גליון 1 גליון 2 = = ( x) ( x)

Transcript

1 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 גליון מה שוקל יותר: קילו נוצות או סבתא תחשבו לבד גליון Q in E k, q ρ ( ) v Qin ρ ( ) v v 4π Qin ρ ( ) 4π v העקרונות המנחים בגיליון זה: פתרון לשאלה L ( x) ( x) q l x x E λ λ, E λ x x פתרון לשאלה ρ π ρ π πρ 3 Qin ( ) 4 4 :Q in ע"פ העיקרון המנחה שרשום למעלה, נחשב את פתרון לשאלה 3 π θ ε ϕ sin( ϕ) εϕ π ( חישוב שטח מעטפת בקואו' כדוריות כאשר קבוע: (( θ cos( פתרון לשאלה 4 הדיברגנץ של E שווה אפס, כלומר לשדה אין מקורות ולכן גם השטף שווה לאפס Ex Ey Ez E + + ϕ x y z 6 יואל שוורצר פתרון לשאלה 5 3y F נשים לב כי הדרך היחידה שבה השוויון הווקטורי מתקיים כוחות קולון בציר Y שווים, כלומר F 3 y היא אם נמשך ל- וגם דוחה את הדרך היחידה שבה זה אפשרי זה אם ו- הם בעלי מטען q 3 q q 3 q q q (כי חיובי בעל מטען שלילי) לכן נתעלם מסימנים ונתייחס רק לגדלים של המטענים נסמן: q q sin q q k α k cosα q q sin α, cosα

2 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 פתרון לשאלה 6 ): עד (a הכדור ונשים לב לגבולות האינטגרציה Qשל in ראשית נחשב את Qin ρ ( ) v 4π A π A( a ) v a כעת נחשב את השדה נתיחס לכדור כעל מטען נקודתי: Q Qin Q π Aa E k + k π A + דורשים חוסר תלות ב- ולכן נבדוק איזה A יאפס את המונה: Q k( Q π Aa ) A π a < פתרון לשאלה 7 Q in ובעזרתו את E נשים לב כי בגלל ש- נחשב בעזרת העיקרון המנחה שלמעלה את הם מ- ועד k k A E Q ( )4 4 in A π π k גבולות האינטגרציה פתרון לשאלה 8 <, נתייחס לכל הכדור כעל מטען נקודתי, וגבולות נבצע את אותו חישוב כמו קודם עם ההבדל החשוב שבגלל ש- האינגרציה כעת הם מ- ועד k k 4π k 3 A E Q ( )4 in A π יואל שוורצר

3 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 3 מתוך 6 גליון 3 Φ חוק גאוס: השטף הכולל דרך גוף הכולא בתוכו מטען כלל אינו תלוי בצורת הגוף, ואז: 4πQin Φ E a כמו כן: Q s π 4 in הסבר: 4πσ E zɵ 3 פתרון לשאלה התשובה הסופית היא: נתחיל בלחשב באופן כללי מהו השדה הנוצר בנקודה הנמצאת על ציר Z במרחק h מטבעת בעלת צפיפות מטען אורכית ) θ θבמקרה ) )λ זה קבועה, זוהי הזווית עם ציר ה- Z ) שמרכזה גם כן בציר Z q λ( θ ) ϕ E L כאשר ϕ הוא אלמנט קשת אנו מעוניינים רק בשדה בכוון Z ולכן נכפיל ב- h + ϕ ולכן נקבל לאחר האינטגרציה: π נסכום על כל הטבעת, כלומר cos( β ) π λ( θ ) E z cos( β ) + h כעת נחזור לבעיה המקורית: 6 יואל שוורצר

4 sin( θ ) θ + h L sin λ( θ ) σ sin( θ )θ θ β פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 4 מתוך 6 כעת נסכום על כל הטבעות בעלי הרדיוס עלינו לבטא כל פרמטר לפי θ: לפי משפט הקוסינוסים: נציב את הפרמטרים ונבצע את האינטגרציה ע"פ θ: θ π π σ sin ( θ )sin π πσ sin ( θ ) 4πσ E z θ ( zɵ ) θ ( zɵ ) ( zɵ ) θ θ 3 4 sin sin q פתרון לשאלה עלינו לחשב את השטף הכולל דרך שטח פנים של גוף כלשהו הגוף כולא בתוכו מטען נשתמש בחוק גאוס (להבדיל ממשפט גאוס!) נתעלם מנתוני הגליל, ופשוט נחשב: יחיד ונתון Φ 4π Q 4π q in פתרון לשאלה 3 E πσ :σ גרסא א': שדה של משטח אינסופי הטעון בצפיפות מטען בכוון הניצב למשטח לכן נחשב: E π ρx πρ נשים לב כי אם < גרסא ב': ראשית נחשב את אז גודל השדה חיובי (בכוון X), אחרת השדה מכוון בכוון (X-) ולכן גודלו הוא שלילי Qin ρv πρ πρ( a ) 3 3 v a 4 Φ π E πq π πρ a E ( a ) 3 πρ in 4 ( ) :Q in כעת לפי חוק גאוס: נקבל תשובה סופית: 6 יואל שוורצר

5 h 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 5 מתוך 6 פתרון לשאלה 4 נפתור שוב לפי חוק גאוס: מתקיים: נבחר גוף המתאים לנו ביותר לשאלה זו גוף גלילי בעל רדיוס ואורך כלשהו 4π aσ E ɵ 4π E ( aσ + bσ ) ɵ E E π h 4π Qin Q : < a in עבור עבור (כי איך כלל מטען), ולכן נקבל: π E π h 4π Q 4 ומכאן נקבל: ( π aσ h) in [ ] E π h 4π Q 4π π h( aσ + bσ ) in : a< < b : > עבור b ומכאן נקבל: x cos( θ ) y sin( θ ) J z z פתרון לשאלה 5 שוב, לפי חוק גאוס, ונעבור לקואו' גליליות: π E π h 4π Q 4π ρv 4π ρ ϕz in h 4π A E 3L 3 נקבל: פתרון לשאלה 6 נשים לב לשיקולי הסימטריה ונסיק כי כמות השטף דרך הקוביה היא בדיוק שמינית מהשטף הכולל לכן: Φ question Φ tot 4π Qin π q יואל שוורצר

6 4 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 6 מתוך 6 גליון פתרון לשאלה גרסא א': על מנת לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות A ל-, נחשב את ההפרש בין A ל- C ואח"כ בין C ל- הפרש פוטנציאלים הנובע מטבלה אינסופית מישורית: ϕ( Z ) ϕ( Z ) πσ ( z z) ϕ AC πσ k(8 3) 6πσ k ϕc πσ k(8 3) 6πσ k לכן: עבור הטבלה בציר ה- X, ההפרש הוא רק ברכיב ה- X : עבור הטבלה בציר ה- Y, ההפרש הוא רק ברכיב ה- Y : ϕ A ϕ AC + ϕc πσ לכן סה"כ: k ϕ q λ kθ λ kθ גרסא ב': נחשב את תרומת כל אלמנט קשת לפוטנציאל: π ϕ λ kθ λπ k נבצע אינטגרציה ונקבל: פתרון לשאלה q λz ϕ x + z נחלק את התיל לאלמנטי אורך בשם כזה לנקודה P:, z ונחשב מהי תרומת הפוטנציאל של כל אלמנט אינפיניטיסימלי z λ z ϕ λ x z x + z + x z xt נגזור ונקבל: z xt z z< <, אז עבור t הם יהיו: < < x x x x xt λ acsin h ( t) x sin h sin h x λ t x x x x λ ϕ + z כעת נבצע החלפת משתנים נסמן: t > x נשים לב כי אם קודם גבולות האינטגרציה היו עבור : Z נציב בחזרה באינטגרל, נשתמש ברמז ונקבל: 6 יואל שוורצר

7 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 7 מתוך 6 פתרון לשאלה 3 נבחן מהי תרומתו של אלמנט קשת θ לפוטנציאל במרכז המעגל, ונסכום באינטגרציה על כל המעגל q λ( θ ) θ ϕ k k kλ( θ ) θ π π kλ (,) k sin ( ) ( cos( )) k ϕ λ θ θ θ θ λπ 4 ( ) ρ 4π ρ( ) π + π Q v a b Q E k k a b ( ) ( ) π ( + ) aπ 3 3 ( ) ( ) ' 3 ϕ ϕ ( ) ( ) Z E l ( Z ) ( Z ) Z ϕ ϕ E l E l ( ) ( ) ϕ kπ a + b k + πb E ( ) פתרון לשאלה 4 בשאלה זו נשתמש בנוסחא: נשתמש בנתוני השאלה כעת, לאט ובזהירות נחשב את פתרון לשאלה 5 נזכר באיור שהיה לנו בגיליון 3 בשאלה : W q ϕ ולחשב לפי הנוסחא: z עלינו בעצם לחשב את הפוטנציאל בנקודה, z ɵ בנקודה ɵ נחשב את את תרומת הפוטנציאל של כל אלמנט טבעת לנקודה : z ɵ 6 יואל שוורצר

8 q λ( θ ) ϕ θ q σ θ ϕθ sin( ) sin ( ) θ θ λ( θ ) σ ( θ ) θ σ sin( ) θ L sin 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 8 מתוך 6 ע"פ משפט הקוסינוסים : q πσ sin ( θ ) θ πσ sin ( θ ) θ ϕ L θ θ sin sin π sin ( ) 8 θ ϕ( ɵ πσ z) θ θ sin W q ϕ q πσ 3 z ɵ נבצע את האינטגרציה: כעת נבצע את אותו החישוב עבור הנקודה לכן נקבל: נשים לב כי החישוב יהיה זהה בכל הפעולות שעשינו 8πσ 8πσ 3 3 פתרון לשאלה 6 נחשב את הפוטנציאל החדש פשוט ע"י חישוב הפוטנציאל הישן פחות החלק אותו הורדנו Z שוב, נשתמש בנוסחא: ρ 4π ρ ϕ ϕ v ϕ ϕ π ρ ϕ ϕ ( Z ) ( Z ) E l Z kz E Ake sin( kz) xɵ + cos( kz) zɵ E ϕ פתרון לשאלה 7 פשוט נחשב ע"פ הנוסחא: ונקבל: פתרון לשאלה 8 3 x ϕ ( x, y) 3 y x : נשים לב כי ע"פ הנוסחא: E ϕ רק פונ' הפוטנציאל נכונה עבור השדה הנתון 6 יואל שוורצר

9 5 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 9 מתוך 6 גליון ϕ ( ) Q Q < באופן כללי, הפוטנציאל של קליפה כדורית ברדיוס : פתרון לשאלה ϕ ( ) עבור שאלות מסוג זה העיקרון הוא פשוט וברור: אם נמצאים מחוץ לכדור אז מתיחסים אליו כאל מטען נקודתי, ואם נמצאים בתוך כדור אז הפוטנציאל שלו על השפה שווה לפוטנציאל בכל נקודה בפנים עבור הפוטנציאל על הקליפה הפנימית בעלת רדיוס : k q q 3q kq ועבור הפוטנציאל על הקליפה האמצעית בעלת רדיוס החישוב יהיה זהה פתרון לשאלה q' כאשר מחברים קליפות במוליך דק יש להזניח את כמות המטען על המוליך עצמו כמובן שכמות המטען הכוללת על הקליפות לא משתנה המטען רק מסתדר בצורה אחרת נניח כי מחברים את הקליפה שברדיוס עם זאת שברדיוס 3 נסמן את כמות המטען החדשה על ב- ידוע), ואת כמות המטען על הקליפה ב 3 - הפוטנציאלים בקליפות המחוברות הוא כעת זהה, לכן נבנה משוואה המבטאת זאת: (לא 4 q q' ϕ q' q 4 q q' q' q 4 q q' k + + k + + ϕ ( ) (3 ) ϕ ( ) kq 3 q ' q נקבל: נציב במשוואה ונקבל: פתרון לשאלה 3 זוהי שאלה פשוטה ומאוד טכניות ולקבל תשובה סופית סה"כ יש ליישם את עקרונות הקיבול במקביל ובטור, לפשט לאט לאט את המעגל + C C C eff C C + C eff חיבור קבלים בטור: חיבור קבלים במקביל: 6 יואל שוורצר

10 מ( 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 פתרון לשאלה 4 הפיתרון בשאלה זו דומה מאוד לפיתרון שאלה מחברים את הקליפות, המטען הכולל לא משתנה, הפוטנציאלים כעת שווים נניח כי הקליפות ברדיוסים,, 3 טעונות במטענים, 3, מחברים את הקליפות עם 3 המטען על יהיה: q q q בהתאמה ϕ q q' q q' q q' q q' k + + k + + ϕ ( ) (3 ) q' q נקבל ϕ( L ') ϕ π kρ L פתרון לשאלה 5 מכיוון שהנקודה A נמצאת מחוץ לטבלה, נתיחס לטבלה כאל טעונה בצפיפות משטחית σ ρx ρ כלומר: נסיק ממשוואת הפרש פוטנציאלים הנובע מטבלה מישורית אינסופית: W q ϕ π kρq L x ע"פ נוסחת העבודה: נתון כי מהירות החלקיק בהגיעו לנקודה הוא, ולכן משוואות האנרגיה שוות: 4π kρq L π kρq L m m A C 4π D פתרון לשאלה 6 נפתור שאלה זו ע"י הנוסחה בהתאם לנתונים שלנו כאשר A הוא שטח כל לוח ו- D הוא המרחק בין הלוחות עלינו לבצע אינטגרציה על מרחק הלוחות זה מזה (D ( לאורך הלוח a נפרק את A ל- a - ועד ( a v usinθ באופן כללי, כאשר θ זווית קבועה: נקבל D + v + נשים לב כי usinθ נבצע את האינטגרציה: a a a a + asinθ C u ln( + u sinθ) ln 4π + u sinθ 4π sinθ 8π sinθ ( ) a 6 יואל שוורצר

11 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 גליון 6 ( Q) a פתרון לשאלה נסמן את המקום בו נמצא Q כראשית הצירים בנקודה אך כעת הפוטנציאל ב- על מנת לאפס את הפוטנציאל בנקודה עלינו לשים מטען איננו אפס ולכן יש לשקף את כל המערכת שוב, הפעם בכוון השלילי ( ) n ( axˆ ) axˆ נמשיך בפועולות השיקוף אינסוף פעמים, בכל פעם מצד אחר של הציר לכן מופיע לכן נקבל: ( ) n Q naxɵ n n U פתרון לשאלה נשים לב כי בקלות ניתן לחשב את האנרגיה ליח' שטח עבור כל אחד ממערכת הקבלים בנפרד נסמן גודל זה ב- C ע"פ נוסחת הקיבול, נקבל כי קיבול ליח' שטח הוא: (כאשר S הוא שטח כל לוח ו- a הוא המרחק בין S 4π a הלוחות) לכן האנרגיה הכוללת ליח' שטח היא: Utot U C C S S S S 4π a π a פתרון לשאלה 3 נשתמש ברמז ונזניח לרגע את הקבלים הראשונים המערכות הבאות שווה: מכיוון שיש מספר אינסופי של קבלים, הקיבול השקול של b נבטא זאת באמצעות משוואות, ולשם הנוחות נסמן: אנו מחפשים כמובן את ( + b) 5 a a b b a a+ b פתרון לשאלה 4 L L x L x x σ A σ LA aσ ( x) נפתור בקלות ע"י נוסחת : 6 יואל שוורצר

12 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 פתרון לשאלה 5 נתון ואת מצאנו בסעיף הקודם (נשים לב כי A איננו נתון בסעיף זה אך הוא יצטמצם לנו בהמשך) הזרם קבוע במערכת, אחרת היתה נוצרת הצטברות של מטענים אם הזרם קבוע אז גם צפיפות הזרם קבועה שטח החתך A גם הוא קבוע, ולכן ניתן לרשום: σ JA I J A L פתרון לשאלה 6 E J ( x) σ ( x) L x J σ E ( x) ( x) נחשב פשוט ע"י נוסחת צפיפות הזרם: פתרון לשאלה 7 בשאלה זו הזרם עובר באופן אחיד רדיאלית מהקליפה הפנימית לחיצונית ולכן ניתן להתייחס למערכת כאל חיבור + נרצה לחשב: ואת החיצונית כנגד נגדים בטור נגדיר את הקליפה הפנימית כנגד ע"פ נוסחת ההתנגדות עבור חומר דיאלקטרי הכלוא בין שני כדורים: 4πσ a a+ b 4πσ a+ b b + ולכן התשובה היא A 4π σ A נשים לב כי הנוסחאות הנ"ל הן מקרה פרטי של הנוסחא עבור שטח חתך פתרון לשאלה 8 A לכן: 4π b I, J σ( x) E( x) נתון ואת מצאנו בסעיף הקודם שטח החתך הוא I I J σ E E ( b) ( b) ( b) ( b) A 4π b 4π b 4π bσ 6 יואל שוורצר

13 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 3 מתוך 6 פתרון לשאלה 9 A π L, σ A ( ) ( ) שוב, לפי נוסחת ההתנגדות כאשר הפעם שטח החתך הוא של מעטפת של ו- ρ σ L גליל ברדיוס ואורך וללא הבסיסים, b a a b a a π L 4π L ( ) פתרון לשאלה A π bl מצאנו בסעיף הקודם נתון ואת I 4π L a b a ( ) I JA I J A ab b a ( ) 6 יואל שוורצר

14 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 4 מתוך 6 גליון 7 F F ' p ' F F γ p עבור טרנספורמציות הכוחות: P המערכת בה המטען עליו פועל הכח נמצא במנוחה (המערכת העצמית שלו): פתרון לשאלה התנועה היחסית של שני המטענים בשאלה היא על ציר X בלבד כמו כן הכח בין שני מטענים אלו גם הוא מכוון על ציר ה- X התנועה מקבילה לכוון הכח ולכן ע"פ טרנספורמצית הכוחות מתקיים: ' p q F ɵ F x a פתרון לשאלה F 4qλv c ˆ פתרון לשאלה 3 Q והכח מהמטען q q מחולק לשניים: הכח מהמטען הכח הפועל על המטען q F ( zˆ q ולכן אין שום אפקט יחסותי ביניהם: ) q נמצא במנוחה ביחס ל- המטען עבור הכח מהמטען Q נבצע טרנספורמציה ע"פ הנוסחא מכיוון שהכח הפועל הוא בניצב לכוון התנועה נקבל שהכח q הוא: במערכת המטען qq qq F ( ˆ) 4 ( ˆ Q γ z γ z) q F [ 4γ Q+ q]( zˆ נחבר את הגדלים ונקבל : ) פתרון לשאלה 4 קל לראות משיקולי סימטריה כי הכוחות הפועלים על Q הם שווים בגודלם והפוכים בכיוונם, ולכן הכח הפועל עליו הוא אפס 6 יואל שוורצר

15 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 5 מתוך 6 פתרון לשאלה 5 a sinθϕθ θ θ, Q E עלינו לחשב את השטף כפונקציה של הזוית θ כאשר Φ E ע"פ חוק גאוס השטף הוא: a ולכן: π θ Q Φ E a Q Q ϕ θ θ θ ( ) sinθ ϕ θ π sinθ ε π cosθ פתרון לשאלה 6 ( ε ϕ ) Q( ) ( β sinε) β E כעת עלינו לבצע טרנספורמציית שדה כעת השדה הוא ( β ) ( ) Q( β ) ( β sinε) π ϕ Φ E a sin( ε) ϕε ϕ ε ϕ cosϕ πq ( ε) ε πq ε β sinε β sin ϕ sin נבצע את אותו חישוב כמו קודם אך עם השדה החדש: 6 יואל שוורצר

16 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 6 מתוך 6 גליון 8 I (ציר האגודל כאילו מונח על התיל), שאר האצבעות בכוון כלל יד ימין לכיוון השדה המגנטי: אגודל בכוון הזרם המרחק מהנקודה שבה רוצים לבחון את השדה, כיוון השדה המגנטי בנקודה הוא הווקטור היוצא מכף היד החוצה (כמו כאפה), : אגודל בכוון המהירות בתוך שדה מגנטי כלל יד ימין לכיוון הכח הפועל על אלמנט מטען הנע במהירות שאר האצבעות בכוון השדה המגנטי, נקבל כי הכח הפועל על המטען הוא בכיוון הווקטור היוצא מכף היד החוצה c 3 נשים לב כי בשאלות בהן השאלה מוצגת ביחידות של s c g הגודל של c יהיה - פתרון לשאלה ( ) < < a, I π Ja 3 הזרם הוא או בגרסא השניה: השדה המגנטי עבור הוא : π 3c a θ 4 Jo a ˆ I c פתרון לשאלה ידוע כי השדה המגנטי הנוצר מתיל אינסופי שלם הוא פתרון לשאלה 3 I, ולכן תיל חצי אינסופי יצור מחצית מזה: c ראשית נשים לב כי לפי כיוון הזרם כי כל רכיבי הזרם מוסיפים שדה מגנטי באותו הכוון (ע"פ כלל יד ימין), ולכן יש לבצע סכימה: I ראינו בשאלה הקודמת כי השדה המגנטי הנוצר מתיל חצי אינסופי הוא נסכום רכיבים כאלה c π I נותר לסכום רבע של טבעת ברדיוס הנושאת זרם : I 4 c נקבל: I π I I( 4+π) + c 4 c c פתרון לשאלה 4 נבחן ראשית מהי תרומת זרם בטבעת אינפיניטיסימלית לשדה במרכז הקליפה נסמן ב- x את רדיוס הטבעת וב- z את מרחק מרכזה ממרכז הקליפה הכדורית נשים לב כי אם a הוא רדיוס הקליפה אז מתקיים x + z a נציב בנוסחא המתאימה ונקבל: π x I π x I * 3 3 ca c x + z ( ) ( ) x asinθ a נבטא את כל הגדלים בעזרת המשתנים שיש לנו: נסמן ב- θ את הזווית הנוצרת בין הניצב לרדיוס z ע"פ טריגונומטריה: ωx מהירות המטענים הם: ωasinθ I σ a θ σωa sinθθ נבחן את אלמנט הזרם : I 6 יואל שוורצר

17 ( a ) ( a ) π sinθ σω sinθ θ ca פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 7 מתוך 6 נציב את מה שקיבלנו במשוואה (*): π aσω 8 π σω c 3c π 3 sin θθ a π I θ I, כאשר אצלנו: פתרון לשאלה 5 גרסא א': פשוט נשתמש בנוסחא לחישוב שדה מגנטי במרכז גזרת טבעת: גרסא ב': i 4i שואלים מהו גודל השדה המגנטי ולכן בשאלה זו נתעלם מכוונו נשים לב כי התילים האינסופיים בעלי הזרם i יוצרים שדה מגנטי באותו כוון, ולכן: ( θ) I π Il π π I I θ + tot 4π I + 6i עבור הטבעת: נחבר את שני הגדלים ונקבל: פתרון לשאלה 6 השדה מחוץ לטורוס הוא פתרון לשאלה 7 ( ) NI c פשוט מאוד נשתמש בנוסחא: 6 יואל שוורצר

18 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 8 מתוך 6 גליון 9 פתרון לשאלה השדה החשמלי והמגנטי במערכת ' S ניצבים זה לזה ' פתרון לשאלה E E E פתרון לשאלה 3 E E E פתרון לשאלה 4 קיימת מערכת אינרציאלית ' S פתרון לשאלה 5 אף תשובה אינה נכונה שבה פתרון לשאלה 6 λ ', E 3 xˆ b 6 יואל שוורצר

19 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 9 מתוך 6 גליון c נשמיט את m k s Φ ε c t נוסחת פאראדיי (לחישוב כא"מ) ביחידות s c: g ביחידות Φ I L c t t נוסחת ההשראות העצמית: פתרון לשאלה ( A נסמן את שטח המסגרת ב- A (אצלנו a נבדוק את תנאי ההתחלה על מנת לקבוע את מחזוריות הנורמל של המסגרת ביחס לכיוון השדה המגנטי: Φ cos( ωt) אם ב- t הנורמל למסגרת מקביל לכיוון השדה המגנטי אז השטף מבוטא ע"י A אם ב- t הנורמל למסגרת ניצב לכיוון השדה המגנטי אז השטף מבוטא ע"י π Φ cos ω t A sin( ω t) A נשתמש בנוסחת הכא"מ: Φ A sin( t ) A cos( t ) c t c t c ε ω ω ω a cos ( t) ε ω ω מבקשים את הכא"מ בערך מוחלט, נציב את A, ונשמיט את c: פתרון לשאלה a נחשב תחילה עבור >t >, כלומר עבור הזמן בו לוקח לריבוע להכנס במלואו לתחום בעל השדה v Φ a vt שטח המלבן האינפיניטיסימלי הנכנס לתחום בזמן t הוא, vt ולכן השינוי בשטף יהיה: av Φ נחלק ב- t ונקבל av מכאן נובע: ε c t שהו הזמן שיקח למסגרת לצאת מהתחום: נבצע חישוב דומה השטף נתון ע"י: ( ) Φ a a vt a avt ε av c t Φ av a a עבור t< < v v נגזור לפי t ונקבל מכאן נובע: פתרון לשאלה 3 המוט נע מטה ולמעשה מקטין את שטח המסגרת מכיוון שהשדה המגנטי קבוע בזמן ובמרחב, נסיק כי תנועת ( Φ המוט מקטינה את השטף המגנטי (כי באופן הכי כללי, שטף הוא מכפלת שדה מגנטי בשטח S לכן הזרם שיווצר יהיה בכוון כזה שירצה להגדיל בחזרה את השטף, כלומר יצור כח שירצה להגדיל בחזרה את המסגרת ע"פ כלל יד ימין: הכח יפעל בכיוון נצייר את תרשים הכוחות: ( ˆx ) F 6 יואל שוורצר

20 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 N cosθ mg N sinθ F ( h vt) F mg tanθ h נרשום משוואות: נסמן את המרחק בין המוט לבין הנקודה בה המסילה נוגעת ברצפה ב- שטח המלבן קטן אם כך ב- ( ) Φ ה- cosθ מופיע כי כיוון הנורמל למסגרת אינו מקביל cosθ L h השטף המגנטי הכולל הוא: vt מכאן נובע: Φ ל-, אלא רק רכיב ה- cosθ מקביל לו נגזור לפי t ונקבל: vlcosθ t ε vl vl I cosθ כמו כן: ε cosθ c c F IL L cosθ v c c ע"פ הנוסחא לכח המפעיל שדה מגנטי על מוט: שרשמנו קודם: נשווה עם משוואת הכוחות L cosθ mgc tanθ v mg tanθ F c L cosθ I c פתרון לשאלה 4 a< < בתחום b מלבן בעל אורך השדה המגנטי בכל נקודה הוא וגובה בכוון משיקי (מתיחסים רק לגליל הפנימי) נבנה כך ששני בסיסיו יגעו בשני הגלילים נמצא את השטף המגנטי העובר דרך המלבן: l b ln I li b c c a Φ s x a ( b a) h ע"פ נוסחת ההשראות העצמית: Φ Φ I t Φ t Φ L L c t t c I c t I c I t Φ l b ln I c a l b L ln c a 6 יואל שוורצר ולכן נקבל:

21 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 sec, cm 7 הנרי נשים לב שאם נכפיל את התוצאה שקיבלנו ב- ואילו אם נכפיל את התוצאה שקיבלנו ב- אז נקבל את התוצאה ביחידות של אז נקבל את התוצאה ביחידות של 3 פתרון לשאלה 5 I 9 9% I באינסוף הזרם הוא לכן ממנו זה: U L 9 LI האנרגיה המגנטית נתונה ע"י U, לכן נציב ונקבל: נבנה כעת מעגל סכימטי כאשר נפצל את תכונת הנגד מתכונת ההשראות בסליל + ac ab bc ע"פ חוקי קירכהוף מתקיים: I I + t L L I L + I t נתרגם זאת למעגל שלנו: נחלק ב- L, נעביר אגפים ונקבל: L t t L L I ( ) e e t L פתרון משוואה מסוג כזה הוא: הגרף נראה כך:? I 9? ( t ) עבור איזה t נקבל את הזרם המבוקש t t L L L 9 e e t ln ( ) 6 יואל שוורצר

22 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 גליון ψ ψ x u t (t פתרון לשאלה הפונקציה המבוקשת צריכה לקיים את משוואת הגלים, כלומר במקרה שלנו צריך להתקיים: כאשר היא מהירות הגל רק אחרי שגוזרים את כל הפונ' לפי משוואת הגלים (נגזרת שניה לפי, cos במשוואה ניתן לזהות כי רק הפונקציה 3 ω, x ואח"כ נגזרת שניה לפי מקיימת את הדרישה, ומציבים וכמו כן היא גם ψ ( x, t) Aexp( kx ωt) ψ ( x t) A ( kx+ t) בכיוון המבוקש (הכיוון השלילי של ציר X) לדוגמא הפונקציות kx ωt), ψ( x, t) Acos( kx ωt) sin( אמנם מקיימות את משוואת הגלים אך הן מתקדמות בכיוון הלא נכון u פתרון לשאלה ph g ω ω+ α k k k ω α k k ω + α k מהירות הפאזה: מהירות החבורה: g ph α k ( ω+ α k ) תשובה סופית: פתרון לשאלה 3 π 4π D k k k k π π λ, λ k k, λ λ + λ π באפון כללי: λ אצלנו: k π ( k + k ) k k ע"פ נתוני השאלה: D 4k k λ k k תשובה סופית: 6 יואל שוורצר

23 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 3 מתוך 6 פתרון לשאלה 4 ph T π f, k ρ ph ρ π f T באופן כללי, ע"פ הדף נוסחאות: T A k T Ai k+ k ρ + ρ ' ρ, ולכן: T AT A i הגודל המבוקש הוא פתרון לשאלה 5 : A A i החישוב הוא דומה לחישוב בשאלה הקודמת, רק שעכשיו מחפשים את A k k ρ ' ρ T Ai k+ k ρ ' + ρ 6 יואל שוורצר

24 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 4 מתוך 6 גליון פתרון לשאלה ψ x + a ( x, t ) f ( x) נציב תנאי התחלה : g( x ), f ( x+ vt) נעזר בנוסחת דלאמברט, ונניח כי הנגזרת הפונקציות הבאות: ושל נציב בנוסחא, כלומר: כלומר בעצם עלינו לחשב ממוצע חשבוני של f ( x vt) f ( x vt) + f ( x+ vt ) ψ + x vt x+ vt + + a a פתרון לשאלה ρ< הוא ρ ' x> מקדם ההעברה לתחום L תחת ההנחה כי cos( a) פתרון לשאלה 3 פתרון לשאלה 5 λ π יואל שוורצר

25 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 5 מתוך 6 גליון 3 kˆ E פתרון לשאלה מהירות גל באופן כללי היא, ω k וזהו הגודל גם במקרה שלנו כיוון מהירות הגל ניצב גם לכיוון השדה החשמלי וגם לכיוון השדה המגנטי, ע"פ כלל יד ימין ω x k נקבל: פתרון לשאלה c U ( E באופן כללי האנרגיה ליח' שטח ניתנת ע"י הנוסחא ˆk( + 8 π ), XZ כלומר כיוון הגל מקביל למשטח הנתון (הנמצא במישור kˆ E y z אצלנו x ולכן כמות האנרגיה העוברת דרך המשטח היא אפס פתרון לשאלה 3 f c 3 3 λ f λ נתון כי הגל נע בריק ולכן c נציב את הנתון בנוסחא ונקבל: ( f (נשים לב כי למרות שכתוב בשאלה כי הגודל הוא, v מתכוונים לתדירות ולכן הכוונה היא ל- פתרון לשאלה 4 הגל הנתון איננו גל א"מ ראשית נתייחס לכיוון הגל בלבד נדרוש קיום הקשר: בכוון z בלבד קל לראות כי בנתוני השאלה לווקטור אינו מתאר גל א"מ k כלומר צריך להתקבל וקטור ˆk E יש רכיבים בכיוונים נוספים (בתוך חזקת ה- ( e ולכן הצמד ( x y) z k פתרון לשאלה 5 (,, ) הגל הנתון הוא גל א"מ בעל קיטוב מעגלי עם כיוון התקדמות 6 יואל שוורצר

26 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד 6 מתוך 6 גליון 4 ( ) l l L פתרון לשאלה המרחק x פתרון לשאלה שעבורו יופיע מקסימום ההתאבכות מסדר אפס הוא Lλ המרחק y בין מינימום התאבכות עוקבים הוא Lφλ π ( ) l l L פתרון לשאלה 3 לאחר עיכוב הפאזה, מקסימום ההתאבכות מסדר אפס יופיע ב- פתרון לשאלה 4 λ λ פתרון לשאלה 5 Ceff ε C + + ε ε יואל שוורצר