פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

Transcript

1 פתרון תרגיל מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת (משוואה אחת שלושה נעלמים) s = s s R = Sp x = s ולכן s y = משתנים חופשיים z = u uu u uu לכל שני וקטורים u u ולכל שני סקלרים ab R נראה כי au + bu uu u u = y + z u = y + z נסמן u uu au+ bu = ay + az + by + bz = ay+ by + az+ bz Sp = R לכן הוא תת מרחב של = + = + = {( x y z) R x y z x y z} z = x+ y הוא אוסף הפתרונות של המערכת נבצע פעולות גאוס על המטריצה המורחבת של z = x+ y x = לכן אוסף הפתרונות משתנה חופשי y = z = : = Sp הוא u uu u uu au + bu נראה כי ab R ולכל שני סקלרים u u ב לכל שני וקטורים uu u u = x u = x נסמן u uu a u+ bu = ax + bx = ( ax+ bx) Sp = לכן הוא תת מרחב של R

2 ג } = y = {( x y z) R x הוא לא תת מרחב של R די למצוא תכונה אחת שאינה מתקיימת (הסבר ל-* : = ) ( מת: למשל: * כאן הסגירות תחת החיבור לא מתקיי ** ) הסבר ל-***: () ( + = הסבר ל-** : = ( אבל *** R די למצוא תכונה אחת שאינה מתקיימת = x y z x y {( ) R } הוא לא תת מרחב של ד + = אבל כאן הסגירות תחת החיבור לא מתקיימת : למשל:? R[x] { } x] = p R [ האם הוא תת מרחב של p() = ) א יהי תשובה: כן הוכחה: לכל p x p x ו- ab R נוכיח ש: ap + bp x p() = p( x) p( x) p() = ap + bp = a p () + b p () = a + b = ap + bp x R[x] הוא תת מרחב של x] תשובה: כן [x R [ והראנו קודם שהוא סגור לחיבור וקטורים וכפל של וקטור בסקלר לכן האם? ]R הוא תת מרחב של? R[ x ] הוא תת מרחב של האם = { p R[ x] p() = } R[ תת מרחב של [x קבוע שווה ל- ) לא שייך ל- (הפולינום R [ [x ל ב יהי הוא לא כי האיבר הנטרלי ש? R[ x ] הוא תת מרחב של האם = { a + a x+ a x + a x R[ x] ג יהי } a a + a = ( γ p+ δ p)( x) x) γ δ R p( נוכיח ש : p( x) לכל הוכחה: p ( x) = a + a x+ a x + a x p ( x) יהיו = b + bx+ b x + b x ( γ δ ) γ δ( ( γ + δ ) + ( γ + δ ) + ( γ + δ ) + ( γ + δ ) p + p x = a + a x+ a x + a x + b + bx+ b x + b x )= a b a b x a b x a b x

3 a a a (כ ( p ( ולכן x p x) י + = שימו לב ש b + b = b ( γ p+ δ p) ( x) לכן ( γ a + δb) + ( γa + δb) = ( γa + δb) מסקנה: הוא תת מרחב של ] x ]R? R[ x] הוא תת מרחב של האם = { p R[ x] deg p( x) = } תשובה: פולינום האפס לא שייך ל- (דרגה של פולינום האפס לא מוגדרת ולכן בוודאי ( מכאן נובע ש- לא תת מרחב של [x ]R יהי ד בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של ) C( : C א טענה : } = f() = { f C( ) הוא תת מרחב של af + bg מתקיים ab R ו- g נוכיח שלכל f f () = f g g() = af + bg = a f () + b g() = a + b = af + bg C ( } = f() = f C( ) f הוא תת מרחב של ) ב טענה : ו- R ab מתקיים af + bg f f() = g g() = f g ( g נוכיח שלכל f + + () = () () + + = af + bg ( a f b g) ( a f b g) a f b g ( a f b g ) { } ג )) x = f C ( ) f ( x ) = ( f ( הוא לא תת מרחב של ( )C די למצוא תכונה אחת שאינה מתקיימת ונגדיר (כי נראה ש- ולכן ( x ) f ( x ) = = x 8 f ( x) gx = f( x) = x gx ( = x כאן הסגירות תחת כפל של וקטור בסקלר לא מתקיימת: דוגמא : מתקיים 8 a = נקח ( f ( x ) = ( f( x)) ולכן f ( x) = x = x ( x) 8 gx) ( gx ) = = x gx x x = = 8 gx gx R נזכור ש ) x gx = f( ולכן אין ב- סגירות תחת כפל של וקטור בסקלר C( ) הוא תת מרחב של = { f C( ) f ( a) = f( a) ד טענה : a R} af + bg מתקיים: ab R ו- g נראה שלכל f

4 א) = f x = g x f ( x) = f ( x) f g g( x) = g( x) af + bg x = a f x + b g x = af x + bg x = af + bg x af + bg x x ל R) M ( = הוא תת מרחב ש M (R) x =-x x x טענה: ax + by מתקיים ab R נראה שלכל x x y y X = Y = וסקלרים x x y y נקבל ש- ax + b y = (ax + by) =-x = -y x = x y = y כי x x y y X = = Y x x y y x x y y ax + by ax + by a + b = x x y y ax+ by ax + by : (R S ( אוסף המטריצות הממשיות והסימטריות מסדר יהי S ( R) = {( a ) M ( R) a = a i j { }} i j ij ji ) ( M הוכחה : S ( R) הוא תת מרחב של R טענה : a b c a b c γ δ R וסקלרים A = b e d A b e d = S יהיו R) ( c d f c d f γa+ δa γ b+ δb γ c+ δ c γ A+ δa = γb δb γe δe γ d δ d אז R) S ( γ c δ c γ d δ d γ f + δ f + + ב תתי מרחבים שלו האם W הוא בהכרח 5) יהי V מרחב וקטורי W תת מרחב של? V אם כן-- נמקו אם לא-- תנו דוגמא נגדית איחוד תתי המרחבים W איננו בהכרח תת מרחב V הם תתי מרחבים של W Sp Sp = R דוגמה נגדית: נקח = =

5 (כי W נראה ש- W איננו סגור לחיבור וקטורים ולכן איננו תת מרחב: מתקיים = + כי W אבל ( W ול Sp Sp = = כן W W uu u v = v = v = (6 יהיו R u uuu האם } v Sp{ v v 6) (? u uuu λ λ כך ש- אם ורק אם קיימים λ R Span( v v v) 6 λ+ λ λ = +λ λ λ זו מערכת משוואות עם המשתנים כלומר = = λ + λ + λ λ 6 λ 6 = λ λ λ פתרו אותה ותקבלו λ = ( ) λ כנדרש נסיק ש - λ מכיוון שיש λ λ = ( ) R λ = שיש למערכת הזאת אינסוף פתרונות : Span( v v v) 6 p x = x + x x = λ x + x 5 + λ x + x+) ( 5 p ( x) = x + x+ R [ X ] אם ורק אם קיימים כך ש- המשוואה הזו מתקיימת אם ורק אם x Span( p p) λ λ R 7) נתונים הוקטורים? x Sp p p { האם } x Span p p ( ) כלומר = λ + λ x + λ + λ x 5λ + λ λ+ λ = +λ λ פתרו את המערכת ותקבלו שאין לה פתרון מסקנה: = 5λ + λ = A = A = A = M (9 יהיו R

6 האם } A Sp { A A? A Span( A אם ורק אם קיימים λ λ λ R כך ש- A ) = λ = λ + λ = λ + המשוואה הזו מתקיימת אם ורק אם λ = = λ λ = λ כנדרש נסיק ש- λ מכיוון שיש λ λ פתרו את המערכת ומצאו שיש לה פתרון יחיד: = λ = / u שייך לתת המרחב m הווקטור u Span( A A A ) ) בכל אחד מהסעיפים בדקו עבור אילו ערכים של הפרמטר u v Sp עבור ערכים אלו רשמו את u כצירוף לינארי של w u א w= u = m m v= vw ( { } u av+ u = כלומר צריך למצוא עבור אלו ערכים של m קיימים ab כך ש- bw a נתייחס לזה כאל מערכת משוואות עם = m m = a + b b או ברישום אחר m m המשתנים ab ונבדוק עבור אילו ערכים של m קיים לה פתרון נבצע פעולות גאוס על המטריצה המורחבת של המערכת: R R R R R 7R m m R R R m m 7 m m 5 m נציב = m נמצא את פתרון המערכת עבור ערך זה של a= b= נרשום את קיים פתרון למערכת אם ורק אם נקבל u כצירוף לינארי = m ונמשיך בדירוג: u של vw : u u = / = + = v+ w / )

7 u u = = = ( m ) v ( m) w ( m u = a + b av+ u = כלומר נמצא עבור אלו ערכים של m קיימים ab כך ש- bw m m a נתייחס לזה כאל מערכת משוואות עם המשתנים ab = בצורת b רישום אחרת m ונבדוק עבור אילו ערכים של m קיים לה פתרון m m m R R R R R mr m m R R+ mr m m m + + m + 6m+ m m קיים פתרון למערכת אם ורק אם = 6m m + = u נרשום את a= b= עבור = m נקבל = ) ( b= a+ b= כלומר u כצירוף לינארי של vw : ) ב או 5 a = b= כלומר 5 a = = 8 u u = = ( ) + = v+ w 5 עבור = m נקבל b= a+ b= u נרשום את u כצירוף לינארי של vw : / 5 5u u = = = v w /