,005) και Σύνθεσης (x 2 =7,950, df =4, p =0,005. Η επιλογή αυτή είναι ανεξάρτητη από τη στρατηγική που χρησιμοποιούν, αν και στα προβλήματα Ελάττωσης τα παιδιά που μετρούν όλα τα αντικείμενα χρησιμοποιούν λεκτική περιγραφή (x 2 =7,989, df =1, p =0,005). Επιπλέον, παρόλο που δε συνδέεται με τις επιδόσεις των μαθητών, συμβάλει στην οργάνωση ενός σχεδίου επίλυσης του προβλήματος, με αποτέλεσμα τα ποσοστά επιτυχίας των παιδιών που τη χρησιμοποιούν να είναι υψηλά, κυρίως στα προβλήματα Αύξησης και Σύνθεσης (ποσοστό επιτυχίας στα προβλήματα Αύξησης 76,9%, στα Ελάττωσης 43,5% και στα Σύνθεσης 88,8%). Επιπρόσθετα, είναι ανεξάρτητη από τη σημασιολογική δομή και χρησιμοποιείται περισσότερο σε προβλήματα Αύξησης και Σύνθεσης (πίνακες 18 και 23). ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 76 *

81 5. ΣΥΖΗΤΗΣΗ Η έρευνα αποσκοπούσε να αξιολογήσει την ανάπτυξη και παρουσίαση μαθηματικών προβλημάτων, που θα βελτίωνε τις ικανότητες των παιδιών προσχολικής ηλικίας, να αντιλαμβάνονται και να συνδέουν τα στοιχεία του προβλήματος, να παρουσιάζουν τις ιδέες τους με λόγια / αντικείμενα/ εικονικές αναπαραστάσεις και να δημιουργούν ένα σχέδιο επίλυσης. Τα ευρήματα της έρευνας δε μπορούν να γενικευτούν λόγω του μεγέθους του δείγματος, παρέχουν ωστόσο, ισχυρές ενδείξεις σχετικά με δυο παραμέτρους: πρώτον για τον τρόπο που τα παιδιά συνδέουν τα στοιχεία του προβλήματος με ένα σχέδιο επίλυσης και δεύτερον για τη σημασία της παρουσίασης μαθηματικών ιστοριών στη διδασκαλία. Αρχικά διαπιστώνεται ότι τα νήπια σημείωσαν σημαντική βελτίωση στις επιδόσεις τους, κυρίως όμως σε προβλήματα Μεταβολής Αύξησης (80%) και Σύνθεσης (80%), που αφορούν στην πράξη της πρόσθεσης. Οι μειωμένες επιδόσεις των παιδιών στα προβλήματα Ελάττωσης (43,3%), συνδέονται κυρίως με την επιλογή της στρατηγικής επίλυσης από μέρους των παιδιών. Όσον αφορά στο χρόνο επίλυσης των προβλημάτων, σημειώθηκε μικρή αύξηση του μέσου όρου επίλυσης των Αφηγηματικών προβλημάτων (Μ=1,68, SD=,639) σε σχέση με το μέσο όρο επίλυσης των Λεκτικών (Μ=1,37, SD=,601). Η αύξηση αυτή οφείλετε κυρίως στην επιλογή στρατηγικών που απαιτούν περισσότερο χρόνο, όπως είναι η μέτρηση όλων και η χρήση αντικειμένων, οι οποίες προτιμώνται περισσότερο από τα παιδιά στα Αφηγηματικά προβλήματα. Επομένως, ο χρόνος συνδέεται με την επιλογή της στρατηγικής του προβλήματος, σύμφωνα με την υπόθεσή μας. Είναι όμως ανεξάρτητος από τη δομή, το βαθμό δυσκολίας και την πράξη του προβλήματος, όπως τα προβλήματα Σύνθεσης και Μεταβολής Αύξησης, τα οποία έχουν σχεδόν ίδιο μέσο χρόνο επίλυσης (Μ=1,67, και Μ= 1,70 αντίστοιχα). Επιπλέον, αναμένονταν μεγαλύτερη εκδήλωση ενδιαφέροντος στα Αφηγηματικά προβλήματα απ ότι στα Λεκτικά, γεγονός που δεν επιβεβαιώθηκε, καθώς τα περισσότερα νήπια δείχνουν σχεδόν το ίδιο ενδιαφέρον και στις δυο προσεγγίσεις. Η μεγαλύτερη όμως χρονική διάρκεια των προβλημάτων αφήγησης ιστοριών, σε συνδυασμό με τις συνθήκες παρουσίασής τους πολλές φορές είχαν σαν αποτέλεσμα την αφαίρεση προσοχής του παιδιού. Ωστόσο, είναι σημαντικό ότι μόνο στα Αφηγηματικά προβλήματα σημειώνεται εμπλοκή των νηπίων, η οποία δηλώνεται λεκτικά (ερωτήσεις, περιέργεια, σχόλια και εντυπώσεις) και μη ΣΥΖΗΤΗΣΗ 77 *

82 λεκτικά (εκφράσεις προσώπου, ήχοι που δηλώνουν συναισθήματα αγωνίας, φόβου, απορίας, κ.λ.π.). Η ανάλυση των δεδομένων φανερώνει ακόμα, ότι τα παιδιά αντιλαμβάνονται τα στοιχεία του προβλήματος, σε μεγαλύτερο βαθμό στα Αφηγηματικά προβλήματα, απ ότι στα Λεκτικά. Η ανάκληση πληροφοριών και η κατανόηση του στόχου συνδέονται με την επιτυχημένη επίλυση του προβλήματος. Παρατηρούμε ωστόσο, ότι η κατανόηση των δεδομένων του προβλήματος, είναι ανεξάρτητη από το βαθμό δυσκολίας του. Η εστίαση των παιδιών στην πράξη και όχι στη δομή του προβλήματος, μπορεί να αποδοθεί στην κατοχή ανάλογων γνωστικών σχημάτων (Αλλαγής αύξησης και Σύνθεσης) τα οποία αφορούν στην πρόσθεση (Πιττάλη, Χρίστου, Φιλίππου, 2001). Επομένως, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η παρουσίαση των προβλημάτων μέσα από την αφήγηση ιστοριών, συμβάλει στη βελτίωση των ικανοτήτων των παιδιών να αντιλαμβάνονται τα στοιχεία του προβλήματος, γεγονός που είναι καθοριστικής σημασίας για την επίλυσή του (σύμφωνα με το μοντέλο ανάλυσης του Polya και το συνδυαστικό μοντέλο που υιοθετήθηκε στη συγκεκριμένη έρευνα). Είναι σημαντικό ότι μερικές από τις δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές σχετίζονται με την έλλειψη αντίληψης των στοιχείων του προβλήματος και της σύνδεσής τους με μαθηματικές έννοιες. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τα παιδιά να μη γνωρίζουν τις επόμενες ενέργειές τους, για να μπορέσουν να δημιουργήσουν ένα σχέδιο επίλυσης (Τζεκάκη, 2007). Στην παρούσα έρευνα διαπιστώνεται βελτίωση της ικανότητας των παιδιών να συνδέουν τα στοιχεία του προβλήματος με τη δημιουργία ενός σχεδίου επίλυσης. Αυτό διαφαίνεται από την αύξηση της χρήσης Υλικών και Λεκτικών στρατηγικών στα Αφηγηματικά προβλήματα, όσο και από τη χρήση της Νοερής Μέτρησης. Μπορούμε, επομένως, να μιλήσουμε για τη δημιουργία σχεδίων επίλυσης από τα παιδιά και στις δυο προσεγγίσεις. Παρόλο όμως, που τα σχέδια των παιδιών δε διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους, στα αφηγηματικά εμφανίζονται πιο εμπλουτισμένα, βασίζονται στη χρήση περισσότερων στρατηγικών μέτρησης και υπερέχουν αριθμητικά, έναντι των Λεκτικών. Υποστηρίζεται ακόμα, ότι κάποιοι μαθητές σκέφτονται με έννοιες (conceptual thinkers) και χρησιμοποιούν αναπαραστάσεις και άλλοι σκέφτονται με διαδικασίες (procedural thinkers) και χρησιμοποιούν τη μέτρηση (Gray et al [σε] Τζεκάκη 2007). Από την ανάλυση των δεδομένων προκύπτει ότι τα παιδιά χρησιμοποίησαν περισσότερο τη μέτρηση και ιδιαίτερα την ένα προς ένα, παρουσιάζοντας το σχέδιο επίλυσής τους κυρίως μέσα από αντικείμενα και λιγότερο μέσα από δάχτυλα και εικονικές αναπαραστάσεις. Η επιλογή αυτή των παιδιών συμφωνεί με την άποψη ότι, τα παιδιά μπορούν να αναπτύξουν στρατηγικές μέτρησης με στόχο την αντιμετώπιση προβλημάτων, πριν τις διδαχτούν, ΣΥΖΗΤΗΣΗ 78 *

83 εφαρμόζοντας τις αρχές της ένα προς ένα αντιστοιχίας. Η χρήση περισσότερων Λεκτικών στρατηγικών, από ένα μικρό ποσοστό παιδιών, αποτελεί επίσης ένδειξη βελτίωσης στις ικανότητες σχεδιασμού επίλυσης προβλήματος καθώς οι στρατηγικές αυτές συνδέονται με τη συνειδητοποίηση των αριθμητικών εννοιών (π.χ. μέτρηση από τον 1 ο και από τον μεγαλύτερο αριθμό). Όσον αφορά στις εικονικές αναπαραστάσεις, η περιορισμένη χρήση τους φανερώνει τις αντιληπτικές ικανότητες των παιδιών σύμφωνα με τις προηγούμενες γνώσεις και τις ικανότητές τους (Weaver & Kintsch, 1992 [σε] Πιττάλης, Χρίστου, Φιλίππου 2001). Αντίθετα, ο περιορισμένος βαθμός αντίληψης και σύνδεσης των στοιχείων των προβλημάτων Ελάττωσης, σχετίζεται με τη δυσκολία των παιδιών να κατασκευάσουν τις κατάλληλες αναπαραστάσεις (De Corte & Verschaffel, [σε] Βοσνιάδου 2000) και ως εκ τούτου καταφεύγουν στη χρήση Νοερών μηχανισμών και σε λάθος αποτέλεσμα. Εξίσου σημαντικός τρόπος παρουσίασης ενός σχεδίου επίλυσης προβλήματος, αποτελεί η Λεκτική Περιγραφή των νηπίων των ιδεών και απόψεων τους για τη λύση του προβλήματος. Αφορά στο σχεδιασμό ενός πλάνου επίλυσης του προβλήματος και εξυπηρετεί τον ιεραρχικό σχεδιασμό λύσεων και τη συνειδητοποίηση των ενεργειών, του στόχου και της αιτίας των ενεργειών, σύμφωνα με το πλάνο επίλυσης προβλημάτων του Polya. Παρατηρήθηκε μόνο στα προβλήματα Αφήγησης ιστοριών, επιβεβαιώνοντας την υπόθεσή μας. Η νοερή Ανάκληση αριθμών, η οποία χρησιμοποιείται κυρίως στα Λεκτικά, αλλά και στα Αφηγηματικά προβλήματα Ελάττωσης, δε συνδέεται με τη δημιουργία ενός σχεδίου επίλυσης και συνοδεύεται από αποτυχημένες προσπάθειες επίλυσής του. Αυτό επιβεβαιώνεται από τη βιβλιογραφία ότι, τα παιδιά αποτυγχάνουν να λειτουργήσουν σε νοερό επίπεδο σε έργα ίδιας πράξης χωρίς αντικείμενα (Hugens 1986 [σε] Τζεκάκη, 2007, Κορνηλάκη 1994 [σε] Τζεκάκη, ο.π). Επιπλέον, επιβεβαιώνεται η άποψη ότι η σημασιολογική δομή των στοιχειωδών αριθμητικών προβλημάτων σχετίζεται με τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά και συγκεκριμένα καθορίζουν το επίπεδο δυσκολίας του προβλήματος (de Corte & Verschaffel, Βοσνιάδου,2000). Το γεγονός αυτό αποτελεί ένδειξη για τη μειωμένη εκδήλωση βελτίωσης στα προβλήματα αλλαγής μείωσης, η οποία συνοδεύεται από την ανάκληση αριθμών. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι ο βαθμός δυσκολίας των αριθμητικών δεδομένων των προβλημάτων Ελάττωσης περιορίστηκε καθώς επιλέχτηκαν διπλοί αριθμοί (Nunes & Bryant 1996, Thompson 1997, Gray et al 1997 [σε] Τζεκάκη,2007). ΣΥΖΗΤΗΣΗ 79 *

84 Επομένως, μπορούμε να μιλήσουμε για βελτίωση στην ικανότητα ανάπτυξης ενός σχεδίου επίλυσης μέσα από τα αφηγηματικά προβλήματα, αρχικά γιατί απομακρύνεται το ενδεχόμενο να εστιάζουν σε δευτερεύοντα για τη λύση στοιχεία του προβλήματος (Τζεκάκη, 2007) και αφετέρου γιατί επιλέγουν την κατάλληλη στρατηγική. Η ανάπτυξη όμως αυτή δε συνδέεται με τη σημασιολογική δομή του προβλήματος, αλλά με την πράξη. Τα πλεονεκτήματα της παρουσίασης μαθηματικών προβλημάτων μέσα από την Αφήγηση ιστοριών, όπως προέκυψαν από την παρούσα έρευνα, θα μπορούσαν να εφαρμοστούν στο μέλλον σε μεγαλύτερο δείγμα πληθυσμού και διαφορετικού κοινωνικο μορφωτικού περιβάλλοντος. Ενδιαφέρον, επίσης παρουσιάζει η μελέτη της προσέγγισης αυτής για προβλήματα ίδιας σημασιολογικής δομής και βαθμού δυσκολίας με παρουσίαση διαφορετικών ιστοριών, ώστε να εξετασθεί ο ρόλος της ίδιας της ιστορίας. Τέλος, η βελτίωση της ικανότητας επίλυσης προβλήματος με αφήγηση ιστοριών θα μπορούσε να μελετηθεί μέσα από συνεργατικά περιβάλλοντα μάθησης. ΣΥΖΗΤΗΣΗ 80 *

85 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι: «Τα προβλήματα» Α. ΛΕΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Προβλήματα μεταβολής 1. Αύξησης με άγνωστο το τελικό σύνολο Αριθμητικά Μαθηματικά δεδομένα: μικρή πράξη (3+2), Εσύ έχει 3 μπαλόνια. Ο Δημήτρης σου έδωσε άλλα 2. Πόσα μπαλόνια της τώρα (συνηθισμένο πρόβλημα routine problem) 2. Ελάττωσης με άγνωστο το τελικό σύνολο Αριθμητικά Μαθηματικά δεδομένα: ελάττωση στα διπλά (6 3 =3) Ο Νίκος έφερε σήμερα από το σπίτι του στο σχολείο 6 αυτοκινητάκια. Έδωσε σε εσένα 3 για να παίξεις. Πόσα αυτοκινητάκια έμειναν τώρα στον Νίκο για να παίξει; (συνηθισμένο πρόβλημα routine problem) Προβλήματα Σύνθεσης Αριθμητικά Μαθηματικά δεδομένα: σύνθεση με μεγάλη πράξη (4 + 5= 9) 1. Σύνθεση με άγνωστο το υπερσύνολο Εσύ και η / ο αδερφή / αδερφός σου μαζέψατε χρήματα για να αγοράσετε ένα δώρο στη μητέρα της. Εσύ μάζεψες 4 και ο/ η αδερφός /ή σου 5. Πόσα έχετε μαζέψει και οι δυο μαζί; ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι : «Τα προβλήματα» 81 *

86 Β. ΑΦΗΓΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Προβλήματα μεταβολής Αριθμητικά Μαθηματικά δεδομένα: Προβλήματα μεταβολής Αύξηση με άγνωστο το τελικό σύνολο = 6 «Η Πεντάμορφη» Ζούσε κάποτε ένας βασιλιάς και μια βασίλισσα, που είχαν μια κόρη. Η κόρη ήταν τόσο όμορφη, πεντάμορφη, που η φήμη της είχε φτάσει σε χώρες μακρινές. Πώς να έλεγαν άραγε την κόρη; (ερώτηση εμπλοκής του παιδιού : έλεγχος ενδιαφέροντος) Μια μέρα εκεί που έκανε περίπατο στον κήπο του βασιλείου, την άρπαξε με τα νύχια του ένας πελώριος δράκος και εξαφανίστηκε. Πέρασαν πολλά χρόνια και πολλά παλικάρια έψαξαν να τη βρουν. Κανένα όμως δε γύρισε πίσω. Η φήμη για την πεντάμορφη έφτασε και στο βασιλιά της χώρας του Άκιλε και αποφάσισε να πάει κι αυτός να την αναζητήσει. Ας δώσουμε ένα όνομα και στο βασιλόπουλο. (εμπλοκή του παιδιού : έλεγχος ενδιαφέροντος) Μετά από πολλές ημέρες δρόμου, έφτασε σε μια πηγή. Κάθισε να ξεκουραστεί για λίγο και να ποτίσει και το άλογό του. Μόλις έβγαλε να φάει, άκουσε μια φωνή: «δώσε μου λίγο ψωμί που έχω μέρες να φάω, κοντεύω να πεθάνω». Γυρνά και βλέπει ένα παραδείσιο πουλί που πάνω του είχε όλα τα χρώματα της γης. Ο που ήταν καλόκαρδος, του έδωσε λίγο από το φαγητό του. Τότε το πουλί του είπε: «για το καλό που μου έκανε πάρε αυτά τα 4 κόκκινα φτερά και αν ποτέ τα χρειαστείς χρησιμοποίησέ τα». Πήρε τα 4 φτερά ο και συνέχισε το δρόμο του. Πιο κάτω συνάντησε μια κίτρινη πεταλούδα, που του ζήτησε να του δώσει λίγο νερό γιατί κόντευε να πεθάνει. Πάλι το βασιλόπουλο έδωσε στην πεταλούδα λίγο νερό και αυτή του έδωσε τα 2 κίτρινα φτερά της και του είπε να τα χρησιμοποιήσει αν ποτέ χρειαστεί βοήθεια. Θυμάσαι πόσα κόκκινα φτερά του έδωσε το πουλί και πόσα κίτρινα φτερά του έδωσε η πεταλούδα; (ερώτηση ελέγχου κατανόησης και συγκράτησης των πληροφοριών). Το βασιλόπουλο συνέχισε το δρόμο του, ώσπου έφτασε σε ένα βασίλειο, που στη μέση του είχε έναν γυάλινο πύργο. Γύρω του έβλεπε μόνο αγάλματα, αλλά κανένα σημάδι ζωής. Πλησίασε το γυάλινο πύργο και είδε μέσα την πεντάμορφη. Τόση ήταν η ομορφιά της που του κόπηκε η ανάσα. Πώς μπορούσε όμως να μπει μέσα, αφού δεν είχε ούτε πόρτα, ούτε παράθυρο; Ξαφνικά, εμφανίστηκε ο δράκος. «Αν θέλεις να ελευθερώσεις την πεντάμορφη, τότε θα πρέπει να ανοίξεις το γυάλινο πύργο» του είπε. Έχεις τρεις μέρες για να το πετύχεις, διαφορετικά θα σε ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι : «Τα προβλήματα» 82 *

87 μαρμαρώσω όπως έγινε και με τους άλλους που προσπάθησαν». Αυτά είπε και βγάζοντας φλόγες από το στόμα του εξαφανίστηκε. Ο κατάλαβε ότι τα αγάλματα που έβλεπε γύρω του ήταν (ποιοι ήταν; Ερώτηση πρόκλησης ενδιαφέροντος). Εσύ τι θα έκανες; (ερώτηση ελέγχου κατανόησης των πληροφοριών του προβλήματος). Είχε κάτι στο χέρι του που θα μπορούσε να τον βοηθήσει; Ο σκέφτηκε, σκέφτηκε, ώσπου πρόσεξε ότι στη βάση του πύργου υπήρχε μια περίεργη κλειδαριά. Η κλειδαριά αυτή είχε 4 τρύπες μεγάλες και 2 τρύπες μικρές. Από κάτω ήταν γραμμένα τα παρακάτω λόγια: «Κόκκινος ουρανός μεγάλα κλειδιά, κίτρινος ουρανός, μικρά κλειδιά. Στην κλειδαριά τα βάζεις, 3 φορές τον αριθμό φωνάζεις». Τι περίεργο μήνυμα, σκέφτηκε. Ας το ξαναδιαβάσω άλλη μια φορά (Επαναλαμβάνω το αίνιγμα ακόμα μια φορά, προκαλώντας το παιδί να επαναλάβει κάποιες φράσεις από το μήνυμα). Πώς νομίζεις ότι μπορούσε να ανοίξει μια τέτοια κλειδαριά; Τι του ζητούσε να κάνει; (ερώτηση ελέγχου κατανόησης στόχου και διαδικασίας επίλυσης του προβλήματος). Θυμάσαι τι χρώμα είχαν τα φτερά του πουλιού και τι χρώμα της πεταλούδας; (έλεγχος συγκράτησης δεδομένων προβλήματος). Πόσες ήταν οι μεγάλες κλειδαριές; Πόσες οι μικρές; Αν τα θυμάται κάνω ένα θετικό σχόλιο (πράγματι έτσι είναι). Ο θυμήθηκε τα 4 κόκκινα φτερά του πουλιού και τα 2 φτερά της πεταλούδας και αποφάσισε να τα χρησιμοποιήσει; Σκέφτηκε ότι ο ουρανός γίνεται κόκκινος όταν ο ήλιος βασιλεύει και κίτρινος όταν βγαίνει το φεγγάρι. Περίμενε λοιπόν και όταν ήρθε το ηλιοβασίλεμα πέταξε τα 4 κόκκινα φτερά του πουλιού στον αέρα και τότε έγιναν 4 μεγάλα κλειδιά. Τα πήρε και τα έβαλε στην κλειδαριά. Φώναξε τον αριθμό (ποιον αριθμό φώναξε; Ερώτηση για το αν θυμάται τα δεδομένα αριθμούς του προβλήματος). Όταν νύχτωσε βγήκε το φεγγάρι και τότε έβγαλε τα 2 κίτρινα φτερά τα πέταξε στον αέρα και αμέσως δυο μικρά κλειδιά εμφανίστηκαν. Ο έβαλε μέσα στις τρύπες και τα μικρά κλειδιά, φώναξε τον αριθμό (ποιον αριθμό φώναξε; Ερώτηση για το αν θυμάται τα δεδομένα αριθμούς του προβλήματος), αλλά ο πύργος πάλι δεν άνοιξε. Τι έπρεπε να κάνει για να ανοίξει η κλειδαριά; Ποιον αριθμό έπρεπε να φωνάξει; Ποιος αριθμός σχηματίζονταν από όλα τα κλειδιά; (ερώτηση ελέγχου για την επιλογή κατάλληλης μεθόδου και του προβλήματος) Σε περίπτωση που δε μπορεί να επιλύσει νοερά το πρόβλημα του προτείνω να χρησιμοποιήσει τα αντικείμενα που βρίσκονται πάνω στο τραπέζι. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι : «Τα προβλήματα» 83 *

88 - Συμπέρασμα, κλείσιμο. Έτσι φώναξε τρεις φορές τον αριθμό που έβγαζαν όλα τα κλειδιά μαζί. Στη στιγμή ο γυάλινος πύργος διαλύθηκε και ελευθερώθηκε η πεντάμορφη. Οι δυο νέοι παντρεύτηκαν, ενώ ο δράκος έσκασε από το κακό του. Το παιδί σκέφτεται και περιγράφει τις στρατηγικές επίλυσης του προβλήματος (υλικούςνοητικούς λεκτικούς), αιτιολογεί την στρατηγική του, περιγράφει τις πληροφορίες, και το στόχο του προβλήματος. Προβλήματα μεταβολής - Ελάττωσης με άγνωστο το τελικό σύνολο Αριθμητικά - Μαθηματικά δεδομένα: ελάττωσης (8 4 = 4) «Ο ΟΔΥΣΣΕΑΣ ΚΑΙ Ο ΚΥΚΛΩΠΑΣ» Κάνω μια εισαγωγή σχετικά με τον Οδυσσέα: γνωρίζεις τον Οδυσσέα; (αν όχι) Ο Οδυσσέας ήταν ο άρχοντας της Ιθάκης και ένας πολύ έξυπνος άντρας. Όταν μετά τον πόλεμο της Τροίας θέλησε να επιστρέψει στο σπίτι του, ο θεός Ποσειδώνας, ο θεός της θάλασσας, αποφάσισε να τον τιμωρήσει γιατί έδειξε ασέβεια στο όνομά του και τον έριξε σε πολλές περιπέτειες, εμποδίζοντας τον να φτάσει στο σπίτι του για πάρα πολλά χρόνια. Μετά από πολλές περιπέτειες ο Οδυσσέας βρέθηκε σε ένα νησί, έχοντας χάσει πολλούς από τους συντρόφους που είχε μαζί του στο πλοίο με το οποίο ταξίδευε. Αυτήν την περιπέτεια θα σου διηγηθώ αμέσως τώρα. Όταν ο Οδυσσέας με τους συντρόφους του βγήκαν κουρασμένοι στη στεριά μετά από μία ακόμη περιπέτεια, προχώρησαν κουρασμένοι πάνω στην καυτή άμμο. Τα πόδια τους βούλιαζαν και πονούσαν, πεινούσαν και διψούσαν και ο ήλιος έκαιγε τις πλάτες τους. καθώς περπατούσαν είδαν μια σπηλιά. Μπήκαν μέσα και είδαν ότι ήταν γεμάτη με τυριά, γάλατα και γιαούρτι. Πιο κει έβοσκε ένα μικρό κοπάδι προβάτων. Ποιος μπορεί να μένει εδώ; Σκέφτηκαν. Όμως συνέβαινε κάτι παράξενο εκεί μέσα. Όμως όλα εκεί μέσα είχαν τεράστιο μέγεθος: τα τυριά, οι κούπες, το κρεβάτι που ξάπλωνε. Ποιος μπορεί να χρησιμοποιούσε τέτοια αντικείμενα; Αναρωτήθηκαν. Ποιος νομίζεις ότι έμενε εκεί; (ερωτήσεις εμπλοκής πρόκλησης ενδιαφέροντος) Πράγματι σε λίγο εμφανίστηκε ένας τεράστιος γίγαντας. Από μακριά ακούστηκαν τα βαριά βήματά του. Η γη έτρεμε σα να γίνονταν σεισμός. Ο Οδυσσέας με τους συντρόφους του φοβήθηκαν πολύ και έτρεξαν να κρυφτούν σε μια σκοτεινή γωνιά της σπηλιά. Τι μπορούσαν άλλωστε να κάνουν; (ρητορική ερώτηση ελέγχου ενδιαφέροντος) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι : «Τα προβλήματα» 84 *

89 Μια τεράστια σκιά έκρυψε το φως στην είσοδο της σπηλιάς, όταν μπήκε μέσα ο Κύκλωπας, ο γιος του Ποσειδώνα, του Θεού της θάλασσας. Όμως ο Κύκλωπας ο Πολύφημος, όπως τον έλεγαν, είχε κάτι παράξενο: είχε μόνο ένα μάτι. Επειδή όμως δεν καλόβλεπε δεν αντιλήφθηκε τους ξένους. Ο Πολύφημος αγαπούσε πολύ τα πρόβατά του. Κάθε βράδυ τα μάζευε στη σπηλιά, τους μιλούσε, τα χάιδευε και αφού τα μετρούσε για να δει αν του έλειπε κανένα, έλεγε: «8 πρόβατα είναι εδώ, γάλα δίνουν για να πιω. 8 κούπες θέλω εγώ, για να πάω να κοιμηθώ». Μετά τα άρμεγε και έπινε το γάλα τους. Κάθε βράδυ, όταν άρμεγε το κοπάδι του ο Κύκλωπας μέτραγε τα πρόβατά του και έλεγε πάντα το ίδιο. Ύστερα γέμιζε 8 κούπες με γάλα και έπεφτε σε βαθύ ύπνο. Για να χορτάσει έπρεπε να πιει όλες τις κούπες, διαφορετικά δε μπορούσε να κοιμηθεί. Έτσι έκανε κι εκείνο το βράδυ. Την άλλη μέρα μόλις έφυγε ο Κύκλωπας νωρίς το πρωί, ο Οδυσσέας και οι σύντροφοι βγήκαν από την κρυψώνα τους πεινασμένοι καθώς ήταν, άρμεξαν μερικά πρόβατα και ήπιαν 4 κούπες γάλα. Το βράδυ που γύρισε ο Κύκλωπας Πολύφημος, κάθισε και μέτρησε ένα - ένα τα πρόβατα του και μετά είπε «8 πρόβατα είναι εδώ, Θυμάσαι τη συνέχεια; Πόσες κούπες χρειάζονταν για να χορτάσει ο Κύκλωπας; (ερωτήσεις κατανόησης και περιγραφής πληροφοριών και αριθμών) ( να μου δώσουν γάλα 8 κούπες θέλω εγώ για να πάω να κοιμηθώ) Άρμεξε λοιπόν τα πρόβατά του, όμως έβγαλε λιγότερο γάλα, από ό,τι έβγαζε άλλες φορές. Το ήπιε, αλλά δε χόρτασε. Καταλαβαίνεις γιατί δε χόρτασε ο Πολύφημος; (ερώτηση κατανόησης πληροφοριών) Όπως ήταν φυσικό ο Κύκλωπας, αφού δε χόρτασε, δεν μπορούσε να κοιμηθεί. Θύμωσε γιατί η κοιλιά του ακουγόταν σαν τύμπανο από τα γουργουρητά. Στριφογύριζε στο κρεβάτι του αλλά σε καμία περίπτωση δε μπορούσε να κοιμηθεί. Ο Οδυσσέας σκέφτηκε: «τι να κάνω για να κοιμηθεί; Δεν πρόκειται να κλείσουμε μάτι απόψε». Γιατί από τα στριφογυρίσματά του αναπηδούσε όλη η γη και δεν άφηνε κανέναν άλλο να κοιμηθεί. Ψάχνει τις τσέπες του και βρίσκει ένα χάπι για τον ύπνο. Το ρίχνει κρυφά στο νερό του Κύκλωπα, αυτός δίψασε, το ήπιε, αλλά μάταια. Ο Κύκλωπας δεν κοιμόταν. Τι χρειάζονταν για να κοιμηθεί ο Κύκλωπας; Πόσες κούπες με γάλα νομίζεις ότι έλειπαν; (ερώτηση κατανόησης στόχου και παρουσίασης αποτελέσματος). Αν το παιδί προτείνει ένα λάθος αριθμό συνεχίζω Ήπιε ο Κύκλωπας κούπες γάλα, αλλά πάλι δε χόρτασε. Γιατί νομίζεις ότι δε χόρτασε; (ερώτηση κατανόησης στόχου και παρουσίασης αποτελέσματος). ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι : «Τα προβλήματα» 85 *

90 Σε περίπτωση που δε μπορεί να επιλύσει νοερά το πρόβλημα του προτείνω να χρησιμοποιήσει τα αντικείμενα που βρίσκονται πάνω στο τραπέζι. - Συμπέρασμα, κλείσιμο. Τελικά ο Οδυσσέας γέμισε τις υπόλοιπες κούπες με νερό και έριξε σε κάθε κούπα λίγο γάλα, ώστε να έχουν όλα τη γεύση του γάλακτος. Και έτσι κοιμήθηκε ο Πολύφημος. Πρόβλημα σύνθεσης - Περισσότερο με άγνωστο το σύνολο της διαφοράς Αριθμητικά - Μαθηματικά δεδομένα: σύνθεση με μεγάλη πράξη (6 + 3 = 9) «ΤΟ ΜΑΓΙΚΟ ΚΟΥΤΙ» Ζούσε κάποτε ένας πολύ φτωχός άνθρωπος που για να ζήσει ψάρευε στη θάλασσα. Αυτόν λοιπόν τον άνθρωπο τον έλεγαν - Πώς θέλεις να λένε τον φτωχό (ερώτηση εμπλοκής πρόκληση ενδιαφέροντος) - Μια μέρα ο φτωχός εκεί που ψάρευε έπιασε ένα ψάρι που μιλούσε με ανθρώπινη φωνή και του είπε «σε παρακαλώ, άσε με να γυρίσω στη θάλασσα». Ο φτωχός το λυπήθηκε και το έριξε ξανά πίσω στη θάλασσα. Τότε το ψάρι για να τον ευχαριστήσει, βούτηξε στη θάλασσα και του έδωσε ένα κουτί. «Πάρε αυτό το κουτί και ότι του ζητάς θα σου το δίνει, φαγητά, ρούχα, χρήματα, ό,τι τραβά η ψυχή σου. Πρόσεξε όμως το κουτί έχει ένα μυστικό κώδικα (το τονίζω εκφραστικά): μπορεί να δώσει κάθε φορά μόνο μέχρι έναν ορισμένο αριθμό αντικείμενα - πράγματα. Αν ζητήσεις παραπάνω το κουτί δε δουλεύει. Πρόσεξε να μην είσαι άπληστος.» Αυτά είπε το ψάρι και χάθηκε στην απέραντη θάλασσα. Ο φτωχός πήρε το κουτί και πήγε στο σπίτι του. Φώναξε τη γυναίκα του και τη κόρη του και τους είπε: «πείτε μου την πιο κρυφή σας επιθυμία και αμέσως θα την πραγματοποιήσω». Ας δώσουμε ένα όνομα στη γυναίκα του και στην κόρη του. Διάλεξε ένα όνομα για τη γυναίκα. Πώς θέλεις να λένε την κόρη του; Ας διαλέξουμε ένα όνομα και γι αυτήν (ερώτηση εμπλοκής πρόκληση ενδιαφέροντος) Η γυναίκα του, η ζήτησε ένα χρυσό βραχιόλι και η κόρη του, η ζήτησε ένα δαχτυλίδι. Αμέσως το κουτί άρχισε να λάμπει, άνοιξε και βγήκαν τα δυο κοσμήματα. Η γυναίκα με την κόρη ενθουσιάστηκαν τόσο πολύ που ήθελαν να ζητήσουν κι άλλα πράγματα, αλλά ο (φτωχός) δεν τους άφησε, γιατί θυμήθηκε τα λόγια του ψαριού. Τι του είχε πει το ψάρι; (ερώτηση κατανόησης και περιγραφής των δεδομένων του προβλήματος) Την άλλη μέρα όμως που αυτός πήγε στη δουλειά πήραν το μαγικό κουτί. Η γυναίκα.ζήτησε 5 φορέματα και 6 Τι άλλο θέλεις να ζήτησε; Διάλεξε κάτι εσύ. (Το παιδί επιλέγει, ερώτηση εμπλοκής πρόκληση ενδιαφέροντος) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι : «Τα προβλήματα» 86 *

91 Όμως το κουτί δεν έβγαζε τίποτα. Τι είχε συμβεί; Γιατί δε δούλευε το κουτί; (ερώτηση κατανόησης πληροφοριών) Όπως ήταν όμως φυσικό το κουτί δεν τους έδινε τίποτα, γιατί το κουτί όπως σου έχω πει είχε ένα μυστικό κώδικα (το τονίζω). Κατάλαβες πώς δούλευε το κουτί; (ερώτηση κατανόησης στόχου - Δεν εξηγώ εγώ στο παιδί, αλλά περιμένω να δω αν κατάλαβε τα δεδομένα του προβλήματος.) Η κόρη του όμως κατάλαβε πώς δούλευε το κουτί γι αυτό ζήτησε 6 χρυσά κοκαλάκια για τα μακριά της τα μαλλιά και 3 (βραχιόλια). Τι άλλο ζήτησε η κόρη; (Ερώτηση εμπλοκής πρόκληση ενδιαφέροντος). Αμέσως το κουτί άρχισε να λάμπει, το καπάκι του άνοιξε και βγήκαν όλα όσα ζήτησε η κόρη. Γιατί τώρα έδωσε το κουτί ό,τι του ζήτησε η κόρη; (ερώτηση κατανόησης στόχου). Πόσα πράγματα ζήτησε η (κόρη); Μέχρι πόσα αντικείμενα μπορούσε να δώσει το κουτί; (ερώτηση επιλογής κατάλληλης μεθόδου επίλυσης) - Συμπέρασμα, κλείσιμο. Η κόρη φώναξε τη μαμά της και της εξήγησε πώς δούλευε το κουτί. Από τότε ζητούσαν πάντοτε μέχρι 9 αντικείμενα και τίποτα δεν τους έλειψε. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι : «Τα προβλήματα» 87 *

92 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ: «Φύλλα Παρατήρησης» ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ: «Φύλλα Παρατήρησης» 88 *

93 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ: Μεταβολής Αύξησης Ημερομηνία: / 5/ 09 Χρονική Διάρκεια δραστηριότητας: Χρόνος επίλυσης προβλήματος (χωρίς την παρουσίαση) : συνολικός χρόνος: ΟΝΟΜΑ ΠΑΙΔΙΟΥ: ΝΟΗΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΛΕΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΥΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ Ανάκληση αριθμών, Νοερή επίλυση Λύνει το πρόβλημα με μια ματιά (οπτικά) Χρήση αντικειμένων Θυμάται τις πληροφορίες του προβλήματος Συμμετοχή σε όλη τη διάρκεια Μετρά αντικείμενα / δάχτυλα νοερά Σχόλια: Μέτρηση όλων Χρήση δακτύλων Ξεκινά το μέτρημα Χρήση από τον πρώτο εικονικών αριθμό που δίνεται σχεδίων στο πρόβλημα Θυμάται αριθμούς Καμία συμμετοχή Κατανοεί τι ζητάει το πρόβλημα (σύνδεση στοιχείων του προβλήματος που χρειάζονται διερεύνηση) Διατυπώνει ερωτήσεις, απόψεις σχετικά με την ιστορία / πρόβλημα περιέργεια Ξεκινά το μέτρημα από το μεγαλύτερο αριθμό Χρησιμοποιεί τη μέθοδο της δοκιμής και του λάθους Συνδυασμός δύο ή περισσότερων στοιχείων Περιγραφή με λόγο (ιδέες, ενέργειες) Παρουσιάζει το αποτέλεσμα Ακούει προσεκτικά την ιστορία/ πρόβλημα Σωστή επίλυση προβλήματος Λανθασμένη επίλυση προβλήματος Καμία λύση Αφαίρεση προσοχής Συμπληρώνω με τις ενέργειες που παρατηρούνται κατά τη διάρκεια του τεστ

94 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ: Μεταβολής Ελάττωσης Ημερομηνία: / 5/ 09 Χρονική Διάρκεια δραστηριότητας: Χρόνος επίλυσης προβλήματος (χωρίς την παρουσίαση) : συνολικός χρόνος: ΟΝΟΜΑ ΠΑΙΔΙΟΥ: ΝΟΗΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΛΕΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΥΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ανάκληση αριθμών, Νοερή επίλυση Λύνει το πρόβλημα με μια ματιά (οπτικά) Χρήση αντικειμένων Θυμάται τις πληροφορίες του προβλήματος ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ Συμμετοχή σε όλη τη διάρκεια Μετρά αντικείμενα / δάχτυλα νοερά Σχόλια: Μέτρηση όλων Χρήση δακτύλων Θυμάται αριθμούς Καμία συμμετοχή Ξεκινά το μέτρημα από τον πρώτο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα Χρήση εικονικών σχεδίων Κατανοεί τι ζητάει το πρόβλημα (σύνδεση στοιχείων του προβλήματος που χρειάζονται διερεύνηση) Διατυπώνει ερωτήσεις, απόψεις σχετικά με την ιστορία / πρόβλημα περιέργεια Ξεκινά το μέτρημα από το μεγαλύτερο αριθμό Χρησιμοποιεί τη μέθοδο της δοκιμής και του λάθους Περιγραφή με λόγο (ιδέες, απόψεις) Παρουσιάζει το αποτέλεσμα Ακούει προσεκτικά την ιστορία/ πρόβλημα Αφαίρεση προσοχής Σωστή επίλυση προβλήματος Λανθασμένη επίλυση προβλήματος Καμία λύση

95 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ: Σύνθεσης Ημερομηνία: / 5/ 09 Χρονική Διάρκεια δραστηριότητας: Χρόνος επίλυσης προβλήματος (χωρίς την παρουσίαση) : συνολικός χρόνος: ΟΝΟΜΑ ΠΑΙΔΙΟΥ: ΝΟΗΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΛΕΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΥΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ανάκληση αριθμών, Νοερή επίλυση Λύνει το πρόβλημα με μια ματιά (οπτικά) Χρήση αντικειμένων Θυμάται τις πληροφορίες του προβλήματος ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ Συμμετοχή σε όλη τη διάρκεια Μετρά αντικείμενα / δάχτυλα νοερά Σχόλια: Μέτρηση όλων Χρήση δακτύλων Θυμάται αριθμούς Καμία συμμετοχή Ξεκινά το μέτρημα από τον πρώτο αριθμό που δίνεται στο πρόβλημα Χρήση εικονικών σχεδίων Κατανοεί τι ζητάει το πρόβλημα (σύνδεση στοιχείων του προβλήματος που χρειάζονται διερεύνηση) Διατυπώνει ερωτήσεις, απόψεις σχετικά με την ιστορία / πρόβλημα περιέργεια Ξεκινά το μέτρημα από το μεγαλύτερο αριθμό Χρησιμοποιεί τη μέθοδο της δοκιμής και του λάθους Συνδυασμός δύο ή περισσότερων στοιχείων Περιγραφή με λόγο (ιδέες, απόψεις) Παρουσιάζει το αποτέλεσμα Σωστή επίλυση προβλήματος Λανθασμένη επίλυση προβλήματος Καμία λύση Ακούει προσεκτικά την ιστορία/ πρόβλημα Αφαίρεση προσοχής

96 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ : «Εικονικές Αναπαραστάσεις» 5.1. Λεκτικά προβλήματα Πρόβλημα Σύνθεσης : Νομίσματα

97 Πρόβλημα Μεταβολής _- Ελάττωσης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ : «Εικονικές Αναπαραστάσεις» 90 *

98 Πρόβλημα Μεταβολής - Αύξησης Πρόβλημα Μεταβολής - Ελάττωσης Γράμματα, Αριθμοί και Αυτοκίνητα Πρόβλημα Μεταβολής - Αύξησης Πρόβλημα Σύνθεσης Ψευδογράμματα και Γράμματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ : «Εικονικές Αναπαραστάσεις» 91 *

99 5.2. Αφηγηματικά προβλήματα «Το μαγικό κουτί» - Πρόβλημα Σύνθεσης : εικονίζεται ο ένας προσθετέος ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ : «Εικονικές Αναπαραστάσεις» 92 *

100 «Η πεντάμορφη» Πρόβλημα Μεταβολής Αύξησης Εικονίζονται τα κλειδιά «Η πεντάμορφη» Πρόβλημα Μεταβολής Αύξησης Εικονίζονται τα κλειδιά ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ : «Εικονικές Αναπαραστάσεις» 93 *

101 «Το μαγικό κουτί» Πρόβλημα Σύνθεσης «Ο Οδυσσέας και ο Κύκλωπας» Πρόβλημα Μεταβολής - Ελάττωσης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ : «Εικονικές Αναπαραστάσεις» 94 *

102 «Ο Οδυσσέας και ο Κύκλωπας» Πρόβλημα Μεταβολής - Ελάττωσης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ : «Εικονικές Αναπαραστάσεις» 95 *