1.6.3 Ιατρικές και βιολογικές θεωρίες στον Πλάτωνα και στον Αριστοτέλη Η αρχαία ελληνική ιατρική µετά τον Ιπποκράτη

Transcript

1 1

2 2 Περιεχόµενα Πρόλογος...5 Εισαγωγή: Οι Απαρχές της Ελληνικής Επιστήµης...8 Κεφάλαιο 1: Η Αρχαία Ελληνική Επιστήµη Οι φυσικές θεωρίες των Προσωκρατικών φιλοσόφων H πρώιµη ιωνική φιλοσοφική σκέψη: Θαλής, Αναξίµανδρος, Αναξιµένης, Ξενοφάνης, Ηράκλειτος Η φιλοσοφική σκέψη στη Μεγάλη Ελλάδα: Παρµενίδης, Ζήνων, Μέλισσος, Πυθαγόρας και Πυθαγόρειοι Τα ύστερα υλιστικά συστήµατα: Αναξαγόρας και Εµπεδοκλής Οι ατοµικοί φιλόσοφοι: Λεύκιππος και ηµόκριτος Τα προευκλείδεια ελληνικά µαθηµατικά Τα ελληνικά µαθηµατικά και οι πηγές τους: µερικές ιστοριογραφικές διαπιστώσεις Η σχολή της Ιωνίας Η σχολή των Πυθαγορείων Η ανακάλυψη της ασυµµετρίας Η σχολή της Χίου Τα τρία κλασικά προβλήµατα της ελληνικής γεωµετρίας Η ελληνική αστρονοµία τον 4 ο π.χ. αιώνα Ο ρόλος του Πλάτωνος στην ιστορία της αστρονοµίας Το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών του Ευδόξου Το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών µετά τον Εύδοξο Η φυσική και η κοσµολογία του Αριστοτέλη Η θεωρία της κίνησης στην υποσελήνια περιοχή Οι κινήσεις των ουρανίων σωµάτων Το απόγειο της αρχαίας ελληνικής επιστήµης Τα ελληνιστικά µαθηµατικά Η ελληνιστική αστρονοµία Η µηχανική στους κλασικούς και ελληνιστικούς χρόνους Η αρχαία ελληνική ιατρική Η πρώιµη περίοδος Ιπποκρατική ιατρική...232

3 Ιατρικές και βιολογικές θεωρίες στον Πλάτωνα και στον Αριστοτέλη Η αρχαία ελληνική ιατρική µετά τον Ιπποκράτη Γαληνός Η επίδραση της αρχαίας ελληνικής ιατρικής Η παρακµή της ελληνικής επιστήµης Τα αίτια της παρακµής της ελληνικής επιστήµης Μια ιδιάζουσα περίπτωση: ο ιόφαντος από την Αλεξάνδρεια Επίλογος: η διάδοση της ελληνικής επιστήµης Κεφάλαιο 2: Οι Επιστήµες στο Βυζάντιο Η πρωτοβυζαντινή περίοδος: σχολές και λόγιοι Η Σχολή της Αλεξάνδρειας Η Σχολή των Αθηνών Η Σχολή της Κωνσταντινούπολης Η πρώτη βυζαντινή αναγέννηση Λέων ο Μαθηµατικός Ο δέκατος αιώνας Μιχαήλ Ψελλός Η δεύτερη βυζαντινή αναγέννηση Η κατάληψη της Κωνσταντινούπολης από τους Λατίνους. Η αυτοκρατορία της Νικαίας Η επανασύσταση του Πανεπιστηµίου της Κωνσταντινούπολης Η Ακαδηµία της Τραπεζούντας Ο τελευταίος αιώνας Μια αποτίµηση της συµβολής του Βυζαντίου στις φυσικές επιστήµες και στα µαθηµατικά Η Βυζαντινή ιατρική Η Βυζαντινή ιατρική ως συνέχεια της αρχαίας ελληνικής ιατρικής Άλλες επιδράσεις Βυζαντινά νοσοκοµεία Βυζαντινοί ιατρικοί συγγραφείς Ο Βυζαντινός λόγιος Κεφάλαιο 3 : Οι Έλληνες Λόγιοι στην Περίοδο της Τουρκοκρατίας Τα µετά την άλωση: οι πορείες του πλατωνισµού και του αριστοτελισµού...337

4 4 3.2 Η κυριαρχία του νεοαριστοτελισµού Το πολιτικό πλαίσιο Θεόφιλος Κορυδαλλέας. Η αναβίωση της φιλοσοφικής σκέψης Κορυδαλλισµός και νέες επιστηµονικές ιδέες Ο Χρύσανθος Νοταράς και η νέα αστρονοµία Μεθόδιος Ανθρακίτης και Βικέντιος αµοδός: Οι πρώτες αµφισβητήσεις της παράδοσης Οι περιπέτειες της νεωτερικότητας: Η αναζήτηση του νέου επιστηµονικού λόγου Κοινωνικές αναδιαρθρώσεις και η εκπαιδευτική λειτουργία κατά το δεύτερο µισό του 18 ου αιώνα Ευγένιος Βούλγαρης: Η ιδιοποίηση του νέου επιστηµονικού λόγου Ο νέος επιστηµονικός λόγος Ο Βενιαµίν Λέσβιος και η αναθεώρηση του ηλιοκεντρισµού Ο Κωνσταντίνος Κούµας Συµπεράσµατα: Τα γενικά χαρακτηριστικά της περιόδου Επίλογος: Οι Επιστήµες στις Πρώτες εκαετίες του Ελληνικού Κράτους...384

5 5 Πρόλογος Στην ελληνική και στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν πολλά βιβλία που πραγµατεύονται την ιστορία της επιστήµης στην Αρχαία Ελλάδα, πολύ λιγότερα που πραγµατεύονται τις επιστήµες και τη φιλοσοφία στο Βυζάντιο, ακόµα πιο λίγα µε αντικείµενο τις επιστήµες στην περίοδο της τουρκοκρατίας και ελάχιστα που καλύπτουν πλευρές της ιστορίας της επιστήµης από την ίδρυση του Νέου Ελληνικού Κράτους έως σήµερα. εν υπήρχε όµως κανένα που, µε µορφή εγχειριδίου, να δίνει τη δυνατότητα στον αναγνώστη να αποκτήσει τις βασικές γνώσεις για την ιστορία της επιστήµης σε όλες αυτές τις περιόδους. Το κενό αυτό φιλοδοξεί να καλύψει ως ένα βαθµό το παρόν βιβλίο, που γράφτηκε για να αποτελέσει ένα από τα διδακτικά βιβλία της Θεµατικής Ενότητας 10 του Κύκλου Σπουδών στον Ελληνικό Πολιτισµό του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστηµίου. Το βιβλίο αυτό, λοιπόν, απευθύνεται στους φοιτητές και στις φοιτήτριες του Ανοικτού Πανεπιστηµίου. Εποµένως η συγγραφή του έπρεπε να πληροί τις προδιαγραφές ενός βιβλίου το οποίο λειτουργεί στο πλαίσιο της εξ αποστάσεως εκπαίδευσης και ταυτόχρονα η ανάγνωσή του δεν απαιτεί γνώσεις πέρα από τις βασικές γνώσεις που αποκτά κανείς στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση. Γι αυτό φροντίσαµε να χαρακτηρίσουµε τα πιο τεχνικά θέµατα ως προαιρετικά και να τα παρουσιάσουµε µε τρόπο ώστε η παράλειψή τους να µη διασπά τη συνέχεια και τη συνεκτικότητα της αφήγησης. Τα θέµατα αυτά απευθύνονται στους αναγνώστες οι οποίοι ενδιαφέρονται ιδιαίτερα για την ιστορία της επιστήµης και έχουν τις απαραίτητες γνώσεις φυσικών επιστηµών και µαθηµατικών. Επίσης, για να µπορεί το βιβλίο να εξυπηρετεί τις ανάγκες που προκύπτουν από τον τρόπο οργάνωσης των σπουδών του Ανοικτού Πανεπιστηµίου, προσθέσαµε διάφορα ένθετα, δραστηριότητες και υποδείξεις για την απάντησή τους, ερωτήσεις στο τέλος της κάθε ενότητας και βέβαια τη σχολιασµένη βιβλιογραφία. Με τον όρο Ελληνική Επιστήµη έχει καθιερωθεί διεθνώς να εννοούµε την επιστήµη που αναπτύχθηκε στην Αρχαία Ελλάδα. Το βιβλίο αυτό όµως έπρεπε, για τις ανάγκες του συγκεκριµένου προγράµµατος σπουδών του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστηµίου, να καλύπτει επίσης την ιστορία της επιστήµης στο Βυζάντιο, στην Τουρκοκρατία και στις πρώτες δεκαετίες του Ελληνικού Κράτους. Επιλέξαµε ως ενοποιητικό κριτήριο για να διαµορφώσουµε µια αφήγηση η οποία θα καλύπτει όλες αυτές τις περιόδους το αυτονόητο κριτήριο της γλώσσας. Επικεντρώσαµε λοιπόν την αφήγηση µας, κυρίως,

6 6 στην παρουσίαση των έργων που γράφτηκαν στην ελληνική γλώσσα. Παρ όλα αυτά, η προσπάθεια είχε εγγενείς δυσκολίες που θέλουµε να πιστεύουµε ότι τις επιλύσαµε µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Η αφήγησή µας δεν περιορίστηκε στην παρουσίαση των έργων. Προσπαθήσαµε να αναδείξουµε τόσο τις συνέχειες όσο και τις ρήξεις µε το παρελθόν που τα έργα αυτά σηµατοδότησαν και συγχρόνως επιδιώξαµε να καταστήσουµε ως ένα βαθµό εµφανείς τις επιδράσεις που είχαν σε αυτά τα έργα διεργασίες, οι οποίες συνήθως εκτυλίχθηκαν σε πολύ ευρύτερες περιοχές από τις περιοχές στις οποίες τα ίδια τα έργα γεννήθηκαν. Αναγνωρίσιµη ήταν λ.χ. η επίδραση των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων στην αρχαιότητα, αρκετά ουσιαστική η επίδραση του αραβικού κόσµου στο Βυζάντιο, και ακόµα πιο ουσιαστική η επίδραση του υτικοευρωπαϊκού χώρου στην περίπτωση της νεώτερης Ελλάδας. Πρέπει να επισηµάνουµε στον αναγνώστη ότι µέσα από τα κείµενα διαµορφώνεται κάθε φορά µια ιδιόµορφη σχέση ανάµεσα στην ιστορία των επιστηµών και στην ιστορία της φιλοσοφίας. Είναι µια σχέση που µε κάθε νέο στοιχείο που έρχεται στο φως και µε κάθε νέα µελέτη διαρκώς µετασχηµατίζεται, καθώς η προσπάθεια για την πλήρη και ολόπλευρη κατανόηση των απόψεων που εκφράζονται στα κείµενα αυτά για τη γνώση, τη φύση, αλλά και τις σχέσεις των ανθρώπων µε αυτή δεν µπορεί ποτέ να θεωρείται τελειωµένη. Το γεγονός ότι, στο πλαίσιο µιας ιστορίας της επιστήµης, εµείς ασχοληθήκαµε σχεδόν αποκλειστικά µε τα µαθηµατικά, τη φυσική, την αστρονοµία και την ιατρική, δεν πρέπει να οδηγήσει τον αναγνώστη στο συµπέρασµα ότι δεν µπορούν να υπάρξουν και άλλες διαστάσεις στην παρουσίαση αυτών των κειµένων. ιαστάσεις µε µεγάλο, επίσης, ενδιαφέρον για τους ιστορικούς της επιστήµης. Ας επισηµάνουµε, τέλος, ότι όσες φορές διατυπώναµε ερµηνευτικά σχήµατα, φροντίζαµε να είναι από εκείνα που έχουν τη συναίνεση ενός µεγάλου µέρους των ιστορικών της επιστήµης. Αποφύγαµε να παρουσιάσουµε άλλες ερµηνείες που, παρά το ότι παρουσιάζουν εξαιρετικό ενδιαφέρον, δεν έχουν ακόµη δοκιµαστεί και υποβληθεί σε συστηµατική κριτική ανάγνωση. Το βιβλίο αυτό είναι προϊόν συλλογικής προσπάθειας όλων των συγγραφέων. Οι αρετές του αντανακλούν σε όλους και οι αδυναµίες του καταµερίζονται επίσης σε όλους. Ωστόσο, µε βάση το συµβόλαιο που συνήψαµε µε το Ανοικτό Πανεπιστήµιο ο καθένας

7 7 από εµάς είχε την υποχρέωση να συµβάλει ιδιαίτερα στη συγγραφή ορισµένων θεµάτων. Για τυπικούς λόγους που απορρέουν από το συµβόλαιο αυτό, αναφέρουµε ότι ο Γ. Χριστιανίδης συνέβαλε ιδιαίτερα στη συγγραφή του εισαγωγικού κεφαλαίου, του πρώτου κεφαλαίου, και στη συγγραφή µερικών ενοτήτων του δευτέρου κεφαλαίου. Ο ίδιος είχε αναλάβει επίσης τον συντονισµό της όλης προσπάθειας και την τελική επιµέλεια του βιβλίου. Ο. ιαλέτης συνέβαλε ιδιαίτερα στη συγγραφή του δευτέρου, του τρίτου και του επιλογικού κεφαλαίου και στη συγγραφή µερικών ενοτήτων του πρώτου κεφαλαίου. Ο Γ. Παπαδόπουλος συνέβαλε κυρίως στη συγγραφή των ενοτήτων που αφορούν στην ιστορία της ιατρικής στο πρώτο και στο δεύτερο κεφάλαιο τέλος, ο Κ. Γαβρόγλου συνέβαλε ιδιαίτερα στη συγγραφή του τρίτου και του επιλογικού κεφαλαίου. Οφείλουµε να εκφράσουµε τις ευχαριστίες µας στον Μ. Πατηνιώτη, υποψήφιο διδάκτορα της ιστορίας της επιστήµης στο Πανεπιστήµιο Αθηνών, ο οποίος έθεσε στη διάθεσή µας µεγάλο µέρος του ερευνητικού του υλικού. Στα στοιχεία αυτά βασίζεται σε µεγάλο βαθµό το τρίτο κεφάλαιο του βιβλίου. Επίσης ευχαριστούµε τη ρ. Α. Μελίστα η οποία είχε την ευθύνη, εκ µέρους του Ανοικτού Πανεπιστηµίου, για την προσαρµογή του κειµένου ώστε να ανταποκρίνεται στις ανάγκες της εξ αποστάσεως εκπαίδευσης, καθώς και τους κριτικούς αναγνώστες Θ. Αραµπατζή και Β. Μακρίδη για τις ουσιαστικές παρατηρήσεις τους. Τέλος ευχαριστούµε τους υπευθύνους του Ανοικτού Πανεπιστηµίου για τις διευκολύνσεις που µας παρείχαν καθ όλη τη διάρκεια της συγγραφής αυτού του βιβλίου. Αθήνα, Μάιος 2000 Οι συγγραφείς

8 8 Εισαγωγή: Οι Απαρχές της Ελληνικής Επιστήµης Σκοπός Ο σκοπός αυτού του σύντοµου εισαγωγικού κεφαλαίου είναι διττός. Θέλουµε κατ αρχάς να τονίσουµε ότι η ελληνική επιστήµη δεν γεννήθηκε εκ του µηδενός. Ορισµένοι τοµείς της (µαθηµατικά, αστρονοµία, ιατρική) συνδέονται, στα πρώτα τους στάδια, µε επιτεύγµατα που έλαβαν χώρα στους ανατολικούς πολιτισµούς της Μεσοποταµίας και της Αιγύπτου, ενώ άλλοι τοµείς (κοσµολογία, φυσική) εµφανίζουν αναλογίες και οµοιότητες µε την παράδοση της µυθοποιητικής σκέψης που είχε αναπτυχθεί στον ίδιο τον ελληνικό χώρο. Από την άλλη πλευρά θέλουµε να εξηγήσουµε ότι η γέννηση του φιλοσοφικού και επιστηµονικού λόγου στην Ιωνία τον 6 ο π.χ. αιώνα σηµατοδοτεί µια τοµή µε το παρελθόν, η οποία συνίσταται στο ότι για πρώτη φορά στην ιστορία εισάγονται ορθολογικά στοιχεία στη διαδικασία γνώσης του φυσικού κόσµου. Προσδοκώµενα Αποτελέσµατα Όταν θα έχετε µελετήσει την εισαγωγή αυτή, θα είστε σε θέση να: Επισηµαίνετε τα στοιχεία που συνδέουν τοµείς της ελληνικής επιστήµης µε την επιστηµονική δραστηριότητα που αναπτύχθηκε στους µεγάλους πολιτισµούς της Εγγύς Ανατολής. ιακρίνετε τους παράγοντες που συνέβαλαν στη µετάβαση από τον µυθοποιητικό στον ορθολογικό τρόπο σκέψης. Εντοπίζετε τα κύρια στοιχεία ως προς τα οποία διαφοροποιούνται οι θεωρίες των Μιλήσιων στοχαστών από τις αντιλήψεις που είχαν διατυπώσει προηγούµενοι στοχαστές, Έλληνες και ξένοι. Λέγεται συχνά ότι η επιστηµονική σκέψη αρχίζει µε τους αρχαίους Έλληνες. Τι σηµαίνει ένας τέτοιος ισχυρισµός; Και τι νόηµα έχει άραγε να λέµε ότι η επιστήµη έχει µια αρχή στον χώρο και στον χρόνο; Αν ορίσουµε την επιστήµη µε έναν τόσο γενικό τρόπο όπως είναι αυτός που εισηγείται ο J.G. Crowther, ότι δηλαδή η επιστήµη είναι «το σύστηµα συµπεριφοράς που επιτρέπει στον άνθρωπο να κυριαρχήσει στο περιβάλλον του» (Crowther, 1967, σ. 1), τότε δεν υπήρξε ποτέ ανθρώπινη κοινωνία που να στερείται κάποιας στοιχειώδους επιστηµονικής δραστηριότητας. Επίσης, εάν χαρακτηρίσουµε ως

9 9 επιστήµη κάθε «λειτουργικό σύστηµα σκέψης» το οποίο χρησιµοποιείται στο πλαίσιο µιας συγκεκριµένης κοινωνίας, όπως υποστηρίζει ο D. Pingree (Pingree, 1992, σ. 554), τότε θα πρέπει να συµπεριλάβουµε στην έννοια της επιστήµης ακόµα και τέτοια πεδία διανοητικής δραστηριότητας όπως είναι η αστρολογία, η µαγεία, η ερµηνεία των αστρικών οιωνών κ.λπ. Για να αποφύγουµε τέτοιες αδόκιµες γενικεύσεις χρησιµοποιούµε συνήθως έναν πιο στενό ορισµό για την επιστήµη, χαρακτηρίζοντάς την όχι ως σύστηµα συµπεριφοράς ούτε ως σύστηµα σκέψης που λειτουργεί σε µια συγκεκριµένη κοινωνία, αλλά ως δραστηριότητα που αποσκοπεί στην απόκτηση γνώσης. Ο M. Clagett, για παράδειγµα, χρησιµοποιεί έναν ορισµό σύµφωνα µε τον οποίο η επιστήµη περιλαµβάνει «αφ ενός τη µεθοδική και συστηµατική κατανόηση, περιγραφή και / ή εξήγηση των φυσικών φαινοµένων και αφ ετέρου τα απαραίτητα γι αυτό το εγχείρηµα εργαλεία», δηλαδή τη λογική και τα µαθηµατικά (Clagett, 1957, σ. 4). Αν δεχθούµε αυτόν τον τελευταίο ορισµό της επιστήµης, τότε τίθεται εύλογα το ερώτηµα για την αρχή του επιστηµονικού εγχειρήµατος στον χώρο και στον χρόνο. Σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη, λοιπόν, η αναζήτηση των αιτίων των φαινοµένων αρχίζει µε τον Θαλή τον Μιλήσιο. Με το όνοµα του Θαλή, επίσης, ο Πρόκλος (5 ος µ.χ. αιώνας) αρχίζει τον Κατάλογο των προ του Ευκλείδη γεωµετρών, τον οποίο έχει προτάξει (ως ένα είδος προλόγου) στα Σχόλια στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη (βλ. ενότητα 1.2). Από την αρχαιότητα, λοιπόν, το όνοµα του Μιλήσιου σοφού µνηµονεύεται στην αρχή της ιστορίας της φυσικής φιλοσοφίας και των µαθηµατικών. Η µνεία αυτή έχει χαράξει έκτοτε τη µνήµη των αιώνων. εν χωρεί καµία αµφιβολία ότι τόσο ο Θαλής και οι άλλοι Μιλήσιοι φιλόσοφοι οφείλουν πολλά στις ιδέες και τις πεποιθήσεις παλαιότερων, Ελλήνων και ξένων, στοχαστών. Οι δικές τους θεωρήσεις, όµως, πιστεύεται γενικώς ότι σηµατοδοτούν µια τοµή µε το παρελθόν και αυτό µας επιτρέπει να τους τοποθετήσουµε στην αρχή τόσο της φιλοσοφίας όσο και της επιστήµης. Για να κρίνουµε αυτή την τοποθέτηση πρέπει, φυσικά, να εξετάσουµε αφ ενός τον ακριβή βαθµό πρωτοτυπίας και καινοτοµίας που είχε η συµβολή των Μιλήσιων φιλοσόφων και αφ ετέρου τις επιδράσεις που δέχτηκαν από τους µεγάλους πολιτισµούς της Εγγύς Ανατολής µε τους οποίους η Μίλητος και άλλες πόλεις της Ιωνίας είχαν όχι µόνο πολιτικούς και εµπορικούς δεσµούς αλλά και πολιτιστικές επαφές. Ας αρχίσουµε από την τελευταία αυτή πλευρά. Η παράδοση αναφέρει ότι ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο ηµόκριτος, ο Εύδοξος και άλλοι αρχαίοι Έλληνες στοχαστές ταξίδεψαν στην Αίγυπτο και στη Βαβυλώνα. Εάν τα ταξίδια

10 10 αυτά συνέβησαν στην πραγµατικότητα, δεν µπορούµε να το γνωρίζουµε µε βεβαιότητα. Ακόµη κι έτσι όµως, δύσκολα µπορεί να αρνηθεί κανείς ότι αυτές οι αναφορές αποτελούν έναν έµµεσο, ανεκδοτολογικό τρόπο για να δηλώσουν την ύπαρξη ανατολικών στοιχείων στις θεωρίες των Ελλήνων στοχαστών της πρώιµης περιόδου. Λίγοι, εξάλλου, από τους σύγχρονους φιλολόγους αρνούνται κατηγορηµατικά να δεχθούν ότι οι Έλληνες παρέλαβαν οτιδήποτε το ουσιώδες από την Ανατολή. Όπως παρατηρεί ο Ολλανδός ιστορικός των µαθηµατικών B.L. van der Waerden, «σαν να ήταν τόσο στενόµυαλοι οι Έλληνες, ώστε να µην αναγνώριζαν τα αξιόλογα στοιχεία σε έναν ξένο πολιτισµό!» (Waerden, 2000, σ. 87). Οι πολιτισµοί της Μεσοποταµίας και της Αιγύπτου έχουν να επιδείξουν πολλά αξιόλογα επιτεύγµατα. Ήδη από την 4 η και την 3 η π.χ. χιλιετία είχαν σηµειώσει αξιοσηµείωτες τεχνικές προόδους στη γεωργία (δηµιουργία αρδευτικών συστηµάτων, εξηµέρωση των ζώων, ανακάλυψη µεθόδων συντήρησης των τροφίµων), στην κατασκευή οικοδοµηµάτων, στη µεταλλουργία (εξαγωγή και επεξεργασία των µετάλλων), στην υφαντική, στην κεραµική και σε άλλους τοµείς. Αν και τέτοιου είδους τεχνικές εξελίξεις δεν προϋποθέτουν κατ ανάγκη συνειδητή θεωρητική εργασία, φανερώνουν ωστόσο, εκτός από την οξύνοια και την επιδεξιότητα, µια εξαιρετικά ανεπτυγµένη κλίση στην παρατήρηση και στην εξαγωγή συµπερασµάτων από την εµπειρία. Η τεχνική πρόοδος, λοιπόν, υπήρξε µεγάλη στους ανατολικούς πολιτισµούς κατά την 4 η και την 3 η π.χ. χιλιετία. Υπάρχουν όµως δύο άλλες πλευρές των αρχαίων αυτών πολιτισµών που, όπως σηµειώνει ο Άγγλος καθηγητής της ιστορίας της αρχαίας ελληνικής επιστήµης Sir Geoffrey E.R. Lloyd, «συνδέονται πιο στενά µε τις απαρχές της ελληνικής επιστήµης. Η πρώτη είναι η ιατρική η δεύτερη, τα µαθηµατικά και η αστρονοµία» (Lloyd, 1990, σ. 18). Στην ιατρική, τόσο στην Αίγυπτο όσο και στη Μεσοποταµία, κυριαρχούσε η πίστη στη µαγεία και στη δεισιδαιµονία. Η πρόγνωση στηριζόταν στη µαντεία και η θεραπεία είχε ως κύρια µέριµνα τον εξορκισµό των δαιµόνων που θεωρούνταν υπεύθυνοι για τις περισσότερες αρρώστιες. Αυτή η πρακτική αποτελούσε τον κανόνα. Υπάρχει, ωστόσο, ένα κείµενο, ο αιγυπτιακός «πάπυρος Edwin Smith» (χρονολογείται από το έτος 1600 π.χ., θεωρείται όµως ότι εµπεριέχει ενσωµατωµένο υλικό από πολύ παλαιότερη εποχή), που αποτελεί τεκµήριο όχι µόνο του εξοστρακισµού της µαγείας και της δεισιδαιµονίας από την ιατρική αλλά, συγχρόνως, µιας µεθοδικής προσπάθειας καταγραφής και

11 11 ταξινόµησης των εµπειρικών δεδοµένων µε έναν τρόπο που µοιάζει πολύ µε αυτόν που θα συναντήσουµε τον 5 ο και τον 4 ο π.χ. αιώνα στα κείµενα της ιπποκρατικής ιατρικής. Μεγαλύτερο ενδιαφέρον, όµως, για τη διερεύνηση των σχέσεων της Ελλάδας µε την Ανατολή παρουσιάζουν τα µαθηµατικά και η αστρονοµία. Σε αυτά τα πεδία εξάλλου έχουµε συγκεκριµένες µαρτυρίες από τους ίδιους τους αρχαίους Έλληνες οι οποίοι δεν διστάζουν να αναγνωρίσουν τις οφειλές τους στους µεγάλους ανατολικούς πολιτισµούς. Ας δούµε µερικά παραδείγµατα: Ο Αριστοτέλης αναφέρει ότι τα µαθηµατικά κατάγονται από την Αίγυπτο και την άποψη αυτή τη συναντούµε να διατυπώνεται συχνά από πολλούς αρχαίους Έλληνες συγγραφείς. Γράφει στα Μετά τα φυσικά (A 981b): Γι αυτό οι µαθηµατικές τέχνες γεννήθηκαν πρώτα-πρώτα στην Αίγυπτο, γιατί εκεί αφέθηκε διαθέσιµος χρόνος στην τάξη των ιερέων. Την ίδια άποψη περί αιγυπτιακής προέλευσης της γεωµετρίας είχε διατυπώσει νωρίτερα, στα µέσα του 5 ου π.χ. αιώνα, ο Ηρόδοτος, µε µια µικρή διαφοροποίηση ως προς τους λόγους για τους οποίους συνέβη αυτό. Κατά τον Ηρόδοτο, οι πληµµύρες του Νείλου και οι πρακτικές ανάγκες υπολογισµού κάθε φορά του εδάφους που χανόταν εξαιτίας τους, αποτέλεσαν την αιτία για τη δηµιουργία της γεωµετρίας. Γράφει στις Ιστορίες (Β, 109): Αν ο ποταµός έπαιρνε ένα κοµµάτι από το χωράφι κανενός, τότε αυτός πήγαινε στον βασιλιά και του το ανέφερε, κι εκείνος έστελνε ανθρώπους να κάνουν έλεγχο και να µετρήσουν πόσο µικρότερο έγινε το χωράφι ώστε από τότε και στο εξής να ελαττωθεί ανάλογα και ο φόρος. Μου φαίνεται δε ότι αυτό έδωσε αφορµή να επινοηθεί η γεωµετρία η οποία αργότερα µεταδόθηκε στην Ελλάδα, γιατί τον πόλο, τον γνώµονα και τα δώδεκα µέρη της ηµέρας οι Έλληνες τα έµαθαν από τους Βαβυλώνιους. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 ιαβάστε προσεκτικά τα δύο προηγούµενα αποσπάσµατα και προσπαθήστε να εντοπίσετε τους διαφορετικούς λόγους που επικαλούνται ο Αριστοτέλης και ο Ηρόδοτος για να δικαιολογήσουν την κοινή θέση τους ότι η γεωµετρία γεννήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο. Τη δική µας απάντηση θα τη βρείτε στο Παράρτηµα, στο τέλος αυτού του εισαγωγικού κεφαλαίου.

12 12 Η εκδοχή της µετάδοσης µαθηµατικών γνώσεων από την Αίγυπτο στην αρχαία Ελλάδα επαναλαµβάνεται όπως είπαµε και από άλλους Έλληνες συγγραφείς. Πρέπει να σηµειώσουµε πάντως ότι οι γνώσεις που µεταδόθηκαν από την Αίγυπτο στην Ελλάδα, όποιες και αν ήταν αυτές, δεν µπορεί να ήταν ιδιαίτερα υψηλές, αφού το ίδιο το επίπεδο των αιγυπτιακών µαθηµατικών, όπως ξέρουµε σήµερα, δεν ήταν ιδιαίτερα υψηλό. Οι δύσκαµπτοι αριθµητικοί υπολογισµοί που χρησιµοποιούσαν, ο περίπλοκος κλασµατικός λογισµός τους και η χρησιµοποίηση της γεωµετρίας ως εφαρµοσµένης αριθµητικής, κάθε άλλο παρά ευνόησαν την ανάπτυξη των µαθηµατικών και ασφαλώς δεν αποτέλεσαν καλή παρακαταθήκη για να αναπτυχθεί τον 4 ο και τον 3 ο π.χ. αιώνα το λαµπρό οικοδόµηµα των ελληνικών µαθηµατικών. Στον τοµέα της αστρονοµίας, εξάλλου, η επίδραση των Αιγυπτίων είναι εµφανής κυρίως στο παράδειγµα της αποδοχής από τους Έλληνες αστρονόµους της ελληνιστικής εποχής του αιγυπτιακού ηµερολογίου, «του µόνου», κατά τον ιστορικό της αρχαίας επιστήµης O. Neugebauer, «έξυπνου ηµερολογίου που υπήρξε ποτέ στην ιστορία του ανθρώπου» (Neugebauer, 1986, σ. 118). Στο πλαίσιο που ακολουθεί θα βρείτε µια σύντοµη περιγραφή του αιγυπτιακού ηµερολογίου από τον O. Neugebauer και µια παρουσίαση των βασικών πλεονεκτηµάτων του σε σύγκριση µε τα ηµερολόγια που χρησιµοποιούνταν την ίδια εποχή από τους Βαβυλώνιους και τους αρχαίους Έλληνες. Ο Neugebauer για το αιγυπτιακό ηµερολόγιο Το έτος [σύµφωνα µε το αιγυπτιακό ηµερολόγιο] αποτελείται από 12 µήνες µε 30 ηµέρες ο καθένας και 5 επιπλέον ηµέρες στο τέλος του έτους. Αν και δηµιουργήθηκε από καθαρά πρακτικές ανάγκες και χωρίς να έχει καµιά σχέση µε αστρονοµικά προβλήµατα, η αξία του για τους αστρονοµικούς υπολογισµούς αναγνωρίστηκε πλήρως από τους αστρονόµους των ελληνιστικών χρόνων. Αυτό ακριβώς που χρειαζόταν για τους αστρονοµικούς υπολογισµούς ήταν µια σταθερή χρονική κλίµακα χωρίς κανενός είδους παρεµβολές. Τόσο το καθαρά σεληνιακό ηµερολόγιο των Βαβυλωνίων (που εξαρτιόταν από όλες τις περίπλοκες µεταβολές της σεληνιακής κίνησης) όσο και τα χαώδη ελληνικά ηµερολόγια (που εξαρτιόνταν για τις παρεµβολές τους όχι µόνο από τη σελήνη αλλά και από την εκάστοτε πολιτική σκοπιµότητα), ήταν προφανώς πολύ κατώτερα από το αµετάβλητο αιγυπτιακό ηµερολόγιο.

13 13 Στο χωρίο του Ηροδότου που παραθέσαµε προηγουµένως µνηµονεύεται, επίσης, η επίδραση των Βαβυλωνίων ακόµη και στην πρώιµη ελληνική αστρονοµία. Ο γνώµων, για τον οποίο γίνεται αναφορά στο χωρίο, φαίνεται ότι ήταν το αρχαιότερο επιστηµονικό όργανο. Επρόκειτο για ένα ηλιακό ρολόι αποτελούµενο από µια κατακόρυφη ράβδο η οποία έριχνε τη σκιά της σε έναν επίπεδο δίσκο. Από τη µέτρηση της σκιάς εξάγονται χρήσιµες πληροφορίες για την κίνηση του ήλιου, όπως µπορείτε να δείτε στο σχήµα 1 και στη λεζάντα που το συνοδεύει. Λόγου χάριν, η στιγµή που το µήκος της σκιάς που ρίχνει ο γνώµων γίνεται ελάχιστο στη διάρκεια µιας ηµέρας συµπίπτει µε τη µεσηµβρία του τόπου, ενώ το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών ελάχιστων τιµών του µήκους της σκιάς (δηλαδή µεταξύ δύο διαδοχικών µεσηµβριών) ορίζει τη θεµελιώδη µονάδα µέτρησης του χρόνου, τη µία ηµέρα. Εξάλλου, η µέγιστη και η ελάχιστη µεσηµβρινή σκιά στη διάρκεια ενός έτους συµπίπτουν µε τα σηµεία τροπής του ετήσιου δρόµου του ήλιου, δηλαδή µε τα ηλιοστάσια. Ο πόλος, επίσης, φαίνεται ότι ήταν και αυτός ένα είδος ηλιακού ρολογιού που αποτελείτο από ένα ηµισφαιρικό κοίλωµα και έναν κατακόρυφο δείκτη τοποθετηµένο στο µέσον. Τέλος, σύµφωνα µε το ίδιο χωρίο του Ηροδότου, βαβυλωνιακής προελεύσεως είναι ακόµη η διαίρεση της ηµέρας σε 12 ώρες. Σχήµα 1 Το µήκος και η διεύθυνση της σκιάς του γνώµονα µεταβάλλονται στη διάρκεια του χρόνου, επειδή ο ήλιος δεν ανατέλλει πάντοτε στο ίδιο σηµείο του ορίζοντα (και αντιστοίχως δεν δύει πάντοτε στο ίδιο σηµείο) τα ακριβή σηµεία ανατολής και δύσης µετατοπίζονται ανάλογα µε τις εποχές. Ωστόσο υπάρχει ένα χαρακτηριστικό της σκιάς το οποίο παραµένει αναλλοίωτο στη διάρκεια του χρόνου: η διεύθυνσή της το µεσηµέρι, όταν δηλαδή το µήκος της γίνεται κάθε µέρα ελάχιστο, είναι σταθερή και δείχνει πάντοτε προς τον βορρά (στα γεωγραφικά πλάτη των περιοχών όπου αναπτύχθηκαν οι αρχαίοι πολιτισµοί). Από αυτή την απλή παρατήρηση προκύπτει µια από τις πολλές χρήσεις του γνώµονα στην αρχαιότητα, η χρήση του ως πυξίδας. Με τον γνώµονα µπορεί κανείς να προσδιορίσει τον βορρά και κατά συνέπεια και τα υπόλοιπα σηµεία του ορίζοντα. Επίσης, από την καθηµερινή παρακολούθηση του µήκους της σκιάς σε κάθε διεύθυνση προσδιορίζεται τόσο η διάρκεια του ηλιακού έτους όσο και τα σηµεία τροπής της τροχιάς του ήλιου (τα ηλιοστάσια και οι ισηµερίες), εποµένως οι εποχές του έτους. Για παράδειγµα, στο χειµερινό ηλιοστάσιο (σήµερα συµβαίνει στις 22 εκεµβρίου) ο ήλιος ανατέλλει νοτιότερα από κάθε άλλη µέρα και εποµένως η τροχιά που διαγράφει επάνω από τον ορίζοντα είναι η µικρότερη

14 14 από κάθε άλλη µέρα του χρόνου. Αυτή η µέρα λοιπόν είναι η µικρότερη του χρόνου και επιπλέον, από την καθηµερινή παρατήρηση της σκιάς του γνώµονα προκύπτει ότι στη µεσηµβρία της µέρας αυτής η σκιά του γνώµονα έχει το µεγαλύτερο µήκος έναντι οποιασδήποτε άλλης µεσηµβρίας. Από την παρατήρηση λοιπόν των ελάχιστων σκιών (των σκιών των µεσηµεριών) εντοπίζεται η ελάχιστη σκιά µε το µεγαλύτερο µήκος και έτσι βρίσκεται η µέρα του χειµερινού ηλιοστασίου (η µέρα δηλαδή που αρχίζει ο χειµώνας). Ο υπολογισµός τώρα της διάρκειας του ενός έτους δεν είναι δύσκολος. Προσδιορίζεται από τη διάρκεια του χρόνου που παρέρχεται µεταξύ δύο διαδοχικών χειµερινών ηλιοστασίων, δηλαδή µεταξύ δύο διαδοχικών µεγίστων τιµών των µεσηµβρινών σκιών. Με ανάλογες παρατηρήσεις στη διάρκεια ενός χρόνου προσδιορίζονται επίσης η εαρινή ισηµερία (21 Μαρτίου), το θερινό ηλιοστάσιο (22 Ιουνίου) και η φθινοπωρινή ισηµερία (23 Σεπτεµβρίου). Στην ελληνική δοξογραφική παράδοση θα συναντήσουµε και άλλες µαρτυρίες σαν αυτή του Ηρόδοτου για την επίδραση της βαβυλωνιακής στην πρώιµη ελληνική αστρονοµία. Αλλά η επίδραση δεν συµπεραίνεται µόνο από τέτοιου είδους µαρτυρίες. Η χρήση βαβυλωνιακών τεχνικών και παρατηρήσεων από Έλληνες αστρονόµους διαπιστώνεται στα ίδια τα επιστηµονικά κείµενα, ακόµη και σε αυτά της περιόδου άνθησης της ελληνικής αστρονοµίας. Γράφει σχετικά µε αυτό ο B.L. van der Waerden: «Μεγάλο ενδιαφέρον γι αυτές τις [βαβυλωνιακές] παρατηρήσεις επέδειξαν και οι Έλληνες. Ο Καλλισθένης, µαθητής του Αριστοτέλη, που συνόδευσε τον Μέγα Αλέξανδρο στη Βαβυλώνα, απέστειλε στον θείο του Αριστοτέλη, κατόπιν αιτήµατός του, βαβυλωνιακές παρατηρήσεις. Ο µεγάλος Έλληνας αστρονόµος του 3 ου π.χ. αιώνα Υψικλής υπολόγιζε τους χρόνους ανατολών και δύσεων των ζωδίων µε τον τρόπο που τους υπολόγιζαν οι Βαβυλώνιοι, επειδή η ελληνική αστρονοµία 1 δεν ήταν ακόµη σε θέση να λύσει το πρόβληµα αυτό. Ο Γεµίνος, επίσης, µελετά στην Εισαγωγή του τη µέθοδο των Χαλδαίων για τον υπολογισµό της ταχύτητας της σελήνης. Ο Ίππαρχος (150 π.χ.) χρησιµοποίησε βαβυλωνιακές παρατηρήσεις και περιόδους της σελήνης, που θα χρησιµοποιήσει ο Πτολεµαίος 300 χρόνια αργότερα, ουσιαστικά χωρίς διορθώσεις» (Waerden, 2000, σ. 89). Από τα παραδείγµατα που παραθέσαµε γίνεται φανερό αυτό που είπαµε στην αρχή, ότι ορισµένοι τοµείς της ελληνικής επιστήµης συνδέονται, στα πρώτα τους στάδια, µε επιτεύγµατα που έλαβαν χώρα στους µεγάλους πολιτισµούς της Μεσοποταµίας και της Αιγύπτου. Μια αντίστοιχη ανάλυση θα αποκάλυπτε, επίσης, ουσιαστικές αναλογίες και οµοιότητες της πρώιµης ελληνικής φυσικής φιλοσοφίας µε προ-φιλοσοφικές αντιλήψεις που επικρατούσαν στο πλαίσιο της ελληνικής µυθολογίας. Η ιωνική φυσική, γράφει ο 1 Ο Van der Waerden χρησιµοποιεί τον όρο «σφαιρική αστρονοµία».

15 15 Γάλλος διανοητής J.P. Vernant, επαναλαµβάνοντας κάποια συµπεράσµατα του F.M. Cornford, «µεταποιεί σε µια εκκοσµικευµένη µορφή και σ ένα πιο αφηρηµένο λεξιλόγιο την αντίληψη του κόσµου, όπως την είχε επεξεργαστεί η θρησκεία. Οι κοσµολογίες ξαναπιάνουν και προεκτείνουν τα ουσιαστικά θέµατα των κοσµογονικών µύθων. ίνουν απάντηση στον ίδιο τύπο ερώτησης. εν αναζητούν, όπως η επιστήµη, τους νόµους της φύσης, αλλά, όπως ο µύθος, διερωτώνται για το πώς εγκαθιδρύθηκε η τάξη, για το πώς αναδύθηκε ο κόσµος από το χάος. Από τους γενεαλογικούς µύθους οι Μιλήσιοι παίρνουν όχι µόνο µιαν εικόνα του σύµπαντος, αλλά κι έναν ολόκληρο εννοιολογικό εξοπλισµό και ερµηνευτικά σχήµατα: πίσω από τα στοιχεία της φύσης διαγράφονται παλαιές θεότητες της µυθολογίας. Με το να γίνουν φύση, τα στοιχεία απέβαλαν την όψη εξατοµικευµένων θεών, παραµένουν όµως ενεργές και έµψυχες δυνάµεις, που γίνονται ακόµα αισθητές ως θείες Ανάµεσα στη θεογονία του Ησίοδου και στη φιλοσοφία ενός Αναξίµανδρου, η ανάλυση του Cornford αποκαλύπτει ουσιαστικές αντιστοιχίες» (Vernant, 1992, σ ). Όποια κι αν ήταν όµως τα επιτεύγµατα των ανατολικών πολιτισµών και όποιες αντιστοιχίες κι αν εντοπίσει κανείς ανάµεσα στις προ-φιλοσοφικές ελληνικές ή ξένες µυθολογικές παραδόσεις και στην κοσµολογία των Ιώνων, ο ισχυρισµός ότι η επιστήµη και η φιλοσοφία γεννήθηκαν τον 6 ο π.χ. αιώνα στην Ιωνία και ότι ο Θαλής και οι Μιλήσιοι στοχαστές είναι οι πρώτοι φυσικοί φιλόσοφοι στην ιστορία της ανθρωπότητας διατηρεί όλη την ισχύ του. Ας δούµε πώς διατυπώνουν την άποψή τους σχετικά µε το θέµα αυτό δύο διακεκριµένοι σύγχρονοι µελετητές της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας, ο J.P. Vernant και ο G.S. Kirk (η έµφαση που δηλώνεται µε τους παχείς χαρακτήρες έχει προστεθεί από εµάς). 1. J.P. Vernant. Στην ιστορία του ανθρώπου οι αφετηρίες συνήθως µας διαφεύγουν. Πάντως, αν η έλευση της φιλοσοφίας στην Ελλάδα σηµειώνει την παρακµή της µυθικής σκέψης και το ξεκίνηµα ενός ορθολογικού τύπου γνώσης, µπορούµε να προσδιορίσουµε το χρόνο και τον τόπο γέννησης του ελληνικού λόγου, να συντάξουµε τη ληξιαρχική του πράξη. Είναι στις αρχές του 6 ου αιώνα, στη Μίλητο της Ιωνίας, όπου άνθρωποι όπως ο Θαλής, ο Αναξίµανδρος, ο Αναξιµένης εγκαινιάζουν ένα νέο τρόπο σκέψης για τη φύση. Την κάνουν αντικείµενο συστηµατικής και ανιδιοτελούς έρευνας, µιας ιστορίας, και παρουσιάζουν µια συνολική της εικόνα, µια θεωρία. (Vernant, 1992, σ. 139)

16 16 2. G.S. Kirk Η µετάβαση από τους µύθους στη φιλοσοφία, από το µύθο στο λόγο όπως το διατυπώνουν µερικοί, είναι πολύ πιο επαναστατική από όσο συνεπάγεται µια απλή διαδικασία αποπροσωποίησης ή αποµυθολογοποίησης, που νοείται είτε ως απόρριψη της αλληγορίας είτε ως ένα είδος αποκρυπτογράφησής της είναι ακόµα πιο επαναστατική από όσο θα συνεπαγόταν (αν η ιδέα αυτή δεν είναι πέρα για πέρα εξωφρενική) µια σχεδόν µυστηριακή µεταλλαγή στους τρόπους σκέψης, στην ίδια τη λειτουργία της νόησης. Γιατί στην πραγµατικότητα συνεπιφέρει και µαζί προϋποθέτει αλλαγές που έχουν πολιτικό, κοινωνικό και θρησκευτικό χαρακτήρα, όχι απλώς διανοητικό αλλαγές που σηµαίνουν την αποµάκρυνση από την κλειστή παραδοσιακή κοινωνία (που, στην αρχετυπική µορφή της, είναι µια κοινωνία όπου κυριαρχεί ο προφορικός λόγος και όπου η αφήγηση είναι ένα σηµαντικό όργανο σταθερότητας και ανάλυσης) και την εξέλιξη προς µια ανοιχτή κοινωνία, όπου οι αξίες του παρελθόντος γίνονται σχετικά ασήµαντες και όπου µπορούν να διατυπωθούν πραγµατικά πρωτότυπες ιδέες για την ίδια την κοινωνία και για τον διευρυνόµενο περίγυρό της. Αυτή ακριβώς η αλλαγή έγινε στην Ελλάδα ανάµεσα στον 9 ο και στον 6 ο αιώνα π.χ. µια αλλαγή που, οπωσδήποτε, περιπλέχθηκε από τον αργό ρυθµό µε τον οποίο διαδόθηκε σ αυτή τη χώρα ο γραπτός λόγος. Η εξέλιξη της πόλεως από παλιότερες αριστοκρατικές δοµές, µαζί µε την ανάπτυξη των επαφών µε ξένους λαούς και του νοµισµατικού συστήµατος, άλλαξαν την ησιόδεια αντίληψη για την κοινωνία και έκαναν τα παλιά θεϊκά και ηρωικά αρχέτυπα να φαίνονται ξεπερασµένα και (αν δεν προστατεύονταν άµεσα από τη θρησκευτική λατρεία) αδιάφορα. Αναµφίβολα, πολλά από τα ηµιορθολογικά στοιχεία της οµηρικής παράδοσης επιβίωσαν, όπως και η ταξινοµική τάση του Ησίοδου αλλά στις κοσµοπολίτικες κοινωνίες της Ιωνίας (και ιδιαίτερα της Μιλήτου), που αγαπούσαν και ευνοούσαν τη θεωρητική σκέψη, απέκτησαν εντονότερο χαρακτήρα και, χωρίς να έρθουν σε άµεση σύγκρουση µε τους µύθους και τη θρησκεία, προσαρµόστηκαν σε ένα πλατύτερο και αντικειµενικότερο κοσµοείδωλο. (Kirk, Raven, Schofield, 1990, σ ) ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 ιαβάστε προσεκτικά το απόσπασµα από το βιβλίο των Kirk, Raven και Schofield που παραθέσαµε αµέσως παραπάνω και προσπαθήστε να επισηµάνετε και να καταγράψετε επιγραµµατικά τους παράγοντες που επικαλούνται οι συγγραφείς για να εξηγήσουν τη µετάβαση από τον µύθο στον λόγο. Τη δική µας συστηµατοποίηση των παραγόντων αυτών θα τη βρείτε στο Παράρτηµα, στο τέλος της Εισαγωγής. Κατά τον G.E.R. Lloyd, οι θεωρίες του Θαλή και των άλλων Μιλήσιων και γενικότερα των Προσωκρατικών στοχαστών διαφέρουν από τις αντίστοιχες αντιλήψεις που είχαν διατυπωθεί από προηγούµενους στοχαστές, Έλληνες και ξένους, σε δύο κρίσιµης σηµασίας σηµεία.

17 17 1. Η πρώτη διαφορά έγκειται στη συνειδητή επιλογή να επιζητούνται φυσικές ερµηνείες για τα φυσικά φαινόµενα και να απορρίπτεται κάθε προσφυγή σε θεϊκές και άλλες υπερφυσικές δυνάµεις, αντίθετα µε τις ερµηνείες που δίνονταν παλαιότερα στα πλαίσια των µύθων. Οι Προσωκρατικοί στοχαστές υποβάλλουν τα φυσικά φαινόµενα σε µια διαδικασία ορθολογικής σκέψης και επιζητούν φυσικές ερµηνείες χωρίς να εµπλέκουν τους θεούς στα ερµηνευτικά τους σχήµατα. Έτσι, κατά τον Θαλή, αιτία των σεισµών δεν είναι ο Ποσειδώνας, ο θεός της θάλασσας, όπως πρέσβευαν µερικές εξηγήσεις που διατυπώνονταν παλαιότερα στο πλαίσιο των µύθων, αλλά η απότοµη αναταραχή των υδάτων επί των οποίων επιπλέει η επίπεδη γη. Επίσης οι αστραπές δεν οφείλονται, κατά τον Αναξίµανδρο, στην οργή του ία, αλλά συµβαίνουν όταν ένα νέφος σχίζεται στα δύο, εξαιτίας του αέρα. Τέλος, για να αναφέρουµε και ένα παράδειγµα από την ιατρική, η φράση µε την οποία αρχίζει η ιπποκρατική πραγµατεία Περὶ ἱερῆς νούσου είναι η εξής: «εν πιστεύω ότι η αρρώστια αυτή είναι περισσότερο θεϊκή ή ιερή από τις άλλες αρρώστιες αλλά θεωρώ ότι έχει συγκεκριµένη φύση και συγκεκριµένα αίτια». Σύµφωνα µε τον συγγραφέα του βιβλίου η νόσος έχει να κάνει µε µια (ανύπαρκτη) φλέβα, η οποία τάχα κατεβαίνει από τον εγκέφαλο. Όλες αυτές οι εξηγήσεις ξέρουµε σήµερα ότι είναι εξαιρετικά απλοϊκές και δεν είναι πιο κοντά στην αλήθεια απ ό,τι οι εξηγήσεις που δίνονταν παλαιότερα στο πλαίσιο των µύθων. Η ουσία όµως δεν βρίσκεται εκεί, γιατί η αξία τους δεν θα πρέπει να αναζητηθεί αυστηρά σ αυτό καθεαυτό το περιεχόµενό τους αντίθετα, η αξία τους βρίσκεται σε ό,τι δεν περιέχουν: την προσφυγή δηλαδή σε υπερφυσικές δυνάµεις. Επίσης, οι εξηγήσεις των φυσικών φαινοµένων από τους Προσωκρατικούς στοχαστές χαρακτηρίζονται από γενικότητα, αφού αφορούν σε κλάσεις φυσικών φαινοµένων και όχι στις εκάστοτε εκδηλώσεις τους. Αυτό σηµαίνει ότι όλοι οι σεισµοί, λ.χ., πρέπει έχουν πάντοτε κοινά ή παρόµοια αίτια και όχι να είναι αποτέλεσµα κάθε φορά της µιας ή της άλλης υπερφυσικής επίδρασης. Η «ιερή νόσος» ήταν η επιληψία, η οποία αποδιδόταν σε ένα πλήθος «ιερών», δηλαδή προερχοµένων από τους θεούς, αιτίων. Περισσότερα για το σύγγραµµα αυτό και εν γένει

18 18 για την αρχαία ελληνική ιατρική µπορείτε να διαβάσετε στην ενότητα 1.6 του πρώτου κεφαλαίου. Η απόρριψη των υπερφυσικών εξηγήσεων δεν σηµαίνει ότι ο Θαλής, ο Αναξίµανδρος και οι άλλοι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι ήταν άθεοι. Ενώ όµως οι θεότητες κατείχαν ουσιαστική θέση στις κοσµολογίες τους, δεν έπαιζαν κανένα ρόλο στις ερµηνείες τους. Όπως έχουµε αναφέρει, η επιλογή αυτή έχει χαρακτηριστεί, κάπως απλουστευτικά είναι αλήθεια, ως πέρασµα από τον µύθο στον λόγο. Στο απόσπασµα των Kirk, Raven και Schofield που παραθέσαµε προηγουµένως επισηµαίνονται µερικοί κοινωνικοί παράγοντες που συνέβαλαν σε αυτή την εξέλιξη. Γενικότερα, η πολιτική και πνευµατική ελευθερία που γεννήθηκε στις ανθηρές ελληνικές πόλεις των αρχαϊκών χρόνων, φαίνεται ότι έπαιξε ουσιαστικό ρόλο για τη γέννηση της φιλοσοφίας και της επιστήµης. «Στην αρχαϊκή ελληνική κοινωνία», παρατηρεί ο ιστορικός της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας Ε. Ν. Ρούσσος, «όλες οι εκδηλώσεις της ζωής της συγκλίνουν σε µια πορεία προς τη θεωρία. Με την ανάδυση της προσωπικότητας του πολίτη γίνεται αισθητή ολοένα και περισσότερο µια κίνηση από το ατοµικό προς το συλλογικό, από το υποκειµενικό προς το αντικειµενικό, από το µερικό προς το γενικό, από το έθιµο στον νόµο, από την εικόνα στην έννοια, από την πρακτική εµπειρία στον ορθό λόγο» (Ρούσσος, 1999, σ ). 2. Το δεύτερο στοιχείο ως προς το οποίο διαφοροποιούνται οι Μιλήσιοι φυσικοί φιλόσοφοι από τους προηγούµενους διανοητές είναι η υιοθέτηση της πρακτικής της ενδοεπιστηµονικής κριτικής και του διαλόγου και κατά συνέπεια, η αποδοχή ενός πνεύµατος άµιλλας για τη διατύπωση πιο πειστικών εξηγήσεων. Το πνεύµα αυτό της δηµόσιας κριτικής επέβαλε στον κάθε στοχαστή να µεριµνά ώστε οι θεωρίες του να διέπονται από συνέπεια και µην είναι εσωτερικά αντιφατικές. Η πολυφωνία αυτή είναι ιδιαίτερα εµφανής στις κοσµολογικές θεωρίες των Προσωκρατικών φιλοσόφων. Χαρακτηριστική είναι εν προκειµένω η διατύπωση του G.E.R. Lloyd: «Ένα από τα αξιοσηµείωτα στοιχεία της ελληνικής κοσµολογικής σκέψης

19 19 είναι ότι σχεδόν για κάθε ιδέα που εισάγεται, προτείνεται και µια άλλη, αντιθετική της. Θα έλεγε κανείς πως για κάθε κοσµολογία υπάρχει και µια αντι-κοσµολογία, προϊόν των ίδιων των Ελλήνων» (Lloyd, 1996, σ. 258). Μια αιτία για την εµφάνιση της πρακτικής της δηµόσιας αντιπαράθεσης και της ορθολογικής κριτικής είναι, όπως και προηγουµένως, οι πολιτικές συνθήκες που απολάµβαναν οι µικρές ελληνικές πόλεις-κράτη (δηµοκρατία, ελευθερία κριτικής, αναζήτηση της δικανικής αλήθειας), σε αντίθεση λ.χ. µε τα ολοκληρωτικά, αυτοκρατορικά καθεστώτα της Ανατολής. Ένας άλλος παράγοντας που φαίνεται ότι έπαιξε ουσιαστικό ρόλο θα πρέπει να αναζητηθεί στην τεχνολογία της επικοινωνίας. Πράγµατι, οι συνθήκες ανάπτυξης του γραπτού λόγου ήταν πολύ διαφορετικές στην Ελλάδα από ό,τι στη Μεσοποταµία και την Αίγυπτο. Στις δύο τελευταίες, η αναγνωστική ικανότητα περιοριζόταν σε µικρές κάστες ειδικών, τους γραφείς και τους ιερείς, οι οποίοι ήσαν οι µόνοι που µπορούσαν να ακολουθήσουν τον µακρύ και επίπονο δρόµο της εκπαίδευσης στην εκµάθηση της σφηνοειδούς και της ιερογλυφικής γραφής. Η επέκταση και εδραίωση του γραπτού λόγου που έλαβε χώρα στην αρχαία Ελλάδα από τον 7 ο π.χ. αιώνα και µετά, είχε ασφαλώς σηµαντικά αποτελέσµατα καθώς, όπως αναφέρει ο Lloyd, «από τη στιγµή που η λέξη γράφεται, µπορεί να αποτελεί αντικείµενο κριτικής ανάλυσης µε τρόπο που θα ήταν αδύνατος κατά την προφορική συναλλαγή» (Lloyd, 1996, σ. 216). Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα µας δοθεί η ευκαιρία να εξετάσουµε µε περισσότερη λεπτοµέρεια τις θεωρίες των Μιλήσιων και γενικότερα των Προσωκρατικών φιλοσόφων.

20 20 Σύνοψη Σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο της ιστορίας της ελληνικής επιστήµης προσπαθήσαµε να απαντήσουµε σε µερικά ερωτήµατα που συνδέονται µε τη διαδικασία της γέννησης της επιστηµονικής σκέψης στην Ιωνία, στα δυτικά παράλια της Μικράς Ασίας, τον 6 ο π.χ. αιώνα. Η γέννηση της επιστήµης και της φιλοσοφίας είναι ένα φαινόµενο µοναδικό στην ιστορία και γι αυτό η µελέτη του και η κατανόηση των προϋποθέσεων που έκαναν δυνατή την εµφάνισή του στον συγκεκριµένο χρόνο και στο συγκεκριµένο γεωγραφικό και κοινωνικό περιβάλλον παρουσιάζουν ιδιαίτερες δυσκολίες. Παρ όλα αυτά, σε αυτή την εισαγωγή µπορέσαµε να κάνουµε ορισµένες επισηµάνσεις. Κατ αρχάς επισηµάναµε ότι ορισµένοι τοµείς της ελληνικής επιστήµης συνδέονται, στα πρώτα τους στάδια, µε επιτεύγµατα που έλαβαν χώρα στους πολιτισµούς της Μεσοποταµίας και της Αιγύπτου, ενώ άλλοι τοµείς της παρουσιάζουν ουσιαστικές αναλογίες και οµοιότητες µε προ-επιστηµονικές αντιλήψεις που επικρατούσαν στο πλαίσιο του µυθοποιητικού τρόπου σκέψης. Άρα, η ελληνική επιστήµη δεν δηµιουργήθηκε εκ του µηδενός. Όµως, οι θεωρίες που διατύπωσαν οι Μιλήσιοι και οι άλλοι Ίωνες στοχαστές διαφέρουν από τις προηγούµενες αντιλήψεις ως προς το ότι δεν χρησιµοποιούν το υπερφυσικό (θεϊκό) στοιχείο ως ερµηνευτικό εργαλείο, και αυτό αποτέλεσε ένα κρίσιµο χαρακτηριστικό της µετάβασης από τον προ-επιστηµονικό (µυθοποιητικό) στον ορθολογικό τρόπο σκέψης. Η πολυφωνία των απόψεων, η αµοιβαία κριτική τους µε ορθολογικά κριτήρια, η άµιλλα για τη διατύπωση πιο πειστικών ερµηνειών για τα φυσικά φαινόµενα, είναι µερικοί ακόµα παράγοντες οι οποίοι σε συνδυασµό µε τις κοινωνικές συνθήκες που επικρατούσαν στις µικρές ελληνικές πόλειςκράτη (δηµοκρατία, πνευµατική ελευθερία, επέκταση του γραπτού λόγου κ.ά.), έπαιξαν ουσιαστικό ρόλο στη γέννηση της επιστήµης.!!!!! Τώρα που ολοκληρώσατε τη µελέτη αυτού του εισαγωγικού κεφαλαίου, ελέγξτε αν µπορείτε να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήµατα: 1) Μπορείτε να αναφέρετε τρία-τέσσερα αξιόλογα επιστηµονικά και τεχνικά επιτεύγµατα των πολιτισµών της Μεσοποταµίας και της Αιγύπτου;

21 21 2) Ποιες διαφορές εντοπίζει ο G.E.R. Lloyd ανάµεσα στις θεωρίες του Θαλή και των άλλων Μιλήσιων φυσικών φιλοσόφων από τη µία πλευρά και από την άλλη στις αντιλήψεις που είχαν διατυπωθεί από προηγούµενους στοχαστές στο πλαίσιο του µυθοποιητικού τρόπου σκέψης; 3) Μπορείτε να αναφέρετε δυο-τρεις παράγοντες - κοινωνικούς, πολιτικούς κ.ά. - που έπαιξαν ρόλο στη γέννηση της επιστήµης στην αρχαία Ελλάδα; Βιβλιογραφία Ελληνόγλωσση Childe, V.G.: Ο άνθρωπος πλάθει τον εαυτό του, µτφρ. Λ. Θεοδωρακόπουλος, Αθήνα, Εκδόσεις Ράππα, Kirk, G.S. - Raven, J.E. - Schofield, M.: Οι προσωκρατικοί φιλόσοφοι, µτφρ.. Κούρτοβικ, Αθήνα, Μ.Ι.Ε.Τ., Lindberg, D.C.: Οι απαρχές της υτικής Επιστήµης. Η φιλοσοφική, θρησκευτική και θεσµική θεώρηση της ευρωπαϊκής επιστηµονικής παράδοσης, 600 π.χ µ.χ., µτφρ. Η. Μαρκολέφας, Αθήνα, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Lloyd, G.E.R.: Αρχαία ελληνική επιστήµη. Μέθοδοι και προβλήµατα, µτφρ. Χ. Μπάλλα, Αθήνα, Εκδόσεις Αλεξάνδρεια, Neugebauer, O.: Οι θετικές επιστήµες στην αρχαιότητα, µτφρ. Χ. Ζερµπίνη - Ι. Αρζόγλου, Αθήνα, Μ.Ι.Ε.Τ., Ρούσσος, Ε. Ν.: Προσωκρατικοί, τ. Α : Ιστορική Εισαγωγή, Αθήνα, Εκδόσεις Στιγµή, Vernant, J.P.: Οι απαρχές της ελληνικής σκέψης, µτφρ. Ε. Κοκοσαίου-Νικολούδη, Αθήνα, Εκδόσεις Καρδαµίτσα, Vernant, J.P.: Μύθος και σκέψη στην αρχαία Ελλάδα, µτφρ. Σ. Γεωργούδη. Αθήνα, Νεφέλη. Waerden, B.L. van der: Η αφύπνιση της επιστήµης, µτφρ. Γ. Χριστιανίδης, Ηράκλειο, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ξενόγλωσση Bernal, Μ.: «Animadversions on the Origins of Western Science», Isis, τ. 83, 1992, σ Clagett, M.: Greek Science in Antiquity, London, Abelard-Schuman, Crowther, J.G.: The Social Relations of Science, London, The Cresset Press, Lloyd, G.E.R.: Une histoire de la science grecque, tr. J. Brunshwig, Paris, Editions La Découverte, Ανατύπωση, Pingree, D.: «Hellenophilia versus the History of Science», Isis, τ. 83, 1992, σ Οδηγός για περαιτέρω µελέτη

22 22 1. Lloyd, G.E.R.: Une histoire de la science grecque, tr. J. Brunshwig, Paris, Editions La Découverte, Ανατύπωση, Το έργο αυτό του G.E.R. Lloyd κυκλοφόρησε για πρώτη φορά στα αγγλικά σε δύο τόµους µε τίτλο Early Greek Science, Thales to Aristotle (London, Chatto & Windus,1970) και Greek Science after Aristotle (London, Chatto & Windus,1973). Αν και λίγο πεπαλαιωµένο σήµερα, εξακολουθεί να είναι η καλύτερη γενική ιστορία της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Το έργο αποτελείται συνολικά από 19 κεφάλαια εκ των οποίων το πρώτο πραγµατεύεται τις απαρχές της ελληνικής επιστήµης, το θέµα δηλαδή µε το οποίο ασχοληθήκαµε και εµείς σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο. 2. Neugebauer, O.: Οι θετικές επιστήµες στην αρχαιότητα, µτφρ. Χ. Ζερµπίνη - Ι. Αρζόγλου, Αθήνα, Μ.Ι.Ε.Τ., Το συνοπτικό αυτό βιβλίο, γραµµένο από τον κορυφαίο µελετητή της ιστορίας της προελληνικής επιστήµης, αποτελεί την καλύτερη εισαγωγή στα µαθηµατικά και στην αστρονοµία που αναπτύχθηκαν στους αρχαίους πολιτισµούς της Μεσοποταµίας και της Αιγύπτου.

23 23 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριότητα 1 Ο Ηρόδοτος υποστηρίζει ότι η γεωµετρία γεννήθηκε από πρακτικές ανάγκες, όπως λ.χ. από την ανάγκη συνεχούς καταµέτρησης της γης (για λόγους φορολογίας) εξαιτίας των πληµµυρών του Νείλου. Σύµφωνα µε την άποψη αυτή, φορείς της µαθηµατικής γνώσης ήσαν αρχικά άνθρωποι που ήταν επιφορτισµένοι µε καθήκοντα πρακτικής φύσης (αρπεδονάπτες, επόπτες, γραφείς και άλλοι κρατικοί υπάλληλοι). Αυτή την άποψη για την προέλευση της γεωµετρίας αντανακλά και η ίδια η ονοµασία της που σηµαίνει στην κυριολεξία «µέτρηση της γης». Ο Αριστοτέλης από την άλλη πλευρά υποστηρίζει ότι οι πραγµατικοί φορείς της µαθηµατικής γνώσης ήταν οι ιερείς οι οποίοι, όπως ακριβώς οι Έλληνες φιλόσοφοι και µαθηµατικοί της δικής του εποχής, είχαν αρκετό ελεύθερο χρόνο ώστε να τον αφιερώνουν στα µαθηµατικά, παρακινούµενοι στη δραστηριότητα αυτή από θεωρητικά και όχι από πρακτικά ενδιαφέροντα. ραστηριότητα 2 Οι συγγραφείς επισηµαίνουν τον ρόλο που έπαιξαν η διάδοση του γραπτού λόγου, η εξέλιξη της πόλης, η ανάπτυξη των επαφών µε άλλους λαούς και η ανάπτυξη του νοµισµατικού συστήµατος.

24 24 Κεφάλαιο 1: Η Αρχαία Ελληνική Επιστήµη Από την ανάγνωση των περιεχοµένων αυτού του τόµου θα έχετε ήδη διαπιστώσει ότι το κεφάλαιο για την ιστορία της αρχαίας ελληνικής επιστήµης είναι το εκτενέστερο όλων των κεφαλαίων του βιβλίου. Αυτό δεν οφείλεται σε κάποια δική µας πρόθεση να δώσουµε υπερβολική έµφαση σε αυτή την περίοδο έναντι των υπολοίπων περιόδων µε τις οποίες θα ασχοληθούµε στα επόµενα κεφάλαια (βυζαντινή περίοδος, περίοδος του νεότερου ελληνισµού, σύγχρονη περίοδος) αλλά αντανακλά το γεγονός ότι η αρχαία ελληνική επιστήµη έπαιξε έναν ιδιαίτερα σηµαντικό ρόλο στη διαµόρφωση του επιστηµονικού φαινοµένου. Εξ αιτίας του ρόλου αυτού έχει αναπτυχθεί σε όλη τη διάρκεια του 20 ού αιώνα έντονη ερευνητική δραστηριότητα για την αρχαία ελληνική επιστήµη, έχουν γραφτεί εξαιρετικά ενδιαφέρουσες µελέτες ενώ η σχετική βιβλιογραφία είναι ογκώδης και δεν είναι υπερβολή να πούµε ότι είναι µεγαλύτερη όχι µόνο από την αντίστοιχη βιβλιογραφία για τις υπόλοιπες περιόδους της ελληνικής ιστορίας αλλά και από οποιαδήποτε άλλη περίοδο της παγκόσµιας ιστορίας της επιστήµης. Αυτοί είναι οι λόγοι για τους οποίους και εµείς αφιερώνουµε τόσο χώρο για την παρουσίαση της ιστορίας της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Η αφήγηση που θα ακολουθήσουµε εκτυλίσσεται σε γενικές γραµµές σύµφωνα µε τη χρονική διαδοχή των προσώπων, παράλληλα όµως υπάρχει και µια δεύτερη διαίρεση της ύλης, θεµατική αυτή τη φορά. Έτσι, στην πρώτη ενότητα του κεφαλαίου πραγµατευόµαστε τις φυσικές θεωρίες που διατύπωσαν οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι τον 6 ο και τον 5 ο π.χ. αιώνα, ενώ στη δεύτερη ενότητα εξετάζουµε τα µαθηµατικά επιτεύγµατα που έλαβαν χώρα από τον 6 ο έως τον 4 ο π.χ. αιώνα. Με την αστρονοµία και τη φυσική που αναπτύχθηκαν τον 4 ο αιώνα ασχολούµαστε στις ενότητες 1.3 και 1.4. Η επόµενη ενότητα (1.5) έχει θέµα την επιστήµη που αναπτύχθηκε στους ελληνιστικούς χρόνους σε αυτήν εξετάζουµε διαδοχικά τα µαθηµατικά, την αστρονοµία και τη µηχανική. Η ιστορία της ελληνικής ιατρικής, την οποία δεν συµπεριλάβαµε στην ως τώρα αφήγησή µας, αποτελεί το θέµα της ενότητας 1.6. Τέλος, το κεφάλαιο ολοκληρώνεται µε την ενότητα 1.7 όπου πραγµατευόµαστε το θέµα της παρακµής της ελληνικής επιστήµης.

25 Οι φυσικές θεωρίες των Προσωκρατικών φιλοσόφων Σκοπός Σε αυτή την ενότητα του πρώτου κεφαλαίου θα παρουσιάσουµε συνοπτικά τα πρώτα ορθολογικά ερµηνευτικά συστήµατα για τον φυσικό κόσµο που διατυπώθηκαν τον 6 ο και τον 5 ο π.χ. αιώνα από τους Έλληνες Προσωκρατικούς στοχαστές. Προσδοκώµενα Αποτελέσµατα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη µελέτη αυτής της ενότητας, θα είστε σε θέση να: Εξηγείτε τη µεταλλαγή που πραγµατοποιήθηκε στην περιγραφή και την ερµηνεία του φυσικού κόσµου µε τους Προσωκρατικούς φιλοσόφους. ιακρίνετε τη διαφορά µεταξύ ορθολογικών και µυθολογικών ερµηνευτικών συστηµάτων. Περιγράφετε τα κύρια ερωτήµατα για τον φυσικό κόσµο που έθεσαν οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι και τις απαντήσεις που έδωσαν σε αυτά. Εντοπίζετε τις διαφορετικές απόψεις που διαµόρφωσαν για τον φυσικό κόσµο οι κυριότερες προσωκρατικές φιλοσοφικές σχολές. Εισαγωγικές Παρατηρήσεις Αναφέραµε στην Εισαγωγή ότι οι απαρχές της επιστήµης και της φιλοσοφίας εντοπίζονται στην Ιωνία τον 6 ο π.χ. αιώνα. Το πρώτο ρεύµα φιλοσοφικής-επιστηµονικής σκέψης που διαµορφώθηκε εκεί εµφανίστηκε στη Μίλητο, σπουδαίο εµπορικό κέντρο της εποχής, και γι αυτό οι ιστορικοί όταν αναφέρονται στους πρώιµους Ίωνες στοχαστές, δηλαδή στον Θαλή, τον Αναξίµανδρο και τον Αναξιµένη, χρησιµοποιούν συχνά τον χαρακτηρισµό «σχολή της Μιλήτου» ή «Μιλήσιοι φιλόσοφοι». Με τους Μιλήσιους λοιπόν, αλλά και τους άλλους Προσωκρατικούς φιλοσόφους, δηλαδή όλους τους προγενέστερους ή σύγχρονους του Σωκράτη ( 399) φιλοσόφους, αρχίζει να πραγµατοποιείται η µεγάλη µεταλλαγή στην κατανόηση και ερµηνεία του φυσικού κόσµου, µεταλλαγή η οποία ολοκληρώθηκε στους επόµενους αιώνες µε την ώριµη αρχαιοελληνική σκέψη.

26 26 Χρησιµοποιήσαµε τον όρο «σχολή της Μιλήτου». Με τον όρο αυτό δεν θέλουµε να δηλώσουµε κάποιο συγκεκριµένο εκπαιδευτικό ίδρυµα, όπως ήταν για παράδειγµα αργότερα, τον 4 ο π.χ. αιώνα, η Ακαδηµία του Πλάτωνος και το Λύκειο του Αριστοτέλη, ή όπως είναι σήµερα ένα πανεπιστηµιακό ίδρυµα. Στην περίπτωση των Μιλήσιων ο όρος «σχολή» χρησιµοποιείται απλώς για να δηλώσει µια µορφή µαθητείας (µε την ευρεία σηµασία του όρου) του Αναξίµανδρου µε τον Θαλή και του Αναξιµένη µε τον Αναξίµανδρο. Γενικότερα, τον όρο «σχολή» θα τον χρησιµοποιούµε στη συνέχεια για να δηλώσουµε µια σειρά από στοχαστές οι οποίοι υιοθετούν ένα κοινό πλαίσιο αντιλήψεων, προβληµατισµών ή µεθόδων (βλ. τον Πίνακα 2 στο τέλος αυτής της πρώτης υποενότητας). Η ενότητα αυτή αποτελείται από τέσσερις κύριες υποενότητες. Στην υποενότητα παρουσιάζουµε ορισµένες πλευρές των φιλοσοφικών συστηµάτων που ανέπτυξαν οι πρώιµοι Ίωνες στοχαστές και ιδιαίτερα εκείνες οι οποίες έχουν µια πιο στενή σχέση µε την ιστορία της επιστήµης. Στην υποενότητα προχωρούµε σε µια αντίστοιχη εξέταση των φιλοσοφικών ιδεών που αναπτύχθηκαν την ίδια περίπου περίοδο στη Μεγάλη Ελλάδα (δηλαδή στις ελληνικές αποικίες της σηµερινής Νότιας Ιταλίας), δίνοντας ιδιαίτερη έµφαση στις αντιλήψεις των Πυθαγορείων, επειδή άσκησαν σηµαντική επίδραση στην κατοπινή εξέλιξη των επιστηµών. Στην υποενότητα εξετάζουµε τα φιλοσοφικά συστήµατα που διατύπωσαν δύο µεταγενέστεροι στοχαστές, ο Αναξαγόρας και ο Εµπεδοκλής, οι οποίοι δεν ανήκαν σε συγκεκριµένες σχολές αλλά η σκέψη τους συνέβαλε ουσιαστικά στην ιστορία τόσο της φιλοσοφίας όσο και της επιστήµης. Η ενότητα ολοκληρώνεται µε µια τελευταία υποενότητα (1.1.4) στην οποία παρουσιάζουµε ορισµένες πλευρές της φιλοσοφικής σκέψης των ατοµικών φιλοσόφων (Λεύκιππου και ηµόκριτου), δύο εκπροσώπων της ύστερης προσωκρατικής σκέψης, οι ιδέες των οποίων για τον φυσικό κόσµο έπαιξαν αργότερα ουσιαστικό ρόλο στην ιστορία της επιστήµης. Προτού προχωρήσουµε στην αφήγησή µας σύµφωνα µε το σχήµα που περιγράψαµε προηγουµένως, νοµίζουµε ότι είναι χρήσιµο να κάνουµε δύο παρατηρήσεις τις οποίες πρέπει να έχουµε πάντοτε υπόψη όταν επιχειρούµε να αφηγηθούµε την ιστορία της επιστηµονικής σκέψης που αναπτύχθηκε σε αυτή την τόσο πρώιµη περίοδο.

27 27 Η πρώτη παρατήρηση αφορά στο πρόβληµα των πηγών. Οι πηγές από τις οποίες αντλούµε τις γνώσεις µας για τις διδασκαλίες των Προσωκρατικών στοχαστών, ακόµη και αν συµπεριλάβουµε σε αυτές ολόκληρη τη δοξογραφική παράδοση, είναι ελάχιστες. Ολοκληρωµένα έργα τους δεν έχουν διασωθεί και διαθέτουµε µόνο λίγα διάσπαρτα αποσπάσµατα που έχουν περάσει σε γραπτά µεταγενέστερων, είτε ως αυθεντικά και γνήσια αποσπάσµατα (στα έργα των Πλάτωνος, Αριστοτέλη, Θεόφραστου, Σιµπλίκιου, ιογένη Λαέρτιου κ.ά.) είτε ως παραφράσεις ή αποµιµήσεις αυθεντικών κειµένων. Από την άποψη της αξιοπιστίας τους τα αποσπάσµατα αυτά ταξινοµούνται σε τρεις κατηγορίες: 1. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν τα αποσπάσµατα όπου κείµενα από το έργο ενός Προσωκρατικού συγγραφέα που παρατίθενται κατά λέξη από κάποιον άλλο. Τα αποσπάσµατα αυτά αποτελούν την πιο αξιόπιστη µαρτυρία που διαθέτουµε για τις απόψεις του συγκεκριµένου φιλοσόφου. 2. Στη δεύτερη κατηγορία εντάσσονται οι µαρτυρίες που προέρχονται από πρώιµες αυθεντίες, όπως είναι ο Ηρόδοτος, ο Πλάτων, ο Αριστοτέλης και οι άµεσοι µαθητές τους. Οι µαρτυρίες αυτές θεωρούνται αρκετά αξιόπιστες αλλά ήδη εµπεριέχουν ένα στοιχείο αβεβαιότητας, µιας και οι πρωτότυπες έννοιες µπορεί να έχουν διαστρεβλωθεί, ερµηνευόµενες έτσι ώστε να συµµορφώνονται προς έναν περισσότερο πλατωνικό ή αριστοτελικό τρόπο σκέψης. 3. Στην τρίτη κατηγορία, τέλος, ανήκουν οι µαρτυρίες των µεταγενέστερων συγγραφέων, οι οποίοι µπορεί ενδεχοµένως να είχαν πρόσβαση σε ανεξάρτητο υλικό αλλά είναι εντελώς απίθανο να ανέτρεξαν σε αυτό και στις περισσότερες περιπτώσεις βασίζονταν στις επιτοµές και τις ανθολογίες που παρήγαγε η αριστοτελική σχολή, κυρίως δε σε ένα χαµένο έργο του Θεόφραστου που έφερε τον τίτλο Φυσικών δόξαι. Επειδή είναι πολύ πιθανό σε όλες αυτές τις µαρτυρίες να εµπεριέχονται διαστρεβλώσεις οι οποίες οφείλονται στη διαδικασία της έµµεσης µεταβίβασης, γι αυτό πρέπει να χρησιµοποιούνται µε τη µέγιστη προσοχή. (Για περισσότερα βλ. Dicks, 1991, σ. 56) Είναι εποµένως εξαιρετικά δύσκολο για τον ερευνητή να ανασυγκροτήσει µια αντικειµενική εικόνα της προσωκρατικής σκέψης. Η δυσκολία µάλιστα µεγαλώνει από το γεγονός ότι πολλές από τις έννοιες που οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι χρησιµοποιούσαν για να περιγράψουν και να ερµηνεύσουν τη λειτουργία του υλικού κόσµου δεν είχαν στην εποχή τους τη σηµασία που απέκτησαν αργότερα, στην ακµή της κλασικής ελληνικής

28 28 φιλοσοφίας. Θα πρέπει λοιπόν να είµαστε εξαιρετικά προσεκτικοί στις αναγνώσεις των αποσπασµάτων των έργων τους και να αποφεύγουµε να τα ερµηνεύουµε αποδίδοντας στους όρους έννοιες οι οποίες πήραν το τελικό τους περιεχόµενο πολύ αργότερα. Παρά τις δυσκολίες, πάντως, που προκύπτουν από την έλλειψη ολοκληρωµένων κειµένων, έχουν επιχειρηθεί και έχουν επιτευχθεί κατά καιρούς αξιόπιστες αναγνώσεις των σωζόµενων αποσπασµάτων, στις οποίες και θα βασιστούµε για να παρουσιάσουµε την προσωκρατική «επιστηµονική» σκέψη. Το δεύτερο σηµείο που πρέπει να τονίσουµε είναι ότι η προσωκρατική σκέψη αποτελεί µέρος τόσο της ιστορίας της φιλοσοφίας όσο και της ιστορίας της επιστήµης, αλλά µε διαφορετικό στην κάθε περίπτωση νόηµα. Αυτό που πρέπει να θυµόµαστε όταν προσεγγίζουµε την προσωκρατική σκέψη ως µέρος της ιστορίας της επιστήµης, είναι ότι στην αρχαία ελληνική σκέψη δεν υπήρξε ποτέ (ακόµα και αργότερα, στους κλασικούς χρόνους) κάποιος όρος που να αντιστοιχεί απόλυτα σε ό,τι ονοµάζουµε σήµερα «επιστήµη». Οι όροι «φιλοσοφία» (αγάπη της σοφίας), «ἐπιστήµη» (γνώση), «θεωρία» (θεωρητική σκέψη) και «περὶ φύσεως ἱστορία» (έρευνα της φύσης), αναφέρονταν σε διαφορετικές πλευρές και εκφράσεις αυτού που σήµερα ονοµάζουµε «επιστήµη», είχαν όµως ο καθένας το δικό του συγκεκριµένο εννοιολογικό περιεχόµενο. Προκειµένου να διευκολυνθείτε στην παρακολούθηση της αφήγησης που θα ακολουθήσει, παραθέτουµε τον ακόλουθο πίνακα (Πίνακας 1) από τον οποίο µπορείτε να σχηµατίσετε µια πρώτη εικόνα τόσο για τη χρονική διαδοχή των διαφόρων στοχαστών που θα συναντήσουµε στη συνέχεια όσο και για το ιστορικό πλαίσιο µέσα στο οποίο ανέπτυξαν τη δράση τους. Σας προτείνουµε, προτού διαβάσετε τον Πίνακα, να ανατρέξετε στο αντίστοιχο κεφάλαιο του Α τόµου και να κάνετε µια σύντοµη επανάληψη των φιλοσοφικών θεωριών που διατύπωσαν οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι.

29 29 Πίνακας 1 Χρονολογικός πίνακας των επιφανέστερων Προσωκρατικών στοχαστών Ο ακριβής χρόνος γέννησης και θανάτου των στοχαστών που αναφέρονται στον πίνακα δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί µε ακρίβεια, γι αυτό δίνουµε µια ενδεικτική χρονολογία που αντιστοιχεί στην ακµή της δηµιουργίας τους. Στοχαστές Θαλής Αναξίµανδρος Ιστορικά γεγονότα 610 Ο Θρασύβουλος τύραννος της Μιλήτου 594/3 Νοµοθεσία του Σόλωνος 546/5-528/7 Ο Πεισίστρατος τύραννος των Αθηνών Αναξιµένης Πυθαγόρας Θάνατος του Πολυκράτη στη Σάµο Ξενοφάνης /10 Καταστροφή της Σύβαρης από τους Κροτωνιάτες Μεταρρυθµίσεις του Κλεισθένη στην Αθήνα. Πρώτη εφαρµογή γνήσιου δηµοκρατικού πολιτεύµατος Ηράκλειτος Άλωση της Μιλήτου από τους Πέρσες 490 Μάχη του Μαραθώνα Παρµενίδης ηµιουργία της ελφικής Αµφικτιονίας Αναξαγόρας Ζήνων ο Ελεάτης Ακµή του Φειδία Εµπεδοκλής Μέλισσος 440 Λεύκιππος ιογένης ο Απολλωνιάτης Φιλόλαος Θάνατος του Περικλή Πελοποννησιακός πόλεµος Ειρήνη του Νικία Σικελική εκστρατεία των Αθηναίων ηµόκριτος Θεόδωρος ο Κυρηναίος

30 H πρώιµη ιωνική φιλοσοφική σκέψη: Θαλής, Αναξίµανδρος, Αναξιµένης, Ξενοφάνης, Ηράκλειτος Στην Ιωνία, όπως έχουµε αναφέρει, έγιναν οι πρώτες ορθολογικές προσπάθειες για την περιγραφή και ερµηνεία του φυσικού κόσµου. Σε αυτό πρέπει να συνέβαλε ότι στην περιοχή εκείνη µια εξαιρετικά αξιόλογη και µακροχρόνια πολιτιστική και λογοτεχνική παράδοση συνδυάστηκε µε την υλική ευµάρεια των µεγάλων πόλεών της, καθώς και οι συχνές επαφές µε άλλους πολιτισµούς. Η πρώτη έκφραση αυτών των ορθολογικών προσεγγίσεων χαρακτηρίζεται ως υλιστικός µονισµός. Γιατί και οι τρεις πρώτοι µεγάλοι Μιλήσιοι στοχαστές (Θαλής, Αναξίµανδρος, Αναξιµένης) δέχονταν ως πρώτη αρχή του κόσµου ένα ορισµένο υλικό στοιχείο, ο προσδιορισµός του οποίου αποτελούσε και το σηµαντικότερο βήµα για µια ορθολογική περιγραφή της πραγµατικότητας. Μετά από τους τρεις µεγάλους Μιλήσιους η στάση αυτή αµβλύνθηκε ή και εγκαταλείφθηκε. Ο Ξενοφάνης ο Κολοφώνιος, παρά την ιωνική καταγωγή του και τη βαθιά γνώση των ιωνικών ιδεών, µετά τη µετανάστευσή του στη δυτική Ελλάδα ενδιαφέρθηκε µόνο περιστασιακά για την κοσµογονία και την κοσµολογία. Αλλά και ο Ηράκλειτος ο Εφέσιος ξεπέρασε τα όρια του υλιστικού µονισµού των πρώτων στοχαστών και, διατηρώντας την ιδέα µιας βασικής ουσίας, ασχολήθηκε ιδιαίτερα µε την εσωτερική ενότητα των πραγµάτων µια ενότητα που και αυτός δεχόταν αναντίρρητα στη δοµή ή στη διάταξή τους. Ο ιωνικός υλιστικός µονισµός όµως δεν εξαφανίστηκε εντελώς από τη φιλοσοφική και επιστηµονική σκέψη. Αργότερα ανέκτησε ένα µέρος από την παλαιά ισχύ του στα ύστερα υλιστικά συστήµατα που αναπτύχθηκαν µετά τον Παρµενίδη. Θαλής ο Μιλήσιος Συνήθως αυτός που αναφέρεται ως πρώτος µεταξύ των Μιλήσιων φιλοσόφων είναι ο Θαλής. Ό,τι γνωρίζουµε για τον άνθρωπο και το έργο του διατηρήθηκε αρχικά µε την προφορική παράδοση. Αποκλειστικά από αυτήν άντλησαν τα στοιχεία που παραθέτουν ο Ηρόδοτος, ο Πλάτων, ο Αριστοτέλης και άλλοι µεταγενέστεροι. Είναι πολύ πιθανό ότι ο ίδιος δεν έγραψε τίποτα, γιατί κανένα έργο του δεν ήταν γνωστό στην αρχαιότητα. Ο Θαλής ήταν κυρίως γνωστός για τις ικανότητές του ως πρακτικού αστρονόµου, γεωµέτρη

31 31 και γενικά σοφού. Λέγεται µάλιστα ότι κατάφερε να προβλέψει µια έκλειψη ηλίου το 585 π.χ. (βλ. το πλαίσιο που ακολουθεί). Κατά την παράδοση πίστευε ότι η γη είναι ένας επίπεδος δίσκος ο οποίος πλέει επάνω στο νερό θεωρούσε άλλωστε το ὕδωρ ως αρχή όλων των πραγµάτων. Κατανόησε τις κινήσεις των πραγµάτων (έµψυχων και άψυχων) ως ζωικές λειτουργίες, αποδίδοντας σε αυτά ψυχή (ζωή), και φαίνεται ότι ανέπτυξε κάποιες θεωρητικές απόψεις για την κίνηση. Στην πραγµατικότητα είναι αµφίβολο αν πράγµατι θεωρούσε το νερό ως την αρχή όλων των πραγµάτων όπως αναφέρει ο Αριστοτέλης, γιατί ο Πλάτων δεν τον συγκαταλέγει σε όσους πίστευαν σε αυτή τη άποψη. Παρά το ότι οι ιδέες του ήταν έντονα επηρεασµένες από µυθολογικά αρχέτυπα, φαίνεται ότι πράγµατι είναι ο πρώτος που εγκατέλειψε τις µυθολογικές διατυπώσεις, έστω και αν δεν διατύπωσε κάποια ολοκληρωµένη και γενική θεωρία. Στον Θαλή θα επανέλθουµε στην ενότητα 1.2, όπου θα εξετάσουµε το µαθηµατικό έργο που κατά την παράδοση του αποδίδεται. Η ολική έκλειψη ηλίου της 28 ης Μαΐου του 585 π.χ. Κατά τη διάρκεια µιας µάχης µεταξύ Μήδων και Λυδών (µε τους οποίους είχαν συµµαχήσει και οι Ίωνες) στον Άλυ ποταµό συνέβη µια ολική έκλειψη ηλίου. Η µέρα ξαφνικά έγινε νύκτα, οι στρατιώτες τρόµαξαν, εγκατέλειψαν τη µάχη και έτσι οι αντιµαχόµενες δυνάµεις συνήψαν ειρήνη. Ο Θαλής, σύµφωνα µε τον Ηρόδοτο, είχε προαναγγείλει στους Ίωνες ότι το γεγονός θα συνέβαινε ακριβώς εκείνο το έτος. Κατά τον ιογένη τον Λαέρτιο, για την πρόβλεψη αυτή είχε εκφράσει τον θαυµασµό του και ο Ξενοφάνης. Η νεότερη ιστορική έρευνα πάντως αµφισβητεί την αξιοπιστία των µαρτυριών αυτών. Ορισµένοι νεότεροι ερευνητές υποστηρίζουν ότι ο Θαλής δεν µπορεί να είχε την αστρονοµική επάρκεια που απαιτείται για µια τέτοια πρόγνωση, η οποία θα απαιτούσε όχι µόνον ακριβείς παρατηρήσεις, αλλά επίσης την έννοια της εκλειπτικής ως µαθηµατικής γραµµής από την οποία η φαινόµενη τροχιά της σελήνης παρεκκλίνει κατά πλάτος προς βορρά και νότο, ακόµη δε και την έννοια του γεωγραφικού πλάτους ώστε να είναι δυνατή η πρόβλεψη της ορατότητας µιας ολικής έκλειψης σε µια ορισµένη περιοχή. Άλλοι ιστορικοί πάντως θεωρούν ότι ο Θαλής θα µπορούσε να είχε γνωρίσει τις τεχνικές που χρησιµοποιούσαν οι Βαβυλώνιοι προκειµένου να προβλέπουν κατά προσέγγιση τον χρόνο µιας ορατής ηλιακής έκλειψης και να χρησιµοποίησε τις τεχνικές αυτές για να κάνει την πρόγνωσή του.

32 32 Αναξίµανδρος ο Μιλήσιος Ο Αναξίµανδρος (περ π.χ.) υπήρξε ο πρώτος φυσικός φιλόσοφος που µε βεβαιότητα γνωρίζουµε ότι έδωσε µια γενική ορθολογική περιγραφή του σύµπαντος, ένα καθολικό θεωρητικό σχήµα για τη δηµιουργία και την εξέλιξη του φυσικού κόσµου. Οι θεωρίες του κάλυψαν ένα σύνολο θεµάτων στην κοσµογονία (πώς δηµιουργήθηκε το σύµπαν), την κοσµολογία (ποια είναι η φύση του σύµπαντος), την αστρονοµία, τη µετεωρολογία, τη γεωγραφία, ακόµα και σε γνωστικές περιοχές που σήµερα αποτελούν αντικείµενο της βιολογίας και της ανθρωπολογίας. Επιπλέον, σύµφωνα µε τον ιογένη Λαέρτιο, ήταν ο πρώτος που χρησιµοποίησε τον γνώµονα για να προσδιορίζει τα ηλιοστάσια και τις ισηµερίες, ενώ κατασκεύασε και ωροδεικτικά όργανα. Επίσης, κατά την παράδοση, ήταν ο πρώτος που σχεδίασε το περίγραµµα της γης και της θάλασσας, και κατασκεύασε ένα µοντέλο της ουράνιας σφαίρας. Τις απόψεις του ο Αναξίµανδρος τις εξέθεσε σε ένα βιβλίο του µε τίτλο Περί φύσεως. Ο τίτλος του βιβλίου δεν ήταν πρωτότυπος, αφού βιβλία µε τον ίδιο τίτλο αποδίδονται από τον Θεόφραστο και από µεταγενέστερους σχολιαστές και δοξογράφους σε πολλούς άλλους Προσωκρατικούς φιλοσόφους. Το βιβλίο φυσικά δεν διασώζεται, ευτυχώς όµως ορισµένα αποσπάσµατα από αυτό παρατίθενται από τους µεταγενέστερους σχολιαστές Θεόφραστο ( π.χ.) και Σιµπλίκιο (πρώτο ήµισυ 6 ου µ.χ. αιώνα). Τα αποσπάσµατα αυτά αποτελούν τα πρώτα φιλοσοφικά-επιστηµονικά κείµενα που έχουν διασωθεί στην ιστορία της φιλοσοφίας και της επιστήµης. Μπορούµε από τα κείµενα αυτά να επιχειρήσουµε να ανασυγκροτήσουµε την κοσµολογία του Αναξίµανδρου, που βασίστηκε στην ιδέα ότι αρχή όλων όσων υπάρχουν, των πάντων, είναι το Ἄπειρον. Τι ήταν όµως το Άπειρο; Έχουν δοθεί πολλές ερµηνείες και θα αρκεστούµε να αναφέρουµε την επικρατέστερη: το Άπειρο ήταν το απεριόριστο, το χωρίς πέρατα, ένας χώρος χωρίς όρια που δεν µπορεί να διανυθεί απ άκρου σε άκρο (Burnet, Diels, Zeller κ.ά.). Το Άπειρο αυτό δεν πρέπει να κατανοείται όπως το σηµερινό µαθηµατικό άπειρο, γιατί είναι ταυτόχρονα χωρικά άπειρο, χρονικά άπειρο, και ποιοτικά απροσδιόριστο. Από το Άπειρο σχηµατίστηκαν δυνάµεις ικανές να γεννήσουν το θερµό και το ψυχρό, που µε τη σειρά τους κατανεµήθηκαν έτσι ώστε να αποτελέσουν τις διάφορες περιοχές του κόσµου. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την ιστορία της επιστήµης, σύµφωνα τουλάχιστον µε την άποψη ορισµένων ιστορικών, παρουσιάζει η θεωρία που διατύπωσε ο Αναξίµανδρος για

33 33 τη δοµή που έχει το σύµπαν. Αν και οι πηγές από τις οποίες αντλούµε τις πληροφορίες γι αυτή δεν είναι από τις πλέον αξιόπιστες (ανήκουν στην τρίτη κατηγορία, σύµφωνα µε την κατάταξη του Dicks που αναφέραµε στις Εισαγωγικές Παρατηρήσεις) νοµίζουµε ότι αξίζει να την αναφέρουµε γιατί ορισµένοι ιστορικοί βλέπουν σε αυτή την πρώτη απόπειρα να διατυπωθεί ένα «µηχανιστικό µοντέλο» για τη δοµή και τη λειτουργία του κόσµου. Σύµφωνα λοιπόν µε τη θεωρία του Αναξίµανδρου, τα ουράνια σώµατα είναι πύρινοι δακτύλιοι, οι οποίοι είναι αόρατοι από τη γη επειδή περιβάλλονται από οµίχλη. Στην οµίχλη όµως υπάρχουν µερικοί πόροι (οπές) από όπου διαφεύγει το φως και έτσι τα ουράνια σώµατα γίνονται ορατά. Ο Αναξίµανδρος υπέθετε ότι υπάρχουν τρεις τέτοιοι δακτύλιοι, ένας για τον ήλιο, ένας για τη σελήνη και ένας για όλους τους υπόλοιπους αστέρες, µε διαµέτρους αντίστοιχα 27, 18 και 9 φορές µεγαλύτερες της διαµέτρου της γης. Η ίδια η γη θεωρούσε ότι ήταν κυλινδρικού σχήµατος µε πλάτος τριπλάσιο του ύψους, τοποθετηµένη στο κέντρο του συστήµατος των τριών δακτυλίων. Η θεωρία αυτή αφ ενός προϋποθέτει ότι οι αστέρες βρίσκονται πλησιέστερα προς τη γη απ ότι ήλιος και η σελήνη και αφ ετέρου δεν κάνει διάκριση ανάµεσα στους απλανείς αστέρες και στους πλανήτες. Παρουσιάζει εν τούτοις ενδιαφέρον για την ιστορία της αστρονοµίας γιατί όπως αναφέραµε συνιστά, εφόσον οι µαρτυρίες από τις οποίες αντλούµε τις σχετικές πληροφορίες ανταποκρίνονται στην αλήθεια, την πρώτη απόπειρα να διατυπωθεί ένα «µηχανιστικό µοντέλο» για την εξήγηση της λειτουργίας του σύµπαντος. Πράγµατι, το «µοντέλο» του Αναξίµανδρου είχε τη δυνατότητα να δίνει «εξηγήσεις» µερικών φαινοµένων, όπως λ.χ. των εκλείψεων του ηλίου και της σελήνης, οι οποίες, σύµφωνα µε αυτό, συµβαίνουν όταν φράσσονται οι οπές των δακτυλίων δια των οποίων τα σώµατα αυτά είναι ορατά. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 ιαβάστε προσεκτικά την περιγραφή της δοµής που έχει το σύµπαν κατά τον Αναξίµανδρο. Μπορείτε να βρείτε κάποιον συγκεκριµένο αριθµό ο οποίος βρίσκεται πίσω από τους ποσοτικούς προσδιορισµούς που εµπεριέχει το «µοντέλο» που προτείνει; Τη δική µας απάντηση θα τη βρείτε στο Παράρτηµα, στο τέλος αυτής της ενότητας. Η ορθολογική σύλληψη της δηµιουργίας και λειτουργίας του κόσµου ως αυτόνοµου και αυτοδύναµου οργανισµού από τον Αναξίµανδρο αποτέλεσε ένα γιγάντιο βήµα στην ιστορία της «επιστηµονικής» σκέψης, γιατί για πρώτη φορά κατανοήθηκε ως λειτουργία

34 34 που βασίζεται στις σχέσεις αντίθετων κοσµολογικών φυσικών παραγόντων και όχι στις επεµβάσεις µια υπέρτατης θεϊκής δύναµης. Το κοσµικό σύστηµα του Αναξίµανδρου αποτέλεσε την πρώτη γνωστή συνολική ορθολογική ερµηνεία της γέννησης και λειτουργίας του υλικού σύµπαντος, στην οποία δεν υπήρχαν θεϊκές αυθαιρεσίες ή αναστολές της φυσικής τάξης λόγω θεϊκών δράσεων. Η κανονικότητα και η ισορροπία του κόσµου ερµηνεύτηκε µε βάση συγκεκριµένα φυσικά φαινόµενα. Όλη η µετέπειτα προσωκρατική σκέψη επηρεάστηκε ουσιαστικά από αυτή την πρώτη ορθολογική ερµηνεία της δηµιουργίας και λειτουργίας του κόσµου. Αναξιµένης ο Μιλήσιος Η παράδοση αναφέρει τον Αναξιµένη (περ ) ως µαθητή του Αναξίµανδρου. Ο Αναξιµένης θεωρούσε ότι το σύµπαν απαρτίζεται από µια λεπτή, κινητική, και άπειρη µάζα, τον ἀέρα, από την πύκνωση και την αραίωση του οποίου παράγονται όλες οι ουσίες και τα φαινόµενα που αντιλαµβανόµαστε στον φυσικό κόσµο. Ο αέρας δεν έχει τα προκοσµικά χαρακτηριστικά του Απείρου, αλλά είναι και αυτός µια άπειρη στον χώρο µάζα, ποιοτικά απροσδιόριστη. Ο Αναξιµένης φαίνεται ότι κατανόησε τον κόσµο ως έναν µεγάλο οργανισµό, που αναπνέει τον αέρα στον οποίο περιέχεται και από τον οποίο συγκρατείται. Στον κόσµο αυτό η γη είναι µια αβαθής σκάφη και οι αστέρες είναι επίπεδοι δίσκοι που αιωρούνται στον αέρα. Αποτελούνται από φωτιά αλλά περιέχουν έναν αθέατο πυρήνα στερεάς ύλης. Ο Αναξιµένης ήταν ίσως ο πρώτος που κατανόησε την ιδιαίτερη σηµασία της ύπαρξης του ήλιου και του έδωσε κυρίαρχη, ρυθµιστική θέση στη λειτουργία του κοσµικού συστήµατος. Απέδωσε σε αυτόν το φως της σελήνης καθώς και µετεωρολογικά και άλλα γήινα φαινόµενα. Η κυρίαρχη, αλλά µε ορθολογική ερµηνεία πια, θέση του ήλιου, τον οδήγησε στο συµπέρασµα ότι ο ήλιος βρίσκεται σε κάποια προνοµιακή θέση έναντι των άλλων ουρανίων σωµάτων. Ο Αναξίµανδρος και ο Αναξιµένης δεν παρέλειψαν να ενδιαφερθούν για το πρόβληµα της µεταβολής και της κίνησης, το οποίο αργότερα, τον 5 ο π.χ. αιώνα, έγινε το πρωτεύον φιλοσοφικό πρόβληµα. Για την πρώιµη φιλοσοφική σκέψη η µεταβολή και η κίνηση ήταν µια αυτονόητη πραγµατικότητα, ένα πρωταρχικό χαρακτηριστικό του φυσικού κόσµου ο οποίος γίνεται αντιληπτός στον άνθρωπο µε τις αισθήσεις. Από τις αρχές του 5 ου αιώνα

35 35 όµως εγέρθηκε το πρόβληµα της φύσης της µεταβολής και το συναφές µε αυτό ερώτηµα εάν η γνώση που αποκτούµε µε τις αισθήσεις είναι αληθινή και όχι απατηλή. Με τα θέµατα αυτά θα ασχοληθούµε στη συνέχεια, ιδίως όταν εξετάσουµε τον Παρµενίδη και την Ελεατική σχολή. Ηράκλειτος ο Εφέσιος Ο Ηράκλειτος (περ ) είναι στην ιστορία της προσωκρατικής φιλοσοφίας µια προσωπικότητα που καταπλήσσει µε το µέγεθος και τη δύναµη της σκέψης της. Γεννήθηκε και έδρασε στην Έφεσο την περίοδο της µεγάλης ακµής της, όταν είχε σχηµατισθεί µια ισχυρή και πλούσια τάξη εµπόρων µε µεγάλη πολιτική επιρροή. Η περίοδος αυτή χαρακτηρίστηκε από µεγάλες κοινωνικές αναστρωµατώσεις και αλλαγές. Ο ίδιος ήταν γόνος παλαιάς βασιλικής οικογένειας και φαίνεται ότι αντιµετώπισε πάντα µε δυσαρέσκεια και καχυποψία την άνοδο των δηµοκρατικών στην εξουσία. Παρά τις έντονες επιδράσεις που πρέπει να είχε τόσο από τον Αναξίµανδρο και τον Αναξιµένη όσο και από τους Πυθαγορείους (βλ. υποενότητα 1.1.2), η φιλοσοφική του σκέψη άνοιξε νέους δρόµους στον φιλοσοφικό στοχασµό. Τα αποσπάσµατα που έχουν διασωθεί από το έργο του δείχνουν όλη την ιδιοτυπία, την ερµητικότητα και τη δύναµη της γραφής του. Σε αντίθεση µε τους πρώτους Ίωνες φιλόσοφους που έγραφαν σε συνεχή πεζό λόγο ώστε να εκθέσουν αναλυτικά µια συστηµατική ερµηνεία του κόσµου, ο Ηράκλειτος χρησιµοποίησε γλώσσα αποφθεγµατική και συνθηµατική, χρησιµοποιώντας πολυσήµαντους όρους. Είναι φανερό ότι επιθυµούσε να παρουσιάζει τις απόψεις του ελλειπτικά, συµβολικά ή και υπαινικτικά. Γι αυτό τον λόγο θεωρήθηκε ως ένας δυσνόητος φιλόσοφος και επονοµάστηκε «Σκοτεινός». Είναι λοιπόν κατανοητό γιατί οι αναγνώσεις του έργου του καταλήγουν όχι µόνο σε διαφορετικές αλλά και σε αντιφατικές ερµηνείες. Όπως εξαιρετικά εύστοχα παρατήρησε ο Spengler «Η µεγάλη σκέψη του Ηράκλειτου µοιάζει µε την ψυχή του Άµλετ: ο καθένας την καταλαβαίνει, αλλά ο καθένας διαφορετικά» (Spengler, 1938, σ. 3). Εάν θα έπρεπε να παρουσιάσουµε συνοπτικά την τόσο ευρεία και πολυσήµαντη φιλοσοφική σκέψη του Ηράκλειτου, θα λέγαµε ότι αναπτύσσεται γύρω από τέσσερις κύριες θέσεις-απόψεις:

36 36 1. Ο κόσµος (νοούµενος ως σύνολο) βρίσκεται σε συνεχή κίνηση και αυτή η κίνηση αποτελεί το µόνο σταθερό χαρακτηριστικό του (θεωρία της καθολικής ροής). 2. Ο κόσµος δεν είναι κάποια θεϊκή στατική κατασκευή που απλώς εξελίσσεται αλλά αιώνια ζωντανή φλόγα που αναβοσβήνει συνεχώς, περιοδικά, µε ρυθµούς που έχουν µέτρο και αναλογίες. 3. Ο κόσµος βρίσκεται συνεχώς σε κατάσταση σύρραξης της οποίας «πατέρας» και «βασιλιάς» είναι ο πόλεµος. 4. Ο πόλεµος, πατέρας των πάντων, δεν διεξάγεται άναρχα. Οι αντίρροπες κινήσεις και οι µεταβολές των πραγµάτων διέπονται από νοµοτέλειες και κανονικότητες ώστε τελικά όλες οι αντιµαχόµενες δυνάµεις να απολήγουν σε αρµονία. Η κίνηση, που από τους προηγούµενους Ίωνες φιλοσόφους θεωρείτο ήδη ουσιαστικό συστατικό στοιχείο του κόσµου, από τον Ηράκλειτο αναδεικνύεται ως το µόνο σταθερό χαρακτηριστικό του κόσµου, ο µοναδικός τρόπος ύπαρξής του. Ο κόσµος κατά τον Ηράκλειτο είναι µια αδιάκοπη ροή, διατηρεί όµως ως ολότητα την ταυτότητά του γιατί η ροή αυτή δεν είναι ακατάσχετη, υπακούει σε µέτρα και αναλογίες και αυτό είναι ακριβώς που προσδίδει ταυτότητα στον κόσµο παρά τις µεταβολές και τους µετασχηµατισµούς των πραγµάτων. Ο κόσµος δεν είχε ποτέ αρχή και δεν θα έχει τέλος, υπήρχε πάντα και θα υπάρχει πάντα γιατί είναι αιώνια φωτιά (πῦρ ἀείζωον) που ανάβει και σβήνει ακολουθώντας κάποιους ρυθµούς. Η εξέλιξη της ζωής και του κόσµου πραγµατοποιείται µέσα από δύο αντίρροπες κινήσεις µετατροπής της φωτιάς. Η µία κίνηση είναι η κίνηση προς τα επάνω, Γη Θάλασσα Πυρ, και η άλλη η κίνηση προς τα κάτω, Πυρ Θάλασσα Γη. Επειδή όµως η πορεία του γίγνεσθαι είναι κυκλική, ο ανοδικός και ο καθοδικός δρόµος αποτελούν τελικά ένα. Το πυρ για τον Ηράκλειτο δεν είναι η αρχή, όπως είναι το Άπειρο ή ο αέρας στους προγενέστερους φυσικούς φιλόσοφους. Είναι ένα από τα θεµελιακά αντίθετα µαζί µε το νερό (θάλασσα) και τη γη, ταυτόχρονα όµως είναι η σταθερά του κόσµου. Το πυρ συνιστά την αιωνιότητα, το µέτρο και τον ρυθµό της µεταβολής.

37 37 Οι αστρονοµικές απόψεις του Ηράκλειτου δεν µας είναι γνωστές στις λεπτοµέρειες τους. εν φαίνεται άλλωστε ότι τον απασχόλησαν ιδιαίτερα τέτοια επιµέρους κοσµολογικά προβλήµατα. Από τις πληροφορίες που έχουν διασωθεί φαίνεται ότι θεωρούσε τα ουράνια σώµατα ως δοχεία που το κοίλο µέρος τους, το οποίο είναι στραµµένο προς τη γη, συγκεντρώνει λαµπερές αναθυµιάσεις που προέρχονται τελικά από τη θάλασσα. Τα σώµατα αυτά ήταν αιώνια. Και ο Ηράκλειτος, όπως και οι προηγούµενοι Ίωνες φιλόσοφοι, απέδιδε ένα κεντρικό ρόλο στον ήλιο γιατί πέραν όλων των άλλων διέκρινε στην τροχιά του και τα χαρακτηριστικά της σταθερής νοµοτέλειας του κοσµικού πυρός Η φιλοσοφική σκέψη στη Μεγάλη Ελλάδα: Παρµενίδης, Ζήνων, Μέλισσος, Πυθαγόρας και Πυθαγόρειοι Από τα στοιχεία που διαθέτουµε γνωρίζουµε ότι οι πρώτοι φιλόσοφοι που δίδαξαν στις ελληνικές πόλεις της νότιας Ιταλίας ήταν δύο Ίωνες, ο Ξενοφάνης και ο Πυθαγόρας. Όµως τα δύο µεγάλα φιλοσοφικά συστήµατα που αναπτύχθηκαν εκεί, ο Πυθαγορισµός και ο Ελεατισµός, είχαν από την αρχή πολύ διαφορετικό χαρακτήρα από τα φιλοσοφικά συστήµατα των Μιλήσιων. Οι Μιλήσιοι προσπάθησαν να δώσουν συνολικές και συνεπείς ερµηνείες του φυσικού κόσµου ερευνώντας τη φύση των πραγµάτων, δραστηριότητα που σήµερα ανήκει στις φυσικές επιστήµες. Τα κίνητρα των Πυθαγορείων ήταν µάλλον θρησκευτικά. Ο Πυθαγόρας υπήρξε το αρχέτυπο του φιλοσόφου, µε την έννοια του σοφού που διδάσκει το νόηµα της ζωής και του θανάτου. Οι Ελεάτες, εξάλλου, επιδόθηκαν στη συστηµατική κριτική της πίστης στην ύπαρξη του υλικού κόσµου. Ο Παρµενίδης διερεύνησε συστηµατικά το πρόβληµα της κίνησης και τι σηµαίνει να λέµε ότι κάτι υπάρχει ή κινείται. εν είναι εύκολο να απαντήσουµε στο πώς και γιατί δηµιουργήθηκαν αυτές οι διαφορές ανάµεσα στην ιωνική προσωκρατική φιλοσοφία και στη φιλοσοφία που αναπτύχθηκε στην Κάτω Ιταλία. Ως ένα τουλάχιστον βαθµό οφείλονται στις διαφορετικές κοινωνικές και πολιτικές συνθήκες. Αν θα θέλαµε πάντως να παρουσιάσουµε πολύ συνοπτικά τη σηµασία αυτών των διαφορών στην ιστορία της φιλοσοφίας και της επιστήµης θα λέγαµε ότι ενώ τα βασικά γνωρίσµατα που χαρακτηρίζουν τη σηµερινή µας αντίληψη για τις επιστήµες γεννήθηκαν

38 38 στην Ιωνία, τα βασικά γνωρίσµατα που χαρακτηρίζουν τη σηµερινή µας αντίληψη για τη φιλοσοφία γεννήθηκαν στην Κάτω Ιταλία. Παρµενίδης ο Ελεάτης Ο Παρµενίδης (περ ) γεννήθηκε και µεγάλωσε στην Ελέα, στη Μεγάλη Ελλάδα. ιατύπωσε τις σκέψεις του µε λόγο πολλές φορές αλληγορικό, σε ένα µεγάλο ποίηµα µε τον τίτλο Περί φύσεως, από το οποίο έχουν διασωθεί (κυρίως χάρις στον Σιµπλίκιο) εκτενή αποσπάσµατα, που µας επιτρέπουν να σχηµατίσουµε µια σχετικά καλή εικόνα των ιδεών του. Στο ποίηµα αυτό ο Παρµενίδης παρουσιάζεται ως έφηβος, η δίψα για γνώση του οποίου τον οδηγεί στην επικράτεια των θεών. Εκεί τον υποδέχεται µια θεά η οποία υπόσχεται ότι θα τον µυήσει στη γνώση και γι αυτό τον ξεναγεί τόσο στην «οδό της αλήθειας» όσο και στην «οδό των φαινοµένων». Ας δούµε πώς περιγράφει ο ιστορικός της επιστήµης D. Lindberg τον σκοπό που επιδιώκει µε το ποίηµα αυτό ο Παρµενίδης: «Σε αυτό το ποίηµα, ο Παρµενίδης υιοθέτησε τη ριζοσπαστική θέση ότι η µεταβολή - κάθε µορφή µεταβολής - είναι λογικά αδύνατη. Ο Παρµενίδης ξεκίνησε αρνούµενος, στη βάση διαφόρων λογικών προκειµένων, τη δυνατότητα ενός πράγµατος να µεταβεί από το µη-είναι στο είναι: για παράδειγµα, αν κάτι τέτοιο επρόκειτο να συµβεί, γιατί να συµβεί µια δεδοµένη στιγµή και όχι κάποια άλλη, και µε τη βοήθεια ποιών µέσων; Το συµπέρασµά του είναι ότι από το τίποτε µόνο το τίποτε µπορεί να προέλθει. Γιατί ποτέ δεν θα αποδειχθεί, γράφει, ότι τα µη όντα είναι. Ο Παρµενίδης προχώρησε, µε ανάλογες προκείµενες, στην άρνηση κάθε άλλης µορφής µεταβολής. Αρνήθηκε, επίσης, την ύπαρξη του χρόνου και της πολλαπλότητας το ον είναι ένα και παρόν.» (Lindberg, 1997, σ. 46) Η άρνηση της µεταβολής από τον Παρµενίδη µπορεί να φαίνεται στον σύγχρονο αναγνώστη παράξενη. Όπως σηµειώνει και πάλι ο Lindberg, ο Παρµενίδης θα µπορούσε να ανοίξει τα µάτια του και να παρατηρήσει όλων των ειδών τις µεταβολές γύρω του (Lindberg, 1997, σ. 46). Το θέµα όµως, όπως καταλαβαίνει ο καθένας, δεν βρίσκεται εκεί. Το θέµα βρίσκεται στο πόση αξιοπιστία πρέπει να αποδίδει κανείς στα δεδοµένα της εµπειρίας, ιδιαίτερα µάλιστα στις περιπτώσεις εκείνες που τα δεδοµένα αυτά δεν συµφωνούν µε τα συµπεράσµατα που προκύπτουν από την προσεκτική επιχειρηµατολογία µε βάση τους κανόνες της λογικής. Το ερώτηµα λοιπόν που εγείρεται είναι τι πρέπει να εµπιστεύεται κανείς: τα δεδοµένα της εµπειρίας ή τα συµπεράσµατα

39 39 που συνάγονται µε βάση τη λογική; Αυτό είναι ουσιαστικά το κρίσιµο ερώτηµα το οποίο θέτει ο Παρµενίδης (και γενικότερα η Ελεατική σχολή) και η απάντησή του είναι απολύτως σαφής: κατ αυτόν η λογική πρέπει να υπερισχύει της πρακτικο-εµπειρικής γνώσης. Ο άνθρωπος, κατά τον Παρµενίδη, δεν µπορεί να συλλάβει την αλήθεια µε τις απατηλές αντιλήψεις που δίνουν οι αισθήσεις αλλά µόνο µε τη διάνοια (µε τον λόγο). Κύριο χαρακτηριστικό του τρόπου συλλογισµού του Παρµενίδη και των µαθητών του (ιδίως του Ζήνωνος µε τον οποίο θα ασχοληθούµε στη συνέχεια) ήταν η έµµεση αποδεικτική διαδικασία. Γιατί όλες οι προτάσεις της διδασκαλίας των Ελεατών ότι δηλαδή δεν υπάρχει κίνηση, µεταβολή, γίγνεσθαι, φθορά, χώρος, χρόνος κ.λπ. µόνο εµµέσως µπορούν να αποδειχθούν. «Ολόκληρη η Ελεατική διαλεκτική», σηµειώνει ο ιστορικός των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών Arpád Szabó, «δεν είναι τίποτε άλλο ειµή η τεχνική εφαρµογή της έµµεσης αποδεικτικής διαδικασίας» (Szabó, 1973, σ ). Αυτός είναι και ο λόγος που ο Αριστοτέλης θεωρεί τον Ζήνωνα, τον µαθητή του Παρµενίδη, ως τον δηµιουργό της ιαλεκτικής. Πάντως, όπως σηµειώνει ο Szabó, η έµµεση απόδειξη ανιχνεύεται και στο έργο του ίδιου του Παρµενίδη, ο τρόπος του σκέπτεσθαι του οποίου δεν παρουσιάζει καµία διαφορά ως προς το σηµείο αυτό από τον τρόπο του σκέπτεσθαι του Ζήνωνος. Στις ενότητες 1.2 και 1.5 θα επανέλθουµε στο θέµα της έµµεσης απόδειξης για να εξετάσουµε δύο παραδείγµατα εφαρµογής της από τους µαθηµατικούς αυτή τη φορά, την ίδια περίπου εποχή ή λίγο αργότερα από τον Παρµενίδη και τον Ζήνωνα. Το ερώτηµα εάν η έµµεση απόδειξη εµφανίστηκε για πρώτη φορά στη φιλοσοφία ή στα µαθηµατικά είναι ένα ενδιαφέρον ερώτηµα, το οποίο έχει απασχολήσει στο παρελθόν και εξακολουθεί να απασχολεί τους ιστορικούς, χωρίς όπως φαίνεται να µπορεί να λάβει τελεσίδικη απάντηση. Το έργο του Παρµενίδη έµελλε να επηρεάσει έντονα τα κοσµολογικά συστήµατα που δηµιουργήθηκαν µετά από αυτό, καθώς απηύθυνε µια πρόκληση στην οποία οι επόµενες γενιές των φιλοσόφων αισθάνονταν υποχρεωµένες να απαντήσουν. Έτσι, όπως θα δούµε στις ενότητες που ακολουθούν, ο Εµπεδοκλής ο Ακραγαντίνος και ο Αναξαγόρας ο Κλαζοµένιος αποδέχθηκαν την άποψη του Παρµενίδη ότι τίποτα δεν µπορεί να προέλθει από το τίποτα, ενώ και για τους ατοµικούς φιλοσόφους Λεύκιππο και ηµόκριτο τα

40 40 άτοµα είναι απολύτως αµετάβλητα και δεν υπόκεινται σε καµία γένεση, αλλοίωση ή φθορά. Ζήνων ο Ελεάτης Ο Ζήνων (περ ) υπήρξε µαθητής του Παρµενίδη και όπως και εκείνος ήταν πλήρως εξοικειωµένος µε την πυθαγόρεια µαθηµατική φιλοσοφία. Ενδέχεται µάλιστα να ήταν επηρεασµένος αρχικά από πυθαγόρειες αντιλήψεις, αργότερα όµως έγινε σφοδρός πολέµιός τους. Από το έργο του έχουν διασωθεί ελάχιστα αποσπάσµατα, χάρις όµως στον Αριστοτέλη και στον Σιµπλίκιο γνωρίζουµε µερικά από τα περίφηµα «παράδοξα» που διατύπωσε, όπως πιστεύεται, προκειµένου να στηρίξει το µονιστικό φιλοσοφικό σύστηµα του Παρµενίδη και να καταδείξει τον αντιφατικό χαρακτήρα των αντίπαλων προς αυτό πλουραλιστικών συστηµάτων. Η επίθεση του Ζήνωνος εναντίον των πλουραλιστικών συστηµάτων ήταν διττή. Το ένα σκέλος της το αποτελούσαν τα επιχειρήµατα (παράδοξα) εναντίον της ύπαρξης των πολλών και το άλλο σκέλος τα επιχειρήµατα (παράδοξα) εναντίον της κίνησης, η οποία είναι αναγκαία συνέπεια της αποδοχής της ύπαρξης των πολλών. Για να είµαστε πιο συγκεκριµένοι, αυτή η δεύτερη κατηγορία των παραδόξων επιχειρεί να καταδείξει τα λογικά προβλήµατα που εµπεριέχει η έννοια της κίνησης, στον βαθµό που εµπλέκονται στην όλη προβληµατική οι έννοιες του χώρου και του χρόνου εντός των οποίων λαµβάνει χώρα η κίνηση. Τα παράδοξα εναντίον της κίνησης που διατύπωσε ο Ζήνων είναι τέσσερα, και είναι γνωστά µε τα ονόµατα «ο Αχιλλέας και η χελώνα», «η διχοτοµία», «το βέλος» και «το στάδιο». Στα δύο πρώτα προσπαθεί να καταδείξει το αδύνατο και το αντιφατικό της κίνησης στην περίπτωση που ο χώρος και ο χρόνος υποτεθούν ως συνεχή και απείρως διαιρετά µεγέθη. Στα δύο τελευταία προσπαθεί να καταδείξει το αντιφατικό της κίνησης στην αντίθετη περίπτωση, εάν δηλαδή ο χώρος και ο χρόνος υποτεθούν ότι σύγκεινται από έσχατες αδιαίρετες ψηφίδες (περατοκρατική υπόθεση). Το παράδοξο «του Αχιλλέα και της χελώνας» έχει ως εξής: ο ταχύς Αχιλλέας και η προπορευόµενη βραδυκίνητη χελώνα αρχίζουν να κινούνται επάνω στην ίδια γραµµή και προς την ίδια κατεύθυνση. Όµως ο Αχιλλέας δεν θα καταφέρει ποτέ να προσπεράσει τη χελώνα γιατί προτού την προσπεράσει πρέπει να φθάσει στο σηµείο όπου βρισκόταν η χελώνα στην αρχή της κίνησης. Όταν όµως φθάσει στο σηµείο αυτό η χελώνα θα έχει

41 41 προχωρήσει κατά τι και εποµένως θα εξακολουθεί να προπορεύεται. Όταν ο Αχιλλέας καλύψει εκ νέου την απόσταση που τον χωρίζει από τη χελώνα εκείνη και πάλι θα έχει προχωρήσει και συνεπώς θα εξακολουθεί και πάλι να προπορεύεται. Με άλλα λόγια, κάθε φορά που ο Αχιλλέας θα καλύπτει την απόσταση που τον χωρίζει από τη χελώνα εκείνη θα αποµακρύνεται εκ νέου. Η διαφορά που θα τη χωρίζει από τον Αχιλλέα, παρ όλο ότι θα γίνεται όλο και µικρότερη, ποτέ δεν θα µηδενιστεί τελείως. Παρόµοιο είναι το παράδοξο «της διχοτοµίας»: ας φαντασθούµε έναν δροµέα ο οποίος πρέπει να διατρέξει µια διαδροµή ΑΒ κινούµενος σε ευθεία γραµµή από το Α προς το Β. Για να διανύσει τη διαδροµή (για να φθάσει δηλαδή στο τέλος Β), πρέπει προηγουµένως να περάσει από το µέσον Β 1 αυτής (πρέπει δηλαδή να διανύσει την απόσταση ΑΒ 1 ). Για να φθάσει όµως στο Β 1 πρέπει προηγουµένως να περάσει από το µέσον Β 2 του ΑΒ 1, και το ίδιο θα επαναλαµβάνεται συνεχώς. Προκύπτει λοιπόν το παράδοξο συµπέρασµα ότι ο δροµέας όχι µόνο δεν θα φθάσει ποτέ στο τέλος Β της διαδροµής αλλά τελικά δεν θα µπορεί, παρ όλες τις προσπάθειές του, ούτε καν να εγκαταλείψει την αφετηρία. Το λογικό πρόβληµα αναφορικά µε την κίνηση που εγείρεται κατά τον Ζήνωνα από τα δύο παράδοξα που περιγράψαµε θα µπορούσε να περιγραφεί ως εξής: στο πρώτο παράδοξο («ο Αχιλλέας και η χελώνα»), σε ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα πρέπει να διανυθεί µια άπειρη ακολουθία διαστηµάτων του χώρου, ενώ στο δεύτερο παράδοξο («διχοτοµία») για να διανυθεί ένα πεπερασµένο διάστηµα του χώρου πρέπει να παρέλθει µια άπειρη ακολουθία διαστηµάτων του χρόνου. Η κίνηση λοιπόν, εάν υποτεθεί ότι λαµβάνει χώρα σε χώρο και σε χρόνο, οι οποίοι νοούνται ως συνεχή µεγέθη, συνεπάγεται λογικές δυσχέρειες που την κάνουν προβληµατική στη σύλληψή της, και αυτό παρά το γεγονός ότι είναι ένα φαινόµενο που το παρατηρούµε καθηµερινά στον εµπειρικό κόσµο. Στα δύο τελευταία παράδοξα ο Ζήνων εξετάζει τι θα συµβεί εάν υποθέσουµε ότι η κίνηση λαµβάνει χώρα σε χώρο και σε χρόνο οι οποίοι νοούνται ότι σύγκεινται από έσχατες αδιαίρετες ψηφίδες (δηλαδή από σηµεία του χώρου και από χρονικές στιγµές). Ας πάρουµε το παράδειγµα «του ιπτάµενου βέλους». Σύµφωνα µε αυτό ένα κινούµενο βέλος σε κάθε χρονική στιγµή, σε κάθε «τώρα», καταλαµβάνει µια θέση ίση µε το µέγεθός του και εποµένως σε αυτή τη χρονική στιγµή, µη αλλάζοντας θέση, θα είναι ακίνητο. Εάν λοιπόν ο χρόνος αποτελείται από διαδοχικές χρονικές στιγµές, από διαδοχικά «τώρα», το βέλος θα βρίσκεται συνεχώς (δηλαδή σε κάθε διαδοχικό «τώρα») σε κατάσταση ακινησίας. Συναφές, ως προς την ουσία του, είναι και το τελευταίο παράδοξο «του σταδίου», στο οποίο δεν θα υπεισέλθουµε.

42 42 Οι διαφορετικές απόψεις σε ό,τι αφορά την ερµηνεία των παραδόξων του Ζήνωνος κάθε άλλο παρά ήσαν σπάνιο φαινόµενο στη διάρκεια της ιστορίας. Οι ιδέες που περιέχονται στις διατυπώσεις του Ζήνωνος και οι προσπάθειες του Αριστοτέλη και των σχολιαστών του να τις ανασκευάσουν έπαιξαν έναν εξαιρετικά γόνιµο ρόλο στο να παρακινούν συνεχώς τους µαθηµατικούς, ιδίως στους νεότερους χρόνους, να είναι προσεκτικοί µε τον τρόπο που χρησιµοποιούν στους συλλογισµούς και στις υποθέσεις τους τις έννοιες του απείρως µεγάλου και του απείρως µικρού. Αλλά σε ό,τι αφορά στην αρχαιότητα, ο ρόλος που έπαιξαν τα παράδοξα του Ζήνωνος δεν είναι απολύτως ξεκάθαρος και σαφής. Υπάρχουν ειδικοί στην ιστορία των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών, οι οποίοι πιστεύουν ότι ο ρόλος τους αυτός ήταν από ασήµαντος έως ανύπαρκτος. Από άλλους ιστορικούς ωστόσο έχει διατυπωθεί η άποψη ότι τα παράδοξα αποτέλεσαν έναν ουσιαστικό παράγοντα ο οποίος συνέβαλε στο να γίνει κατανοητή η διάκριση ανάµεσα στα συνεχή µεγέθη (όπως είναι οι γραµµές ή τα χωρία στη γεωµετρία) και στους διακριτούς αριθµούς (όπως είναι για παράδειγµα οι φυσικοί αριθµοί), διάκριση η οποία εµφανίζεται µε σαφήνεια τον επόµενο αιώνα στο έργο του Αριστοτέλη και κυρίως στον Ευκλείδη. Μέλισσος ο Σάµιος Ο Μέλισσος ο Σάµιος (ήκµασε γύρω στο 440 π.χ.) υπήρξε επίσης µαθητής του Παρµενίδη. Υπήρξε όπως ο Παρµενίδης και ο Ζήνων πολιτικός άνδρας και µάλιστα διετέλεσε στρατηγός των Σαµίων, τους οποίους οδήγησε σε νικηφόρα ναυµαχία εναντίον των Αθηναίων το 441 π.χ. Και ο Μέλισσος, πιστός στην ελεατική παράδοση, άσκησε αξιοσηµείωτη κριτική τόσο στις ιδέες της µεταβολής και της κίνησης, της χρονικότητας και του πεπερασµένου, αλλά και στην ιδέα της πολλαπλότητας. Πυθαγόρας και Πυθαγόρειοι Ο Πυθαγόρας (περ ) γεννήθηκε στη Σάµο αλλά έζησε και έδρασε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Είναι εξαιρετικά δύσκολο να ανασυγκροτήσουµε µε ακρίβεια το έργο και τη σκέψη του µέσα από το πλήθος των διαφόρων µαρτυριών που µας έχει µεταφέρει η παράδοση. Όπως αναφέρει ο Πορφύριος στον Πυθαγορικό βίο, «κανένας δεν µπορεί να αποφανθεί µε βεβαιότητα τι έλεγε στους µαθητές του γιατί η

43 43 σιωπή που τηρούσαν ήταν ασυνήθιστα αυστηρή. Μερικά από αυτά έγιναν πολύ γνωστά: πρώτον έλεγε ότι η ψυχή είναι αθάνατη, έπειτα, ότι µεταµορφώνεται σε άλλα είδη ζώων, επίσης ότι όλα όσα συµβαίνουν επαναλαµβάνονται περιοδικά και ότι τίποτα δεν είναι εντελώς καινούριο και, τέλος, ότι όλα τα έµψυχα πλάσµατα πρέπει να θεωρούνται συγγενικά». Φαίνεται ότι το απόσπασµα αυτό συνοψίζει µια σχετικά ορθή εικόνα για τη διδασκαλία του Πυθαγόρα, αφήνοντας βέβαια απέξω δύο ουσιαστικά σηµεία της πυθαγόρειας διδασκαλίας που µας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα στο πλαίσιο µιας ιστορίας της επιστήµης. Τα σχετικά µε τον αριθµό και την αρµονία. Ο Πυθαγόρας γνωρίζουµε ότι υπήρξε όχι µόνο φιλόσοφος αλλά επίσης θρησκευτικός και πολιτικός ηγέτης. Η θρησκευτική αδελφότητα που ίδρυσε στον Κρότωνα άσκησε µεγάλη επίδραση τόσο στην πολιτική όσο και στη θρησκευτική ζωή. Ο κανόνας της µυστικότητας, που τα πρώτα τουλάχιστον χρόνια τηρήθηκε αυστηρά, εξηγεί γιατί δεν υπάρχουν πυθαγορικά συγγράµµατα πριν από το τέλος του 5 ου π.χ. αιώνα. Ο σεβασµός στον άσκαλο, η απόλυτη ισοτιµία των µελών καθώς και η πρακτική της συλλογικής έρευνας είναι οι κύριοι λόγοι που µια σειρά ανακαλύψεις που έγιναν από Πυθαγόρειους της πρώιµης εποχής αποδόθηκαν στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Ποια ήταν τα κύρια θέµατα που απασχόλησαν τον Πυθαγόρα και τους πρώτους µαθητές του; Μπορούµε να πούµε ότι αυτά ήταν: η ψυχή, οι έννοιες του πέρατος και του απείρου, η φύση του αριθµού, η κοσµογονία (νοούµενη ως αριθµογονία), η έννοια και η κοσµική λειτουργία της αρµονίας. Έχει σηµασία να κατανοήσουµε ότι η πυθαγόρεια αντίληψη των αριθµών συνδεόταν άρρηκτα µε τη γεωµετρική παράστασή τους, που ήταν κάποιο γεωµετρικό σχήµα που σχηµάτιζαν µε ψήφους ή στιγµές (περισσότερα για το θέµα αυτό µπορείτε να διαβάσετε στην ενότητα 1.2). Ο αριθµός για τους Πυθαγορείους είχε ταυτόχρονα αριθµητική και γεωµετρική φύση. Τον αριθµό 10, που είχε ιδιαίτερη σηµασία ως το άθροισµα των αριθµών 1, 2, 3 και 4, των τεσσάρων αρχικών όρων δηλαδή της αριθµητικής ακολουθίας (τετρακτύς της δεκάδος), τον παρίσταναν µε ψήφους διατεταγµένους έτσι ώστε να σχηµατίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα:

44 44!!!!!!!!!! Αυτή η µέθοδος της γεωµετρικής απεικόνισης έδινε τη δυνατότητα να συσχετίζονται συνεχώς οι αριθµοί µεταξύ τους και να ανακαλύπτονται νέες αριθµητικές σχέσεις δια µέσου της γεωµετρίας ή γεωµετρικές σχέσεις δια µέσου της αριθµητικής. Το γεγονός ότι ο αριθµός είχε στους Πυθαγόρειους και γεωµετρική αναπαράσταση συνεπαγόταν τη σύνδεση του αριθµού µε την έννοια του χώρου. Η µονάδα ήταν γι αυτούς επίσης και γεωµετρικό σηµείο, και το αντίστροφο. Αφού οι µονάδες και τα σηµεία δεν υπόκεινται σε διαίρεση θεωρήθηκαν ως τα έσχατα στοιχειακά υλικά των πραγµάτων. Όταν οι Πυθαγόρειοι αναφέρονταν στους αριθµούς ως συστατικά στοιχεία του κόσµου, εννοούσαν ίσως ότι τα επί µέρους πράγµατα δεν είναι παρά συνδυασµοί και συνθέσεις µονάδων-σηµείων (ατόµων, θα πουν αργότερα οι ατοµικοί φιλόσοφοι). Οι αριθµοί δεν ήταν όµως ισότιµοι στην πυθαγόρεια αντίληψη. Υπήρχαν αριθµοί µε ιδιάζουσες σηµασίες. Έτσι, η µονάδα δεν ήταν αριθµός αλλά η αρχή της αρίθµησης και ταυτόχρονα γεννήτορας των αριθµών, άρα, σύµφωνα µε την Πυθαγόρεια αντίληψη, και µια κοσµογονική αρχή. Η δηµιουργία του 2 µε την επανάληψη της µονάδας δεν σήµαινε απλά τη δηµιουργία ενός ακόµα αριθµού αλλά και τη δηµιουργία της ευθείας γραµµής, η δηµιουργία του 3 τη δηµιουργία του τριγώνου, του 4 τη δηµιουργία του τετραέδρου κ.λπ. Η ευθεία, το τρίγωνο, το τετράεδρο, δεν ήταν αφηρηµένες γεωµετρικές κατασκευές, αλλά φυσικές οντότητες. Εποµένως η επανάληψη της µονάδας δηµιουργούσε όχι µόνο τους τρεις επόµενους αριθµούς αλλά και τις τρεις διαστάσεις του χώρου. Η επιστηµονική έρευνα των Πυθαγορείων αναπτύχθηκε ταυτόχρονα στα µαθηµατικά και στη µουσική. Σκοπός ήταν να αποδειχθεί ότι ο κόσµος είναι αρµονία των αριθµών και, µαζί, µουσική αρµονία. εν είναι δυνατόν να ανασυγκροτήσουµε µε ακρίβεια τις πυθαγόρειες αντιλήψεις για τον ρόλο των µαθηµατικών και της µουσικής στην ερµηνεία της δοµής του σύµπαντος και να κατανοήσουµε την περίφηµη ιδέα της «αρµονίας των σφαιρών» που αποδίδεται σε αυτούς. Θα πρέπει να ήταν µια κοσµολογική θεωρία που «αναγνώριζε» στα µέρη και τη διάταξη του σύµπαντος ιδιότητες των αριθµών και της µουσικής κλίµακας.

45 45 Θα ολοκληρώσουµε την αναφορά µας στους Πυθαγορείους µε την παρουσίαση µιας ιδιαίτερα ενδιαφέρουσας κοσµολογικής θεωρίας που διατυπώθηκε από στοχαστές αυτής της Σχολής. Ο Αέτιος, µάλιστα, ένας συγγραφέας του 1 ου ή του 2 ου µ.χ. αιώνα, την αποδίδει προσωπικά στον Φιλόλαο, έναν Πυθαγόρειο που έζησε στον Κρότωνα το δεύτερο µισό του 5 ου π.χ. αιώνα. Η εν λόγω θεωρία συνοψίζεται στα εξής σηµεία: Την κεντρική θέση στον κόσµο δεν κατέχει η γη, αλλά το κεντρικό πυρ (ἑστία). Γύρω από την εστία περιφέρονται, διαγράφοντας κυκλικές τροχιές, η γη και οι υπόλοιποι αστέρες, τόσο οι πλανήτες όσο και οι απλανείς, οι οποίοι είναι σφαιρικού σχήµατος. Αξιοσηµείωτο είναι ότι στα ουράνια σώµατα περιλαµβάνεται και µια αντι-γη (ἀντίχθων) η οποία περιφερόταν επίσης κυκλικά γύρω από το κεντρικό πυρ, πλησιέστερα σε αυτό απ ότι η γη, αλλά δεν είναι ορατή γιατί εµείς ζούµε στο ηµισφαίριο που βλέπει αντίθετα από την κατεύθυνση της αντίχθονος. (Αυτό σηµαίνει ότι η περίοδος περιφοράς της γης γύρω από το κεντρικό πυρ είναι ίση µε την περίοδο περιστροφής της γύρω από τον άξονά της.) Σύµφωνα λοιπόν µε τη θεωρία του Φιλόλαου στο κέντρο του κόσµου βρισκόταν το κεντρικό πυρ, µετά ακολουθούσε η αντίχθων, κατόπιν η γη, µετά η σελήνη, στη συνέχεια οι πέντε πλανήτες (Ερµής, Αφροδίτη, Άρης, ίας, Κρόνος) και τέλος η εξωτερική σφαίρα του σύµπαντος η οποία έφερε τους απλανείς. Στο σχήµα 2 που ακολουθεί µπορείτε να δείτε µια αναπαράσταση του κοσµολογικού µοντέλου του Φιλόλαου. (Το γράµµα Π δηλώνει το κεντρικό πυρ, το Α την αντίχθονα, το Γ τη γη, το Σ τη σελήνη και το Η τον ήλιο.) Σχήµα 2

46 46 Από τα προηγούµενα γίνεται αντιληπτό ότι το σύστηµα του κόσµου σύµφωνα µε τη θεωρία των Πυθαγορείων του τέλους του 5 ου π.χ. αιώνα δεν είναι ούτε γεωκεντρικό ούτε ηλιοκεντρικό. Η γη αποτελούσε απλώς ένα ακόµη ουράνιο σώµα, σαν όλα τα άλλα, που περιφερόταν γύρω από την εστία, η οποία ήταν το κέντρο του σύµπαντος. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Τώρα που έχετε διαβάσει τα δύο κοσµολογικά συστήµατα, του Αναξίµανδρου και του Φιλόλαου, προσπαθήστε να εντοπίσετε τις µεταξύ τους διαφορές. Ποια είναι τα συµπεράσµατά σας ως προς τις εξελίξεις που έλαβαν χώρα στην κοσµολογική σκέψη στο διάστηµα του ενάµισι αιώνα που χωρίζει τους δύο στοχαστές. Τη δική µας απάντηση θα τη βρείτε στο Παράρτηµα, στο τέλος της ενότητας Τα ύστερα υλιστικά συστήµατα: Αναξαγόρας και Εµπεδοκλής Αναξαγόρας ο Κλαζοµένιος Ο Αναξαγόρας (περ ) γεννήθηκε στις Κλαζοµενές, πόλη της Λυδίας περίφηµη για την καλλιτεχνική της παραγωγή. Ανδρώθηκε στο κλίµα της ιωνικής φιλοσοφικής παράδοσης και φαίνεται ότι είχε τη δυνατότητα να γνωρίσει τόσο τα κοσµολογικά συστήµατα των Μιλήσιων όσο και τα φιλοσοφικά ρεύµατα της Μεγάλης Ελλάδας. Σε ηλικία είκοσι ετών ταξίδευσε στην Αθήνα όπου παρέµεινε για τριάντα περίπου χρόνια. Η παρουσία του εκεί, όπου έδρασε και ως πολιτική προσωπικότητα (υπήρξε φίλος του Περικλή), έπαιξε ιδιαίτερο ρόλο στην εξέλιξη της φιλοσοφικής σκέψης, καθώς σε αυτόν «ανήκει η τιµή ότι µεταφύτεψε τη Φιλοσοφία από την Ιωνία στην Αττική» (Ρούσσος, 1999, σ. 168). Όπως όλους τους προηγούµενους στοχαστές έτσι και τον Αναξαγόρα τον απασχόλησε το παλαιό ερώτηµα για τα έσχατα υλικά που αποτελούν τα πράγµατα και συγκροτούν την υποδοµή του ορατού κόσµου. Η απάντησή του στο ερώτηµα αυτό είναι επηρεασµένη από τη διδασκαλία του Αναξίµανδρου, ο οποίος όπως έχουµε αναφέρει είχε θέσει ως κοσµολογική αρχή το Άπειρο, και συνίσταται στα εξής: ο Αναξαγόρας αρνήθηκε ότι υπάρχουν στοιχεία απλούστερα και πρότερα από τις ουσίες που υπάρχουν στον φυσικό κόσµο (θέση που υποστήριζε, όπως θα αναφέρουµε στη συνέχεια, ο σύγχρονός του

47 47 Εµπεδοκλής) και υποστήριξε ότι κάθε φυσική ουσία πρέπει να είναι η ίδια στοιχειώδης, αφού τίποτα δεν µπορεί να προέλθει από κάτι που δεν είναι το ίδιο. εχόταν ότι η ύλη είναι άπειρα διαιρετή, για να αποφύγει όµως την κριτική του Ζήνωνος κατά της ύπαρξης των πολλών, υποστήριζε ότι σε κάθε φυσικό σώµα υπάρχουν µόρια κάθε είδους, τα οποία µε τη σειρά τους επιδέχονται περαιτέρω διαίρεσης, και ότι «κάθε σώµα χαρακτηρίζεται µόνο από την επικρατούσα µέσα σ αυτό οµάδα από οµοειδή µόρια». (Ρούσσος, 1999, σ. 170) Όµως ένας στοχαστής στα µέσα του 5 ου π.χ. αιώνα δεν είχε να αντιµετωπίσει µόνο το ερώτηµα για τη σύσταση της ύλης. Όφειλε να εξηγήσει επίσης την κίνηση και την αλλαγή οι οποίες, ύστερα από την κριτική του Παρµενίδη και της Ελεατικής σχολής, δεν µπορούσαν πια να θεωρούνται κάτι το δεδοµένο και αυτονόητο. Στο πρόβληµα αυτό είχε απαντήσει, όπως θα δούµε στη συνέχεια, ο Εµπεδοκλής, υποστηρίζοντας ότι η κίνηση επιβάλλεται από έξω στα πράγµατα µε δύο δυνάµεις, τη Φιλότητα (που τα ενώνει) και το Νεῖκος (φιλονικία, που τα χωρίζει). Η απάντηση του Αναξαγόρα ήταν ότι το αίτιο της κίνησης είναι ο Νοῦς, κάτι «άπειρο και αυτοδύναµο», εντελώς ξεχωριστό από τα πράγµατα. Πιο συγκεκριµένα, από τον Νου προέρχεται η περιστροφική κίνηση του κόσµου, η οποία έθεσε σε ενέργεια τη διαδικασία διαχωρισµού που είχε ως αποτέλεσµα την παραγωγή όλων των πραγµάτων του αισθητού κόσµου. Από τη στιγµή δε που άρχισε η περιστροφή, εξακολουθεί αυθόρµητα, χωρίς να χρειάζεται περαιτέρω ώθηση από τον Νου, και συνεχίζεται η διαδικασία διαχωρισµού. (Dicks, 1991, σ ) Προβάλλει έτσι ο Αναξαγόρας ένα αίτιο για την κίνηση και εισάγει τη διάκριση µεταξύ αιτίου (Νους) και αποτελέσµατος (κινούµενος κόσµος). Γι αυτόν άλλωστε τον αποχωρισµό της κινητικής αιτίας από το κινούµενο ο Αριστοτέλης (που συχνά επικρίνει τον Αναξαγόρα) τον επαινεί και τον ξεχωρίζει από όλους τους προηγούµενους φιλοσόφους. Ο Νους κατά τον Αναξαγόρα δεν είναι µόνο το αίτιο της κίνησης είναι ταυτόχρονα η διάνοια που κυβερνά το σύµπαν, που γνωρίζει τα πάντα και έχει θέσει σε τάξη τα πάντα. Ο Αναξαγόρας ασχολήθηκε µε ποικίλα αστρονοµικά και µετεωρολογικά προβλήµατα και πρότεινε εξαιρετικά ορθολογικές ερµηνείες. Ενδεικτικά αναφέρουµε τα εξής: Θεωρούσε τον ήλιο, τη σελήνη και τα άλλα άστρα πυρακτωµένους λίθους, οι οποίοι έχουν αποσπαστεί από τη γη και περιφέρονται γύρω από αυτή παρασυρµένοι από την

48 48 περιδίνηση του αιθέρα. Η πυράκτωσή τους είναι αποτέλεσµα της τριβής. Φαίνεται ότι η πτώση ενός µετεωρίτη το έτος 467 π.χ. στους Αιγός Ποταµούς υπήρξε η αφορµή για να διατυπωθεί αυτή η θεωρία. (West, 1960) Γνώριζε ότι η σελήνη η οποία είναι και αυτή ένα ουράνιο σώµα όµοιο µε τη γη, µε πεδιάδες και φαράγγια βρίσκεται πιο κάτω από τον ήλιο και πλησιέστερα προς τη γη, και οφείλει τη λάµψη της στο φως του ήλιο που αντανακλά επάνω της (άποψη που είχε διατυπωθεί ήδη από τον Παρµενίδη). Σε ό,τι αφορά το σχήµα της γης δεν είναι απολύτως σαφές αν ο Αναξαγόρας πίστευε ότι είναι επίπεδη, σφαιρική ή τυµπανόσχηµη. Θεωρούσε πάντως ότι βρίσκεται µετέωρη στο κέντρο του κόσµου. Εποµένως, είναι φυσικό, τα άστρα που περιφέρονται να περνούν και από κάτω της. Οι εκλείψεις της σελήνης οφείλονται στη σκιά που πέφτει πάνω της από τη γη ενώ οι εκλείψεις του ήλιου οφείλονται στη σκιά που πέφτει πάνω του από τη σελήνη. Ερµήνευε τον γαλαξία ως αντανάκλαση του φωτός που προέρχεται από τα άστρα τα οποία δεν φωτίζονται από τον ήλιο. Ερµήνευε τους κοµήτες σαν σύνοδο πλανητών, όταν αυτοί φαίνεται ότι αγγίζουν ο ένας τον άλλο. Ορισµένοι υποστηρίζουν ότι αυτή είναι η πρώτη οριστική µαρτυρία ότι οι πλανήτες είχαν πια αναγνωριστεί µεταξύ όλων των ουρανίων σωµάτων (Dicks, 1991, σ. 77). Θεωρούσε ότι οι µετεωρίτες είναι κι αυτοί ουράνια σώµατα που περιστρέφονται προς τις υψηλές περιοχές της δίνης στην οποία υπόκειται ο όλος κόσµος. Κάποτε όµως συµβαίνει να τραβήξει η γη ένα τέτοιο ουράνιο σώµα, εξαιτίας της τάσης που έχουν να κινηθούν προς το κέντρο της δίνης.! Από τα προηγούµενα συνάγεται ότι ο Αναξαγόρας είχε αξιόλογες αστρονοµικές ιδέες. Εν τούτοις η επίδρασή του στην ανάπτυξη της αστρονοµίας δεν υπήρξε καθ ολοκληρίαν ευνοϊκή. Αυτό οφείλεται στο ότι απουσιάζει παντελώς από τη σκέψη του η ιδέα ότι τα ουράνια σώµατα κινούνται µε βάση µαθηµατικούς νόµους. Έτσι, ο Αναξαγόρας δεν συνέβαλε καθόλου στη δηµιουργία, τον επόµενο αιώνα, της µαθηµατικής αστρονοµίας, όπως θα δούµε πιο κάτω, στην ενότητα 1.3. Αξιοσηµείωτες είναι επίσης οι εξηγήσεις που πρότεινε ο Αναξαγόρας για ορισµένα γήινα χαρακτηριστικά και φαινόµενα. Ενδεικτικά και πάλι αναφέρουµε τα εξής:

49 49 Η θάλασσα προήλθε από τους ποταµούς και γενικά από τα νερά της γης, στην εξάτµιση των οποίων οφείλεται η γέννηση των πάντων. Οι ποταµοί δηµιουργήθηκαν από τη βροχή καθώς και από τα νερά που τρέχουν µέσα στη γη. Το ουράνιο τόξο δεν είναι στην πραγµατικότητα παρά ανταύγειες του ήλιου επάνω στα σύννεφα. Παρά τις αδυναµίες τους οι θεωρίες του Αναξαγόρα ήταν ικανές να ερµηνεύσουν ορθολογικά µια πληθώρα φαινοµένων και αυτό αποδεικνύει ότι ήδη στα µέσα του 5 ου π.χ. αιώνα είχε ήδη υπάρξει µια εκτεταµένη επεξεργασία διαφόρων εννοιών που είχαν προκύψει µέσα από τις προσπάθειες κατανόησης του κόσµου. Και αυτό αποτέλεσε τη βάση για τις πιο ώριµες θεωρητικές κατασκευές που διατυπώθηκαν στον επόµενο αιώνα, όπως θα δούµε στην ενότητα 1.4 όπου θα συζητήσουµε το έργο του Αριστοτέλη. Εµπεδοκλής ο Ακραγαντίνος Ο Εµπεδοκλής γεννήθηκε στον Ακράγαντα της Σικελίας και η ακµή του τοποθετείται γύρω στο π.χ. Αποτελεί µια ιδιάζουσα προσωπικότητα γιατί υπήρξε όχι µόνο φυσικός φιλόσοφος αλλά επίσης γιατρός και πολιτικός ενώ από τους ελληνιστικούς χρόνους και µετά πλάστηκαν ανεκδοτολογικές αφηγήσεις που τον παρουσιάζουν ως θαυµατοποιό, µάγο και δαίµονα. Ό,τι έχει διασωθεί από τις συγγραφές του είναι µερικά αποσπάσµατα από δύο έργα του, διατυπωµένα µε έµµετρη µορφή, που έφεραν τους τίτλους Περί φύσεως και Καθαρµοί. Το πρώτο αφορούσε στην ερµηνεία του φυσικού κόσµου ενώ το δεύτερο είχε ως θέµα την πτώση της ανθρώπινης ψυχής. Σύµφωνα µε τον Ε. Ν. Ρούσσο δεν αποκλείεται οι τίτλοι αυτοί να µην αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικά έργα αλλά να παραπέµπουν σε δύο µέρη ενός ενιαίου έργου του Εµπεδοκλή. (Ρούσσος, 1999, σ. 163). Από την άποψη της ιστορίας των επιστηµονικών θεωριών ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η απάντηση που έδωσε ο Εµπεδοκλής στο ερώτηµα για την έσχατη πραγµατικότητα που είχε απασχολήσει τη φιλοσοφική σκέψη κατά τον 6 ο π.χ. αιώνα. Η απάντησή του βρίσκεται στη θεωρία για τα τέσσερα ῥιζώµατα, τη γη, το νερό, τον αέρα

50 50 και τη φωτιά, η οποία όπως παραλήφθηκε και προσαρµόστηκε αργότερα από τον Αριστοτέλη (βλ. ενότητα 1.4), δέσποσε στη δυτική σκέψη σε όλη τη διάρκεια του Μεσαίωνα και µέχρι την Αναγέννηση. Τα ριζώµατα, κατά τον Εµπεδοκλή, δεν υπόκεινται στο γίγνεσθαι (είναι χωρίς αρχή και τέλος), είναι ισοδύναµα µεταξύ τους και συνοµήλικα αιώνια και αδηµιούργητα. Από αυτά «βλάστησαν όλα όσα ήταν, είναι και θα είναι δένδρα και άνδρες και γυναίκες, θηρία και πουλιά και ψάρια που ζουν στο νερό, και οι µακρόβιοι θεοί, οι πρώτοι στις τιµές. Γιατί µόνο αυτά υπάρχουν, και διατρέχοντας το ένα το άλλο αποκτούν διαφορετικές όψεις». (Lindberg, 1997, σ ) Τα τέσσερα ριζώµατα συνυπάρχουν µε δύο δυνάµεις: τη Φιλότητα και το Νεῖκος. Τα ριζώµατα όταν διαπερνώνται καθ ολοκληρία από τη Φιλότητα συνιστούν την ενότητα, ενώ όταν διαπερνώνται εξ ολοκλήρου από το Νείκος, διαχωρίζονται πλήρως και συνιστούν την πολλαπλότητα. Ο G.E.R. Lloyd για τα ριζώµατα του Εµπεδοκλή Ο Εµπεδοκλής συνέλαβε µε µεγαλύτερη ακρίβεια από οποιονδήποτε προγενέστερο Προσωκρατικό φιλόσοφο την ιδέα του συστατικού στοιχείου. Τα ριζώµατά του είναι ταυτόχρονα αιώνια και απλά είναι τα ανάγωγα συστατικά στα οποία µπορούν να αναλυθούν τα υπόλοιπα πράγµατα.. Ωστόσο, η αντίληψή του για τα στοιχεία, όπως και όλων των άλλων Ελλήνων στοχαστών, διαφέρει από τη σύγχρονη αντίληψη σε ένα τουλάχιστον προφανές αλλά κεφαλαιώδους σηµασίας σηµείο: δεν είναι χηµικώς καθαρές ουσίες. Ο Εµπεδοκλής θεωρούσε ότι τα πράγµατα έχουν γίνει από γη, νερό, αέρα και φωτιά αλλά ο όρος «γη» αντιστοιχούσε σε µια µεγάλη ποικιλία στερεών ουσιών, το «νερό» χρησιµοποιούνταν κατά τρόπο γενικό, όχι µόνο για τα διάφορα υγρά, αλλά επίσης και για τα µέταλλα (επειδή είναι εύτηκτα), και η λέξη «αέρας» ήταν ο ελληνικός όρος µε τον οποίο δηλωνόταν οποιοδήποτε αέριο. Πρέπει λοιπόν να αποφεύγουµε να θεωρούµε τα ριζώµατα του Εµπεδοκλή ως καθαρές ουσίες, παρόµοιες µε το οξυγόνο και το υδρογόνο της χηµείας από την εποχή του Lavoisier και µετά. Το σηµείο αυτό εξάλλου µπορεί να µας βοηθήσει για να καταλάβουµε γιατί ο Εµπεδοκλής οδηγήθηκε σε αυτή την επιλογή των ριζωµάτων, επιλογή η οποία δεν είναι τελείως αυθαίρετη όπως θα µπορούσε να φανεί εκ πρώτης όψεως. Ανεξάρτητα από το ποιοι άλλοι παράγοντες ενδέχεται να επηρέασαν τη θεωρία του, η γη, το νερό και ο αέρας αντιπροσωπεύουν πιστά τις τρεις καταστάσεις της ύλης, τη στερεή, την υγρή και την αέριο όσο για τη φωτιά, την οποία

51 51 την εννοούσε περισσότερο ως ουσία παρά ως διαδικασία, εισήχθη φυσιολογικά ως τέταρτο «στοιχείο», στην ίδια βάση όπως και τα τρία άλλα. (Lloyd, 1990, σ ) Η ανασυγκρότηση των κοσµογονικών απόψεων του Εµπεδοκλή είναι εξαιρετικά δύσκολη γιατί τα αντίστοιχα κείµενα έχουν χαθεί. Σύµφωνα µε όσα γνωρίζουµε, από την περιστροφή και διάσπαση ενός πρωτοσύµπαντος (του σφαίρου), αρχίζουν να διαχωρίζονται τα «στοιχεία». Πρώτα αποχωρίστηκαν τα πιο ελαφρά, ο αέρας και η φωτιά. Έτσι γύρω από τη γη, που ως πιο βαριά αποµονώθηκε στο κέντρο, σχηµατίστηκαν δύο ηµισφαίρια, το ένα καθαρά πύρινο και το άλλο ανάµικτο από φωτιά και αέρα. Εκτός από τις κοσµογονικές απόψεις ο Εµπεδοκλής, όπως και οι υπόλοιποι φυσικοί φιλόσοφοι αυτής της περιόδου, διατύπωσε µια σειρά φυσικές θεωρίες για την ερµηνεία των εκλείψεων, για τη φύση της σελήνης, για τους µετεωρίτες κ.λπ., καθώς και για την προέλευση και την εξέλιξη των ζωντανών οργανισµών. Ο κύκλος των προσωκρατικών φιλοσοφικών προσεγγίσεων του φυσικού κόσµου θα κλείσει µε µια σύνθεση που εκφράστηκε µε τον ατοµισµό. Όπως θα δούµε στην υποενότητα που ακολουθεί, οι ατοµικοί φιλόσοφοι Λεύκιππος και ηµόκριτος θα επιστρέψουν µε έναν ιδιότυπο και µεγαλοφυή τρόπο σε µια πολύ πιο ολοκληρωµένη και ορθολογική µονιστική θεώρηση του κόσµου (άτοµα) εµπλουτισµένη από πλουραλιστικά στοιχεία Οι ατοµικοί φιλόσοφοι: Λεύκιππος και ηµόκριτος Στον Λεύκιππο (περ ) αποδίδεται, παρά τις αµφιβολίες ορισµένων ερευνητών, η τιµή να θεωρείται ο δηµιουργός της ατοµικής αντίληψης της ύλης, την οποία στη συνέχεια επεξεργάστηκε και ανέπτυξε ο µαθητής του ηµόκριτος. εν είναι γνωστό µε βεβαιότητα πού γεννήθηκε, είναι πολύ πιθανό να ήταν Μιλήσιος και να σπούδασε στην Ελέα κοντά στον Ζήνωνα. Αβέβαιη είναι και η περίοδος την οποία έζησε, µε βάση µια σειρά έµµεσες πληροφορίες µπορούµε να τοποθετήσουµε την ακµή του το 435 π.χ. εν είναι γνωστό πώς ο Λεύκιππος οδηγήθηκε στην ατοµική αντίληψη. Ενδέχεται να επηρεάστηκε από τη θεωρία της «επ άπειρον τοµής» του Ζήνωνος, θεωρώντας ότι, σε αντίθεση προς τα µαθηµατικά µεγέθη, στην ύλη δεν είναι δυνατή η επ άπειρον τοµή. εν είναι άλλωστε γνωστό τι ακριβώς από όσα γνωρίζουµε για την ατοµική αντίληψη

52 52 οφείλεται σε αυτόν και τι στον µαθητή του ηµόκριτο. Γιατί ο ηµόκριτος µε το πλούσιο και πολυσχιδές έργο του επισκίασε το έργο του Λεύκιππου, σε βαθµό που ο Επίκουρος (περ ) να αµφισβητεί και αυτή την ίδια την ύπαρξή του. Σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη ο Λεύκιππος πίστευε ότι όλα τα πράγµατα αποτελούνται από πολύ µικρά τεµάχια ύλης, άπειρα σε πλήθος, µη ορατά (λόγω µεγέθους) και αµετάβλητα, τα άτοµα. Τα άτοµα µε την κίνησή τους δηµιουργούν τα διάφορα πράγµατα. Η κίνηση αυτών των αναλλοίωτων, οµογενών και αδιαίρετων απειροελάχιστων σωµατιδίων ύλης, των ατόµων, προϋπέθετε την ύπαρξη του κενού, γιατί ήταν δυνατή µόνο στο κενό. Το κοσµολογικό σύστηµα των ατοµικών βασιζόταν στα άτοµα (το πλήρες, το ον) που κινούνταν (χάρη στην ύπαρξη αιωνίας-αϊδίου ενέργειας) στο κενό (το µη ον). Τα άτοµα είχαν τρία διαφορετικά γνωρίσµατα. ιέφεραν κατά τον ρυσµόν (το σχήµα), κατά την διαθιγήν (την τάξη) και κατά την τροπήν (τη θέση). Από την ένωση των ατόµων προερχόταν η γέννηση των πραγµάτων, από τον διαχωρισµό τους η φθορά. Γνωρίζουµε την κοσµογονική θεωρία του Λεύκιππου από τον ιογένη Λαέρτιο. Τα βασικά στοιχεία της ήταν τα εξής: Το παν είναι κενό και είναι γεµάτο από άτοµα. Οι κόσµοι δηµιουργούνται από την κίνηση και την ένωση των ατόµων, και όταν αποσυντίθενται καταλήγουν πάλι στα άτοµα. Η γη, η σελήνη και ο ήλιος δηµιουργήθηκαν από τη συνένωση ατόµων που κινούνται στο κενό στροβιλοειδώς µε τρόπο ώστε να διαχωρίζονται τα όµοια µεταξύ τους. Ο ήλιος έχει µεγαλύτερη κυκλική τροχιά από τη σελήνη, ενώ η γη κινείται στο µέσον τους στροβιλιζόµενη. Όλη αυτή η αλληλεπίδραση των ατόµων δεν πραγµατοποιείται τυχαία. Σύµφωνα µε τον Αέτιο ο Λεύκιππος έλεγε «κανένα πράγµα δεν γίνεται µαταίως, όλα γίνονται από κάποιο λόγο και κάποια ανάγκη». Η συνένωση των ατόµων δηµιούργησε και όλα τα πράγµατα που παρατηρούµε στη γη. Οι διαφορές των πραγµάτων, η πολυµορφία τους, οφείλονται στις διαφορές που υπάρχουν µεταξύ των ατόµων ως προς το σχήµα, την τάξη και τη θέση τους. Έτσι άλλα από τα σώµατα γίνονται θερµά και πύρινα, γιατί αποτελούνται από άτοµα οξύτερα και λεπτότερα που κείνται κατά όµοια θέση, και άλλα γίνονται ψυχρά και υδατώδη, γιατί αποτελούνται από άτοµα που έχουν αντίθετο σχήµα, θέση και τάξη ως προς τα άτοµα που δηµιούργησαν τα θερµά σώµατα. Με τον ατοµισµό ο Λεύκιππος και αργότερα ο ηµόκριτος ερµήνευσαν όχι µόνο τη δηµιουργία του κόσµου και µια σειρά φυσικά φαινόµενα αλλά και πολλές ανθρώπινες λειτουργίες. Το αίσθηµα της όρασης λ.χ. ερµηνευόταν ως συνεχή απορροή ειδώλων (που

53 53 αποτελούνται από άτοµα) από τα φωτεινά αντικείµενα, που εισέρχονται στα µάτια µας και δηµιουργούν την όραση. Ο ηµόκριτος γεννήθηκε στα Άβδηρα το 470 ή το 460 π.χ. Ήταν γόνoς πολύ πλούσιας οικογένειας και κατά την παράδοση είχε την ευκαιρία να ταξιδέψει πολύ. Η ζωή του έχει περιβληθεί µε πέπλο θρύλου και µυστηρίου και είναι εξαιρετικά δύσκολο να διακρίνουµε τα πραγµατικά γεγονότα, γιατί οι πληροφορίες είναι συγκεχυµένες και αντιφατικές. Από το πλήθος των συγγραµµάτων του έχουν διασωθεί τριακόσια περίπου, σύντοµα ως επί το πλείστον, αποσπάσµατα. Ο ηµόκριτος επέκτεινε αποτελεσµατικά την ατοµική αντίληψη του δασκάλου του Λεύκιππου, και τη χρησιµοποίησε για την ερµηνεία µεγάλου πλήθους φυσικών φαινοµένων. Πρόσθεσε στα τρία χαρακτηριστικά των ατόµων του Λεύκιππου δύο ακόµα: τη διαφορά µεγέθους και τη θεωρία ότι η κίνησή τους προέρχεται από κάποια πληγή (δηλαδή από την ορµή που έχουν αποκτήσει από κάποια κρούση). Η εικόνα που έχουµε για τις κοσµογονικές ιδέες του ηµόκριτου είναι συγκεχυµένη. Κατά τον Σιµπλίκιο ο ηµόκριτος πίστευε ότι τα ουράνια σώµατα δηµιουργήθηκαν από κάποιον στροβιλισµό (δίνη). Ο αρχικός αυτός στροβιλισµός χάρη στον οποίο έγινε ο διαχωρισµός έγινε αυτοµάτως ως εξής: Το πρώτο σηµαντικό αποτέλεσµα της κίνησης των ατόµων ήταν το γεγονός ότι ένα µεγάλο πλήθος ατόµων αποµονώθηκε σ ένα µεγάλο τµήµα του κενού. Η συγκέντρωση σ αυτό πολλών σωµατιδίων µε πολυποίκιλα σχήµατα είχε ως αποτέλεσµα τη δηµιουργία µιας αρχικής δίνης που οδήγησε τη µεγάλη υλική µάζα που συνιστούσαν τα άτοµα σε µια στροβιλώδη κίνηση. Η κίνηση αυτή σε συνδυασµό µε τις ιδιότητες των ατόµων προσδιόρισε τις ποικίλες επιµέρους κινήσεις τους. Τα άτοµα προσκρούοντας το ένα στο άλλο, κινούνταν σε αναζήτηση των οµοίων τους, τείνοντας σ αυτό το πρώτο κοσµογονικό στάδιο, να συγκροτήσουν τα στοιχεία σαν µεγάλα υλικά σύνολα, τη γη, το ύδωρ, τον αέρα και το πυρ. Μετά τον σχηµατισµό των αρχικών αυτών στοιχείων η δίνη εξαφανίστηκε. Αυτό συνέβη γιατί οι επιµέρους σχηµατισµοί των ατόµων, οι συγκεντρώσεις δηλαδή οµοίων ατόµων έγιναν οµογενείς και ισόρροπες, επήλθε ισορροπία µεταξύ τους, και δεν υπήρχε λόγος ή αιτία να συνεχισθεί η περιστροφική τους κίνηση. Πώς διευθετήθηκαν µε την περιστροφική κίνηση τα άτοµα; Με τη δίνη αναπτύχθηκαν µηχανικές δυνάµεις που είχαν ως αποτέλεσµα να συγκεντρωθούν στο κέντρο τα πιο µεγάλα και εποµένως τα πιο βαριά άτοµα. Τα πιο λεπτά, δηλαδή τα πιο µικρά και τα πιο ελαφρά άτοµα, κινήθηκαν προς το εξωτερικό όριο

54 54 της δίνης και χάθηκαν στο κενό, για να σχηµατίσουν αργότερα το σώµα του αέρα και το πύρινο σώµα. Το πρώτο στοιχειακό σώµα που σχηµατίστηκε ήταν η γη, µετά το νερό, στη συνέχεια ο αέρας και τέλος η φωτιά στις εξώτερες περιοχές της σφαίρας. Το όλο σφαιρικό σώµα του σύµπαντος περικλείεται από ένα περικάλυµµα σαν µεµβράνη, που επιτρέπει από τον περιβάλλοντα κενό χώρο να εισέρχονται µέσα στην περιστρεφόµενη µάζα άλλα άτοµα. Τα άτοµά αυτά, όταν εισέρχονται µέσα στις εξωτερικές πύρινες περιοχές του σφαιρικού συστήµατος του κόσµου, αναφλέγονται και καθώς υπόκεινται σε ταχύτατη περιστροφική κίνηση σχηµατίζουν τα άστρα. Σύµφωνα µε άλλες πηγές ο ηµόκριτος θεωρούσε τον κόσµο άπειρο και αδηµιούργητο. Κατά τους δοξογράφους, πάντως, αυτό που διαφοροποιεί ουσιαστικά τον ηµόκριτο από προγενέστερους φιλόσοφους είναι ότι, ενώ εκείνοι θεωρούσαν τον κόσµο έµψυχο και διοικούµενο υπό προνοίας, αυτός τον θεωρούσε µη έµψυχο και διοικούµενο από κάποια άλογη φύση που αποτελείται από άτοµα. Η υπόθεση ενός άπειρου κενού και απειράριθµων ατόµων µέσα σ αυτό επέτρεπε την ύπαρξη άπειρων κόσµων, που διαµορφώνονται και εξαφανίζονται µέσα από το κενό. Η παράδοση αποδίδει την ιδέα των άπειρων κόσµων και στον Αναξίµανδρο, αλλά µε βεβαιότητα µπορούµε να την αποδώσουµε στους ατοµικούς. Οι κόσµοι αυτοί, που είναι απειράριθµοι και βρίσκονται µέσα στο άπειρο κενό, σε ποικίλες αποστάσεις και µε ποικίλα µεγέθη, σε διάφορα εξελικτικά στάδια (άλλοι κόσµοι γεννιούνται ή ακµάζουν, άλλοι φθίνουν ή εξαφανίζονται), δεν είναι ανάγκη να θεωρούνται όπως ο δικός µας κόσµος. εν είναι απαραίτητο, σκεφτόταν ο ηµόκριτος, κάθε κόσµος να έχει ζώα και φυτά ούτε να έχει τη διάταξη του δικού µας κόσµου µε τη σελήνη κάτω, ύστερα τον ήλιο και έπειτα τους απλανείς αστέρες, µε τους πλανήτες σε άνισα ύψη κ.λπ. Αν µάλιστα δεν συµβεί να υπεισέλθουν µέσα στη «µεµβράνη» ενός κόσµου που γεννιέται άλλα άτοµα από το περιβάλλον κενό, αυτός ο κόσµος δεν θα πρέπει να έχει καθόλου ουράνια σώµατα. " " " " " " " " " " Με τον ηµόκριτο, λίγο προγενέστερο ή και σύγχρονο του Σωκράτη, τελειώνει η «προσωκρατική περίοδος» της ιστορίας της ελληνικής επιστήµης και φιλοσοφίας. Στο δεύτερο µισό του 5 ου π.χ. αιώνα η παλαιά κοσµολογική προβληµατική που εκφράστηκε από τους Προσωκρατικούς φιλόσοφους και είχε ως στόχο την ερµηνεία του φυσικού

55 55 κόσµου ως σύνολο, αρχίζει να παρακµάζει. Με τον Σωκράτη και τους σοφιστές µια νέα ανθρωπιστική φιλοσοφική προβληµατική αρχίζει να αναδύεται και να επικρατεί. Η µελέτη του ανθρώπου παύει να είναι περιστασιακή και γίνεται η αφετηρία για κάθε φιλοσοφική έρευνα. Αυτή η αλλαγή κατεύθυνσης προκλήθηκε όχι µόνο από κοινωνικούς παράγοντες αλλά και από τα νέα φιλοσοφικά ερωτήµατα που τέθηκαν από τους Ελεάτες και τους Πυθαγόρειους φιλοσόφους. Πίνακας 2 Προσωκρατικοί φιλόσοφοι και φιλοσοφικές σχολές Μιλήσιοι Ελεάτες Πυθαγόρειοι Ανεξάρτητοι από Σχολές Ατοµικοί Θαλής Παρµενίδης Πυθαγόρας Ηράκλειτος Λεύκιππος Αναξίµανδρος Ζήνων Φιλόλαος Εµπεδοκλής ηµόκριτος Αναξιµένης Μέλισσος Αλκµαίων Ξενοφάνης Αναξαγόρας ιογένης ο Απολλωνιάτης

56 56 Σύνοψη Ο Αναξίµανδρος υπήρξε ο πρώτος φυσικός φιλόσοφος στην παράδοση του ελληνικού πολιτισµού ο οποίος διατύπωσε ένα ολοκληρωµένο µη µυθικό ερµηνευτικό σχήµα για τη δηµιουργία και την εξέλιξη του κόσµου. Ο µαθητής του Αναξιµένης µε το δικό του έργο διαφύλαξε και προώθησε την ορθολογική ερµηνεία του φυσικού κόσµου. Και οι δύο ανέπτυξαν τα πρώτα µονιστικά υλιστικά ερµηνευτικά συστήµατα, που αποτέλεσαν πηγή ουσιαστικών και κρίσιµων ερωτηµάτων για τη µεταγενέστερη φιλοσοφική και επιστηµονική σκέψη. Μετά από αυτούς η παλαιά κοσµογονική προσέγγιση, σύµφωνα µε την οποία σκοπός του στοχαστή ήταν να προσδιορίσει ένα και µοναδικό στοιχείο ικανό να παραγάγει όλο τον φυσικό κόσµο, επεκτάθηκε και τροποποιήθηκε. Νέες ιδέες µε επίκεντρο τη θεολογία και την ενότητα της δοµής των πραγµάτων διατυπώθηκαν από τους µεταγενέστερους Ίωνες στοχαστές Ξενοφάνη και Ηράκλειτο. Στο έργο του Ηράκλειτου όλες οι πλευρές του κόσµου εξηγούνται συστηµατικά µε αφετηρία την ιδέα ότι όλες οι φυσικές αλλαγές είναι κανονικές και ισόρροπες και ότι αιτία της ισορροπίας αυτής είναι η φωτιά (Λόγος). Τόσο οι αλλαγές στον φυσικό κόσµο όσο και η ανθρώπινη συµπεριφορά διέπονται από τον ίδιο Λόγο. Κοσµολογία, Θεολογία και Ανθρωπολογία αποτελούν στο έργο του µια ενότητα. Στη φιλοσοφία του 5 ου αιώνα δεσπόζει η µεταφυσική του Παρµενίδη. Οι επόµενοι στοχαστές όφειλαν, µε τον ένα ή µε τον άλλο τρόπο, να απαντήσουν στη ριζοσπαστική άποψη που εξέφρασε ο Παρµενίδης για τον υλικό κόσµο και για το γνωσιολογικό πρόβληµα. Ξεχωριστή σηµασία για την ιστορία της επιστήµης έχει ότι η κίνηση έπαψε πια να θεωρείται ως κάτι δεδοµένο και πρόβαλε η ανάγκη ερµηνείας της ύπαρξής της. Από τους µεταγενέστερους, µόνο οι ατοµικοί φιλόσοφοι παρέµειναν πιστοί στην παλαιά άποψη των Μιλήσιων για το δεδοµένο και αυτονόητο της κίνησης. Η συµβολή των Πυθαγορείων του 5 ου αιώνα συνίσταται κυρίως στην προσπάθειά τους να δείξουν ότι η έννοια της αρµονίας αποτελεί τελικά το κλειδί για κάθε τοµέα της φιλοσοφίας και της επιστήµης. Πρέπει όµως να σηµειώσουµε ότι η µαθηµατικοποίηση της επιστήµης που τους αποδίδεται από διάφορους νεότερους συγγραφείς µικρή σχέση έχει µε τα πορίσµατα της σύγχρονης ιστορικής έρευνας. Ο Εµπεδοκλής και ο Αναξαγόρας προσπάθησαν να συµβιβάσουν τη λογική του Παρµενίδη και της Ελεατικής σχολής µε τα φαινόµενα της πολλαπλότητας και της

57 57 αλλαγής που παρατηρούνται στον φυσικό κόσµο. Αρνήθηκαν τον µονισµό τόσο στην ποιοτική όσο και στην ποσοτική εκδοχή του και δέχθηκαν την ύπαρξη µιας πολλαπλότητας αιώνιων και ποιοτικά διαφορετικών ουσιών ή στοιχείων τα οποία πληρούν όλον τον χώρο. Επίσης εισήγαγαν κινητήριες αιτίες για να εξηγήσουν την κίνηση, η οποία για τους φιλοσόφους πριν από τον Παρµενίδη θεωρείτο ως αυτονόητη. Οι ατοµικοί φιλόσοφοι επανέφεραν το βασικό πρόβληµα της πρώιµης ιωνικής σκέψης: ο πολλαπλός κόσµος έπρεπε να προέρχεται από µια πρωταρχική ύλη, που η ουσία της µπορούσε να ερµηνεύσει όλα τα άλλα πράγµατα που δηµιουργήθηκαν. Η πρωταρχική αυτή ύλη είναι τα άτοµα, εποµένως η ύλη δεν είναι άπειρα διαιρετή. Κατάφεραν να ερµηνεύσουν ένα µεγάλο πλήθος φαινοµένων. Ο ατοµισµός εκπλήρωσε τον απώτερο σκοπό του ιωνικού υλιστικού µονισµού ανατρέποντας τα αδιέξοδα της ελεατικής κριτικής. Έµελλε άλλωστε να παίξει σηµαντικό ρόλο στην ιστορία της επιστήµης και να αποτελέσει το ερέθισµα για την ανάπτυξη, αργότερα, της σύγχρονης ατοµικής θεωρίας, που όµως διαφέρει εντελώς τόσο στη φύση της όσο και στα κίνητρά της.!!!!! Τώρα που ολοκληρώσατε τη µελέτη αυτής της πρώτης ενότητας του πρώτου κεφαλαίου, ελέγξτε αν µπορείτε να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήµατα: 1) Πώς αποτιµούµε την αξιοπιστία των πηγών από τις οποίες αντλούµε τις γνώσεις µας για τις θεωρίες που διατύπωσαν οι Προσωκρατικοί στοχαστές; 2) Στο πλαίσιο µε τίτλο «Η ολική έκλειψη ηλίου της 28 ης Μαΐου του 585 π.χ.» αναφέρεται ότι η νεότερη ιστορική έρευνα αµφισβητεί την αξιοπιστία των µαρτυριών που υποστηρίζουν ότι ο Θαλής προέβη στην πρόβλεψη της έκλειψης αυτής. Πού οφείλεται η διστακτικότητα των σύγχρονων ερευνητών να αποδεχθούν όσα αναφέρει η παράδοση σχετικά µε το θέµα αυτό; 3) Ποια η µέθοδος απόδειξης που χρησιµοποιούσαν στους συλλογισµούς τους οι Ελεάτες φιλόσοφοι; 4) Μπορείτε να περιγράψετε τα τρία επιχειρήµατα του Ζήνωνος εναντίον της κίνησης που αναφέρονται στο κείµενο; 5) Μπορείτε να περιγράψετε µε συντοµία το κοσµολογικό σύστηµα του Φιλόλαου;

58 58 Βιβλιογραφία Ελληνόγλωσση Αναπολιτάνος,.: «Φιλοσοφική αποτίµηση των παραδόξων του Ζήνωνος». Περιέχεται στον τόµο Αρχαία Ελληνικά Μαθηµατικά. Κείµενα Ιστορίας και Φιλοσοφίας (επιµ.. Αναπολιτάνος, Β. Καρασµάνης), Αθήνα, Εκδόσεις Τροχαλία, 1993, σ Βέϊκος, Θ.: Οι Προσωκρατικοί, Αθήνα, Εκδόσεις Ελληνικά Γράµµατα, Dicks, D.R.: Η Πρώιµη Ελληνική Αστρονοµία, από τις απαρχές ως τον Αριστοτέλη, µτφρ. Μ. Παπαθανασίου, Αθήνα, Εκδόσεις «αίδαλος», Farrington, B,: Η επιστήµη στην αρχαία Ελλάδα, µτφρ. Ν. Ραΐσης, Αθήνα, Εκδόσεις Κάλβος, Πρώτη έκδοση, στα αγγλικά, Kahn, C.: Αναξίµανδρος και οι απαρχές της Ελληνικής Κοσµολογίας, µτφρ. Ν. Γιανναδάκης, Αθήνα, Εκδόσεις Πολύτυπο, Kirk, G.S. - Raven, J.E. - Schofield, M.: Οι προσωκρατικοί φιλόσοφοι, µτφρ.. Κούρτοβικ, Αθήνα, Μ.Ι.Ε.Τ., Lindberg, D.C.: Οι απαρχές της υτικής Επιστήµης. Η φιλοσοφική, θρησκευτική και θεσµική θεώρηση της ευρωπαϊκής επιστηµονικής παράδοσης, 600 π.χ µ.χ., µτφρ. Η. Μαρκολέφας, Αθήνα, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Lloyd, G.E.R.: Αρχαία ελληνική επιστήµη. Μέθοδοι και προβλήµατα, µτφρ. Χ. Μπάλλα, Αθήνα, Εκδόσεις Αλεξάνδρεια, Ρούσσος, Ε. Ν.: Προσωκρατικοί, τ. Α : Ιστορική Εισαγωγή, Αθήνα, Εκδόσεις Στιγµή, Szabó, A.: Απαρχαί των ελληνικών µαθηµατικών, µτφρ. Α. Τεγοπούλου, Αθήνα, Έκδοση Τεχνικού Επιµελητηρίου της Ελλάδος, Ξενόγλωσση Clagett, M.: Greek Science in Antiquity, London, Abelard-Schuman, Cornford, F.M.: «Anaxagoras Theory of Matter», Classical Quarterly, τ. 24, 1930, σ & Diels, H. - Kranz, W.: Die Fragmente der Vorsokratiker, 3 τόµοι, Berlin, Weidmann, Diels, H.: Doxographi Graeci, Berlin, De Gruyter, Furley, D.J. - Allen, R.E. (επιµ.): Studies in Presocratic Philosophy, 2 τόµοι, London, Routledge & Kegan Paul, 1970 & Gillispie, C.G. (επιµ.): Dictionary of Scientific Biography, 16 τόµοι, 2 συµπληρωµατικοί τόµοι, New York, Charles Scribner, Koyré, A.: «Remarques sur les paradoxes de Zénon». Περιέχεται στον τόµο Études d histoire de la pensée philosophique, Paris, Gallimard, 1971, σ Lloyd, G.E.R.: Une histoire de la science grecque, tr. J. Brunshwig, Paris, Editions La Découverte, Ανατύπωση, Rey, A.: La jeunesse de la science grecque, Paris, La Renaissance du Livre, Spengler, O.: Heraklit: Reden und Aufsätze, München 1938.

59 59 Tannery, P.: Pour l histoire de la science hellène: De Thalès à Empédocle, Paris, Alcan, Taton, R. (επιµ.): Histoire générale des sciences, τ. 1: La Science antique et médiévale, Paris, P.U.F., West, M.L.: «Anaxagoras and the Meteorite of 467 B.C.», Journal of the British Astronomical Association, τ. 70, 1960, σ Οδηγός για περαιτέρω µελέτη 1. Lloyd, G.E.R.: Une histoire de la science grecque, tr. J. Brunshwig, Paris, Editions La Découverte, Ανατύπωση, Το βιβλίο του Lloyd το προτείναµε για περαιτέρω µελέτη και στην εισαγωγή. Τα κεφάλαια του βιβλίου που αναφέρονται στα θέµατα που µελετήσαµε σε αυτή την ενότητα είναι το 2 ο («Οι θεωρίες των Μιλήσιων»), το 3 ο («Οι Πυθαγόρειοι») και το 4 ο («Το πρόβληµα της αλλαγής»). 2. Lindberg, D.C.: Οι απαρχές της υτικής Επιστήµης. Η φιλοσοφική, θρησκευτική και θεσµική θεώρηση της ευρωπαϊκής επιστηµονικής παράδοσης, 600 π.χ µ.χ., µτφρ. Η. Μαρκολέφας, Αθήνα, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Το βιβλίο αυτό του David Lindberg αποτελεί την πρώτη απόπειρα να γραφτεί µια γενική ιστορία της αρχαίας και της µεσαιωνικής επιστήµης, µε φόντο τις εξελίξεις στα πεδία της φιλοσοφίας, της θρησκείας, της τεχνικής και των θεσµών. Το αποτέλεσµα είναι µια εξαιρετική Ιστορία η οποία έχει επιπλέον το προσόν ότι µπορεί να γίνει κατανοητή όχι µόνο από τους επιστήµονες αλλά και από τους µη ειδικούς. Τα θέµατα που εξετάσαµε εµείς σε αυτή την ενότητα ο Lindberg τα πραγµατεύεται στο δεύτερο κεφάλαιο που έχει τον τίτλο «Οι αρχαίοι Έλληνες και ο κόσµος». 3. Furley, D.J. - Allen, R.E. (επιµ.): Studies in Presocratic Philosophy, 2 τόµοι, London, Routledge & Kegan Paul, 1970 & Το συλλογικό αυτό έργο αποτελείται από δύο τόµους µε τίτλο The Beginnings of Philosophy και Eleatics and Pluralists, οι οποίοι περιέχουν ενδιαφέρουσες µελέτες για την προσωκρατική σκέψη. Ιδιαίτερα αξίζει να επισηµάνουµε µια ενδιαφέρουσα «πολεµική» που περιέχεται µέσα στις σελίδες του πρώτου τόµου σχετικά µε την ερµηνεία της προσωκρατικής επιστηµονικής σκέψης και στην οποία συµµετέχουν ο K.R. Popper µε την εργασία «Back to the Presocratics» και ο G.S. Kirk µε την εργασία «Popper on

60 60 Science and the Presocratics». Στη διαµάχη αυτή έλαβε µέρος αργότερα και ο G.E.R. Lloyd µε την εργασία του «Popper εναντίον Kirk: Μια διαµάχη για την ερµηνεία της ελληνικής επιστήµης». Η εργασία του Lloyd, µεταφρασµένη στα ελληνικά περιέχεται στο (Lloyd, 1996).

61 61 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριότητα 1 Προεξάρχοντα ρόλο στο κοσµολογικό «µοντέλο» του Αναξίµανδρου παίξει ο αριθµός 3. Πράγµατι το «µοντέλο» περιλαµβάνει τρεις (3) δακτυλίους, µε διαµέτρους αντιστοίχως 1 3², 2 3² και 3 3² φορές τη διάµετρο της γης, ενώ η ίδια η γη είχε σχήµα κυλίνδρου µε πλάτος τριπλάσιο του ύψους. εν γνωρίζουµε µε βεβαιότητα για ποιό λόγο ο Αναξίµανδρος απέδιδε τέτοια ιδιαίτερη σηµασία στον αριθµό 3. Ίσως αυτό να οφείλεται σε πρότυπα από προϊστορικές λατρευτικές, ηµερολογιακές και κοινωνικές δοµές (Ρούσσος, 1999, σ. 115). ραστηριότητα 2 Το κοσµολογικό µοντέλο του Αναξίµανδρου δεν εδράζεται στα δεδοµένα της παρατήρησης. Προεξάρχουσα σηµασία για τη διατύπωσή του φαίνεται ότι είχε το αίτηµα της συµµετρίας και κάποιος ιδιαίτερος ρόλος που όπως είδαµε στην προηγούµενη ραστηριότητα έπαιζε ο αριθµός τρία Το µοντέλο του Φιλόλαου διαφοροποιείται από αυτό του Αναξίµανδρου πρωτίστως ως προς το ότι λαµβάνει υπόψη κάποια ουσιαστικά δεδοµένα της παρατήρησης. Έτσι: 1. ίνει έµφαση στις κυκλικές κινήσεις των ουρανίων σωµάτων γύρω από ένα κέντρο. 2. Αποδίδει σφαιρικό σχήµα στη γη και σε όλα τα ουράνια σώµατα. 3. ιακρίνει τους πλανήτες από τους απλανείς αστέρες. 4. Αποδίδει στους πλανήτες τροχιές που βρίσκονται στο εσωτερικό της σφαίρας των απλανών. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον επίσης, από την άποψη των µετέπειτα εξελίξεων στην αστρονοµία, έχει το στοιχείο της αποµάκρυνσης της γης από το κέντρο του κόσµου, στο οποίο ο Φιλόλαος τοποθετεί το κεντρικό πυρ (ἑστία).

62 Τα προευκλείδεια ελληνικά µαθηµατικά Σκοπός Στην ενότητα που ακολουθεί εξετάζουµε µε συντοµία την πορεία των ελληνικών µαθηµατικών στη διάρκεια των τριών πρώτων αιώνων της ιστορίας τους, δηλαδή τον 6 ο, τον 5 ο και τον 4 ο π.χ. αιώνα. Προσδοκώµενα αποτελέσµατα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη µελέτη αυτής της ενότητας, θα είστε σε θέση να: Κατονοµάζετε πολλούς µαθηµατικούς που ήκµασαν στη διάρκεια των τριών πρώτων αιώνων της ιστορίας των ελληνικών µαθηµατικών και να περιγράφετε τα κύρια χαρακτηριστικά του έργου τους. Απαριθµείτε τα κύρια επεισόδια της µαθηµατικής δραστηριότητας που αναπτύχθηκε σε αυτή την περίοδο στον ελληνικό κόσµο. ιακρίνετε διάφορες πλευρές του τρόπου µε τον οποίο εργάζονται οι ιστορικοί των µαθηµατικών, προκειµένου να µας παρουσιάσουν µια όσο το δυνατόν πιο ευκρινή και ταυτόχρονα πιο αντιπροσωπευτική εικόνα των µαθηµατικών που αναπτύχθηκαν σε µια ιστορική περίοδο που απέχει πολλούς αιώνες από τη σηµερινή εποχή. Εισαγωγικές Παρατηρήσεις Χίλια και περισσότερα χρόνια µετά από την εποχή της ακµής των µεγάλων ανατολικών πολιτισµών της Μεσοποταµίας και της Αιγύπτου θα ανατείλει µια νέα εποχή στην ιστορία των µαθηµατικών, η εποχή των ελληνικών µαθηµατικών. Στην περίοδο αυτή τα µαθηµατικά θα αποκτήσουν µερικά χαρακτηριστικά που από τότε θα τα συνοδεύουν για πάντα. Τότε θα διαµορφωθεί η ιδέα της µαθηµατικής απόδειξης, µια ιδέα η οποία αποτελεί τη βάση των νεότερων µαθηµατικών και κατ επέκταση του σύγχρονου τεχνολογικού µας πολιτισµού. Στην ενότητα που ακολουθεί θα εξετάσουµε µε συντοµία την πορεία των ελληνικών µαθηµατικών στη διάρκεια των τριών πρώτων αιώνων της ανάπτυξής τους, το επιστέγασµα της οποίας ήταν η συγγραφή των Στοιχείων του Ευκλείδη γύρω στο 300 π.χ. Στην αφήγησή µας θα αναφερθούµε σε προγενέστερους του

63 63 Ευκλείδη µαθηµατικούς, το έργο των οποίων έχει ενσωµατωθεί στο κείµενο των Στοιχείων, ταυτόχρονα όµως θα γνωρίσουµε και µαθηµατικές παραδόσεις που αναπτύχθηκαν στην ίδια περίοδο και δεν συµπεριλήφθηκαν στην ευκλείδεια σύνθεση. Στις υποενότητες 1.2.1, και θα εξετάσουµε τις τρεις µεγαλύτερες σχολές των µαθηµατικών που ήκµασαν στη διάρκεια αυτής της περιόδου, δηλαδή τη σχολή της Ιωνίας, τη σχολή των Πυθαγορείων και τη σχολή της Χίου. Κεντρικό θέµα στην αφήγησή µας σε ό,τι αφορά την πρώτη σχολή είναι η διερεύνηση της συνεισφοράς του Θαλή στην ιστορία της γεωµετρίας και η κριτική αποτίµηση των σχετικών µε το θέµα αυτό πληροφοριών που έχουν παραδοθεί ως τις µέρες µας. Από την παρουσίαση των δύο άλλων σχολών θα διαπιστώσουµε ότι αυτές αντιπροσωπεύουν δύο διακριτές µαθηµατικές παραδόσεις: οι Πυθαγόρειοι αντιπροσωπεύουν την αριθµητική παράδοση, ενώ η σχολή της Χίου βρίσκεται στην απαρχή µιας γεωµετρικής παράδοσης από την οποία θα παραχθεί ένα σώµα γνώσεων, µέρος του οποίου θα ενσωµατωθεί αργότερα στην ευκλείδεια σύνθεση, ενώ ένα άλλο µέρος (αυτό που συνδέεται µε τις προσπάθειες επίλυσης των προβληµάτων του τετραγωνισµού του κύκλου και του διπλασιασµού του κύβου) δεν θα ενταχθεί ποτέ στο κανονιστικό πλαίσιο της ευκλείδειας γεωµετρίας. Ενδιάµεσα, στην υποενότητα 1.2.3, θα συζητήσουµε την ανακάλυψη της ασυµµετρίας, ένα µείζον επίτευγµα των ελληνικών µαθηµατικών κατά την πρώιµη αυτή περίοδο, το οποίο σύµφωνα µε την παράδοση έλαβε χώρα στους κόλπους της σχολής των Πυθαγορείων. Το κύριο έργο των µαθηµατικών της περιόδου που εξετάζουµε σε αυτή την ενότητα ήταν η επίλυση προβληµάτων. Αφήσαµε λοιπόν για το τέλος (υποενότητα 1.2.5) την παρουσίαση ορισµένων από τις προσπάθειες που καταβλήθηκαν για να επιλυθούν τα τρία πιο φηµισµένα προβλήµατα της αρχαιότητας, δηλαδή τα προβλήµατα του τετραγωνισµού του κύκλου, του διπλασιασµού του κύβου και της τριχοτόµησης της γωνίας.! Ορισµένες από τις παραγράφους αυτής της ενότητας πραγµατεύονται µαθηµατικές έννοιες και τεχνικές, που σε µερικούς αναγνώστες ιδίως σε όσους δεν έχουν καµιά προηγούµενη εµπειρία ενασχόλησης µε τα µαθηµατικά µπορεί να φανούν δυσνόητες, και σε άλλους που ίσως έχουν µια εξοικείωση µε τα µαθηµατικά όπως τα διδασκόµαστε σήµερα στο σχολείο αλλά δεν είναι συνηθισµένοι να προσεγγίζουν µε ιστορική µέθοδο τα κείµενα του παρελθόντος µπορεί να φανούν όχι οικείες. Συµβουλεύουµε τους αναγνώστες αυτούς να µην απογοητευθούν από τις δυσκολίες

64 64 που ενδεχοµένως θα συναντήσουν στην πρώτη ανάγνωση του κειµένου. Μια δεύτερη προσεκτική ανάγνωση µπορεί να αποκαλύψει κάποια σηµεία τα οποία στην πρώτη ανάγνωση διέλαθαν και έτσι το κείµενο να γίνει απολύτως κατανοητό. Αν παρόλα αυτά µερικές παράγραφοι, ιδιαίτερα εκείνες που έχουν αρκετό τεχνικό µέρος, εξακολουθούν να µην είναι κατανοητές, τότε ο αναγνώστης µπορεί να τις θεωρήσει προαιρετικές και να τις προσπεράσει. Τις παραγράφους αυτές θα φροντίσουµε να τις επισηµαίνουµε στην πορεία της αφήγησής µας Τα ελληνικά µαθηµατικά και οι πηγές τους: µερικές ιστοριογραφικές διαπιστώσεις Προτού αρχίσουµε την εξιστόρηση των ελληνικών µαθηµατικών στους τρεις πρώτους αιώνες της ιστορίας τους, θεωρούµε σκόπιµο να σταθούµε για λίγο στο θέµα των πηγών από τις οποίες αντλούµε τις γνώσεις µας γι αυτά προκειµένου να επισηµάνουµε δύο ιστοριογραφικά προβλήµατα που συνδέονται µε το είδος των πηγών. Αυτό είναι το θέµα µας σε αυτή την υποενότητα. Προηγουµένως όµως είναι χρήσιµο να διευκρινίσουµε τι εννοούµε όταν χρησιµοποιούµε τον όρο «ελληνικά µαθηµατικά». Τον 6 ο π.χ. αιώνα, και αφού είχαν προηγηθεί δύο αιώνες αποικιακής επέκτασης, ελληνόφωνοι πληθυσµοί βρίσκονται εγκατεστηµένοι σε ολόκληρη σχεδόν την ανατολική λεκάνη της Μεσογείου, από την Κάτω Ιταλία ως τη Μικρά Ασία και από τη Μαύρη Θάλασσα ως τη Βόρειο Αφρική, έχοντας δηµιουργήσει σχετικώς ανεξάρτητες πόλειςκράτη, όπως η Αθήνα και η Σπάρτη, ο Κρότων και οι Συρακούσες, η Μίλητος και η Έφεσος, το Βυζάντιο (µετέπειτα Κωνσταντινούπολη) και η Κυρήνη. Παρά τις διαφορές στη µορφή της διακυβέρνησης και τις κατά καιρούς αντιπαλότητες που συχνά κατέληγαν σε εξοντωτικούς πολέµους, αυτοί οι ελληνόφωνοι πληθυσµοί συνδέονταν µεταξύ τους µε ισχυρούς πολιτιστικούς δεσµούς, αποτέλεσµα της µεταφοράς κατά την περίοδο του αποικισµού θρησκευτικών δοξασιών, εθίµων και άλλων πολιτισµικών χαρακτηριστικών από τις µητροπόλεις στις αποικίες. Το κυριότερο, όµως, ενοποιητικό στοιχείο που τους συνέδεε ήταν η ελληνική γλώσσα και αυτό ακριβώς το στοιχείο µας επιτρέπει να ονοµάζουµε τα µαθηµατικά που αναπτύχθηκαν στους επόµενους αιώνες σε όλη αυτή την περιοχή «ελληνικά µαθηµατικά». Όπως λοιπόν θα δούµε στη συνέχεια, τα πρώιµα ελληνικά µαθηµατικά αναπτύχθηκαν τον 6 ο και τον 5 ο π.χ. αιώνα από ανθρώπους που κατοικούσαν στην Ιωνία, στα δυτικά

65 65 παράλια της Μικράς Ασίας, και στη Μεγάλη Ελλάδα, δηλαδή στη Σικελία και την Κάτω Ιταλία. Τον 4 ο αιώνα το κέντρο της µαθηµατικής δραστηριότητας µετατοπίστηκε στην Αθήνα και τον επόµενο αιώνα στην Αλεξάνδρεια της σηµερινής Αιγύπτου. Εκεί γράφτηκε µάλιστα και το πιο γνωστό ελληνικό µαθηµατικό κείµενο, τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Ο Νικόµαχος τέλος, για να αναφέρουµε ένα µόνο παράδειγµα από την ύστερη εποχή, έζησε και έγραψε τον 1 ο µ.χ. αιώνα στην πόλη Γέρασα της Παλαιστίνης, όχι µακριά από την Ιερουσαλήµ. Από τα λίγα αυτά παραδείγµατα βλέπουµε ότι τα ελληνικά µαθηµατικά απλώνονται σε µια έκταση που ξεπερνά κατά πολύ τα όρια της σηµερινής Ελλάδας, ενώ πολύ µεγάλη είναι και η χρονική περίοδος που καλύπτουν αφού, όπως θα δούµε, αρχίζουν ήδη από τον 6 ο π.χ. αιώνα και θα διαρκέσουν ως τους πρώτους µεταχριστιανικούς αιώνες.! Λέγοντας, εποµένως, «ελληνικά µαθηµατικά» εννοούµε τα µαθηµατικά που αναπτύχθηκαν από ανθρώπους που µιλούσαν και έγραφαν στην ελληνική γλώσσα, ανεξαρτήτως εάν κατοικούσαν εντός ή εκτός των συνόρων της σηµερινής Ελλάδας. Τα ελληνικά µαθηµατικά έφθασαν στο απόγειό τους στα τέλη του 4 ου και στη διάρκεια του 3 ου π.χ. αιώνα, η επιρροή τους όµως κράτησε ακόµη και µέχρι τους πρώτους µεταχριστιανικούς αιώνες. Από που αντλούµε τις γνώσεις µας για τα ελληνικά µαθηµατικά; Αν και οι πηγές που έχουµε στη διάθεσή µας είναι πολύ πιο πλούσιες σε πληροφοριακό υλικό σε σύγκριση λ.χ. µε τις αντίστοιχες πηγές των προελληνικών µαθηµατικών, υπάρχει το πρόβληµα ότι στην περίπτωση των ελληνικών µαθηµατικών ουδέποτε έχουµε στη διάθεσή µας το ίδιο το πρωτότυπο κείµενο. Τα αρχαιοελληνικά κείµενα που έχουµε στη διάθεσή µας είναι αντίγραφα, και µάλιστα είναι εξαιρετικά σύνηθες το φαινόµενο το αρχαιότερο σωζόµενο χειρόγραφο ενός κειµένου να απέχει χρονικά από την εποχή µας πολύ λιγότερο απ ό,τι απέχει από την εποχή που έζησε ο συγγραφέας του. Ας δούµε ένα παράδειγµα: Τα Στοιχεία του Ευκλείδη γράφτηκαν όπως είπαµε γύρω στο 300 π.χ., το αυθεντικό χειρόγραφο κείµενο του Ευκλείδη, όµως, δεν διασώζεται. Αντίθετα, σώζονται δεκάδες αντίγραφα που σε τελική ανάλυση κατάγονται από αυτό. Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαµηνό κώδικα [Codex Bodleianus, D Orville, X, 1 inf. 2,30] που φυλάσσεται σήµερα στη Βοδληϊανή Βιβλιοθήκη (Bodleian Library) της Οξφόρδης και χρονολογείται από του έτους 888, ενώ

66 66 µικρά αποσπάσµατα του έργου διασώζονται επίσης σε παπύρους προγενέστερης εποχής καθώς και σε ένα παλίµψηστο χειρόγραφο του 7 ου ή του 8 ου µ.χ. αιώνα που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο. Βλέπουµε, λοιπόν, ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο που περιέχει το πλήρες κείµενο των Στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται από τα τέλη του 9 ου µ.χ. αιώνα και εποµένως απέχει από την εποχή µας σχεδόν όσο απέχει από την εποχή που ο ίδιος ο Ευκλείδης έγραψε το έργο. Το γεγονός αυτό, το οποίο ισχύει για όλα τα κείµενα της αρχαίας ελληνικής επιστήµης, είναι ενδεικτικό του είδους των προβληµάτων που αντιµετωπίζουµε όταν πρόκειται να µελετήσουµε την ιστορία της αρχαίας ελληνικής επιστήµης από τις ίδιες τις πηγές της. Τα προβλήµατα αυτά είναι τελείως διαφορετικά από τα προβλήµατα που συναντούµε όταν µελετάµε λ.χ. τη βαβυλωνιακή επιστήµη. Εκεί, τα κείµενά µας (πήλινες πινακίδες µε σφηνοειδή γραφή) µπορεί να είναι σπασµένα ή κατεστραµµένα, η ορολογία τους µπορεί να είναι ασαφής και να κατανοείται συχνά µόνο από τα συµφραζόµενα, ένα πράγµα όµως είναι πέραν πάσης αµφισβήτησης: τα κείµενα είναι αυθεντικά, είναι οι ίδιες πινακίδες, όπως τις έγραψαν οι ίδιοι οι βαβυλώνιοι γραφείς των αρχών της 2 ης π.χ. χιλιετίας. Στην περίπτωση της αρχαίας ελληνικής επιστήµης όµως, ακόµη και τα αρχαιότερα κείµενα που διασώζονται είναι αντίγραφα αντιγράφων άλλων αντιγράφων, µε όλες τις δυσάρεστες συνέπειες που έχει µια τέτοια διαδικασία συνεχούς αντιγραφής, πολύ περισσότερο όταν έχει γίνει από ανθρώπους που, συχνά, µικρή σχέση είχαν µε το αντικείµενο που αντέγραφαν (βυζαντινοί µοναχοί, επαγγελµατίες καλλιγράφοι κ.ά.). Από όλα τα σωζόµενα αντίγραφα, λοιπόν, πρέπει να ανασυγκροτηθεί κάθε φορά, όσο αυτό είναι δυνατόν, το αυθεντικό κείµενο, όπως το έγραψε ο ίδιος ο αρχαίος συγγραφέας, στην προκειµένη περίπτωση ο Ευκλείδης. Στο πλαίσιο που ακολουθεί περιγράφουµε µερικές πλευρές αυτής της δραστηριότητας. Πρέπει να σηµειώσουµε πάντως ότι το έργο της αποκατάστασης των κειµένων είναι πολύ πιο σύνθετο απ ό,τι αφήνεται να εννοηθεί στη δική µας απλουστευτική περιγραφή. Το έργο της αποκατάστασης των κειµένων Το πρόβληµα της αποκατάστασης ενός αξιόπιστου αρχαίου κειµένου από το πλήθος των χειρογράφων του δεν είναι ένα εύκολο πρόβληµα και οι κλασικοί φιλόλογοι έχουν αναπτύξει πολύ λεπτές τεχνικές στην αντιπαραβολή των χειρογράφων προκειµένου να το επιλύσουν. Η µέθοδος που ακολουθείται είναι σε αδρές γραµµές η εξής: Έστω ότι

67 67 παραβάλλουµε τα χειρόγραφα Α και Β ενός και του αυτού κειµένου. Εάν το χειρόγραφο Β περιέχει όλα τα λάθη και τις ιδιαιτερότητες του Α και επιπλέον ορισµένες ακόµη που ανήκουν µόνο σ αυτό, τότε έχουµε µια πολύ ισχυρή ένδειξη ότι το Β είναι αντίγραφο ή αντίγραφο αντιγράφου που προέρχεται από το Α. Εάν τώρα το Α και το Β έχουν έναν αριθµό κοινών λαθών και το καθένα περιέχει µερικά επιπλέον µη κοινά λάθη, τότε συµπεραίνουµε ότι τα δύο χειρόγραφα προέρχονται πιθανώς από ένα κοινό αρχέτυπο Χ, το οποίο ενδέχεται να µην διασώζεται, µπορεί όµως να ανασυγκροτηθεί. Με αυτόν τον τρόπο συντάσσεται το γενεαλογικό δένδρο (οι φιλόλογοι χρησιµοποιούν τον όρο «στέµµα») των χειρογράφων, κατατάσσονται δηλαδή τα χειρόγραφα σε οικογένειες, η καθεµιά από τις οποίες εκπροσωπείται από ένα αρχέτυπο. Από τα αρχέτυπα, τέλος, ανασυγκροτείται το αρχικό κείµενο. Η παραποίηση των αυθεντικών κειµένων δεν είναι η µόνη συνέπεια της διαδικασίας των επανειληµµένων αντιγραφών. Μια δεύτερη συνέπεια, πολύ πιο σηµαντική, είναι ότι από τη διαδικασία αυτή «επιβίωσαν» και διασώθηκαν εκείνα µόνο τα έργα τα οποία η εκάστοτε επόµενη γενιά θεώρησε, για τον ένα ή για τον άλλο λόγο, ότι έπρεπε να αντιγραφούν και, εποµένως, να διασωθούν και να παραδοθούν ως τις µέρες µας. Αντίθετα, υπάρχουν πολλά έργα της αρχαιότητας των οποίων γνωρίζουµε τους τίτλους και µε µεγάλο ενδιαφέρον θα τα µελετούσαµε σήµερα, αλλά δυστυχώς δεν διασώθηκαν. Για παράδειγµα, τα Κωνικά του Απολλωνίου, ένα έργο που γράφτηκε τον 2 ο π.χ. αιώνα, φαίνεται ότι συνέβαλαν να περιπέσουν σε αχρηστία δύο έργα µε το ίδιο αντικείµενο, δηλαδή τις κωνικές τοµές, που είχαν γράψει 150 χρόνια πιο πριν ο Αρισταίος ο πρεσβύτερος (Στερεοί τόποι) και ο Ευκλείδης (Κωνικά [στοιχεία]). Προφανώς, µετά την εµφάνιση του έργου του Απολλωνίου αυτά τα έργα θεωρήθηκαν παρωχηµένα, δεν κρίθηκε αναγκαία η αντιγραφή τους και έτσι δεν διασώθηκαν. Είναι περιττό να πούµε ότι τα έργα αυτά θα αποτελούσαν σήµερα για τους ιστορικούς των µαθηµατικών ένα ανεκτίµητης αξίας υλικό για την ανασυγκρότηση της πρώιµης ιστορίας των κωνικών τοµών. Στο θέµα της ιστορίας των κωνικών τοµών θα επανέλθουµε αργότερα, στην ενότητα 1.5. Μετά από αυτή την παρέκβαση για να συζητήσουµε τις ιστοριογραφικές συνέπειες που το είδος των πηγών έχει για την ανασυγκρότηση της ιστορίας των ελληνικών µαθηµατικών, ας επανέλθουµε στο ερώτηµα που θέσαµε πιο πριν. Από πού αντλούµε τις

68 68 γνώσεις µας για τα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά; Οι γνώσεις µας για τα µαθηµατικά που αναπτύχθηκαν τον 6 ο και τον 5 ο π.χ. αιώνα είναι αποσπασµατικές. Κανένα κείµενο της εποχής δεν διασώζεται ακέραιο και οι όποιες πληροφορίες έχουµε προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν µέχρι και 1000 χρόνια αργότερα. Τις περισσότερες πληροφορίες τις αντλούµε από την επισκόπηση της ιστορίας της γεωµετρίας που περιέλαβε ο Νεοπλατωνικός φιλόσοφος Πρόκλος στο σχόλιό του στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη. Αν και ο Πρόκλος έζησε τον 5 ο µ.χ. αιώνα, η επισκόπησή του θεωρείται αρκετά αξιόπιστη γιατί βασίζεται σε µεγάλο βαθµό στην χαµένη σήµερα Γεωµετρική ιστορία που είχε γράψει ο µαθητής του Αριστοτέλη Εύδηµος, δηλαδή ένας συγγραφέας που έζησε σε µια εποχή αρκετά κοντινή προς την περίοδο που εξετάζουµε. Λόγω της σηµασίας που έχει η επισκόπηση του Πρόκλου θεωρούµε χρήσιµο να παραθέσουµε το παρακάτω εκτενές απόσπασµα, στο οποίο εξιστορείται η ιστορία της γεωµετρίας στην περίοδο πριν από τον Ευκλείδη. Όπως λοιπόν εξ αιτίας του εµπορίου και των συναλλαγών έλαβε στους Φοίνικες την αρχή της η ακριβής γνώση των αριθµών, έτσι και για την προαναφερθείσα αιτία ανακαλύφθηκε η γεωµετρία από τους Αιγυπτίους. Ο Θαλής δε, αφού ταξίδεψε στην Αίγυπτο, µετέφερε για πρώτη φορά στην Ελλάδα την επιστήµη αυτή και πολλά µεν θεωρήµατα βρήκε ο ίδιος, τις αρχές δε πολλών άλλων υπέδειξε στους νεωτέρους του, πραγµατευόµενος άλλα [θεωρήµατα] µε τρόπο περισσότερο γενικό και άλλα µε τρόπο περισσότερο δια των αισθήσεων αντιληπτό. Μετά απ αυτόν ακολουθεί ο Μαµέρτιος, ο αδελφός του ποιητή Στησιχόρου, ο οποίος µνηµονεύεται ότι ασχολήθηκε µε τη γεωµετρία, και ο Ιππίας ο Ηλείος έγραψε ότι δοξάστηκε στη γεωµετρία. Σε αυτούς πρέπει να προστεθεί κατόπιν ο Πυθαγόρας, ο οποίος µεταµόρφωσε την επιστήµη η αυτή δίδοντάς της τη µορφή ελεύθερης παιδείας. Εξέτασε τις αρχές της εκ των άνω και διερεύνησε τα θεωρήµατά της κατά τρόπο άυλο και νοερό. Αυτός ανακάλυψε, επίσης, τη θεωρία περί αναλογιών (ή περί ασυµµετρίας) και τη συγκρότηση των κοσµικών σχηµάτων 2. Μετά απ αυτόν, µε πολλά [προβλήµατα] της γεωµετρίας ασχολήθηκε ο Αναξαγόρας o Κλαζοµένιος, όπως και ο λίγο νεότερος του Αναξαγόρα Οινοπίδης ο Χίος, που µνηµονεύονται ως φηµισµένοι µαθηµατικοί από τον Πλάτωνα στους Αντεραστές. Αργότερα ο Ιπποκράτης o Χίος, που ανακάλυψε τον τετραγωνισµό των µηνίσκων, και ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος έγιναν επιφανείς γεωµέτρες. ιότι ο Ιπποκράτης είναι ο πρώτος από τους µνηµονευθέντες που συνέγραψε Στοιχεία. Ο Πλάτων, ο οποίος ακολουθεί, συντέλεσε ώστε να λάβουν πολύ µεγάλη ανάπτυξη και οι υπόλοιπες µαθηµατικές επιστήµες και η γεωµετρία, λόγω του ζήλου [που επέδειξε] προς αυτές, ο οποίος είναι κατά κάποιον τρόπο εµφανής αφού και τα συγγράµµατά του τα έχει γεµίσει µε µαθηµατικούς συλλογισµούς και µε κάθε ευκαιρία παρακινεί τον θαυµασµό εκείνων που επιδίδονται στη φιλοσοφία για τα µαθηµατικά. Την ίδια εποχή έζησαν επίσης ο Λεωδάµας ο Θάσιος, ο Αρχύτας o Ταραντίνος και ο Θεαίτητος ο 2 ηλαδή τα κανονικά πολύεδρα.

69 69 Αθηναίος, οι οποίοι αύξησαν τον αριθµό των θεωρηµάτων και τα διάρθρωσαν σ ένα επιστηµονικότερο σύνολο. Νεότερος δε του Λεωδάµαντος ήταν ο Νεοκλείδης και ο µαθητής αυτού Λέων, οι οποίοι πρόσθεσαν πολλά σε όσα είχαν επιτύχει οι προγενέστεροί τους. Έτσι ο Λέων µπόρεσε αφ ενός να συνθέσει Στοιχεία µε µεγαλύτερη επιµέλεια ως προς τον αριθµό και τη χρήση των αποδεικνυοµένων [προτάσεων] και αφ ετέρου να διατυπώσει περιορισµούς για το πότε το ζητούµενο πρόβληµα είναι δυνατό και πότε είναι αδύνατο. O Εύδοξος ο Κνίδιος, λίγο νεότερος του Λέοντος και φίλος των µαθητών του Πλάτωνος, αύξησε για πρώτη φορά τον αριθµό των λεγόµενων γενικών θεωρηµάτων, πρόσθεσε τρεις νέες αναλογίες στις υπάρχουσες τρεις και προήγαγε τις έρευνες σχετικά µε την τοµή που είχε αρχίσει ο Πλάτων, χρησιµοποιώντας σ αυτές και την αναλυτική µέθοδο. Ακόµη περισσότερο τελειοποίησαν τη γεωµετρία ο Αµύκλας ο Ηρακλειώτης, ένας από τους φίλους του Πλάτωνος, ο Μέναιχµος, µαθητής του Ευδόξου και φίλος του Πλάτωνος, καθώς και ο αδελφός του εινόστρατος. Ο Θεύδιος από τη Μαγνησία φαίνεται, επίσης, ότι διακρίθηκε τόσο στα µαθηµατικά όσο και στις άλλες επιστήµες, διότι και τα Στοιχεία συνέταξε καλώς και γενίκευσε πολλές µερικές [προτάσεις]. Και ο Αθήναιος από την Κύζικο, ο οποίος έζησε κατά την ίδια εποχή, έγινε επιφανής στους άλλους κλάδους των µαθηµατικών και ιδιαιτέρως στη γεωµετρία. Αυτοί ζούσαν όλοι µαζί στην Ακαδηµία και διεξήγαγαν τις έρευνές τους από κοινού. Ο Ερµότιµος ο Κολοφώνιος ανέπτυξε ακόµη περισσότερο τις έρευνες που άρχισαν ο Εύδοξος και ο Θεαίτητος, ανακάλυψε πολλές από τις προτάσεις των Στοιχείων και συνέγραψε ορισµένα περί γεωµετρικών τόπων. Ο Φίλιππος ο Μενδαίος, µαθητής του Πλάτωνος, που µάλιστα τον προέτρεψε να ασχοληθεί µε τα µαθηµατικά, έκανε τις έρευνές του σύµφωνα µε τις υποδείξεις του Πλάτωνος, ανέλαβε δε να κάνει πράγµατα που θα µπορούσαν κατά την κρίση του να συµβάλλουν στην ίδια τη φιλοσοφία του Πλάτωνος. Οι ιστορικοί, λοιπόν, µέχρις αυτού του σηµείου κατέγραψαν την εξέλιξη της επιστήµης αυτής. Όχι πολύ νεότερος αυτών είναι o Ευκλείδης ο οποίος συνάθροισε τα Στοιχεία, όπου συγκέντρωσε πολλά απ αυτά που ανακάλυψε ο Εύδοξος, τελειοποίησε πολλά από τα [αποτελέσµατα] του Θεαίτητου, και συµπλήρωσε µε αψεγάδιαστες αποδείξεις όσα δεν είχαν αποδειχθεί αυστηρά από τους προγενεστέρους του. Έζησε δε ο άνδρας αυτός την εποχή του Πτολεµαίου του πρώτου. ιότι ο Αρχιµήδης, ο οποίος ακολουθεί αµέσως µετά τον πρώτο [Πτολεµαίο], µνηµονεύει τον Ευκλείδη. Αναφέρεται µάλιστα ότι ο Πτολεµαίος τον ρώτησε κάποτε αν υπάρχει οδός προς τη γεωµετρία συντοµότερη της Στοιχειώσεως και αυτός απάντησε ότι δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωµετρία. Είναι λοιπόν νεότερος των µαθητών του Πλάτωνος, αρχαιότερος όµως του Ερατοσθένη και του Αρχιµήδη. ιότι, όπως αναφέρει κάπου o Ερατοσθένης, αυτοί [οι δύο] ήταν σύγχρονοι. Το αρχαίο κείµενο δηµοσιεύεται στο ([Bulmer-] Thomas, τ. I, 1991, σ ).

70 70 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Αφού διαβάσετε προσεκτικά το απόσπασµα αυτό από τον Πρόκλο, προσπαθήστε να απαντήσετε µε συντοµία στα ακόλουθα ερωτήµατα: 1) Πιστεύετε ότι ο σκοπός του Πρόκλου είναι να παρουσιάσει στο απόσπασµα αυτό µια επισκόπηση της ιστορίας όλων των κλάδων των ελληνικών µαθηµατικών της περιόδου µέχρι τον Ευκλείδη; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 2) Στο κείµενο του Πρόκλου εµφανίζονται µεταξύ άλλων τα ονόµατα του Ιπποκράτη, του Ευδόξου, του Αρχιµήδη, του Ερατοσθένη, του Θεαίτητου και του Μέναιχµου. Για να αποκτήσετε µια πρώτη αντίληψη της χρονολογικής εξέλιξης των µαθηµατικών στην αρχαία Ελλάδα, προσπαθήστε να τοποθετήσετε τα ονόµατα αυτά µε τη σειρά που τα παραθέτει ο Πρόκλος. είτε τη δική µας απάντηση στο Παράρτηµα, στο τέλος της ενότητας Η σχολή της Ιωνίας Στην επισκόπησή του ο Πρόκλος παραθέτει µε χρονολογική σειρά τα ονόµατα των πιο σηµαντικών Ελλήνων γεωµετρών που έζησαν πριν από τον Ευκλείδη. Αυτός ο «Κατάλογος των γεωµετρών» αρχίζει όπως είδαµε µε τον Θαλή (περ π.χ.), τον πρώτο από τους «επτά σοφούς» της αρχαίας Ελλάδας.! Η λέξη «σοφός» εδώ, δεν πρέπει να µας δίνει την εντύπωση ότι ο Θαλής ήταν ένα είδος αφηρηµένου καθηγητή, τελείως αδιάφορου για τα εγκόσµια. Γενικώς οι «επτά σοφοί», που στην πραγµατικότητα ήταν πολύ περισσότεροι, ήταν πολιτικοί, νοµοθέτες, ηθικολόγοι, άνθρωποι µε πρακτική σκέψη. Έτσι, ο Θαλής διαδραµάτισε ενεργό ρόλο στην πολιτική ζωή της εποχής του στη Μίλητο, απέκτησε µεγάλη περιουσία ασχολούµενος µε το εµπόριο λαδιού, ενώ αναφέρεται επίσης ότι συµβούλευε τους ναυτιλλοµένους συµπολίτες του να χρησιµοποιούν ως οδηγό τους τον αστερισµό της Μικρής και όχι της Μεγάλης Άρκτου. Ήταν λοιπόν όχι µόνο θεωρητικός και φιλόσοφος αλλά, επίσης, πολιτικός και άνθρωπος µε πρακτική σκέψη, ένας «σοφός» µε όλη την αρχαιοελληνική σηµασία του όρου (βλ. Waerden, 2000, σ. 90).

71 71 Είναι δύσκολο να εξακριβώσουµε ποια είναι ακριβώς η συµβολή του Θαλή στην ιστορία των µαθηµατικών. Σύµφωνα µε την παράδοση σε αυτόν αποδίδονται πέντε µαθηµατικές προτάσεις, τις οποίες µπορείτε να διαβάσετε στο πλαίσιο που ακολουθεί. Οι µαθηµατικές προτάσεις που αποδίδονται στον Θαλή Σύµφωνα µε την παράδοση στον Θαλή αποδίδονται: 1. Η απόδειξη της πρότασης ότι η διάµετρος διαιρεί τον κύκλο σε δύο ίσα µέρη. 2. Η ανακάλυψη της ιδιότητας ότι οι παρά την βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 3. Η ανακάλυψη της ισότητας των κατά κορυφή γωνιών. 4. Το θεώρηµα που αφορά στην ισότητα δύο τριγώνων µε µία πλευρά και δύο γωνίες ίσες. Αναφέρεται µάλιστα ότι ο Θαλής χρησιµοποίησε αυτό το θεώρηµα για να δείξει την ορθότητα της µεθόδου του µε βάση την οποία υπολόγιζε από την ακτή την απόσταση ενός πλοίου µέσα στη θάλασσα. 5. Η κατασκευή του περιγεγραµµένου κύκλου σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η ιστορική κριτική ωστόσο είναι επιφυλακτική σε ό,τι αφορά την ορθότητα των πληροφοριών που µας έχει κληροδοτήσει η παράδοση. Όπως έχουµε ήδη αναφέρει, δεν υπήρχε στην αρχαιότητα κανένα έργο του οποίου συγγραφέας να ήταν ο Θαλής. Ούτε ο Ηρόδοτος, ούτε ο Πλάτων, ούτε ο Αριστοτέλης, ούτε ο µαθητής του Εύδηµος, ούτε φυσικά ο Πρόκλος είχαν στα χέρια τους κάποιο γραπτό κείµενο του Θαλή. Υπ αυτές τις συνθήκες πρέπει να είµαστε πολύ επιφυλακτικοί απέναντι σε αυτά που µας έχουν παραδοθεί. Επίσης, δεν µπορεί να γίνεται λόγος για αληθινές αποδείξεις των παραπάνω προτάσεων από τον Θαλή. Την εποχή εκείνη (αρχές του 6 ου π.χ. αιώνα) έλειπαν τόσο το λογικό υπόβαθρο όσο και η αξιωµατική συγκρότηση που κάνουν δυνατή µια µαθηµατική απόδειξη (θα επανέλθουµε στο θέµα αυτό στην ενότητα 1.5). Αλλά και πέρα απ αυτό, η δοµή των πρώιµων µαθηµατικών της εποχής του Θαλή δεν θα µπορούσε να είναι τόσο αυστηρά λογική ώστε να επιζητείται η απόδειξη πραγµάτων τόσο προφανών όπως είναι λ.χ. η ισότητα των δύο µερών στα οποία χωρίζει η διάµετρος τον κύκλο. Τη συγκεκριµένη πρόταση άλλωστε δεν την αποδεικνύει ούτε καν ο Ευκλείδης στα Στοιχεία. Την έχει ενσωµατώσει στον ορισµό της διαµέτρου του κύκλου. Η συµβολή του Θαλή, λοιπόν, δεν πρέπει να αναζητηθεί στην απόδειξη αυτών των προτάσεων. Τότε, όµως, που

72 72 πρέπει να την αναζητήσουµε; Αν εξετάσουµε προσεκτικά τις παραπάνω προτάσεις θα διαπιστώσουµε ότι όλες σχεδόν περιστρέφονται γύρω από τις έννοιες της συµµετρίας και της ισότητας γωνιών. Ίσως λοιπόν να µην είµαστε µακριά από την πραγµατικότητα αν πούµε ότι τα θέµατα που µελέτησε ο Θαλής ήταν η οµοιότητα µερικών απλών σχηµάτων µε ίσες γωνίες, οι συνθήκες κάτω από τις οποίες µια οµοιότητα µετατρέπεται σε ισότητα και οι ιδιότητες µερικών συµµετρικών σχηµάτων. Η ουσιαστικότερη, όµως, συµβολή του Θαλή και γενικότερα των Ιώνων γεωµετρών του 6 ου π.χ. αιώνα, είναι ότι για πρώτη φορά εισήγαγαν έναν νέο ρόλο στο γεωµετρικό σχήµα, έναν ρόλο που ποτέ δεν είχε στο παρελθόν. Ας δούµε σε τι ακριβώς συνίσταται ο νέος αυτός ρόλος. Στους αιγυπτιακούς παπύρους και στις βαβυλωνιακές πινακίδες συναντούµε µερικές φορές χαραγµένα γεωµετρικά σχήµατα, ο ρόλος τους όµως ήταν τελείως επουσιώδης χρησίµευαν απλώς για να σηµειωθούν σε αυτά οι αριθµητικές τιµές των δεδοµένων του εκάστοτε προβλήµατος (π.χ. το µήκος µιας πλευράς σε ένα τρίγωνο, το µήκος της διαµέτρου ενός κύκλου κ.λπ.). Με τους Ίωνες φαίνεται ότι το σχήµα γίνεται για πρώτη φορά στην ιστορία αντικείµενο µελέτης και µαθηµατικού στοχασµού. Η χάραξη του σχήµατος, η θεώρησή του και ο στοχασµός µε σκοπό την απόκτηση γνώσης, η παρατήρηση των βασικών ιδιοτήτων του και στη συνέχεια η δικαιολόγηση του ισχυρισµού (σε ό,τι αφορά τις ιδιότητες) προς τον «άλλο», τον συνοµιλητή, αποτελούν ουσιαστικά χαρακτηριστικά του νέου ρόλου του σχήµατος, ο οποίος έµελλε να αποτελέσει κρίσιµο παράγοντα για να γνωρίσει η γεωµετρία στους δύο αιώνες που επακολούθησαν αυτή την τόσο εντυπωσιακή ανάπτυξη που κορυφώθηκε µε τη συγγραφή των Στοιχείων από τον Ευκλείδη γύρω στο 300 π.χ. Και αυτή είναι, ίσως, η σηµαντικότερη συνεισφορά του Θαλή και των Ιώνων στην ιστορία των µαθηµατικών Η σχολή των Πυθαγορείων Το όνοµα του Πυθαγόρα (περ ) µνηµονεύεται στον Κατάλογο του Πρόκλου λίγο µετά από εκείνο του Θαλή. Όπως στην περίπτωση του Θαλή έτσι και για τον Πυθαγόρα είναι πολύ δύσκολο να εξακριβώσουµε ποια είναι η συµβολή του στην ιστορία των µαθηµατικών. Πράγµατι, οι γνώσεις µας τόσο για τον ίδιο όσο και τους πρώτους µαθητές του αντλούνται σχεδόν αποκλειστικά από έργα µεταγενέστερων συγγραφέων, στους οποίους περιλαµβάνονται και οι λεγόµενοι «Νεοπυθαγόρειοι» όπως ο Νικόµαχος ο Γερασηνός, ο Θέων ο Σµυρναίος (2 ος µ.χ. αιώνας) και ο Ιάµβλιχος (5 ος µ.χ. αιώνας)

73 73 οι οποίοι είχαν την τάση να αποδίδουν άκριτα στους «παλαιούς», και κυρίως στον ίδιο τον Πυθαγόρα, κάθε είδους επιστηµονική γνώση. Οι περισσότεροι από τους συγχρόνους του όµως, φαίνεται ότι θεωρούσαν τον Πυθαγόρα µάλλον ως θρησκευτικό προφήτη και λιγότερο ως µαθηµατικό, ενώ ο Ηρόδοτος τον κατέτασσε στους ψευδών τέκτονας, τον χαρακτήριζε ως αρχηγό των τσαρλατάνων (κοπίδων αρχηγός) και τον κατηγορούσε για πολυµαθίην και κακοτεχνίην (Ρούσσος, 1999, σ ). Ο B.L. van der Waerden για τον Πυθαγόρα Ήταν ο Πυθαγόρας µαθηµατικός, φιλόσοφος, προφήτης, άγιος ή τσαρλατάνος; Ήταν λίγο απ όλα. Για τους οπαδούς του ήταν η προσωποποίηση της ύψιστης θεϊκής σοφίας, αλλά ο Ηράκλειτος τον αναφέρει ως «πολυµαθίην, κακοτεχνίην». Κήρυττε την αθανασία της ψυχής, επέβαλε ένα αυστηρό καθεστώς για τους µαθητές του και ίδρυσε µια αδελφότητα πιστών, το τάγµα των Πυθαγορείων, που εξαπλώθηκε αργότερα από τον Κρότωνα σε έναν αριθµό ελληνικών πόλεων της Ιταλίας και φαίνεται ότι έπαιξε σηµαντικό ρόλο στην πολιτική ζωή των πόλεων αυτών. Μετά από µια περίοδο δοκιµής και κατόπιν αυστηρής επιλογής, επιτρεπόταν στους µυηµένους του τάγµατος να ακούν, πίσω από ένα παραβάν, τη φωνή του ασκάλου. Και µόνο ύστερα από µερικά χρόνια, όταν οι ψυχές τους θα είχαν εξαγνισθεί ακόµη περισσότερο µε τη µουσική και την αγνή, σύµφωνη προς τους κανόνες ζωή, τους επιτρεπόταν να τον δουν. Αυτός ο εξαγνισµός και η µύηση στα µυστήρια της αρµονίας και των αριθµών, θα έκανε την ψυχή ικανή να προσεγγίσει το Θείο και, έτσι, να ξεφύγει από τις κυκλικά επαναλαµβανόµενες αναγεννήσεις.» (Waerden, 2000, σ. 98 & 101) Κεντρική θέση στη διδασκαλία του Πυθαγόρα είχε ο εξαγνισµός της ψυχής. Η διδασκαλία του, όµως, διέφερε από άλλες αντίστοιχες διδασκαλίες της εποχής ως προς το ότι απέδιδε πολύ µεγάλη σηµασία στα µαθηµατικά και πιο συγκεκριµένα στην αριθµητική, καθώς η κεντρική ιδέα γύρω από την οποία περιστρεφόταν ήταν ότι οι αριθµοί αποτελούν τη θεµελιώδη αρχή από την οποία συγκροτείται ο κόσµος. «Τα στοιχεία των αριθµών είναι στοιχεία όλων των όντων», δίδασκαν οι Πυθαγόρειοι σύµφωνα µε µαρτυρία του Αριστοτέλη (Μετά τα φυσικά, Α 986a): η αρµονία των µουσικών διαστηµάτων, οι κινήσεις των πλανητών, οι γεωµετρικές µορφές που έχουν οι αστερισµοί, οι ιδιότητες των γεωµετρικών σχηµάτων, όλα χαρακτηρίζονται από αριθµούς ή από λόγους µεταξύ αριθµών.

74 74 Βλέπουµε αµέσως εδώ τη βασική διαφορά που υπάρχει ανάµεσα στη διδασκαλία του Πυθαγόρα και των οπαδών του από τη µία πλευρά και στις διδασκαλίες των Μιλήσιων φυσικών φιλοσόφων από την άλλη. Ενώ οι Μιλήσιοι αναζητούσαν µια υλική πρώτη αρχή που αποτελεί την ουσία των όντων, ο Πυθαγόρας και οι µαθητές του έστρεψαν την προσοχή τους από την έρευνα της ουσίας στη µελέτη της δοµής των φαινοµένων, δοµής η οποία, πίστευαν, εκφράζεται διά των αριθµών. «Οι Πυθαγόρειοι», γράφει ο G.E.R. Lloyd, «κατατάσσονται µεταξύ των πρώτων θεωρητικών οι οποίοι επιχείρησαν εκ προθέσεως να προσδώσουν στη γνώση της φύσης ένα θεµέλιο ποσοτικό, µαθηµατικό» (Lloyd, 1996, σ. 41). Είναι περιττό να τονίσουµε ότι αυτή η εστίαση του ενδιαφέροντος στις ποσοτικές πλευρές της µελέτης του φυσικού κόσµου έχει εξαιρετική σηµασία για την ιστορία της επιστήµης και, µάλιστα, φαντάζει στον σηµερινό αναγνώστη ως εξαιρετικά µοντέρνα. Αποδίδοντας, λοιπόν, τόσο µεγάλη σηµασία στη µελέτη των αριθµών οι Πυθαγόρειοι επιδόθηκαν στην έρευνα των ιδιοτήτων τους. Εδώ οφείλουµε ευθύς εξαρχής να διευκρινίσουµε ότι η έννοια του αριθµού στην αρχαιότητα ήταν πολύ πιο περιορισµένη από τη σύγχρονη έννοια που έχει ο όρος αυτός. Οι αριθµοί των αρχαίων δεν περιελάµβαναν τους άρρητους ούτε τα κλάσµατα. Ακόµη και αυτή η µονάδα δεν θεωρείτο, όπως έχουµε αναφέρει, αριθµός. Οι αριθµοί κατά τους αρχαίους δήλωναν πάντοτε ορισµένα πλήθη ορισµένων αντικειµένων και αντιστοιχούσαν σε ό,τι ονοµάζουµε σήµερα θετικούς ακεραίους. Με βάση, λοιπόν, αυτόν τον τρόπο κατανόησης των αριθµών, οι Πυθαγόρειοι επινόησαν έναν τρόπο απεικόνισής τους χρησιµοποιώντας «ψήφους» (στιγµές ή, πιο συγκεκριµένα, χαλίκια). Πώς ακριβώς διευθετούσαν τις ψήφους δεν το γνωρίζουµε. Οι ιστορικοί των µαθηµατικών έχουν προτείνει διάφορες εκδοχές, η απλούστερη από τις οποίες είναι αυτή που έχει προτείνει ο W.R. Knorr και θα υιοθετήσουµε και εµείς: κάθε αριθµός θα παριστάνεται µε µία απλή σειρά ψήφων του ίδιου χρώµατος. Όποιος κι αν ήταν, πάντως, ο τρόπος παράστασης των αριθµών µε ψήφους, έδωσε τη δυνατότητα στους Πυθαγορείους να προβούν σε µια πρώτη βασική ταξινόµηση των αριθµών, σε άρτιους και σε περιττούς. Με βάση την αναπαράσταση που υιοθετήσαµε θα παριστάνουµε έναν άρτιο αριθµό µε µια σειρά ψήφων η οποία µπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα µέρη. Ένας περιττός αριθµός, αντίθετα, δεν µπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα µέρη γιατί πάντοτε περισσεύει µία ψήφος.!!! /!!!!! /! /!!

75 75 ο άρτιος αριθµός 6 ο περιττός αριθµός 5 Με αυτόν τον τρόπο παράστασης των αριθµών είναι τετριµµένη υπόθεση η δικαιολόγηση µερικών απλών θεωρηµάτων της στοιχειώδους αριθµητικής. Τα θεωρήµατα που ακολουθούν περιέχονται στο ένατο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη: IX 21: Το άθροισµα οσωνδήποτε άρτιων αριθµών είναι άρτιος. IX 22: Το άθροισµα άρτιου πλήθους περιττών αριθµών είναι άρτιος. IX 23: Το άθροισµα περιττού πλήθους περιττών αριθµών είναι περιττός. IX 24 & IX 26: Η διαφορά µεταξύ δύο αριθµών της αυτής αρτιότητας είναι άρτιος. IX 25 & IX 27: Η διαφορά µεταξύ δύο αριθµών αντίθετης αρτιότητας είναι περιττός. IX 28: Το γινόµενο περιττού αριθµού µε άρτιο είναι άρτιος. IX 29: Το γινόµενο περιττού αριθµού µε περιττό είναι περιττός. Όλα αυτά τα θεωρήµατα µπορούν να δικαιολογηθούν εποπτικά χρησιµοποιώντας τον τρόπο παράστασης των αριθµών µε ψήφους. Για παράδειγµα, το θεώρηµα IX 22 θα µπορούσε να δικαιολογηθεί ως εξής: Έστω ότι προσθέτουµε τους περιττούς αριθµούς Α, Β, Γ, που απεικονίζονται παρακάτω Α Β Γ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Αν αποσπάσουµε από τον κάθε αριθµό την κεντρική µονάδα, τότε σχηµατίζονται οι αριθµοί Α, Β, Γ, οι οποίοι είναι άρτιοι και, καθώς το πλήθος τους είναι άρτιο, µπορούµε να συγκεντρώσουµε τις µονάδες που αποσπάσαµε ώστε να σχηµατισθεί ο αριθµός Ε ο οποίος εξ υποθέσεως είναι άρτιος. Σχηµατίζονται έτσι οι αριθµοί Α!!!!!!!! Β!!!!!!!!!! Γ!!!!!!!! Ε!!!! Το άθροισµα των αριθµών Α, Β, Γ, είναι εκ κατασκευής ίσο µε το άθροισµα των Α, Β, Γ,, Ε και οι αριθµοί αυτοί είναι όλοι άρτιοι. Από το προηγούµενο θεώρηµα όµως

76 76 (θεώρηµα IX 21), γνωρίζουµε ότι το άθροισµα οσονδήποτε άρτιων αριθµών είναι άρτιος αριθµός. Άρα, το άθροισµα των αριθµών Α, Β, Γ και είναι άρτιος αριθµός. Παρόµοιες αποδείξεις µπορούµε να δώσουµε για όλα τα θεωρήµατα του ενάτου βιβλίου που παραθέσαµε πιο πριν. Είναι εύλογο, λοιπόν, να υποθέσουµε ότι το τµήµα του ενάτου βιβλίου που απαρτίζεται από τα παραπάνω θεωρήµατα (καθώς και τα θεωρήµατα IX & 36 τα οποία εντάσσονται επίσης στη θεωρία περί αρτίων και περιττών) προέρχεται από τη σχολή των Πυθαγορείων και αποτελεί ένα δείγµα της αριθµητικής τους. Ένα άλλο κεφάλαιο της αριθµητικής των Πυθαγορείων ήταν η θεωρία για τους «παραστατικούς» αριθµούς. Ένας παραστατικός αριθµός σχηµατίζεται διευθετώντας καταλλήλως τις ψήφους που τον απαρτίζουν έτσι ώστε να προκύψει µια γεωµετρική µορφή. Στα σχήµατα που ακολουθούν απεικονίζονται τρεις παραστατικοί αριθµοί: ο τετράγωνος 25, ο τρίγωνος 21 και ο ετεροµήκης 30 (ετεροµήκεις ονοµάζονταν οι αριθµοί που µπορούν να γραφούν ως γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων, δηλαδή οι αριθµοί της µορφής n(n + 1) στην προκειµένη περίπτωση ο 30 γράφεται 5 6). ο τετράγωνος 25 ο τρίγωνος 21 ο ετεροµήκης 30 Το κλειδί για τη µελέτη των ιδιοτήτων των παραστατικών αριθµών ήταν η έννοια του «γνώµονα», δηλαδή του φυσικού αριθµού ο οποίος, όταν προστεθεί σε έναν όρο της ακολουθίας των παραστατικών αριθµών ενός ορισµένου είδους, παράγει τον επόµενο όρο της ακολουθίας. Στα παρακάτω σχήµατα βλέπουµε ότι αν στον αριθµό 1 προσθέσουµε τον περιττό αριθµό 3 (ο οποίος είναι ο «γνώµων») σχηµατίζεται ο τετράγωνος αριθµός 4 (βλ. σχήµα αριστερά). Αν σε αυτόν τον αριθµό προσθέσουµε τον περιττό αριθµό 5 (που είναι ο επόµενος «γνώµων») σχηµατίζεται ο τετράγωνος 9 (βλ. σχήµα στο µέσον), κ.ο.κ.

77 77 ιαπιστώνουµε έτσι ότι οι γνώµονες των τετραγώνων αριθµών είναι οι διαδοχικοί περιττοί αριθµοί µε πρώτον τον 3. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι οι γνώµονες των τρίγωνων αριθµών είναι οι διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί µε πρώτον τον 2, ενώ οι γνώµονες των ετεροµηκών αριθµών είναι οι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί µε πρώτον τον 4. Το πιο σηµαντικό αποτέλεσµα στο οποίο κατέληξαν οι Πυθαγόρειοι από τη µελέτη των παραστατικών αριθµών είναι η µέθοδος για την εύρεση των «πυθαγορείων τριάδων». Τρεις φυσικοί αριθµοί Α, Β, Γ αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα αν ικανοποιούν τη σχέση Α² + Β² = Γ². Συγκεκριµένα, ο Πρόκλος αποδίδει στον Πυθαγόρα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της µορφής (N, N² - 1 ), όπου Ν περιττός αριθµός µεγαλύτερος του 1. Για 2, N² παράδειγµα, αν πάρουµε ως Ν τον αριθµό 3, θα σχηµατιστεί η τριάδα (3, 3² - 1 2, 3² ), δηλαδή η (3, 4, 5), η οποία είναι πράγµατι πυθαγόρεια τριάδα αφού ικανοποιεί τη σχέση 3² + 4² = 5². Ο Πρόκλος επίσης αποδίδει στον Πλάτωνα την εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της µορφής (N, (N/2)² - 1, (N/2)² + 1), όπου Ν άρτιος αριθµός µεγαλύτερος του 2. Για παράδειγµα, αν πάρουµε ως Ν τον αριθµό 8, θα σχηµατιστεί η τριάδα (8, (8/2)² - 1, (8/2)² + 1), δηλαδή η (8, 15, 17), η οποία είναι πράγµατι πυθαγόρεια τριάδα γιατί 8² + 15² = 17². Από µια άλλη πηγή πάντως, ο δεύτερος τύπος αποδίδεται στον Πυθαγόρειο Αρχύτα (περ π.χ.). Οι ιστορικοί των µαθηµατικών έχουν αποδείξει ότι οι παραπάνω τύποι µπορούν να εξαχθούν και να δικαιολογηθούν µε βάση τη θεωρία των παραστατικών αριθµών. Στο πλαίσιο που ακολουθεί παρουσιάζουµε µια τέτοια ανακατασκευή του πρώτου από τους πιο πάνω τύπους, για τους αναγνώστες εκείνους οι οποίοι επιθυµούν να παρακολουθήσουν πώς θα µπορούσαν να είχαν εργαστεί οι µαθηµατικοί εκείνης της εποχής. Οφείλουµε πάντως να διευκρινίσουµε ότι η ανακατασκευή που προτείνουµε είναι τελείως υποθετική, αφού δεν έχει διασωθεί κανένα αρχαίο κείµενο που να την περιέχει,

78 78 είναι όµως αρκετά ευλογοφανής µιας και στηρίζεται σε µαθηµατικές γνώσεις που δεν υπερβαίνουν τον εννοιολογικό ορίζοντα της εποχής. Η εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της µορφής (N, N² - 1 όπου Ν περιττός αριθµός µεγαλύτερος του 1 2, N² ), Από τον τρόπο σχηµατισµού των τετραγώνων αριθµών µε την πρόσθεση γνωµόνων, συµπεραίνουµε αµέσως ότι κάθε περιττός αριθµός ισούται µε τη διαφορά δύο διαδοχικών τετραγώνων αριθµών. Έτσι, ο περιττός αριθµός 5 (δηλαδή ο δεύτερος κατά σειρά γνώµων) ισούται µε τη διαφορά των τετραγώνων 9 και 4, δηλαδή 5 = 3² - 2² οµοίως, 7 = 4² - 3², 9 = 5² - 4² και ούτω καθεξής. Στην τελευταία αυτή περίπτωση, όµως, ο 9 είναι τετράγωνος αριθµός και εποµένως έχουµε ότι 3² + 4² = 5². Βρήκαµε έτσι την πυθαγόρεια τριάδα (3, 4, 5). Χρησιµοποιώντας αλγεβρική γλώσσα ο συλλογισµός αυτός µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Από το σχήµα διαπιστώνουµε ότι ένας τετράγωνος αριθµός, που θα µπορούσαµε να τον συµβολίσουµε µε (n + 1)², σχηµατίζεται από τον αµέσως προηγούµενο τετράγωνο αριθµό n², µε την πρόσθεση του γνώµονα, ο οποίος στην προκειµένη περίπτωση είναι ο περιττός αριθµός 2n + 1. Αν λοιπόν ο περιττός αριθµός 2n + 1 είναι και αυτός τετράγωνος, δηλαδή αν 2n + 1 = Ν², τότε n = N² και n + 1 = N² = N² + 1. Με τον 2 τρόπο αυτό βρήκαµε και, ταυτόχρονα, δικαιολογήσαµε εποπτικά την πυθαγόρεια τριάδα (N, N² - 1 2, N² ). Παρ όλο που το ενδιαφέρον των Πυθαγορείων για τα µαθηµατικά ήταν, όπως είδαµε, επικεντρωµένο κυρίως στην αριθµητική, ως κύρια συµβολή του Πυθαγόρα στην ιστορία των µαθηµατικών αναφέρεται συνήθως το γνωστό θεώρηµα της υποτείνουσας για τα ορθογώνια τρίγωνα. Το θεώρηµα αυτό µάλιστα έχει επικρατήσει να ονοµάζεται στα

79 79 σχολικά εγχειρίδια γεωµετρίας «Πυθαγόρειο θεώρηµα». Ωστόσο, η σύνδεση του ονόµατος του Πυθαγόρα µε το φερώνυµο θεώρηµα είναι εξαιρετικά αµφίβολη και δεν υπάρχει καµία άµεση αρχαία µαρτυρία που να την επιβεβαιώνει. Ο Πρόκλος στο σχετικό σχόλιό του φαίνεται επιφυλακτικός έναντι της παραδόσεως, λέγοντας ότι «αν ακούσουµε εκείνους οι οποίοι επιθυµούν να εξιστορούν τα αρχαία, τους βρίσκουµε να αποδίδουν το θεώρηµα αυτό στον Πυθαγόρα», ενώ µε τον ίδιο επιφυλακτικό τρόπο συνεχίζει προσθέτοντας ότι «εγώ θαυµάζω µεν και αυτούς οι οποίοι πρώτοι επισήµαναν την αλήθεια αυτού του θεωρήµατος, περισσότερο όµως θαυµάζω τον συγγραφέα της Στοιχειώσεως [δηλαδή τον Ευκλείδη], όχι µόνο διότι το περιέβαλε µε µια εναργέστατη απόδειξη, αλλά διότι στο έκτο βιβλίο καθυπέταξε µε ακαταµάχητους επιστηµονικούς συλλογισµούς και το γενικότερο θεώρηµα», εννοώντας το θεώρηµα σύµφωνα µε το οποίο στα ορθογώνια τρίγωνα το [ευθύγραµµο] σχήµα που αναγράφεται επί της υποτείνουσας είναι ίσο προς τα όµοια και οµοίως αναγραφόµενα σχήµατα που αναγράφονται επί των καθέτων πλευρών (VI 31). Ο Πρόκλος λοιπόν αποδίδει την απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήµατος στον Ευκλείδη, ενώ για τους παλαιότερους µαθηµατικούς (προφανώς εννοεί τους Πυθαγορείους) αναφέρει απλώς ότι «επισήµαναν την αλήθεια του θεωρήµατος». Πάντως, όπως γνωρίζουµε σήµερα, η αλήθεια του θεωρήµατος είχε επισηµανθεί ήδη από τους µαθηµατικούς της Μεσοποταµίας, 1200 χρόνια πριν από την εποχή του Πυθαγόρα Η ανακάλυψη της ασυµµετρίας Πριν αφήσουµε τη σχολή των Πυθαγορείων και έρθουµε στη σχολή της Χίου πρέπει να σταθούµε σε ένα µείζον επίτευγµα των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών, την ανακάλυψη της ασυµµετρίας. Η χρονολογία και ο τρόπος µε τον οποίο ανακαλύφθηκε η ασυµµετρία αποτελούν ερωτήµατα τα οποία οι υπάρχουσες µαρτυρίες δε µας επιτρέπουν να απαντήσουµε µε απόλυτη βεβαιότητα. Ο Πρόκλος αποδίδει την ανακάλυψη στον ίδιο τον Πυθαγόρα ένα σχόλιο όµως στο δέκατο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη που αποδίδεται στον έγκυρο σχολιαστή Πάππο από την Αλεξάνδρεια (4 ος µ.χ. αιώνας) είναι λιγότερο συγκεκριµένο και αναφέρει απλώς ότι η ασυµµετρία µελετήθηκε για πρώτη 3 Μια συνοπτική παρουσίαση των σωζόµενων τεκµηρίων που αποδεικνύουν ότι οι Βαβυλώνιοι των αρχών της δεύτερης π.χ. χιλιετίας γνώριζαν τον «κανόνα της υποτείνουσας» µπορείτε να βρείτε στο άρθρο του Jens Høyrup που αναφέρεται στη βιβλιογραφία

80 80 φορά από τους Πυθαγορείους: «Ἤλθον δὲ τὴν ἀρχὴν ἐπὶ τὴν τῆς συµµετρίας ζήτησιν οἱ Πυθαγόρειοι πρῶτοι αὐτὴν ἐξευρόντες ἐκ τῆς τῶν ἀριθµῶν κατανοήσεως.» ([Bulmer-] Thomas, τ. I, 1991, σ. 214) Το ίδιο σχόλιο, µάλιστα, προσθέτει ότι σύµφωνα µε όσα οι ίδιοι οι Πυθαγόρειοι διηγούνται «τὸν πρῶτον τὴν περὶ τούτων θεωρίαν εἰς τοὐµφανὲς ἐξαγαγόντα ναυαγίῳ περιπεσεῖν» (ό.π., σ. 216). Σήµερα οι ιστορικοί των µαθηµατικών θεωρούν τη µαρτυρία του Πάππου ως πιο αξιόπιστη από αυτή του Πρόκλου. Θεωρούν ότι η ασυµµετρία ανακαλύφθηκε στη σχολή των Πυθαγορείων, δεν την αποδίδουν όµως προσωπικά στον ίδιο τον ιδρυτή της σχολής. Τα ιστοριογραφικά ερωτήµατα που προκύπτουν αναφορικά µε την ανακάλυψη της ασυµµετρίας είναι πολλά και η σχετική βιβλιογραφία, παλαιότερη και πρόσφατη, είναι εκτενέστατη. Τα πιο σηµαντικά από τα ερωτήµατα αφορούν, όπως εξάλλου συµβαίνει και σε πολλά άλλα επεισόδια της ιστορίας της επιστήµης, στον τρόπο µε τον οποίο έγινε η ανακάλυψη, στον χρόνο που έγινε και στο πρόσωπο στο οποίο πρέπει να αποδίδεται. Η αρχαιότερη σωζόµενη αναφορά στον τρόπο απόδειξης της ασυµµετρίας περιέχεται στα Αναλυτικά πρότερα του Αριστοτέλη. Είναι µια λακωνική περιγραφή µιας απόδειξης σύµφωνα µε την οποία, εάν υποθέσουµε ότι η πλευρά και η διαγώνιος του τετραγώνου είναι σύµµετρες, τότε καταλήγουµε στην αντίφαση τα άρτια γίνονται ίσα µε τα περιττά: «οἷον ὅτι ἀσύµµετρος ἡ διάµετρος διὰ τὸ γίνεσθαι τὰ περιττὰ ἴσα τοῖς ἀρτίοις συµµέτρου τεθείσης» (ό.π., σ. 110). Η λακωνικότητα της αναφοράς του Αριστοτέλη δεν µας επιτρέπει να ανασυγκροτήσουµε µε βεβαιότητα όλες τις λεπτοµέρειες της απόδειξης. Έχουµε στη διάθεσή µας όµως µια µεταγενέστερη, λεπτοµερώς επεξεργασµένη εκδοχή της απόδειξης, η οποία περιέχεται σε ένα αγνώστου συγγραφέως σχόλιο το οποίο δηµοσιεύεται συνήθως στο παράρτηµα του 10 ου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη. Με ελαφρά συντετµηµένη µορφή, η απόδειξη εκτυλίσσεται ως εξής: Α Β Γ Έστω ότι οι ΑΓ και ΑΒ είναι σύµµετρες και έστω ότι έχουν λόγο αριθµού προς αριθµό, δηλαδή ΑΓ : ΑΒ = α : β, όπου οι α και β είναι οι ελάχιστοι αριθµοί µε αυτόν τον λόγο. Τότε ΑΓ² : ΑΒ² = α² : β² και επειδή ΑΓ² = 2ΑΒ² θα είναι α² = 2β². Άρα ο α², συνεπώς και ο α, είναι άρτιος. Τότε ο β θα είναι περιττός. Αν θέσουµε α = 2κ, τότε θα έχουµε ότι β² = 2κ², πράγµα που σηµαίνει ότι ο β², άρα και ο β είναι άρτιος. Εποµένως ο β είναι ταυτόχρονα περιττός και άρτιος, το οποίο είναι άτοπο.

81 81 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 ιαβάστε προσεκτικά την προηγούµενη απόδειξη. Πιστεύετε ότι είναι δυνατόν η απόδειξη αυτή, µε τη µορφή που είναι διατυπωµένη, να αποτελεί την αρχαιότερη απόδειξη της ασυµµετρίας; Πώς θα µπορούσατε να στηρίξετε την άποψή σας; Στο τέλος της ενότητας, στο Παράρτηµα, θα βρείτε τη δική µας απάντηση. Η προηγούµενη απόδειξη αντιπροσωπεύει ένα αρκετά ώριµο στάδιο της εξέλιξης των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών (4 ος π.χ. αιώνας), η ανακάλυψη της ασυµµετρίας όµως έλαβε χώρα σε ένα πιο πρώιµο στάδιο της ιστορικής εξέλιξης και οι ιστορικοί των µαθηµατικών έχουν προτείνει διάφορες εκδοχές της µορφής που ενδεχοµένως είχε η απόδειξη σε εκείνο το στάδιο. Στο πλαίσιο που ακολουθεί παρουσιάζουµε προαιρετικά, για όσους από εσάς έχουν τη διάθεση να διεξέλθουν έναν µαθηµατικό συλλογισµό αρκετά διαφορετικό ως προς τη µορφή διατύπωσής του από τους οικείους µαθηµατικούς συλλογισµούς που µαθαίνουµε στο σχολείο, µια από αυτές τις εκδοχές. Μια υποθετική ανακατασκευή της αρχικής πυθαγόρειας απόδειξης της ασυµµετρίας της πλευράς και της διαγωνίου του τετραγώνου έχει προταθεί από τον Oscar Becker (Becker, 1957, σ ) και µπορεί να περιγραφεί ως εξής. Οι Πυθαγόρειοι, όπως ξέρουµε, µελέτησαν το πρόβληµα της εύρεσης ορθογωνίων τριγώνων µε πλευρές ακέραιους αριθµούς (βλ. το πλαίσιο: «Η εύρεση των πυθαγορείων τριάδων της µορφής (N, N² - 1 2, N² ), όπου Ν περιττός αριθµός µεγαλύτερος του 1»). Είναι φυσικό λοιπόν να υποθέσουµε ότι θα ενδιαφέρθηκαν να εξετάσουν εάν υπάρχουν ισοσκελή τρίγωνα αυτής της κατηγορίας. Αν α είναι η υποτείνουσα και β η µια από τις ίσες κάθετες πλευρές ενός τέτοιου τριγώνου, από το πυθαγόρειο θεώρηµα θα έχουµε ότι α² = 2β². Παριστάνουµε τώρα το α² µε ένα τετράγωνο (P) και το 2β² µε δύο ίσα τετράγωνα (Q). Γνωρίζοντας ότι ένα τετράγωνο µε πλευρά άρτιο αριθµό χωρίζεται σε 4 ίσα µικρότερα τετράγωνα, χωρίζουµε εάν αυτό είναι δυνατόν τόσο το P όσο και το κάθε ένα από τα Q σε 4 ίσα µικρότερα τετράγωνα. Αν οι πλευρές των νέων αυτών τετραγώνων είναι και πάλι άρτιοι αριθµοί επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία, και συνεχίζουµε µέχρι να προκύψει ένα τουλάχιστον τετράγωνο (προερχόµενο είτε από το P είτε από το Q) µε πλευρά περιττό αριθµό και εποµένως µη διαιρούµενο δια 4. Τώρα, δύο περιπτώσεις µπορούν να συµβούν:

82 82 Α) Περίπτωση I = + Β) P Q Q = + P Q Q Περίπτωση II τ τ = + οπότε = P Q Q Q Στην πρώτη περίπτωση, από το τετράγωνο P καταλήγουµε µετά από έναν αριθµό διαιρέσεων σε ένα περιττό τετράγωνο P (γραµµοσκιασµένο στο σχήµα) ενώ από το κάθε Q καταλήγουµε, µετά από τον ίδιο αριθµό διαιρέσεων, σε ένα τετράγωνο Q το οποίο µπορεί να είναι άρτιο (περίπτωση I A) ή περιττό (περίπτωση I B). Και στη µία περίπτωση και στην άλλη προκύπτει ότι ένας περιττός αριθµός είναι ίσος µε το διπλάσιο ενός αριθµού (άρτιου τη µία φορά, περιττού την άλλη), και αυτό είναι αδύνατο. Στη δεύτερη περίπτωση καταλήγουµε σε µια κατάσταση όπου ένα άρτιο τετράγωνο P είναι ίσο µε το διπλάσιο ενός περιττού τετραγώνου Q. Όµως το τετράγωνο P, επειδή είναι άρτιο, χωρίζεται σε 4 µικρότερα τετράγωνα το κάθε ένα από τα οποία είναι ίσο µε τ, και εποµένως 2τ = Q, το οποίο είναι και πάλι αδύνατο. Το συµπέρασµα που προκύπτει είναι ότι δεν υπάρχουν ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα µε πλευρές ακέραιους αριθµούς, µε άλλα λόγια η εξίσωση α² = 2β² δεν έχει ακέραιες λύσεις. Και αυτό δεν σηµαίνει τίποτα άλλο παρά ότι ο 2 είναι άρρητος αριθµός. Υπενθυµίζουµε ότι άρρητος ονοµάζεται ένας αριθµός ο οποίος δεν εκφράζεται ως λόγος δύο ακεραίων αριθµών. Η προηγούµενη ανακατασκευή της αρχικής απόδειξης της ασυµµετρίας είναι φυσικά τελείως υποθετική. Συγκρινόµενη µε την απόδειξη που είδαµε από τα Στοιχεία του

83 83 Ευκλείδη παρουσιάζει ορισµένα κοινά στοιχεία: και οι δύο αποδείξεις πραγµατεύονται την περίπτωση της αρρητότητας του 2, ενώ ο συλλογισµός τόσο στη µία όσο και στην άλλη περιστρέφεται γύρω από τις ιδιότητες των άρτιων και των περιττών αριθµών. Η ανακατασκευή του Becker όµως αντιπροσωπεύει ένα πιο πρώιµο στάδιο της εξέλιξης των µαθηµατικών απ ό,τι η απόδειξη των Στοιχείων, η οποία φαίνεται ότι είναι µεταγενέστερη επεξεργασία αυτής της αρχικής ή κάποιας άλλης παρόµοιας απόδειξης. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι δεν είναι όλοι οι ιστορικοί των µαθηµατικών σύµφωνοι ότι η ασυµµετρία διαπιστώθηκε για πρώτη φορά στην περίπτωση της πλευράς και της διαγωνίου του τετραγώνου. Ορισµένοι, για παράδειγµα, υποστηρίζουν ότι η ασυµµετρία ανακαλύφθηκε στο πλαίσιο της έρευνας των ιδιοτήτων του κανονικού πενταγώνου, η πλευρά και η διαγώνιος του οποίου είναι επίσης ασύµµετρες, ενώ από άλλους έχει προταθεί η υπόθεση ότι η ασυµµετρία ανακαλύφθηκε στο πλαίσιο των ερευνών που αφορούσαν στη θεωρία της µουσικής. Το κανονικό πεντάγωνο ήταν ένα σχήµα µε ιδιαίτερη σηµασία για τους Πυθαγορείους δεδοµένου ότι χρησιµοποιούσαν το αστεροειδές πεντάγωνο (Πεντάγραµµα) που σχηµατίζουν οι διαγώνιοι ενός κανονικού πενταγώνου ως σύµβολο αναγνώρισης της αδελφότητάς τους. Σε ό,τι αφορά, τέλος, την εποχή που ανακαλύφθηκε η ασυµµετρία, οι πληροφορίες που έχουµε στη διάθεσή µας δεν είναι περισσότερο διαφωτιστικές. Εµµέσως, όµως, µπορούµε να καταλήξουµε σε κάποιο σχετικά ασφαλές συµπέρασµα. Έτσι, αν λάβουµε υπόψη ότι κατά το τελευταίο τέταρτο του 5 ου π.χ. αιώνα ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος, όπως αναφέρει ο Πλάτων στον διάλογο Θεαίτητος, απέδειξε την αρρητότητα, όπως θα λέγαµε σήµερα, των αριθµών 3, 5,, 17, παραλείποντας δηλαδή την περίπτωση του 2, συµπεραίνουµε ότι η αρρητότητα του 2 πρέπει να είχε ήδη αποδειχθεί την εποχή αυτή.

84 84 Μπορούµε, λοιπόν, να υποθέσουµε ότι η ασυµµετρία ανακαλύφθηκε σε µια εποχή που δεν απέχει πολύ από το έτος 430 π.χ Η σχολή της Χίου Έχοντας ολοκληρώσει, µετά και από τη συζήτηση του θέµατος της ασυµµετρίας, την αναφορά µας στη σχολή των Πυθαγορείων, θα προχωρήσουµε τώρα στη λίγο µεταγενέστερη σχολή της Χίου. Ο επιφανέστερος εκπρόσωπος αυτής της σχολής, ο Ιπποκράτης ο Χίος (που δεν πρέπει να συγχέεται µε τον συνώνυµό του γιατρό από την Κω, για τον οποίο θα µιλήσουµε στην ενότητα 1.6 αυτού του κεφαλαίου), ήκµασε γύρω στο 435 π.χ., ενώ ο δάσκαλός του Οινοπίδης ήταν µια γενιά µεγαλύτερος. Ο Πρόκλος γράφει στη σύνοψή του για τον Ιπποκράτη ότι «ανακάλυψε τον τετραγωνισµό των µηνίσκων». Μηνίσκος είναι το σχήµα που ορίζεται από τα τόξα δύο τεµνόµενων κύκλων, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Τετραγωνισµός ενός µηνίσκου σηµαίνει να βρεθεί ένα τετράγωνο µε το ίδιο εµβαδόν. Μηνίσκος Έχουµε την τύχη να έχουµε στη διάθεσή µας ένα εκτενές απόσπασµα για τον τετραγωνισµό των µηνίσκων από τον Ιπποκράτη, απόσπασµα το οποίο διέσωσε ο σχολιαστής του Αριστοτέλη Σιµπλίκιος (ήκµασε περί το 520 µ.χ.) αντλώντας από τη χαµένη Γεωµετρική ιστορία του Εύδηµου οι ιστορικοί µάλιστα πιστεύουν ότι ένα µέρος του αναπαράγει πιστά το αυθεντικό κείµενο του ίδιου του Ιπποκράτη. Ας δούµε τώρα ένα εκτενές τµήµα από τις δύο πρώτες παραγράφους του αποσπάσµατος: Οι τετραγωνισµοί των µηνίσκων, που λόγω της οµοιότητάς τους µε τον κύκλο δεν είναι από τα απλά σχήµατα, επιτεύχθηκαν πρώτα από τον Ιπποκράτη [Ο Ιπποκράτης] λοιπόν ξεκίνησε θέτοντας ως πρώτο µεταξύ των θεωρηµάτων που χρειάζονται για τον σκοπό του, ότι τα όµοια τµήµατα των κύκλων έχουν µεταξύ τους τον αυτό λόγο όπως τα

85 85 από τις βάσεις τους τετράγωνα. Αυτό δε το απέδειξε αφού προηγουµένως έδειξε ότι τα τετράγωνα από τις διαµέτρους έχουν τον αυτό λόγο µε τους κύκλους. ιότι οι κύκλοι έχουν τον αυτό λόγο όπως τα όµοια τµήµατα, αφού όµοια λέγονται τα τµήµατα που σχηµατίζουν το ίδιο µέρος του κύκλου. Αφού το έδειξε αυτό περιέγραψε πρώτα µε ποιόν τρόπο θα µπορούσε να τετραγωνιστεί ο µηνίσκος του οποίου η εξωτερική περιφέρεια είναι ηµικύκλιο. Το πέτυχε δε αυτό περιγράφοντας ένα ηµικύκλιο γύρω από ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο και κατασκευάζοντας στη βάση ένα κυκλικό τµήµα όµοιο προς τα τµήµατα που αποκόπτονται από τις κάθετες πλευρές. Επειδή το τµήµα στη βάση είναι ίσο µε [το άθροισµα] των δύο [τµηµάτων] στις άλλες πλευρές, αν προστεθεί και στα δύο το µέρος του τριγώνου που βρίσκεται επάνω από το τµήµα της βάσης ο µηνίσκος θα είναι ίσος προς το τρίγωνο. Εποµένως ο µηνίσκος, έχοντας αποδειχθεί ίσος µε το τρίγωνο, µπορεί να τετραγωνιστεί. Έτσι λοιπόν, θέτοντας την εξωτερική περιφέρεια του µηνίσκου να είναι ηµικύκλιο, τετραγώνισε ο Ιπποκράτης εύκολα τον µηνίσκο. Το αρχαίο κείµενο δηµοσιεύεται στο ([Bulmer-] Thomas, τ. I, 1991, σ ). ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 Αφού διαβάστε προσεκτικά το απόσπασµα του κειµένου του Σιµπλίκιου, προσπαθήστε να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις: 1) Με βάση όσα περιγράφονται στις δύο αυτές παραγράφους προκύπτει άραγε ότι ο Ιπποκράτης ασχολείται µε τη γενική περίπτωση του προβλήµατος του τετραγωνισµού των µηνίσκων, ή µήπως ο µηνίσκος που κατασκευάζει και κατόπιν τετραγωνίζει είναι ειδικής µορφής; 2) Τι µέσα χρησιµοποιεί ο Ιπποκράτης για να δικαιολογήσει την απάντησή του; Τη δική µας απάντηση στα δύο αυτά ερωτήµατα θα τη βρείτε στο Παράρτηµα, στο τέλος της ενότητας. εν έχουµε καµιά άλλη τόσο λεπτοµερή περιγραφή µαθηµατικού κειµένου από τον ύστερο 5 ο π.χ. αιώνα. Μπορούµε όµως, έστω και από αυτό το µικρό απόσπασµα, να πάρουµε µια ιδέα για το ύφος του µαθηµατικού λόγου και το είδος των προβληµάτων µε τα οποία ασχολούνταν οι γεωµέτρες σε αυτή την περίοδο. Από το κείµενο συµπεραίνουµε ότι ο Ιπποκράτης είναι ενταγµένος σε µια γεωµετρική ερευνητική παράδοση που έχει ως αντικείµενο την έρευνα των ιδιοτήτων των σχηµάτων που ορίζονται από καµπύλες γραµµές και χρησιµοποιεί µεθόδους κατασκευής και δικαιολόγησης που βασίζονται σε λογικούς συλλογισµούς και όχι στην εποπτεία. Σε σχέση µε το παρελθόν αυτό αποτελεί ασφαλώς µια πολύ σηµαντική εξέλιξη.

86 86 Βασικό στοιχείο της ελληνικής γεωµετρίας είναι η επιλογή των ευθειών και των κύκλων ως θεµέλιων λίθων για την εκτέλεση των γεωµετρικών κατασκευών. Η επιλογή αυτή φαίνεται ότι έγινε στα µέσα του 5 ου π.χ. αιώνα και συνδέεται µε το έργο του Οινοπίδη. Αυτό προκύπτει εµµέσως από το γεγονός ότι ο Πρόκλος αποδίδει στον Οινοπίδη την επίλυση δύο γεωµετρικών προβληµάτων: την κατασκευή της κάθετης σε µια ευθεία από ένα σηµείο εκτός αυτής και την κατασκευή σε ένα σηµείο µιας δεδοµένης ευθείας, γωνίας ίσης προς δεδοµένη γωνία. Αν υποθέσουµε, όπως είναι εύλογο, ότι η πρακτική επίλυση των προβληµάτων αυτών, µε τη χρήση κάποιου είδους γνώµονα, ήταν γνωστή πολύ πριν από την εποχή του Οινοπίδη, τότε σε αυτόν πρέπει µάλλον να αποδώσουµε την επίλυσή τους µε έναν τρόπο που στη συνέχεια θα καθιερωθεί ως ο µόνος έγκυρος για πολλά γεωµετρικά προβλήµατα, µε τη χρήση δηλαδή µόνο του αδιαβάθµητου κανόνα και του διαβήτη ή, καλύτερα, µε τη χρήση ευθειών και κύκλων Τα τρία κλασικά προβλήµατα της ελληνικής γεωµετρίας Η ιδέα της ερευνητικής παράδοσης για την οποία µιλήσαµε πιο πριν βρίσκει εφαρµογή κυρίως στην περίπτωση των τριών κλασικών προβληµάτων που απασχόλησαν τους Έλληνες µαθηµατικούς για πολλούς αιώνες. Πρόκειται για τα περίφηµα προβλήµατα: της τριχοτόµησης µιας τυχούσας γωνίας, δηλαδή δεδοµένης µιας τυχούσας (οξείας) γωνίας, να κατασκευαστούν δύο ευθείες που να τη χωρίζουν σε τρία ίσα µέρη, του διπλασιασµού του κύβου, δηλαδή δεδοµένου ενός κύβου να κατασκευαστεί ένας άλλος κύβος µε διπλάσιο όγκο από τον πρώτο, και του τετραγωνισµού του κύκλου, δηλαδή δεδοµένου ενός κύκλου να κατασκευαστεί τετράγωνο µε ίσο εµβαδόν. (Βλ. σχήµα 3). Σχήµα 3 Ο ρόλος που άσκησαν αυτά τα τρία απλά στη διατύπωσή τους προβλήµατα στην εξέλιξη των

87 87 µαθηµατικών είναι τεράστιος. Οι προσπάθειες επίλυσής τους οδήγησαν σε βαθιές και γόνιµες έρευνες και είχαν ευεργετικά αποτελέσµατα για την ιστορία των µαθηµατικών. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι αρχικά οι µαθηµατικοί του 5 ου π.χ. αιώνα θα προσπαθούσαν µάταια να τα επιλύσουν, µέχρι να αντιληφθούν ότι η επίλυσή τους δεν είναι δυνατή µε κατασκευές που περιλαµβάνουν µόνο ευθείες και κύκλους. Έτσι, ενώ λ.χ. η διχοτόµηση µιας γωνίας ή η τριχοτόµηση ενός ευθύγραµµου τµήµατος ήταν προβλήµατα τα οποία είχαν επιλυθεί πολύ εύκολα µε κανόνα και διαβήτη, αντίθετα, η τριχοτόµηση µιας τυχούσας γωνίας δεν µπορούσε να επιτευχθεί. Ο διπλασιασµός του τετραγώνου επίσης ήταν πολύ εύκολος, ο διπλασιασµός του κύβου όµως ήταν πολύ δυσκολότερος. Προς το τέλος εξάλλου του 5 ου αιώνα το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου ήταν πολύ δηµοφιλές στην Αθήνα, αφού ακόµα και ο Αριστοφάνης διακωµωδεί τις προσπάθειες επίλυσής του. Συγκεκριµένα στους Όρνιθες (γράφτηκαν το 414 π.χ.), φέρνει στη σκηνή τον αστρονόµο Μέτωνα ο οποίος λέει: Με το όρθιο ραβδί αρχίζω να µετρώ ώστε να γίνει ο κύκλος τετράγωνος για χάρη σου και στο κέντρο του θα είναι η αγορά στην οποία θα οδηγούν όλοι οι δρόµοι συγκλίνοντες στο κέντρο, όπως σ ένα αστέρι, που ενώ είναι κυκλοτερές στέλνει παντού ευθείες ακτίνες λαµπερές. «Αλήθεια, ο άνθρωπος είναι Θαλής!», τον ειρωνεύεται ο Πεισθέταιρος, ο αρχηγός των Ορνίθων, και οδηγεί τον Μέτωνα µακριά από τη σκηνή κακήν κακώς. Αξίζει να σηµειώσουµε εδώ ότι ο Μέτων ο οποίος διακωµωδείται από τον Αριστοφάνη είναι ο γνωστός Αθηναίος αστρονόµος ο οποίος περίπου 18 χρόνια νωρίτερα είχε βρει ότι το χρονικό διάστηµα που περιέχει ακέραιο αριθµό σεληνιακών µηνών (διάρκειας 29,5 ηµερών ο καθένας) και ηλιακών ετών (διάρκειας 365,25 ηµερών) είναι ίσο µε 6940 ηµέρες. Πάντως, το νόηµα του αποσπάσµατος του Αριστοφάνη δεν είναι απολύτως σαφές. Εξάλλου από καµιά άλλη αρχαία πηγή δεν προκύπτει ότι ο Μέτων ασχολήθηκε µε το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου. Το αδύνατο της επίλυσης µε κανόνα και διαβήτη των τριών προβληµάτων αποδείχθηκε µόλις τον 19 ο αιώνα. Οι αρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί, εν τούτοις, πρέπει να το είχαν αντιληφθεί αυτό από πολύ νωρίς και γι αυτό έστρεψαν την προσοχή τους στην επινόηση κατασκευών που οδηγούσαν σε λύσεις, έστω και αν οι κατασκευές αυτές δεν

88 88 γίνονταν µε κανόνα και διαβήτη. Από αυτή τη δραστηριότητα προέκυψαν σηµαντικά αποτελέσµατα όπως είναι για παράδειγµα η εισαγωγή και η µελέτη των κωνικών τοµών (δηλαδή της παραβολής, της έλλειψης και της υπερβολής) για τις οποίες θα µιλήσουµε στη συνέχεια.! Βρισκόµαστε εδώ ενώπιον ενός φαινοµένου το οποίο πολύ συχνά παρατηρείται στην ιστορία της επιστήµης. Εννοούµε το φαινόµενο του εποικοδοµητικού ρόλου που µπορεί να παίξει η αποτυχία στην ιστορία της επιστήµης. Στην προκειµένη περίπτωση, ήταν η αποτυχία των χρησιµοποιούµενων µεθόδων να επιλύσουν αυτά τα προβλήµατα, που οδήγησε στον εµπλουτισµό τους και στην περαιτέρω εκλέπτυνση των αναλυτικών εργαλείων και των αποδεικτικών µεθόδων της ελληνικής γεωµετρίας. Ο Ιπποκράτης ήταν µεταξύ των πρώτων που καταπιάστηκαν µε τα προβλήµατα του τετραγωνισµού του κύκλου και του διπλασιασµού του κύβου. Η συµβολή του στο πρώτο συνίσταται όπως έχουµε πει στο ότι κατόρθωσε να τετραγωνίσει ορισµένους µηνίσκους. Επειδή δεν έχουµε λόγο να πιστεύουµε ότι οι µηνίσκοι αποτελούσαν κάποιο σχήµα µε ιδιαίτερη σηµασία για τους αρχαίους Έλληνες, µπορούµε να υποθέσουµε ότι το πρόβληµα του τετραγωνισµού τους δεν ήταν παρά ένα µόνο παράδειγµα από µια ολόκληρη κατηγορία προβληµάτων που αφορούσαν στον τετραγωνισµό διαφόρων ευθύγραµµων και καµπυλόγραµµων σχηµάτων και, κυρίως, του ίδιου του κύκλου. Η συµβολή του στο πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου έγκειται στο ότι ανήγαγε το πρόβληµα αυτό στο ισοδύναµο πρόβληµα της εύρεσης δύο µέσων αναλόγων x και y µεταξύ δύο δεδοµένων ευθυγράµµων τµηµάτων α και β, έτσι ώστε να ισχύουν α : x = x : y = y : β. Στην περίπτωση που β = 2α από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι x³ = 2α³ και εποµένως ο κύβος µε πλευρά x έχει διπλάσιο όγκο από τον κύβο µε πλευρά α. Τις λύσεις των τριών κλασικών προβληµάτων που επεξεργάσθηκαν οι αρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί διέσωσαν συγγραφείς της ύστερης αρχαιότητας όπως ο Πάππος στη Μαθηµατική συναγωγή και ο Ευτόκιος (πρώιµος 6 ος µ.χ. αιώνας) στα σχόλιά του στο Περί σφαίρας και κυλίνδρου του Αρχιµήδη. Θα εξετάσουµε τώρα ορισµένες από τις λύσεις αυτές.

89 89 Η τριχοτόµηση τυχούσας γωνίας Το πρόβληµα της τριχοτόµησης της γωνίας φαίνεται επιλύθηκε αρχικά µε τη χρήση µιας καµπύλης που θα την ονοµάζουµε τριχοτοµούσα. Στο σχήµα που ακολουθεί η τριχοτοµούσα είναι η καµπύλη ΒΗ. Σχήµα 4 Η κατασκευή της καµπύλης ΒΗ περιγράφεται από τον Πάππο στη Μαθηµατική συναγωγή ως εξής: Ξεκινώντας από ένα τετράγωνο ΑΒΓ ας φαντασθούµε την ευθεία ΒΓ να µετατοπίζεται παράλληλα και οµαλά µέχρι να συµπέσει µε την Α και, ταυτόχρονα, την ευθεία ΑΒ να περιστρέφεται οµαλά εντός του τετραγώνου, γύρω από το σταθερό άκρο Α, µέχρι να συµπέσει και αυτή ταυτόχρονα µε την Α. Η τριχοτοµούσα είναι η καµπύλη που διαγράφει το σηµείο τοµής των δύο κινουµένων ευθειών, όπως φαίνεται στο σχήµα 5.

90 90 Σχήµα 5 Χρησιµοποιώντας την τριχοτοµούσα µπορούµε να τριχοτοµήσουµε κάθε οξεία γωνία. Πράγµατι, έστω ΖΑ (βλ. σχήµα 4) η γωνία που θέλουµε να τριχοτοµήσουµε (Ζ είναι σηµείο της τριχοτοµούσας). Από το Ζ φέρουµε την κάθετη ΖΘ στην Α και τριχοτοµούµε το ευθύγραµµο τµήµα ΖΘ (η τριχοτόµηση ενός ευθυγράµµου τµήµατος γίνεται όπως έχουµε πει µε κανόνα και διαβήτη). Ορίζεται έτσι το σηµείο Κ ώστε το ΚΘ να είναι το ένα τρίτο του ΖΘ. Από το Κ προσδιορίζουµε το σηµείο Λ επάνω στην τριχοτοµούσα και φέρνουµε την ΑΛ. Η γωνία ΛΑ είναι το ένα τρίτο της ΖΑ. Απόδειξη: Από την κατασκευή της τριχοτοµούσας γνωρίζουµε ότι οι κινήσεις των δύο ευθειών ΑΒ και ΒΓ είναι οµαλές και ολοκληρώνονται στον ίδιο χρόνο. Αυτό ισχύει όχι µόνο για το σύνολο της διαδροµής αλλά και για οποιοδήποτε µέρος αυτής, άρα και για το µέρος από το Ζ ως το Λ. Εποµένως, ΖΘ : ΚΘ = ΕΑ : ΛΑ. Και επειδή ΖΘ : ΚΘ = 3 : 1, η γωνία ΛΑ είναι το ένα τρίτο της ΕΑ. Σχόλιο: Επειδή ο λόγος ΖΘ : ΚΘ µπορεί να κατασκευαστεί έτσι ώστε να έχει οποιαδήποτε αριθµητική τιµή, π.χ. να είναι ΖΘ : ΚΘ = n : 1, η τριχοτοµούσα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να βρούµε όχι µόνο το ένα τρίτο αλλά γενικά το ένα n-οστό µιας τυχούσας οξείας γωνίας. Η κατασκευή της τριχοτοµούσας και η χρησιµοποίησή της για την επίλυση του προβλήµατος της τριχοτόµησης µιας τυχούσας γωνίας αποδίδεται από ορισµένους ιστορικούς των µαθηµατικών στον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (τέλος 5 ου π.χ. αιώνα), τον

91 91 οποίο ο Πλάτων στον διάλογο του Πρωταγόρας τον παρουσιάζει ως υπέρµαχο της υποχρεωτικής εκπαίδευσης στους τέσσερις κλάδους της τετρακτύος (αριθµητική, γεωµετρία, µουσική, αστρονοµία). Ο Πάππος χρησιµοποιεί για την καµπύλη αυτή την ονοµασία τετραγωνίζουσα, λόγω του ότι µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την επίλυση του προβλήµατος του τετραγωνισµού του κύκλου, αποδίδει δε αυτή την τελευταία εφαρµογή της στους µεταγενέστερους µαθηµατικούς εινόστρατο (µέσα 4 ου π.χ. αιώνα) και Νικοµήδη (ύστερος 3 ος π.χ. αιώνας). Φαίνεται λοιπόν ότι η καµπύλη επινοήθηκε αρχικά για την επίλυση του προβλήµατος της τριχοτόµησης της γωνίας και αργότερα διαπιστώθηκε ότι η ίδια καµπύλη µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για την επίλυση του προβλήµατος του τετραγωνισµού του κύκλου. Θα εξετάσουµε αργότερα αυτή τη δεύτερη εφαρµογή. Προς το παρόν θα παραθέσουµε µία ακόµη επίλυση του προβλήµατος της τριχοτόµησης που περιγράφει ο Πάππος, όπου αυτή τη φορά χρησιµοποιείται µια κατασκευή µε τη µέθοδο της νεύσεως. Η επίλυση αυτή ανάγεται στον 5 ο ή στον 4 ο π.χ. αιώνα, δηλαδή στην εποχή ανάµεσα στον Ιπποκράτη και τον Ευκλείδη, και ο Πάππος παραθέτει µόνο τη σύνθεση παραλείποντας το στάδιο της ανάλυσης. Εµείς θα παρουσιάσουµε µια ανακατασκευή του αναλυτικού σταδίου της επιλυτικής διαδικασίας προκειµένου, µέσα από το συγκεκριµένο αυτό παράδειγµα, να δείξουµε πώς λειτουργεί η µέθοδος της ανάλυσης. Έστω ότι η τυχούσα γωνία ΑΒΓ έχει τριχοτοµηθεί µε την ευθεία Β (βλ. σχήµα 6). Σχήµα 6 Από το σηµείο Α φέρνουµε την κάθετη στη ΒΓ, καθώς και µια ευθεία παράλληλη στη ΒΓ η οποία τέµνει την προέκταση της Β στο Ε. Ενώνουµε το Α µε το µέσον Η της Ε. Μέχρι το σηµείο αυτό όλες οι κατασκευές που έχουµε κάνει γίνονται µε κανόνα και διαβήτη. εν είναι δύσκολο, τώρα, να αποδειχθεί ότι αφού η γωνία ΑΒ είναι διπλάσια

92 92 της ΒΓ (να µην ξεχνάµε ότι έχουµε υποθέσει ότι η γωνία Α Γ έχει τριχοτοµηθεί από την ευθεία Β ), τότε το ευθύγραµµο τµήµα Ε είναι διπλάσιο του ΑΒ. Καταλήξαµε λοιπόν στο εξής: αν η γωνία τριχοτηµηθεί, τότε Ε = 2ΑΒ. Αυτό είναι το αποτέλεσµα που ανακαλύψαµε από την ανάλυση. Αυτό θα είναι το σηµείο από το οποίο θα ξεκινήσουµε τον παραγωγικό συλλογισµό µας, δηλαδή τη σύνθεση, η οποία στην προκειµένη περίπτωση (και σε πολλές άλλες περιπτώσεις, αλλά όχι σε όλες) δεν είναι τίποτα άλλο παρά η αντίστροφη πορεία των συνεπαγωγών που κάναµε στην ανάλυση (στην προκειµένη περίπτωση δηλαδή ἀνάλυσις σηµαίνει ἀνάπαλιν λύσις). Όταν πράγµατι γίνεται αυτό, τότε η συµπερασµατική διαδικασία θα τερµατιστεί στο σηµείο από το οποίο ξεκίνησε η ανάλυση: στην περίπτωσή µας, στην τριχοτόµηση της γωνίας. Αυτό είναι το στάδιο της σύνθεσης. Η σύνθεση στην προκειµένη περίπτωση αρχίζει κατασκευάζοντας µια ευθεία στο εσωτερικό της γωνίας ΑΒΓ κατά τρόπο ώστε 1. το τµήµα Ε της ευθείας που περιέχεται ανάµεσα στις ευθείες ΑΓ και ΑΕ να είναι διπλάσιο της ΑΒ και 2. προεκτεινόµενη η ευθεία Ε να περνάει από το σηµείο Β (να νεύει προς το Β). Πρόκειται λοιπόν για µια κατασκευή νεύσεως µε την οποία επιλύεται το πρόβληµα της τριχοτόµησης κάθε οξείας γωνίας.! Με τον όρο «νεύσις» οι αρχαίοι µαθηµατικοί εννοούσαν την τοποθέτηση ενός ευθυγράµµου τµήµατος δεδοµένου µήκους µεταξύ δύο δεδοµένων κατά τη θέση γραµµών (ευθειών ή καµπύλων) µε τρόπο ώστε το ένα άκρο του ευθυγράµµου τµήµατος να κείται επάνω στη µία γραµµή και το άλλο άκρο στην άλλη, και επιπλέον, το ευθύγραµµο τµήµα (ή η προέκτασή του) να περνά από ένα δεδοµένο κατά τη θέση σηµείο (να νεύει προς το σηµείο). Ο διπλασιασµός του κύβου Ενώ για την προέλευση του προβλήµατος της τριχοτόµησης της γωνίας δεν υπάρχει καµιά πληροφορία, αντίθετα για τον διπλασιασµό του κύβου υπάρχει ένα πλήθος από πληροφορίες που προέρχονται κυρίως από τον Ευτόκιο, τον σχολιαστή του Αρχιµήδη. Ο Ευτόκιος περιγράφει - άλλοτε µε µεγάλη λεπτοµέρεια και άλλοτε σχεδόν λακωνικά -

93 93 περίπου δώδεκα λύσεις του προβλήµατος, οι περισσότερες από τις οποίες ανάγονται στον 4 ο και στον 3 ο π.χ. αιώνα. Παραθέτει επίσης µια επιστολή, όπως λέει, του Ερατοσθένη, ιευθυντή της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας τον 3 ο π.χ. αιώνα, προς τον Βασιλιά Πτολεµαίο. Η λεπτοµερής φιλολογική εξέταση έχει αποδείξει ότι η επιστολή δεν είναι γνήσια (ενδέχεται µάλιστα να µην την έγραψε καν ο Ερατοσθένης) όµως, δεν υπάρχει λόγος να αµφιβάλλουµε ότι οι πληροφορίες που περιέχει για τις προσπάθειες επίλυσης του προβλήµατος είναι αξιόπιστες. Ας δούµε τώρα πως αρχίζει η επιστολή): Λέγεται ότι κάποιος αρχαίος τραγωδοποιός εισήγαγε στη σκηνή τον Μίνωα, ο οποίος είχε διατάξει να κατασκευασθεί τάφος για τον [γιο του] Γλαύκο και όταν αυτός πληροφορήθηκε ότι ο τάφος ήταν σε όλες του τις διαστάσεις εκατό πόδια, είπε: «Μικρή παράγγειλες τη χωρητικότητα του βασιλικού τάφου. Να διπλασιαστεί αυτή γρήγορα, αφού διπλασιαστεί κάθε πλευρά χωρίς όµως ο τάφος να χάσει το κοµψό σχήµα του». Φαινόταν δε ότι έκανε λάθος. ιότι, όταν διπλασιάζονται οι πλευρές, η µεν επιφάνεια τετραπλασιάζεται, ο δε όγκος οκταπλασιάζεται. Ζητήθηκε δε και από τους γεωµέτρες να βρουν, µε ποιόν τρόπο, ένα δεδοµένο στερεό θα διπλασιαζόταν, χωρίς να χάνει το σχήµα του, και ονοµαζόταν αυτό το πρόβληµα διπλασιασµός του κύβου. ιότι, υποθέτοντας ότι [το δεδοµένο στερεό] ήταν κύβος, ζητούσαν να τον διπλασιάσουν. Ενώ δε όλοι επί πολύν χρόνο ήταν σε αµηχανία, πρώτος ο Ιπποκράτης ο Χίος επινόησε ότι αν βρεθούν δύο µέσες ανάλογοι σε συνεχή αναλογία, µεταξύ δύο ευθειών, εκ των οποίων η µία είναι διπλάσια της άλλης, τότε ο κύβος θα διπλασιασθεί. Αλλά [µε την επινόηση αυτή] η αρχική αµηχανία περιέπεσε σε άλλη, όχι µικρότερη αµηχανία. Λέγεται δε ακόµη ότι µετά πάροδο χρόνου µερικοί ήλιοι, στους οποίους κάποιος χρησµός επέβαλε να διπλασιάσουν έναν από τους βωµούς τους, αφού περιέπεσαν στην ίδια αµηχανία, απέστειλαν εκπροσώπους και ζήτησαν από τους γεωµέτρες της Ακαδηµίας του Πλάτωνα να λύσουν το πρόβληµα. Και αφού αυτοί επιδόθηκαν µε ζήλο ζητώντας να κατασκευάσουν δύο µέσες αναλόγους µεταξύ δύο δεδοµένων [ευθειών], λέγεται ότι ο Αρχύτας ο Ταραντίνος έλυσε [το πρόβληµα] δια των ηµικυλίνδρων και ο Εύδοξος δια των λεγοµένων καµπύλων γραµµών. Συνέβη δε όλοι αυτοί να επιτύχουν τη λύση θεωρητικώς, και να µην µπορούν να βρουν µια πρακτική και εύχρηστη κατασκευή, εκτός από τον Μέναιχµο του οποίου η πρακτική επίλυση ήταν δυσχερής. Εγώ δε [δηλ. ο Ερατοσθένης], επινόησα µια εύχρηστη µηχανική λύση δια της οποίας βρίσκουµε όχι µόνο δύο µέσες αναλόγους αλλά όσες κι αν µας ζητήσει κανείς. Το αρχαίο κείµενο περιέχεται στο ([Bulmer-] Thomas, τ. I, 1991, σ ).

94 94 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4 Με βάση αυτό το απόσπασµα από την «επιστολή» του Ερατοσθένη προς τον βασιλιά Πτολεµαίο τι σχόλια µπορείτε να κάνετε σε ό,τι αφορά την προέλευση του προβλήµατος του διπλασιασµού του κύβου; Επρόκειτο για την επίλυση ενός πρακτικού προβλήµατος ή µήπως οι θεωρητικές αναζητήσεις ήταν εκείνες που οδήγησαν στη διατύπωσή του; Τεκµηριώστε την απάντησή σας. Η δική µας άποψη παρατίθεται στο Παράρτηµα στο τέλος της ενότητας. Έχουµε αναφέρει ότι ο Ιπποκράτης ανήγαγε το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου στο πρόβληµα της εύρεσης δύο µέσων αναλόγων µεταξύ δύο ευθυγράµµων τµηµάτων α και 2α. Από τότε που έγινε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες µαθηµατικοί επιδόθηκαν στην αναζήτηση λύσης του δεύτερου αυτού προβλήµατος, προκειµένου µε τον τρόπο αυτό να επιτύχουν την επίλυση και του αρχικού προβλήµατος του διπλασιασµού του κύβου. ιατυπώθηκαν πολλές λύσεις του προβλήµατος, τόσο µηχανικές όσο και θεωρητικές. Ο Ευτόκιος περιγράφει περίπου δώδεκα απ αυτές. Οι θεωρητικές λύσεις καλύπτουν ένα εξαιρετικά ευρύ φάσµα, από λύσεις που περιλαµβάνουν κατασκευή µε νεύση έως µια εκπληκτική στερεοµετρική κατασκευή του Αρχύτα δια της οποίας προσδιορίζεται το σηµείο τοµής τριών επιφανειών στον τρισδιάστατο χώρο. Στο πλαίσιο που ακολουθεί περιγράφουµε (για τους αναγνώστες εκείνους οι οποίοι έχουν µια στοιχειώδη εξοικείωση µε τα µαθηµατικά) µία λύση, πολύ απλούστερη από τη λύση του Αρχύτα, η οποία φαίνεται ότι οφείλεται στον Μέναιχµο, µαθητή και συνεργάτη του Πλάτωνος. Η λύση αυτή παρουσιάζει µεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον, διότι από τις προσπάθειες του Μέναιχµου να επιλύσει το πρόβληµα της εύρεσης δύο µέσων αναλόγων ενδέχεται να εκπορεύτηκε µια ολόκληρη ερευνητική παράδοση που κατέληξε στη διατύπωση της θεωρίας των κωνικών τοµών. Σύµφωνα µε την περιγραφή του Ευτόκιου, ο Μέναιχµος ξεκίνησε την επίλυσή του υποθέτοντας ότι το πρόβληµα έχει λυθεί, χρησιµοποίησε δηλαδή τη µέθοδο της ανάλυσης την οποία χρησιµοποιήσαµε προηγουµένως στο παράδειγµα της τριχοτόµησης της γωνίας. Υπέθεσε λοιπόν ότι έχουν βρεθεί δύο µέσες ανάλογοι x και y µεταξύ των δύο δεδοµένων ευθυγράµµων τµηµάτων α και β = 2α, έτσι ώστε να ισχύει α : x = x : y = y : β, και σχεδίασε το σχήµα που ακολουθεί.

95 95 Από τη συνθήκη α : x = x : y = y : β του προβλήµατος ο Μέναιχµος έβγαλε τα εξής δύο συµπεράσµατα: 1. y² = β x, ή καλύτερα, για να ακολουθήσουµε πιο πιστά την αρχαιοελληνική ορολογία, (y) = (β, x) (δηλαδή: το τετράγωνο µε πλευρά y είναι ίσο µε το ορθογώνιο µε πλευρές β και x) και από τη σχέση αυτή αναγνώρισε ότι το σηµείο P βρίσκεται επάνω σε µια καµπύλη γραµµή (κωνική τοµή) η οποία αργότερα ονοµάστηκε παραβολή. 2. x y = α β, ή καλύτερα, (x, y) = (α, β) (δηλαδή: το ορθογώνιο µε πλευρές x και y είναι ίσο µε το ορθογώνιο µε πλευρές α και β) και από τη σχέση αυτή αναγνώρισε ότι το σηµείο P βρίσκεται επίσης επάνω σε µια καµπύλη γραµµή (κωνική τοµή) η οποία αργότερα ονοµάστηκε υπερβολή. Εποµένως, οι δύο µέσες ανάλογοι υπερβολή µπορούν να βρεθούν από το σηµείο P στο οποίο τέµνονται οι δύο καµπύλες. P Εδώ ολοκληρώνεται το στάδιο της y ανάλυσης. Η σύνθεση τώρα µπορεί να β x γίνει ακολουθώντας την αντίστροφη παραβολή πορεία: υποθέτουµε ότι έχουµε α κατασκευάσει µε κάποιον τρόπο τις δύο καµπύλες (την παραβολή και την υπερβολή) και ότι έχουµε βρει το σηµείο P στο οποίο αυτές τέµνονται. Άρα, έχουµε βρει και τα ευθύγραµµα τµήµατα x και y. Αυτά τα δύο ευθύγραµµα τµήµατα είναι οι δύο µέσες ανάλογοι µεταξύ των α και β. Πράγµατι, επειδή το P κείται στην παραβολή, τα x και y ικανοποιούν τη σχέση y² = β x, δηλαδή x : y = y : β (1). Επίσης, επειδή το P κείται στην υπερβολή, τα x και y ικανοποιούν τη σχέση x y = α β, δηλαδή α : x = y : β (2). Από τις (1) και (2) συνάγεται ότι α : x = x : y = y : β, δηλαδή τα x και y είναι οι δύο µέσες ανάλογοι µεταξύ των α και β. Ο τετραγωνισµός του κύκλου Οι αρχαίοι Έλληνες κατέτασσαν τα γεωµετρικά προβλήµατα σε τρεις κατηγορίες, ανάλογα µε το είδος των καµπύλων γραµµών που χρησιµοποιούνται για την επίλυσή τους. Οι κατηγορίες αυτές είναι:

96 96 1. Η κατηγορία των επίπεδων προβληµάτων, η οποία περιλαµβάνει τα προβλήµατα εκείνα για την επίλυση των οποίων χρησιµοποιούνται µόνο κύκλοι και ευθείες. 2. Η κατηγορία των στερεών προβληµάτων, η οποία περιλαµβάνει τα προβλήµατα για την επίλυση των οποίων απαιτείται η χρησιµοποίηση µιας τουλάχιστον από τις τρεις κωνικές τοµές (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή). 3. Η κατηγορία των γραµµικών προβληµάτων, η οποία περιλαµβάνει τα προβλήµατα για την επίλυση των οποίων απαιτείται η χρησιµοποίηση καµπύλων πιο περίπλοκων από τις κωνικές, όπως είναι για παράδειγµα η τετραγωνίζουσα (τριχοτοµούσα). Τα δύο προβλήµατα που εξετάσαµε έως τώρα, δηλαδή το πρόβληµα της τριχοτόµησης της τυχούσας γωνίας και το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου, ανήκουν στην κατηγορία των στερεών προβληµάτων. Το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου στο οποίο θα αναφερθούµε στη συνέχεια ανήκει στην κατηγορία των γραµµικών προβληµάτων και είναι από τη φύση του πολύ πιο δύσκολο από τα δύο προηγούµενα. Ήδη από την αρχαιότητα «ο τετραγωνισµός του κύκλου» είχε αποκτήσει στην κοινή γλώσσα τη σηµασία του ακατόρθωτου, µια σηµασία που εξακολουθεί να έχει ακόµα και στις µέρες µας. Εµείς εδώ θα ασχοληθούµε µε δύο πλευρές του προβλήµατος του τετραγωνισµού του κύκλου: 1. Με την αναγωγή του στο ισοδύναµο πρόβληµα της εύρεσης του µήκους της περιφέρειας του κύκλου, και 2. µε τη χρήση της τετραγωνίζουσας για την επίλυση αυτού του τελευταίου προβλήµατος. Η αναγωγή του προβλήµατος του τετραγωνισµού του κύκλου στο πρόβληµα της εύρεσης του µήκους της περιφέρειας βασίζεται στην ακόλουθη πρόταση: «Κάθε κύκλος είναι ίσος προς ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η µία από τις προσκείµενες στην ορθή γωνία πλευρές είναι ίση προς την ακτίνα και η βάση [δηλαδή, η άλλη από τις προσκείµενες στην ορθή γωνία πλευρές] προς την περιφέρεια». r 2π

97 97 Η πρόταση αυτή διατυπώνεται και αποδεικνύεται από τον Αρχιµήδη στη µικρή πραγµατεία του που φέρει τον τίτλο Κύκλου µέτρησις (στο πλαίσιο που ακολουθεί µπορείτε να διαβάσετε µια συνοπτική παρουσίαση της απόδειξης), θεωρείται βέβαιο όµως ότι ήταν γνωστή από πολύ νωρίτερα, τουλάχιστον από τα µέσα του 4 ου π.χ. αιώνα, όταν ο εινόστρατος έλυσε το πρόβληµα της εύρεσης του µήκους της περιφέρειας χρησιµοποιώντας την τετραγωνίζουσα καµπύλη. Η επίλυση αυτού του προβλήµατος βασίζεται στη σχέση (βλ. σχήµα 4) (µήκος τεταρτοκυκλίου Β ) : ΑΒ = ΑΒ : ΑΗ, όπου το σηµείο Η προσδιορίζεται αν κατασκευασθεί η τετραγωνίζουσα (είναι το σηµείο στο οποίο η τετραγωνίζουσα τέµνει την πλευρά Α του τετραγώνου). Με δεδοµένη, τώρα, την προηγούµενη σχέση, η εύρεση του µήκους του τεταρτοκυκλίου (άρα και ολόκληρης της περιφέρειας) γίνεται πολύ εύκολα µε κανόνα και διαβήτη: πράγµατι η παραπάνω σχέση µας λέει ότι η ακτίνα ΑΒ του κύκλου είναι µέση ανάλογος µεταξύ του µήκους του τεταρτοκυκλίου και της απόστασης AΗ. Το πρόβληµα λοιπόν ανάγεται στην κατασκευή ενός ορθογωνίου το οποίο έχει µια πλευρά ίση µε ΑΗ και είναι ίσο προς το τετράγωνο µε πλευρά ΑΒ, και η κατασκευή αυτή επιτυγχάνεται εύκολα µε κανόνα και διαβήτη. Η απόδειξη από τον Αρχιµήδη της πρότασης ότι κάθε κύκλος είναι ίσος προς ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η µία από τις προσκείµενες στην ορθή γωνία πλευρές είναι ίση προς την ακτίνα και η βάση ίση προς την περιφέρεια. Έστω Κ η επιφάνεια του κύκλου, η επιφάνεια του τριγώνου, I n η επιφάνεια του εγγεγραµµένου κανονικού πολυγώνου µε n πλευρές και C n η επιφάνεια του περιγεγραµµένου κανονικού πολυγώνου µε n πλευρές. Υποθέτουµε κατ αρχάς ότι Κ >. Τότε, υπάρχει n τέτοιο ώστε να ισχύει Κ - I n < Κ -, οπότε I n >. Όµως η επιφάνεια I n του εγγεγραµµένου κανονικού πολυγώνου µε n πλευρές είναι ίση προς την επιφάνεια ενός ορθογωνίου τριγώνου οι κάθετες πλευρές του οποίου είναι ίσες αντιστοίχως προς το απόστηµα και την περίµετρο του πολυγώνου. Οι πλευρές αυτές είναι µικρότερες από τις αντίστοιχες πλευρές του τριγώνου µε επιφάνεια διότι, το µεν απόστηµα είναι µικρότερο από την ακτίνα του κύκλου η δε περίµετρος του

98 98 εγγεγραµµένου πολυγώνου είναι µικρότερη της περιφέρειας. Άρα, I n <, το οποίο αντιβαίνει προς την υπόθεση. Υποθέτουµε τώρα ότι Κ <. Τότε, υπάρχει n τέτοιο ώστε C n - Κ < - Κ, οπότε C n <. Στην περίπτωση αυτή το C n ισούται µε την επιφάνεια ορθογωνίου τριγώνου οι κάθετες πλευρές του οποίου είναι ίσες προς την ακτίνα και την περίµετρο του περιγεγραµµένου κανονικού πολυγώνου µε n πλευρές. Οι πλευρές αυτές είναι, αντιστοίχως, ίση και µεγαλύτερη των καθέτων πλευρών του τριγώνου µε επιφάνεια. Άρα, C n >, το οποίο αντιβαίνει προς την υπόθεση. Συνεπώς, η µόνη δυνατότητα που αποµένει είναι να ισχύει ότι Κ =. Η παρουσίαση που προηγήθηκε των προσπαθειών επίλυσης των τριών κλασικών προβληµάτων της αρχαίας ελληνικής γεωµετρίας δεν είναι πλήρης. Έστω όµως και τα λίγα επεισόδια που αναφέρθηκαν αρκούν για να συµπεράνουµε ότι τα προβλήµατα αυτά διαδραµάτισαν έναν εξαιρετικά σηµαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της γεωµετρίας. Αποτέλεσαν ουσιαστικό κίνητρο για να αναπτυχθεί η γεωµετρική έρευνα και να αποδώσει γόνιµους καρπούς σε όλη την περίοδο από την ελληνική αρχαιότητα έως τον 19 ο αιώνα, οπότε και αποδείχθηκε οριστικά ότι τα τρία αυτά προβλήµατα δεν είναι δυνατόν να επιλυθούν µε κανόνα και διαβήτη. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5 Προσπαθείστε τώρα να περιγράψετε τα τρία κλασικά προβλήµατα της ελληνικής γεωµετρίας και να αναπτύξετε µία από τις λύσεις που δόθηκαν στην αρχαιότητα σε ένα οποιοδήποτε από τα προβλήµατα αυτά.

99 99 Σύνοψη Στην ενότητα 1.2 κάναµε µια επισκόπηση ορισµένων επεισοδίων από την ιστορία των ελληνικών µαθηµατικών στην περίοδο προ του Ευκλείδη, δηλαδή στην περίοδο από τον 6 o έως τον 4 ο π.χ. αιώνα. Στην περίοδο αυτή αναπτύχθηκαν στον ελληνικό χώρο δύο διακριτές µαθηµατικές παραδόσεις, η παράδοση της Ιωνίας (µε κύριο εκπρόσωπο τη σχολή της Χίου), το ενδιαφέρον της οποίας ήταν επικεντρωµένο στην επίλυση γεωµετρικών προβληµάτων, και η πυθαγόρεια παράδοση, η οποία ήταν προσανατολισµένη κυρίως στην αριθµητική. Ένα από τα πιο σηµαντικά επεισόδια της ιστορίας των µαθηµατικών σε αυτή την περίοδο ήταν η ανακάλυψη της ασυµµετρίας, η οποία κατά την παράδοση έλαβε χώρα στους κόλπους της σχολής των Πυθαγορείων. Η σηµασία αυτής της ανακάλυψης έγκειται στο γεγονός ότι η ασυµµετρία είναι το πρώτο ιστορικό παράδειγµα µαθηµατικής ανακάλυψης που η ευρετική του διάσταση είναι στενά συνυφασµένη µε τη διαδικασία δικαιολόγησης, δηλαδή µε την απόδειξη του αποτελέσµατος. Στην υποενότητα εξετάσαµε µια σειρά ιστοριογραφικά ερωτήµατα αναφορικά µε την ασυµµετρία, τα οποία περιστρέφονται γύρω από το κεντρικό ερώτηµα του τρόπου µε τον οποίο έγινε η ανακάλυψη. Η ενότητα 1.2 ολοκληρώνεται µε µια συνοπτική αναφορά στις προσπάθειες επίλυσης των τριών κλασικών προβληµάτων της αρχαίας ελληνικής γεωµετρίας, δηλαδή των προβληµάτων του τετραγωνισµού του κύκλου, του διπλασιασµού του κύβου και της τριχοτόµησης µιας τυχούσας γωνίας.!!!!! Τώρα που ολοκληρώσατε τη µελέτη αυτής της ενότητας, ελέγξτε αν µπορείτε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήµατα: 1) Τι εννοούµε λέγοντας «ελληνικά µαθηµατικά»; 2) Τι σχόλια µπορείτε να κάνετε για το είδος των πηγών από τις οποίες αντλούµε τις γνώσεις µας για τα ελληνικά µαθηµατικά; Ποιες είναι οι ιστοριογραφικές συνέπειες για την ανασυγκρότηση της ιστορίας των ελληνικών µαθηµατικών; 3) Ποια είναι η συµβολή του Θαλή και των Ιώνων γεωµετρών στην ιστορία της γεωµετρίας;

100 100 4) Ποια είναι τα κύρια χαρακτηριστικά της ενασχόλησης του Πυθαγόρα και των µαθητών του µε τα µαθηµατικά; 5) Ποια είναι η συµβολή του Ιπποκράτη του Χίου στην ιστορία της γεωµετρίας; Βιβλιογραφία Ελληνόγλωσση Bunt, L.N.H., - Jones, P.S., - Bedient, J.D.: Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών µαθηµατικών, µτφρ. Α. Φερεντίνου - Νικολακοπούλου, Αθήνα, Εκδόσεις «Γ. Α. Πνευµατικός», Σταµάτης, Ε. Σ.: Το ήλιον πρόβληµα και η τριχοτόµησις γωνίας, Αθήνα, Szabó, A.: Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηµατικών, µτφρ. Α. Τεγοπούλου, Αθήνα, Εκδόσεις Τεχνικού Επιµελητηρίου της Ελλάδος, Waerden, B.L. van der: Η αφύπνιση της επιστήµης, µτφρ. Γ. Χριστιανίδης, Ηράκλειο, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ξενόγλωσση Becker, O.: Das mathematische Denken der Antike, Göttingen, Vandenhoeck & Ruprecht, [Bulmer-] Thomas, I.: Selections Illustrating the History of Greek Mathematics, 2 τόµοι, Cambridge, Mass.: Harvard University Press & London: Heinemann, Πρώτη έκδοση Caveing, M.: La Figure et le Nombre, Lille, Presses Universitaires du Septentrion, Caveing, M.: L irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu à Euclide, Lille, Presses Universitaires du Septentrion, Fauvel, J.: Mathematics in the Greek World, The Open University, (MA290: Topics in the History of Mathematics, Block 1: Mathematics in the Ancient World). Fauvel, J.: The Greek Concept of Proof, The Open University, (MA290: Topics in the History of Mathematics, Block 1: Mathematics in the Ancient World). Fauvel, J.: The Greek Study of Curves, The Open University, (MA290: Topics in the History of Mathematics, Block 1: Mathematics in the Ancient World). Fowler, D.H.: The Mathematics of Plato s Academy. A New Reconstruction, Oxford, Clarendon Press, Knorr, W.R.: The Evolution of Euclidean Elements, Dordrecht, Reidel, Knorr, W.R.: The Ancient Tradition of Geometric Problems, New York, Dover, Knorr, W.R. «On the Early History of Axiomatics: the Interaction of Mathematics and Philosophy in Greek Antiquity». Περιέχεται στον τόµο Theory Change, Ancient Axiomatics and Galileo s Methodology. Proceedings of the 1978 Pisa Conference on the History and Philosophy of Science, επιµ. J. Hintikka, D. Gruender, E. Agazzi, London, Reidel, 1981, σ Michel. P.-H.: De Pythagore à Euclide. Contribution à l histoire des mathématiques préeuclidiennes, Paris, Les Belles Lettres, 1950.

101 101 Mueller, I.: «Greek arithmetic, geometry and harmonics: Thales to Plato». Περιέχεται στον τόµο From the beginning to Plato, επιµ. C.C. Taylor, London, Routledge, 1997, σ Saito, K.: «Doubling the Cube: A New Interpretation of Its Significance for Early Greek Geometry», Historia Mathematica, τ. 22, 1995, σ Tannery, P.: Sciences exactes dans l antiquité, επιµ. J.L. Heiberg, H.G. Zeuthen, 3 τόµοι, Toulouse, E. Privat & Paris, Gauthier-Villars, (Mémoires Scientifiques, I- III.) Théon de Smyrne: Théon de Smyrne, philosophe Platonicien, Exposition des connaissances mathématiques utiles pour la lecture de Platon, tr. J. Dupuis, Bruxelles, Culture et Civilisation, Πρώτη έκδοση Von Fritz, K.: «The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum», Annals of Mathematics, τ. 46, 1945, σ Οδηγός για περαιτέρω µελέτη 1. Waerden, B.L. van der: Η αφύπνιση της επιστήµης, µτφρ. Γ. Χριστιανίδης, Ηράκλειο, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, Το βιβλίο του B.L. van der Waerden είναι ένα από τα κλασικά βιβλία της ιστορίας των αρχαίων µαθηµατικών. Σε αυτό συνοψίζονται και ολοκληρώνονται κατά τρόπο άρτιο και εµπεριστατωµένο οι έρευνες που έλαβαν χώρα στο πρώτο µισό του 20 ού αιώνα για τα ελληνικά αλλά και τα βαβυλωνιακά και αιγυπτιακά µαθηµατικά. Ιδιαίτερα, τα κεφάλαια 4 και 5 µε τον τίτλο «Η εποχή του Θαλή και του Πυθαγόρα» και «Ο χρυσούς αιών» πραγµατεύονται λεπτοµερώς όλα τα θέµατα που παρουσιάσαµε και εµείς σε αυτή την ενότητα. Πρέπει να σηµειώσουµε πάντως ότι το επίπεδο του βιβλίου του Van der Waerden υπερβαίνει τις απαιτήσεις που εµείς είχαµε γι αυτή την ενότητα. 2. Mueller, I.: «Greek arithmetic, geometry and harmonics: Thales to Plato». Περιέχεται στον τόµο From the beginning to Plato, επιµ. C.C. Taylor, London, Routledge, 1997, σ Το εκτενές αυτό άρθρο του Ian Mueller περιλαµβάνει µια γενική επισκόπηση της ιστορίας των ελληνικών µαθηµατικών από τις απαρχές έως την εποχή του Πλάτωνος. Βασικό χαρακτηριστικό του είναι η ενδελεχής µελέτη των υπαρχουσών πηγών και η ερµηνεία τους µε βάση τη σύγχρονη ιστοριογραφική µεθοδολογία.

102 102 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριότητα 1 1) Σκοπός του Πρόκλου δεν είναι να παρουσιάσει την επισκόπηση όλων των κλάδων των ελληνικών µαθηµατικών έως την εποχή του Ευκλείδη, αλλά µόνο της γεωµετρίας. Στην επισκόπηση δεν γίνεται αναφορά στην αριθµητική, στην αστρονοµία και στη µουσική, οι οποίες κατά την αρχαιότητα θεωρούνταν κλάδοι των µαθηµατικών. Αλλά ούτε όλοι οι γεωµέτρες της προ του Ευκλείδη εποχής αναφέρονται. Για παράδειγµα δεν αναφέρεται ο ηµόκριτος ο οποίος έπαιξε σηµαντικό ρόλο στην εξέλιξη της γεωµετρίας (υπολόγισε µάλιστα τον όγκο της πυραµίδας), ούτε ο λιγότερο γνωστός Αρισταίος, συγγραφέας ενός έργου για τις κωνικές τοµές (στο οποίο αναφερθήκαµε ήδη) που δυστυχώς δεν διασώθηκε. 2) Η σειρά µε την οποία ο Πρόκλος παραθέτει τα ονόµατα είναι: Ιπποκράτης (ήκµασε περί το 430), Θεαίτητος (περ ), Εύδοξος (περ ), Μέναιχµος (ήκµασε περί το ), Αρχιµήδης (περ ), Ερατοσθένης (περ ). Οι χρονολογίες µέσα στις παρενθέσεις δείχνουν ότι οι ιστορικοί των µαθηµατικών δεν διαφωνούν µε τη χρονολογική κατάταξη του Πρόκλου. ραστηριότητα 2 Υπάρχουν τουλάχιστον δύο λόγοι που µας κάνουν να πιστεύουµε ότι η προηγούµενη απόδειξη δεν είναι η αρχαιότερη απόδειξη της ασυµµετρίας. Κατ αρχάς, η αυστηρή παραγωγική δοµή της κατά το πρότυπο των ευκλείδειων αποδείξεων φανερώνει ένα αρκετά προχωρηµένο στάδιο µαθηµατικής σκέψης. Εξάλλου, η προηγούµενη απόδειξη έχει τη µορφή της εις άτοπον απαγωγής. Ξεκινά µε την υπόθεση ότι αληθεύει η αντίθετη πρόταση αυτής που θέλουµε να αποδείξουµε µε την υπόθεση δηλαδή ότι η πλευρά και η διαγώνιος του τετραγώνου δεν είναι ασύµµετρες αλλά σύµµετρες και καταλήγει σε άτοπο. Αυτός ο τύπος απόδειξης όµως προϋποθέτει ότι το προς απόδειξη αποτέλεσµα η ασυµµετρία πλευράς και διαγωνίου είναι εκ των προτέρων γνωστό εποµένως, ο συλλογισµός που χρησιµοποιείται δεν µπορεί να ταυτίζεται µε την αλληλουχία των σκέψεων που οδήγησαν για πρώτη φορά στην ανακάλυψη της ασυµµετρίας. Όλοι αυτοί οι λόγοι µας οδηγούν στο συµπέρασµα ότι η προηγούµενη απόδειξη δεν µπορεί να είναι η πρώτη απόδειξη της ασυµµετρίας.

103 103 ραστηριότητα 3 1) Όχι, ο Ιπποκράτης ασχολείται µε τον τετραγωνισµό µιας ειδικής περίπτωσης µηνίσκου. Πρώτα-πρώτα, ξεκινά µε ένα ηµικύκλιο περιγεγραµµένο σε ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο, πράγµα που σηµαίνει ότι το εξωτερικό τόξο του µηνίσκου είναι ηµιπεριφέρεια. Στη συνέχεια κατασκευάζει µε βάση την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ένα τόξο µε τρόπο ώστε το κυκλικό τµήµα που σχηµατίζεται από το τόξο και την υποτείνουσα να είναι «όµοιο» µε το καθένα από τα δύο κυκλικά τµήµατα που σχηµατίζονται από την ηµιπεριφέρεια και τις ίσες πλευρές του τριγώνου. Σχηµατίζεται έτσι ένας µηνίσκος ειδικής µορφής, και αυτόν ακριβώς τον µηνίσκο τετραγωνίζει ο Ιπποκράτης (βλ. σχήµα). 2) Ο Σιµπλίκιος χρησιµοποιεί τη φράση «[ο Ιπποκράτης] ξεκίνησε θέτοντας ως πρώτο µεταξύ των θεωρηµάτων που χρησιµεύουν για τον σκοπό του, ότι». Αυτό σηµαίνει ότι για να δικαιολογήσει την απάντησή του ο Ιπποκράτης χρησιµοποίησε λογικούς συλλογισµούς. Πράγµατι, για να αποδείξει το αποτέλεσµα, χρειάστηκε προηγουµένως να αποδείξει το θεώρηµα ότι τα όµοια κυκλικά τµήµατα έχουν µεταξύ τους τον αυτό λόγο όπως τα τετράγωνα των βάσεών τους. Αυτό µε τη σειρά του το συνήγαγε από ένα άλλο θεώρηµα, ότι οι κύκλοι έχουν µεταξύ τους τον αυτό λόγο όπως τα τετράγωνα των διαµέτρων τους. ραστηριότητα 4 Το κείµενο της «επιστολής» παρουσιάζει δύο διαφορετικές εκδοχές για την προέλευση του προβλήµατος. Σύµφωνα µε την πρώτη εκδοχή, ο διπλασιασµός του κύβου είναι ένα πανάρχαιο πρόβληµα που συνδέεται µε έναν µύθο γύρω από τον Μίνωα. Με το πρόβληµα ασχολήθηκε αργότερα, στα τέλη του 5 ου π.χ. αιώνα, ο Ιπποκράτης ο Χίος ενδεχοµένως δε και άλλοι µαθηµατικοί εκείνης της εποχής. Σύµφωνα µε τη δεύτερη εκδοχή, το πρόβληµα προέκυψε από έναν χρησµό προς τους ηλίους, την εποχή του Πλάτωνος, δηλαδή µισό αιώνα µετά από τον Ιπποκράτη. Ένα πρώτο ζήτηµα, λοιπόν, το οποίο τίθεται είναι πώς µπορεί να εξηγηθεί η αντίφαση ανάµεσα στα δύο τµήµατα της «επιστολής»; Ευτυχώς υπάρχει ένα απόσπασµα του

104 104 Θέωνος του Σµυρναίου, ενός συγγραφέα του 2 ου µ.χ. αιώνα, το οποίο µας αποκαλύπτει την πηγή της δεύτερης εκδοχής της ιστορίας. Το απόσπασµα είναι το εξής: «ιότι στο βιβλίο του που επιγράφεται Πλατωνικός, ο Ερατοσθένης αφηγείται ότι, όταν ο θεός ανήγγειλε δια χρησµού στους ηλίους ότι για να απαλλαγούν από τον λοιµό έπρεπε να κατασκευάσουν βωµό διπλάσιο του ήδη υπάρχοντος, οι αρχιτέκτονες περιέπεσαν σε µεγάλη αµηχανία ζητώντας µε ποιόν τρόπο µπορεί να διπλασιαστεί ένα στερεό και πήγαν να ρωτήσουν τον Πλάτωνα σχετικά µε αυτό. Αυτός τους απάντησε ότι ο θεός έδωσε αυτόν τον χρησµό στους ηλίους, όχι επειδή είχε ανάγκη ενός διπλάσιου βωµού, αλλά για να κατακρίνει και να επιπλήξει τους Έλληνες επειδή αµελούν τα µαθηµατικά και περιφρονούν τη γεωµετρία.» (Théon de Smyrne, 1966, σ. 4) Από το απόσπασµα αυτό προκύπτει ότι η πηγή της δεύτερης εκδοχής ήταν ένας δραµατοποιηµένος διάλογος του Ερατοσθένη µε τον τίτλο Πλατωνικός, στον οποίο φαίνεται ότι συνοψίζονταν όλες οι προσπάθειες επίλυσης του προβλήµατος του διπλασιασµού του κύβου την εποχή του Πλάτωνος. Ας έλθουµε τώρα στα ερωτήµατα που θέσαµε στην εκφώνηση. εν έχει µεγάλη σηµασία για µας να εξετάσουµε εδώ ποια από τις δύο εκδοχές της ιστορίας ανταποκρίνεται περισσότερο στην αλήθεια. Αυτό που έχει σηµασία να παρατηρήσουµε είναι ότι και οι δύο εκδοχές παρουσιάζουν ένα καθαρά πρακτικό πρόβληµα (στη µία περίπτωση είναι ο διπλασιασµός ενός τάφου, στη δεύτερη ο διπλασιασµός ενός βωµού) ως αφορµή για να διατυπωθεί το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου. Ένα πρώτο σχόλιο πάντως που µπορούµε να κάνουµε είναι ότι, εάν πράγµατι το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου είχε προκύψει ως πρακτικό πρόβληµα, τότε δεν είναι καθόλου σαφές γιατί άραγε ο διπλασιασµός του βωµού θα µπορούσε να αποτελεί καλή µέθοδο αντιµετώπισης του λοιµού που είχε πλήξει τη ήλο! Ένα δεύτερο σχόλιο είναι το εξής: τόσο στο κείµενο του Θέωνος (µε σαφήνεια) όσο και στην τελευταία παράγραφο του κειµένου του Ευτόκιου (µε λιγότερη σαφήνεια) αναφέρεται ότι οι ήλιοι απευθύνθηκαν στον Πλάτωνα ο οποίος έθεσε αµέσως το θεωρητικό πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου στους γεωµέτρες της Ακαδηµίας. Αυτός ο ρόλος του Πλάτωνος είναι απολύτως συµβατός µε ό,τι γνωρίζουµε από πολλούς διαλόγους του, την ετοιµότητά του δηλαδή να θέτει ανά πάσα στιγµή άλυτα µαθηµατικά προβλήµατα προκειµένου να επιτιµήσει τους Έλληνες για την αµέλεια που δείχνουν προς τα µαθηµατικά. Πάντως, όπως κι αν έχουν τα πράγµατα, φαίνεται ότι από την πρώτη στιγµή που τέθηκε το πρόβληµα, ολόκληρο το βαρύ πυροβολικό των κορυφαίων µαθηµατικών της

105 105 εποχής Αρχύτας, Εύδοξος, Μέναιχµος, όλοι φίλοι και συνεργάτες του Πλάτωνος καταπιάστηκαν µε την προσπάθεια εξεύρεσης λύσης του ισοδύναµου προβλήµατος της κατασκευής δύο µέσων αναλόγων, στο οποίο είχε αναγάγει το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου ο Ιπποκράτης. Το πρόβληµα λοιπόν εντάχθηκε αµέσως στη γεωµετρική ερευνητική παράδοση. εν αποκλείεται τελικά το πρόβληµα να γεννήθηκε ακριβώς µέσα στο πλαίσιο αυτής της παράδοσης, µιας και όπως είπαµε δεν γνωρίζουµε πόση αξιοπιστία έχουν οι αφηγήσεις για τον βωµό και τον τάφο. εν θα πρέπει πάντως να παραλείψουµε να επισηµάνουµε από την άλλη πλευρά ότι στην «επιστολή» που παραθέτει ο Ευτόκιος εξαίρονται τα πρακτικά πλεονεκτήµατα µιας µηχανικής µεθόδου επίλυσης έναντι των υπολοίπων, πράγµα που δεν θα είχε νόηµα αν δεν υπήρχε διόλου η πρακτική διάσταση του προβλήµατος.

106 Η ελληνική αστρονοµία τον 4 ο π.χ. αιώνα Σκοπός Σε αυτή την ενότητα θα µελετήσουµε το πρώτο παράδειγµα εφαρµογής µαθηµατικών µεθόδων για την ερµηνεία και την κατανόηση φαινοµένων του φυσικού κόσµου που εµφανίστηκε στην ελληνική επιστήµη. Πρόκειται για το γεωµετρικό µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών που εισηγήθηκε ο Εύδοξος (4 ος π.χ. αιώνας) προκειµένου να ερµηνεύσει τη φαινοµένη κίνηση των πλανητών. Το µοντέλο του Ευδόξου τροποποιήθηκε από τον Κάλλιππο και κυριάρχησε στην ελληνική πλανητική αστρονοµία για σχεδόν έναν αιώνα. Προσδοκώµενα Αποτελέσµατα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη µελέτη αυτής της ενότητας, θα είστε σε θέση να: Σκιαγραφείτε τα κύρια χαρακτηριστικά του µοντέλου των οµόκεντρων σφαιρών. Περιγράφετε τις αρετές και τα µειονεκτήµατά του. Προσδιορίζετε τον ρόλο του Πλάτωνος στην ιστορία της αστρονοµίας. Παρουσιάζετε τις τροποποιήσεις που υπέστη το µοντέλο του Ευδόξου από τους διαδόχους του Κάλλιππο και Αριστοτέλη. Εισαγωγικές Παρατηρήσεις Στην ενότητα 1.1 παρουσιάσαµε ορισµένες κοσµογονικές θεωρίες που διατυπώθηκαν τον 6 ο και τον 5 ο π.χ. αιώνα από τους προσωκρατικούς στοχαστές. Το κύριο χαρακτηριστικό των θεωριών αυτών ήταν ότι µε ορθολογικές και όχι µυθολογικές ερµηνείες προσπαθούσαν να κατανοήσουν πώς δηµιουργήθηκε το υλικό σύµπαν και ειδικά το πλανητικό µας σύστηµα, και να εξηγήσουν κάποια γενικά χαρακτηριστικά της λειτουργίας του, όπως είναι η κίνηση, η αλλαγή κ.λπ. Οι κοσµογονικές, ως επί το πλείστον, αυτές θεωρίες είχαν έντονο φαινοµενολογικό και ποιοτικό χαρακτήρα. Έδιναν λ.χ. ποικίλες ερµηνείες για το αίτιο της κίνησης των ουρανίων σωµάτων δεν έκαναν λόγο όµως για το είδος της κίνησης ούτε πολύ περισσότερο για τη νοµοτέλεια που τη διέπει. Εξάλλου η πρόγνωση των µελλοντικών θέσεων των ουρανίων σωµάτων εξακολουθούσε

107 107 να γίνεται, στο µέτρο που γινόταν, µε εµπειρικούς κανόνες που είχαν προκύψει από την προσεκτική µακροχρόνια παρατήρηση και όχι από τη χρήση κάποιας κοσµολογικής θεωρίας. Στην ενότητα που ακολουθεί θα εξετάσουµε το πρώτο παράδειγµα µιας µαθηµατικά θεµελιωµένης κοσµολογίας, η οποία έδινε τη δυνατότητα να γίνονται ποσοτικοί υπολογισµοί και προγνώσεις σχετικά µε την κίνηση του ήλιου, της σελήνης και των πλανητών µε βάση όχι πλέον την εµπειρία αλλά µε χρήση γεωµετρικών µεθόδων. Ο πυρήνας αυτής της µαθηµατικής κοσµολογίας ήταν το γεωµετρικό µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών που εισηγήθηκε ο Εύδοξος και υιοθέτησαν, επιφέροντας µικρές ή µεγαλύτερες τροποποιήσεις, οι µαθηµατικοί του 4 ου π.χ. αιώνα. Το µοντέλο του Ευδόξου το εξετάζουµε στην υποενότητα 1.3.2, ενώ στην υποενότητα περιγράφουµε τις τροποποιήσεις που υπέστη το µοντέλο αργότερα στη διάρκεια του ίδιου αιώνα από τον Κάλλιππο και τον Αριστοτέλη. Προηγουµένως, στην υποενότητα εξετάζουµε τις απόψεις του Πλάτωνος για την αστρονοµία και την παρακαταθήκη του προς τους αστρονόµους της εποχής του.

108 Ο ρόλος του Πλάτωνος στην ιστορία της αστρονοµίας Τo δεύτερο µισό του 5 ου αιώνα επήλθαν ορισµένες σηµαντικές αλλαγές που φαίνεται ότι επηρέασαν την περαιτέρω ανάπτυξη της ελληνικής επιστήµης. Κατ αρχάς, η Αθήνα µετατράπηκε σε κέντρο της πνευµατικής ζωής ολόκληρου του ελληνικού χώρου. Ενώ παλαιότερα οι φιλόσοφοι ζούσαν και εργάζονταν εγκατεστηµένοι σε διάφορες πόλεις της Ιωνίας ή της Μεγάλης Ελλάδας, από τη γενιά του Σωκράτη και µετά, οι σηµαντικότεροι στοχαστές επισκέπτονται την Αθήνα και περνούν εκεί ένα σηµαντικό µέρος της ζωής τους. Η τάση αυτή ενισχύθηκε τον 4 ο αιώνα µε τη δηµιουργία σχολών οι οποίες προσήλκυαν φιλοσόφους και επιστήµονες από όλη την Ελλάδα. Τέτοιες σχολές ήταν η Ακαδηµία, η οποίο ιδρύθηκε από τον Πλάτωνα µεταξύ των ετών 385 και 370 π.χ., και το Λύκειον, το οποίο ιδρύθηκε από τον Αριστοτέλη λίγο µετά το 335 π.χ. Εξάλλου, µε τη διδασκαλία του Σωκράτη αλλά και ορισµένων σοφιστών σηµειώνεται στη φιλοσοφική σκέψη µια µετατόπιση του ενδιαφέροντος από τα κοσµολογικά-φυσικά προβλήµατα, που κυριάρχησαν κατά τον 6 ο και τις αρχές του 5 ου αιώνα, προς τα πολιτικά και ηθικά προβλήµατα. Εµφανίζεται λοιπόν ένα νέο είδος φιλοσοφίας που επικεντρώνει το ενδιαφέρον της στον άνθρωπο και όχι τόσο στον φυσικό κόσµο. Επίσης, οι εκπαιδευτικοί µηχανισµοί της εποχής αναπτύσσονται γοργά (λόγω και της δραστηριότητας των σοφιστών) ενώ διευρύνεται και το θεµατικό περιεχόµενο της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Η φιλοσοφία και η γεωµετρία εντάσσονται στην παραδοσιακή ελληνική εκπαίδευση, η οποία παλαιότερα περιοριζόταν στη γραµµατική, στη µουσική και στην ποίηση. Οι αλλαγές αυτές φαίνεται ότι συνέβαλαν ώστε στον 4 ο αιώνα να πραγµατοποιηθεί µια σηµαντική αλλαγή στην αρχαία ελληνική επιστήµη: το πέρασµα από τις ποιοτικές κοσµογονικές ερµηνείες στις πρώτες θεωρητικές-γεωµετρικές περιγραφές των κινήσεων των ουρανίων σωµάτων, µε τη δηµιουργία µιας νέας επιστήµης που θα αποκαλέσουµε θεωρητική-µαθηµατική αστρονοµία, σε αντίθεση µε την εµπειρική-φυσική αστρονοµία των προσωκρατικών στοχαστών. Αντικείµενο της θεωρητικής αστρονοµίας ήταν η γεωµετρική µελέτη και ερµηνεία των κινήσεων των ουρανίων σωµάτων και ιδιαίτερα των πλανητών και, ως ένα βαθµό, η εξαγωγή ποσοτικών στοιχείων για τη θέση και την κίνηση των πλανητών. Η αλλαγή αυτή όχι µόνο επέδρασε δραµατικά στην εξέλιξη της ελληνικής επιστήµης αλλά επαναπροσδιόρισε τον ρόλο, τις δυνατότητες και τη λειτουργία της επιστήµης στην κατανόηση του υλικού σύµπαντος.

109 109 Το αίτηµα για την ανάγκη µεταλλαγής της αστρονοµίας από εµπειρική σε θεωρητική επιστήµη, κατά το ανάλογο της γεωµετρίας, διατυπώθηκε από τον Πλάτωνα ( /47) και τους συνεργάτες του, κυρίως τον Εύδοξο τον Κνίδιο, ο οποίος υπήρξε ο δηµιουργός του πρώτου γεωµετρικού µοντέλου για την ερµηνεία της κίνησης των πλανητών, του µοντέλου των «οµόκεντρων σφαιρών». Στα κείµενα του Πλάτωνος προβάλλεται για πρώτη φορά το αίτηµα οι µελλοντικοί αστρονόµοι να υπερβούν την απλή συστηµατική εµπειρική παρατήρηση των ουρανίων σωµάτων και να χρησιµοποιήσουν τα µαθηµατικά και ιδιαίτερα τη γεωµετρία για να ανακαλύψουν την πραγµατική φύση της αστρονοµίας αλλά και της επιστήµης γενικότερα. Η ιδέα αυτή έπαιξε ουσιαστικό και κρίσιµο ρόλο στην ανάπτυξη της αστρονοµικής σκέψης και η αστρονοµία από εµπειρική τέχνη (τεχνική) µετατράπηκε σε επιστήµη κατά τα πρότυπα της γεωµετρίας. Οι πλατωνικές αντιλήψεις για την αστρονοµία Στο πλαίσιο της παρούσης ιστορίας της ελληνικής επιστήµης δεν είναι εφικτό να παρουσιάσουµε, έστω και συνοπτικά, το σύνολο των πλατωνικών απόψεων για την επιστήµη γενικά, και για την αστρονοµία ειδικότερα. Πολλές από αυτές άλλωστε είναι δυνατόν να ερµηνευθούν ποικιλοτρόπως και εποµένως η κατανόησή τους απαιτεί την παράθεση πολλών και διαφορετικών απόψεων που έχουν κατά καιρούς διατυπωθεί από τους µελετητές του πλατωνικού έργου. Για τον λόγο αυτό θα περιοριστούµε σε µια περιληπτική παρουσίαση ορισµένων χαρακτηριστικών σηµείων. Από τα αστρονοµικά χωρία που είναι διάσπαρτα στα κείµενα του Πλάτωνος διαπιστώνουµε ότι δύο τουλάχιστον βασικές ιδέες που αφορούν στην κίνηση των πλανητών είχαν αποσαφηνιστεί στην εποχή του: Το πρώτο σηµείο είναι η διάκριση µεταξύ δύο ειδών κινήσεων των ουρανίων σωµάτων: α) της ηµερήσιας κίνησης της ουράνιας σφαίρας εξ ανατολών προς δυσµάς - κίνησης στην οποία συµµετέχουν όλα τα ουράνια σώµατα, πλανήτες και απλανείς, και

110 110 β) των ιδίων κινήσεων των πλανητών επί της εκλειπτικής 4, µε φορά αντίθετη εκείνης της κίνησης που αναφέραµε προηγουµένως, δηλαδή µε φορά εκ δυσµών προς ανατολάς. εύτερον, είχε διαπιστωθεί ότι ο Ερµής και η Αφροδίτη κινούνται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα όπως ο ήλιος, και µάλιστα χωρίς να αποµακρύνονται πολύ απ αυτόν, διατρέχοντας πλήρως την εκλειπτική σε διάστηµα ίσο περίπου µε ένα χρόνο, όσο δηλαδή είναι το διάστηµα που χρειάζεται ο ήλιος για να διατρέξει την εκλειπτική. Η συµβολή, όµως, του Πλάτωνος δεν έγκειται τόσο σε αυτές ή σε παρόµοιες τεχνικές γνώσεις που εκθέτει στους ιαλόγους του αλλά στις ιδέες που διατυπώνει για το είδος της αστρονοµίας που πρέπει να δηµιουργηθεί και τον τύπο των ερµηνειών που οι αστρονόµοι πρέπει να δίνουν. Οι απόψεις του διατυπώνονται κυρίως σε δύο έργα, στην Πολιτεία και στον Τίµαιο. Στην Πολιτεία, παρουσιάζοντας την εκπαίδευση που πρέπει να λαµβάνουν οι µελλοντικοί φύλακες της ιδεώδους Πολιτείας, βρίσκει την ευκαιρία να παρουσιάσει εκτενώς και ορισµένες απόψεις του για την αστρονοµία. Σύµφωνα µε τον Πλάτωνα, λοιπόν, η αληθινή αξία της αστρονοµίας δεν βρίσκεται στη χρησιµότητά της στην καθηµερινή ζωή, ούτε καν στη δυνατότητά της να κατευθύνει την προσοχή της ανθρώπινης διάνοιας στα (ορατά) ουράνια σώµατα. Έγκειται κυρίως στη δυνατότητά της να εκπαιδεύσει την ανθρώπινη σκέψη προκειµένου να κατανοήσει ορισµένες αόρατες πραγµατικότητες τις µόνες που υπάρχουν αληθινά, των οποίων τα αστέρια και οι πλανήτες είναι απλές «απεικονίσεις». Η µελέτη των ουρανίων σωµάτων µας βοηθά να αποκτήσουµε την αληθινή γνώση (τη γνώση, δηλαδή, που αφορά τις αληθινές υπάρξεις) όπως ακριβώς τα γεωµετρικά διαγράµµατα µας βοηθούν να κατανοήσουµε τις µαθηµατικές έννοιες. Στον Τίµαιο, εξάλλου, το µοναδικό πλατωνικό κείµενο που είναι αφιερωµένο στην κοσµολογία και στις φυσικές επιστήµες, εκθέτει την κοσµολογία του, µε µεταφορικό πολλές φορές τρόπο. Εκεί αναπτύσσει τη διάκριση ανάµεσα στις Ιδέες (Τύπους, Μορφές) οι οποίες υπάρχουν αιώνια, και στον µεταβαλλόµενο κόσµο του γίγνεσθαι. Οι πρώτες αποτελούν τα πρότυπα βάσει των οποίων έχει κατασκευαστεί ο δεύτερος. Στα δύο αυτά διαφορετικά επίπεδα «ύπαρξης» θεωρεί ότι αρµόζουν διαφορετικοί τύποι διήγησης. Οι προτάσεις που αναφέρονται στην αναλλοίωτη πραγµατικότητα, στις Ιδέες είναι οριστικές και ακριβείς, ενώ για τον κόσµο του γίγνεσθαι και της αλλαγής, δηλαδή τον εµπειρικό-φυσικό κόσµο, δεν µπορούµε να προσδοκούµε περισσότερο από κάποιες διηγήσεις-υποθέσεις που µοιάζουν πιθανές. 4 Η εκλειπτική είναι µια µαθηµατική γραµµή που παριστάνει την τροχιά που φαίνεται να

111 111 Τα κύρια στοιχεία του κοσµολογικού σχήµατος του Πλάτωνος είναι, συνοπτικά, τα εξής: 1. Πρώτα είναι οι Ιδέες, τα αιωνίως υπάρχοντα αµετάβλητα πρότυπα, µε βάση τα οποία έχουν κατασκευαστεί όλα τα πράγµατα. Όλες οι προτάσεις που αναφέρονται σε αυτές, εφόσον φυσικά είναι απαλλαγµένες από σφάλµατα, είναι οριστικές. 2. Εν συνεχεία είναι τα αντικείµενα του εµπειρικού κόσµου, οι ατελείς και υποκείµενες σε συνεχή αλλαγή, γένεση και φθορά, αποµιµήσεις των Ιδεών. Οι προτάσεις που αναφέρονται σε αυτά δεν είναι οριστικές αλλά πιθανές και πρόσκαιρες. 3. Τέλος, είναι ο ηµιουργός, η ενεργός αιτία (ποιητικό αίτιο), η δρώσα δύναµη που σχεδιάζει και πλάθει τον φυσικό κόσµο. Σηµαντική συµβολή του Πλάτωνος στη φυσική επιστήµη της εποχής του υπήρξε επίσης η θεωρία του για τα έσχατα συστατικά της ύλης. Στο εδάφιο 49a κ.ε. του Τιµαίου, ο Τίµαιος αναλύει το φαινόµενο της αλλαγής. Επισηµαίνει ότι τα αισθητά αντικείµενα χαρακτηρίζονται από µεταβλητότητα και αποφαίνεται ότι δεν θα πρέπει να προσπαθούµε να περιγράψουµε το καθένα από τα τέσσερα στοιχεία (πυρ, ύδωρ, γη και αέρας) σαν να επρόκειτο για πράγµατα οριστικά και σταθερά. ιότι, για παράδειγµα, το ύδωρ όταν πηγνύεται γίνεται λίθος (γη), όταν διαλύεται και διαστέλλεται γίνεται αέρας, ενώ όταν ο αέρας καίγεται γίνεται πυρ (49c). Για να ξεπεράσει αυτό το πρόβληµα, εισάγει τη διάκριση ανάµεσα σε εκείνο που γεννάται και σε εκείνο εντός του οποίου αυτό γεννάται, χαρακτηρίζοντας αυτό το τελευταίο ως «εκµαγείο» του γεννώµενου (50b-c). ιακρίνει δηλαδή ο Πλάτων τρία γένη οντοτήτων: 1. εκείνο που γεννάται, 2. εκείνο µέσα στο οποίο αυτό γεννάται, και 3. εκείνο, κατ αποµίµηση του οποίου γεννάται το γεννώµενο. Η θεωρία του Πλάτωνος για το γεννώµενο εµπεριέχει πολλές από τις ιδέες που είχαν διατυπώσει ο Εµπεδοκλής και οι ατοµικοί φιλόσοφοι. Συνδυάζοντας όµως όλες αυτές τις ιδέες ο Πλάτων διαµορφώνει µια δική του θεωρία, η οποία απαντά µε νέο τρόπο στο παλαιό πρόβληµα των συστατικών της ύλης. Όπως ο Εµπεδοκλής, έτσι και ο Πλάτων διαγράφει ο ήλιος στην ουράνια σφαίρα στη διάρκεια ενός χρόνου.

112 112 θεωρεί ότι η ύλη αποτελείται από τέσσερα απλά στοιχεία (ριζώµατα), το πυρ, τον αέρα, το ύδωρ και τη γη, σε διάκριση όµως προς εκείνον ταυτίζει το καθένα από τα τέσσερα απλά στοιχεία µε κάποιο από τα κανονικά στερεά: το πυρ µε το τετράεδρο (το κανονικό στερεό δηλαδή το οποίο έχει 4 έδρες οι οποίες είναι ισόπλευρα τρίγωνα), τον αέρα µε το οκτάεδρο (8 έδρες, ισόπλευρα τρίγωνα), το ύδωρ µε το εικοσάεδρο (20 έδρες, ισόπλευρα τρίγωνα) και τη γη µε τον κύβο (6 έδρες, τετράγωνα). Το πέµπτο κανονικό στερεό, το δωδεκάεδρο (12 έδρες, κανονικά πεντάγωνα), αν και το µνηµονεύει στο εδάφιο 55c χωρίς πάντως να το κατονοµάζει, δεν το ταυτίζει µε κανένα στοιχείο. Στη συνέχεια, προτείνει την κατασκευή των τεσσάρων στερεών (άρα των τεσσάρων στοιχείων-ριζωµάτων) από οντότητες ακόµα πιο θεµελιώδεις: από δύο είδη τριγώνων, το ορθογώνιο ισοσκελές και το ήµισυ του ισοπλεύρου. Έτσι, συνδυάζοντας µε διάφορους τρόπους ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα, σχηµατίζουµε λ.χ. το τετράγωνο που είναι η πλευρά (έδρα) του κύβου, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήµατα: Η επίδραση των Πλατωνικών αντιλήψεων στην ελληνική αστρονοµία Η επιρροή των Πλατωνικών απόψεων υπήρξε αναµφισβήτητα µεγάλη στην ιστορία της επιστήµης και ιδιαίτερα στην ιστορία της αστρονοµίας. Γύρω από το θέµα έχουν εκφραστεί πολλές και αντικρουόµενες απόψεις. εν θα συζητήσουµε το ζήτηµα αυτό γιατί αφ ενός είναι εξαιρετικά πολύπλοκο και αφ ετέρου εξακολουθεί να συνιστά ανοικτό πρόβληµα στην ιστορία της επιστήµης. Θα περιοριστούµε σε µια σύντοµη παράθεση των αποτελεσµάτων των πλατωνικών αντιλήψεων στην ελληνική αστρονοµία. Αξίζει πάντως να σηµειώσουµε ότι τα δύο τρίτα του Τιµαίου ήταν διαθέσιµα, στη λατινική µετάφραση του Χαλκίδιου (4 ος µ.χ. αιώνας), σε όλη τη διάρκεια του Μεσαίωνα, πολύ πριν γίνουν γνωστά τα φυσικά και µεταφυσικά συγγράµµατα του Αριστοτέλη (τα οποία έγιναν γνωστά στη ύση τον 13 ο αιώνα). Έτσι, το έργο αυτό του Πλάτωνος

113 113 αποτέλεσε για πολλούς αιώνες το βασικό πλαίσιο αναφοράς για τον φυσικό κόσµο στη δυτική Ευρώπη. Πολύ συνοπτικά η επίδραση των απόψεων του Πλάτωνος στην ελληνική αστρονοµία συνίσταται στα εξής: 1. ιατυπώθηκε η ριζική διάκριση ανάµεσα στη µαθηµατική και στην παρατηρησιακήεµπειρική αστρονοµία και, µέσα από την πλατωνική θεωρία για τη φύση του υλικού κόσµου, προβλήθηκε η άποψη ότι µόνο η πρώτη µπορούσε να συµβάλει ουσιαστικά στην πραγµατική γνώση. 2. Η µελέτη των ουρανίων φαινοµένων επικεντρώθηκε σε θέµατα που αφορούσαν ιδιαίτερα στην κίνηση των πλανητών. 3. ηµιουργήθηκε µε την προτροπή του Πλάτωνος, από τον Εύδοξο τον Κνίδιο, ένα γεωµετρικό µοντέλο, το µοντέλο των «οµόκεντρων σφαιρών», που µπορούσε όχι µόνο να ερµηνεύσει ποιοτικά τη φαινοµένη κίνηση των πλανητών (ιδιαίτερα την ανάδροµη κίνηση - βλ. την επόµενη υποενότητα) αλλά και να επιτρέψει την πρόγνωση των µελλοντικών τους θέσεων. 4. ιατυπώθηκαν µε σαφήνεια και παγιώθηκαν οι γενικές αρχές τις οποίες έπρεπε να ικανοποιούν οι θεωρίες που φιλοδοξούσαν να ερµηνεύσουν τις παρατηρούµενες κινήσεις των πλανητών. Οι αρχές αυτές, οι οποίες είναι έντονα επηρεασµένες από τις πυθαγόρειες αντιλήψεις και ικανοποιούν µεθοδολογικές προτιµήσεις του όπως π.χ. η τελειότητα (πρότερον το τέλειον του ατελούς), ήταν οι εξής τρεις: α) Οι πλανήτες, ο ήλιος η σελήνη και οι απλανείς αστέρες κινούνται σε τέλειες κυκλικές τροχιές. β) Η κίνηση των πλανητών, του ηλίου της σελήνης και των αστέρων στις κυκλικές τροχιές τους είναι οµαλή, δηλαδή η γωνιακή ταχύτητά τους παραµένει σταθερή. γ) Το κέντρο των κυκλικών τροχιών των ουρανίων σωµάτων είναι η ακίνητη γη.! ηµιουργήθηκε έτσι στην ιστορία της αστρονοµίας ένα νέο Παράδειγµα: κάθε ερµηνεία της φαινόµενης κίνησης των πλανητών έπρεπε να τοποθετεί τη γη στο κέντρο των πλανητικών τροχιών και να αναλύει τις φαινόµενες κινήσεις των πλανητών µε την αναγωγή τους σε οµαλές κυκλικές κινήσεις. Οι πνευµατικές παρακαταθήκες του Πλάτωνος σφράγισαν την εξέλιξη της αστρονοµίας για είκοσι, σχεδόν, αιώνες, αφού το δόγµα των οµαλών κυκλικών κινήσεων

114 114 εγκαταλείφθηκε πλήρως µόνο µετά τη διατύπωση από τον Κέπλερ ( ) των τριών νόµων του για την κίνηση των πλανητών, ενώ η διατύπωση µιας ικανοποιητικής και συνεπούς µαθηµατικής θεωρίας για την ερµηνεία της φαινόµενης τροχιάς των πλανητών παρέµεινε κεντρικό αίτηµα µέχρι την εποχή του Νεύτωνος ( ) Το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών του Ευδόξου Οι φαινόµενες κινήσεις των ουρανίων σωµάτων Κύριο στοιχείο της παρακαταθήκης του Πλάτωνος προς τους αστρονόµους της εποχής του ήταν, όπως αναφέραµε προηγουµένως, να διατυπώσουν υποθέσεις που θα εξηγούσαν τη φαινοµένη κίνηση των πλανητών, χρησιµοποιώντας αποκλειστικά και µόνο οµαλές κυκλικές κινήσεις. Το αίτηµα της οµαλής κυκλικής κυριάρχησε έκτοτε στην ιστορία της αστρονοµίας και δεν εγκαταλείφθηκε οριστικά παρά µόνο µε τον Κέπλερ, στις αρχές του 17 ου αιώνα. Οι αστρονόµοι του 4 ου π.χ. αιώνα, λοιπόν, καταπιάστηκαν µε τους στόχους που έθεσε ο Πλάτων και επιδόθηκαν στην αναζήτηση ενός µαθηµατικού µοντέλου που θα εξηγούσε τις διάφορες κινήσεις που παρατηρούνται στον ουρανό (παράδοση η οποία είναι γνωστή ως παράδοση του «σώζειν τα φαινόµενα») και, ταυτόχρονα, θα επέτρεπε την επίτευξη ποσοτικών υπολογισµών και προγνώσεων (αν όχι ακριβών, τουλάχιστον κατά προσέγγιση) των κινήσεων και των θέσεων των πλανητών. Ποιες είναι όµως οι κινήσεις που παρατηρούνται στον ουρανό; Την εποχή του Πλάτωνος είχε γίνει αντιληπτό ότι οι βασικές κινήσεις στις οποίες συµµετέχουν τα ουράνια σώµατα, πλανήτες και απλανείς, και είναι ορατές µε γυµνό µάτι από έναν επίγειο παρατηρητή, είναι οι εξής: 1. Όλα τα ουράνια σώµατα περιστρέφονται γύρω από τη γη, εξ ανατολών προς δυσµάς, σε 24 ώρες περίπου 5, µε αποτέλεσµα να παρατηρείται το καθηµερινό φαινόµενο της ανατολής και της δύσης τους. 2. Ο ήλιος µετατοπίζεται σε σχέση µε τους αστερισµούς µε σχεδόν οµαλή γωνιακή ταχύτητα (όπως θα λέγαµε σήµερα) και µε φορά εκ δυσµών προς ανατολάς, εν µέσω 5 Ο χρόνος που απαιτείται για µια πλήρη περιστροφή της ουράνιας σφαίρας, µε άλλα λόγια η διάρκεια της αστρικής ηµέρας, είναι περίπου 23 ώρες και 56 πρώτα λεπτά, δηλαδή υπολείπεται κατά 4 περίπου πρώτα λεπτά της ηλιακής ηµέρας των 24 ωρών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο ήλιος κινείται σταθερά ως προς τους αστέρες (βλ. σηµείο 2).

115 115 ενός δακτυλίου από αστερισµούς (των ζωδίων), κινούµενος επί ενός πλαγίου µεγίστου κύκλου της ουράνιας σφαίρας (της εκλειπτικής), συµπληρώνει δε µια πλήρη περιφορά (δηλαδή επανέρχεται στην ίδια θέση σε σχέση µε τους απλανείς αστέρες ενός δεδοµένου ζωδιακού σχηµατισµού) σε έναν χρόνο περίπου. Η σελήνη και οι υπόλοιποι πέντε πλανήτες κινούνται και αυτοί δια µέσου των ζωδίων, σε τροχιές που βρίσκονται πολύ κοντά στην τροχιά του ήλιου (µε µικρές κατά πλάτος αποκλίσεις, άλλοτε προς βορρά και άλλοτε προς νότο, ως προς την εκλειπτική), και µε φορά γενικώς εκ δυσµών προς ανατολάς, η περίοδος όµως εντός της οποίας συµπληρώνουν µια πλήρη περιφορά ποικίλει από πλανήτη σε πλανήτη. Έτσι, ο Κρόνος χρειάζεται για µια πλήρη περιφορά περίπου 30 χρόνια, ο ίας 12 χρόνια, ο Άρης 2,5 χρόνια, ενώ ο Ερµής και η Αφροδίτη χρειάζονται περίπου 1 χρόνο. 3. Τέλος, όταν παρατηρεί κανείς τη θέση ενός πλανήτη επί πολλούς µήνες θα διαπιστώσει ανωµαλίες στην εκ δυσµών προς ανατολάς κίνησή του. Οι ανωµαλίες αυτές αναφέρονται στα αρχαία κείµενα ως στάσεις, αναδροµήσεις και ορθοδροµήσεις. Συγκεκριµένα, από καιρού εις καιρόν ο πλανήτης φαίνεται να επιβραδύνει την κίνησή του και κατόπιν να ακινητοποιείται για µερικές µέρες (στάση), στη συνέχεια φαίνεται σαν να κινείται ανάδροµα, δηλαδή εξ ανατολών προς δυσµάς (αναδρόµηση), να επιβραδύνεται και πάλι, να σταµατά (στάση), και στη συνέχεια να ξαναπαίρνει την κανονική πορεία του εκ δυσµών προς ανατολάς (ορθοδρόµηση). Σε µια γραφική αναπαράσταση της τροχιάς του πλανήτη, αυτή η «ανωµαλία» στην κίνησή του εµφανίζεται ως «βρόγχος» και απεικονίζεται στο σχήµα που ακολουθεί.

116 116 Σχήµα 7: Τµήµα της φαινοµένης τροχιάς του πλανήτη Άρη µε φόντο τους αστερισµούς του Κριού και του Ταύρου Αυτό το τελευταίο χαρακτηριστικό της φαινοµένης κίνησης των πλανητών, το οποίο παρουσιάζεται σε όλους τους πλανήτες εκτός από τον ήλιο και τη σελήνη, αποτελούσε το µεγαλύτερο πρόβληµα στο οποίο οι αστρονόµοι του 4 ου π.χ. αιώνα έπρεπε να απαντήσουν. Με βάση το Κοπερνίκειο (ηλιοκεντρικό) σύστηµα οι ανωµαλίες που εµφανίζονται στην κίνηση των πλανητών εξηγούνται αρκετά εύκολα, όπως µπορείτε να διαπιστώσετε και µόνοι σας όταν διαβάσετε το κείµενο στο πλαίσιο που ακολουθεί. Στο γεωκεντρικό σύστηµα όµως οι εξηγήσεις δεν µπορούσαν να είναι τόσο απλές. εν προξενεί εντύπωση λοιπόν το γεγονός ότι οι αστρονόµοι σε αυτό ακριβώς το σηµείο έστρεψαν την προσοχή τους. Η ευφυέστερη από τις λύσεις που προτάθηκαν δόθηκε από τον µαθηµατικό Εύδοξο και αποτελεί ένα από τα σηµαντικότερα επιτεύγµατα στην ιστορία της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Η ερµηνεία των ανωµαλιών στη φαινοµένη κίνηση των πλανητών µε βάση το Κοπερνίκειο σύστηµα Οι στάσεις, οι αναδροµήσεις και οι ορθοδροµήσεις που παρατηρούνται στην κίνηση των πλανητών εξηγούνται εύκολα µε βάση το Κοπερνίκειο σύστηµα, το οποίο τοποθετεί τον ήλιο στο κέντρο του πλανητικού µας συστήµατος. Οι πλανήτες, µαζί µε τη γη, περιστρέφονται γύρω από τον ήλιο µε διαφορετικές ταχύτητες και µάλιστα οι πλανήτες που βρίσκονται πιο κοντά στον ήλιο έχουν µεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα από αυτούς

117 117 που βρίσκονται πιο µακριά. Έτσι, καθώς η γη διαγράφει την τροχιά της, προσπερνά συνεχώς τους πιο αργούς πλανήτες που βρίσκονται πιο µακριά από τον ήλιο (τους λεγόµενους εξωτερικούς πλανήτες δηλαδή τον Άρη, τον ία και τον Κρόνο) και ταυτόχρονα την προσπερνούν οι πλανήτες που βρίσκονται κοντύτερα στον ήλιο (οι λεγόµενοι εσωτερικοί πλανήτες, δηλαδή ο Ερµής και η Αφροδίτη). Οι πλανήτες εποµένως περιστρέφονται κινούµενοι προς την ίδια κατεύθυνση προς τα ανατολικά, όµως η συνεχής αλλαγή της θέσης της γης σε σχέση µε τους υπόλοιπους πλανήτες δηµιουργεί σε έναν επίγειο παρατηρητή που πιστεύει ότι είναι ακίνητος την εντύπωση ότι ένας δεδοµένος πλανήτης αντιστρέφει την κίνησή του (βλ. σχήµα). Η συµβολή του Ευδόξου Ο Εύδοξος ήταν ένας από τους πιο αξιόλογους µαθηµατικούς του αρχαίου κόσµου. Το όνοµά του µας είναι γνωστό, αφού το συναντήσαµε να µνηµονεύεται στον «Κατάλογο των γεωµετρών» του Πρόκλου (βλ. ενότητα 1.2) και το έργο του στα µαθηµατικά το συνοψίζουµε για όσους από εσάς ενδιαφέρονται στο επόµενο πλαίσιο. Όµως, εκτός από µεγαλοφυής µαθηµατικός ο Εύδοξος ήταν επίσης σηµαντική µορφή στην ιστορία της αστρονοµίας. Θα µπορούσε µάλιστα να χαρακτηριστεί δικαίως ως ο θεµελιωτής της µαθηµατικής αστρονοµίας γιατί ήταν ο πρώτος που κατανόησε τη σηµασία της µαθηµατικής επεξεργασίας των ποιοτικών και ποσοτικών χαρακτηριστικών της κίνησης των πλανητών που παρέχουν οι παρατηρήσεις και επίσης γιατί πρότεινε, όπως αναφέραµε, ένα µαθηµατικό µοντέλο που εξηγούσε τις ανωµαλίες της φαινοµένης

118 118 πλανητικής κίνησης. Τα χαρακτηριστικά του µοντέλου του ο Εύδοξος τα εξέθετε σ ένα έργο που έφερε τον τίτλο Περί ταχών. Το έργο αυτό δεν διασώζεται, ευτυχώς όµως το περιεχόµενό του περιγράφεται µε συντοµία από τον Αριστοτέλη στα Μετά τα φυσικά (Λ 8, 1073b) και λεπτοµερέστερα από τον Σιµπλίκιο στα σχόλιά του στο Περί ουρανού του Αριστοτέλη (Β 12, 221a κ.ε.). Με βάση τις πληροφορίες που περιέχονται στα δύο αυτά έργα έγινε δυνατόν να ανασυγκροτηθεί τον περασµένο αιώνα το µοντέλο του Ευδόξου, χάρις κυρίως στις εργασίες του Ιταλού αστρονόµου Giovanni Schiaparelli ( ). Η ανακατασκευή του Schiaparelli έτυχε στη συνέχεια της αποδοχής της µεγάλης πλειονότητας των ιστορικών της αστρονοµίας, αν και, πρέπει να σηµειωθεί, οι κριτικές φωνές για ορισµένες λεπτοµέρειες της ανακατασκευής ουδέποτε έλειψαν 6. Εύδοξος ο Κνίδιος Ο Εύδοξος (περ π.χ.) γεννήθηκε στην Κνίδο της Μικράς Ασίας. ιδάχτηκε µαθηµατικά από τον Αρχύτα τον Ταραντίνο και ιατρική από τον Φιλιστίωνα τον Σικελιώτη. Σε ηλικία 23 ετών ήλθε στην Αθήνα για να σπουδάσει φιλοσοφία και ρητορική στην Ακαδηµία του Πλάτωνος. Ήταν τόσο φτωχός, που ήταν αναγκασµένος να ζει στο λιµάνι του Πειραιά, σε απόσταση δύο ωρών µε τα πόδια από την Ακαδηµία. Μερικά χρόνια αργότερα κάποιοι φίλοι του έδωσαν τη δυνατότητα να ταξιδέψει στην Αίγυπτο. Ο βασιλιάς Αγησίλαος της Σπάρτης, µάλιστα, του έδωσε συστατική επιστολή για τον Φαραώ Νεκτάναβιν. Κατά την παράδοση, στην Αίγυπτο έµαθε αστρονοµία από τους ιερείς της Ηλιουπόλεως ενώ έκανε και ο ίδιος παρατηρήσεις από ένα παρατηρητήριο που βρισκόταν ανάµεσα στην Ηλιούπολη και την πόλη Κερκέσουρα, το οποίο ήταν προσιτό στους επισκέπτες ακόµα και στην εποχή του Στράβωνος (περ. 58 π.χ µ.χ). Μετά την επιστροφή του στην Ελλάδα ίδρυσε µια σχολή στην Κύζικο, στη θάλασσα του Μαρµαρά, η οποία προσήλκυσε µεγάλο αριθµό µαθητών και αργότερα επέστρεψε και πάλι στην Αθήνα έχοντας αποκτήσει λαµπρή φήµη. Πέθανε σε ηλικία 53 ετών, στη γενέτειρά του την Κνίδο. Ο Εύδοξος ήταν µια από τις πλέον εξέχουσες επιστηµονικές προσωπικότητες της εποχής του. Ήταν ξακουστός ως µαθηµατικός, ως ιατρός και, ιδίως, ως αστρονόµος. 6 Για µια πιο ριζική αµφισβήτηση της ανακατασκευής του Schiaparelli βλέπε την εργασία του I. Yavetz «On the Homocentric Spheres of Eudoxus», που αναφέρεται στη βιβλιογραφία.

119 119 Ήταν επίσης έξοχος ρήτορας, φιλόσοφος και γεωγράφος. Αστειευόµενοι οι φίλοι του τον αποκαλούσαν «Εύδοξος, ο Ένδοξος». Το µεγαλοφυές έργο του στη θεωρητική αστρονοµία θα το εξετάσουµε στη συνέχεια. Εξίσου σηµαντικό ήταν το έργο του της περιγραφής των αστερισµών και των ανατολών και δύσεων των απλανών αστέρων, σηµαντικό µέρος του οποίου καταλαµβάνουν τα δεδοµένα για τα δώδεκα ζώδια. Μολονότι ο Εύδοξος ήταν ξακουστός, όπως είπαµε, ως αστρονόµος, το πιο σηµαντικό έργο του το παρήγαγε στα µαθηµατικά. Πράγµατι, η θεωρία των αναλογιών που επεξεργάστηκε και η µέθοδος της εξάντλησης που επινόησε, είναι δύο από τα κορυφαία επιτεύγµατα της αρχαίας ελληνικής µαθηµατικής σκέψης που επηρέασαν την ιστορία των µαθηµατικών για πολλούς αιώνες. Η θεωρία αναλογιών του Ευδόξου εκτίθεται στο πέµπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη και βασίζεται στον ακόλουθο ευφυή ορισµό του αυτού λόγου: δύο ζεύγη µεγεθών (Α, Β) και (Γ, ) βρίσκονται στον αυτό λόγο, όταν για κάθε ζεύγος φυσικών αριθµών m, n ισχύει, ή (ma > nβ και mγ > n ), ή (ma = nβ και mγ = n ), ή (ma < nβ και mγ < n ). Με άλλα λόγια, ο λόγος Α : Β είναι ίσος προς τον λόγο Γ : αν όποια κι αν είναι η σχέση διάταξης µεταξύ δύο τυχαίων πολλαπλασίων του Α και του Β, η ίδια ακριβώς σχέση διάταξης θα υπάρχει και µεταξύ των αντίστοιχων πολλαπλασίων του Γ και του. H µέθοδος της εξάντλησης είναι η δεύτερη µεγάλη συµβολή του Ευδόξου στα µαθηµατικά. Στο δωδέκατο βιβλίο των Στοιχείων η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται σε ογκοµετρικά θεωρήµατα. Στην περίπτωση των επιπεδοµετρικών προβληµάτων, θα µπορούσαµε να την περιγράψουµε ως µια επαναληπτική διαδικασία εγγραφής (περιγραφής) εντός (περί) της περιµέτρου ενός καµπυλόγραµµου χωρίου του οποίου ζητείται το εµβαδόν, πολυγώνων (των οποίων φυσικά το εµβαδόν υπολογίζεται), ώστε η µεταξύ τους εµβαδοµετρική διαφορά να γίνει µετά από πεπερασµένο αριθµό βηµάτων µικρότερη κάθε προκαθορισµένου εµβαδού Ε. Το πλανητικό µοντέλο που επεξεργάστηκε ο Εύδοξος είναι, όπως θα διαπιστώσουµε από την περιγραφή που ακολουθεί, µια µεγαλοφυής κατασκευή που αποτελεί λαµπρό δείγµα χρησιµοποίησης της γεωµετρίας του κύκλου και της σφαίρας για την επίλυση προβληµάτων της αστρονοµίας. Το µοντέλο συγκροτείται από τη σφαιρική γη, η οποία βρίσκεται ακίνητη στο κέντρο ενός συστήµατος 27 οµόκεντρων σφαιρών που περιστρέφονται οµαλά γύρω από το κέντρο αυτό. Από αυτές τις σφαίρες, η εξωτερική

120 120 φέρει τους απλανείς αστέρες ενώ οι υπόλοιπες χρησιµεύουν για την περιγραφή της κίνησης του ήλιου, της σελήνης και των πέντε πλανητών. Για τον κάθε πλανήτη χρειάζονται τέσσερις σφαίρες ενώ για τον ήλιο και τη σελήνη από τρεις. Ας δούµε τώρα πώς είναι αρθρωµένες µεταξύ τους οι σφαίρες ενός τυχόντος πλανήτη Π (η περιγραφή θα γίνει µε αναφορά στο σχήµα 9). Ο πλανήτης είναι τοποθετηµένος σταθερά σε κάποιο σηµείο του ισηµερινού της εσωτερικής σφαίρας (σφαίρα υπ αριθµόν 4 στο σχήµα), η οποία περιστρέφεται οµαλά γύρω από έναν άξονα. Αν ο πλανήτης δεν συµµετείχε σε καµία άλλη κίνηση τότε θα εκτελούσε µια οµαλή κυκλική κίνηση και η τροχιά που θα διέγραφε θα ήταν ένας µέγιστος κύκλος της σφαίρας αυτής, κάθετος προς τον άξονα περιστροφής. Όµως µόνο µια τέτοια κυκλική κίνηση δεν ήταν αρκετή για να εξηγήσει την περίπλοκη πλανητική κίνηση. Γι αυτό ο Εύδοξος σκέφθηκε ότι έπρεπε να υποθέσει για τον πλανήτη έναν αριθµό τέτοιων κυκλικών κινήσεων, από τον συνδυασµό των οποίων θα προκύπτει η ανώµαλη κίνηση που εµφανίζεται από την παρατήρηση. Προς τούτο υπέθεσε ότι οι πόλοι του άξονα περιστροφής της εσωτερικής σφαίρας είναι σταθερά προσαρµοσµένοι στην εσωτερική επιφάνειας µια περιβάλλουσας σφαίρας (η σφαίρα υπ αριθµόν 3 στο σχήµα), η οποία εκτελεί οµαλή περιστροφική κίνηση µε αντίθετη φορά, γύρω από τον δικό της άξονα περιστροφής, ο οποίος δεν συµπίπτει µε τον άξονα της τέταρτης σφαίρας. Έτσι ο πλανήτης δεν εκτελεί µόνο την κίνηση της τέταρτης σφαίρας αλλά συµµετέχει και στην κίνηση της τρίτης, καθώς αυτή συµπαρασύρει στην περιστροφή της τον άξονα στης εσωτερικής σφαίρας.! Αν δεν υπήρχαν παρά µόνον οι δύο αυτές κινήσεις, ο πλανήτης θα διέγραφε µια κλειστή καµπύλη που µοιάζει σαν ένα οριζόντιο οκτώ. Η καµπύλη αυτή ονοµαζόταν «Ιπποπέδη» (βλ. σχήµα 8). Για να εξηγήσει την εκ δυσµών προς ανατολάς κίνηση του πλανήτη κατά µήκος του ζωδιακού ο Εύδοξος υπέθεσε ότι ο άξονας περιστροφής της σφαίρας υπ αριθµόν 3 είναι και αυτός µε τη σειρά του σταθερά προσαρµοσµένος στην εσωτερική επιφάνεια µια νέας περιβάλλουσας σφαίρας (η σφαίρα υπ αριθµόν 2 στο σχήµα), η οποία περιστρέφεται οµαλά γύρω από τον δικό της άξονα (ο οποίος είναι κάθετος στην εκλειπτική), συµπαρασύροντας έτσι στην κίνησή της τις δύο εσωτερικές σφαίρες. Ως αποτέλεσµα της προϊούσας κίνησης αυτής της δεύτερης σφαίρας, η ιπποπέδη θα διαγράψει (στη διάρκεια της αστρικής περιόδου του πλανήτη) ολόκληρη την εκλειπτική και ο πλανήτης θα

121 121 φαίνεται ότι εκτελεί µια παλινδροµική σπειροειδή κίνηση που θα µοιάζει µε τη φαινοµένη κίνησή του δια µέσου των ζωδίων. Τέλος, για να εξηγήσει την ηµερήσια κίνηση του πλανήτη εξ ανατολών προς δυσµάς ο Εύδοξος τοποθέτησε µε τον ίδιο τρόπο την δεύτερη σφαίρα µέσα σε µια ακόµα περιβάλλουσα σφαίρα (η σφαίρα υπ αριθµόν 1 στο σχήµα), η οποία εκτελεί οµαλή περιστροφική κίνηση γύρω από τον δικό της άξονα που συµπίπτει µε τον άξονα περιστροφής της ουράνιας σφαίρας, δηλαδή τον πολικό άξονα. Σχήµα 8 Αυτό είναι µε λίγα λόγια το γεωµετρικό µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών που επινόησε ο Εύδοξος. Απαιτεί συνολικά 27 οµόκεντρες σφαίρες: τέσσερις για τον καθένα από τους πέντε πλανήτες (Ερµή, Αφροδίτη, Άρη, ία, Κρόνο), από τρεις για τον ήλιο και τη σελήνη (οι τροχιές των οποίων δεν εµφανίζουν αναδροµήσεις) και, τέλος, µία σφαίρα για τους απλανείς αστέρες. Μια εποπτική αναπαράσταση του µοντέλου µπορείτε να αποκτήσετε από το σχήµα 9. Σε αυτό απεικονίζεται η διάταξη των τεσσάρων οµόκεντρων σφαιρών που αποτελούν το σύστηµα των σφαιρών ενός τυχόντος πλανήτη Π, οι άξονες περιστροφής των σφαιρών, ο ίδιος ο πλανήτης, στερεωµένος σταθερά στον ισηµερινό της τέταρτης (εσωτερικής) σφαίρας και, τέλος, η γη η οποία βρίσκεται ακίνητη στο κοινό κέντρο των τεσσάρων σφαιρών.

122 122 Σχήµα 9 Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται τα χαρακτηριστικά του συστήµατος: Σφαίρα Άξονας Φορά περιστροφής 1 Πολικός άξονας Εξ ανατολών προς δυσµάς 2 90 προς την εκλειπτική Εκ δυσµών προς ανατολάς 3 Επί της εκλειπτικής Εκ δυσµών προς ανατολάς 4 Εξαρτάται από τον πλανήτη Εξ ανατολών προς δυσµάς Σχετικά µε το µοντέλο του Ευδόξου εγείρονται δύο ιστοριογραφικά ερωτήµατα, τα οποία συνοψίζει και σχολιάζει ο ιστορικός της επιστήµης David Lindberg στο βιβλίο του Οι απαρχές της δυτικής επιστήµης (Lindberg, 1997). Το πρώτο ερώτηµα είναι εάν ο Εύδοξος απέδιδε φυσική πραγµατικότητα στο µοντέλο του, µε άλλα λόγια, εάν θεωρούσε τις σφαίρες ως φυσικά αντικείµενα, µηχανικώς συνδεδεµένα µεταξύ τους. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό, σηµειώνει ο Lindberg (σ ), φαίνεται σαφώς αρνητική. Υπάρχουν πολλοί λόγοι από τους οποίους µπορούµε να συµπεράνουµε ότι η πρόθεση πίσω από τις οµόκεντρες σφαίρες του Ευδόξου ήταν η κατασκευή ενός αµιγώς µαθηµατικού µοντέλου, χωρίς αξιώσεις περιγραφής της φυσικής πραγµατικότητας. Ο Εύδοξος, απ όσο µπορούµε να αντιληφθούµε, δεν θεώρησε ότι ο κόσµος αποτελείται από φυσικά διακριτές σφαίρες, µηχανικώς συνδεδεµένες µεταξύ τους. Προσπάθησε απλώς, µε τη βοήθεια ενός γεωµετρικού µοντέλου, να διακρίνει τις διάφορες συνιστώσες οµαλής κίνησης στις οποίες µπορούν να αναχθούν οι πολύπλοκες πλανητικές κινήσεις. Ο Εύδοξος δεν αναζητούσε φυσικές δοµές, αλλά µαθηµατική τάξη.

123 123 Το δεύτερο ερώτηµα είναι εάν το µοντέλο ήταν επιτυχηµένο. Μια απάντηση όµως στο ερώτηµα αυτό προϋποθέτει να έχει διευκρινιστεί τι ακριβώς θα µπορούσε να σηµαίνει ο όρος «επιτυχηµένο» για την εποχή του Ευδόξου. Αν η επιτυχία συνίσταται στην ποιοτική συµφωνία, σε γενικές γραµµές, της θεωρίας µε τα παρατηρησιακά δεδοµένα, τότε δεν χωρεί αµφιβολία ότι το µοντέλο ήταν πράγµατι επιτυχηµένο. Σε ό,τι αφορά όµως τις υπολογιστικές του δυνατότητες, θα πρέπει µάλλον να δεχθούµε, αν λάβουµε υπόψη τις περιορισµένες δυνατότητες της αστρονοµικής παρατήρησης στην εποχή του Ευδόξου, ότι οι σκοποί της αστρονοµικής θεωρίας τον 4 ο π.χ. αιώνα δεν ήταν τόσο φιλόδοξοι ώστε να απαιτούν ακριβείς ποσοτικές προγνώσεις. Αναφερθήκαµε προηγουµένως σε µερικές ανωµαλίες, δηλαδή σε ορισµένα φαινόµενα που παρατηρούνται κατά την κίνηση των πλανητών, και τα οποία το µοντέλο του Ευδόξου, παρά τις αρετές του, δεν µπορούσε να εξηγήσει. Τα πιο σηµαντικά από τα φαινόµενα αυτά, τα οποία είχαν επισηµανθεί από σύγχρονους του Ευδόξου αστρονόµους, είναι τα ακόλουθα: 1. Στο µοντέλο του Ευδόξου η κάθε «ιπποπέδη» έχει ακριβώς την ίδια µορφή. Όµως, οι παρατηρούµενες αναδροµήσεις και ορθοδροµήσεις διαφέρουν από τον ένα πλανήτη στον άλλο τόσο ως προς τη µορφή όσο και ως προς το µήκος και τη διάρκειά τους. 2. Το σύστηµα των οµόκεντρων σφαιρών έδινε εξηγήσεις που αντιστοιχούσαν θαυµάσια στις ανωµαλίες της φαινοµένης τροχιάς των πλανητών ία και Κρόνου, δεν συνέβαινε όµως το ίδιο και µε τις τροχιές του Άρη και του Ερµή. Ειδικά, για τον Άρη, η συνοδική περίοδος 7 που δεχόταν ο Εύδοξος απέχει πολύ από την αληθινή (ήταν τρεις φορές µικρότερη), στην περίπτωση δε που θα ελάµβανε την αληθινή περίοδο (των 780 ηµερών), για να λειτουργήσει το σύστηµα θα έπρεπε οι δύο εσωτερικές σφαίρες να περιστρέφονται προς την αυτή κατεύθυνση πράγµα που έρχεται σε αντίθεση µε την περιγραφή του συστήµατος όπως την εκθέτει ο Σιµπλίκιος. Πάντως πρέπει να σηµειώσουµε ότι ο Άρης παρουσιάζει τις περισσότερες δυσκολίες από κάθε άλλο πλανήτη και για την περιγραφή της φαινόµενης κίνησής του ο Κέπλερ οδηγήθηκε στο να απορρίψει το δόγµα των οµαλών κυκλικών τροχιών. 7 ιευκρινίζουµε ότι συνοδική περίοδος ενός σώµατος του ηλιακού µας συστήµατος είναι το χρονικό διάστηµα που απαιτείται ώστε ένας παρατηρητής από την επιφάνεια της γης να το παρατηρήσει δύο φορές διαδοχικά στην ίδια θέση ως προς τον ήλιο. λ.χ. η συνοδική περίοδος της σελήνης είναι το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών ιδίων φάσεων (π.χ. πανσέληνος).

124 Το σύστηµα των σφαιρών για τον ήλιο δεν µπορούσε να εξηγήσει το φαινόµενο της ανισότητας των εποχών το οποίο φαίνεται ότι ο Εύδοξος το αγνοούσε τελείως, αν και η µη οµαλή κίνηση του ήλιου κατά µήκος του ζωδιακού είχε αναγνωριστεί από τον Ευκτήµονα και τον Μέτωνα, 80 χρόνια πριν από τον Εύδοξο, οι οποίοι µάλιστα είχαν υπολογίσει µε ικανοποιητική προσέγγιση τις διάρκειες των τεσσάρων εποχών. 4. Τέλος, το µοντέλο του Ευδόξου δεν µπορούσε να εξηγήσει τη µεταβολή της φαινοµένης διαµέτρου της σελήνης και τις µεταβολές της λαµπρότητας των πλανητών. Τα δύο αυτά φαινόµενα οι µετέπειτα Έλληνες αστρονόµοι τα απέδωσαν, σωστά, στη µεταβολή της απόστασης των πλανητών από τη γη, αυτή η εξήγηση όµως δεν ήταν δυνατή στο πλαίσιο του µοντέλου των οµόκεντρων σφαιρών όπου η απόσταση κάθε πλανήτη από τη γη, η οποία βρίσκεται στο κοινό κέντρο του συστήµατος των σφαιρών, είναι σταθερή. Παρά τις ατέλειές του, πάντως, το σύστηµα του Ευδόξου κατέκτησε µια τιµητική θέση στην ιστορία της αστρονοµίας. Με αυτό η ελληνική αστρονοµία εισέρχεται σε ένα στάδιο ωρίµανσης που χαρακτηρίζεται από την πιο συστηµατική, έναντι του παρελθόντος, προσέγγιση των ουρανίων φαινοµένων. Ταυτόχρονα, µε τον Εύδοξο εγκαινιάζεται µια νέα παράδοση στην ιστορία της αστρονοµίας, µια παράδοση που θεωρεί ότι η εφαρµογή των µαθηµατικών για την αναπαράσταση των πλανητικών κινήσεων και την πρόγνωση διαφόρων αστρονοµικών φαινοµένων είναι µια δραστηριότητα η οποία είναι ανεξάρτητη των κοσµολογικών αντιλήψεων. Από τώρα και στο εξής, η εκτέλεση των υπολογισµών µπορεί να γίνεται µε βάση µοντέλα, η αξία των οποίων έγκειται ακριβώς στις δυνατότητες πρόγνωσης που έχουν και όχι στο εάν και κατά πόσο ερµηνεύουν τη φυσική πραγµατικότητα. Στη µεθοδολογική αυτή αρχή, η οποία είναι γνωστή ως αρχή του «σώζειν τα φαινόµενα» και εγκαινιάζεται µε το έργο του Ευδόξου, θα επανέλθουµε στην ενότητα (Στο περιθώριο) Η κοσµολογία και η θεωρητική αστρονοµία γίνονται πια δύο διακριτές περιοχές επιστηµονικής ενασχόλησης. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Μπορείτε τώρα, έχοντας µελετήσει την υποενότητα αυτή, να περιγράψετε µε συντοµία το κύριο αστρονοµικό µοντέλο που επικράτησε στην ελληνική αστρονοµία τον 4 ο π.χ. αιώνα; Για να θεωρηθεί ολοκληρωµένη η απάντησή σας πρέπει να απαντάει στα ακόλουθα ερωτήµατα: α) Ποια είναι τα κύρια φαινόµενα που παρατηρούνται µε γυµνό µάτι στην

125 125 κίνηση των ουρανίων σωµάτων και καλούνταν να εξηγήσουν οι αστρονόµοι; β) Ποιοι είναι οι όροι που έπρεπε να πληροί µια εξήγηση για να είναι αποδεκτή; γ) Ποιο είναι το µοντέλο που υιοθετήθηκε (σύντοµη περιγραφή) και ποιος το πρότεινε; δ) Πως θα µπορούσαµε να απαντήσουµε στο ερώτηµα εάν το µοντέλο ήταν επιτυχηµένο; ε) Ποιες οι κύριες αδυναµίες του µοντέλου; Αφού ολοκληρώσετε την απάντησή σας, διαβάστε µια ακόµη φορά την υποενότητα και ελέγξτε ποια σηµεία της περιγραφής που δώσατε πρέπει να τροποποιηθούν ή να ενισχυθούν Το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών µετά τον Εύδοξο Το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών έχαιρε µεγάλης εκτίµησης µεταξύ των αστρονόµων του 4 ου π.χ. αιώνα, οι οποίοι επιχείρησαν αρκετές φορές να το βελτιώσουν ώστε να συνταιριάζει καλύτερα τη θεωρία µε τις παρατηρήσεις. Η πιο επιτυχηµένη απόπειρα διόρθωσης του µοντέλου έγινε από τον Κάλλιππο τον Κυζικηνό (γεννήθηκε γύρω στο 379 π.χ.), έναν αστρονόµο ο οποίος εργάστηκε στην Αθήνα, στο πλευρό του Αριστοτέλη, στο δεύτερο µισό του 4 ου π.χ. αιώνα. Ας δούµε πώς περιγράφει ο Αριστοτέλης στα Μετά τα φυσικά (Λ 8, 1073b) τις τροποποιήσεις που επέφερε ο Κάλλιππος στο ευδόξειο µοντέλο (η µετάφραση είναι του Κ.. Γεωργούλη): Ο Κάλλιππος πάλι τοποθετούσε τις σφαίρες στις αυτές θέσεις όπως και ο Εύδοξος, έδινε δηλαδή την αυτή τάξη στα αποστήµατά τους. Ως προς το πλήθος των σφαιρών έδινε στο άστρο του ία και στο άστρο του Κρόνου τον αυτόν αριθµόν όποιον και ο Εύδοξος, είχε όµως την γνώµη ότι έπρεπε στον ήλιο και στη σελήνη να προστεθούν δύο σφαίρες ακόµη, αν θέλει κανείς στην εξήγησή του να πηγαίνει σύµφωνα µε τα δεδοµένα της παρατήρησης, και στον καθένα από τους υπόλοιπους πλανήτες µια ακόµη σφαίρα. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Ξαναδιαβάστε προσεκτικά την περιγραφή του πλανητικού µοντέλου του Ευδόξου (υποενότητα 1.3.2) και το απόσπασµα του Αριστοτέλη που µόλις παραθέσαµε και προσπαθήστε να απαντήσετε στο ερώτηµα ποιες είναι οι αλλαγές που επέφερε ο Κάλλιππος στο ευδόξειο µοντέλο σε ό,τι αφορά τον αριθµό των σφαιρών του κάθε πλανήτη.

126 126 Υποδείξεις για την απάντηση µπορείτε να βρείτε στο Παράρτηµα, στο τέλος της ενότητας. Το απόσπασµα του Αριστοτέλη δεν εξηγεί τους λόγους για τους οποίους ο Κάλλιππος πρόσθεσε τις 7 νέες σφαίρες, δεν διασαφηνίζει δηλαδή ποια παρατηρησιακά δεδοµένα, που αδυνατούσε να περιγράψει ή περιέγραφε ατελώς το αρχικό µοντέλο, συµπεριέλαβε στις περιγραφικές του δυνατότητες το µοντέλο στη νέα µορφή του. Ο Schiaparelli όµως απέδειξε ότι οι τροποποιήσεις του Καλλίππου µπορούσαν πράγµατι να είχαν συµβάλει ώστε το µοντέλο στη νέα µορφή του να ανταποκρίνεται καλύτερα στα δεδοµένα της παρατήρησης. Έτσι, οι δύο επιπρόσθετες σφαίρες για τον ήλιο θα µπορούσαν να συµβάλουν ώστε να παραχθεί µια «ιπποπέδη» η οποία, φερόµενη γύρω από την εκλειπτική, να αναπαριστά µε µεγάλη ακρίβεια την ανοµοιόµορφη κίνηση του ήλιου και εποµένως να εξηγείται έτσι η ανισότητα των εποχών. Επίσης, η προσθήκη δύο σφαιρών για τη σελήνη µπορούσε να εξηγήσει την ανωµαλία της κίνησης της σελήνης κατά µήκος της εκλειπτικής, ενώ η προσθήκη µιας πέµπτης σφαίρας για τον καθένα από τους πλανήτες Ερµή, Αφροδίτη και Άρη µπορούσε να συµβάλει για να φέρει τις υπολογιζόµενες κινήσεις πλησιέστερα προς τις παρατηρούµενες κινήσεις αυτών των πλανητών. Το µοντέλο του Καλλίππου, όπως και εκείνο του Ευδόξου, ήσαν αµιγώς µαθηµατικές κατασκευές. Μια περαιτέρω επεξεργασία υπέστη το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών από τον Αριστοτέλη ( π.χ.). Εδώ, όµως, υπάρχει µια σηµαντική διαφορά: ο Αριστοτέλης απέδωσε φυσική ύπαρξη στο σύστηµα των σφαιρών µετατρέποντας, έτσι, το σύστηµα αυτό από καθαρά γεωµετρική κατασκευή σε µηχανική κατασκευή. Για να το επιτύχει αυτό, ο Αριστοτέλης, ήταν υποχρεωµένος να θεωρήσει τις σφαίρες συνδεδεµένες µεταξύ τους και, ταυτόχρονα, να αντιµετωπίσει το πρόβληµα της µετάδοσης της κίνησης από τη µια σφαίρα στην άλλη. Συγκεκριµένα, το πρόβληµα που έπρεπε να αντιµετωπίσει ήταν το εξής: εάν οι σφαίρες είναι συνδεδεµένες µεταξύ τους, τότε η εσωτερική σφαίρα του συστήµατος των σφαιρών ενός πλανήτη Α θα µεταδίδει αναπόφευκτα τη σύνθετη κίνησή της στην εξωτερική σφαίρα του συστήµατος των σφαιρών του πλανήτη Β που βρίσκεται στην αµέσως κατώτερη θέση από τον Α. Ο Αριστοτέλης αντιµετώπισε το πρόβληµα αυτό εισάγοντας έναν αριθµό αντισταθµιστικών σφαιρών (ο όρος που χρησιµοποιεί στο

127 127 σχετικό εδάφιο των Μετά τα φυσικά είναι «ανελιττούσες σφαίρες») ανάµεσα στο σύστηµα των σφαιρών του εξωτερικού πλανήτη Α και σ εκείνο του αµέσως εσωτερικού πλανήτη Β. Η λειτουργία αυτών των αντισταθµιστικών σφαιρών είναι ακριβώς να αντισταθµίζουν όλες τις κινήσεις των σφαιρών του συστήµατος του Α που έχουν µεταδοθεί στην εσωτερική σφαίρα επί της οποίας βρίσκεται ο ίδιος ο πλανήτης Α, εκτός από µία κίνηση: την ηµερήσια περιστροφή, που τη δίνει η πρώτη σφαίρα του συστήµατος. Έτσι, δεν µεταδίδεται στην εξωτερική σφαίρα του πλανήτη Β καµιά άλλη κίνηση εκτός από την ηµερήσια περιστροφή. Τούτο σηµαίνει ότι ο αριθµός των αντισταθµιστικών σφαιρών που παρεµβάλλονται µεταξύ του συστήµατος του Α και του συστήµατος του Β πρέπει να είναι κατά ένα µικρότερος του αριθµού των σφαιρών που αποτελούν το σύστηµα του Α. Με τον τρόπο αυτό ο Αριστοτέλης κληροδότησε στους διαδόχους του έναν εξαιρετικά πολύπλοκο ουράνιο µηχανισµό, αποτελούµενο από 55 σφαίρες (ενεργούσες και αντισταθµιστικές) για την κίνηση των πλανητών, συν τη σφαίρα των απλανών. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται συγκριτικά ο αριθµός των πλανητικών σφαιρών που περιλαµβάνουν τα συστήµατα του Ευδόξου, του Καλλίππου και του Αριστοτέλη (δεν έχει υπολογιστεί δηλαδή στους αριθµούς αυτούς η σφαίρα των απλανών). Ο πίνακας έχει ληφθεί από το βιβλίο του D.R. Dicks, Η Πρώιµη Ελληνική Αστρονοµία, από τις απαρχές ως τον Αριστοτέλη (σ. 280). Εύδοξος Κάλλιππος Αριστοτέλης Κρόνος αντισταθµιστικές ίας αντισταθµιστικές Άρης αντισταθµιστικές Αφροδίτη αντισταθµιστικές Ερµής αντισταθµιστικές Ήλιος αντισταθµιστικές Σελήνη Σύνολο Το αριστοτελικό σύστηµα περιελάµβανε, όπως βλέπουµε από τον πίνακα, 55 σφαίρες, µηχανικώς συνδεδεµένες µεταξύ τους, και αποτελούσε στο σύνολό του έναν εξαιρετικά πολύπλοκο ουράνιο µηχανισµό. Εκτός όµως από την πολυπλοκότητα, το σύστηµα είχε και πολλές θεωρητικές δυσκολίες να αντιµετωπίσει. Πράγµατι, εάν ο κόσµος λειτουργούσε κατ αυτόν τον τρόπο, εάν δηλαδή οι αντισταθµιστικές σφαίρες που

128 128 υπάρχουν λόγου χάριν ανάµεσα στον Άρη και στον ία εξουδετέρωναν τις κινήσεις του συστήµατος των σφαιρών του ία, ώστε να µη µεταδοθεί στο σύστηµα του Άρη καµιά άλλη κίνηση πλην της ηµερήσιας περιστροφής, τότε δεν θα γινόταν αντιληπτή από τη γη, η οποία βρίσκεται στο κοινό κέντρο του συστήµατος όλων των σφαιρών, καµιά άλλη κίνηση του ία εκτός από την ηµερήσια περιστροφή του. Τότε όµως πώς είναι δυνατόν να παρατηρούνται οι αναδροµήσεις και οι βρόγχοι της τροχιάς του ία, που αποτέλεσαν µάλιστα και την αιτία να διατυπωθεί για πρώτη φορά από τον Εύδοξο το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών; Ο Αριστοτέλης δεν είναι δυνατόν να µην είχε διαπιστώσει τέτοιου είδους αδυναµίες του συστήµατός του, παρ όλα αυτά φαίνεται ότι δεν έδωσε µεγάλη σηµασία, γι αυτό ίσως και αφιερώνει στο θέµα των αντισταθµιστικών σφαιρών µόνο αράδες στα Μετά τα φυσικά και δεν επανέρχεται σ αυτές σε κανένα από τα υπόλοιπα έργα του. Στην πραγµατικότητα, αναφέρει ο Dicks (σ ), οι σχολιαστές του Αριστοτέλη είναι εκείνοι οι οποίοι επεξεργάστηκαν την έννοια των αντισταθµιστικών σφαιρών «την οποία ο Αριστοτέλης µπορεί απλώς να είχε θεωρήσει ως ενδιαφέρουσα σκέψη, που όµως δεν θα άντεχε σε πολύ λεπτοµερή εξέταση». Όπως πληροφορούµαστε από τον Σιµπλίκιο µια ακόµη τροποποίηση υπέστη το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών από τον Αυτόλυκο από την Πιτάνη, έναν Πλατωνικό αστρονόµο που ήκµασε γύρω στο 320 ή στο 310 π.χ., δεν γνωρίζουµε όµως τις λεπτοµέρειες συµβολής του στη θεωρία των οµόκεντρων σφαιρών. Παρ όλες τις τροποποιήσεις, όµως, που υπέστη το µοντέλο του Ευδόξου από τον Κάλλιππο, τον Αριστοτέλη και ενδεχοµένως από τον Αυτόλυκο, δεν ήταν ικανό να ερµηνεύει όλα τα φαινόµενα. Ιδιαίτερα, το φαινόµενο της µεταβολής της λαµπρότητας των πλανητών, το οποίο είναι ιδιαίτερα έντονο στην περίπτωση του Ερµή και της Αφροδίτης, καθώς και το φαινόµενο της φαινοµένης µεταβολής των διαµέτρων του ήλιου και της σελήνης, τα οποία οφείλονται στη µεταβολή της απόστασης των πλανητών από τη γη, δεν ήταν δυνατόν να ερµηνευθούν όσες σφαίρες και αν πρόσθεταν στο µοντέλο. Οι «ανωµαλίες» αυτές ερµηνεύθηκαν µόνο µε τη θεωρία των επικύκλων και των έκκεντρων κύκλων, η θεωρία αυτή όµως διατυπώθηκε τον 3 ο π.χ. αιώνα, στην ελληνιστική περίοδο δηλαδή, και θα µιλήσουµε γι αυτή στην υποενότητα αυτού του κεφαλαίου. Προς το παρόν, προτού εγκαταλείψουµε τον 4 ο αιώνα, αξίζει να µνηµονεύσουµε έναν ακόµη αστρονόµο αυτής της περιόδου. Πρόκειται για το µέλος της Ακαδηµίας και συνεργάτη του Πλάτωνος Ηρακλείδη τον Ποντικό (δηλαδή από τον Πόντο, γεννήθηκε

129 129 γύρω στο 390, πέθανε µετά το 339). Στον Ηρακλείδη αποδίδονται δύο πολύ ενδιαφέρουσες αστρονοµικές ιδέες: 1. η ηµερήσια περιστροφή της γης γύρω από τον άξονά της, και ότι 2. οι τροχιές της Αφροδίτης και του Ερµή είναι ηλιοκεντρικές και όχι γεωκεντρικές. Αν για τη δεύτερη από τις ιδέες αυτές, οι πηγές που την αποδίδουν στον Ηρακλείδη δεν είναι απολύτως αξιόπιστες, για την πρώτη δεν υπάρχει καµιά αµφιβολία. Το ενδιαφέρον αυτής της ιδέας είναι προφανές: µε αυτή επιτυγχάνεται µεγάλη οικονοµία στον αριθµό των ουρανίων κινήσεων που πρέπει να εξηγηθούν. Έτσι, τόσο η σφαίρα των απλανών όσο και οι εξωτερικές σφαίρες των συστηµάτων των σφαιρών του κάθε πλανήτη οκτώ σφαίρες συνολικά ο ρόλος των οποίων είναι να εξηγήσουν την καθηµερινή ανατολή και δύση όλων των ουρανίων σωµάτων είναι, µε βάση τη θεωρία του Ηρακλείδη, περιττές. Παρά το ενδιαφέρον της, όµως, η ιδέα του Ηρακλείδη δεν έτυχε ευρύτερης αποδοχής στην αρχαιότητα. Οι λόγοι γι αυτό θα πρέπει να αναζητηθούν µάλλον σε αντεπιχειρήµατα που διατυπώθηκαν από τις θέσεις της επικρατούσας αριστοτελικής φυσικής. Σύνοψη Τον 4 ο π.χ. αιώνα σηµειώθηκε µια σηµαντική εξέλιξη στην ιστορία της ελληνικής αστρονοµίας. Για πρώτη φορά χρησιµοποιήθηκαν µαθηµατικές µέθοδοι για τη µελέτη και την περιγραφή των φαινοµένων κινήσεων των ουρανίων σωµάτων. ηµιουργήθηκε το γεωµετρικό µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών το οποίο εξηγούσε επαρκώς πολλά ποιοτικά χαρακτηριστικά της κίνησης των πλανητών και γι αυτό τον λόγο κυριάρχησε στην ελληνική πλανητική αστρονοµία για έναν περίπου αιώνα, ώσπου αντικαταστάθηκε στην ελληνιστική περίοδο από το µοντέλο των επικύκλων και των φερόντων κύκλων, όπως θα δούµε σε επόµενη ενότητα. Το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών προτάθηκε από τον Εύδοξο τον Κνίδιο κατόπιν της προτροπής του Πλάτωνος να ερµηνευθούν οι φαινόµενες κινήσεις των ουρανίων σωµάτων µε τη χρήση οµαλών κυκλικών κινήσεων. Τροποποιήσεις του µοντέλου προτάθηκαν την ίδια περίοδο από τον Κάλλιππο τον Κυζικηνό και τον Αριστοτέλη.!!!!!

130 130 Τώρα που έχετε ολοκληρώσει τη µελέτη αυτής της ενότητας, ελέγξτε αν µπορείτε να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήµατα: 1) Σε τι συνίσταται η επίδραση των απόψεων του Πλάτωνος στην ελληνική αστρονοµία; 2) Ποιες είναι οι βασικές κινήσεις στις οποίες συµµετέχουν τα ουράνια σώµατα και είναι ορατές µε γυµνό µάτι από έναν επίγειο παρατηρητή, τις οποίες έπρεπε να εξηγήσουν οι αστρονόµοι τον 4 ο π.χ. αιώνα; 3) Ποια είναι τα φαινόµενα που παρατηρούνται κατά την κίνηση των πλανητών τα οποία το µοντέλο του Ευδόξου δεν µπορούσε να εξηγήσει; 4) Ποιες τροποποιήσεις υπέστη το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών κατά τη διάρκεια του 4 ου π.χ. αιώνα και από ποιους; 5) Πώς αντιµετώπισε ο Αριστοτέλης το πρόβληµα της µετάδοσης της κίνησης από το σύστηµα των σφαιρών ενός πλανήτη στο σύστηµα των σφαιρών του εποµένου πλανήτη; 6) Ποια η συµβολή του Ηρακλείδη του Ποντικού στην ιστορία της αστρονοµίας; Βιβλιογραφία Ελληνόγλωσση Αριστοτέλης: Αριστοτέλους Πρώτη Φιλοσοφία (τα Μετά τα Φυσικά), µτφρ. Κ.. Γεωργούλης. Αθήνα, Εκδόσεις Παπαδήµα, Πρώτη έκδοση, Dicks, D.R.: Η Πρώιµη Ελληνική Αστρονοµία, από τις απαρχές ως τον Αριστοτέλη, µτφρ. Μ. Παπαθανασίου, Αθήνα, Εκδόσεις «αίδαλος», Lindberg, D.: Οι απαρχές της δυτικής επιστήµης, µτφρ. Η. Μαρκολέφας, Αθήνα, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Πλάτων: Τίµαιος, επιµ. Β. Κάλφας, Αθήνα, Εκδόσεις Πόλις, Taylor A.E.: Πλάτων. Ο άνθρωπος και το έργο του, µτφρ. Ι. Αρζόγλου, Αθήνα, Μορφωτικό Ίδρυµα Εθνικής Τραπέζης, Ξενόγλωσση Berry, A.: A Short History of Astronomy: From Earliest Times to the Nineteenth Century, New York, Dover, (Πρώτη έκδοση, 1898) Crowe, M.J.: Theories of the World from Antiquity to the Copernican Revolution, New York, Dover, 1990.

131 131 Dreyer, J.L.E.: A History of Astronomy from Thales to Kepler, New York, Dover, (Πρώτη έκδοση το 1906 µε τον τίτλο A History of the Planetary Systems from Thales to Kepler) Duhem, P.: To Save the Phenomena: An Essay on the Idea of a Physical Theory from Plato to Galileo, µτφρ. E. Doland και Ch. Maschler, Chicago, University of Chicago Press, Heath, T.L.: Aristarchus of Samos, The Ancient Copernicus, New York, Dover, Πρώτη έκδοση Oxford, Clarendon Press, Heath, T.L.: Greek Astronomy, New York, Dover, Πρώτη έκδοση London, J.M. Dent & Sons, Hodson, F.R. (επιµ.): The Place of Astronomy in the Ancient World, London, Oxford University Press, Neugebauer, O.: A History of ancient Mathematical Astronomy, 3 τόµοι, New York, Springer-Verlag, Neugebauer, O.: Astronomy and History: Selected Essays, New York, Springer-Verlag, O Neil, W.M.: Early Astronomy: From Babylonia to Copernicus, Sydney, Sydney University Press, Pannekoek, A.: A History of Astronomy, New York, Dover, (Πρώτη έκδοση, στα ολλανδικά, 1951) Pedersen, O. & Pihl, M.: Early Physics and Astronomy, New York, Science History, Yavetz, I.: «On the Homocentric Spheres of Eudoxus», Archive for History of Exact Sciences, τ. 52, 1998, σ Οδηγός για περαιτέρω µελέτη 1. Dicks, D.R.: Η Πρώιµη Ελληνική Αστρονοµία, από τις απαρχές ως τον Αριστοτέλη, µτφρ. Μ. Παπαθανασίου, Αθήνα, Εκδόσεις «αίδαλος», Το βιβλίο αυτό του Dicks πραγµατεύεται την ιστορία της ελληνικής αστρονοµίας από την εποχή του Όµηρου και του Ησίοδου έως τον Αριστοτέλη. Χαρακτηρίζεται από πλούσια τεκµηρίωση και από την ενδελεχή µελέτη των πηγών. Το τελευταίο µέρος του βιβλίου έχει ως αντικείµενο την ιστορία της αστρονοµίας τον 4 ο π.χ. αιώνα, το θέµα δηλαδή µε το οποίο ασχοληθήκαµε και εµείς σε αυτή την ενότητα.

132 132 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριότητα 2 Ο Κάλλιππος πρόσθεσε έναν αριθµό νέων σφαιρών στο ευδόξειο µοντέλο. Πιο συγκεκριµένα: 1) Για τον ία και τον Κρόνο διατήρησε τον ίδιο αριθµό σφαιρών, όπως και ο Εύδοξος, δηλαδή από 4 σφαίρες για τον καθένα. 2) Για τον ήλιο και τη σελήνη πρόσθεσε από δύο σφαίρες (4 σφαίρες συνολικά) και έτσι οι «πλανήτες» αυτοί, οι οποίοι στο αρχικό µοντέλο του Ευδόξου είχαν από 3 σφαίρες ο καθένας, στο µοντέλο του Κάλλιππου είχαν από 5 σφαίρες. 3) Τέλος, για τους υπόλοιπους πλανήτες (Ερµή, Αφροδίτη, Άρη) πρόσθεσε από µία σφαίρα (3 σφαίρες συνολικά), οπότε οι τρεις αυτοί πλανήτες είχαν από 5 σφαίρες ο καθένας, έναντι των 4 που υπέθετε το µοντέλο στην αρχική µορφή του. Συνολικά, λοιπόν, η νέα διάταξη των σφαιρών που υπέθεσε ο Κάλλιππος περιελάµβανε 33 πλανητικές σφαίρες (µαζί µε τη σφαίρα των απλανών το πλήθος των σφαιρών γίνεται 34), δηλαδή 7 σφαίρες περισσότερες από τη διάταξη του Ευδόξου η οποία προέβλεπε 26 πλανητικές σφαίρες (27 µαζί µε τη σφαίρα των απλανών).

133 Η φυσική και η κοσµολογία του Αριστοτέλη Σκοπός Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουµε δύο πολύ σηµαντικές πλευρές του επιστηµονικού έργου του Αριστοτέλη: τη θεωρία της κίνησης και την κοσµολογία. Ταυτόχρονα, θα παρουσιάσουµε και τα µεγάλα προβλήµατα που αντιµετώπιζαν οι αριστοτελικές θεωρίες, προβλήµατα που αποτέλεσαν ένα µόνιµο σηµείο τριβής µεταξύ των φυσικών φιλοσόφων έως τον 17 ο αιώνα, οπότε η αριστοτελική φυσική κατέρρευσε οριστικά παραχωρώντας τη θέση της στη νέα φυσική του Γαλιλαίου και του Νεύτωνος. Προσδοκώµενα Αποτελέσµατα Όταν θα έχετε µελετήσει αυτή την ενότητα, θα είστε σε θέση να: Περιγράφετε τα κύρια χαρακτηριστικά της αριστοτελικής θεωρίας για τη φυσική κίνηση και τους φυσικούς τόπους των σωµάτων. Περιγράφετε τα κύρια χαρακτηριστικά της αριστοτελικής θεωρίας για την εξαναγκασµένη (βίαιη) κίνηση των σωµάτων. Εξηγείτε τους λόγους που οδήγησαν τον Αριστοτέλη να προτείνει τη θεωρία του πέµπτου στοιχείου (του αιθέρα) ως συστατικού στοιχείου των ουρανίων σωµάτων, και να απαριθµείτε τις δυσκολίες που αντιµετώπισε η θεωρία αυτή. Εισαγωγικές παρατηρήσεις Στην ιστορία των επιστηµών ο Αριστοτέλης ( π.χ.) αποτέλεσε για περισσότερο από δύο χιλιάδες χρόνια µια αυθεντία που παρόµοια δεν γνώρισε η δυτική σκέψη. Ιδιαίτερα η διδασκαλία του για την κίνηση, που αποτελεί το θέµα µας σε αυτή την ενότητα, και η κοσµολογία του, στην οποία αναφερθήκαµε κατ αρχάς στην ενότητα 1.3 θα επανέλθουµε όµως στο τέλος αυτής της ενότητας, δεν ξεπεράστηκαν οριστικά παρά µόνο τον 17 ο αιώνα. Το γεγονός αυτό αποτελεί από τη φύση του ένα εµπόδιο στην προσπάθειά µας να ανασυγκροτήσουµε τη σκέψη του, η οποία συχνά στην περίοδο αυτών των δύο χιλιάδων χρόνων «ερµηνεύθηκε» από τους διαδόχους του. Για να εκτιµήσουµε σωστά τη σκέψη του Αριστοτέλη πρέπει να κάνουµε σαφή διάκριση

134 134 ανάµεσα στον Αριστοτέλη και στον «Αριστοτελισµό», µε άλλα λόγια, ανάµεσα στις ιδέες του ίδιου του Αριστοτέλη και στα προβλήµατα που εκείνος αντιµετώπιζε και ζητούσε να απαντήσει, από τη µια πλευρά, και στις ιδέες και τα αντίστοιχα προβλήµατα των διαδόχων του από την άλλη. Το εύρος του επιστηµονικού έργου του Αριστοτέλη δεν εξαντλείται στους τοµείς της κοσµολογίας και της κίνησης. Μια ολοκληρωµένη παρουσίαση των συγγραφών του θα έπρεπε να περιλαµβάνει επίσης τις πραγµατείες περί βιολογίας και φυσικής ιστορίας, οι οποίες καλύπτουν περίπου το ένα πέµπτο του συγγραφικού έργου του και άσκησαν στην ιστορία της επιστήµης ανάλογη επίδραση µε αυτή που άσκησαν οι φυσικές πραγµατείες (αρκεί να αναφέρουµε ότι οι ιδέες του Αριστοτέλη περί ταξινόµησης των ζώων ήταν αποδεκτές από τους φυσιολόγους ακόµη και ως τις αρχές του 19 ου αιώνα). Επίσης, θα έπρεπε να περιλαµβάνει τη γνωσιοθεωρία και τη λογική του όπως εκτίθενται στις λεγόµενες λογικές πραγµατείες, οι οποίες αναφέρονται συχνά µε τη µεταγενέστερη ονοµασία Όργανον. Μια σύντοµη αναφορά στα βιολογικά συγγράµµατα του Αριστοτέλη θα κάνουµε στην ενότητα 1.6 αυτού του τόµου. Η γνωσιοθεωρία του, εξάλλου, παρουσιάζεται στον αντίστοιχο τόµο για την ιστορία της ελληνικής φιλοσοφίας. Σύµφωνα µε την κοσµολογία του Αριστοτέλη ο κόσµος είναι ένας πεπερασµένος, κλειστός και ιεραρχηµένος κόσµος. Συγκεκριµένα, ο κόσµος κατά τον Αριστοτέλη χωρίζεται σε δύο περιοχές: στην υποσελήνια περιοχή και στον χώρο πέρα από τη σελήνη. Αυτές οι δύο περιοχές είναι πολύ διαφορετικές µεταξύ τους. Η κάθε µία διέπεται από τους δικούς της νόµους και η κινητική συµπεριφορά των σωµάτων διαφέρει από τη µία στην άλλη. Ο χώρος πέρα από τη σελήνη είναι αµετάβλητος και άφθαρτος. Οι κινήσεις των σωµάτων στον χώρο αυτό είναι τέλειες, δηλαδή οµαλές κυκλικές (υποενότητα 1.4.2). Αντίθετα, η υποσελήνια περιοχή βρίσκεται σε µια συνεχή µεταβολή η οποία εκδηλώνεται µε διαδικασίες συνεχούς γέννησης, αύξησης, ελάττωσης και παρακµής, και οι φυσικές κινήσεις των σωµάτων στην περιοχή αυτή δεν είναι οµαλές κυκλικές αλλά ευθύγραµµες και πεπερασµένες. Για τις κινήσεις αυτές ο Αριστοτέλης είχε αναπτύξει µια θεωρία που άσκησε µεγάλη επιρροή και, συνάµα, δέχθηκε πολλές κριτικές (υποενότητα 1.4.1).

135 Η θεωρία της κίνησης στην υποσελήνια περιοχή Η αριστοτελική θεωρία της κίνησης στην υποσελήνια περιοχή βασίζεται σε δύο θεµελιώδεις αρχές: 1 η αρχή: Η κίνηση δεν είναι ποτέ αυθόρµητη. Πίσω από κάθε κίνηση ο Αριστοτέλης βλέπει τη επενέργεια µιας ενεργούσας δύναµης (κινούν), η οποία µάλιστα βρίσκεται σε συνεχή επαφή µε το κινούµενο σώµα. 2 η αρχή: Υπάρχουν δύο είδη κίνησης: η φυσική και η βίαιη (ή εξαναγκασµένη) κίνηση. Η φυσική κίνηση είναι η ελεύθερη κίνηση των σωµάτων προς τους φυσικούς τόπους τους είναι ευθύγραµµη και η διεύθυνσή της είναι πάντοτε κατακόρυφη. Η βίαιη κίνηση είναι η κίνηση που γίνεται υπό την επίδραση µιας εξωτερικής δύναµης και υποχρεώνει το σώµα να παρεκκλίνει από τη φυσική κίνησή του. Αυτό σηµαίνει ότι βίαιη κίνηση είναι κατ αρχάς κάθε µη ευθύγραµµη κίνηση όµως και µια ευθύγραµµη κίνηση µπορεί να είναι βίαιη αν λ.χ. η διεύθυνσή της δεν είναι κατακόρυφη ή αν είναι µεν κατακόρυφη αλλά η φορά της δεν είναι προς τον φυσικό τόπο του σώµατος κ.λπ. Κάθε κίνηση στη γήινη περιοχή του κόσµου είναι κατά τον Αριστοτέλη ή βίαιη ή φυσική, αλλά η βίαιη κίνηση, επειδή αντιτίθεται προς τη φύση των σωµάτων, είναι οντολογικά υποδεέστερη της φυσικής.! Ο Αριστοτέλης χρησιµοποιεί τον όρο «κίνησις» µε πολύ ευρύτερη σηµασία απ αυτή που του αποδίδουµε σήµερα. Για τον Αριστοτέλη ο όρος αυτός µπορεί να σηµαίνει αλλαγή της ουσίας (γένεσις και φθορά), αλλαγή του µεγέθους (αύξησις και φθίσις), αλλαγή της ποιότητας (αλλοίωσις) και, τέλος, µετατόπιση. Το θέµα µας σε αυτή την Ενότητα είναι η κίνηση µε την τέταρτη σηµασία του όρου, δηλαδή η µετατόπιση. Σε ό,τι αφορά την πρώτη από τις δύο αρχές που διατυπώσαµε προηγουµένως, ο Αριστοτέλης είχε να αντιµετωπίσει µια προφανή δυσκολία. Έπρεπε να εξηγήσει γιατί σε ορισµένες περιπτώσεις η κίνηση συνεχίζει να υπάρχει ακόµη και όταν το κινούµενο σώµα χάσει την επαφή του µε το κινούν. Ένα κλασικό παράδειγµα είναι, λ.χ., αυτό ενός εξακοντιζόµενου βέλους το οποίο εκτοξεύεται οριζόντια, οπότε εκτελεί εξαναγκασµένη κίνηση, και δεν σταµατά να κινείται αµέσως µόλις χάσει την επαφή του µε τη χορδή του τόξου που το εκτόξευσε. Η απάντηση σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη βρίσκεται στη θεωρία της «αντιπερίστασης», σύµφωνα µε την οποία το µέσον εντός του οποίου διενεργείται η

136 136 κίνηση (δηλαδή ο αέρας) αναλαµβάνει τον ρόλο του κινούντος. Ποιος ακριβώς είναι κατά τον Αριστοτέλη ο µηχανισµός µε τον οποίο ο αέρας αναλαµβάνει να παίξει τον ρόλου του κινούντος δεν είναι απολύτως σαφές. Ορισµένοι ιστορικοί υποστηρίζουν ότι η σκέψη του ήταν πάνω-κάτω η εξής: όταν εκτοξεύουµε ένα βέλος, διεγείρουµε ταυτόχρονα το περιβάλλον µέσο (δηλαδή τον αέρα), ο οποίος καθώς απωθείται µπροστά από το βέλος, µετακινείται και καταλαµβάνει τον κενό χώρο που δηµιουργείται διαρκώς πίσω από το βέλος, ενεργώντας µε τον τρόπο αυτό συνεχώς ως κινούσα δύναµη για το βέλος (µε τη διαφορά ότι όσο περισσότερο αποµακρύνεται η δύναµη αυτή από την αρχική πηγή της τόσο περισσότερο εξαντλείται). Πρόκειται για µια απάντηση απολύτως συνεπή µε την αρχή ότι δεν υπάρχει κίνηση χωρίς τη συνεχή επενέργεια του κινούντος και µε την πεποίθηση του Αριστοτέλη ότι δεν υπάρχει κενός χώρος. Ας δούµε τώρα, πώς µε βάση τις δύο αυτές αρχές πραγµατεύεται ο Αριστοτέλης τόσο τη φυσική όσο και την εξαναγκασµένη κίνηση. Η φυσική κίνηση Το κινούν στην περίπτωση της φυσικής κίνησης είναι η φύση του σώµατος, εξ αιτίας της οποίας το κάθε σώµα έχει την τάση να κινείται προς τον φυσικό τόπο του (ο οποίος εξαρτάται από τη φύση του σώµατος), ώσπου να φτάσει σ αυτόν και να παραµείνει για πάντα σε ηρεµία. Πώς πραγµατεύεται, όµως, ο Αριστοτέλης το πρόβληµα των φυσικών τόπων; Οι απόψεις του συνοψίζονται στα παρακάτω σηµεία: η γήινη (υποσελήνια) περιοχή του κόσµου καλύπτεται πλήρως από τα τέσσερα γήινα στοιχεία, δηλαδή τη γη, το νερό, τον αέρα και τη φωτιά. Το καθένα από τα στοιχεία αυτά είναι βαρύ ή ελαφρύ. Συγκεκριµένα, η γη και το νερό έχουν την ιδιότητα του βαρέως (µε τη γη να είναι βαρύτερη σε σύγκριση µε το νερό), ενώ ο αέρας και η φωτιά έχουν την ιδιότητα του ελαφρού (µε τη φωτιά να είναι ελαφρύτερη σε σύγκριση µε τον αέρα). Επειδή η γη και το νερό είναι βαριά, η φύση τους είναι να κατέρχονται προς το κέντρο του κόσµου και, αντιστοίχως, επειδή ο αέρας και η φωτιά είναι ελαφρά, η φύση τους είναι να ανέρχονται προς την περιφέρεια της γήινης περιοχής του κόσµου, δηλαδή προς το εσωτερικό κέλυφος της σφαίρας στην οποία βρίσκεται η σελήνη. (Θυµηθείτε ότι στην ενότητα 1.3 είχαµε πει ότι ο Αριστοτέλης είχε υιοθετήσει το σύστηµα των οµόκεντρων σφαιρών του Ευδόξου, όπως είχε τροποποιηθεί από τον Κάλλιππο, αποδίδοντας σε αυτό φυσική ύπαρξη.) Κατά συνέπεια η

137 137 κινητική συµπεριφορά κάθε σώµατος εξαρτάται κατά τον Αριστοτέλη από την αναλογία βαρέων και ελαφρών στοιχείων που το συγκροτούν. Σε µια ιδανική περίπτωση (δηλαδή, αν δεν υπήρχαν εµπόδια, αν δεν υπήρχαν ανάµικτα σώµατα παρά µόνο τα τέσσερα στοιχεία σε πλήρη καθαρότητα και, ακόµη, αν τα τέσσερα στοιχεία είχαν ολοκληρώσει τις φυσικές κινήσεις τους) στη γήινη περιοχή του κόσµου θα διαµορφώνονταν τέσσερις οµόκεντρες σφαίρες, στην καθεµία από τις οποίες θα είχε καταλήξει και θα βρισκόταν σε κατάσταση ηρεµίας το καθένα από τα τέσσερα στοιχεία. Οι σφαίρες αυτές θα ήταν κατά σειρά (από µέσα προς τα έξω) οι εξής: η σφαίρα της γης, η σφαίρα του νερού, η σφαίρα του αέρα και η σφαίρα της φωτιάς. Αυτές οι τέσσερις σφαίρες, λοιπόν, είναι οι φυσικοί τόποι προς τους οποίους, από τη φύση τους, κινούνται όλα τα σώµατα. ύο είναι, για τον Αριστοτέλη, οι κανόνες που ρυθµίζουν τη συµπεριφορά ενός σώµατος σε φυσική κίνηση. Στην περίπτωση της φυσικής κίνησης των βαρέων σωµάτων οι κανόνες αυτοί µπορούν να διατυπωθούν ως εξής: 1. όταν δύο σώµατα µε διαφορετική βαρύτητα πέφτουν ελεύθερα, τα χρονικά διαστήµατα που απαιτούνται για να καλυφθεί µια δεδοµένη απόσταση είναι αντιστρόφως ανάλογα της βαρύτητάς τους (ένα σώµα µε διπλάσια βαρύτητα σε σχέση µε ένα άλλο χρειάζεται για την κάλυψη ίσης απόστασης τον µισό χρόνο σε σύγκριση µε εκείνο) και 2. αν δύο σώµατα µε την ίδια βαρύτητα κινούνται µε φυσική κίνηση σε διαφορετικά µέσα, τα χρονικά διαστήµατα που απαιτούνται για να διανυθεί µια δεδοµένη απόσταση είναι ανάλογα προς την αντίσταση που προβάλλουν τα µέσα, αντίσταση η οποία µε τη σειρά της εξαρτάται από την πυκνότητα των µέσων (όσο µεγαλύτερη είναι η πυκνότητα τόσο πιο αργά κινείται το σώµα). Σε αυτό το πλαίσιο διατυπώνουµε, για όσους από εσάς είστε εξοικειωµένοι µε τη χρήση µαθηµατικών τύπων, τους κανόνες που διέπουν κατά τον Αριστοτέλη τη συµπεριφορά των σωµάτων κατά τη φυσική κίνηση. Η χρήση µαθηµατικού συµβολισµού συνιστά, όπως είναι φανερό, µια σύγχρονη ανάγνωση των κανόνων αυτών η οποία δεν πρέπει φυσικά να αποδίδεται στον ίδιο τον Αριστοτέλη. Χρησιµοποιώντας λοιπόν µαθηµατικούς τύπους θα λέγαµε ότι οι κανόνες του Αριστοτέλη για τη φυσική κίνηση των βαρέων σωµάτων µπορούν να αποδοθούν αντιστοίχως από τις σχέσεις

138 138 B 1 : B 2 = T 2 : T 1 και T 1 : T 2 = A 1 : A 2, όπου T είναι ο χρόνος, Β το βάρος και A η αντίσταση του υλικού µέσου. Οι δύο αυτές σχέσεις µπορούν να συνοψιστούν στη σχέση V B A, η οποία διαβάζεται ως εξής: «η ταχύτητα V είναι ανάλογη του βάρους B και αντιστρόφως ανάλογη της αντίστασης Α του υλικού µέσου». ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Αναφέραµε παραπάνω ότι η µέθοδος αυτή συνιστά µια σύγχρονη ανάγνωση η οποία δεν πρέπει να αποδίδεται στον Αριστοτέλη. Μπορείτε να αναφέρετε µερικούς λόγους που δικαιολογούν αυτή τη θέση; Την απάντησή µας θα τη βρείτε στο Παράρτηµα, στο τέλος της ενότητας. Η εξαναγκασµένη κίνηση Στην περίπτωση της εξαναγκασµένης κίνησης το κινούν είναι µια εξωτερική δύναµη η οποία υποχρεώνει το σώµα να κινηθεί παρά φύσιν, λ.χ. σε κάποια διεύθυνση που το εκτρέπει από τον φυσικό τόπο του. Η εξαναγκασµένη κίνηση παύει όταν παύσει η ενέργεια της εξωτερικής δύναµης. Οι κανόνες που διέπουν τη συµπεριφορά ενός σώµατος που εκτελεί εξαναγκασµένη κίνηση δεν διαφέρουν ουσιαστικά από τους αντίστοιχους κανόνες για τη φυσική κίνηση και θα µπορούσαµε να τους διατυπώσουµε ως εξής: Αν µια δεδοµένη δύναµη F κινεί ενάντια προς τη φύση του ένα σώµα βάρους Β κατά µια απόσταση Γ εντός χρόνου, τότε: 1. Η δύναµη F θα µετακινήσει ένα σώµα βάρους B 2 στην ίδια απόσταση Γ σε χρόνο Η µισή δύναµη F 2 θα µετακινήσει το σώµα βάρους Β σε απόσταση Γ σε χρόνο Η µισή δύναµη F 2 θα µετακινήσει ένα σώµα βάρους B 2 στο χρόνο κατά απόσταση Γ.

139 139 Ο Αριστοτέλης προϋπέθετε ότι κάθε κίνηση πρέπει να πραγµατοποιείται εντός ενός µέσου. Με βάση αυτό και πιστεύοντας ότι η ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της πυκνότητας του µέσου, οδηγήθηκε στην απόρριψη της δυνατότητας κίνησης στο κενό - µιας και αφού η πυκνότητα του κενού είναι µηδέν, η ταχύτητα θα γινόταν απείρως µεγάλη πράγµα αδύνατον - και στην απόρριψη της ίδιας της ύπαρξης του κενού στον φυσικό κόσµο. Οι παραπάνω κανόνες του Αριστοτέλη δεν έρχονται σε άµεση αντίθεση µε τα δεδοµένα της παρατήρησης. Αντίθετα, φαίνονται αρκετά εύλογοι. Ας το δούµε αυτό λίγο πιο προσεκτικά. Ο Αριστοτέλης συνδέει την κινητική συµπεριφορά ενός σώµατος σε ελεύθερη πτώση (φυσική κίνηση των βαρέων σωµάτων) µε τη βαρύτητά του, ισχυρίζεται δηλαδή ουσιαστικά ότι η ταχύτητα είναι ανάλογη του βάρους (βλ. προηγούµενο πλαίσιο). Στην ελεύθερη πτώση στο κενό, αυτό, όπως ξέρουµε, δεν ισχύει. Όταν όµως η ελεύθερη πτώση διενεργείται εντός ενός µέσου, λ.χ. εντός του αέρα, τότε τα βαρύτερα σώµατα πέφτουν πράγµατι µε µεγαλύτερη ταχύτητα από τα ελαφρότερα σώµατα που έχουν το ίδιο σχήµα και τις ίδιες διαστάσεις. Αυτό είναι ένα πραγµατικό δεδοµένο της παρατήρησης. Ο Αριστοτέλης, λοιπόν, δεν είχε άδικο όταν συνέδεε το βάρος µε την ταχύτητα στην περίπτωση της κίνησης που πραγµατοποιείται εντός ενός µέσου. Σωστή είναι επίσης η διαπίστωση του Αριστοτέλη ότι η κίνηση εντός ενός πυκνού µέσου είναι πιο αργή από την κίνηση εντός ενός µέσου πιο αραιού. Όπως είναι φανερό αυτές οι δύο προτάσεις είναι σύµφωνες µε την ανθρώπινη εµπειρία, σε ό,τι αφορά δε την αντίρρηση που θα µπορούσε κανείς να διατυπώσει ότι η σχέση της ταχύτητας προς το βάρος (ή την πυκνότητα του µέσου) δεν είναι σχέση ποσών αναλόγων (ή ποσών αντιστρόφως αναλόγων) οφείλουµε να παρατηρήσουµε ότι η δικαιολόγηση των προτάσεων αυτών δεν πρέπει να αναζητείται στην πειραµατική επιβεβαίωσή τους αλλά στην όλη αντίληψη του Αριστοτέλη για τις αναλογίες βαρέων και ελαφρών στοιχείων που συγκροτούν το εκάστοτε σώµα. Η αριστοτελική θεωρία της κίνησης, λοιπόν, δεν παρέλειψε να λάβει υπόψη της τα δεδοµένα της εµπειρίας. Αφού, όµως, έτσι έχουν τα πράγµατα, τότε πού βρίσκεται το µειονέκτηµά της; Κατά τον Lloyd η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι: το µειονέκτηµα της αριστοτελικής θεωρίας της κίνησης βρίσκεται στο ότι δεν διατυπώνεται µε όρους επαρκώς αφηρηµένους (Lloyd, 1990, σ ). Λέµε «επαρκώς αφηρηµένους» γιατί ένας ορισµένος βαθµός αφαίρεσης υπάρχει στη µελέτη της κίνησης από τον Αριστοτέλη. Για

140 140 παράδειγµα, ο Αριστοτέλης δεν λαµβάνει καθόλου υπόψη τη µορφή του κινούµενου σώµατος. Αυτό είναι ήδη µια αφαίρεση από τα πραγµατικά σώµατα. Ο Αριστοτέλης, όµως, δεν προχώρησε την αφαίρεση ακόµα περισσότερο ώστε να µην συνυπολογίζει στο φαινόµενο της κίνησης τον παράγοντα «αντίσταση του µέσου εντός του οποίου διενεργείται η κίνηση». Έθετε ως αρχή ότι κάθε κίνηση πρέπει να πραγµατοποιείται εντός ενός µέσου. Έχοντας λοιπόν τη θέση αυτή ως αρχή και πιστεύοντας ότι η ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της πυκνότητας του µέσου, οδηγήθηκε: 1. στην απόρριψη της δυνατότητας κίνησης στο κενό - γιατί τότε, αφού η πυκνότητα του κενού είναι µηδέν, η ταχύτητα θα γινόταν απείρως µεγάλη (πράγµα αδύνατο), και 2. στην απόρριψη της ίδιας της πραγµατικής ύπαρξης του κενού. Το µειονέκτηµα της µη διατύπωσης της θεωρίας του Αριστοτέλη µε όρους επαρκώς αφηρηµένους φαίνεται πολύ καθαρά αν εξετάσει κανείς τα παραδείγµατα που χρησιµοποιεί: όλα τα παραδείγµατα που χρησιµοποιεί για να µελετήσει την κίνηση είναι πραγµατικά παραδείγµατα, δηλαδή είναι παραδείγµατα παρµένα από τον κόσµο της εµπειρίας, από τον φυσικό κόσµο. Ένα παράδειγµα, λ.χ., που χρησιµοποιεί είναι αυτό ενός πλοίου που ρυµουλκείται στη θάλασσα: το πλοίο ρυµουλκείται πολύ πιο εύκολα όταν είναι άδειο (διότι βυθίζεται λιγότερο µέσα στο νερό οπότε η αντίσταση του υλικού µέσου είναι µικρότερη), εποµένως η ταχύτητά του είναι αντιστρόφως ανάλογη της αντίστασης του υλικού µέσου επίσης, η ταχύτητα του πλοίου αυξάνει όταν ρυµουλκείται από περισσότερα του ενός ρυµουλκά, εποµένως είναι ανάλογη της κινητήριας δύναµης. Το παράδειγµα αυτό όµως είναι πολύ πιο σύνθετο από τον τρόπο που το κατανοεί ο Αριστοτέλης. Αντίθετα, το τυπικό παράδειγµα της νεότερης θεωρίας της κίνησης (της Νευτώνειας υναµικής) είναι ένα παράδειγµα που δεν το συναντούµε ποτέ στον πραγµατικό κόσµο: είναι το παράδειγµα της κίνησης στο κενό, της κίνησης δηλαδή χωρίς αντίσταση. Η κίνηση αυτή, όµως, δεν διενεργείται στον πραγµατικό κόσµο. Ο κόσµος της Νευτώνειας υναµικής, ο «κόσµος της Φυσικής», είναι τελείως διαφορετικός από τον «φυσικό κόσµο» του Αριστοτέλη και γενικότερα όλης της αρχαίας επιστήµης. Είναι αλήθεια ότι ο Αριστοτέλης παρέλειψε να εκτελέσει µερικές απλές δοκιµές από τις οποίες ενδεχοµένως θα µπορούσε να συµπεράνει ότι ορισµένες από τις προτάσεις που είχε διατυπώσει ήσαν ανακριβείς. Πράγµατι, ένα χαρακτηριστικό γνώρισµα της επιστηµονικής µεθοδολογίας του Αριστοτέλη είναι η απουσία από αυτή κάθε πειραµατικού ελέγχου των θεωριών του. Πώς θα µπορούσαµε να εξηγήσουµε αυτή την

141 141 απουσία; Κατά τον ιστορικό της επιστήµης David Lindberg µια απάντηση στο ερώτηµα αυτό πρέπει να αναζητηθεί στη διδασκαλία για τις φύσεις των πραγµάτων. «Έχοντας υπόψη αυτή τη θεωρία για τη φύση», αναφέρει ο Lindberg, «µπορούµε να κατανοήσουµε ένα χαρακτηριστικό της επιστηµονικής δραστηριότητας του Αριστοτέλη, το οποίο έχει προκαλέσει την απορία και την ανησυχία των νεότερων σχολιαστών και κριτικών την έλλειψη από το έργο του οποιουδήποτε στοιχείου που να αντιστοιχεί στην ελεγχόµενη πειραµατική διαδικασία. υστυχώς η κριτική σε αυτό το θέµα παραβλέπει τους σκοπούς του Αριστοτέλη, οι οποίοι περιόριζαν δραστικά τις µεθοδολογικές του επιλογές. Αν, όπως πίστευε ο Αριστοτέλης, η φύση κάποιου πράγµατος µπορεί να ανακαλυφθεί µέσω της συµπεριφοράς αυτού του πράγµατος στη φυσική και αδέσµευτη κατάστασή του, τότε οποιοιδήποτε τεχνητοί περιορισµοί θα αποτελέσουν απλώς πηγή παρεµβολών. Αν, παρ όλες αυτές τις παρεµβολές, το αντικείµενο συµπεριφερθεί µε το συνηθισµένο τρόπο του, τότε οι προσπάθειές µας δεν εξυπηρετούν κανένα σκοπό. Αν δηµιουργήσουµε συνθήκες που εµποδίζουν την αποκάλυψη της φύσης του αντικειµένου, µαθαίνουµε απλώς ότι είναι δυνατόν να επέµβουµε στο αντικείµενο σε τέτοιο βαθµό που η φύση του να παραµείνει λανθάνουσα. Το πείραµα, εποµένως, δεν αποκαλύπτει για τις φύσεις των αντικειµένων τίποτε το οποίο θα µπορούσε να γίνει γνωστό µε κάποιον καλύτερο τρόπο. Η επιστηµονική πρακτική του Αριστοτέλη δεν πρέπει, λοιπόν, να θεωρηθεί ως αποτέλεσµα δικής του ανοησίας ή αµέλειας αλλά ως µέθοδος συµβατή µε τον κόσµο όπως τον αντιλαµβανόταν και κατάλληλα ταιριασµένη µε τις ερωτήσεις που τον ενδιέφεραν. Η πειραµατική επιστήµη δεν αναδύθηκε, όταν επιτέλους η ανθρώπινη φυλή παρήγαγε κάποιον τόσο έξυπνο ώστε να αντιληφθεί ότι οι τεχνητές και ελεγχόµενες συνθήκες θα µπορούσαν να βοηθήσουν στην εξερεύνηση της φύσης, αλλά όταν οι φυσικοί φιλόσοφοι άρχισαν να θέτουν ερωτήµατα στα οποία µια τέτοια διαδικασία θα µπορούσε να απαντήσει.» (Lindberg, 1997, σ ) Μεταγενέστεροι θεωρητικοί άσκησαν κριτική στη θεωρία της κίνησης του Αριστοτέλη. Έτσι, τον 6 ο µ.χ. αιώνα ο Ιωάννης Φιλόπονος θα παρουσιάσει µια σειρά από επιχειρήµατα, για να δείξει τις αδυναµίες της αριστοτελικής υναµικής (στον Ιωάννη Φιλόπονο θα επανέλθουµε στο κεφάλαιο όπου θα εξετάσουµε την επιστήµη στη βυζαντινή περίοδο). Ωστόσο, παρ όλες τις ανεπάρκειες της υναµικής του πρέπει να σηµειώσουµε ότι ο Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος που προσέγγισε αυτή την περιοχή.

142 Οι κινήσεις των ουρανίων σωµάτων Όπως είπαµε, η γη, το νερό, ο αέρας και η φωτιά είναι, κατά τον Αριστοτέλη, η πρώτη ύλη από την οποία αποτελείται καθετί που υπάρχει επάνω στη γη. Αντίθετα, υποστήριζε, τα ουράνια σώµατα δεν αποτελούνται από τα τέσσερα αυτά στοιχεία αλλά από ένα πέµπτο στοιχείο, µια πέµπτη ουσία, την περίφηµη quinta essentia (πεµπτουσία) της µεσαιωνικής φιλοσοφίας, δηλαδή τον αιθέρα. Η θεωρία του Αριστοτέλη για τον αιθέρα έγινε αντικείµενο των πιο πολλών επικρίσεων από κάθε άλλη θεωρία της αρχαίας επιστήµης. Έχει, λοιπόν, ιδιαίτερο ενδιαφέρον να εξετάσουµε τους λόγους που επέβαλαν στον Αριστοτέλη να την προτείνει. Το πρόβληµα, όπως το έβλεπε ο ίδιος, ήταν να ερµηνευθούν οι ιδιαίτερου είδους φυσικές κινήσεις των ουρανίων σωµάτων, τα οποία περιφέρονται κυκλικά διαγράφοντας οµαλές κυκλικές τροχιές. Πώς, όµως, θα µπορούσαν να εξηγηθούν αυτές οι αιώνιες και απαράλλακτες κυκλικές κινήσεις των ουράνιων σωµάτων; Η φυσική κίνηση των τεσσάρων γήινων στοιχείων είναι, όπως ξέρουµε, να κατευθύνονται προς τα πάνω ή προς τα κάτω, να αποµακρύνονται ή να πλησιάζουν προς το κέντρο της γης. Μπορούν, βεβαίως, για ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα να κινούνται και προς άλλες κατευθύνσεις, όπως όταν εκτοξεύεται ένα βαρύ σώµα στο αέρα, για παράδειγµα µια πέτρα. Όµως, αυτή η κίνηση δεν είναι φυσική, είναι βίαιη, εξαναγκασµένη, και ως τέτοια απαιτεί την ύπαρξη µιας κινητήριας δύναµης. Η κίνηση, τώρα, των ουράνιων σωµάτων είναι αιώνια. Άρα δεν µπορεί να είναι βίαιη κίνηση. Πρέπει, εποµένως, να είναι φυσική κίνηση. Εδώ βρίσκεται το κύριο θεωρητικό επιχείρηµα του Αριστοτέλη: ένα σώµα του οποίου η φυσική κίνηση είναι η κυκλική κίνηση δεν µπορεί να ταυτίζεται µε κανένα από τα τέσσερα (γήινα) στοιχεία ούτε να είναι κάποιος συνδυασµός αυτών των στοιχείων, γιατί οι φυσικές κινήσεις αυτών των στοιχείων είναι να πηγαίνουν προς τα πάνω ή προς τα κάτω και αν κάποτε συµβαίνει να κινούνται κυκλικά, όπως για παράδειγµα όταν περιστρέφουµε µια πέτρα δεµένη σε ένα σχοινί, η κίνηση αυτή δεν είναι φυσική, είναι βίαιη (εξαναγκασµένη). Κατά συνέπεια, συµπεραίνει ο Αριστοτέλης, πρέπει να υπάρχει ένα άλλο στοιχείο, ένα πέµπτο στοιχείο, η φυσική συµπεριφορά του οποίου είναι να κινείται συνεχώς εκτελώντας κυκλική κίνηση. Αυτό είναι το κύριο θεωρητικό επιχείρηµα που χρησιµοποιεί ο Αριστοτέλης για να υποστηρίξει την ύπαρξη του αιθέρα.

143 143 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Ποιοι λόγοι πιστεύετε πως οδήγησαν τον Αριστοτέλη να προτείνει τη θεωρία του «πέµπτου στοιχείου»; Ποιες δυσκολίες νοµίζετε πως αντιµετώπισε η θεωρία αυτή στην αρχαιότητα και στον µεσαίωνα; Καταγράψτε τις σκέψεις σας επιγραµµατικά και δείτε στη συνέχεια τη δική µας άποψη στο κείµενο που ακολουθεί. Πολλοί φιλόσοφοι µετά τον Αριστοτέλη αντιµετώπισαν διάφορες δυσκολίες µε τη θεωρία του πέµπτου στοιχείου. Θα ολοκληρώσουµε λοιπόν την ενότητα αυτή, απαριθµώντας ορισµένες από τις δυσκολίες αυτές: 1. Η θεωρία δεν εξηγούσε τι συµβαίνει στο σύνορο των δύο κόσµων, του γήινου (υποσελήνιου) και του κόσµου των ουρανίων σφαιρών. Ακριβώς πάνω από τη σφαίρα της σελήνης, που αποτελεί το σύνορο των δύο κόσµων, τα τέσσερα γήινα στοιχεία παραχωρούν τη θέση τους στο πέµπτο στοιχείο, τον αιθέρα. Πώς, όµως, γίνεται η µετάβαση από την κίνηση προς τα πάνω ή προς τα κάτω, που είναι η φυσική κίνηση που επικρατεί στην υποσελήνια περιοχή των τεσσάρων γήινων στοιχείων, στην κυκλική κίνηση, που είναι η φυσική κίνηση του αιθέρα; 2. Ένα δεύτερο πρόβληµα, στο οποίο η θεωρία για τον αιθέρα δεν έδινε ικανοποιητική απάντηση, ήταν αυτό της µετάδοσης θερµότητας. Ο ήλιος, ως ουράνιο σώµα, αποτελείται µόνο από αιθέρα, και ο αιθέρας δεν έχει καµιά από τις ιδιότητες που έχουν τα γήινα στοιχεία, άρα δεν έχει ούτε την ιδιότητα του «θερµού». Αν όµως έτσι έχουν τα πράγµατα, τότε πώς θα µπορούσε να εξηγηθεί η µετάδοση της θερµότητας από τον ήλιο προς τη γη; Σύνοψη Στην ενότητα αυτή εξετάσαµε την αριστοτελική θεωρία της κίνησης, µια θεωρία η οποία κυριάρχησε όσο καµιά άλλη στην ιστορία της δυτικής επιστήµης. Ο κόσµος κατά τον Αριστοτέλη είναι ένας πεπερασµένος, κλειστός και ιεραρχηµένος κόσµος, ο οποίος αποτελείται από δύο διακριτές περιοχές: τη γήινη ή υποσελήνια περιοχή και την ουράνια περιοχή. Η κάθε µια από αυτές τις περιοχές διέπεται από τους δικούς της νόµους και η κινητική συµπεριφορά των σωµάτων διαφέρει από τη µία στην άλλη. Η κίνηση στη γήινη περιοχή διακρίνεται σε «φυσική» (που είναι η ελεύθερη κίνηση των σωµάτων προς τους

144 144 φυσικούς τους τόπους) και σε «εξαναγκασµένη» κίνηση (η οποία οφείλεται στην επίδραση κάποιας εξωτερικής δύναµης η οποία εκτρέπει τα σώµατα από τη φυσική τους κίνηση). Η φυσική κίνηση είναι πάντοτε ευθύγραµµη και η διεύθυνσή της είναι κατακόρυφη, γιατί αυτή η κίνηση αρµόζει στα τέσσερα γήινα στοιχεία (γη, νερό, αέρας, φωτιά) από τα οποία συγκροτούνται όλα τα πράγµατα που βρίσκονται στη γήινη περιοχή του κόσµου. Στην ουράνια περιοχή, εξάλλου, δεν υπάρχουν δύο είδη κίνησης αλλά µόνο ένα, η φυσική κίνηση, η οποία στην προκειµένη περίπτωση είναι οµαλή κυκλική, όπως αρµόζει στα ουράνια σώµατα τα οποία δεν αποτελούνται από τα τέσσερα στοιχεία αλλά από µια πέµπτη ουσία (αιθέρας).!!!!! Τώρα που ολοκληρώσατε τη µελέτη αυτής της ενότητας, ελέγξτε αν µπορείτε να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήµατα: 1) Πώς κατανοεί ο Αριστοτέλης την έννοια «κίνηση»; Την κατανοεί ως µετατόπιση στον χώρο ή µήπως αποδίδει στον όρο κίνηση µια πιο γενική σηµασία; 2) Σε ποιες αρχές βασίζεται η αριστοτελική θεωρία της κίνησης στην υποσελήνια περιοχή του κόσµου; 3) Τι ήταν η θεωρία της «αντιπερίστασης»; 4) Πώς πραγµατεύεται ο Αριστοτέλης το θέµα των «φυσικών τόπων» των σωµάτων; 5) Ποιοι είναι οι κανόνες που ρυθµίζουν, κατά τον Αριστοτέλη, τη φυσική κίνηση των σωµάτων; 6) Πώς εξηγείται η απουσία του πειραµατικού ελέγχου στο έργο του Αριστοτέλη; Βιβλιογραφία Ελληνόγλωσση Αριστοτέλης: Αριστοτέλους Πρώτη Φιλοσοφία (τα Μετά τα Φυσικά), µτφρ. Κ.. Γεωργούλης, Αθήνα, Εκδόσεις Παπαδήµα, Πρώτη έκδοση, Αριστοτέλης: Περί φύσεως. Το δεύτερο βιβλίο των Φυσικών, εισαγωγή, µετάφραση, σχολιασµός, Β. Κάλφας, Αθήνα, Εκδόσεις Πόλις, 1999.

145 145 Bernal, J.D.: Η επιστήµη στην ιστορία, 3 τόµοι, µτφρ. Ε. Μπιτσάκης, Αθήνα, Εκδόσεις Ζαχαρόπουλος, Farrington, B.: Η επιστήµη στην αρχαία Ελλάδα, µτφρ. Ν. Ραΐσης, Αθήνα, Εκδόσεις Κάλβος, Lindberg, D.: Οι απαρχές της δυτικής επιστήµης, µτφρ. Η. Μαρκολέφας, Αθήνα, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Ξενόγλωσση Clagett, M.: Greek Science in Antiquity, London, Abelard-Schuman, Lloyd, G.E.R.: Une histoire de la science grecque, tr. J. Brunshwig, Paris, Editions La Découverte, Ανατύπωση, Pedersen, O. & Pihl, M.: Early Physics and Astronomy, New York, Science History, Taton, R. (επιµ.): Histoire générale des sciences, τ. 1: La Science antique et médiévale, Paris, P.U.F., Οδηγός για περαιτέρω µελέτη 1. Lloyd, G.E.R.: Une histoire de la science grecque, tr. J. Brunshwig, Paris, Editions La Découverte, Ανατύπωση, Το έργο του G.E.R. Lloyd στο οποίο έχουµε αναφερθεί αρκετές φορές έως τώρα πραγµατεύεται, στο όγδοο κεφάλαιο, τις φυσικές θεωρίες και την κοσµολογία του Αριστοτέλη. 2. Lindberg, D.: Οι απαρχές της δυτικής επιστήµης, µτφρ. Η. Μαρκολέφας, Αθήνα, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Το βιβλίο του Lindberg, στο οποίο έχουµε επίσης αναφερθεί, πραγµατεύεται τη φυσική και την κοσµολογία του Αριστοτέλη στο τρίτο κεφάλαιο που φέρει τον τίτλο «Η φυσική φιλοσοφία του Αριστοτέλη». ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριότητα 1 (προαιρετική) Η περιγραφή µε µαθηµατικούς τύπους των κανόνων που διέπουν τη φυσική κίνηση των σωµάτων µπορεί να διευκολύνει τον σύγχρονο αναγνώστη, ο οποίος είναι συνηθισµένος στη χρήση αναλυτικής γλώσσας για την περιγραφή των φυσικών

146 146 φαινοµένων, ωστόσο η γλώσσα αυτή δεν επιτρέπει να διαφανούν ορισµένα λεπτά χαρακτηριστικά του τρόπου µε τον οποίο ο ίδιος ο Αριστοτέλης κατανοεί και µελετά την κίνηση. Αυτό φαίνεται πολύ καθαρά στην περίπτωση της εξαναγκασµένης κίνησης όπου ο τύπος V Β Α παίρνει τη µορφή V F Α (F είναι η κινητήρια δύναµη). Οποιαδήποτε και αν είναι η σχέση διάταξης µεταξύ των F και Α στον τύπο αυτόν, η ταχύτητα V θα είναι πάντοτε θετική (εφόσον τα F και Α έχουν πάντοτε θετική τιµή), πράγµα που σηµαίνει ότι το σώµα πάντοτε θα κινείται. Ακόµα και αν η αριθµητική τιµή της αντίστασης Α είναι πολύ µεγαλύτερη από την αντίστοιχη τιµή της κινητήριας δύναµης F, ο λόγος F Α, δηλαδή η ταχύτητα V, θα έχει πάντοτε µια θετική τιµή, και εποµένως το σώµα θα κινείται, έστω και αν η κίνησή του είναι πολύ αργή. Ο πραγµατιστής Αριστοτέλης όµως δεν το δεχόταν αυτό αφού γνώριζε πολύ καλά πως αν η αντίσταση Α είναι µεγαλύτερη ή ίση προς την κινητήρια δύναµη F τότε το σώµα δεν είναι δυνατόν να κινηθεί. Μια δεύτερη αντίρρηση στη χρήση των παραπάνω µαθηµατικών τύπων έγκειται στο γεγονός ότι σε αυτούς υπεισέρχεται η έννοια της ταχύτητας. Η ταχύτητα, όµως, ως µέτρο ποσοτικής περιγραφής της κίνησης δεν υφίσταται στον εννοιολογικό ορίζοντα του Αριστοτέλη και γενικότερα όλης της αρχαίας φυσικής φιλοσοφίας. Η ταχύτητα, ως τεχνικός επιστηµονικός όρος στον οποίο µπορούν να αποδοθούν αριθµητικές τιµές, εµφανίστηκε στην ιστορία της επιστήµης πολύ αργότερα από τον Αριστοτέλη, κατά τη διάρκεια του όψιµου Μεσαίωνα.

147 Το απόγειο της αρχαίας ελληνικής επιστήµης Σκοπός Στην ενότητα αυτή θα µελετήσουµε την επιστηµονική δραστηριότητα που αναπτύχθηκε στην περίοδο της µεγάλης άνθησης της ελληνικής επιστήµης, δηλαδή στην ελληνιστική περίοδο, στους τοµείς των µαθηµατικών, της αστρονοµίας και της µηχανικής. Η ελληνιστική περίοδος καλύπτει σε γενικές γραµµές τον 3 ο και τον 2 ο π.χ. αιώνα επειδή όµως σε ορισµένες επιστήµες, όπως είναι η αστρονοµία και η ιατρική (για την οποία θα µιλήσουµε στην επόµενη ενότητα), η άνθηση συνεχίστηκε για αρκετούς αιώνες ακόµα, γι αυτό η αφήγησή µας δεν θα περιοριστεί µόνο σε αυτούς τους δύο αιώνες. Προσδοκώµενα Αποτελέσµατα Όταν θα έχετε µελετήσει αυτή την ενότητα, θα είστε σε θέση να: Περιγράφετε τα χαρακτηριστικά ενός αξιωµατικού παραγωγικού συστήµατος και εποµένως να εξηγείτε σε τι συνίσταται η µεγάλη συµβολή του Ευκλείδη στην ιστορία των µαθηµατικών. Απαριθµείτε και περιγράφετε τα κύρια χαρακτηριστικά του επιστηµονικού έργου του Αρχιµήδη. Εξηγείτε σε τι συνίσταται η συµβολή του Απολλώνιου στην ιστορία των κωνικών τοµών. Περιγράφετε τα κύρια χαρακτηριστικά του γεωµετρικού µοντέλου των επικύκλων και των φερόντων κύκλων για την ερµηνεία της κίνησης των πλανητών. ιακρίνετε τα πλεονεκτήµατα του µοντέλου αυτού έναντι του προηγούµενου µοντέλου των οµόκεντρων σφαιρών, πλεονεκτήµατα τα οποία το κατέστησαν το µακροβιότερο εξηγητικό µοντέλο στην ιστορία της επιστηµονικής σκέψης. Απαριθµείτε µια σειρά από λόγους που συνέβαλαν ώστε να µην γίνει ευρύτερα αποδεκτή στην αρχαιότητα η ηλιοκεντρική υπόθεση που πρότεινε ο Αρίσταρχος ο Σάµιος. Περιγράφετε τις κύριες πλευρές του έργου στη µηχανική και την τεχνολογία που παρήγαγε η σχολή των µηχανικών της Αλεξάνδρειας.

148 148 Εισαγωγικές Παρατηρήσεις Η έναρξη του 3 ου π.χ. αιώνα βρίσκει την πνευµατική εστία του ελληνόφωνου κόσµου να έχει µετατοπισθεί από την Αθήνα στην Αλεξάνδρεια, την πιο σηµαντική από τις 16 πόλεις µε αυτό το όνοµα που ίδρυσε ο Μέγας Αλέξανδρος. Αν και το µικρότερο από τα τρία βασίλεια στα οποία µοιράστηκε η αυτοκρατορία του Αλεξάνδρου µετά τον θάνατό του (323 π.χ.), η Αίγυπτος έγινε γρήγορα το πλουσιότερο και καλύτερα διοικούµενο. Αυτό οφείλεται σε µεγάλο βαθµό στους τρεις πρώτους βασιλείς της δυναστείας των Πτολεµαίων που διαδέχθηκαν ο ένας τον άλλον από το 305 ως το 221 π.χ. 8 Στην περίοδο αυτή η Αλεξάνδρεια έγινε το πολιτιστικό κέντρο και η σπουδαιότερη εστία επιστηµονικής δραστηριότητας σε ολόκληρο τον τότε κόσµο και παρέµεινε ως τέτοια για πολλούς αιώνες. Η ανάδειξη της Αλεξάνδρειας ως πνευµατικής εστίας του ελληνόφωνου κόσµου είναι κάτι περισσότερο από µια απλή γεωγραφική µετατόπιση. Εκφράζει πρωτίστως µια αλλαγή στο όλο πνευµατικό κλίµα, αλλαγή τόσο βαθιά ώστε οι ιστορικοί αναφέρονται στην περίοδο που εγκαινιάζεται µε τον 3 ο π.χ. αιώνα χρησιµοποιώντας νέα ονοµασία: ελληνιστική περίοδος. Τυπικοί εκπρόσωποι της νέας πνευµατικής ατµόσφαιρας είναι η Βιβλιοθήκη και το Μουσείο, δύο ιδρύµατα που θεµελίωσε ο Πτολεµαίος Α (Σωτήρ) 9. Το Μουσείο (ο όρος σήµαινε Ναός των Μουσών και όχι εκθετήριο αρχαιοτήτων) ιδρύθηκε περί το 280 π.χ. και ήταν στην πραγµατικότητα ένα πανεπιστήµιο, όπως θα λέγαµε σήµερα. Οργανώθηκε κατά το πρότυπο της Περιπατητικής σχολής από τον ηµήτριο Φαληρέα, ο οποίος προσκλήθηκε από την Αθήνα στην Αλεξάνδρεια για τον σκοπό αυτό. Περιελάµβανε έναν «περίπατο», µια µεγάλη αίθουσα όπου οι άσκαλοι γευµάτιζαν από κοινού, ξενώνες και επίσης, ένα παρατηρητήριο, έναν ζωολογικό κήπο, ακόµη και αίθουσες ανατοµίας. Τα µέλη του Μουσείου µισθοδοτούνταν γενναία από τους βασιλικούς θησαυρούς, σιτίζονταν δωρεάν και ήταν απαλλαγµένα από την υποχρέωση να πληρώνουν φόρους. Εξασφαλίζοντας τόσο ευνοϊκές συνθήκες οι Πτολεµαίοι πέτυχαν να προσελκύσουν στην Αλεξάνδρεια τους επιφανέστερους λογίους των γραµµάτων και των 8 Μια εικόνα για τις ικανότητες των Πτολεµαίων µπορούµε να σχηµατίσουµε αν σκεφτούµε ότι ο Πτολεµαίος ο Α κατόρθωσε να εξασφαλίσει από τους υπόλοιπους διαδόχους το νεκρό σώµα του Αλεξάνδρου και να το µεταφέρει στην Αλεξάνδρεια, την οποία µετέτρεψε σε πρωτεύουσα της Αιγύπτου. Αυτή η πρόταση θα µπει στο περιθώριο της σελίδας 9 Ορισµένοι ειδικοί υποστηρίζουν ότι τη Βιβλιοθήκη την ίδρυσε ο διάδοχος του πρώτου Πτολεµαίου, Πτολεµαίος Β ο Φιλάδελφος.

149 149 επιστηµών από όλο τον ελληνόφωνο κόσµο. Οι λόγιοι αυτοί αρχικά διορίζονταν µε σκοπό να επιδοθούν αποκλειστικά και µόνο στην έρευνα, φαίνεται όµως ότι σύντοµα στα καθήκοντά τους προστέθηκε η διδασκαλία καθώς το ίδρυµα προσήλκυσε πολλούς µαθητές. Η Βιβλιοθήκη εξάλλου, η οποία οργανώθηκε και αυτή από τον ηµήτριο Φαληρέα, αναπτύχθηκε ταχύτατα και έγινε η µεγαλύτερη και καλύτερα οργανωµένη βιβλιοθήκη της αρχαιότητας. Στην εποχή του Πτολεµαίου Γ ( ), περιελάµβανε περίπου κυλίνδρους. Άλλες κυλίνδρους περιελάµβανε το παράρτηµα της Βιβλιοθήκης στο Σεράπειον. Μόνο ο κατάλογος της Βιβλιοθήκης καταλάµβανε την εποχή εκείνη 120 κυλίνδρους. Μετά την κατάληψη της Περγάµου από τον αυτοκράτορα Αντώνιο προστέθηκαν στη Βιβλιοθήκη άλλοι κύλινδροι. Έτσι, το 48 π.χ. η Βιβλιοθήκη περιελάµβανε περίπου κυλίνδρους παπύρου µε έργα από όλες τις περιοχές της γνώσης, πολλά από τα οποία µάλιστα ήταν τα ίδια τα αυθεντικά κείµενα. Η Βιβλιοθήκη γνώρισε πολλές καταστροφές κατά τη διάρκεια διαφόρων πολέµων, µερικά τµήµατά της ωστόσο παρέµειναν ανέπαφα έως τον 4 ο µ.χ. αιώνα. Κατά την παράδοση η Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας πυρπολήθηκε τέσσερις φορές: το 48 π.χ. από τον Ιούλιο Καίσαρα, το 272 µ.χ. από τον Ρωµαίο αυτοκράτορα Αυρηλιανό, το 391 από τον Ρωµαίο αυτοκράτορα Θεοδόσιο I και το 641, κατά την άλωση της Αλεξάνδρειας από τους Άραβες υπό τον χαλίφη Οµάρ τον Α. Η ενότητα που ακολουθεί αποτελείται από τρεις κύριες υποενότητες στις οποίες θα εξετάσουµε διαδοχικά τα µαθηµατικά (υποενότητα 1.5.1), την αστρονοµία (υποενότητα 1.5.2) και τη µηχανική (υποενότητα 1.5.3). Στην υποενότητα θα παρουσιάσουµε µε συντοµία ορισµένες πλευρές του έργου του Ευκλείδη, του Αρχιµήδη και του Απολλώνιου, των τριών πιο σηµαντικών µαθηµατικών της ιστορίας της ελληνικής επιστήµης. Στην υποενότητα θα µελετήσουµε το µοντέλο των επικύκλων και των φερόντων κύκλων για την εξήγηση της πλανητικής κίνησης, το οποίο αντικατέστησε το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών που είχε προτείνει ο Εύδοξος. Θα αναφερθούµε επίσης συνοπτικά στην ηλιοκεντρική υπόθεση που διατύπωσε ο Αρίσταρχος και θα προσπαθήσουµε να εξηγήσουµε γιατί η καινοτόµος αυτή υπόθεση δεν έτυχε ευρύτερης αποδοχής στην αρχαιότητα - αντίθετα µε το µοντέλο των επικύκλων και των φερόντων κύκλων που κυριάρχησε στην ιστορία της αστρονοµίας για σχεδόν 1800 χρόνια. Τέλος, στην υποενότητα θα προσπαθήσουµε να σκιαγραφήσουµε το θέµα της ενασχόλησης των αρχαίων Ελλήνων µε τις πρακτικές εφαρµογές της επιστηµονικής γνώσης.

150 Τα ελληνιστικά µαθηµατικά Οι τρεις πιο γνωστοί Έλληνες µαθηµατικοί - ο Ευκλείδης, ο Αρχιµήδης και ο Απολλώνιος - συνδέθηκαν µε τον έναν ή µε τον άλλο τρόπο µε την Αλεξάνδρεια κατά τη διάρκεια του 3 ου π.χ. αιώνα. Καθώς µε τα έργα τους θα ασχοληθούµε στη συνέχεια αυτής της ενότητας, θα περιοριστούµε εδώ σε λίγα βιογραφικά στοιχεία. Για τη ζωή του Ευκλείδη δεν είναι γνωστό σχεδόν τίποτα. Ήταν προγενέστερος του Αρχιµήδη ( 212), ο οποίος παραθέτει σε κάποιο σηµείο µια πρόταση από τα Στοιχεία, ενώ ο Πρόκλος τον αναφέρει ως σύγχρονο του Πτολεµαίου του Α ( ). Έτσι, η χρονολόγησή του «γύρω στο 300 π.χ.» δεν πρέπει να απέχει πολύ από την αλήθεια. Ότι δίδαξε στην Αλεξάνδρεια (µάλλον γύρω στο 300 π.χ.) συνάγεται από µια παρατήρηση µεταγενέστερου σχολιαστή σύµφωνα µε την οποία ο Απολλώνιος σπούδασε στην Αλεξάνδρεια «µε τους µαθητές του Ευκλείδη». Η ζωή του Ευκλείδη µάλλον επικαλύπτεται χρονικά µε τη ζωή του Αρχιµήδη, του µέγιστου και πολυσχιδέστερου Έλληνα µαθηµατικού, όπως τουλάχιστον αναγνωρίζεται εκ των υστέρων. Το µεγαλύτερο µέρος της ζωής του ο Αρχιµήδης το πέρασε στις Συρακούσες, στη Σικελία. εν είναι βέβαιο αν επισκέφθηκε ποτέ την Αλεξάνδρεια, είχε όµως φίλους εκεί και αλληλογραφούσε µε µαθηµατικούς που εργάζονταν στο Μουσείο. Ο Αρχιµήδης πέθανε το 212 π.χ. και η ζωή του επικαλύπτεται µε τη σειρά της, χρονικά, µε τη ζωή του Απολλώνιου, του «µεγάλου γεωµέτρη» της αρχαιότητας. Ο Απολλώνιος γεννήθηκε στην Πέργη της Παµφυλίας, σπούδασε και έζησε επί µακρόν στην Αλεξάνδρεια και ταξίδεψε σε ολόκληρη σχεδόν την ανατολική Μεσόγειο, λίγα όµως άλλα στοιχεία για τη ζωή του είναι γνωστά. Η ακµή του τοποθετείται στην περίοδο της βασιλείας του Πτολεµαίου του Γ ( π.χ.). Το κορυφαίο έργο του, τα Κωνικά, θα το εξετάσουµε στη συνέχεια. Μιλήσαµε πιο πριν για την αλλαγή του πνευµατικού κλίµατος που χαρακτηρίζει την ελληνιστική περίοδο. Η αλλαγή αυτή είναι εµφανής και από το εύρος των επιστηµονικών ενδιαφερόντων των τριών αυτών µαθηµατικών, τα οποία δεν περιορίζονται µόνο στα θεωρητικά µαθηµατικά. Έτσι, µεταξύ των έργων του Ευκλείδη περιλαµβάνονται δύο έργα µε τον τίτλο Οπτικά και Κατοπτρικά, που πραγµατεύονται αντιστοίχως την προοπτική και τη θεωρία της ανακλάσεως σε κάτοπτρα, καθώς και ένα έργο για την αστρονοµία µε τον τίτλο Φαινόµενα. Ο Αρχιµήδης, επίσης, άφησε πολύ σηµαντικό έργο στη θεωρητική και στην εφαρµοσµένη Μηχανική. Ο Απολλώνιος εξάλλου απέκτησε µεγάλη φήµη στην αρχαιότητα για τις έρευνές του στην Αστρονοµία. Γενικώς, µολονότι

151 151 υπό τη στενή έννοια των «καθαρών» µαθηµατικών η ύστερη ελληνιστική περίοδος η περίοδος µετά τον 3 ο π.χ. αιώνα θα µπορούσε να χαρακτηρισθεί συνολικά µάλλον ως περίοδος «οµαλής» εξέλιξης, τα µαθηµατικά υπό την ευρύτερη σηµασία του όρου, που περιλαµβάνει και τα «εφαρµοσµένα» όπως θα λέγαµε σήµερα µαθηµατικά, εξακολούθησαν να ανθούν και να παράγουν σηµαντικά νέα αποτελέσµατα. Ιδιαιτέρως, η απόλυτη πλατωνική διάκριση µεταξύ θεωρητικών µαθηµατικών και πρακτικών εφαρµογών άρχισε µε την πάροδο του χρόνου να ατονεί. Συναντάµε στην περίοδο αυτή έργα στα οποία η γεωµετρική έµπνευση συνδυάζεται αρµονικά µε την υψηλή υπολογιστική επιδεξιότητα. Αυτό ισχύει περισσότερο από οπουδήποτε αλλού στον τοµέα της αστρονοµίας, όπως θα δούµε αργότερα, όταν θα εξετάσουµε το έργο του Κλαύδιου Πτολεµαίου. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη Τα Στοιχεία είναι το πιο φηµισµένο σύγγραµµα στην ιστορία των µαθηµατικών και µια από τις µεγαλύτερες επιτυχίες της παγκόσµιας γραµµατείας. Είναι το έργο που έχει γνωρίσει τις περισσότερες εκδόσεις από κάθε άλλο έργο εκτός από τη Βίβλο και ένας ολόκληρος κόσµος έµαθε γεωµετρία απ αυτό. Συνήθως αναφέρεται µε τον τίτλο Στοιχεία, όµως ο πραγµατικός τίτλος του πρέπει να ήταν Στοιχείωσις. Στη συνέχεια εµείς θα χρησιµοποιούµε αδιακρίτως τόσο τον ένα όσο και τον άλλο τίτλο για να δηλώσουµε το κορυφαίο αυτό έργο του Ευκλείδη. Ο Πρόκλος για τα χαρακτηριστικά γνωρίσµατα µιας Στοιχειώσεως Σε ένα σηµείο του σχολίου του στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων ο Πρόκλος (περ µ.χ.), υπογραµµίζει πόσο δύσκολο είναι σε κάθε επιστήµη να ξεχωρίσει κανείς και να διατάξει καταλλήλως τα «στοιχεία» να γράψει δηλαδή µια Στοιχείωση και στη συνέχεια απαριθµεί τις αρετές που πρέπει να έχει ένα τέτοιο έργο: πρέπει να είναι απαλλαγµένο από κάθε τι το περιττό (ώστε να µη δηµιουργεί εµπόδια στη µάθηση), η επιλογή των «στοιχείων» πρέπει να χαρακτηρίζεται από συνέπεια και να συµβάλλει στην προσέγγιση του στόχου που θέτει το έργο (γιατί αυτό είναι χρήσιµο στη µάθηση), πρέπει να είναι σαφές και περιεκτικό (γιατί αν δεν έχει αυτά τα χαρίσµατα δηµιουργεί συγχύσεις) και τέλος πρέπει να στοχεύει στην κατανόηση των θεωρηµάτων στη

152 152 γενικότερη δυνατή µορφή τους (γιατί είναι πιο εύκολο λ.χ. να µάθει κανείς στη γενική µορφή της την απόδειξη ενός θεωρήµατος της γεωµετρίας το οποίο ισχύει για όλα τα είδη τριγώνων, παρά να µάθει τις επιµέρους αποδείξεις του θεωρήµατος για το κάθε είδος τριγώνων ορθογώνια, ισοσκελή, ισόπλευρα, σκαληνά ξεχωριστά). Απαριθµώντας τις πιο πάνω αρετές που πρέπει να έχει µια Στοιχείωσις, ο Πρόκλος εξηγεί εµµέσως και γιατί οι µεταγενέστεροι µαθηµατικοί περιέβαλλαν µε τόσο µεγάλη τιµή και είχαν σε τόσο µεγάλη υπόληψη τον Ευκλείδη. ιότι, κρινόµενη από όλες αυτές τις απόψεις, η Στοιχείωσις του Ευκλείδη είναι ανώτερη κάθε άλλης Στοιχειώσεως που είχε γραφτεί ως τότε. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 ιαβάστε άλλη µια φορά το απόσπασµα του Πρόκλου που παραθέσαµε στην ενότητα 1.2 και κατόπιν προσπαθήστε να απαντήσετε στο ερώτηµα ποιοι µαθηµατικοί πριν από τον Ευκλείδη είχαν γράψει έργα µε τον τίτλο «Στοιχεία»; Τη δική µας απάντηση θα τη βρείτε στο Παράρτηµα, στο τέλος της ενότητας αυτής. Τα Στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία, δηλαδή κεφάλαια. Σε αυτά ο Ευκλείδης ενσωµάτωσε το σύνολο σχεδόν της µαθηµατικής γνώσης που είχε κατακτηθεί έως τα τέλη του 4 ου π.χ. αιώνα µε µερικές, πάντως, αξιοσηµείωτες εξαιρέσεις όπως είναι λ.χ. η θεωρία των κωνικών τοµών ή η µαθηµατική θεωρία της αρµονίας, δηµιουργώντας µια σύνθεση που χαρακτηρίζεται από υψηλό βαθµό µεθοδικότητας και συνέπειας, η οποία αποτέλεσε στο εξής το υπόδειγµα για τη συγγραφή κάθε έργου όχι µόνο στα µαθηµατικά αλλά και σε άλλες επιστήµες. Το πρώτο βιβλίο αρχίζει µε µια οµάδα ορισµών, όπως: «σηµείο είναι αυτό το οποίο δεν έχει µέρος» ή «ευθεία είναι µήκος χωρίς πλάτος». Σκοπός των ορισµών είναι να δώσουν στον αναγνώστη την αίσθηση του τρόπου µε τον οποίο θα χρησιµοποιούνται µέσα στο έργο οι µαθηµατικές έννοιες. Ακολουθούν τα αιτήµατα και οι κοινές έννοιες, που µπορείτε να τα διαβάσετε στο πλαίσιο που ακολουθεί. Αιτήµατα 1. Ζητείται να γίνει δεκτό ότι από το οποιοδήποτε σηµείο σε οποιοδήποτε σηµείο άγεται ευθεία γραµµή. 2. Και (ότι) πεπερασµένη ευθεία προεκτείνεται σε ευθεία κατά συνεχή τρόπο.

153 Και (ότι) µε οποιοδήποτε κέντρο και διάστηµα γράφεται κύκλος. 4. Και (ότι) όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες µεταξύ τους. 5. Και αν η ευθεία η οποία τέµνει δύο ευθείες σχηµατίζει δύο εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες µικρότερες των δύο ορθών, τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόµενες επ άπειρον συναντούνται προς εκείνα τα µέρη τους όπου βρίσκονται οι µικρότερες των δύο ορθών. Κοινές έννοιες 1. Τα προς το αυτό ίσα είναι και µεταξύ τους ίσα. 2. Και εάν σε ίσα προστεθούν ίσα, τα όλα είναι ίσα. 3. Και εάν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, αυτά που υπολείπονται είναι ίσα. 4. Και αυτά που εφαρµόζουν το ένα µε το άλλο είναι µεταξύ τους ίσα. 5. Και το όλον [είναι] µεγαλύτερο του µέρους. εν χρειάζεται να σταθούµε πολύ στη διαφορά ανάµεσα στο αίτηµα και στην κοινή έννοια. Είναι αρκετό να παρατηρήσουµε απλώς ότι τα αιτήµατα, για τον Ευκλείδη, είναι βασικές παραδοχές οι οποίες προσιδιάζουν στη συγκεκριµένη επιστήµη, στην προκειµένη περίπτωση στη γεωµετρία, ενώ οι κοινές έννοιες είναι γενικές προτάσεις οι οποίες είναι δεκτές σε όλες τις επιστήµες. Μπορούµε να θεωρούµε και τα µεν και τις δε ως αξιώµατα, µε τη διαφοροποίηση ότι τα αιτήµατα είναι γεωµετρικά αξιώµατα ενώ οι κοινές έννοιες είναι λογικά αξιώµατα. Αυτό που έχει σηµασία πάντως είναι ότι στα αιτήµατα, στις κοινές έννοιες και στους ορισµούς του πρώτου βιβλίου (καθώς και στους ορισµούς που περιέχουν ορισµένα από τα υπόλοιπα βιβλία) βασίζεται ολόκληρο το οικοδόµηµα της Στοιχειώσεως του Ευκλείδη. Η σύγχρονη άποψη για τη λειτουργία των αξιωµάτων σε µια µαθηµατική θεωρία Μια µαθηµατική θεωρία αποτελείται από µια ακολουθία θεωρηµάτων, το καθένα από τα οποία συνοδεύεται από την απόδειξή του. Η απόδειξη ενός θεωρήµατος συνίσταται στο να δειχθεί ότι το θεώρηµα αυτό είναι λογική συνέπεια των προηγούµενων θεωρηµάτων. Αλλά αυτό σηµαίνει ότι το πρώτο «θεώρηµα» της ακολουθίας δεν µπορεί να έχει αποδειχθεί, γιατί δεν υπάρχουν προηγούµενα θεωρήµατα ώστε να χρησιµοποιηθούν για την απόδειξή του. Αυτά τα αναπόδεικτα αρχικά «θεωρήµατα» λοιπόν, επί των οποίων οικοδοµείται µια µαθηµατική θεωρία, ονοµάζονται αξιώµατα. Αξίζει να σηµειώσουµε εδώ ότι το ερώτηµα εάν τα αξιώµατα είναι στην πραγµατικότητα αληθή ή ψευδή είναι εντελώς αδιάφορο για τη θεωρία. Αυτό που µας λέει η θεωρία είναι απλώς ότι, εάν τα αξιώµατα είναι αληθή τότε κατ ανάγκη και όλα τα θεωρήµατα που

154 154 συνεπάγονται από αυτά θα είναι αληθή. Επιπλέον, από την άποψη των θεωρητικών µαθηµατικών δεν έχει σηµασία ούτε τι είδους είναι τα αντικείµενα περί των οποίων διαλαµβάνουν τα αξιώµατα, αν είναι δηλαδή σηµεία, ευθείες, κύκλοι. Αυτό που ενδιαφέρει είναι οι σχέσεις µεταξύ των αντικειµένων, όποια και αν είναι αυτά (όπως για παράδειγµα ότι δύο διαφορετικές ευθείες έχουν το πολύ ένα κοινό σηµείο). Αυτή η αποδέσµευση από το να προσδιορίζονται τα αντικείµενα µε τα οποία ασχολείται µια θεωρία κάθε άλλο παρά µετατρέπει τα σύγχρονα µαθηµατικά σε κενό, άχρηστο λόγο. Αντίθετα, αποδεικνύεται συχνά περισσότερο επωφελής. Γιατί, κάθε φορά που συναντούµε αντικείµενα τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις που δηλώνουν τα αξιώµατα, για παράδειγµα στη φυσική, τότε µπορεί να ενεργοποιηθεί ολόκληρη η θεωρία και να εφαρµοστεί σε αυτά τα αντικείµενα. Αυτό δεν πρέπει να νοµισθεί ότι σηµαίνει πως κάθε σύνολο αξιωµάτων µπορεί να κάνει τους µαθηµατικούς να εργάζονται ευτυχισµένοι. Γιατί, εκτός από την απαίτηση «να µη στερούνται νοήµατος» µια προβληµατική στον ορισµό της αλλά, ωστόσο, πολύ σηµαντική πλευρά ένα σύνολο αξιωµάτων πρέπει επίσης να έχει τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες: 1. Πληρότητα αυτό σηµαίνει πως οτιδήποτε χρησιµοποιείται στη θεωρία τίθεται σαφώς στα αξιώµατα ώστε να µην υπάρχουν υπόρρητες παραδοχές. 2. Συνέπεια αυτό σηµαίνει πως είναι αδύνατο να εξαχθούν από τα αξιώµατα δύο θεωρήµατα που να αντιφάσκουν µεταξύ τους. 3. Ανεξαρτησία αυτό σηµαίνει ότι κανένα από τα αξιώµατα δεν είναι συνέπεια των υπολοίπων. (Aaboe, 1964, σ ) Οι παρατηρήσεις του Aaboe για τον ρόλο των αξιωµάτων σε µια µαθηµατική θεωρία απηχούν φυσικά τη σύγχρονη αντίληψη για την αξιωµατική θεµελίωση. Στην αρχαιότητα τα αξιώµατα λαµβάνονταν µάλλον ως παραδοχές αφ εαυτών αληθείς, τις οποίες ο καθένας θα προσυπέγραφε. Ωστόσο, πολλοί ιστορικοί των µαθηµατικών έχουν ασχοληθεί µε το ερώτηµα εάν τα αξιώµατα του Ευκλείδη ικανοποιούν αυτές τις σύγχρονες απαιτήσεις ενός αξιωµατικού συστήµατος. Από την προσεκτική µελέτη των αποδείξεων και των κατασκευών που περιέχονται στα Στοιχεία προκύπτει ότι ο Ευκλείδης χρησιµοποιεί µερικές φορές υπόρρητες παραδοχές οι οποίες δεν περιλαµβάνονται στα αξιώµατα. Εποµένως, το σύστηµα των αξιωµάτων του δεν ικανοποιεί την απαίτηση της πληρότητας.

155 155 Μεγάλο ιστορικό ενδιαφέρον έχει το ερώτηµα της ανεξαρτησίας των αιτηµάτων του Ευκλείδη, ιδιαίτερα σε ό,τι αφορά το πέµπτο από αυτά. Το αίτηµα αυτό αναφέρεται συχνά και ως «αίτηµα των παραλλήλων», γιατί µια ισοδύναµη διατύπωσή του είναι η εξής: από ένα σηµείο εκτός ευθείας άγεται µία µόνο παράλληλη προς την ευθεία. Πολλοί µαθηµατικοί, από την αρχαιότητα έως τα µέσα του δεκάτου ογδόου αιώνα, προσπάθησαν να εξαγάγουν το αίτηµα αυτό από τα υπόλοιπα αιτήµατα, όλες οι προσπάθειες όµως απέβησαν άκαρπες. Από τα τέλη του 18 ου αιώνα η προσδοκώµενη εξάρτηση του αιτήµατος επιχειρήθηκε να αποδειχθεί µε έµµεσο τρόπο. Η σκέψη ήταν η εξής: εάν το αίτηµα των παραλλήλων µπορεί να εξαχθεί από τα υπόλοιπα τέσσερα αιτήµατα, τότε τα πρώτα τέσσερα αιτήµατα µαζί µε την άρνηση του πέµπτου θα πρέπει να οδηγούν σε αντίφαση. Το νέο σύστηµα αξιωµάτων, όµως, αντί να οδηγήσει σε αντίφαση, αποδείχθηκε ότι παράγει συνεπείς µαθηµατικές θεωρίες. Έτσι, ανακαλύφθηκαν οι λεγόµενες µη Ευκλείδειες γεωµετρίες, και ταυτόχρονα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία των αιτηµάτων του Ευκλείδη. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 ιαβάστε τα τρία πρώτα αιτήµατα του Ευκλείδη, έχοντας ταυτόχρονα στο νου σας όσα αναφέραµε στην ενότητα 1.2 (υποενότητες και 1.2.6) για τις µεθόδους κατασκευής. Θα µπορούσατε να περιµένετε ότι θα βρείτε µέσα στα Στοιχεία τις λύσεις των τριών κλασικών προβληµάτων ή αποτελέσµατα σχετικά µε τις κωνικές τοµές; Θα βρείτε τη δική µας απάντηση στο Παράρτηµα, στο τέλος αυτής της ενότητας. Είπαµε ότι τα Στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία και αναφέραµε ότι στα βιβλία αυτά περιέχονται µαθηµατικές θεωρίες και επιµέρους αποτελέσµατα τα οποία οφείλονται σε διάφορους µαθηµατικούς και µαθηµατικές σχολές που ήκµασαν κατά τον 5 ο και τον 4 ο αιώνα. Οι ιστορικοί των µαθηµατικών έχουν καταβάλει πολλές προσπάθειες για να αναγνωρίσουν την ιστορική καταγωγή των διαφόρων βιβλίων. Μια ιδέα για το είδος αυτό των ιστορικών ερευνών µπορείτε να σχηµατίσετε από το πλαίσιο που ακολουθεί, όπου παρουσιάζονται οι υποθέσεις που έχουν προταθεί για την ιστορική καταγωγή των τριών αριθµητικών βιβλίων των Στοιχείων, δηλαδή των βιβλίων VII-IX.

156 156 Οι ιστορικές υποθέσεις για την καταγωγή των αριθµητικών βιβλίων Από τους ιστορικούς των µαθηµατικών έχουν διατυπωθεί διάφορες υποθέσεις για τους µαθηµατικούς και για τις σχολές που παρήγαγαν τα θεωρήµατα των βιβλίων VII-IX των Στοιχείων. Ο T.L. Heath, βασιζόµενος σε µια άποψη που είχε διατυπώσει παλαιότερα ο P. Tannery, αποδίδει ουσιαστικά το σύνολο των αριθµητικών βιβλίων στους Πυθαγορείους της πρώιµης εποχής. Τα στοιχεία τα οποία εκτίµησε για να καταλήξει σε αυτή τη θέση είναι: α) Ο κυρίαρχος ρόλος που έπαιζε ο αριθµός στη φιλοσοφία των Πυθαγορείων. β) Η µαρτυρία του εδαφίου 32a6 - c1 του Τιµαίου του Πλάτωνος (ενός διαλόγου στον οποίο ο Πλάτων εκφράζει απόψεις συγγενείς προς τις απόψεις των Πυθαγορείων), το οποίο, σύµφωνα τουλάχιστον µε µια ερµηνεία, περιέχει νύξεις για τα θεωρήµατα VIII γ) Το γεγονός ότι το θεώρηµα VIII 7 περιέχεται στην Κατατοµή κανόνος, συνοδευόµενο µε µια απόδειξη παραπλήσια προς την απόδειξη που ο Βοήθιος στο έργο του De Institutione musica αποδίδει στον Πυθαγόρειο Αρχύτα. Μια διαφορετική υπόθεση για την καταγωγή των αριθµητικών βιβλίων έχει προτείνει ο H.G. Zeuthen. Ο Zeuthen έχει υποστηρίξει ότι πολλά από τα θεωρήµατα των βιβλίων VII και VIII αποσκοπούν στο να παράσχουν αυστηρές αριθµητικές αποδείξεις των αναγκαίων και ικανών συνθηκών που εξασφαλίζουν τη ρητότητα των n-οστών ριζών των ακεραίων, ένα θέµα που µελετάται στο δέκατο βιβλίο των Στοιχείων το οποίο αποδίδεται στον Θεαίτητο. Κατόπιν αυτού ο Zeuthen θεωρεί ότι ένα µεγάλο µέρος των βιβλίων VII και VIII ανάγεται στον Θεαίτητο ( 369) και εποµένως είναι πολύ µεταγενέστερης εποχής από αυτή που προτείνουν ο Heath και ο Tannery. Ένας άλλος ιστορικός των µαθηµατικών ο οποίος έχει ασχοληθεί µε το θέµα είναι ο B.L. van der Waerden. Ο Van der Waerden κατατάσσει τα θεωρήµατα των βιβλίων VII- IX σε τρεις οµάδες και προτείνει αρκετά πρώιµες χρονολογήσεις. Συγκεκριµένα: α) Υιοθετώντας µια άποψη που είχε προτείνει ο O. Becker θεωρεί ότι τα θεωρήµατα IX και IX 36 ανάγονται στις µελέτες για τους άρτιους και περιττούς αριθµούς των πρώτων Πυθαγορείων (βλ. υποενότητα 1.2.3). β) Το βιβλίο VII, στη µορφή µάλιστα µε την οποία εµφανίζεται στο ευκλείδειο έργο, το αποδίδει και αυτό στους Πυθαγορείους της εποχής προ του Αρχύτα. γ) Τέλος, το βιβλίο VIII το αποδίδει στον ίδιο τον Αρχύτα. Πιο πρόσφατα, ο W.R. Knorr, έχει διατυπώσει την άποψη ότι το βιβλίο VII οφείλεται στον Θεαίτητο ενώ για τα βιβλία VIII και ΙΧ υποστηρίζει την άποψη του Van der Waerden.

157 157 Ο τελευταίος ιστορικός του οποίου θα παραθέσουµε την άποψη είναι ο B. Vitrac. Ο Vitrac, λοιπόν, εκτιµώντας ότι η οργάνωση του βιβλίου VII είναι εξαιρετικά προσεγµένη, αµφισβητεί τις πρώιµες χρονολογήσεις του βιβλίου αυτού και υποστηρίζει ότι η συγγραφή του θα πρέπει να εντάσσεται σε µια προσπάθεια θεµελίωσης της αριθµητικής, και αυτό το έργο δεν µπορεί παρά να έλαβε χώρα σε µια µάλλον µεταγενέστερη περίοδο. Παρόµοια άποψη υποστηρίζει και για πολλά από τα αποτελέσµατα που περιέχονται στα υπόλοιπα δύο βιβλία. Μετά από αυτή την παρέκβαση για να συζητήσουµε την καταγωγή των αριθµητικών βιβλίων, ας επανέλθουµε στην ίδια την ευκλείδεια σύνθεση. Το περιεχόµενο του κάθε βιβλίου των Στοιχείων µπορεί να περιγραφεί συνοπτικά ως εξής: Βιβλίο I: Για τις πρώτες αρχές (ορισµοί, αιτήµατα, κοινές έννοιες) µε τις οποίες αρχίζει το βιβλίο µιλήσαµε προηγουµένως. Οι προτάσεις τώρα του βιβλίου αφορούν στη γεωµετρία του τριγώνου, στη θεωρία των παραλλήλων και σε σχέσεις µεταξύ των χωρίων που περικλείονται από παραλληλόγραµµα, τρίγωνα και τετράγωνα. Η πρόταση I 47 είναι το Πυθαγόρειο θεώρηµα, και θα την εξετάσουµε λεπτοµερώς στη συνέχεια. Το πιο ενδιαφέρον µέρος του βιβλίου είναι, σύµφωνα µε πολλούς ιστορικούς των µαθηµατικών, αυτό που αποτελείται από τις προτάσεις Στις προτάσεις αυτές ο Ευκλείδης επιλύει το πρόβληµα του µετασχηµατισµού ενός ευθύγραµµου χωρίου (πολυγώνου) σε ισοδύναµο παραλληλόγραµµο δεδοµένης µορφής (δηλαδή µε δεδοµένη τη µία γωνία του) και µε δεδοµένη τη µία πλευρά του. Βιβλίο II: Το βιβλίο περιέχει µια σειρά από προτάσεις οι οποίες, αν και διατυπωµένες σε γεωµετρική γλώσσα, δεν φαίνεται να έχουν (τουλάχιστον ορισµένες από αυτές) καµιά γεωµετρική χρησιµότητα. Επιπλέον, οι προτάσεις αυτές µπορούν να διατυπωθούν πολύ εύκολα σε αλγεβρική γλώσσα, οπότε προκύπτουν χρήσιµες αλγεβρικές σχέσεις. Το γεγονός αυτό έδωσε το δικαίωµα σε ορισµένους, παλαιότερους κυρίως, ιστορικούς των µαθηµατικών να ισχυριστούν ότι το βιβλίο αυτό κατ επίφαση µόνο είναι γεωµετρικό και ότι στην πραγµατικότητα περιέχει άλγεβρα γεωµετρικά διατυπωµένη. Ας δώσουµε ένα παράδειγµα για να το καταλάβουµε αυτό καλύτερα. Στην πρώτη πρόταση του βιβλίου ο Ευκλείδης αναφέρει ότι «εάν υπάρχουν δύο ευθείες και η µια από

158 158 αυτές τµηθεί σε οσαδήποτε τµήµατα, τότε το ορθογώνιο που σχηµατίζεται από τις δύο ευθείες είναι ίσο προς τα ορθογώνια που σχηµατίζονται από την ευθεία που δεν έχει τµηθεί και από το καθένα από τα τµήµατα της άλλης». Αυτή η πρόταση, αν ερµηνευθεί γεωµετρικά, σηµαίνει ότι στο παρακάτω σχήµα το µεγάλο ορθογώνιο είναι ίσο µε το άθροισµα των τριών µικρών ορθογωνίων, κάτι που είναι τελείως προφανές. α β γ δ Η ίδια πρόταση όµως µπορεί να ερµηνευθεί και µε άλλο τρόπο, όχι γεωµετρικό αυτή τη φορά. Πράγµατι, αν ονοµάσουµε α τη µία ευθεία (την άτµητη) και τµήσουµε την άλλη ευθεία ώστε να χωριστεί σε τρία ευθύγραµµα τµήµατα β, γ και δ, τότε η πρόταση είναι ισοδύναµη µε την αλγεβρική ταυτότητα α(β + γ + δ) = αβ + αγ + αδ, όπου α(β + γ + δ) είναι το εµβαδόν του µεγάλου ορθογωνίου, και αβ, αγ, αδ τα εµβαδά των τριών µικρών ορθογωνίων. Αυτή είναι η αλγεβρική ερµηνεία της πρότασης. Με αφορµή λοιπόν την ερµηνεία των προτάσεων του δευτέρου βιβλίου των Στοιχείων προέκυψε η ιστοριογραφική αντίληψη περί «γεωµετρικής άλγεβρας», η οποία αποτέλεσε τα τελευταία χρόνια αντικείµενο έντονης διαµάχης στην κοινότητα των ιστορικών των µαθηµατικών. Το θέµα, όµως, της διαµάχης αυτής ξεπερνά τους στόχους του παρόντος βιβλίου γι αυτό και το παρακάµπτουµε. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται µπορεί να βρει µια συνοπτική επισκόπηση στο άρθρο του D.E. Rowe που αναφέρεται στη βιβλιογραφία. Βιβλίο III: Προεξάρχουσα θέση στο βιβλίο αυτό έχει η γεωµετρία του κύκλου. Εκτός από τις ιδιότητες του κύκλου περιλαµβάνει θεωρήµατα σχετικά µε τις ιδιότητες των τεµνόµενων και των εφαπτόµενων κύκλων και µε τις εγγεγραµµένες και επίκεντρες γωνίες. Βιβλίο IV: Το βιβλίο αναφέρεται στην κατασκευή ορισµένων κανονικών πολυγώνων και επίσης περιέχει προβλήµατα που αναφέρονται σε σχέσεις µεταξύ εγγεγραµµένων και περιγεγραµµένων σε κύκλο πολυγώνων. Βιβλίο V:

159 159 Το περιεχόµενο του βιβλίου αυτού διαφέρει αισθητά από όλα τα προηγούµενα. Αφορά σε µια από τις πιο σηµαντικές και ισχυρές µαθηµατικές θεωρίες της αρχαιότητας: στη γενική θεωρία των αναλογιών την οποία επεξεργάσθηκε, όπως φαίνεται, ο Εύδοξος ο Κνίδιος, ένας από τους σηµαντικότερους µαθηµατικούς του 4 ου π.χ. αιώνα, τον οποίο γνωρίσαµε ήδη στην ενότητα 1.3 όταν συζητούσαµε για το πλανητικό µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών. Η θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου χαρακτηρίζεται ως «γενική» γιατί παρέχει το θεωρητικό υπόβαθρο για την απόδειξη αποτελεσµάτων που αναφέρονται σε κάθε είδους µεγέθη (λ.χ. σε γεωµετρικά µεγέθη όπως ευθύγραµµα τµήµατα, επίπεδα χωρία, γωνίες κ.λπ., αλλά και σε µη γεωµετρικά µεγέθη όπως είναι οι χρόνοι), ανεξαρτήτως αν αυτά είναι σύµµετρα ή ασύµµετρα. Βιβλίο VI: Το βιβλίο περιέχει εφαρµογές της γενικής θεωρίας των αναλογιών σε προβλήµατα της γεωµετρίας του επιπέδου. Βιβλία VII-IX: Τα τρία αυτά βιβλία περιέχουν την αριθµοθεωρία. Μια νύξη για το περιεχόµενό τους θα κάνουµε στη συνέχεια. Βιβλίο X: Το βιβλίο X που ακολουθεί παρουσιάζεται και αυτό πολύ διαφορετικό από τα προηγούµενα. Είναι το ογκωδέστερο και δυσκολότερο όλων. Πραγµατεύεται την ταξινόµηση ορισµένων αρρήτων ευθυγράµµων τµηµάτων και φαίνεται ότι µεγάλο µέρος του περιεχοµένου του είναι έργο του Θεαίτητου. Βιβλία XI-XIII: Τα τρία τελευταία βιβλία του έργου αναφέρονται κυρίως στη γεωµετρία του χώρου των τριών διαστάσεων η οποία, όπως αναφέρει ο Πλάτων στην Πολιτεία, είχε παραµεληθεί από τους µαθηµατικούς της εποχής του και έπρεπε να µελετηθεί περισσότερο. Το δέκατο τρίτο βιβλίο πραγµατεύεται την κατασκευή των πέντε κανονικών πολυέδρων (δηλαδή του τετράεδρου, του κύβου, του οκτάεδρου, του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου) και στην απόδειξη της πρότασης ότι υπάρχουν µόνο πέντε κανονικά πολύεδρα. ιευκρινίζεται ότι κανονικά πολύεδρα ονοµάζονται τα κυρτά εκείνα πολύεδρα η παράπλευρη επιφάνεια των οποίων αποτελείται από όµοια και ίσα µεταξύ τους κανονικά πολύγωνα.

160 160 Αυτό είναι µε λίγα λόγια το περιεχόµενο των Στοιχείων. Θα ολοκληρώσουµε την αναφορά µας στον Ευκλείδη µε την παρουσίαση δύο πολύ γνωστών αποτελεσµάτων που περιέχονται στα Στοιχεία: του Πυθαγορείου θεωρήµατος και του θεωρήµατος της ύπαρξης απείρων πρώτων αριθµών. Η ανάγνωση των θεωρηµάτων αυτών και η απάντηση στη ραστηριότητα 3 που έπεται του πρώτου θεωρήµατος είναι προαιρετικές και απευθύνονται µόνο σε όσους από εσάς έχουν ένα στοιχειώδες µαθηµατικό υπόβαθρο. Α. Στοιχεία, βιβλίο I, πρόταση 47 (Πυθαγόρειο θεώρηµα) Στα ορθογώνια τρίγωνα το τετράγωνο που σχηµατίζεται από την πλευρά η οποία κείται απέναντι στην ορθή γωνία είναι ίσο προς τα τετράγωνα που σχηµατίζονται από τις πλευρές οι οποίες περιέχουν την ορθή γωνία. Απόδειξη (σε συντοµευµένη µορφή): Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ας γραφτούν τα τετράγωνα από τις τρεις πλευρές, ΒΓΕ, ΑΒΖΗ και ΑΓΚΘ. Από την κορυφή Α φέρνουµε την ΑΛ παράλληλη στη Β ή στη ΓΕ. Αποδεικνύεται εύκολα ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΖΒΓ είναι ίσα (έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόµενη γωνία ίση). Το τρίγωνο ΑΒ, όµως, είναι ίσο µε το µισό του ορθογωνίου παραλληλογράµµου (ΒΛ) (γιατί έχουν κοινή βάση και ίσα ύψη) και οµοίως το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ίσο µε το µισό του τετραγώνου (ΗΒ). Άρα το ορθογώνιο

161 161 παραλληλόγραµµο (ΒΛ) είναι ίσο µε το τετράγωνο (ΗΒ). Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο (ΓΛ) είναι ίσο µε το τετράγωνο (ΘΓ). Όµως, τα δύο ορθογώνια (ΒΛ) και (ΓΛ) µαζί αποτελούν το τετράγωνο από της πλευράς ΒΓ. Εποµένως, το τετράγωνο από της πλευράς ΒΓ (της υποτείνουσας) είναι ίσο προς τα τετράγωνα από των πλευρών ΒΑ, ΑΓ (των πλευρών που περιέχουν την ορθή γωνία). Ὅπερ ἔδει δεῖξαι ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 Παραθέτουµε στη συνέχεια τρεις τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να εκφράσουµε το αποτέλεσµα που περικλείεται στο Πυθαγόρειο θεώρηµα: 1. Αν a, b και c είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου (a το µήκος της υποτείνουσας, b και c τα µήκη των δύο καθέτων πλευρών), τότε τα τετράγωνα των τριών αυτών αριθµών ικανοποιούν πάντοτε την εξίσωση a² = b² + c². 2. Aν κατασκευάσουµε από ένα τετράγωνο στην κάθε πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου και προσθέσουµε τα εµβαδά των τετραγώνων που έχουν κατασκευαστεί επί των δύο µικρότερων πλευρών, το άθροισµά τους θα έχει την ίδια αριθµητική τιµή µε το εµβαδόν του τετραγώνου που κατασκευάστηκε επί της υποτείνουσας. 3. Αν κατασκευάσουµε από ένα τετράγωνο στην κάθε πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε τα τετράγωνα που σχηµατίζονται από τις δύο µικρότερες πλευρές µπορούν να µεταµορφωθούν και να επανασυγκολληθούν εις τρόπο ώστε να καλύψουν επακριβώς το τετράγωνο που κατασκευάστηκε επί της υποτείνουσας. Ποια από τις τρεις παραπάνω διατυπώσεις νοµίζετε ότι εκφράζει καλύτερα τον τρόπο σκέψης του Ευκλείδη; Μόλις ολοκληρώσετε την απάντησή σας διαβάστε και τη δική µας στο Παράρτηµα, στο τέλος αυτής της ενότητας. Β. Στοιχεία, βιβλίο IX, πρόταση 20 Το πλήθος των πρώτων αριθµών είναι µεγαλύτερο κάθε δεδοµένου πλήθους πρώτων αριθµών.

162 162! ιευκρίνιση: ένας αριθµός µεγαλύτερος ή ίσος του 2 λέγεται πρώτος αν δεν έχει άλλο γνήσιο διαιρέτη εκτός από τη µονάδα. Εποµένως, πρώτοι είναι οι αριθµοί 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, Κάθε αριθµός ο οποίος δεν είναι πρώτος ονοµάζεται σύνθετος. Απόδειξη (σε ελαφρά παραλλαγµένη µορφή): Ο Ευκλείδης ξεκινά υποθέτοντας οι πρώτοι αριθµοί είναι τρεις, οι a, b, c, και θα αποδείξει ότι µπορούµε να βρούµε τουλάχιστον έναν ακόµη πρώτο ο οποίος δεν ταυτίζεται µε κανέναν από τους τρεις δεδοµένους. Σχηµατίζει τον αριθµό Ν = a b c + 1 ο οποίος προκύπτει από το γινόµενο των τριών δεδοµένων πρώτων µε την προσθήκη της µονάδας. Τότε ο Ν ή θα είναι πρώτος ή δεν θα είναι πρώτος. Έστω κατ αρχάς ότι ο Ν είναι πρώτος. Τότε έχει βρεθεί ένας πρώτος αριθµός ο οποίος δεν ταυτίζεται µε κανέναν από τους τρεις δεδοµένους γιατί, προφανώς, ο Ν είναι µεγαλύτερος από τον καθένα τους. Έστω τώρα ότι ο Ν δεν είναι πρώτος. Τότε και πάλι καταλήγουµε στο επιθυµητό συµπέρασµα γιατί, αφού ο Ν είναι σύνθετος θα έχει κάποιον πρώτο διαιρέτη p (το αποτέλεσµα αυτό ο Ευκλείδης το έχει αποδείξει στην πρόταση 31 του εβδόµου βιβλίου). Αυτός ο p όµως δεν µπορεί να είναι ο a, γιατί τότε ο a θα διαιρούσε τόσο τον Ν = a b c + 1 όσο και το γινόµενο a b c άρα θα διαιρούσε και τη διαφορά τους, δηλαδή το 1, πράγµα που είναι άτοπο. Για τον ίδιο λόγο ο p δεν µπορεί να είναι ούτε ο b ούτε ο c. Άρα ο p είναι ένας νέος πρώτος αριθµός, διαφορετικός από τους τρεις δεδοµένους. Ο µαθηµατικός G.H. Hardy ( ) στην αυτοβιογραφία του µε τον τίτλο Η απολογία ενός µαθηµατικού (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1991, σ. 65), χαρακτηρίζει το θεώρηµα αυτό, όπως και το θεώρηµα για την ασυµµετρία της πλευράς και της διαγωνίου του τετραγώνου (βλ. υποενότητα 1.2.4), ως παραδείγµατα µαθηµατικών θεωρηµάτων «πρώτης τάξεως». Θέλοντας να παρουσιάσει στον αναγνώστη τι είναι τα «πραγµατικά» µαθηµατικά θεωρήµατα, γράφει: «ύσκολα µπορώ να πετύχω κάτι καλύτερο από το να επιστρέψω στους Έλληνες. Θα διατυπώσω και θα αποδείξω δύο από τα διάσηµα θεωρήµατα των ελληνικών µαθηµατικών. Είναι µεν απλά θεωρήµατα, τόσο ως προς τη σύλληψη όσο και ως προς την εκτέλεση, αλλά δεν υπάρχει καµιά αµφιβολία ότι είναι θεωρήµατα πρώτης τάξεως. Το κάθε ένα από αυτά είναι σύγχρονο

163 163 και σηµαντικό όπως και όταν ανεκαλύφθη - εδώ και 2000 χρόνια παρέµειναν ανέπαφα. Τελικά, οι διατυπώσεις και οι αποδείξεις τους µπορούν να γίνουν κτήµα ενός ευφυούς αναγνώστη µέσα σε µια ώρα, οσοδήποτε αδύνατα κι αν είναι τα µαθηµατικά του εφόδια». Ένα από τα χαρακτηριστικά αυτής της απόδειξης που προκαλεί θαυµασµό είναι η δοµή της. Ας τη συνοψίσουµε. Η γενική στρατηγική αποκαλύπτεται από την αρχή, αµέσως µετά την εκφώνηση της πρότασης. Ο Ευκλείδης θεωρεί ένα προκαθορισµένο πλήθος πρώτων αριθµών (στην προκειµένη περίπτωση µια τριάδα a, b, c) και θα αποδείξει ότι υπάρχουν περισσότεροι πρώτοι από αυτούς. Για να το αποδείξει αυτό κατασκευάζει έναν αριθµό Ν, ο οποίος ισούται µε a b c + 1, και στη συνέχεια προχωρεί στους ακόλουθους συλλογισµούς: Έστω ότι ο Ν είναι πρώτος. Τότε, εφόσον είναι µεγαλύτερος από τον καθέναν από τους a, b, c, είναι ένας νέος πρώτος αριθµός και η απόδειξη στην περίπτωση αυτή έχει ολοκληρωθεί. Έστω ότι ο Ν δεν είναι πρώτος. Τότε έχει τουλάχιστον έναν πρώτο διαιρέτη (πρόταση VII 31) ο οποίος δεν ταυτίζεται µε κανέναν από τους a, b, c, γιατί αν υποθέσουµε ότι ταυτίζεται µε κάποιον απ αυτούς, π.χ. µε τον a, θα καταλήξουµε στο συµπέρασµα ότι ο a διαιρεί το 1 πράγµα που είναι αδύνατον. (Η µέθοδος απόδειξης που χρησιµοποιεί ο Ευκλείδης στο σηµείο αυτό ονοµάζεται «εις άτοπο απαγωγή».) Εποµένως και σε αυτή την περίπτωση έχει βρεθεί ένας νέος πρώτος αριθµός και άρα το θεώρηµα έχει αποδειχθεί. Ο Αρχιµήδης Ο Αρχιµήδης (περ π.χ.) ήταν η πιο σηµαντική µορφή των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών. Ίσως, µάλιστα, το γεγονός ότι διασώζονται για τη ζωή του περισσότερες µαρτυρίες απ όσες διασώζονται για τη ζωή οποιουδήποτε άλλου αρχαίου µαθηµατικού να µην είναι απλή σύµπτωση αλλά να οφείλεται, ακριβώς, στην εκτίµηση µε την οποία οι επόµενες γενιές περιέβαλλαν το πρόσωπό του. Αν θα θέλαµε να περιγράψουµε µε λίγα λόγια το επιστηµονικό έργο του θα εντοπίζαµε τα βασικά χαρακτηριστικά του στα ακόλουθα σηµεία: 1. Στην πρόσληψη των «απειροστικών» µεθόδων του Ευδόξου και στην επιτυχή εφαρµογή τους για την εύρεση εµβαδών και όγκων διαφόρων σχηµάτων.

164 Στην ανάπτυξη ευρετικών µεθόδων βάσει των οποίων ήταν σε θέση να γνωρίζει πολλά µαθηµατικά αποτελέσµατα προτού ακόµη να τα αποδείξει µε αυστηρό, δηλαδή κατά κανόνα γεωµετρικό, τρόπο. Σχετικά µε αυτό πρέπει να υπογραµµίσουµε ότι, αντίθετα από όλους σχεδόν τους υπόλοιπους Έλληνες µαθηµατικούς, ο Αρχιµήδης δεν δίσταζε να κοινοποιεί τις µεθόδους του στους συναδέλφους του και δεν απαξιούσε να εκτελεί περίπλοκους αριθµητικούς υπολογισµούς και να γνωστοποιεί τα αριθµητικά αποτελέσµατα. 3. Τέλος, ο Αρχιµήδης επεξεργάστηκε µαθηµατικά µοντέλα για την περιγραφή φυσικών φαινοµένων ενώ διακρίθηκε, επίσης, στην επινόηση διαφόρων µηχανικών κατασκευών η λειτουργία των οποίων βασίζεται στην εφαρµογή φυσικών αρχών. Στη συνέχεια θα περιγράψουµε όλες αυτές τις πλευρές του επιστηµονικού έργου του Αρχιµήδη. Θα εξετάσουµε λοιπόν διαδοχικά τον Αρχιµήδη ως υπολογιστή, τον Αρχιµήδη ως γεωµέτρη και, τέλος, τον Αρχιµήδη ως φυσικό επιστήµονα. i) Ο Αρχιµήδης και οι αριθµητικοί υπολογισµοί Μια καλή εικόνα της επιδεξιότητας µε την οποία εκτελεί ο Αρχιµήδης περίπλοκους αριθµητικούς υπολογισµούς αποκτά κανείς από το έργο του µε τον τίτλο Κύκλου µέτρησις. Η µικρή αυτή πραγµατεία ήταν στην ύστερη αρχαιότητα και σε όλη τη διάρκεια του Μεσαίωνα ένα από τα πιο δηµοφιλή έργα του Αρχιµήδη. Στη µορφή υπό την οποία διασώζεται σήµερα αποτελείται από τρεις µόνο προτάσεις και το βασικό αποτέλεσµα που περιέχει είναι ο υπολογισµός του λόγου της περιφέρειας προς τη διάµετρο του κύκλου, µε άλλα λόγια, ο υπολογισµός της τιµής του π. Επιπλέον, στην πραγµατεία αυτή ο Αρχιµήδης δίνει τη δική του απάντηση στο πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου αποδεικνύοντας ότι το πρόβληµα αυτό ανάγεται σε εκείνο της εύρεσης (του µήκους) της περιφέρειας. Κατά τη διαδικασία εύρεσης της τιµής του π ο Αρχιµήδης εκτελεί πολλούς αριθµητικούς υπολογισµούς παρόµοιους προς τους οποίους δεν συναντούµε σε κανένα προγενέστερο έργο των ελληνικών µαθηµατικών. Αξίζει, λοιπόν, να εξετάσουµε το έργο αυτό µε λεπτοµέρεια. Στην πρώτη πρόταση ο Αρχιµήδης αποδεικνύει ότι «κάθε κύκλος είναι ίσος προς ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου η µία από τις προσκείµενες στην ορθή γωνία [πλευρές] είναι ίση προς την ακτίνα και η βάση [δηλαδή, η άλλη από τις προσκείµενες στην ορθή

165 165 γωνία πλευρές] προς την περιφέρεια». Την απόδειξη αυτή την εξετάσαµε σε ειδικό πλαίσιο της ενότητας 1.2. Θα εξετάσουµε λοιπόν εδώ την Π ρ ό τ α σ η 3. Η περιφέρεια κάθε κύκλου είναι τριπλάσια της διαµέτρου και υπερέχει κατά τι µικρότερο του ενός εβδόµου της διαµέτρου και κατά τι µεγαλύτερο των δέκα εβδοµηκοστών πρώτων της διαµέτρου. Χρησιµοποιώντας σύγχρονο συµβολισµό η πρόταση αυτή διατυπώνεται ως εξής: ( ) της διαµέτρου < Περιφέρεια < ( ) της διαµέτρου εν θα παραθέσουµε την απόδειξη, θα αρκεστούµε µόνο να σηµειώσουµε ότι η αφετηρία για την απόδειξη είναι η σχέση < d : L 6 < , όπου L 6 η πλευρά του περιγεγραµµένου σε κύκλο, διαµέτρου d, κανονικού εξαγώνου, η οποία γράφεται ισοδύναµα < 3 < Τη σχέση αυτή ο Αρχιµήδης τη χρησιµοποιεί χωρίς να εξηγεί πώς την έχει εξαγάγει. Αυτές είναι οι δύο βασικές προτάσεις της µικρής πραγµατείας του Αρχιµήδη µε τον τίτλο Κύκλου µέτρησις. Το ενδιαφέρον που παρουσιάζουν αυτές οι προτάσεις για την ιστορία της αρχαίας επιστήµης έγκειται πρωτίστως στα ίδια τα µαθηµατικά αποτελέσµατα που θεµελιώνουν. Ας συνοψίσουµε τα δύο αποτελέσµατα: 1. Πρόταση 1: Το πρόβληµα της εύρεσης της επιφάνειας του κύκλου ανάγεται στο πρόβληµα της εύρεσης της περιφέρειας. 2. Πρόταση 3: Η περιφέρεια ενός κύκλου προσδιορίζεται από τη διπλή ανισότητα ( ) της διαµέτρου < Περιφέρεια < ( ) της διαµέτρου.! Η µέθοδος που χρησιµοποιεί ο Αρχιµήδης για να αποδείξει την πρόταση 3 αποτελεί την πρώτη ιστορικά καταγεγραµµένη προσπάθεια υπολογισµού της τιµής του π. Από τη στιγµή που η µέθοδος αυτή έγινε γνωστή, ήταν απλώς θέµα υποµονής και επιδεξιότητας στους υπολογισµούς για να υπολογισθεί η τιµή του µε οσοδήποτε

166 166 µεγάλη ακρίβεια επιθυµούσε κανείς. Πάντως η τιµή = 3, που εξάγει ο Αρχιµήδης χρησιµοποιώντας κανονικό 96-γωνο παραµένει ως σήµερα η συνήθης προσέγγιση του π. Το ενδιαφέρον, όµως, της πραγµατείας Κύκλου µέτρησις δεν εξαντλείται στα δύο παραπάνω µαθηµατικά αποτελέσµατα. Στη διαδικασία απόδειξης της τελευταίας πρότασης είδαµε ότι ο Αρχιµήδης εκτέλεσε έναν αριθµό υπολογισµών, και µάλιστα µε µεγάλους και όχι πάντοτε ακέραιους αριθµούς. Η εκτέλεση αυτών των υπολογισµών είναι ένας πρόσθετος παράγοντας που καθιστά εξαιρετικά ενδιαφέρουσα από ιστοριογραφικής απόψεως την εν λόγω πραγµατεία. Όχι µόνο διότι µας αποκαλύπτει τη δεινότητα του Αρχιµήδη στους υπολογισµούς αλλά, κυρίως, γιατί αναδεικνύει το πρόβληµα της ερµηνείας της µεθόδου, ή των µεθόδων, βάσει των οποίων έγιναν οι υπολογισµοί. Ας το εξετάσουµε το θέµα αυτό πιο προσεκτικά. Οι πιο ενδιαφέροντες υπολογισµοί είναι αυτοί που αφορούν στην εξαγωγή τετραγωνικών ριζών µη τελείων τετραγώνων. Πράγµατι, ο Αρχιµήδης εξάγει, κατά προσέγγιση διάφορες τετραγωνικές ρίζες, όπως για παράδειγµα τις τετραγωνικές ρίζες < ή > Επί πλέον, στην αρχή της πρότασης χρησιµοποιεί, όπως έχουµε αναφέρει, για την τετραγωνική ρίζα του 3 τη διπλή ανισότητα < 3 < Σε κανένα σηµείο της απόδειξης, όµως, δεν εξηγεί µε ποιόν τρόπο έκανε όλους αυτούς τους υπολογισµούς. Είναι αυτονόητο λοιπόν ότι η ερµηνεία τους παρουσιάζει µεγάλο ιστοριογραφικό ενδιαφέρον. Ενδεικτικά είναι, εν προκειµένω, τα ακόλουθα λόγια του E.J. Dijksterhuis: «Στο σηµείο αυτό θίγουµε ένα σύµπλεγµα προβληµάτων που περισσότερο από κάθε άλλο σηµείο των ελληνικών µαθηµατικών έδωσε αφορµή σε ιστορικές έρευνες και µαθηµατικές ανακατασκευές. Η σχετική προς το θέµα γραµµατεία είναι τόσο πελώρια που είµαστε υποχρεωµένοι να παραιτηθούµε από κάθε ιδέα να προβούµε σε µια ολοκληρωµένη κριτική παρουσίαση» (Dijksterhuis, 1987, σ. 230). Εµείς, εδώ, θα παρουσιάσουµε µία από τις ερµηνείες που έχουν προταθεί, η οποία µας φαίνεται πολύ εύλογη, µιας και η µέθοδος στην οποία βασίζεται περιγράφεται από τον Ήρωνα (1 ος µ.χ. αιώνας) στα Μετρικά. Η µέθοδος είναι η εξής:

167 167 Έστω προς υπολογισµό η d. Έστω α 1 µια πρώτη προσέγγιση της d. Σχηµατίζουµε τον αριθµό β 1 = d/α 1. Τότε, αν ο α 1 είναι µεγαλύτερος της d ο β 1 θα είναι µικρότερος της d και, εποµένως, µια νέα, καλύτερη προσέγγιση της d θα είναι ο αριθµητικός µέσος των α 1 και β 1, δηλαδή ο αριθµός α 2 = ½ (α 1 + β 1 ). Η διαδικασία µπορεί να επαναληφθεί. Σχηµατίζουµε, λοιπόν, τον αριθµό β 2 = d/α 2, και βρίσκουµε τον αριθµητικό µέσο των α 2, β 2 δηλαδή τον αριθµό α 3 = ½ (α 2 + β 2 ), ο οποίος είναι µια νέα, ακόµη καλύτερη προσέγγιση της d. Η συνεχής επανάληψη της διαδικασίας µας δίνει όλο και καλύτερες προσεγγίσεις της d. Στην προηγούµενη παράγραφο περιγράψαµε τη µέθοδο εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας από τον Ήρωνα, χρησιµοποιώντας αλγεβρικό συµβολισµό. Στη συνέχεια θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο αυτή σε ένα συγκεκριµένο αριθµητικό παράδειγµα, ώστε να γίνει καλύτερα κατανοητή από τους αναγνώστες εκείνους οι οποίοι δεν είναι εξοικειωµένοι στη χρήση συµβόλων για την παράσταση αριθµητικών ποσοτήτων. Έστω λοιπόν ότι ζητάµε να βρούµε την τετραγωνική ρίζα του 27. Μια πρώτη προσέγγιση αυτής είναι το 5 (που είναι η τετραγωνική ρίζα του 25, του πλησιέστερου προς το 27 τελείου τετραγώνου). Για να βρούµε τώρα µια καλύτερη προσέγγιση της 27, εργαζόµαστε ως εξής: διαιρούµε το 27 µε το 5, οπότε βρίσκουµε 5,4, και στη συνέχεια παίρνουµε τον αριθµητικό µέσο των 5 και 5,4. Ο αριθµητικός µέσος είναι ½ (5 + 5,4) = 5,2 και ο αριθµός αυτός αποτελεί µια καλύτερη προσέγγιση του 27. Επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία βρίσκουµε όλο και καλύτερες προσεγγίσεις της τετραγωνικής ρίζας του 27. Οι προσεγγίσεις που µας δίνει η µέθοδος αυτή, αν εφαρµοστεί κατά τρόπο αυστηρό, είναι πάντοτε προσεγγίσεις µε υπεροχή, καθόσον ο εκάστοτε α i, ως αριθµητικός µέσος των α i - 1 και β i - 1 είναι πάντοτε µεγαλύτερος του d, δηλαδή του γεωµετρικού µέσου των α i - 1 και β i - 1. Οι αριθµοί, όµως, µε τους οποίους εργάζεται ο Αρχιµήδης δεν προσφέρονται για µια τέτοια αυστηρή εφαρµογή της µεθόδου. Πολύ γρήγορα προκύπτουν µικτοί αριθµοί µε πολύ µεγάλο κλασµατικό µέρος, οπότε η συνέχιση της διαδικασίας καθίσταται εξαιρετικά δυσχερής. Ο Αρχιµήδης κατορθώνει µε µεγάλη επιδεξιότητα να αποφεύγει τον σχηµατισµό τέτοιων αριθµών χρησιµοποιώντας ένα είδος «στρογγυλοποίησης» βρίσκοντας έτσι απλούστερους αριθµούς που, όµως, είναι άλλοτε µεγαλύτεροι και άλλοτε µικρότεροι. Υπ αυτούς τους όρους, οι προσεγγίσεις των

168 168 τετραγωνικών ριζών δεν είναι µόνο προσεγγίσεις µε υπεροχή αλλά και προσεγγίσεις µε έλλειψη και έτσι, µε τη µέθοδο που περιγράψαµε, µπορούν να ερµηνευθούν όλες οι τετραγωνικές ρίζες που χρησιµοποιεί ο Αρχιµήδης. ii) Το γεωµετρικό έργο του Αρχιµήδη Τα γεωµετρικά συγγράµµατα του Αρχιµήδη διαφοροποιούνται από το κλασικό σύγγραµµα του Ευκλείδη (τη Στοιχείωση) ως προς ένα καίριας σηµασίας σηµείο: ο Αρχιµήδης καταθέτει, συχνά, τη µέθοδο ανακάλυψης των θεωρηµάτων προτού παρουσιάσει την αυστηρή συνθετική απόδειξή τους. ιασώζεται, µάλιστα, ένα σύγγραµµά του αφιερωµένο αποκλειστικά στις ευρετικές µεθόδους που χρησιµοποίησε προκειµένου να οδηγηθεί σε ορισµένα αποτελέσµατα τα οποία σε άλλες πραγµατείες του τα αποδεικνύει µε τρόπο αυστηρό (δηλ. συνθετικό, κατά το πρότυπο του Ευκλείδη). Το σύγγραµµα αυτό φέρει τον τίτλο Περί των µηχανικών θεωρηµάτων προς Ερατοσθένη έφοδος και ανακαλύφθηκε το 1906 στην Κωνσταντινούπολη. Το κείµενο του Αρχιµήδη αρχίζει µε ορισµένα λήµµατα (ο ίδιος τα ονοµάζει Προλαµβανόµενα) για τα κέντρα βάρους, πολλά από τα οποία προέρχονται από την πραγµατεία Μηχανικά (ή Περί επιπέδων ισορροπιών) και ακολουθεί ένας αριθµός προτάσεων που αποτελούν εφαρµογές της υπό παρουσίαση µεθόδου. Εµείς εδώ θα περιοριστούµε στην παρουσίαση της πρώτης εφαρµογής. Π ρ ό τ α σ η 1. Έστω το τµήµα ΑΒΓ περιεχόµενο υπό της ευθείας ΑΓ και της παραβολής ΑΒΓ. Ας τµηθεί η ΑΓ στο µέσον, στο [σηµείο], ας αχθεί η ΒΕ παράλληλη προς τη διάµετρο και ας αχθούν οι ΑΒ, ΒΓ. Λέγω ότι το τµήµα ΑΒΓ είναι ένα και ένα τρίτο του τριγώνου ΑΒΓ. Απόδειξη: Φέρουµε από το Α την παράλληλη προς τη διάµετρο Β, και έστω Ζ το σηµείο στο οποίο τέµνει την εφαπτοµένη στο σηµείο Γ της καµπύλης και Κ το σηµείο στο οποίο τέµνει τη ΒΓ. Έστω, επίσης, Ε το σηµείο στο οποίο η Β τέµνει την ΓΖ. Από τυχόν σηµείο Ξ της ΑΓ φέρνουµε παράλληλη στη Β η οποία τέµνει την καµπύλη στο Ο, τη ΒΓ στο Ν και τη ΓΖ στο Μ. Τέλος, προεκτείνουµε την ΚΓ κατά µήκος ΚΘ = ΚΓ.

169 169 Ο Αρχιµήδης χρησιµοποιεί στο σηµείο αυτό δύο ιδιότητες της παραβολής. (Για να καταλάβουµε τη µέθοδο του Αρχιµήδη δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουµε πώς αποδεικνύονται οι ιδιότητες αυτές. Μας αρκεί να ξέρουµε ότι στην εποχή του Αρχιµήδη ήταν ήδη γνωστές.) 1η ιδιότητα. Β = ΒΕ. Από αυτή συνάγει ότι ΚΑ = ΚΖ και ΝΞ = ΝΜ. 2η ιδιότητα. ΟΞ : ΞΜ = ΑΞ : AΓ. Από αυτή συνάγει ότι ΟΞ : ΞΜ = ΑΞ : ΑΓ = ΚΝ : ΚΓ = ΚΝ : ΚΘ. Στο σηµείο αυτό, ο Αρχιµήδης, έχοντας υπόψη τη συνθήκη ισορροπίας του ζυγού, συλλογίζεται ως εξής: «Εάν λάβουµε την ΤΗ ίση προς την ΞΟ [ ] θα ισορροπήσει η ΤΘΗ προς τη ΜΞ [ ] διότι η ΘΝ τέµνεται σε µέρη αντιστρόφως ανάλογα υπό των βαρών ΤΗ, ΜΞ και είναι ΚΝ : ΚΘ = ΤΗ : ΞΜ». Μπορούµε, τώρα, να φανταστούµε ότι το τρίγωνο ΑΓΖ συγκροτείται από όλες τις παράλληλες προς την ΞΜ ευθείες και, οµοίως, το παραβολικό χωρίο ΑΒΓ από όλες τις παράλληλες προς την ΟΞ ευθείες. Αν µεταφέρουµε όλες αυτές τις τελευταίες ευθείες περί το σηµείο Θ, το παραβολικό χωρίο ΑΒΓ θα ανασυγκροτηθεί γύρω από το Θ (δηλ. µε το Θ ως κέντρο βάρους) και θα ισορροπεί µε το τρίγωνο ΑΓΖ. Έστω Χ το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΓΖ. Θεωρούµε την ευθεία ΘΓ ως τη φάλαγγα ενός ζυγού εφαρµοζόµενη στο σηµείο Κ. Από τα προηγούµενα προκύπτει ότι ο ζυγός ισορροπεί όταν τοποθετήσουµε το µεν παραβολικό χωρίο ΑΒΓ στο άκρο Θ της φάλαγγας (κατά τρόπο ώστε το Θ να είναι το κέντρο βάρους του), το δε τρίγωνο ΑΓΖ στο σηµείο Χ της φάλαγγας (όπως ακριβώς είναι στο σχήµα). Από τη συνθήκη ισορροπίας του ζυγού έχουµε: τρίγωνο ΑΓΖ : τµήµα ΑΒΓ = ΚΘ : ΚX.

170 170 Όµως, ΚΘ : ΚΧ = ΚΓ : ΚΧ = 3 : 1. Άρα, (τρίγωνο ΑΓΖ) : (τµήµα ΑΒΓ) = 3 : 1 και, εποµένως, (τρίγωνο ΑΓΖ) = 3(τµήµα ΑΒΓ). Αν, τώρα, λάβουµε υπόψη ότι (τρίγωνο ΑΓΖ) = 2(τρίγωνο ΑΕΓ) = 4(τρίγωνο ΑΒΓ) συµπεραίνουµε ότι 4(τρίγωνο ΑΒΓ) = 3(τµήµα ΑΒΓ) δηλαδή παραβολικό χωρίο ΑΒΓ = 4 (τρίγωνο ΑΒΓ). 3 Αυτή είναι η µέθοδος που χρησιµοποιεί ο Αρχιµήδης για να οδηγηθεί στο αποτέλεσµα το οποίο διατυπώνεται στην πρόταση 1. Ο Αρχιµήδης, όµως, δεν αναγνωρίζει το αποτέλεσµα στο οποίο κατέληξε µε την εφαρµογή αυτής της µεθόδου ως έγκυρο, αυστηρά αποδεδειγµένο αποτέλεσµα. Θεωρεί ότι η µέθοδος είναι απλώς ευρετική. Αποσκοπεί στην ανακάλυψη και µόνο του αποτελέσµατος. εν είναι µέθοδος απόδειξης. εν αρκεί, δηλαδή, για να πείσει τον αναγνώστη ότι το θεώρηµα είναι αληθές. Γι αυτό, σε µια άλλη πραγµατεία µε τον τίτλο Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής επανέρχεται στο ίδιο θεώρηµα και δίνει δύο αυστηρές αποδείξεις, τη µία µηχανική και την άλλη γεωµετρική. Στο επόµενο πλαίσιο παρουσιάζουµε προαιρετικά, για τους αναγνώστες που ενδιαφέρονται, τη γεωµετρική απόδειξη του θεωρήµατος. Ας επανέλθουµε όµως στην ευρετική µέθοδο του Αρχιµήδη. Το ερώτηµα που εγείρεται φυσιολογικά είναι το εξής: Γιατί ο Αρχιµήδης θεωρεί ότι η περιγραφείσα ευρετική µέθοδος δεν είναι επαρκής για να θεωρηθεί το αποτέλεσµα στο οποίο κατέληξε έγκυρο, αυστηρά αποδεδειγµένο αποτέλεσµα; Υπάρχει, µήπως, κάποιο έλλειµµα µαθηµατικής αυστηρότητας στη µέθοδο αυτή, και αν ναι, τότε που εντοπίζεται το έλλειµµα αυτό; Στα ερωτήµατα αυτά θα προσπαθήσουµε να απαντήσουµε. Μια αποκωδικοποίηση της µεθόδου δείχνει ότι αυτή χαρακτηρίζεται από τη χρησιµοποίηση δύο διαφορετικού χαρακτήρα επιχειρηµάτων:

171 Πρώτα-πρώτα χρησιµοποιεί επιχειρήµατα από τη Μηχανική και πιο συγκεκριµένα από τη Στατική. Θεωρεί τα γεωµετρικά σχήµατα να κρέµονται από τη φάλαγγα ενός ζυγού µε τρόπο ώστε ο ζυγός να ισορροπεί και διατυπώνει τη συνθήκη που πρέπει να ισχύει για να υπάρχει αυτή η ισορροπία: Α : Β = β : α. α β Α Β 2. Επιπλέον, θεωρεί ότι ένα επίπεδο σχήµα δοµείται από «όλα» τα ευθύγραµµα τµήµατα που άγονται µε ορισµένη διεύθυνση και έχουν τα άκρα τους στην περιφέρεια του σχήµατος. Ένα επίπεδο σχήµα, λοιπόν, µπορεί να αποδοµηθεί σε τέτοιες παράλληλες χορδές µε ορισµένα µήκη και να δοµηθεί εκ νέου από αυτές. Το «άθροισµα» των τµηµάτων δίνει την επιφάνεια του σχήµατος. Θα ονοµάζουµε αυτά τα ευθύγραµµα τµήµατα «αδιαίρετα». [Η αντίληψη αυτή επεκτείνεται και στην περίπτωση των σχηµάτων του χώρου, τα οποία µπορούν να αποδοµηθούν σε παράλληλες επίπεδες τοµές.] Έχοντας, τώρα, υπόψη τα δύο είδη επιχειρηµάτων που εµπλέκονται στη συλλογιστική που αναπτύσσει ο Αρχιµήδης κατά την εφαρµογή της µεθόδου, προκύπτει αβίαστα το συµπέρασµα ότι: η έλλειψη µαθηµατικής αυστηρότητας της µεθόδου οφείλεται, κατά τον Αρχιµήδη, αποκλειστικά και µόνο στη χρήση των «αδιαιρέτων». Αντίθετα, η χρησιµοποίηση επιχειρηµάτων από τη Μηχανική (Στατική) δεν δηµιουργεί απολύτως κανένα πρόβληµα. Την επιστήµη της Στατικής την έχει θεµελιώσει µαθηµατικά ο ίδιος ο Αρχιµήδης στα δύο βιβλία των Μηχανικών του. εν µπορεί, συνεπώς, να υφίσταται κανένα πρόβληµα σε ό,τι αφορά τη µαθηµατική αυστηρότητα εννοιών και προτάσεων που προέρχονται από τη Μηχανική. Προς επίρρωση του ανωτέρω, ας σηµειωθεί επίσης ότι η µία από τις δύο αυστηρές αποδείξεις του ίδιου θεωρήµατος που δίνει ο Αρχιµήδης στον Τετραγωνισµό της ορθογωνίου κώνου τοµής είναι µηχανικού χαρακτήρα. Το πρόβληµα, λοιπόν, το επαναλαµβάνουµε, βρίσκεται στη χρήση των «αδιαιρέτων». Γιατί; Ας δώσουµε τον λόγο στον Dijksterhuis: «γιατί εδώ έθιξε ένα θέµα το οποίο κατά τους αιώνες που προηγήθηκαν έδωσε, περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο θέµα στα ελληνικά µαθηµατικά, αφορµή για βίαιη διαµάχη. Επρόκειτο για το θεµελιώδες ερώτηµα

172 172 του ατοµισµού ή της συνέχειας, για το οποίο, αν και η προέλευσή του είναι από τη φυσική, οι απόψεις διίσταντο επίσης και µεταξύ των µαθηµατικών, και το οποίο εκφράζεται µε τον καλύτερο τρόπο στην απορία η οποία βασάνιζε τον ηµόκριτο: αν οι κυκλικές τοµές, οι παράλληλες προς τη βάση, που χαράσσονται σε έναν κώνο είναι ίσες, τότε πώς είναι δυνατόν ο κώνος να διαφέρει από έναν κύλινδρο; και εάν γίνονται µικρότερες όσο προχωρούµε προς την κορυφή, τότε η καµπύλη επιφάνεια, η οποία πρέπει να είναι λεία, δεν είναι βαθµοειδής;» (Dijksterhuis, 1987, σ ) Πράγµατι, η αποδόµηση ενός επίπεδου σχήµατος σε «αδιαίρετα» [ή ενός στερεού σε παράλληλες επίπεδες τοµές] και η εν συνεχεία αναδόµησή του από αυτά, δίνει αφορµή να εµφανιστεί αµέσως ένα παράδοξο. Συγκεκριµένα: Για να µπορεί να εφαρµοστεί η συνθήκη ισορροπίας του ζυγού, οι γραµµές στις οποίες αποδοµείται το επίπεδο σχήµα πρέπει, προφανώς, να έχουν βάρος. Θεωρώντας, όµως, ότι το εκάστοτε σχήµα συγκροτείται από άπειρες γραµµές (ο Αρχιµήδης µιλάει, όπως αναφέραµε ήδη, για «όλες» τις γραµµές) η κάθε γραµµή πρέπει κατ ανάγκη να έχει µηδενικό πάχος και, άρα, µηδενικό βάρος. ιαφορετικά, αν δηλαδή το πάχος των γραµµών δεν ήταν µηδενικό, το καµπύλο τµήµα της περιφέρειας του παραβολικού χωρίου για να µιλήσουµε για το παράδειγµα που εξετάσαµε στην παραπάνω πρόταση δεν θα ήταν στην πραγµατικότητα καµπύλο αλλά βαθµοειδές. Αυτό είναι το µαθηµατικό παράδοξο που εµφωλεύει στην περιγραφείσα µέθοδο. Ο Αρχιµήδης έχει πλήρη επίγνωση του προβλήµατος αυτού και γι αυτό θεωρεί ότι η µέθοδος δεν είναι στέρεα θεµελιωµένη από µαθηµατικής απόψεως και, εποµένως, δεν µπορεί να εκληφθεί ως αυστηρή απόδειξη του θεωρήµατος. Η µέθοδος είναι, γι αυτόν, µόνο ευρετική. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4 ιαβάσετε προσεκτικά τα δύο αποσπάσµατα που ακολουθούν από την πραγµατεία Περί των µηχανικών θεωρηµάτων προς Ερατοσθένη έφοδος και εντοπίστε σε αυτά τους λόγους που επικαλείται ο Αρχιµήδης για τη χρησιµότητα της ευρετικής µεθόδου του. Α) «ιότι και µερικά απ αυτά που βρήκα προηγουµένως µε τη µηχανική αποδείχθηκαν ύστερα γεωµετρικά, µιας και η εξέταση µε αυτόν τον τρόπο δεν αποτελεί απόδειξη. Γιατί είναι πιο εύκολο να συναγάγει κανείς την απόδειξη, αφού έχει βρει µε τη µέθοδο αυτή κάποια γνώση των ζητηµάτων, παρά να την αναζητά χωρίς να γνωρίζει προηγουµένως τίποτε».

173 173 Β) «Ήθελα, αφού έγραψα τη µέθοδο, να τη δηµοσιεύσω, αφ ενός γιατί έχω µιλήσει προηγουµένως γι αυτήν [σηµείωση: στην πραγµατεία Τετραγωνισµός παραβολής] και δεν θέλω να φανώ σε ορισµένους ότι εκθέτω κενούς λόγους, και αφ ετέρου γιατί είµαι πεπεισµένος ότι προσφέρω όχι µικρή υπηρεσία στα µαθηµατικά διότι νοµίζω ότι µερικοί από τους συγχρόνους µου ή τους µεταγενέστερους θα βρουν και άλλα θεωρήµατα µε την υποδειχθείσα µέθοδο, τα οποία δεν έχω σκεφθεί ακόµα». Θα βρείτε τη δική µας απάντηση στο Παράρτηµα, στο τέλος αυτής της ενότητας. Η γεωµετρική απόδειξη του προηγούµενου θεωρήµατος Την αυστηρή µαθηµατική απόδειξη του αποτελέσµατος τη δίνει ο Αρχιµήδης, όπως είπαµε, στην πραγµατεία του Τετραγωνισµός ορθογωνίου κώνου τοµής. ίνει, µάλιστα, δύο αποδείξεις, τη µία µηχανική και την άλλη γεωµετρική. Θα σκιαγραφήσουµε, για τους αναγνώστες οι οποίοι εδώ, τη γεωµετρική απόδειξη, η οποία καλύπτει τις επτά τελευταίες προτάσεις (18-24) της πραγµατείας. Όπως θα δούµε, η απόδειξη βασίζεται στη µέθοδο της εξάντλησης του Ευδόξου. Στο παραβολικό χωρίο ΑΒΓ ο Αρχιµήδης κατασκευάζει ένα τρίγωνο ΑΒΓ, φέρνοντας από το µέσον της βάσης ΑΓ µια ευθεία Β παράλληλη προς τον άξονα της παραβολής. Κατόπιν, στο καθένα από τα δύο παραβολικά χωρία που ορίζονται από τα τόξα ΑΒ και ΒΓ, κατασκευάζει, κατά τον ίδιο τρόπο, τα τρίγωνα ΑΖΒ και ΒΗΓ. Χρησιµοποιώντας τη χαρακτηριστική ιδιότητα (το «σύµπτωµα») της παραβολής αποδεικνύει ότι το άθροισµα των δύο αυτών τριγώνων είναι ίσο προς το 1/4 του τριγώνου ΑΒΓ. Αν συνεχίσουµε αυτή τη διαδικασία, στο επόµενο βήµα θα σχηµατιστούν 4 τρίγωνα, το άθροισµα των οποίων θα είναι ίσο προς το 1/4 του αθροίσµατος των δύο τριγώνων του αµέσως προηγούµενου βήµατος, και ούτω καθεξής.

174 174 Εξάλλου, το τρίγωνο ΑΒΓ ισούται προς το µισό του περιγεγραµµένου παραλληλογράµµου ΑΘΕΓ και, εποµένως, είναι µεγαλύτερο από το µισό του παραβολικού χωρίου. Το ίδιο ισχύει και για το κάθε τρίγωνο που εγγράφεται στα µικρότερα παραβολικά χωρία. Ο συλλογισµός, τώρα, που χρησιµοποιεί ο Αρχιµήδης είναι ο εξής: Αν από το παραβολικό χωρίο αφαιρέσουµε το τρίγωνο ΑΒΓ, δηλαδή περισσότερο από το µισό του, στη συνέχεια αφαιρέσουµε από τα δύο χωρία που αποµένουν τα τρίγωνα ΑΖΒ και ΒΗΓ, δηλαδή και πάλι περισσότερο από το µισό τους, και συνεχίσουµε αυτή τη διαδικασία, το παραβολικό χωρίο θα «εξαντλείται» συνεχώς µέχρι ότου, στο τέλος, να αποµείνει από το αρχικό παραβολικό χωρίο επιφάνεια µικρότερη οποιασδήποτε δεδοµένης επιφάνειας δηλαδή θα αποµείνει επιφάνεια όσο µικρή θέλουµε. Το συµπέρασµα αυτό προκύπτει από την πρόταση X 1 της Στοιχειώσεως του Ευκλείδη, η οποία αναφέρει τα εξής: οθέντων δύο άνισων µεγεθών, εάν από του µεγαλυτέρου αφαιρεθεί µεγαλύτερο του µισού και από του υπολοίπου µεγαλύτερο του µισού και τούτο γίνεται πάντοτε, θα αποµείνει ένα µέγεθος το οποίο θα είναι µικρότερο του αρχικού µικρότερου µεγέθους. Ο Αρχιµήδης προχωρεί τη διαδικασία αυτή για τέσσερα βήµατα. Έστω Ε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Το άθροισµα των εµβαδών των δύο τριγώνων ΑΖΒ και ΒΗΓ που σχηµατίζονται στο πρώτο βήµα θα είναι Ε 1 = (1/4)Ε. Οµοίως, το άθροισµα των εµβαδών των 4 τριγώνων που σχηµατίζονται στο δεύτερο βήµα θα είναι Ε 2 = (1/4)Ε 1 και, µε τον ίδιο τρόπο, Ε 3 = (1/4)Ε 2, Ε 4 = (1/4)Ε 3. Πρέπει, τώρα, να υπολογιστεί το άθροισµα Ε + Ε 1 + Ε 2 + Ε 3 + Ε 4. Ο Αρχιµήδης, λοιπόν, αποδεικνύει ότι: εάν το άθροισµα αυτό αυξηθεί κατά το 1/3 του τελευταίου όρου θα ισούται ακριβώς προς τα 4/3 του πρώτου όρου. ηλαδή: Ε + Ε 1 + Ε 2 + Ε 3 + Ε Ε 4 = 4 3 Ε. Στο σηµείο αυτό πρέπει να παρατηρήσουµε το εξής. Η συνεχής επανάληψη της διαδικασίας εγγραφής τριγώνων που περιγράψαµε προηγουµένως οδηγεί, όπως γίνεται φανερό, στο άπειρο άθροισµα Ε + (1/4)Ε + (1/4)²Ε + (1/4)³Ε + +(1/4) n Ε + Ο Αρχιµήδης, όµως, δεν έχει τη δυνατότητα να κατανοήσει την έννοια «άπειρο άθροισµα των όρων µιας φθίνουσας γεωµετρικής προόδου». Γι αυτό, παίρνει ένα µερικό άθροισµα (στην προκειµένη περίπτωση, το άθροισµα των 5 πρώτων όρων) και

175 175 αποδεικνύει ότι το άθροισµα αυτό διαφέρει από το (4/3)Ε κατά το «πολύ µικρό µέγεθος» (1/3)Ε 4. Είναι προφανές ότι αν παίρναµε ένα άλλο µερικό άθροισµα µε περισσότερους όρους, το νέο αυτό άθροισµα θα διέφερε από το (4/3)Ε κατά ένα ακόµα µικρότερο µέγεθος. Ο Αρχιµήδης κατανοεί πλήρως αυτό το γεγονός. Κατανοεί δηλαδή, όπως θα λέγαµε σήµερα, ότι: για κάθε θετικό ακέραιο αριθµό ε, µπορούµε να βρούµε ένα µερικό άθροισµα το οποίο να διαφέρει από το (4/3)Ε κατά ένα µέγεθος µικρότερο του ε. Αυτό, όµως, σηµαίνει ακριβώς ότι το παραπάνω άπειρο άθροισµα ισούται προς (4/3)Ε. Σχολιάζοντας αυτό το µέρος της απόδειξης του Αρχιµήδη ο Van der Waerden σηµειώνει τα εξής: «Αυτό δείχνει ότι οι αποκλίσεις, οι οποίες εµφανίζονται στην άθροιση άπειρων σειρών και στις πράξεις µε όρια, τα εψιλοντικά, όπως αποκαλούνται µερικές φορές οι υπολογισµοί µε οσοδήποτε µικρά ε, ήταν για τον Αρχιµήδη σαν ανοικτό βιβλίο. Από αυτή την άποψη, η σκέψη του είναι τελείως σύγχρονη» (Waerden, 2000, σ. 258). Στο τελευταίο στάδιο της απόδειξης, ο Αρχιµήδης αποδεικνύει µε διπλή απαγωγή σε άτοπο ότι το παραβολικό χωρίο δεν µπορεί να είναι ούτε µεγαλύτερο ούτε µικρότερο από (4/3)Ε και, άρα, το εµβαδόν του είναι ίσο προς (4/3)Ε. iii) Ο Αρχιµήδης και η φυσική Είπαµε προηγουµένως ότι ο Αρχιµήδης επεξεργάστηκε µαθηµατικά µοντέλα προκειµένου να µελετήσει διάφορα φυσικά φαινόµενα και να εξαγάγει ποσοτικά αποτελέσµατα σχετικά µε αυτά. ύο πολύ γνωστοί νόµοι που διέπουν αντίστοιχα φυσικά φαινόµενα οφείλονται σε αυτόν: ο νόµος για την ισορροπία του ζυγού (τον οποίο, µάλιστα, εφάρµοσε ευρέως προκειµένου να βρει το κέντρο βάρους διαφόρων στερεών) και η λεγόµενη βασική αρχή της υδροστατικής. Η απόδειξη του νόµου για την ισορροπία του ζυγού δίνεται στο πρώτο βιβλίο της πραγµατείας Μηχανικά (αναφέρεται συχνά και µε τον µεταγενέστερο τίτλο Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων). Σχετικά µε το θέµα της µαθηµατικής επεξεργασίας της λειτουργίας του ζυγού από τον Αρχιµήδη, ο ιστορικός των µαθηµατικών Victor Katz αναφέρει τα εξής: Εξ όσων είναι γνωστά, κανείς πριν από τον Αρχιµήδη δεν είχε δηµιουργήσει ένα µαθηµατικό µοντέλο µε βάση το οποίο θα µπορούσε να εξαγάγει µια µαθηµατική απόδειξη του νόµου για τον ζυγό. Γενικώς, µία δυσκολία στην εφαρµογή των µαθηµατικών σε φυσικά προβλήµατα έγκειται στο ότι η φυσική πραγµατικότητα

176 176 είναι συχνά πολύ περίπλοκη. Είναι ανάγκη, εποµένως, η φυσική κατάσταση να εξιδανικευτεί. Να αγνοήσει κανείς εκείνες τις πλευρές που φαίνονται να είναι λιγότερο σηµαντικές και να επικεντρώσει την προσοχή του µόνο στις θεµελιώδεις µεταβλητές του φυσικού προβλήµατος. Αυτή η εξιδανίκευση ονοµάζεται σήµερα, δηµιουργία µαθηµατικού µοντέλου. Αυτό ισχύει σε ό,τι αφορά το θέµα του ζυγού. Για να το χειριστεί κανείς ως έχει στην πραγµατικότητα, πρέπει να εξετάσει όχι µόνο τα βάρη που ασκούνται στα δύο άκρα και τις αποστάσεις τους από το υποµόχλιο αλλά, επίσης, το βάρος και τη σύσταση του ίδιου του ζυγού. Μπορεί να είναι βαρύτερος στο ένα άκρο από ό,τι στο άλλο. Το πάχος του µπορεί να ποικίλλει. Μπορεί να λυγίζει ελαφρά ή ακόµα και να σπάσει όταν εφαρµοστούν ορισµένα βάρη σε ορισµένα σηµεία. Το υποµόχλιο, επίσης, είναι ένα φυσικό αντικείµενο µε ορισµένο µέγεθος. Ο ζυγός µπορεί να λανθάνει λίγο κατά µήκος του υποµοχλίου, έτσι ώστε να µην είναι σαφές από ποιο σηµείο πρέπει να µετρούνται οι αποστάσεις των βαρών. Ο συνυπολογισµός όλων αυτών των παραγόντων στη µαθηµατική ανάλυση του ζυγού θα καθιστούσε τα µαθηµατικά εξαιρετικά δύσκολα. Γι αυτό, ο Αρχιµήδης, απλοποίησε το φυσικό πρόβληµα. Υπέθεσε ότι ο ζυγός είναι άκαµπτος, αλλά αβαρής, και ότι το υποµόχλιο και τα βάρη είναι µαθηµατικά σηµεία. Έτσι, µπόρεσε να επεξεργαστεί τις µαθηµατικές αρχές του ζυγού (Katz, 1993, σ ). Ας δούµε όµως µερικές προτάσεις από την πραγµατεία του Αρχιµήδη. Το πρώτο βιβλίο των Μηχανικών περιλαµβάνει 15 προτάσεις. Των προτάσεων αυτών προηγείται η διατύπωση 7 αιτηµάτων που εξασφαλίζουν, ουσιαστικά, τη µετατροπή του προβλήµατος της µελέτης του ζυγού από φυσικό πρόβληµα (δηλαδή από πρόβληµα του φυσικού κόσµου) σε µαθηµατικό. Παραθέτουµε εδώ τα τέσσερα από τα αιτήµατα αυτά: 1. Λαµβάνουµε ως αίτηµα, τα ίσα βάρη να ισορροπούν όταν εξαρτώνται σε ίσα µήκη, ενώ τα ίσα βάρη όταν εξαρτώνται σε άνισα µήκη να µην ισορροπούν αλλά να κλίνει (η φάλαγγα) προς το βάρος που είναι εξαρτηµένο στο µεγαλύτερο µήκος. 2. Εάν υπάρχουν βάρη που ισορροπούν εξαρτηµένα σε ορισµένα µήκη και προστεθεί βάρος στο ένα εξ αυτών, (λαµβάνουµε ως αίτηµα) να µην υπάρχει ισορροπία αλλά να κλίνει (η φάλαγγα) προς το βάρος εκείνο στο οποίο έγινε η πρόσθεση. 3. Οµοίως δε, εάν από το ένα βάρος αφαιρεθεί κάτι, να µην υπάρχει ισορροπία αλλά να κλίνει (η φάλαγγα) προς το βάρος από το οποίο δεν αφαιρέθηκε τίποτα. 4. Εάν µεγέθη εξαρτηµένα σε ορισµένα µήκη ισορροπούν, και τα ίσα προς αυτά θα ισορροπούν στα ίδια µήκη. Το βασικό θεώρηµα που αφορά στη συνθήκη ισορροπίας του ζυγού διατυπώνεται και αποδεικνύεται στις προτάσεις 6 και 7. Η πρόταση 6 πραγµατεύεται την περίπτωση που τα βάρη των δύο εξαρτώµενων µεγεθών είναι σύµµετρα και η πρόταση 7 την περίπτωση που είναι ασύµµετρα. Εµείς εδώ θα περιοριστούµε να παραθέσουµε τη διατύπωση των δύο προτάσεων:

177 Τα σύµµετρα µεγέθη ισορροπούν σε αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες προς τον λόγο των βαρών. 7. Αλλά και ασύµµετρα αν είναι τα µεγέθη, οµοίως θα ισορροπούν σε µήκη που έχουν λόγο αντίστροφο προς τον λόγο των µεγεθών. Τα φαινόµενα της υδροστατικής ο Αρχιµήδης τα µελετά στην πραγµατεία του που φέρει τον τίτλο [Περί] οχουµένων. Μέχρι τα τέλη του περασµένου αιώνα η πραγµατεία αυτή σωζόταν µόνο στη λατινική µετάφραση που είχε εκπονήσει ο Γουλιέλµος του Μέρµπεκε (περ ). Το ελληνικό κείµενο ανακαλύφθηκε, τελικώς, το Αποτελούσε µέρος του ίδιου χειρόγραφου κώδικα που περιείχε και τη Μέθοδο. Η πραγµατεία [Περί] οχουµένων αποτελείται από δύο βιβλία µε 9 και 10 προτάσεις αντίστοιχα. Του πρώτου βιβλίου προηγείται, όπως στα Μηχανικά, ένα αίτηµα ο ρόλος του οποίου είναι να απλοποιήσει το πραγµατικό πρόβληµα µετατρέποντάς το σε µαθηµατικό. Η εξιδανίκευση του πραγµατικού προβλήµατος γίνεται, ιδιαίτερα, στη δεύτερη πρόταση του πρώτου βιβλίου, όπου αποδεικνύεται ότι η επιφάνεια κάθε υγρού ευρισκόµενου σε ισορροπία είναι σφαιρική και το κέντρο της σφαίρας είναι το ίδιο µε το κέντρο της γης. Με βάση την πρόταση αυτή ο Αρχιµήδης πραγµατεύεται το φαινόµενο των σωµάτων που επιπλέουν ή βυθίζονται µέσα σε υγρό, ως εάν το υγρό αποτελεί µέρος µιας σφαίρας. Η βασική αρχή της υδροστατικής διατυπώνεται και αποδεικνύεται στην πρόταση 7 του πρώτου βιβλίου: «Τα βαρύτερα του υγρού στερεά όταν αφήνονται στο υγρό θα φέρονται προς τα κάτω, όσο είναι δυνατόν να βυθίζονται, και θα είναι ελαφρότερα εντός του υγρού τόσο, όσο βάρος έχει το υγρό που έχει τόσο όγκο, όσος είναι ο όγκος του στερεού µεγέθους». εν θα σταθούµε στην απόδειξη της πρότασης. Θα περιοριστούµε να µνηµονεύσουµε ένα παράδειγµα εφαρµογής της από τον ίδιο τον Αρχιµήδη. Πρόκειται για την ιστορία µε τον αναθηµατικό στέφανο του Ιέρωνος που διηγείται ο Βιτρούβιος στο γνωστό έργο του De Architectura. Η µαρτυρία παρατίθεται από τον Ε. Σ. Σταµάτη στην έκδοση που επιµελήθηκε των Απάντων του Αρχιµήδους (Αρχιµήδης, 1970, τ. Α, Μέρος Α, σ ). Σύµφωνα µε τη µαρτυρία του Βιτρούβιου, όταν ο Ιέρων έγινε βασιλιάς των Συρακουσών θέλησε να αφιερώσει στους θεούς χρυσό στέφανο. Τον παράγγειλε, λοιπόν, έναντι αµοιβής από έναν χρυσοχόο, στον οποίο διέθεσε τον χρυσό από τον οποίο θα τον κατασκεύαζε. Ο χρυσοχόος παρέδωσε το έργο στη προκαθορισµένη προθεσµία και το βάρος ήταν, πράγµατι, ίσο προς το βάρος του χρυσού που είχε διατεθεί. Αργότερα, όµως,

178 178 διατυπώθηκε η κατηγορία ότι ο χρυσοχόος είχε αντικαταστήσει µέρος του χρυσού από άργυρο ανάλογου βάρους. Ο Ιέρων αγανάκτησε και ανέθεσε στον Αρχιµήδη να ερευνήσει εάν πράγµατι τον είχε απατήσει ο τεχνίτης. Ο Βιτρούβιος περιγράφει πώς ο Αρχιµήδης απέδειξε την απάτη. Η περιγραφή του βασίζεται στη γνωστή ιστορία µε το λουτρό και δεν χρησιµοποιεί τη βασική αρχή της υδροστατικής. Ο Heath, όµως, έχει προτείνει µια άλλη ερµηνεία που βασίζεται στην εφαρµογή της αρχής αυτής. Θα ολοκληρώσουµε, λοιπόν, παρουσιάζοντας την εκδοχή του Heath (Heath, 1981, τ. II, σ ). Υποθέτουµε ότι το βάρος του στεφάνου είναι Β και ότι το βάρος αυτό καταµερίζεται σε δύο άγνωστα βάρη Β 1 και Β 2 του χρυσού και του αργύρου αντιστοίχως που έχουν αναµιχθεί. Ζητούµε να υπολογίσουµε τον λόγο Β 1 /Β 2. Ζυγίζουµε τον στέφανο στο νερό και έστω ότι η απώλεια βάρους του είναι β. Κατόπιν, ζυγίζουµε στο νερό βάρος Β από καθαρό χρυσό και έστω ότι η απώλεια βάρους είναι β 1. Εάν β 1 = β, τότε ο στέφανος είναι εξ ολοκλήρου από χρυσό. Εάν όχι, ο συλλογισµός συνεχίζει ως εξής: Αφού ο χρυσός βάρους Β έχει απώλεια βάρους στο νερό β 1, ο χρυσός βάρους Β 1 θα έχει απώλεια (Β 1 /Β) β 1. Οµοίως, αν β 2 είναι η απώλεια βάρους στο νερό καθαρού αργύρου βάρους Β, ο άργυρος βάρους Β 2 θα έχει απώλεια (Β 2 /Β) β 2. Η συνολική απώλεια βάρους, εποµένως, θα είναι (Β 1 /Β) β 1 + (Β 2 /Β) β 2 και αυτό πρέπει να είναι ίσο προς β. Από τη σχέση αυτή βρίσκουµε Β 1 /Β 2 = (β β 2 )/(β 1 β). ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5 Έχοντας µελετήσει ολόκληρο το φάσµα των δραστηριοτήτων του Αρχιµήδη, θα µπορούσατε να καταγράψετε επιγραµµατικά τα βασικά χαρακτηριστικά του έργου του; Η ελληνική χειρόγραφη παράδοση των έργων του Αρχιµήδη Οι Αλεξανδρινοί συγγραφείς των πρώτων µεταχριστιανικών αιώνων Ήρων, Πάππος και Θέων, µνηµονεύουν µια σειρά έργα του Αρχιµήδη τα οποία δεν διασώζονται πια. Από το γεγονός αυτό συµπεραίνουµε ότι τον 3 ο και τον 4 ο µ.χ. αιώνα κυκλοφορούσαν στην Αλεξάνδρεια περισσότερα έργα του Αρχιµήδη απ αυτά που επέζησαν µέχρι σήµερα. Ωστόσο είναι βέβαιο ότι την προσοχή των σχολιαστών και γενικότερα των καλλιεργηµένων ανθρώπων της εποχής συγκέντρωσαν δύο κυρίως από τα έργα του

179 179 Αρχιµήδη, τα πιο στοιχειώδη: το Κύκλου µέτρησις και το Περί σφαίρας και κυλίνδρου. Αυτά ακριβώς είναι τα έργα - µαζί µε το Επιπέδων ισορροπιών - που σχολίασε γύρω στο 500 µ.χ. ο Ευτόκιος, ο οποίος φαίνεται ότι δεν γνώριζε ούτε τον Τετραγωνισµό της παραβολής ούτε το Περί ελίκων, παρόλο που και αυτά τα δύο έργα έχουν διασωθεί. Τα σχόλια του Ευτόκιου στο Κύκλου µέτρησις και στα δύο βιβλία του Περί σφαίρας και κυλίνδρου τα αναθεώρησε λίγο αργότερα, γύρω στο 550 µ.χ., ο Ισίδωρος ο Μιλήσιος, ο ένας από τους αρχιτέκτονες της Αγίας Σοφίας. Πιστεύεται µάλιστα ότι στον Ισίδωρο και στους µαθητές του πρέπει να αποδοθεί η µεταγραφή του κειµένου των δύο αυτών έργων από την αρχική σικελική δωρική διάλεκτο στην οποία είχε γράψει ο Αρχιµήδης, στην κοινή αττική γλώσσα. Πάντως, ούτε την εποχή του Ισίδωρου ούτε νωρίτερα υπήρχε κάποια πλήρης έκδοση του corpus των έργων του Αρχιµήδη και έτσι, ήταν µοιραίο, όσα απ αυτά διαβάζονταν λιγότερο να µην επέζησαν. Τον 9 ο αιώνα ο Λέων ο Μαθηµατικός (ή Φιλόσοφος) συγκέντρωσε όσα από τα έργα του Αρχιµήδη µπόρεσε να βρει στην Κωνσταντινούπολη και διαµόρφωσε έτσι έναν χειρόγραφο κώδικα ο οποίος αποτέλεσε εν συνεχεία το αρχέτυπο ολόκληρης της ελληνικής χειρόγραφης παράδοσης του Αρχιµήδη - µε µία µόνο εξαίρεση, ένα άλλο χειρόγραφο της Κωνσταντινούπολης που περιέχει τη Μέθοδο, όπως θα δούµε πιο κάτω. (Στον Λέοντα θα επανέλθουµε στο 2 ο κεφάλαιο) Το χειρόγραφο του Λέοντος περιήλθε τον 12 ο αιώνα στην Αυλή των Νορµανδών που διοικούσαν το βασίλειο της Σικελίας, στο Παλέρµο, και από εκεί πέρασε στους διαδόχους τους από τον Οίκο των Χοχενστάουφεν (Hohenstaufen). Την εποχή εκείνη η Σικελία άρχισε να µετατρέπεται σε ένα νέο ανθηρό πνευµατικό κέντρο και το πρώτο µέληµα των κυβερνώντων ήταν να εµπλουτίσουν τις βιβλιοθήκες τους µε τους θησαυρούς της ελληνικής επιστήµης. Μετά τη µάχη του Benevento (στη Νότια Ιταλία) το 1269, όπου ο εκ του Οίκου των Χοχενστάουφεν βασιλιάς της Σικελίας Manfred ηττήθηκε από τον Γάλλο Charles της Anjou, ολόκληρη η βιβλιοθήκη του Manfred - µαζί και το χειρόγραφο του Λέοντος - δωρίστηκε από τον Charles στον Πάπα. Μέχρι το έτος 1311 το χειρόγραφο βρισκόταν στη βιβλιοθήκη του Πάπα, στο Viterbo, όµως, λίγο αργότερα πέρασε σε ιδιωτικά χέρια. Έκτοτε και για εκατό και πλέον χρόνια το χειρόγραφο είχε εξαφανιστεί. Κατά το 1423 ανευρίσκεται στα χέρια ενός εµπόρου ελληνικών χειρογράφων που ονοµαζόταν Rinucci. Αργότερα, το 1491, περνά στα χέρια του ουµανιστή λογίου Γεωργίου Βάλλα (Giorgio Valla, ). Ο Βάλλα µετέφρασε αποσπάσµατα από το χειρόγραφο και τα συµπεριέλαβε στο βιβλίο του De expetendis et

180 180 fugiendis rebus, το οποίο εκδόθηκε µετά τον θάνατό του, το Ο Βάλλα σκόπευε να εκδώσει ολόκληρο το έργο του Αρχιµήδη, µαζί µε τα σχόλια του Ευτόκιου, όµως δεν πρόλαβε να εκπληρώσει την επιθυµία του. Μετά τον θάνατό του το χειρόγραφο αγοράστηκε από τον Αλβέρτο Πίο, πρίγκιπα του Κάρπι, αντί 800 χρυσών νοµισµάτων της εποχής εκείνης. Ακολούθως, κατά το 1530, το κληρονόµησε ο ανεψιός αυτού Ροδόλφος Πίος, στη βιβλιοθήκη του οποίου βρισκόταν µέχρι το Όταν πέθανε ο Ροδόλφος Πίος, το 1564, το χειρόγραφο δεν υπήρχε πια στη βιβλιοθήκη του. Εξαφανίστηκε κάπου ανάµεσα στο 1544 και στο 1564 και έκτοτε δεν βρέθηκε ποτέ. Το µεγαλύτερο µέρος του χειρογράφου του Λέοντος είχε µεταφραστεί στα λατινικά ήδη από το 1269, όταν µεταφέρθηκε στην Παπική βιβλιοθήκη στο Viterbo. Τη µετάφραση εκπόνησε ο Φλαµανδός οµινικανός Γουλιέλµος του Μέρµπεκε ( ). Η µετάφραση αυτή αποτελεί µια από τις κύριες πηγές µας για το έργο του Αρχιµήδη, γιατί, παρόλο που έγινε βιαστικά και σε µερικές περιπτώσεις ο µεταφραστής δεν καταλαβαίνει καλά τα ελληνικά, πρόκειται για µετάφραση πιστή, που ακολουθεί το ελληνικό κείµενο λέξη προς λέξη, και γι αυτό χρησιµοποιείται στις αντιπαραβολές σαν να πρόκειται για το ίδιο το χειρόγραφο του Λέοντος. Ο Γουλιέλµος χρησιµοποίησε για τη µετάφρασή του και έναν άλλο κώδικα από την ίδια βιβλιοθήκη ο οποίος περιείχε µερικά έργα που δεν περιέχονταν στον κώδικα του Λέοντος. Ο δεύτερος αυτός κώδικας περιείχε αποκλειστικά και µόνο έργα µηχανικής και οπτικής, µεταξύ αυτών δε και τρία έργα του Αρχιµήδη: το [Περί] οχουµένων, το Επιπέδων ισορροπιών και τον Τετραγωνισµό της παραβολής. Ο Γουλιέλµος µετέφρασε από τον κώδικα αυτόν µόνο τα δύο βιβλία του [Περί] οχουµένων. Ο κώδικας δεν διασώζεται σήµερα. Μια δεύτερη λατινική µετάφραση, κι αυτή µε βάση τον κώδικα του Λέοντος, εκπονήθηκε το 1450 κατόπιν εντολής του Πάπα Νικολάου του Ε. Τη µετάφραση έφερε σε πέρας ένας ιερέας του San Cassiano, ο Ιάκωβος της Κρεµόνας. Λίγα χρόνια αργότερα ο Regiomontanus (Johannes Müller) αντέγραψε και διόρθωσε τη µετάφραση αυτή, αντιβάλλοντάς τη µε τον Μαρκιανό κώδικα 305. Αυτό έγινε γύρω στο 1468, στη διάρκεια του πρώτου ταξιδιού του Regiomontanus στην Ιταλία. Η πρώτη διά του τύπου έκδοση των συγγραµµάτων του Αρχιµήδη έγινε στη Βασιλεία το 1544 από τον Thomas Gechauff Venatorius. Περιελάµβανε το ελληνικό κείµενο µαζί µε τα σχόλια του Ευτόκιου (από ένα χειρόγραφο του 16 ου αιώνα, καταγόµενο από τον κώδικα του Λέοντος) και τη λατινική µετάφραση του Ιάκωβου της Κρεµόνας όπως τη διόρθωσε ο Regiomontanus. Το 1558 εµφανίστηκε στη Βενετία µια νέα λατινική

181 181 µετάφραση, µε βάση την έκδοση της Βασιλείας, ενός αριθµού έργων του Αρχιµήδη. Τη µετάφραση εκπόνησε ο Federico Commandino από το Ούρµπινο ( ), η µεγαλύτερη αυθεντία των ελληνικών µαθηµατικών και κορυφαίος µεταφραστής της εποχής εκείνης. Η µετάφραση περιελάµβανε τα έργα Κύκλου µέτρησις, Περί ελίκων, Τετραγωνισµός παραβολής, Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων και τον Ψαµµίτη. Λίγο αργότερα, το 1565, ο Commandino συµπλήρωσε την έκδοσή του µε τη µετάφραση του [Περί] οχουµένων. Προς το τέλος του 16 ου αιώνα δηµοσιεύθηκε µια ακόµη λατινική µετάφραση όλων των σωζόµενων έργων του Αρχιµήδη, από τον ελληνικής καταγωγής Φραγκίσκο Μαυρόλυκο ( ). Οι εκδόσεις και οι λατινικές µεταφράσεις που εκπονήθηκαν τον 16 ο αιώνα ανατυπώθηκαν πολλές φορές στους αιώνες που ακολούθησαν. Εν τω µεταξύ άρχισαν να εµφανίζονται και µεταφράσεις σε οµιλούµενες γλώσσες. Η πρώτη µετάφραση σε οµιλούµενη γλώσσα εµφανίστηκε το 1670 (στα γερµανικά). Μέχρι το 1824 ακολούθησαν άλλες µεταφράσεις, στα γερµανικά, στα αγγλικά (από τον Isaac Barrow) και στα γαλλικά. Το 17 ο και τον 18 ο αιώνα οι γνώσεις για το έργο του Αρχιµήδη αυξήθηκαν µε δύο νέες ανακαλύψεις. Συγκεκριµένα, τον 17 ο αιώνα δηµοσιεύθηκαν από τον Foster στην Αγγλία και, αµέσως µετά, από τον Borelli στην Ιταλία οι µεταφράσεις ενός έργου του άραβα µαθηµατικού Τάµπιτ Ιµπν Κούρα (Thabit Ibn Qurra, 9 ος αιώνας) στο οποίο σχολιάζονται διάφορες ανακαλύψεις του Αρχιµήδη που δεν περιλαµβάνονταν σ αυτές που ξέραµε από τα ως τότε γνωστά έργα του. Εξάλλου, το 1773 ο Gotthold Ephraim Lessing εξέδωσε ένα αριθµητικό επίγραµµα στο οποίο διατυπώνεται το αποδιδόµενο στον Αρχιµήδη Βοεικόν πρόβληµα. Το αποκορύφωµα των φιλολογικών ερευνών πάνω στη χειρόγραφη παράδοση και των εκδοτικών προσπαθειών ήταν η (οριστική, για την εποχή εκείνη) έκδοση των έργων του Αρχιµήδη από τον ανό φιλόλογο J.L. Heiberg. Έγινε κατά τα έτη και δηµοσιεύθηκε στη σειρά της Βιβλιοθήκης των αρχαίων ελλήνων συγγραφέων του Οίκου Teubner της Λειψίας. Οι γνώσεις µας όµως για το έργο του Αρχιµήδη διευρύνθηκαν πολύ από νέες ανακαλύψεις που έγιναν στη διάρκεια του 20 ού αιώνα. Η σπουδαιότερη απ αυτές ήταν η ανακάλυψη του παλίµψηστου χειρογράφου που περιέχει τη Μέθοδο. Παραθέτουµε την εξιστόρηση της σπουδαίας αυτής ανακάλυψης, όπως περιγράφεται γλαφυρά από τον Κ.. Γεωργούλη (Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό Ήλιος, λήµµα «Αρχιµήδης»).

182 182 «Η ανακάλυψις του ανωτέρω µνηµονευθέντος παλιµψήστου κώδικος εις την βιβλιοθήκην του εν Κωνσταντινουπόλει µετοχίου του Αγίου Τάφου, η οφειλοµένη εις την κριτικήν οξυδέρκειαν του Heiberg, µας εδώρησε κείµενα του Αρχιµήδους, άτινα δεν ήσαν µέχρι του 1906 γνωστά. Η ιστορία της ανακαλύψεώς του έχει ως εξής: Ο Παπαδόπουλος ο Κεραµεύς εις τον 4ον τόµον της εν Πετρουπόλει εκδοθείσης κατά το 1899 Ιεροσολυµιτικής βιβλιοθήκης είχε σηµειώσει παλίµψηστον µαθηµατικού περιεχοµένου. Παλίµψηστα λέγονται ως γνωστόν τα χειρόγραφα των οποίων αποξέεται το αρχικώς γεγραµµένον κείµενον δια να γραφή νέον. Εις το παλίµψηστον χειρόγραφον το οποίον περιέγραψεν ο Παπαδόπουλος είχε γραφή Ευχολόγιον, κάτω δε απ αυτό διεκρίνοντο τα ίχνη γραφής συγγράµµατος µαθηµατικού περιεχοµένου. ια να γνωσθή ο συγγραφεύς του αρχικώς γραφέντος κειµένου ο Παπαδόπουλος είχε δηµοσιεύσει µερικούς στίχους εξ αυτού. Της δηµοσιεύσεως ταύτης έλαβε γνώσιν ο Heiberg κατ ανακοίνωσιν του Schoene, προσεπάθησε δε να επιτύχη δια της διπλωµατικής οδού την εις Κοπεγχάγην αποστολήν του κώδικος. Επειδή δε τα διαβήµατά του δεν ετελεσφόρησαν, ηναγκάσθη να µεταβή ο ίδιος εις Κωνσταντινούπολιν κατά το Το χειρόγραφον εφυλάσσετο εις την βιβλιοθήκην του µετοχίου του Παναγίου Τάφου, εις ήν είχε καταγραφή ως Κώδιξ ιεροσολυµιτικός υπ αριθµ Αι σελίδες ήσαν εκ χάρτου του 16 ου αιώνος, το δε υπόλοιπον εκ περγαµηνής του 12 ου - 13 ου αιώνος. Ο Heiberg έκαµεν αντιγραφήν και παραβολήν τούτου, εφωτογράφησε δε και τας σελίδας. Ο κώδιξ περιείχε τα α και β βιβλία Περί σφαίρας και κυλίνδρου, ολόκληρον το Περί ελίκων, τµήµατα εκ του Κύκλου µέτρησις και Επιπέδων ισορροπιών, τµήµατα εκ του β βιβλίου Περί οχουµένων άτινα µέχρι τότε ήσαν γνωστά εκ της λατινικής µεταφράσεως, και την µέχρι τότε άγνωστον αρχήν του Στοµαχίου. Αλλά το σπουδαιότατον εύρηµα όπερ ήλθεν εις φως δια του παλιµψήστου ήτο η πραγµατεία Περί των µηχανικών θεωρηµάτων προς Ερατοσθένη Έφοδος, την ύπαρξιν της οποίας εγνωρίζοµεν εκ µαρτυρίας του Σουΐδα. εν περιείχεν ουδέν ίχνος εκ του Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων, εκ του Ψαµµίτου και εκ του Τετραγωνισµού της παραβολής. Ο παλίµψηστος ούτος κώδιξ προήρχετο εκ της εν Παλαιστίνη µονής του Αγίου Σάββα, της λαύρας του Αγίου Σάββα, είναι δε λίαν πιθανόν ότι θα είλκε την προέλευσίν του εκ Συρίας. Τα ανακαλυφθέντα κείµενα εδηµοσίευσεν κατ αρχάς ο Heiberg εις το γερµανικόν περιοδικόν Hermes, τόµος XLII (1907), επί τη βάσει δε τούτου προέβη εις νέαν έκδοσιν των έργων του Αρχιµήδους αρξαµένην από του 1910.»

183 183 Η νέα έκδοση του Heiberg ολοκληρώθηκε το 1915 και περιελάµβανε τρεις τόµους. Αναθεωρηµένη από τον Ε. Σ. Σταµάτη επανέκδοση έγινε το Ο Απολλώνιος και η µελέτη των κωνικών τοµών Οι λίγες πληροφορίες που έχουµε για τη ζωή του Απολλωνίου (περίπου π.χ.), του τελευταίου από τους τρεις µεγάλους γεωµέτρες της ελληνιστικής περιόδου, προέρχονται κυρίως από τους προλόγους που έχει προτάξει σε µερικά από τα βιβλία που απαρτίζουν τα Κωνικά, το magnum opus του. Γνωρίζουµε ότι γεννήθηκε στην Πέργη της Παµφυλίας, µια πόλη στα νότια της Μικράς Ασίας και ότι όταν ήταν νέος µετέβη στην Αλεξάνδρεια για να σπουδάσει πλησίον «των µαθητών του Ευκλείδη». Ενδέχεται να παρέµεινε στην Αλεξάνδρεια και να πέρασε εκεί το µεγαλύτερο µέρος της ζωής του. Γνωρίζουµε επίσης ότι σαν τυπικός Αλεξανδρινός λόγιος ταξίδεψε σε πολλές πόλεις της ανατολικής Μεσογείου (Πέργαµο, Έφεσο κ.ά.) και είχε επιστηµονικές επαφές µε τους επιφανέστερους µαθηµατικούς του τέλους του 3 ου και των αρχών του 2 ου π.χ. αιώνα. Στην ιστορία της αρχαίας επιστήµης ο Απολλώνιος έχει τη δική του περίοπτη θέση λόγω του έργου του στη µαθηµατική αστρονοµία και στη γεωµετρία. Η φήµη του, µάλιστα, ήταν ήδη από την αρχαιότητα πολύ µεγάλη και αξίζει να σηµειωθεί ότι οφειλόταν πρωτίστως στο αστρονοµικό και δευτερευόντως στο γεωµετρικό έργο του. Αν και τα αστρονοµικά συγγράµµατά του δεν διασώζονται, πιστεύεται γενικώς ότι ο Απολλώνιος είναι αυτός που επινόησε τα δίδυµα µαθηµατικά µοντέλα φερόντωνεπικύκλων και έκκεντρων κύκλων που αντικατέστησαν το ευδόξειο µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών στην εξήγηση των πλανητικών κινήσεων, και µε τα οποία θα ασχοληθούµε στη συνέχεια, στην υποενότητα Ευτυχώς, ο χρόνος δεν στάθηκε το ίδιο άδικος µαζί του σε ό,τι αφορά τα γεωµετρικά του συγγράµµατα. Το σηµαντικότερο από αυτά είναι τα Κωνικά, αποτελούµενο από οκτώ βιβλία, εκ των οποίων διασώθηκαν τα επτά, τέσσερα στο πρωτότυπο ελληνικό κείµενο και τρία σε µια αραβική µετάφραση. Στο έργο αυτό ο Απολλώνιος µετασχηµάτισε ριζικά την προγενέστερη θεωρία των κωνικών τοµών, οι απαρχές της µελέτης των οποίων ανάγονται στον Μέναιχµο. Πράγµατι ο Μέναιχµος, σύµφωνα µε την παράδοση, ήταν αυτός που πρώτος χρησιµοποίησε τις κωνικές τοµές για να λύσει το πρόβληµα της εύρεσης δύο µέσων αναλόγων, το οποίο όπως ξέρουµε είναι ισοδύναµο µε το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου ( ήλιο πρόβληµα). Αυτό πρέπει να έγινε γύρω στο π.χ. Τη λύση την

184 184 περιγράψαµε στην ενότητα 1.2 (υποενότητα 1.2.6) και δεν θα µας απασχολήσει εδώ. Νοµίζουµε όµως ότι είναι ενδιαφέρον να παρουσιάσουµε, στο πλαίσιο που ακολουθεί, έναν προβληµατισµό που έχει διατυπωθεί από τους ιστορικούς των µαθηµατικών σχετικά µε το θέµα της ανακάλυψης των κωνικών τοµών και τον ρόλο που ενδεχοµένως να έπαιξε ο Μέναιχµος. Αν και το θέµα είναι ειδικό, θα σας δώσει τη δυνατότητα να σχηµατίσετε µια εικόνα για το είδος των ερωτηµάτων µε τα οποία ασχολούνται οι ιστορικοί των µαθηµατικών και για τους προβληµατισµούς που αναπτύσσουν ακόµα και όταν οι πληροφορίες που έχουν στη διάθεσή τους είναι φτωχές και µπορούν να ερµηνευθούν µε ποικίλους τρόπους. Η µελέτη του περιεχοµένου του πλαισίου είναι προαιρετική. Η ανακάλυψη των τριών κωνικών τοµών Σύµφωνα µε µια διαδεδοµένη στην ιστορία των µαθηµατικών άποψη, το όνοµα του Μέναιχµου δεν συνδέεται µόνο µε τη χρησιµοποίηση των κωνικών τοµών για την επίλυση του προβλήµατος της εύρεσης των δύο µέσων αναλόγων συνήθως, αποδίδεται σε αυτόν και η ίδια η ανακάλυψη των κωνικών τοµών. Σε ποια βάση στηρίζεται αυτό; Ουσιαστικά, σε µία και µόνο φράση που περιέχεται στην επιστολή του Ερατοσθένη προς τον βασιλιά Πτολεµαίο της Αιγύπτου, της οποίας, όµως, το νόηµα είναι αρκετά διφορούµενο. Στη φράση αυτή ο Ερατοσθένης προτρέπει όσους ασχολούνται µε την επίλυση του ηλίου προβλήµατος να µην χρησιµοποιούν τις «τριάδες του Μεναίχµου». Η ακριβής φράση είναι: «µηδὲ Μεναιχµείους κωνοτοµεῖν τριάδας». Αυτή η φράση πιστεύεται ότι αποτελεί τεκµήριο της ανακάλυψης των τριών κωνικών τοµών από τον Μέναιχµο. Νεότεροι ιστορικοί, πάντως, αντιµετωπίζουν µε σκεπτικισµό µια τέτοια «εύκολη» ερµηνεία, επισηµαίνοντας ότι το νόηµα της φράσης δεν είναι απολύτως σαφές. Ας επιµείνουµε λίγο σε αυτό το σηµείο. Ποιες είναι, άραγε, οι «τριάδες» για τις οποίες γίνεται λόγος; Είναι, µήπως, οι τρεις κωνικές τοµές η παραβολή, η έλλειψη και η υπερβολή; Αν η απάντηση είναι καταφατική, τότε ο χαρακτηρισµός των «τριάδων» ως «Μεναιχµείων» θα µπορούσε πράγµατι να σηµαίνει ότι ο Μέναιχµος ήταν αυτός που ανακάλυψε τις τρεις κωνικές τοµές. Είναι βέβαιο, όµως, ότι ο όρος «τριάδες» παραπέµπει στις τρεις κωνικές τοµές; Υπάρχει ένας τουλάχιστον σοβαρός λόγος να αµφιβάλλουµε. Στη λύση του «ηλίου προβλήµατος» που αποδίδεται στον Μέναιχµο δεν χρησιµοποιούνται και οι τρεις κωνικές

185 185 τοµές. Στην πρώτη παραλλαγή της λύσης, που µε σύγχρονο συµβολισµό αντιστοιχεί στο σύστηµα των εξισώσεων x² = ay και y² = 2ax, χρησιµοποιούνται δύο παραβολές, ενώ στη δεύτερη παραλλαγή, που αντιστοιχεί στο σύστηµα x² = ay και xy = 2a² ή στο σύστηµα y² = 2ax και xy = 2a² χρησιµοποιούνται µία παραβολή και µία υπερβολή. Στην καλύτερη περίπτωση, λοιπόν, χρησιµοποιούνται οι δύο µόνο από τις τρεις κωνικές τοµές. Με βάση αυτό, θα µπορούσε να υποστηρίξει κανείς ότι η προτροπή του Ερατοσθένη θα έπρεπε να είναι να αποφεύγονται οι «Μεναίχµειες δυάδες» και όχι οι «Μεναίχµειες τριάδες». Μια δεύτερη ένσταση που θα µπορούσε να διατυπώσει κάποιος σε αυτή την ερµηνεία της φράσης «Μεναίχµειες τριάδες» είναι ότι σε µια τόσο πρώιµη περίοδο όπως είναι η περίοδος του Μέναιχµου, οι κωνικές τοµές δεν θα πρέπει ακόµα να αντιµετωπίζονταν ως καµπύλες που ανήκουν σε µια ενιαία κατηγορία. Από τα προηγούµενα προκύπτει ότι εάν η χρησιµοποίηση των κωνικών τοµών για την επίλυση του προβλήµατος του διπλασιασµού του κύβου µπορεί µε ασφάλεια να αποδίδεται στον Μέναιχµο, δεν είναι εξίσου βέβαιο ότι στον ίδιο πρέπει οφείλεται και η ανακάλυψή τους. Ενδέχεται οι τρεις καµπύλες να είχαν ανακαλυφθεί νωρίτερα. Η ανακάλυψη των τριών κωνικών τοµών στην περίοδο πριν από τον Μέναιχµο φαίνεται εύλογη, ιδιαίτερα αν λάβουµε υπόψη το γεγονός ότι µόλις µια γενιά µετά από αυτόν, προς τα τέλη δηλαδή του 4 ου π.χ. αιώνα, η θεωρία των κωνικών τοµών είχε αναπτυχθεί σε τέτοιο βαθµό ώστε να γράφονται ειδικές πραγµατείες µε αντικείµενο τη θεωρία αυτή. Πράγµατι, γνωρίζουµε από τον Πάππο ότι την περίοδο εκείνη γράφτηκαν τουλάχιστον δύο πραγµατείες µε αντικείµενο τις κωνικές τοµές. Η πρώτη, από τον Αρισταίο τον πρεσβύτερο (πιθανώς κατά τα έτη π.χ.), έφερε τον τίτλο Στερεοί τόποι και αποτελούνταν από πέντε βιβλία ενώ η δεύτερη, από τον Ευκλείδη (γύρω στο 300 π.χ.), έφερε τον τίτλο Κωνικά. Ο Αρχιµήδης, εξάλλου, σε αρκετά σηµεία των έργων του παραπέµπει σε κάποια Κωνικά στοιχεία που φαίνεται ότι ήταν ένα έργο ή µια οµάδα έργων για τις κωνικές τοµές ενδεχοµένως να ήταν τα έργα του Αρισταίου και του

186 186 Ευκλείδη. Συνεπώς, στα τέλη του 4 ου π.χ. αιώνα η θεωρία των κωνικών τοµών είχε ήδη µελετηθεί συστηµατικά. Το γεγονός αυτό µας κάνει να πιστεύουµε ότι η ανακάλυψη των τριών καµπύλων θα πρέπει να έγινε αρκετά νωρίς, πιθανώς πριν από την εποχή του Μέναιχµου. Ερατοσθένης ο Κυρηναίος Ο Ερατοσθένης (περ ) ήταν ένας τυπικός Αλεξανδρινός λόγιος. Ήταν ευρυµαθής, πολυγραφότατος, είχε καλλιτεχνικές τάσεις, του έλλειπε όµως η ιδιοφυΐα του Αρχιµήδη. Αυτός είναι, ίσως, ο λόγος για τον οποίο οι φίλοι του τον αποκαλούσαν «ὁ Βῆτα» - αυτός που δευτερεύει. Ένα άλλο παρατσούκλι του ήταν «Πένταθλος», ο αθλητής των πέντε αθληµάτων, ο οποίος είχε εξαιρετικές επιδόσεις σε πολλούς διαφορετικούς τοµείς, χωρίς όµως να είναι κορυφαίος σε κανέναν. Πράγµατι διέπρεψε σε διάφορα πεδία, ως µαθηµατικός, γεωγράφος, ιστορικός, γραµµατικός και ποιητής. Υπολόγισε τη λόξωση της εκλειπτικής (την κλίση δηλαδή της εκλειπτικής ως προς το επίπεδο του ουράνιου ισηµερινού), τις αποστάσεις του ήλιου και της σελήνης, το µήκος της περιφέρειας της γης. Σχεδίασε έναν νέο χάρτη του κόσµου, και έγραψε ένα µεγάλο έργο για την αρχαία ελληνική κωµωδία. Ήταν ο θεµελιωτής της κριτικής χρονολόγησης από αυτόν έµαθαν οι άνθρωποι πώς να προσδιορίζουν επιστηµονικά τις χρονολογίες των ιστορικών γεγονότων. Σε ηλικία περίπου πενήντα ετών προσκλήθηκε στην Αλεξάνδρεια, στην αυλή του Πτολεµαίου Γ για να εκπαιδεύσει τον γιο του (Φιλοπάτορα). Συγχρόνως έγινε διευθυντής της ξακουστής σε όλο τον κόσµο Βιβλιοθήκης. Στα τελευταία χρόνια του ο Ερατοσθένης έχασε την όρασή του. Πέθανε από τον «θάνατο των φιλοσόφων», µε αυτοκτονία. Ανάµεσα στα επιτεύγµατα του Ερατοσθένη ξεχωριστό ενδιαφέρον παρουσιάζει ένα επίτευγµα που και σήµερα ακόµη εντυπωσιάζει µε την απλότητα και ταυτόχρονα την ακρίβειά του. Αναφερόµαστε στον αυστηρό υπολογισµό του µήκους της γήινης περιφέρειας. Με βάση παρατηρήσεις που έκανε στην Αλεξάνδρεια και σε µια πόλη νοτιότερα αυτής, τη Συήνη (πλησίον του σηµερινού Ασουάν), δύο πόλεις που βρίσκονται περίπου στον ίδιο µεσηµβρινό, ο Ερατοσθένης παρατήρησε ότι κατά τη µεσηµβρία της

187 187 ηµέρας του θερινού ηλιοστασίου µια κατακόρυφη ράβδος στη Συήνη δεν άφηνε καθόλου σκιά (ο ήλιος ήταν στο ζενίθ του τόπου), ενώ την ίδια στιγµή µια αντίστοιχη ράβδος στην Αλεξάνδρεια άφηνε σκιά που αντιστοιχούσε σε γωνία ίση προς το 1/50 των 4 ορθών (δηλαδή ίση προς 7,2º). Με έναν απλό γεωµετρικό συλλογισµό (όπως φαίνεται από το σχήµα 10) προκύπτει ότι την ίδια τιµή έχει και η επίκεντρη γωνία που βαίνει στο τόξο Αλεξάνδρεια-Συήνη. Λαµβάνοντας υπόψη ότι η απόσταση Αλεξάνδρεια-Συήνη είχε υπολογισθεί σε 5000 στάδια ο Ερατοσθένης υπολόγισε ότι ολόκληρος ο γήινος µεσηµβρινός έχει µήκος στάδια. Σύµφωνα µε ορισµένες πληροφορίες, µάλιστα, είχε δώσει την ακριβέστερη τιµή στάδια. Αν θεωρήσουµε τώρα ότι το στάδιο ισούται προς 157,5 µέτρα, ο υπολογισµός του Ερατοσθένη δίνει για τη γήινη περιφέρεια την τιµή των χιλιοµέτρων, µια τιµή που βρίσκεται πολύ κοντά στην πραγµατική τιµή, που είναι χιλιόµετρα. Πρόκειται πράγµατι για ένα εξαιρετικό επίτευγµα! Σχήµα 10 Οι πληροφορίες που έχουµε για το επίπεδο στο οποίο είχε φτάσει η µελέτη των κωνικών τοµών στην περίοδο προ του Απολλωνίου είναι ελάχιστες. Τα έργα του Αρισταίου και του Ευκλείδη, δυστυχώς, δεν διασώθηκαν. Συνέβη και εδώ αυτό που έχουµε συναντήσει και σε άλλες περιπτώσεις στην ιστορία των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών: η εµφάνιση του έργου του Απολλωνίου συνέβαλε ώστε να περιπέσουν σε αχρηστία και, τελικώς, να εξαφανιστούν. Έτσι, τις όποιες πληροφορίες διαθέτουµε τις αντλούµε από τα έργα του Αρχιµήδη και από τα σχόλια του Ευτόκιου στα Κωνικά του Απολλωνίου. Στη συνέχεια, θα προσπαθήσουµε να αναδείξουµε µερικά ενδιαφέροντα ιστοριογραφικά ερωτήµατα που σχετίζονται µε το επίπεδο στο οποίο είχε φτάσει η µελέτη των κωνικών τοµών κατά την πρώιµη αυτή περίοδο και µε τον ρόλο του Απολλωνίου στην αναµόρφωση της παλαιάς θεωρίας.

188 188 Ένα πρώτο ερώτηµα για τον ιστορικό, αφορά το εάν οι τρεις καµπύλες που δηλώνονται µε την ονοµασία «κωνικές τοµές» ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά ως τοµές κώνου. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό φαίνεται εκ πρώτης όψεως πρόδηλα καταφατική. Ωστόσο, τελευταία έχει υποστηριχθεί η άποψη ότι οι τρεις καµπύλες ανακαλύφθηκαν αρχικά ως επίπεδες καµπύλες και αρκετά αργότερα διαπιστώθηκε ότι οι εν λόγω καµπύλες µπορούν να προέλθουν ως τοµές κώνου. Ενδέχεται το δεύτερο αυτό στάδιο να συνδέεται µε το έργο του Αρισταίου. Συνηγορεί άλλωστε σε αυτό η ονοµασία Στερεοί τόποι του έργου του. Αλλά αν η ανακάλυψη των τριών καµπύλων προηγήθηκε χρονικά της αναγνώρισης του γεγονότος ότι αυτές µπορούν να προκύψουν ως κωνικές τοµές, τότε ποιο είναι το πρόβληµα που οδήγησε στην ανακάλυψή τους; Ο W.R. Knorr έχει προτείνει µια υποθετική κατασκευή των δύο από τις τρεις καµπύλες (της παραβολής και της υπερβολής) απ αφορµή την εύρεση δύο µέσων αναλόγων (Knorr, 1993, σ ). Η κατασκευή του Knorr είναι µία κατά σηµείο κατασκευή των δύο καµπύλων. Θα την περιγράψουµε µόνο για την περίπτωση της παραβολής, και για τους αναγνώστες που έχουν τις βασικές γνώσεις της γεωµετρίας που διδάσκεται στη λύκειο. Έστω, λοιπόν, ότι ζητούµε να βρούµε δύο µέσες αναλόγους x και y µεταξύ των a και 2a, ώστε να ισχύει a : x = x : y = y : 2a. Από την ισότητα του πρώτου και του τρίτου λόγου προκύπτει ότι y² = 2ax. Ζητούµε, λοιπόν, να κατασκευάσουµε µία καµπύλη, τα σηµεία της οποίας έχουν συντεταγµένες που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη. Η κατασκευή µπορεί να γίνει ως εξής. Τοποθετούµε το ευθύγραµµο τµήµα 2a και το προεκτείνουµε κατά x, όπως φαίνεται στο σχήµα 11, δίνοντας διαδοχικά στο x διάφορες τιµές. Αν x 1 είναι µια πρώτη τιµή του x, το y 1 προσδιορίζεται αν γράψουµε την ηµιπεριφέρεια µε διάµετρο 2a + x 1 και υψώσουµε την κάθετη στο σηµείο που χωρίζει το 2a από το x 1. Κατόπιν, κάνουµε µια παράλληλη µεταφορά του y 1 ώστε να τοποθετηθεί στην εφαπτοµένη του κύκλου στο άκρο της διαµέτρου. Έστω τώρα x 2 µια δεύτερη τιµή του x. Το y 2 προσδιορίζεται, όπως προηγουµένως, αν γράψουµε την ηµιπεριφέρεια µε διάµετρο 2a + x 2 και υψώσουµε την κάθετη στο σηµείο που χωρίζει το 2a από το x 2. Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία της παράλληλης µεταφοράς στο άκρο της διαµέτρου. Η διαδικασία µπορεί να

189 189 επαναλαµβάνεται συνεχώς. Με τη µέθοδο αυτή κατασκευάζουµε άπειρα σηµεία, τα οποία σχηµατίζουν, αν ενωθούν µε συνεχή γραµµή, την παραβολή. Αυτή είναι η κατά σηµείο κατασκευή της παραβολής στην οποία αναφερθήκαµε προηγουµένως. Σχήµα 11 Παρόµοια µέθοδος κατά σηµείο κατασκευής µπορεί να προταθεί και για την υπερβολή. Με τον τρόπο αυτό «κατασκευάζονται» οι δύο καµπύλες χωρίς να υπεισέρχεται πουθενά ο κώνος και η τοµή του µε κάποιο επίπεδο. Ενδέχεται, λοιπόν, έτσι να ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά οι εν λόγω καµπύλες, και όχι ως τοµές κώνου. Εποµένως είναι πιθανό η αναγνώριση του γεγονότος ότι οι ίδιες καµπύλες µπορούν να προκύψουν ως τοµές κώνου να έπεται χρονικά της ίδιας της ανακάλυψής τους. Πώς συνέβη αυτό δεν γνωρίζουµε. Πάντως αξίζει να παρατηρήσουµε ότι µια προσεκτική εξέταση του προηγούµενου σχήµατος µπορεί να δηµιουργήσει την εντύπωση ότι σε αυτό παριστάνεται ένας κώνος, θεωρούµενος εκ των άνω, ο οποίος τέµνεται από ένα επίπεδο και έτσι σχηµατίζεται στην επιφάνειά του µια καµπύλη (η παραβολή). Ένα δεύτερο στοιχείο της πρώιµης θεωρίας των κωνικών τοµών που πρέπει να υπογραµµίσουµε αφορά στους ορισµούς των τριών καµπύλων. Βασικό στοιχείο των ορισµών είναι ο κώνος. Πώς, όµως, όριζαν τον κώνο; Ο ορισµός του κώνου, στην περίοδο προ του Απολλωνίου, ήταν αυτός που δίνεται στο βιβλίο XI της Στοιχειώσεως του Ευκλείδη: «Κώνος είναι το περιληφθέν σχήµα, όταν ορθογώνιο τρίγωνο περιστραφεί γύρω από τη µια εκ των καθέτων πλευρών η οποία παραµένει ακίνητη και επανέλθει στη θέση από την οποία άρχισε να κινείται. Και εάν µεν η κάθετη που µένει ακίνητη είναι ίση προς την άλλη κάθετη, που εκτελεί την περιστροφή, ο κώνος θα είναι ορθογώνιος, εάν είναι µικρότερη, αµβλυγώνιος, εάν δε (είναι) µεγαλύτερη, οξυγώνιος».

190 190 Ο κώνος που ορίζεται µε αυτόν τον τρόπο είναι πάντοτε ορθός κώνος (βλ. σχήµα 13 αριστερά). Ο ορισµός, λοιπόν, του κώνου στην προ του Απολλωνίου περίοδο ήταν ένας περιορισµένος ορισµός που κάλυπτε µόνο τους ορθούς κώνους. Οι κωνικές τοµές ορίζονταν πάντοτε ως τοµές ορθών κώνων. Αλλά υπάρχει και ένα δεύτερο στοιχείο. Οι τοµές γίνονταν πάντοτε µε ένα επίπεδο κάθετο σε µια γενέτειρα του κώνου. Αυτό είχε ως αποτέλεσµα, η κάθε καµπύλη να παράγεται από την τοµή διαφορετικού είδους κώνου: Η παραβολή, σχηµατιζόταν από την τοµή ορθογωνίου κώνου. Η έλλειψη, σχηµατιζόταν από την τοµή οξυγωνίου κώνου. Η υπερβολή, σχηµατιζόταν από την τοµή αµβλυγωνίου κώνου. Στο σχήµα 12 που ακολουθεί απεικονίζεται ο τρόπος παραγωγής της κάθε µιας κωνικής τοµής από έναν ορθό κώνο µε ένα επίπεδο κάθετο σε µια γενέτειρα. Σχήµα 12 Οι ονοµασίες παραβολή, έλλειψη και υπερβολή µε τις οποίες είναι γνωστές οι τρεις καµπύλες είναι µεταγενέστερες ονοµασίες και δόθηκαν από τον Απολλώνιο. Κατά την πρώιµη περίοδο οι καµπύλες ελάµβαναν τις ονοµασίες τους από το είδος του κώνου από την τοµή του οποίου προέκυπταν. Έτσι: Η παραβολή, ονοµαζόταν ορθογωνίου κώνου τοµή (ορθοτοµή). Η έλλειψη, ονοµαζόταν οξυγωνίου κώνου τοµή (οξυτοµή). Η υπερβολή, ονοµαζόταν αµβλυγωνίου κώνου τοµή (αµβλυτοµή). Από αυτούς τους ορισµούς (οι οποίοι αντανακλούν τον τρόπο γένεσης των καµπύλων είναι «ορισµοί δια της γενέσεως») εξήχθησαν οι χαρακτηριστικές ιδιότητες των τριών κωνικών τοµών (τα «συµπτώµατά» τους, σύµφωνα µε την αρχαιοελληνική ορολογία), οι συνθήκες δηλαδή που ικανοποιούν τα σηµεία τους και µόνον αυτά (οι οποίες αντιστοιχούν, όπως θα λέγαµε σήµερα, στις εξισώσεις τους ως προς ένα ορθογώνιο

191 191 σύστηµα συντεταγµένων που αποτελείται από τον άξονα της κάθε καµπύλης και την εφαπτοµένη στο άκρο του άξονα). Είπαµε ότι ο Απολλώνιος µετασχηµάτισε ριζικά την προγενέστερη θεωρία των κωνικών τοµών. Πού έγκειται, όµως, η καινοτοµία του; Κατά τον σχολιαστή Ευτόκιο, η καινοτοµία του Απολλωνίου συνίσταται στο ότι γενίκευσε και ανέπτυξε περαιτέρω την προηγούµενη θεωρία. Ας δούµε πώς φαίνεται αυτό στο παράδειγµα της γέννησης των τριών κωνικών τοµών και της εξαγωγής των συµπτωµάτων τους. Πρώτα-πρώτα, αντί να χρησιµοποιήσει ορθό κώνο ο Απολλώνιος ορίζει την κωνική επιφάνεια ως την επιφάνεια που σχηµατίζεται όταν µία ευθεία γραµµή που περνάει από ένα σταθερό σηµείο και προεκτείνεται και προς τις δύο κατευθύνσεις, περιστραφεί περί την περιφέρεια ενός κύκλου που δεν βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο µε το σηµείο (βλ. σχήµα 13 δεξιά). Με τον τρόπο αυτό ορίζει τον πλάγιο κώνο και εισάγει πλέον τις κωνικές τοµές ως τοµές ενός τυχόντος (πλάγιου) κώνου µε ένα επίπεδο κατάλληλα φερόµενο. Σχήµα 13 Έτσι, για την παραγωγή των τριών κωνικών τοµών δεν απαιτούνται πια τρία είδη κώνου. Αρκεί ένας και µόνο πλάγιος κώνος, όπως φαίνεται στο σχήµα 14 που ακολουθεί.

192 192 Σχήµα 14 Παραπέρα, ο Απολλώνιος εισάγει νέες ονοµασίες για τις τρεις καµπύλες. Τις ονοµάζει για πρώτη φορά µε τα ονόµατα που και σήµερα χρησιµοποιούµε, δηλαδή παραβολή, υπερβολή και έλλειψη. Οι νέες αυτές ονοµασίες δεν δηλώνουν πια τον τρόπο γέννησης των καµπύλων αλλά εκφράζουν συνοπτικά τις χαρακτηριστικές τους ιδιότητες. ιαπιστώνουµε εποµένως µια εγκατάλειψη του «ορισµού δια της γενέσεως» και αντικατάστασή του µε τον πολύ πιο χρηστικό «ορισµό δια της ιδιότητας». Αλλά και οι ίδιες οι ιδιότητες, τα «συµπτώµατα», διατυπώνονται από τον Απολλώνιο µε τρόπο πιο γενικό. εν αναφέρονται πια στον άξονα της εκάστοτε καµπύλης αλλά σε µια τυχούσα διάµετρο και στην εφαπτοµένη στο άκρο αυτής, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήµατα (χρησιµοποιώντας σύγχρονη ορολογία θα λέγαµε ότι το σύστηµα συντεταγµένων που χρησιµοποιεί ο Απολλώνιος δεν είναι ορθογώνιο αλλά πλαγιογώνιο): Σχήµα 15

193 193 Τα συµπτώµατα δεν εκφράζουν τίποτα άλλο παρά την ισότητα των γραµµοσκιασµένων εµβαδών στα σχήµατα αυτά. Στην περίπτωση που το τετράγωνο είναι ίσο προς το ορθογώνιο µε πλευρά ολόκληρο το ευθύγραµµο τµήµα p (y² = px) η καµπύλη είναι παραβολή. Αν το τετράγωνο είναι ίσο µε ένα ορθογώνιο η µία πλευρά του οποίου είναι µικρότερη από το ευθύγραµµο τµήµα p έχουµε έλλειψη ενώ αν είναι µεγαλύτερη έχουµε υπερβολή. Ο Απολλώνιος ονοµάζει τα ευθύγραµµα τµήµατα που συµβολίζονται στα σχήµατα µε τα γράµµατα x και y «αποτεµνοµένη» και «τεταγµένως κατηγµένη (προς τη διάµετρο)». Στα λατινικά οι όροι αυτοί µεταφράστηκαν abscissa και ordinatim applicata (ή πιο συνοπτικά, ordinata). Από εδώ προέρχονται οι γνωστοί µας όροι «τετµηµένη» και «τεταγµένη». Σε ό,τι αφορά, τέλος, το ευθύγραµµο τµήµα p, το οποίο στην παλαιά θεωρία δήλωνε την απόσταση από την κορυφή του κώνου στην οποία το κάθετο επίπεδο έτεµνε τη γενέτειρα, ο Απολλώνιος το ονοµάζει «ορθία» (επειδή είναι κάθετο στη διάµετρο, άρα «όρθιο»). Σήµερα το p ονοµάζεται «παράµετρος». ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6 Στην υποενότητα που προηγήθηκε διαβάσατε ότι στα Κωνικά ο Απολλώνιος µετασχηµάτισε ριζικά την προγενέστερη θεωρία των κωνικών τοµών, οι απαρχές της µελέτης των οποίων φαίνεται ότι ανάγονται στον Μέναιχµο. Μπορείτε να εξηγήσετε ποια είναι η συµβολή του Μέναιχµου στη µελέτη των κωνικών τοµών και σε τι συνίσταται η καινοτοµία του Απολλωνίου; Με τον Ευκλείδη, τον Αρχιµήδη και τον Απολλώνιο η ελληνική γεωµετρική ερευνητική παράδοση έφθασε στο απόγειό της. Τα έργα τους, που διασώθηκαν σε µεγαλύτερο βαθµό από εκείνα των προγενεστέρων τους, δεν ξεπεράστηκαν παρά µόνο τον 17 ο αιώνα, δηλαδή περίπου µετά από 2000 χρόνια, µε τους Viète ( ), Descartes ( ), Fermat ( ), Newton ( ), Leibniz ( ). ικαίως ο Ιταλός ιστορικός των µαθηµατικών G. Loria αποκάλεσε τους τρεις αυτούς κορυφαίους Έλληνες µαθηµατικούς «νοµοθέτες της γεωµετρίας» Η ελληνιστική αστρονοµία

194 194 Όπως έχουµε αναφέρει τον 3 ο π.χ. αιώνα εµφανίστηκαν στην ελληνική αστρονοµία δύο πολύ ενδιαφέρουσες θεωρίες: η ηλιοκεντρική υπόθεση που διατύπωσε ο Αρίσταρχος ο Σάµιος και το γεωµετρικό µοντέλο των επικύκλων και των φερόντων κύκλων µε τις παραλλαγές του για την εξήγηση της κίνησης των πλανητών, που αντικατέστησε το µοντέλο των οµόκεντρων σφαιρών που είχε προτείνει ο Εύδοξος (βλ. ενότητα 1.3). Στις σελίδες που ακολουθούν θα εξετάσουµε τις δύο αυτές θεωρίες, δίνοντας έµφαση κυρίως στη δεύτερη, και θα προσπαθήσουµε να εξηγήσουµε γιατί η ηλιοκεντρική υπόθεση του Αρίσταρχου δεν έτυχε ευρύτερης αποδοχής στην αρχαιότητα, αντίθετα µε το µοντέλο των επικύκλων και των φερόντων κύκλων που κυριάρχησε στην ιστορία της αστρονοµίας για σχεδόν 1800 χρόνια. Η ηλιοκεντρική υπόθεση του Αρίσταρχου Η πλέον αξιόπιστη µαρτυρία για τη διατύπωση από τον Αρίσταρχο της ηλιοκεντρικής υπόθεσης προέρχεται από τον Αρχιµήδη και δηµοσιεύεται στην πραγµατεία του µε τον τίτλο Ψαµµίτης. Η µαρτυρία είναι η εξής: Ο Αρίσταρχος ο Σάµιος διατύπωσε γραπτώς µερικές θεωρίες [το κείµενο γράφει: ὑποθεσίων τινῶν ἐξέδωκεν γραφάς] όπου από τις προκείµενες [προτάσεις] συνάγεται ότι ο κόσµος είναι πολύ µεγαλύτερος από εκείνον που είπαµε προηγουµένως. ιότι υποθέτει ότι από τους αστέρες οι µεν απλανείς και ο ήλιος µένουν ακίνητοι, η δε γη περιφέρεται σε περιφέρεια κύκλου γύρω από τον ήλιο, ο οποίος βρίσκεται στο κέντρο της τροχιάς, ενώ για τη σφαίρα των απλανών, η οποία κείται περί το αυτό κέντρο όπως και ο ήλιος, υποθέτει ότι είναι τόσο µεγάλη ώστε ο κύκλος κατά τον οποίο υποθέτει ότι περιφέρεται η γη έχει τόση αναλογία προς την απόσταση των απλανών όση έχει το κέντρο της σφαίρας προς την επιφάνεια. Σύµφωνα µε τη µαρτυρία αυτή, ο Αρίσταρχος (περ π.χ.) πρότεινε ένα ηλιοκεντρικό σύστηµα στο οποίο ο ήλιος παραµένει ακίνητος στο κέντρο του κόσµου ενώ η γη, η οποία σύµφωνα µε µια επιπρόσθετη πληροφορία του Πλούταρχου περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της, εκτελεί κυκλική περιφορά γύρω απ αυτόν (στο απόσπασµα δεν γίνεται λόγος για ηλιοκεντρικές τροχιές των υπόλοιπων πλανητών). Η σηµασία της µαρτυρίας του Αρχιµήδη είναι εξαιρετικά σηµαντική για την ιστορία της επιστήµης, καθώς τα έργα του ίδιου του Αρίσταρχου δεν έχουν διασωθεί, εκτός από ένα µικρό σύγγραµµα µε τίτλο Περί µεγεθών και αποστηµάτων Ηλίου και Σελήνης, που έχει

195 195 ως θέµα τη σύγκριση των αποστάσεων γης-ηλίου και γης-σελήνης και είναι, εποµένως, ανεξάρτητο από το εάν στο κέντρο βρίσκεται η γη ή ο ήλιος. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7 Παραθέσαµε προηγουµένως τη µετάφραση του αποσπάσµατος του Αρχιµήδη από το οποίο πληροφορούµαστε για την ηλιοκεντρική υπόθεση που είχε διατυπώσει ο Αρίσταρχος. Ένα ενδιαφέρον ιστοριογραφικό ερώτηµα είναι αν ο Αρίσταρχος είχε διατυπώσει τη θεωρία του γραπτώς, αν δηλαδή υπήρχε στην αρχαιότητα κάποιο σύγγραµµα στο οποίο να διατυπωνόταν λεπτοµερώς, δηλαδή γεωµετρικά επεξεργασµένο, το ηλιοκεντρικό σύστηµα. Από τη µελέτη του κειµένου του Αρχιµήδη, τι σχόλιο θα µπορούσατε να κάνετε σχετικά µε το ερώτηµα αυτό; Πάντως, επειδή η όποια απάντηση πρέπει να λάβει οπωσδήποτε υπόψη της τη φιλολογική εξέταση του κειµένου του Αρχιµήδη, θα παραθέσουµε το κείµενο στην πρωτότυπη µορφή του, δηλαδή στη δωρική διάλεκτο στην οποία έγραφε ο Αρχιµήδης, για όσους από εσάς γνωρίζετε αρχαία ελληνικά. Αρχαίο κείµενο: «Ἀρίσταρχος δὲ ὁ Σάµιος ὑποθεσίων τινῶν ἐξέδωκεν γραφάς, ἐν αἷς ἐκ τῶν ὑποκειµένων συµβαίνει τὸν κόσµον πολλαπλάσιον εἶµεν τοῦ νῦν εἰρηµένου. Ὑποτίθεται γὰρ τὰ µὲν ἀπλανέα τῶν ἄστρων καὶ τὸν ἅλιον µένειν ἀκίνητον, τὰν δὲ γᾶν περιφέρεσθαι περὶ τὸν ἅλιον κατὰ κύκλου περιφέρειαν, ὅς ἐστιν ἐν µέσῳ τῷ δρόµῳ κείµενος, τὰν δὲ τῶν ἀπλανέων ἄστρων σφαῖραν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ ἁλίῳ κειµέναν τῷ µεγέθει ταλικαύταν εἶµεν, ὥστε τὸν κύκλον, καθ' ὃν τὰν γᾶν ὑποτίθεται περιφέρεσθαι, τοιαύταν ἔχειν ἀναλογίαν ποτὶ τὰν τῶν ἀπλανέων ἀποστασίαν, οἵαν ἔχει τὸ κέντρον τᾶς σφαῖρας ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν» (Αρχιµήδης, τ. Β, 1974, σ ). Τη δική µας απάντηση µπορείτε να τη διαβάσετε στο Παράρτηµα, στο τέλος της ενότητας. Ο Αρίσταρχος δεν ήταν ο πρώτος που αποµάκρυνε τη γη από το κέντρο του κόσµου. Την ιδέα αυτή την είχε προτείνει όπως ξέρουµε ο Πυθαγόρειος Φιλόλαος στα τέλη του 5 ου π.χ. αιώνα, µόνο που εκείνος τοποθετούσε στο κέντρο του κόσµου την Εστία. Η πρωτοτυπία του Αρίσταρχου, όµως, συνίσταται στο ότι τοποθέτησε τον Ήλιο στο κέντρο ολόκληρου του συστήµατος. Ο Αρίσταρχος φαίνεται ότι πρότεινε το ηλιοκεντρικό σύστηµα ως µαθηµατική υπόθεση. Αυτό προκύπτει τόσο από την επανειληµµένη χρήση του ρήµατος «υποθέτει»

196 196 στο παραπάνω απόσπασµα του Αρχιµήδη όσο και από µια αναφορά του Πλούταρχου (ο οποίος γράφει τρεις αιώνες αργότερα), σύµφωνα µε την οποία η ιδέα «της περιστροφής και της περιφοράς» της γης υποστηρίχθηκε από τον Αρίσταρχο και τον Σέλευκο από τη Σελεύκεια (µέσα 2 ου π.χ. αιώνα), «ο πρώτος παρουσιάζοντάς την ως υπόθεση, ο δεύτερος διατυπώνοντάς τη ως βεβαιότητα». Η ηλιοκεντρική θεωρία δεν βρήκε υποστηρικτές στην αρχαιότητα. Οι δύο µεγαλύτεροι αστρονόµοι του 3 ου και του 2 ου π.χ. αιώνα, ο Απολλώνιος και ο Ίππαρχος, την απέρριψαν, διατηρώντας το γεωκεντρικό δόγµα. Γιατί, όµως, η ηλιοκεντρική θεωρία δεν έγινε αποδεκτή στην αρχαιότητα; Μπορούµε να επικαλεστούµε διάφορους λόγους γι αυτό. Πρώτα-πρώτα, δεν ήταν συµβατή µε τη δεσπόζουσα αριστοτελική φυσική και πιο συγκεκριµένα µε τη διδασκαλία περί φυσικών κινήσεων και φυσικών τόπων. Ακόµη, θα µπορούσαν να διατυπωθούν εναντίον της πολλά αντεπιχειρήµατα µε βάση απλές καθηµερινές παρατηρήσεις (η ταχεία περιστροφή της γης γύρω από τον άξονά της συνδυαζόµενη µε την κίνησή της γύρω από τον ήλιο θα είχαν εµφανή αποτελέσµατα στην κίνηση των σωµάτων στον αέρα π.χ. ένα βέλος θα διέγραφε µεγαλύτερη απόσταση όταν εκτοξευόταν προς την ανατολή παρά προς τη δύση κ.λπ.). Επίσης, µια ενδεχόµενη περιφορά της γης γύρω από τον ήλιο θα είχε ως αποτέλεσµα να µεταβάλλεται η γωνιακή απόσταση δύο οποιωνδήποτε αστέρων όταν θα παρατηρούνταν από διαφορετικά σηµεία της τροχιάς της γης. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται «αστρική παράλλαξη». Η παράλλαξη όµως είναι πολύ µικρή, λόγω της µεγάλης απόστασης της σφαίρας των απλανών από τη γη, και δεν ήταν δυνατόν να παρατηρηθεί µε τα µέσα που είχαν στη διάθεσή τους οι αρχαίοι. Πράγµατι, η αστρική παράλλαξη υπολογίστηκε για πρώτη φορά µόλις τον 19 ο αιώνα. Τέλος, για τους περισσότερους Έλληνες η ιδέα ότι η γη ήταν ακίνητη στο κέντρο του κόσµου δεν ήταν απλώς µια κοινή πεποίθηση αλλά και θρησκευτική προκατάληψη που αντανακλούσε την πίστη τους στον ιερό χαρακτήρα της γης. Υπήρχαν εποµένως και θρησκευτικοί λόγοι που εµπόδιζαν την αποδοχή της ηλιοκεντρικής υπόθεσης. Για όλους αυτούς τους λόγους η θεωρία του Αρίσταρχου δεν άσκησε ουσιαστικά καµία επίδραση στην αρχαιότητα. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 8 Ο Αρίσταρχος ο Σάµιος χαρακτηρίζεται συχνά στη βιβλιογραφία ως «ο αρχαίος Κοπέρνικος» ή ως «ο πρόδροµος του Κοπέρνικου». Σε τι οφείλονται κατά τη γνώµη σας

197 197 αυτοί οι χαρακτηρισµοί και για ποιους λόγους η θεωρία που διατύπωσε ο Αρίσταρχος δεν έγινε αποδεκτή στην αρχαιότητα; Το µοντέλο επικύκλου-φέροντος κύκλου και το έκκεντρο µοντέλο Τα γεωµετρικά µοντέλα που διαδέχθηκαν τον 3 ο π.χ. αιώνα εκείνο των οµόκεντρων σφαιρών του Ευδόξου ήταν αφ ενός το µοντέλο των επικύκλων και των φερόντων κύκλων και αφ ετέρου το έκκεντρο µοντέλο. Η εισαγωγή τους αποδίδεται συνήθως στον Απολλώνιο και τα χαρακτηριστικά τους µελετήθηκαν τόσο από τον ίδιο όσο και από τον Ίππαρχο τον επόµενο αιώνα (βλ. το πλαίσιο που ακολουθεί). Το επιστέγασµα των ερευνών στη µαθηµατική αστρονοµία που εγκαινίασαν αυτοί οι δύο µαθηµατικοί ήταν η Μαθηµατική σύνταξις (αναφέρεται συχνά και ως Μεγίστη [σύνταξις] ή µε την αραβική παραφθορά Αλµαγέστη), το αριστούργηµα της αρχαίας αστρονοµίας που έγραψε στα µέσα του 2 ου µ.χ. αιώνα ο Κλαύδιος Πτολεµαίος και το οποίο έπαιξε στην ιστορία της µαθηµατικής αστρονοµίας τον ίδιο ρόλο που έπαιξαν τα Στοιχεία του Ευκλείδη στην ιστορία της γεωµετρίας. Τα νέα µοντέλα σέβονταν τις δύο βασικές υποθέσεις της ελληνικής αστρονοµίας, δηλαδή τη γεωκεντρική υπόθεση και την υπόθεση της οµαλής κυκλικής κίνησης και είχαν το σηµαντικό πλεονέκτηµα ότι µπορούσαν να περιγράψουν µε µεγάλη οικονοµία έναν µεγάλο αριθµό φαινοµένων που σχετίζονται µε την κίνηση των πλανητών κατά µήκος του ζωδιακού. Γρήγορα λοιπόν εκτόπισαν το προηγούµενο µοντέλο του Ευδόξου. Ίππαρχος Ο Ίππαρχος (περ π.χ.) καταγόταν από τη Νίκαια της Βιθυνίας. Αν και από τα έργα του δεν σώζεται παρά ένα, το οποίο µάλιστα είναι ήσσονος σηµασίας, µε τίτλο Περί των Αράτου και Ευδόξου φαινοµένων εξηγήσεις, οι πληροφορίες για το έργο του που παραθέτει ο Πτολεµαίος στη Μεγίστη µας δίνουν το δικαίωµα να τον χαρακτηρίσουµε ως έναν από τους σηµαντικούς αστρονόµους της αρχαιότητας. Τα τελευταία χρόνια µάλιστα έγινε µια ολόκληρη συζήτηση στους κόλπους της διεθνούς κοινότητας των ιστορικών της αρχαίας επιστήµης για το εάν τα κύρια αποτελέσµατα που διατυπώνονται από τον

198 198 Πτολεµαίο στη Μεγίστη ανήκουν στο ίδιο ή τα παρέλαβε από τον Ίππαρχο, χωρίς να αναγνωρίζει πάντοτε στον απαιτούµενο βαθµό την οφειλή του στον τελευταίο. Ο Ίππαρχος χρησιµοποίησε ευρέως τόσο το µοντέλο επικύκλου-φέροντος κύκλου όσο και το έκκεντρο µοντέλο προκειµένου να διατυπώσει ικανοποιητικές εξηγήσεις για τη φαινοµένη κίνηση των πλανητών. Επεξεργάστηκε µεθόδους για την απόδοση αριθµητικών τιµών στις παραµέτρους αυτών των γεωµετρικών µοντέλων και φαίνεται ότι ήταν ο πρώτος που εισήγαγε στην ελληνική αστρονοµία το αίτηµα για ποσοτική συµφωνία µεταξύ θεωρίας και παρατήρησης. Ο Ίππαρχος διακρίθηκε επίσης ιδιαίτερα στην παρατηρησιακή αστρονοµία. Σχεδίασε έναν χάρτη µε τις θέσεις περισσοτέρων από 850 απλανών αστέρων, ανακάλυψε τη µετάπτωση των ισηµεριών, κατασκεύασε ένα καινούργιο αστρονοµικό όργανο παρατήρησης, τη διόπτρα, που τελειοποίησε αργότερα ο Ήρων (1 ος µ.χ. αιώνας). Γνωρίζουµε επίσης ότι είχε πρόσβαση σε βαβυλωνιακό αστρονοµικό υλικό, από την επαφή του µε το οποίο φαίνεται ότι άρχισε να εκτιµά τον στόχο της ακριβούς, ποσοτικής πρόβλεψης. Στην απλούστερη µορφή του ο γεωµετρικός µηχανισµός στον οποίο βασίζεται το µοντέλο επικύκλου-φέροντος κύκλου είναι ο εξής: ο πλανήτης P περιστρέφεται οµαλά σε έναν µικρό κύκλο (επίκυκλος), το κέντρο του οποίου κινείται επίσης οµαλά σε έναν άλλο µεγαλύτερο κύκλο (φέρων κύκλος). Ο παρατηρητής βρίσκεται στο κέντρο Ο του δεύτερου αυτού κύκλου (το οποίο συµπίπτει µε τη γη). Στο σχήµα 16 που ακολουθεί ο φέρων κύκλος κινείται αντίθετα προς τη φορά των δεικτών του ωρολογίου ενώ το σηµείο P κινείται στην πρώτη περίπτωση (αριστερά) αντίθετα και στη δεύτερη περίπτωση (δεξιά) µε τη φορά των δεικτών του ωρολογίου. R 1 και R 2 είναι αντιστοίχως οι ακτίνες του φέροντος κύκλου και του επικύκλου.

199 199 Σχήµα 16 Ας δούµε τώρα πώς ο γεωµετρικός αυτός µηχανισµός δίνει τη δυνατότητα να εξηγηθεί η κύρια ανωµαλία που παρουσιάζει η ίδια κίνηση των πλανητών (δηλαδή η φαινόµενη κίνηση κατά µήκος του ζωδιακού), η οποία όπως ξέρουµε δεν είναι άλλη από την εµφάνιση από καιρού εις καιρό στάσεων και αναδροµήσεων στη γενική προς ανατολάς πορεία τους. Ας υποθέσουµε, λοιπόν, ότι ο φέρων κύκλος συµπληρώνει µία περιστροφή σε έναν χρόνο (κινούµενος εκ δυσµών προς ανατολάς) και ότι στο ίδιο διάστηµα ο επίκυκλος συµπληρώνει ακριβώς τρεις περιστροφές γύρω από το κινητό κέντρο του περιστρεφόµενος και αυτός µε την ίδια φορά. Η φαινοµένη κίνηση του πλανήτη θα είναι το αποτέλεσµα της σύνθεσης των δύο κινήσεων στις οποίες συµµετέχει. Ένας παρατηρητής που θα βρισκόταν σε έναν από τους πόλους της εκλειπτικής θα έβλεπε την τροχιά που διαγράφει να έχει µια µορφή σαν αυτή που φαίνεται στο σχήµα 17: Σχήµα 17 Όταν κατά την περιστροφή του επικύκλου ο πλανήτης βρίσκεται στο εξωτερικό του φέροντος κύκλου θα κινείται προς ανατολάς. Όταν όµως ο πλανήτης βρεθεί σε ορισµένες θέσεις στο εσωτερικό του φέροντος κύκλου (πλησιέστερα προς τη γη) θα φαίνεται ότι κινείται ανάδροµα, δηλαδή προς δυσµάς. Στο παραπάνω σχήµα ο πλανήτης φαίνεται ότι

200 200 κινείται ανάδροµα στο τµήµα του πρώτου «βρόγχου» ανάµεσα στα σηµεία 2 και 3 και στα αντίστοιχα τµήµατα των δύο άλλων «βρόγχων». Σε όλα τα υπόλοιπα τµήµατα της τροχιάς του θα κινείται κατά την ορθή φορά µε µεταβλητή φυσικά ταχύτητα. Από το απλό αυτό παράδειγµα βλέπουµε ότι το µοντέλο επικύκλου-φέροντος κύκλου µπορεί να περιγράψει σε γενικές γραµµές την ανάδροµη κίνηση των πλανητών. Με ένα κατάλληλο ποσοτικό προσδιορισµό των παραµέτρων του µοντέλου µπορούµε µάλιστα να έχουµε ικανοποιητική συµφωνία της θεωρητικής πρόγνωσης µε τα δεδοµένα της παρατήρησης. Έτσι περιέγραψαν ο Απολλώνιος και ο Ίππαρχος την ανωµαλία της ανάδροµης κίνησης των πλανητών. Πώς αντιµετώπισαν όµως το άλλο µεγάλο πρόβληµα, της φαινοµένης µεταβολής της ταχύτητας του ήλιου, δηλαδή το πρόβληµα της ανισότητας των εποχών; Το µοντέλο που επινόησαν για να περιγράψουν αυτό το φαινόµενο ήταν το έκκεντρο µοντέλο. Σύµφωνα µε αυτό το ουράνιο σώµα κινείται οµαλά στην περιφέρεια ενός κύκλου το κέντρο Ο του οποίου δεν συµπίπτει µε τη γη Τ (Terra), όπως φαίνεται στο σχήµα 18: Σχήµα 18 Το έκκεντρο µοντέλο χρησιµοποιήθηκε όπως είπαµε για να αναπαραστήσει τη φαινοµένη κίνηση του ήλιου η οποία δεν παρουσιάζει άλλες ανωµαλίες (π.χ. στάσεις και αναδροµήσεις) εκτός από τη φαινοµένη µεταβολή της ταχύτητας στην οποία οφείλεται και η ανισότητα των εποχών. Ας σταθούµε λίγο σε αυτό το τελευταίο σηµείο. Η διάρκεια των τεσσάρων εποχών είχε µετρηθεί µε βάση τις ισηµερίες και τα ηλιοστάσια από τον Κάλλιππο και οι τιµές που είχε βρει (94 ηµέρες για την άνοιξη, 92 ηµέρες για το καλοκαίρι, 89 ηµέρες για το φθινόπωρο και 90 ηµέρες για τον χειµώνα) ήταν σωστές µε ακρίβεια δεκαδικού µέρους. Το έκκεντρο µοντέλο εξηγεί πράγµατι πολύ απλά αυτό το φαινόµενο: στο παρακάτω σχήµα 19 τα σηµεία Α, Β, Γ και δηλώνουν αντιστοίχως τις θέσεις του ηλίου στην εαρινή ισηµερία, στο θερινό ηλιοστάσιο, στη φθινοπωρινή

201 201 ισηµερία και στο χειµερινό ηλιοστάσιο. Επίσης, Τ είναι η γη και Ο είναι το κέντρο του κύκλου επί του οποίου κινείται ο ήλιος. Χ και Υ είναι αντιστοίχως το απόγειο και το περίγειο. Η ανισότητα των εποχών εξηγείται απλά από την ανισότητα των αντίστοιχων τόξων. Πράγµατι, από το σχήµα φαίνεται ότι το τόξο ΑΒ (που αντιστοιχεί στην άνοιξη) είναι µεγαλύτερο από το τόξο BΓ (αντιστοιχεί στο καλοκαίρι), αυτό µε τη σειρά του είναι µεγαλύτερο από το τόξο Α (αντιστοιχεί στον χειµώνα), το οποίο επίσης είναι µεγαλύτερο από το τόξο Γ (φθινόπωρο). Σχήµα 19! Τα δύο αυτά µοντέλα δεν χρησιµοποιήθηκαν το ένα ανεξάρτητα του άλλου. Σε πολλές περιπτώσεις ο φέρων κύκλος ήταν ο ίδιος έκκεντρος. Παρά το ότι τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της φαινοµένης κίνησης των πλανητών ήταν δυνατόν να αναπαραχθούν ικανοποιητικά µε τα δύο αυτά µοντέλα, δεν ήταν δυνατόν να αναπαραχθούν τα ποσοτικά χαρακτηριστικά, δηλαδή να προσδιοριστεί ακριβώς η θέση ενός πλανήτη σε κάποια δεδοµένη χρονική στιγµή στο µέλλον. Το πρόβληµα αυτό λύθηκε από την ελληνική αστρονοµία τον 2 ο µ.χ. αιώνα µε την εισαγωγή του εξισωτή, ενός γεωµετρικού µηχανισµού ο οποίος συµπληρώνει το µοντέλο επικύκλου-φέροντος κύκλου και εκτίθεται λεπτοµερώς στο έργο του Πτολεµαίου. Θα ολοκληρώσουµε λοιπόν την αφήγησή µας για την ιστορία της ελληνιστικής αστρονοµίας παρουσιάζοντας συνοπτικά τις γενικές αρχές στις οποίες βασίζεται η µαθηµατική περιγραφή της κίνησης των πλανητών κατά µήκος του ζωδιακού σύµφωνα µε τον Πτολεµαίο. Επειδή η περιγραφή που θα ακολουθήσει είναι αρκετά τεχνική, απευθύνεται στους αναγνώστες εκείνους οι οποίοι έχουν τις γεωµετρικές γνώσεις που απαιτούνται για την κατανόησή της. Πρέπει να σηµειώσουµε επίσης ότι υπό µία έννοια ο Πτολεµαίος δεν είχε έναν αλλά

202 202 στην ουσία πολλούς µηχανισµούς για να περιγράψει την κίνηση των διαφόρων ουρανίων σωµάτων. Πάντως υπάρχουν κοινά σηµεία στα µοντέλα του. Η περιγραφή µας αφορά το µοντέλο που χρησιµοποιούσε για να περιγράψει την κίνηση του Άρη, του ία και του Κρόνου. Στο παρακάτω σχήµα θεωρούµε ότι το επίπεδο σχεδίασης είναι το επίπεδο της εκλειπτικής όπως φαίνεται από τον βόρειο πόλο αυτής. Χάριν απλοποιήσεως υποθέτουµε ότι ο πλανήτης κινείται επί του επιπέδου της εκλειπτικής. Σχήµα 20 Ο πλανήτης Π, λοιπόν, κινείται επάνω στον επίκυκλο το κέντρο Κ του οποίου κινείται στην περιφέρεια του φέροντος κύκλου. Το γεωµετρικό κέντρο Κ του φέροντος κύκλου δεν συµπίπτει µε τη γη Γ, όπου βρίσκεται ο παρατηρητής, αλλά απέχει µια απόσταση ΓΚ = e από αυτή (δηλαδή είναι έκκεντρος). Η απόσταση e ονοµάζεται «εκκεντρότητα» του φέροντος κύκλου. Η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Γ και Κ είναι σταθερή ως προς τους απλανείς αστέρες και το (εκλειπτικό) µήκος του απογείου του φέροντος κύκλου είναι επίσης σταθερό. Η κίνηση του πλανήτη Π διέπεται από τις εξής αρχές: 1. Το κέντρο Κ του επικύκλου εκτελεί κίνηση αντίθετη προς τη φορά των δεικτών του ωρολογίου και οµαλή, όχι όµως ως προς το γεωµετρικό κέντρο Κ του φέροντος κύκλου ούτε ως προς τη γη Γ, αλλά ως προς ένα άλλο σηµείο Ε το οποίο ονοµάζεται

203 203 «εξισωτής» το Ε είναι συµµετρικό του Γ ως προς το Κ, δηλαδή EΚ = ΚΓ = e. Αυτό σηµαίνει µε άλλα λόγια ότι η γωνία α αυξάνει κάθε µέρα κατά το ίδιο ποσόν. 2. Ο πλανήτης Π κινείται επί του επικύκλου εκτελώντας και αυτός οµαλή κίνηση. Αυτό σηµαίνει ότι η γωνία β αυξάνει κάθε µέρα κατά το ίδιο ποσόν. Έτσι, εάν γνωρίζουµε τις τιµές των α και β σε µια δεδοµένη χρονική στιγµή (την «εποχή» όπως λέγεται), καθώς και τους ρυθµούς αύξησής τους ηµερησίως, µπορούµε να βρούµε τις τιµές τους σε οποιαδήποτε άλλη χρονική στιγµή. Η θέση του πλανήτη Π σε κάθε χρονική στιγµή, δηλαδή το (εκλειπτικό) µήκος του, µπορεί να βρεθεί αµέσως µε βάση το σχήµα, αρκεί να µπορούµε να προσδιορίσουµε είτε µε την παρατήρηση είτε µε µαθηµατικούς υπολογισµούς τις τιµές των παραµέτρων του µοντέλου για τη στιγµή αυτή. Οι εν λόγω παράµετροι είναι: 1. Οι ακτίνες r και R του επικύκλου και του φέροντος κύκλου. 2. Η εκκεντρότητα e του φέροντος κύκλου. 3. Το (εκλειπτικό) µήκος του απογείου του φέροντος κύκλου. 4. Οι τιµές των α και β κατά την «εποχή». 5. Οι ρυθµοί αύξησης των α και β. Η εισαγωγή του «εξισωτή» είναι η πιο σηµαντική καινοτοµία που εισήγαγε ο Πτολεµαίος στο µοντέλο των επικύκλων και των φερόντων κύκλων. Ο σκοπός του ήταν να χαλαρώσει την απαίτηση της οµαλής κίνησης (η οποία αναφέρεται πλέον στο σηµείο Ε και όχι στο Κ ή στο Γ) και, έτσι, να εξηγήσει µε µεγαλύτερη ακρίβεια τις παρατηρούµενες µεταβολές της ταχύτητας των πλανητών. Η ασθενέστερη αυτή µορφή οµαλής κίνησης που εισήγαγε ο Πτολεµαίος αποτέλεσε σηµείο τριβής στη διάρκεια του Μεσαίωνα και δέχθηκε σφοδρή κριτική από τον Κοπέρνικο στο έργο του De Revolutionibus Orbium Coelestium (1543). Ωστόσο, επέτρεψε στον Πτολεµαίο να ολοκληρώσει την επεξεργασία ενός πλανητικού µοντέλου, η επιτυχία των προβλέψεων του οποίου υπερνίκησε τις όποιες επιφυλάξεις εγείρονταν από την απαίτηση µιας ισχυρότερης µορφής οµαλότητας. Η αρχή του «σώζειν τα φαινόµενα» Προκειµένου να κατανοήσουµε την ευρεία αποδοχή των κοσµολογικών συστηµάτων που βασίζονταν σε φέροντες και έκκεντρους κύκλους θα πρέπει να γνωρίζουµε ότι για πολλούς αιώνες, από τον Πλάτωνα µέχρι και τον Κοπέρνικο, το κριτήριο για την

204 204 αξιολόγηση των αστρονοµικών θεωριών ήταν το κατά πόσο οι θεωρίες αυτές ήταν συµβατές µε τη µεθοδολογική αρχή του «σώζειν τα φαινόµενα». Με βάση την αρχή αυτή η αξία µιας αστρονοµικής θεωρίας εξαρτιόταν από δύο µόνο παράγοντες: την ικανότητά της να «σώζει» τα ουράνια φαινόµενα (δηλαδή να µπορεί να υπολογίζει µε επιτυχία τις µελλοντικές θέσεις των ουρανίων σωµάτων) και την απλότητά της. Εποµένως οι αρχαίοι, όπως αργότερα και οι Άραβες, δεν έκριναν µια αστρονοµική θεωρία από το κατά πόσο µπορούσε να «ερµηνεύσει» τη φυσική πραγµατικότητα, αλλά µόνο από τις προγνωστικές της δυνατότητες και την απλότητά της. Η αντίληψη αυτή οφείλονταν στο γεγονός ότι θεωρούσαν ότι η αστρονοµία έχει διαφορετικό αντικείµενο και εποµένως διαφορετικές µεθοδολογίες από τη φυσική. Η αστρονοµία είχε ως αντικείµενό της τη µελέτη των κινήσεων θεϊκών-υπερφυσικών οντοτήτων, των οποίων την πραγµατική φύση δεν ήταν δυνατό να γνωρίσουµε, σε αντίθεση µε τη φυσική που µελετούσε γήινα-φυσικά φαινόµενα και οντότητες που τη φύση τους ήταν δυνατό να κατανοήσουµε. Έργο της αστρονοµίας λοιπόν ήταν να παρατηρεί, να καταγράφει, και κατά το δυνατό να προβλέπει τις θέσεις των ουρανίων σωµάτων, δηλαδή να «σώζει τα φαινόµενα» χωρίς να επιζητεί να γνωρίσει την πραγµατική τους φύση. εν ήταν εποµένως απαραίτητο οι µαθηµατικές κατασκευές που χρησιµοποιούσε µια θεωρία, όπως οι φέροντες ή έκκεντροι κύκλοι και οι εξισωτές κ.λπ. να έχουν φυσική υπόσταση. Έδινε λοιπόν τη δυνατότητα στους στοχαστές να προτείνουν και να χρησιµοποιούν γεωµετρικά κοσµολογικά µοντέλα, στη φυσική πραγµατικότητα των οποίων δεν ήταν απαραίτητο να πιστεύουν. Η αρχή του «σώζειν τα φαινόµενα» άρχισε να αµφισβητείται από τους Άραβες, και αργότερα από τους µεσαιωνικούς στοχαστές, παρέµεινε όµως ισχυρή µέχρι και την εποχή του Κοπέρνικου. Ανατράπηκε αργότερα, µε την ανάπτυξη της «φυσικής» αστρονοµίας και το έργο των Μπράχε, Γαλιλαίου και Κέπλερ Η µηχανική στους κλασικούς και ελληνιστικούς χρόνους Στην αφήγησή µας της ιστορίας της ελληνικής επιστήµης δεν έχουµε αναφερθεί καθόλου στο θέµα των πρακτικών εφαρµογών της επιστηµονικής γνώσης. Όµως το θέµα της αξιοποίησης των επιστηµονικών γνώσεων για την κατασκευή κτιρίων και µηχανών που βοηθούν στην καθηµερινή ζωή, για την κατασκευή πολεµικών µηχανών και για τη δηµιουργία µηχανισµών λατρευτικού ή ψυχαγωγικού χαρακτήρα, εµφανίζεται από πολύ νωρίς. Ήδη γύρω στο 530 π.χ. ο αρχιτέκτονας Ευπαλίνος από τα Μέγαρα κατασκεύασε

205 205 στη Σάµο ένα υδραγωγείο, διορύσσοντας τον ασβεστόλιθο του λόφου Κάστρο ταυτόχρονα και από τις δύο πλευρές οι εργάτες, προσεγγίζοντας από τις δύο κατευθύνσεις συναντήθηκαν περίπου στο µέσον µε ένα σφάλµα 30 ποδών οριζοντίως και 10 ποδών καθέτως. Ήταν ασφαλώς ένα εξαιρετικό τεχνικό επίτευγµα για εκείνη την εποχή. Στους αιώνες που ακολούθησαν ο ελληνικός πολιτισµός κατέκτησε ένα υψηλό επίπεδο τεχνικών δυνατοτήτων, που έφτασαν στο απόγειό τους κατά την ελληνιστική περίοδο. Αν µελετήσει κανείς τα κείµενα των αρχαίων για τη µηχανική, σηµειώνει ο G.E.R. Lloyd, τρία πράγµατα θα του προκαλέσουν ιδιαίτερη εντύπωση: πρώτον, οι τρόποι µε τους οποίους οι αρχαίοι επινοούν νέες εφαρµογές, ξεκινώντας από έναν περιορισµένο αριθµό απλών µηχανικών αρχών δεύτερον, το ενδιαφέρον που επιδείκνυαν για τις ίδιες τις αρχές, για τις θεωρητικές δηλαδή πλευρές της µηχανικής και τρίτον, ότι είχαν συνειδητοποιήσει πλήρως πως οι σκοποί που εξυπηρετούσαν οι εφευρέσεις τους ήταν δύο ειδών: η πρακτική χρησιµότητα από τη µια πλευρά και η ψυχαγωγία και η διασκέδαση από την άλλη (Lloyd, 1990, σ ). Η αρχαία τεχνική έχει να επιδείξει αξιόλογες προόδους και στις δύο αυτές πλευρές. εν είχε µείνει στάσιµη όπως πολλοί πιστεύουν. Ωστόσο, είναι αλήθεια ότι ο κατάλογος των µηχανηµάτων που επινοήθηκαν για να χρησιµεύσουν στην επίλυση καθηµερινών αναγκών ήταν πολύ περιορισµένος και η χρήση τους δεν ήταν ευρείας κλίµακας. Μια πρώτη γενική διαπίστωση που µπορούµε να κάνουµε είναι ότι τα επιτεύγµατα των αρχαίων Ελλήνων στις φυσικές επιστήµες µικρή επίδραση είχαν στη µηχανική. Στην πραγµατικότητα, η µηχανική προσέφερε στην ανάπτυξη των φυσικών επιστηµών πολύ περισσότερα από ό,τι οι φυσικές επιστήµες σε αυτή, και αυτό ισχύει όχι µόνο για την αρχαιότητα και τον Μεσαίωνα αλλά για όλη την περίοδο έως και το δεύτερο µισό του 19 ου αιώνα. Αυτό οφείλεται σε µεγάλο βαθµό στο γεγονός ότι στις αρχαίες κοινωνίες εµπειρικές τεχνικές γνώσεις συσσωρεύονταν για 25 τουλάχιστον αιώνες πριν οι Προσωκρατικοί φιλόσοφοι αρχίσουν την έρευνα της φύσης, τον 6 ο π.χ. αιώνα, ενώ αργότερα, από τον 4 ο αιώνα και µετά, ο ίδιος ο χαρακτήρας της αριστοτελικής φυσικής δεν διευκόλυνε τις τεχνικές εφαρµογές. Το αντίθετο ακριβώς συνέβη µε τα µαθηµατικά. Οι Έλληνες µηχανικοί ενσωµάτωσαν τα επιτεύγµατα της γεωµετρίας στις µεθόδους και τις τεχνικές τους και τα χρησιµοποίησαν αµέσως, κυρίως στην οικοδοµική.

206 206 Οι αρχαίοι Έλληνες µηχανικοί είχαν απόλυτη συνείδηση ότι η µηχανική έχει ένα θεωρητικό και ένα πρακτικό µέρος. Το θεωρητικό µέρος το αποτελούσαν η γεωµετρία, η αριθµητική, η αστρονοµία και η φυσική ενώ το πρακτικό µέρος συνίστατο στην επεξεργασία των µετάλλων, την κατασκευή κτιρίων, την υδραυλική, την ξυλουργική, τη βαφή και βέβαια σε µια σειρά χειρονακτικές δραστηριότητες που συνδέονται µε αυτές τις τέχνες (µεταφορά και ανύψωση σωµάτων κ.λπ.). Μηχανικοί στην αρχαία Ελλάδα θεωρούνταν: Οι αρχιτέκτονες, δηλαδή οι κατασκευαστές κτιρίων. Οι σχεδιαστές και κατασκευαστές ανυψωτικών µηχανών. Οι σχεδιαστές και κατασκευαστές πολεµικών µηχανών. Οι σχεδιαστές και κατασκευαστές αντλιών διαφόρων ειδών για την άντληση και µεταφορά νερού. Οι κατασκευαστές «πνευµατικών» ή υδραυλικών µηχανών και αυτοµάτων που µιµούνταν ζωντανούς οργανισµούς. Και τέλος οι κατασκευαστές αστρονοµικών οργάνων. Η πρακτική εφαρµογή της µηχανικής στην αρχαία Ελλάδα Στο τέλος της αρχαϊκής περιόδου η µηχανική δεν ήταν ιδιαίτερα αναπτυγµένη στην Ελλάδα. Αξιοσηµείωτη εξέλιξη σηµειώθηκε κατά την κλασική και, κυρίως, κατά την ελληνιστική εποχή, χάρη στο έργο του Αρχύτα (450 π.χ.), ο οποίος θεωρείται ως ένας από τους πρώτους µηχανικούς, και του Αρχιµήδη. ιάδοχοί τους στον τοµέα της µηχανικής, ήταν ο Ίππαρχος, ο Κτησίβιος (ήκµασε κατά τη βασιλεία του Πτολεµαίου Β, ), ο Φίλων από το Βυζάντιο (ήκµασε περίπου 30 χρόνια µετά από τον Κτησίβιο) και ο Ήρων από την Αλεξάνδρεια (ήκµασε περ. το 60 µ.χ.), ενώ από τις περιγραφές του «αρχιτέκτονα» Βιτρούβιου (ήκµασε περ. το 25 π.χ.) πληροφορούµαστε για τις περισσότερες ελληνικές εφευρέσεις στον τοµέα αυτό. Είναι δύσκολο να διακρίνει κανείς εάν οι κατασκευές αυτές είχαν αποκλειστικά θεωρητικό χαρακτήρα ή προορίζονταν και για κοινή χρήση. Ωστόσο η πρακτική χρήση µερικών εξ αυτών είναι σχεδόν επιβεβαιωµένη. Στη συνέχεια αυτής της ενότητας θα αναφερθούµε αποκλειστικά στο θέµα των πρακτικών εφαρµογών της µηχανικής.

207 207 Το κύριο πεδίο εφαρµογής των νέων γεωµετρικών γνώσεων ήταν το πεδίο των κατασκευών και ιδιαίτερα των κτιριακών κατασκευών. Στο πεδίο αυτό οι Έλληνες είχαν διδαχθεί πολλά όχι µόνο από το Μινωικό και τον Μυκηναϊκό πολιτισµό αλλά και από τον Αιγυπτιακό. Ο ρόλος του αρχιτέκτονα υπήρξε εξαιρετικά ουσιαστικός στην ανάπτυξη νέων µεθόδων και τεχνικών στην κατασκευή κτιρίων αλλά και στην κατασκευή απλών µηχανών που χρησίµευαν στην κατασκευή κτιρίων, κυρίως µηχανών για την ανύψωση βαριών σωµάτων. Ο αρχαίος αρχιτέκτων εργαζόταν µε βάση ένα συµβόλαιο προδιαγραφών όπως ακριβώς και σήµερα. Το συµβόλαιο µεταξύ της πόλης και του αρχιτέκτονα ήταν χαραγµένο σε µάρµαρο και βρισκόταν τοποθετηµένο στον τόπο του κτίσµατος προκειµένου να καθοδηγεί τους κατασκευαστές και να ενηµερώνει τους πολίτες. Παρά το ότι ο αρχιτέκτων ήταν υπεύθυνος απέναντι στην πόλη για το κτίσµα, η αµοιβή του ήταν µόνο κατά 1/3 µεγαλύτερη από την αµοιβή ενός κοινού κτίστη. Οι Έλληνες µηχανικοί δεν προέρχονταν από κάποια σχολή. Μάθαιναν την τέχνη τους στο πεδίο της δουλειάς. Ο Έλληνας αρχιτέκτων, όµως, θεωρείτο όχι µόνο µηχανικός αλλά συγχρόνως και καλλιτέχνης και πολλές φορές έχαιρε πολύ υψηλής κοινωνικής εκτίµησης. Ο Ικτίνος και ο Καλλικράτης, αρχιτέκτονες του ναού του Παρθενώνα, γνωρίζουµε ότι αποτελούσαν µέλη του στενού κύκλου φιλοσόφων και καλλιτεχνών που περιέβαλλαν τον Περικλή. Η κατασκευή µηχανών που χρησιµοποιούνταν στην οικοδοµική αλλά και για την επίλυση πρακτικών αναγκών της καθηµερινής ζωής δεν ήταν ιδιαίτερα αναπτυγµένη. Έως τον 4 ο π.χ. αιώνα είχαν εφευρεθεί οι τέσσερις από τις πέντε απλές µηχανές που χρησιµοποιήθηκαν ευρέως στην αρχαιότητα για πρακτικούς σκοπούς, δηλαδή ο µοχλός, η σφήνα, το πολύσπαστο και το βαρούλκο (ἄξων ἐν τῷ περιτροχίῳ) ενώ τον 3 ο π.χ. αιώνα εφευρέθηκε ο ατέρµων κοχλίας. Κατά την παράδοση ο κοχλίας εφευρέθηκε από τον Αρχιµήδη και χρησιµοποιήθηκε αρχικά για την άντληση υδάτων, π.χ. από ορυχεία, ενώ σε µια δεύτερη εφαρµογή του χρησιµοποιήθηκε για την κατασκευή πιεστηρίων διαφόρων τύπων.

208 208 Σχήµα 21 Πολύσπαστο. Αποτελείται από ένα σύστηµα αλληλεξαρτώµενων τροχαλιών και επιτρέπει την ανύψωση βαρών µε µεγάλη οικονοµία δυνάµεων. Σχήµα 22 Ο ατέρµων κοχλίας χρησιµοποιούµενος για την άντληση υδάτων Από τη συνδυασµένη χρήση αυτών των βασικών µηχανών κατασκευάστηκαν άλλες πιο σύνθετες όπως είναι λ.χ. διάφορα ανυψωτικά µηχανήµατα ή το οδόµετρο, µια συσκευή που υπολόγιζε την απόσταση την οποία διάνυε ένα όχηµα.

209 209 Σε ό,τι αφορά τις τεχνικές της κατασκευής ειδών καθηµερινής χρήσης, η πρόοδος που συντελέστηκε σε σχέση µε αρχαιότερους πολιτισµούς ήταν µικρή ακόµη και σε αυτή την ελληνιστική περίοδο. Η κατασκευή ελληνικών αγγείων, για παράδειγµα, δεν διέφερε σηµαντικά από την προελληνική κεραµική. Συγκεκριµένα ο τροχός ποδός εµφανίστηκε µόλις τον 3 ο π.χ. αιώνα ενώ ελάχιστες είναι οι αλλαγές και οι βελτιώσεις που έγιναν στην κατασκευή των φούρνων, όπως φαίνεται σε διάφορες καλλιτεχνικές αναπαραστάσεις. Επίσης η παραγωγή γυαλιού και σµάλτου, µέχρι την ελληνιστική εποχή, γινόταν µε την αιγυπτιακή τεχνική του αλέσµατος. Η µέθοδος αυτή δεν µπόρεσε να ανταγωνιστεί αργότερα τη µέθοδο της εµφύσησης, της οποίας η καταγωγή είναι αδιευκρίνιστη. Εµφανίστηκε για πρώτη φορά στην ανατολή, ίσως κατά τον 2 ο π.χ. αιώνα και αναπτύχθηκε πλήρως κατά τη ρωµαϊκή εποχή. Η παραγωγή πάντως τέτοιων ειδών καθηµερινής χρήσης ουδέποτε ξεπέρασε τα πλαίσια των µικρών βιοτεχνιών οικογενειακού χαρακτήρα. Προφανώς η ανάγκη για µαζική παραγωγή τους δεν ήταν µεγάλη. Λόγω των ιδιαίτερων γεωγραφικών συνθηκών τα µέσα µεταφοράς δεν έτυχαν µεγάλης ανάπτυξης. Η µέτρια κατάσταση των ελληνικών δρόµων καθώς και ο χαρακτήρας των οχηµάτων, το συνηθέστερο των οποίων ήταν το κάρο µε δύο ρόδες που το τραβούσαν δύο ζώα, απέκλειαν τις µετακινήσεις σε µεγάλες αποστάσεις. Αντιθέτως η ναυσιπλοΐα έπαιζε καθοριστικό ρόλο στις µετακινήσεις αλλά και στην άνθιση του εµπορίου. Η ναυπηγική υπήρξε από τους κλάδους της µηχανικής στην οποία οι αρχαίοι Έλληνες διέπρεψαν. Σχήµα 23. Μοχλός Στον τοµέα της υδραυλικής η τεχνική πρόοδος δεν ήταν µεγάλη. Το ξηρό κλίµα του ελλαδικού χώρου και οι συνεχείς διαµάχες µεταξύ των πόλεων δεν επέτρεπαν στις περισσότερες περιπτώσεις την κατασκευή µεγάλων αρδευτικών έργων ή υδραγωγείων.

210 210 Το νερό προερχόταν από κτιστά πηγάδια και στέρνες, ενώ η άντλησή του γινόταν συνήθως µε την αιγυπτιακή µέθοδο του ζυγού µε άνισους βραχίονες που αναρτάται σε ένα υψηλό σηµείο (το αντίβαρο που τοποθετείται στο ένα άκρο είναι ικανό να ανυψώσει ένα δοχείο νερού που κρέµεται από την άλλη άκρη). Βέβαια κάποιες χρήσιµες συσκευές, όπως είναι λ.χ. οι αναρροφητικές και καταθλιπτικές αντλίες και τα υδραυλικά ωρολόγια, κατασκευάστηκαν µε βάση αρχές της υδραυλικής. Σχήµα 24 Βαρούλκο. Το βαρούλκο ήταν µια από τις µηχανές που χρησιµοποιούσαν οι αρχαίοι για να ανυψώνουν βάρη. Όπως φαίνεται από την αναπαράσταση, αποτελούνταν από ένα χοντρό κυλινδρικό δοκάρι (α) το οποίο είχε τετραγωνικό σχήµα στο σηµείο όπου τοποθετούνταν ο τροχός (β). Το δοκάρι τελείωνε στα άκρα του σε δύο χάλκινα βύσµατα (γ) τα οποία µπορούσαν να περιστρέφονται στις τρύπες ενός πλαισίου (δ), στερεωµένου γερά σε µια βάση (ε). Με τη βοήθεια των ακτίνων (ζ) οι εργάτες γύριζαν τον τροχό ώστε να τυλίγεται η αλυσίδα (η) γύρω από το δοκάρι και έτσι να ανυψώνεται το βάρος µε σηµαντική οικονοµία δυνάµεων. Μια από τις κύριες ασχολίες των µηχανικών στην αρχαιότητα ήταν η κατασκευή πολεµικών µηχανών. Ο τοµέας αυτός έχει να επιδείξει σηµαντική πρόοδο ήδη από τον

211 211 4 ο π.χ. αιώνα, η µεγαλύτερη εξέλιξη όµως παρατηρήθηκε κυρίως από την εποχή του Μεγάλου Αλεξάνδρου και µετά. Οι περιορισµένης κλίµακας πόλεµοι µεταξύ γειτονικών πόλεων αντικαταστάθηκαν την εποχή αυτή από βίαιες συγκρούσεις πολύ µεγαλύτερης κλίµακας (εκστρατείες του Αλέξανδρου, πόλεµοι των Ελλήνων της Κάτω Ιταλίας µε τους Καρθαγένιους και αργότερα µε τους Ρωµαίους). Την εποχή εκείνη λοιπόν, εµφανίστηκαν οι περισσότερες πολεµικές µηχανές που χρησιµοποιήθηκαν χωρίς ουσιαστικές αλλαγές µέχρι την εποχή της εφεύρεσης της πυρίτιδας. Ο Μέγας Αλέξανδρος, για παράδειγµα, χρησιµοποίησε σε µεγάλη κλίµακα βλητικά µηχανήµατα στις εκστρατείες του. Η εξέλιξη αυτών των όπλων διήλθε τρία στάδια, από το πρωτόγονο τόξο στους τεράστιους καταπέλτες και στη συνέχεια στις βαλλίστρες, όπλα ικανά να εκσφενδονίζουν ακόντια ή µεγάλες πέτρες σε µακρινές αποστάσεις. Η σηµαντική αυτή εξέλιξη στα βλητικά µηχανήµατα συνδυάστηκε µε βαθιές αλλαγές στην τέχνη του πολέµου, που πέρασε από την κλίµακα του ανθρώπου στην κλίµακα των µηχανών, µε όλο το οπλοστάσιο των γνωστών πολιορκητικών µηχανών µε τις οποίες τα στρατεύµατα εφορµούσαν στα τείχη των πόλεων: κριούς, καταπέλτες, χελώνες, τρυπάνια. Οι µηχανές αυτές βασίζονταν σε δύο διαφορετικές αρχές της δυναµικής, τις αρχές της πίεσης ελαστικού σώµατος και της στρέψης. Σχήµα 25. Βαλλίστρα Ο Ήρων έγραψε δύο πραγµατείες µε αντικείµενο τις πολεµικές µηχανές: τα Βελοποιϊκά και τη φερόµενη υπό τον τίτλο Χειροβαλλίστρας κατασκευή. Σε αυτές

212 212 περιγράφει λεπτοµερώς το σύνολο των πολεµικών µηχανών που αποτελούσαν στην εποχή του το αλεξανδρινό τεχνικό σώµα, ενώ η πρωτότυπη συνεισφορά του ίδιου στην τεχνική της κατασκευής αυτών των µηχανισµών έγκειται στη χρησιµοποίηση µετάλλου για την κατασκευή της φορητής χειροβαλλίστρας, µια καινοτοµία που επέτρεψε να µειωθούν σηµαντικά οι διαστάσεις της χωρίς να µειωθεί παράλληλα η δύναµη βολής. Μια άλλη πλευρά του έργου των αρχαίων µηχανικών ήταν η κατασκευή αυτοµάτων, δηλαδή µηχανισµών ψυχαγωγικού χαρακτήρα (ένα είδος παιχνιδιών) που λειτουργούσαν µε προγραµµατισµό και αυτορρύθµιση και αποσκοπούσαν στο να προκαλέσουν τον εντυπωσιασµό και την έκπληξη ή τη διασκέδαση του θεατή. Ο Πρόκλος και ο Πάππος, θεωρούσαν τις θαυµασιουργές µηχανές ως έναν ιδιαίτερο κλάδο της µηχανικής. Επίσης ο Ήρων, στην εισαγωγή των Πνευµατικών, διακρίνει τις κατασκευές σε αυτές που ανταποκρίνονται στις πιο σηµαντικές ανάγκες του ανθρώπου και σε αυτές που στοχεύουν στην έκπληξη και τον θαυµασµό. Στην τελευταία αυτή κατηγορία εντάσσονται και οι µηχανές που χρησιµοποιούνταν για θρησκευτικούς σκοπούς. Στα έργα του Πνευµατικά και Περί αυτοµατοποιητικής περιγράφει πολλούς τέτοιους µηχανισµούς αυτοµάτων, που εντυπωσιάζουν τόσο µε τον αριθµό των υδραυλικών και µηχανικών στοιχείων που εµπεριέχουν όσο και µε τις αρχές που διέπουν την κίνησή τους. Σχήµα 26. Η αιολόσφαιρα του Ήρωνος Οι αρχαίοι Έλληνες για τη µηχανική

213 213 Η άποψη των αρχαίων Ελλήνων για τη µηχανική έχει αποτελέσει αντικείµενο πολλών µελετών. Ένα τόσο γενικό θέµα είναι δύσκολο να το εκθέσουµε στον περιορισµένο χώρο αυτού του βιβλίου χωρίς να υποπέσουµε σε απλουστευτικές ερµηνείες. Όπως θα δούµε στη συνέχεια, οι πηγές που διαθέτουµε σχετικά µε την αξία που έδιναν στην πρακτική χρησιµότητα της τεχνικής γνώσης είναι σχετικά λίγες και δεν µας επιτρέπουν να εντοπίσουµε µε βεβαιότητα τα αίτια για τη σχετικά µικρή ανάπτυξη της µηχανικής σε σχέση µε τις θεωρητικές επιστηµονικές ενασχολήσεις. Πάντως σκέψεις µπορούµε να κάνουµε. Ένας από τους κύριους λόγους για τη σχετικά µικρή ανάπτυξη της µηχανικής στην αρχαία Ελλάδα πρέπει να ήταν η ύπαρξη του καθεστώτος της δουλείας. Η ύπαρξη δούλων άµβλυνε την ανάγκη εύρεσης τεχνητών µορφών ενέργειας ή τεχνικών εξοικονόµησης εργασίας. Η χρήση δούλων συνδυαζόταν άλλωστε και µε την εκµετάλλευση ζωικής ενέργειας στις διάφορες παραγωγικές εργασίες, αν και η εκµετάλλευση αυτή δεν ήταν τόσο αποτελεσµατική καθώς χρησιµοποιούσαν ένα είδος υποζυγίου για όλα τα ζώα. Ένας άλλος λόγος πρέπει να υπήρξε η περιφρόνηση της χειρωνακτικής εργασίας από τους καλλιεργηµένους ανθρώπους, κάτι που απέτρεψε τους αρχαίους Έλληνες στοχαστές από το να στρέψουν το ενδιαφέρον τους προς τη µηχανική. Οι µηχανές δε που εφεύρισκαν εξυπηρετούσαν κυρίως θεωρητικές και όχι πρακτικές ανάγκες. Τέλος, θα πρέπει να αναφέρουµε τις συντηρητικές τάσεις που επικρατούσαν στο σύνολο της αρχαίας µηχανικής και οφείλονταν στον τρόπο µετάδοσης των σχετικών γνώσεων (προφορική παράδοση). Ο µαθητευόµενος έπρεπε να ακολουθεί πιστά τις υπάρχουσες τεχνικές και µεθόδους και να µην προβαίνει σε καινοτοµίες. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουµε ορισµένες από τις πηγές που διαθέτουµε για την αρχαία ελληνική µηχανική και τεχνική, οι οποίες είτε περιλαµβάνουν απλές περιγραφές των µηχανών και των τεχνικών µεθόδων καθώς και της χρησιµότητας αυτών, είτε έχουν ως στόχο την αξιολόγηση των θεωρητικών ή εφαρµοσµένων ερευνών, πληροφορώντας µας έτσι για τη στάση της κοινωνίας απέναντι στο θέµα που µας απασχολεί. Θα παρουσιαστούν συνοπτικά οι απόψεις του Αριστοτέλη, όπως παρουσιάζονται στα Μετά τα φυσικά, οι απόψεις που περιέχονται σε ένα ψευδοαριστοτελικό σύγγραµµα µε τίτλο Μηχανικά, και επίσης οι απόψεις που διατυπώνουν ο Πρόκλος, ο Πλούταρχος, ο Βιτρούβιος και, τέλος, ο Πάππος στο όγδοο βιβλίο της Μαθηµατικής Συναγωγής.

214 214 Τα αρχαία κείµενα που αναφέρονται στη µηχανική χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες: σε αυτά που προέρχονται από συγγραφείς χωρίς ουσιαστική εµπειρία στο χώρο της µηχανικής (Αριστοτέλης, Πλούταρχος κ.ά.), και στις πραγµατείες που γράφτηκαν από µηχανικούς. Οι κυριότεροι µηχανικοί που άφησαν γραπτό έργο είναι ο Κτησίβιος, ο Φίλων ο Βυζάντιος, ο Βιτρούβιος και ο Ήρων. Οι πραγµατείες τους µας δίνουν άµεσες πληροφορίες για τους µηχανικούς της εποχής, τις συνθήκες εργασίας τους, τα προβλήµατα που αντιµετώπιζαν και τις µηχανές που ο καθένας θεωρούσε ως πιο αξιόλογες. Αν και η πραγµατεία του Κτησίβιου δεν έχει διασωθεί, διαθέτουµε ωστόσο µέρη της πραγµατείας του Φίλωνος υπό τον τίτλο Μηχανική συναγωγή, την πραγµατεία του Βιτρούβιου Περί αρχιτεκτονικής, και έναν αρκετά σηµαντικό αριθµό έργων του Ήρωνος στα ελληνικά και σε αραβικές µεταφράσεις. Σχήµα 27. Η διόπτρα του Ήρωνος Στα δύο πρώτα κεφάλαια των Μετά τα φυσικά ο Αριστοτέλης αναπτύσσει σύντοµα τις ιδέες του για τη διαφορά της τέχνης και της επιστήµης από την απλή εµπειρία που µπορεί

215 215 να οδηγήσει σε κάποιου είδους γνώση. Ενώ η εµπειρία φαίνεται να µην είναι κατώτερη της τέχνης, καθώς όσοι διαθέτουν εµπειρία θεωρούνται καλύτεροι από αυτούς που γνωρίζουν τα πράγµατα µόνο από τη θεωρητική πλευρά τους, εν τούτοις η γνώση και η κατανόηση ανήκουν στην τέχνη παρά στην εµπειρία. Θεωρεί λοιπόν ο Αριστοτέλης, αυτούς που ασχολούνται µε τις τέχνες πιο σοφούς από αυτούς που διαθέτουν µόνο εµπειρία, γιατί µόνο οι πρώτοι γνωρίζουν τα αίτια των πραγµάτων. Έτσι λοιπόν οι αρχιµηχανικοί σε κάθε τέχνη θεωρούνται πιο σοφοί από τους απλούς εργάτες, πράγµα που φαίνεται και από την ικανότητά τους να διδάξουν. Αυτοί που ανακαλύπτουν µηχανές και τεχνικές προκαλούν τον θαυµασµό όχι µόνο διότι οι ανακαλύψεις τους περιέχουν κάτι χρήσιµο αλλά επίσης διότι θεωρούνται σοφοί και ανώτεροι από τους υπόλοιπους. Σύµφωνα µε τον Αριστοτέλη κάποιες από τις τέχνες στρέφονται προς τις βιοτικές ανάγκες του ανθρώπου και κάποιες άλλες προς τη διασκέδασή του. Αυτοί που εισήγαγαν τις τελευταίες θεωρούνται ως οι πιο σοφοί, γιατί οι γνώσεις τους δεν εξαρτώνται από την έννοια της χρησιµότητας. Σχήµα 28. Η χρήση της διόπτρας (ΕΖ) για τη µέτρηση του βάθους του ορύγµατος ΑΒ. Κατά τον 5 ο και τον 4 ο π.χ. αιώνα κάνουν την εµφάνιση τους και κάποιες τεχνικές µονογραφίες. Μια από αυτές µε τίτλο Μηχανικά, εντάσσεται στο corpus των αριστοτελικών έργων χωρίς όµως να είναι γνωστή η πατρότητά της. Ο συγγραφέας της είναι πιθανότατα ένας από τους µαθητές του Αριστοτέλη, µέλος της Περιπατητικής σχολής. Το έργο εντάσσεται, φυσικά, στο αριστοτελικό πνεύµα, όπως φαίνεται από τις γενικές παρατηρήσεις για τη φύση αλλά και τον ρόλο των µαθηµατικών και της φυσικής. Στον πρόλογο της πραγµατείας ο συγγραφέας προσπαθεί να διευκρινίσει τι είναι η µηχανική. Όπως αναφέρει, η ικανοποίηση των ανθρώπινων αναγκών απαιτεί συχνά να ενεργήσει κανείς αντίθετα προς τη φύση των πραγµάτων και τότε, για να

216 216 αντιµετωπιστούν οι δυσκολίες που θα εµφανιστούν, οι λεγόµενες αµηχανίες, χρειάζεται η συνδροµή της τέχνης. Το µέρος της τέχνης που µας βοηθάει στην επίλυση τέτοιων ειδών αµηχανιών ονοµάζεται µηχανική. Το κύριο θέµα της πραγµατείας επικεντρώνεται στην έννοια της χρησιµότητας της γνώσης ενώ αναλύονται, για πρώτη ίσως φορά, τέσσερις απλοί τύποι µηχανών: ο µοχλός, η τροχαλία, η σφήνα και το βαρούλκο. Οι αναλύσεις αυτές συνοδεύονται από σύντοµα µέρη, που πραγµατεύονται ειδικά προβλήµατα, όπως π.χ. προβλήµατα ισορροπίας, ανύψωσης νερού, ακόµα και εξαγωγές δοντιών. Σε όλο το έργο ο συγγραφέας ασχολείται πρωτίστως µε τις µαθηµατικές αρχές που εµπεριέχονται στις µηχανές που εξετάζει. Σκοπός του είναι να δώσει στα φαινόµενα µια θεωρητική ή γεωµετρική εξήγηση, όπως για παράδειγµα η εξήγηση της λειτουργίας του µοχλού, αλλά και όλων εν τέλει των µηχανών, µε βάση τις ιδιότητες του κύκλου. Ο συγγραφέας της πραγµατείας αυτής δεν φαίνεται να είναι εφευρέτης ή µηχανικός, ωστόσο δεν παραγνωρίζει τη χρησιµότητα της µηχανικής σε πρακτικά θέµατα. Αναφορές στη µηχανική περιέχονται στα Σχόλια του Πρόκλου στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη. Εκεί συναντούµε µάλιστα έναν ορισµό της µηχανικής, σύµφωνα µε τον οποίο µηχανική είναι η µελέτη των υλικών αντικειµένων που γίνονται αντιληπτά µε την αφή. Κατά τον Πρόκλο η µηχανική χωρίζεται σε πέντε κλάδους: α) την κατασκευή πολεµικών όπλων, β) την κατασκευή αυτοµάτων, γ) τις µελέτες για την ισορροπία και τα κέντρα βάρους, δ) την κατασκευή σφαιρών και ε) τις µελέτες για την κίνηση υλικών σωµάτων. Στο κείµενό του µε τον τίτλο Βίος Μαρκέλλου ο Πλούταρχος παραθέτοντας τις προσωπικές του απόψεις για τη σχέση του Αρχιµήδη µε τη µηχανική, θίγει ταυτόχρονα και το θέµα του ρόλου και της σηµασίας της µηχανικής στην ελληνική κοινωνία της εποχής του (1 ος µ.χ. αιώνας). Σύµφωνα µε τον Πλούταρχο, λοιπόν, ο Αρχιµήδης θεωρούσε ότι οι µηχανικές εφευρέσεις δεν αποτελούσαν άξια λόγου ενασχόληση και ο ίδιος δεν σπατάλησε χρόνο για τη συγγραφή βιβλίου σχετικού µε αυτές. Πίστευε ότι η εργασία του µηχανικού, όπως και κάθε τέχνη που αποσκοπεί στην ικανοποίηση των βιοτικών αναγκών του ανθρώπου, είναι µη ευγενής και χυδαία. Γι αυτό και ο ίδιος

217 217 ανάλωσε τις προσπάθειές του στις σπουδές εκείνες που δεν συνδέονταν µε πρακτικούς σκοπούς, δηλαδή στα µαθηµατικά. Κατά τον Πλούταρχο ο βασιλιάς Ιέρων των Συρακουσών ήταν εκείνος που έπεισε τον Αρχιµήδη να στρέψει την τέχνη του από τις αφηρηµένες έννοιες στα υλικά πράγµατα, προκειµένου να την κάνει κατανοητή σε όλους. Εντυπωσιασµένος από τα αποτελέσµατα της τέχνης του Αρχιµήδη, ο Ιέρων του ζήτησε να κατασκευάσει επιθετικές και αµυντικές µηχανές οι οποίες θα χρησιµοποιούνταν στις πολιορκίες. Πράγµατι ο Αρχιµήδης, µε τη βοήθεια των µηχανικών του εφευρέσεων, µπόρεσε να αντιµετωπίσει τον Ρωµαϊκό στόλο κατά τη διάρκεια της πολιορκίας των Συρακουσών το 212 π.χ. Η εγκυρότητα των πληροφοριών που µας δίνει ο Πλούταρχος κρίνεται προβληµατική. Οι απόψεις του είναι έντονα διαποτισµένες µε την πλατωνική θεώρηση για τη µηχανική και τον ρόλο της και δεν αποσκοπούν στο να παρουσιάσουν τα πράγµατα µε τρόπο αµερόληπτο και αντικειµενικό. Μπορούµε ωστόσο, από τη στάση του, να κατανοήσουµε την κυρίαρχη αντίληψη που περιφρονούσε τους µηχανικούς και αγνοούσε την εργασία τους. Σηµαντική πηγή για το επάγγελµα του αρχιτέκτονα-µηχανικού αποτελεί η πραγµατεία Περί αρχιτεκτονικής του Βιτρούβιου. Η ευθύνη του αρχιτέκτονα, σύµφωνα µε τον Βιτρούβιο, δεν περιοριζόταν µόνο στον σχεδιασµό και την επίβλεψη της κατασκευής ενός κτιρίου, ή ακόµα και ολόκληρων πόλεων. Ο αρχιτέκτονας ήταν επίσης εφευρέτης και κατασκευαστής διαφόρων µηχανών, κυρίως πολεµικών. Ο ίδιος ο Βιτρούβιος είχε αναλάβει την επιδιόρθωση και ανακατασκευή των πολεµικών µηχανών του αυτοκρατορικού στρατού του Αυγούστου. Η πολυµορφία του επαγγέλµατος του αρχιτέκτονα απαιτούσε µια γενική παιδεία σε θέµατα όπως η φιλοσοφία και τα µαθηµατικά αλλά και µια εξειδίκευση σε τεχνικά ζητήµατα. Ο Βιτρούβιος αρνείται ότι η σπουδή µιας «τέχνης» έχει απώτερο σκοπό το κέρδος. Εκτιµά περισσότερο την καλή φήµη παρά τα πλούτη όταν συνοδεύονται από την ατιµία. Επίσης πληροφορούµαστε για τις δυσκολίες του αρχιτέκτονα προς αναζήτηση εργασίας καθώς και για τον ανταγωνισµό και τη διαφθορά που υπάρχει σε αυτούς τους επαγγελµατικούς κύκλους. Το θέµα της εξάρτησης του αρχιτέκτονα από τον εργοδότη του επανέρχεται πολλές φορές στο κείµενο καθώς ένα από τα κύρια κίνητρα του Βιτρούβιου, κατά τη συγγραφή του Περί αρχιτεκτονικής, είναι να κερδίσει την εύνοια του Αυγούστου.

218 218 Γενικά οι συγγραφείς που πραγµατεύονται ζητήµατα µηχανικής, παραθέτουν έναν πολύ µεγάλο αριθµό εφευρέσεων που είναι δύσκολο να τις αποδώσουµε σε συγκεκριµένα πρόσωπα. Οι συγγραφείς αυτοί δεν αναλώνονται µόνο στην περιγραφή περίπλοκων µηχανών αλλά δίνουν σηµασία και στις µηχανικές αρχές που χρησιµοποιούνται ή ακόµα προτείνουν λύσεις για την καλύτερη αντιµετώπιση ενός πρακτικού προβλήµατος. Ωστόσο, θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι πολλές φορές οι τεχνικές καινοτοµίες οφείλονταν στους απλούς τεχνίτες που δεν έδειχναν κανένα ενδιαφέρον για τις θεωρητικές αρχές της µηχανικής. Μια από τις κύριες και πιο αξιόπιστες πηγές για την αρχαία µηχανική είναι το όγδοο βιβλίο της Μαθηµατικής συναγωγής του έγκυρου Αλεξανδρινού σχολιαστή Πάππου. Περιέχει όπως αναγράφεται στον τίτλο του «µηχανικά προβλήµατα σύµµεικτα ανθηρά» και χωρίζεται σε 32 κεφάλαια ενώ παράλληλα διατυπώνονται σε αυτό είκοσι τέσσερις προτάσεις που αφορούν στη γεωµετρία, στη µηχανική και στην κατασκευή µηχανών. Σύµφωνα µε τον Πάππο, η µηχανική, επειδή είναι χρήσιµη για πολλές και σηµαντικές δραστηριότητες αλλά και επειδή µελετά περισσότερο από κάθε άλλη επιστήµη και τέχνη τα υλικά από τα οποία είναι κατασκευασµένος ο κόσµος, πρέπει να προκαλεί τον θαυµασµό των φιλοσόφων και η ενασχόληση µ αυτή πρέπει να αποτελεί φιλοδοξία των µαθηµατικών.

219 219 Σχήµα 29. Μηχανισµός του Ήρωνος για το αυτόµατο άνοιγµα των θυρών Κατά τον Πάππο, οι µηχανικοί της σχολής του Ήρωνος διέκριναν στη µηχανική ένα θεωρητικό και ένα «χειρουργικό» (εφαρµοσµένο) µέρος. Το θεωρητικό µέρος το αποτελούν η γεωµετρία, η αριθµητική, η αστρονοµία και η φυσική ενώ το εφαρµοσµένο µέρος περιέχει την χαλκευτική, την οικοδοµική, την τεκτονική, τη ζωγραφική και κάθε χειρονακτική εργασία που σχετίζεται µε αυτές τις τέχνες. Όποιος έχει ασχοληθεί µε τις µηχανικές τέχνες από νεαρή ηλικία και παράλληλα είναι προικισµένος µε ανοιχτό πνεύµα, θα γίνει ένας εξαίρετος εφευρέτης και κατασκευαστής µηχανικών έργων. Όµως επειδή είναι αδύνατο ο ίδιος αυτός άνθρωπος να είναι άριστος σε τόσα αντικείµενα µελέτης και να µάθει συγχρόνως όλες τις τέχνες, θα πρέπει, αν πραγµατικά θέλει να εργαστεί ως µηχανικός, να επιλέξει κάποιες από τις τέχνες. Ο Πάππος, επιθυµώντας να ασχοληθεί µε τα εφαρµοσµένα µηχανικά προβλήµατα, παρουσιάζει µια δεύτερη ταξινόµηση των τεχνών ανάλογα µε τη χρησιµότητα που έχουν στην καθηµερινή ζωή. ιακρίνει τους µηχανικούς σε δύο κατηγορίες: στους «µαγγανάριους» και στους «θαυµασιουργούς». Στους µαγγανάριους συµπεριλαµβάνονται αυτοί που κατασκευάζουν εργαλεία για τη διευκόλυνση της χειρονακτικής εργασίας, αυτοί που κατασκευάζουν πολεµικές µηχανές, και αυτοί που κατασκευάζουν µηχανές ανέλκυσης βαρών και µηχανές άντλησης νερού.