D b < 2mω0 (εκτός ύλης) m

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "D b < 2mω0 (εκτός ύλης) m"

Κρειος Χατζηιωάννου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Φθίνουσες - Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Τι μπορούμε να διδάξουμε στους μαθητές τελικά, εκτός από αυτά που γράφει το σχολικό βιβλίο; Α) Φθίνουσες ταλαντώσεις Μελετάμε την περίπτση όπου η σταθερά απόσβεσης είναι μικρή. Λ = /m < = υ D < m (εκτός ύλης) m F απ F επ Α) Εξίσση κίνησης Αρχικές συνθήκες: t =, x = +d (η αρχική εκτροπή του σώματος από τη θέση ισορροπίας), υ =. ος Νόμος Newton: F F m. a -Dx - υ = m.a επ απ Η λύση της εξίσσης αυτής της (διαφορικής) εξίσσης είναι x = d e -Λt ημ(t + φ) () όπου εφφ =, ημφ =, Λ = /m και = Λ (εκτός ύλης) Λ Τις χρονικές στιγμές t = kt, k =,,, η () δίνει x = d e -ΛkT ημφ x = d e -ΛkT. x = d.e -ΛkT δηλαδή η () μας δίνει τις μέγιστες διαδοχικές απομακρύνσεις προς την ίδια κατεύθυνση. Αυτή την ποσότητα το σχολικό βιβλίο θερεί ς πλάτος και γράφει Α = Α e -Λt Οι συναρτήσεις x = Α e -Λt και x = -Α e -Λt εφάπτονται στη γραφική παράσταση της () είναι δηλαδή περιβάλλουσες. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Υλικό σημείο μάζας m=kg κινείται στον άξονα x κάτ από την επίδραση δύο δυνάμεν, της F= - 36x (S.Ι.) και της F = - υ (S.Ι.) όπου υ η ταχύτητα του υλικού σημείου.

2 Τη χρονική στιγμή t=s η απόσταση του κινητού από τη θέση x = είναι d =,4m και η ταχύτητά του είναι μηδέν. Να μελετηθεί η κίνηση του υλικού σημείου. Απάντηση: Η λύση της διαφορικής εξίσσης δίνει: Προσέξτε: Το Α δεν είναι το αρχικό πλάτος d =,4m και η αρχική φάση δεν είναι π/ (όπς συχνά υπονοείται κατά αντιστοιχία με την αμείτη!!!), αλλά π/4. Μια προσεκτική γραφική παράσταση δίνει Αν η απόσβεση είναι πολύ πολύ μικρή << m οι προσεγγίσεις δίνουν, Α d, φ = π/ rad και η εξίσση κίνησης γίνεται x = de -Λt.ημ(t+π/) όπου τώρα έχει την μορφή του σχολικού βιβλίου και παρακάτ βλέπουμε τη «σχολική» γραφική παράσταση:

3 x x = Α e -Λt t x = -Α e -Λt Το πηλίκο δύο διαδοχικών μέγιστν απομακρύνσεν προς την ίδια κατεύθυνση, τις χρονικές στιγμές t = kt, k =,,, είναι σταθερό και ισούται με Α) Ταχύτητα k ΛT... e k (με απόδειξη) Η ταχύτητα γίνεται τοπικά μέγιστη ανά περίοδο φορές όταν dυ α ή ΣF = -Dx - υ = x = - υ Άρα οι θέσεις ισορροπίας, δηλαδή οι θέσεις όπου ΣF και το κινητό περνάει με μέγιστη ταχύτητα κινούμενο προς τη θέση x = είναι ΔΥΟ σε κάθε περίοδο κίνησης και συνολικά ΑΠΕΙΡΕΣ οι οποίες σιγά-σιγά προσεγγίζουν τη x = με την οποία ταυτίζονται μετά από άπειρο χρόνο. Στη φθίνουσα ταλάντση η κάθε θέση ισορροπίας είναι μοναδική με την έννοια ότι όσες φορές και να βρεθεί το σώμα σε αυτή τη θέση μια και μόνο μία φορά θα είναι θέση ισορροπίας!!! Το x = δεν είναι ποτέ θέση ισορροπίας, απλά στη θέση αυτή το σώμα θα ηρεμήσει όταν τελειώσει την κίνησή του. Α3) Ενέργεια Όταν η κινητική ενέργεια γίνεται μέγιστη K = ½ mυ αυτή είναι μικρότερη της E ολ αφού όταν υ = υ x = -, δηλαδή θα έχει και δυναμική ενέργεια ταλάντσης υ U = ½ kx, με άλλα λόγια η δυναμική ενέργεια δεν είναι μηδέν! Στις ακραίες θέσεις όπου υ = και η κινητική ενέργεια είναι μηδέν, η δυναμική ενέργεια είναι μέγιστη U = E ολ = ½ D e -ΛkT

4 Δηλαδή η σχέση αυτή ισχύει μόνο τις χρονικές στιγμές t = kt, k =,,, Για κάθε άλλη στιγμή t kt E ολ = ½ mυ + ½ kx η οποία συνεχώς ελαττώνεται και είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση του χρόνου, όπς φαίνεται από την παρακάτ (εκτός ύλης) εξίσση E D Λt Λ e συν(t φ - θ) με <θ<π/ και εφθ=/λ Προφανώς η ολική ενέργεια δεν είναι φθίνουσα εκθετική συνάρτηση του χρόνου, όπς υπονοείται στο σχολικό βιβλίο! ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ισχύουν οι σχέσεις ½ mυ + ½ kx = Κ = U και υ = Α x, που ισχύουν σε α.α.τ. Το πηλίκο δύο διαδοχικών μέγιστν δυναμικών ενεργειών (ή ολικών ενεργειών) ανά περίοδο δηλαδή τις χρονικές στιγμές t = kt, k =,,, είναι σταθερό και ισούται με E E k ΛT... e E E (με απόδειξη) E E k Α4) Ρυθμοί μεταβολής dk α) = ΣF.υ = mα.υ ΠΡΟΣΟΧΗ δεν ισχύει α = -.x, ούτε βέβαια ΣF = -Dx. du β) = Dx.υ γ) de ολ = dwf απ = -υ.υ = -υ

5 Β) Εξαναγκασμένες Μηχανικές ταλαντώσεις υ F δ F απ F επ ος Νόμος Newton: F F F m. a F συν δ t -Dx - υ = m.a διεγ επ απ και Η λύση της εξίσσης αυτής είναι x = ημ( δ t - θ) () με, m F δ δ m εφθ δηλαδή είναι μια αρμονική ταλάντση με φάση και πλάτος που εξαρτώνται από τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης. Η μέγιστη τιμή του πλάτους είναι mf 4m δ D δ και αυτό E.Y. συμβαίνει όταν m (συντονισμός πλάτους) Δηλαδή αν το πλάτος μεγιστοποιείται για δ = <. Αν ή m το πλάτος μεγιστοποιείται για δ =.

6 Όταν συμβαίνει συντονισμός πλάτους η U είναι η μέγιστη δυνατή. Η μέγιστη τιμή της ταχύτητας είναι υ δ E.Y. m F δ δ και μεγιστοποιείται όταν δ = (συντονισμός ενέργειας) Όταν συμβαίνει συντονισμός ενέργειας: α) η Κ είναι η μέγιστη δυνατή. β) εφθ = θ = και η ταχύτητα παίρνει τη μορφή υ = Α συν( t) και είναι συμφασική με τη διεγείρουσα δύναμη F = F συν t γ) Ο μέσος ρυθμός μεταφοράς ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλανττή είναι μέγιστος. δ) Μόνο σε αυτή την κατάσταση ο στιγμιαίος ρυθμός παροχής ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλανττή είναι ίσος με το στιγμιαίο ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσ τν τριβών. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ α) Σε κάθε θέση -Dx + F απ + F δ = mα, όμς D = m και α = - x, οπότε -Dx + F απ + F δ = m(- x) -m x + F απ + F δ = m(- x) F απ + F δ = m( - )x Για δ σε κάθε θέση x ισχύει F απ + F δ F δ -F απ F δ υ -F απ υ P δ -P απ Για δ στη θέση x = ισχύει F απ + F δ = F δ = -F απ F δ υ = -F απ υ P δ = -P απ Επομένς: Για δ, κατά τη διάρκεια μιας περιόδου, ο διεγέρτης άλλοτε προσφέρει ενέργεια στον ταλανττή ( F υ ) και άλλοτε απορροφά ενέργεια από τον ταλανττή ( F υ ) και ο στιγμιαίος ρυθμός παροχής ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλανττή είναι διαφορετικός από το στιγμιαίο ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσ τν τριβών, εκτός της στιγμής που διέρχεται από τη θέση χ =, όπου P δ = -P απ Αυτό έχει ς συνέπεια η συνολική ενέργεια της ταλάντσης να μην παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της ταλάντσης. Δεν ισχύει η ΑΔΕΤ όπς στις α.α.τ. Επειδή η κίνηση είναι αρμονική ισχύει x = ημ( δ t - θ) υ = Α δ συν( δ t - θ) από τις οποίες μπορούμε να αποδείξουμε την υ = Α x

7 Για δ = σε κάθε θέση x ισχύει F απ + F δ = F δ = -F απ F δ υ = -F απ υ P δ = -P απ β) Η μέγιστη κινητική ενέργεια δεν ταυτίζεται με τη μέγιστη δυναμική ενέργεια. K U mδα mα δ Μάλιστα αν δ < Κ < U ενώ αν δ > Κ > U Οι δυο αυτές ενέργειες ταυτίζονται μόνο όταν δ = γ) Σε κάθε περίπτση εξαναγκασμένης ταλάντσης το πλάτος στη μόνιμη κατάσταση παραμένει σταθερό. Αυτό σημαίνει ότι ο μέσος ρυθμός μεταφοράς ενέργειας από τη διεγείρουσα δύναμη στον ταλανττή είναι ίσος με το μέσο ρυθμό απώλειας ενέργειας μέσ τν τριβών. δ) Ρυθμοί μεταβολής dk i) = ΣF.υ = mα.υ = -m x.υ du ii) = Dx.υ = m x.υ iii) de ολ = dwf απ = -υ.υ = -υ Σε κάθε θέση -Dx + F απ + F δ = mα -Dxυ + F απ υ+ F δ υ = mαυ dk du mαυ + Dxυ = (F δ + F απ )υ + = (Fδ + F απ )υ dk du Αν δ - dk du Αν δ = = ε) (εκτός ύλης;) Στο συντονισμό του εξαναγκασμένου ταλανττή χρίς απόσβεση, δεν έχουμε ποτέ ΕΝΑ πλάτος άπειρο όπς δείχνει η καμπύλη, αλλά μια ταλάντση στην οποία οι μέγιστες απομακρύνσεις από το ελκτικό κέντρο αυξάνονται συνεχώς μέχρι απειρισμού τους. (Βοηθητικά τρέξτε την προσομοίση και παρατηρείστε την απομάκρυνση από τη Θ.Ι.) Ανδρέας Ριζόπουλος

Σχετικά έγγραφα

Προγραμματισμένο διαγώνισμα Φυσικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Ονοματεπώνυμο εξεταζόμενου:.

Προγραμματισμένο διαγώνισμα Φυσικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου Ονοματεπώνυμο εξεταζόμενου:. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται στα θέματα τα οποία θα παραδώσετε μαζί με το γραπτό σας. Οι απαντήσεις λοιπόν