Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1

2 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού! Κομπιουτεράκι όχι απαραίτητο (ίσως απαγορευθεί) Τυπολόγιο θα αναρτηθεί στην ίστοσελίδα του μαθήματος Κλειστά βιβλία & σημειώσεις Θα ανακοινωθούν έξτρα συνεδρίες για απορίες πριν εξέταση Office Hours: Δευτέρα 1-3 μμ, Εργαστήριο Εμβιομηχανικής, Ισόγειο Κτηρίου Μ ( ) 2

3 Περιεχόμενα Συστήματα Συνεχούς Μέσου Μοντελοποίηση Αναλυτικές Λύσεις Μονοδιάστατων Μοντέλων Προσεγγιστικές Λύσεις Μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων 3

4 Συστήματα Συνεχούς Μέσου: Μοντελοποίηση 4

5 Μοντελοποίηση Συστημάτων Συνεχούς Μέσου Περιγράφουν δυναμική συστημάτων, όπου τα στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (μάζα, ελαστικότητα) και οι διεγέρσεις είναι κατανεμημένα στο χώρο Περιγράφονται μέσω των εξισώσεων ελαστικότητας Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) 5

6 Εξισώσεις Ελαστικότητας Περιγράφουν την δυναμική δυνάμεων-μετατοπίσεων: Ισορροπία δυνάμεων ρ 2 u(r, t) t 2 σ = f r, t αδράνεια ελαστικότητα διέγερση Σχέσεις τάσεων-τροπών: ε = ε( u) Καταστατικές εξισώσεις υλικού: σ = σ(ε) Γενικά δεν λύνονται αναλυτικά 6

7 Απλοποιημένα Προβλήματα Ελαστικότητας Υπό προϋποθέσεις, οι 3D εξισώσεις ελαστικότητας μπορούν να απλοποιηθούν σε πιο απλά προβλήματα Πλήρες 3D πρόβλημα ελαστικότητας 2D Μοντέλα 1D Μοντέλα Plain stress/strain Μεμβράνες Κάμψη δοκού Στρέψη ατράκτου Αξονοσυμμετρικά συστήματα Εφελκυσμός άξονα Παραμόρφωση χορδής 7

8 Απλοποίηση: Μονοδιάστατα Μοντέλα Μονοδιάστατα (1D) μοντέλα Σε γραμμικούς φορείς Σε κάθε διατομή του φορέα (θέση x), οι μετατοπίσεις περιγράφονται με 1 βαθμό ελευθερίας x 8

9 Απλοποίηση: 1D Μοντέλα Είδη 1D μοντέλων σε γραμμικούς φορείς Εξαρτώνται από είδος της φόρτισης/μετατόπισης που κυριαρχεί 2 ης Τάξης 4 ης Τάξης Στρέψη ατράκτου Εφελκυσμός άξονα Παραμόρφωση χορδής Κάμψη δοκού θ x (x, t) u(x, t) w(x, t) w(x, t) x x θ x (x, t) u(x, t) w(x, t) w(x, t) 9

10 Απλοποίηση: 1D Μοντέλα 2 ης Τάξης Γενική μορφή ΜΔΕ: μ 2 y t 2 x y κ x = f x, t ΜΔΕ μετάδοσης κύματος, c = μ κ Στρέψη ατράκτου Εφελκυσμός άξονα Παραμόρφωση χορδής Μεταβλητή y(x, t) Γωνία στρέψης θ x (x, t) Αξονική μετατόπιση u(x, t) Εγκάρσια μετατόπιση w(x, t) Αδράνεια / μήκος μ Ελαστικοτητα /μηκος κ Διέγερση f x, t Καταστατική εξίσωση υλικού ρ I P ρ Α ρ Α Ροπή στρέψης/μήκος G J Ε Α S Α M t = G J θ x Διαμήκη δύναμη/μήκος N = A E u x Εγκάρσια δύναμη/μήκος N = S A w x 1

11 Απλοποίηση: 1D Μοντέλα 4 ης Τάξης Κάμψη δοκού Euler-Bernoulli μ 2 w t x 2 μ = ρ Α κ 2 w x 2 κ = E I = q x, t Βαθμοί ελευθερίας: εγκάρσια μετατόπιση w(x, t) Γωνία φ = w x Φορτία: Ροπή κάμψης: M by = E I 2 w x 2 Εγκάρσιες δυνάμεις: Q = M by x Εγκάρσια δύναμη ανά μονάδα μήκους: q = Q z z x 11

12 Ενέργεια και Έργο σε Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Μοντέλα 2 ης τάξης: Κινητική ενέργεια: Τ = Δυναμική ενέργεια: V = Δυνατό έργο: μ 2 y t 2 x dt(x)dx = dv(x)dx = δw = y κ x 1 1 = f x, t 2 μ(x) y x, t 2 dx 2 κ(x)y x, t 2 dx δy(x, t) f x, t dx 12

13 Ενέργεια και Έργο σε Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Μοντέλα 4 ης τάξης: Κινητική ενέργεια: Τ = Δυναμική ενέργεια: V = Δυνατό έργο: μ 2 w t x 2 dt(x)dx = dv(x)dx = δw = κ 2 w x = q x, t 2 μ(x) w x, t 2 dx 2 κ(x)y x, t 2 dx δw(x, t) q x, t dx 13

14 Συστήματα Συνεχούς Μέσου: Αναλυτική Επίλυση Μονοδιάστατων Μοντέλων 14

15 Παράδειγμα: Στρέψη Ατράκτου Διαφορική εξίσωση κίνησης ατράκτου: Εξίσωση μετάδοσης κύματος (ΜΔΕ) ρ I P 2 θ t 2 θ G J x x x = μ x, t αδράνεια ελαστικότητα διέγερση Η γωνία θ(x, t) είναι συνάρτηση του χώρου x και χρόνου t Άπειροι βαθμοί ελευθερίας Καταστατική εξίσωση υλικού Ελαστικό: M t x = G J(x) θ x Μέτρο διάτμησης Γεωμετρικός παράγων 15

16 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ: ΠΑΣΣ Πρόβλημα Αρχικών και Συνοριακών Συνθηκών Γραμμικό Έστω κ x = κ (ανεξάρτητο του x) μ y κ y = f x, t Διαφορική εξίσωση f 1 (y l 1, t, y l 1, t ) = f 2 (y l 2, t, y l 2, t ) = Οριακές συνθήκες y x, = y x y t x, = u (x) Αρχικές συνθήκες 16

17 Αναλυτική Επίλυση ΜΔE: Fourier Yπόθεση Fourier: y x, t = X x η(t) Αντικατάσταση στην ομογενή ΜΔΕ: 1 c 2 Χ (x) X x = η(t) η(t) = ω2 Η πρώτη εξίσωση δίνει: Χ x + ω c 2 X x = Μαζί με συνοριακές συνθήκες ορίζουν ένα πρόβλημα συνοριακών συνθηκών (βλέπε Μάθημα Διαφ. Εξισ.) Λύσεις: ιδιοσυχνότητες n ω Ιδιομορφές: αντίστοιχες συναρτήσεις n Χ(x) Για κάθε ιδιοσχυνότητα n ω αντιστοιχεί μια ιδιομορφή n Χ(x) 17

18 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ: Ιδιομορφές Οι ιδιομορφές m Χ(x) Υπολογίζονται από την ΜΔΕ και τις οριακές συνθήκες Κάθε συνεχές σύστημα έχει άπειρες ιδιομορφές Είναι «κάθετες» μεταξύ τους: n Χ(x) m Χ(x)dx = n Χ x, m Χ x = Μπορούμε να τις κανονικοποιήσουμε ώστε n Χ(x) m Χ(x)dx = 1, n = m, n m n Χ x, n Χ x = 1 Αντιστοιχούν στα ιδιοανύσματα των διακριτών συστημάτων 18

19 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ Αναζητούνται λύσεις της μορφής: y x, t = n=1 n Χ(x) η n (t) Αντικατάσταση στην ΜΔΕ δίνει μια σειρά από ΣΔΕ: η n (t) + n ω 2 η n (t) = μ 1 Με αρχικές συνθήκες: η n = η n = n Χ x f x, t dx = n ψ t, n = 1,2,.. n Χ x y x, dx = n Χ x, y x, n Χ x y t x, dx = n Χ x, y x, 19

20 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ μ y κ y = f x, t f 1 y l 1, t, y l 1, t =, f 2 (y l 2, t, y (l 2, t)) = y x, = y x, y x, = u (x) η ω 2 η 1 = 1 ψ(t) η 1 = 1 Χ x, y x, η 1 = 1 Χ x, y x, η n + n ω 2 η n = n ψ(t) η n = n Χ x, y x, η n = n Χ x, y x, η 1 (t) η n (t) y x, t = n Χ(x) η n (t) n=1 2

21 Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ Η απόκριση y x, t είναι επαλληλία των ιδιομορφών μέσω των συντελεστών συνεισφοράς η n (t): Παρατηρήσεις y x, t = n Χ(x) η n (t) n=1 Αντίστοιχο με τον ιδιοανυσματικό μ/χ των διακριτών συστημάτων Συνήθως, η y x, t κυριαρχείται από λίγες χαμηλές ιδιομορφές N r y x, t n Χ(x) η n (t) n=1 Μια ΜΔΕ μετατρέπεται σε μια σειρά από ΣΔΕ 2 ης τάξης Το σύστημα περιγράφεται είτε από τα y x, t είτε από τα η n (t) 21

22 Γενίκευση: Συστήματα Συνεχούς Μέσου Σε κάθε (γραμμικό) σύστημα συνεχούς μέσου, η απόκριση u r, t είναι επαλληλία των ιδιομορφών n Χ(r) μέσω των συντελεστών συνεισφοράς η n (t): u r, t = Μετατόπιση στην θέση r της κατασκευής την χρονική στιγμή t n=1 n Χ(r) η n (t) u r, t = u x r, t u y r, t u z r, t r = Η απόκριση της n-ιοστής ιδιομορφής περιγράφεται από μια ΣΔΕ 2 ης τάξης κυκλικής ιδιοσυχνότητας n ω η n + n ω 2 η n = n ψ(t) x y z 22

23 Συστήματα Συνεχούς Μέσου: Προσεγγιστικές Μέθοδοι 23

24 Ανάγκη Για Αριθμητικές Λύσεις Οι ιδιομορφές n Χ(r) μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά μόνο για πολύ απλά μοντέλα (1D, 2D) Χρειαζόμαστε αριθμητικές λύσεις! Η βασική ιδέα (Galerkin) θα περιγραφεί σε 1D μοντέλα μ 2 y t 2 y κ x x Εφαρμογή της μεθόδου agrange = f x, t Η Galerkin θα επεκταθεί στην μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (finete element method) γενική μέθοδος, εφαρμόζεται σε συστήματα 1D, 2D, 3D πολύπλοκης γεωμετρίας και ιδιοτήτων υλικών 24

25 Μέθοδος Galerkin Oι μετατοπίσεις y x, t προσεγγίζονται ως: y x, t Ν n=1 n Χ(x) η n (t) Ισοδύναμα, σε μητρωϊκή μορφή: y x, t X(x) T η(t) X x = 1 Χ(x) N Χ(x), η t = η 1 (t) η N (t) Διάνυσμα συναρτήσεων προσέγγισης Διάνυσμα απόκρισης Οι συναρτήσεις προσέγγισης n Χ(x) πρέπει να ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες του προβλήματος 25

26 Μέθοδος Galerkin Η κινητική ενέργεια Τ του συστήματος μπορεί να υπολογιστεί ως μια τετραγωνική μορφή του η t Παράδειγμα σε 1D μοντέλα δεύτερης τάξης = 1 2 Τ = dt(x)dx = μ(x) ( X(x) T 1 2 μ(x) y x, t 2 dx = η (t)) T X(x) T η(t)dx = = 1 2 ηt (t) μ(x) X x X(x) T dx η(t) = 1 2 ηt (t) Μ Το στοιχείο M i,j του μητρώου αδράνειας Μ είναι: i M i,j = μ(x) Χ(x) j Χ(x)dx η(t) 26

27 Μέθοδος Galerkin Η δυναμική ενέργεια V του συστήματος μπορεί να υπολογιστεί ως μια τετραγωνική μορφή του η t Παράδειγμα σε 1D μοντέλα δεύτερης τάξης V = = 1 2 dv(x)dx = 1 2 κ(x)y x, t 2 dx = κ(x) ( Β(x) T η(t)) T Β(x) T η(t)dx = = 1 2 ηt (t) κ(x) Β x Β(x) T dx η(t) = 1 2 ηt (t) Κ η(t) Το στοιχείο Κ i,j του μητρώου αδράνειας Κ είναι: i Κ i,j = κ(x) Β(x) j Β(x)dx 27

28 Μέθοδος Galerkin Σχόλιο: Για τον υπολογισμό της δυναμικής ενέργειας χρειάστηκε η χωρική παράγωγος y x, t, η οποία εκφράστηκε μέσω του διανύσματος Β(x): y x, t Ν n=1 n Χ(x) η n (t) y x, t Ν n=1 y x, t B(x) T η(t) d dx ( n Χ(x)) η n (t) Οπότε τα στοιχεία του Β x είναι οι παράγωγοι των στοιχείων του X x d dx ( 1 Χ x ) Β x = d dx ( N Χ x ) 28

29 Μέθοδος Galerkin Οι γενικευμένες δυνάμεις ξ που αντιστοιχούν στους Β.Ε. η(t) υπολογίζονται από το δυνατό έργο Το δυνατό έργο λόγω των εξωτερικών διεγέρσεων f x, t υπολογίζεται ως Οπότε δw = δy(x, t) f x, t dx = δw = δη(t) T ξ = δη(t) T X x f x, t dx X x f x, t dx = δη(t) T ξ X x f x, t dx 29

30 Μέθοδος Galerkin Οι αρχικές συνθήκες η() δεν μπορούν να προκύψουν απλά από την : y x, X(x) T η() Διότι δεν είναι δυνατών να βρεθούν Ν στοιχεία η() που να ικανοποιούν την σχέση αυτή για κάθε x Τα η() υπολογίζονται με βάση αρχικές συνθήκες σε Ν σημεία: Παρόμοια, τα X(x 1 ) T X(x Ν ) T η = y x 1, y x Ν, η() υπολογίζονται από τα ίδια σημεία: X(x 1 ) T X(x Ν ) T η() = y x 1, y x Ν, 3

31 Μέθοδος Galerkin Συμπερασματικά, η δυναμική του συστήματος προσεγγίστηκε ως y x, t μ 2 y t 2 x Ν n=1 y κ x = f x, t n Χ x η n t = X(x) T η(t) Όπου η απόκριση των Ν Β.Ε. η t υπολογίζεται από ένα διακριτό δυναμικό σύστημα Ν Β.Ε.: Μ η t + Κ η t = ξ Τα μητρώα Μ, Κ, το διάνυσμα ξ και οι αρχικές συνθήκες η, η υπολογίστηκαν στα προηγούμενα slides 31

32 Μέθοδος Galerkin Ειδική περίπτωση: Οι μετατοπίσεις y x, t εκφράζονται μέσω των μετατοπίσεων n y t σε Ν επιλεγμένα σημεία x n μέσω των συναρτήσεων μορφής n Ν x y x, t Ν n=1 n Ν x y x n, t = Ν n=1 y x, t Ν(x) T y(t) n Ν x n y t X x = 1 Ν x Ν Ν x, y t = n y(t) N y(t) Ιδιότητες συναρτήσεων μορφής n Ν x 1 n Ν x m =, n m 1, n = m 32

33 Συστήματα Συνεχούς Μέσου: Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων 33

34 Περιορισμοί Μεθόδου Galerkin Η μέθοδος Galerkin μετασχηματίζει ΜΔΕ σε ΣΔΕ Ν Β.Ε. χρησιμοποιώντας Ν συναρτήσεις μορφής n Ν x y x, t Ν(x) T y(t) Η Galerkin χρησιμοποιεί n Ν x που περιγράφουν την παραμόρφωση ολόκληρης της κατασκευής! Απλές περιπτώσεις: μπορούν να βρεθούν μερικές «καλές» n Ν x Δύσκολες κατασκευές πολύ δύσκολο να βρεθούν n Ν x 34

35 Από την Galerkin στα Πεπερασμένα Στοιχεία Παρατήρηση: είναι πολύ πιο εύκολο να βρει κάποιος συναρτήσεις μορφής για ένα μικρό κομμάτι μιας κατασκευής, παρά για ολόκληρη την κατασκευή 35

36 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων: Σύνοψη Η κατασκευή χωρίζεται σε μικρά (πεπερασμένα) στοιχεία Επιλέγονται ως Β.Ε. μετατοπίσεις q στα όρια των ΠΣ Για κάθε πεπερασμένο στοιχείο (ΠΣ) Η μετατόπιση σε κάθε σημείο του ΠΣ εκφράζεται ως συνάρτηση των μετατοπίσεων στα όρια του μέσω συν. μορφής Ν(x) Υπολογίζονται τα μητρώα αδράνειας i Μ, ελαστικότητας i K και οι γεν. δυνάμεις i ξ του ΠΣ μέσω εξισ. ελαστικότητας & των Ν(x) Τα μητρώα i Μ, i K, και i ξ των ΠΣ συνδυάζονται ώστε να υπολογιστούν τα μητρώα Μ, Κ και ξ του συστήματος! Εφαρμόζονται οι οριακές συνθήκες του προβλήματος Προκύπτει ένα γραμμικό σύστημα Ν Β.Ε.: Μ q t + Κ q t = ξ 36

37 Πεπερασμένα Στοιχεία για 1D Μοντέλα Κάθε Π.Σ. περιγράφεται από ένα δυναμικό μοντέλο i Μ i q t + i Κ i q t = i ξ Οι βαθμοί ελευθερίας του ΠΣ i q t είναι οι αντίστοιχες μετατοπίσεις στα άκρα του Τα μητρώα i Μ, i K προκύπτουν από πίνακες ανάλογα με το είδος του προβλήματος (στρέψη, κάμψη, μεμβράνη, 3D ελαστικότητα) Το διάνυσμα i ξ υπολογίζεται ως συνάρτηση της χωρικής κατανομής της φόρτισης και των συναρτήσεων μορφής 37

38 Πεπερασμένα Στοιχεία για 1D Μοντέλα Παράδειγμα: Πεπερασμένo στοιχείo εφελκυσμού i x i f(x, t) i F 1 i F 2 i ρ, i A, i, i E i u 1 Βαθμοί ελευθερίας: μετατοπίσεις στα άκρα κατά τον άξονα x: i u 2 i q t = i u 1 Συναρτήσεις μορφής: i u 2 i u i x, t = 1 x i u 1 + x i u 2 = 1 x = Ν(x) T x i u 1 i u 2 i q t 38

39 Πεπερασμένα Στοιχεία για 1D Μοντέλα Για την δεδομένη επιλογή Ν(x), προκύπτουν τα μητρώα: i Μ = i Κ = i i i ρ i E i Α Ν x Ν(x) T dx = i Α Β x Β(x) T dx = i ρ i E i i Α 6 i Α i Και η διέγερση (περίπτωση ομοιόμορφης i f x, t = i f(t)) i ξ(t) = i F 1 (t) i F 2 (t) + i Ν x i f t dx = i F 1 (t) i i F 2 (t) + f(t) 2 Δυναμικές εξισώσεις Π.Σ. εφελκυσμού: i Μ i q t + i Κ i q t = i ξ i