אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

Transcript

1 Analytical Electromagnetism Fall Semester אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען ליחידת נפח. באופן דומה ניתן להגדיר צפיפות מטען משטחית σ בעלת יחידות של מטען לשטח וצפיפות מטען אורכית λ בעלת יחידות של מטען לאורך. צפיפות זרם נפחית מוגדרת בתור זרם ליחידת שטח החתך דרכו הוא זורם I da J כאשר da הוא אלמנט שטח החתך דרכו זורם הזרם. לכן היחידות של צפיפות הזרם הנפחית J הן זרם ליחידת שטח. באופן דומה ניתן להגדיר צפיפות זרם משטחית (צפיפות זרם שמוגבלת לאזור דו מימדי ואשר יחידותיה הן זרם ליחידת אורך. משוואת הרציפות מקשרת בין צפיפות המטען לצפיפות הזרם ρ t + J 0. J ולכן מתקיים 0 ρ בסטטיקה 0 t. דוגמא חשבו את צפיפות הזרם עבור המערכות הבאות:. גליל בעל רדיוס R. 2. קליפה גלילית בעלת רדיוס R. כאשר בכל אחת מן המערכות זורם זרם כולל I בכיוון ציר הסימטריה. הזרם מתפלג באופן אחיד.. כשהזרם מתפלג באופן אחיד מתקיים כי I JA כאשר A הוא שטח החתך דרכו זורם הזרם. במקרה זה A. πr 2 לכן צפיפות הזרם הינה J I πr 2 ẑ

2 202 3 retsemes llaf msitengamortcele lacitylana 2. במערכת של קליפה גלילית הזרם מוגבל לאזור במרחב r R ולכן J I δ (r R לגודל (R I δ r ישנן יחידות של זרם ליחידת אורך ולכן חסר לנו פקטור נוסף בעל יחידות של אחד חלקי אורך בכדי לקבל את היחידות המתאימות עבור J. הגודל היחיד בבעיה בעל יחידות של אורך הינו R ולכן אנו יודעים כי עד כדי פקטור מספרי שנסמנו באות α מתקיים J α I δ (r R R כדי לקבוע את α נדרוש כי אינטגרל על צפיפות הזרם ייתן את הזרם הכולל. אלמנט שטח בקואורדינטות גליליות da rdrdϕ I J rdrdϕ 2π α I δ (r R rdr R 2παI J I δ (r R ẑ 2πR α ולכן כלומר 2π K נקרא צפיפות הזרם המשטחית על הקליפה והיחידות שלו הן זרם I הגודל 2πR ליחידת אורך. ניתן להבין אותו בצורה הבאה: הזרם הכולל I מתפלג באופן אחיד על פני "אורך החתך" דרכו הוא זורם.2πR 2 אלקטרוסטטיקה חוק קולון עבור השדה שיוצר מטען חשמלי נקודתי q הממוקם בראשית הצירים E q r 2r משוואות מקסוול הסטטיות עבור השדה החשמלי E 4πρ (Gauss Law E 0 ניתן לכתוב את משוואות מקסוול כמשווואות אינטגרליות בצורה זו ניתן להבין בדרך אינטואיטיבית: S E da 4πQ enclosed E dl 0 2

3 Analytical Electromagnetism Fall Semester השטף החשמלי דרך משטח סגור שווה לסך המטען הכלוא בתוך המשטח. 2. בסטטיקה (ובסטטיקה בלבד אינטגרל על השדה החשמלי לאורך כל מסלול סגור מתאפס. ניתן להגדיר את הפוטנציאל החשמלי Φ אשר יקיים את משוואת פואסון E Φ 2 Φ 4πρ (באין נוכחות התפלגות מטען, משוואת פואסון תצטמצם למשוואת לפלס 0 Φ. 2 מכאן ניתן להגיע לפוטנציאל שיוצר מטען נקודתי לפי חוק קולון Φ q r 3 מגנטוסטטיקה J I dl dv חוק ביו סבר עבור השדה המגנטי הכולל שיוצרת התפלגות זרם B I dl r c r 2 dv J r c r 2 משוואות מקסוול הסטטיות עבור השדה המגנטי B 0 B 4π c J (Ampere s Law ניתן לכתוב את משוואות מקסוול כמשווואות אינטגרליות בצורה זו ניתן להבין בדרך אינטואיטיבית: S B da 0 B dl 4π c I enclosed. השטף המגנטי דרך כל משטח סגור תמיד שווה לאפס נובע מהעובדה שעד היום לא נמצאו מונופולים (מטענים מגנטיים בטבע. 2. בסטטיקה (ובסטטיקה בלבד אינטגרל על השדה המגנטי לאורך מסלול סגור שווה לסך הזרם העובר דרך המסלול. 3

4 Analytical Electromagnetism Fall Semester E q r 2 r 4 דוגמאות 4. בעיה. הראו כי השדה של חוק קולומב, מקיים את המשוואה 0 E. 2. בסעיף זה נקבל את הגדרת הפוטנציאל החשמלי מתוך חוק קולומב. ע"י שימוש בחוק קולומב עבור אלמנט מטען אינפיניטסימלי, רישמו ביטוי עבור השדה החשמלי של התפלגות מטען כללית. הראו כי ניתן לבטא את השדה החשמלי הנ"ל באמצעות גרדיאנט הפועל על שדה סקלרי E Φ ומתוך כך הגיעו לביטוי עבור הפוטנציאל של התפלגות מטען כללית. E f(rr. השדה החשמלי הוא מהצורה כלומר יש לו רכיב רדיאלי בלבד, שתלוי רק ב r. בנוסחא ל curl של שדה, כל רכיב נגזר לפי הקואורדינטות האחרות (כלומר רכיב E r נגזר לפי,θ ϕ ולכן אין ספק כי E 0 2. נסתכל על רכיב השדה בנקודה r שנוצר כתוצאה מנוכחות מטען אינפיניטסימלי בנקודה r, אשר לפי חוק קולומב שווה ל de( r dq( r r r 2 (r r E( r de( r dq( r (r r r r 2 dv ρ( r (r r r r 2 ( dv ρ( r r r r השדה הכולל בנקודה r יהיה לכן 4

5 202 3 retsemes llaf msitengamortcele lacitylana אבל ניתן להוציא את הגרדיאנט מתוך האינטגרל כי הוא פועל על r והאינטגרל הוא על r r ( r Φ( r dv ρ( r ( r r 4.2 בעיה במגנטוסטטיקה, בהנתן צפיפות הזרם,J(x ניתן לקבל עבור הווקטור פוטנציאל את הנוסחא הבאה: A(x d 3 x J(x c A c ( J(x d 3 x הראו כי מתקיים 0 A. ובכן, מאחר ש כאן גוזר לפי x ולא לפי x, הווקטור J(x הוא אפקטיבית קבוע בגזירה, ( J(x ( x x J(x ( נסמל ב את הנגזרת לפי x, ואז ( A ( d 3 x J(x c d 3 x ( J i (x c x i i לפיכך אינטגרציה בחלקים, תוך כדי הסתמכות על כך שהזרם באינסוף מתאפס, נותנת לנו A d 3 x c J(x 0 וזאת משום ש 0 J מאחר שאנו במגנטוסטטיקה. 5