לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור"

Εφθαλία Σπανός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין את המושג קבוצה כאוסף של עצמים (במובן הכללי ביותר של מילה זו) שנקראים איברים של קבוצה. לדוגמה: {שולחן α,. A = { 1, 3, 4, 7, 12, 36}, B = {a, 7, האות A מסמנת קבוצה עם איברים 1,3,4,7,12,36. כפי שניתן לראות, משתמשים בסוגריים } { לרישום קבוצה, איברים של קבוצה בין הסוגריים, מופרדים זה מזה על-ידי פסיקים. A 4 מסמן את העובדה שהמספר 4 הוא איבר של הקבוצה. A העובדה שהמספר 25 הוא איננו איבר של קבוצה, A רושמים בצורה A 25. איברי קבוצה יכולים להיות גם קבוצות, לדוגמה:. C = { 12, A, β, x}. 12 C, A C, β C, במפורט: x C מוסכם כי כל איבר בקבוצה, גם אם הוא נרשם בה יותר מפעם אחת, "נחשב" רק פעם אחת, לדוגמה: איברי הקבוצה M = {, 7 a,,, ,, a, 13},a,7 ו- 13. כלומר הם 12. M = {, 7 a, 12, 13} כאמור, אנחנו איננו יכולים להגדיר את המושג קבוצה. אבל ניתן להגדיר קבוצה מסוימת. כל קבוצה מסוימת נקבעת על-ידי אוסף של עצמים. קבוצה S מוגדרת (נתונה), כאשר ניתן להחליט, עבור כל x ה, אם x S או x S אנו מניחים, כמובן, שעבור כל x מתקיימת אחת, ורק אחת, משתי האפשרויות: או x S או. x S דרך אחת להגדיר קבוצה מסוימת, היא על-ידי רשימת כל איבר בין סוגריים } }. זה לא תמיד נוח ולפעמים בלתי אפשרי. למשל, נתבונן קבוצה T, שאיבריה הם המספרים השלמים החיוביים, הגדולים או שווים ל- 7 וגם קטנים או שווים ל- 000.,1000,000 שיטה אחרת היא על-ידי ציון תכונה משתפת של איבריה שמאפשרת להחליט עבור כל x אם הוא איבר של קבוצה או לא. במקרה של הקבוצה T אפשר לעשות זאת כך: 000, 1000, x 7, או T היא קבוצת כל המספרים השלמים, המקיימים את אי שוויון 000 בקיצור. T = { x : 7 x } דוגמה לקבוצות אינסופיות: N = {: x מספר שלם וחיובי x} או כך:. N = { 12,,...} במשך קורס זה, קבוצת המספרים הטבעים תופיע לעתים קרובות מאוד. האות N תישמר אך ורק לסימון קבוצה זו. אפשר לרשום את הקבוצה T על-ידי הקבוצה N כך:. T = { x N: 7 x } הקבוצה x} מספר ממשי R = {: x היא דוגמה נוספת של קבוצות אינסופית.

2 במקרה של קבוצות אינסופית, אין אפשרות לרשום את כל איברי הקבוצה במפורש. הגדרה אפשרית היא רק הגדרה באמצעות תכונה מסוימת, שרק איברי הקבוצה ורק הם מקיימים אותה. α β )α סימן גרירה : בקורס זה נשתמש לעתים קרובות בשני סימנים ו- (α α β גורר β) פירושו: אם α מתקיים, גם β מתקיים. סימן גרירה הדו-כווני : אם ורק אם ( β פירושו: α מתקיים אם ורק אם β מתקיים, כלומר: α β ו- β α. α גוררים β α ו- α β לסיכום: β. או בכתיבה זו:.( a b) ( b ו- a a b) דוגמאות: 2 ; x = 5 x = 25 ; x 2 = 4 ו- x 0 x = 2. a ו- b b c a c סימנים לכול וקיים.." a הביטוי "לכול " a A נסמן A" הביטוי "קיים " b B נסמן b B"." הגדרה 1.1. שתי קבוצותA ו - B שוות זו לזו, אם ורק אם יש להן בדיוק אותם איברים: x כלשהו הוא איבר של A אם ורק אם הוא איבר של B, כלומר A = B { x A x B}. תת-קבוצה. הגדרה 1.2. נאמר שהקבוצה -A היא תת-קבוצה של הקבוצה (A B, היא קבוצה חלקית של B, או A מוכלת ב- B ) אם ורק אם כל איבר של A הוא גם איבר של, B כלומר, כאשר. x A x B פירושו: עבור כל x, אם x A אז. x B במילים אחרות, אם x הוא איבר של הקבוצה, A אז הוא איבר של הקבוצה B. את העובדה נסמן כך:. A B מהגדרת התת-קבוצה נובע, כי עבור כל קבוצה A מתקיים:, A A כלומר, כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה. קשר בין הגדרת התת-קבוצה והגדרת השוויון של קבוצות הוא:. A = B A B - ו B A אם, A B אבל, A B אומרים ש A היא תת-קבוצה אמיתית של B, ומסמנים זאת. A B דוגמה: תהי },., abcd. A = {. a A; a { a};{ a} A;{ a} A,{ ab, } A 2

3 דיאגרמות של ון מתקיים A. הגדרה 1.3. הקבוצה הריקה היא הקבוצה שאין בה איברים. מסמנים את הקבוצה הריקה ב -. עבור כל קבוצה A יש לשים לב, ש- } {., A של (Power set) הגדרה 1.4. קבוצת כל התת-קבוצות של קבוצה A נקראת קבוצת החזקה והיא מסומנת ב- (A. )P דוגמה: עבור },, abc : A = { P( A) = {,{ a},{ b},{ c},{ a, b},{ a, c},{ b, c},{ a, b, c}} איחוד קבוצות וחיתוך קבוצות., A B הוא קבוצה המוגדרת על-די: הגדרה 1.5. האיחוד של שתי קבוצות A ו- B, המסומן ב-. A B = {: x x A או x B} כלומר,. x A B x A או x B} תכונות האיחוד : A B = B A קומוטטיביות :. ( A B) C = A ( B C) אסוצאטיביות :. A A = A אידמפוטנטיות:. A = A איחוד עם הקבוצה הריקה: 3

4 נוכיח, לדוגמה, את אסוצאטיביות האיחוד. לדוגמה, נוכיח את תכונה 2. משפט. ) C ( A B ) C = A ( B הוכחה: B). x ( A מהגדרת האיחוד נובע, כי x A B או. x C אם, x C אזי יהי C, x B C ולכן C). x A ( B אם, x A B אזי או, x A או, x B ולכן גם B) x ( A גורר C). x A ( B כלומר, C בכל המקרים הראינו, ש-. x A ( B C).( A B) C A ( B C) באותו אופן מוכיחים את הכללה בכיוון ההפוך:. A ( B C) ( A B) C שתי ההכלות גורות השוויון:.( A B) C = A ( B C) לכן.( A B) C = A ( B C) האסוצאטיביות של האיחוד מאפשרת לרשום איחוד של קבוצות, A 1, A 2,..., A n ללא שימוש בסוגריים:. B = A1 A2... A n, A B הוא הקבוצה המוגדרת על-די: הגדרה 1.6. החיתוך של שתי קבוצות A ו- B, המסומן ב-, A B = {: x x A ו- x B} כלומר,. x A B { x A ו- x B} תכונות החיתוך: 4

5 . A B = B A.( A B) C = A ( B C). A A = A.. A = קומוטטיביות: אסוצאטיביות: אידמפוטנטיות: איחוד אם הקבוצה הריקה: האסוצאטיביות של החיתוך מאפשרת לרשום חיתוך של קבוצות, A 1, A 2,..., A n ללא שימוש בסוגריים:. B = A1 A2... A n הדיסטריביטיביות של החיתוך מעל האיחוד:. A ( B C) = ( A B) ( A C) הדיסטריביטיביות של האיחוד מעל החיתוך:. A ( B C) = ( A B) ( A C) שני שיוויונים חשובים: ; A ( A B) = A. A ( A B) = A הגדרה קבוצה A נקראת קבוצה סופית, אם יש בה מספר סופי של איברים. נסמן ב- A מספר האיברים של הקבוצה. 5

6 (1.1) משפט A B= A+ B A B A B O O O O O O A O O O O O B O O O O O O O O O 6

Σχετικά έγγραφα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.