פיסיקה - 2 מאגר שאלות ופתרונות מלאים

Transcript

1 פיסיקה - מאגר שאלות ופתרונות מלאים,. חוק קולון צפיפות אחידה מטען ממוקם במרכז קשת חצי מעגלית בעלת רדיוס. חצי קשת עליון טעון במטען F הפועל על המטען וחצי קשת תחתון טעון במטען - (ראו שרטוט). מצאו את הכוח Y - X F., צפיפות מטען בקשת השלילית: צפיפות מטען בקשת החיובית: נחשב את הכוח שמפעילה הקשת החיובית על המטען: F F F ( cos î sin ĵ) ( cos î sin ĵ) ( cos î sin ĵ) ( î ĵ) F F ובאותו אופן נחשב את הכוח שמפעילה הקשת השלילית על המטען: ( cos î sin ĵ) ( cos î sin ĵ) ( cos î sin ĵ) ( î ĵ) F F F F ĵ נסכום את שני הכוחות שקיבלנו ונקבל את הכוח הפועל על המטען:

2 חוק קולון צפיפות אחידה נתונים שני מוטות זהים דקים בעלי אורך המונחים לאורך ציר ה - X במרחק אחד מהשני, כמתואר בשרטוט. כל אחד מהמוטות טעון באופן אחיד במטען כולל. מהו הכוח הפועל על המוט הימני? נבצע את התהליך ע"י אינטגרל כפול, כלומר, נחלק את שני המוטות לקטעים דיפרנציאליים נכתוב את הכוח בין שני הקטעים ואז נסכום ע"י אינטגרל כפול על הכוחות בין כל הקטעים כל שני המוטות: F F F ( ) ( ) ( ) ( ) [ ln( ) ln( )] [ ln( - ) ln ln( - ) ln ] [ ln ln ln ln ] ln

3 P, חוק קולון צפיפות אחידה חשבו את הכוח החשמלי שפועל על מטען הממוקם בנקודה, P הנמצאת במרחק אנכית מעל קצהו השמאלי של תיל סופי בעל אורך עפ"י השרטוט הנתון. התיל טעון אחיד במטען כולל. F P X נחלק את התיל לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר האלמנט, את השדה החשמלי נקבל ע"י אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים. המשתנה שלפיו אבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך. המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות הזוית: K F cos cos sin sin tn cos cos sin î cos ĵ cos F K cos K ( sin î cos ĵ) sin î cos ĵ כעת עליי לקבוע מהם גבולות האינטגרציה המתאימים לבעיה ולמשתנה שבחרתי (הזוית). גבול תחתון הוא הזוית של השדה שיוצרת הנקודה השמאלית ביותר של התיל, כלומר הגבול התחתון של. האינטגרל: הגבול העליון הוא השדה שיוצרת הנקודה הימנית ביותר של תיל, לצורך החישוב נסתכל על המשולש ישר הזוית שנוצר, הניצב האופקי שווה, הניצב האנכי שווה, ולפיכך הגבול העליון של האינטגרל: cos, sin

4 :לרגטניאה תא עצבנ [ ] [ ] ĵ î - K ĵ - sin î cos - K ĵ - sin sin î cos - cos K ĵ sin cos î K ĵ cos sin î K ĵ cos sin î K F

5 חוק קולון - צפיפות משתנה תיל לא מוליך מכופף לקשת חצי מעגלית בעלת רדיוס. התפלגות המטען על התיל היא:. כאשר ערכו של הקבוע C אינו ידוע. C א. מהו C אם נתון כי סך כל המטען על התיל הוא?, כאשר C הוא הקבוע שאת ערכו C ב. כעת נתון כי התפלגות המטען היא: sin מצאתם בסעיף א'. מהו הכוח הפועל על מטען נקודתי הנמצא במרכז המעגל? השרטוט הנתון בשאלה: l C א. C C C C F K F l Csin -sin î cos ĵ F KC F KC sin (- sin î sin cos ĵ) KC K î KC (- sin î cos ĵ) sin( - sin î cos ĵ) KC cos sin î sin ĵ ב.

6 שדה חשמלי צפיפות אחידה: (.6 מחוברת הקורס) על מוט מבודד באורך מפוזר מטען חשמלי - בצפיפות אחידה. P א. ב. ג. חשב את צפיפות המטען האורכית. חשב את השדה החשמלי בנקודה הראה כי במרחקים גדולים, הנמצאת במרחק מקצה מוט כמופיע באיור. <<, תשובתך לסעיף ב' תצטמצם לשדה של מטען נקודתי. - P חסר שרטוט מתאים!!! א. צפיפות המטען האורכית במוט: ב. נקבע ציר אופקי שכיוונו שמאלה, וראשיתו בנקודה P. נחלק את המוט לאלמנטים דיפרנציאליים i F i F F i ( ) i F ( ) i i i (נקודתיים), ונחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה P: i i <<, מתקיים בקירוב: i נסכום על כל הכוחות (ע"י אינטגרל): ( ) ( ) i ג. עבור מרחקים גדולים מהמוט, כלומר, כך שניתן לקרב את בכוח לביטוי הבא:

7 P שדה חשמלי צפיפות אחידה חשבו את השדה החשמלי בנקודה P הנמצאת במרחק אנכית מעל קצהו השמאלי של תיל סופי בעל אורך, עפ"י השרטוט הנתון. התיל טעון אחיד במטען כולל. P נחלק את התיל לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר האלמנט, את השדה החשמלי נקבל ע"י אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים. המשתנה שלפיו אבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך. המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות הזוית: K cos sin sin cos tn cos sin î cos ĵ cos cos K ( sin î cos ĵ) K sin î cos ĵ cos כעת עלינו לקבוע מהם גבולות האינטגרציה המתאימים לבעיה ולמשתנה שבחרתי (הזווית). גבול תחתון הוא הזוית של השדה שיוצרת הנקודה השמאלית ביותר של התיל, כלומר הגבול התחתון של. האינטגרל הוא: הגבול העליון הוא השדה שיוצרת הנקודה הימנית ביותר של תיל, לצורך החישוב נסתכל על המשולש ישר הזוית שנוצר, הניצב האופקי שווה, הניצב האנכי שווה, ולפיכך הגבול העליון של האינטגרל: tn ctn נבצע את האינטגרל: ) ( K sin î cos ĵ [ cos î sin ĵ ] K sin î cos ĵ K K [( cos - cos) î ( sin - sin) ĵ] וכעת ניתן להציב את הגבולות שקיבלנו. X

8 שדה חשמלי צפיפות קבועה מצאו את השדה החשמלי במרחב, שיוצר תיל אינסופי טעון אחיד בצפיפות מטען אורכית לחשב ע"י חוק גאוס). (נא לא Y השרטוט המתאים לבעיה: ' X ' ' tn cos cos שדה חשמלי שיוצר אלמנט אורך מהתיל הוא: המטען שמכיל אלמנט אורך הוא: : נמצא את הקשר בין ולפיכך: ל cos ' ' ' cos î sin ĵ cos : cos ' ' cos נביע גם את המרחק בין הנקודה P לנקודה על התייל באמצעות הזווית נביע את וקטור הכיוון ע"י הזווית: וכעת נוכל לחשב את השדה החשמלי: ( cos î sin ĵ) ( cos î sin ĵ) ( cos î sin ĵ) ĵ אינטגרל על רכיב אופקי מתאפס כצפוי, כך שהשדה והא בכיוון ניצב בלבד.

9 שדה חשמלי צפיפות קבועה מכופפים תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען אורכית לצורה המתוארת באיור. הצורה מורכבת משני מקטעים ישרים ("חצי אינסופיים") המקבילים זה לזה, ומחצי מעגל בעל רדיוס. מצאו, ע"י שימוש באינטגרלים, את השדה במרכז המעגל (נקודה P). חצי מעגל! P ( sini cos j ) נחשב את השדה שיוצרת הקשת החצי מעגלית בנקודה P: ( i j) [ cos i sin sin cos j] i tn cos cos cos כעת נחשב את השדה שיוצרים שני התיילים הישרים: נמצא את הקשר בין ל : ולפיכך: נביע גם את המרחק בין הנקודה P לנקודה על התייל באמצעות הזווית : וכעת נוכל לחשב את השדה החשמלי:

10 [ ] i j i j i j i j i j i j i sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos cos sin cos sin ןתיי ונלביקש תודשה ינש םוכס :P הדוקנב הדשה תא :םירשיה םילייתה םירצויש הדשה בושיחל תפסונ ךרד i i j i j i up own :םינתשמ תפלחה עצבנ n n n n :לרגטניאה תא םירתופו i i i n i n n

11 - שדה חשמלי מוט מבודד דק שאורכו נושא בחציו העליון מטען בצפיפות אחידה ובחציו התחתון מטען בצפיפות. א. השתמש בשיקולי סימטריה על מנת למצוא את כיוונו של השדה החשמלי בנקודה P. ב. חשב את השדה החשמלי בנקודה P. ג. קח את הגבול בו << ומצא את השדה במרחק גדול מהמוט P >> ניתן להשתמש בקירוב: א. ציירו שני אלמנטים במרחק שווים ותראו שהרכיבים בציר מתבטלים. כך שמשיקולי סימטריה ניתן להניח בכיוון השדה יהיה הכיוון השלילי של ציר. P ב. נחלק את המוט לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר אלמנט, ואת השדה החשמלי נקבל ע"י אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים. המשתנה שלפיו נבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך. המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות הזוית: cos tn cos cos cos ĵ sin ( cos ĵ sin ) ( cos ĵ sin ) cos cos נגדיר את הזווית הקיצונית ביותר (לצורכי גבולות איטגרציה): cos sin נבצע את האינטגרל (שימו לב לגבולות):

12 [ ] [ ] [ ] [ ] cos cos ĵ sin cos ĵ sin cos ĵ sin cos ĵ sin sin ĵ cos - sin ĵ cos.ג תא אצמנו בוריקה תא עצבנ :הדשה >> :אוה הדשה

13 (,,) A שדה חשמלי- צפיפות אחידה: (.5 מחוברת הקורס) מדיסקה שרדיוסה אחידה הוצאה דיסקה שרדיוסה הטעונה בצפיפות מטען שטחית. A כך שנוצרה דיסקה עם חור במרכזה (ראה איור). הדיסקה מונחת. חשב את השדה החשמלי בנקודה במישור ing ( ) שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה: ע"י ביטוי זה, נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי בעלת רדיוס כלשהו, ואז נסכום ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים: S ( ) ( ) ( ) ( )

14 (סרוקה תרבוחמ.7) ילמשח הדש.א הבוגב ילמשחה הדשה תא ובשח הסוידרש תילגעמ הקסד לש הזכרמל לעמ הנועטה ןעטמב תופיפצב הדיחא אל α. תועצמאב םכתבושת תא ועיבה. :אבה לרגטניאב שמתשהל ךרוצ שי :ןורתפ :הקסדה לע ללוכה ןעטמה תא בשחנ הליחת S α α α α α :הירטמיסה ריצ לע הקד תעבט לש ילמשח הדש ing,הז יוטיב י"ע ילאיצנרפיד יבוע לעב תעבט לש ילמשח הדש בשחנ סוידר תלעב,והשלכ םוכסנ זאו :םיסוידרה יפל לרגטניא י"ע S α α α α α α α :אבה ןפואב ונלביקש יוטיבה תא טשפל ןתינ α

15 שדה חשמלי (.8 מחוברת הקורס) ( ) î לשם כך נשתמש בביטוי של שדה של טבעת: נחלק את הגליל לטבעות בעל עובי דיפרנציאלי (מבט מהצד): S המטען הדיפרנציאלי של טבעת: עבור טבעת דיפרנציאלית ועפ"י מערכת הצירים שבחרתי, השדה הדיפרנציאלי המתאים: î î ( ) ( ) שימו לב שהציר חיובי ימינה והגדרתי את האפס בנקודה. כך שהמשתנה הוא שלילי. כדי "לתקן" ולהחזיר את השדה להיות חיובי הוספתי מינוס לפני הביטוי. נחשב את השדה הכולל ע"י אינטגרל (שימו לגבולות): î î ( ) ( ) [ ] ( ) î [ ] ( ) î

16 שדה חשמלי נתון גליל מלא בעל רדיוס וגובה הנושא מטען כללי בצפיפות אחידה. חשבו את השדה החשמלי הנוצר בנקודה הנמצאת על ציר הסימטריה של הגליל במרחק מאחד מבסיסיו. הדרכה: השתמשו בביטוי שקיבלנו עבור שדה חשמלי שיוצרת דיסקה אחידה בנקודה הנמצאת על ציר הסימטריה, והפכו את הביטוי לשדה חשמלי דיפרנציאלי (מה שיהפוך לדיפרנציאל הוא המטען). חלקו את הגליל לדיסקות בעלות עובי דק וחשבו את השדה שיוצרת כל דיסקה כזאת, שימו לב שכעת מדובר בגוף עם צפיפות מטען נפחית כך שאת המטען שלו מחשבים ע"י צפיפות המטען כפול הנפח הדיפרנציאלי שלו. בנו את הביטוי לשדה החשמלי ואז סכמו ע"י אינטגרל שירוץ מהבסיס לאפה העליונה. ( ) î לשם כך נשתמש בביטוי של שדה של דסקה (מבט מהצד): נחלק את הגליל לטבעות בעל עובי דיפרנציאלי: המטען הדיפרנציאלי של טבעת: V עבור טבעת דיפרנציאלית ועפ"י מערכת הצירים שבחרתי, השדה הדיפרנציאלי המתאים: î î ( ) ( ) שימו לב שהציר חיובי ימינה והגדרתי את האפס בנקודה. כך שהמשתנה הוא שלילי. כדי "לתקן" הפכתי את הוספתי מינוס לפני הביטוי. נחשב את השדה הכולל ע"י אינטגרל (שימו לגבולות): î î ( ) [ ] î ( ) ( ) î ( ) î

17 ילמשח הדש הדיחא ןעטמ תופיפצב הנועט סוידר תלעב הקסיד.חטש תדיחיל ךרוא לעב טומ b תופיפצב ןועט העובק תיכרוא ןעטמ.,הלש הירטמיסה ריצ לע אצמנו הקסידל בצינ טומה קחרמב אצמנ וזכרמ,הקסידהמ ש ךכ b >..םיפוגה ןיב לעופה חוכה תא ובשח :ןורתפ הירטמיסה ריצ לע דיחא הנועט הקסיד תרצויש ילמשח הדש ונל עודי :(רבעב ונבשיח),םיטנמלאל טומה תא קלחנ,טנמלא לכ שיגרמש ילאיצנרפידה חוכה תא בשחנ לכ לע לרגטניא עצבנו :חוכה תלבקל טומה [ ] b b b b b b b b b b b F F F

18 שטף חשמלי קוביה בעלת צלע. C m בנויה מחומר לא מוליך וטעונה אחיד בצפיפות מטען,.m הקובייה נמצאת באזור בו שורר שדה חשמלי אחיד [C. ]î N מהו השטף הכולל דרך דפנות הקובייה? X השדה החיצוני לא תורם כלום לשטף הכולל דרך דפנות הקוביה, מה שנכנס יוצא. בהתאם לחוק גאוס השטף דרך דפנות הקוביה נובע מהמטען הכלוא בלבד: S V ( )

19 . XZ שטף חשמלי C, כאשר נתון שדה חשמלי ĵ חשבו את השטף דרך קובייה בעלת אורך צלע הוא קבוע. הממוקמת במרחק, ממישור C Z Y X השדה הוא בכיוון ציר Y כך שהוא ניצב לנורמל של ארבע פאות ומקביל לנורמל של שתיים (הפאה הימנית והפאה השמאלית). C ĵ Φ S S C ĵ ĵ C ĵ ĵ C eft igt C ( ) ( ) C

20 . חוק גאוס צפיפות קבועה מצאו את השדה החשמלי במרחב עבור כדור מלא טעון צפיפות מטען אחידה, ורדיוס מחוץ לכדור ניתן להתייחס אל המטען כאילו הוא מרוכז במרכז הכדור ולפיכך השדה החשמלי יהיה כמו של מטען נקודתי: > בתוך הכדור ניקח בחשבון רק את המטען הנמצא בתוך הרדיוס בו אנו בודקים את השדה החשמלי: ( < )

21 חוק גאוס צפיפות קבועה בכדור בעל רדיוס, הטעון במטען חיובי, בצפיפות אחידה יש חלל כדורי בעל רדיוס. b מרכז החלל נמצא במרחק ממרכז הכדור הגדול. מצאו את הגודל והכיוון של השדה החשמלי בתוך החלל. הראה שהשדה החשמלי בתוך החלל קבוע בגודלו וכיוונו. b, הדרכה: הגדר את מיקום הנקודה לצורך חישוב תרומת הכדור הגדול לשדה על ידי חיבור עם המצביע ממרכז החור אל הנקודה בה בודקים את השדה החשמלי. כדי ליצור חור בהתפלגות המטען דמיינו שהכדור שלם (ללא חור) ושבנוסף אליו יש כדור בעל רדיוס b הטעון ב -. נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא (רדיוס ( בעל צפיפות מטען, וכדור קטן (רדיוס b) בעל צפיפות מטען. מחשב את השדה שגורם כל אחד מהכדורים "הדמיוניים", וסכום של שני השדות ייתן לנו את השדה אותו אנו מחפשים. באופן כללי, שדה חשמלי בתוך כדור מלא וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ניתן ע"י: וכעת ניתן לחשב: ( ) b b

22 חוק גאוס צפיפות אחידה. מהחוברת) כדור מלא שרדיוסו (שאלה נושא מטען חשמלי בצפיפות מטען אחידה,. א. ב. הוא הוקטור ממרכז, כאשר הראו כי השדה החשמלי בתוך הכדור נתון בביטוי הכדור לנקודה כלשהי בתוך הכדור. קודחים חלל כדורי שרדיוסו בתוך הכדור. הראו כי השדה החשמלי בכל נקודות החלל הכדורי, כאשר הוא הוקטור המחבר את מרכז הכדור למרכז הוא אחיד ונתון בביטוי החלל. א. ניצור מעטפת גאוס כדורית בתוך הכדור בעלת מרכז משותף עם הכדור (כך שרדיוסה קטן מרדיוס S in V S in הכדור ). ע"י חוק גאוס נמצא את השדה החשמלי בתוך הכדור: ב. נשתמש בסופרפוזיציה של כדור מלא עם "חור" (צפיפות שלילית). נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא (רדיוס ( בעל צפיפות מטען, בעל צפיפות מטען. נחשב את השדה שגורם וכדור קטן (רדיוס b) כל אחד מהכדורים "הדמיוניים", וסכום של שני השדות ייתן לנו את השדה אותו אנו מחפשים. באופן כללי, שדה חשמלי בתוך כדור מלא וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ניתן ע"י: ( ) b b וכעת ניתן לחשב:

23 חוק גאוס (צפיפות קבועה) נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא (רדיוס ( בעל צפיפות מטען, וכדור קטן (רדיוס b) בעל צפיפות מטען. מחשב את השדה שגורם כל אחד מהכדורים "הדמיוניים", וסכום של שני השדות ייתן לנו את השדה אותו אנו מחפשים.. נסמן את השדה שיוצר כדור מלא, בעל רדיוס, ב -. את השדה שיוצר כדור מלא (עם צפיפות שלילית) בעל רדיוס, ב - באופן כללי, שדה חשמלי בתוך כדור מלא וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ניתן ע"י: (.5) (.5) in in out out.5 O ĵ ĵ ĵ א. חישוב השדה בנקודה : O לא מתאים לתשובה המופיעה בתרגיל!

24 .ב :A הדוקנב הדשה בושיח ĵ 7 68 ĵ 7 8 ĵ 7 8 ĵ ĵ 7 8 ĵ 8 6 ĵ ĵ ĵ A!ליגרתב העיפומה הבושתל םיאתמ אל.ג

25 . עם צפיפות מטען אחידה, חוק גאוס צפיפות קבועה מצאו את השדה החשמלי במרחב עבור לוח עבה אינסופי בעל עובי מבט מהצד: Z מישור XY משיקולים של סימטריה (זהים לאלה של לוח מישורי ללא עובי) מסיקים שכיוון השדה החשמלי ניצב ללוח בכיוון החוצה מהלוח. ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך ששטח הפאה העליונה ושטח הפאה התחתונה הוא. A מרחק הפאה העליונה ומרחק הפאה התחתונה ממישור XY שווה. נכתוב את חוק גאוס ונחשב בנפרד כל אחד מצידי המשוואה: in S S A in V A שימו לב שבחישוב האינטגרל, רק דרך הפאות העליונה והתחתונה יש שטף מכיוון שבפאות האלה,.S ניצב ל S ואילו בשאר הפאות מקביל ל נשווה בין הצדדים: > A A <

26 ,חולה יבועמ ןטק הלש הבוגהש ךכ תיתייבוק סואג תפטעמ רוצינ תעכ הנוילעה תואפה קחרמ בושו ל הווש היהי רושיממ הנותחתהו : :סואג קוח ךותמ הדשה תא בשחנ > > > > A A A V A S S in in רושימ XY Z

27 (סרוקה תרבוחמ.) העובק תופיפצ סואג קוח הדיחא תיחטשמ תופיפצב ןועט יפוסניא רושימ ןעטמ לש תיפוסניא תירושימ הבכש. בחור לעב,הדיחא תופיפצו,.רושימל הדומצ.םהיתומוקמל םיעובק םינעטמה לכ.בחרמה ירוזא לכב ילמשחה הדשה תא ובשח הבכשה זכרמב םיריצה תישאר תא וחק.תירושימה :ןורתפ.הבכשה תרצויש ילמשחה הדשה תאו רושימה רוציש ילמשחה הדשה תא דוחל בשחנ רבחל לכונ ךכ רחא (היציזופרפוס).םירוזאהמ דחא לכב תודשה תא הדיחא תיחטשמ תופיפצ לעב יפוסניא רושימ רצויש ילמשח הדש,סואג קוח י"ע לבקתמ) עצבתמ כ"דב :(האצרהב,הדשה ןוויכ,רושימל בצינב אוה תיבויח תופיפצ רובע.ץוח יפלכ תופיפצ תלעב הבעה הבכשה תרצויש ילמשח הדש הדיחא, קוח י"ע ךשמהב ףרוצמה חפסנב בשוחמ.סואג ריצ רובע אוה בושיחה.הבכשה זכרמב ותישארש ךכ הבכשל ךנואמ :ץוחבמ הדשה < > :םינפבמ הדשה > >,היציזופרפוס רחאל דחיב הבכשהו רושימה םירצויש בחרמב הדשה תא םילבקמ :(הלאשל הבושתה וז) < > > < < <,,,,

28 נספח לחישוב שדה של שכבה מישורית טעונה אחיד: נבחר את הראשית במרכז השכבה. מבט מהצד: מישור משיקולים של סימטריה (זהים לאלה של לוח מישורי ללא עובי) מסיקים שכיוון השדה החשמלי ניצב ללוח בכיוון החוצה מהלוח. ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך ששטח הפאה העליונה ושטח הפאה התחתונה הוא. A מרחק הפאה העליונה ומרחק הפאה התחתונה ממישור XY שווה. נכתוב את חוק גאוס ונחשב בנפרד כל אחד מצידי המשוואה: in S S A in V A שימו לב שבחישוב האינטגרל, רק דרך הפאות העליונה והתחתונה יש שטף מכיוון שבפאות האלה,.S ניצב ל S ואילו בשאר הפאות מקביל ל נשווה בין הצדדים: > A A < כעת ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך שהגובה שלה קטן מעובי הלוח, ושוב מרחק הפאות העליונה והתחתונה ממישור יהיה שווה ל : מישור S A A A, in V A :( S > > in נחשב את השדה מתוך חוק גאוס )

29 , הטעון, וצפיפות מטען חוק גאוס צפיפות קבועה בעזרת חוק גאוס קבעו מהו השדה החשמלי במרחב הנוצר ע"י גליל אינסופי, שרדיוסו בצפיפות מטען אחידה, ועטוף ע"י גליל שני חלול, שרדיוסו הפנימי -. חתך הרוחב של שני הגלילים נראה הציור. והחיצוני in S S in V in S S in יש אזורים שבהם נמצא את השדה, עבור כל אחד מהם ניצור מעטפת גאוס מתאימה. : > ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס ואורך ( ) ( ) ( ) V : ( > ) ( ) ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס < < ואורך ( ) ( ) ( ) ( < < ) ( ) : < < ניצור מעטפת גאוס גלילית עם רדיוס ואורך

30 6 V S S in in < < רוצינ סוידר םע תילילג סואג תפטעמ < ךרואו : in in V S S < <

31 , אורך חוק גאוס (צפיפות קבועה) סופרפוזיציה המערכת בשרטוט מכילה כדור מלא טעון אחיד (מטען, רדיוס ), ומוט טעון אחיד (מטען. המרחק בין קצה השמאלי של המוט למרכז הכדור הוא ). א. מצאו את השדה החשמלי בנקודה A, הנמצאת במרחק מימין לקצה הימני של המוט. ב. מצאו את השדה החשמלי בנקודה C, הנמצאת במרחק ממרכז המוט (על הציר האנכי). A in S S ( < ) ( > ) in in V ( < ) ( < ) שדה חשמלי של כדור מלא (חישוב זה רלוונטי לשני הסעיפים): ( > ) ( > ) א. שדה חשמלי שיוצר מוט בנקודה נמצאת על המשכו, עפ"י חישוב שהתבצע בכיתה ) הוא המרחק של הנקודה מקצה המוט, הוא אורך המוט): ( ) השדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה A: ( ) ( ) השדה החשמלי שיוצר הכדור המלא בנקודה A: השדה כולל בנקודה A מתקבל מהחיבור הוקטורי של שני השדות: A C

32 ב. שדה חשמלי שיוצר מוט לא אינסופי (בנקודה לא סימטרית): cos sin cos ŷ tn cos tn cos cos cos cos נגדיר שדה דיפרנציאלי: עפ"י השרטוט: נגדיר את המטען הדיפרנציאלי ע"י הזווית: נציב בשדה הדיפרנציאלי: ( sin cos ŷ) ( sin cos ŷ) ( sin cos ŷ) [ cos sin ŷ] [( cos cos ) ( sin sin ) ŷ] חישוב השדה ע"י אינטגרל: את הסינוס והקוסינוס של הזויות ניתן לחשב ע"י מיקומי קצוות המוט יחסית למערכת הצירים שנבחרה: sin cos sin cos

33 sin sin עבור נקודה C (על האנך המרכזי של המוט), מתקיים: cos.5 7 cos.5 7 [( cos cos ) ( sin sin ) ŷ] ŷ ŷ ŷ כך שהשדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה C הוא: ŷ ŷ ŷ השדה שיוצר הכדור המלא בנקודה C: 7 ŷ C נחבר את השדה שיוצר המוט עם השדה שיוצר הכדור המלא: ŷ ŷ ŷ

34 (סרוקה תרבוחמ.):הנתשמ תופיפצ סואג קוח םה ינוציחהו ימינפה היסוידרש הבע תירודכ הפילק ו,הדיחא אל תיחפנ תופיפצב ןעטמ תאשונ b A, רשאכ A.ירפסמ עובק וניה ירודכה ללחה לש וזכרמב ) ( יתדוקנ ןעטמ יוצמ. ירפסמה עובקה תויהל ךירצ המ A םוחתב הדשהש תנמ לע,עובק היהי.קחרמב יולת יתלב רמולכ :ןורתפ :עובק היהיש שורדנו רודכה ךותב םיוסמ סוידרב ילמשחה הדשה תא בשחנ A A S A A A A A A V S S in in in תא םצמצל לכונש ידכ ב יולת היהי אל השה ךכו האושהמ לש םידדצה ינשב, םיעובקהש ךירצ,ומצמטצי האוושמה לש ןימי דצב :רמולכ A A

35 חוק גאוס (צפיפות קבועה) א. השדה החשמלי במוליך עצמו הוא אפס (מכיוון שזה מה שקורה במוליך). אם ניצור מעטפת גאוס גלילית בתוך המוליך הצינורי נקבל שסך כל המטען בתוך המעטפת חייב להיות שווה אפס, ע"י הדרישה הזאת נמצא את צפיפות המטען ברדיוס הפנימי של הצינור: ברדיוס החיצוני צפיפות המטען היא: - b b ב. השדה החשמלי במרחב נחשב ע"י חוק גאוס. צידו השמאלי של החוק זהה לכל האזורים: S ( > b) ( < < b) ( < < ) in in in in כאשר הוא רדיוס מעטפת גאוס הגלילית, ו הוא אורך המעטפת. הצד הימני של החוק תלוי במטען הכלוא במעטפת:

36 חוק גאוס צפיפות משתנה כדור מלא בעל רדיוס, טעון בצפיפות מטען משתנה, התלויה ב-, הוא המרחק ממרכז הכדור. מטענו הכולל של הכדור הוא. מה צריכה להיות צפיפות המטען הנפחית של הכדור, (), כדי שהשדה. החשמלי בתוך הכדור יהיה קבוע בגודלו? נתונים:,, הדרכה: רשמו את חוק גאוס למקרה של השדה בתוך הכדור ודרשו שהשדה יהיה קבוע (ללא תלות ב- ). תקבלו תנאי על האינטרגל של (), ממנו ניתן למצוא את () (עד כדי קבוע). הערה: על מנת למצוא את התלות המפורשת (), צריך למצוא את הקבוע. מציאתו - מתוך התנאי על המטען הכולל (אינטגרל נפחי על הצפיפות נותן ). כדי למצוא את הצפיפות המתאימה, תחילה נדרוש שהשדה החשמלי יהיה קבוע. שדה חשמלי בתוך כדור מלא תלוי רק בכמות המטען,, הנמצא ברדיוס הקטן מהרדיוס בו בודקים את השדה: כאשר זהו המרחק ממרכז הכדור של הנקודה בה בודקים את השדה. עבור המטען מתקיים: ( Const ) C C. לפיכך הדרישה שלנו היא: כלומר ש לא יהיה פונקציה של כעת יש לנו דרישה חדשה: C הוא קבוע. כאשר מכיוון שרוצים שהתלות ב בביטוי עבור השדה החשמלי תצטמצם. וכדי שדרישה זו תתקיים, () צריך לקיים: C הוא קבוע. כאשר נבצע בדיקה: C C C Const ( ) C מתוך דרישה על המטען: ניתן למצוא את הקבוע C ( ) C C C

37 . 5 בעלות מטענים, פוטנציאל צפיפות קבועה: נתונות שתי קליפות כדוריות עם מרכז משותף, עם רדיוסים במרכז נמצא מטען של. עפ"י האיור הבא: ו ו 5 - א. מצאו השדה החשמלי במרחב. ב. מצאו את הפוטנציאל במרחב. א. ניתן לחשב את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ע"י סופרפוזיציה של השדות החשמליים שיוצרים כל אחד מהגופים במרחב. להזכירכם, שדה של קליפה מחוץ ניתן להתייחס כאל שדה של מטען נקודתי, ובתוך הקליפה הוא אפס: ( 5 ) 5 > ( ) < < < ב. את הפוטנציאל נחשב ע"י אינטגרל האינסוף (שם אנט מגדירים הפוטנציאל להיות שווה אפס עבור הסימטריה הכדורית) עד לנקודה בה מחשבים את הפוטנציאל: V V V ( > ) ( < < ) ( < )

38 פוטנציאל צפיפות קבועה. לשני הכדורים צפיפות מטען נפחית אחידה. ו נתונים שני כדורים מלאים בעלי רדיוסים מרכזי הכדורים נמצאים במרחק. א. מצאו את השדה החשמלי לאורך הציר המחבר את מרכזי שני הכדורים. ב. מצאו את הפוטנציאל לאורך הציר המחבר את מרכזי שני הכדורים. השרטוט המתאים לשאלה כאשר הוא המרחק בין מרכזי הכדורים: V (- ) ( - ) î (- ) ( - ) ( - ) î קיימים מספר תחומים: : < - עבור V V (- ) (- ) ( - ) ( - ) - 8 î ( - ) ( - ) ( - ) 8 î ( - ) ( - ) î î : - < < : < < עבור עבור הביטויים של שני התחומים האחרונים יצאו זהים!!! : < < ( ) עבור

39 V ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) î î î V 8 :( ) < < ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) 8( - ) ( - ) î î î עבור V 8 ( ) : < < ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) 8( - ) ( - ) î î î עבור הביטויים של שני התחומים האחרונים יצאו זהים!!! V ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) î î î ( ) : > עבור

40 V פוטנציאל צפיפות קבועה א. חשבו פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד בעל צפיפות מטען של. ב. חשבו פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד בעל צפיפות מטען של. ג. בחרו ציר X בניצב ללוח ואת הכיול V על הלוח. שרטטו גרף המתאר את הסעיפים הראשונים. עבור שני א. שדה חשמלי של לוח אינסופי טעון אחיד בצפיפות מטען : וכיוון השדה הוא בניצב ללוח, לתוך הלוח או מחוץ ללוח, עבור צפיפות מטען שלילית או חיובית בהתאמה. ב. פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד (הלוח ניצב לציר ): X פוטנציאל של לוח אינסופי טעון אחיד V V : ג. הפוטנציאל V כפונקציה של המרחק מהלוח עבור לוח בעל צפיפות מטען : V X : - הפוטנציאל V כפונקציה של המרחק מהלוח עבור לוח בעל צפיפות מטען V X

41 פוטנציאל צפיפות קבועה א. חשבו פוטנציאל במרחב של שני לוחות אינסופיים מקבילים, שהמרחק ביניהם הוא, הטעונים אחיד, בצפיפויות ו -. בחרו ציר X בניצב ללוחות ואת הכיול ϕ על הלוח החיובי. ב. שרטטו גרף המתאר את ϕ עבור הפוטנציאל שחישבתם בסעיף הראשון. ϕ ϕ ϕ א. ישנם שלושה אזורים שונים (הגדרתי לשלילי): הפוטנציאל בכל אחד מהאזורים: ב. שרטוט הגרף: על הלוח החיובי וכיוון הציר חיובי הוא מלוח החיובי ( < ) ( < < ) ( > ) ( < ) ( < < ) ( < < ) ϕ

42 פוטנציאל צפיפות קבועה א. נחשב את צפיפות המטען על המקל, כאשר הצפיפות אחידה החישוב מבצע ע"י סה"כ המטען חלקי. סה"כ האורך: ב. נגדיר את ראשית הצירים בנקודה השמאלית של המקל ואת כיוון הציר ימינה. נחלק את המקל לאלמנטים דיפרנציאליים, נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה P, ונסכום ע"י אינטגרל כדי לקבל את השדה החשמלי: î î î ( ) ( ) î î î ( ) ( ) î ג. נרשום את השדה כפונקציה של המרחק מהקצה הימני, לצורך העניין נגדיר את הראשית מחדש, בקצה הימני של המוט: î V [ ln ln( ) ] [ ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ] ln (, ln( בביטוי השני ניתן להזניח את הערה: כאשר מציבים את גבולות אינסוף, מקבלים ( ln(, ואז שני הביטויים מצטמצמים. ו ד. עבור שני הביטיים שקיבלנו נראה מה קורה עבור : << V ln ( )

43 , l כל פוטנציאל צפיפות קבועה (. מחוברת הקורס) תיל שאורכו l העשוי חומר מבודד, כופף לצורה המורכבת משני קטעים ישרים שאורכם אחד, המחוברים ביניהם ע"י קשת חצי מעגלית שרדיוסה ומרכזה בנקודה O. התיל נושא מטען חשמלי כללי א. המפוזר בצורה לא אחידה על פני מקטעי התיל השונים. המקטע הישר השמאלי נושא מטען חשמלי חיובי המפוזר עליו בצורה אחידה בצפיפות ואליו הקטע הישר הימני נושא מטען חשמלי שלילי המפוזר עליו בצורה אחידה. הקשת המעגלית נושאת מטען בצפיפות אחידה., l הביעו את באמצעות, (לא בהכרח כולם). ב. ג. חשבו את השדה החשמלי השקול בנקודה O (גודל וכיוון). חשבו את הפוטנציאל החשמלי בנקודה O. l O l. א. נסכום את כל המטען על כל חלקי התיל ונשווהל נוכל לבודד מהמשוואה שנקבל את : l l ב. נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל קטע בתיל ולבסוף נחבר את השדות וקטורית. נגדיר ציר חיובי ימינה וציר חיובי כלפי מעלה. ראשית הצירים בנקודה O. i l i l l l נחשב את השדה שיוצר המוט השמאלי (צפיפות חיובית): i i l l l i i ( l ) ( l ) ( l ) i המוט השלילי יוצר את אותו שדה וגם באותו כיוון: l i l נחשב את השדה שיוצר החלק הקשתי של התיל. משיקולי סימטריה ניתן להבין שלאחר סכימה על כל חלקי התיל הקשתי יישאר רק רכיב אנכי, כלומר בציר :

44 [ ] [ ] [ ] j j j j j j i cos cos cos sin sin cos :תודשה לכ תא םוכסנ j i j i i j i O l l l l l l l l.ג יבויח היהי ילאמשה טומה רצויש לאיצנטופה (תיבויח תופיפצ) היהי ינמיה טומה רצויש לאיצנטופה,ילאמשה טומה רצויש לאיצנטופל הווש ןמיסב ךופה ךא,(תילילש תופיפצ) דחא וספאי םה רבחנשכ ךכ,ינשה תא,רמולכ.םתוא בשחל ךרוצ ןיא :ליתה לש יתשקה קלחה רצויש לאיצנטופה תא בשחל ראשנ V V

45 פוטנציאל צפיפות קבועה בכדור בעל רדיוס, הטעון במטען חיובי, בצפיפות אחידה יש חלל כדורי בעל רדיוס b. הוקטור ממרכז הכדור למרכז החלל מסומן ב. מצאו את הפרש הפוטנציאלים בין הנקודה בחלל, הקרובה ביותר למרכז הכדור (נקודה A) לבין הנקודה בחלל, הרחוקה ביותר ממרכז הכדור (נקודה B). A B V A V B A B l את השדה החשמלי בתוך החלל חישבנו בעבר וקיבלנו שהשדה החשמלי קבוע: A B נחשב את הפרש הפוטנציאלים: 8b [ b b ] ( ) B A

46 ג. ד. ה. פוטנציאל צפיפות אחידה מדיסקה שרדיוסה הטעונה בצפיפות מטען שטחית אחידה הוצאה דיסקה שרדיוסה כך שנוצרה דיסקה עם חור במרכזה (ראה איור). הדיסקה מונחת. במישור א. חשב את הפוטנציאל החשמלי בנקודה (,,)A הנמצאת על ציר הסימטריה של הדיסקה ובגובה מעל מישורה. ב. חשב את השדה החשמלי בנקודה. A כדור קטן שמסתו m ומטענו מוחזק במנוחה בנקודה. A חשב את הכוח שהדסקה מפעילה על הכדור כפונקציה של המרחק ממרכז הדיסקה. אם הכדור משוחרר ממנוחה מנקודה (,)B, 5 באיזו מהירות הוא יחלוף דרך מרכז הדיסקה? מהו סוג התנועה שיבצע הכדור? (תנועה במהירות קבועה, תנועה בתאוצה קבועה, תנועה בתאוצה משתנה) V ' ' V V V [ ] ( ) א. חישוב הפוטנציאל החשמלי: ב. חישוב השדה החשמלי: V V V i j [ ( )] F ג.

47 .ד [ ] [ ] [ ] [ ] m v m m m v V V m v mv V V ה,הנתשמ הצואתב העונת עצבי רודכה ב יולת חוכהש ןוויכמ -.

48 Z פוטנציאל צפיפות אחידה נתון משטח מישורי אינסופי בעל צפיפות מטען אחידה, במשטח יש חור מעגלי בעל רדיוס. מצאו את השדה החשמלי לאורך ציר Z, את הפוטנציאל החשמלי על ציר Z והראו שהשדה שקיבלתם נגזר מהפוטנציאל!, נתייחס למקרה כלוח שלם אינסופי בעל צפיפות מטען אחידה, ודיסקה עם רדיוס מטען אחידה. סכום של השדות שגורמים הגופים ייתן את השדה המבוקש: בעלת צפיפות plne isc V V plne isc V V plne plne V isc ( ) isc כעת נחשב את הפוטנציאל, באופן דומה: התשובה הזאת טובה עבור < בלבד! עבור >, כדי לקבל את השדה נצטרך פשוט להפוך את הסימן, והפוטנציאל נשאר אותו דבר: V

49 פוטנציאל צפיפות אחידה (. מחוברת הקורס) יריעה אינסופית טעונה במטען חיובי בצפיפות אחידה. א. חשב את העבודה המבוצעת ע"י השדה החשמלי של היריעה כאשר מטען נקודתי נע מפני ב. היריעה עד למרחק ל: כמתואר בציור. השתמש בתוצאות של הסעיף הקודם והראה כי הפוטנציאל החשמלי של יריעה אינסופית שווה V הוא הפוטנציאל החשמלי על פני היריעה.. V V כאשר א. השדה החשמלי בנוצר ע"י היריעה במרחב (בחרתי ציר ניצב למישור היריעה): נחשב את הכוח שמפעיל השדה על המטען: F נחשב את עבודת השדה: W F W V V V ( V V ) ( V V ) ב. נחשב את הפוטנציאל במרחק מהיריעה:

50 ϕ ϕ (,,) פוטנציאל (אינטגרל מסלול וגרדיאנט) i j נתון שדה חשמלי (השדה משמר!) ϕ ϕ ϕ (, Y, ),,, ϕ(, לפי הקשרים: א. נסו לנחש את הפוטנציאל ( ϕ(,,) צריכים למצוא פונקציה אחת של, ו- שהנגזרת שלה בכיוון תיתן את רכיב השדה בכיוון (עם סימן הפוך), וכך גם בהתייחס ל- ול-., ϕ, ע"י l כאשר,, ϕ (כלומר נקודת הייחוס היא ראשית ב. חשבו את ϕ ϕ ϕ ϕ (,,) (,,) (,,) (,,) f (,) ( ) g(,) (, ) הצירים). א. תחילה בדרך של ניחוש: כדאי, כמובן לבצע גרדיאנט על הפוטנציאל שמנחשים כדי לראות שמתקבל השדה החשמלי הנכון. l (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) :ϕ (,,) (,,) ב. כעת נחשב דרך l (,,) (,,) (,,) (,,) (,,)

51 ,טנאידרג) לאיצנטופ (רוטור :ילמשחה לאיצנטופה ןותנ,, ϕ.א.בחרמב ילמשחה הדשה תא ואצמ.ב.רמשמ הדשהש וארה :ןורתפ :לאיצנטופה לע טנאידרג סונימ י"ע םילבקמ ילמשח הדש.א j i j i 8 ϕ.ב,ספאתמ ילמשחה הדשה לע רוטורה י"ע םא רמשמ הדשה רזגנש הדש לכש ןוויכמ ספאתהל בייח הז :רמשמ הדש אוה לאיצנטופמ [ ] [ ] [ ] j i j i j i

52 פוטנציאל (מוליכים): כדור מוליך שרדיוסו מוקף על ידי קליפה כדורית מוליכה עבה (קונצנטרית לכדור) שרדיוסה הפנימי ואת הקליפה העבה טוענים במטען טוענים את הכדור במטען. ורדיוסה החיצוני א. ב. חשב את השדה החשמלי בכל המרחב? חשב את צפיפות המטען על השפה הפנימית והחיצונית של הקליפה. ב. המטען בכדור הפנימי יסתדר כך שהשדה החשמלי בתוכו יתאפס, כלומר כל המטען יסתדר בצורה אחידה על שטח הפנים של הכדור, ניתן לחשב את הצפיפות ברדיוס : גם המטענים על הקליפה העבה יסתדרו כך שבמוליך עצמו השדה יתאפס, כלומר, שבחלק הפנימי יסתדר מטען השווה למטען שבכדור הפנימי והפוכה בסימן. ברדיוס החיצוני של הקליפה יסתדר כל שאר המטען: 6 6 ( ) ( ) ( < ) ( < ) ( < ) א. עפ"י המטענים ניתן לחשב את השדה בכל המרחב:

53 . במרכז פוטנציאל (מוליכים): נתון כדור חלול העשוי חומר מוליך ומטענו. רדיוס הכדור הוא החלל נמצא מטען של. עפ"י האיור הבא: ורדיוס החלל הוא חומר מוליך. א. ב. מצאו את צפיפויות המטען ברדיוס מהו השדה החשמלי במרחב? וברדיוס המטענים יסתדרו כך שהשדה החשמלי במוליך יהיה אפס (במילים אחרות כך שהפוטנציאלים על הקליפה הפנימית ועל הקליפה החיצונית יהיו שווים): ( < < ) 5 5 והמטען על הקליפה החיצונית יהיה: ולפיכך צפיפויות המטען על הקליפות הן: ב. השדה החשמלי במרחב: 5,,, ( < < ) ( < < ) ( < )

54 פוטנציאל (מוליכים): במרכזה של קליפה כדורית מוליכה שרדיוסה הפנימי ורדיוסה החיצוני חיובי. המטען הכולל שעל הקליפה הוא, והיא מבודדת מהסביבה., b נמצא מטען נקודתי המטען א. ב. ג. ד. ה. פתח ביטויים לגודל השדה החשמלי כפונקציה של המרחק, מהי צפיפות המטען השטחי על המשטח הפנימי של הקליפה המוליכה? מהי צפיפות המטען השטחי על המשטח החיצוני של הקליפה?, מן המרכז, לגבי כל המרחב. שרטט תרשים המראה את קווי - השדה החשמלי, ואת מיקום כל המטענים. שרטט גרף של השדה החשמלי כפונקציה של. ב. המטען מסתדר על שפת המוליך (הפנימית והחיצונית ( כך שהשדה החשמלי במוליך שווה לאפס. על הרדיוס הפנימי יסתדר מטען שווה למטען הנקודתי הנמצא במרכז: ג. מתוך כך, נוכל גם לחשב את המטען שיסתדר ברדיוס החיצוני: b b b ( ) b ( < < ) ( < < b) ( b< ) א. חישוב השדה החשמלי:

55 פוטנציאל (מוליכים): שני כדורים מוליכים טעונים מרוחקים מאוד זה מזה. הכדורים בעלי רדיוסים ו- ובמצב ההתחלתי המטענים על הכדורים הינם ו- בהתאמה. מחברים את הכדורים בחוט מוליך דק ונותנים למערכת "להירגע". כמה מטען יעבור בחוט ומאיזה כדור?. ו המטענים החדשים על כדורים הם נכתוב שתי משוואות הנובעות משתי דרישות, שימור מטען ושוויון פוטנציאלים: ( ) ( ) - וכעת יש שתי משוואות עם שני נעלמים אותן נפתור: המטען שיעבור בחוט הוא: חיובי, מטען יעבור מכדור לכדור. אם שלילי, מטען יעבור מכדור לכדור. אם

56 ג. ד. פוטנציאל - מוליכים למוליך גלילי ארוך בצורת צינור, אורך, כמוראה באיור. ו- ורדיוסים פנימי וחיצוני (כלומר, ניתן להשתמש בקירוב של גליל אינסופי)..,,,, V << כך שניתן להזניח את שפיית השדה את הגליל הפנימי במטען חשמלי כולל א. מהו השדה החשמלי (גודל וכיוון) ב. כיצד יתפלג המטען החשמלי? שרדיוסן. נתונים: ו- בכל המרחב? דהיינו כמה מטען חשמלי יימצא על הדפנות. < < ובתוך התווך המוליך המשתרע מ- נמק/י את תשובותיך. מהי, אם כן, צפיפות המטען המשטחית, על דפנות המוליך? חשב/י את הפוטנציאל החשמלי בנקודה על ציר הגליל אם ידוע כי ערכו. V V ממרכז המערכת הוא של הפוטנציאל במרחק מה תהיה צפיפות המטען בכל המטחית בגליל את בתוכו יש תיל ישר אינסופי בצפיפות אורכית / (רמז השדה בתוך המוליך הוא אפס, מה זה אומר על המטען הכלוא בתוך גליל דימיוני המקיף את התיל והמעטפת הפנימית? א. המטען יסתדר רק ברדיוס החיצוני של הגליל גורר שגם השדה החשמלי הפנימי מתאפס: את השדה החשמלי עבור נתון כי טוענים, כך שהשדה החשמלי המוליך עצמו מתאפס, וזה ( < ) > כיוון השדה רדיאלי (קורדינטות גליליות). נמצא ע"י חוק גאוס: s l in l l l ( > ) ב. התשובה נמצאת בסעיף א', כל המטען יהיה על הרדיוס החיצוני, ובהתאם צפיפות המטען. ג. נחשב את הפוטנציאל בנקודה על ציר הגליל: איור

57 ( > ) ( < ) V V( ) V V V( ) V V V [ ln( ) ln( )] V, - ( ) V [ ln ] [ ln( ) ln( )], של הגליל יהיה הפוך מהמטען הכולל על התיל הפנימי, כלומר ד. המטען על הרדיוס הפנימי, לפיכך צפיפויות המטען הן:

58 . cm. m המרחק בין הלוחות חוק גאוס - מוליכים נתונים שני לוחות ריבועיים מוליכים ומקבילים ששטח כל אחד מהם. 6µC טוענים את לוח מספר במטען א. µc, ואת לוח מספר במטען מהו השדה החשמלי בכל אחת מהנקודות?,,b,c, e b c e ב. במצב שיווי משקל, מהו המטען על כל שפה? A, eft Mile igt c C (נתייחס ללוחות כאינסופיים) א. שדה חשמלי שיוצר לוח אינסופי: נמצא את הצפיפות של כל לוח ואת השדה חשמלי שיוצר כל לוח: m, A 6 6 נחשב שדה בכל אחד מהאזורים (ימני, אמצעי ושמאלי) עבור מערכת צירים אופקית שכיוונה החיובי eft ( ) Mile,, b 6 C m ימינה: השדה בכל נקודה (בתוך המוליך השדה החשמלי מתאפס): e igt ב. כדי לחשב את המטען בצד השמאלי של הלוח השמאלי, ניצור מעטפת גאוס גלילית בפאה אחת מצאת באזור השמאלי ופאה שנייה נמצאת בתוך מוליך "" (שם השדה מתאפס), נוכל לחשב את הצפיפות ע"י חוק גאוס:

59 in A' in S S eft, eft eft, A' A ( ) A' ( ) A' A' ( ) 6 8µ C eft, 6 C m את הצד הימני של הלוח השמאלי נמצא ע"י חיסור פשוט (מטען מצטבר רק על שפת הלוח): eft, igt, igt, eft, µ 8µ µ C כדי לחשב את השדה החשמלי על הצד השמאלי של הלוח הימני, ניצור מעטפת גאוס גלילית שפאה שמאלית שלה בתוך האזור האמצעי ופאה ימנית בתוך המוליך (שם השדה מתאפס): in A' in S S eft, eft, Mile A' A ( ) A' ( ) A' A' ( ) 6 µ C eft, את הצד הימני של הלוח השמאלי נמצא ע"י חיסור פשוט (מטען מצטבר רק על שפת הלוח): ( µ ) C eft, igt, igt, eft, 6µ 8µ 6 C m דרך אחרת, אפשר גם לדרוש שכמות המטען משני הצדדים של אזור שמתאפס תהיה שווה, כך נקבל משוואות עם ארבעה משתנים:,,,,,,,,,,,, הפתרון ייתן תשובות זהות למה שכבר קיבלנו בדרך הראשונה.

60 פוטנציאל ואנרגיה א. הפוטנציאל החשמלי בנקודה P קל לחישוב, היות וכל הנקודות נמצאות באותו מרחק מהטבעת. המרחק הוא: V V Z Z נחשב את הפוטנציאל בנקודה P: ב. את השדה החשמלי ניתן לחשב ע"י גזירה של הפוטנציאל: ( ) ( ) ג. נפתור משיקולים של אנרגיה. האנרגיה הפוטנציאלית של החלקיק באינסוף היא אפס, כך שתהיה לו רק קינטית. בנקודת התחלה אין לו מהירות, כך שאין קינטית יש רק פוטנציאלית. כדי לחשב את האנרגיה הפוטנציאלית של החלקיק בנקודת ההתחלה, נצטרך לחשב את הפוטנציאל בנקודה זו: V V H ln [ ( H H) ln ] H ln [ ( ) ] H

61 V ln U U U V mv U [ ( H H) ln ] mv V v נמצא את המהירות באינסוף (כיוון המהירות יהיה שלילי): V m ln [ ( H H) ln ] m

62 הלאש) הדיחא תופיפצ לאיצנטופ (סרוקה תרבוחמ. סוידר לעב אלמ לילגל וסחייתה הבוגו יללכ ןעטמ אשונה.הדיחא תופיפצב.א,הירטמיסה ריצ לע ילמשחה לאיצנטופה תא ובשח קחרמב.ויסיסבמ דחאמ.ב קחרמב הירטמיסה ריצ לע ילמשחה הדשה תא ובשח.ויסיסבמ דחאמ :ןורתפ סוידר לעב אלמ לילגל וסחייתה, הבוגו, יללכ ןעטנ אשונה.הדיחא תופיפצב יוטיבב ושמתשה לש לאיצנטופל הירטמיסה ריצ לע הקסד,(רבעב בשוח רבכש) :ובשחו.א קחרמב ילמשחה לאיצנטופה תא.ויסיסבמ דחאמ.ב.לאיצנטופה ךותמ ילמשחה הדשה תא ובשח :םכשומישל ln!!!!ןורתפל םג טוטרש ךירצ :ןורתפ.א.הקסד לש ילמשח לאיצנטופב שמתשנ לרגטניא עצבנ לאיצנטופה תא בשחל ידכ תוקסד לע.לילגה רצויש ילמשחה :לאיצנטופה תא םיבשחמ ונא הב הדוקנב תישארה תא יתרדגה V V ln ln ln ln, ϕ ϕ ϕ ϕ

63 .ב לאיצנטופה ךותמ הדשה בושיח :(תעגיימ הריזג) ln ϕ,יל יפוי,הנושאר הכמב ןוכנ אצי!!!תויועט שפחל ךירצ אל

64 , כאשר פוטנציאל צפיפות משתנה: (.9 מחוברת הקורס) כדור שרדיוסו א. טעון בצפיפות מטען לא אחידה הביעו את מטענו הכללי של הכדור באמצעות: קבוע.., ב. מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב. ג. מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב. m ד. כדור קטן שמסתו ומטענו משוחרר ממנוחה במרחק ממרכז הכדור. מה תהיה מהירותו של הכדור בהגיעו למרחק של ממרכז הכדור? א. חישוב המטען הכולל על הכדור: V נשתמש בחוק גאוס עם מעטפת גאוס כדורית. עבור סימטריה כדורית מתקיים: S ( > ) : in ב. עבור האזור החיצוני: עבור האזור הפנימי: in < : ( < ) ג. את הפוטנציאל מחשבים ע"י אינטגרל על השדה החשמלי: ( > ) : ( < < ) V : V [ ]

65 U mv mv V B B mv U B B V B V A A B V ( V V ) B ד. נקרא לנקודת השחרור A ולנקודה הסופית נקרא B. מתקיים שימור אנרגיה: A A v B m

66 פוטנציאל צפיפות משתנה: (. מחוברת הקורס) b. צפיפות המטען נתונה ע"י מטען מפוזר על פני טבעת שטוחה בעלת רדיוס פנימי ורדיוס חיצוני, כאשר הוא מרחק ממרכז הטבעת לנקודה כלשהי עליה. הראו כי הפוטנציאל במרכז b V 8 b b הטבעת שווה ל: S נחלק את הטבעת הנתונה לטבעות דקות בעלות עובי דיפרנציאלי. שטח כל טבעת דקה: S, כך נוכל להביע את הקבוע המטען של כל טבעת דקה: נסכום על כל המטן של כל הטבעות ונשווה ל- ע"י הפרמטרים של b V b ( b ) b b b ( b ) השאלה: כל טבעת יוצרת במרכזה את הפוטנציאל הבא: נסכום את הפוטנציאלים של כל הטבעות הדקות: b V V V ( b ) ( b )( b ) b b b ( b )( b ) b ( b ) ( ) ( b ) b b b b 8 b : נציב את הביטוי שקיבלנו לקבוע

67 פוטנציאל ואנרגיה נתון כדור בעל רדיוס שמלא במטען בצפיפות אחידה. מה השדה החשמלי בכל המרחב (בתוך הכדור ומחוצה לו)? (6 נק') א. מה הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב? (6 נק') ב. m ו C/m עבור הסעיפים הבאים נתון קודחים חור קטן דרך מרכז הכדור. מול החור, במרחק m ממרכז הכדור משחררים ג. (מטען שלילי) ומסה m - -6 C ממנוחה חלקיק נקודתי קטן בעל מטען מה תהיה מהירות החלקיק כשיגיע לפני הכדור וייכנס. - g החלקיק יכול לעבור דרך החור. לחור? (6 נק') היכן יגיע החלקיק למהירותו המקסימלית, ומה תהיה מהירות זו? (7 נק') ד.

68 בצפיפות אורכית נושא מטען חשמלי כללי פוטנציאל צפיפות משתנה תיל מבודד בצורת חצי מעגל שרדיוסו הוא קבוע מספרי והזווית מוגדרת באיור שלהלן.. sin א. ב. ג. א.. ו- באמצעות הביעו את הקבוע מהו כוח שיפעל על מטען שיוצב במרכז חצי המעגל? מהו הפוטנציאל במרכז התיל? מהו הפוטנציאל רחוק מאוד מהתיל (במרחק אינסופי מהראשית)? l [ -] F sin sin sin [ - cos ] [ cos( ) cos ], cos î sin ĵ, sin F sin F F ( cos î sin ĵ) sin î sin cos F ĵ V, sin sin V sin V V ( cosî sin ĵ) ( sincos î sin ĵ) ĵ sin [ cos( ) cos ] [- ] sin ĵ ĵ ĵ [ cos] ב. ג. הפוטנציאל במרכז התיל: התשובה צפויה, היות וסך-כל המטען הוא והוא כולו נמצא במרחק מהמרכז. הפוטנציאל באינסוף: אפס.

69 פוטנציאל ואנרגיה צפיפות משתנה א. המטען על הכדור: U U U mv U mv v m : > : < < ב. השדה החשמלי עבור השדה החשמלי עבור ג. פותרים משיקולים של אנרגיה: פוטנציאל ומוליכים (.8 מחוברת הקורס) חסר שרטוט בשאלה!!!

70 מערכת מורכבת משלשוה מוליכים קונצנטריים: קליפה כדורית פנימית דקה ברדיוס בעלת רדיוס פנימי הטעונה במטען א. ב. ג. ד. ה., קליפה עבה וחיצוני וקליפה חיצונית דקה בעלת רדיוס., ואילו הקליפה המרכזית טעונה במטען מהי התפלגות המטענים על שפות הקליפה העבה המרכזית? מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק ממרכז המערכת בכל המרחב?. הקליפה הדקה החיצונית כעת מחברים את הקליפה הפנימית והחיצונית ע"י תיל מוליך שעובר דרך חור קטן בקליפה העבה. מהי התפלגות המטענים על הקליפות המרכיבות את המערכת? מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק כמה מטען עבר בין הקליפה החיצונית והפנימית? ממרכז המערכת בכל המרחב? א. המטענים בקליפה העבה יסתדרו כך שהשדה החשמלי בקליפה הזו מתאפס, כלומר, הרדיוס הפנימי,, לא יהיה מטען, וברדיוס החיצוני,,. לפיכך המטענים הם: יהיה., ב. קליפה כדורית יוצרת בתוכה שדה חשמלי אפס, ואילו מחוצה לה נתין להתייחס אליה כמטען נקודתי. בסה"כ ישנם חמישה אזורים שונים. נחבר, לכל אזור בנפרד, את השדות החשמליים שיוצרות הקליפות: 5 ( < ) ( < < ) ( < < ) ( < < ) ( > ) ג. כאשר מחברים את הקליפה הפנימית לחיצונית, מטען יכול לעבור בין הקליפות. המטען יעבור כך שהפוטנציאל של שתי הקליפות יהיה שווה. ניתן לרשון שתי משוואות, אחת לשימור מטען ואחת לשוויון הפוטנציאלים: V V נמצא את השדה במרחב (לאחר שהמטענים עברו) וממנו נוכל למצוא את הפוטנציאל על כל אחת מהקליפות:

71 [ ] [ ] V V V V > < < < < < < < הבעה הפילקב םינעטמה תא בשחל ןתינו :(ךילומב ספא אוה הדשהש ךכ םירדתסמ) ד :ילמשחה הדשה > < < < < < < <.ה :איה תימינפל תינוציחה הפילקמ הרבעש ןעטמה תומכ 7

72 A A A A A A V V :םינתשמ ינש םע תואוושמ יתש רותפל ראשנש ךכ.תודשה רובע םייוטיבב ונאצמש םינעטמה תא ביצהל ראשנ

73 פוטנציאל, הארקה ואנרגיה נתון כדור מוליך A, שרדיוסו, הטעון במטען. הכדור נמצא בתוך קליפה מוליכה B, שרדיוסה הפנימי ורדיוסה החיצוני, הטעונה במטען -. שני הכדורים הללו נמצאים בתוך קליפה כדורית מוליכה דקה C, בעלת רדיוס המוארקת לאדמה. שלושת הכדורים בעלי מרכז משותף. נתונים:., א. מהו המטען על השפה החיצונית של הקליפה הכדורית B? ב. מהו המטען על השפה הפנימית של הקליפה הכדורית B? ג. מהו המטען על הקליפה הכדורית C? ד. אלקטרון שמסתו m ומטענו - e משוחרר ממנוחה ליד השפה הפנימית של הקליפה B. באיזו מהירות יפגע האלקטרון בכדור A (בהנחה שצפיפות המטען על המוליכים לא משתנה בעקבות תנועת האלקטרון)? C B A שימו לב לסדר הסעיפים! ב. המטען על השפה הפנימית של B יהיה כזה שיאפס את השדה החשמלי בתוך המוליך B, לפיכך המטען. על הקליפה הפנימית של B הוא: א. המטען על השפה החיצונית של B יהיה כזה שישלים את המטען על מוליך B ל, לפיכך המטען. על השפה החיצונית של B הוא: ג. המטען על הקליפה החיצונית C יהיה כזה שיאפס את השדה החשמלי בחוץ, לפיכך המטען על קליפה C. הוא: U V mv U V e mv v V e m V mv ( V V ) ד. נפתור משיקולי אנרגיה: