x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy"

Transcript

1 גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת סביבה מנוקבת של a. במילים אחרות, ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ x D f ) הגדרה: (גבול של פוקציה בנקודה לפי Cauchy בשפה של (,ɛ δ נאמר ש l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a (או ש f(x) שואף ל l כאשר x שואף ל ; a או l הוא הגבול של f(x) ב a) אם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) במקה זה נכתוב lim f(x) = l ( f מעבירה נקודות קרובות ל a לנקודות קרובות ל l ( הגדרה: (גבול של פונקציה בנקודה לפי Heine בשפה של סדרות) l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n a x n a (i) (ii) (iii) מתקיים f(x n ) l ( f מעבירה סדרות מתכנסות ל a לסדרות מתכנסות ל l ( משפט: שתי ההגדרות שקולות. הוכחה: נניח ש l R מקיים את הגדרת. Cauchy תהי ) n x) סדרה עם התכונות של הגדרת. Heine עלינו להראות ש. f(x n ) l בהינתן > 0,ɛ לפי הגדרת,Cauchy.( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) 1

2 נתבונן ב δ שמתאים ל ɛ. תהי ) n x) סדרה עם התכונות של הגדרת.Heine בגלל ש x n a ו x n a ( N N)( n > N)(0 < x n a < δ) ( n > N)( f(x n ) l < ɛ) על כן, לפי תנאי הגדרת,Cauchy ולכן.f(x n ) l בכיוון השני, בדרך השלילה, נניח ש l R אינו מקיים את הגדרת Cauchy ונראה שאינו יכול לקיים את הגדרת. Heine אם l R אינו מקיים את הגדרת Cauchy אזי.( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l ɛ) δ = 1 n ונבנה סדרה ) n (x אשר מקיימת עבור ɛ כזה נבחר סדרה של ערכים.x n D f, 0 < x n a < 1 n f(x n) l ɛ מכאן ש ) n x) מקיימת את התכונות שבהגדרת Heine אבל f(x n ) l כי הרי. f(x n ) l ɛ מסקנה: (יחידות הגבול) אם lim f(x) = l ו l lim f(x) = אזי. l = l משפט: אם lim f(x) = l ו 0 l אזי.( δ > 0)( x)(0 < x a < δ sgn(x) = sgn(l)).( δ > 0)( x)(0 < x a < δ q < f(x)) בצורה יותר כללית, אם q < l אזי.( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) < q) ואם l < q אזי משפט: אם f(x) c אזי. lim f(x) = c 2

3 משפט: (אריתמטיקה של גבולות) נניח שקיימים f(x) lim ו g(x). lim אזי lim (f(x) + g(x)) = ( lim f(x)) + ( lim g(x)) lim (f(x) g(x)) = ( lim f(x)) ( lim g(x)). lim (f(x) g(x)) = ( lim f(x)) ( lim g(x)) f(x). lim g(x) = lim f(x) lim g(x) אם 0 g(x) lim אזי משפט: אם lim f(x) = lim h(x) = l ו ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) g(x) h(x) אזי.lim g(x) = l משפט: (כלל ההצבה) נניח ש: (i) g(x) שואף ל b כאשר x שואף ל a, כלומר lim g(x) = b (ii) קיימת סביבה מנוקבת של a כך ש g(x) b לכל x באותה סביבה. במילים אחרות ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ g(x) b) (iii) f(y) שואף ל l כאשר y שואף ל b, כלומר lim f(y) = l y b. lim f(g(x)) = l אזי 3

4 ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(g(x)) l < ɛ) הוכחה: עלינו להוכיח ש ( γ > 0)( y)(0 < y b < γ f(y) l < ɛ) יהי > 0.ɛ לפי (iii) נתבונן ב γ. לפי (i), עבור γ זה ( δ 1 > 0)( x)(0 < x a < δ 1 g(x) b < γ) ( δ 2 > 0)( x)(0 < x a < δ 2 g(x) b) מצד שני, לפי (ii) יהי } 2.δ = min{δ 1, δ אזי ( x)(0 < x a < δ 0 < g(x) b < γ) ( x)(0 < x a < δ f(g(x)) l < ɛ) מכאן נקבל ש כפי שרצינו. משפט: (קריטריון ( Cauchy קיים l R אשר lim f(x) = l אםם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x, y)(0 < x a < δ 0 < y a < δ f(x) f(y) < ɛ) הוכחה: נניח ש.lim f(x) = l בהינתן > 0 ɛ יהי ) 2 < δ = δ( ɛ 0 כך ש.0 < x a < δ f(x) l < ɛ 2 0 < x a < δ 0 < y a < δ יהו x ו y אשר מקיימים 4

5 אז f(x) f(y) f(x) l + l f(y) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ והקריטריון מתקיים. בכיוון ההפוך, נניח שהקריטריון מתקיים. יהי > 0 ɛ ו δ(ɛ) δ. = נבחר סדרה ) 1 n x) עם התכונות x n D f x n a x n a (i) (ii) (iii) היות ו x n a.( N N)( n > N)(0 < x n a < δ) 0 < x n a < δ יהו n, m > N אזי 0 < x m a < δ f(x n ) f(x m ) < ɛ לכן, לפי הקריטריון, על כן הסדרה (( n (f(x היא סדרת,Cauchy ולכן היא מתכנסת לגבול l. טענה: l.lim f(x) = יהי > 0 ɛ. עלינו להארות ש ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) < δ = δ( ɛ 2 0 אשר מקיים לפי הקריטריון, עבור ɛ זה קיים ).( x, y)(0 < x a < δ 0 < y a < δ f(x) f(y) < ɛ 2 ) x n (a δ + זהו ה δ המבוקש. δ 1 לפי הנחה מתקיים,(a δ, a + δ) {a} D f לכן נוכל לבחור δ n+1, a + δ n+1 ) {a} 5

6 בגלל ש, f(x n ) l עבור אותו ɛ.( N 1 N)( n > N 1 )(0 < f(x n ) l < ɛ 2 ) מצד שני, בגלל ש, x n a עבור אותו δ.( N 2 N)( n > N 2 )(0 < x n a < δ) נבחר אינדקס n N אשר מקיים } 2 n > N = max{n 1, N ויהי x n האיבר המתאים. בתנאים אלה.N < n N 1 < n f(x n ) l < ɛ 2 כמו כן N < n N 1 < n 0 < x n a < δ לכן, אם x מקיים x a < δ <,0 לפי הקריטריון יתקיים f(x) f(x n ) < ɛ 2 ומכאן נקבל ש. f(x) l f(x) f(x n ) + f(x n ) l ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ x D f ) גבולות חד צדדיים יהו a R ו f פונקציה עבורם מתקיים במקרה זה נגיד ש f מוגדרת בסביבה ימנית מנוקבת של a. הגדרה: (גבול מימין של פוקציה בנקודה) נאמר ש l R הוא גבול מימין של f(x) כאשר x שואף ל a (או ש f(x) שואף ל l כאשר x שואף ל a מימין) אם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) 6

7 במקה זה נכתוב lim f(x) = l a<x סימונים אחרים:. lim x a f(x) = lim +0 f(x) = lim f(x) = f(a+) + משפט: הגדרה זו שקולה לאיפיון הבא לפי סדרות: l R הוא גבול מימין של f(x) כאשר x שואף ל a אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f a < x n x n a (i) (ii) (iii) מתקיים.f(x n ) l בצורה אנלוגית לגמרי נגדיר גבול משמאל של פונקציה בנקודה. משפט: תהי f פונקציה מוגדרת בסביבה מנוקבת של a. אזי lim f(x) = l אםם lim x<a f(x) = lim f(x) = l a<x (הגבול קיים אםם קיימים שני הגבולות החד צדדיים ושניהם שווים). lim f(x) = f(a) רציפות הגדרה: נאמר ש f רציפה ב a אם במילים אחרות, a D f lim f(x) (i) (ii) 7

8 lim f(x) = f(a) (iii) משפט: הגדרה זו שקולה לכל אחת מההגדרות הבאות: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)( x a < δ f(x) f(a) < ɛ).1 2. לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n a (i) (ii) lim f(x) = f(a) a<x מתקיים f(a) f(x n ) הגדרה: אנו נאמר ש f רציפה מימין אם lim f(x) = f(a) x<a ונאמר ש f רציפה משמאל אם משפט: f רציפה ב a אםם f רציפה מימין ב a ו f רציפה משמאל ב a ומתקיים lim x<a f(x) = f(a) = lim f(x) a<x רציפות בקטע הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע. אנו נאמר ש f רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה של אותו קטע. אם הקטע הוא סגור, בקצוות הקטע הרציפות הנדרשת היא רציפות חד צדדית. אזי f + g, f g, f g הן רציפות ב a ;ו אם f g משפט: יהו f ו g רציפות ב a..a רציפה ב f g 0 g(a) אז מסקנה: יהו f ו g רציפות בקטע.I אזי f + g, f g, f g הן רציפות ב I ו רציפה בל נקודה ב I ש g לא מתאפסת בה. משפט: (כלל ההצבה לפונקציות רציפות) תהי g(x) y = רציפה ב a ותהי f(y) z = רציפה ב g(a) b. = נניח ש g מוגדרת בסביבה פתוחה של a שתמונתה מוכלה בתחומה של f. אזי f g רציפה ב a. 8

9 ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)( x a < δ f(g(x)) f(g(a)) < ɛ) הוכחה: עלינו להראות ש יהי > 0 ɛ. בגלל הרציפות של f ב b, עבור ɛ זה ( γ > 0)( y)( y b < γ f(y) f(b) < ɛ) בגלל הרציפות של g ב a, עבור γ זה.( δ > 0)( x)( x a < δ g(x) g(a) < γ x a < δ זהו ה δ המבוקש. יה x אשר מקיים g(x) g(a) < γ אזי f(g(x)) f(g(a)) < ɛ ואז כפי שרצינו. (הרכבה של פונקציות רציפות היא רציפה) פונקציות רציפות בקטע סגור משפט: אם f רציפה ב b] [a, ו < 0 f(b) f(a) אזי c [a, b] : f(c) = 0 הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש f(b) f(a) < 0 < (אחרת נסתכל ב f ). יהו.a 1 = a, b = b 1 f( a1+b1 סיימנו. 2 אם = 0 ) ;a 2 = a 1, b 2 = a1+b1 2 f( a1+b1 נגדיר 2 אם > 0 ).a 2 = a1+b1 2, b 2 = נגדיר b 1 f( a1+b1 2 אם < 0 ) בצורה רקורסיבית נבנה סדרה של קטעים ([ n a]) n, b אשר מקיימים את התכונות 9

10 f(a n ) < 0 < f(b n ) (i) [a n 1, b n 1 ] [a n, b n ] (ii) b n a n = 1 2 n 1 (iii) )f an+bn,סיימנו. אחרת נבנה סדרה אינסופית עם 2 אם בשלב כלשהו = 0 ) התכונות הנ ל. סדרה זו של קטעים מקיימת את תנאי משפט קנטור (Cantor) ולכן קיים c R אשר מקיים ( n N)(a a n c b n b) lim a n = c = lim b n יתר על כן lim f(a n ) = f(c) = lim f(b n ) בגלל הרציפות של f נקבל f(a n ) < 0 lim f(a n ) = f(c) 0 אבל f(b n ) > 0 lim f(b n ) = f(c) 0 לכן = 0.f(c) משפט: (תכונת ערך הביניים I.V.P ) אם f רציפה ב b] [a, אזי לכל d בין f(a) לבין f(b) קיים a c b כך ש.f(c) = d הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש f(b).f(a) < d < נתבונן בפונקציה f. d פונקציה זו הינה רציפה בהיותה הפרש של שתי פונקציות רציפות. יתר על כן היא מקיימת את תנאי המשפט הקודם בקטע [b,a], לכן קיים a c b כך ש = 0 d (f d)(c) = f(c) ואז מתקיים.f(c) = d 10

11 הגדרה: יהו f ו A. D f נאמר ש f חסומה ב A אם הקבוצה f(a) = {f(x) : x A} חסומה. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f חסומה באותו קטע. הוכחה: נניח בשלילה ש f אינה חסומה מלמעלה. אזי ( n N)( x n [a, b] : f(x n ) > n) על כן תהי הסדרה ) n x). סדרה זו היא חסומה כי כל איבריה נמצאים ב [b,a] ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת ) nk x) וגבולה גם נמצא [b,a]. בגלל הרציפות של f,הסדרה (( nk (f(x אף היא מתכנסת ולכן היא חסומה, בסתירה לעובדה ש ) k.( k N)(f(x nk ) > n בצורה דומה מוכיחים ש f חסומה מלמטה. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f מקבלת מקסימום ומינימום באותו קטע. במילים אחרות, קיימים a x min, x Max b כך ש ( x [a, b])(f(x min ) f(x) f(x Max )) הוכחה: לפי המשפט הקודם f חסומה מלמעלה ב [b,a]. יהי M = sup{f(x) : a x b} טענה: M הוא המקסימום של f ב [b,a]. ( ɛ > 0)( x [a, b] : M ɛ < f(x) M) ɛ = 1 n ונבנה סדרה ) n (x של איברים ב b] [a, אשר מקיימת נבחר ( n N)(M 1 n < f(x n) M) סדרה זו היא חסומה כי כל איבריה נמצאים ב [b,a] ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת ) nk x) וגבולה גם נמצא [b,a]. יהי x Max = lim k x n k 11

12 מצד שני f,הסדרה (( nk (f(x מתכנסת ל ) Max.f(x בגלל הרציפות של מתקיים ( k N)(M 1 n k < f(x nk ) M) M lim k f(x n k ) = f(x Max ) M ולפי משפט הסנדוויץ נקבל ( x [a, b])(f(x) M = f(x Max )) לכן x Max מקיים בצורה דומה בונים x min אשר מקיים ( x [a, b])(f(x min ) = m f(x)) הוכחות שלושת המשפטים מבוססות על שיקולי סדרות של נקודות בקטע. נביא להלן הוכחות שונות אשר מבליטות פן אחר של פונקציות רציפות. רציפות של פונקציה היא תכונה לוקלית (מקומית) במובן שההתנהגות של פונקציה בנקודת רציפות מושפעת מההתנהגות של הפונקציה בנקודות בסביבתה ומקרינה עליהן. למשל משפט: פונקציה רציפה בנקודה היא חסומה בסביבה של אותה נקודה. במילים אחרות, אם f רציפה ב a אזי ( δ > 0)( m, M)( x)( x a < δ m f(x) M) הוכחה: נניחש.lim f(x) = l יהי = 1.ɛ אזי ( δ > 0)( x)( x a < δ f(x) l < 1) ( δ > 0)( x)( x a < δ l 1 < f(x) < l + 1) במילים אחרות ומספיק לקחת + 1 l.m = l 1, M = בצורה דומה ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה רציפה מימין או פונקציה רציפה משמאל. במילים אחרות, רציפות חד צדדית גוררת חסימות חד צדדית לוקלית. 12

13 משפט: אם f רציפה ב a ו 0 f(a) אזי 0 f בסביבה של a. יתר על כן, באותה סביבה מתקיים sgn(f(a)).sgn(f(x)) = בצורה דומה ניתן להכליל משפט זה למקרה של רציפות חד צדדית. משפט: אם f רציפה ב b] [a, ו < 0 f(b) f(a) אזי c [a, b] : f(c) = 0 הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש f(b).f(a) < 0 < נסתכל בקבוצה.S = {t [a, b] : x [a, t], f(x) < 0} S כי הרי S a. S חסומה בהיותה תת קבוצה של הקטע [b,a]. יהי.c = sup S טענה: = 0.f(c) לפי המשפט הקודם קיימת סביבה ימנית של a שבה f שלילית. במילים אחרות.( δ > 0)( x)(0 x a < δ f(x) < 0) מכאן נסיק ש a. < c מצד שני קיימת סביבה שמאלית של b שבה f חיובית. במילים אחרות.( δ > 0)( x)(0 b x < δ f(x) > 0) מכאן נסיק ש.c < b על כן.a < c < b נניח, בדרך השלילה, ש < 0.f(c) על כן קיימת סביבה של c שבה f שלילית. במילים אחרות.( δ > 0)( x)( x c < δ f(x) < 0) יהי a < c δ < d < c כך ש f שלילית ב d] [a, ויהי c < e < c + δ < b כך ש.c = sup S בסתירה להיותו [a, e] שלילית ב f אז נקבל ש.[c, e] שלילית ב f בטיען דומה שוללים את האלטרנטיבה ש > 0 f(c) ולכן נכונות הטענה והמשפט. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f חסומה באותו קטע..S = {t [a, b] : x [a, t]( m, M)m f(x) M} הוכחה: נסתכל בקבוצה. S כי הרי S.a S חסומה בהיותה תת קבוצה של הקטע b].[a, יהי.c = sup S 13

14 טענה: c. = b ברור ש a. c b לפי משפט קודם קיימת סביבה ימנית של a שבה f חסומה. מכאן נסיק ש a. < c נניח, בדרך השלילה, ש c. < b קיימת סביבה של c שבה f חסומה. יהי a < c δ < d < c כך ש f חסומה ב d] [a, ויהי c < e < c + δ < b כך ש f חסומה ב [e,c]. אז נקבל ש f חסומה ב [e,a] בסתירה להיותו c. = sup S על כן f חסומה בכל תת קטע [t,a] לכל a. t < b (בינתיים איננו יכולים להסיק חסימות בכל הקטע המקורי, עד לקצהו הימני, בגלל שהחסם העליון של הקבוצה f שבה b לפי משפט קודם קיימת סביבה שמאלית של S) אינו שייך בהכרח ל S חסומה. לכן קיים a g < b כך ש f חסומה ב b].[g, היות ו f,g < b = sup S חסומה ב [g,a] לכן f חסומה ב [b,a]. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f מקבלת מקסימום ומינימום באותו קטע. הוכחה: יהי b}.m = sup{f(x) : a x נניח ש. x [a, b], f(x) M = g(x),מוגדרת ורציפה בקטע [b,a]. אבל 1 M f(x) נתבוננן בפונקציה ( ɛ > 0)( x [a, b] : M ɛ < f(x)) ( ɛ > 0)( x [a, b] : 1 ɛ < 1 M f(x) = g(x)) ( a, b I)( x)(a < x < b x I) או במילים אחרות בסתירה לחסימות של g עצמה. הגדרה: I R תקרא קטע אם משפט: תהי f מוגדרת ורציפה בקטע I. אזי f(i) J = גם קטע. הוכחה: יהו,c. d J עלינו להראות שכל y בין c לבין d גם הוא שייך ל J. a, b I : (f(a) = c f(b) = d) a, b I [a, b] I מכאן ש על כן f רציפה ב [b,a]. יהי y בין c לבין d. לפי תכונת ערך הביניים של f בקטע [b,a] x [a, b] : f(x) = y ולכן f(i).y J = 14

15 נקודות אי רציפות אם f אינה רציפה ב a D f נאמר ש a נקודת אי רציפות של f. תהי f פונקציה מוגדרת בקטע I ו a I נקודת אי רציפות של a f. תקרא נקודת אי רציפות מסוג ראשון אם קיימים שני הגבולות הצדדיים f(a+) ו.f(a ) במקרה המיוחד ש f(a+) f(a ) = נקודת האי רציפות תקרא סליקה. במקרה שאחד מהגבולות הצדדיים אינו קיים, a תקרא נקודת אי רציפות מסוג שני. פונקציות מונוטוניות הגדרה: יהו f ו.A D f פונקציה f תקרא עולה ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) f(y)).פונקציה f תקרא עולה ממש או עולה במובן החזק ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) < f(y)).פונקציה f תקרא יורדת ממש או יורדת במובן החזק ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) > f(y)).פונקציה f תקרא יורדת ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) f(y)).פונקציה f תקרא מונוטונית ב A אם היא מקיימת אחת מהתכונות הקודמות. משפט: תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע I. אזי f רציפה בקטע I אםם f(i) J = קטע. הוכחה: אם f רציפה בקטע I,אזי f(i) J = קטע, לפי המשפט הקודם. בכיוון השני, נראה שמונוטוניות גוררת רציפות. ב.ה.כ. נניח ש f עולה. תהי a. I נתבונן ב f(a) J ונניח שהיא איננה נקודת קצה. על כן יש ב J נקודה משמאלה ונקודה מימינה של f(a) ולכן γ > 0 : (f(a) γ, f(a) + γ) J ( δ > 0)( x)( x a < δ f(x) f(a) < ɛ) יהי < ɛ < γ.0 נראה ש.(f(c) = f(a) η) (f(d) = f(a) + η) יהי < η < ɛ 0 ויהו c, d I כך ש 15

16 ברור כי c < a < d (בגלל ש f עולה). אם נקח c < x < d,בגלל המונוטוניות של f, נקבל ש f(a) η = f(c) f(x) f(d) = f(a) + η f(x) f(a) η < ɛ או במילים אחרות לכן מספיק לקחת a}.δ = min{a c, d אם f(a) J נקודת קצה יתכן ש {f(a)} = J ואז f קבועה ובוודאי רציפה. אחרת, ב.ה.כ., נניח ש f(a) היא הקצה הימני אך לא יחידה ב. J אז γ > 0 : (f(a) γ, f(a)] J אם קיים,a < d I אז f(a)) ( a x d)(f(x) = (בגלל ש f עולה והעובדה ש f(a) קצה ימני של J). יהי < η < ɛ 0 ויהי c I כך ש.f(c) = f(a) η ברור כי c < a (בגלל ש f עולה). אם נקח c < x < d,בגלל המונוטוניות של f, נקבל ש f(a) η = f(c) f(x) f(d) = f(a) f(a) + η f(x) f(a) η < ɛ או במילים אחרות לכן שוב מספיק לקחת a}.δ = min{a c, d אם a הקצה הימני של I עלינו להראות ש f רציפה משמאל ב a. יהי < η < ɛ 0 ויהי c I כך ש.f(c) = f(a) η ברור כי c < a (בגלל ש f עולה). אם נקח c < x < a,בגלל המונוטוניות של f, נקבל ש f(a) η = f(c) f(x) f(a) f(a) + η f(x) f(a) η < ɛ או במילים אחרות לכן מספיק לקחת.δ = a c משפט: תהי f רציפה ועולה ממש(יורדת ממש) בקטע I. אזי קיימת פונקציה g אשר מקיימת: D g = I f = f(i) := J (i) 16

17 f הפוכה של g J עולה ממש(יורדת ממש) ב g J רציפה ב g (ii) (iii) (iv) משפט: תהי f עולה ב (b,a). אזי לכל (b x,a) קיימים f(x+) ו f(x ) ומתקיים sup {f(t)} = f(x ) f(x) f(x+) inf {f(t)} a<t<x x<t<b הוכחה: הקבוצה x} {f(t) : a < t < חסומה מלמעלה על ידי.f(x) יהי.A f(x) ברור כי.sup a<t<x {f(t)} = A טענה: f(x ).A = צ ל ש ɛ) ( ɛ > 0)( δ > 0)( t)(0 < x t < δ f(t) A < יהי > 0.ɛ בהיותו sup a<t<x {f(t)} = A. δ > 0 : A ɛ < f(x δ) A.0 < x t < δ x δ < t < x נשים לב ש אם t עומד בתנאים אלה נקבל, בגלל המונוטוניות, f(x δ) f(t) A ɛ < f(x δ) f(t) A < A + ɛ אז. f(t) A < ɛ ומכאן ש בצורה דומה משלימים את יתר טענות המשפט. משפט: בתנאי המשפט הקודם a < x < y < b f(x ) f(x) f(x+) f(y ) f(y) f(y+) מסקנה: נקודות האי רציפות של פונקציה מונוטונית f ב (b,a) הן מסוג ראשון. מסקנה: קבוצת נקודות האי רציפות של פונקציה מונוטונית f ב (b,a) אי לכל היותר בת מניה. 17

18 גבולות אינסופיים וגבולות באינסוף הגדרה: נאמר ש l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם ( ɛ > 0)( X R)( x)(x < x f(x) l < ɛ) במקה זה נכתוב lim f(x) = l x משפט: l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n (i) (ii) מתקיים f(x n ) l בצורה אנלוגית מגדירים את הגבול ב. הגדרה: נאמר ש הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a אם.( Y R)( δ > 0)( x)(0 < x a Y < f(x)) במקה זה נכתוב. lim f(x) = משפט: הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n a x n a (i) (ii) (iii) מתקיים ) n. f(x בצורה אנלוגית מאפינים את כגבול של פונקציה בנקודה. 18

19 הגדרה: נאמר ש הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם.( Y R)( X R)( x)(x < x Y < f(x)) במקה זה נכתוב. lim x f(x) = משפט: הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n (i) (ii) מתקיים ) n. f(x בצורה אנלוגית מגדירים ומאפינים יתר סוגי גבולות אינסופיים באינסוף. רציפות במידה שווה הגדרה: תהי f מוגדרת ב A. D f נאמר ש f רציפה במידה שווה ב A אם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x, y A)( x y < δ f(x) f(y) < ɛ) משפט: תהי f רציפה ב [b,a]. אזי f רציפה במידה שווה ב [b,a]. הוכחה: נניח, בדרך השלילה, ש f אינה רציפה במידה שווה ב [b,a]. אזי ( ɛ > 0)( δ > 0)( x, y A)( x y < δ f(x) f(y) ɛ).δ = 1 n על כן קיימים b] x n, y n [a, עם התכונה נבחר x n y n < 1 n f(x n) f(y n ) ɛ הסדרה ) n x) הינה סדרה חסומה כי כל איבריה ב [b,a], לכן יש לה תת סדרה ) nk (x מתכנסת לגבול x באותו קטע b].[a, (x nk ) x k 19

20 נשים לב ש הסדרה ) n (x n y שואפת ל ;0 לכן גם התת סדרה ) nk (x nk y שואפת ל 0. טענה: התת סדרה ) nk y) מתכנסת בהיותה הפרש של שתי (תת) סדרות מתכנסות ומתקיים (y nk ) x k.x = lim(x nk ) = lim(x nk (x nk y nk )) = lim(y nk ) הוכחה: lim f(x n k ) = f(x) = lim f(y n k ) k k בגלל הרציפת של f מתקיים lim (f(x n k ) f(y nk )) = 0 k לכן. f(x nk ) f(y nk ) ɛ בסתירה לעובדה ש משפט: אם f רציפה במידה שווה ב A אז f רציפה ב A. 20

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 עמוד חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 תוכן העניינים נושא עמוד נושא כללי 3 רציפות זהויות טריגונומטריות 4

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי (2)

חשבון אינפיניטסימלי (2) חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shpir@gmil.com תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות 5 1.1 כלל לופיטל................................. 5 1.2 חקירת פונקציות..............................

Διαβάστε περισσότερα

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע

אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע ברשימות ראשוניות אלה יש בוודאי שגיאות רבות: טעויות דפוס, אי בהירויות ואפילו טעויות מתמטיות. תודתי נתונה מראש לכל מי שיעביר אלי הערות ותיקונים מכל סוג. בכתיבת הרשימות נעזרתי

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

(Derivative) של פונקציה

(Derivative) של פונקציה נגזרת Drivtiv של פונקציה t הנגזרת היא המושג החשוב בקורס, ולה חשיבות מעשית רבה היא מכמתת את קצב השינוי של תופעה כלשהי פיסיקלית, כלכלית, וויזואלית דוגמאות: מהירות של עצם היא קצב השינוי במקומו, ולכן המהירות

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי סיכומי הרצאות 9 ביולי מרצה: פרופ מתניה בן ארצי מתרגל: מני אקא mennyk@mth.huji.c.il סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmil.com הערה לקראת המבחנים כרגע חסרים מספר דברים

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =

Διαβάστε περισσότερα

i שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 15 במרץ 2017

c ארזים 15 במרץ 2017 הסתברות למתמטיקאים c ארזים 15 במרץ 2017 הקורס הוא המשך של מבוא להסתברות שם דיברנו על מרחבים לכל היותר בני מניה. למשל, סדרת הטלות מטבע בלתי תלויות היא דבר שאי אפשר לממש במרחב בן מניה נסמן את התוצאה של ההטלה

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף.

n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף. סיכומים בחדו"א 2 שירי ארטשטיין 22 co כל הזכויות שמורות לשירי ארטשטיין. אין להעתיק, לשכפל, לצלם, לתרגם, להקליט, לשדר, לקלוט ו/או לאכסן במאגר מידע בכל דרך ו/או אמצעי מכני, דיגיטלי, אופטי, מגנטי ו/או אחר

Διαβάστε περισσότερα

. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y

. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y שימושי זרימה פרק 7.5-13 ב- Kleinberg/Tardos שידוך בגרף דו-צדדי עיבוד תמונות 1 בעיית השידוך באתר שידוכים רשומים m נשים ו- n גברים. תוכנת האתר מאתרת זוגות מתאימים. בהינתן האוסף של ההתאמות האפשריות, יש לשדך

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות 88-211 סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, 1.1.2017. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

(ספר לימוד שאלון )

(ספר לימוד שאלון ) - 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות ניר אדר ניר אדר.

תורת הקבוצות ניר אדר ניר אדר. גירסה 101 2432010 גירסה 100 6122003 תורת הקבוצות מסמך זה הורד מהאתר http://wwwunderwarcoil אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

פולינומים אורתוגונליים

פולינומים אורתוגונליים פולינומים אורתוגונליים מרצה: פרופ' זינובי גרינשפון סיכום: אלון צ'רני הקורס ניתן בסמסטר אביב 03, בר אילן פולינומים אורתוגונאליים תוכן עניינים תאריך 3.3.3 הרצאה מרחב מכפלה פנימית (הגדרה, תכונות, דוגמאות)

Διαβάστε περισσότερα

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך. סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

gra לא שימושי -rad רדיינים. רדיין = רק ברדיינים. נניח שיש לנו משולש ישר זוית. היחס בין שתי הצלעות שמול הזוית הישרה, נקבע ע"י הזוית.

gra לא שימושי -rad רדיינים. רדיין = רק ברדיינים. נניח שיש לנו משולש ישר זוית. היחס בין שתי הצלעות שמול הזוית הישרה, נקבע עי הזוית. A-PDF MERGER DEMO 56 פונקציות טריגונומטריות במחשבון בד"כ יש אופציות: deg מעלות מניח חלוקת המעגל ל 6 חלקים, כל אחד מעלה למה עשו 6? זה מספר עם הרבה מחלקים וזה גם קרוב ל 65 6 π π 6 π π α α α 6 8 π 6 57 ~

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

מבוא ללוגיקה מתמטית 80423

מבוא ללוגיקה מתמטית 80423 מבוא ללוגיקה מתמטית 80423 24 במרץ 2012 איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה או המתרגל קשורים לסיכום זה בשום דרך. הערות יתקבלו בברכה.noga.rotman@gmail.com אהבתם? יש עוד! www.cs.huji.ac.il/

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח

Διαβάστε περισσότερα

בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד

בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד סמסטר: א' מועד: א' תאריך: יום ה' 0100004 שעה: 04:00 משך הבחינה: שלוש שעות חומר עזר: אין בבחינה שני פרקים בפרק הראשון 8 שאלות אמריקאיות ולכל אחת מהן מוצעות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית אלגברה לינארית 1 Uטענה U: אם c פתרון של המערכת (A b) ו v פתרון של המערכת (0 A) אזי c + v פתרון של המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

Διαβάστε περισσότερα

הסיכום סמסטר ב' תשס"ז

הסיכום סמסטר ב' תשסז הסיכום סוכם, עובד והוקלד ע"י דינה זליגר מבוסס על הרצאותיו של שמואל ברגר ותרגוליו של איתי קפלן סמסטר ב' תשס"ז תנאי שימוש Please read the ollowg mportat legal ormato beore readg or usg these otes The use

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1: מד"ר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או:

תרגול 1: מדר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או: אריאל סטולרמן 1 סיכומי תרגולים: סיכומים במד"ר 1 סמסטר קיץ 2009 (פרופ' ודים אוסטפנקו) תרגול 1: סוגים של מד"ר ודרכי פתרון: חשוב: לשים לב לקבוע c המצורף כתוצאה מאינטגרציה דרך פתרון שיטה צורה הפרדת משתנים

Διαβάστε περισσότερα

( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B ב"ת, אזי: A, B ב "ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n.

( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B בת, אזי: A, B ב ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n. Ω קבוצת התוצאות האפשריות של הניסוי A קבוצת התוצאות המבוקשות של הניסוי A A מספר האיברים של P( A A Ω מבוא להסתברות ח' 434 ( P A B הסתברות מותנית: P( A B P( B > ( P A B P A B P A B P( B PB נוסחאת ההסתברות

Διαβάστε περισσότερα