לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )"

Σπύρο Μαλαξός
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה הזו. במקרים רבים התשובה תהיה פשוטה. לדוגמא: dy. y 5 קל לראות ש 5 נתון במקום לחפש פונקציה שהנגזרת שלה נתונה אנו יכולים לחפש פונקציה שהדיפרנציאל שלה נתון.. y נתון: dy 5 ולכן 5 לדוגמא : ( dy 5 הוא הדיפרנציאל שלה ) כלומר 5 משמעותו מהי הפונקציה ש 5 הסימון סימון זה נקרא אינטגרל. האינטגרל הוא אפוא הפעולה ההפוכה לפעולת חישוב הדיפרנציאל. כלומר : ( ) d( tn ) cos tn cos נשאלת השאלה האם היא הפונקציה היחידה שהדיפרנציאל שלה הוא? התשובה היא לא! לדוגמא: גם הפונקציה + 5 y או באופן כללי יותר y + C לכל C קבוע, הדיפרנציאל שלה. 6 + C לכן באופן כללי נכתוב dy לסיכום: cos בכתיבה אנו שואלים מהי הפונקציה שהנגזרת שלה היא או מהי הפונקציה שהדיפרנציאל. התשובה היא. + C לאינטגרל שאין לו תשובה חד ערכית אנו קוראים אינטגרל שלה הוא בלתי מסוים. דוגמאות נוספות: cos5 sin 5 + C 5. 5 כי הדיפרנציאל של sin 5 הוא cos5 או הנגזרת של ה 5 sin rctn C e e + C עד כאן מצאנו ע"י ניחוש את הפונקציות, נלמד עתה לחשב אותן בדרך שיטתית. נוכיח תחילה משפט:. G ( ) F ( ) + C ) f( ) G( אזי אם ) f( ) F( וכן כלומר לא יתכן שלפונקציה אחת יהיו שני אינטגרלים שיתנו שתי פונקציות שונות מלבד שינוי בקבוע. הוכחה: לפי הגדרת האינטגרל F' ( ) f ( ) G' ( ) f ( ) G ( ) F ( ) G' F' 0 [ ] ( ) ( )

2 G ( ) F ( ) C כלומר לכן פתרון של אינטגרל הוא פונקציה אחת עד כדי קבוע. 9. אינטגרלים מיידיים. לא קל לחשב אינטגרל של דיפרנציאל נתון. אמנם ישנם דיפרנציאלים שאת האינטגרל שלהם נוכל לרשום מיד על סמך נוסחאות ידועות מחשבון דיפרנציאלי. אינטגרלים כאלו נקראים אינטגרלים מידיים. האינטגרלים המיידיים: n+ n + C ( n +. נוסחה זו נכונה עבור כל n ממשי פרט n שכן הנגזרת של אגף ימין נותנת למקרה n. במקרה זה או הדיפרנציאל נותן ln + C / / / + C +C / 7 7 / + C sin cos + C cos sin + C cot sin + C tn cos + C + C ln ln + C ln ln n. שכן ' C) ( ln + דוגמאות: שכן e e + C + (7 rcsin C + (8 + rctn C אלו הן הנוסחאות העיקריות של האינטגרלים המיידיים. נוסיף מספר כללים פשוטים לחישוב אינטגרלים מסובכים יותר. ( ( ( (5 (6 6

3 ( ) ( c f c f ) א. כלומר האינטגרל של קבוע כפול פונקציה שווה לקבוע כפול האינטגרל של הפונקציה. [ ( ) ± ( )] ( ± ) ( ) f g f g ב. כלומר אינטגרל של סכום (או הפרש) של פונקציות שווה לסכום (או הפרש) של האינטגרלים. קל מאד להוכיח את שני המשפטים האלו ולכן נוותר על הוכחתם. נעבור אפוא לשיטות שונות לפתירת אינטגרלים. צריך להעיר כי בניגוד לנגזרות: א) אין שיטה אחת לחישוב אינטגרלים. ב) לא לכל פונקציה ניתן למצוא את האינטגרל שלה. 9. שיטת הצבה : נדון תחילה בשיטת הצבה המביאה לפונקציות מהצורה μ μ+ μ C μ + + ln + C דוגמאות: ( C + + ln + 5 עבור n ( + ) n + n+ + C קל לנחש כי התוצאה היא : ואילו ( ) n ( + ) n + s ds ( + ) n ( נחשב עבור -n. ln( + ) התוצאה היא + C אך במקום לנחש ניתן למצוא את התשובה ע"י שיטה הנקראת שיטת הצבה או החלפת משתנים: n n ( + b) ( + b) n ( + ) + n+ n s + C n C n + ונוכל לכתוב + C נסמן s+ ואז ds ואז לפי הנוסחה עבור n. כלומר ע"י החלפת משתנים קבלנו אינטגרל מידי, באופן כללי עבור n. 6

4 ) חשב את האינטגרל לא ניתן לפתור ע"י החלפת המשתנים שעשינו. u + du ( + 7) גם כאן נוכל להגיע לצורה של אינטגרל מידי ע"י החלפת משתנים: s + 7 ו ds s ( + 7) s ds + C ( + 7) + C ( 7) הערה : שים לב, את האינטגרל + ) חשב את האינטגרל du u C ( 7 ln + ln + ) + 7 u u + 7 du + C שוב ע"י החלפת משתנים 5) חשב את האינטגרל + אם נציב ולכן קיבלנו אינטגרל מידי ע"י n udu / / u / u du + C 9 ( + ) + C נשים לב כי הוא הדיפרנציאל (עד כדי הכפלה הקבוע) של + החלפת משתנים. בדוגמאות אלו נשים לב כי האינטגרל מורכב מ חזקה של פונקציה מוכפלת בגורם פרופורציונלי לדיפרנציאל של הפונקציה ולכן אנו מקבלים אינטגרלים מן הסוג cosθ) + ( והיא מוכפלת בגורם שהוא פרופורציונלי / 6) חשב את האינטגרל sinθ d + cosθ θ החזקה של הפונקציה במקרה הזה היא לדיפרנציאל. 6

5 cosθ), )d + ולכן ע"י החלפת משתנים שכן sinθdθ + cosθ sinθdθ d sinθ θ ( +cosθ) c ( θ) c + + cos + גם כאן ללא sin θ במונה לא היינו מצליחים לפתור בשיטה זו את הבעיה. 5 sin θcos θ dθ 7) חשב: זהו גם אנטגרל מטפוס של חזקה. יש לנו חזקה של פונקציה cosθ פרופורציונלי לדיפרנציאל של. cosθ המוכפלת בגודל sin θ שזה cosθ sin θdθ cos θ + c + c + c כלומר 8) חשב את האנטגרל: אם נציב : 5 + אזי : + c + 5 +c ) חשב את האנטגרל: נציב: 65

6 ln + c ln ( + ) + c t e 0) חשב את האנטגרל e t + t e + t te t ln + c ln ( e + ) + c t t t עד עתה הבאנו שיטות הצבה או החלפת משתנים באופן ישיר. עתה נראה דוגמאות שמביאות אף הן לצורה m בעזרת הצבה אלא שקודם עלינו להביא האנטגרנד (הפונקציה שעליה מבצעים אנטגרל) לצורה שונה. נדגים את הדבר: ) חשב את האנטגרל e + e לא נקבל שהמונה e אבל אם נשנה את צורה הפונקציה נוכל להגיע לתוצאה כאן אם נציב + של. n נכפיל במונה ובמכנה ב- e e e + + e כלומר: e e + + e אם נציב עתה: + e e ln + c ln( + e ) + c sin כלומר עכשיו חזקה של הפונקציה מוכפלת בדיפרנציאל שלה (עד כדי פרופורציה). ) חשב sin cos כלומר אין לנו דפרנציאל מוכפל בחזקה של הפונקציה. 66

7 אולם נוכל לכתוב האנטגרנד בדרך הבאה: sin sin ( cos ) cos sin ( + ) + c cos + cos ו ) חשב: sin tg cos cos sin ln + c ln cos + c שים לב: אנו עוסקים בפונקציות טריגונומטריות ומצאנו אנטגרל של פונקציות אלו בלי צורך לדעת אנטגרלים של פונקציות טריגונומטריות!!! ) חשב: sin sin cos tg cos tg cos ln + c ln tg + c 67

8 9. אנטגרלים של פונקציות טריגונומטריות. sin cos + c ראינו את האנטגרלים המידיים: cos sin + c tg sin cos cos sin כ''כ ראינו: ln + c ln cos + c lnsec + c cos cot ln ln sin sin + c + c sin cos נחשב עתה: sec sec + tg sec + tg אם נכפיל האנטגרנד ב- + sec tg sec tg + sec tg + sec ( sec sec ) + tg ln + c ln( tg+ sec ) + c באותו אופן: csc csc + csc cot csc + cot csc + cot ( csc cot csc ) + 68

9 ( + ) cos cos ln csc cot c ln c ln + c sin sin sin sin ln + c ln tg + c sin cos תוצאה שקיבלנו קודם דבר זה מראה שאין שתי תשובות שונות לאותו אנטגרל, רק עד כדי קבוע ) משפט שהוכחנו קודם). tg + c cos cot sin + c בזאת סיימנו אנטגרלים של כל הפונקציות הטריגונומטריות האלמנטריות. דוגמאות: בדוגמאות הבאות נחפש הצבה שתביא אותנו לאנטגרלים של הפונקציות האלמנטריות.! ( ) sin + 7 ) חשב: + 7 sin d sin cos + c cos( + 7 ) + c 69

10 sec π + π + ) חשב + + sec tg c tg π + c ) חשב cos + cos + cos + cos ( ) + sin + c + sin + c כלומר ע''י הצבות פשוטות הצלחנו להביא לצורה של פונקציות אלמנטריות. ( ) cot ) חשב: cot cot ln cos + c ln( cos( )) כלומר יש לנו באנטגרל cot של פונקציה כפול הדפרנציאל שלה (מוכפל בקבוע) ולכן בשיטת ההצבה מקבלים אנטגרל של cot בלבד. + c 70

11 sin 5) חשב: ctg + c ctg + c sin 6) חשב: לפי הנוסחה : + cos + cos cos + tg c tg + c cos cos ; tg tg + c cos נוכל לכתוב: 7) חשב: 7

12 פרופ' שלמה הבלין מתמטיקה לפיזיקאים 9. אנטגרלים של פונקציות אקספוננציאליות. הבאנו את האנטגרלים המיידים. + ln e e + c e e e e + c e + c דוגמאות: ) חשב: נציב: ) חשב: e u e e + c e + c כאן היה לנו מקרה של פונקציה המוכפלת בדפרנציאל של המעריך של הפונקציה. ) חשב: e + e y y שים לב: y+ y + y y ( + ) + e e e e e ln e c e + e sin y cos ydy ) חשב: 7

13 sin y cos ydy e e + c e sin y + c e e e e 5) חשב: + c e c 9.5 הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות. rcsin + c כתבנו האנטגרלים המיידים. + rctg + c נראה עתה עוד אנטגרל חשוב לצורך זה נגזור את הפונקציה y rcsec sec y cos y ( sin y) dy sin y dy tgy sec cos y cos y dy tgysec y tgy sec y cos y dy y y sec sec y dy כלומר: נגזור את שני האגפים של המשואה לפי. אבל: לכן: rcsec + c 7

14 כ'' פרופ' שלמה הבלין מתמטיקה לפיזיקאים נחשב: נציב: rcsin + c rcsin + c rcsin + c rctg c rctg + c + כ : 7

15 rc sec + c rc sec + c דוגמאות: ( rcsin + c rcsin + c 5 5 ( rctg + c rctg + c rcsec + c rc sec + c ( 75

16 y 6 dy ( dy y rcsin y+ c rcsin + c + y dy (5 dy + + rctg y c rctg + c y ( ) (6 + rcsin + c rcsin + c 9 7 (7 + / c C rcsin 7 rcsin / 7rcsin + c ( ) 76

17 9.6 דוגמאות עם שיטת השלמה לרבוע ( ) + ( rctg c rctg + c [ 6 ( )] 6 ( ) rcsin c [ ] ( + ( + ) ( ) rcsin + c ( + 9 נפתח את הבטוי בתוך השורש + 9 ( 9 + ) + 5 ( 9 + ) 5 ( ) dy 5 ( ) 5 y y dy dy rcsin + c 5 ( 77

18 ( ) + rctg rctg + c + (5 (6 + ( + ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + נביא את המונה לצורה של נגזרת המכנה. באנטגרל הראשון ( ) + ( ) כלומר המונה דפרנציאל של המכנה. y + [( ) ] dy ln + rctg y + c ln + + rctg + c y נביא את המונה לצורה שיהיה בו הדפרנציאל מתחת לשורש. ( y 5 ( ) dy ( ) ( ) dy + y 9 ( + ) y rcsin + c 5 + rcsin + C 78

19 פרופ' שלמה הבלין מתמטיקה לפיזיקאים rctg + c + rcsin + c rc sec + c לסכום: לכן אנטגרל של הפונקציה שאפשר להביא לצורה זו. למען השלמות נוכל להוסיף כאן אנטגרלים. ln( + + ) + c + ( ) ln + + c ln + c + לכן: נוכל להוכיח אנטגרלים אלו ע''י גזירה של אגף ימין, בהמשך נראה איך לקבל אנטגרלים אלו. דוגמאות: ( נציב: ( 5) c ( 6 5) ln ln + + +c במונה ובמכנה : ( נכפיל ב ( + )

20 ( ) ln c + ( ( ) ) c ( 9 5) ln ln ( + ) c ( ) 5 ln + c ( + ) ln + c ln + c 5+ ( sinh cosh + c cosh sinh + c sec h tgh + c csc h coth + c 9.7 אנטגרלים של פונקציות היפרבוליות. tgh sinh ( ) ln cosh cosh + c cosh sinh coth ln(sinh ) + c דוגמאות: ( cosh( ) ; cosh sinh + c ( e + e e cosh e ( e ) + 80

21 e + e + + c e + + c 8

Σχετικά έγγραφα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si