Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Μοντελοποίηση Συνεχούς Μέσου Πρόβλημα/Ερώτημα Μοντελοποίηση Ανάλυση απόκρισης συχνότητας Απόκριση στο πεδίο συχνότητας Μοντέλο Κατάστρωση Δυν. Εξισώσεων Δυναμικές εξισώσεις Ιδιοανυσματική Ανάλυση Αναλυτικός Υπολ. Απόκρισης Απόκριση στο πεδίο χρόνου Προσομοίωση

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή στην Μοντελοποίηση Συνεχούς Μέσου Το Τρισδιάστατο Πρόβλημα Ελαστικότητας Μονοδιάστατα Μοντέλα 2 ης και 4 ης Τάξης Πρόβλημα Αρχικών και Συνοριακών Τιμών σε ΜΔΕ Αναλυτικές Λύσεις ΠΑΣΣ

5 Εκεί που τα απλά μοντέλα διακριτών στοιχείων αποτυγχάνουν Εισαγωγή στην Μοντελοποίηση Συνεχούς Μέσου

6 Έως Τώρα: Μοντελοποίηση Με Διακριτά Στοιχεία Στα μοντέλα διακριτών στοιχείων Η κινητική Τ q και η δυναμική ενέργεια U(q) υπολογίζεται ως συνάρτηση των Β.Ε. q t (πεπερασμένου αριθμού Ν) μέσω πεπερασμένου αριθμού στοιχείων αδράνειας, ελαστικότητας, απόσβεσης, εξωτερικής διέγερσης Οι δυναμικές εξισώσεις είναι συστήματα ΣΔΕ ως προς τους q x F(t) Μ g q = x θ θ m

7 Παραδοχές σε Μοντελοποίηση Με Διακριτά Στοιχεία Τα μοντέλα διακριτών στοιχείων βασίζονται σε παραδοχές Σημειακές μάζες (αμελούνται διαστάσεις (περ. αδράνεια) και ελαστικότητα) Στερεά σώματα (αμελείται ελαστικότητα) «Μικρές» μάζες αμελώνται εις βάρος μεγάλων Ιδανικά ελατήρια (αμελείται μάζα, περιστρ. αδράνεια) «Στυβαρά» εξαρτήματα μοντελοποιούνται ως άκαμπτα Τριβές μοντελοποιούνται σαν γραμμικοί αποσβεστήρες «Μικρές» τριβές αμελώνται εις βάρος μεγάλων 7

8 Περιορισμοί Μοντελοποίησης Με Διακριτά Στοιχεία Πολλές φορές η μοντελοποίηση με διακριτά στοιχεία δεν είναι αρκετή Πολύπλοκα συστήματα όπου αδράνεια, ελαστικότητα, απόσβεση, διεγέρσεις κατανέμονται στον χώρο. Δεν υπάρχει προφανής επιλογή βέλτιστων/κατάλληλων διακριτών στοιχείων Υψηλές απαιτήσεις για ακρίβεια, λεπτομερή ανάλυση Υψηλές ταχύτητες Απαιτήσεις για κίνηση πολύ υψηλής ακρίβειας

9 Μοντελοποίηση Συστημάτων Συνεχούς Μέσου Περιγράφουν συστήματα όπου τα στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (αδράνεια, ελαστικότητα), απόσβεσης, και εξωτερικής διέγερσης είναι κατανεμημένα στο χώρο Οι βαθμοί ελευθερίας Β.Ε. είναι συναρτήσεις του χρόνου t & του χώρου r q t, r Η δυναμική περιγράφεται μέσω Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ)

10 Παράδειγμα 1: Μηχανικές Κατασκευές Σε μια τυχαία κατασκευή, συνήθως, η αδράνεια, η ελαστικότητα, η απόσβεση και οι εξωτερικές δυνάμεις είναι κατανεμμημένες στο χώρο Παράδειγμα: φτερό αεροπλάνου Τέτοιες κατασκευές δεν μπορούν να περιγραφούν με ακρίβεια μέσω μοντέλων διακριτών στοιχείων H δυναμική περιγράφεται μέσω των ΜΔΕ των νόμων ελαστικότητας Ταλαντώσεις, συντονισμός

11 Παράδειγμα 2: Ροή Ρευστού σε Mακρύ Αγωγό Μοντέλα διακριτώ στοιχείων: η ροή σε ένα αγωγό έχει παντού την ίδια μέση ταχύτητα Αυτό δεν ισχύει σε μακρείς αγωγούς Καταναμημένη αδράνεια Κατανεμημένη απόσβεση Δυναμική περιγράφεται μέσω των ΜΔΕ των εξισώσεων Navier-Stokes Υδραυλικό πλήγμα (ταλαντώσεις ροής)

12 Το πιο γενικό (και δύσκολο) πρόβλημα Το Τρισδιάστατο Πρόβλημα Ελαστικότητας

13 Εξισώσεις Ελαστικότητας Περιγράφουν ισορροπία δυνάμεων σε στερεό σώμα 3 διαστάσεις: Ισορροπία δυνάμεων ρ 2 u(r, t) t 2 σ = f r, t αδράνεια ελαστικότητα διέγερση Βαθμοί ελευθερίας: διάνυσμα μετατόπισης u r, t Σχέσεις τάσεων-τροπών: ε = ε( u) Καταστατικές εξισώσεις υλικού: σ = σ(ε) Λύνονται αναλυτικά μόνο για απλά προβλήματα Οι τάσεις σ και οι τροπές ε είναι τανυστές. Οι μετατοπίσεις u είναι διανύσματα

14 Απλοποιημένα Προβλήματα Ελαστικότητας Υπό προϋποθέσεις, οι 3D εξισώσεις ελαστικότητας μπορούν να απλοποιηθούν σε πιο απλά προβλήματα Πλήρες 3D πρόβλημα ελαστικότητας Δυναμική Μηχανών 2D Μοντέλα 1D Μοντέλα Plain stress/strain Αξονοσυμμετρικά συστήματα Μεμβράνες Κάμψη δοκού Εφελκυσμός άξονα Στρέψη ατράκτου Παραμόρφωση χορδής

15 Χρήσιμες Απλοποιήσεις Μονοδιάστατα Μοντέλα 2 ης και 4 ης Τάξης

16 Απλοποίηση: Μονοδιάστατα Μοντέλα Μονοδιάστατα (1D) μοντέλα Σε γραμμικούς φορείς (δοκάρια, άξονες, χορδές) μήκους Σε κάθε διατομή του φορέα (ισοδύναμα στην θέση x, όπου 0 x ), οι μετατοπίσεις περιγράφονται με 1 βαθμό ελευθερίας q(x, t) Βλέπετε μαθήματα «μηχανικής» x

17 Απλοποίηση: 1D Μοντέλα Είδη 1D μοντέλων σε γραμμικούς φορείς Εξαρτώνται από είδος της φόρτισης/μετατόπισης που κυριαρχεί Β.Ε. q(x, t) 2 ης Τάξης 4 ης Τάξης Στρέψη ατράκτου Εφελκυσμός άξονα Παραμόρφωση χορδής Κάμψη δοκού θ x (x, t) u(x, t) w(x, t) w(x, t) x x θ x (x, t) u(x, t) w(x, t) w(x, t)

18 Απλοποίηση: 1D Μοντέλα 2 ης Τάξης Γενική μορφή ΜΔΕ: μ 2 q t 2 x q κ x = f x, t αδράνεια ελαστικότητα διέγερση ΜΔΕ μετάδοσης κύματος, ταχύτητα κύμματος c = μ κ Στρέψη ατράκτου Εφελκυσμός άξονα Παραμόρφωση χορδής B.E. q(x, t) Γωνία στρέψης θ x (x, t) Αξονική μετατόπιση u(x, t) Εγκάρσια μετατόπιση w(x, t) Αδράνεια ανά μήκος μ Ελαστικοτητα ανά μηκος κ Διέγερση ανά μήκος f x, t Καταστατική εξίσωση υλικού ρ I P ρ Α ρ Α G J Ε Α S Α Ροπή στρέψης/μήκος Διαμήκη δύναμη/μήκος Εγκάρσια δύναμη/μήκος M t = G J θ x N = A E u x N = S A w x

19 Απλοποίηση: 1D Μοντέλα 4 ης Τάξης Κάμψη δοκού Euler-Bernoulli μ 2 q t x 2 κ 2 q x 2 = f x, t μ = ρ Α κ = E I Βαθμός ελευθερίας: εγκάρσια μετατόπιση q = w(x, t) Γωνία στρέψης φ(x, t) = w(x,t) x Καταστατική εξίσωση υλικού: M by = E I 2 q x 2 Φορτία: Εγκάρσια δύναμη ανά μονάδα μήκους: f = Q x Εγκάρσιες δυνάμεις: Ροπή κάμψης: M by αδράνεια ελαστικότητα διέγερση Q = M by x z z

20 Ενέργεια και Έργο σε 1D Μοντέλα 2 ης Τάξης Δυναμικές εξισώσεις: Κινητική ενέργεια: Δυναμική ενέργεια: Δυνατό έργο: Τ = U = 0 0 μ 2 q t 2 x dt(x)dx = du(x)dx = δw = q κ x 1 1 = f x, t 2 μ(x) q x, t 2 dx 2 κ(x)q x, t 2 dx δq(x, t) f x, t dx

21 Ενέργεια και Έργο σε 1D Μοντέλα 4 ης Τάξης Δυναμικές εξισώσεις: Κινητική ενέργεια: Δυναμική ενέργεια: Τ = U = μ 2 q t x dt(x)dx = du(x)dx = 0 0 κ 2 q x = f x, t 2 μ(x) q x, t 2 dx 2 κ(x)q x, t 2 dx Δυνατό έργο κατανεμημένης εγκάρσιας δύναμης f x, t : δw = 0 δq(x, t) f x, t dx

22 Βασικά για επίλυση ΜΔΕ Πρόβλημα Αρχικών και Συνοριακών Τιμών σε ΜΔΕ

23 Πρόβλημα Αρχικών & Συνοριακών Συνθηκών (ΠΑΣΣ) Ο υπολογισμός της απόκρισης q(x, t) σε συστημα 2 ης τάξης προϋποθέτει την επίλυση του ακόλουθου προβλήματος αρχικών και συνοριακών τιμών (ΠΑΣΣ) μ 2 q t 2 x q κ x = f x, t Γραμμική Μερική Διαφορική εξίσωση f 1 (q 0, t, q 0, t ) = 0 f 2 (q, t, q, t ) = 0 Οριακές συνθήκες q x, 0 = q 0 x q t x, 0 = u 0(x) Αρχικές συνθήκες

24 Παράδειγμα: Πρόβλημα Στρέψης Μονόπακτης Ατράκτου Βαθμός ελευθερίας: η γωνία στρέψης θ(x, t) Διαφορική εξίσωση κίνησης ατράκτου: Καταστατική εξίσωση υλικού ρ I P 2 θ t 2 G J 2 θ x 2 = μ x, t = Μ ext t δ(x /2) Για ελαστικό υλικό: M t = G J θ, όπου G το μέτρο διάτμησης και J γεωμετρικός παράγωντας Αρχικές συνθήκες Συνοριακές συνθήκες x θ x, 0 = θ t x, 0 = 0 θ 0, t = 0 θ(, t) M t, t = 0 x H ροπή Μ ext t ασκείται στο μέσον της ατράκτου = 0 Άτρακτος είναι αρχικά σε ακινησία Άτρακτος είναι πακτωμένη από αριστερά Άτρακτος είναι ελεύθερη από δεξιά

25 Πρόβλημα Αρχικών & Συνοριακών Συνθηκών (ΠΑΣΣ) Ο υπολογισμός της απόκρισης q(x, t) σε συστημα 4 ης τάξης προϋποθέτει την επίλυση του ακόλουθου προβλήματος αρχικών και συνοριακών τιμών (ΠΑΣΣ) μ 2 q t x 2 κ 2 q x 2 = f x, t Γραμμική Μερική Διαφορική εξίσωση f 1 (q 0, t, q 0, t ) = 0 f 2 (q 0, t, q 0, t ) = 0 f 3 (q, t, q, t ) = 0 f 4 (q, t, q, t ) = 0 q x, 0 = q 0 x q x, 0 = u0 (x) 4 οριακές συνθήκες Αρχικές συνθήκες

26 Παράδειγμα: Πρόβλημα Κάμψης Δοκού Βαθμός ελευθερίας: κατακόρυφη w(x, t) Διαφορική εξίσωση κίνησης ατράκτου: ρ A 2 w t 2 + E I 4 w x 4 = f x, t = f ext t δ(x 3/4) Καταστατική εξίσωση υλικού Για ελαστικό υλικό: M b = E I θ H δύναμη f ext t ασκείται στο σημείο x=3/4, όπου E το μέτρο ελαστικότητας και I ροπή αδράνειας της διατομής ως προς ουδέτερο άξονα Αρχικές συνθήκες Συνοριακές συνθήκες w x, 0 = w t x, 0 = 0 w 0, t = 0 w 0, t = 0 w(, t) = 0 w 0, t = 0 Δοκός είναι αρχικά σε ακινησία Δοκός είναι πακτωμένη από αριστερά Στο δεξί άκρο της δοκού υπάρχει άρθρωση (μηδέν μετατόπιση, μηδέν ροπή αντίδρασης)

27 Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών Αναλυτικές Λύσεις σε ΠΑΣΣ

28 Αναλυτική Επίλυση ΜΔE: Υπόθεση Fourier Yπόθεση Fourier: q x, t = X x η(t) Αντικατάσταση στην ομογενή ΜΔΕ (έστω 2 ης τάξης): 1 c 2 Χ (x) X x = η(t) η(t) = ω2 Η πρώτη εξίσωση δίνει: Χ x + ω c 2 X x = 0 Μαζί με συνοριακές συνθήκες ορίζουν ένα πρόβλημα συνοριακών συνθηκών (βλέπε Μάθημα Διαφ. Εξισ.) Η λύση του δίνει: Άπειρες λύσεις για τα ω οι ιδιοσυχνότητες n ω του συστήματος Για κάθε ιδιοσυχνότητα n ω αντιστοιχεί μια λύση X x η ιδιομορφή n Χ(x) 28

29 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ: Ιδιομορφές Οι ιδιομορφές m Χ(x) υπολογίζονται από την ΜΔΕ & τις οριακές συνθήκες Κάθε συνεχές σύστημα έχει άπειρες ιδιομορφές Οι ιδιομορφές m Χ(x) είναι συναρτήσεις που είναι «κάθετες» μεταξύ τους: 0 n Χ(x) m Χ(x)dx n Χ x, m Χ x = 0 Eπίσης ισχύει ότι (αντιστοιχία με ιδιότητες ιδιοανυσμάτων) 0 0 n Χ(x) μ(x) m Χ(x)dx = μ nn, n = m 0, n m n Χ(x) κ(x) m Χ(x)dx = κ nn, n = m 0, n m κ nn μ nn = n ω 2

30 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ: Ιδιομορφές Οι ιδιοσυχνότητες n ω και οι ιδιομορφές n Χ(x) των συνεχών συστημάτων αντιστοιχούν στις ιδιοσυχνότητες i ω και τα ιδιοανύσματα i φ αντίστοιχα των συστημάτων διακριτών στοιχείων Ένα πραγματικό σύστημα έχει άπειρα ζεύγη real n ω και real n Χ(x) Ένα μοντέλο συνεχούς που περιγράφει το σύστημα έχει και αυτό άπειρα ζεύγη n ω και n Χ(x). Όσο καλύτερο το μοντέλο τόσο τα n ω και n Χ(x) του μοντέλου θα τείνουν στα πραγματικά. Ένα μοντέλο διακριτών στοιχείων με Ν Β.Ε. έχει Ν ζεύγη i ω και i φ, τα οποία προσεγγίζουν τις Ν πρώτα ζεύγη των πραγματικών n real ω και n real Χ(x) Συνήθως λιγότερα από Ν/2 i ω i φ προσεγγίζουν τα real n ω, real n Χ(x) με καλή ακρίβεια Μοντέλα με μεγαλύτερο αρθμό Β.Ε. εκτιμούν περισσότερα real n ω, real n Χ(x)

31 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ Λόγω επαλληλίας αναζητούνται λύσεις της μορφής: q x, t = n=1 n Χ(x) η n (t) Όπου η n (t) είναι η απόκριση της n-ιοστής ιδιομορφής Αντικαθιστώντας στην ΜΔΕ, προκύπτει μια ΣΔΕ 2 ης τάξης για την απόκριση κάθε η n (t): η n (t) + n ω 2 η n (t) = n φ t = μ 1 0 n Χ x f x, t dx, n = 1,2,.. Κάθε ΣΔΕ μπορεί να λυθεί ανεξάρτητα από τις άλλες με αρχικές συνθήκες: η n 0 = η n 0 = 0 0 n Χ x q x, 0 dx = n Χ x, q x, 0 n Χ x q t x, 0 dx = n Χ x, q x, 0

32 Αναλυτική Επίλυση ΠΑΣΣ σε ΜΔΕ μ q κ q = f x, t f 1 q l 1, t, q l 1, t = 0, f 2 (q l 2, t, q (l 2, t)) = 0 q x, 0 = y 0 x, q x, 0 = u 0 (x) η ω 2 η 1 = 1 φ(t) η 1 0 = 1 Χ x, q x, 0 η 1 0 = 1 Χ x, q x, 0 η n + n ω 2 η n = n φ(t) η n 0 = n Χ x, q x, 0 η n 0 = n Χ x, q x, 0 η 1 (t) η n (t) q x, t = n=1 n Χ(x) η n (t)

33 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ Η απόκριση q x, t είναι επαλληλία των ιδιομορφών n Χ(x) μέσω των συντελεστών συνεισφοράς η n (t): q x, t = n=1 n Χ(x) η n (t) Παρατηρήσεις Αντίστοιχο με τον ιδιοανυσματικό μ/χ των διακριτών συστημάτων Συνήθως, η απόκριση q x, t κυριαρχείται από λίγες ιδιομορφές που αντιστοιχούν στις πιο αργές ιδιοσυχνότητες q x, t N r n=1 n Χ(x) η n (t) Μια ΜΔΕ μετατρέπεται σε μια σειρά από ΣΔΕ 2 ης τάξης Το σύστημα περιγράφεται είτε από τα q x, t είτε από τα η n (t)

34 Λύση ΜΔΕ VS Λύση ΣΔΕ με Ιδιοανυσματικό Μ/Χ Επίλυση Συστήματος ΣΔΕ (ΠΑΣ) M q + C q + K q = G f(t) q 0 = q 0, q 0 = q 0 Υπολογισμός Ν ιδιοσυχνοτήτων i ω & ιδιοανυσμάτων i φ Υπολογισμός απόκρισης ιδιοανυσμάτων η i t q t = Ν i φ η i t i=1 Επίλυση ΜΔΕ (ΠΑΣΣ) μ q κ q = f x, t f i q l j, t, q l j, t = 0 q x, 0 = y 0 x q x, 0 = u 0 (x) Υπολογισμός άπειρων ιδιοσυχνοτήτων n ω & ιδιομορφών n Χ(x) Υπολογισμός απόκρισης ιδιομορφών η n (t) q x, t = n Χ(x) η n (t) n=1

35 Γενίκευση: Απόκριση σε 3D Συστήματα Συνεχούς Μέσου Σε κάθε (γραμμικό) σύστημα συνεχούς μέσου, η απόκριση q r, t είναι επαλληλία των ιδιομορφών n Χ(r) μέσω των συντελεστών συνεισφοράς η n (t): q r, t = Μετατόπιση στην θέση r της κατασκευής την χρονική στιγμή t n=1 n Χ(r) η n (t) q r, t = u x r, t u y r, t u z r, t Η απόκριση της n-ιοστής ιδιομορφής περιγράφεται από μια ΣΔΕ 2 ης τάξης κυκλικής ιδιοσυχνότητας n ω η n + n ω 2 η n = n φ(t) r = x y z