ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Α. ΖΑΧΑΡΙΑ Διπλωματούχου Ηλεκτρολόγου Μηχανικού & Μηχανικού Υπολογιστών ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 1

2 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Α. ΖΑΧΑΡΙΑ Διπλωματούχου Ηλεκτρολόγου Μηχανικού & Μηχανικού Υπολογιστών ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Υποβλήθηκε στο Γενικό Τμήμα, Τομέας Φυσικής Ημερομηνία Προφορικής Εξέτασης: Ιουλίου, 1 Εξεταστική Επιτροπή Καθηγητής Αθ. Τροχίδης, Επιβλέπων Καθηγητής Στ. Πανάς, Μέλος Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής Καθηγητής Μ. Ταρουδάκης, Μέλος Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής Καθηγητής Σ. Νατσιάβας, Εξεταστής Αν. Καθ. Δ. Σκαρλάτος, Εξεταστής Αν. Καθ. Χ. Αντωνόπουλος, Εξεταστής Επίκ. Καθ. Ε. Δούκα, Εξετάστρια

3 Κωνσταντίνος Α. Ζαχαρίας Α.Π.Θ. Μη γραμμικές ακουστικές τεχνικές διάγνωσης: Θεωρία και εφαρμογές ISBN

4 Θα ήθελα πρωταρχικά να ευχαριστήσω τoν Καθηγητή κ. Αθανάσιο Τροχίδη για την καθοδήγηση και την ανεκτίμητη βοήθειά του σε όλα τα στάδια της παρούσας διατριβής, καθώς και για την στήριξή του καθόλη τη διάρκεια της μέχρι σήμερα επιστημονικής μου πορείας. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω για τη σημαντική βοήθειά τους τον Επ. Καθηγητή κ. Ιωάνννη Ρέκανο, την Επ. Καθηγήτρια κα. Ευανθία Δούκα, καθώς και τον Αν. Καθηγητή κ. Λεόντιο Χατζηλεοντιάδη. Επίσης, ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω για την σημαντική συνεισφορά τους στον Αν. Καθηγητή ιατρό Ι. Χατζώκο και στην ιατρό Ε. Μπαλαμπανίδου. Τέλος, επιθυμώ να εκφράσω ιδιαίτερες ευχαριστίες στη σύζυγό μου Νατάσα, για την πολύτιμη συμπαράσταση και την αμέριστη υπομονή της.

5 1. Εισαγωγή Εισαγωγή Αντικείμενο της διατριβής Ανασκόπηση βιβλιογραφίας...6. Μηχανισμοί μη γραμμικής συμπεριφοράς υλικών με ατέλειες Εισαγωγή Μη γραμμικοί μηχανισμοί και φαινόμενα Μη γραμμική ελαστικότητα Ενδογενής μη γραμμική ελαστικότητα υλικών Μη γραμμικές απώλειες και υστέρηση Μηχανισμοί μη γραμμικής διαμόρφωσης Εισαγωγή Πειραματική μελέτη Ανίχνευση ρωγμών σε δοκούς και πλάκες Μη γραμμική μίξη Εισαγωγή Θεωρητικό μοντέλο ρηγματωμένης δοκού Ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς με Bispectrum Πειραματική διάταξη μη γραμμικής μίξης Αποτελέσματα από πειραματικά δεδομένα Σχολιασμός των πειραματικών αποτελεσμάτων Υποαρμονικές συχνότητες Εισαγωγή Θεωρητικό μοντέλο ρηγματωμένης δοκού Πειραματική διάταξη Πειραματικά αποτελέσματα Μη γραμμική διαμόρφωση Ανίχνευση ρωγμών σε πλάκα Ανίχνευση ρωγμών σε δοκό Ανίχνευση μικρορωγμών σε οστά Φυσιολογία του ανθρώπινου οστού Διάγνωση της ποιότητας των οστών...19 i

6 4.3. Μη γραμμική διαμόρφωση σε ανθρώπινο οστό Περιγραφή πειραματικής διάταξης Πειραματικά αποτελέσματα Ανίχνευση μικρορωγμών σε οστά με μη γραμμική διαμόρφωση Μελέτη μη γραμμικών μηχανισμών στα οστά Συμπεράσματα και μελλοντική εργασία Αναφορές ii

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Εισαγωγή 1.1. Εισαγωγή Ο μη καταστροφικός έλεγχος (NDT) είναι ένα ευρύ και πολύπλευρο επιστημονικό πεδίο και ιστορικά έχει χρησιμοποιηθεί σχεδόν αποκλειστικά για την ανίχνευση μακροσκοπικών ασυνεχειών σε κατασκευές που ήταν σε χρήση για ένα χρονικό διάστημα. Περιλαμβάνει, εκτός από τις κλασικές ταλαντωτικές μεθόδους, και ένα μεγάλο αριθμό συμπληρωματικών ή/και εναλλακτικών μεθόδων, όπως τις κυματικές μεθόδους, τη μη γραμμική ακουστική, τη ραδιογραφία, καθώς και ηλεκτρικές, μαγνητικές και θερμικές μεθόδους. Από τις παραπάνω μεθόδους, αυτές που ανήκουν στο ευρύτερο επιστημονικό πεδίο της ακουστικής είναι οι πιο κοινές τόσο για την ανίχνευση βλαβών σε υπάρχουσες κατασκευές, όσο και στο χαρακτηρισμό υλικών και άλλων παραμέτρων που έχουν εφαρμογή στο τομέα της μη καταστροφικής εκτίμησης (NDE). Ως εκ τούτου είναι όλο και περισσότερο προφανής η επέκταση του ρόλου του μη καταστροφικού ελέγχου σε όλους τους τομείς των εφαρμογών αλλά και της παραγωγής υλικών. Διάφορες ερευνητικές προσπάθειες κατευθύνονται στην ανάπτυξη και τελειοποίηση μεθόδων ικανών να ελέγξουν τις διεργασίες παραγωγής υλικών, την ακεραιότητα τους κατά την μεταφορά, αποθήκευση και εφαρμογή, αλλά και πόσο και με πιο ρυθμό έχει μειωθεί η απόδοση τους κατά την λειτουργία τους. Σκοπός είναι η in situ εφαρμογή των τεχνικών αυτών στην ανίχνευση βλαβών ή ενδεχόμενης αστοχίας σε υλικά. Ως παραδείγματα μπορούν να αναφερθούν ρωγμές λόγω μηχανικής καταπόνησης σε σιδηροδρομικές γραμμές, ρωγμές σε αγωγούς εξαιτίας της πίεσης, κλπ. Επίσης, ερευνητικές προσπάθειες είναι σε εξέλιξη για την ανάπτυξη τεχνικών που να επιτρέπουν τον ποσοτικό προσδιορισμό των βλαβών, τον υπολογισμό της δυναμικής συμπεριφοράς των κατασκευών (επηρεασμένης από την ύπαρξη βλαβών), όπως επίσης και του χαρακτηρισμού των υλικών. Η ύπαρξη βλαβών σε μια κατασκευή προκαλεί μεταβολή της δυναμικής της συμπεριφοράς και συγκεκριμένα μετατόπιση των ιδιοσυχνοτήτων, αλλαγή των 1

8 ιδιομορφών και την αύξηση της απόσβεσης. Οι ταλαντωτικές μέθοδοι στηρίζονται στην μέτρηση των παραπάνω μεγεθών για την ανίχνευση των βλαβών. Στις περισσότερες ταλαντωτικές τεχνικές απαιτείται η γνώση της δυναμικής συμπεριφοράς της κατασκευής ως αναφορά πριν από την βλάβη. Οποιαδήποτε απόκλιση από την αναφορά υποδηλώνει την ύπαρξη βλάβης. Ένα βασικό μειονέκτημα των ταλαντωτικών τεχνικών είναι το γεγονός ότι σε πολύπλοκές κατασκευές είναι δύσκολος και υπολογιστικά χρονοβόρος ο υπολογισμός a priori της δυναμικής συμπεριφοράς. Ένα άλλο μειονέκτημα είναι ότι η μετατόπιση της ιδιοσυχνοτήτας εξαιτίας μιας ρωγμής είναι ανάλογη του τετραγώνου του σχετικού βάθους της ρωγμής και αμελητέα για την πλειονότητα των πρακτικών εφαρμογών. Τέλος, επειδή η αλλαγή των ιδιομορφών επηρεάζεται ελάχιστα για μικρά μεγέθη ρωγμών, η ανίχνευση μικρών βλαβών με χρήση ταλαντωτικών μεθόδων καθίσταται δύσκολη. Όπως είναι γνωστό, τα κύματα που διαδίδονται σε κατασκευές που παρουσιάζουν βλάβη σκεδάζονται κατά την αλληλεπίδραση τους με την βλάβη και διαδίδονται με την μορφή διαμήκων, εγκαρσίων ή στρεπτικών κυμάτων. Από αυτά, μόνο στα εγκάρσια κύματα η κάθε συχνότητα διαδίδεται με διαφορετική ταχύτητα φάσης, δηλαδή παρουσιάζουν διασπορά. Επειδή η αρχική μορφή των κυμάτων αλλοιώνεται κατά την διάδοση τους, για την μελέτη των κυμάτων αυτών είναι απαραίτητο να είναι γνωστά με ακρίβεια τα χαρακτηριστικά της διασποράς. Όλες οι απαραίτητες πληροφορίες για την βλάβη, η οποία λειτουργεί ως σκεδαστής, περιέχονται στην μορφή, στην ένταση και στη χρονική στιγμή άφιξης του σκεδαζόμενου κύματος. Η βελτίωση της ανιχνευτικής ικανότητας των κυματικών μεθόδων επιτυγχάνεται με την αύξηση της συχνότητας του υπέρηχου, από μερικές εκατοντάδες khz μέχρι και αρκετές δεκάδες MHz. Με την αύξηση όμως της συχνότητας αυξάνονται οι απώλειες διάδοσης με αποτέλεσμα το κύμα να αποσβένει γρηγορότερα και η ανίχνευση των ατελειών να περιορίζεται σε μικρά βάθη. Το ίδιο πρόβλημα εμφανίζεται και σε υλικά που παρουσιάζουν μεγάλη απόσβεση διάδοσης. Το βασικό μειονέκτημα των παραπάνω μεθόδων ελέγχου των κατασκευών είναι η σχετικά μικρή τους ευαισθησία που έχει ως αποτέλεσμα την δυσκολία ανίχνευσης μικρών ατελειών. Για τον λόγο αυτό αναζητούνται μέθοδοι μεγαλύτερης ευαισθησίας. Τελευταία αναπτύσσονται τεχνικές ελέγχου που βασίζονται στη μη γραμμική συμπεριφορά που εμφανίζουν οι κατασκευές με βλάβες. Η συμπεριφορά αυτή εκδηλώνεται με την εμφάνιση αρμονικών της συχνότητας διέγερσης και -στην

9 περίπτωση συνδυασμένης διέγερσης δύο ή και περισσοτέρων συχνοτήτων- με την εμφάνιση συχνοτήτων ενδοδιαμόρφωσης λόγω της λειτουργίας της βλάβης ως μη γραμμικού μίκτη. Η συχνότητα των παραγόντων ενδοδιαμόρφωσης, προέρχεται από τον γραμμικό συνδυασμό των συχνοτήτων διέγερσης. Ο τομέας της μη γραμμικής ακουστικής βασίζεται στα παραπάνω μη γραμμικά φαινόμενα τόσο για την ανίχνευση βλαβών, αλλά και για την μελέτη των μηχανικών ιδιοτήτων των υλικών. 1.. Αντικείμενο της διατριβής Ο σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η εφαρμογή της μη γραμμικής ακουστικής για την ανίχνευση βλαβών σε κατασκευές. Συγκεκριμένα η προσπάθεια επικεντρώθηκε στην πειραματική υλοποίηση και διερεύνηση μεθόδων μη γραμμικής ακουστικής στην ανίχνευση ρωγμών σε υλικά και κατασκευές. Παράλληλα διερευνήθηκε ο ρόλος διαφόρων μηχανισμών μη γραμμικότητας στην αποτελεσματικότητα των διαφόρων τεχνικών ελέγχου. Ένα χαρακτηριστικό της ύπαρξης μη γραμμικών ιδιοτήτων είναι η εμφάνιση αρμονικών συχνοτήτων σε αρμονική διέγερση μιας συχνότητας. Όμως η χρήση των αρμονικών για την ανίχνευση βλαβών έχει αρκετές πειραματικές δυσκολίες εφαρμογής, όπως επίσης και μειωμένη ευαισθησία ανίχνευσης βλαβών. Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, η πειραματική μελέτη έδειξε ότι η συνδυασμένη διέγερση δύο συχνοτήτων, παρουσιάζει καλύτερη ευαισθησία για την ανίχνευση βλαβών. Ο πρώτος συνδυασμός που εξετάστηκε είναι και οι δύο διεγέρσεις να είναι χαμηλών συχνοτήτων, οι οποίες είναι ικανές να προκαλέσουν την μηχανική ταλάντωση του δοκιμίου. Σε ένα υλικό χωρίς ατέλειες, στη συγκεκριμένη περίπτωση σε μια δοκό, η ταλάντωσή της είναι η συνισταμένη των δυο διεγέρσεων χωρίς την ύπαρξη άλλων συχνοτήτων. Όμως, η ύπαρξη ατελειών και συγκεκριμένα ρωγμών, προκαλεί την εμφάνιση ενδογενών μη γραμμικοτήτων στο υλικό και η επίδραση τους είναι πιο εμφανής όταν υπάρχει συνδυασμένη διέγερση. Η δοκός μοντελοποιήθηκε σαν ένα διγραμμικό σύστημα με ένα βαθμό ελευθερίας που διεγείρεται από δύο συχνότητες. Η ενδογενής μη γραμμικότητα προκαλεί έντονα φαινόμενα μίξης των δύο συχνοτήτων διέγερσης, με αποτέλεσμα την εμφάνιση παραγώγων σε συχνότητες που είναι το άθροισμα και η διαφορά των συχνοτήτων διέγερσης. Η έρευνα 3

10 επικεντρώθηκε στην μελέτη της απόκρισης στην συχνότητα διαφοράς, που συμπίπτει με την συχνότητα συντονισμού της μη ρηγματωμένης δοκού, για διαφορετικά βάθη ρωγμής. Τα πειράματα που πραγματοποιήθηκαν σε δοκό, για διαφορετικά βάθη ρωγμής, έδειξαν ικανότητα ανίχνευσης ρωγμής ακόμα και για σχετικό βάθος της τάξης του 1%. Οπότε με την τεχνική της μίξης συχνοτήτων είναι δυνατή η ανίχνευση ρωγμών αρκετά μικρότερων σε σύγκριση με τις ταλαντωτικές μεθόδους. Ο δεύτερος συνδυασμός είναι η διαμόρφωση μιας υψηλής συχνότητας f από μια χαμηλή συχνότητα f. Η χαμηλή συχνότητα f προκαλεί την ταλάντωση της δοκού, ενώ η υψηλή συχνότητα f χρησιμοποιείται για την καλύτερη ανάδειξη των μη γραμμικών ιδιοτήτων των υλικών. Η ύπαρξη μη γραμμικοτήτων στη δοκό εξαιτίας της ρωγμής, προκαλεί την εμφάνιση παραγώγων ενδοδιαμόρφωσης εκατέρωθεν της f. Οι πλευρικές έχουν συχνότητα f ±n f, με το πλάτος τους και το πλήθος τους να αυξάνονται με το μέγεθος της ρωγμής. Για να είναι δυνατή η εμφάνιση των παραγώγων διαμόρφωσης θα πρέπει η χαμηλή συχνότητα να είναι ικανή να προκαλέσει την ταλάντωση της δοκού και ταυτόχρονα η υψηλή συχνότητα, κατά την διάδοση της μέσα από την ρωγμή, να μην προκαλεί τάσεις που είναι ικανές να θέσουν σε ταλάντωση την ρωγμή. Συγκεκριμένα, θα πρέπει να ισχύει για το λόγο των παραμορφώσεων η σχέση ε /ε ΗF 1. Επίσης, για μην παρεμβάλουν οι αρμονικές ανώτερης τάξης της f τις πλευρικές συχνότητες, ο λόγος των συχνοτήτων διέγερσης πρέπει να είναι f / f 1. Με τις παραπάνω συνθήκες έγιναν πειράματα σε ράβδους για διαφορετικά βάθη ρωγμής, όπου ήταν δυνατή η μέτρηση πλευρικών συχνοτήτων και για σχετικό βάθος ρωγμής μικρότερο του 1%. Η ίδια τεχνική εφαρμόστηκε και σε γυάλινες τετραγωνικές πλάκες, για διαφορετικά μήκη ρωγμών, με την διέγερση χαμηλής συχνότητας να προέρχεται από ένα μεγάφωνο. Η εμφάνιση των πλευρικών συχνοτήτων και σε αυτή την περίπτωση ήταν έντονη και για μικρά μήκη ρωγμής, της τάξης του 1% του πλάτους της πλάκας. Στην περίπτωση του ανθρώπινου οστού, το ίδιο το οστό, λόγω της σύστασης και της δομής του, παρουσιάζει ενδογενή μη γραμμικότητα. Όταν όμως πάσχει από οστεοπόρωση, εξαιτίας της ύπαρξης των μικρορωγμών, η μη γραμμική του συμπεριφορά είναι πιο έντονη. Εφαρμόζοντας την παραπάνω μέθοδο της μη γραμμικής διαμόρφωσης, έγιναν πειράματα σε υγιές και οστεοπορωτικό ανθρώπινο οστό. Οι μετρήσεις έδειξαν ότι το οστεοπορωτικό οστό παρουσιάζει πιο έντονες πλευρικές συχνότητες σε σχέση με το υγιές. Συνήθως η μη γραμμική διαμόρφωση αποδίδεται στην μη γραμμική ελαστικότητα. Όμως, τα πειραματικά δεδομένα ανέδειξαν τη σημασία των μη 4

11 γραμμικών απωλειών, οι οποίες, στην περίπτωση μικρών ρωγμών, έχουν τον κυρίαρχο ρόλο. Οπότε, το πλάτος των πλευρικών συχνοτήτων είναι εύκολα μετρήσιμο και αυξάνεται σημαντικά καθώς μεγαλώνει το μέγεθος της ρωγμής. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι σημαντικό για την πρώιμη διάγνωση βλαβών σε υλικά, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δείκτης της βλάβης που έχει υποστεί το υλικό. Η διατριβή περιλαμβάνει πέντε κεφάλαια. Συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στο μη καταστροφικό έλεγχο (NDT) και στις διαφορετικές μεθόδους που υπάρχουν για την εφαρμογή στις κατασκευές. Επίσης, επιχειρείται μια βιβλιογραφική ανασκόπηση στις κλασικές γραμμικές μεθόδους για τον έλεγχο των βλαβών στις κατασκευές αλλά και σε αυτές που αναφέρονται σε μη γραμμικά φαινόμενα. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφονται και αναλύονται οι μη γραμμικοί μηχανισμοί των υλικών που προκαλούν μη γραμμική συμπεριφορά. Αναλύεται η μη γραμμική έκφραση του νόμου του Hook στην οποία βασίζεται η κλασική μη γραμμική ελαστικότητα, αλλά και η ενδογενής μη γραμμικότητα των υλικών. Ένας άλλος μηχανισμός που περιγράφεται είναι οι μη γραμμικές απώλειες και η υστέρηση. Στη συνέχεια, για μια μονοδιάστατη δοκό που διεγείρεται από δύο συχνότητες, μελετάται το φαινόμενο της μη γραμμικής διαμόρφωσης. Με την μέθοδο των διαταραχών αναλύονται οι μηχανισμοί των μη γραμμικών απωλειών και της μη γραμμικής ελαστικότητας, γίνεται αριθμητική επίλυση του προβλήματος με την τεχνική των πεπερασμένων διαφορών και πειρατική εφαρμογή σε μια γυάλινη ράβδο. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η πειραματική εφαρμογή των μη γραμμικών μηχανισμών για την ανίχνευση ρωγμών σε πλάκες και δοκούς. Η δυναμική συμπεριφορά μιας δοκού με ρωγμή κόπωσης, μοντελοποιείται από ένα διγραμμικό μηχανικό μοντέλο ενός βαθμού ελευθερίας με απόσβεση. Γίνεται πειραματική εφαρμογή της μη γραμμικής μίξης δύο διεγέρσεων για την ανίχνευση ρωγμών μεταβαλλόμενου βάθους σε δοκό από Plexiglas TM, με ανάλυση των φασμάτων των αποκρίσεων. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνεται μια σύντομη περιγραφή των βασικών χαρακτηριστικών και ιδιοτήτων της ανάλυσης των σημάτων με την μέθοδο Bispectrum. Επιπλέον, συγκρίνονται τα αποτελέσματα από την επεξεργασία σήματος των αποκρίσεων μεταξύ του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier (FFT) και Bispectrum. Διερευνήθηκε θεωρητικά και πειραματικά η εμφάνιση υποαρμονικών συχνοτήτων της διέγερσης για διαφορετικά μεγέθη ρωγμής και 5

12 καταγράφηκε μέχρι και χαοτική συμπεριφορά. Στην συνέχεια έγινε πειραματική εφαρμογή της μη γραμμικής διαμόρφωσης για την ανίχνευση ρωγμών σε δοκό από Plexiglas TM, αλλά και σε πλάκα από γυαλί. Το τέταρτο κεφάλαιο αφορά την ανίχνευση μικρορωγμών στο ανθρώπινο οστό. Συγκεκριμένα, περιγράφονται η φυσιολογία, οι μη γραμμικοί μηχανισμοί και ιδιότητες του ανθρώπινου οστού. Γίνεται η πειραματική εφαρμογή της μη γραμμικής διαμόρφωσης σε δείγματα σπογγώδους οστού της κεφαλής του μηριαίου διαφορετικού βαθμού οστεοπόρωσης, για την εκτίμηση της ποιότητας των οστών. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι το πλάτος της διαμόρφωσης αυξάνει με τον βαθμό οστεοπόρωσης και μπορεί να αποτελέσει ένα αξιόπιστο δείκτη της ποιότητας των οστών. Επίσης, μετρήθηκε ο συντελεστής ποιότητας Q και η καμπύλη συντονισμού τόσο για το υγιές αλλά και το οστεοπωροτικό οστό, για διαφορετικά πλάτη ταλάντωσης, χρησιμοποιώντας την ίδια πειραματική διάταξη. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα γενικά συμπεράσματα της διατριβής, καθώς και προτάσεις για περαιτέρω έρευνα Ανασκόπηση βιβλιογραφίας Στην παράγραφο αυτή γίνεται ανασκόπηση της πιο πρόσφατης βιβλιογραφίας του ερευνητικού πεδίου της μη γραμμικής ακουστικής για την ανίχνευση βλαβών σε υλικά και σε ανθρώπινα οστά. Οι ταλαντωτικές μέθοδοι ήταν οι πρώτες που χρησιμοποιήθηκαν για την ανίχνευση ρωγμών σε υλικά μιας και είναι απλές τόσο στην αρχή όσο και στην εφαρμογή τους. Οι Cawley και Adams [1] στα τέλη του 197 έδειξαν ότι η κατανομή της τάσης (stress) δεν ομοιόμορφη και δεν είναι ίδια για κάθε φυσική ιδιοσυχνότητα. Επίσης έδειξαν ότι κάθε ιδιομορφή επηρεάζεται διαφορετικά από την εκάστοτε βλάβη. Οπότε, μετρώντας τις ιδιοσυχνότητες μιας κατασκευής κατά την διάρκεια της λειτουργίας, θα μπορούσε να ανιχνευθεί η ύπαρξη βλάβης. Οι Chondros και Dimarogonas [] ερεύνησαν τον επηρεασμό των φυσικών ιδιοσυχνοτήτων αλλά και των ιδιομορφών, από την ύπαρξη ρωγμών, εφαρμόζοντας το μοντέλο δοκού Euler- Bernoulli. Για τους υπολογισμούς συνδύασαν την προσέγγιση της τοπικής ελαστικότητας και μηχανικής θραύσεων. Για το ίδιο μοντέλο δοκού, οι Kim κ.α. [3] 6

13 παρουσίασαν μια μεθοδολογία για την ανίχνευση ρωγμών όπου είναι γνωστές μερικές φυσικές συχνότητες ή ιδιομορφές. Χρησιμοποίησαν δυο μεθόδους, μια που στηρίζεται στην μετατόπιση του ιδιοσυχνοτήτων (FBDD), και μια στην μεταβολή των ιδιομορφών (MBDD). Τα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά για την ανίχνευση και υπολογισμό του μεγέθους της ρωγμής, αλλά σε πραγματικές κατασκευές είναι δύσκολος ο καθορισμός των ιδιοσυχνοτήτων και των ιδιομορφών. Επίσης, οι Denstoras και Dimarogonas [4] ανέλυσαν μια δοκό με ρωγμή στο πακτωμένο άκρο, οι οποία δέχονταν μια αρμονική δύναμη στο ελεύθερο άκρο. Στην προσέγγιση τους, η ρωγμή μοντελοποιήθηκε σαν ένα ελατήριο με γραμμική ελαστικότητα. Οι Christides και Barr [5] παρουσίασαν την μονοδιάστατη θεωρία ράβδων Euler-Bernoulli, οι οποίες έχουν συμμετρικές ρωγμές, και κατέστρωσαν την διαφορική εξίσωση και τις συνοριακές τους συνθήκες. Οι προσέγγιση τους όμως περιορίζεται σε ρωγμές οι οποίες έχουν την μορφή εγκοπής. Πρέπει να επισημανθεί ότι στην βιβλιογραφία υπάρχει συχνά σύγχυση σχετικά με τον τύπο της ρωγμής, δηλαδή αν είναι υπό μορφή εγκοπής ή πραγματική ρωγμή λόγω κόπωσης. Πολλοί συγγραφείς αντιμετωπίζουν τις ρωγμές σαν εγκοπές αναλυτικά, αριθμητικά είτε πειραματικά, όπου εγκοπές από πριόνι χρησιμοποιούνται για να μοντελοποιήσουν τις ρωγμές. Αλλά, όσο λεπτή και αν είναι μια εγκοπή δεν συμπεριφέρεται σαν ρωγμή που προκλήθηκε από την μηχανική κόπωση του υλικού [6]. Σε κάθε περίπτωση, οι μέθοδοι που στηρίζονται στην μετατόπιση των ιδιοσχνοτήτων παρέχουν μια αξιόπιστη ένδειξη για ρωγμές με σχετικό βάθος ρωγμής (μεγαλύτερο του %). Οι μέθοδοι που στηρίζονται στην μεταβολή των ιδιομορφών είναι πιο ευαίσθητες από αυτές των ιδιοσυχνοτήτων [7, 8] και μπορούν να αναδείξουν τις τοπικές διαταραχές που εισάγονται από τις ρωγμές. Αλλά, η παρουσία μιας ρωγμής είναι δυνατόν να μην επηρεάσει αισθητά τις χαμηλότερες ιδιόμορφες και οι οποίες είναι οι πιο συνηθέστερα μετρούμενες. Στις περισσότερες ταλαντωτικές μεθόδους απαιτούνται τα ταλαντωτικά δεδομένα της υγιούς κατασκευής (ιδιοσυχνότητες ή/και ιδιομορφές), τα οποία είναι δύσκολο να μετρηθούν και πολλές φορές μη διαθέσιμα. Για να αντιμετωπιστεί αυτό το πρόβλημα, αναπτυχθήκαν μέθοδοι που στηρίζονται στο χωρικό μετασχηματισμό Wavelet. Οι Wang και Deng [9] και Douka κ.α. [1] εφάρμοσαν το μετασχηματισμό στις ιδιομορφές της κατασκευής. Απότομες αλλαγές στους συντελεστές του μετασχηματισμού κοντά στην περιοχή της βλάβης υποδεικνύουν την ύπαρξη της, ενώ η τιμή των τοπικών ακρότατων των συντελεστών μπορεί να συσχετιστεί με το μέγεθος της βλάβης. Στην ίδια κατεύθυνση οι Hadjileontiadis κ.α. [11] 7

14 χρησιμοποίησαν την διάσταση των fractals (FD), όπου μια κορυφή στην καμπύλη FD συνδέεται με τοπική ανωμαλία λόγω της ρωγμής και το μέγεθος της με το μέτρο του FD. Παρομοίως, οι Hadjileontiadis κ.α. [1] πρότειναν την μέτρηση της κύρτωσης, με την χρήση κινητού παραθύρου, στις ιδιομορφές μιας ρηγματωμένης δοκού. Προσφάτως, οι Pakrashi κ.α. [13] πρότειναν την εφαρμογή μιας τεχνικής που στηρίζεται στον συνδυασμό του μετασχηματισμού Wavelet και κύρτωσης. Παρά την πρόοδο που έχει επιτευχτεί στις γραμμικές ταλαντωτικές μεθόδους, παραμένει το πρόβλημα τις μειωμένης ευαισθησίας για μικρές ρωγμές. Στις περισσότερες περιπτώσεις το είδος της ρωγμής που εμφανίζεται είναι αυτό της ρωγμής κόπωσης και όχι της εγκοπής. Το είδος αυτό της βλάβης παρουσιάζει ενδογενή μη γραμμική συμπεριφορά. Αρκετές εργασίες έχουν επικεντρωθεί στην δυναμική ανάλυση και μοντελοποίηση μιας ρωγμής κόπωσης, αλλά χωρίς ιδιαίτερη έμφαση στην ανίχνευση της [14]. Οι πρώτες εφαρμογές που βασίστηκαν στην μη γραμμική συμπεριφορά μιας δοκού με ρωγμή κόπωσης, χρησιμοποίησαν ως δείκτη της βλάβης της δοκού, την εμφάνιση των αρμονικών της συχνότητας διέγερσης της [15, 16]. Όσο πιο έντονες είναι οι αρμόνικες τόσο πιο μεγάλη είναι η ρωγμή. Όμως, για την ασφαλή ανίχνευση ρωγμών, απαιτείται η μέτρηση των αρμονικών με μεγάλη ακρίβεια, το οποίο δεν είναι πάντα εφικτό. Ο λόγος είναι ότι ο εξοπλισμός που απαιτείται για την μέτρηση των αρμονικών δημιουργεί και αυτός αρμονικές, κυρίως λόγω ηλεκτρικών παραμορφώσεων της διέγερσης, οι οποίες παρερμηνεύονται ως αποτελέσματα της μη γραμμικής συμπεριφοράς της δοκού. Οι Chu και Shen [17] πρότειναν ότι η μεταβολή της στιβαρότητας ακολουθεί τετραγωνική συνάρτηση. Μοντελοποίησαν την ρωγμή σαν ένα διγραμμικό ταλαντωτή χαμηλών συχνοτήτων, που έχει μεταβλητή στιβαρότητα της παραπάνω μορφής. Υπέδειξαν μια νέα λύση κλειστής μορφής, η ανάλυση της οποίας δίνει το φάσμα των αρμονικών της διέγερσης. Ο Luzzato [18] χρησιμοποίησε την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων σε ράβδους, για την μοντελοποίηση των ρωγμών τύπου εγκοπής αλλά και της μη γραμμικής συμπεριφοράς της ρωγμής λόγω μηχανικής κόπωσης. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι τα απλά μονοδιάστατα μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων μπορών να περιγράψουν την βλάβη με ακρίβεια για ρωγμές κόπωσης. Οι Sundermayer και Weaver [19] πρότειναν ότι η μη γραμμική συμπεριφορά μιας δοκού είναι πιο εμφανής όταν διεγείρεται από δύο συχνότητες, όπου η διαφορά των συχνοτήτων είναι η συχνότητα συντονισμού της. Η έρευνα των 8

15 παραπάνω [17-19] περιορίστηκε στην αριθμητική ανάλυση της ρωγμής ως ένα διγραμμικό σύστημα μάζας-ελατηρίου, χωρίς πειραματικά δεδομένα. Ένα άλλο φαινόμενο που οφείλεται στην ύπαρξη μη γραμμικοτήτων είναι και διαμόρφωση μιας υψηλής συχνότητας (ασθενής υπέρηχος), από μία ισχυρή χαμηλή συχνότητα. Αυτό οφείλεται στην ενδογενή μη γραμμικότητα που παρουσιάζει η ρωγμή κόπωσης. Οι μη γραμμικότητες που οφείλονται σε τριβές ή στην μεταβαλλόμενη επιφάνεια επαφής των πλευρών της ρωγμής (contact acoustic nonlinearities, CAN) [, 1] είναι από τις πιο αποτελεσματικές για την εμφάνιση μη γραμμικών φαινόμενων. Η πρώτη ένδειξη είναι η εμφάνιση αρμονικών [15, ], όπου οι πλευρές της ρωγμής να μεταβαίνουν μεταξύ των καταστάσεων ανοικτής-κλειστής. Οι Kim κ.α. [3] χρησιμοποίησαν το πλάτος της δεύτερης αρμονικής για υπολογίσουν τον συντελεστή ακουστικής μη γραμμικότητας β, σε δείγματα κράματος νικελίου, τα οποία είχαν υποστεί μηχανική καταπόνηση. Οι μετρήσεις τους έδειξαν ότι υπάρχει συσχέτιση της μηχανικής καταπόνησης και του β. Στην ίδια κατεύθυνση, οι Hermann κ.α. [4] χρησιμοποίησαν την μέτρηση με Laser interferometry, της δεύτερης αρμονικής ενός επιφανειακού κύματος Rayleigh, σε δείγμα κράματος νικελίου για τον υπολογισμό του β. Τα συμπεράσματα τους ήταν αντίστοιχα με αυτά των Kim [3]. Ένα άλλο αποτέλεσμα μη γραμμικοτήτων είναι η εμφάνιση του φαινομένου «Luxeburg-Gorky» στα ελαστικά κύματα [5]. Το φαινόμενο αυτό είναι το ανάλογο για τα ελαστικά κύματα του αντίστοιχου φαινομένου, που είναι γνωστό για παραπάνω από 6 χρόνια, και παρατηρήθηκε στη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στην ιονόσφαιρα. Στην περίπτωση των ελαστικών κυμάτων, εμφανίζεται διαμόρφωση σε ένα ασθενές κύμα το οποίο είναι αρχικά αδιαμόρφωτο και διαδίδεται σε ένα μη γραμμικό μέσο με την ταυτόχρονη παρουσία ενός ισχυρού κύματος με διαμόρφωση. Η συχνότητα διαμόρφωσης του ισχυρού κύματος «μεταφέρεται» και διαμορφώνει το ασθενές. Πρόσφατα, οι Fillinger κ.α. [6] παρατήρησαν το φαινόμενο της αυτοδιαμόρφωσης (self-modulation) σε γυάλινες ράβδους σε συντονισμό. Δημιούργησαν τεχνητές εγκοπές και με την εισαγωγή μεταλλικών δίσκων σε αυτές, εμφανίστηκαν πλευρικές συχνότητες γύρω από την συχνότητα της διέγερσης. Γενικά, το φαινόμενο του επηρεασμού της διάδοσης μια υψηλής συχνότητας και της διαμόρφωσης της από μία χαμηλή ταλαντωτική συχνότητα (vibro-modulation), πρωτοαναφέρθηκε το 1975 σε μια πατέντα που εκδόθηκε στην Αμερική [7]. Όμως, έπρεπε να περάσουν δύο δεκαετίες, και από τα μέσα του 199 άρχισε να εμφανίζεται ο μεγαλύτερος όγκος της ερευνητικής δραστηριότητας στην 9

16 περιοχή [8, 9]. Στην πράξη το φαινόμενο μελετάται στο πεδίο της συχνότητας όπου το φαινόμενο της διαμόρφωσης εμφανίζεται με την μορφή πλευρικών συχνοτήτων γύρω από την συχνότητα του υπερήχου [3]. Οι Donskoy κ.α. [31] χρησιμοποιώντας την τεχνική Vibro-Acoustic Modulation (VAM), ανίχνευσαν με επιτυχία ρωγμές σε σωλήνες νερού, μετρώντας πλευρικές συχνότητες 3dB υψηλότερες σε σύγκριση με την μέτρηση αναφοράς που έγινε σε σωλήνα χωρίς ρωγμές. Για την ανίχνευση χρησιμοποίησαν μια συχνότητα υπερήχου, και τα πειράματα έδειξαν ότι το πλάτος των πλευρικών είναι ανάλογο του πλάτους διέγερσης του υπερήχου. Οι Ekimov κ. α. [3] χρησιμοποίησαν στρεπτικά υπερηχητικά κύματα, σε ράβδους από duralumin, τα οποία διαμορφώνονται από εγκάρσια κύματα χαμηλής συχνότητας εξαιτίας της ύπαρξης τεχνητής ρωγμής. Μελέτησαν την χρήση λιπαντικού σε ρωγμές με τριβή, και παρατήρησαν ότι η ύπαρξη του μειώνει δραστικά το πλάτος των πλευρικών συχνοτήτων. Χρησιμοποιώντας αλουμίνιο, αλλά αυτήν την φορά σε μορφή λεπτής πλάκας, οι Zaitsev κ.α. [33] μέτρησαν το πλάτος των πλευρικών συχνοτήτων. Το πλάτος των πλευρικών βρέθηκε να εξαρτάται από τα πλάτη διέγερσης της χαμηλής συχνότητας και του υπερήχου, αλλά και το συνολικό συντελεστή ποιότητας Q του συστήματος. Οι Van Den Abeele κ.α. [34] έδειξαν ότι εξαιτίας της σύνθετης συμπεριφοράς των ρωγμών (π.χ. μη γραμμική, υστερητική), η ευαισθησία των μη γραμμικών τεχνικών για την ανίχνευση ατελειών είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε γραμμική τεχνική. Επίσης, μελέτησαν πειραματικά με την μέθοδο NWMS (Nonlinear Wave Modulation Spectroscopy) την εξάρτηση του πλάτους των πλευρικών συχνοτήτων σε διάφορα υλικά, όπως Plexiglas TM, αμμόλιθους και εξαρτήματα αυτοκινήτων. Το πλάτος τους ήταν μεγαλύτερο στα υλικά που είχαν βλάβη σε σχέση με τα άθικτα. Στην ίδια κατεύθυνση οι Van Den Abeele κ.α. [35] μελέτησαν τον επηρεασμό της καμπύλης συντονισμού, ενός ψαθυρού δοκιμίου από τσιμέντο, με την μεθοδολογία SIMONRAS (Single Mode Nonlinear Resonant Acoustic Spectroscopy). Στα δοκίμια που παρουσίαζαν μη γραμμική συμπεριφορά, παρατήρησαν την μετακίνηση της συχνότητας συντονισμού σε χαμηλότερες συχνότητες, όσο αυξανόταν το πλάτος της διέγερσης της χαμηλής συχνότητας. Αργότερα [36], σύγκριναν τις δύο παραπάνω μεθόδους, σε τσιμεντένια δοκίμια που προορίζονται για οικοδομική χρήση. Παρατήρησαν, στα δοκίμια με ρωγμές, ότι τα μη γραμμικά φαινόμενα όπως η εξάρτηση συχνότητας συντονισμού από το πλάτος διέγερσης της χαμηλής συχνότητας (SIMONRAS), οι μη γραμμικές απώλειες, οι εμφάνιση αρμονικών και παραγώγων ενδοδιαμόρφωσης (NWMS) είναι αρκετά πιο εμφανή σε 1

17 σχέση με τα άθικτα δοκίμια. Επίσης, υποστήριξαν ότι οι ευαισθησία των μη γραμμικών μεθόδων τους στην ανίχνευση βλαβών είναι μεγαλύτερη από αυτή των γραμμικών μεθόδων. Οι Donskoy κ.α. [37] ανέπτυξαν την τεχνική VAM (Vibro- Acoustic Modulation) από την οποία προέκυψαν δυο παραλλαγές της. Η πρώτη (Vibro-Modulation, VM) αφορά στην χρήση ταλάντωσης χαμηλής συχνότητας συνεχούς κύματος (CW) ενώ στη δεύτερη (Impact-Modulation, IM) η δημιουργία της διέγερσης γίνεται με κρούση. Στα πειράματα τους μελέτησαν την ικανότητες ανίχνευσης ρωγμών και των δύο μεθόδων σε διάφορα δοκίμια, όπως μεταλλικές σωλήνες, συγκολλημένες πλάκες, εξαρτήματα αυτοκινήτων, κλπ. Εισήγαγαν ένα δείκτη βλάβης (Damage Index, DI) ως κριτήριο για το εάν μια κατασκευή έχει υποστεί βλάβη και έχει εμφανίσει ρωγμές. Στη συνέχεια μετονόμασαν την τεχνική τους σε VMT (Vibro Modulation Technique) και κατασκεύασαν το σύστημα N- SCAN. Παρουσίασαν πειραματικά αποτελέσματα από την εφαρμογή του εμπορικού συστήματος N-SCAN,σε παρόμοια υλικά με αυτά στην δημοσίευση [37], σε δύο συνέδρια [38, 39]. Πρόσφατα, οι Zagrai κ.α. [4] παρουσίασαν μια σύνοψη των πειραμάτων που διεξήγαν τα τελευταία χρόνια με την τεχνική VMT, για την ανίχνευση βλαβών στη μίκρο- και μακρο-κλίμακα σε υλικά. Οι A. Moussatov κ.α. [41], σε αντίθεση με την VAM όπου ο υπέρηχος διαμορφώνεται από την χαμηλή συχνότητα, χρησιμοποίησαν υπέρηχο των 1kHz ο οποίος ήταν ήδη διαμορφωμένος με συχνότητα 5kHz. Διέγειραν γυάλινες πλάκες πάχους 18mm, από άθικτες μέχρι του σταδίου να έχουν υποστεί σοβαρή βλάβη λόγω πολλαπλών ρωγμών. Παρατήρησαν, στις πλάκες με ρωγμές ότι η συχνότητα των 5kHz αποδιαμορφωνόταν εξαιτίας των μη γραμμικοτήτων των ρωγμών, και το πλάτος της ήταν πιο μεγάλο όσο πιο σοβαρή ήταν η βλάβη. Παρομοίως, οι Zaitsev κ.α [4] χρησιμοποίησαν διαμορφωμένο υπέρηχο αλλά, αυτή την φορά η συχνότητα διαμόρφωσης μεταφέρεται και διαμορφώνει τον δεύτερο υπέρηχο. Διεξήγαγαν πειράματα σε ράβδους από γυαλί με ρωγμές αλλά και σε μεταλλικές πλάκες με τεχνητές ρωγμές. Παρατήρησαν αύξηση του δείκτη διαμόρφωσης και μείωση του συντελεστή ποιότητας Q με την αύξηση του πλάτους διέγερσης του υπέρηχου. Υποστήριξαν ότι σε αντίθεση με τον συμβατικά θεωρούμενο ρόλο της μη γραμμικής ελαστικότητας, οι μη γραμμικές απώλειες μπορούν να παίξουν σημαντικό ρόλο σε υλικά με μικρές βλάβες. Ο επηρεασμός της διαμόρφωσης των επιφανειακών κυμάτων από την ύπαρξη ρωγμής και διαφορετικές παραμένουσες παραμορφώσεις, μελετήθηκε εκτενώς από τους J-Y Kim κ.α. [43, 44]. 11

18 Στο ανθρώπινο οστό αρκετές έρευνες έχουν δείξει την ισχυρή συσχέτιση μεταξύ των μηχανικών ιδιοτήτων του οστού (κυρίως της σκληρότητας) και της πυκνότητας των μικρορωγμών που περιέχει [45, 46]. Η εκτίμηση των μικρορωγμών γίνεται κυρίως μέσω ιστολογικών εξετάσεων, όμως απαιτείται βιοψία του οστού, μια διαδικασία η οποία είναι επεμβατική. Εναλλακτικά, χρησιμοποιώντας τα πλεονεκτήματα της μη γραμμικής ακουστικής, οι Muller κ.α. [47] χρησιμοποίησαν την τεχνική NRUS (Non Linear Resonant Ultrasound) η οποία είναι παραπλήσια της SIMONRAS. Τα αποτελέσματα τους έδειξαν ότι ο μη γραμμικός υπέρηχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της προοδευτικής βλάβης του φλοιώδους οστού. Οι Cleveland κ.α. [48] προσομοίωσαν εφαρμόζοντας την εξίσωση ΚΖΚ (Khoklov- Zabolotskaya-Kuznetsov) όχι μόνο σε φλοιώδες αλλά και σε σπογγώδες οστό. Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η μη γραμμική διαμόρφωση είναι δυνατόν να ανιχνευθεί σε σπογγώδες οστό αλλά όχι σε φλοιώδες εξαιτίας την ισχυρής εξασθένησης. Πρόσφατα, οι Muller κ.α. [49] εφάρμοσαν την τεχνική NRUS για την μέτρηση της μη γραμμικής υστερητικής παραμέτρου α από την μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού σε δείγματα από φλοιώδη οστά. Στα πειράματα τους βρέθηκε ότι με την αύξηση της μηχανικής κόπωσης στα δείγματα των οστών, η υστερητική παράμετρος αυξανόταν, άρα είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί ως δείκτης της συσσωρευμένης μηχανικής βλάβης του οστού. In vivo μελέτες σχετικά με την μέτρηση της ακουστικής μη γραμμικότητας σε οστό πτέρνας έχουν διεξαγάγει οι Hoff κ.α. [5] όπως και οι Engan κ.α. [51]. Επίσης, οι Renaud κ.α [5, 53] έκαναν in vivo πειράματα σε οστό πτέρνας για την μέτρηση των μη γραμμικών παραμέτρων. 1

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μηχανισμοί μη γραμμικής συμπεριφοράς υλικών με ατέλειες.1. Εισαγωγή Είναι γνωστό από εφαρμογές μη καταστρεπτικού ελέγχου υλικών ότι, υλικά που περιέχουν ατέλειες και ανομοιογένειες εμφανίζουν μη γραμμική συμπεριφορά. Ιδιαίτερα έντονη μη γραμμική συμπεριφορά εμφανίζουν υλικά με ρωγμές. Κατά την μελέτη ενός δοκιμίου τέτοιου υλικού διεγείροντας το ταυτόχρονα με κύμα υπερήχου υψηλής συχνότητας f και με ταλάντωση χαμηλής συχνότητας f εκδηλώνονται φαινόμενα μη γραμμικής συμπεριφοράς. Τα φαινόμενα που εμφανίζονται είναι: α) η μετατόπιση των ιδιοσυχνοτήτων ενός δοκιμίου, β) η εμφάνιση αρμονικών και υποαρμονικών των συχνοτήτων διέγερσης, γ) η διασπορά του διαδιδόμενου κύματος, δ) η εμφάνιση μη γραμμικών απωλειών, ε) η εμφάνιση φασματικών όρων ενδοδιαμόρφωσης του κύματος υψηλής συχνότητας με την ταλαντωτική διέγερση. Η ποιοτική και ποσοτική ανάλυση των παραπάνω φαινομένων αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη μη καταστρεπτικών τεχνικών ελέγχου της ποιότητας υλικών. Τα βασικά πλεονεκτήματα των μη γραμμικών τεχνικών διάγνωσης είναι η μεγάλη διαγνωστική ευαισθησία, το χαμηλό κόστος και η ευκολία εφαρμογής. Η μέθοδος της ανάλυσης των φασματικών όρων ενδοδιαμόρφωσης βασίζεται στην διαμόρφωση ενός υπερηχητικού κύματος f από ταλάντωση χαμηλής συχνότητας f (μη γραμμική διαμόρφωση). Στην περίπτωση ενός «υγιούς» υλικού εμφανίζονται στο φάσμα της απόκρισης, όπως άλλωστε αναμένεται, μόνο οι συχνότητες διέγερσης (γραμμική συμπεριφορά). Αντίθετα, στην περίπτωση υλικών με ατέλειες ή ρωγμές εμφανίζονται πέραν των συχνοτήτων διέγερσης και πλευρικές φασματικές συνιστώσες στις συχνότητες f ± kf (μη γραμμική συμπεριφορά). Στην περίπτωση ρωγμών, η εμφάνιση των πλευρικών συχνοτήτων οφείλεται στην ταυτόχρονη παρουσία υπέρηχου και ταλάντωσης χαμηλής συχνότητας. Συγκεκριμένα, το χρονικό διάστημα που η ρωγμή ανοίγει μειώνεται το πλάτος του κύματος υψηλής συχνότητας, ενώ το 13

20 χρονικό διάστημα που είναι κλειστή το κύμα διέρχεται ανεπηρέαστο. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται σε κάθε περίοδο της χαμηλής συχνότητας f προκαλώντας τη διαμόρφωση πλάτους της f. Αν παρατηρηθεί στο πεδίο της συχνότητας, αυτή η μη γραμμική διαδικασία είναι υπεύθυνη για την εμφάνιση των αρμονικών συχνοτήτων των διεγέρσεων, αλλά και των παραγώγων ενδοδιαμόρφωσης. Ισοδύναμα, θα μπορούσε η ρωγμή να θεωρηθεί ως ένας διαμορφωτής πλάτους, έχοντας για είσοδο τις δύο διεγέρσεις f και f, σχήμα.1. f f m f Σχήμα.1 Διαμόρφωση πλάτους της υψηλής συχνότητας f από την χαμηλή f Σε μια υγιή κατασκευή δεν θα υπήρχε διαμόρφωση, το υλικό θα συμπεριφερόταν γραμμικά, και θα είχαμε στην απόκριση του συστήματος μονό τις δύο διεγέρσεις, δηλαδή fm = f + f. Όμως με την ύπαρξη ρωγμής, το υλικό συμπεριφέρεται μη γραμμικά και σε αυτήν την περίπτωση θα είχαμε την απόκριση f = nf + ( mf ± kf ), σχήμα.. m f f Διέγερση Φάσμα απόκρισης f f (α) f f ± kf f (β) f f Σχήμα. Βασική αρχή μη γραμμικής διαμόρφωσης α) υγιής κατασκευή β) κατασκευή με ρωγμή 14

21 Για να είναι δυνατή η εμφάνιση των παραγώγων διαμόρφωσης θα πρέπει η χαμηλή συχνότητα να είναι ικανή να προκαλέσει την ταλάντωση της δοκού και ταυτόχρονα η υψηλή συχνότητα, κατά την διάδοση της μέσα από την ρωγμή, να μην προκαλεί τάσεις που είναι ικανές να θέσουν σε ταλάντωση την ρωγμή. Συγκεκριμένα, θα ε πρέπει να ισχύει για το λόγο των παραμορφώσεων η σχέση 1. Επίσης, για να ε μην παρεμβάλουν οι αρμονικές ανώτερης τάξης της f τις πλευρικές συχνότητες της f f, ο λόγος των συχνοτήτων διέγερσης πρέπει να είναι 1. f Οι μη γραμμικοί μηχανισμοί είναι πολύπλοκοι και ο ρόλος τους στην μη γραμμική συμπεριφορά ενός υλικού είναι ένα ανοικτό ερευνητικό πεδίο. Στη συνέχεια του κεφαλαίου γίνεται διερεύνηση των μηχανισμών. Η ανάλυση τους είναι απαραίτητη διότι βοηθάει στην καλύτερη ερμηνεία των πειρατικών δεδομένων. Επίσης, είναι δυνατόν να δείξει την σχέση της απόκρισης των μη γραμμικών φαινόμενων με τις αιτίες που τα προκαλεί. Όλα τα παραπάνω παρέχουν πολύτιμη πληροφόρηση για την κατανόηση των μη γραμμικών μηχανισμών... Μη γραμμικοί μηχανισμοί και φαινόμενα..1. Μη γραμμική ελαστικότητα Η μη γραμμική ελαστικότητα είναι ο πιο απλός μηχανισμός και συνήθως χρησιμοποιείται για την ερμηνεία των πειραμάτων. Συσχετίζεται με την ελαστική συμπεριφορά του υλικού, δηλαδή με την σχέση της τάσης σ και της παραμόρφωσης ε, που είναι η μη γραμμική εκδοχή του νόμου του Hooke. Επειδή ο μεγαλύτερος όγκος πειραμάτων, αναλύσεων και βιβλιογραφίας είναι σε υλικά υπό μορφή δοκού χρησιμοποιείται η μονοδιάστατη (1D) μορφή του νόμου Hooke, στη μορφή σ =Ε ε(1 + βε +...), (.1) 15

22 όπου Ε είναι το μέτρο του Young και β είναι ο συντελεστής μη γραμμικότητας δεύτερης τάξης. Ένα από τα χαρακτηριστικά της μη γραμμικής ελαστικότητας είναι η εμφάνιση αρμονικών. Αν θεωρήσουμε ένα διαμήκες κύμα μιας συχνότητας το οποίο διαδίδεται σε μία λεπτή δοκό, η εξίσωση κυματικής διάδοσης των (επίπεδων) διαμήκων κυμάτων με αμελητέες απώλειες διάδοσης είναι: u t x, (.) ρ = σ όπου, ρ είναι η πυκνότητα της δοκού, x είναι η απόσταση διάδοσης του κύματος, σ η τάση, ε η παραμόρφωση και u η απομάκρυνση (displacement). Από τις εξισώσεις.1, u., και λαμβάνοντας υπ όψιν την σχέση παραμόρφωσης-απομάκρυνσης ε =, x προκύπτει η μη γραμμική εξίσωση διάδοσης στη μορφή: u u E u u ρ = β + t x x x. (.3) Στην εξίσωση.3 έχουμε λάβει υπ όψιν μέχρι δεύτερης τάξης μη γραμμικότητα, δηλαδή σ ( ε βε ) =Ε +. Εφαρμόζοντας την θεωρία των διαταραχών (perturbation theory) η απομάκρυνση u μπορεί να αναλυθεί στις συνιστώσες u = u + u (.4) Όπου u παριστάνει το αρχικό κύμα διέγερσης και u είναι η λύση διαταραχής πρώτης τάξης. Για παράδειγμα, αν θέσουμε ως u ένα μονοσυχνοτικό ημιτονοειδές κύμα διέγερσης της μορφής u cos( ) = A kx ωt 1, τότε έχουμε [54, 55]: 1 ( ω ) u = u + u = A cos( kx ωt) A sin ( kx t), (.5) όπου 16

23 β A = A1k x. (.6) 8 Ο δεύτερος όρος στην εξίσωση.5 είναι η δεύτερη αρμονική συχνότητα (ω) και το πλάτος της είναι ανάλογο του συντελεστή μη γραμμικότητας β, του τετραγώνου του πλάτους της διέγερσης και της απόστασης, δηλαδή A β Ax. Γνωρίζοντας τα 1 πλάτη A 1 και A από μία πειραματική διαδικασία, είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο συντελεστής β (εξίσωση.7) και να χρησιμοποιηθεί ως ένα μέτρο της βλάβης των ιδιοτήτων του υλικού. 8 A β = (.7) kxa 1 Mερικά υλικά είναι δυνατόν να παρουσιάζουν μη γραμμική συμπεριφορά, η οποία να προκαλεί την εμφάνιση όρων ανώτερης τάξης πέραν της δεύτερης αρμονικής και γι αυτό πρέπει να συμπεριληφθούν στην ανάλυση όροι ανώτερης τάξης. Όμως, στις περισσότερες περιπτώσεις των υλικών, είναι αρκετό στην ανάλυση τους να συμπεριληφθούν όροι μέχρι τρίτης τάξης, όπως για παράδειγμα τρίτες αρμονικές συχνότητες. Στην περίπτωση αυτή ανήκουν μερικά κεραμικά υλικά. Βασισμένοι στην θεωρία των διαταραχών και συμπεριλαμβάνοντας όρους ανώτερης τάξης, το πλάτος της τρίτης αρμονικής συχνότητας (3ω) είναι προσεγγιστικά [56] β 3 4 A3 A1k x. (.8) 3 Συνήθως, για απλοποίηση της μετρητικής διαδικασίας, ως μέτρο της βλάβης του υλικού (Damage Index, DI) χρησιμοποιείται ο λόγος των πλατών της δεύτερης αρμονικής ως προς την διέγερση σε db, δηλαδή DI A = log A1 (.9) 17

24 Για την περίπτωση δύο μονοσυχνοτικών διεγέρσεων, θα έχουμε για είσοδο u = A cos( kx ω t) + A cos( kx ω t). Η απόκριση θα περιλαμβάνει και μη γραμμικούς όρους που θα εμφανίζονται στην έξοδο εξαιτίας της ύπαρξης του τετραγωνικού μη γραμμικού συστήματος, σχήμα.3. Είσοδος u ε Έξοδος u Σχήμα.3 Ισοδύναμο σύστημα τετραγωνικής μη γραμμικότητας Στην απόκριση θα περιλαμβάνονται οι γραμμικοί όροι u = A cos( kx ω t) + A cos( kx ω t) (.1) και οι μη γραμμικοί όροι ( cos( ) cos( )) un = β A kx ωt + A kx ωt (.11) Οπότε η μη γραμμικοί όροι αναλύονται στα παρακάτω παράγωγα συχνοτήτων ( () () () ()) n = β u DC f t f t f t f t (.1) Όπου, DC ένας συνεχής όρος που είναι DC β A + A, f () t και f () t οι ( ) αρμονικές των διεγέρσεων με τα πλάτη τους να είναι A β A x και A β A x, και f + () t και f () t οι πλευρικές συχνότητες με τα πλάτη τους να είναι A+ β AAx και A β AAx. Όπως παρατηρούμε στο πεδίο της συχνότητας, εμφανίζονται παράγωγα εκατέρωθεν της f, που ισοδύναμα στο πεδίο του χρόνου είναι διαμόρφωση του πλάτους της f. f από την πλάτος της 18

25 Ομοίως, όπως με την περίπτωση της μονοσυχνοτικής διέγερσης, ως δείκτης βλάβης του υλικού χρησιμοποιείται ο λόγος του μέσου πλάτους των πλευρικών συχνοτήτων ως προς την κύρια συχνότητα, δηλαδή DI 1 A log A + log = + A A (.13) Η μη γραμμική ελαστικότητα αν και είναι ο πιο κοινός μηχανισμός για την περιγραφή της μη γραμμικής συμπεριφοράς, σε αρκετές περιπτώσείς δεν επαρκεί για την ερμηνεία των πειραμάτων.... Ενδογενής μη γραμμική ελαστικότητα υλικών Μια ρωγμή σε ένα υλικό, όπως αναφέρθηκε, έχει σαν αποτέλεσμα το υλικό να παρουσιάζει έντονη μη γραμμική συμπεριφορά. Όμως, ακόμα και ένα υγιές υλικό έχει μια ενδογενή μη γραμμικότητα, κυρίως εξαιτίας των ηλεκτροστατικών δυνάμεων που αναπτύσσονται στους δεσμούς των ατόμων στην μικροκλίμακα. Η ατομική μη γραμμικότητα είναι χαρακτηριστική για κάθε υλικό αλλά είναι αμελητέα συγκρινόμενη ακόμα και με μικρορωγμές. Οι χημικοί δεσμοί μεταξύ των ατόμων είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι προέρχονται από την ηλεκτροστατική έλξη ανάμεσα σε περιοχές με θετικά και αρνητικά φορτία. Βασισμένοι στη φύση των ηλεκτροστατικών δυνάμεων, τα υλικά μπορούν να διαχωριστούν σε τρεις βασικές κατηγορίες: α) Ιοντικά υλικά, όπως το NaCl, στο οποίο ένα ηλεκτρόνιο μεταφέρεται από το λιγότερο ηλεκτραρνητικό στοιχείο (Na) στο περισσότερο ηλεκτραρνητικό στοιχείο (Cl). Τα ιόντα διαφέρουν κατά ένα φορτίο ηλεκτρονίου με αποτέλεσμα την αμοιβαία έλξη τους. β) Μέταλλα, όπως ο χαλκός και ο σίδηρος, όπου ένα ή και περισσότερα χαλαρά δεσμευμένα ηλεκτρόνια στις εξωτερικές στοιβάδες απελευθερώνονται, τα οποία μετά λειτουργούν συνεκτικά για τους θετικά φορτισμένους πυρήνες των ατόμων. γ) Ισοσθενή υλικά, όπως το διαμάντι και το πολυαιθυλένιο, όπου οι ατομικές τροχιές τους επικαλύπτονται, δημιουργούν μια περιοχή με αυξημένη πυκνότητα ηλεκτρικών φορτίων, με αποτέλεσμα την έλξη των πυρήνων τους. 19

26 Σε μικρές ατομικές αποστάσεις, οι ελκτικές ηλεκτροστατικές δυνάμεις αντισταθμίζονται από απωθητικές δυνάμεις που οφείλονται σε αλληλεπιδράσεις επικαλυπτόμενων περιοχών ηλεκτρονίων γειτονικών ατόμων. Η απωθητική δύναμη μεταβάλλεται μη γραμμικά, αντιστρόφως ανάλογα της απόστασης και είναι της B μορφής U rep =. Οι σταθερές n και B είναι χαρακτηριστικές του υλικού. Για n r παράδειγμα, για το NaCl είναι n=7.8. Τα άτομα τελικά θα αποκτήσουν θέσεις για τις οποίες ελαχιστοποιείται η ενέργεια του συστήματος (πλέγματος των ατόμων), αλλά η καμπύλη μεταβολής της συνολικής ενέργειας είναι αναρμονική [57]. Ισοδύναμα, το σύστημα των ατόμων θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένα μηχανικό ισοδύναμο όπου τα άτομα αντιπροσωπεύονται από τις μάζες τους m και είναι συνδεμένα μεταξύ τους με ένα αβαρές ελατήριο. Κάθε ξεχωριστό σύστημα ατόμων-ελατηρίων θεωρείται ότι είναι μήκους L, περιέχει N ίσες μάζες m συνδεμένες μεταξύ τους σε μια ευθεία με ίδια ελατήρια. Όταν ένας μεγάλος αριθμός από αυτά τα συστήματα συνδέονται μεταξύ τους, δημιουργώντας μια μεγάλη αλυσίδα, είναι επαρκές να αναλύσουμε την κίνηση σε ένα από αυτά τα συστήματα. Δηλαδή, αν εφαρμόσουμε κατάλληλες περιοδικές αρχικές συνθήκες, τότε θα υπάρχει περιοδικότητα στην συμπεριφορά σε κάθε μετατόπιση μήκους L, με την έννοια ότι κάθε δύο μάζες σε απόσταση L στην αλυσίδα θα παρουσιάζουν την ίδια κίνηση σε κάθε χρονική στιγμή. Το μαθηματικό μοντέλο αυτού του τύπου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή των ατομικών ταλαντώσεων σε υλικά κανονικής ατομικής δομής, επειδή εμφανίζουν αρκετά μεγάλες επαναλαμβανόμενες αλυσίδες, δημιουργώντας ατομικά πλέγματα. Όταν το ελατήριο που προκαλεί την σύζευξη των ατόμων θεωρείται ότι είναι σύμφωνο με το νόμο του Hooke, τότε το πλέγμα είναι αρμονικό. Όταν όμως η συμπεριφορά του ελατηρίου είναι μη γραμμική τότε έχουμε αναρμονικά πλέγματα. Η κατάσταση του πλέγματος του παραπάνω μοντέλου φαίνεται στο σχήμα.4, όπου οι μάζες m είναι σε απόσταση h=l/n. Το σημείο Α είναι η αρχή μέτρησης της απόστασης x καταμήκος της αλυσίδας, ενώ u i είναι η απομάκρυνση της i μάζας από την θέση ηρεμίας της. Το μη γραμμικό ελατήριο περιγράφεται από ένα απλό τετραγωνικό νόμο της μορφής ( ) F = k Δ+ aδ (.14)

27 Όπου Δ είναι η απομάκρυνση από την θέση ηρεμίας και k, a σταθερές. Α m m m m m m m 1 r-1 r r+1 N-1 N L Σχήμα.4 Μηχανικό ισοδύναμο μοντέλο μάζας-ελατηρίου Β Αν λάβουμε υπ όψιν τις δυνάμεις που ασκούνται στην i μάζα από τα δύο διπλανά μη γραμμικά ελατήρια κατά την μετακίνηση της, η εξίσωση κίνησης για την i μάζα είναι ( ) ( ) α ( ) ( ) my i = k yi+ 1 yi k yi yi 1 + k yi+ 1 yi yi y i 1 (.15) Το πρόβλημα αρχικών τιμών για αυτό το πλέγμα είναι να οριστούν οι τιμές για ( y i ) και ( ) t = y i t= για i= 1,..., N. Επειδή η απόσταση μεταξύ των μαζών είναι πολύ μικρή και η απομακρύνσεις y i στοιχειώδεις, είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Taylor για μετατρέψουμε τις y i ± 1 σε όρους μερικών παραγώγων των y i ως προς το x. Με αυτό τον τρόπο μεταβαίνουμε από τη διακριτή περιγραφή σε μια συνεχή προσέγγιση. Άρα ισχύει ότι: y h y h y h y yi+ 1 yi = h O h 3 4 x! x 3! x 4! x 5 ( ) (.16) και y h y h y h y yi yi 1 = h + + O h 3 4 x! x 3! x 4! x 5 ( ) (.17) 1

28 Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις.16 και.17 στην εξίσωση.15 και 3 αγνοώντας όρους μεγαλύτερους από O( h ), προκύπτει η μη γραμμική διαφορική εξίσωση t x x y y y = c 1 ah + (.18) Όπου kh c =. Το πρόβλημα των αρχικών συνθηκών που είχαμε για το πλέγμα m τώρα μετατρέπεται για την εξίσωση.18, στο ορισμό των τιμών για ( y ) t= και y, στη αρχική γραμμή στο < x L με περιοδική επανάληψη των συνθηκών x t = στα άκρα του διαστήματος. Όταν το ελατήριο έχει γραμμική ελαστικότητα, δηλαδή a =, τότε η διαφορική εξίσωση.18 μετατρέπεται στη κλασική κυματική εξίσωση y t y x = c (.19) Η εξίσωση.18 αποτελεί την πιο βασική συνεχή προσέγγιση για αναρμονικά ατομικά πλέγματα τα οποία χαρακτηρίζονται από μη γραμμική ελαστικότητα, και ανήκει στην κατηγορία των ψευδογραμμικών (quasilinear) διαφορικών εξισώσεων. Σε αυτές τις διαφορικές ο μη γραμμικός όρος εμφανίζεται μόνο μέχρι την πρώτη παράγωγο. Είναι δυνατόν να εμφανιστούν μη γραμμικοί όροι μεγαλύτερης τάξης, αρκεί να συμπεριληφθούν στις εξισώσεις.16 και.17 όροι μεγαλύτερης τάξης από 3 O( h ). Για παράδειγμα, αν διατηρήσουμε μια τάξη παραπάνω και αγνοήσουμε 4 όρους μεγαλύτερους από O( h ), η εξίσωση.18 γίνεται t x 1 x x y 1 y = c ah h y y + + (.)

29 Με κατάλληλη αλλαγή των μεταβλητών με ξ = x ct, τ = cah t, y u =, καταλήγουμε στην εξίσωση ξ h m = και 4a u 3 + u u + μ u = 3 τ ξ ξ. (.1) Η εξίσωση.1 είναι γνωστή ως εξίσωση Korteweg-de Vries (KdV), που προτάθηκε (από του ομώνυμους) το 1895, για τη μελέτη σολιτονικών κυμάτων σε ρηχά κανάλια [58]...3. Μη γραμμικές απώλειες και υστέρηση Όταν ένα ακουστικό κύμα διέρχεται μέσω μιας ρωγμής, θέτει σε κίνηση τις δύο πλευρές της ρωγμής, με αποτέλεσμα αυτές να προσκρούουν η μια στην άλλη αλλά και να ολισθαίνουν μεταξύ τους. Επειδή όμως οι επιφάνειες της ρωγμής παρουσιάζουν ατέλειες, όπως ανωμαλίες, θραύσματα του υλικού, είναι πιθανόν να μην υπάρχει πλήρης επαφή. Είναι ακόμα δυνατόν σε κάποιες περιοχές να υπάρχει μερική εφαπτομενική επαφή ή και σημειακή επαφή μεταξύ των πλευρών της ρωγμής. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση των απωλειών κατά την διάδοση του κύματος και την εμφάνιση επιπλέον (μη γραμμικών) απωλειών λόγω της μη γραμμικότητας ακουστικής επαφής (Contact Acoustic Nonlinearity, CAN). Αυτό το είδος της επαφής ονομάζεται και επαφή του Hertz (Hertzian contact), επειδή ήταν ο πρώτος που το έλυσε στη θεωρία της ελαστικότητας. Θεωρούμε δύο σώματα τα οποία είναι σε επαφή σε ένα σημείο, και οι επιφάνειες τους ορίζουν το εφαπτόμενο επίπεδο (x,y) στο σημείο επαφής. Αν εφαρμόσουμε μια θλιπτική δύναμη F κάθετη στο επίπεδο επαφής, τα δύο σώματα συμπιέζονται και παραμορφώνονται κατά ένα μήκος ε. Η παραμόρφωση γύρω από το αρχικό σημείο επαφής, ορίζει μια μικρή αλλά πεπερασμένη επιφάνεια επαφής, με συνάρτηση κατανομής της πίεσης Pz ( x, y ), και Pz ( x, y ) = εκτός αυτής. Επίσης, αν περιβάλουμε χωρικά την περιοχή επαφής από ένα ελλειψοειδές, αρκεί η γνώση της Pz ( x, y ) εντός του χωρίου που ορίζεται από αυτό ελλειψοειδές. Για την περίπτωση 3

30 που τα δύο σώματα σε επαφή είναι σφαίρες με ακτίνες R και R, η σχέση μεταξύ της δύναμης F και της παραμόρφωσης ε είναι [59]: 1/ 1 1 F = D + ε = K D ε R R 3/ 3/, (.) όπου K D είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τις ακτίνες καμπυλότητας των σφαιρών, D μια σταθερά που σχετίζεται με το υλικό και που ορίζεται από την σχέση 3 1 σ 1 σ D = + 4 E E, (.3) όπου σ, σ και E, E είναι οι λόγοι του Poisson και τα μέτρα του Young για τα δύο σώματα (σφαίρες). Όπως φαίνεται από την σχέση., η δύναμη F είναι ανάλογη της 3/ παραμόρφωσης ε επί μία σταθερά K D. Η σχέση. ισχύει όχι μόνο για σφαιρικά σώματα αλλά και οποιαδήποτε σώματα σε επαφή που έχουν πεπερασμένες διαστάσεις. Το φαινόμενο της μη γραμμικότητας επαφής (CAN) εμφανίζεται κατά την πρόσκρουση των ατελών πλευρών της ρωγμής και επαναλαμβάνεται σε κάθε περίοδο του ακουστικού κύματος που διεγείρει την ρωγμή. Για την περίπτωση της μονοσυχνοτικής διέγερσης, κατά τη μια ημιπερίοδο της ταλάντωσης έχουμε τάσεις που παρακαλούν την θλίψη των πλευρών της ρωγμής, με αποτέλεσμα το κύμα να μπορεί να διέλθει από της ρωγμή. Όταν όμως, κατά την ημιπερίοδο της ταλάντωσης επικρατούν οι εφελκυστικές τάσεις, το κύμα δεν μπορεί να διαδοθεί. Αυτή η μη γραμμική συμπεριφορά, στην ακραία της επίδραση, έχει ως αποτέλεσμα το κύμα να είναι όπως ένα ημιανορθωμένο ημίτονο όπου υπάρχει μόνο η φάση (ημιπεριοδος) της θλίψης και στο φάσμα εμφανίζονται οι αρμονικές της. Για την περίπτωση των δύο συχνοτικών διεγέρσεων, και για να εμφανιστεί το φαινόμενο της μη γραμμικής διαμόρφωσης, πρέπει μόνο η χαμηλή συχνότητα f ενεργοποιεί την ταλάντωση της ρωγμή, δηλαδή να ισχύει ο λόγος των ε παραμορφώσεων 1. Κατά τη μία ημιπερίοδο της f που επικρατούν οι ε θλιπτικές τάσεις στις πλευρές και η ρωγμή είναι κλειστή, το κύμα υψηλής συχνότητας να 4

31 f διαδίδεται χωρίς εξασθένηση. Όμως, κατά την επόμενη ημιπερίοδο της f που επικρατούν εφελκυστικές τάσεις η ρωγμή είναι ανοιχτή και δεν διαδίδεται η f μια ενδιάμεση δυναμική κατάσταση της ρωγμής, θα έχουμε μερική διάδοση και μερική εξασθένηση, έτσι το πλάτος της f διαμορφώνεται από την f, και έχουμε στο φάσμα την εμφάνιση πλευρικών συχνοτήτων (παράγωγα ενδοδιαμόρφωσης). Με αυτό τον τρόπο το κύμα υψηλής συχνότητας λειτουργεί ανιχνευτικά για την δυναμική συμπεριφορά της ρωγμής και η χαμηλή συχνότητα ενεργοποιεί τη μη γραμμικές ιδιότητες της. Έτσι, αυτός ο τρόπος επαφής (Hertz/CAN) ρωγμής εισάγει επιπρόσθετες μη γραμμικές απώλειες, οι οποίες εξαρτώνται από το μέγεθος της ρωγμής. Μια πρώτη προσέγγιση στην εισαγωγή της μη γραμμικότητας στο θεωρητικό μοντέλο, γίνεται με την ανάπτυξη των μέτρων ελαστικότητας σε δυναμοσειρά της παραμόρφωσης. Όμως, από θεωρητικές αναλύσεις και πειραματικές παρατηρήσεις, η αποκλειστική προσέγγιση με την ανάπτυξη σε δυναμοσειρά δεν είναι ικανοποιητική, ιδίως σε μη γραμμικά υλικά τα οποία παρουσιάζουν πιο πολύπλοκα φαινόμενα στη σχέση τάσης-παραμόρφωσής τους. Οι ελαστικοί μη γραμμικοί συντελεστές (τετραγωνικής και κυβικής τάξης) είναι αρκετές τάξεις μεγαλύτεροι από τους αντίστοιχους συντελεστές των ομογενών-υγιών υλικών. Ακόμα και στα μικροανομοιογενή υλικά τα οποία περιέχουν διαφορές βλάβες (πχ ρωγμές), ο κύριος παράγοντας προέρχεται από τη μη γραμμικότητα της βλάβης, ενώ η ατομική μη γραμμικότητα που υπάρχει από το υγιές τμήμα του υλικού μπορεί να αγνοηθεί. Εκτός από τη μη γραμμική ελαστικότητα, τα ανομοιογενή υλικά μπορούν να παρουσιάσουν υστερητική μη γραμμικότητα όπως και ανελαστική μη γραμμικότητα που είναι μια μορφή απωλειών. Πειράματα σε πολυκρυσταλλικά υλικά (μέταλλα και πετρώματα) για την μελέτη εσωτερικής τριβής που εξαρτάται από το πλάτος, δείχνουν ότι η εξίσωση κατάστασης για αυτά τα υλικά περιγράφεται από μη αναλυτική υστερητική συνάρτηση της μορφής σ σ ( ε, signε). Σε =, όπου σ, ε, signε είναι η τάση, η dε παραμόρφωση και το πρόσημο του ρυθμού μεταβολής του ε = αντίστοιχα [6]. dt Αποτελέσματα από πειράματα δείχνουν ότι πολλά από αυτά τα υλικά (πχ χαλκός, ψευδάργυρος, γρανίτης, κλπ) χαρακτηρίζονται από υστεριτική εξάρτηση (, sign ) σ = σ ε ε τετραγωνικής μορφής. Τα βασικά χαρακτηριστικά είναι τα παρακάτω: 5

32 1) Κάθε κλάδος στο βρόχο υστέρησης είναι τετραγωνική συνάρτηση της παραμόρφωσης ε. ) Η μετάβαση από τον ένα κλάδο στον άλλο του βρόχου γίνεται με την αλλαγή του προσήμου του ε ή του ε ενώ η συνάρτηση σ σ ( ε, signε) = παραμένει συνεχής. 3) Για πάρα πολύ μικρές παραμορφώσεις, η υστερητική μη γραμμικότητα είναι αμελητέα. Πρέπει να αναφερθεί ότι το πρώτο χαρακτηριστικό από τα παραπάνω, δεν είναι γενικό και κοινό σε οποιοδήποτε υλικό παρουσιάζει υστερητική συμπεριφορά. Σε κάποια υλικά (π.χ. μάρμαρο, μόλυβδος), κάθε κλάδος του βρόχου υστέρησης είναι κυβική συνάρτηση της παραμόρφωσης παρά τετραγωνική [61]. Στη γενική της περίπτωση, για διαμήκεις τάσεις σ και παραμορφώσεις ε, η μονοδιάστατη (1D) μη γραμμική καταστατική εξίσωση έχει την μορφή: ( ) E f ( ) σ εε, = ε εε, + ηρ 1+ γε ε, (.4) όπου, f ( ε, ε ) είναι μη γραμμική συνάρτηση της παραμόρφωσης ε και της παραγώγου της ως προς το χρόνο ε και η οποία περιγράφει την ελαστική ή υστερητική μη γραμμικότητα, η είναι ο γραμμικός συντελεστής ιξώδους, ρ η πυκνότητα, και γ είναι η αδιάστατη παράμετρος των μη γραμμικών απωλειών. Επίσης, f ( ε, ε) ε, γε 1, ηγ ε E 1 και c =, όπου c c είναι η ταχύτητα ρ διάδοσης διαμήκων κυμάτων μικρού πλάτους. Στην περίπτωση που οι γραμμικές απώλειες ηε είναι αρκετά μικρότερες από τις μη γραμμικές, δεν επηρεάζουν τους μη γραμμικούς μηχανισμούς του υλικού και μπορούν να παραληφθούν. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση.4 τροποποιείται και είναι: (, ) = E f (, ) σ εε ε εε (.5) Οι μη γραμμικές εξισώσεις όμως που προέρχονται από την σχέση.5 θα ισχύουν για μία περιοχή που περιορίζεται x L c, όπου ω είναι η γωνιακή συχνότητα του ηω 3 = 6

33 διαδιδόμενου διαμήκους κύματος [61]. Η συνάρτηση f ( ε, ε ) εξαρτάται από την κατηγορία της μη γραμμικότητας του υλικού και λαμβάνει την κατάλληλη μορφή. Για την περίπτωση μη γραμμικής ελαστικότητας (reactive nonlinearity) ισούται με: 1 f ( ε, ε) = βε (.6) Στην περίπτωση υστερητικής μη γραμμικότητας ισούται με: f ( εε, ) 1,, > 1 βε ε > ε βε + ( β + 1 β) εmε, ε >, ε < = βε 3, ε <, ε < βε 4 + ( β3+ β4) εmε, ε<, ε> (.7) όπου β1 4 είναι παράμετροι που καθορίζουν την υστερητική μη γραμμικότητα του υλικού στα διάφορα στάδια της παραμόρφωσης του, και ισχύει ότι: β 1, β1 4 1, β1+ β >, β3+ β4 >. Η ποσότητα ε m δεν είναι μια παράμετρος που εξαρτάται από το μέσο, αλλά από την μέγιστη παραμόρφωση, δηλαδή από το πλάτος της διέγερσης. Καθώς το κύμα διαδίδεται, εξασθενεί (εξαιτίας των μη γραμμικών υστερητικών απωλειών), το πλάτος μειώνεται, οπότε η παράμετρος είναι ε = ε ( ). m m x Πρέπει να σημειωθεί ότι ενώ η τετραγωνική μη γραμμική ελαστικότητα ορίζεται μοναδικά, οι εκφράσεις για τις υστερητικές και μη γραμμικές απώλειες (αν και είναι τετραγωνική σχέση του πλάτους παραμόρφωσης ε m ) είναι διαφορετικές. Για παράδειγμα η μη γραμμική συνάρτηση f ( ε, ε ) μπορεί να περιγράψει όχι μόνο ανελαστική υστέρηση, αλλά και ελαστική υστέρηση. Σε αυτή την περίπτωση ορίζεται ένας κλειστός βρόχος υστέρησης για θετικές παραμορφώσεις και ένας δεύτερος για αρνητικές, με σημείο μετάβασης ε= και σ=. Στην ανελαστική υστέρηση υπάρχει ένας ενιαίος κλειστός βρόχος και όταν ε= τότε σ. Επίσης, είναι δυνατόν ο όρος των μη γραμμικών απωλειών ηργ εε να έχει την μορφή ηργ, εε χωρίς να αλλάζει κάτι θεμελιώδες. 7

34 Ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά αλλά και ιδιότητα διαφοροποίησης μεταξύ των μοντέλων είναι ότι η μη γραμμική ελαστικότητα (εξίσωση.6) είναι άρτια και αναλυτική συνάρτηση της παραμόρφωσης ε, ενώ η υστερητική μη γραμμικότητα (εξίσωση.7) είναι μη αναλυτική συνάρτηση στην γενική της μορφή, με την ανελαστική υστέρηση να είναι περιττή μη αναλυτική συνάρτηση της παραγώγου της παραμόρφωσης ε. Επιπλέον, η ελαστική (εξίσωση.6) και υστερητική (εξίσωση.7) μη γραμμικότητα είναι ανεξάρτητες της συχνότητας ω του ακουστικού κύματος, αλλά οι μη γραμμικές απώλειες εξαρτώνται από την συχνότητα ηργ ε ε ω. Θεωρούμε την βασικότερη και απλούστερη περίπτωση, όπου ένα μονοδιάστατο ημιτονοειδές διαμήκες κύμα διαδίδεται σε μέσο στο οποίο ισχύει η καταστατική εξίσωση της σχέσης.5, με συνοριακές συνθήκες ε ( x =, t) = ε sin( ωt). Αντικαθιστώντας την καταστατική εξίσωση (.5) στην u t x εξίσωση κυματικής διάδοσης ρ = σ ( ε ε) u (displacement) και ε =, έχουμε: x,, όπου u είναι η απομάκρυνση ( εε, ) ( εε) 3 ε ε f ε c = c + δ + η t x x x x t, (.8) όπου δ = ηγ. Η εξίσωση.8 περιγράφει την διάδοση ενός κύματος σε μη γραμμικό υλικό και την γένεση αρμονικών συχνοτήτων της διέγερσης. Η μη γραμμικότητα της εξίσωσης.8 είναι ασθενής, γι αυτό το λόγο η λύση της αναζητείται με τη μέθοδο των διαταραχών (perturbation method) [6] με την υπόθεση ότι: ( ) ε( x, θ) = ε ( x, θ) = ε ( x)sin nθ ϕ ( x) (.9) n n n n= 1 n= 1 ω Όπου θ = kx ωt, k = και n 1 c ε ( x, θ ) ε ( x, θ ). Επίσης, ε n( x ) και ϕ ( x) n n= είναι συναρτήσεις της απόστασης x που μεταβάλλονται αργά. Στην πρώτη 8

35 ηω x προσέγγιση της μεθόδου των διαταραχών, για μικρές αποστάσεις ( 1 3, c β ε kx ) και t 1 c ε 1 β ηω, όταν οι γραμμικές απώλειες είναι μικρές, τότε στην 3 ε εξίσωση.8 ο όρος η μπορεί να παραληφθεί. Λαμβάνοντας υπ όψιν την x t εξίσωση.9 και σε συνδυασμό με τη μη γραμμική ελαστικότητα (εξίσωση.6), η λύση της κυματικής εξίσωσης έχει την μορφή: βεkx ε ( x, θ) = ε sin( θ) + cos( θ) (.3) 4 Για την περίπτωση όπου η συνάρτηση μη γραμμικότητας είναι υστερητική, η λύση της κυματικής εξίσωσης.8 έχει την μορφή: ( ) ε ( x, θ) = ε ( 1 a ε kx) sin( θ b ε kx) + n a + b sin n( θ b ε kx) + ϕ (.31) 1 1 n n 1 n n= Όταν στο υλικό επικρατούν οι μη γραμμικές απώλειες τότε η εξίσωση διάδοσης έχει λύση της μορφής: δε ωkx δε ωkx ε ( x, θ) = ε 1 sin( ) (n 1) c θ + + 1sin (n+ 1) θ 3π c c n= 1 n+ ( ) (.3) Όπου οι συντελεστές a n και b n είναι γραμμικοί συνδυασμοί των παραμέτρων β1 4 β1+ β + β3+ β4 της εξίσωσης.7 και συγκεκριμένα είναι ίσοι με [6]: a1 =, 4π 1 3π b1 = β1 β + β3 β4 + ( β1+ β + β3+ β4) 6π 8, 1 an ϕn = tan bn c 4 ( 4 ( n 1) ) n 1 = + π +. Μελετώντας τη λύση στην σχέση.3 σε υλικά με τετραγωνική μη γραμμική ελαστικότητα, το κύμα διέγερσης διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα c, και η επίδραση και 9

36 της μη γραμμικότητας εμφανίζεται με την γένεση της δεύτερης αρμονικής. Το πλάτος της είναι το τετράγωνο του πλάτους της συχνότητας διέγερσης ε και αυξάνεται ως γραμμική συνάρτηση της απόστασης x. Σε μέσο με υστερητική μη γραμμικότητα (εξίσωση.31), η εξασθένηση και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος εξαρτώνται από το πλάτος διέγερσης, ενώ έχουμε γένεση ανώτερων άρτιων και περιττών αρμονικών συχνοτήτων. Το πλάτος τους είναι τετραγωνική συνάρτηση του πλάτους διέγερσης και αυξάνεται γραμμικά με την απόσταση διάδοσης x. Αντιθέτως, σε υλικό με μη γραμμικές απώλειες (εξίσωση.3), οι απώλειες διάδοσης στην συχνότητα διέγερσης εξαρτώνται από το πλάτος της και έχουμε μόνο εμφάνιση περιττών αρμονικών συχνοτήτων. Και σε αυτή την περίπτωση το πλάτος τους είναι τετραγωνική συνάρτηση του πλάτους διέγερσης και αυξάνεται γραμμικά με την απόσταση διάδοσης x. Μια βασική αλλά και χαρακτηριστική περίπτωση, είναι η ταυτόχρονη διάδοση δύο κυμάτων σε μια δοκό με μη γραμμική συμπεριφορά. Η μία διέγερση είναι πολύ υψηλότερη σε συχνότητα και ασθενέστερη σε πλάτος από την δεύτερη διέγερση. Το ένα άκρο της δοκού είναι πακτωμένο ( x = ) και το άλλο ελεύθερο (x = L ), με την διέγερση χαμηλής συχνότητας να έχει την μορφή ε ( xt, ) = ε sin( ω t+ ϑ) (.33) Αν η συχνότητα της ε ( x, t ) συμπίπτει με κάποια από τις ιδιοσυχνότητες της δοκού τότε η διέγερση τροποποιείται στη μορφή ( ) ( ) ε ( xt, ) = ε cos k x sin ω t+ ϑ, (.34) 1 όπου k L= π p, ω = ck, L είναι το μήκος της δοκού, p είναι ο αριθμός του mode συντονισμού, και ϑ η φάση του κύματος με τιμές ϑ π. Η διέγερση της υψηλής συχνότητας είναι ε ( x =, t) = ε sin( ω t) (.35) 3

37 Όπου ct < L, ε ε, ωε ωε, και ω ω. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις.34 και.35 έχουμε ( ) ( ) ε ( xt, ) = ε ( x)sin ω t+ ϑ + ε ( x)sin ω t kx+ ϕ (.36) Όπως είναι αναμενόμενο, όταν υπάρχει ένα ισχυρό κύμα χαμηλής συχνότητας, αυτό προκαλεί την διαμόρφωση πλάτους και φάσης του κύματος υψηλής συχνότητας, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται τα παράγωγα ενδοδιαμόρφωσης. Σε ένα υλικό με μη γραμμική ελαστικότητα της μορφής της εξίσωσης.6, θα εμφανιστούν μόνο οι πρώτης τάξης πλευρικές συχνότητες, δηλαδή ω ± ω. Σε ένα μέσο με υστερητική μη γραμμικότητα που περιγράφεται από την εξίσωση.7, είναι δυνατόν να γεννηθούν όλες οι πλευρικές συχνότητες ανώτερης τάξης, δηλαδή ω ± mω με m 1. Όμως, για την περίπτωση ενός υλικού όπου επικρατούν οι μη γραμμικές απώλειες, εμφανίζονται μόνο οι άρτιες πλευρικές συχνότητες, δηλαδή ω ± mω με m 1 [6]. Ένα άλλο φαινόμενο το όποιο είναι χαρακτηριστικό σε υλικά με μη γραμμικότητες με την ταυτόχρονη διέγερση δύο συχνοτήτων είναι η λεγόμενη «εξασθένηση ήχου από ήχο». Σε αυτήν την περίπτωση το ισχυρό κύμα χαμηλής συχνότητας ε ( x, t ) επηρεάζει το πλάτος του διαδιδόμενου κύματος υψηλής συχνότητας ε ( x, t ). Δηλαδή, η ύπαρξη της χαμηλής συχνότητας εισάγει μια φαινόμενη επιπρόσθετη μη γραμμική εξασθένηση, η οποία αλλάζει την μέση χρονική τιμή της εξασθένησης και της ταχύτητας διάδοσης του ε ( x, t ). Αντικαθιστώντας την εξίσωση.36 στην εξίσωση.8, έχουμε τις σχέσεις για τον υπολογισμό του μη γραμμικού συντελεστή εξασθένησης ( = ) ( ) α ε α = α( ε ) = ln α ε, όταν υπάρχει η χαμηλή συχνότητα ε ( xt, ) και χωρίς ( xt, ) ε =, όπως και φάσης ( ) ε ( x, t ) στο ελεύθερο άκρο της δοκού ( x = L ). ϕ = ϕ ε του κύματος υψηλής συχνότητας ( ) ϕ( ε ) α ε =, = (.37) 31

38 ( ) 1, ϕ( ε ) α ε β ε β ε ω L = = (.38) π π c 3 π c πc ( ), ϕ( ε ) α ε = δε ω = δε ω, (.39) π όπου β = β1 β + β3 β4 + ( β1+ β + β3+ β4). Όπως φαίνεται από τις σχέσεις 4.37, σε μία δοκό με τετραγωνική μη γραμμική ελαστικότητα, η παρουσία της χαμηλής συχνότητας ε ( x, t ) δεν επηρεάζει κατά μέσο όρο το πλάτος ούτε και την φάση (ταχύτητα) του κύματος υψηλής συχνότητας ε ( x, t ). Από τις σχέσεις.38 η οποία αντιστοιχεί στην υστερητική μη γραμμικότητα, υπάρχουν πολύ μικρές μεταβολές στο πλάτος της ε ( x, t ) εξαιτίας της ε ( x, t ), και η φάση είναι γραμμική συνάρτηση του μήκους L. Εκτός αυτού, η εξασθένηση α ( ε ) αλλά και η φάση ϕ ( ε ) είναι ανάλογες του πλάτους διέγερσης της ε ( x, t ). Αντιθέτως, όταν υπάρχουν μη γραμμικές απώλειες (σχέσεις.39), είναι πιο εμφανής η εξασθένηση του πλάτους της υψηλής συχνότητας αλλά και ο επηρεασμός της φάσης από το πλάτος της χαμηλής συχνότητας. Συμπερασματικά, σε ένα υλικό με μη γραμμική υστέρηση το κύριο φαινόμενο είναι η επιπρόσθετη διαφορά φάσης που εισάγεται στο κύμα υψηλής συχνότητας υπό την επίδραση του κύματος χαμηλής συχνότητας. Σε ένα μέσο όπου επικρατούν οι μη γραμμικές απώλειες, το κύριο φαινόμενο είναι η μείωση του πλάτους της υψηλής συχνότητας εξαιτίας της χαμηλής συχνότητας. Η περιγραφη των μη γραμμικών φαινομένων στη μεσο-μακροκλίμακα είναι μια σύνθετη διαδικασία και δεν υπάρχει μέχρι στιγμής ένα πλήρες γενικό θεωρητικό μοντέλο που να περιέχει όλους τους μηχανισμούς μη γραμμικοτήτων. Σε έντονα μη γραμμικά υλικά, ακόμα και όροι ανώτερης τάξης για την παραμόρφωση μπορούν να συμπεριληφθούν [56]. Από θεωρητικές αναλύσεις και πειραματικές παρατηρήσεις, ιδίως σε έντονα μη γραμμικά υλικά, τα οποία παρουσιάζουν πιο πολύπλοκα φαινόμενα στη σχέση τάσης-παραμόρφωσής τους, είναι έντονη η πεποίθηση ότι τα περισσότερα μικροανομοιογενή υλικά παρουσιάζουν εκτός από υστέρηση και διακριτή μνήμη στη σχέση τάσης-παραμόρφωσης τους, ακόμα και από χαμηλές μέχρι μέτριες παραμορφώσεις. Χαρακτηριστική συμπεριφορά έχουν τα γεωϋλικά τα οποία 3

39 εξαιτίας της αρχιτεκτονικής τους έχουν αρκετές μικρορωγμές. Μια εναλλακτική θεωρητική προσέγγιση, ακολουθώντας την φαινομενολογική περιγραφή για τα γεωϋλικά της υστέρησης στην σχέση τάσης-παραμόρφωσης από τους Guyer και McCall [63-65], είναι η μονοδιάστατη (1D) σχέση μεταξύ της τάσης σ και παραμόρφωσης ε να μπορεί να εκφραστεί με μία πρώτη προσέγγιση: (, ) σ = K εε dε (.4) Όπου Κ περιλαμβάνει του όρους μη γραμμικότητας και υστέρησης οι οποίοι είναι: ( ( ) ) ( ε ε ) βε δε ε ε ( ε ) K (), t () t = K 1 () t () t a Δ + () t sign () t +... (.41) ε max ε min Όπου K είναι το ο γραμμικός όρος ελαστικότητας, Δ ε = είναι η μέση τιμή της διακύμανσης της τοπικής παραμόρφωσης στην προηγούμενη χρονικά dε περίοδο για συνεχή ημιτονοειδή διέγερση, ε = ο ρυθμός χρονικής μεταβολής της dt παραμόρφωσης, sign( t ) ε () = 1όταν ε () t > και sign( t ) ε () = 1όταν ε () t < [63-67]. Οι συντελεστές β και δ είναι οι κλασικοί μη γραμμικοί συντελεστές στην ανάπτυξη κατά Taylor της σχέσης τάσης-παραμόρφωσης [36, 56, 59], ενώ ο συντελεστής α εισάγεται ως μέτρο της υστέρησης του υλικού. Η περιγραφή των μη γραμμικών φαινομένων μέσω της σχέσης.4, έχει πληροφορίες για την διάδοση των ακουστικών κυμάτων, η οποία τα διαφοροποιεί από την κλασική μη γραμμική συμπεριφορά και υστερητική μη γραμμική συμπεριφορά που μελετήθηκε παραπάνω. Για παράδειγμα, ένα κύμα παραμόρφωσης (strain wave) το οποίο προκαλείται από μια διέγερση συχνότητας ω και πλάτους Δ ε, σε ένα κλασικό μη γραμμικό σύστημα έχει ως αποτέλεσμα την δημιουργία των επιπλέον αρμονικών συχνοτήτων f, 3f, κλπ, με πλάτη τα οποία είναι ανάλογα του ( ε ) Δ, 3 ( Δ ε ), κλπ, αντιστοίχως. Σε ένα καθαρά υστερητικό υλικό, η δεύτερη αρμονική δεν δημιουργείται και το πλάτος της τρίτης αρμονικής έχει τετραγωνική σχέση ως προς το πλάτος την κύριας συχνότητας [6, 63, 65-67]. Αυτό σημαίνει ότι η υστέρηση δρα με τα χαρακτηριστικά μη γραμμικότητας δεύτερης τάξης. Αντιστοίχως, για την 33

40 περίπτωση της μη γραμμικής διαμόρφωσης με συχνότητες διέγερσης f και f με πλάτη Δ ε και Δ ε, τα παράγωγα ενδοδιαμόρφωσης πρώτης τάξεως είναι f f ±. Προέρχονται από την κλασική μη γραμμική επίδραση της f στην f, και το πλάτος των παραγώγων είναι ανάλογο της σχέσης βδδ. Όταν υπερισχύει η υστέρηση, εμφανίζονται παράγωγα ενδοδιαμόρφωσης δεύτερης τάξης, δηλαδή f ± f, με το πλάτος τους να είναι ανάλογο της σχέσης aδδ. Στην περίπτωση αυτή, η κλασική μη γραμμική θεωρία προβλέπει ότι τα πλάτη έχουν εξάρτηση ανώτερης τάξης που είναι f ( β, δ) ΔεΔ ε, με (, ) γραμμικός συνδυασμός των β και δ. f β δ να είναι ένας.3. Μηχανισμοί μη γραμμικής διαμόρφωσης.3.1. Εισαγωγή Σε υλικά χωρίς βλάβη, η συμπεριφορά τους χαρακτηρίζεται μόνο από την ατομική τους μη γραμμικότητα ή από την παραμόρφωση σε ατομική/μοριακή κλίμακα. Η εμφάνιση αυτών των μη γραμμικοτήτων είναι αρκετά μικρή και δύσκολα μετρήσιμη, σχεδόν μη ανιχνεύσιμη πειραματικά, αφού στις περισσότερες περιπτώσεις υπερκαλύπτονται από τις μη γραμμικότητες των οργάνων μέτρησης. Στην περίπτωση όμως που τα υλικά αποκτήσουν περιοχές όγκου με πολλές μικρορωγμές ή ρωγμές, αποκτούν έντονη μη γραμμικότητα, η οποία και χαρακτηρίζει πλέον τη συμπεριφορά τους [34]. Από διάφορα πειράματα που διεξήχθησαν, συμπεραίνεται ότι τα υλικά με ρωγμές δεν μπορούν να περιγραφούν από την κλασσική γραμμική θεωρία. Η συνολική τους απόκριση είναι πιο πολύπλοκη στην ανάλυση επειδή συμπεριλαμβάνει διαφορετικούς μηχανισμούς. Είναι δυνατόν να εμφανίσουν απόκριση που περιγράφεται από τη μη γραμμική ελαστικότητα, τις μη γραμμικές απώλειες, την υστέρηση, ακόμα και από μια πιο σύνθετη συμπεριφορά που περιλαμβάνει συνδυασμό των παραπάνω. Γι αυτό το λόγο καθίσταται αναγκαίο να κατανοηθεί η συνεισφορά των διαφόρων μηχανισμών ξεχωριστά και αυτό επιτυγχάνεται με τη σύγκριση των θεωρητικών προβλέψεων με τα πειραματικά δεδομένα. 34

41 Συγκεκριμένα, οι δύο μηχανισμοί που μελετήθηκαν με σκοπό την ανάλυση του φαινόμενου της μη γραμμικής διαμόρφωσης ήταν της μη γραμμικής ελαστικότητας και των μη γραμμικών απωλειών, καθώς θεωρούνται οι βασικότεροι. Για τη μελέτη χρησιμοποιήθηκε η απλή περίπτωση μονοδιάστατου συστήματος, δηλαδή μια ράβδος, για το οποίο η θεωρητική επίλυση είναι εφικτή (σχήμα.5). f f x = x = L u = u = x Σχήμα.5 Ράβδος με ταυτόχρονη διέγερση δύο κυμάτων Στη ράβδο εφαρμόστηκε διέγερση που ήταν το άθροισμα δύο αρμονικών διαμήκων κυμάτων, ένα υψηλής συχνότητας (υπέρηχος) f και ένα χαμηλής συχνότητας f. α) Μη γραμμική ελαστικότητα Θεωρούμε ότι έχουμε ένα υλικό στο οποίο η μη γραμμική συμπεριφορά χαρακτηρίζεται αποκλειστικά από τη μη γραμμική ελαστικότητα. Η μονοδιάστατη (1D) μορφή της σχέσης μεταξύ της τάσης σ και της παραμόρφωσης ε είναι: σ = Ε ε(1 + βε), (.4) όπου Ε είναι το μέτρο του Young και β είναι ο συντελεστής της μη γραμμικότητας. Συμπεριλαμβάνοντας τους όρους μη γραμμικότητας, η εξίσωση κυματικής διάδοσης των ελαστικών διαμήκων κυμάτων γίνεται [68]: u = c [ ] u + βu u + au (.43) tt xx x xx xxt Στη παραπάνω εξίσωση c E = είναι η ταχύτητα διάδοσης των ελαστικών κυμάτων, ρ β ο συντελεστής της μη γραμμικής ελαστικότητας και a οι γραμμικές απώλειες. Αν 35

42 λάβουμε το μετασχηματισμό Fourier U = F ( u) της απομάκρυνσης u, τότε η εξίσωση διάδοσης μετασχηματίζεται στο πεδίο των συχνοτήτων στη σχέση t U = c [ ( * ) ] U + U U + j au. (.44) ω xx β x x x ω xx Αλλάζοντας τη θέση των όρων προκύπτει: ω c U U U U xx + = β ( * ) x x x c + jωa c + jωa (.45) Εφαρμόζοντας την ανάλυση των διαταραχών (perturbation analysis) η απομάκρυνση U μπορεί να αναλυθεί στις συνιστώσες U = U + βu + β U (.46) 1 Όπου, U παριστάνει το αρχικό κύμα διέγερσης, U 1 είναι η λύση διαταραχής πρώτης τάξης και U είναι η λύση διαταραχής δεύτερης τάξης. Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει το σύστημα των εξισώσεων: U ω + U = xx c + jωa ω c U U U U 1xx + 1 = ( x* x) x c + jωa c + jωa (.47) ω c U U U U xx + = ( 1x* x) x c + jωa c + jωa. Οι δύο διεγέρσεις εφαρμόζονται στο ένα άκρο της ράβδου μήκους L και στο άλλο άκρο της λαμβάνεται η απόκριση (σχήμα.5). Για την παραπάνω ράβδο ισχύουν οι συνοριακές συνθήκες πακτωμένου άκρου δηλαδή u = για x = και ελεύθερου άκρου δηλαδή u x = για x = L. Επιπλέον, για τις διεγέρσεις ισχύει: 36

43 f : A [ δ ( ω ω ) + δ( ω+ ω )] (.48) και f : A [ δ ( ω ω ) + δ( ω+ ω )]. (.49) Από τις παραπάνω εξισώσεις εφαρμόζοντας την ανάλυση των διαταραχών, προκύπτει ότι τα πλάτη των πλευρικών συχνοτήτων f ± f είναι U β A A ενώ για τις συχνότητες f ± f είναι U β A A. β) Μη γραμμικές απώλειες Αν για την παραπάνω ράβδο θεωρήσουμε ότι η μη γραμμική της συμπεριφορά ορίζεται αποκλειστικά από τις μη γραμμικές απώλειες, τότε η σχέση μεταξύ της τάσης και της παραμόρφωσης είναι γραμμική, δηλαδή σ = Ε ε. Η μονοδιάστατη εξίσωση διάδοσης διαμήκων ελαστικών κυμάτων είναι: utt = c uxx + auxxt + μ( vuxt ) x (.5) όπου s v= u x και 1< s <, c E = είναι η ταχύτητα διάδοσης των ελαστικών ρ κυμάτων, μ ο συντελεστής των μη γραμμικών απωλειών και a οι γραμμικές απώλειες. Αν λάβουμε το μετασχηματισμό Fourier U = F ( u) της απομάκρυνσης u και του όρου v των μη γραμμικών απωλειών V = F () v, τότε η εξίσωση διάδοσης μετασχηματίζεται στο πεδίο των συχνοτήτων στη σχέση.51. t t Uxx γ U = c γ μ( V* jωu ) x x, ω 1 γ = jω c + jωa 1/. (.51) Χρησιμοποιώντας την ανάλυση των διαταραχών (perturbation analysis) η απομάκρυνση U μπορεί να θεωρηθεί στη μορφή 37

44 U = U + μu, (.5) 1 όπου, U παριστάνει το αρχικό κύμα διέγερσης και U 1 είναι η λύση διαταραχής πρώτης τάξης. Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει το ακόλουθο σύστημα των εξισώσεων U ω + U = xx c + jωa ω c U U V j U 1xx + 1 = ( * ω x) x c + jωa c + jωa. (.53) Για τις ίδιες συνοριακές συνθήκες και εφαρμόζοντας τις διεγέρσεις των εξισώσεων.48 και.49, προκύπτει ότι δεν υπάρχουν οι πλευρικές συχνότητες f ± f, ενώ s για τις συχνότητες f ± f το πλάτους τους είναι U μ A A. γ) Αριθμητική επίλυση Η αριθμητική επίλυση των παραπάνω εξισώσεων έγινε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, όπου για την μονοδιάστατη εξίσωση διάδοσης, χρησιμοποιήθηκαν οι παρακάτω προσεγγίσεις [68]: tt xx u u n j n j u u + u ( Δt) n+ 1 n n 1 j j j u u + u ( Δx) n n n j+ 1 j j 1 x u n j u u n n j+ 1 j 1 Δx 1 u u u u + u + u u ( Δx) Δt + ( ) n n n n n n n xxt j j j j j j j (.54) v v + 8( Δx) Δt n n n n j+ 1 j 1 n+ 1 n 1 n+ 1 n 1 x( vj xtuj) u j uj uj uj ( ) v + v ( Δx) Δt n n j+ 1 j 1 n+ 1 n 1 n+ 1 n 1 n+ 1 n 1 ( uj+ 1 uj+ 1 uj uj uj 1 uj 1) 38

45 Συμβολίζουμε με Μ1 το μέσο πλάτος των πρώτων πλευρικών συχνοτήτων ενδοδιαμόρφωσης και αντίστοιχα ως Μ το πλάτος των δεύτερων πλευρικών συχνοτήτων. Προκύπτει ότι: M 1 U( f f) + U( f + f) = (.55) U( f ) και M U( f f) + U( f + f) =. (.56) U( f ) Στα σχήματα.6 μέχρι.8 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των αριθμητικών υπολογισμών για τις περιπτώσεις ράβδου με μη γραμμική ελαστικότητα και μη γραμμικές απώλειες β.1 M A x 1-6 (α) 39

46 Α.1 M (β) Σχήμα.6 Μεταβολή του Μ1 σε σχέση α) με το πλάτος A για διαφορετικές τιμές του β, β) με τον συντελεστή μη γραμμικής ελαστικότητας β για διαφορετικές τιμές του β A M β A x 1-6 (α) 4

47 Α M (β) Σχήμα.7 Μεταβολή του Μ σε σχέση α) με το πλάτος A για διαφορετικές τιμές του β, β) με τον συντελεστή μη γραμμικής ελαστικότητας β για διαφορετικές τιμές του β A Για την περίπτωση των μη γραμμικών απωλειών δεν υπάρχουν πρώτες πλευρικές συχνότητες Μ1, γι αυτό το λόγο στο σχήμα.8 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των δεύτερων πλευρικών συχνοτήτων Μ και για s = 1.5 (εξίσωση.5). 41

48 μ M A x 1-6 (α).6.5 Α.4 M μ x 1 7 (β) Σχήμα.8 Μεταβολή του Μ σε σχέση α) με το πλάτος A για διαφορετικές τιμές του μ, β) με τον συντελεστή μη γραμμικών απωλειών μ για διαφορετικές τιμές του A 4

49 Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι και οι δύο τεχνικές που χρησιμοποιήθηκαν για την ανάλυση του φαινόμενου της μη γραμμικής διαμόρφωσης, δηλαδή η ανάλυση διαταραχών και οι πεπερασμένες διαφορές, έδωσαν ταυτόσημα αποτελέσματα. Επίσης, για την περίπτωση που εξετάστηκε μόνο ο μηχανισμός της μη γραμμικής ελαστικότητας, παρατηρήθηκε στο φάσμα της απόκρισης η εμφάνιση των πρώτων και δεύτερων συχνοτήτων ενδοδιαμόρφωσης, πλάτους Μ1 και Μ αντίστοιχα. Στο σχήμα.6 παρατηρούμε την γραμμική μεταβολή του πλάτους Μ1 σε σχέση με το πλάτος M 1 β A A και το συντελεστή μη γραμμικής ελαστικότητας β, δηλαδή. Στο σχήμα.7 παρατηρούμε ότι το πλάτος Μ μεταβάλλεται με τετραγωνική σχέση ως προς τα A και β, δηλαδή M β A. Όσον αφορά στην περίπτωση της ράβδου μόνο με μη γραμμικές απώλειες, η ανάλυση δεν δίνει πρώτες πλευρικές συχνότητες, ενώ οι δεύτερες πλευρικές συχνότητες εμφανίζονται. Στο σχήμα.8α παρουσιάζεται η μη γραμμική μεταβολή του πλάτους Μ σε σχέση με το πλάτος A, η οποία είναι ανάλογη του M 1.5 μ A. Σε αντίθεση με τη μη γραμμική ελαστικότητα β, το πλάτος του Μ δεν μεταβάλλεται τετραγωνικά αλλά γραμμικά σε σχέση με τον συντελεστή μη γραμμικών απωλειών (σχήμα.8β)..3.. Πειραματική μελέτη Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε για την ανίχνευση της ρωγμής με χρήση της μη γραμμικής διαμόρφωσης φαίνεται στο σχήμα.9. Η γυάλινη ράβδος είχε μήκος = 1mm και η διάμετρος της ήταν d = 16mm. Η πρώτη ρωγμή δημιουργήθηκε στη θέση ήταν 1 = 9mm από τον πομπό υπερήχων, ενώ η δεύτερη ρωγμή στη θέση = 3mm από τον πομπό υπερήχων. Για την ταλάντωση της ράβδου χρησιμοποιήθηκε το shaker 489 της εταιρίας Bruel & Kjaer, το οποίο προορίζεται για την ταλάντωση μικρών δοκιμίων. Είναι ικανό να δημιουργεί ταλαντώσεις σε ένα εύρος συχνοτήτων από 1Hz μέχρι khz και για μέγιστο πλάτος ταλάντωσης που μπορεί να διανύσει η κεφαλή διέγερσης ± 4mm. 43

50 Προενισχυτής υπερήχων Πομπός υπερήχων 1 Δέκτης υπερήχων Ρωγμές Shaker V () t V t V () t () Αναλυτής φάσματος Ενισχυτής ισχύος Γεννήτριες Σχήμα.9 Πειραματική διάταξη για την ανίχνευση ρωγμών σε γυάλινη ράβδο με μη γραμμική διαμόρφωση Το μέγιστο βάρος φορτίου που είναι δυνατόν να ταλαντωθεί είναι.85kg, η μέγιστη δύναμη είναι 6Ν και η μέγιστη επιτάχυνση 736 / m s. Η βάση του shaker ήταν στερεωμένη σε μία πλάκα από Plexiglas ΤΜ η οποία έφερε 5 μεταλλικές πλάκες διαστάσεων mm και συνολικού βάρους 15kg. Το πίσω μέρος του πομπού υπερήχων ήταν βιδωμένο στην κεφαλή διέγερσης του shaker, ενώ στο μπροστινό ήταν συγκολλημένο με κυανοακρυλική κόλλα το ένα άκρο την γυάλινης ράβδου (εικόνα.1). Το στοιχείο που χρησιμοποιήθηκε ως transducer ήταν το videoscan V13 1MHz/.5 της εταιρίας Panametrics με κεντρική συχνότητα λειτουργίας το 1ΜHz. Το σώμα του πομπού υπερήχου ήταν κατασκευασμένο από ανοξείδωτο χάλυβα και στην μπροστινή του όψη ήταν προσαρμοσμένη η επιφάνεια του πιεζοηλεκτρικου υλικού ΡΖΤ για την παραγωγή των υπερηχητικών κυμάτων. Η διάμετρος του στοιχείο ήταν d =.5" = 1.7mm με μήκος = 15mm. Για ταχύτητα διάδοσης διαμηκών κυμάτων του ανοξείδωτου χάλυβα v = 54 m/ s, η L 44

51 συχνότητα στην οποία το μήκος f γίνεται μεγαλύτερο από το λ 1 είναι λ /1 = 36kHz. Για συχνότητες μικρότερες από 36kHz η παρεμβολή του σώματος του πομπού υπέρηχων δεν επηρεάζει την ταλάντωση της χαμηλής συχνότητας. Οπότε, με αυτό τον τρόπο διέρχεται ανεπηρέαστη η χαμηλή συχνότητα διέγερσης f μέσω του σώματος του πομπού υπερήχων και στο κάτω άκρο της ράβδου εφαρμόζεται η υπέρθεση των δύο διεγέρσεων f + f. Στο άνω άκρο της ράβδου ήταν συγκολλημένο με κυανοακρυλική κόλλα ένα ίδιο στοιχείο transducer με αυτό του πομπού υπερήχων, το οποίο χρησιμοποιήθηκε για την λήψη των κυμάτων. Η έξοδος του δέκτη υπερήχων συνδέθηκε στην είσοδο του προενισχυτή λήψης της εταιρίας Olympus-Panametrics όπου ενισχύθηκε κατά dβ, έτσι ώστε η απόκριση του υπερήχου να απέχει αρκετά (περισσότερο από 6dB) από την στάθμη θορύβου μέτρησης. Η έξοδος του προενισχυτή συνδέθηκε στη είσοδο του αναλυτή φάσματος της εταιρίας Agilent, και τα μετρούμενα φάσματα αποθηκεύονταν σε ψηφιακά αρχεία. Εικόνα.1 Πειραματική διάταξη για την ανίχνευση ρωγμών με μη γραμμική διαμόρφωση σε γυάλινη ράβδο 45

52 Για την παραγωγή των σημάτων χρησιμοποιήθηκαν δύο ψηφιακές γεννήτριες συχνοτήτων υψηλής ακρίβειας της εταιρίας Agilent. Η πρώτη γεννήτρια παρήγε μια ημιτονοειδή τάση V () t V sin( π f t) = χαμηλής συχνότητας f = 8Hz, για την οδήγηση του shaker, ενώ η δεύτερη γεννήτρια παρήγε μια ημιτονοειδή τάση ( π ) V () t = V sin f t υψηλής συχνότητας f = 1MHz για την τροφοδοσία του πομπού υπερήχων. Τα ημιτονοειδή σήματα διέγερσης, V ( t ) και V () t, ήταν πολύ χαμηλής παραμόρφωσης, με το πλάτος της δεύτερης αρμονική να είναι χαμηλότερο από 6dB σε σχέση με το πλάτος της κύριας συχνότητας. Επίσης τα πλάτη των παραγόμενων σημάτων, όπως και η τιμή των συχνοτήτων τους ήταν υψηλής σταθερότητας και ακρίβειας ρύθμισης. Η έξοδος της γεννήτριας χαμηλής συχνότητας V () t συνδέθηκε στην είσοδο του ενισχυτή ισχύος και σε όλα τα πειράματα λειτουργούσε κάτω από το ¼ της μέγιστης ισχύος του για να μην διαταραχτεί η γραμμικότητα της ενίσχυσης του. Με αυτό τον τρόπο η ολική αρμονική παραμόρφωση μαζί με τον θόρυβο (THD+N) περιορίσθηκε σε τιμές πολύ μικρότερες του.1%. Η έξοδος του ενισχυτή τροφοδοτούσε το shaker, με αντίσταση πηνίου διέγερσης 4Ω Πειραματικά αποτελέσματα Οι μετρήσεις αναφοράς έγιναν αρχικά στην άθικτη γυάλινη ράβδο όπου και υπολογίστηκαν τα φάσματα στην περιοχή του υπέρηχου f = 1MHz. Κατόπιν θερμάνθηκε η γυάλινη ράβδος, σε απόσταση 1 = 9mm από τον πομπό υπερήχων, με πιστόλι θερμού αέρα. Η θερμοκρασία εξόδου του θερμού από το στόμιο ρυθμίστηκε στους θ α = 45 C και η ράβδος θερμάνθηκε για χρόνο t = 9s. Η περιοχή που θερμάνθηκε στην συνέχεια ψήχθηκε με νερό θερμοκρασίας θ = 14 C. Η απότομη μεταβολή της θερμοκρασίας προκάλεσε την δημιουργία επιφανειακών θερμικών ρωγμών. Η ίδια διαδικασία επαναλήφθηκε και για την δημιουργία της δεύτερης περιοχής επιφανειακών ρωγμών στην ίδια γυάλινη ράβδο σε απόσταση περίπου = 3mm από τον πομπό υπερήχων. Οι transducers που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπομπή αλλά και για την λήψη των υπερήχων ήταν κατασκευασμένοι ώστε να έχουν το μέγιστο της απόδοσης τους στην συχνότητα του 1MHz. Γι αυτό το λόγο επιλέχθηκε για συχνότητα εκπομπής του ν 46

53 υπερήχου η f = 1MHz. Πριν από κάθε μέτρηση το πλάτος της γεννήτριας του υπερήχου V ρυθμιζόταν κατάλληλα έτσι ώστε η μετρούμενη απόκριση από τον αναλυτή φάσματος να είναι A = 1dBmV. Για την άθικτη ράβδο η απόκριση ήταν V f = 198.9mVpp. Η χαμηλή συχνότητα ταλάντωσης της γυάλινης ράβδου ήταν = 8Hz και το πλάτος διέγερσης της γεννήτριας ήταν V = 1mVpp το οποίο αντιστοιχεί σε μια μετρούμενη επιτάχυνση A = 99.1 m/ s. Ο δείκτης βλάβης (DI) της σχέση.13 σε db χρησιμοποιήθηκε για την γυάλινη ράβδο, υπολογίζοντας το λόγο του μέσου πλάτους των πλευρικών συχνοτήτων ως προς την κύρια συχνότητα. Για την συγκεκριμένη περίπτωση f A είναι το πλάτος της απόκρισης στην συχνότητα = 1MHz, A + είναι το πλάτος της απόκρισης στην πρώτη άνω πλευρική συχνότητα f + = f + f = 1MHz+ 8Hz. Ομοίως, A είναι το πλάτος της απόκρισης στην πρώτη κάτω πλευρική συχνότητα f = f f = 1MHz 8Hz. O δείκτης βλάβης μετρήθηκε πειραματικά και υπολογίστηκε για όλες τις περιπτώσεις της ράβδου, δηλαδή χωρίς ρωγμή, με μια ρωγμή και δύο ρωγμές. Στα σχήματα.1 μέχρι.1, παρουσιάζονται τα φάσματα των αποκρίσεων από τις μετρήσεις στη γυάλινη ράβδο αναφοράς χωρίς ρωγμή a, για μια ρωγμή a 1, αλλά και για δύο ρωγμές a. -1 f α - Response [db] Frequency [khz] Σχήμα.1 Φάσμα της απόκρισης για την ράβδο χωρίς ρωγμή, a 47

54 f α Response [db] f -f f +f f -f f +f Frequency [khz] Σχήμα.11 Φάσμα της απόκρισης για την ράβδο με μία ρωγμή, a 1 f α -1 f -f f +f - f -f f +f Response [db] f -3f f +3f Frequency [khz] Σχήμα.1 Φάσμα της απόκρισης για την ράβδο με δύο ρωγμές, a Τα πλάτη των αποκρίσεων έχουν κανονικοποιηθεί ως προς το πλάτος της απόκρισης του υπέρηχου A' = 1dBmV. Στο σχήμα.1, όπου παρουσιάζεται το φάσμα της απόκρισης για την γυάλινη ράβδο χωρίς ρωγμή, δεν εμφανίζονται πλευρικές συχνότητες και 48

55 παρατηρείται μόνο η συχνότητα του υπέρηχου f. Στο σχήμα.11 φαίνεται το φάσμα για τη ράβδο με μια ρωγμή a 1. Και σε αυτό εμφανίζονται οι πρώτες πλευρικές συχνότητες με πλάτη αποκρίσεων A = A = 45.4dB. Επιπλέον, στο φάσμα + οριακά παρατηρούνται και παράγωγα ενδοδιαμόρφωσης δεύτερης τάξης, δηλαδή τις δεύτερες πλευρικές συχνότητες f f και f + f. Τα πλάτη που μετρήθηκαν ήταν A = 69.5dB και A + = 68.3dB με την μέση στάθμη του θορύβου μέτρησης να είναι A 7dB. Στο φάσμα του σχήματος.1 n παρατηρήθηκε ότι, για δυο ρωγμές a, το πλάτος των πρώτων πλευρικών συχνοτήτων αυξήθηκε σημαντικά (κατά 3dB περίπου), με πλάτη A + = 16.5dB και A = 13.4dB. Επίσης, παρατηρήθηκε η εμφάνιση όχι μόνο των δεύτερων πλευρικών συχνοτήτων f ± f άλλα και των παραγώγων τρίτης και ανώτερης τάξης δηλαδή, f ± 3 f, κ.ο.κ. Σημαντική είναι και η αύξηση του πλάτους των δεύτερων πλευρικών συχνοτήτων (κατά 45dB περίπου), με το πλάτος τους να ανέρχεται σε A + =.8dB και A = 3.8dB. Στο σχήμα.13 παρουσιάζεται η μεταβολή του δείκτη βλάβης (DI) της γυάλινης ράβδου για τις περιπτώσεις χωρίς ήταν χωρίς ρωγμή, αλλά με μια και δύο ρωγμές DI [db] Crack Number Σχήμα.13 Μεταβολή του δείκτη βλάβης (DI) της ράβδου από γυαλί 49

56 Το συνολικό εύρος μεταβολής του DI είναι 55dB και η εξάρτησή του από το σχετικό βάθος της ρωγμής είναι γραμμική. Η αύξηση του DI της ράβδου για μια επιφανειακή ρωγμή είναι 5.dB και είναι DI a1 = 45.4dB. Η μεταβολή αυτή είναι σημαντική και είναι εύκολα και με ακρίβεια μετρήσιμη σε πραγματικές συνθήκες εφαρμογής. Για την περίπτωση των δύο ρωγμών η μη γραμμική συμπεριφορά είναι πολύ εμφανής με αποτέλεσμα ο DI να αυξάνεται κατά 3.4dB και να είναι DI a = 15.dB. Κατά την δημιουργία ρωγμών στην γυάλινη ράβδο, το πλάτος διέγερσης του υπέρηχου V έπρεπε να αυξηθεί, έτσι ώστε το πλάτος της απόκρισης του υπέρηχου f να είναι A' = 1dBmV, ίσο με το πλάτος αναφοράς για την άθικτη ράβδο. Αυτό συμβαίνει διότι, η δημιουργία ρωγμών εισάγει απώλειες στην διάδοση του υπέρηχου, οι οποίες προκαλούν την εξασθένηση του κύματος. Έτσι επιβάλλεται η διόρθωση του πλάτους διέγερσης ώστε να υπάρχει η ίδια μετρούμενη απόκριση Η εξασθένηση διάδοσης του υπέρηχου υπολογίζεται σε db από την εξίσωση.57. A. Att V n = log V (.57) Όπου Att η εξασθένηση σε db που δέχεται ο υπέρηχος f = 1MHz, V το πλάτος τάσης σε Vpp της γεννήτριας διέγερσης του υπέρηχου για την άθικτη γυάλινη ράβδο, Vn το πλάτος τάσης σε Vpp της γεννήτριας διέγερσης του υπέρηχου με ύπαρξη ρωγμών και n είναι ο αριθμός των ρωγμών κατά περίπτωση. Στον πίνακα.1 παρουσιάζεται το πλάτος διέγερσης V και η προκαλούμενη εξασθένηση Att του υπερήχου. Αριθμός ρωγμών n Πίνακας.1 Πλάτος διέγερσης V [Vpp] Εξασθένηση Att [db]

57 Όπως παρατηρούμε από τα στοιχεία του πίνακα.1, οι απώλειες διάδοσης του κύματος για μία ρωγμή προκαλούν μια εξασθένηση Att = 16.4dB. Όταν οι ρωγμές στην ράβδο γίνονται δύο, οι απώλειες διάδοσης προστίθενται προκαλώντας μια αύξηση της εξασθένησης κατά 15.9dB, και η συνολική εξασθένηση γίνεται Att = 3.3dB. Δηλαδή, οι απώλειες διάδοσης που εισάγει η κάθε ρωγμή αντιστοιχεί σε Att = 16dB εξασθένησης περίπου. Αν οι επιπρόσθετες απώλειες διάδοσης του υπέρηχου που εισάγονται λόγω της ρωγμής ή των ρωγμών είναι γραμμικές απώλειες, τότε οι απώλειες αυτές δεν θα πρέπει να επηρεάζονται από την ύπαρξη της χαμηλής συχνότητας f όταν ταλαντώνει την ράβδο. Στην περίπτωση όμως που οι απώλειες είναι μη γραμμικές, τότε η μετρούμενη απόκριση της f πλάτος Το πλάτος A μειώνεται με την αύξηση του πλάτους ταλάντωσης. Για τη μελέτη αυτού του φαινομένου έγιναν πειράματα όπου μετρήθηκε το A για διαφορετικά πλάτη διέγερσης V της συχνότητας ταλάντωσης f. V της γεννήτριας του υπερήχου ρυθμιζόταν κατάλληλα έτσι ώστε η απόκριση του υπέρηχου, χωρίς να υπάρχει η ταλάντωση από την f, να είναι A = 1dBmV. Κατόπιν, ενεργοποιούνταν η γεννήτρια της f για μία τάση V και μετριόταν εκ νέου η απόκριση του υπερήχου A '. Η διαφορά των δύο αποκρίσεων Δ A= A' A δείχνει την απόκλιση του πλάτους της απόκρισης της f σε db από την αρχική τιμή. Η παραπάνω διαδικασία επαναλήφθηκε για πλάτη της f από V = 5mVpp μέχρι V = 1mVpp για μία αλλά και για δύο ρωγμές. Επίσης έγιναν μετρήσεις και για την άθικτη ράβδο. Στο σχήμα.14 παρουσιάζονται συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα των μετρήσεων για των υπολογισμό του Δ A. 51

58 ΔA [db] ΔA 1 [db] α α 1 ΔA [db] V [mvpp] α Σχήμα.14 Απόκλιση του πλάτους της απόκρισης της f, Δ A για την άθικτη ράβδο ( α ), Δ A1 με μία ρωγμή ( α 1 ) και Δ A για δύο ρωγμές ( α ) Παρατηρώντας το σχήμα.14 για την άθικτη ράβδο, η απόκλιση Δ A των αποκρίσεων είναι πολύ μικρή, στα όρια της μετρητικής ικανότητας του αναλυτή φάσματος και δεν δείχνει να εξαρτάται από το πλάτος της τάσης V. Όταν η ράβδος έχει μία ρωγμή, η απόκλιση Δ A1 των αποκρίσεων αυξάνεται και πλέον εξαρτάται από το πλάτος της τάσης V. Όλες οι τιμές του Δ A1 είναι αρνητικές το όποιο δείχνει ότι το πλάτος της απόκρισης της f μειώνεται όσο αυξάνεται το πλάτος της V και λαμβάνει την αρνητικότερη τιμή Δ A1 =.6dB. Το φαινόμενο είναι ακόμα πιο εμφανές για δύο ρωγμές στη ράβδο. Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι τιμές του Δ A είναι αρνητικές, δηλαδή το πλάτος της απόκρισης της το πλάτος της f μειώνεται όσο αυξάνεται V και λαμβάνει την αρνητικότερη τιμή Δ A = 1.8dB. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι, με την ύπαρξη ρωγμής ή ρωγμών, η απόκριση A του υπέρηχου f μειώνεται με την αύξηση του πλάτους V της f και η εξασθένηση της διάδοσης του υπέρηχου αυξάνεται και εξαρτάται από την V. 5

59 Επομένως, οι απώλειες που εισάγονται από την ρωγμή είναι μη γραμμικές και αυξάνονται με τον αριθμό των ρωγμών. Κρατώντας σταθερό το πλάτος διέγερσης συχνότητα ταλάντωσης A V του υπέρηχου f και την f της ράβδου, αλλά μεταβάλλοντας το πλάτος διέγερσης, είναι δυνατόν να μελετήσουμε την επίδραση στα πλάτη των πρώτων και δεύτερων πλευρικών συχνοτήτων. Η μέτρηση αυτή μας παρέχει επιπλέον πληροφορία για την μη γραμμική συμπεριφορά της ρωγμής ή των ρωγμών σε ένα υλικό. Για τις πρώτες πλευρικές συχνότητες από την εξίσωση.58 υπολογίζεται το μέσο απολογαριθμοποιημένο και κανονικοποιημένο πλάτος Μ1 συχνοτήτων ως προς το πλάτος του υπερήχου. 1 M1= A A + (.58) Όπου, A είναι το κανονικοποιημένο πλάτος της πρώτης κάτω πλευρικής συχνότητας f f σε db και A + είναι το κανονικοποιημένο πλάτος της πρώτης άνω πλευρικής συχνότητας f + f σε db. Ομοίως ορίζεται και η εξίσωση.59 για τον υπολογισμό του Μ για τις δεύτερες πλευρικές συχνότητες. 1 M = A A + (.59) Όπου, A είναι το κανονικοποιημένο πλάτος της δεύτερης κάτω πλευρικής συχνότητας f f σε db και A + είναι το κανονικοποιημένο πλάτος της δεύτερης άνω πλευρικής συχνότητας f + f σε db. Στα σχήματα.15 και.16 παρουσιάζονται τα Μ1 και Μ σε συνάρτηση του πλάτους διέγερσης A για μία και δύο ρωγμές στη ράβδο. Η συχνότητα της ταλάντωσης παρέμεινε η ίδια και ήταν f = 8Hz. 53

60 M1 6.x1-3 5.x1-3 4.x1-3 3.x1-3.x1-3 1.x x x1-4 3.x1-4 M.5x1-4.x x A [mvpp] Σχήμα.15 Μ1 και Μ σε συνάρτηση του πλάτους διέγερσης A για μία ρωγμή.x x1-1 M1 1.x1-1 5.x x1-1 8.x1-6.x1 - M 4.x1 -.x A [mvpp] Σχήμα.16 Μ1 και Μ σε συνάρτηση του πλάτους διέγερσης A για δύο ρωγμες Όπως παρατηρούμε στο σχήμα.15, για μία ρωγμή το Μ1 αυξάνεται γραμμικά ενώ το Μ μη γραμμικά σε σχέση με το πλάτος διέγερσης είναι A 3 1 ενώ του Μ είναι μια τάξη μικρότερη, δηλαδή. Η τάξη μεγέθους του Μ Για την περίπτωση των δύο ρωγμών στη ράβδο, από το σχήμα.16 παρατηρούμε ότι το Μ1 αυξάνεται 54

61 γραμμικά μέχρι το μέσο του εύρους μεταβολής του πλάτους διέγερσης A, δηλαδή A = 5mVpp και μετά εμφανίζει κορεσμό. Η τάξη μεγέθους του είναι δυο φορές μεγαλύτερη σε σχέση με αυτή της μιας ρωγμής, δηλαδή 1 1. Το Μ παρουσιάζει πιο έντονη μη γραμμική συμπεριφορά σε σχέση με τη μια ρωγμή. Επίσης, η τάξη μεγέθους του είναι δυο φορές μεγαλύτερη σε σχέση με αυτή μιας ρωγμή, και είναι 1. Από την ανάλυση στο πεδίο του χρόνου της διαμόρφωσης πλάτους από απλή ημιτονοειδή συχνότητα, έχουμε την εξίσωση.6 1 st ( ) = A cos( π ft) + ma cos( π( f f ) t) + cos( π( f + f ) t) (.6) Όπου, m είναι ο δείκτης διαμόρφωσης και ορίζεται από την σχέση.61 A A max min m = A max + A min (.61) Όπου A max και A min είναι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της διαμορφώνουσας κυματομορφής αντιστοίχως. Ο μετασχηματισμός Fourier της st () είναι 1 1 S( f) = A ( f f ) + ( f + f ) + ma ( f f f ) + ( f f + f ) 4 [ δ δ ] [ δ δ ] 1 + ma [ δ( f + f f ) + δ( f + f + f )] (.6) 4 Όπου, δ είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac. Συνεπώς για 1% διαμόρφωση πλάτους ( m = 1), το πλάτος της κάθε πρώτης πλευρικής συχνότητας f ± f θα είναι το μισό του πλάτους της υψηλής συχνότητας f μέγιστη τιμή που μπορεί να λάβει το Μ1 είναι, δηλαδή A 1 ± = A. Επομένως η M 1max =.5. Για αυτόν τον λόγο όταν το M1 έχει τιμές άνω του.1~. αρχίζει να εμφανίζει το φαινόμενο του κορεσμού, όπως παρουσιάζεται στο σχήμα

62 Από τα σχήματα.15 και.16, παρατηρούμε ότι, τόσο στην περίπτωση ύπαρξης μίας ρωγμής όσο και στην περίπτωση δύο ρωγμών αντίστοιχα, εμφανίζονται οι πρώτες και οι δεύτερες πλευρικές συχνότητες ενδοδιαμόρφωσης. Η εμφάνιση των πρώτων πλευρικών συχνοτήτων στα φάσματα των αποκρίσεων υποδηλώνει την ύπαρξη του μηχανισμού της μη γραμμικής ελαστικότητας, όπως έχει αναφερθεί στην παράγραφο της θεωρητικής ανάλυσης. Σύμφωνα πάλι με τη θεωρητική ανάλυση, η εμφάνιση των δεύτερων πλευρικών συχνοτήτων δεν αποτελεί κριτήριο για την παρουσία των μη γραμμικών απωλειών, διότι εμφανίζονται και στους δύο μηχανισμούς. Θεωρώντας την περίπτωση ύπαρξης μίας ρωγμής, παρατηρούμε ότι το πλάτος Μ1 είναι δύο τάξεις μεγαλύτερο από το πλάτος του Μ. Συγκεκριμένα, το πλάτος Μ είναι συγκρίσιμο με αυτό της θεωρητικής πρόβλεψης για τη μη γραμμική ελαστικότητα. Οπότε συμπεραίνουμε ότι ο μηχανισμός της μη γραμμικής ελαστικότητας είναι ο επικρατέστερος. Όταν η ράβδος έχει δύο ρωγμές, οι τιμές των Μ1 και Μ αυξάνονται σημαντικά, όμως το Μ1 είναι τώρα μόνο μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερο από το Μ. Παράλληλα, παρατηρούμε την εμφάνιση του φαινομένου της «εξασθένησης ήχου από ήχο», όπου το πλάτος της υψηλής συχνότητας ελαττώνεται με την αύξηση του πλάτους της χαμηλής συχνότητας. Έτσι οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι εκτός από το μηχανισμό της μη γραμμικής ελαστικότητας υπάρχει και ο μηχανισμός των μη γραμμικών απωλειών. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η συμπεριφορά του υλικού έχει άμεση σχέση με το μέγεθος της βλάβης του. Στα πρώτα στάδια βλάβης του υλικού η μη γραμμική ελαστικότητα φαίνεται να επικρατεί στην εξήγηση του φαινομένου της μη γραμμικής διαμόρφωσης. Όμως όσο αυξάνεται η βλάβη του υλικού φαίνεται να προστίθεται και ο μηχανισμός των μη γραμμικών απωλειών. 56

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. Ανίχνευση ρωγμών σε δοκούς και πλάκες 3.1. Μη γραμμική μίξη Εισαγωγή Η ανίχνευση ρωγμών σε κατασκευές παρουσιάζει μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον και έχει αποτελέσει περιοχή εντατικής έρευνας τις τελευταίες δεκαετίες. Ένα από τα πιο σημαντικά δομικά στοιχεία των κατασκευών είναι και οι δοκοί ή ράβδοι. Γι αυτό και το συγκεκριμένο στοιχείο έχει αναλυθεί και ερευνηθεί εκτενώς ως προς την δυναμική του συμπεριφορά αλλά και την ανίχνευση βλαβών. Η πιο κοινή βλάβη που εμφανίζεται σε μια δοκό είναι η ρωγμή κόπωσης εξαιτίας της μηχανικής καταπόνησης. Αρκετές μέθοδοι έχουν μελετηθεί τις τελευταίες δεκαετίες για την ανίχνευση ρωγμών, και μια από τις πιο σημαντικές είναι η κατηγορία των γραμμικών ταλαντωτικών μεθόδων. Ο όρος γραμμικός χρησιμοποιείται με την έννοια ότι όταν ένα σύστημα διεγείρεται αρμονικά, στη συγκεκριμένη περίπτωση μια δοκός, στην έξοδο του δεν εμφανίζονται άλλες συχνότητες εκτός από αυτές των διεγέρσεων. Από τις πρώτες διαγνωστικές παραμέτρους που μελετήθηκαν ήταν η μεταβολή των ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών ταλάντωσης. Η ύπαρξη ρωγμής ή μιας τοπικής βλάβης επηρεάζει τη δυναμική συμπεριφορά της δοκού σε σημαντικό βαθμό. Η ύπαρξη της ρωγμής προκαλεί μείωση της στιβαρότητας, με αποτέλεσμα τη μείωση της συχνότητας συντονισμού και την αλλαγή των ιδιομορφών ταλάντωσης. Η σχέση υπολογισμού της τοπικής ελαστικότητας c μια περιοχής με ρωγμή είναι [6] 6π h c= F1 () s (3.1) bei όπου h είναι το ύψος της δοκού, b to πλάτος, E είναι το μέτρο ελαστικότητας, Ι η a ροπή αδράνειας επιφάνειας της διατομής της δοκού, s = με a το βάθος της ρωγμής h 57

64 και F () 1 s είναι μια αδιάστατη παράμετρος που εξαρτάται από τη γεωμετρία και τη φόρτιση της δοκού και υπολογίζεται από την (3.), F ( s ) 1.86 s 3.95 s s 37. s s 1 = s s 144s s (3.) Ο Dimarogonas [69, 7] έδειξε ότι για μικρά βάθη ρωγμών, η τοπική ελαστικότητα a Δ c εξαρτάται ανάλογα από τον όρο. Αυτή η ελαστικότητα προστίθεται στην h ελαστικότητα της σχέσης 3.1 χωρίς ύπαρξη ρωγμής c, με αποτέλεσμα η συνολική ελαστικότητα να είναι C = c+δ c. Τότε η συνολική στιβαρότητα του συστήματος είναι K = = = C c +Δ c a c + λ h (3.3) 6π h Όπου λ = 1.86 είναι μια σταθερά. Για μικρές ρωγμές, επειδή ο λόγος της τοπικής EI ελαστικότητας προς την ελαστικότητα της μη ρηγματωμένης δοκού είναι πολύ μικρός Δc c 1, η ιδιοσυχνότητα είναι ( ω ) K m + Δ ω = (3.4) Από τις σχέσεις (3.3) και (3.4) K 1 1 m a a m c+ λ λ h h mc 1+ c ( ω+δ ω) = = = (3.5) 58

65 Αναπτύσσοντας σε σειρά την (3.5) παίρνουμε 3 a a a λ 1 1 λ λ h h h +Δ = = a mc c c c λ h mc 1+ c ( ω ω) (3.6) Έχοντας υπ όψιν ότι ο όρος πρώτης τάξης, άρα a λ h 1, από την (3.6) λαμβάνεται μονό ο όρος c a λ 1 h ω+δ ω = ω + ωδ ω+δω 1 mc c ( ) (3.7) Επειδή για μικρές ρωγμές οι μεταβολές της συχνότητας συντονισμού μικρές, ο όρος Δ ω είναι πολύ Δ ω τείνει στο μηδέν ( Δω ) και μπορεί να αγνοηθεί από την a λ K (3.7). Άρα, h ω + ωδω 1 m c καταλήγοντας στην σχέση a λ h Δω ω c (3.8) Από την σχέση (3.8) επάγεται το συμπέρασμα ότι για μικρά σχετικά βάθη ρωγμών a ( 1) η μεταβολή (μείωση) στην συχνότητα συντονισμού είναι ανάλογη του h 59

66 τετραγώνου της τιμής του σχετικού βάθους ρωγμής, δηλαδή ποσότητα a Δω, και η h Δ ω είναι αρκετά μικρή για μικρές ρωγμές. Επίσης είναι δύσκολα μετρήσιμη σε πραγματικές συνθήκες διότι απαιτείται πολύ μεγάλη ακρίβεια και διακριτική ικανότητα μέτρησης. Η αξιοπιστία της μεθόδου γίνεται αποδεκτή για ρωγμές που το σχετικό τους βάθος πλησιάζει και ξεπερνάει το %. Οι μέθοδοι που στηρίζονται στην μεταβολή των ιδιομορφών παρέχουν βελτιωμένη ευαισθησία ανίχνευσης σε σχέση με τις μεθόδους που στηρίζονται στην μεταβολή των ιδιοσυχνοτήτων. Όμως, η ύπαρξη μια μικρής ρωγμής δεν είναι ικανή για να διαταράξει σημαντικά τις χαμηλότερες ιδιομορφές οι οποίες είναι και συνηθέστερα μετρούμενες [7, 8]. Άρα, παρά την πρόοδο που έχει επιτευχτεί στις γραμμικές ταλαντωτικές μεθόδους, το βασικό τους πρόβλημα που είναι η έλλειψη ευαισθησίας στην ανίχνευση μικρών ρωγμών παραμένει. Στις περισσότερες ερευνητικές εργασίες και μελέτες, η ρηγματωμένη δοκός εμφανίζεται να έχει ρωγμή με μορφή εγκοπής και χρησιμοποιείται το μοντέλο της ανοικτής ρωγμής όπου η ρωγμή αντιστοιχίζεται σε μια τοπική μείωση στην στιβαρότητα. Δηλαδή, η ρωγμή είναι πάντα ανοιχτή κατά την διάρκεια της ταλάντωσης, με αποτέλεσμα την σταθερή μετατόπιση των ιδιοσυχνοτήτων της δοκού. Όμως, στις περισσότερες περιπτώσεις δημιουργείται ρωγμή κόπωσης στο υλικό εξαιτίας της μηχανικής καταπόνησης του. Επιπλέον, η ρωγμή ανοίγει και κλείνει όταν ταλαντώνεται με αποτέλεσμα να παρουσιάζει ενδογενή μη γραμμική συμπεριφορά εξαιτίας της μεταβολής της ακαμψίας κατά τον κύκλο ταλάντωσης της, από την τιμή k cl που έχει όταν είναι κλειστή μέχρι την τιμή k op όταν είναι ανοιχτή. Αυτό προκαλεί την μεταβολή των ιδιοσυχνοτήτων της δοκού, μεταξύ των συχνοτήτων που έχει όταν είναι η ρωγμή ανοιχτή και πλήρως κλειστή. Επομένως, για μια ελεύθερη δοκό, χωρίς απόσβεση, η διγραμμική ιδιοσυχνότητα f την σχέση fb = f op op f cl + f cl f b της δοκού μπορεί να προσεγγιστεί από [71]. Όπου, f op είναι η ιδιοσυχνότητα της δοκού με την ρωγμή πλήρως ανοικτή και f cl είναι η ιδιοσυχνότητα με την ρωγμή κλειστή, δηλαδή η ιδιοσυχνότητα της μη ρηγματωμένης δοκού. Εάν υιοθετηθεί η προσέγγιση της ρωγμής εγκοπής, η μείωση στις ιδιοσυχνότητες δεν είναι ίδια με αυτή που προκαλείται από την ρωγμή κόπωσης, με αποτέλεσμα την εσφαλμένη εκτίμηση του μεγέθους της. Ο βασικός σκοπός είναι να γίνει να γίνει κατανοητή η δυναμική 6

67 συμπεριφορά της δοκού, όπως επίσης να αναδειχθεί και να περιγραφεί με απλό μοντέλο η χρονική μεταβολή των παραμέτρων του συστήματος που οφείλεται στο άνοιγμα και κλείσιμο της ρωγμής. Ως εκ τούτου, η ρηγματωμένη δοκός μοντελοποιείται σαν ένα διγραμμικό σύστημα με ένα βαθμό ελευθερίας [71, 7]. Για την περίπτωση που η δοκός διεγερθεί αρμονικά, εμφανίζονται στην απόκριση της δοκού, εκτός από την συχνότητα διέγερσης και αρμονικές της συχνότητες. Η επίδραση της μη γραμμικής συμπεριφοράς στην δυναμική απόκριση της δοκού γίνεται ακόμα πιο εμφανής όταν ενεργούν παραπάνω από μία διεγέρσεις. Η ανίχνευση ρωγμών σε ράβδους με μη γραμμική μίξη δύο διεγέρσεων, στηρίζεται στην ενδογενή μη γραμμική συμπεριφορά της ρωγμής, παρουσιάζοντας βελτιωμένη αναισθησία ανίχνευσης ρωγμών σε σχέση με της συμβατικές γραμμικές ταλαντωτικές μεθόδους Θεωρητικό μοντέλο ρηγματωμένης δοκού Στο σχήμα 3.1 φαίνεται μια ρηγματωμένη δοκός μήκους L, ορθογώνιας διατομής με ύψος h και πλάτος b, με το ένα της άκρο πακτωμένο και το άλλο της ελεύθερο. Η ρωγμή κόπωσης βρίσκεται σε απόσταση cr από την πάκτωση, και έχει βάθος h cr. F(t) L m u l cr h cr F(t) h Δk k op c (α) (β) Σχήμα 3.1 α) Πακτωμένη-ελεύθερη ρηγματωμένη δοκός, β) Μοντέλο της ρηγματωμένης δοκού Για την μελέτη των μη γραμμικών χαρακτηριστικών της ρηγματωμένης δοκού, χρησιμοποιείται αρμονική διέγερση η οποία αποτελείται από δύο συχνότητες f 1 και f. Όταν η δοκός βρίσκεται σε ταλάντωση, η ρωγμή ανοίγει και κλείνει σε κάθε περίοδο της ταλάντωσης, επηρεάζοντας με αυτό τον τρόπο την στιβαρότητα της 61

68 δοκού κοντά στην ρωγμή. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η συνολική στιβαρότητα της δοκού να μειώνεται όταν η ρωγμή είναι ανοιχτή, ενώ όταν η ρωγμή είναι κλειστή η δοκός να επανακτά την στιβαρότητα της άθικτης δοκού. Το άνοιγμα και το κλείσιμο της ρωγμής μπορεί να καθοριστεί από το πρόσημο της εγκάρσιας απομάκρυνσης της ρηγματωμένης δοκού από την θέση ηρεμίας της. Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω συνθήκες, η δυναμική συμπεριφορά μια δοκού η οποία έχει ρωγμή κόπωσης, μπορεί να μοντελοποιηθεί από ένα διγραμμικό μηχανικό μοντέλο ενός βαθμού ελευθερίας με απόσβεση. Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το μηχανικό μοντέλο έχει την μορφή 1 mu ( t) + cu ( t) + kcl Δ k1 + signut ( ) ut ( ) = Fcos ft + Fcos ft ( ( )) 1 ( π 1 ) ( π ) (3.9) όπου, ut ( ) είναι η απομάκρυνση της δοκού στο ελεύθερο άκρο, m=.8ml είναι η γενικευμένη μάζα όπου m είναι η μάζα της δοκού ανά μονάδα μήκους, και c είναι ο συντελεστής απόσβεσης. Με F 1 και F συμβολίζονται τα πλάτη των δύο δυνάμεων διέγερσης. Ο συντελεστής Δ k = kcl kop είναι η μεταβολή στην στιβαρότητα της ρηγματωμένης δοκού. Ο συντελεστής k cl είναι η γενικευμένη στιβαρότητα της δοκού όταν η ρωγμή είναι κλειστή, δηλαδή όταν ut () <, και είναι ίση με αυτή της δοκού χωρίς ρωγμή. Ο συντελεστής k op είναι η στιβαρότητα της δοκού όταν η ρωγμή είναι ανοιχτή, δηλαδή όταν ut () >. Στο σχήμα 3. παρουσιάζεται η μεταβολή της ακαμψίας σε συνάρτηση της απομάκρυνσης ut (), για δύο διεγέρσεις με λόγο f συχνοτήτων = 3. f 1 6

69 u (α) -u (β) k cl k op Time k cl (γ) k op -u u Σχήμα 3. α) Εξαναγκασμένη ταλάντωση δοκού από δύο διεγέρσεις β) Μεταβολή της στιβαρότητας γ) Μεταβολή της στιβαρότητας σε σχέση με την απομάκρυνση Η γενικευμένη στιβαρότητα μιας δοκού χωρίς ρωγμή είναι k cl 4 1 EIπ = = (3.1) 3 C 3L 63

70 όπου, C είναι η ελαστικότητα της δοκού χωρίς ρωγμή, E είναι το μέτρο ελαστικότητας, Ι η ροπή αδράνειας επιφάνειας της διατομής της δοκού. Η στιβαρότητα μια δοκού με ανοιχτή ρωγμή ελαστικότητα από την σχέση k op υπολογίζεται από την συνολκή k op 1 = (3.11) C op όπου, Cop = C+Δ C. Η αλλαγή Δ C εξαιτίας της ύπαρξης της ρωγμής μπορεί να εκφρασθεί από την σχέση (3.1), [73] ( ) L π ν 7 cr (1 ) Δ C = ϕ( a) Ebh (3.1) όπου, ν είναι ο λόγος του Poisson, a h h cr = είναι το σχετικό βάθος της ρωγμής και η συνάρτηση ϕ ( a) είναι μια αδιάστατη παράμετρος που εξαρτάται από την γεωμετρία και την φόρτιση της δοκού, και υπολογίζεται από την σχέση ϕ ( a) = 19.6a a 3.99a +.3a 9.98a + 4.6a 3 1.5a +.63a (3.13) Ο διγραμμικός ταλαντωτής ενός βαθμού ελευθερίας που περιγράφεται από την σχέση (3.9), χρησιμοποιήθηκε για να μελετηθεί η μη γραμμική συμπεριφορά της δοκού, όταν ταλαντώνεται ταυτόχρονα από δύο συχνότητες Παράδειγμα αριθμητικής προσομοίωσης με φασματική ανάλυση Θεωρείται δοκός από Plexiglas TM, η οποία είναι πακτωμένη στο ένα άκρο και ελεύθερη στο άλλο, όπως στο σχήμα 3.1. Οι διαστάσεις της είναι 3 48 mm και η απόσταση των ρωγμών από την πάκτωση είναι = 1mm. Ως τεχνικά χαρακτηριστικά της δοκού ελήφθησαν τα τυπικά χαρακτηριστικά για το υλικό Plexiglas TM και συγκεκριμένα: Young modulus.8gpa, λόγος του Poisson.4, cr 64

71 πυκνότητα 115 / 3 kg m και συντελεστής απόσβεσης.3. Σε μία δοκό χωρίς ρωγμή, η δυναμική της συμπεριφορά είναι γραμμική, δηλαδή στην απόκριση της στο πεδίο των συχνοτήτων δεν εμφανίζονται παράγωγα μίξης συχνοτήτων. Αυτό που εμφανίζεται είναι μόνο η συχνότητες των αρμονικών διεγέρσεων, f και 1 f. Όταν όμως η δοκός έχει ρωγμή, εξαιτίας της ενδογενούς μη γραμμικής συμπεριφοράς της ρωγμής, εμφανίζονται επιπλέον από τις συχνότητες των διεγέρσεων, οι αρμονικές τους ( nf, mf 1 ) αλλά και οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός των συχνοτήτων τους, δηλαδή nf ± mf1. Για την συγκεκριμένη εφαρμογή, η δοκός διεγείρεται στο 1 ελεύθερο άκρο της από δύο ημιτονοειδείς δυνάμεις με συχνότητες f1 = f = 46Hz 3 και f = f = 138Hz. Η διαφορά των συχνοτήτων f f1 δίνει την συχνότητα συντονισμού της δοκού χωρίς ρωγμή και η οποία είναι ίση με την συχνότητα συντονισμού όταν η ρωγμή είναι κλειστή, δηλαδή f = f = 9Hz. Αυτή η επιλογή των συχνοτήτων, λόγω της μίξης που προκαλεί η ρωγμή (η διαφορά τους ισούται με την ιδιοσυχνότητα της δοκού), ευνοεί την ανάδειξη των μη γραμμικών χαρακτηριστικών στην απόκριση της δοκού. Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης κίνησης (3.9) δίδει την δυναμική συμπεριφορά της δοκού. Η αριθμητική επίλυση έγινε στο μαθηματικό πρόγραμμα MATLAB. Από τα αριθμητικά αποτελέσματα της απόκρισης στον χρόνο, εφαρμόζοντας των μετασχηματισμό Fourier, υπολογίζεται και η απόκριση συχνότητας της δοκού. Στο σχήμα.3 παρουσιάζονται τα φάσματα για δύο περιπτώσεις με σχετικό βάθος ρωγμής 7% και %. Η φασματική ανάλυση της απόκρισης δίνει αρκετά έντονα πλάτη στην συχνότητα διαφοράς f f1, αναδεικνύοντας την μη γραμμική συμπεριφορά της ρωγμής κόπωσης. cl 65

72 Σχήμα 3.3 Φασματική ανάλυση της απόκρισης για περιπτώσεις δοκού χωρίς ρωγμή (uncracked) και με ρωγμές σχετικού βάθους 7% και %. Επίσης, εξαιτίας της μη γραμμικής συμπεριφοράς, εμφανίζονται και παράγωγα μίξης συχνοτήτων στη συχνότητα αθροίσματος των συχνοτήτων των διεγέρσεων f + f1 = 184Hz. Όμως, για το ίδιο μέγεθος ρωγμής το πλάτος στη συχνότητα διαφοράς είναι μεγαλύτερο απ ότι στην συχνότητα αθροίσματος. Αυτό δείχνει καλύτερη ανάδειξη των μη γραμμικών χαρακτηριστικών στο συνδυασμό των συχνοτήτων διέγερσης f f1 = f = f. Για την περίπτωση του μοντέλου της δοκού cl χωρίς ρωγμή, στο φάσμα απόκρισης εμφανίζονται μόνο οι συχνότητες διεγέρσεις f, 1 f εξαιτίας της απόλυτης γραμμικής συμπεριφοράς. Για να μελετηθεί περαιτέρω η εξάρτηση του πλάτους των παραγώγων μίξης στην συχνότητα διαφοράς από το σχετικό βάθος ρωγμής, υπολογίσθηκαν τα φάσματα απόκρισης για διαφορετικά σχετικά βάθη ρωγμής. Όπως φαίνεται στο σχήμα 3.4, το πλάτος των παραγώγων από την μη γραμμική συμπεριφορά αυξάνεται με την αύξηση του βάθους της ρωγμής, και αυτό μπορεί να είναι μία ένδειξη για το μέγεθος της ρωγμής. 66

73 Σχήμα 3.4 Μεταβολή του πλάτους των μη γραμμικών παραγώγων στη συχνότητα διαφοράς f f1 σε συνάρτηση του σχετικού βάθους ρωγμής Ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς με Bispectrum Εισαγωγή Οι περισσότερες τεχνικές ψηφιακής επεξεργασίας και ανάλυσης σημάτων βασίζονται στη στατιστική δεύτερης τάξης, δηλαδή στο φάσμα ισχύος και στη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Η ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας έχει κάποιους περιορισμούς με βασικότερους α) η αδυναμία ανακατασκευής της φάσης του σήματος, εκτός αν αυτό είναι ελάχιστης φάσης, β) τη μη ύπαρξη αναγνωρίσιμης πληροφορίας μου οφείλεται σε απόκλιση από την κανονικότητα (Gaussianity) όπως προσθετικός μη Gaussian θόρυβος, γ) τη μη αναγνώριση φαινομένων μη γραμμικότητας που ενδέχεται να υπάρχουν στο σήμα. Οι περιορισμοί αυτοί οδήγησαν στην ανάπτυξη της στατιστικής ανώτερης τάξης (HOS). Η χρήση της στατιστικής ανώτερης τάξης δεν είναι καινούρια. Στις αρχές του 196 στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας έγιναν οι πρώτες μελέτες για την ενδεχόμενη χρήση των τεχνικών βασισμένων σε HOS. Η πρώτη εφαρμογή εμφανίστηκε στη δεκαετία του 198, όπου ο Mendel και οι συνεργάτες του στο 67

74 πανεπιστήμιο της Νότιας Καλιφόρνιας ανέπτυξαν τεχνικές και τις εφάρμοσαν σε σεισμικά σήματα. Εκτός από το πεδίο της σεισμολογίας, η στατιστική ανώτερης τάξης σήμερα αποτελεί χρήσιμο εργαλείο στην επεξεργασία βιοϊατρικών σημάτων, στην επεξεργασία σημάτων φωνής και εικόνας, ανάλυση υποθαλάσσιων ακουστικών σημάτων, στα RADAR, και στον έλεγχο μηχανών Ορισμοί και ιδιότητες του Bispectrum Για μια αυστηρά στάσιμη, διακριτού χρόνου τυχαία διαδικασία Χ(k), οι ροπές τάξης n δίνονται από τη σχέση [74] ( τ, τ,, τ ) = [ ( ) ( + τ ) ( + τ )] m E X k X k X k (3.14) x n 1 n 1 1 n 1 Όπου E [ ] δηλώνει τη μέση τιμή. Οι n-στης τάξης σωρείτες είναι ειδικές συναρτήσεις των ροπών, τάξης n. Ως παράδειγμα, δίνεται η έκφραση των τριών πρώτων σωρειτών της τυχαίας μεταβλητής, συναρτήσει των αντίστοιχων ροπών: [ ] x x c1 = m1 = E X( k) (μέση τιμή) (3.15) ( τ ) ( τ ) ( ) c = m m (ακολουθία συμμεταβλητότητας) (3.16) x x x ( τ, τ ) = ( τ, τ ) ( τ ) + ( τ ) + ( τ τ ) + ( ) 3 c x 3 1 m x 3 1 m x 1 m x 1 m x x x m 1 m1 (3.17) x x Όπου m ( τ, τ ) είναι η ροπή τρίτης τάξης, ( ) 3 1 x m τ 1 η ροπή δεύτερης τάξης και 1 είναι η μέση τιμή. Όταν η διαδικασία έχει μέση τιμή ίση με το μηδέν ( m x 1 = ) προκύπτει ότι, οι σωρείτες δεύτερης τρίτης τάξης είναι ίσοι με τις ροπές δεύτερης και τρίτης τάξης αντίστοιχα. Επίσης, για μηδενική μέση τιμή της διαδικασίας, θέτοντας τ1 = τ = τ3 =, από τις εξισώσεις προκύπτει ότι m x x () ( ) c E x k γ = = (μεταβλητότητα variance) (3.18) 68

75 γ = = (λοξότητα - skewness) (3.19) x x (,) 3 ( ) 3 c E x k ( γ ) x x 4 x γ 4 = c4(,,) = E x ( k) 3 (κύρτωση) (3.) Στη συνέχεια δίνονται μερικές σημαντικές ιδιότητες των σωρειτών και σχολιάζονται οι πρακτικές εφαρμογές τους: Όταν η διαδικασία X ( k ) είναι Gaussian, όλοι οι σωρείτες τάξης μεγαλύτερης ( n τ1, τ,, τn 1 =, n> ) x του δύο ισούνται με μηδέν c ( ). Δηλαδή, όλη η πληροφορία για μια Gaussian διαδικασία περιέχεται στους σωρείτες της πρώτης και δεύτερης τάξης. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απόρριψη Gaussian θορύβου ή ως μέτρο της απόστασης του τυχαίου σήματος X ( k ) από την Gaussian θεώρηση. Αν η ( ) x X k είναι συμμετρικά κατανεμημένη διαδικασία. Τότε ( ) c τ, τ = 3 1 και γενικότερα όλοι οι σωρείτες περιττής τάξης μηδενίζονται. Δηλαδή οι σωρείτες τρίτης τάξης απορρίπτουν όχι μόνο τις Gaussian αλλά και τις συμμετρικές διαδικασίες. Οι σωρείτες αθροίσματος στατιστικά ανεξάρτητων ποσοτήτων είναι ίσοι με το άθροισμα των σωρειτών της κάθε μιας ποσότητας χωριστά. Αν X ( k) = S( k) + W( k) όπου Sk ( ) και W( k ) είναι στατιστικά ανεξάρτητες στάσιμες διαδικασίες, τότε ( τ, τ,, τ ) = ( τ, τ,, τ ) + ( τ, τ,, τ ) c c c. Στην περίπτωση που x s w n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 η W( k ) είναι Gaussian θόρυβος που προστίθεται στο σήμα Sk ( ), τότε στο επίπεδο των σωρειτών ανώτερης τάξης το σήμα μεταδίδεται απαλλαγμένο από το θόρυβο. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως μέτρο της στατιστικής ανεξαρτησίας δύο διαδικασιών. Αν η X ( k ) είναι μια λευκή στατιστικά ανεξάρτητη διαδικασία, ομοιόμορφα x x κατανεμημένη διαδικασία, τότε c ( τ, τ,, τ ) = γ δ ( τ, τ,, τ ) x n, όπου n 1 n 1 n 1 n 1 γ είναι οι σωρείτες n-στής τάξης για τ1 = τ = = τ 1 = και δ η συνάρτηση δέλτα n-1 τάξης. n 69

76 Γενικά θα μπορούσε να θεωρήσει κανείς τα φάσματα ανώτερής τάξης ως n-1 τάξης μετασχηματισμούς Fourier της στατιστικής n-οστής τάξης. Η προϋπόθεση που απαιτείται είναι: τ + + 1= n 1= ( τ τ τ ) x c n 1,,, n 1 < (3.1) τ Έτσι, το φάσμα ισχύος (power spectrum), το διπλό φάσμα (bispectrum) εκφράζονται ως έξης: 1. Φάσμα ισχύος (power spectrum): n= + x x j( ωτ ) ( ω) ( τ), τ = C = c e ω π (3.). Διπλό φάσμα (bispectrum): n=3 + + x x j( ωτ 11+ ωτ) 3 ( ω1, ω) = 3 ( τ1, τ), τ1= τ= C c e ω π, ω π, ω + ω π 1 1 (3.3) x Εξαιτίας της π περιοδικότητας του (, ) C3 ω1 ω με τα 1 ω και ω, η γνώση του bispectrum στη τριγωνική περιοχή ω, ω1 ω, ω1+ ω π επαρκεί για την x πλήρη περιγραφή του bispectrum [75]. Οι συμμετρικές ιδιότητες του C ( ω, ω ) x οδηγούν στον υπολογισμό του (, ) C ω ω μέσα σε ένα άπειρο τρίγωνο που περιορίζεται από τις γραμμές τ 1 > και τ1 = τ. Η γνώση των ροπών τρίτης τάξης σε αυτά τα σημεία του τριγώνου είναι αρκετή για μια πλήρη περιγραφή του bispectrum. Εξαιτίας της άπειρης περιοχής που καταλαμβάνει αυτό το τρίγωνο, πρέπει να επιλεγεί ένα άνω όριο ( L 3 ) για υπολογιστεί η τρίτης τάξης ακολουθία περασμένου μήκους του { x( k )} και μετά το bispectrum. Οπότε, η 3.3 τροποποιείται: + + x j( ω11 τ + ωτ) (3.4) τ = τ = x ( ω, ω ) = ˆ ( τ, τ ) ( τ Δ, τ Δ ) Cˆ c w e 1 7

77 Όπου w( τ, τ ) Δ Δ είναι μια συνεχής συνάρτηση παραθύρου, Δ 3 είναι το εύρος ζώνης (bandwidth) το οποίο συνήθως λαμβάνεται Δ 3 = 1 L 3, και επίσης ισχύει τ1, τ L3. Η παραπάνω προσέγγιση αναφέρεται στην έμμεση μέθοδο του συμβατικού υπολογισμού του bispectrum [75, 76]. Χρησιμοποιώντας την συμβατική άμεση μέθοδο [75], μια εκτίμηση του bispectrum μπορεί να γίνει μέσω του μετασχηματισμού Fourier της { x k } ( ) X( f) * (, ) = ( ) ( ) ( + ) B f1 f E X f1 X f X f1 f (3.5) Εάν θεωρήσουμε το γραμμικό, χρονοαμετάβλητο σύστημα του σχήματος 3.5, τότε μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη εξίσωση για την συσχέτιση ανάμεσα στην είσοδο και την έξοδο του, στο επίπεδο n-οστού φάσματος. x ( ω,, ω ) = ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω + + ω ) ( ω,, ω ) C H H H H C (3.6) y n 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 x(k) h(k) H(ω) y(k) Σχήμα 3.5 Γραμμικό, χρονοαμετάβλητο σύστημα h(k). Ένα κανονικοποιημένο φάσμα σωρειτών είναι η n-οστής τάξης συνάφεια (nth order coherency). H n-οστής τάξης συνάφεια συνδυάζει το φάσμα σωρειτών με το φάσμα ισχύος μιας διαδικασίας και ορίζεται από την εξίσωση 3.7. P x n ( ω,, ω ) 1 n 1 = x Cn ( ω1,, ωn 1) ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω + ω + + ω ) C C C C x x x x 1 n 1 1 n 1 (3.7) 71

78 Η τρίτης τάξης συνάφεια (biocoherency) ή κανονικοποιημένο διπλό φάσμα (normalized-bispectrum) είναι P ( ω, ω ) x 3 1 = x C3 ( ω1, ω) ( ω ) ( ω ) ( ω + ω ) C C C x x x 1 1 (3.8) Ένα σήμα θεωρείται γραμμική, μη-gaussian διαδικασία τάξης n, αν το μέτρο της n- οστής συνάφειας είναι σταθερό σε όλες τις συχνότητες. Ένα δεν συμβαίνει αυτό, το σήμα θεωρείται μη γραμμική διαδικασία Τετραγωνική σύζευξη φάσης Οι ροπές και οι σωρείτες υψηλότερης τάξης προσφέρουν ένα μέσο για αναγνώριση και προσδιορισμό μη γραμμικοτήτων. Ένα ενδιαφέρον φαινόμενο που δημιουργείται εξαιτίας μη γραμμικοτήτων είναι η σύζευξη φάσης, όπως όταν ένα μη γραμμικό μηχανικό σύστημα δευτέρου βαθμού διεγείρεται από αρμονικά σήματα. Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η αλληλεπίδραση αρμονικών συνιστωσών συνεισφέρει στην ισχύ, στο άθροισμα ή/και στη διαφορά των συχνοτήτων. Για παράδειγμα, έστω η μη γραμμική διαδικασία y( k) = x( k) + ε x ( k) (3.9) με x( k) Ae Be jω1k+ ϕ1 jωk+ ϕ = (3.3) Όπου ε >, ε 1 και ϕ1, ϕ είναι ανεξάρτητες κανονικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές στο διάστημα (,π). Τότε, η διαδικασία yk ( ) θα περιέχει συχνότητες που υπάρχουν στο x( k ), αλλά επίσης και αρμονικές με συχνότητες ω 1, ω, ω1+ ω με φάσεις ϕ 1, ϕ και ϕ1+ ϕ αντίστοιχα. Οπότε, οι σχέσεις των φάσεων μεταξύ των αρμονικών σημάτων παράγονται εξαιτίας των μη γραμμικών αλληλεπιδράσεων στις συνιστώσες των σημάτων εισόδου. Τετραγωνική σύζευξη φάσης υπάρχει όταν η μία από τις τρείς συχνότητες είναι το άθροισμα/διαφορά των άλλων δύο [75-77], όπως φαίνεται στο παραπάνω 7

79 παράδειγμα. Σε ένα σύστημα για είναι δυνατή η ανίχνευση και ο χαρακτηρισμός των μη γραμμικοτήτων του, πρέπει να είναι γνωστό αν οι συχνότητες με αρμονική σχέση μεταξύ τους στο φάσμα ισχύος, είναι φασικά συζευγμένες ή όχι. Όμως το φάσμα ισχύος δεν παρέχει πληροφορίες για τις σχέσεις των φάσεων σε αρμονικές συνιστώσες, και δεν είναι δυνατό να δοθεί λύση στο πρόβλημα. Το γεγονός αυτό είναι που κάνει το bispectrum ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για την αναγνώριση και τον διαχωρισμό των συνιστωσών που είναι φασικά συζευγμένες από αυτές που δεν είναι. Για την περίπτωση που η σύζευξη φάσης είναι δεύτερης τάξης, χρησιμοποιείται το διπλό φάσμα της ( ) x X k, (, ) C ω ω [77], υπολογισμένο στη βασική τριγωνική ζώνη. 3 1 Το φάσμα είναι παντού μηδέν εκτός του σημείου όπου υπάρχει φασική σύζευξη και δίνει μια ώση για το ζεύγος των φασικά συζευγμένων συχνοτήτων. Επίσης, μία τιμή x στο πλάτος του δείκτη διπλής συνάφειας (biocoherency index) (, ) P ω ω κοντά 3 1 στην μονάδα δείχνει μια φασική σύζευξη σε ποσοστό 1%, ενώ μία τιμή κοντά στο x μηδέν του (, ) P ω ω δηλώνει σχεδόν μηδενικό ποσοστό φασικής σύζευξης. Αυτή η 3 1 ανάλυση δείχνει το σημαντικό πλεονέκτημα της ελαχιστοποίησης των αρνητικών επιπτώσεων που οφείλονται στην παρεμβολή των σημάτων, από προσθετικό Gaussian θόρυβο (λευκό ή χρωματισμένο). Αυτό ισχύει διότι το bispectrum μιας Gaussian διαδικασίας είναι μηδέν [75] Παράδειγμα θεωρητικής προσομοίωσης και ανάλυσης με bispectrum Θεωρείται η ίδια δοκός από Plexiglas TM, όπως στο σχήμα 3.1, η οποία είναι πακτωμένη στο ένα άκρο και ελεύθερη στο άλλο. Η δοκός διεγείρεται στο ελεύθερο 1 άκρο της από δύο ημιτονοειδείς δυνάμεις με συχνότητες f1 = f = 46Hz και 3 f = f = 138Hz. Η διαφορά τους f f1 δίνει την συχνότητα συντονισμού της δοκού χωρίς ρωγμή, δηλαδή f = f = 9Hz. Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης cl κίνησης (3.9) δίδει την δυναμική συμπεριφορά στον χρόνο της δοκού. Από τα αριθμητικά αποτελέσματα της απόκριση στον χρόνο, υπολογίζεται το bispectrum με χρήση του MATLAB. Στο σχήμα 3.6 παρουσιάζονται τα bispectrum για μη ρηγματωμένη δοκό και για δύο περιπτώσεις με σχετικό βάθος ρωγμής 7% και %. 73

80 (α) (β) (γ) Σχήμα 3.6 Bispectrum της δοκού για τις περιπτώσεις : α) χωρίς ρωγμή β) 7% ρωγμή γ) %. Τα βέλη δείχνουν τις κορυφές bispectrum. Όπως φαίνεται στο σχήμα.6, σε αντίθεση με την περίπτωση της μη ρηγματωμένης δοκού, για την περίπτωση με ρωγμή 74

81 υπάρχουν τρία σημεία όπου το bispectrum δεν είναι μηδενικό υποδηλώνοντας την υπάρξη μη γραμμικοτήτων. Η ευαισθησία του bispectrum στην εκτίμηση των μη γραμμικοτήτων, παρέχει βελτίωση της ακρίβειας στην ανίχνευση τους. Είναι ένα σημαντικό πλεονέκτημα όπου το πλάτος από την μη γραμμική μίξη στη συχνότητα διαφοράς είναι μικρό, όπως στην περίπτωση ύπαρξης μικρής ρωγμής. Για να μελετηθεί η επίδραση του μεγέθους της ρωγμής στο πλάτος του bispectrum στην συχνότητα διαφοράς, προσομοιώθηκε η απόκριση της δοκού για διαφορετικά σχετικά βάθη ρωγμής και υπολογίστηκαν οι τιμές των κορυφών, σχήμα 3.7. Σχήμα 3.7 Πλάτη των κορυφών Bispectrum σε συνάρτηση του σχετικού βάθους ρωγμής. Όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7, η τιμή της κορυφής στο bispectrum αυξάνεται καθώς μεγαλώνει το σχετικό βάθος της ρωγμής. Από την προσομοίωση φαίνεται ότι η τιμή είναι πιο ευαίσθητη στην παρουσία των μη γραμμικοτήτων λόγω της ρωγμής, σε σύγκριση με την φασματική ανάλυση της απόκρισης, σχήμα

82 Δοκιμή ανθεκτικότητας από την παρεμβολή θορύβου Σε πραγματικές συνθήκες μέτρησης, σε αντίθεση με την αριθμητική προσομοίωση των συστημάτων, εκτός από τα μετρούμενα σήματα υπάρχει και ο μετρητικός θόρυβος. Ο θόρυβος προστίθεται στα επιθυμητά σήματα και τα διαταράσσει, αυξάνοντας την αβεβαιότητα τους. Η αρνητική επίδραση του θορύβου είναι ακόμα πιο έντονη όταν η ισχύς των σημάτων είναι συγκρίσιμη με αυτή του θορύβου. Γι αυτό το λόγο, μελετήθηκε η ανθεκτικότητα των μεθόδων ανάλυσης με φάσμα ισχύος και bispectrum από την παρεμβολή του θορύβου. Συγκεκριμένα, ο μετρητικός θόρυβος μοντελοποιήθηκε ως προσθετικός λευκός Gaussian θόρυβος (Additive White Gaussian Noise) για τιμές λόγου σήματος προς θόρυβο (SNR) από - 8dB μέχρι 8dB σε βήματα των 4dB. Τα δεδομένα της φασματικής και της bispectrum ανάλυσης παρεμβλήθηκαν από AWGN για διαφορετικά σχετικά βάθη ρωγμής, από % (χωρίς ρωγμή) μέχρι 45%, σε βήματα 5%. Η διαδικασία επαναλήφθηκε φορές με τυχαίες εικόνες του AWGN και οι τιμές του φάσματος και των κορυφών στο bispectrum υπολογίστηκε για τις συχνότητες ( f f ) ( f, f f ) 1 1 και 1 αντίστοιχα, σε κάθε επανάληψη. Οι μέσες τιμές του φάσματος και των κορυφών από τις επαναλήψεις φαίνονται στο σχήμα 3.8. (α) 76

83 (β) Σχήμα 3.8 Ανάλυση ανθεκτικότητας από τον θόρυβο: α) φάσμα β) bispectrum Όπως φαίνεται στο σχήμα 3.8, η ανάλυση με bispectrum παρουσιάζει καλύτερη αντοχή στη παρεμβολή από τον θόρυβο, συγκρινόμενη με την φασματική. Για ιδιαίτερα χαμηλές τιμές SNR, π.χ. αρνητικές, η ανάλυση με bispectrum παρουσιάζει καλύτερη ευαισθησία στην ανίχνευση ρωγμών. Με την αύξηση του SNR, βελτιώνεται ακόμα περισσότερο η ευαισθησία της ανάλυσης με bispectrum, εξασφαλίζοντας καλύτερη βεβαιότητα ανίχνευσης των ρωγμών Πειραματική διάταξη μη γραμμικής μίξης Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε για την ανίχνευση της ρωγμής φαίνεται στο σχήμα 3.9. Οι διαστάσεις της δοκού ήταν 3 48 mm και το υλικό κατασκευής το Plexiglas TM. Η θέση της ρωγμής ήταν 1mm από την πάκτωση ενώ η διέγερση της εφαρμόστηκε στο ελεύθερο της άκρο. Το πακτωμένο μέρος της δοκού ήταν ακλόνητα στερεωμένο σε 5 μεταλλικές πλάκες διαστάσεων mm και συνολικού βάρους 15kg. Η δύναμη της διέγερσης είχε διεύθυνση κάθετη στον άξονα της δοκού, προκαλώντας με αυτό τον τρόπο την ταλάντωση εγκάρσιων κυμάτων. 77

84 Accelerometer Ρωγμή Πηνίο Μαγνήτης V 1 (t)+ V (t) V 1 (t) Προενίσχυση & καταγραφή Ενισχυτής ισχύος V (t) Γεννήτριες Σχήμα 3.9 Πειραματική διάταξη για την ανίχνευση ρωγμής Για την παραγωγή των σημάτων χρησιμοποιήθηκαν δύο ψηφιακές γεννήτριες συχνοτήτων υψηλής ακρίβειας της εταιρίας Agilent. Η πρώτη γεννήτρια παρήγαγε μια ημιτονοειδή τάση V () t V sin( π f t) = με συχνότητα f 1, ενώ η δεύτερη γεννήτρια παρήγαγε μια ημιτονοειδή τάση V () t V sin( π f t) = με συχνότητα f. Τα ημιτονοειδή σήματα διέγερσης, V () t και 1 V () t, είναι πολύ χαμηλής παραμόρφωσης, με το πλάτος της δεύτερης αρμονικής να είναι χαμηλότερο από 6dB σε σχέση με το πλάτος της κύριας συχνότητας. Επίσης τα πλάτη των παραγόμενων σημάτων όπως και η τιμή των συχνοτήτων παρουσιάζουν πολύ καλή σταθερότητα και ακρίβεια ρύθμισης. Συνδυάζοντας της δύο γεννήτριες είναι δυνατόν να παραχθεί οποιοσδήποτε συνδυασμός δύο διεγέρσεων τόσο σε συχνότητα αλλά και σε πλάτος. Οι έξοδοι των γεννητριών συνδέονται παράλληλα και η υπέρθεση τους, ( π ) ( π ) Vt () = Vt () + V() t = Vsin ft+ Vsin ft, τροφοδοτεί την είσοδο του ενισχυτή ισχύος. Η χρήση του ενισχυτή ισχύς είναι απαραίτητη, διότι η μέγιστη ισχύς του 1W RMS που μπορούν να παρέχουν οι γεννήτριες σήματος, δεν είναι ικανή να θέσει σε κίνηση την δοκό. Ο ενισχυτής ισχύος έχει την δυνατότητα να ενισχύσει, 78

85 χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, τα σήματα εισόδου και με αρκετή περίσσια ισχύος, διότι η μέγιστη ισχύς του είναι 4W RMS για 4Ω φορτίο. Σε όλα τα πειράματα λειτουργούσε κάτω από το ¼ της μέγιστης ισχύος του για να μην διαταραχτεί η γραμμικότητα της ενίσχυσης του. Με αυτό τον τρόπο η ολική αρμονική παραμόρφωση μαζί με τον θόρυβο (THD+N) περιορίσθηκε σε τιμές πολύ μικρότερες του.1%. Η έξοδος του ενισχυτή τροφοδοτεί το πηνίο, με αντίσταση 4Ω και βάρος M coil = 1.5g, που είναι κολλημένο στο ελεύθερο άκρο της δοκού, από την κάτω πλευρά. Η περιέλιξη του πηνίου βρίσκεται εντός ενός ισχυρού και σταθερού μαγνητικού πεδίου που προέρχεται από ένα μόνιμο μαγνήτη. Μεταξύ του πηνίου και του μόνιμου μαγνήτη δεν υπάρχει κάποια μηχανική σύνδεση, και το μέσο που παρεμβάλλεται είναι ο αέρας. Με αυτό τον τρόπο δεν εισάγονται περαιτέρω διαταραχές κατά την κίνηση του πηνίου από κάποια μηχανικά συστήματα ανάρτησης και στήριξης. Το αποτέλεσμα είναι η περαιτέρω μείωση, σε πολύ χαμηλό βαθμό, των μη γραμμικοτήτων που οφείλονται σε μηχανικά αίτια. Το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο μετατρέπεται σε δύναμη που εφαρμόζεται στο ελεύθερο άκρο της δοκού και προκαλεί την διέγερση εγκάρσιων κυμάτων. Ο μόνιμος μαγνήτης όπως και οι μεταλλικές πλάκες, ήταν σταθερά πακτωμένες σε μία πλάκα από Plexiglas TM διαστάσεων 1x4x5 cm 3. Στο άνω ελεύθερο άκρο για την μέτρηση της ταλάντωσης της δοκού ήταν τοποθετημένο ένα επιταχυνσιόμετρο μινιατούρα με διάμετρο 5mm, ύψος 6.7mm και βάρος M =.6g. To βάρος της δοκού ήταν m=1g ενώ το βάρος του acc επιταχυνσιόμετρου και του πηνίου ήταν M =.1g και αποτελούσε το 1.75% του βάρους της δοκού. Η συχνότητα συντονισμού για μια δοκό που έχει το ένα της άκρο πακτωμένο και το άλλο ελεύθερο είναι [78] f 1 3 EI / m = π M m (3.31) οπου, f η συχνότητα συντονισμού της δοκού, Μ είναι το βάρος του αναρτημένου σώματος, m το βάρος της δοκού, το μήκος της δοκού, Ε το μέτρο ελαστικότητας, Ι η ροπή αδράνειας επιφάνειας της διατομής της δοκού. Επειδή ο λόγος βάρους του 79

86 επιταχυνσιόμετρου μαζί με το πηνίο ως προς το βάρος της δοκού είναι μικρός M m M =.175, και.36, η συχνότητα συντονισμού γίνεται (3.3) m f 1 3EI π.36m 3 (3.3) Οπότε, το βάρος του επιταχυνσιόμετρου και του πηνίου δεν επηρεάζει πειραματικά της ιδιομορφές ταλάντωσης της δοκού. Η έξοδος του επιταχυνσιόμετρου συνδέεται στον προενισχυτή NEXUS TM της εταιρίας Bruel & Kjaer και κατόπιν ενίσχυσης αποκτάει ικανοποιητική στάθμη για καταγραφή από την κάρτα δειγματοληψίας. Για τις μετρήσεις επιλέχτηκε συχνότητα δειγματοληψίας 19kΗz και με ανάλυση 4bit. Κατόπιν, τα πειραματικά δεδομένα τα οποία είναι οι χρονοσειρές των αποκρίσεων, αποθηκεύονται στο ηλεκτρονικό υπολογιστή για την μετέπειτα επεξεργασία τους Αποτελέσματα από πειραματικά δεδομένα Για τα πειράματα χρησιμοποιήθηκε η διάταξη του σχήματος 3.9, με μία δοκό από Plexiglas TM μήκους = 48mm και διατομής h h mm =. Η δοκός χωρίς ρωγμή ταλαντώθηκε για διαφορετικές συχνότητες και μετρήθηκε η απόκριση. Βρέθηκε ότι παρουσιάζει την μέγιστη απόκριση στην συχνότητα f = 9Hz. Κατόπιν, σε μια νέα δοκό Plexiglas TM με ίδιες διαστάσεις και σε απόσταση = 1mm από την πάκτωση, τοποθετήθηκε μια αιχμηρή λεπίδα και ασκήθηκε cr πίεση μέσω της λεπίδας στην περιοχή επαφής της με την επιφάνεια της δοκού. Η τοπική παραμόρφωση προκάλεσε την δημιουργία ρωγμής βάθους h = 1.4mm, ή h cr σχετικού βάθους a1 = =.7 = 7%. Η ίδια τεχνική με την αιχμηρή λεπίδα h επαναλήφθηκε και για δύο άλλες ράβδους με ίδιες διαστάσεις και από το ίδιο υλικό κατασκευής. Με αυτό τον τρόπο δημιουργήθηκαν σε δυο νέες ράβδους, στη ίδια απόσταση από την πάκτωση, ρωγμές με βάθη h = 4mm ή a = %, h = 9mm ή a 3 = 45%. cr cr cr 8

87 Οι ράβδοι οδηγήθηκαν σε εξαναγκασμένη ταλάντωση μέσω του πηνίου διέγερσης για όλα τα βάθη των ρωγμών τους αλλά και για την περίπτωση της δοκού χωρίς ρωγμή. Η μέτρηση χωρίς ρωγμή συμβολίζεται ως a, που είναι και η μέτρηση αναφοράς. Το σήμα που οδηγεί το πηνίο είναι το ( π ) ( π ) Vt () = Vt () + V() t = Vsin ft+ Vsin ft, το οποίο προκαλεί την ταυτόχρονη διέγερση της δοκού σε δύο συχνότητες f και 1 f. Η πρώτη διέγερση V () t έχει 1 1 συχνότητα f1 = f = 46Hz, ενώ η δεύτερη διέγερση V () t έχει συχνότητα 3 f = f = 138Hz, και η διαφορά των συχνοτήτων f f1 δίνει την συχνότητα συντονισμού της δοκού χωρίς ρωγμή. Τα πλάτη των διεγέρσεων V 1 και V ρυθμίζονταν κατάλληλα σε κάθε μέτρηση, έτσι ώστε οι αποκρίσεις των διεγέρσεων A f 1 και A f στις συχνότητες διέγερσης f και 1 f αντίστοιχα, να είναι ίσες μεταξύ τους και σταθερές. Η τιμή της απόκρισης στη συχνότητα f ή 1 f μετρήθηκε στην δοκό χωρίς ρωγμή και τέθηκε ως στάθμη αναφοράς με την οποία είναι κοινωνικοποιημένη η τιμή της απόκρισης στην συχνότητα διαφοράς f = 9Hz, Af A f A = =. Τα φάσματα των αποκρίσεων υπολογίστηκαν εφαρμόζοντας τον A A f1 f μετασχηματισμό Fast Fourier Transform (FFT) στις χρονοσειρές των αποκρίσεων για κάθε περίπτωση. Για να περιορισθεί το φαινόμενο της φασματικής διαρροής (spectrum leakage) χρησιμοποιήθηκε παράθυρο εξομάλυνσης (smoothing window). Ο τύπος του παραθύρου που επιλέγηκε είναι ο flat top, ο οποίος παρέχει την καλύτερη ακρίβεια στην μέτρηση των πλατών στο φάσμα Πειραματικά αποτελέσματα για πλάτος A = A = db f1 f Στο σχήμα 3.1 παρουσιάζονται οι αποκρίσεις στον χρόνο, για την δοκό χωρίς ρωγμή αλλά και για τις ράβδους με ρωγμές, για την περίπτωση όπου το πλάτος της απόκρισης των διεγέρσεων ήταν A = A = db. f1 f 81

88 α Amplitude [m/s ] α 1 α 3 α Time [ms] Σχήμα 3.1 Χρονοσειρές των αποκρίσεων με πλάτος A = A = db για ράβδους: f1 f Χωρίς ρωγμή a, με ρωγμές a 1 = 7%, a = %, a 3 = 45%. Στο σχήμα 3.11 παρουσιάζονται τα φάσματα των αποκρίσεων από τις μετρήσεις στη δοκό χωρίς ρωγμή a = %, αλλά και για της ρωγμές με βάθη a 1 = 7%, a = % και a 3 = 45%. Όπως φαίνεται υπάρχουν έντονες φασματικές συνιστώσες στη συχνότητα διαφοράς των 9Hz και το πλάτος τους αυξάνεται με αυξανόμενο το βάθος της ρωγμής. Επίσης, παρατηρείται ότι για την περίπτωση της δοκού χωρίς ρωγμή, η απόκριση στην συχνότητα διαφοράς είναι αρκετά μικρότερη από το πλάτος των διεγέρσεων, κατά 45dB. Αν και η μέτρηση είναι στην δοκό χωρίς ρωγμή, η απόκριση δεν είναι μηδενική, εξαιτίας της ασθενούς μη γραμμική μίξης που συμβαίνει στο ηλεκτρικό κύκλωμα του πηνίου, το οποίο διεγείρεται από το άθροισμα των συχνοτήτων Vt () = Vt 1() + V() t. 8

89 -1 - α α 1 α α 3 Response [db] Frequency [Hz] Σχήμα 3.11 Φάσματα των αποκρίσεων με πλάτος A = A = db για ράβδους: f1 f Χωρίς ρωγμή a, με ρωγμές a 1 = 7%, a = %, a 3 = 45% Πειραματικά αποτελέσματα για πλάτος A = A = 6dB f1 f Η δεύτερη περίπτωση που εξετάστηκε πειραματικά ήταν, χρησιμοποιώντας την διάταξη του σχήματος 3.9, να διεγερθούν οι ίδιες ράβδοι με διαφορετική τάση διέγερσης Vt. () Οι επιμέρους τάσεις V () t και 1 V () t ρυθμίστηκαν έτσι ώστε οι αποκρίσεις των διεγέρσεων στις συχνότητες f και 1 f να είναι ίσες μεταξύ τους. Συγκεκριμένα είχαν πλάτος A = A = 6dB, δηλαδή το μισό απ ότι στην f1 f παράγραφο Στο σχήμα 3.1 παρουσιάζονται οι αποκρίσεις στον χρόνο, για την δοκό χωρίς ρωγμή αλλά και για τις ράβδους με ρωγμές, για την περίπτωση όπου το πλάτος της απόκρισης των διεγέρσεων ήταν A = A = 6dB. f1 f 83

90 15 1 α Amplitude [m/s ] α 1 α 15 1 α Time [ms] Σχήμα 3.1 Χρονοσειρές των αποκρίσεων με πλάτος A = A = 6dB για ράβδους: f1 f Χωρίς ρωγμή a, με ρωγμές a 1 = 7%, a = %, a 3 = 45% α α 1 α α 3 Response [db] Frequency [Hz] Σχήμα 3.13 Φάσματα των αποκρίσεων με πλάτος A = A = 6dB για ράβδους: f1 f Χωρίς ρωγμή a, με ρωγμές a 1 = 7%, a = %, a 3 = 45%. 84

91 Στο σχήμα 3.13 φαίνονται τα φάσματα από τις χρονοσειρές που καταγράφηκαν, για διέγερση με πλάτος των αποκρίσεων A = A = 6dB για όλες f1 f τις ράβδους. Επίσης, και σε αυτήν περίπτωση εμφανίζονται φασματικές συνιστώσες στην συχνότητα των 9Hz, που προέρχονται από την μη γραμμική μίξη των συχνοτήτων διέγερσης Πειραματικά αποτελέσματα για πλάτος A = A = 1dB f1 f Η τρίτη περίπτωση που εξετάστηκε πειραματικά ήταν, χρησιμοποιώντας την διάταξη του σχήματος 3.9, να διεγερθούν οι ίδιες ράβδοι με διαφορετική τάση διέγερσης Vt. () Οι επιμέρους τάσεις V () t και 1 V () t ρυθμίστηκαν έτσι ώστε οι αποκρίσεις των διεγέρσεων στις συχνότητες f και 1 f να είναι ίσες μεταξύ τους και να έχουν πλάτος A = A = 1dB, δηλαδή το ¼ απ ότι στην παράγραφο f1 f Στο σχήμα 3.14 παρουσιάζονται οι αποκρίσεις στον χρόνο, για την δοκό χωρίς ρωγμή αλλά και για τις ράβδους με ρωγμές, για την περίπτωση όπου το πλάτος της απόκρισης των διεγέρσεων ήταν A = A = 1dB. f1 f Amplitude [m/s ] α α 1 α 8 4 α Time [ms] Σχήμα 3.14 Χρονοσειρές των αποκρίσεων με πλάτος A = A = 1dB για ράβδους: f1 f Χωρίς ρωγμή a, με ρωγμές a 1 = 7%, a = %, a 3 = 45%. 85

92 Στο σχήμα 3.15 είναι τα φάσματα από τις χρονοσειρές για διέγερση με πλάτος των αποκρίσεων A = A = 1dB για όλες τις ράβδους. Επίσης, και σε αυτήν f1 f περίπτωση εμφανίζονται φασματικές συνιστώσες στην συχνότητα των 9Hz, που προέρχονται από την μη γραμμική μίξη των συχνοτήτων διέγερσης. Για τις ρωγμές a = % και a 3 = 45%, τα πλάτη είναι πιο ισχυρά σε σχέση με το πλάτος για την ρωγμή a 1 = 7% α α 1 α α 3 Response [db] Frequency [Hz] Σχήμα 3.15 Φάσματα των αποκρίσεων με πλάτος A = A = 1dB για ράβδους: f1 f Χωρίς ρωγμή a, με ρωγμές a 1 = 7%, a = %, a 3 = 45% Ανάλυση πειραματικών αποτελεσμάτων με bispectrum Χρησιμοποιώντας την πειραματική διάταξη για την μίξη συχνοτήτων του σχήματος 3.9, τα πειραματικά δεδομένα αναλύθηκαν με την μέθοδο bispectrum για πλάτος διεγέρσεων A = A = db. Για παράδειγμα, στο σχήμα 3.16 παρουσιάζεται f1 f το φάσμα bispectrum για σχετικό βάθος ρωγμής a = %. 86

93 Σχήμα 3.16 Κορυφές bispectrum για πλάτος διεγέρσεων A = A = db και ρωγμή f1 f a = %. Όπως φαίνεται στο σχήμα 3.16, κορυφές στο φάσμα bispectrum ξεχωρίζουν στη συχνότητα διέγερσης 46Hz και διαφοράς των δύο των συχνοτήτων διέγερσης 9Hz. Στο σχήμα 3.17, φαίνεται η μεταβολή του πλάτους των κορυφών bispectrum σε συνάρτηση για διαφορετικά βάθη ρωγμών. 87

94 Σχήμα 3.17 Μεταβολή του πλάτους των κορυφών bispectrum για πλάτος διεγέρσεων A = A = db για διαφορετικά σχετικά βάθη ρωγμής a. f1 f Όπως φαίνεται στο σχήμα 3.17, η μεταβολή του πλάτους των κορυφών bispectrum έχουν την ίδια μορφή με αυτή των αποτελεσμάτων από την αριθμητική προσομοίωση της δοκού, σχήμα 3.7. Επίσης, το bispectrum είναι αρκετά ευαίσθητο στην ύπαρξη των μη γραμμικοτήτων που εισάγονται από την ρωγμή, και ιδιαίτερα για μικρή ρωγμή ( a 1 = 7% ). Αυτό το πλεονέκτημα είναι αρκετά σημαντικό για την έγκαιρη διάγνωση των βλαβών σε μια κατασκευή όταν ακόμα είναι σε αρχικό στάδιο Σχολιασμός των πειραματικών αποτελεσμάτων Στο σχήμα 3.18 παρουσιάζεται η μεταβολή του πλάτους της απόκρισης για διαφορετικά σχετικά βάθη ρωγμής και για τα τρία διαφορετικά πλάτη διέγερσης. Ως πλάτος αναφοράς έχει ληφθεί το πλάτος που υπήρχε στη συχνότητα διαφοράς των διεγέρσεων, f f1 = 9Hz, για κάθε περίπτωση διέγερσης. Ακόμα και για τη σχετικά μικρή ρωγμή βάθους 7%, η αύξηση στο πλάτος είναι 13dB, από την τιμή που έχει η απόκριση για την δοκό χωρίς ρωγμή, για A = A = db, σχήμα Η f1 f μεταβολή αυτή είναι σημαντική, και σε πραγματικές συνθήκες εφαρμογής της 88

95 μεθόδου είναι εύκολα και με ακρίβεια μετρήσιμη. Ελαφρώς μεγαλύτερο στα 15dB είναι το πλάτος της κορυφής bispectrum για τις ίδιες πειραματικές συνθήκες, σχήμα Το φαινόμενο της μη γραμμικής μίξης είναι ακόμα πιο έντονο για της μεγαλύτερες ρωγμές. Στη ακραία περίπτωση όπου η ρωγμή έχει σχετικό βάθος a 3 = 45%, η μη γραμμική συμπεριφορά είναι πολύ εμφανής με αποτέλεσμα το πλάτος της συχνότητας διαφοράς να είναι μόλις 6dB χαμηλότερο από τα πλάτη των διεγέρσεων, για την περίπτωση A = A = db, σχήμα Από το σχήμα 3.18 f1 f φαίνεται ότι η μεγαλύτερη ευαισθησία για την ανίχνευση μικρών ρωγμών παρουσιάζεται για την περίπτωση των διεγέρσεων όσο μικραίνουν οι διεγέρσεις. A = A = db, και μειώνεται f1 f db -6dB -1dB 3 f -f 1 Response [db] α [%] Σχήμα 3.18 Μεταβολή του πλάτους απόκρισης στη συχνότητα διαφοράς f f1 = 9Hz για διαφορετικά σχετικά βάθη ρωγμής a. Για την περίπτωση όπου A = A = 1dB, η μεταβολή του πλάτους από την f1 f δοκό χωρίς ρωγμή στη δοκό με ρωγμή a 1 = 7% είναι ελαφρώς αρνητική. Αυτό πιθανόν να οφείλεται στο γεγονός ότι το πλάτος ταλάντωσης της δοκού έχει μειωθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε οι μικρή ρωγμή του 7% να μην διεγείρεται και να μην ανοίγεικλείνει ικανοποιητικά. Ως αποτέλεσμα είναι η μη γραμμική συμπεριφορά να μη είναι 89

96 επαρκής να δώσει παράγωγα μίξης των συχνοτήτων διέγερσης, ικανά να ξεπεράσουν την παράγωγα που προέρχονται από την μίξη των συχνοτήτων στη πηνίο διέγερσης. 3.. Υποαρμονικές συχνότητες Εισαγωγή Σε ένα σύστημα με μη γραμμική συμπεριφορά εκτός από την εμφάνιση αρμονικών είναι δυνατή και η εμφάνιση υποαρμονικών, δηλαδή η εμφάνιση στην απόκριση συνιστωσών που η συχνότητα τους είναι μικρότερη της διέγερσης. Η πειραματική παρατήρηση των υποαρμονικών είναι ιδιαίτερα δύσκολη διότι πρέπει να υπάρχουν συγκεκριμένες συνθήκες. Οι βασικές προϋποθέσεις είναι: α) οι μη γραμμικότητες του υλικού να είναι αρκετά έντονες και β) το πλάτος της ταλαντωτικής διέγερσης να είναι αρκετά ισχυρό. Η χρήση τους στο μη καταστρεπτικό έλεγχο των κατασκευών δεν είναι ευρεία λόγω των δυσκολιών εφαρμογής. Η πιο κοινή περίπτωση είναι το φαινόμενο του διπλασιασμού της περιόδου (period doubling), όπου η συχνότητα της υποαρμονικής f sub είναι η μισή της συχνότητας της 1 διέγερσης f s, δηλαδή fsub = fs. Οι Brandon και Sudraud [79] διερεύνησαν πειραματικά ποιες πρέπει να είναι οι συνθήκες για την εμφάνιση των υποαρμονικών. Για τη θεωρητική μοντελοποίηση χρησιμοποιήθηκε μία δοκός που θεωρήθηκε ότι αποτελούνταν από δύο τμήματα με γραμμική συμπεριφορά, τα οποία συνδέονταν από μία διεπιφάνεια με μη γραμμική συμπεριφορά, δηλαδή τη ρωγμή. Στη συνέχεια, εξετάζεται θεωρητικά και πειραματικά η εμφάνιση υποαρμονικών σε μια ρηγματωμένη δοκό, η ταλάντωση της οποίας προσεγγίστηκε ως τμηματικά συνεχής μεταξύ δύο γραμμικών καταστάσεων, την ανοικτής ρωγμής και της κλειστής ρωγμής Θεωρητικό μοντέλο ρηγματωμένης δοκού Για την θεωρητική ανάλυση χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο της δοκού περιγράφεται στο κεφάλαιο 3.1. Η μόνη διαφορά για την περίπτωση των 9

97 υποαρμονικών, είναι ότι η δοκός διεγείρεται από μία συχνότητα. Στο σχήμα 3.19 φαίνεται μια ρηγματωμένη δοκός μήκους L, ορθογώνιας διατομής με ύψος h και πλάτος b, με το ένα της άκρο πακτωμένο και το άλλο της ελεύθερο. Η ρωγμή κόπωσης βρίσκεται σε απόσταση cr από την πάκτωση, και έχει βάθος h cr. F(t) L m u l cr h cr F(t) h Δk k op c (α) (β) Σχήμα 3.19 α) Πακτωμένη-ελεύθερη ρηγματωμένη δοκός, β) Μοντέλο της ρηγματωμένης δοκού Όταν η δοκός βρίσκεται σε ταλάντωση, η ρωγμή ανοίγει και κλείνει σε κάθε περίοδο της ταλάντωσης, επηρεάζοντας με αυτό τον τρόπο την στιβαρότητα της δοκού κοντά στην ρωγμή. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η συνολική στιβαρότητα της δοκού να μειώνεται όταν η ρωγμή είναι ανοιχτή, ενώ όταν η ρωγμή είναι κλειστή η δοκός να επανακτά την στιβαρότητα της άθικτης δοκού. Το άνοιγμα και το κλείσιμο της ρωγμής μπορεί να καθοριστεί από το πρόσημο της εγκάρσιας απομάκρυνσης της ρηγματωμένης δοκού από την θέση ηρεμίας της. Το αποτέλεσμα είναι να υπάρχει μια χρονική μεταβολή στην στιβαρότητα που είναι Δ k = kcl kop. Όπου, ο συντελεστής k cl είναι η γενικευμένη στιβαρότητα της δοκού όταν η ρωγμή είναι κλειστή, δηλαδή όταν ut () <, και είναι ίση με αυτή της δοκού χωρίς ρωγμή. Ο συντελεστής k op είναι η στιβαρότητα της δοκού όταν η ρωγμή είναι ανοιχτή, δηλαδή όταν ut () >. Επομένως, για μια ελεύθερη δοκό, χωρίς απόσβεση, η διγραμμική ιδιοσυχνότητα f b της δοκού μπορεί να προσεγγιστεί από την σχέση f = b f f op op f cl + f cl [71]. Στη σχέση αυτή, f op είναι η ιδιοσυχνότητα της δοκού με την ρωγμή πλήρως ανοικτή και f cl 91

98 είναι η ιδιοσυχνότητα με την ρωγμή κλειστή, δηλαδή η ιδιοσυχνότητα της μη ρηγματωμένης δοκού. Για την μελέτη των μη γραμμικών χαρακτηριστικών της ρηγματωμένης δοκού, χρησιμοποιήθηκε αρμονική διέγερση f s η οποία είχε συχνότητα ίση με την διγραμμική συχνότητα συντονισμού, δηλαδή f = f. Αυτή η επιλογή των συχνοτήτων, όπου η συχνότητα της υποαρμονικής της διέγερσης ιδιοσυχνότητα s b f s ισούται με την f b, ευνοεί την ανάδειξη των μη γραμμικών χαρακτηριστικών στην απόκριση της δοκού. Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω συνθήκες, η δυναμική συμπεριφορά μια δοκού η οποία έχει ρωγμή κόπωσης, μπορεί να μοντελοποιηθεί από ένα διγραμμικό μηχανικό μοντέλο ενός βαθμού ελευθερίας με απόσβεση. Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το μηχανικό μοντέλο έχει την μορφή 1 mu () t + cu () t + kcl Δ k1 + signut () ut () = Fcos ft ( ( )) ( π b ) (3.33) Όπου, ut ( ) είναι η απομάκρυνση της δοκού στο ελεύθερο άκρο, m=.8ml είναι η γενικευμένη μάζα με m να είναι η μάζα της δοκού ανά μονάδα μήκους, c είναι ο συντελεστής απόσβεσης και με F συμβολίζεται το πλάτος της δύναμης διέγερσης. Ο συντελεστής k cl είναι η γενικευμένη στιβαρότητα της δοκού όταν η ρωγμή είναι κλειστή, δηλαδή όταν ut () < και ο συντελεστής Δ k = kcl kop είναι η μεταβολή στη στιβαρότητα της ρηγματωμένης δοκού. Ο διγραμμικός ταλαντωτής ενός βαθμού ελευθερίας που περιγράφεται από την εξίσωση 3.33, χρησιμοποιήθηκε για να μελετηθεί η μη γραμμική συμπεριφορά της δοκού, όπως φαίνεται στο σχήμα Οι διαστάσεις της δοκού ήταν 3 45 mm και η απόσταση των ρωγμών από την πάκτωση ήταν = 8mm. Ως τεχνικά χαρακτηρίστηκα της δοκού ελήφθησαν τα τυπικά χαρακτηριστικά για το υλικό Plexiglas TM και συγκεκριμένα: Young modulus.8gpa, λόγος του Poisson 3.4, πυκνότητα 115 kg / m και συντελεστής απόσβεσης.3. Σε μία δοκό χωρίς ρωγμή, η δυναμική της συμπεριφορά είναι γραμμική και στην απόκριση της δεν εμφανίζονται υποαρμονικές. Αυτό που εμφανίζεται είναι μόνο η συχνότητα της αρμονικής διέγερσης f s. Από την αριθμητική επίλυση της cr 9

99 εξίσωσης 3.33, στο σχήμα 3. παρουσιάζεται η χρονοσειρά της απόκρισης για την δοκό χωρίς ρωγμή m s s Σχημα 3. Απόκριση δοκού χωρίς ρωγμή Έχοντας την χρονοσειρά και εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fourier, λαμβάνουμε το αντίστοιχο φάσμα που παρουσιάζεται στο σχήμα db Hz Σχήμα 3.1 Φάσμα της απόκρισης για δοκό χωρίς ρωγμή Με την αύξηση του μεγέθους της ρωγμής γίνεται πιο έντονη και η μη γραμμική συμπεριφορά. Όμως, για να εμφανιστεί η πρώτη υποαρμονική, η 93

100 αριθμητική επίλυση της εξίσωσης 3.33, έδειξε ότι το σχετικό βάθος της ρωγμής h cr πρέπει να είναι μεγαλύτερο από a = = 5%. Στο σχήμα 3. παρουσιάζεται η h χρονοσειρά της απόκρισης για την περίπτωση της δοκού με σχετικό βάθος a = 6% και με διγραμμική ιδιοσυχνότητα f = 67Hz. b m s s Σχημα 3. Απόκριση δοκού για ρωγμή a = 6% f sub f s -5 (3/)f s f s db Hz Σχήμα 3.3 Φάσμα της απόκρισης για δοκό με ρωγμή a = 6% 94

101 Από το σχήμα 3., παρατηρούμε ότι εμφανίζεται το φαινόμενο του διπλασιασμού της περιόδου (period doubling), οπότε υπάρχει στην απόκριση της 1 δοκού υποαρμονική με συχνότητα το μισό της διέγερσης, δηλαδή fsub = fs. Αυτό επιβεβαιώνεται και από το φάσμα της απόκρισης που παρουσιάζεται στο σχήμα 3.3. Επίσης στο φάσμα του σχήματος 3.3 παρατηρούμε ότι εμφανίζονται και οι αρμονικές συχνότητες της διέγερσης, δηλαδή 3 f και f s s Πειραματική διάταξη Για την μελέτη των μη γραμμικών φαινομένων, χρησιμοποιήθηκε η διάταξη του σχήματος 3.4. Accelerometer Ρωγμή Πηνίο Μαγνήτης V(t) V(t) Προενίσχυση & καταγραφή Ενισχυτής ισχύος Γεννήτρια Σχήμα 3.4 Πειραματική διάταξη για τη μελέτη μη γραμμικών φαινομένων Οι διαστάσεις της δοκού Plexiglas TM ήταν μήκους = 45mm και διατομής h h mm =. Η θέση της ρωγμής ήταν 8mm από την πάκτωση ενώ η διέγερση της εφαρμόστηκε στο ελεύθερο της άκρο. Το πακτωμένο μέρος της δοκού ήταν 95

102 ακλόνητα στερεωμένο σε 5 μεταλλικές πλάκες διαστάσεων mm και συνολικού βάρους 15kg. Η δύναμη της διέγερσης είχε διεύθυνση κάθετη στον άξονα της δοκού, προκαλώντας με αυτό τον τρόπο την ταλάντωση εγκάρσιων κυμάτων. Για την παραγωγή των σημάτων χρησιμοποιήθηκε μία ψηφιακή γεννήτρια συχνοτήτων υψηλής ακρίβειας της εταιρίας Agilent και παρήγε μια ημιτονοειδή τάση ( π ) V () t = V sin f t. Το σήμα διέγερσης V () t είναι πολύ χαμηλής παραμόρφωσης, s s s με το πλάτος της δεύτερης αρμονική να είναι αρκετά χαμηλότερο σε σχέση με το πλάτος της κύριας συχνότητας. Επίσης τα πλάτη των παραγόμενων σημάτων όπως και η τιμή των συχνοτήτων παρουσιάζουν πολύ καλή σταθερότητα και ακρίβεια ρύθμισης. Η έξοδος της γεννήτριας τροφοδοτεί την είσοδο του ενισχυτή ισχύος και έχει την δυνατότητα να ενισχύσει χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία το σήμα εισόδου και με αρκετή περίσσια ισχύος. Σε όλα τα πειράματα λειτουργούσε κάτω από το ¼ της μέγιστης ισχύος του για να μην διαταραχτεί η γραμμικότητα της ενίσχυσης του. Με αυτό τον τρόπο η ολική αρμονική παραμόρφωση μαζί με τον θόρυβο (THD+N) περιορίσθηκε σε τιμές πολύ μικρότερες του.1%. Η έξοδος του ενισχυτή τροφοδοτεί το πηνίο, με αντίσταση 4Ω και βάρος M = 1.5g, που είναι κολλημένο στο ελεύθερο άκρο της δοκού, από την κάτω πλευρά. Η περιέλιξη του πηνίου βρίσκεται εντός ενός ισχυρού και σταθερού μαγνητικού πεδίου που προέρχεται από ένα μόνιμο μαγνήτη. Μεταξύ του πηνίου και του μόνιμου μαγνήτη δεν υπάρχει κάποια μηχανική σύνδεση, και το μέσο που παρεμβάλλεται είναι ο αέρας. Με αυτό τον τρόπο δεν εισάγονται περαιτέρω διαταραχές κατά την κίνηση του πηνίου από κάποια μηχανικά συστήματα ανάρτησης και στήριξης. Το αποτέλεσμα είναι η περαιτέρω μείωση, σε πολύ χαμηλό βαθμό, των μη γραμμικοτήτων που οφείλονται σε μηχανικά αίτια. Το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο μετατρέπεται σε δύναμη που εφαρμόζεται στο ελεύθερο άκρο της δοκού και προκαλεί την διέγερση εγκάρσιων κυμάτων. Ο μόνιμος μαγνήτης όπως και οι μεταλλικές πλάκες, ήταν σταθερά πακτωμένες σε μία πλάκα από Plexiglas TM διαστάσεων 1x4x5 cm 3. Η έξοδος του επιταχυνσιόμετρου (accelerometer) συνδέεται στον προενισχυτή NEXUS TM της εταιρίας Bruel & Kjaer και κατόπιν ενίσχυσης αποκτάει ικανοποιητική στάθμη για καταγραφή από την κάρτα δειγματοληψίας. Για τις μετρήσεις επιλέχτηκε συχνότητα δειγματοληψίας 19kΗz και με ανάλυση 4bit. Κατόπιν, τα πειραματικά δεδομένα τα οποία είναι οι χρονοσειρές των αποκρίσεων, αποθηκεύονται στο ηλεκτρονικό υπολογιστή για την μετέπειτα επεξεργασία τους. s coil 96

103 3..3. Πειραματικά αποτελέσματα Η δοκός χωρίς ρωγμή ταλαντώθηκε για διαφορετικές συχνότητες και μετρήθηκε η απόκριση. Βρέθηκε ότι παρουσιάζει την μέγιστη απόκριση στην συχνότητα f = f = 94Hz. Κατόπιν, σε μια νέα δοκό Plexiglas TM με ίδιες διαστάσεις b και σε απόσταση = 8mm από την πάκτωση, δημιουργήθηκε ρωγμή βάθους cr h cr hcr = 1mm, ή σχετικού βάθους a1 = =.5 = 5%. Η ίδια διαδικασία επαναλήφθηκε h στην ίδια δοκό μεγαλώνοντας το βάθος της ρωγμής. Με αυτό τον τρόπο δημιουργήθηκαν ρωγμές με βάθη h = 3mm ή a = 15%, h = 4mm ή a 3 = %, hcr cr = 1mm ή a 4 = 6%, και h = 18mm ή a 5 = 9%. Οι ράβδοι οδηγήθηκαν σε cr εξαναγκασμένη ταλάντωση μέσω του πηνίου διέγερσης για όλα τα βάθη των ρωγμών τους αλλά και για την περίπτωση της δοκού χωρίς ρωγμή. Η μέτρηση χωρίς ρωγμή συμβολίζεται ως a, που είναι και η μέτρηση αναφοράς. Επιδιώκοντας να είναι πιο εμφανής η μη γραμμική συμπεριφορά, επιλέχτηκε σε κάθε περίπτωση η συχνότητα της διέγερσης να είναι το διπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της δοκού, δηλαδή f = f. Με αυτή την σχέση συχνοτήτων s ενισχύεται η πιθανή εμφάνιση υποαρμονικών συχνοτήτων της διέγερσης, και έχουμε την δημιουργία του φαινομένου του διπλασιασμού της περιόδου (period doubling) που είναι χαρακτηριστικό αποτέλεσμα έντονων μη γραμμικοτήτων. Οι ιδιοσυχνότητες που μετρήθηκαν για τα διαφορετικά βάθη ρωγμών φαίνονται στον πίνακα 3.1 Πίνακας 3.1. Βάθος ρωγμής f b f s [%] [Hz] [Hz] b cr 97

104 Παρατηρώντας στο πεδίο των συχνοτήτων η ανάλυση με FFT των χρονοσειρών, για τις περιπτώσεις των ράβδων χωρίς ρωγμή αλλά και με ρωγμές 5%, 15%, %, δεν έδωσε διαφορετικά πλάτη στα φάσματα αρμονικών συχνοτήτων. Για το ίδιο πλάτος διέγερσης, ο DI (ο λόγος του πλάτους της δεύτερης αρμονικής ως προς πλάτος διέγερσης) για τις περιπτώσεις 5%, 15%, % ήταν σταθερός και ίδιος με αυτόν της δοκού χωρίς ρωγμή. Επίσης δεν εμφανίστηκαν υποαρμονικές συχνότητες της διέγερσης όπως επίσης και βρόχος υστέρησης κατά την σάρωση των πλατών της διέγερσης. Ένας εναλλακτικός τρόπος επεξεργασίας σε μη γραμμικά δυναμικά συστήματα, είναι η απεικόνιση των σημάτων με το πορτραίτο φάσεων (phase portrait). Με την μέθοδο αυτή στον οριζόντιο άξονα αντιστοιχίζεται η απομάκρυνση u και το κάθετο άξονα η παράγωγος της ως προς τον χρόνο, δηλαδή η ταχύτητα. Δημιουργείται έτσι ένα διάγραμμα της ταχύτητας ως προς την απομάκρυνση χωρίς την μεταβλητή του χρόνου, αλλά λαμβάνοντας υπόψη το πλάτος των σημάτων και την σχετική φάση μεταξύ τους. Για μια απλά αρμονική ταλάντωση χωρίς την ύπαρξη μη γραμμικοτήτων, εξαιτίας της διαφοράς φάσης 9 που υπάρχει μεταξύ της απομάκρυνσης και την ταχύτητας, στο πορτραίτο φάσης εμφανίζεται ένας κύκλος. Όμως, όταν υπάρχουν μη γραμμικότητες εμφανίζονται αναδιπλώσεις (bifurcations) στο διάγραμμα. Στο σχήμα 3.5 είναι το πορτραίτο φάσης για την περίπτωση της δοκού χωρίς ρωγμή. Η διέγερση ήταν σε πλάτος V = 5mVpp και συχνότητα fs = 188Hz (πίνακας 3.1). s 98

105 du/dt [m/s] u [mm] Σχήμα 3.5 Πορτραίτο φάσης για την δοκό χωρίς ρωγμή με πλάτος V = 5mVpp και συχνότητα f = 188Hz s s Vs Ομοίως, για την ίδια δοκό και συχνότητα διέγερσης αλλά με πλάτος = 5mVpp, το πορτραίτο φάσης είναι στο σχήμα

106 du/dt [m/s] u [mm] Σχήμα 3.6 Πορτραίτο φάσης για την δοκό χωρίς ρωγμή με πλάτος V = 5mVpp και συχνότητα f = 188Hz s s Οι διαφοροποιήσεις στο πεδίο των συχνοτήτων αρχίζουν να εμφανίζονται για τα βάθη ρωγμών άνω του 6%. Η δοκός διεγέρθηκε για δύο πλάτη, V 1 = 5mVpp και Vs = 5mVpp, με συχνότητα f = 18Hz. Για τα δύο πλάτη έχουμε έντονη s παρουσία των αρμονικών συχνοτήτων, και συγκεκριμένα ο λόγος της πρώτης αρμονικής ως προς την διέγερση είναι DI1 = db. Επίσης είναι έντονη η παρουσία αρμονικών ανώτερης τάξης με συχνότητες της έντονης μη γραμμικής συμπεριφοράς, σχήμα 3.7. kf s (όπου k ακέραιος αριθμός), ενδεικτικό s 1

107 1 f s / f s 5mVpp 5mVpp -1 (3/)f s - f s (5/)f s 3f s Response [db] Frequency [Hz] Σχήμα 3.7 Φάσματα της απόκρισης για δοκό με ρωγμή 6%, και πλάτη διέγερσης, Vs1 = 5mVpp και V = 5mVpp s Παρατηρώντας το φάσμα του σχήματος 3.7, για το πλάτος διέγερσης Vs = 5mVpp, εμφανίζεται η υποαρμονική συχνότητα της διέγερσης 1 f s = 64Hz με πλάτος μόλις 6.dB χαμηλότερα από το πλάτος της διέγερσης f s. Δηλαδή έχουμε το φαινόμενο του διπλασιασμού της περιόδου. Εκτός από της αρμονικές kf s, επίσης εμφανίζονται και ανώτερης τάξης αρμονικές με συχνότητες k + 1 fs, όπου k ακέραιος αριθμός. Στο σχήμα 3.8 είναι το πορτραίτο φάσης για διέγερση με πλάτος V = 5mVpp, όπου εξαιτίας της ύπαρξης της υποαρμονικής εμφανίζεται αναδίπλωση στο διάγραμμα. s 11

108 du/dt [m/s] u [mm] Σχήμα 3.8 Πορτραίτο φάσης για την δοκό με ρωγμή 6%, με πλάτος Vs = 5mVpp και συχνότητα f = 18Hz s Αυξάνοντας το μέγεθος της ρωγμής, τα μη γραμμικά φαινόμενα γίνονται πιο έντονα και αρχίζουν να εμφανίζονται από χαμηλότερα πλάτη διέγερσης. Για την περίπτωση με σχετικό βάθος ρωγμής 9%, η υποαρμονική αρχίζει να εμφανίζεται από τα 165mVpp πλάτος διέγερσης. Ενδεικτικά στο σχήμα 3.9 είναι τα φάσματα της απόκρισης για πλάτη διέγερσης V 1 = 86mVpp, V = 165mVpp και για συχνότητα διέγερσης f = 68Hz. s s s 1

109 1-1 f s / f s (3/)f s f s (5/)f s 165mVpp 86mVpp 3f s - Response [db] Frequency [Hz] Σχήμα 3.9 Φάσματα της απόκρισης για δοκό με ρωγμή 9%, και πλάτη διέγερσης, V = mvpp και V = 165mVpp s1 86 s Η πρώτη αρμονική είναι αρκετά ισχυρή και είναι σε σχέση με το πλάτος της διέγερσης DI1 = 1.3dB. Επίσης είναι έντονη η παρουσία αρμονικών ανώτερης τάξης με συχνότητες kf s. Με την αύξηση του πλάτους πάνω από τα 165mVpp εμφανίζονται και οι συχνότητες με σχέση k + 1 fs. Στα σχήματα 3.3 μέχρι 3.33 είναι τα πορτραίτα φάσης για τα πλάτη διέγερσης V 1 = 86mVpp, V = 165mVpp, Vs3 = 39mVpp και V 4 = 55mVpp αντιστοίχως. s s s 13

110 .1.5 du/dt [m/s] u [mm] Σχήμα 3.3 Πορτραίτο φάσης για την δοκό με ρωγμή 9%, με πλάτος V 1 = 86mVpp και συχνότητα f = 68Hz s s.4. du/dt [m/s] u [mm] Σχήμα 3.31 Πορτραίτο φάσης για την δοκό με ρωγμή 9%, με πλάτος Vs = 165mVpp και συχνότητα f = 68Hz s 14

111 .4. du/dt [m/s] u [mm] Σχήμα 3.3 Πορτραίτο φάσης για την δοκό με ρωγμή 9%, με πλάτος Vs3 = 39mVpp και συχνότητα f = 68Hz s du/dt [m/s] u [mm] Σχήμα 3.33 Πορτραίτο φάσης για την δοκό με ρωγμή 9%, με πλάτος Vs4 = 55mVpp και συχνότητα f = 68Hz s 15

112 Παρατηρώντας τα φάσματα της απόκρισης στο σχήμα 3.9 και τα πορτραίτα φάσης στα σχήμα 3.3 και 3.31, βλέπουμε ότι όταν η διέγερση είναι V 1 = 86mVpp δεν υπάρχει αναδίπλωση στο πορτραίτο φάσης. Όμως, όταν η διέγερση αυξάνεται πάνω από τα Vs = 165mVpp εμφανίζεται η υποαρμονική = 34Hz, έχουμε το διπλασιασμό της περιόδου, και αρχίζει να εμφανίζεται αναδίπλωση στο πορτραίτο φάσης. Με την περαιτέρω αύξηση του πλάτους γίνονται πιο έντονες και περισσότερες οι αναδιπλώσεις, σχήμα 3.3. Στην ακραία περίπτωση με πλάτος διέγερσης Vs4 = 55mVpp, η απόκριση της δοκού πλησιάζει αρκετά στην χαοτική συμπεριφορά. Στο πορτραίτο φάσης δεν υπάρχει μια ξεκάθαρη πορεία, και παρατηρώντας το φάσμα της απόκρισης στο σχήμα 3.34 έχει τα φασματικά χαρακτηριστικά του θορύβου. f s s Response [db] Frequency [Hz] Σχήμα 3.34 Φάσμα της απόκρισης για δοκό με ρωγμή 9%, και πλάτος διέγερσης Vs4 = 55mVpp Από τα πειράματα που έγιναν, παρατηρήθηκε ότι για να εμφανιστεί η υποαρμονική συχνότητα της διέγερσης, πρέπει το σχετικό μέγεθος της ρωγμής να είναι μεγαλύτερο από 6%. Αυτό συμφωνεί με το αποτέλεσμα της θεωρητικής ανάλυσης που έγινε με το διγραμμικό μοντέλο. Επίσης συμπεραίνεται ότι η εμφάνιση σε πείραμα υποαρμονικών ή αρμονικών μη ακέραιων πολλαπλασίων της συχνότητας της διέγερσης, οι οποίες οφείλονται στις ενδογενείς μη γραμμικότητες μιας φυσικής 16

113 ρωγμής κόπωσης, μπορούν να παρέχουν πολύτιμες πληροφορίες για τη δυναμική της. Η συσχέτιση τους με το διγραμμικό μοντέλο δοκού μπορεί να αποτελέσει ένα πολύτιμο εργαλείο για την διερεύνηση των μη γραμμικών φυσικών μηχανισμών σε υλικά με βλάβη Μη γραμμική διαμόρφωση Ανίχνευση ρωγμών σε πλάκα Περιγραφή πειραματικής διάταξης Η πειραματική υλοποίηση της μεθόδου της μη γραμμικής διαμόρφωσης, μπορεί να γίνει με πολλούς διαφορετικούς τρόπους και διατάξεις. Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν για την διέγερση των κατασκευών μηχανικοί δονητές (vibrators), ηχεία, πιεζοηλεκτρικά στοιχεία PZT, κ.α. H μέτρηση της απόκρισης συνήθως πραγματοποιείται με επιταχυνσιόμετρα που τοποθετούνται πάνω στην κατασκευή. Από τα πειράματα που έγιναν σε πλάκες από γυαλί, δείχθηκε ότι είναι δυνατή η διέγερση της κατασκευής από ηχείο ή ηχεία, όπως επίσης και η μέτρηση της απόκρισης με μικρόφωνο, χωρίς να υπάρχει επαφή με την κατασκευή. Η πρώτη πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε για την ανίχνευση της ρωγμής με χρήση της μη γραμμικής διαμόρφωσης φαίνεται στο σχήμα Για την διεξαγωγή των πειραμάτων χρησιμοποιήθηκε μια πλάκα από γυαλί διαστάσεων h h mm = 7 7 και πάχους 5mm. Η πλάκα κρεμάστηκε από τα δύο άνω άκρα της με την βοήθεια λεπτών νημάτων για να προσομοιωθούν οι συνθήκες ελεύθερων άκρων. Μεταξύ των νημάτων και της πλάκας τοποθετήθηκε σπογγώδες ηχοαπορροφητικό υλικό για την αποφυγή της άμεσης επαφής του νήματος με την πλάκα. Σε αντίθετη περίπτωση, θα υπήρχε επαφή τύπου Hertz μεταξύ του νήματος με την πλάκα, θα δημιουργούνταν μη γραμμικά φαινόμενα και εμφάνιση αρμονικών και παραγώγων ενδοδιαμόρφωσης. 17

114 Μικρόφωνο Επιταχυνσιόμετρο Γυάλινη πλάκα Ρωγμή Ηχείο Α Ηχείο Β D/A sound card A/D sound card Σχήμα 3.34 Πειραματική διάταξη για την ανίχνευση ρωγμών σε πλάκες Η διέγερση των ακουστικών συχνοτήτων εφαρμόστηκε με την χρήση δύο ηχείων αναφοράς (studio monitor reference speakers) υψηλής πιστότητας και χαμηλής παραμόρφωσης, με ενσωματωμένο ενισχυτή, τοποθετημένων εκατέρωθεν της πλάκας, εικόνα 3.1. Το ηχείο Α της εταιρίας Genelec οδηγήθηκε από το ημιτονοειδές σήμα V () t V sin( π f t) = χαμηλής συχνότητας f = 113Hz, ενώ το ηχείο Β της εταιρίας Yamaha από το ημιτονοειδές σήμα ( π ) V () t = V sin f t υψηλής συχνότητας f 1 = 8kHz. Για την παραγωγή των ακουστικών συχνοτήτων χρησιμοποιήθηκε κάρτα ήχου υψηλής ποιότητας, με ολική αρμονική παραμόρφωση συν θόρυβο THD + N = 15 db (.6%). Η καταγραφή της απόκρισης έγινε με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος ήταν με επιταχυνσιόμετρο της Β&Κ και ο δεύτερος με μικρόφωνο αναφοράς (reference microphone). Οι έξοδοι και των δύο στοιχείων ήταν συνδεμένοι στις εισόδους A/D της κάρτας ήχου. Η κάρτα ήταν συνδεμένη σε H/Y για την παρακολούθηση των μετρήσεων σε πραγματικό χρόνο. Η αποθήκευση των μετρήσεων ήταν σε μορφή χρονοσειρών με διακριτική ικανότητα 4bit, συχνότητα δειγματοληψίας 19kHz και με ολική αρμονική παραμόρφωση συν θόρυβο THD + N = 11 db (.3%). Για την διέγερση του υπέρηχου χρησιμοποιήθηκε ένα πιεζοηλεκτρικό στοιχείο PZT, διαμέτρου d = 5mm και με κεντρική συχνότητα 18

115 λειτουργίας 4kHz. Για το λόγο αυτό, επιλέγηκε ως συχνότητα διέγερσης το ημιτονοειδές σήμα V () t V sin( π f t) = με συχνότητα υπερήχου f = 4kHz. Εικόνα 3.1 Πειραματική διάταξη μη γραμμικής διαμόρφωσης σε πλάκα από γυαλί O πομπός τοποθετήθηκε σε απόσταση 1mm από την άνω πλευρά και 5mm από την αριστερή πλευρά όπως φαίνεται στην εικόνα 3.1. Για την λήψη των υπερήχου χρησιμοποιήθηκε επίσης ένα πιεζοηλεκτρικό στοιχείο PZT το οποίο τοποθετήθηκε σε απόσταση 1mm από την άνω πλευρά και 5mm από την δεξιά πλευρά όπως φαίνεται στην εικόνα Πειραματικά αποτελέσματα Οι μετρήσεις αναφοράς έγιναν αρχικά στην άθικτη πλάκα από γυαλί όπου και υπολογίστηκαν τα φάσματα στην περιοχή της ακουστικής υψηλής συχνότητας f 1 = 8kHz αλλά και του υπέρηχου f = 4kHz. Στη συνέχεια η πλάκα από γυαλί θερμάνθηκε στο μέσο της άνω πλευράς της, δηλαδή σε απόσταση 35cm από τα άκρα 19

116 της, με πιστόλι θερμού αέρα. Η θερμοκρασία εξόδου του θερμού αέρα από το στόμιο ρυθμίστηκε στους θ α = 4 C και η πλάκα θερμάνθηκε για χρόνο t = 6s. Η περιοχή που θερμάνθηκε στην συνέχεια ψήχθηκε με νερό θερμοκρασίας θ = 14 C. Η απότομη μεταβολή της θερμοκρασίας προκάλεσε την δημιουργία θερμικής ρωγμής με φορά κάθετη ως προς την διεύθυνση της άνω πλευράς (εικόνα 3.1). Η ίδια διαδικασία επαναλήφθηκε για την αύξηση του μεγέθους της ρωγμής σε μεγαλύτερα μήκη. Αρχικά έγινε μια ρωγμή με μήκος h = 45mmή σχετικού μήκους α 1 = 6.4%, στη συνέχεια το μήκος της ρωγμής αυξήθηκε σε h = 13mm ή σχετικό μήκους α = 17.6% και τέλος το μήκος της ρωγμής αυξήθηκε σε h = 166mm ή σχετικού μήκους α 3 = 3.7%. Η μέτρηση χωρίς ρωγμή συμβολίζεται ως a = %, που είναι και η μέτρηση αναφοράς. Η πλάκα από γυαλί οδηγήθηκε σε εξαναγκασμένη ταλάντωση μέσω του ηχείου Α για όλα τα μήκη των ρωγμών της αλλά και για την περίπτωση χωρίς ρωγμή. Το μεγάφωνο χαμηλών συχνοτήτων του ηχείου Α, προκαλούσε τη διέγερση της πλάκας στο κέντρο της και σε απόσταση 1mm από αυτή. Σε αυτή την θέση διέγερσης έχουμε το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης, άρα χαμηλότερη δαπάνη ισχύος και χαμηλότερη παραμόρφωση της διέγερσης. Τα πλάτη των διεγέρσεων V και έτσι ώστε οι αποκρίσεις των διεγέρσεων cr cr V ρυθμίζονταν κατάλληλα σε κάθε μέτρηση, A και cr A στις συχνότητες διέγερσης f ν και f αντίστοιχα, να είναι σταθερές και ίσες με τις αποκρίσεις στην μέτρηση αναφοράς της δοκού χωρίς ρωγμή. Για τη συχνότητα f το πλάτος της διέγερσης ήταν V = Vpp και η απόκριση για το πλάτος αυτό ορίστηκε ως το πλάτος απόκρισης αναφοράς, δηλαδή A = db. Για την συχνότητα f το πλάτος της διέγερσης ήταν V = Vpp. Ως δείκτης βλάβης (DI) σε db της δοκού χρησιμοποιήθηκε ο λόγος του μέσου πλάτους των πλευρικών συχνοτήτων ως προς την κύρια συχνότητα, δηλαδή όπως ορίζεται γενικά στην εξίσωση DI 1 A log A + log = + A A (3.34) 11

117 Στη συγκεκριμένη περίπτωση A = A είναι το πλάτος της απόκρισης στην συχνότητα f = 4kHz, ενώ A = A είναι το πλάτος της απόκρισης στην + + πρώτη άνω πλευρική συχνότητα f + = f + f = 4113Hz. Ομοίως, A = A είναι το πλάτος της απόκρισης στην πρώτη κάτω πλευρική συχνότητα f = f f = 39887Hz. O δείκτης βλάβης μετρήθηκε πειραματικά και υπολογίστηκε για την πλάκα χωρίς ρωγμή, όπως επίσης και για όλα τα μήκη των ρωγμών. Οι μετρήσεις των αποκρίσεων έγιναν από τα φάσματα τους, εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fast Fourier Transform (FFT) στις χρονοσειρές των αποκρίσεων για κάθε περίπτωση. Για να περιορισθεί το φαινόμενο της φασματικής διαρροής (spectrum leakage) χρησιμοποιήθηκε παράθυρο εξομάλυνσης (smoothing window). Ο τύπος του παραθύρου που επιλέχθηκε είναι ο flat top, ο οποίος παρέχει την καλύτερη ακρίβεια στην μέτρηση των πλατών στο φάσμα. Στα σχήματα 3.35 μέχρι 3.38, παρουσιάζονται τα φάσματα των αποκρίσεων από τις μετρήσεις στη πλάκα από γυαλί χωρίς ρωγμή a, για ρωγμή με σχετικό μήκος a 1, a, και a 3. f α -1 Response [db] Frequency [Hz] Σχήμα 3.35 Φάσμα της απόκρισης για πλάκα από γυαλί χωρίς ρωγμή ( a ) 111

118 f α 1-1 Response [db] f -f f +f Frequency [Hz] Σχήμα 3.36 Φάσμα της απόκρισης για πλάκα με σχετικό μήκος ρωγμής 6.4% ( a 1 ) f α -1 Response [db] f -f f -f f +f f +f Frequency [Hz] Σχήμα 3.37 Φάσμα της απόκρισης για πλάκα με σχετικό μήκος ρωγμής 17.6% ( a ) 11

119 f α3-1 Response [db] f -f f +f -5-6 f -f f +f Frequency [Hz] Σχήμα 3.38 Φάσμα της απόκρισης για πλάκα με σχετικό μήκος ρωγμής 3.7% ( a 3 ) Στο σχήμα 3.35, όπου παρουσιάζεται το φάσμα της απόκρισης για πλάκα από γυαλί χωρίς ρωγμή, δεν εμφανίζονται πλευρικές συχνότητες και παρατηρείται μόνο η συχνότητα του υπέρηχου f. Στο σχήμα 3.36 εμφανίζεται το φάσμα της απόκρισης για την πλάκα με σχετικό μήκος ρωγμής a 1 = 6.4%, όπου σε αυτήν περίπτωση παράγονται οι πρώτες πλευρικές συχνότητες με πλάτη A + = 58.8dB και A = 61.4dB. Για την πλάκα με μήκος ρωγμής a = 17.6%, στο σχήμα 3.37 παρατηρούμε ότι το πλάτος των πλευρικών συχνοτήτων αυξήθηκε κατά 1dB περίπου, με πλάτη A + = 49.4dB και A = 5.5dB. Επίσης στο φάσμα της απόκρισης παρατηρήθηκε, η εμφάνιση όχι μόνο των πρώτων πλευρικών συχνοτήτων f ± f άλλα και των δεύτερων πλευρικών συχνοτήτων, δηλαδή f ± f. Για την περίπτωση της γυάλινης πλάκας με ρωγμή a 3 = 3.7% (σχήμα 3.38), παρατηρήθηκε αύξηση κατά 5dB περίπου στο πλάτος των πρώτων πλευρικών συχνοτήτων με τιμές A + = 44.8dB και A = 46.dB. Στο σχήμα 3.39 παρουσιάζεται η μεταβολή του δείκτη βλάβης (DI) της πλάκας από γυαλί για τις 113

120 περιπτώσεις χωρίς ρωγμή a = %, με ρωγμές a 1 = 6.4%, a = 17.6% και a 3 = 3.7%. DI [db] α [%] Σχήμα 3.39 Μεταβολή του δείκτη βλάβης (DI) της πλάκας για διαφορετικά σχετικά μήκη ρωγμής a. Το συνολικό εύρος του δείκτη βλάβης (DI) είναι db περίπου και η αύξηση του είναι γραμμική σε σχέση με το μήκος της ρωγμής a. Η αύξηση του DI της πλάκας για μια σχετικά μικρή ρωγμή της τάξης του 6% είναι 5.dB. Η μεταβολή αυτή σε πραγματικές συνθήκες εφαρμογής είναι εύκολα και με ακρίβεια μετρήσιμη. Στη ακραία περίπτωση όπου η ρωγμή έχει σχετικό βάθος a 3 = 3.7%, η μη γραμμική συμπεριφορά είναι πιο εμφανής με αποτέλεσμα ο DI να είναι 45.4dB χαμηλότερος από το πλάτος της διέγερσης A. Στην συνέχεια αντί για πομπός και δέκτης υπερήχων, χρησιμοποιήθηκε το ηχείο Β με συχνότητα διέγερσης f = 8kHz ενώ οι συνθήκες λειτουργίας δεν άλλαξαν για το ηχείο Α. Η καταγραφή της απόκρισης έγινε με επιταχυνσιόμετρο της εταιρίας Β&Κ. Στο σχήμα 3.4 φαίνεται το φάσμα της απόκρισης για την πλάκα χωρίς ρωγμή ( a = % ) και στο σχήμα 3.41 παρουσιάζεται το φάσμα για ρωγμή με σχετικό βάθος a 3 = 3.7%. 114

121 f α -1 Response [db] Frequency [Hz] Σχήμα 3.4 Φάσμα απόκρισης πλάκας χωρίς ρωγμή (μέτρηση με επιταχυνσιόμετρο) f α 3-1 Response [db] f -f f +f f +f Frequency [Hz] Σχήμα 3.41 Φάσμα απόκρισης πλάκας με σχετικό μήκος ρωγμής a 3 = 3.7% (μέτρηση με επιταχυνσιόμετρο) 115

122 Όπως αναμένεται, στο φάσμα του σχήματος 3.4 διακρίνεται μόνο η υψηλή συχνότητα διέγερσης f = 8kHz της πλάκας χωρίς ρωγμή. Αντιθέτως, στο φάσμα του σχήματος 3.41, διακρίνονται και οι πρώτες πλευρικές συχνότητες f ± f με πλάτη A + = 53.dBκαι A = 54.5dB. Πρέπει να σημειωθεί ότι για τις μικρότερες ρωγμές a 1 = 6.4% και a = 17.6% δεν εμφανιστήκαν πλευρικές συχνότητες και γι αυτό το λόγο δεν παρουσιάζονται τα φάσματα της απόκρισης τους. Για το ίδιο σχετικό μήκος ρωγμής a 3 = 3.7% ο δείκτης βλάβης για την συχνότητα f = 4kHz είναι DI = 45.4dB ενώ για την συχνότητα f = 8kHz γίνεται DI = 53.9dB. Όπως αναμενόταν η μείωση της διαγνωστικής συχνότητας από f = 4kHz σε f = 8kHz έχει ως αποτέλεσμα την μείωση της ευαισθησίας στην ανίχνευση ρωγμών. Για την ίδια πλάκα έγινε μέτρηση όπου η καταγραφή της απόκρισης έγινε με τη βοήθεια μικροφώνου ακουστικών μετρήσεων (σχήμα 3.4) της εταιρίας Earthworks. Τα πλάτη και οι συχνότητες διέγερσης των ηχείων Α και Β παρέμειναν ίδια. 1 f α Response [db] f -f f +f Frequency [Hz] Σχήμα 3.4 Φάσμα απόκρισης πλάκας με σχετικό μήκος ρωγμής a 3 = 3.7% (μέτρηση με μικρόφωνο) 116

123 Και σε αυτή την περίπτωση η παρουσία των πρώτων πλευρικών συχνοτήτων f A ± f είναι ιδιαίτερα εμφανής με πλάτη A + = 66.6dB και = 6.3dB. Ο δείκτης βλάβης σε αυτή την περίπτωση είναι DI = 64.5dB. Αξίζει να σημειωθεί ότι η καταγραφή με μικρόφωνο (σχήμα 3.4) παρουσιάζει καλύτερη σχέση σήματος των πρώτων πλευρικών ως προς το θόρυβο σε σύγκριση με το επιταχυνσιόμετρο (σχήμα 3.41). Συνεπώς, η χρήση μικροφώνου ακουστικών μετρήσεων, αν και δίνει μικρότερο δείκτη βλάβης, παρέχει καλύτερη βεβαιότητα μέτρησης. Επίσης παρατηρήθηκε ότι η τιμή του δείκτη βλάβης γινόταν μέγιστη όταν το μικρόφωνο βρισκόταν στη ρηγματωμένη περιοχή της πλάκας Ανίχνευση ρωγμών σε δοκό Περιγραφή πειραματικής διάταξης Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε για την ανίχνευση της ρωγμής με χρήση της μη γραμμικής διαμόρφωσης φαίνεται στο σχήμα Δέκτης υπερήχων Ρωγμή Πομπός υπερήχων Πηνίο Μαγνήτης V () t V t V () t () Προενίσχυση & καταγραφή Ενισχυτής ισχύος Γεννήτριες Σχήμα 3.43 Πειραματική διάταξη για την ανίχνευση ρωγμών με μη γραμμική διαμόρφωση 117

124 Η δοκός ήταν κατασκευασμένη από Plexiglas TM με μήκος = 46mm, από την πάκτωση, και διατομή =. Η θέση της ρωγμής ήταν 1mm από την h h mm πάκτωση ενώ η διέγερση εφαρμόστηκε στο ελεύθερό της άκρο. Το πακτωμένο μέρος της δοκού ήταν ακλόνητα στερεωμένο με χρήση 5 μεταλλικών πλακών, διαστάσεων mm και συνολικού βάρους 15kg, (εικόνα 3.). Η δύναμη της διέγερσης είχε διεύθυνση κάθετη στον άξονα της δοκού, προκαλώντας με αυτό τον τρόπο την ταλάντωση εγκάρσιων κυμάτων. Εικόνα 3. Πειραματική διάταξη για την ανίχνευση ρωγμών με μη γραμμική διαμόρφωση Για την παραγωγή των σημάτων χρησιμοποιήθηκαν δύο ψηφιακές γεννήτριες συχνοτήτων υψηλής ακρίβειας της εταιρίας Agilent. Η πρώτη γεννήτρια παρήγε μια ημιτονοειδή τάση V () t V sin( π f t) = χαμηλής συχνότητας (Low Frequency) f = 9Hz, ίση με την πρώτη ιδιοσυχνότητα της δοκού, για την τροφοδοσία του πηνίου διέγερσης. Η δεύτερη γεννήτρια παρήγε μια ημιτονοειδή τάση ( π ) V () t = V sin f t υψηλής συχνότητας (High Frequency) f = 31.34kHz για την τροφοδοσία του πομπού υπερήχων. Ως πομπός υπερήχων χρησιμοποιήθηκε το πιεζοηλεκτρικό στοιχείο PZT της εταιρίας Bruel & Kjaer (εικόνα 3.3). 118

125 Εικόνα 3.3 Πομπός υπερήχων τοποθετημένος στο πακτωμένο άκρο της δοκού Τα ημιτονοειδή σήματα διέγερσης, V ( t ) και V () t, ήταν πολύ χαμηλής παραμόρφωσης, με το πλάτος της δεύτερης αρμονικής να είναι χαμηλότερο από 6dB σε σχέση με το πλάτος της κύριας συχνότητας. Επίσης τα πλάτη των παραγόμενων σημάτων όπως και η τιμή των συχνοτήτων τους ήταν υψηλής σταθερότητας και ακρίβειας ρύθμισης. Η έξοδος της γεννήτριας χαμηλής συχνότητας V () t συνδέθηκε στην είσοδο του ενισχυτή ισχύος και είχε την δυνατότητα να ενισχύσει χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία το σήμα εισόδου και με αρκετή περίσσια ισχύος. Σε όλα τα πειράματα λειτουργούσε κάτω από το ¼ της μέγιστης ισχύος του για να μην διαταραχτεί η γραμμικότητα της ενίσχυσης του. Με αυτό τον τρόπο η ολική αρμονική παραμόρφωση μαζί με τον θόρυβο (THD+N) περιορίσθηκε σε τιμές πολύ μικρότερες του.1%. Η έξοδος του ενισχυτή τροφοδοτούσε το πηνίο, με αντίσταση 4Ω και βάρος M = 1.5g, που ήταν κολλημένο στο ελεύθερο άκρο της δοκού, από την coil κάτω πλευρά. Η περιέλιξη του πηνίου βρισκόταν εντός ενός ισχυρού και σταθερού μαγνητικού πεδίου που προερχόταν από ένα μόνιμο μαγνήτη. Μεταξύ του πηνίου και του μόνιμου μαγνήτη δεν υπήρχε κάποια μηχανική σύνδεση, και το μέσο που παρεμβαλλόταν ήταν ο αέρας. Με αυτό τον τρόπο δεν εισάγονται περαιτέρω διαταραχές κατά την κίνηση του πηνίου από κάποια μηχανικά συστήματα ανάρτησης και στήριξης. Το αποτέλεσμα ήταν η περαιτέρω μείωση, σε πολύ χαμηλό βαθμό, των μη γραμμικοτήτων που οφείλονται σε μηχανικά αίτια. Το ρεύμα που διαρρέει το 119

126 πηνίο μετατρέπεται σε δύναμη που εφαρμόζεται στο ελεύθερο άκρο της δοκού και προκαλεί την διέγερση εγκάρσιων κυμάτων. Ο μόνιμος μαγνήτης όπως και οι μεταλλικές πλάκες, ήταν σταθερά πακτωμένες σε μία επιφάνεια από Plexiglas TM διαστάσεων 1x4x5 cm 3. Στο ελεύθερο άκρο της δοκού για την μέτρηση του πλάτους του υπερήχου, ήταν τοποθετημένο ένα επιταχυνσιόμετρο μινιατούρα της εταιρίας Bruel & Kjaer με διάμετρο 5mm, ύψος 6.7mm και βάρος M =.6g. To βάρος της δοκού ήταν m=1g ενώ το βάρος του επιταχυνσιόμετρου και του πηνίου ήταν M =.1g και αποτελούσε το 1.75% του βάρους της δοκού. Επειδή ο λόγος βάρους του επιταχυνσιόμετρου μαζί με το πηνίο ως προς το βάρος της δοκού είναι M M μικρός =.175 και.36 m m, και λαμβάνοντας υπ όψη την εξίσωση 3.31 η δυναμική της δοκού δεν επηρεάζεται. Η έξοδος του δέκτη υπερήχων (επιταχυνσιόμετρο) συνδέθηκε στον προενισχυτή NEXUS TM της εταιρίας Bruel & Kjaer και κατόπιν ενίσχυσης απέκτησε ικανοποιητική στάθμη για καταγραφή από την κάρτα δειγματοληψίας. Για τις μετρήσεις επιλέχτηκε συχνότητα δειγματοληψίας 19kΗz και με ανάλυση 4bit με αποτέλεσμα την δυνατότητα εγγραφής σημάτων μέχρι συχνότητας 96kHz και με δυναμική περιοχή που προσεγγίζει τα 144dB. Στη συνέχεια τα πειραματικά δεδομένα, τα οποία είναι οι χρονοσειρές των σημάτων, αποθηκεύονταν στο ηλεκτρονικό υπολογιστή για την μετέπειτα επεξεργασία τους. Η δοκός χωρίς ρωγμή ταλαντώθηκε για διαφορετικές συχνότητες και μετρήθηκε η απόκριση. Βρέθηκε ότι παρουσιάζει την μέγιστη απόκριση στην συχνότητα f = 9Hz. Κατόπιν, σε μια νέα δοκό από Plexiglas TM με ίδιες διαστάσεις και σε απόσταση = 1mm από την πάκτωση, τοποθετήθηκε μια αιχμηρή λεπίδα cr και ασκήθηκε πίεση στην περιοχή επαφής της με την επιφάνεια της δοκού. Η τοπική παραμόρφωση προκάλεσε την δημιουργία ρωγμής βάθους h = 1.4mm, ή σχετικού h cr βάθους a1 = =.7 = 7%. Η ίδια τεχνική με την αιχμηρή λεπίδα επαναλήφθηκε h και για δύο άλλες δοκούς με ίδιες διαστάσεις και από το ίδιο υλικό κατασκευής. Με αυτό τον τρόπο δημιουργήθηκαν σε δυο νέες δοκούς, στη ίδια απόσταση από την πάκτωση, ρωγμές με βάθη h = 4mm ή a = %, h = 9mm ή a 3 = 45%. Η cr μέτρηση χωρίς ρωγμή συμβολίζεται ως a = %, που είναι και η μέτρηση αναφοράς. cr cr acc 1

127 Πειραματικά αποτελέσματα Οι δοκοί οδηγήθηκαν σε εξαναγκασμένη ταλάντωση μέσω του πηνίου διέγερσης για όλα τα βάθη των ρωγμών τους αλλά και για την περίπτωση της δοκού χωρίς ρωγμή. Το σήμα που οδηγούσε το πηνίο ήταν το V () t V sin( π f t) =, το οποίο προκαλούσε τη διέγερση της δοκού μέσω του ενισχυτή ισχύος. Επιδιώκοντας να έχουμε την ελάχιστη δυνατή ολική αρμονική παραμόρφωση (THD) του σήματος χαμηλής συχνότητας, η οποία εξαρτάται από την ισχύ του, επιλέχθηκε σε κάθε περίπτωση η συχνότητα της διέγερσης να ισούται με την πρώτη ιδιοσυχνότητα συντονισμού της δοκού. Σε αυτή την συχνότητα έχουμε το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης, άρα και χαμηλότερη δαπάνη ισχύος. Οι απώλειες διάδοσης του Plexiglas TM για διαμήκη κύματα, συγκρινόμενες με αυτές των μέταλλων, είναι περίπου δύο τάξεις μεγέθους μεγαλύτερες. Αυτός ο παράγοντας των απωλειών περιορίζει την συχνότητα διέγερσης ώστε να είναι στην περιοχή των μερικών δεκάδων khz. Με σάρωση της συχνότητας της διέγερσης υψηλής συχνότητας, καταγράφηκε η απόκριση συχνότητας της δοκού στην περιοχή των υπερήχων από khz μέχρι 6kHz. Η σάρωση δεν επεκτάθηκε άνω των 6kHz εξαιτίας πτώσης της απόδοσης του πιεζοηλεκτρικού στοιχείου PZT του πομπού υπερήχων. Στην συχνότητα των 31.34kHz συνδυάστηκαν η ύπαρξη συντονισμού της δοκού, οι περιορισμένες απώλειες διάδοσης του υπερήχου και η ελάχιστη πτώση της απόδοσης του πιεζοηλεκτρικού στοιχείου. Για αυτούς τους λόγους επιλέχθηκε η f = 31.34kHz ως συχνότητα διέγερσης των υπερηχητικών κυμάτων. Τα πλάτη των διεγέρσεων μέτρηση, έτσι ώστε οι αποκρίσεις των διεγέρσεων V και V ρυθμίζονταν κατάλληλα σε κάθε A και A στις συχνότητες διέγερσης f και f αντίστοιχα, να είναι σταθερές και ίσες με τις αποκρίσεις στην μέτρηση αναφοράς της δοκού χωρίς ρωγμή. Για την συχνότητα f το πλάτος της διέγερσης ήταν V = 611.mVpp με μετρούμενη απόκριση A = 3. m/ s. Το πλάτος αυτό ορίστηκε ως το πλάτος αναφοράς, δηλαδή A = db. Για την συχνότητα f το πλάτος της διέγερσης ήταν V = 34.7mVpp με αντίστοιχο πλάτος ταλάντωσης A = 56. m/ s. Ως δείκτης βλάβης (DI) σε db της δοκού χρησιμοποιήθηκε ο λόγος του μέσου πλάτους των πλευρικών συχνοτήτων ως προς την κύρια συχνότητα, δηλαδή 11

128 DI 1 A log A + log = + A A. (3.35) Όπου A είναι το πλάτος της απόκρισης στη συχνότητα f = 31.34kHz, είναι το πλάτος της απόκρισης στην πρώτη άνω πλευρική συχνότητα f + = f A + + f = 31.34kHz+9Hz=31.396kHz. Ομοίως, A είναι το πλάτος της απόκρισης στην πρώτη κάτω πλευρική συχνότητα f = f - f =31.1kHz. O δείκτης βλάβης της δοκού μετρήθηκε πειραματικά και υπολογίστηκε για όλες της δοκούς με ρωγμή αλλά και για την δοκό αναφοράς. Οι μετρήσεις των αποκρίσεων έγιναν από τα φάσματα τους, εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Fast Fourier Transform (FFT) στις χρονοσειρές των αποκρίσεων για κάθε περίπτωση. Για να περιορισθεί το φαινόμενο της φασματικής διαρροής (spectrum leakage) χρησιμοποιήθηκε παράθυρο εξομάλυνσης (smoothing window). Ο τύπος του παραθύρου που επιλέγηκε είναι ο flat top, ο οποίος παρέχει την καλύτερη ακρίβεια στην μέτρηση των πλατών στο φάσμα. Στο σχήμα 3.44 παρουσιάζονται οι αποκρίσεις στον χρόνο, για την δοκό χωρίς ρωγμή αλλά και για τις δοκούς με ρωγμές. Εξετάζοντας τις χρονοσειρές για τις δοκούς με σχετικά βάθη ρωγμών a 1 = 7% και a = %, δεν παρατηρείται διαμόρφωση στο πλάτος του υπέρηχου διαμόρφωση του πλάτους της f από την χαμηλή συχνότητα f. Η f γίνεται εμφανής μόνο για την περίπτωση της δοκού με σχετικό βάθος a = 45%. Οι παραπάνω διαπιστώσεις αναδεικνύουν για ακόμη μια φορά το μειονέκτημα των μεθόδων ανάλυσης στο πεδίο του χρόνου, στην ανίχνευση μικρών βλαβών. 1

129 α Amplitude [m/s ] α 1 α Time [ms] α 3 Σχήμα 3.44 Χρονοσειρές των αποκρίσεων τις δοκούς χωρίς ρωγμή a, με ρωγμές a 1 = 7%, a = %, και a 3 = 45%. Στα σχήματα 3.45 μέχρι 3.48, παρουσιάζονται τα φάσματα των αποκρίσεων από τις μετρήσεις στη δοκό χωρίς ρωγμή a = %, αλλά και για της ρωγμές με βάθη a 1 = 7%, a = % και a 3 = 45%. f α -1 Response [db] Frequency [khz] Σχήμα 3.45 Φάσμα της απόκρισης για την δοκό χωρίς ρωγμή a. 13

130 f α 1-1 Response [db] f -f f +f Frequency [khz] Σχήμα 3.46 Φάσμα της απόκρισης για την δοκό με ρωγμή a 1 =7%. f α -1 Response [db] f -f f +f Frequency [khz] Σχήμα 3.47 Φάσμα της απόκρισης για την δοκό με ρωγμή a =%. 14

131 f α 3-1 f -f f +f Response [db] f -3f f -f f +f f +3f Frequency [khz] Σχήμα 3.48 Φάσμα της απόκρισης για την δοκό με ρωγμή a 3 =45%. Στο σχήμα 3.45 που παρουσιάζεται το φάσμα της απόκρισης για την δοκό χωρίς ρωγμή δεν εμφανίζονται πλευρικές συχνότητες και παρατηρείται μόνο η συχνότητα του υπέρηχου f. Στο σχήμα 3.46 φαίνεται το φάσμα για δοκό με ρωγμή a 1 = 7%. Στην περίπτωση αυτή εμφανίζονται οι πρώτες πλευρικές συχνότητες με πλάτη αποκρίσεων A + = 5.4dB και A = 53.9dB. Στο φάσμα του σχήματος 3.47 παρατηρήθηκε ότι για τη δοκό με ρωγμή a = % το πλάτος των πλευρικών συχνοτήτων αυξήθηκε κατά 1dB περίπου, με πλάτη A + = 41.dB και A = 43.7dB. Για την περίπτωση της δοκού με ρωγμή a 3 = 45% παρατηρήθηκε, στο φάσμα της απόκρισης του σχήματος 3.48, η εμφάνιση όχι μόνο των πρώτων πλευρικών συχνοτήτων f ± f άλλα και ανώτερων τάξεων δηλαδή f ± f, f ± 3 f, κ.ο.κ. Επίσης, παρατηρήθηκε σημαντική αύξηση κατά db περίπου στο πλάτος των πρώτων πλευρικών συχνοτήτων με τιμές A + = 13.dB και A = 13.dB. Στο σχήμα 3.49 παρουσιάζεται η μεταβολή του δείκτη βλάβης (DI) της δοκού για τις περιπτώσεις χωρίς ρωγμή αλλά και με ρωγμές. 15

132 DI [db] α [%] Σχήμα 3.49 Μεταβολή του δείκτη βλάβης (DI) της δοκού για διαφορετικά σχετικά βάθη ρωγμής a. Το συνολικό εύρος μεταβολής του DI είναι 46dB και η εξάρτηση του από το σχετικό βάθος της ρωγμής είναι γραμμική. Η αύξηση του DI της δοκού για μια σχετικά μικρή ρωγμή της τάξης του 7% είναι 6.3dB. Η μεταβολή αυτή σε πραγματικές συνθήκες εφαρμογής είναι εύκολα και με ακρίβεια μετρήσιμη. Στη ακραία περίπτωση όπου η ρωγμή έχει σχετικό βάθος a 3 = 45%, η μη γραμμική συμπεριφορά είναι πολύ εμφανής με αποτέλεσμα ο DI να είναι μόλις 13dB χαμηλότερος από το πλάτος της διέγερσης A. 16

133 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4. Ανίχνευση μικρορωγμών σε οστά 4.1. Φυσιολογία του ανθρώπινου οστού Το ανθρώπινο οστό είναι ένα σύνθετο, ανομοιογενές υλικό το οποίο, όπως όλα τα υλικά, είναι δυνατόν να εμφανίσει καταστροφές στη δομή του σε επίπεδο μικροκλίμακας. Η ανίχνευση μικρο-ρωγμών στα οστά θεωρείται σημαντική παράμετρος για τον προσδιορισμό πιθανού κατάγματος και γενικότερα για την εκτίμηση της ποιότητας των οστών. Στην καθημερινή κλινική πράξη, η πιο διαδεδομένη τεχνική για την μέτρηση της οστικής πυκνότητας (Bone Mineral Density BMD) και εκτίμηση της ποιότητας των οστών, είναι η DXA (Dual Energy X-ray Absorptiometry). Όμως, η μείωση της οστικής πυκνότητας δεν συνδέεται άμεσα με την εμφάνιση οστεοπόρωσης και λαμβάνοντας υπ όψιν μόνο την οστική πυκνότητα, δεν αρκεί για να έχουμε ασφαλή και συνολική εκτίμηση της οστικής αντοχής. Σύγχρονες κλινικές έρευνες έχουν δείξει ότι οι δομικές ιδιότητες καθώς και οι ιδιότητες της ύλης των οστών που χαρακτηρίζονται στο σύνολο του με το όρο ποιότητα των οστών, φαίνεται να καθορίζουν την αντοχή τους σε κατάγματα [8]. Στις δομικές ιδιότητες του οστού ανήκουν η γεωμετρία του καθώς και η μικροαρχιτεκτονική του. Οι ιδιότητες της οστικής ύλης αναφέρονται στη σύνθεσή της σε κολλαγόνο και μέταλλα καθώς και στον αριθμό, το μέγεθος και την θέση των μικροκαταστροφών (μικρο-ρωγμών) που παρατηρούνται στα οστά [81]. Η κατανομή της οστικής μάζας εξαρτάται από την γεωμετρία του οστού και συσχετίζεται άμεσα με την ευθραυστότητά του. Πρέπει να τονισθεί ότι μια πιθανή τροποποίηση στη κατανομή της οστικής μάζας μπορεί να προκαλέσει ελάττωση της μηχανική αντοχής του, χωρίς όμως να συνδέεται απόλυτα με αντίστοιχη μείωση της οστικής πυκνότητας κατά την κλινική εξέταση [8]. Ο όρος μικροαρχιτεκτονική του οστού περιλαμβάνει την αρχιτεκτονική των δοκίδων, δηλαδή το σχήμα, τον προσανατολισμό, το πάχος και το βαθμό συνδεσιμότητας. Επίσης, συμπεριλαμβάνεται το σπογγώδες του φλοιού, το πάχος του και η ακεραιότητα του. Η μικροαρχιτεκτονική έχει σημαντική επίδραση στην οστική 17

134 αντοχή [83] και δεν εκτιμάται από μετρήσεις οστικής πυκνότητας. Οι ιδιότητες της ύλης αποτελούν επίσης σημαντική παράμετρο της οστικής αντοχής. Ο οστίτης ιστός αποτελείται κυρίως από κρυστάλλους ανόργανου υδροξυαπατίτη που επιμεταλλώνουν ένα δίκτυο οργανικού κολλαγόνου τύπου Ι (εικόνα 4.1). Ο βαθμός επιμετάλλωσης, το μέγεθος των κρυστάλλων, η αναλογία μετάλλου προς την έκταση του δικτύου κολλαγόνου είναι όλες σημαντικές παράμετροι για την οστική αντοχή [84-86]. (α) (β) Εικόνα 4.1 Τμήμα σπονδύλου επεξεργασμένο χημικά α) Με χρήση διαλύματος διχλωρομεθανόλης έχει αφαιρεθεί το κολλαγόνο και έχει παραμείνει ανέπαφος ο οστίτης ιστός. β) Με χρήση υδροχλωρικού οξέως έχει αφαιρεθεί ο οστίτης ιστός και έχει παραμείνει ανέπαφο το κολλαγόνο. Η οστική πυκνομετρία εκτιμά το βαθμό επιμετάλλωσης του οστού, χωρίς ωστόσο να μπορεί να ξεχωρίσει αν η ελάττωση της οστικής πυκνότητας είναι αποτέλεσμα μείωσης της οστικής μάζας μαζί με το περιεχόμενο της σε μέταλλα ή η οστική εναλλαγή είναι υψηλή και αντικαθιστά παλαιό επιμεταλλωμένο σε μεγαλύτερο βαθμό οστό με νέο λιγότερο επιμεταλλωμένο οστό. Και η μέθοδος αυτή επομένως έχει μειονεκτήματα καθώς η οστική πυκνότητα και ο βαθμός επιμετάλλωσης δεν είναι αλληλοεξαρτώμενα [87]. Το κολλαγόνο είναι βασικό δομικό συστατικό του οστού. Η ελάττωση του αριθμού των δεσμών κολλαγόνου στους οστεοπορωτικούς ασθενείς μπορεί να εξηγήσει γιατί αυτοί υφίστανται περισσότερα κατάγματα αν και μπορεί να έχουν την ίδια μάζα σπογγώδους οστού σε σχέση με υγιή άτομα [88, 89]. Για την εκτίμηση του δικτύου κολλαγόνου έχουν αναπτυχθεί κάποιες 18

135 απεικονιστικοί μέθοδοι (transformed infrared spectroscopy, SASX) αλλά εφαρμόζονται μόνο σε ex vivo οστικά τεμάχια [9]. (α) (β) Εικόνα 4. Απεικόνιση δομής οστού με χρήση χαμηλής ισχύος SEM (Scanning Electron Microscope) α) Μικροαρχιτεκτονική φυσιολογικού οστού. β) Μικροαρχιτεκτονική οστού με οστεοπόρωση. Ο ρόλος της συσσώρευσης μικρο-ρωγμών στη θραύση των οστών έχει προσελκύσει τα τελευταία χρόνια ιδιαίτερο ενδιαφέρον και θεωρείται ένας από τους βασικούς λόγους πρόκλησης καταγμάτων. Εμφανίζονται είτε ως μικρο-ρωγμές σε οστικές δοκίδες είτε ως θραύση δοκίδων (εικόνα 4.) και προέρχονται από την καθημερινά επαναλαμβανόμενη κόπωση του ανθρώπινου σκελετού [91, 9]. Πολλές έρευνες έχουν δείξει ισχυρή συσχέτιση συσσώρευσης μικρο-ρωγμών και καταγμάτων [45, 46]. Συνεπώς, ο ακριβής ρόλος των μικρο-ρωγμών στην ποιότητα και την αντοχή των οστών αποτελεί σήμερα αντικείμενο εντατικής έρευνας. 4.. Διάγνωση της ποιότητας των οστών Εκτιμάται ότι, αν και οι γνώσεις μας αναφορικά με την οστική αντοχή αυξάνονται τα τελευταία χρόνια, η διαγνωστική προσέγγιση της οστικής ποιότητας δεν έχει προσφέρει τα αναμενόμενα. Η ημιτελής εκτίμηση της οστικής ποιότητας 19

136 στην κλινική πράξη δημιουργεί αυξημένες ανάγκες ανάπτυξης νέων διαγνωστικών τεχνικών κυρίως προς την κατεύθυνση της μικροαρχιτεκτονικής των οστών. Σήμερα, η διάγνωση συσσώρευσης μικρο-ρωγμών στα οστά μπορεί να γίνει κυρίως μέσω ιστολογικών εξετάσεων οι οποίες είναι δύσκολες και επεμβατικές. Η μικρο-υπολογιστική τομογραφία [93] (micro-ct) καθώς και η μέθοδος PET [94] (Positron Emission Tomography) δείχνουν να είναι πολλά υποσχόμενες τεχνικές στη διάγνωση μικρο-ρωγμών στα οστά. Οι τεχνικές αυτές όμως δεν είναι εύκολα διαθέσιμες, είναι ιδιαίτερα δαπανηρές και ο ασθενής δέχεται ακτινοβολία. Ως εναλλακτική λύση στις παραπάνω τεχνικές αναπτύχθηκε ο ποσοτικός υπέρηχος QUS (Quantitative Ultrasound) [95, 96]. Ο υπέρηχος είναι ελαστικό κύμα και επομένως κατά την διάδοση και την αλληλεπίδρασή του με τα οστά μπορεί να δώσει πληροφορίες για την δομή τους και την κατάστασή τους. Οι τεχνικές QUS βασίζονται στην μέτρηση τόσο της απορρόφησης του υπέρηχου από τα οστά, που είναι συνάρτηση της συχνότητας, όσο και στην μέτρηση της ταχύτητας διάδοσης του υπέρηχου [97, 98]. Παρά την σημαντική πρόοδο που έχει σημειωθεί, ο ποιοτικός υπέρηχος δεν φαίνεται να έχει την διακριτική ικανότητα και την ακρίβεια που απαιτείται για αξιόπιστη εκτίμηση της ποιότητας των οστών. Ο Muller et al. [49, 99] ανέπτυξαν μία διαφορετική τεχνική, την Φασματοσκοπία Συντονισμού Μη Γραμμικού Υπέρηχου (Nonlinear Resonant Ultrasound Spectroscopy), για την εκτίμηση των συσσωρευμένων μικρο-ρωγμών στα οστά. Σε δοκίμια συμπαγούς οστού, που υπέστησαν προοδευτική ελεγχόμενη μηχανική καταπόνηση έτσι ώστε να προκληθεί συσσώρευση μικρο-ρωγμών, μέτρησαν την μη γραμμικότητα των δοκιμίων μέσω του συντελεστή υστέρησης και όχι των αρμονικών και την συσχέτισαν με την ύπαρξη μικρο-ρωγμών. Απέδειξαν ότι με την αύξηση της παρουσίας μικρο-ρωγμών αυξάνεται η μη γραμμική συμπεριφορά των οστών. Η συγκεκριμένη τεχνική απαιτεί δοκίμια οστών γνωστής γεωμετρίας, ακριβή μέτρηση ιδιοσυχνοτήτων με σύστημα Laser και δεν προσφέρεται για in vivo εφαρμογές. Με βάση τα παραπάνω, σήμερα γίνεται διεθνώς προσπάθεια εφαρμογής των τεχνικών μη γραμμικού υπέρηχου για την διάγνωση μικρο-ρωγμών στα οστά. Μη γραμμικές ακουστικές τεχνικές υπερήχων έχουν εφαρμοσθεί για την διάγνωση μικρορωγμών σε υλικά και κατασκευές με μεγάλη επιτυχία [31, 4]. Υλικά που περιέχουν ανομoιογένειες ή ατέλειες εμφανίζουν έντονη μη γραμμική συμπεριφορά. Ιδιαίτερα έντονα μη γραμμικά φαινόμενα εμφανίζουν υλικά με ρωγμές. Συγκεκριμένα, στα 13

137 υλικά αυτά εμφανίζονται ανώτερες αρμονικές καθώς και διαμόρφωση ενός κύματος υψηλής συχνότητας (υπέρηχου) που διαδίδεται στο υλικό, από ταλάντωση χαμηλής συχνότητας. Η καταγραφή των φαινομένων αυτών αποτελεί την βάση για την ανάπτυξη τεχνικών μη καταστρεπτικού ελέγχου. Στην κατεύθυνση αυτή, ο Εngan et al. [51] ανέπτυξαν μία διάταξη διάγνωσης της οστεοπόρωσης βασισμένη σε μη γραμμικό υπέρηχο. Βυθίζοντας την πτέρνα των ασθενών σε λουτρό ύδατος και αφήνοντας να διαδοθεί υπέρηχος, προσπάθησαν να μετρήσουν τις αρμονικές που δημιουργούνται και να συσχετίσουν το πλάτος τους με τον βαθμό οστεοπόρωσης. Η προσπάθειά τους, αν και ενδιαφέρουσα, δεν έδωσε αξιόπιστα αποτελέσματα συσχέτισης πλάτους αρμονικών οστεοπόρωσης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η μέτρηση των αρμονικών είναι δύσκολη και επηρεάζεται σημαντικά από την διάταξη μέτρησης που εισάγει αρμονικές που δεν οφείλονται στην μη γραμμικότητα του υλικού που εξετάζεται. Επιπλέον, οι υψηλές συχνότητες υπερήχων που χρησιμοποιήθηκαν παρουσιάζουν σημαντική απορρόφηση με αποτέλεσμα την λήψη ασθενών και κατά συνέπεια αναξιόπιστων σημάτων. Επίσης, ο Cleveland et al. [48] έκαναν προσομοιώσεις για σπογγώδη και συμπαγή οστά επιδιώκοντας την εκτίμηση των μη γραμμικών ιδιοτήτων τους. Για τη μοντελοποίηση του οστού εφάρμοσαν την εξίσωση ΚΖΚ (Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov) και συμπέραναν ότι η ανίχνευση σημάτων μη γραμμικής διαμόρφωσης μπορεί να είναι δυνατή σε σπογγώδες οστό αλλά όχι σε συμπαγές εξαιτίας της έντονης εξασθένησης του. Πρόσφατα, o Ζαχαρίας et al. [1] πρότειναν μία εναλλακτική τεχνική διάγνωσης μικρο-ρωγμών στα οστά βασισμένη στην διαμόρφωση ενός υπέρηχου από ταλάντωση χαμηλής συχνότητας που εφαρμόζεται απευθείας στα οστά. Με την βοήθεια μετρήσεων σε δείγματα σπογγώδους οστού της κεφαλής του μηριαίου διαφορετικού βαθμού οστεοπόρωσης, έδειξαν ότι το πλάτος της διαμόρφωσης αυξάνει με τον βαθμό οστεοπόρωσης και μπορεί να αποτελέσει ένα αξιόπιστο δείκτη της ποιότητας των οστών. Επιπλέον, παρατηρήθηκε μείωση της συχνότητας συντονισμού f και του συντελεστή ποιότητας Q για τα δείγματα με οστεοπόρωση. Η προτεινόμενη τεχνική είναι μη επεμβατική, παρουσιάζει αυξημένη ευαισθησία και είναι κατάλληλη για in vivo εφαρμογές. 131

138 4.3. Μη γραμμική διαμόρφωση σε ανθρώπινο οστό συχνότητας Η μη γραμμική διαμόρφωση βασίζεται στην αρχή ότι ένας υπέρηχος υψηλής f που διαδίδεται σε ένα υλικό με μικρο-ρωγμές, διαμορφώνεται κατά πλάτος από μια ταλάντωση χαμηλής συχνότητας f. Η διαμόρφωση δημιουργείται από τη μη γραμμική διάδοση των κυμάτων στο οστό και εμφανίζεται στο φάσμα της απόκρισης με τη μορφή πλευρικών συχνοτήτων γύρω από την f. Το πλάτος διέγερσης V της χαμηλής συχνότητας ταλάντωσης f πρέπει να είναι έντονο για να ενεργοποιήσει τις ενδογενείς μη γραμμικότητες των μικρο-ρωγμών. Επιπλέον, κατά την διάρκεια των πειραμάτων, το μέγιστο πλάτος παραμόρφωσης που δέχθηκε 5 το οστό ήταν ε max = 1, η τιμή αυτή είναι εντός το ορίων για ασφαλή έκθεση και δεν θεωρείται επιβλαβής για τη φυσιολογία του οστού. Το κύμα υψηλής συχνότητας, το οποίο διαδίδεται στο δοκίμιο, αλληλεπιδρά με την πηγή της μη γραμμικότητας, μετέπειτα λαμβάνεται, καταγράφεται η χρονοσειρά του και επεξεργάζεται. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό FFT στην χρονοσειρά της απόκρισης, παρατηρούμε ότι στο φάσμα της απόκρισης εμφανίζεται η συχνότητα του υπερήχου f αλλά και οι πλευρικές συχνότητες f nf ±, όπου n ακέραιος. Φαινόμενα μη γραμμικής διαμόρφωσης έχουν παρατηρηθεί σε αρκετές αφαρμογές. Ο Ekimov et al. [3] χρησιμοποίησαν την διαμόρφωση στρεπτικών κυμάτων υψηλής συχνότητας από χαμηλή συχνότητα ταλάντωσης για την ανίχνευση ρωγμών σε δοκό. Ο Zaitsev et al. [4] παρουσίασαν εφαρμογές της μη γραμμικής διαμόρφωσης για την ανίχνευση ρωγμών σε κατασκευές και μελέτησαν τις πιθανές πηγές μη γραμμικοτητων σε κατασκευές με βλάβες. Οι Donskoy και Sutin [31] χρησιμοποίησαν τη μη γραμμική διαμόρφωση υπερήχου για την διερεύνηση ύπαρξης ρωγμής, αποκόλλησης επιφανειών ή κακής ποιότητας συγκόλλησης. Αν και υπάρχουν διάφορες πρακτικές εφαρμογές της μη γραμμικής διαμόρφωσης, δεν έχει ακόμα διασαφηνιστεί αρκετά ο φυσικός μηχανισμός των μη γραμμικών φαινόμενων που τα δημιουργεί. Μη γραμμικά φαινόμενα τα οποία είναι αρκετά όμοια μεταξύ τους, είναι πιθανόν να οφείλονται σε αρκετά διαφορετικούς φυσικούς μηχανισμούς μη γραμμικοτήτων. Απαιτείται περαιτέρω διερεύνηση για την ανάδειξη των πραγματικών μηχανισμών διαμόρφωσης, έτσι ώστε να βελτιστοποιηθούν οι πρακτικές εφαρμογές των μη γραμμικών φαινόμενων για την 13

139 εκτίμηση βλαβών. Πρέπει να επισημανθεί ότι αν και τα μη γραμμικά φαινόμενα γίνονται πιο έντονα εξαιτίας της ύπαρξης των μικρο-ρωγμών, τα πλάτη των πλευρικών συχνοτήτων που δημιουργούνται από τις μη γραμμικότητες είναι αρκετά μικρότερα σε σχέση με το πλάτος της διέγερσης. Γι αυτό το λόγο χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή ώστε τα μη γραμμικά φαινόμενα που οφείλονται στους μηχανισμούς διάδοσης να μην υπερκαλύπτονται από τις μη γραμμικότητες που εισάγονται από τα ηλεκτρικά κυκλώματα και αισθητήρες. Σε αντίθεση με τις μεθόδους που βασίζονται στην μέτρηση των αρμονικών συχνοτήτων, οι μέθοδοι που στηρίζονται σε φαινόμενα μη γραμμικής διαμόρφωσης είναι αρκετά ανθεκτικές στον επηρεασμό τους από τις μη γραμμικότητες των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Γι αυτό το λόγο η τεχνική της μη γραμμικής διαμόρφωσης έχει ένα σημαντικό πλεονέκτημα Περιγραφή πειραματικής διάταξης Για τα πειράματα χρησιμοποιήθηκαν δείγματα οστού που προέρχονταν από κεφαλές ανθρώπινου ισχίου, οι οποίες είχαν αφαιρεθεί κατά την χειρουργική επέμβαση ολικής αρθροπλαστικής του ισχίου. Συγκεκριμένα, από το κέντρο της κεφαλής κόπηκαν με δίσκο κοπής κυβικά δείγμα σπογγώδους οστού. Για να αποφευχθεί η βλάβη του οστού από την εκλυόμενη θερμότητα λόγω κοπής, επιλέχθηκε η ταχύτητα κοπής να είναι αρκετά μικρή. Τα δείγματα επεξεργάστηκαν χημικά για να αφαιρεθεί ο μυελός και οι μαλακοί ιστοί. Για την απομάκρυνσή τους από το οστό, τα δείγματα εμβαπτίστηκαν σε διάλυμα διχλωρομεθανόλης για τρεις ημέρες και στη συνέχεια καθαρίστηκαν με πεπιεσμένο αέρα. Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε φαίνεται στο σχήμα

140 Προενισχυτής υπερήχων Πομπός υπερήχων Δέκτης υπερήχων Οστό Shaker V () t V t V () t () Αναλυτής φάσματος Ενισχυτής ισχύος Γεννήτριες Σχήμα 4.1 Πειραματική διάταξη μη γραμμικής διαμόρφωσης σε οστά Συγκεκριμένα, για την ταλάντωση δειγμάτων από οστά χρησιμοποιήθηκε το shaker 489 της εταιρίας Bruel & Kjaer, το οποίο προορίζεται για την ταλάντωση μικρών δοκιμίων. Είναι ικανό να δημιουργεί ταλαντώσεις σε ένα εύρος συχνοτήτων από 1Hz μέχρι khz και για μέγιστο πλάτος ταλάντωσης της κεφαλή διέγερσης ± 4mm. Το μέγιστο βάρος φορτίου που είναι δυνατόν να ταλαντωθεί είναι.85kg, η μέγιστη δύναμη είναι 6Ν και η μέγιστη επιτάχυνση 736 m/ s. Η βάση του shaker ήταν στερεωμένη σε μία πλάκα από Plexiglas ΤΜ η οποία έφερε 5 μεταλλικές πλάκες διαστάσεων mm και συνολικού βάρους 15kg. Για την προσαρμογή του δείγματος στον πομπό των υπερήχων, κατασκευάστηκε ένας λεπτός δίσκος από ανοξείδωτο χάλυβα με πάχος.mm και διάμετρο 15mm. Στην μια πλευρά του δίσκου ήταν το οστό συγκολλημένο με κυανοακρυλική κόλλα ενώ η άλλη πλευρά διέθετε κατάλληλο σπείρωμα και ήταν βιδωμένη στην μπροστινή όψη του πομπού υπερήχων. Η πίσω όψη του πομπού υπερήχων ήταν βιδωμένη στην κεφαλή διέγερσης του shaker (εικόνα 4.3). 134

141 Εικόνα 4.3 Πειραματική διάταξη μη γραμμική διαμόρφωσης σε οστό Το στοιχείο που χρησιμοποιήθηκε ως πομπός υπερήχων ήταν το 4371 της εταιρίας Bruel & Kjaer. Το σώμα του πομπού υπερήχου ήταν κατασκευασμένο από ανοξείδωτο χάλυβα και η διάμετρος ήταν d = 14mm με μήκος = 19mm. Για ταχύτητα διάδοσης διαμηκών κυμάτων του ανοξείδωτου χάλυβα v = 54 m/ s, η συχνότητα στην οποία το μήκος = +.mm = 19.mm γίνεται μεγαλύτερο λ από το είναι fλ /1 = 8.15kHz. Για συχνότητες μικρότερες από 8.15kHz η 1 παρεμβολή του σώματος του πομπού υπέρηχων δεν επηρεάζει την ταλάντωση της χαμηλής συχνότητας. Οπότε, με αυτό τον τρόπο διέρχεται ανεπηρέαστη η χαμηλή συχνότητα διέγερσης f μέσω του σώματος του πομπού υπερήχων και στην κάτω πλευρά του οστού εφαρμόζεται η υπέρθεση των δύο διεγέρσεων f + f. Ο πομπός των υπερήχων ήταν στο κέντρο της πλευράς του οστού και κάλυπτε το μισό της επιφάνειας του, με αποτέλεσμα η διέγερση να θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφη παρά τοπική. Στην άνω πλευρά του δείγματος του οστού ήταν συγκολλημένο με κυανοακρυλική κόλλα το επιταχυνσιομετρο μινιατούρα 4374 της εταίρας Bruel & Kjaer, το οποίο χρησιμοποιήθηκε για την λήψη των κυμάτων. Η έξοδος του επιταχυνσιόμετρου συνδέθηκε στην είσοδο του προενισχυτή λήψης Nexus ΤΜ της εταιρίας Bruel & Kjaer όπου ενισχύθηκε, έτσι ώστε η απόκριση του υπερήχου να απέχει αρκετά (περισσότερο από 7dB) από τη στάθμη θορύβου μέτρησης και ικανοποιητική στάθμη για καταγραφή από την κάρτα δειγματοληψίας. Για τις L 135