Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (1ο μέρος)

Transcript

1 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (1ο μέρος) Στο σχμα φαίνεται μια διάταξη εξαναγκασμένης ταλάντσης Ένα σώμα μάζας είναι δεμένο στο κάτ άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ και εξαναγκάζεται σε ταλάντση ό έναν έρτη που του ασκεί αρμονικά μεταβαλλόμενη δύναμη Οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλανττ Στην εξαναγκασμένη ταλάντση του σχματος οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλανττ είναι «τριών κατηγοριών»: 1 Οι συντηρητικές δυνάμεις που συνιστούν τη δύναμη αναφοράς και έχουν συνισταμένη -Dx Στον συγκεκριμένο ταλανττ οι δυνάμεις αυτές είναι δύο: η δύναμη ελ που ασκεί το ελατριο στο σώμα και το βάρος B g του σώματος + g -Dx Για τον Κ ταλανττ του σχματος η σταθερά αναφοράς D ισούται με την σταθερά ελαστικότητας K του ελατηρίου υ ν στον ταλανττ ασκούνταν μόνο οι δυνάμεις αυτές, ο ταλανττς θα εκτελούσε ελεύθερη και αμείτη λ αρμονικ D ταλάντση με κυκλικ συχνότητα που οτελεί ίδιο χαρακτηριστικό του ταλανττ και ονομάζεται κυκλικ ιδιοσυχνότητα Οι δυνάμεις όσβεσης και εξετάζουμε εκείνη την περίπτση για την οποία η συνισταμένη τους, είναι ανάλογη της ταχύτητας και προφανώς αντίρροπη αυτς, δηλαδ -υ, όπου ο συντελεστς όσβεσης που εξαρτάται ό το ρευστό μέσα στο οποίο γίνεται η ταλάντση και το σχμα του ταλανττ ( το εμβαδόν της μετπικς ιφάνειας του ταλανττ) ν ασκούνταν μόνο οι δυνάμεις -Dx και -υ, η ταλάντση θα ταν ελεύθερη περιοδικ αλλά φθίνουσα με πλάτος που να μειώνεται εκθετικά -Λt με το χρόνο A A e Στην περίπτση αυτ η κυκλικ συχνότητα της ταλάντσης είναι σταθερ αλλά μικρότερη της αντίστοιχης κυκλικς ιδιοσυχνότητας, -Λ - D Βασίλης Τσούνης wwwtsounisgr Σελίδα 1

2 3 Μια εξτερικ περιοδικ αρμονικ δύναμη ό τον έρτη κυκλικς συχνότητας που έστ ότι έχει εξίσση συν(t) Β Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντσης Η εξαναγκασμένη ταλάντση έχει κυκλικ συχνότητα, την κυκλικ συχνότητα του έρτη και όχι αυτ που θα είχε, αν εκτελούσε ελεύθερη D και αμείτη ταλάντση δηλαδ την (κυκλικ ιδιοσυχνότητα) αυτ που θα είχε αν εκτελούσε την ελεύθερη αλλά φθίνουσα ταλάντση - ταλανττ έρτη Παρατηρούμε δηλαδ ότι ενώ στις ελεύθερες ταλαντώσεις η συχνότητα είναι ίδιο χαρακτηριστικό του ταλανττ στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εξαρτάται οκλειστικά ό τον έρτη Προφανώς η εξαναγκασμένη ταλάντση θα έχει συχνότητα και περίοδο π αυτ του έρτη f ταλανττ f έρτη και Τ ταλανττ T έρτη π Γ Οι εξισώσεις ομάκρυνσης και ταχύτητας της εξαναγκασμένης ταλάντσης ν η δύναμη του έρτη είναι συν(t) η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στον ταλανττ είναι Σ + + a dx d x -Dx - υ+ συν(t) a -Dx - + συν(t) dt dt d x dx + + Dx συν(t) dt dt Η λύση της διαφορικς αυτς εξίσσης δίνει την χρονικ εξίσση της ομάκρυνσης x Aημ(t -φ ) και ταχύτητας υ Aσυν(t -φ ) με ( ) - + και ( ) - εφφ Δ Το πλάτος στην εξαναγκασμένη ταλάντση -Συντονισμός πλάτους Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντσης για δεδομένες οσβέσεις εξαρτάται ό την συχνότητα f της εξτερικς περιοδικς δύναμης και για δεδομένη συχνότητα είναι σταθερό και δίνεται ό την αντέρ σχέση Βασίλης Τσούνης wwwtsounisgr Σελίδα

3 ( ) - + Η καμπύλη του σχματος δείχνει πς μεταβάλλεται το πλάτος με την συχνότητα f της δύναμης του έρτη Όσο αυξάνεται η συχνότητα f αρχίζοντας ό μικρές τιμές, το πλάτος αυξάνεται και μεγιστοποιείται όταν η συχνότητα f του έρτη γίνει περίπου ίση με την ιδιοσυχνότητα f του ταλανττ, δηλαδ με αυτ που θα είχε ο ταλανττς αν f f εκτελούσε ελεύθερη και αμείτη 1 f ταλάντση Για συχνότητες f > f το πλάτος μειώνεται Στο όμενο σχμα φαίνεται η εξάρτηση του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντσης ό την συχνότητα f του έρτη αλλά και την σταθερά όσβεσης πό το διάγραμμα αυτό φαίνεται ότι: α) Όσο μικρότερη είναι η 1, 1 σταθερά όσβεσης τόσο μεγαλύτερο είναι το μέγιστο, πλάτος της ταλάντσης β) Η μεγιστοποίηση του > 1 πλάτους της ταλάντσης γίνεται σε μια συχνότητα D f f λίγο μικρότερη ό την (,) f ιδιοσυχνότητα f Όσο f 1 μεγαλύτερες είναι οι οσβέσεις τόσο μικρότερη είναι η συχνότητα στην οποία έχουμε μεγιστοποίηση του πλάτους Στο σχμα έχουμε > 1 και η μεγιστοποίηση του πλάτους γίνεται σε συχνότητες f < f 1 και προσεγγιστικά δεχόμαστε ότι όλες οι μεγιστοποισεις πλάτους γίνονται σε f f γ) Όλες οι καμπύλες A f (f) ξεκινούν ό το ίδιο σημείο D δ) Όσο αυξάνεται η σταθερά όσβεσης τόσο μειώνεται το μέγιστο πλάτος και αυξάνεται το εύρος της περιοχς συχνοττν που έχουμε πλάτη μικρότερα ό το μέγιστο πλάτος Η κατάσταση στην οποία συμβαίνει μεγιστοποίηση του πλάτους ονομάζεται συντονισμός πλάτους Ε Συντονισμός ταχύτητας συντονισμός ενέργειας ν η χρονικ εξίσση της ομάκρυνσης είναι x Aημ(t -φ ) η αντίστοιχη χρονικ εξίσση της ταχύτητας είναι υ Aσυν(t -φ ) Βασίλης Τσούνης wwwtsounisgr Σελίδα 3

4 υ υσυν(t -φ ) Το πλάτος της ταχύτητας υ εξαρτάται ό την συχνότητα του έρτη και αν αντικαταστσουμε την σχέση παίρνουμε υ ( ) ( ) υ ( - ) + πό τη σχέση αυτ φαίνεται ότι το πλάτος της ταχύτητας μεγιστοποιείται όταν ο παρονομαστς παίρνει την ελάχιστη τιμ υτό συμβαίνει σε κάθε περίπτση όταν ανεξάρτητα ό το τις οσβέσεις και το μέγιστο πλάτος της ταχύτητας είναι υ Η κατάσταση αυτ λέγεται συντονισμός ταχύτητας συντονισμός ενέργειας Στο διάγραμμα υ - f φαίνεται η εξάρτηση του πλάτους της υ ταχύτητας ό την συχνότητα υ 1, του έρτη 1 1 Παρατηρούμε ότι: υ, α) το πλάτος της ταχύτητας υ 3, > 1 μεγιστοποιείται όταν f f ανεξάρτητα ό τις 3 > > 1 οσβέσεις (,) β) Όλες οι καμπύλες υ - f f ξεκινούν ό το (,) γ) Η μεγιστοποίηση του πλάτους (συντονισμός πλάτους ) και του πλάτους της ταχύτητας δεν γίνεται ταυτόχρονα f Στ Η δύναμη έρτη και η δύναμη της όσβεσης Η εξτερικ περιοδικ δύναμη του έρτη αντίθετη της δύναμης όσβεσης στη θέση x Μια λ όδειξη: δεν είναι σε κάθε στιγμ υτό συμβαίνει μόνο στο συντονισμό α x Dx Σ a διε γ+ + a + Dx - x D + Dx - x + x - x Βασίλης Τσούνης wwwtsounisgr Σελίδα 4

5 (1) + ( - )x πό την (1) φαίνεται για να είναι + - ( - )x ' όπου πρέπει (περίπτση συντονισμού ) x Η τελευταία σχέση x είναι χρίς ιδιαίτερο ενδιαφέρον Στο σημείο αυτό να τονισθεί ότι η σταθερά αναφοράς D είναι D και όχι D!! Στο συντονισμό και μόνο, η ταχύτητα και η εξτερικ περιοδικ δύναμη του έρτη είναι μεγέθη συμφασικά - -(- υ ) υ συν(t) υ υ συν(t) με υ Ζ Συντονισμός πλάτους ειδικ μελέτη Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντσης ( ) Βασίλης Τσούνης wwwtsounisgr Σελίδα 5 μεγιστοποιείται όταν ο παρονομαστς ( ) την ελάχιστη δυνατ τιμ ( ) Π - + Π ( ) 4 4 ( ) 4 x + ( - ) x + -Π () - + (1) Π - + παίρνει Π και θέτοντας x έχουμε: Η εξίσση αυτ έχει πραγματικές ρίζες, άρα ( ) ( -Π ) 4 4 Π ( 4 - ) Π 4 - άρα Π in 4 - Π in 4D - πό την τελευταία σχέση και την σχέση (1) παίρνουμε τη σχέση που δίνει το μέγιστο πλάτος 4D - D - -, όπου η συχνότητα της ελεύθερης αλλά φθίνουσα ταλάντσης Η μεγιστοποίηση του πλάτους A συμβαίνει όταν η διακρίνουσα της () είναι μηδέν και αυτ έχει διπλ ρίζα

6 - x - - < D - Βασίλης Τσούνης wwwtsounisgr Σελίδα 6