Πέµπτη, 24 Μα ου 2007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πέµπτη, 24 Μα ου 2007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ"

Ζεύς Αυγερινός
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Πέµπτη, Μα ου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Aν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: z z = z z Α.. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες A.. Πότε η ευθεία y=l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ; Mονάδες Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α, β] και για κάθε [α, β] ισχύει α f() τότε f ()d > β Μονάδες β. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε f ()> σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Μονάδες γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο o, τότε η σύνθεση τους gof είναι συνεχής στο o. Μονάδες δ. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ' g() f(t)dt =(f(g()) g () a με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα. Μονάδες ε. Αν α> τότε limα = Μονάδες

2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Α.. Θεωρία Σχολικό βιβλίο σελ. 98 Α.. Ορισμός Σχολικό βιβλίο σελ. Α.. Ορισμός Σχολικό βιβλίο σελ.8 Β. α. Λάθος β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό ΘΕΜΑ o αi Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z= με α R. α i α. Nα αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ=. Μονάδες 9 β. Έστω z, z oι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο αi z= α i για α= και α= αντίστοιχα. i. Nα βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z και z. ii. Nα αποδειχθεί ότι ισχύει: (z) ν =( z) v για κάθε φυσικό αριθμό v. ΑΠΑΝΤΗΣΗ αi α α. Ἐχουμε: z = = = α i α άρα Μ(z) C : z = ή Μ(z) C : y = β. Για α= έχουμε: z= = = i. Έστω Α(z) i i i Για α= έχουμε: z= =. Έστω B(z) i

3 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 i) (AB)= z z = i = i = ( ) = ii) (z) v =(-i) v =i ν =(i ) ν =(-) v =(-z) ν. ΘΕΜΑ o Δίνεται η συνάρτηση: f()= ημ θ όπου θ R μια σταθερά με θ κπ π, κ Ζ. α. Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. Μονάδες 7 β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()= έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. γ. Αν, είναι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και η θέση του σημείου καμπής της f, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(,f()), B(,f()) και Γ(,f()) βρίσκονται στην ευθεία y= ημ θ. Μονάδες δ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία y= ημ θ. Μονάδες 7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. f()= ημ θ f ()= =( )() f'() f() T.M T.E H f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο το f( ) και τοπικό ελάχιστο στο το f(). f ()=6 f () f() Σ.Κ Oπότε η f παρουσιάζει σημείο καμπής στη θέση =

4 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 β. f( )= ημ θ=( ημ θ)=συν θ> αφού θ κπ π f()= ημ θ= ( ημ θ)< lim f() = lim( ημ θ)= lim f() = lim( lim = ημ θ) = lim = Η f συνεχής στο (, ] και η f γνήσια αύξουσα στο (, ] άρα f((, ])=( lim f(), f( )]=(, συν θ] Το (, συν θ) άρα θα υπάρχει ρ (, ) ώστε f(ρ)= το ρ μοναδικό στο (, ) αφού η f γνήσια αύξουσα στο (, ]. Η f συνεχής στο [,] και γνήσια φθίνουσα άρα: f([,])=[f(), f( )]=[ (ημ θ), συν θ]. To [ (ημ θ), συν θ] άρα θα υπάρχει ρ (,) ώστε f(ρ)= και επειδή η f γνήσια φθίνουσα το ρ μοναδικό στο (,). Η f συνεχής στο [, ) και γνήσια αύξουσα άρα: f([, ))=[f(), lim f()) =[ (ημ θ), ) To [ (ημ θ), ) άρα θα υπάρχει ρ (, ) ώστε f(ρ)= και επειδή η f γνήσια αύξουσα στο [, ) το ρ μοναδικό στο (, ). Τελικά η f έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες, τις ρ, ρ, ρ. γ. Έχουμε Α(,συν θ), Β(, (ημ θ)), Γ(, ημ θ) Το Α ε : y= ημ θ συν θ= ( ) ημ θ συν θ=( ημ θ) συν θ= ημ θ αληθές. Το Β ε (ημ θ)= ημ θ (ημ θ)= ( ημ θ) αληθές. Το Γ ε ημ θ= ημ θ ημ θ= ημ θ αληθές. δ. Έχουμε f() ( ημ θ) = ημ θημ θ = =( )() = ή f() ( ημ θ)= ( )()= = ή = Ακόμη =( )() E(Ω) = f () ( ημ θ)d=

5 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 = d= d d= = ( )d ( )d= = = ( ) ( ) = ( ) = = = = ΘΕΜΑ o Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα [,] για την οποία ισχύει f() >. Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [,] για την οποία ισχύει g() >, για κάθε [,]. Ορίζουμε τις συναρτήσεις: F()= f (t)g(t)dt, [,] G()= g (t)dt, [,] α. Να δειχθεί ότι F() > για κάθε στο διάστημα (,]. β. Να αποδειχθεί ότι: f() G() > F() για κάθε στο διάστημα (,]. γ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: F() F() G() G() για κάθε στο διάστημα (,] δ. Να βρεθεί το όριο: f(t)g(t)dt ημt dt lim g(t)dt Μονάδες 6 Μονάδες Μονάδες 7

6 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. Είναι F()= f (t)g(t)dt=. Η F είναι παραγωγίσιμη στο [,], αφού f(t), g(t) συνεχείς στο [,], με F ()=f()g() () Είναι g() >, [,] και επειδή f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [,] για > ισχύει f() > f() >, άρα από () F () >, (,), οπότε γνησίως αύξουσα στο [,], επομένως > F() > F() δηλαδή F() > για (,]. β. Είναι f() G() > F() f() g (t)dt > f (t)g(t)dt f()g(t)dt f (t)g(t)dt > ( f()g(t) f(t)g(t))dt > ( f() f(t))g(t)dt > () Αν h(t)=(f() f(t))g(t) για t [,] με ισχύει g(t) > για κάθε t [,]. Από υπόθεση για t [,] έχουμε t και f γνήσια αύξουσα άρα f(t) f() f() f(t),άρα h(t) για κάθε t [,] και επειδή h()=(f() f())g()=f()g() >. αφού g() > (λόγω υπόθεσης g() >, [,]) και f() > αφού από υπόθεση η f γνήσια αύξουσα στο [,] και f() f() > άρα h(t) για t [,] και όχι παντού μηδέν επομένως ( f() f(t))g(t)dt >, για κάθε (,]. γ. Θεωρώντας την φ()= F(), (,] που είναι παραγωγίσιμη στο (,], αφού F και G() G παραγωγίσιμες, με F'()G() F()G'() f()g() G() F()g() φ () = = = G () G () g()(f()g() F()) = >, (,] G () αφού g() >, [,] και f()g() F() > από (β) ερώτημα G () >, άρα φ γνήσια αύξουσα στο (,] και επειδή φ συνεχής στο o=, στο θα έχει τη F() F() μέγιστη τιμή της, οπότε φ() φ(), (,], δηλαδή. G() G() 6

7 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 δ. Η συνάρτηση f(t)g(t) είναι συνεχής στο [,] ως γινόμενο συνεχών και το [,] άρα η συνάρτηση f (t)g(t)dt είναι παραγωγίσιμη στο [,], άρα συνεχής στο o=, δηλαδή lim f(t)g(t)dt f(t)g(t)dt=. = Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [,] και το [,], άρα η συνάρτηση g (t)dt είναι παραγωγίσιμη στο [,], οπότε συνεχής στο o=, δηλαδή lim g(t)dt = g(t)dt= Η συνάρτηση ημt είναι συνεχής στο R ως σύνθεση συνεχών και το R άρα η συνάρτηση ημ t dt είναι παραγωγίσιμη στο R και επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο R, η συνάρτηση ημ t dt είναι παραγωγίσιμη στο R άρα και συνεχής στο o=, οπότε lim ημ t dt=. f(t)g(t)dt f()g() f συνεχής Είναι lim = lim = lim f() = f() > L'H g() στο o g(t)dt = ημt dt ημ ημ Είναι lim = lim = lim( ) L'H = = ημ u= ημu Επειδή lim lim = u u u Άρα το ζητούμενο όριο γίνεται: f(t)g(t)dt ημt dt f(t)g(t)dt ημt dt lim = lim lim g(t)dt g(t)dt = f() = 7

8 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρακάτω δίνουμε και λύσεις για το ΘΕΜΑ ο β) και δ) που δόθηκαν απ τους μαθητές μας. F'() β για (,] είναι f()= oπότε από την ζητούμενη αρκεί: G'() F'() G()>F() G ()=g()>, [,] G'() F ()G()>F() G () ή F ()G() F()G ()> F'()G() F()G'() > ή G () ' F() αρκεί G() > () για (,] G () F() F'() f()g() Eίναι lim = lim = lim = lim f() = f() αφού f συνεχής στο [,]. G() G'() g() F() (,] Θεωρούμε τη συνάρτηση φ()= G() f() = Στο [,] με < η φ είναι συνεχής στο [,], παρ/μη στο (,) άρα από θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ξ (,) ώστε : F() f() G() F() f()g() φ (ξ)= = () G() Aν Κ()=F() f() G() στο [,] Κ()= και Κ ()=F () f()g ()=f()g() f()g()=g()(f() f())> για (,) Άρα Κ γνήσια αύξουσα οπότε για > Κ()> K() δηλαδή Κ()> επομένως για ξ (,) φ'(ξ)> και επειδή ισχύει για κάθε (,] φ ()> για κάθε (,] άρα η () ισχύει. 8

9 δ Ζητείται να βρεθεί το όριο ημt dt lim F() G(). ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 lim f(t)g(t)dt ημt dt g(t)dt ημt dt ημt dt ημt dt F() F() F() Αν σ() = έχουμε ότι σ() = G() G() G() δηλαδή το ημt dt ημt dt F() F() λόγω του (γ). Οπότε σ() () G() G() ημt dt ημ( ) ημ επειδή lim = lim = lim lim = = λόγω της () από κριτήριο παρεμβολής ισχύει lim σ() = ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ α) Τα σημερινά θέματα καλύπτουν ευρύ φάσμα της ύλης και χαρακτηριστικό τους είναι η σωστή κλιμάκωση της δυσκολίας τους. Για την αντιμετώπισή τους χρειαζόταν από τους μαθητές η καλή αναπαραγωγή των γνώσεων που έχουν αποκτήσει όπως και συνθετική και κριτική ικανότητα για να διεκπεραιώσουν όλα τα θέματα μέσα στην χρονική διάρκεια της εξέτασης. Ιδιαίτερα τα δύο πρώτα θέματα χαρακτηρίζονται ως εύκολα, το ο απαιτητικό για τους καλά προετοιμασμένους μαθητές και το ο εκτός της σωστής προετοιμασίας απαιτούσε πρωτοβουλία και ευρηματικότητα στα ερωτήματα (β) και (δ). β) Οι παραπάνω απαντήσεις είναι ενδεικτικές. 9

Σχετικά έγγραφα

Μονάδες 2. ΘΕΜΑ 2 ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α IR. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0)

Μονάδες 2. ΘΕΜΑ 2 ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α IR. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:. 1 Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια