Η διάταξη εξαναγκασμένων ταλαντώσεων του σχολικού βιβλίου

Transcript

1 Η ιάταξη εξαναγκασμένν ταλαντώσεν του σχολικού βιβλίου Εισαγγή Κατά την μαθηματική μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντσης με αρμονικό ιεγέρτη θερούμε ένα σώμα στο οποίο, εκτός από την ύναμη επαναφοράς Dx και την ύναμη απόσβεσης bυ, ασκείται και μια αρμονική ύναμη F=F ημ(t). Στο σχήμα που ακολουθεί εμφανίζεται μια τυπική πειραματική ιάταξη με την οποία μελετάται η εξαναγκασμένη ταλάντση. Σε μια υποσημείση του σχολικού βιβλίου αναφέρεται ότι η καμπύλη συντονισμού τέμνει τον άξονα τν πλατών σε ένα σημείο με τεταγμένη ίση με την απόσταση του σημείου πρόσεσης του νήματος από το κέντρο του τροχού. ύο βασικά ερτήματα προκύπτουν. Πς ασκείται στο σώμα η ύναμη του ιεγέρτη αφού το σώμα έρχεται σε επαφή μόνο με το ελατήριο; Πς εξηγείται η παραπάν ιιότητα της καμπύλης συντονισμού; Η παρούσα μελέτη αποτελείται από τα εξής μέρη: Μια σύντομη υπενθύμιση τν βασικών αποτελεσμάτν που αφορούν στην εξαναγκασμένη ταλάντση με αρμονικό ιεγέρτη. Συσχετισμός της θερητικής μελέτης με την πειραματική ιάταξη. ιερεύνηση τν προϋποθέσεν υπό τις οποίες τα νήματα που συνέσουν το σώμα με το ελατήριο και τον τροχό με το ελατήριο εν κάμπτονται τόσο στην περίπτση που εν υπάρχουν αποσβέσεις όσο και στην περίπτση που b Ενιαφέρον αποτέλεσμα της ιερεύνησης είναι ότι για κατάλληλα μικρό μέγεθος του τροχού και κατάλληλα μεγάλη τιμή της σταθεράς απόσβεσης τα νήματα παραμένουν τεντμένα για κάθε τιμή της συχνότητας του ιεγέρτη.. Εξαναγκασμένη ταλάντση με αρμονικό ιεγέρτη Το θέμα αυτό μελετάται αναλυτικά στο βιβλίο του Θρασύβουλου Μαχαίρα. Επειή θα χρησιμοποιήσ κάποια αποτελέσματα αντί να τα επικολλήσ θα προσπαθήσ να τα εξαγάγ κάνοντας χρήση της αντιστοιχίας ηλεκτρικής και μηχανικής ταλάντσης. Θερούμε ένα κύκλμα R-L-C συνεεμένο με πηγή εναλλασσόμενης τάσης v= V ημ( t). Η εμπέηση του κυκλώματος είναι Z= R + (L ), το πλάτος της έντασης του ρεύματος είναι C V V Ι =, το πλάτος της τάσης του πυκντή Vc = IZc = και το πλάτος του φορτίου του πυκντή Z ZC V V V Q= CVc = C = = ZC Z R + (L ) C

2 L ZL Zc Αν θ η ιαφορά φάσης τάσης έντασης τότε εϕθ = = C R R Το φορτίο του πυκντή συναρτήσει του χρόνου ίνεται από την σχέση π q= Q ημ( t θ ) Από την αντιστοιχία μεγεθών της εξαναγκασμένης ηλεκτρικής ταλάντσης και της εξαναγκασμένης μηχανικής ισχύει ότι L m, D C, R b, V F, Q A, q x. Επομένς, F A =, (.) b + (m D) k m εϕθ =, (.) R π x = A ημ( t θ ) (.) Η ποσότητα b + (m D) = m ( ) + (b md) + D είναι τριώνυμο ς προς. β md b D b b Το τριώνυμο mz + (b md)z+ D έχει ελάχιστο όταν z = = = = α m m m m b Όταν ( μεγάλη απόσβεση) τότε εν υπάρχει για την οποία η παράσταση m b + (m D) να έχει τοπικό ελάχιστο, η παράσταση αυτή είναι αύξουσα συνάρτηση του και το πλάτος Α φθίνουσα. b Όταν ( μικρή ή μεσαία απόσβεση) τότε για την συχνότητα m b c = (.4) m το πλάτος γίνεται μέγιστο. F Παρατηρούμε ότι όταν τότε A. D F Άρα η καμπύλη συντονισμού τέμνει τον άξονα τν πλατών στο σημείο με τεταγμένη A = D

3 . Η εξαναγκασμένη ταλάντση σε κατακόρυφο ελατήριο. x F ελ x mg Θερούμε την ιάταξη του σχήματος. Στο πρώτο σχήμα τόσο το ελατήριο όσο και το σώμα είναι mg ακίνητα. Επομένς η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι L =. k Έστ ότι αρχίζουμε να κινούμε το άν άκρο του ελατηρίου με αποτέλεσμα το σώμα να τεθεί σε κίνηση. Θερούμε μια τυχαία χρονική στιγμή που το σώμα έχει μετατοπιστεί κατά x και το άν άκρο του ελατηρίου κατά x. mg Η παραμόρφση του ελατηρίου είναι L+ x x = + x x. k Υποθέτουμε ότι στο σώμα εκτός από την ύναμη του ελατηρίου και το βάρος του ασκείται και μια ύναμη τριβής ανάλογη της ταχύτητας. Για την συνισταμένη ύναμη που ασκείται στο σώμα έχουμε: mg Σ F= mg k(x x + ) bυ= kx bυ+ kx k Υποθέτουμε ότι η κίνηση του άν άκρου του ελατηρίου είναι α.α.τ με εξίσση x = x ημ( t). Η συνισταμένη ύναμη που ασκείται στο σώμα είναι: Σ F= kx bυ+ kx ημ( t) (.) Η ποσότητα F = kx ημ ( t) = F ημ ( t) είναι η ύναμη που αντιστοιχεί στον ιεγέρτη. Το πλάτος της ταλάντσης ίνεται από την σχέση (.) F kx Η καμπύλη συντονισμού τέμνει τον άξονα τν πλατών στο σημείο με τεταγμένη A = x D = k =. Η τυποποιημένη ιάταξη εξαναγκασμένης ταλάντσης d S φ R Θα αποείξουμε ότι στην ιάταξη του σχήματος, η άκρη του νήματος εκτελεί αρμονική ταλάντση με πλάτος x =R.

4 Έστ R η ακτίνα του κύκλου που ιαγράφει το σημείο πρόσεσης του νήματος στον τροχό, d η απόσταση του κέντρου του τροχού από το σημείο επαφής του νήματος με την τροχαλία, και S το μήκος του νήματος που βρίσκεται μεταξύ τροχού και τροχαλίας. Υποθέτουμε ότι η ακτίνα R είναι πολύ μικρότερη της ιακετρικής απόστασης τροχού τροχαλίας. Αυτό έχει σαν συνέπεια η απόσταση d να είναι πρακτικά σταθερή. Από τον νόμο τν συνημιτόνν στο τρίγνο που ορίζουν τα S,d, R έχουμε: R R S = d + R drσυνϕ = d + συνϕ. d d Θερούμε την συνάρτηση h με h( λ ) = +λ λσυνϕ λ συνϕ Ισχύει ότι h( λ ) =, h()=, h() +λ λσυνϕ = συνϕ. Αναπτύσσοντας την h κατά Taylo και κρατώντας όρους μέχρι πρώτης τάξης ς προς λ έχουμε: h( λ ) = h() + h () λ= λσυνϕ. R Επομένς S= d( συνϕ ) = d Rσυνϕ. d Αν ο ίσκος εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, τότε φ=t και το άκρο του νήματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντση πλάτους x =R.. ιερεύνηση της φοράς της ύναμης του ελατηρίου (α μέρος) Οι παράμετροι του προβλήματος είναι: η σταθερά k του ελατηρίου η μάζα m του σώματος η σταθερά απόσβεσης b το πλάτος x =R της ταλάντσης του άκρου του ελατηρίου. η γνιακή συχνότητα του τροχού. Ας υποθέσουμε ότι το σώμα είναι εμένο στο ελατήριο μέσ νήματος. Αν το πλάτος της ταλάντσης είναι μεγάλο, τότε υπάρχει ο κίνυνος να «ιπλώσει το νήμα» και να πάψει η αλληλεπίραση σώματος ελατηρίου. Ο ίιος κίνυνος υπάρχει για το νήμα που συνέει τον τροχό με το ελατήριο. Για να μην ιπλώσει κάποιο από τα νήματα πρέπει και αρκεί το ελατήριο να είναι συνεχώς σε κατάσταση επιμήκυνσης. Στην περίπτση αυτή, θα πρέπει η F ελ που ασκεί το ελατήριο στο σώμα να έχει συνεχώς φορά προς τα πάν. Ας θερήσουμε κατ αρχάς την περίπτση που εν υπάρχουν αποσβέσεις. Υποθέτουμε επίσης ότι οι αρχικές συνθήκες είναι τέτοιες ώστε η κίνηση του σώματος να γίνεται μόνο με την κυκλική συχνότητα του ιεγέρτη. Ισχύει ότι mg Fελ = ma Fελ = mg ma ίχς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι x=aημ(t) a=- Αημ(t). Αντικαθιστώντας στην ύναμη του ελατηρίου έχουμε: Fελ = mg+ m Αημ( t) = mg+ m A ημ( t) Για να είναι το νήμα συνεχώς τεντμένο πρέπει F ελ γα κάθε χρονική στιγμή. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει η ελάχιστη τιμή της F ελ να είναι μη αρνητική. Συνεπώς, g kx g kx g mg m A A (m D) m k (.) Στην κατάσταση ισορροπίας η παραμόρφση του ελατηρίου είναι Ισχύει επίσης ότι k = m. 4 mg kl L= g= k m

5 Αντικαθιστώντας στην σχέση (.) έχουμε: x L (.) ιακρίνουμε ύο περιπτώσεις Περίπτση : > Η σχέση (.) είναι ισούναμη με την x L x L L L ( L x ) Για να υπάρχουν τιμές του που ικανοποιούν την αντέρ σχέση πρέπει L>x ( μικρός τροχός). Τότε οι τιμές του για τις οποίες εν ιπλώνουν τα νήματα ικανοποιούν την συνθήκη: L > (.) L x Περίπτση : < Η σχέση (.) είναι ισούναμη με την: x L x L L (x +L) L L < x +L εν είναι ύσκολο να είξουμε ότι για συχνότητες που ικανοποιούν την σχέση (.) ή την σχέση (.4), η παραμόρφση του ελατηρίου x x + L είναι συνεχώς μη αρνητική. (.4) 5

6 4. ιερεύνηση της φοράς της ύναμης του ελατηρίου (β μέρος) Θερούμε τώρα ότι b Ισχύει ότι mg Fελ bυ= ma Fελ = mg + bυ ma ίχς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι x=aημ(t), υ=ασυν(t), a=- Αημ(t). Αντικαθιστώντας στην ύναμη του ελατηρίου έχουμε: Fελ = mg+ b Ασυν( t) + m Αημ( t) = mg+ A[ m ημ( t) + b συν( t) ] Η ποσότητα m ημ( t) + b συν( t) μπορεί να πάρει την μορφή m ημ( t) + b συν( t) = m + b ημ( t + ϕ ) Άρα Fελ = mg+α m + b ημ( t +ϕ ) (4.) Για να είναι το νήμα συνεχώς τεντμένο πρέπει F ελ γα κάθε χρονική στιγμή. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει η ελάχιστη τιμή της F ελ να είναι μη αρνητική. Συνεπώς, mg kx mg mg Α m + b A m + b b + (m D) m + b x L x L b + (m D) m + b b + (m D) (m + b ) (4.) Ισχύει ότι D= m. (4.α) b x Θέτουμε = b = m, z =, z =, = m L (4.β) Η συχνότητα c μεγιστοποίησης του πλάτους ίνεται από την σχέση b c = z c = z. m (4.γ) Υποθέτουμε ότι υπάρχει συχνότητα συντονισμού και επομένς zc > z > < z (4.4) Η σχέση (4.) γίνεται: x L z + z z z + zz z + ( ) ( + ) z + (z z ) z(z + ) ( )z + ( + z )z z Θέτουμε f(z) = ( )z + ( + z )z z (4.5α) Αναζητούμε υπό ποιες προϋποθέσεις υπάρχουν τιμές του z τέτοιες ώστε f(z). (4.5β) ιερευνούμε επίσης την υνατότητα, η συχνότητα συντονισμού να είναι σε αυτό το εύρος τιμών. Η ιακρίνουσα του τρινύμου f είναι = ( + z ) + 4( )z 4 = + + 4z + 4 z 4 z + 4 z 4z 4 = ( + ) + 4z ( ) + 4 z = ( ) + 4z ( ) + 4 z (4.6) Η ς τριώνυμο του έχει ιακρίνουσα = 6z ( ) 6( ) z = 6z ( ) (4.7) Ένας παράγοντας που καθορίζει τη θέση του z c ς προς τις ρίζες του τρινύμου f(z) είναι το πρόσημο της τιμής 6

7 f(z c) = f(z ) f(z c) = ( )(z ) + ( + z )(z ) L z f(z c) = z + z z + z+ z z + z + z z 4 4 f(z c) = z + z L = ( ) 4z+ 4 z (4.8) To f(z c ) είναι τριώνυμο του με ιακρίνουσα 4 4 = 6z 6 z ( ) = 6z 6 z + 6 z = 6z ( + ) (4.9) Η είναι τριώνυμο του με ιακρίνουσα = <. Επομένς >. Από τα παραπάν φαίνεται ότι κρίσιμη ποσότητα στην ιερεύνηση είναι το πρόσημο της ιαφοράς. ιακρίνουμε επομένς τις εξής περιπτώσεις Περίπτση : > x > L (μεγάλος τροχός) Από την σχέση (4.7) συμπεραίνουμε ότι <. Επομένς η εν έχει πραγματικές ρίζες. Από την σχέση (4.6) προκύπτει ότι > για κάθε. Επομένς το τριώνυμο f(z) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες με γινόμενο z ( ) Άρα μια ρίζα του τρινύμου είναι αρνητική ( έστ z ) και η άλλη θετική ( έστ z ). Για το πρόσημο του f(z) έχουμε τον επόμενο πίνακα z z z f(z) Επομένς, για να μην ιπλώνει το νήμα πρέπει <z<z. Σύμφνα με τις σχέσεις (4.8) και (4.9) η τιμή f (z c) = ( ) 4z 4 z 4 + θερούμενη ς τριώνυμο του έχει θετική ιακρίνουσα >. 4 z Άρα η f(z c ) έχει ύο πραγματικές ρίζες < 4 με γινόμενο < Συνεπώς << 4. Για το πρόσημο του f(z c ) για τις ιάφορες τιμές του έχουμε τον επόμενο πίνακα: 4 f(z c ) Ισχύει ότι f (z c)(z ) = ( )4z 4zz 4 z z 4 + = <. Άρα ο z είναι εκτός του ιαστήματος [, 4 ]. + z + z = z = z > z > Άρα ο z είναι εξιά του 4. 4 z f(z c ) <. 7

8 Αν << 4 τότε f(z c )>z c >z. Άρα η συχνότητα συντονισμού εν είναι στο επιτρεπτό εύρος τιμών του z. Αν 4 < <z, τότε f(z c )<<z c < z. Η ιάταξη είναι κατάλληλη. Περίπτση : : < x < L (μικρός τροχός) Από την σχέση (4.7) συμπεραίνουμε ότι >. Επομένς η ς τριώνυμο του έχει ύο πραγματικές ρίζες < με γινόμενο 4 z 4z ( ) > και άθροισμα > ( ) ( ) Συνεπώς οι ύο ρίζες της είναι θετικές Για το πρόσημο της έχουμε τον επόμενο πίνακα: () ± Ισχύει ότι, = z Άρα οι ύο ρίζες της () είναι = z και + = z Το γινόμενο τν ριζών του f(z) (πραγματικών ή μιγαικών) είναι z > και το άθροισμά τους (4.) + z z z z+ z = = ( = ), με = > z > Ενιαφερόμαστε για τιμές της τέτοιες ώστε να υπάρχει συχνότητα συντονισμού. Συνεπώς <z <. Άρα το άθροισμα τν ριζών του f(z) θα είναι θετκό. Ισχύει ότι: ( ) = ( ) 4z ( ) + 4 z 4z z ( ) = ( ) 4z ( ) 4 z ( ) + ( ) = 4z ( ) < Άρα < <. (4.) Για το πρόσημο της έχουμε τον επόμενο πίνακα () Η θέση του z ς προς τις ρίζες της () εξαρτάται τόσο από την τιμή 4 (z ) = ( ) 4z + 8z ( ) + 4 z = 4z ( + ) (z ) = 4z ( + ) = 4z + (4.) όσο και από την ιαφορά + 4z ( ) z z = z = z = z < ( ) + z < (4.) Σύμφνα με τις σχέσεις (4.8) και (4.9) η τιμή 8

9 f (z c) = ( ) 4z 4 z 4 + θερούμενη ς τριώνυμο του έχει θετική ιακρίνουσα. 4 z Άρα η f(z c ) έχει ύο πραγματικές ρίζες < 4 με γινόμενο Συνεπώς < < 4. Ισχύει ότι 4 ± +,4 z = Άρα οι ύο ρίζες του f(z c )() είναι: 4 + z = και z = > 4z και άθροισμα >. (4.4) Για το πρόσημο του f(z c ) έχουμε τον επόμενο πίνακα: f(z c ) Η θέση του z ς προς τις ρίζες του f(z c )() εξαρτάται από την τιμή 4z f(z c)(z ) = ( ) 4z 4 z ( ) z 4 + = + = < 4 Επομένς < <z < 4. (4.5) Παρατηρούμε ότι 4 < + < 4 4 > + > < Συνεπώς, < < < < 4 Οι ύο παραπάν πίνακες συνοψίζονται στον 4 f(z c ) Η θέση του z c ς προς τις ρίζες του f(z) καθορίζεται τόσο από την τιμή f(z c ) όσο και από το πρόσημο της ιαφοράς z+ z z zc = z + = z = z = z < z+ z zc < (4.6) 5 Περίπτση α : < Από την σχέση (4.) έχουμε ότι (z )<. Άρα ο z είναι μεταξύ τν, και μικρότερος του. + f(z c ) + z

10 Περίπτση α..: < < z < Όταν < < z <τότε το τριώνυμο f(z) έχει ύο ρίζες θετικές. Το πρόσημο του f(z) για τις ιάφορες τιμές του z φαίνεται στον επόμενο πίνακα: z z z f(z) Για να μην ιπλώνει το νήμα πρέπει z<z ή z>z. Επειή f(z c )>, η z c είναι μεταξύ τν ριζών του f(z). Συνεπώς η ιάταξη είναι ακατάλληλη για πειραματική επίειξη του συντονισμού. Περίπτση α..: << < z < Όταν << < z <τότε το τριώνυμο f(z) έχει ύο ρίζες θετικές. Το πρόσημο του f(z) για τις ιάφορες τιμές του z φαίνεται στον επόμενο πίνακα: z z z f(z) Για να μην ιπλώνει το νήμα πρέπει z<z ή z>z. z+ z Επειή f(z c )< και zc <, η z c είναι μικρότερη της z. Άρα οι τιμές του z για τις οποίες εν κάμπτεται το νήμα είναι <z<z. Συνεπώς η ιάταξη είναι κατάλληλη για πειραματική επίειξη του συντονισμού. Περίπτση α..: << z < Τότε η ιακρίνουσα του f(z) είναι αρνητική και συνεπώς f(z)< για κάθε τιμή του z. Επομένς το νήμα εν κάμπτεται για καμία τιμή του. Συνεπώς η ιάταξη είναι η πλέον κατάλληλη για πειραματική επίειξη του συντονισμού. 5 Περίπτση β : > Από την σχέση (4.) έχουμε ότι (z )>. Άρα ο z είναι εκτός του ιαστήματος τν, και μικρότερος του. Επειή ε ο z είναι μεταξύ τν και 4 έχουμε τον επόμενο πίνακα προσήμν. f(z c ) + z Περίπτση β..: < < z < Όταν < < z <τότε το τριώνυμο f(z) έχει ύο ρίζες θετικές. Για να μην ιπλώνει το νήμα πρέπει z<z ή z>z. Επειή f(z c )>, η z c είναι μεταξύ τν ριζών του f(z). Συνεπώς η ιάταξη είναι ακατάλληλη για πειραματική επίειξη του συντονισμού. Περίπτση β..: << z < Όταν << z <τότε το τριώνυμο f(z) έχει ύο ρίζες θετικές.

11 Για να μην ιπλώνει το νήμα πρέπει z<z ή z>z. z+ z Επειή f(z c )< και zc <, η z c είναι μικρότερη της z. Για να μην ιπλώνει το νήμα πρέπει <z<z. Συνεπώς η ιάταξη είναι κατάλληλη για πειραματική επίειξη του συντονισμού. Συνοψίζοντας Οι περιπτώσεις για τις οποίες η ιάταξη είναι κατάλληλη για πειραματική επίειξη του συντονισμού είναι: z > 4 + z z << < z < ( + z ) + ( ) + 4z ( ) + 4 z ( ) < z << z ( + z ) ( ) + 4z ( ) + 4 z < z < ( ) < 5 z << z < < z << z <z<+ ( + z ) ( ) + 4z ( ) + 4 z < z < ( ) Εφαρμογή Τιμές τν και b για τις οποίες είναι επιτρεπτές όλες οι τιμές της είναι =., b =.4m, z c =.99z, c =.99 =., b=.4m, z c =.94z, c =.97 =.6, b=.7 m =.85m, z c =.64z, c =.8 kofiatis@sch.g