ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ"

Transcript

1 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες, βιοϊατρική τεχνολογία κ.α., έκανε ιδιαίτερα επιτακτική την ανάγκη για τη µελέτη αξιοπιστίας υλικού και λογισµικού. Οι βλάβες που εµφανίζει το υλικό των ηλεκτρονικών υπολογιστών µελετώνται µε τις γενικές αρχές µοντελοποίησης που παρουσιάστηκαν και µε ειδικές συνδεσµολογίες των υπολογιστικών συστηµάτων. Τα σφάλµατα του λογισµικού µπορούν να µοντελοποιηθούν µε διάφορους τρόπους και η µελέτη τους εντάσσεται στο γενικότερο πλαίσιο των διαδικασιών βελτίωσης του λογισµικού µε δοκιµές και διορθώσεις. 1

2 οµές πλεονασµού Ηβελτίωση της αξιοπιστίας του υλικού µπορεί να επιτευχθεί µε τη χρησιµοποίηση εξαρτηµάτων υψηλής αξιοπιστίας (υψηλού κόστους) ή µε τη χρήση πλεονασµού ή / και εφεδρείας. Σε κάθε περίπτωση ο σχεδιασµός των υπολογιστικών συστηµάτων, όσον αφορά το υλικό αλλά και το λογισµικό, πρέπει να αποσκοπεί στο να ανέχεται σφάλµατα (fault tolerant design), δηλαδή να έχει προβλέψει τρόπους ώστε το σύστηµα να λειτουργεί επαρκώς παρόλο την εµφάνιση βλαβών στις λειτουργικές του µονάδες. Αυτό επιτυγχάνεται κυρίως: Πλεονασµός υλικού µε τη χρήση εφεδρικών υποσυστηµάτων ή συνδεσµολογίες «ψηφοφόρων». Πλεονασµός λογισµικού µε διαδικασίες ελέγχου των αποτελεσµάτων, υπολογιστικές διαδικασίες «ψηφοφόρων». Σύστηµα µε µία υπολογιστική µονάδα Υπενθυµίζεται ότι ένα σύστηµα µε µία υπολογιστική µονάδα ρυθµού βλάβης λ και επισκευής µ, οι δείκτες αξιοπιστίας του συστήµατος για χρόνο λειτουργίας Τ δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: R=e -λτ Αξιοπιστία: µ ιαθεσιµότητα: A = λ + µ λ Μη ιαθεσιµότητα: U = 1 A= λ + µ λµ Συχνότητα εµφάνισης βλαβών: f = λ + µ 2

3 Σύστηµα µε 3 πλεονάζουσες µονάδες και «ψηφοφόρο» -ΤΜR Το σύστηµα µε τρεις πλεονάζουσες µονάδες και ψηφοφόρο αποτελεί πολύ συχνή δοµή στα υπολογιστικά συστήµατα. Οι µονάδες Σύστηµα 1, Σύστηµα 2, Σύστηµα 3 έχουν λειτουργία µε έξοδο που χαρακτηρίζεται από λογική µεταβλητή. Ο ψηφοφόρος καθορίζει ως έξοδο του συνολικού συστήµατος την πλειοψηφία των εξόδων των τριών µονάδων. Ο ψηφοφόρος θεωρείται ότι είναι 100% αξιόπιστος Αξιοπιστία συνδεσµολογίας TMR ΕΙΣΟ ΟΣ A B V ΕΞΟ ΟΣ Εάν θεωρηθεί p η αξιοπιστία κάθε µονάδας Α, B ή C, η αξιοπιστία του συστήµατος δίνεται από την ακόλουθη σχέση που βασίζεται στο ανάπτυγµα διωνύµου: C Ο MTTF προκύπτει µε αντικατάσταση και ολοκλήρωση της σχέσης για την αξιοπιστία 3

4 Συγκριτική µελέτη Για περιπτώσεις όπου λτ είναι σχετικά µικρό, η συνδεσµολογία συστηµάτων TMR εµφανίζει υψηλότερη αξιοπιστία από αυτή του ενός συστήµατος. Αντίθετα, για σχετικά µεγάλες τιµές του λτ ισχύει το αντίστροφο. Το σηµείο τοµής προκύπτει από την εξίσωση των δύο σχέσεων της αξιοπιστίας. Συνδεσµολογία NMR (Ν µονάδες πλεονασµού) Ησυνδεσµολογία αυτή είναι µία γενίκευση της συνδεσµολογίας TMR.Αποτελείται από Ν=2n+1 περιττό αριθµό µονάδων και ένα ψηφοφόρο που επιλέγει την πλειοψηφία n+1. Συνεπώς η αξιοπιστία του συνολικού συστήµατος θα δίνεται από τη σχέση: Η παραπάνω σχέση χαρακτηρίζεται από αντίστοιχη συµπεριφορά όπως στην περίπτωση της συνδεσµολογίας TMR, σε συγκεκριµένες περιοχές εµφανίζει υψηλότερη τιµή από αντίστοιχες διατάξεις µε χαµηλότερο βαθµό πλεονασµού 4

5 Αξιοπιστία µε Ν-πλεονάζουσες µονάδες Σύστηµα m-σταδίων µε πλεονασµό ψηφοφόρου Το σύστηµα αυτό αποτελείται από m στάδια σε σειρά, όπου σε κάθε στάδιο έχει επιλεγεί να χρησιµοποιηθεί συνδεσµολογία Ν-πλεονασµού µε ψηφοφόρο µε 2n+1 µονάδες αντί για µία σε κάθε στάδιο. Αν p ss η αξιοπιστία της κάθε µίας από τις 2n+1 µονάδες τότε η συνολική αξιοπιστία της διάταξης δίνεται από τη σχέση: Αν λ ο ρυθµός βλάβης του συνολικού συστήµατος, τότε σε κάθε στάδιο του συστήµατος αντιστοιχεί ρυθµός βλάβης λ/m (reliability allocation), άρα εάν υπήρχε µία µονάδα σε κάθε στάδιο, αυτή θα είχε αξιοπιστία p ss =e -λt/m. Με αντικατάσταση στην εξίσωση της αξιοπιστίας µπορεί κανείς να βελτιώσει το σχεδιασµό του συστήµατος, εντός αποδεκτών ορίων κόστους, επιλέγοντας κατάλληλο ζευγάρι m,n. 5

6 Συγκριτική παρουσίαση m-σταδίων µε πλεονασµό ψηφοφόρου ιατάξεις µε ατελείς ψηφοφόρους Στην περίπτωση που θεωρείται ότι και ο ψηφοφόρος µπορεί να εµφανίσει βλάβες, η αξιοπιστία της διάταξης TMR υπολογίζεται διαφορετικά. Αν p V, p C η αξιοπιστία του ψηφοφόρου και της µονάδας στη διάταξη TMR τότε η αξιοπιστία της συνολικής διάταξης TMR δίνεται από τη σχέση : Για να υπάρχει βελτίωση από την εφαρµογή διάταξης TMR πρέπει να ισχύει: Ησυνάρτηση γίνεται µέγιστη στο p C = 0,75 που δίνει αντίστοιχη κατώτατη τιµή αξιοπιστίας του ψηφοφόρου 0,889. 6

7 ιατάξεις µε πλεονασµό ψηφοφόρων Στην παραπάνω διάταξη, έχουν χρησιµοποιηθεί 3 ψηφοφόροι, µε αποτέλεσµα να εµφανίζεται υψηλότερη ανοχή σε σφάλµατα αφού σφάλµα ενός ψηφοφόρου διοχετεύεται µόνο για ένα στάδιο. ιάταξη TMR µε επισκευή Η µελέτη της διάταξης TMR µε ρυθµό επισκευής µ, στην περίπτωση µόνο που υπάρχει µία βλάβη, γίνεται µε χρήση του παραπάνω διαγράµµατος Markov. Θεωρώντας τις καταστάσεις s 0 και s 1 ως καταστάσεις λειτουργίας της διάταξης, επιλύοντας το διάγραµµα Markov µε στοχαστικό πίνακα και µετασχηµατισµό Laplace καταλήγουµε ότι η διαθεσιµότητα δίνεται από τη σχέση: 7

8 Αξιοπιστία λογισµικού Ηαξιοπιστία λογισµικού (software reliability) αφορά την πιθανότητα το λογισµικό να εκτελέσει την επιθυµητή λειτουργία του (όπως αυτή ορίζεται στις προδιαγραφές) χωρίς σφάλµα για µια συγκεκριµένη χρονική περίοδο. Η ανάπτυξη και εφαρµογή πιθανοτικών µεθόδων για την περιγραφή της εµφάνισης σφαλµάτων του λογισµικού συνεργάζεται άµεσα µε τις φάσεις του σχεδιασµού, προγραµµατισµού και δοκιµών στο κύκλο ζωής. Οι πιθανοτικές µέθοδοι αντλούν δεδοµένα από τα σφάλµατα που εντοπίζονται και αποσκοπούν στην περιγραφή της διαδικασίας βελτίωσης του λογισµικού µε κατάλληλες πιθανοτικές κατανοµές και παραµέτρους. Φάσεις του κύκλου ζωής λογισµικού 8

9 Κύκλος ζωής λογισµικού (χωρίς πρωτότυπο) Κύκλος ζωής λογισµικού (µε πρωτότυπο) 9

10 Κύκλος ζωής λογισµικού µε σταδιακή ανάπτυξη Πιθανοτική περιγραφή δεικτών αξιοπιστίας λογισµικού Aν n(t) ο αριθµός των συστηµάτων υπό δοκιµή τη χρονική στιγµή t, µε κατάλληλη λογική αναπτύσσονται οι µαθηµατικές εξισώσεις και τα µεγέθη που περιγράφουν την αξιοπιστία: όπου z(t) ο ρυθµός βλάβης, f(t) η σππ της εµφάνισης βλάβης και R(t) η αξιοπιστία. Συνεπώς, εύκολα προκύπτουν οι σχετικοί δείκτες: 10

11 Σφάλµατα λογισµικού «Σφάλµατα» (faults) στον κώδικα µπορεί να προκαλέσουν «λάθη» (errors) στη λειτουργία του λογισµικού µε τελικό αποτέλεσµα την «απώλεια λειτουργίας» (failure) του συστήµατος. Πάντως οι µηχανικοί λογισµικού σπάνια διαφοροποιούν τόσο πολύ τα γεγονότα αυτά και συνήθως αναφέρονται σε σφάλµατα κώδικα (software bugs). Στις µελέτες αξιοπιστίας λογισµικού, ως σφάλµατα θεωρούνται: Σφάλµατα που είχαν προέλθει στη φάση της ανάλυσης των απαιτήσεων και καθορισµού των προδιαγραφών, αφού αυτά τελικά µεταβιβάζονται στον κώδικα και προκαλούν µη επιθυµητή λειτουργία του συστήµατος. Σφάλµατα λογικής του προγράµµατος π.χ. σε ένα loop να εκτελείται κώδικας n- 1 φορές ενώ θα έπρεπε να εκτελείται n φορές. Σφάλµατα στο σχεδιασµό του κώδικα, τα οποία συνήθως εντοπίζονται στα διαγράµµατα τύπου ψευδοκώδικα (H-diagrams, control graphs κ.α.) Τα σφάλµατα αυτά και οι αντίστοιχες διορθώσεις πρέπει να καταγράφονται αναλυτικά κατά τη φάση του ελέγχου διάρθρωσης (configuration control). Πιθανοτικά µοντέλα για τη διόρθωση σφαλµάτων κώδικα Εάν στο χρόνο τ=0 υπάρχουν Ε Τ σφάλµατα τότε µετά από χρόνο τ θα έχουν διορθωθεί Ε C (τ) σφάλµατα και θα έχουν παραµείνει Ε r (τ) σφάλµατα έτσι ώστε να ισχύει Ηδιαδικασία διόρθωσης σφαλµάτων κώδικα ενδέχεται να προκαλεί την εµφάνιση νέων σφαλµάτων του κώδικα. Συνεπώς η διαδικασία επιδιόρθωσης σφαλµάτων µπορεί να περιγραφεί µε τα ακόλουθα διαγράµµατα 11

12 Γραµµικό µοντέλο διόρθωσης σφαλµάτων λογισµικού Σύµφωνα µε αυτό το µοντέλο ο αριθµός των σφαλµάτων που επιδιορθώνονται αυξάνει γραµµικά, µε το χρόνο ελέγχου του λογισµικού, οπότε θα ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: όπου ρ 0 µπορεί να εκφραστεί ως αριθµός σφαλµάτων που επιδιορθώνονται στη µονάδα του χρόνου ή σε κάποια µοντέλα στην ανθρωποώρα, έτσι ώστε να περιλαµβάνεται και η επίδραση του ανθρώπινου δυναµικού της εταιρείας λογισµικού που ασχολείται µε τον έλεγχο και τις δοκιµές του αναπτυσσόµενου λογισµικού. Μοντέλο ρυθµού διόρθωσης σφαλµάτων λογισµικού µε γραµµική µείωση Σύµφωνα µε το µοντέλο αυτό (Musa 1987) ο ρυθµός επιδιόρθωσης των σφαλµάτων µειώνεται γραµµικά, όποτε ισχύουν τα ακόλουθα: Αν τ 0 είναι ο χρόνος όπου µηδενίζεται ο ρυθµός επιδιόρθωσης σφαλµάτων, τότε θεωρούµε ως Κ την αρχική τιµή του ρυθµού βλάβης, τα εναποµείναντα σφάλµατα θα δίνονται από την ακόλουθη σχέση: 12

13 Μοντέλο ρυθµού διόρθωσης σφαλµάτων λογισµικού µε εκθετική µείωση Σύµφωνα µε το µοντέλο αυτό, ο ρυθµός διόρθωσης σφαλµάτων εξαρτάται γραµµικά µε τον αριθµό των σφαλµάτων που αποµένουν στο λογισµικό Με την κατάστρωση και επίλυση της διαφορικής εξίσωσης από την παραπάνω σχέση, προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις Πιθανοτικά µοντέλα αξιοπιστίας λογισµικού Στη συνέχεια, θα πρέπει να συσχετιστούν τα µοντέλα διόρθωσης σφαλµάτων λογισµικού µε τους πιθανοτικούς δείκτες της αξιοπιστίας του λογισµικού. Σύµφωνα µε σχετικές µελέτες είναι δυνατόν να θεωρηθεί για το ρυθµό σφαλµάτων ότι: Εάν θεωρηθεί γραµµικό µοντέλο διόρθωσης σφαλµάτων κώδικα τότε: Με δεδοµένο ότι έχουµε εκτιµήσει τις παραµέτρους Ε Τ k και ρ 0 η εξάρτηση του χρόνου ελέγχου και της αξιοπιστίας του λογισµικού µπορεί να υπολογιστεί κάνοντας την ακόλουθη αντικατάσταση : 13

14 Εξάρτηση της αξιοπιστίας και χρόνου ελέγχου λογισµικού (γραµ. διορθ. σφαλµ.) Στο παραπάνω διάγραµµα φαίνεται πως όσο µεγαλύτερος είναι ο χρόνος διόρθωσης σφαλµάτων τ τόσο µεγαλύτερη αξιοπιστία εµφανίζει το λογισµικό στο αντίστοιχο κανονικοποιηµένο χρονικό διάστηµα Εκθετικό µοντέλο διόρθωσης σφαλµάτων και αξιοπιστία λογισµικού Σύµφωνα µε το εκθετικό µοντέλο διόρθωσης σφαλµάτων, ο ρυθµός διόρθωσης σφαλµάτων είναι γραµµικά εξαρτώµενος από τον αριθµό των σφαλµάτων που έχουν παραµείνει στο λογισµικό. Με κατάλληλες µαθηµατικές πράξεις, υπολογίζεται η έκφραση του αριθµού σφαλµάτων που παρέµειναν στο λογισµικό. Με αντικατάσταση στην εξίσωση της αξιοπιστίας προκύπτει η ακόλουθη σχέση: Οδείκτης MTTF προκύπτει µε ολοκλήρωση της έκφρασης της αξιοπιστίας και είναι ίσος µε: 14

15 Πλεονασµός στο λογισµικό µε προγραµµατισµό Ν εκδόσεων Ηεφαρµογή TMR διατάξεων όπως παρουσιάστηκε για το υλικό, είναι δυνατόν να εµφανιστεί και στο λογισµικό. Όµως, η χρήση πανοµοιότυπων ενοτήτων προγράµµατος και διάταξη ψηφοφόρου δεν θα άλλαζε κάτι, αφού σε συγκεκριµένες αρχικές συνθήκες όλες οι ενότητες ή καµία ενότητα δεν θα εµφάνιζε σφάλµα. Στην περίπτωση αυτή αναπτύσσονται οι ενότητες προγραµµάτων µε διαφορετικό τρόπο αλλά τις ίδιες προδιαγραφές, επιτελώντας κάθε φορά την ίδια λειτουργία. Συχνά απαιτούνται ανεξάρτητες οµάδες ανάπτυξης λογισµικού, διαφορετικές σχεδιαστικές φιλοσοφίες και ενδεχοµένως διαφορετικές πλατφόρµες ανάπτυξης. Με αυτόν τον τρόπο διασφαλίζεται η ανεξαρτησία της εµφάνισης σφαλµάτων κώδικα µεταξύ των διαφόρων ενοτήτων λογισµικού. Ανάπτυξη ανεξάρτητων εκδόσεων λογισµικού Ηανάπτυξη ανεξάρτητων εκδόσεων λογισµικού πρέπει να χαρακτηρίζεται από τα ακόλουθα: Κάθε οµάδα ανάπτυξης έχει τις ίδιες προδιαγραφές λογισµικού. Η επικοινωνία µεταξύ των οµάδων ανάπτυξης πρέπει να είναι περιορισµένη και ελεγχόµενη από την κεντρική διοίκηση. Κάθε έκδοση λογισµικού υπόκειται στις ίδιες διαδικασίες δοκιµών Πιθανοί λόγοι για εξαρτηµένες βλάβες: Παρανόηση των προδιαγραφών µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο Παρανόηση των αρχικών συνθηκών και ρυθµίσεων Ίδιος τρόπος σχεδιασµού σε συγκεκριµένα δύσκολα σηµεία του προγράµµατος. 15

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΟΜΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΟΜΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΟΜΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μερικές παρατηρήσεις και σκέψεις του συγγραφέα του βιβλίου Σχετικά µε τη µετάβαση από Ρ σε ΠΠ υπάρχουν 2 σηµαντικά ερωτήµατα:

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η Ανάλυση και ο Σχεδιασµός στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η Ανάλυση και ο Σχεδιασµός στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής 1 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Η και ο στην Ενοποιηµένη ιαδικασία ρ. Πάνος Φιτσιλής Περιεχόµενα Γενικές αρχές ανάλυσης και σχεδιασµού Τα βήµατα της ανάλυσης και του σχεδιασµού Συµπεράσµατα 2 3 Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ε 07.01.10. Έκδοση 1.0 / 18.1.2010 Η ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΗΣ 07 ΓΕΝΙΚΑ 01 ΓΕΝΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ

Ε 07.01.10. Έκδοση 1.0 / 18.1.2010 Η ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΗΣ 07 ΓΕΝΙΚΑ 01 ΓΕΝΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ Ε 07.01.10 ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΥΠΟ ΟΜΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Έκδοση 1.0 / 18.1.2010 07 ΓΕΝΙΚΑ 01 ΓΕΝΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ 10 Η ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΗΣ Η Οδηγία τέθηκε σε ισχύ με την υπ αριθμ. Γ/4.333.082/18.1.2010

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

y 1 Output Input y 2 Σχήµα 1.1 Βασική δοµή ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόγχου

y 1 Output Input y 2 Σχήµα 1.1 Βασική δοµή ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόγχου Τ.Ε.Ι. ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜHΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓIΑΣ Σηµειώσεις για το εργαστήριο του µαθήµατος ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ I ΓΑΥΡΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΚΟΖΑΝΗ 2008 Κεφάλαιο 1 ο Ορισµός Συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής

Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής ρ Γ. Γιαννακίδης Εισαγωγή Στόχοι και Οφέλη Ανάλυση Κόστους Κύκλου Ζωής Life Cycle Cost Analysis - LCCA Μέθοδος οικονοµικής σύγκρισης εναλλακτικών επενδύσεων που βασίζεται στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Απαιτήσεων Απαιτήσεις Λογισµικού

Ανάλυση Απαιτήσεων Απαιτήσεις Λογισµικού ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΜΑΤΙΚΗΣ Ανάλυση Απαιτήσεων Απαιτήσεις Λογισµικού Μάρα Νικολαϊδου Δραστηριότητες Διαδικασιών Παραγωγής Λογισµικού Καθορισµός απαιτήσεων και εξαγωγή προδιαγραφών

Διαβάστε περισσότερα

Ως ανάπτυξη προϊόντος ορίζεται όλο το σύνολο των δραστηριοτήτων από την έρευνα αγοράς, µέχρι την παράδοσή του στον πελάτη.

Ως ανάπτυξη προϊόντος ορίζεται όλο το σύνολο των δραστηριοτήτων από την έρευνα αγοράς, µέχρι την παράδοσή του στον πελάτη. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ως ανάπτυξη προϊόντος ορίζεται όλο το σύνολο των δραστηριοτήτων από την έρευνα αγοράς, µέχρι την παράδοσή του στον πελάτη. Η µεθοδολογία είναι κοινή για όλα τα προϊόντα, αλλά η µεθοδολογία που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΚΕΥΗ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΠΤΙΚΩΝ ΙΝΩΝ & ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΩΝ (OLTE/MUX) ΥΛΙΚΟ: Με τον παρόν Συµπλήρωµα:

ΣΥΣΚΕΥΗ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΠΤΙΚΩΝ ΙΝΩΝ & ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΩΝ (OLTE/MUX) ΥΛΙΚΟ: Με τον παρόν Συµπλήρωµα: ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΡΙΘ. ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ : 401306 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Νο 3 ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΟΘΗΚΩΝ, ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ & ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21-06-2013 Οδός ΥΡΡΑΧΙΟΥ 89 & ΚΗΦΙΣΟΥ Τ.Κ. 104 43 ΑΘΗΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ).

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

UCL=c+3 c Κεντρική Γραµµή=c LCL=c-3 c Όταν το LCL βγεί αρνητικό τότε παίρνουµε LCL=0.

UCL=c+3 c Κεντρική Γραµµή=c LCL=c-3 c Όταν το LCL βγεί αρνητικό τότε παίρνουµε LCL=0. ιαγράµµατα Ελέγχου Αριθµού Μη-Συµµορφούµενων Μη-Συµµορφούµενο είναι ένα προϊόν που δεν ικανοποιεί µία ή περισσότερες προδιαγραφές. Συνεπώς κάθε µη-συµµορφούµενη µονάδα θα περιέχει τουλάχιστο µία µη-συµµόρφωση

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία πραγµατικού χρόνου Κατάτµηση της µνήµης

Επεξεργασία πραγµατικού χρόνου Κατάτµηση της µνήµης Επεξεργασία πραγµατικού χρόνου Κατάτµηση της µνήµης ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Α.ΒΑΪΡΗΣ 16 Σχεδιασµός του Λογισµικού ιεργασιών ανάπτυξη του λογισµικού λειτουργικός σχεδιασµός κωδικοποίηση δοκιµές συντήρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠαράδειγµαΠρογραµµατισµού

ΠαράδειγµαΠρογραµµατισµού Προγραµµατισµός Η/Υ Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Μεθοδολογία Προγραµµατισµού Αφαιρετικότητα Ροή Ελέγχου/ εδοµένων Βιβλίο µαθήµατος: Chapter 1,, Sec. 4-54 ΕΠΛ 131 Αρχές Προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός βασισµένος σε συνιστώσες

Σχεδιασµός βασισµένος σε συνιστώσες Σχεδιασµός βασισµένος σε συνιστώσες 1 Ενδεικτικά περιεχόµενα του κεφαλαίου Ποια είναι τα "άτοµα", από τα οποία κατασκευάζονται οι υπηρεσίες; Πώς οργανώνουµε τις συνιστώσες σε ένα αρµονικό σύνολο; Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός & Ανάπτυξη Προϊόντος

Σχεδιασµός & Ανάπτυξη Προϊόντος Σχεδιασµός & Ανάπτυξη Προϊόντος Αρχές Χρήσης Πρωτοτύπων ιαφάνειες ιαλέξεων ιδάσκων: Αναπλ. Καθ.. Καραλέκας 1 Πρωτοτυποποίηση: Η δηµιουργία/κατασκευή φυσικών ή/και αναλυτικών µοντέλων προσοµοίωσης των αρχών

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός & Ανάπτυξη Προϊόντος

Σχεδιασµός & Ανάπτυξη Προϊόντος Σχεδιασµός & Ανάπτυξη Προϊόντος Αρχές Χρήσης Πρωτοτύπων ιαφάνειες ιαλέξεων ιδάσκων: Καθ.. Καραλέκας 1 Πρωτοτυποποίηση: Η δηµιουργία/κατασκευή φυσικών ή/και αναλυτικών µοντέλων προσοµοίωσης των αρχών λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ε ι σ ή γ η σ η. Η Εξοικονόμηση Ενέργειας κατά τη Διαχείριση της Παραγωγής Ηλεκτρικής Ενέργειας στο Διασυνδεδεμένο Σύστημα της ΔΕΗ Α.Ε.

Ε ι σ ή γ η σ η. Η Εξοικονόμηση Ενέργειας κατά τη Διαχείριση της Παραγωγής Ηλεκτρικής Ενέργειας στο Διασυνδεδεμένο Σύστημα της ΔΕΗ Α.Ε. ΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΝΕΔΡΙΟ «ΕnergyTec 2006» & 1 η ΔΙΕΘΝΗΣ ΕΚΘΕΣΗ: ΜΟΡΦΕΣ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 23-25.11.2006 ΕΚΘΕΣΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΗΕLEXPO PALACE, MΑΡΟΥΣΙ Ε ι σ ή γ η σ η Η Εξοικονόμηση Ενέργειας κατά τη Διαχείριση

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ακαδημαϊκό Έτος 2014-2015 Περίοδος Φεβρουαρίου 2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ 1ο-2ο ΕΞΑΜΗΝΟ 3ο-4ο ΕΞΑΜΗΝΟ 5ο-6ο

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του Management: εµπεριέχει δύο βασικές λειτουργίες, την οργάνωση και τη διοίκηση, καθώς και µια βοηθητική, τον έλεγχο.

Η έννοια του Management: εµπεριέχει δύο βασικές λειτουργίες, την οργάνωση και τη διοίκηση, καθώς και µια βοηθητική, τον έλεγχο. Η έννοια του Management: εµπεριέχει δύο βασικές λειτουργίες, την οργάνωση και τη διοίκηση, καθώς και µια βοηθητική, τον έλεγχο. Η έννοια της οργάνωσης: ως ενέργεια: ρύθµιση των σχέσεων ανάµεσα στα µέλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Ατοµάτο Ελέγχο Μάθηµα 7 Εκτίµηση Esimaion στοχαστικών µεγεθών και παραµέτρων µε σνεχείς και διακριτούς αλγόριθµος Καλλιγερόπολος 7 Εκτίµηση Esimaion στοχαστικών µεγεθών και παραµέτρων Σνεχή και

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Εξισώσεων. Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων. λύση ... = ... ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Επίλυση Εξισώσεων. Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων. λύση ... = ... ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων m m... n... n mn M n b M b m µη-οµογενείς Μπορεί να υπάρχει µία, πολλές ή καµία λύση Προγραµµατισµός µε χρήση MATLAB 58 ΈστωΈστω το σύστηµα: 5 λύση: 7/3, 8/3 συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΘΕΡΜΟΣΤΑΤΗΣ ΗΛΙΑΚΩΝ 2 ΑΙΣΘΗΤΗΡΙΑ 1 ΕΝΤΟΛΗ SELTRON SGC13 1. Πρόλογος Οι ψηφιακοί διαφορικοί θερµοστάτες ηλιακών της SELTRON λειτουργούν µε µικροεπεξεργαστή, διαθέτουν απόλυτη ακρίβεια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Λογισμικό Συστήματος

Κεφάλαιο 4: Λογισμικό Συστήματος Κεφάλαιο 4: Λογισμικό Συστήματος Ερωτήσεις 1. Να αναφέρετε συνοπτικά τις κατηγορίες στις οποίες διακρίνεται το λογισμικό συστήματος. Σε ποια ευρύτερη κατηγορία εντάσσεται αυτό; Το λογισμικό συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Monte-Carlo ανάλυση αξιοπιστίας συστήµατος µνήµης RAM µε διόρθωση απλού σφάλµατος (SEC) και ανάγνωση-επανεγγραφή

Monte-Carlo ανάλυση αξιοπιστίας συστήµατος µνήµης RAM µε διόρθωση απλού σφάλµατος (SEC) και ανάγνωση-επανεγγραφή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ιπλωµατική Εργασία του Καλύβα Κ. ηµητρίου υπό την επίβλεψη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Εταιρείες Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Εταιρείες Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μέρος 13 Εταιρείες Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ανάπτυξη νέων προϊόντων-υπηρεσιών 13.1.1 Χρηµατοδότηση λειτουργίας Έρευνας & Ανάπτυξης (Ε&Α): A. εν υπάρχει προϋπολογισµός για Ε&Α. Η λειτουργία της

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή computer aided design and manufacture (cad/cam)

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή computer aided design and manufacture (cad/cam) Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στα συστήματα σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή computer aided design and manufacture (cad/cam) 1.1 Ορισμός σχεδιομελέτης και παραγωγής με χρήση υπολογιστή CAD (Computer

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/24 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΚΥΨΕΛΩΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΚΥΨΕΛΩΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΚΥΨΕΛΩΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΡΑ ΙΟΚΑΛΥΨΗ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ - Ευρεία Ραδιοκάλυψη Εξωτερικών χώρων -Βάθος Ραδιοκάλυψης -Interwoking µεταξύ συστηµάτων ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ -Μεγάλος αριθµός συνδροµητών -Μικρή απόρριψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΘΜΗΣ ΥΓΡΟΥ ΕΞΑΜΕΝΗΣ 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ Τα βασικά µέρη της εργαστηριακής διάταξης είναι κατασκευασµένα από την εταιρεία LUCAS-NULLE.

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΙΝ ΥΝΩΝ 13&14 ΜΑΪΟΥ 2003

ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΙΝ ΥΝΩΝ 13&14 ΜΑΪΟΥ 2003 Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ Η ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΗΣ ΚΡΙΣΙΜΗΣ ΥΠΟ ΟΜΗΣ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΙΝ ΥΝΩΝ ρ. Ιωάννης Α. Παπάζογλου Εργαστήριο Αξιοπιστίας Συστηµάτων & Βιοµηχανικής Ασφάλειας Ινστιτούτο

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η Υλοποίηση στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο. Η Υλοποίηση στην Ενοποιηµένη ιαδικασία. ρ. Πάνος Φιτσιλής 1 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Η Υλοποίηση στην Ενοποιηµένη ιαδικασία ρ. Πάνος Φιτσιλής Περιεχόµενα Πρωτοτυποποίηση Προγραµµατισµός υλοποίησης Ανάπτυξη συστήµατος Μοναδιαίος έλεγχος Ολοκλήρωση 2 3 Η υλοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων

ΤΕΙ Κρήτης, Παράρτηµα Χανίων ΠΣΕ, Τµήµα Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Η/Υ Εργαστήριο ιαδίκτυα & Ενδοδίκτυα Η/Υ ( ηµιουργία συστήµατος µε ροint-tο-ροint σύνδεση) ρ Θεοδώρου Παύλος Χανιά 2003 Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...2 2 ΤΟ ΚΑΝΑΛΙ PΟINT-TΟ-PΟINT...2

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η

53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η ΠΑΓΚΡΑΤΙ: Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : 210/76.01.470 210/76.00.179 ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 31 5 2007 Γ Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 31 5 2007 Γ Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 31 5 2007 Γ Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Θέµα 1 ο ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΣΧΟΛΙΑ Α) 1) Σωστό 2) Λάθος 3) Σωστό 4) Λάθος 5) Λάθος Β) 1) i) σελ 127 σχολικού (πλεονεκτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΗΓΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΡΥΘΜΙΣΗ ΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΙΣΜΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΗΓΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΡΥΘΜΙΣΗ ΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΙΣΜΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΗΓΜΕΝΩΝ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΡΥΘΜΙΣΗ ΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΙΣΜΟΥ Μ. Βασιλειάδου, Α. Κράλλης, Κ. Κωτούλας, Α. Μπάλτσας, Ε. Παπαδόπουλος, Π. Πλαδής, Χ. Χατζηδούκας

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΟΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΣΥΛΛΟΓΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ (S C A D A)

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΟΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΣΥΛΛΟΓΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ (S C A D A) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΟΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΣΥΛΛΟΓΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ (S C A D A) O όρος Συστήματα Εποπτικού Ελέγχου ελάχιστα χρησιμοποιείται πλέον από μόνος του και έχει αντικατασταθεί στην πράξη από τον όρο:

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ (1,5 Μονάδες) Στην παράδοση είχε παρουσιαστεί η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης «καθαρής συναγωγής» σε µία διάσταση, η µαθηµατική δοµή της οποίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

GIS: Εισαγωγή στα Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών

GIS: Εισαγωγή στα Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών GIS: Εισαγωγή στα Γεωγραφικά Συστήµατα Πληροφοριών Σηµειώσεις Σεµιναρίου ηµήτρης Τσολάκης v1.2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή... 9 1.1. GIS in Greek...10 1.2. Γιατί GIS;...10 1.3. Τι Είναι τα GIS...12 1.3.1.

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα