Παραδείγματα Λυμένες ασκήσεις Κεφαλαίου 5

Transcript

1 Παραδείγματα Λυμένες ασκήσεις Κεφαλαίου 5 Παράδειγμα : Υπενθυμίζεται η γενική μορφή της σχέσεως διασποράς για την περίπτωση αλληλεπίδρασης κύματος-ρεύματος, παρουσία και των επιδράσεων της επιφανειακής τάσης: ~ τ h U ( h ) + ( h ) tanh ( h ) ω ± ( h ) () α) Ποιά είναι η ερμηνεία του διπλού προσήμου ( ± ) που εμφανίζεται στην ανωτέρω σχέση; β) Πώς διαμορφώνεται η ανωτέρω σχέση όταν h ; γ) Με τη βοήθεια της σχέσεως διασποράς να προσδιορίσετε τη φασική ταχύτητα συναρτήσει του μήκους κύματος λ, για νερό ενδιαμέσου βάθους και για βαθύ νερό δ) Nα προσδιορίσετε την ταχύτητα ομάδας Ποιά είναι η φυσική σημασία αυτής; ε) Να εκτιμήσετε τη σχετική σημασία των διαφόρων όρων που εμφανίζονται στη σχέση () για σχετικώς μεγάλα κύματα σε ενδιάμεσο και μεγάλο βάθος νερού, (δηλαδή για τις περιπτώσεις που ενδιαφέρουν περισσότερο σε εφαρμογές θαλάσσιας τεχνολογίας) Πώς απλοποείται σ' αυτήν την περίπτωση η σχέση διασποράς; Δίδεται η τιμή του συντελεστή επιφανειακής τάσεως του νερού σε θερμοκρασία 5 ο C: ~ τ 7 /se Υπόδειξη: Για να εκτιμήσετε τη σχετική σημασία των διαφόρων όρων που εμφανίζονται στη σχέση () σε νερό ενδιαμέσου βάθους, μπορείτε να βρείτε πως διαμορφώνονται οι αριθμητικές τιμές των αδιάστατων συντελεστών ξ ~τ /, v ω h /, και F U / για ορισμένες ενδεικτικές τιμές των κυματικών παραμέτρων Μπορείτε να λάβετε υπ' όψιν σας τα ακόλουθα σχόλια Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι h > 5, διότι για μικρότερο βάθος και σχετικώς μεγάλα κύματα καθίστανται έντονα διάφορα μη γραμμμικά φαινόμενα, τα οποία δεν έχουν ληφθεί υπ' όψιν στην παρούσα θεωρία Η εκφραση "σχετικώς μεγάλα κύματα" βολεύει να ερμηνευθεί ως "κύματα με σχετικώς μεγάλη περίοδο", πχ T > se (γιατί;) Η ταχύτητα ρεύματος στη θάλασσα κυμαίνεται συνήθως από έως /se Αντιστοίχως μπορείτε να εργασθείτε για την περίπτωση νερού μεγάλου βάθους, ξεκινώντας από την κατάλληλη μορφή της σχέσεως διασποράς Λύση: α) Το πρόσημο ( ) στην εξίσωση () ισχύει στην περίπτωση όπου ο κυματισμός διαδίδεται ομόρροπα προς το ρεύμα, ενώ το πρόσημο (+) στην αντίθετη περίπτωση β) Για να βρούμε πώς διαμορφώνεται η σχέση () όταν h, διαιρούμε πρώτα και τα δύο μέλη με h, οπότε παίρνουμε + ~ τ tan ( h ) ( ω ± U ) / () Ομως, όταν h, τότε tan ( h ), οπότε η ανωτέρω σχέση διαμορφώνεται ως εξής: ( ω U ) ~ + :κύμα - ρεύμα αντίρροπα ± + τ, () :κύμα - ρεύμα ομόρροπα 5 6

2 γ) Η φασική ταχύτητα του κυματισμού δίδεται από τη σχέση ω / Για νερό ενδιαμέσου βάθους η σχέση () μας δίδει ~ :κύμα - ρεύμα αντίρροπα ω + τ tanh ( h ) U, () + :κύμα - ρεύμα ομόρροπα Συνεπώς, η φασική ταχύτητα του κυματισμού θα είναι ω + ~ τ ( h) U tanh :κύμα - ρεύμα αντίρροπα,, (4) + :κύμα - ρεύμα ομόρροπα εκ της οποίας, αντικαθιστώντας τον κυματαριθμό με π / λ, βρίσκουμε λ π πh ( λ ) + ~ :κύμα - ρεύμα αντίρροπα τ tanh U, (5) π λ λ + :κύμα - ρεύμα ομόρροπα Για νερό μεγάλου βάθους ( h ) έχουμε ότι tanh ( π h / λ ), οπότε η σχέση (5) μας δίδει λ π λ ~ :κύμα - ρεύμα αντίρροπα ( ) + τ U, (6) π λ + :κύμα - ρεύμα ομόρροπα Στην ίδια σχέση καταλήγουμε και αν ξεκινήσουμε από τη σχέση διασποράς του βαθού νερού () ε) Βρήκαμε από την απάντηση του ερωτήματος γ) την συνθήκη + ~τ tanh ( h ) < U Υποθέτοντας ότι το νερό είναι βαθύ (υπόθεση που θα ελεγχθεί εκ των υστέρων), και θέτουμε tanh h Τότε η ανωτέρω ανισότητα γίνεται ( ) + ~ τ < U + < ~ h U τ h h ~ τ ( h ) U + < F + T ( h ) < F ( h ), h όπου, για βάθος h, οι αδιάστατες ποσότητες F (αριθμός Froude) και T έχουν τις τιμές: 6

3 U F και T ~ τ Η τελευταία ανισότητα γράφεται τελικά στη μορφή T ( h) F ( h) + <, από την οποία προκύπτει ότι η ποσότητα αντίστοιχου τριωνύμου: (h) πρέπει να βρίσκεται μεταξύ των ριζών του ( h ), F ± F T 4 4T 4 5 λ, πh πh 6 4 Επομένως, το φαινόμενο διατηρεί τον κυματικό του χαρακτήρα στις περιοχές λ < λ 44 (όπου κυριαρχεί η επίδραση επιφανειακής τάσεως) και λ > λ 6 (όπου κυριαρχεί η επίδραση βαρύτητας) Και στις δύο περιπτώσεις ( λ, ) το μήκος κύματος που υπολογίζεται είναι πολύ μικρό ώστε να επαληθεύεται η υπόθεση h >>!! Παραδείγμα : Να διερευνήσετε τη σχέση διασποράς ( Π ) αμελώντας την επίδραση της επιφανειακής τάσης (δηλαδή θέτοντας ~ τ ) Το κεντρικό ερώτημα που πρέπει να εξετασθεί στα πλαίσια της ζητούμενης διερεύνησης είναι τα εξής: Δεδομένης της κυκλικής συχνότητας ω (ή της περιόδου T ), πόσες και ποιές είναι οι επιτρεπτές τιμές του κυματαριθμού K (ή του μήκους κύματος λ ), οι οποίες προκύπτουν από τη σχέση διασποράς; Να εξετάσετε ξεχωριστά τις περιπτώσεις: α) Κύμα και ρεύμα ομόρροπα, β) Κύμα και ρεύμα αντίρροπα Λύση: α) Οταν το κύμα και το ρεύμα είναι ομόρροπα και ~ τ, η σχέση διασποράς γίνεται U ω h / ( h) tanh ( h ) + ( h ) () Θέτοντας h u και ω h / U, η () γράφεται στη μορφή U u tan u + F u, () όπου F U / είναι ένας αριθμός Froude 6

4 Παράδειγμα : Απλός αρμονικός κυματισμός βαρύτητας, κυκλικής συχνότητας ω, διαδίδεται από την περιοχή νερού μεγάλου βάθους προς την ακτή (βλ σχήμα) Το μήκος και ύψος του κυματισμού στο βαθύ νερό είναι λ λ και a a, αντίστοιχα h ΒΑΘΥ ΝΕΡΟ Ποιό είναι το πλάτος, το μήκος και η φασική ταχύτητα του κυματισμού στη ρηχή περιοχή, όπου το βάθος του νερού είναι h ; Τι υποθέσεις, πέραν της γραμμικότητας, χρειαζόμαστε για να υπολογίσουμε τα ανωτέρω μεγέθη; Λύση: Προκειμένου να συνδέσουμε τα χαρακτηριστικά του κύματος στο ρηχό νερό με αντίστοιχα χαρακτηριστικά του όταν αυτό βρίσκεται (σε προγενέστερες στιγμές) στο βαθύ νερό (χωρίς να διατυπώσουμε και να επιλύσουμε το πλήρες πρόβλημα συνοριακών τιμών που εμπλέκει την ακριβή μορφή του πυθμένα), απαιτείται να ισχύουν οι ακόλουθες απλοποιητικές προϋποθέσεις: Η ρήχωση είναι πολύ ομαλή έτσι ώστε το βάθος να μπορεί να θεωρηθεί πρακτικά σταθερό σε αρκετά μήκη κύματος (Αργά μεταβαλλόμενη βαθυμετρία ως προς το μήκος κύματος) Οι απώλειες ενέργειας, πχ λόγω τριβής στον πυθμένα ή/και λόγω θραύσης των κυμάτων στην επιφάνεια, είναι μικρές, έτσι ώστε να μπορούν να αγνοηθούν Υπό τις δύο αυτές προϋποθέσεις μπορούμε να δώσουμε την ακόλουθη προσεγγιστική λύση του ανωτέρου προβλήματος Δεδομένου ότι η απόκριση γραμμικών συστημάτων σε αρμονική διέγερση είναι αρμονική με την ίδια συχνότητα, η συχνότητα του κυματισμού καθώς κινείται προς την ακτή παραμένει σταθερή Από την σχέση διασποράς των κυματισμών βαρύτητας στο βαθύ νερό λαμβάνουμε π π ω 9 8 s 767 rad / se λ Η φασική ταχύτητα στο βαθύ νερό δίδεται από τη σχέση ω 767 rad s 54s 69 s Στην περιοχή του ρηχού νερού, όπου το βάθος είναι περίπου, ισχύει η σχέση διασποράς 6

5 ω h ω tanh ( h ) h tanh ( h ) 57 Η ανωτέρω εξίσωση, λυόμενη ως προς την αδιάστατη παράμετρο h με επαναλήψεις (ή γραφικά), μας δίδει h 68, άρα 56, και λ π Η φασική ταχύτητα του κυματισμού στην περιοχή βάθους προκύπτει άμεσα από τη σχέση 767 rad s ω s / Υπό τις προϋποθέσεις που αναφέραμε στην αρχή, μπορούμε να προσδιορίσουμε το πλάτος a του κυματισμού στην περιοχή με h, χρησιμοποιώντας τη διατήρηση της ενέργειας Η ροή της κυματικής ενέργειας (ισχύος) που διέρχεται από κατακόρυφη διατομή στην περιοχή νερού μεγάλου βάθους είναι: W ρ a 4 Αντιστοίχως, η ροή της κυματικής ενέργειας (ισχύος) που διέρχεται από κατακόρυφη διατομή στην περιοχή βάθους h είναι: W + h ρ a 4 sinh ( h ) Εφ' όσον οι απώλειες ενέργειας μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες θα ισχύει ότι W και άρα W a 5, + h sinh ( h ) a 5 a 5 Πώς δικαιολογείται φυσικά ή αύξηση του πλάτους του κύματος στο ρηχό νερό; 64