x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy"

Transcript

1 גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת סביבה מנוקבת של a. במילים אחרות, ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ x D f ) הגדרה: (גבול של פוקציה בנקודה לפי Cauchy בשפה של (,ɛ δ נאמר ש l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a (או ש f(x) שואף ל l כאשר x שואף ל ; a או l הוא הגבול של f(x) ב a) אם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) במקה זה נכתוב lim f(x) = l ( f מעבירה נקודות קרובות ל a לנקודות קרובות ל l ( הגדרה: (גבול של פונקציה בנקודה לפי Heine בשפה של סדרות) l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n a x n a (i) (ii) (iii) מתקיים f(x n ) l ( f מעבירה סדרות מתכנסות ל a לסדרות מתכנסות ל l ( משפט: שתי ההגדרות שקולות. הוכחה: נניח ש l R מקיים את הגדרת. Cauchy תהי ) n x) סדרה עם התכונות של הגדרת. Heine עלינו להראות ש. f(x n ) l בהינתן > 0,ɛ לפי הגדרת,Cauchy.( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) 1

2 נתבונן ב δ שמתאים ל ɛ. תהי ) n x) סדרה עם התכונות של הגדרת.Heine בגלל ש x n a ו x n a ( N N)( n > N)(0 < x n a < δ) ( n > N)( f(x n ) l < ɛ) על כן, לפי תנאי הגדרת,Cauchy ולכן.f(x n ) l בכיוון השני, בדרך השלילה, נניח ש l R אינו מקיים את הגדרת Cauchy ונראה שאינו יכול לקיים את הגדרת. Heine אם l R אינו מקיים את הגדרת Cauchy אזי.( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l ɛ) δ = 1 n ונבנה סדרה ) n (x אשר מקיימת עבור ɛ כזה נבחר סדרה של ערכים.x n D f, 0 < x n a < 1 n f(x n) l ɛ מכאן ש ) n x) מקיימת את התכונות שבהגדרת Heine אבל f(x n ) l כי הרי. f(x n ) l ɛ מסקנה: (יחידות הגבול) אם lim f(x) = l ו l lim f(x) = אזי. l = l משפט: אם lim f(x) = l ו 0 l אזי.( δ > 0)( x)(0 < x a < δ sgn(x) = sgn(l)).( δ > 0)( x)(0 < x a < δ q < f(x)) בצורה יותר כללית, אם q < l אזי.( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) < q) ואם l < q אזי משפט: אם f(x) c אזי. lim f(x) = c 2

3 משפט: (אריתמטיקה של גבולות) נניח שקיימים f(x) lim ו g(x). lim אזי lim (f(x) + g(x)) = ( lim f(x)) + ( lim g(x)) lim (f(x) g(x)) = ( lim f(x)) ( lim g(x)). lim (f(x) g(x)) = ( lim f(x)) ( lim g(x)) f(x). lim g(x) = lim f(x) lim g(x) אם 0 g(x) lim אזי משפט: אם lim f(x) = lim h(x) = l ו ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) g(x) h(x) אזי.lim g(x) = l משפט: (כלל ההצבה) נניח ש: (i) g(x) שואף ל b כאשר x שואף ל a, כלומר lim g(x) = b (ii) קיימת סביבה מנוקבת של a כך ש g(x) b לכל x באותה סביבה. במילים אחרות ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ g(x) b) (iii) f(y) שואף ל l כאשר y שואף ל b, כלומר lim f(y) = l y b. lim f(g(x)) = l אזי 3

4 ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(g(x)) l < ɛ) הוכחה: עלינו להוכיח ש ( γ > 0)( y)(0 < y b < γ f(y) l < ɛ) יהי > 0.ɛ לפי (iii) נתבונן ב γ. לפי (i), עבור γ זה ( δ 1 > 0)( x)(0 < x a < δ 1 g(x) b < γ) ( δ 2 > 0)( x)(0 < x a < δ 2 g(x) b) מצד שני, לפי (ii) יהי } 2.δ = min{δ 1, δ אזי ( x)(0 < x a < δ 0 < g(x) b < γ) ( x)(0 < x a < δ f(g(x)) l < ɛ) מכאן נקבל ש כפי שרצינו. משפט: (קריטריון ( Cauchy קיים l R אשר lim f(x) = l אםם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x, y)(0 < x a < δ 0 < y a < δ f(x) f(y) < ɛ) הוכחה: נניח ש.lim f(x) = l בהינתן > 0 ɛ יהי ) 2 < δ = δ( ɛ 0 כך ש.0 < x a < δ f(x) l < ɛ 2 0 < x a < δ 0 < y a < δ יהו x ו y אשר מקיימים 4

5 אז f(x) f(y) f(x) l + l f(y) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ והקריטריון מתקיים. בכיוון ההפוך, נניח שהקריטריון מתקיים. יהי > 0 ɛ ו δ(ɛ) δ. = נבחר סדרה ) 1 n x) עם התכונות x n D f x n a x n a (i) (ii) (iii) היות ו x n a.( N N)( n > N)(0 < x n a < δ) 0 < x n a < δ יהו n, m > N אזי 0 < x m a < δ f(x n ) f(x m ) < ɛ לכן, לפי הקריטריון, על כן הסדרה (( n (f(x היא סדרת,Cauchy ולכן היא מתכנסת לגבול l. טענה: l.lim f(x) = יהי > 0 ɛ. עלינו להארות ש ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) < δ = δ( ɛ 2 0 אשר מקיים לפי הקריטריון, עבור ɛ זה קיים ).( x, y)(0 < x a < δ 0 < y a < δ f(x) f(y) < ɛ 2 ) x n (a δ + זהו ה δ המבוקש. δ 1 לפי הנחה מתקיים,(a δ, a + δ) {a} D f לכן נוכל לבחור δ n+1, a + δ n+1 ) {a} 5

6 בגלל ש, f(x n ) l עבור אותו ɛ.( N 1 N)( n > N 1 )(0 < f(x n ) l < ɛ 2 ) מצד שני, בגלל ש, x n a עבור אותו δ.( N 2 N)( n > N 2 )(0 < x n a < δ) נבחר אינדקס n N אשר מקיים } 2 n > N = max{n 1, N ויהי x n האיבר המתאים. בתנאים אלה.N < n N 1 < n f(x n ) l < ɛ 2 כמו כן N < n N 1 < n 0 < x n a < δ לכן, אם x מקיים x a < δ <,0 לפי הקריטריון יתקיים f(x) f(x n ) < ɛ 2 ומכאן נקבל ש. f(x) l f(x) f(x n ) + f(x n ) l ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ x D f ) גבולות חד צדדיים יהו a R ו f פונקציה עבורם מתקיים במקרה זה נגיד ש f מוגדרת בסביבה ימנית מנוקבת של a. הגדרה: (גבול מימין של פוקציה בנקודה) נאמר ש l R הוא גבול מימין של f(x) כאשר x שואף ל a (או ש f(x) שואף ל l כאשר x שואף ל a מימין) אם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) 6

7 במקה זה נכתוב lim f(x) = l a<x סימונים אחרים:. lim x a f(x) = lim +0 f(x) = lim f(x) = f(a+) + משפט: הגדרה זו שקולה לאיפיון הבא לפי סדרות: l R הוא גבול מימין של f(x) כאשר x שואף ל a אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f a < x n x n a (i) (ii) (iii) מתקיים.f(x n ) l בצורה אנלוגית לגמרי נגדיר גבול משמאל של פונקציה בנקודה. משפט: תהי f פונקציה מוגדרת בסביבה מנוקבת של a. אזי lim f(x) = l אםם lim x<a f(x) = lim f(x) = l a<x (הגבול קיים אםם קיימים שני הגבולות החד צדדיים ושניהם שווים). lim f(x) = f(a) רציפות הגדרה: נאמר ש f רציפה ב a אם במילים אחרות, a D f lim f(x) (i) (ii) 7

8 lim f(x) = f(a) (iii) משפט: הגדרה זו שקולה לכל אחת מההגדרות הבאות: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)( x a < δ f(x) f(a) < ɛ).1 2. לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n a (i) (ii) lim f(x) = f(a) a<x מתקיים f(a) f(x n ) הגדרה: אנו נאמר ש f רציפה מימין אם lim f(x) = f(a) x<a ונאמר ש f רציפה משמאל אם משפט: f רציפה ב a אםם f רציפה מימין ב a ו f רציפה משמאל ב a ומתקיים lim x<a f(x) = f(a) = lim f(x) a<x רציפות בקטע הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע. אנו נאמר ש f רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה של אותו קטע. אם הקטע הוא סגור, בקצוות הקטע הרציפות הנדרשת היא רציפות חד צדדית. אזי f + g, f g, f g הן רציפות ב a ;ו אם f g משפט: יהו f ו g רציפות ב a..a רציפה ב f g 0 g(a) אז מסקנה: יהו f ו g רציפות בקטע.I אזי f + g, f g, f g הן רציפות ב I ו רציפה בל נקודה ב I ש g לא מתאפסת בה. משפט: (כלל ההצבה לפונקציות רציפות) תהי g(x) y = רציפה ב a ותהי f(y) z = רציפה ב g(a) b. = נניח ש g מוגדרת בסביבה פתוחה של a שתמונתה מוכלה בתחומה של f. אזי f g רציפה ב a. 8

9 ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)( x a < δ f(g(x)) f(g(a)) < ɛ) הוכחה: עלינו להראות ש יהי > 0 ɛ. בגלל הרציפות של f ב b, עבור ɛ זה ( γ > 0)( y)( y b < γ f(y) f(b) < ɛ) בגלל הרציפות של g ב a, עבור γ זה.( δ > 0)( x)( x a < δ g(x) g(a) < γ x a < δ זהו ה δ המבוקש. יה x אשר מקיים g(x) g(a) < γ אזי f(g(x)) f(g(a)) < ɛ ואז כפי שרצינו. (הרכבה של פונקציות רציפות היא רציפה) פונקציות רציפות בקטע סגור משפט: אם f רציפה ב b] [a, ו < 0 f(b) f(a) אזי c [a, b] : f(c) = 0 הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש f(b) f(a) < 0 < (אחרת נסתכל ב f ). יהו.a 1 = a, b = b 1 f( a1+b1 סיימנו. 2 אם = 0 ) ;a 2 = a 1, b 2 = a1+b1 2 f( a1+b1 נגדיר 2 אם > 0 ).a 2 = a1+b1 2, b 2 = נגדיר b 1 f( a1+b1 2 אם < 0 ) בצורה רקורסיבית נבנה סדרה של קטעים ([ n a]) n, b אשר מקיימים את התכונות 9

10 f(a n ) < 0 < f(b n ) (i) [a n 1, b n 1 ] [a n, b n ] (ii) b n a n = 1 2 n 1 (iii) )f an+bn,סיימנו. אחרת נבנה סדרה אינסופית עם 2 אם בשלב כלשהו = 0 ) התכונות הנ ל. סדרה זו של קטעים מקיימת את תנאי משפט קנטור (Cantor) ולכן קיים c R אשר מקיים ( n N)(a a n c b n b) lim a n = c = lim b n יתר על כן lim f(a n ) = f(c) = lim f(b n ) בגלל הרציפות של f נקבל f(a n ) < 0 lim f(a n ) = f(c) 0 אבל f(b n ) > 0 lim f(b n ) = f(c) 0 לכן = 0.f(c) משפט: (תכונת ערך הביניים I.V.P ) אם f רציפה ב b] [a, אזי לכל d בין f(a) לבין f(b) קיים a c b כך ש.f(c) = d הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש f(b).f(a) < d < נתבונן בפונקציה f. d פונקציה זו הינה רציפה בהיותה הפרש של שתי פונקציות רציפות. יתר על כן היא מקיימת את תנאי המשפט הקודם בקטע [b,a], לכן קיים a c b כך ש = 0 d (f d)(c) = f(c) ואז מתקיים.f(c) = d 10

11 הגדרה: יהו f ו A. D f נאמר ש f חסומה ב A אם הקבוצה f(a) = {f(x) : x A} חסומה. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f חסומה באותו קטע. הוכחה: נניח בשלילה ש f אינה חסומה מלמעלה. אזי ( n N)( x n [a, b] : f(x n ) > n) על כן תהי הסדרה ) n x). סדרה זו היא חסומה כי כל איבריה נמצאים ב [b,a] ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת ) nk x) וגבולה גם נמצא [b,a]. בגלל הרציפות של f,הסדרה (( nk (f(x אף היא מתכנסת ולכן היא חסומה, בסתירה לעובדה ש ) k.( k N)(f(x nk ) > n בצורה דומה מוכיחים ש f חסומה מלמטה. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f מקבלת מקסימום ומינימום באותו קטע. במילים אחרות, קיימים a x min, x Max b כך ש ( x [a, b])(f(x min ) f(x) f(x Max )) הוכחה: לפי המשפט הקודם f חסומה מלמעלה ב [b,a]. יהי M = sup{f(x) : a x b} טענה: M הוא המקסימום של f ב [b,a]. ( ɛ > 0)( x [a, b] : M ɛ < f(x) M) ɛ = 1 n ונבנה סדרה ) n (x של איברים ב b] [a, אשר מקיימת נבחר ( n N)(M 1 n < f(x n) M) סדרה זו היא חסומה כי כל איבריה נמצאים ב [b,a] ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת ) nk x) וגבולה גם נמצא [b,a]. יהי x Max = lim k x n k 11

12 מצד שני f,הסדרה (( nk (f(x מתכנסת ל ) Max.f(x בגלל הרציפות של מתקיים ( k N)(M 1 n k < f(x nk ) M) M lim k f(x n k ) = f(x Max ) M ולפי משפט הסנדוויץ נקבל ( x [a, b])(f(x) M = f(x Max )) לכן x Max מקיים בצורה דומה בונים x min אשר מקיים ( x [a, b])(f(x min ) = m f(x)) הוכחות שלושת המשפטים מבוססות על שיקולי סדרות של נקודות בקטע. נביא להלן הוכחות שונות אשר מבליטות פן אחר של פונקציות רציפות. רציפות של פונקציה היא תכונה לוקלית (מקומית) במובן שההתנהגות של פונקציה בנקודת רציפות מושפעת מההתנהגות של הפונקציה בנקודות בסביבתה ומקרינה עליהן. למשל משפט: פונקציה רציפה בנקודה היא חסומה בסביבה של אותה נקודה. במילים אחרות, אם f רציפה ב a אזי ( δ > 0)( m, M)( x)( x a < δ m f(x) M) הוכחה: נניחש.lim f(x) = l יהי = 1.ɛ אזי ( δ > 0)( x)( x a < δ f(x) l < 1) ( δ > 0)( x)( x a < δ l 1 < f(x) < l + 1) במילים אחרות ומספיק לקחת + 1 l.m = l 1, M = בצורה דומה ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה רציפה מימין או פונקציה רציפה משמאל. במילים אחרות, רציפות חד צדדית גוררת חסימות חד צדדית לוקלית. 12

13 משפט: אם f רציפה ב a ו 0 f(a) אזי 0 f בסביבה של a. יתר על כן, באותה סביבה מתקיים sgn(f(a)).sgn(f(x)) = בצורה דומה ניתן להכליל משפט זה למקרה של רציפות חד צדדית. משפט: אם f רציפה ב b] [a, ו < 0 f(b) f(a) אזי c [a, b] : f(c) = 0 הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש f(b).f(a) < 0 < נסתכל בקבוצה.S = {t [a, b] : x [a, t], f(x) < 0} S כי הרי S a. S חסומה בהיותה תת קבוצה של הקטע [b,a]. יהי.c = sup S טענה: = 0.f(c) לפי המשפט הקודם קיימת סביבה ימנית של a שבה f שלילית. במילים אחרות.( δ > 0)( x)(0 x a < δ f(x) < 0) מכאן נסיק ש a. < c מצד שני קיימת סביבה שמאלית של b שבה f חיובית. במילים אחרות.( δ > 0)( x)(0 b x < δ f(x) > 0) מכאן נסיק ש.c < b על כן.a < c < b נניח, בדרך השלילה, ש < 0.f(c) על כן קיימת סביבה של c שבה f שלילית. במילים אחרות.( δ > 0)( x)( x c < δ f(x) < 0) יהי a < c δ < d < c כך ש f שלילית ב d] [a, ויהי c < e < c + δ < b כך ש.c = sup S בסתירה להיותו [a, e] שלילית ב f אז נקבל ש.[c, e] שלילית ב f בטיען דומה שוללים את האלטרנטיבה ש > 0 f(c) ולכן נכונות הטענה והמשפט. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f חסומה באותו קטע..S = {t [a, b] : x [a, t]( m, M)m f(x) M} הוכחה: נסתכל בקבוצה. S כי הרי S.a S חסומה בהיותה תת קבוצה של הקטע b].[a, יהי.c = sup S 13

14 טענה: c. = b ברור ש a. c b לפי משפט קודם קיימת סביבה ימנית של a שבה f חסומה. מכאן נסיק ש a. < c נניח, בדרך השלילה, ש c. < b קיימת סביבה של c שבה f חסומה. יהי a < c δ < d < c כך ש f חסומה ב d] [a, ויהי c < e < c + δ < b כך ש f חסומה ב [e,c]. אז נקבל ש f חסומה ב [e,a] בסתירה להיותו c. = sup S על כן f חסומה בכל תת קטע [t,a] לכל a. t < b (בינתיים איננו יכולים להסיק חסימות בכל הקטע המקורי, עד לקצהו הימני, בגלל שהחסם העליון של הקבוצה f שבה b לפי משפט קודם קיימת סביבה שמאלית של S) אינו שייך בהכרח ל S חסומה. לכן קיים a g < b כך ש f חסומה ב b].[g, היות ו f,g < b = sup S חסומה ב [g,a] לכן f חסומה ב [b,a]. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f מקבלת מקסימום ומינימום באותו קטע. הוכחה: יהי b}.m = sup{f(x) : a x נניח ש. x [a, b], f(x) M = g(x),מוגדרת ורציפה בקטע [b,a]. אבל 1 M f(x) נתבוננן בפונקציה ( ɛ > 0)( x [a, b] : M ɛ < f(x)) ( ɛ > 0)( x [a, b] : 1 ɛ < 1 M f(x) = g(x)) ( a, b I)( x)(a < x < b x I) או במילים אחרות בסתירה לחסימות של g עצמה. הגדרה: I R תקרא קטע אם משפט: תהי f מוגדרת ורציפה בקטע I. אזי f(i) J = גם קטע. הוכחה: יהו,c. d J עלינו להראות שכל y בין c לבין d גם הוא שייך ל J. a, b I : (f(a) = c f(b) = d) a, b I [a, b] I מכאן ש על כן f רציפה ב [b,a]. יהי y בין c לבין d. לפי תכונת ערך הביניים של f בקטע [b,a] x [a, b] : f(x) = y ולכן f(i).y J = 14

15 נקודות אי רציפות אם f אינה רציפה ב a D f נאמר ש a נקודת אי רציפות של f. תהי f פונקציה מוגדרת בקטע I ו a I נקודת אי רציפות של a f. תקרא נקודת אי רציפות מסוג ראשון אם קיימים שני הגבולות הצדדיים f(a+) ו.f(a ) במקרה המיוחד ש f(a+) f(a ) = נקודת האי רציפות תקרא סליקה. במקרה שאחד מהגבולות הצדדיים אינו קיים, a תקרא נקודת אי רציפות מסוג שני. פונקציות מונוטוניות הגדרה: יהו f ו.A D f פונקציה f תקרא עולה ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) f(y)).פונקציה f תקרא עולה ממש או עולה במובן החזק ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) < f(y)).פונקציה f תקרא יורדת ממש או יורדת במובן החזק ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) > f(y)).פונקציה f תקרא יורדת ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) f(y)).פונקציה f תקרא מונוטונית ב A אם היא מקיימת אחת מהתכונות הקודמות. משפט: תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע I. אזי f רציפה בקטע I אםם f(i) J = קטע. הוכחה: אם f רציפה בקטע I,אזי f(i) J = קטע, לפי המשפט הקודם. בכיוון השני, נראה שמונוטוניות גוררת רציפות. ב.ה.כ. נניח ש f עולה. תהי a. I נתבונן ב f(a) J ונניח שהיא איננה נקודת קצה. על כן יש ב J נקודה משמאלה ונקודה מימינה של f(a) ולכן γ > 0 : (f(a) γ, f(a) + γ) J ( δ > 0)( x)( x a < δ f(x) f(a) < ɛ) יהי < ɛ < γ.0 נראה ש.(f(c) = f(a) η) (f(d) = f(a) + η) יהי < η < ɛ 0 ויהו c, d I כך ש 15

16 ברור כי c < a < d (בגלל ש f עולה). אם נקח c < x < d,בגלל המונוטוניות של f, נקבל ש f(a) η = f(c) f(x) f(d) = f(a) + η f(x) f(a) η < ɛ או במילים אחרות לכן מספיק לקחת a}.δ = min{a c, d אם f(a) J נקודת קצה יתכן ש {f(a)} = J ואז f קבועה ובוודאי רציפה. אחרת, ב.ה.כ., נניח ש f(a) היא הקצה הימני אך לא יחידה ב. J אז γ > 0 : (f(a) γ, f(a)] J אם קיים,a < d I אז f(a)) ( a x d)(f(x) = (בגלל ש f עולה והעובדה ש f(a) קצה ימני של J). יהי < η < ɛ 0 ויהי c I כך ש.f(c) = f(a) η ברור כי c < a (בגלל ש f עולה). אם נקח c < x < d,בגלל המונוטוניות של f, נקבל ש f(a) η = f(c) f(x) f(d) = f(a) f(a) + η f(x) f(a) η < ɛ או במילים אחרות לכן שוב מספיק לקחת a}.δ = min{a c, d אם a הקצה הימני של I עלינו להראות ש f רציפה משמאל ב a. יהי < η < ɛ 0 ויהי c I כך ש.f(c) = f(a) η ברור כי c < a (בגלל ש f עולה). אם נקח c < x < a,בגלל המונוטוניות של f, נקבל ש f(a) η = f(c) f(x) f(a) f(a) + η f(x) f(a) η < ɛ או במילים אחרות לכן מספיק לקחת.δ = a c משפט: תהי f רציפה ועולה ממש(יורדת ממש) בקטע I. אזי קיימת פונקציה g אשר מקיימת: D g = I f = f(i) := J (i) 16

17 f הפוכה של g J עולה ממש(יורדת ממש) ב g J רציפה ב g (ii) (iii) (iv) משפט: תהי f עולה ב (b,a). אזי לכל (b x,a) קיימים f(x+) ו f(x ) ומתקיים sup {f(t)} = f(x ) f(x) f(x+) inf {f(t)} a<t<x x<t<b הוכחה: הקבוצה x} {f(t) : a < t < חסומה מלמעלה על ידי.f(x) יהי.A f(x) ברור כי.sup a<t<x {f(t)} = A טענה: f(x ).A = צ ל ש ɛ) ( ɛ > 0)( δ > 0)( t)(0 < x t < δ f(t) A < יהי > 0.ɛ בהיותו sup a<t<x {f(t)} = A. δ > 0 : A ɛ < f(x δ) A.0 < x t < δ x δ < t < x נשים לב ש אם t עומד בתנאים אלה נקבל, בגלל המונוטוניות, f(x δ) f(t) A ɛ < f(x δ) f(t) A < A + ɛ אז. f(t) A < ɛ ומכאן ש בצורה דומה משלימים את יתר טענות המשפט. משפט: בתנאי המשפט הקודם a < x < y < b f(x ) f(x) f(x+) f(y ) f(y) f(y+) מסקנה: נקודות האי רציפות של פונקציה מונוטונית f ב (b,a) הן מסוג ראשון. מסקנה: קבוצת נקודות האי רציפות של פונקציה מונוטונית f ב (b,a) אי לכל היותר בת מניה. 17

18 גבולות אינסופיים וגבולות באינסוף הגדרה: נאמר ש l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם ( ɛ > 0)( X R)( x)(x < x f(x) l < ɛ) במקה זה נכתוב lim f(x) = l x משפט: l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n (i) (ii) מתקיים f(x n ) l בצורה אנלוגית מגדירים את הגבול ב. הגדרה: נאמר ש הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a אם.( Y R)( δ > 0)( x)(0 < x a Y < f(x)) במקה זה נכתוב. lim f(x) = משפט: הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n a x n a (i) (ii) (iii) מתקיים ) n. f(x בצורה אנלוגית מאפינים את כגבול של פונקציה בנקודה. 18

19 הגדרה: נאמר ש הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם.( Y R)( X R)( x)(x < x Y < f(x)) במקה זה נכתוב. lim x f(x) = משפט: הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n (i) (ii) מתקיים ) n. f(x בצורה אנלוגית מגדירים ומאפינים יתר סוגי גבולות אינסופיים באינסוף. רציפות במידה שווה הגדרה: תהי f מוגדרת ב A. D f נאמר ש f רציפה במידה שווה ב A אם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x, y A)( x y < δ f(x) f(y) < ɛ) משפט: תהי f רציפה ב [b,a]. אזי f רציפה במידה שווה ב [b,a]. הוכחה: נניח, בדרך השלילה, ש f אינה רציפה במידה שווה ב [b,a]. אזי ( ɛ > 0)( δ > 0)( x, y A)( x y < δ f(x) f(y) ɛ).δ = 1 n על כן קיימים b] x n, y n [a, עם התכונה נבחר x n y n < 1 n f(x n) f(y n ) ɛ הסדרה ) n x) הינה סדרה חסומה כי כל איבריה ב [b,a], לכן יש לה תת סדרה ) nk (x מתכנסת לגבול x באותו קטע b].[a, (x nk ) x k 19

20 נשים לב ש הסדרה ) n (x n y שואפת ל ;0 לכן גם התת סדרה ) nk (x nk y שואפת ל 0. טענה: התת סדרה ) nk y) מתכנסת בהיותה הפרש של שתי (תת) סדרות מתכנסות ומתקיים (y nk ) x k.x = lim(x nk ) = lim(x nk (x nk y nk )) = lim(y nk ) הוכחה: lim f(x n k ) = f(x) = lim f(y n k ) k k בגלל הרציפת של f מתקיים lim (f(x n k ) f(y nk )) = 0 k לכן. f(x nk ) f(y nk ) ɛ בסתירה לעובדה ש משפט: אם f רציפה במידה שווה ב A אז f רציפה ב A. 20

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 )

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 ) HM HM מאפיינים טכנולוגיה: עוגן נקבה סוג פלדה העוגן נקבה: Cold Formed steel D62 סוג פלדה הבורג :. Steel f uk = 0 N/mm 2 ; f yk = 6 N/mm 2 גלוון: 5µ Zn HM Bolt HM Eye European Approval ETA01/00 ETAG001 option

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית דצמבר 0 ת וכן עניינים מועד דצמבר 0 חשיבה מילולית מטלת כתיבה... חשיבה מילולית פרק ראשון... חשיבה מילולית פרק שני... חשיבה כמותית פרק ראשון... 0 חשיבה כמותית פרק שני... אנגלית

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37805-05B נכנס לתוקף במרץ 37805-05B Effective March 2015 / Σε ισχύ από το Μάρτιο 2015 / 2015 Blom-Singer is

Διαβάστε περισσότερα

"מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה"

מנהיגות פדגוגית בישראל הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דוח מסכם עבור מכון אבני ראשה מטרות המחקר מטרת המחקר "מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה" פרופ' שאול אורג וד"ר יאיר ברזון הייתה לבדוק את הקשר בין מנהיגות מדד של "מנהיגות פדגוגית בישראל"

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05C 37728-05C Effective March 2014 Blom-Singer is a registered trademark in the United States of Hansa Medical Products. / InHealth Technologies

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 1 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 H γραφική της παράσταση είναι: Και την συνάρτηση f(x) = x + 3x + η οποία έχει προκύψει από την προηγούμενη αφού

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors - SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors 2 pole 3000 rpm 50Hz Rated current Power Efficiency Rated Ratio Noise Output Frame Speed Weight 3V 400V 415V factor Class 0%Load 75%Load torque

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 15 34 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and it s affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05D / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37728-05D Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer and InHealth Technologies are registered

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

CD/MP3 Hands-free Receiver

CD/MP3 Hands-free Receiver CD/MP3 Hands-free Receiver RHYTHM N BLUE User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG GRE P.3 P.15 HEB P.38 Warning The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held liable towards end users

Διαβάστε περισσότερα

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 _Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις. Ορισμός : Εστω ΑR. Ονομάζουμε (πραγματική) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, μια διαδικασία f Παραδείγματα i) με την οποία στοιχείο xα yβr. ii) Ανεξάρτητη

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών Ομάδων στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» - MIS 383583

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών Ομάδων στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» - MIS 383583 ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών Ομάδων στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» - MIS 383583 Υποέργο 11: 3D Προσομοίωση της κατεργασίας της διάτρησης, βασισμένη στον προγραμματισμό συστήματος CAD Παραδοτέο του Π.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια Συνέχεια ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ mail: info@iliaskosgr wwwiliaskosgr f] g,! R f] g,, f] g

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Ο Ν Τ Ι Σ Τ Η Ρ Ι Α ΕΡΥΘΡΑΙΑΣ 1-12134 -ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ Τ ΗΛ 210-5757255

Ρ Ο Ν Τ Ι Σ Τ Η Ρ Ι Α ΕΡΥΘΡΑΙΑΣ 1-12134 -ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ Τ ΗΛ 210-5757255 ΕΡΥΘΡΑΙΑΣ - -ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ Τ ΗΛ 0-77 ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαδικασίες. Γραµµικά συστήµατα. Αλυσίδες Markov. Θεωρία πληροφοριών. Γιάννης Α. Φίλης

Στοχαστικές διαδικασίες. Γραµµικά συστήµατα. Αλυσίδες Markov. Θεωρία πληροφοριών. Γιάννης Α. Φίλης ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Στοχαστικές διαδικασίες Γραµµικά συστήµατα Αλυσίδες Markov Θεωρία πληροφοριών Γιάννης Α Φίλης Πολυτεχνείο Κρήτης - Σεπτέµβριος 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ I ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδοχές - Φορτία. Οροφοι : 3 Υπόγεια: 0. Επικάλυψη δαπέδων= 0.80[kN/m²], Τοίχοι σε δάπεδα= 0.00[KN/m²] γg=1.35, γq=1.50. I, α=0.160g=1.

Παραδοχές - Φορτία. Οροφοι : 3 Υπόγεια: 0. Επικάλυψη δαπέδων= 0.80[kN/m²], Τοίχοι σε δάπεδα= 0.00[KN/m²] γg=1.35, γq=1.50. I, α=0.160g=1. Παράδειγμα εκτύπωσης FEDRA... Παραδοχές - Φορτία Ονομασία Εργου-Μελέτης Διεύθυνση έργου Μηχανικός Μελετητής Παράδειγμα εκτύπωσης FEDRA ΙΩΑΝΝΙΝΑ Μηχανικός Α... Γενικά Χαρακτηριστικά Κτιρίου Οροφοι Οροφοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

σημειωσεις θεωριας μετρου

σημειωσεις θεωριας μετρου σημειωσεις θεωριας μετρου Σάμος 2009 Επιλογή υλικού Αντώνης Τσολομύτης Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών. Δημιουργία πρώτου ηλεκτρονικού αρχείου Μαγδαληνή Πλιόγκα Απόφοιτος του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α A Να απνδείμεηε όηη αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ζπλερείο ζε έλα δηάζηεκα Δ θαη f () g () γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε ππάξρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ι. Βοήθημα για λύση ασκήσεων Μέρος 1 ο. 1. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. 2. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

Μαθηματικά Ι. Βοήθημα για λύση ασκήσεων Μέρος 1 ο. 1. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. 2. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής Δρ. Σάλτας Βασίλειος Μαθηματικά Ι Βοήθημα για λύση ασκήσεων Μέρος ο. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. Συνέχεια συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô GENESIS 44 1 And he commanded the steward of his house, saying: 'Fill the men's sacks with food, as much as they can carry, and put every man's money in his sack's mouth. 1 ויצו את אשר על ביתו לאמר מלא

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 2. Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 22 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ : Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης ( Χωρίς δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï. ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ

ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï. ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÒÈappleÎ M.P.H, M.Med. Sc, M.S.W, M.N, M.A, M.Sc, M.B.A, M.H.A, H.M.B.A Èapple Â È ÂÓÈÏÏ Á ٠ÌÂÈ Ph.D È ÈÏ Â Â apple È ÂˆÈÚ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ ÌÈ ÌÈΠÌÈÓ Ó ÌÈ Ï ÁÂ

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

The European Tradesman - Wet rooms - Belgium

The European Tradesman - Wet rooms - Belgium ΤΓΡΟΙ ΧΩΡΟΙ 2 ΓΕΝΙΚΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ 3 ΟΡΙΜΟ ΣΩΝ ΤΓΡΩΝ ΧΩΡΩΝ Ηλεκτριςμόσ και νερό δεν πρζπει να είναι μαηί. Ραρόλα αυτά, κακθμερινά ςτο ςπίτι μασ χρειαηόμαςτε τον θλεκτριςμό για να ηεςταίνουμε νερό για το μπάνιο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές στη Φυσική

Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές στη Φυσική Κώστας. Κόκκοτας Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές στη Φυσική Σηµειώσεις για τους ϕοιτητές 13 Φεβρουαρίου 2008 Περιεχόµενα 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.......................... 1 1.1 ΜΕΘΟ

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 2 1 2 3 4 5 0.24 0.24 4.17 4.17 6 a m a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 7 max min m a r 8 9 1 ] ] S [S] S [S] 2 ] ] S [S] S [S] 3 ] ] S

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Δινεται μια συναρτηση f : [α, ]. Να δωσετε τον ορισμο της συνεχειας της f στο διαστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

1 And Yahowah said unto Moses: 'See, I have set thee in Elohim's stead to Pharaoh; and Aaron thy brother shall be thy prophet.

1 And Yahowah said unto Moses: 'See, I have set thee in Elohim's stead to Pharaoh; and Aaron thy brother shall be thy prophet. EXODUS 7 1 And Yahowah said unto Moses: 'See, I have set thee in Elohim's stead to Pharaoh; and Aaron thy brother shall be thy prophet. 1 ויאמר יהוה אל משה ראה נתתיך אלהים לפרעה ואהרן אחיך יהיה נביאך vai

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Επιχειρησιακά Μαθηματικά Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1 Τηλ:10.93.4.450 Πεδίο Ορισμού Οικονομικών Συναρτήσεων Οι οικονομικές συναρτήσεις (συνάρτηση Ζήτησης, συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M5. Οι νόµοι της κίνησης

Κεφάλαιο M5. Οι νόµοι της κίνησης Κεφάλαιο M5 Οι νόµοι της κίνησης Οι νόµοι της κίνησης Μέχρι τώρα, περιγράψαµε την κίνηση ενός σώµατος συναρτήσει της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσής του. Δεν λάβαµε υπόψη µας τι µπορεί να επηρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1

Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1 Ολοκληρώμτ Cf f(ξκ) = 3 κ-ξκ κ - = f()d = lim f(ξ κ ) + κ= Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης . Αρχική συάρτηση ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Ορισµός: Αρχική

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΙΙ. http://www.luckyweek.eu/civil.teipir

Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΙΙ. http://www.luckyweek.eu/civil.teipir Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΙΙ http://www.luckyweek.eu/civil.teipir Άσκηση Σελίδα Υποστύλωμα Δοκός Πλακοδοκός Άλλο Κάμψη Διάτμηση Λυγισμός Στρέψη Ροπή Σχεδιασμού 01 03 02 07

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ.

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ. ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι κύκλοι κατεργασίας χρησιµοποιούνται για ξεχόνδρισµα - φινίρισµα ενός προφίλ χωρίς να απαιτείται να προγραµµατίζουµε εµείς τα διαδοχικά πάσα της κατεργασίας. Έτσι, στο πρόγραµµα περικλείουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Β Κύκλος (2015-2016) προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. δείξτε ότι για κάθε αριθμό μεταξύ των f

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Β Κύκλος (2015-2016) προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. δείξτε ότι για κάθε αριθμό μεταξύ των f Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Β Κύκλος (2015-2016) Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΦΑΣΜΑ Group Μαθητικό Φροντιστήριο Οι λύσεις θα αναρτηθούν μετά το πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Μια άλλη ροσέγγιση του Α ειροστικού Λογισµού

Μια άλλη ροσέγγιση του Α ειροστικού Λογισµού ΑΓΟΡΟΥ ΚΑΛΛΙΡΡΟΗ Μια άλλη ροσέγγιση του Α ειροστικού Λογισµού ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2010 Ζορµπαλά Κωνσταντίνα Εξεταστική Επιτροπή Παπασαλούρος

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ Σ.Τ.Εφ. ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΙΟΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ Σ.Τ.Εφ. ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΙΟΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ Σ.Τ.Εφ. ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΙΟΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Εργαστηριακή εκτίμηση της κανονικής κατανομής των αποτελεσμάτων του λόγου κράτυνσης

Διαβάστε περισσότερα

נוסחאות ונתונים בפיזיקה

נוסחאות ונתונים בפיזיקה מדינת ישראל משרד החינוך נוסחאות ונתונים בפיזיקה נספח לבחינות הבגרות ברמה של 5 יח"ל לשאלונים מס' 654,653,65,97553,97554,97555,98,3654,975,9753 )החל בקיץ תשס"ז( תוכן העניינים נוסחאות עמוד מכניקה אלקטרומגנטיות

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ ndpress@nd.gr

ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ ndpress@nd.gr ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ ndpress@nd.gr Τετάρτη, 9 Σεπτεμβρίου 2015 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΒΟΥΛΕΥΤΕΣ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ ΤΗΣ 20 ης ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΠΙΚΡΑΤΕΙΑ 1. ΦΟΡΤΣΑΚΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPTIONS, BINARY OPTIONS, COMPOUND OPTIONS, CHOOSER OPTIONS, LOOKBACK OPTIONS, ASIAN OPTIONS)

ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPTIONS, BINARY OPTIONS, COMPOUND OPTIONS, CHOOSER OPTIONS, LOOKBACK OPTIONS, ASIAN OPTIONS) ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPIONS, BINARY OPIONS, COMPOUND OPIONS, CHOOSER OPIONS, LOOKBACK OPIONS, ASIAN OPIONS) ΣΑΝΣΟΤΛΟΤ ΔΛΔΝΖ ΔΠΗΒΛΔΠΩΝ ΚΑΘΖΓΖΣΖ: ΠΖΛΗΩΣΖ ΗΩΑΝΝΖ ΔΘΝΗΚΟ ΜΔΣΟΒΗΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΗΟ

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ 1.1-1.3) (10/11/2013)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ 1.1-1.3) (10/11/2013) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ 1.1-1.3) (1/11/213) ΘΕΜΑ 1 ο Α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε σημείο x του πεδίου ορισμού της; Β. Να αποδείξετε ότι για f(x)=x

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Εκπαιδευτικός Οργανισµός ΒΙΤΑΛΗ Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 10 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα