א. גורדון, ר. שר, א. אברמסון

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "א. גורדון, ר. שר, א. אברמסון"

Transcript

1 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה להנדסת חשמל חוברת תרגילי כיתה ובית במקצוע "תורת המעגלים החשמליים" (445) החוברת מותאמת להרצאותיו של פרופ' לוי שכטר מהדורת מרץ 6

2 רשימת עדכונים: נערך ע"י אלכס נורמטוב אלכס נורמטוב עידו קמינר, דותן דיקסטרו, רומה גרר רומה גרר א. גורדון, ר. שר, א. אברמסון ג. קורוסונסקי תאריך מרץ 6 ספטמבר 5 מרץ 5 ינואר 5 אוקטובר 3 קיץ 3 מהות העדכון תבנית אחידה, רקע מעשי לשאלות, תיאוריה של מגבר שרת, תיקוני שגיאות תיקוני שגיאות, הוספת תרגילים הוספת תרגילים, תיקוני תרגילים, פורמט אחיד תיקוני שגיאות והוספת תרגילים מהדורה ראשונה כתיבה ראשונית

3 תוכן עניינים: מבוא...4 רקע פיסיקלי, מבוא והגדרות קבל..... סליל... חוקי קירכהוף, מע' מקובצות רקע מתמטי מתח/זרם ישר מעגלי התנגדות משפטי רשת זרם חילופין... 5 מצב סינוסי מתמיד ופאזורים הספקים ואנרגיות במצב סינוסי מתמיד פונקצית תמסורת ותהודה תופעות מעבר תופעות מעבר מסדר ראשון תופעות מעבר מסדר שני תגובה להלם (פונקצית גרין) פתרון מטריצי של מעגלים מגבר שרת מעגלים לא לינאריים רשתות זוגיים ומעגלי צימוד רשתות זוגיים תופעות צימוד

4 . מבוא.. רקע פיסיקלי, מבוא והגדרות מושגי יסוד מתח וזרם, שדות מגנטיים וחשמליים. רכיבים אלמנטריים: נגד תלות ההתנגדות בגיאומטריה קבל קבלים בשלוש גיאומטריות שונות סליל סלילים בשתי גיאומטריות שונות רכיבים מקובצים וחוקי קירכהוף נספח רקע מתמטי 4

5 תרגיל... נגד גלילי Ω = Volt Ampere (Ω), המוגדרים: מטרות יחידות: - ניסוח ופתרון של מודל לנגד - תלות ההתנגדות בגיאומטריה במערכת SI נמדדת ההתנגדות באוהמים במעגל חשמלי הנגד יסומן באופן הבא: למשל: נתון גליל באורך L, שטח חתך A ומוליכות סגולית אחידה σ. בין קצוות הגליל מאולץ הפרש. במרחב בתוך המוליך השדה החשמלי אחיד בקירוב. מצאו את הזרם דרכו ואת V = φ φ פוטנציאלים התנגדותו. 5

6 y z x φ A E σ φ L V A B x B פתרון הקשר בין המתח לשדה החשמלי מוגדר: A L V = φ φ = E dl V = φ φ = E x dx כאשר האינטגרציה היא, למשל, לאורך קו ישר הנמתח בין מרכזי ה"מכסים" של הגליל. x V = E L ( ) מקירוב השדה האחיד נקבל: נשתמש ב- J=σE כאשר J הוא צפיפות הזרם ליחידת שטח, ונבצע אינטגרציה של J על פני משטח ניצב לציר x לקבלת הזרם I: 6

7 I = J x yz plane dydx σa = V L ההתנגדות מוגדרת כיחס בין המתח לזרם, ולפיכך: כיוונים לבעיה סימטריה גלילית סביב ציר x V L = = I σ A אם φ>φ (כיוון עליית המתח במקביל לציר x בכיוון השלילי) אז: השדה החשמלי פונה בכיוון החיובי של ציר. x השדה החשמלי מכוון מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך. האלקטרונים נעים בכיוון השלילי של ציר. x נגד כיוון השדה כי מטענם שלילי. כיוון "הזרם" מוגדר הפוך לתנועת האלקטרונים בכיוון החיובי של ציר x. תרגיל... נגד מורכב מ- 3 מוליכים נתון מוליך המורכב מ- 3 מוליכים שונים צמודים זה לזה: 7

8 x z y L L L3 D σ σ σ3 D3 8 V נתונות המוליכויות המופיעות בציור והמימדים הרשומים. בנוסף נתון שעובי המערכת בכיוון x הוא x. חשבו את הזרם העובר במוליך אם נתון המתח V. פתרון נגדיר V V V3 המתחים על המוליכים 3 בהתאמה (נמדוד בין מרכזי ה"מכסים"). נובע מחוק שימור המטען שהזרם דרך כל המוליכים זהה לכן: I = I = I = I3 V = V + V + V = tot 3 כל שנותר הוא לחשב את ההתנגדות של כל אחד מהמוליכים, ולחלק את המתח בהתנגדות הכוללת כדי למצוא את הזרם. נמצא תחילה את התנגדויות, 3 שמתקבלות באופן מיידי מהקשר (*)

9 3 L3 L3 = = σ A σ xd V L = = I σ A (*) L L = = σ A σ xd ydy ( ) dy = σ( yay ) ( ) כדי לחשב את נשתמש בקשר הדיפרנציאלי הנובע מ(*) בתרגיל זה המוליכות אינה תלויה בy. אם גם שטח החתך אינו תלוי בy מתקבל (*). נחשב בעזרת אינטגרל את ההתנגדות הכוללת של המוליך : dy dy L D b b = = ln a σ( ya ) ( y) σ a x = D( y) σ xd D3 D3 (a b הם קצוות המוליך בציר. y השתמשו בערכו של D בקצוות, ובלינאריות שלו כדי לפתור את האינטגרל הנ"ל) מכאן הפתרון טריוויאלי: V V I = = L L3 L D + + ln σ xd σ3 xd3 σ x D D 3 D3 9

10 D = D = D 3 σ = σ = σ = σ 3 הערות: א. דרך פשוטה לבדוק את התוצאה היא להציב כצפוי נקבל (בגבול): V L L L D L + L + L = + + ln = I σ xd σ3 xd3 σ x D D 3 D3 σ xd 3 3 ב. הבעיה היא בעצם דו ממדית, אך מכיוון שהגדרנו את ההתנגדות בשלושה מימדים נאלצנו להוסיף עובי מאפיין בכיוון x (כך "דאגנו" ליחידות).

11 קבל.. מטרות - חישוב הקיבול של קבלים בשלוש קונפיגורציות שונות - תלות הקיבול בגיאומטריה יחידות: במערכת SI נמדד הקיבול ביחידות :Farad Farad = Coulomb Volt סימון: C במעגל חשמלי הקבל יסומן באופן הבא: כאשר אומרים שמטענו של קבל הוא, Q הכוונה היא שאחד מלוחותיו טעון Q והשני Q-. המטען הכולל של הקבל הוא אפס.

12 תרגיל... קבל לוחות מישורי נתונים שני לוחות מוליכים מקבילים בעלי שטח A בעלי מרחק h זה מזה: z y ε r x +ρ s ρ s A E h V E נתון כי, h >> A ניתן להזניח אפקטי קצוות. המרווח בין הלוחות ממולא בחומר דיאלקטרי (מבודד) עם מקדם דיאלקטרי.εr בין הלוחות מאולץ הפרש פוטנציאלים V. מצאו את המטען הכולל על גבי כל אחד מהם אם נתון שסך כל המטען הוא אפס. ρ s הערה: המופיע בציור מסמל צפיפות מטען משטחית. פתרון אילו היו הלוחות "אינסופיים" למערכת הייתה סימטריה מושלמת בכיוונים x ו- y, כלומר אף גודל במערכת לא היה תלוי ב- x או y. התנאיA >>h מתיר לנו לומר שהלוחות "כמעט אינסופיים", כלומר

13 שברוב החלל שבין הלוחות, השדות אינם תלויים ב- x ו- y. כמו כן השדה החשמלי מחוץ ללוחות ובקרבתם זניח יחסית לשדה בתוכם, כי אילו היו הלוחות אינסופיים הוא היה אפס בדיוק. לפי חוק גאוס נרשום ρ v Ez E= = E = εε z r ) v ρ בנוסחה מסמל צפיפות מטען נפחית) מתקבל שהשדה בתוך הלוחות אינו תלוי גם ב- z, ולכן נרשום h ( ) V = E z dz = ( E) h= E h z V h כאשר האינטגרציה היא, למשל, לאורך קו ישר המחבר בין מרכזי הדיסקות. בהזנחת אפקטי הקצה, צפיפויות המטען המשטחיות על גבי הלוחות קבועות, נסמנן ρ± s בהתאמה. / = ρ s = εε re = εε r Q A השדה בתוך קבל אינסופי (מתקבל מחוק גאוס או חוק קולון): E = ρs ε ε r לפיכך המטען האגור על פני הלוח העליון שווה ל- Q ועל פני הלוח התחתון שווה ל- Q- 3

14 ε ε A h r Q = ρ s A= V = CV A C = εε r h ומתקיים כאשר הקיבול C נתון ע"י: תרגיל... קבל גלילי V b d 4

15 נתונות שתי קליפות גליליות קונצנטריות מוליכות, בעלות אורך זהה l ברדיוסים b ו- b + d בהתאמה. נתון כי -,d b >> l רדיוסי הגלילים קטנים מאוד מאורכם, כך שניתן להזניח אפקטי קצוות. המרווח בין הגלילים ממולא בחומר דיאלקטרי (מבודד) עם מקדם דיאלקטרי.εr בין הגלילים מאולץ הפרש פוטנציאלים V. מצאו את המטען הכולל על גבי כל אחת מהקליפות אם נתון שסך כל המטען הוא אפס. פתרון חזרה על הדיון לגבי הזנחת אפקטי הקצה, בדומה לסעיף א' אולם עם סימטריה גלילית, תוביל אותנו למסקנה שהשדה החשמלי בין הגלילים ובסביבתם הקרובה מכוון בכיוון רדיאלי ואינו תלוי אלא במרחק מציר הגלילים. נדמיין משטח גאוסי בצורת גליל שלישי שצירו מתלכד עם השניים האחרים, רדיוסו r וגובהו h, כאשר b. < r < b + d נסמן את המטען הכולל של הגליל הפנימי ב- Q. המטען שבתוך המשטח הגאוסי הנ"ל נתרם רק מהגליל הפנימי, וגודלו לפי חוק גאוס: לכן נרשום: h Q l s ( Eεε) da = Q ( ) h εε r π rh E( r) = Q l r in 5

16 כאשר E(r) הוא הגודל של E במרחק נחשב את המתח בין הלוחות: r מציר הגלילים. מהשוויון האחרון נקבל ביטוי ל-( E(r, וממנו V b+ d b+ d Qdr Q d = E() r dr = = ln + πrlε ε πlε ε b b Q C = = V C εε r b r π lεε r d ln + b r הקיבול: נשים לב שאם. d << b π bl נקבל את הקיבול: d מאחר ש- πbl הוא שטח הגלילים וd הוא המרחק ביניהם, התוצאה זהה לזו של קבל הלוחות המישורי., V = φ( b) φ( b+ d) המטען על הקבל הוא כמובן Q = CV חשוב לדייק בסימן: המתח הוגדר כך - ואת Q הגדרנו בתור המטען על הגליל הפנימי. לכן מתקיים כצפוי: b+ - φ( b) > φ( המטען עליו ) (Q חיובי. d) אם הפוטנציאל על הגליל הפנימי גדול יותר - 6

17 תרגיל..3. קבל כדורי נתונות שתי קליפות כדוריות קונצנטריות מוליכות, בעלות רדיוסים b ו- b. + d המרווח בין הקליפות ממולא בחומר דיאלקטרי (מבודד) עם מקדם דיאלקטרי.εr בין הקליפות מאולץ הפרש פוטנציאלים V. מצאו את המטען הכולל על גבי כל אחת מהקליפות אם נתון שסך כל המטען הוא אפס. פתרון כאן הסימטריה הכדורית היא מדויקת, ולכן השדה החשמלי הוא רדיאלי ותלוי רק במרחק ממרכז הקליפות. נדמיין משטח גאוסי כדורי שרדיוסו r ומרכזו במרכז הקליפות, ונסמן את מטען הקליפה הפנימית.Q אזי עבור b < r < b + d לפי חוק גאוס נרשום ( r) Q 4πr ε r ε E = כאשר E(r) הוא הגודל של E במרחק r ממרכז הקליפות. מהשיוויון הנ"ל נקבל ביטוי ל-( E(r, וממנו נחשב את המתח בין הלוחות: b+ d Qdr Q V = = 4πr ε ε 4πε rε b( b+ d) C = 4πε rε d b d ( b d ) b r + מכאן נקבל את הקיבול: 7

18 C = εε r 4π b d ניתן לראות שכאשר d >> b שטח פני הכדור. ושוב קיבלנו שהקיבול זהה לזה של קבל לוחות מישורי. 4π b התנהגות דינמית של קבל (בעל קיבול קבוע): dq V(t) נניח שבזמן t המתח על קבל הוא V והמטען עליו הוא Q, = CV ובזמן t + dt המתח הוא V + dv והמטען הוא dv) Q. + dq = C(V + משמעות הדבר היא שעבר (דרך המעגל החיצוני) מטען dq מהלוח שמטענו היה Q- אל הלוח שמטענו היה Q. לפיכך הזרם I שזרם במשך dt בחוג החיצוני הינו: dq dv I = = C dt dt 8

19 C, V C, V תרגיל..4. שימור מטען נתונים שני קבלים, בעלי קיבולים C ו- C. הקבלים טעונים במתחים V ו- V. ברגע מסוים סוגרים את המפסק במעגל המתואר בציור. מה יהיה גודלו וכיוונו של הזרם בנגד מיד לאחר סגירת המפסק? לאחר זמן רב מפסיק לזרום זרם בנגד. מה יהיו מטעני הקבלים אז? כמה מטען עבר מהאחד לשני? כמה אנרגיה הלכה לאיבוד בתהליך? פתרון לפי חוק אוהם הזרם בנגד הוא מהמתח הגבוה אל המתח הנמוך. אם V>V אז הזרם דרך הוא מהקבל C אל הקבל C, אם V<V אז להפך. גודלו הוא. V-V / לפי חוק שימור המטען, סך כל המטען על הקבלים נשמר. לכן: Q + Q = Q () t + Q () t = Q + Q ( t= ) ( t= ) ( t ) ( t ) ( ) CV + CV = C + C V כאשר V הוא המתח על הקבלים לאחר שהזרם כבר דעך. מתחם של הקבלים זהה כי אז המתח על הנגד הוא אפס. 9

20 Q = C V = C,,, CV C + CV + C CC V V Q = Q( t= ) Q( t ) = CV Q = C + C לכן בסוף מטעני הקבלים הם וסך כל המטען שעבר הוא האנרגה שהלכה לאבוד בתהליך: ( ) ( C + C ) CC V V U = Uinitial U final = CV + CV ( C+ C ) V =

21 .3. סליל מטרות חישוב השראות של סלילים בשתי קונפיגורציות שונות תלות ההשראות בגיאומטריה יחידות: במערכת :Henry נמדדת ההשראות ביחידות SI Henry = Weber Ampere תרגיל.3.. סולנואיד גלילי נתון סולנואיד גלילי ארוך מאד בעל רדיוס b,אורך l ו- N ליפופים. כמו כן קיים מסלול זרימה בין קצותיו, ובמעגל זורם בו זרם I. הסולנואיד מלא בחומר בעל פרמיאביליות מגנטית.µr מצאו את ההשראות העצמית של הסליל.

22 b z y I x l 4 3 h פתרון אילו היה הסליל "אינסופי", הייתה למערכת סימטריה גלילית מושלמת ובפרט השדה המגנטי לא היה תלוי ב- z. כאשר הסליל ארוך קביעה זו מתקיימת בקירוב (רחוק מקצות הסליל). נרשום את חוק אמפר H dl = J da עבור המסילה שבציור, שגובהה h. עקב אי התלות ב- z התרומה לאינטגרל היא רק ממקטעים,3. לפיכך: כדי לקבוע את כיוון השדה המגנטי נעזר בכלל יד ימין. h Hout Hin h= N I l ( )

23 כאשר Hin ו- Hout הם רכיבי השדה המגנטי בכיוון z מחוץ ובתוך הסליל. קל לראות שהשוויון האחרון אינו תלוי ברוחבה או מיקומה של המסילה, כל עוד יש צלע אחת מחוץ לסליל וצלע אחת בתוכו. מכאן נסיק שהשדה המגנטי הוא אחיד בתוך ומחוץ לסליל, ובעל אי רציפות במעבר דרכו. על מנת להשתכנע בכך ש = Hout דרוש ניתוח עדין מעט יותר, אולם ישנו ארגומנט אינטואיטיבי: האנרגיה המגנטית אז היא מינימלית. N l I נסמן את רכיב z של האינדוקציה המגנטית בתוך הסליל ב- Bin. אזי השטף הכולל דרך הסליל הוא Φ = N b B Nπb µ H Nπb ומכאן נקבל את הביטוי להשראות העצמית: π in = µ r in = µ µ r L Φ πb = = I l µµ N r הביטוי להשראות העצמית יכול להיכתב גם כך: N L = µµ rπ b = µµ rπ b n l = µµ r n length cross section l כאשר n הוא צפיפות הכריכות ליחידת אורך. length אורך הסליל, cross section שטח חתך של הסליל. 3

24 תרגיל.3.. טורוס b a ϕˆ I נתון סליל בעל N כריכות בצורת טורוס בעל רדיוס פנימי a, רדיוס חיצוני b וחתך עגול. הסליל מלא בחומר בעל פרמיאביליות מגנטית.µr מצאו את ההשראות העצמית של הסליל. מצאו את ההשראות העצמית של הסליל, בפרט השוו השראות זו לשאלה.3. כאשר. a b לנוחיותכם נתון האינטגרל הפשוט הבא עבור > c: 4

25 x ( ) = = + π arccos( ) Fc dx c c c+ x c Fc ( ) c>> π c נתון גם : פתרון למערכת זו סימטריה גלילית. ניתן להשתכנע שהשדה המגנטי מחוץ לסליל הוא אפס, אולם ממילא לצורך חישוב ההשראות נחוץ לנו רק השדה בתוך הסליל ובכיוון ϕ בלבד. על מנת לחשבו נרשום את חוק אמפר למעגל שמרכזו בציר הסימטריה ורדיוסו r: H dl = J da π rhϕ = NI z מכאן נקבל את האינדוקציה המגנטית ונרשום ביטוי לשטף. a + b r b a + = הגיאומטריה של הסליל נתונה עלי ידי: השתמשנו במערכת קואורדינאטות גליליות, וישנה סימטריה בכיוון בזוויתי. לכן: 5

26 b ϕ µµ r a π r b f ( r) NI b a a+ b Φ= H dzdr = r dr a f ( r) b a a+ b f () r = r a + b b a r = + ρ b a ρ NI b a µµ d ρ + ρ Φ= r π b a b a + NI b a ρ =µµ r dρ π b+ a ρ b a + NI b a = µµ r + πc c arccos( ) π c כמובן ש: נחליף משתנים b+ a c= b a ואז נשתמש באינטגרל הנתון ונקבל: 6

27 L Φ I tot = = Φ N I נשים לב שכאשר b קרוב מאוד ל- a נקבל <<c ולכן:, L c>> ( b a) N NI b a π µµ r N µµ r I π c = b+ a 4 b+ a c= b a קיבלנו ביטוי שמתלכד עם תוצאת הסעיף הקודם עבור אורך ורדיוס מתאימים. נראה זאת: b a π ( b a) L N N 4 b+ a b+ a π l µµ r N π r c>> = µµ r = µµ r 7

28 .4. חוקי קירכהוף, מע' מקובצות מטרות - רישום חוקי קירכהוף - כיווני ייחוס חוקי קירכוהף :KCL סכום הזרמים היוצאים מצומת הוא אפס, או לחילופין סכום הזרמים הנכנסים לצומת שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנה. :KVL סכום המתחים בכל חוג סגור שווה לאפס. הערה: יש להקפיד על כיווני הייחוס! 8

29 תרגיל.4.. שימוש במשוואות המעגל שבציור בנוי מרכיבים כלשהם. א. כמה משוואות KCL בלתי תלויות יש למעגל זה? רשמו משוואות KCL בלתי תלויות כמספר זה. ב. כמה משוואות KVL בלתי תלויות יש למעגל זה? רשמו משוואות KVL בלתי תלויות כמספר זה. 9

30 פתרון א. מספר הצמתים במעגל הוא 4, (מסומנים ב- A,B,C,D. שימו לב שאם שני "צמתים" מחוברים ע"י מוליך, אזי הם שקולים לצומת יחיד). לכן ניתן לרשום 3 משוואות KCL בלתי תלויות: A : B : C : i i i 3 + i i + i 4 i i + i = i 5 = i 6 = הערה: אם נתייחס לנקודה E כאל צומת נוסף נקבל משוואה נוספת עם נעלם נוסף (הזרם בין B ל E) - תוספת מיותרת. ב. למעגל זה 4 עיניים, המסומנות ע".W,X,Y,Z לכן ישנן 4 משוואות KVL בלתי תלויות. המשוואות המתארות מסלולים לאורך העיניים הן בלתי תלויות (זו כמובן לא הבחירה היחידה האפשרית). נרשום אותן: W : V V = X : V + V V = 4 3 Y : V V = 5 6 Z: V V V =

31 הערה: נוכל לבחור כל מסלול סגור במעגל, אך הבחירה חייבת להיות באופן שכל הענפים יופיעו במשוואת. אחרת המשוואות יהיו תלויות. דוגמא: המשוואה V + V4 V7 V5 = תתקבל מהמסלול המקיף את עיניים X ו Z. נוכל להחליף משוואה זו במשוואה שהתקבלה מעין X או מעין Z אך לא מעין Y כי אז V 6 לא מופיע באף משוואה. המשוואות שקיבלנו מחוקי קירכהוף הן מערכת של 7 משוואות עם 4 נעלמים. אם נקבל קשר מתח זרם של כל רכיב, אז הבעיה "נפתרה". תרגיל.4.. מערכת מקובצת מעבד של מחשב פועל בתדר ). 9 sec-) GHz גודלו האופייני הוא.cm א. האם המעבד ניתן לניתוח בקירוב המעגל החשמלי המקובץ? ב. עד איזה תדר יכול לפעול המעבד על מנת שניתן יהיה לנתחו בקירוב זה? א. פתרון הזמן שלוקח לאור לעבור cm הוא 3 m 8 3 m sec t = = sec = 3GHz t התנאי הוא שהמעבד יפעל בתדר קטן מאוד ביחס לתדר המחושב.

32 לכן המעבד ניתן לניתוח בקירוב המעגל החשמלי. ב. מהאומדן הגס שלנו עולה התדר 3GHz כתדר המקסימלי עבורו קירוב המעגל המקובץ יהיה תקף. אולם זוהי, כמובן, רק הערכת סדר גודל (יש גם להתחשב בכך שמהירות האור בסיליקון היא כשני שליש ממהירותו בריק). בנוסף נזכור שהדרישה היא תדר המערכת קטן מאוד מהתדר שחושב, לכן גם מעבד בגודל הנ"ל שמהירותו מעל GHz (עשירית מתוך )אינו GHz מתאים לקירוב המעגל החשמלי המקובץ במקרים מסוימים. 3

33 .5. רקע מתמטי מטרה תרגיל.5.. מישדיפ סדר מקדמים קבועים - מישדיפ סדר מקדמים קבועים α שונים נתונה המשוואה הדיפרנציאלית הבאה: y'' + αy' + ω y = y() = y y'() = y α > ω α < ω α = ω y = y() t ω > כאשר א. מצא פתרונות למשוואה עבור ב. ג. ד. מצא פתרונות למשוואה עבור מצא פתרונות למשוואה עבור איך מתנהגים הפתרונות לאחר הרבה זמן עבור ערכי 33

34 פתרון :( y = e λ הפולינום האופייני של המשוואה ) מתקבל על ידי הצבת λ + αλ+ ω = λ = α ± α ω ± פתרונות הפולינום: עכשיו ברו ר מדוע יש הפרדה למקרים בסעיפים השונים:.( א ± λ ממשיים (לפי הנתון), α ω < α ושליליים (כי α = α ω d λ + t λ t yt () = Ae + Be הפתרון: A B נקבעים לפי תנאי ההתחלה: y+ y( α + αd ) A = α y+ y( α αd ) B = α נוכל לכתוב את הפתרון גם בדרך נוספת: ( α d αd ) αt yt ( ) = e Acosh( t) + Bsinh( t) 34

35 A = y y B = + y α α λ t yt () = Ae + Be d + λ t ב הקבועים נקבעים לפי תנאי ההתחלה: מרוכבים (לפי הנתון), הפתרון: כתיבת הפתרון בדרך זו אינה מקובלת כי היא כוללת מספרים מרוכבים. ( ω ω ) αt yt () = e Acos( t) + Bsin( t) d A= y y B = + y α ω d ω = α ω = ω α d d לכן נסמן: ונכתוב את הפתרון בדרך נוספת: ג. A B נקבעים לפי תנאי ההתחלה: שימו לב לדמיון בין הפתרון הזה לפתרון השני בסעיף א' ושווים ל α. λ ± ממשיים וזהים (לפי הנתון), ( ) t t t yt () = Ae α + Bte α = e α A+ Bt λ ± הפתרון: 35

36 A B נקבעים לפי תנאי ההתחלה: A= y B = y + y α הערה: ניתן לכתוב פתרון הפתרון של סעיף ב': "משותף" לכל שלושת הסעיפים: t y y yt () e α + α = y cos( ωdt) + sin( ωdt) ωd נשתמש בזהויות פשוטות מפונקציות מרוכבות: cos( jx) = cosh( x) sin( jx) = j sinh( x) α d = jω d ונשים לב שמתקיים: אם נציב בפתרון של סעיף ב' את הקשר הנ"ל ונעזר בזהויות נקבל את פתרון סעיף א'. sin( ht) h ωd בגבול תוך שימוש בקשר: t h נקבל את תוצאת סעיף ג'. 36

37 y yt () = ycos( ω t) + sin( ω t) ב ד. כאשר = α (תנאי סעיף לא מתקיימים): ω yt () = y + yt ג עבור יתר המקרים ההתנהגות α > yt ( ) t α < yt ( ) t אחידה תחת תנאי כל הסעיפים 37

38 מטרות תרגיל.5.. מד"ר לינארית מסדר -משוואה דיפרנציאלית מסדר לינארית תלויה בזמן - מערכת משוואות לינאריות מסדר ראשון מד"ר ליניארית מסדר ראשון - תזכורת נרשום אותה באופן כללי כ- ) ( ) ( y + a t y= b t () למשוואה כזו יש פתרון כללי. כאשר y הוא גזירה של y לפי t. אזי הפתרון הכללי הוא t t t ( ) ( ) t ( ) ( ) at dt at dt at dt = + t t t yt Ae e bt e dt t פתרון פרטי של המשוואה המלאה פתרון כללי הומוגני נקבע לפי תנאי ההתחלה (לאחר ש- t A בפרט כאשר a קבוע נקבל נקבע קודם לכן באופן שרירותי). t at at at () ( ) y t = Ae + e b t e dt t 38

39 x = x () t x = x () t x = x+ x + e x = x x + 3t מצא את הפתרון הכללי למערכת המשוואות: t x x = x t e x = x + 3t t e A= g() t = 3t ( A λ,i) det = λ = 3 λ = פתרון ניתן לכתוב את מערכת המשוואות באופן מטריצי: נמצא ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים למטריצה : A 39

40 I u = ( A λ ),, u = u = x = הפתרון הכללי למערכת ההומוגנית Ax יהיה: = + = + λ t λ t t t 3 x cue c u e c e c e T = נכתוב את המטריצה המלכסנת של A בעזרת הו"ע המנורמלים: כדי לפתור את המערכת הלא הומוגנית נרצה להעביר את מערכת המשוואות התלויות למערכת של שתי משוואות בלתי תלויות. לשם כך נצטרך ללכסן את המטריצה A. נבחר ווקטור y כך- x = T y ונרשום את מערכת המשוואות שלו (כאשר D מטריצה אלכסונית): y Dy T = + g() t D= T AT נקבל: 4

41 t 3 y = 3y+ e t t 3 y = y + e + t קיבלנו שתי משוואות לינאריות מסדר ראשון אותן אנו יודעים לפתור באופן כללי. נמצא את הפתרון עבור y ונעבור בחזרה ל : x x 3t t t t 4 x = k e k e e te t x = הפתרון תלוי בשני פרמטרים חופשיים k k כי לא נתונים ת"ה. מטרה תרגיל.5.3. מד"ר לא לינארית מסדר - משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון לא לינארית פתור את המשוואה הדיפרנציאלית עם ת"ה: y 3 + a y = y() = b מהם תנאי ההתחלה (b) המאפשרים קיום פיתרון? באיזה תחום (t) הפתרון קיים? 4

42 dy y 3/ = adt פתרון זוהי משוואה פרידה. נכתוב אותה כך: = + / y at c נבצע אינטגרציה ונקבל: כאשר c נקבע לפי ת"ה: yt () / y () = c = b at + c = = at+ b c ולכן הפתרון יהיה: כדי שהפתרון יהיה קיים חייב להתקיים > b. הפתרון מוגדר ב- t > a > a b at + > t < a < b a b t a = 4

43 תרגיל.5.4. מד"ר לינארית מטרה - פתרון משוואה דיפרנציאלית לינארית בעזרת טור נתונה משוואת הרמיט: y'' xy' + λ y = y = y( x) < x < מצא פתרון כתלות בתנאי ההתחלה הנתונים: y() = Y y'() = Y y( x) = anx n= n פתרון נפתח את הפונקציה y לטור חזקות סביב =x : נגזור פעמיים ונציב למשוואה: 43

44 y'( x) = na x n= n= n y ''( x) = n( n ) a x y'' xy' + λ y = n n n n n n nn ( ) ax n nax n λ ax n n= n= n= + = n n n n n an+ x nanx λ anx n= n= n= ( + )( + ) + = n= [ λ ] n x ( n+ )( n+ ) a na + a = n+ n n n λ an+ = an n ( n+ )( n+ ) עכשיו על ידי השוואת מקדמים נקבל: a a n בשלב זה נוכל לחשב ברקורסיה כל בטור: כתלות ב a בלבד עבור n זוגיים, וכתלות ב בלבד עבור. < x < a n n אי-זוגיים. מהתכנסות הסדרות נובע שהפתרון שמצאנו נכון לכל 44

45 נפתח בנפרד את הטורים הזוגי והאי-זוגי ונוציא מכל טור כזה את הפרמטר החופשי כמכנה משותף. נסמן: λ (4 λ) λ 4 yeven( x) = x x...! 4! λ (6 λ)( λ) y x = x+ x + x + 3! 5! 3 5 odd ( )... y ( x) y ( x) even odd even yx ( ) = ay ( x) + ay ( x) odd ואז נוכל לכתוב: קיבלנו פיתרון שהוא קומבינציה לינארית של שתי פונקציות. לכן המשוואה. כדי למצוא את הפתרון כתלות בתנאי ההתחלה נשים לב שמתקיים: הן פתרונות של y y even () = y () = odd () = y () =,, even odd a = Y a = Y yx ( ) = Yy even( x) + Yy odd ( x) < x < ולכן: 45

46 . מתח/זרם ישר.. מעגלי התנגדות מיון רכיבים התנגדותיים- אופיין מתח זרם חיבור מקבילי וטורי התנגדות שקולה שימוש בחוקי קירכוהף מקורות תלויים ובלתי תלויים מעגלי זרם ישר מורכבים 46

47 רכיבים התנגדותיים תמצית תיאוריה רכיב מוגדר ע"י האופיין שלו, הקשר בין המתח על פניו לזרם הזורם דרכו. רכיב הוא ליניארי כאשר האופיין שלו הוא קו ישר. רכיב הוא קבוע בזמן כאשר האופיין שלו קבוע בזמן דוגמאות אופיינים: לא תלוי בזמן תלוי בזמן V(t) = (t) I(t) V(t) = α(t) I (t) V(t) = I(t) V(t) = αi ליניארי לא ליניארי 47

48 דוגמא לנגד לא לינארי - קבוע בזמן - דיודת זנר (מודל מקורב) I[A] 7-5Ω V[v] Ω ΜΩ [ ] [ ] [ ] Ω VD < 7[ V] = MΩ 7[ V] < VD < [ V] 5 Ω [ V] < VD 48

49 מטרה תרגיל... חיבור בטור ובמקביל - חיבור נגדים בטור ובמקביל הגדרה: חיבור טורי של רכיבים-כאשר דרך אותם רכיבים זורם אותו זרם. הגדרה: חיבור מקבילי של רכיבים-כאשר על אותם רכיבים נופל אותו מתח. א. חשב את ההתנגדות השקולה של n נגדים מחוברים בטור. n T ב. חשב את ההתנגדות השקולה של n נגדים מחוברים במקביל. n T = / G T 49

50 נתונים המעגלים שבציור. V in I in. ג. עבור מעגל מצאו את המתח על נגד ואת המתח על נגד ד. עבור מעגל מצאו את הזרם בנגד ואת הזרם בנגד. ה. השווה בין תוצאות שני הסעיפים (ג' וד') ו. הוכיחו שבחיבור במקביל של נגדים (לא בהכרח בעלי אותה התנגדות) הנגד השקול תמיד קטן מכל אחד מהנגדים המקוריים. ז. באיזו צורה, לדעתכם, מחוברים פנסי הרחוב (בטור או במקביל)? T פתרון א. מה- KVL מתקבל שחיבור בטור של n נגדים שקול מבחינת הרשת החיצונית לנגד אחד (שקול) שהתנגדותו היא סכום ההתנגדויות של כל אחד מהנגדים : 5

51 V = V + V V = I + I I T n n VT T = I n ומכאן n T = i i= ב. מה- KCL מתקבל שחיבור במקביל של n נגדים שקול מבחינת הרשת החיצונית לנגד אחד T שמוליכותו היא סכום המוליכויות של כל אחד מהנגדים. I T T = I I = V + I T T = I + n V = T V + n T V מוליכות מוגדרת כ- G, = / ולכן המוליכות השקולה היא T n n G T = G i i= 5

52 ג. מתוך משוואות קירכוהף וחוק אוהם מקבלים את נוסחאת מחלק המתח: I V in V V V in = V + V = I + I V = Vin + V = Vin + כלומר המתח במוצא ) V או ( V הוא פרופורציונאלי למתח הכניסה יחס המתחים כיחס הנגדים וליחס הנגדים. V V = ד. מתוך משוואות קירכוהף וחוק אוהם מקבלים את נוסחת מחלק הזרם: I in I in I I V V I in V V V = I = V = I = I + I I I = I = I in in + + 5

53 כלומר הזרם במוצא ) I או ( I הוא פרופורציונאלי זרם הכניסה וליחס הנגדים (שונה ממחלק המתח). I I = יחס הזרמים הפוך מיחס הנגדים ה. ניתן לראות את האנלוגיה בין הנוסחאות שהתקבלו. קיים דמיון גם לנוסחאות שמתקבלות עבור המוליכויות. למשל במעגל : I I = I = I in in G G + G G G + G ו. נניח שיש N נגדים. נראה שההתנגדות השקולה קטנה מהתנגדותו של כל אחד מהם. ניקח n כלשהו. לכל n, ולכן מ. ש. ל. T N = k= k n T n אזי 53

54 ז. אם נחבר את כל הפנסים בטור, אז הפנס הראשון שנשרף גורם לנתק ולחושך בכל הרחוב. בנוסף, מתח הכניסה צריך להיות גבוהה (ככמות הפנסים) לכן צריך לשים בידוד עבה יותר כדי להימנע מפריצות מתח. אם נחבר את כל הפנסים במקביל, אז אין בעיה של נתק בעת שריפת פנס. לעומת זאת ס"כ הזרם יהיה גדול יותר (ככמות הפנסים) לכן צריך לשים חוטי חשמל עבים יותר (להולכה טובה יותר של הזרם). הפתרון המעשי הוא חלוקת הרחובות לקטעים בלתי תלויים, כאשר בכל קטע הפנסים מחוברים במקביל. לסיכום: חיבור במקביל של שני נגדים: T = = + בחיבור מקבילי ההתנגדות השקולה קטנה מהנגד הקטן ביותר: T min( j, j =.. n) במקרה של n נגדים זהים מחוברים במקביל: T = n 54

55 תרגיל... התנגדות שקולה I מטרה - חישוב התנגדות שקולה V s 3 נתון המעגל שבציור. סוללה בעלת מתח ריקם של [V]4 Vs = והתנגדות הפנימית [Ω] = מזינה את הנוריות כ"א בעלת התנגדות של [Ω]. = 3 = א. חשבו את הזרם I הנצרך מהסוללה. ב. חשבו את ההתנגדות השקולה (התנגדות כניסה) שרואה המקור (התא הכימי).Vs ג. חשבו את ההתנגדות הכניסה בעזרת שקול נגדים. ד. חשבו את ההספק הנצרך ע"י הנורית. 3 I + = I I3 א. פתרון מתוך חוק הזרמים של קירכוהף : KCL V k V = V + V ; V = V s 3 = I, k =,,3 k k מתוך חוק המתחים של קירכוהף : KVL חוק אוהם (עבור כל הנגדים): 55

56 V V s I I I 3 3 V 3 I = [ A] כאשר הכוונים מסומנים באופן הבא: יש כאן שש משוואות בששה נעלמים. פותרים עבור I ומקבלים: ב. התנגדות הכניסה (שרואה המקור) היא מתח המקור חלקי הזרם הזורם דרכו in Vs 4 = = = [ Ω] I ג. מנקודת הראות של המקור, ו- 3 מחוברים במקביל והשקול שלהם מחובר בטור ל- = + = + = Ω in 3 3 [ ] + 3 הערה: ניתן כעת לענות על סעיף א' ביתר קלות: הזרם I הוא: I Vs 4 = = = [ A] in 56

57 I = I = A 3 P = I = = [ W] ד. ההספק הנצרך ע"י : 3 שימו לב כי הזרם מתחלק שווה בין הנוריות: מטרות תרגיל..3. חיבור מקבילי - בחיבור במקביל ההתנגדות השקולה קטנה! - פישוט החישוב ע"י שימוש בהתנגדות שקולה - הדגשה שבמעגל מקובץ זרם זורם בחוג סגור - טופולוגיית המעגל משני כיוונים (התנגדות מוצא וכניסה) V in 3V I in Ω 3Ω 3 5Ω Ω 4 5 5Ω L Ω 6 5Ω a b + -. נתון המעגל שבציור. מצאו את התנגדות הכניסה (ההתנגדות שרואה המקור). חשבו את ההספק הנצרך ע"י חשבו את הזרם בנגד. 6 57

58 חשב את המתח בין הנקודות a ו- b. מצא את התנגדות המוצא (ההתנגדות שרואה נגד ) L, כאשר מקור המתח מאופס. א. פתרון נצייר את המעגל השקול לפי שקולי נגדים I in 3Ω Ω a V in 3V Ω 3 5Ω Ω 4 5 5Ω L 6 5Ω מעגל I in 3 I in V in 3V Ω 4.3Ω 3.7Ω 4 5 L VL V in 3V T Ω מעגל מעגל 3 ההתנגדות T שרואה המקור היא 58

59 T = + + = + + Ω L [ ] L הנגד 6 אינו משפיע על חישוב הנגד השקול כי הוא מנותק. ב. הזרם I in זורם במעגל המקורי ובמעגל השקול ולכן Vin Iin = 3[ A] P = Iin 8[ W] ג. מכיוון שנקודה a מנותקת לא יזרום זרם ב- 6 (זרם זורם רק בחוג סגור!). אם היה זורם זרם, היינו מקבלים סתירה ל- KCL. T ד. מכיוון שלא זורם זרם ב-, 6 אותו מתח קיים בשני הדקיו: לפי V = I המתח עליו הוא אפס. כלומר המתח בין a ל- b זהה למתח על-. L המתח על L זהה למתח על 5 ו-, 4 ונחשב אותו לפי מעגל בסעיף א': ab L in 4 5 L [ ] V = V = I ( ) V 59

60 התנגדות המוצא 3Ω Ω 3 5Ω 4 Ω 5 5Ω o o = ( + ).44[ Ω] o תרגיל..4. נגד משתנה בזמן מטרה - ניתוח מעגל הכולל נגד משתנה בזמן נתון המעגל שבציור, כאשר: V s ( ω ) ( ω ) V = V + V cos t ; = + cos t s A B 6

61 ידוע כי. > א. תנו ביטוי למתח על כתלות בפרמטרים הנתונים. ב. נתון: [Ω] V.חשבו A = 5[V], V B = [V], = 4[Ω], = [Ω], = את המתח על. ג. חשב את הזרם במעגל. ד. חשב את ההספק הרגעי בכל נגד. I in V פתרון חוקי קירכוהף מתקיימים גם לרכיב תלוי בזמן. V s V א. מתוך KVL מקבלים ( ω ) ( ω ) V = I + I V V + V cos t V I t in in in in A B V = = = in + + cos + V ( ωt) ( ωt) 5+ cos = = [ V] 4+ + cos ב. נציב את הערכים: 6

62 V I in = = A ג. הזרם במעגל: in in ( 4 cos ( ω )) [ ] [ ] P = I = + t W P = I = W ד. ההספקים על הנגדים במעגל: ( ω ) [ ] P = VI = 5+ cos t W in in in ההספק הנמסר מהמקור: ניתן לראות ש-.Pin = P + P 6

63 מקורות מתח וזרם תלויים בלתי תלוי תלוי תלוי מתח תלוי זרם + I x y I x [V]/[A] = [Ω] ביחידות: y + - V x µ V x [V] V s מקור מתח יחידות: µ חסר יחידות + I x α I x V x - gm V x I s מקור זרם [A]/[V] = [Ω-] g m יחידות: [A] ביחידות: αחסר יחידות הערה: המקורות התלויים הנ"ל בעלי אופיין ליניארי 63

64 . תרגיל..5. מגבר מטרות - שימוש במקורות מבוקרי מתח או זרם. - המחשה שזרם במקור מתח (תלוי ולא תלוי) הוא לא קבוע, ותלוי ברכיבי במעגל - המחשה שמקורות תלויים מוסרים הספק למעגל (כמו מקורות בלתי תלויים). נתונה סכימת תמורה לטרנזיסטור (Metal-Oxide-Semiconductor), MOS שמשמש כמגבר: r o V in 5V [] ΜΩ 8ΜΩ Vgs.5 V gs + - ΜΩ L ΜΩ א. מצאו את המתח על. L ב. חשבו את הזרם העובר דרך המקור התלוי. ג. חזרו על סעיף ב' כאשר ערכו של העומס L הוא.MΩ 64

65 ד. עבור הנתונים המקוריים חשבו את הספק הכניסה (ההספק הנמסר מהמקור) ואת הספק המוצא (ההספק על נגד העומס ). L הסבירו. * תזכורת: = 6 M µ = -6 פתרון = -9 n א. אין תלות בין מעגל הכניסה למעגל המוצא. I in I o V o r o V in 5[ V ] V Vgs.5 V gs + - L VL Vin = Iin+ Iin Vgs = Vin = 4[ V] Vgs = Iin + 65

66 עבור דרגת המוצא (ההגברה).5Vgs = Ioro + IoL.5VgsL VL = = [ V] V r L = IoL o + L ב. הזרם העובר דרך המקור התלוי I o.5vgs.5 4 = = = = r + M + M o L I o A 7 5 [ µ ] VL = = = [ µ A ] M.5Vgs I = = A = A r + o L L 6.85 [ ].85[ µ ] נוכל גם לפתור בעזרת סעיף א: ג. כאשר משנים את L ניתן לראות שהזרם במקור מתח (תלוי וב"ת) אינו קבוע אלא תלוי במעגל. V in 9 Iin = = 5 A= 5[ na] + P = V I = 5[ nw] in in in ד. הספק הכניסה: 66

67 הספק המוצא: P o = VL 5[ nw ] = M = L ניתן לראות שהספק המוצא גדול מהספק הכניסה, כלומר באמצעות המקור התלוי (המגבר) נמסר הספק למעגל. המקור התלוי "מכיל" מאגר אנרגיה נפרד מזה של מקור הב"ת. לפי עקרון דומה מאוד, הצליל מווקמן (שיש לו סוללה קטנה וחלשה יחסית) מוגבר במערכת סטריו (שיש לה הספקה מרשת חשמל ביתית) ויוצא בעוצמה של עשרות וואטים. V b 4Ω V a Ω 3Ω 3 7Ω V d 4 V c t 3Ω 6 Ω V e 4V h V f V V 5V 4V 5 V מטרות תרגיל..6. חיבור ענפים נתון המעגל שבציור. - חיבור מקורות מתח ונגדים בטור - שרטוט מעגל שקול - דגש על כך שזורם אותו זרם באותו ענף א. חשבו את המתח בין הנקודות t ו- h. ב. חשבו את הזרם העובר דרך 5 ג. חשבו את ההספק על 6 (בשתי גישות) 67

68 פתרון א. נפשט את המעגל ע"י חיבור טורי של נגדים ומקורת מתח. כעת נפעיל את חוקי קירכוהף על המעגל השקול: I t I 3 I Vab 3V 5Ω 56 V 34 V34 V56 Ω 5Ω V cd 5V h Vef 5V P I W 6 = 3 6 = 5[ ] KVL : V = V I = V I = V + I KCL : I + I = I3 th ab cd 34 ef 3 56 אלו שלוש משוואות בשלוש נעלמים (הזרמים). נפתור ונקבל [A]5 I. 3 = Vth = Vef + I5656 = [ V] מכאן: הזרם דרך 5 הוא הזרם I 3 במעגל השקול ולכן [A]5= I. 5 ב. הזרם ב- 6 שווה לזרם במעגל השקול I, 3 ולכן ההספק על 6 הוא: ג. גישה שניה היא מאחר וידוע המתח Vth נוכל למצוא את המתח על 6 לפי 68

69 V = V V I = [ V] P 6 th ef V6 = = 5[ W] 6 מטרה תרגיל..7. חיבור קבלים - חיבור קבלים בטור ובמקביל a b C C C 3 C 4 C 5 הגדרה: קיבול שקול ביו שני הדקים מוגדר כיחס בין המטען הכולל בין ההדקים למתח בין ההדקים. הקבלים שניתן להשיג באים בגדלים סטנדרטיים. לפעמים, בתכנון המעגל נדרשים קיבולים שאינם נמצאים על המדף. במקרים כאלה נדרש המהנדס להרכיב את הקיבול השקול הרצוי מתוך הרכיבים הזמינים. בשאלה זו, חוברו הקבלים כפי שמופיע בציור הבא. מצאו ביטוי לקיבול השקול בין ההדקים a ו- b. פתרון אופיין קיבולי- Q=CV 69

70 עבור חיבור קבלים במקביל, מכיוון שהמתח זהה על כל קבל (חוק שימור האנרגיה ( מקבלים: C = C + C Tp C n עבור חיבור קבלים בטור, מכיוון שהמטען זהה על כל קבל (חוק שימור המטען) מקבלים: C = C + C Ts C n C eq = C 4 + C 5 + C 3 + במעגל הנתון הקיבול השקול הוא C + C מטרה תרגיל..8. חיבור סלילים - חיבור סלילים בטור ובמקביל הגדרה: השראות שקולה (סליל שקול) בין שני הדקים: אם נחליף את המעגל באותו סליל שקול נקבל אותו קשר בין המתח לזרם. 7

71 מערכת הנעה של רובוט מבוססת על מספר מנועים שפועלים בו-זמנית. את המנוע החשמלי ניתן לראות כסליל (בהזנחת התנגדותו). לצורך יצירת הכוח (ומהירות הסיבוב) הרצויים חוברו הסלילים כפי מוצג באיור הבאה. L a L L 3 L 4 L 5 b L 6 L 7 לצורך תכנון המערכת נדרש למצוא את ההשראות השקולה בין שני ההדקים.ab פתרון מחוקי קירכהוף מקבלים: L = L + L Ts L n חיבור סלילים בטור L Tp = L L L חיבור סלילים במקביל n 7

72 (דומה לנגדים). במעגל הנתון ההשראות השקולה היא: L eq = L + L ( L + L ) L + L L = L L L + L L L L הערה: נגד\סליל\קבל שקול- אם נחליף את המערכת הנתונה ברכיב השקול שלה הוא יקיים את אותו קשר בין המתח לזרם שהמערכת הנתונה קיימה r תרגיל..9. רשת חצי-אינסופית נתונה הרשת החצי-אינסופית שבציור. בטאו את ההתנגדות השקולה של הרשת באמצעות r r r r r r r r t ו- t זהות (רואות לפניהן מספר אינסופי של פתרון עבור רשת חצי אינסופית ההתנגדויות השקולות חוליות). נכנה אותן. לכן: 7

73 r r r r r r r r t t 5 r r r r r + = + = = בחרנו את הפתרון הפיסיקלי (החיובי) כיוון שהתנגדות היא תמיד חיובית. תרגיל... גשר a מטרות - לא כל חיבור נגדים הוא בטור או במקביל או שילוב שלהם! - אפליקציה למעגל למדידת התנגדות - שימוש במחלק מתח כדי לפשט את הניתוח V s V b = r = r 5 = α c d = 3 r r,d ל- c נתון המעגל הבא שבציור: א. כאשר 5 מנותק מהמעגל, בטאו את מפל המתח בין ואת ההתנגדות השקולה T בין הנקודות a ו- b, באמצעות הפרמטרים α ו- r. T 73

74 . 5 = r ועבור 5 = r ב. כעת מחברים את 5 למעגל ו- = α. מה יהיה מפל המתח בין c ל- d עבור ג. עבור α ו- 5 = r, בטאו את מפל המתח בין c ל- d ואת ההתנגדות השקולה T בין הנקודות ו- r. α הפרמטרים באמצעות ו- b a פתרון א. כאשר 5 מנותק מהמעגל, לפי מחלק מתח נמצא את המתח בנקודות c ו- : d V V c d Vs r = = Vs r+ r 3 Vs r = = V αr+ r + α ( Vc, הם מפלי המתח בין b ל d ו c בהתאמה V s α V = V V = V 3 α + cd c d s מעגל זה יכול לשמש למדידת גודלם של נגדים (גם קבלים וסלילים, כפי שנראה מאוחר יותר) ולפי מפל המתח בין c ל- d נדע את השגיאה מהערך הנומינלי (הפרמטר r). ההתנגדות השקולה במעגל זה היא חיבור במקביל של שני הענפים: ( + α ) 3 ( ) ( ) ( ) T = = r+ r ( αr+ r) = r 5 + α d ) * 74

75 ב. כאשר = α לפי (*) המתח V cd הוא אפס. כאשר נחבר את, 5 לא משנה גודלו, מכיוון שהמתח על פניו אפס לא יזרום דרכו זרם. חיבורו לא משפיע על המעגל. ג. כאשר α ו-, 5 = r אין שוויון מתחים בין c ל- d, ולכן יזרום זרם ב-. 5 a I s V s I c I I I 4 d I 3 3 b I + I = Vs KVL : I3 3+ I4 4 = Vs I + I = I I + I = I KCL : I = I + I משוואות המעגל הן: נפתור עבור I ו- :I 5 75

76 + 5α V 7 V ( α ) V I = ; I4 = ; I5 = ( + α) r ( + α) r ( + α) r s s s T (α עבור = I 5 = V I ( α ) 5 = 5 5 = ( + α ) V s Vs Vs + α = = = r I I + I 9+ 5α s 4 (בדיקה: נשים לב שאכן מתקבל ומכאן נקבל: דרך פשוטה לבדוק את עצמנו תהיה להשאיף את α לאינסוף, כך ש 4 לחשב נגד שקול בעזרת חיבור במקביל ובטור (נסו בעצמכם). יהפוך לנתק. במצב זה קל מאוד T = ( α ) 5 ומתקבל כצפוי: r 76

77 .. משפט הסופרפוזיציה משפטי תבנין-נורטון משפטי רשת עיקרון הסופרפוזיציה במעגל בעל יותר ממקור אחד (ב"ת) ניתן למצוא את הפתרון ע"י ניתוח עבור כל אחד מהמקורות הבלתי תלויים בנפרד- בעת שננתח את המעגל עבור מקור אחד נאפס את כל היתר "במערכת ליניארית פתרון סכום הכניסות שווה לסכום הפתרונות עבור כל כניסה" איפוס מקור מתח הוא החלפתו בקצר; בצורה דומה איפוס מקור זרם משמעותו החלפתו בנתק. אין לאפס מקורות תלויים. שקול נורטון - תבנין פרמטרי שקול תבנין-נורטון מוגדרים באופן הבא: V = I Z Z = OC SC EQ EQ Y EQ כאשר: 77

78 מטרה תרגיל... סופרפוזיציה - שימוש בסופרפוזיציה מערכת חימום ב- 6 תאיי ניסוי תוכננה כך: בכל תא יש גוף חימום שהתנגדותו אוהם; מקור זרם I s מספק את רמת החימום הבסיסית הנדרשת. לאחר הרצה ראשונית נמצא כי אין מספיק חימום בתא מספר 4. הוצעה להוסיף מקור אנרגיה חיצוני נוסף s V (שהתנגדותו הפנימית היא ), שאמור להגדיל את החימום. לפני הביצוע, השינוי הוצג למהנדס מעבדה לאישור. נדרש לבדוק האם השינוי המוצע ישפר את המצב (או לא) בלי לחשב את ההספקים. Ω I I s 5A Vs V 5Ω 3 Ω V 3 להלן המעגל מנקודת מבט של תא מס' 4: נגד 3 מייצג את גוף החימום של התא ונגד מייצג את גופי החימום של שאר התאים. יש לפתור את השאלה לפי השלבים הבאים: א. מצאו את תרומת המקור V s לבד למתח V 3 ולזרם I. 78

79 ? ב. מצאו את תרומת המקור I s לבד למתח V 3 ולזרם I. ג. מצאו את המתח V 3 והזרם I בנוכחות שני המקורות יחד.(לאחר השינוי) ד. מה היה המתח V 3 לפני הוספת מקור מתח חיצוני (לפני השינוי)? האם השינוי יעזור או לא ה. כיצד תלויים V 3 ו- I בגודלו של? ו. כיצד מושפע החימום בשאר התאים כתוצאה משינוי? פתרון א. נמצא את תרומת המקור V s בעזרת המעגל הבאה: השוויון הראשון הוא מנוסחת מחלק המתח. ( ) = = 8[ ] 3 V3 Vs Vs V + 3 Vs I ( Vs ) = =.4[ A] + I V 3 s I 3 ב. נמצא את תרומת המקור I s בעזרת המעגל הבא: 79

80 ( ) V3 Is = Is ( 3) = [ V] 3 I ( Is) = Is = 4[ A] + 3 השוויון השני הוא מנוסחת מחלק הזרם. ג. מכאן המתח V 3 והזרם I בנוכחות שני המקורות הם: ( s) ( s) ( ) ( ) V = V I + V V = + 8 = 8[ V] I = I I + I V = 4+.4= 3.6[ A] s כבר כאן אפשר לראות כי זרם I הינו בכוון החיובי יחסית למקור V s ולכן ברור כי המקור מתפקד כצרכן (ולא כספק אנרגיה כפי שהיינו רוצים). ד. לפני הוספת מקור מתח חיצוני המעגל נראה כך: s I I s 3 I 3 I s 3 ולכן המתח לפני השינוי היה V3 = Is3 = 5A Ω = V I 3 8

81 זאות אומרת שהשינוי גורם לירידת מתח על גוף חימום של תא 4, ולכן גם לירידת החימום. כלומר השינוי לא רק שלא יעזור אלא גם יפגע עוד יותר בטמפרטורה בתא. ה. ל- אין שום השפעה על V 3 או I, כי הוא מחובר בטור למקור זרם אידיאלי. ו. מכוון שתוספת המקור אינה משפיע על הזרם בשאר התאים (שנקבע רק ע"י (Is אזי לא יהיה כל השפעה על שאר התאים. תרגיל... חישוב הספקים I s A מטרה - שימוש בסופרפוזיציה - אין סופרפוזיציה של הספקים! V s 5V Ω + - Ω 3 4 4Ω 5Ω השתמשו בסופרפוזיציה על מנת לחשב את: א. המתח על 3 ההספק על ב. פתרון נמצא את תרומת I s בעזרת מעגל א'. מנוסחת מחלק הזרם 8

82 I s = = 6[ ] 4 I Is A = = = 8[ ] V3 3I3 3I V + 3 נמצא את תרומת V s בעזרת מעגל ב'. מהנוסחאות של מחלק מתח ומחלק זרם: ( + ) ( + ) V3 = Vs = V 3 4 ( ) [ ] V I = = V = [ A] ( ) ( ) V3 = V3 Is + V3 Vs = [ V] א. נחשב את המתח הכולל על : 3 ב. נחשב את הזרם הכולל I, ובעזרתו את ההספק הנצרך ע"י. ( s) ( s) I = I I + I V = 4[ A] P = I = 3[ W] V s I I + - I I I I 3 ב' א' I 4 8

83 נשים לב: עם מקור הזרם בלבד ההספק הנצרך ע"י הוא [W]7, ואילו עם מקור המתח בלבד [W]8. סכומם אינו שווה [W]3. ככלל, אין סופרפוזיציה של הספקים, כי ההספק אינו לינארי. במתח. ( P I, P או בזרם ) V מטרה תרגיל..3. שקול תבנין-נורטון - מציאת שקול תבנין נורטון V s t + LOAD h - בתכנון התקן (שמשמש כעומס) נדרש להתאים אותו למעגל שבו יפעל ההתקן. לצורך כך רוצים לדעת את המתח המכסימלי שיוכל לקבל ההתקן, את הזרם המכסימלי ואת התנגדות השקולה של הרשת. המעגל מופיע בציור. לשם תשובה למתכנן נדרש למצוא את גדלים הבאים (מנקודת הראות של העומס): א. מתח הריקם. ב. זרם הקצר. ג. ההתנגדות השקולה. eq ד. מעגל שקול תבנין. ומעגל שקול נורטון. 83

84 V s V s פתרון א. מתח הריקם הוא הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות t וh ביניהן מודדים את המתח. חישוב מתח הריקם V oc בין הנקודות :th Voc = V = Vs + מכאן קבלנו את המתח המכסימלי שיפול על העומס במידה התנגדתו תהיה גדולה מאוד. ב. זרם הקצר מחושב כאשר יש קצר בין הנקודות t וh ביניהן מודדים את הזרם. השרם נמדד על ה"חוט" המקצר. חישוב זרם הקצר I sc = V s :I sc מכאן קבלנו את הזרם המכסימלי שיזרום דרך העומס במידה התנגדותו תהיה קטנה מאוד. t + h - t + I sc h - t + ג. חישוב התנגדות שקולה s s = *ניתן לראות כי.s=Voc/Isc זוהי ההתנגדות שהיה רואה ההתקן במידה והיה משמש כמקור. h - 84

85 ד. שקול תבנין + עומס שקול נורטון + עומס t + s = t + I sc = V s s = LOAD V oc = Vs + LOAD h - h - מטרה תרגיל..4. משפטי רשת - שימוש בשקולי נורטון-תבנין - שימוש בסופרפוזיציה V s 4Ω I s V A Ω 3 4 5Ω Ω L Ω חשבו את ההספק הנצרך ע"י L א. ע"י מעבר למקורות מתח ב. ג. ע"י מעבר למקורות זרם ע"י שימוש בסופרפוזיציה ד. ע"י שימוש בחוקי קירכוהף 85

86 פתרון א. שימוש פשוט ושכיח בשקול נורטון תבנין הוא ההחלפה בין מקור זרם המחובר לנגד במקביל, למקור מתח המחובר לנגד בטור. מעבר זה זהה למעבר משקול נורטון לשקול תבנין. מקור המתח יהיה שווה V s V בגודלו למפלת מקור הזרם בנגד. והנגד ישאר באותו גודל אך יחובר בטור למקור המתח במקום 4Ω T V th 55V 5Ω 5Ω L במקביל למקור הזרם. (ניתן לבצע את המעבר ההפוך כפי שנראה בסעיף ב). נחשב את הנגד השקול במקביל למקור הזרם: 5[Ω] T = = Ω ונעבור למקור מתח שקול: 55[V] V th = I s T = כעת ניתן לפתור, למשל, ע"י סופרפוזיציה: עבור Vs (כאשר V th מקוצר) המתח על L הוא: V V = V = [ V] L T ( ) L s s + L T עבור V th (כאשר Vs מקוצר) המתח על L הוא: V V = V = [ V] L ( ) L th th T+ L ולכן המתח הכולל על L וההספק עליו הם: א' VL VL = VL( Vs) + VL( Vth) = 3[ V] PL = = 9[ W] L 86

87 הפתרון הפשוט ביותר לשאלה זו הוא בעזרת מעבר למקורות זרם: I sc Is 5.5A A 4Ω T 5Ω L Ω (שקול נורטון) 5.5[A] I sc = Vs/ = המתח על L הוא: ( ) V = I + I ( ) = 3[ V] L s sc T L את הפתרון בדרך ג' וד' לא נביא כאן. מטרה תרגיל..5. סופרפוזיציה - שימוש בסופרפוזיציה לבקרה על תהליך כימי מסוים משתמשים במנורה (שמיוצגת על ידי ) 4 Ω המתח שנופל על המנורה V מגדיר את עוצמת הארה שלה וכך נותן חווי 5Ω Ω V על מצב התהליך. לתהליך ישנם 3 חיישנים (סנסורים) שמיוצגים על ידי Va 7V V b Vc 34V 5V 3 3Ω מקורות מתח V. c V, b V, a במצב מסוים של התהליך, החיישנים מייצרים מתח כפי שמוגדר בציור. יש למצוא את המתח V במצב הזה של התהליך. פתרון נפתור את השאלה הזאת בעזרת משפט סופרפוזיציה. 87

88 את תרומתו של כל מקור נחשב מהמעגלים 4 V V 4 3 V a V b V c 4 V V ( Vb) = ( Vb) = 4[ V] V ( Va) = Va = [ V] + 4 V ( Vc) = Vc = 36[ V] + 4 ( ) ( ) ( ) V = V Va + V Vb + V Vc = 3[ V] ולכן המתח V הכולל הוא 88

89 Ω Ω 3 3Ω 4 4Ω + מטרה תרגיל..6. ספורפוזיציה - שימוש בסופרפוזיציה V s I s V A 5 5Ω - V out מצאו את המתח V out ע"י סופרפוזיציה. פתרון V s V out 4 5 המעגל עבור V s לבד: 5 Vout ( Vs ) = Vs = 5[ V] המעגל עבור I s לבד: Ia Ib I s + V out - נמצא את הזרם I b ע"פ מחלק זרם ואח"כ את המתח V out ( ) ( + ) Ib = Is = A V I = I = 5[ V] out s b 5.5[ ] אין תלות ב- 3 כי הוא מחובר בטור למקור זרם אידיאלי. 89

90 ( ) ( ) 75[ ] V = V V + V I = V out out s out s המתח Vout הכללי הוא: 5Ω Ω 3 t 5Ω תרגיל..7. סופרפוזיציה מטרה - שימוש בסופרפוזיציה מצאו את המתח בין הנקודות t h ע"י שימוש בסופרפוזיציה. V a V b V c 3V 5V 5V h פתרון t t t V a V b V c h h h Va המעגל עבור Vc המעגל עבור Vb המעגל עבור 3 Vth ( Va ) = Va = [ V] + 3 9

91 Vth ( Vc ) = ( Vc ) = [ V] + 3 ( ) ( ) ( ) [ ] V = V V + V V + V V = V th th a th b th c 3 Vth ( Vb ) = Vb = [ V] + 3 המתח Vth הכולל הוא: מטרה תרגיל..8. מגבר - שקולי תבנין ונורטון במעגל עם מקורות מבוקרים מעגל הבא מתפקד כמגבר של אות הכניסה Vs כלפי עומס. L V s V x L a b K V x 4 ב. ג. ההגברה נעשית באמצעות מקור זרם מבוקר. כאן (לעומת מעגל L דומה שראינו קודם) החלקים שמאלי וימני מחוברים! א. חשבו את מתח הריקם בין הנקודות.ab חשבו את זרם הקצר בין הנקודות.ab חשבו את ההתנגדות השקולה בין הנקודות ab כאשר מנותק. ד. שרטטו מעגל שקול תבנין עבור, L וחשב את המתח על L לפי המעגל השקול. ה. שרטטו מעגל שקול נורטון עבור, L וחשב את המתח על L לפי המעגל השקול. 9

92 א. פתרון משוואות המעגל: V s I I I V x K V x a b = + = 4 ( + K 3) ( ) + Vab Vx I33 Vs K I+ I3 = I Vs = I + I Vx = I I3 = KVx מפתרונן מתקבל: ב. משוואות המעגל: I I 3 V s I V x a b I sc K V x 4 KVx = I3 + Isc I + I3 = I Vx + I33 = Vs = I I 3 3 מהפתרון מקבלים: 9

93 ( K 3 + ) ( + )( + ) Isc = Vs 3 * מי שירצה לקבל בעצמו את התוצאה יוכל להיעזר בחלק מהקשרים הפשוטים הבאים: + + = ( + )( + ) = ( + )( + ) = ( + )( + ) ג. במעגל עם מקורות תלויים מקצרים מקורת מתח ב"ת ומנתקים מקורת זרם ב"ת, וניתן לבחור באחת משתי הדרכים הבאות (ישנן נוספות): חיבור מקור מתח V T בין נקודות ab וחישוב הזרם I T העובר דרכו או לחילופין חיבור מקור זרם I T בין נקודות ab וחישוב המתח V T שנופל עליו. מהקשר בין I V x - V T K V a x I 4 T b המתח לזרם נקבל את התנגדות הדרושה נחבר מקור מתח V, T ונקבל ממשוואות המעגל: KVx + IT = I3 Vx = I3 VT = I + ( ) ( ) 3 3 נחלץ את I 3 משתי המשוואות הראשונות (כתלות ב I T בלי תלות ב (Vx ונציב למשוואה השלישית. מקבלים את V T ומחלקים ב : I T 93

94 T IT ( 3+ ) V ( K ( )) T + = = = I I K T T 3 ( ( ) ) ניתן לבדוק ולראות שהתוצאות מסעיפים א' וב' תואמות לתוצאת סעיף ג:, T = Vab / Isc וזוהי כמובן דרך נוספת לחישוב. T הערה: השימוש "במקור עזר" נדרש על מנת שנקבל תוצאה הכוללת את השפעת המקור התלוי על הנגד V x = השקול. אם לא נוסיף "מקור עזר" נקבל ד, ה. והנגד השקול יאבד את התלות ב- K. T I sc T L L ( ) V = I L sc T L V ab V L L = V ab T + L שקול תבנין שקול נורטון 94

95 תרגיל..9. מקורות מבוקרים מטרה - סופרפוזיציה במעגל עם מקורות מבוקרים + i i V _ 5K Ohm E = V 3V - + E = V + V 3K Ohm Is= 5mA מצאו בעזרת משפט הסופרפוזיציה את המתח V במעגל הנתון. פתרון נמצא את תרומת כל אחד מהמקורות הב"ת (אין לאפס מקורות מבוקרים) + i i V 5KΩ + _ E =V V 3KΩ 3V - + V = 6[ V] תרומת :E 95

96 V =.[ V] תרומת :E V3 = 5[ V] תרומת :Is סה"כ: V] v = v+ v + v3 = 7.8[ i i V + - 5KΩ E =V V + 3KΩ - + V i i 5KΩ - + V 3 3KΩ I S = 5mA 3V 3V תרגיל... מגבר 5Ω Vε + f Ω r Ω + מטרה - סופרפוזיציה במעגל עם מקורות מבוקרים נתון: ] - 3[Ω Vin = 5[V], K = Vin Ω - o.5ω Vo K Vε - בעזרת סופרפוזיציה מצאו את: א. המתח.Vout 96

97 f ב. ההספק הנצרך ע"י הנגד V in + - פתרון מקור המתח משפיע על מתח המוצא בשתי צורות ישירה ועקיפה (דרך המקור המבוקר). f o V out o Vout = Vin = [ V] + o ) ההשפעה הישירה: f ) ההשפעה העקיפה: V s 5Ω Ω V ε + - r o Ω K V ε o.5ω f Ω + Vout - [ ] Vε = Vin = V + 3 ( ) V = KV = [ V] out ε o f Vout = Vout+ Vout מתח המוצא הכללי הוא: [V ] = הסבר: ההפרדה שעשינו בסעיף א' דומה לסופרפוזיציה של מקורות "רגילים" בלתי תלויים. איפסנו בכל פעם מקור אחד וסכמנו את המתחים. הפרדה זו מותרת כי למעגל שני חלקים בלתי תלויים המחוברים שניהם במקביל למקור המתח. הנגד והמקור התלוי, נמצאים על חלקים שונים במעגל שאינם משפיעים זה על זה. 97

98 V = ( V V ) + ( V ) P f in out out f ( ) V f Vin Vout = = = 5.6[ W ] f f ההספק הוא על הנגד : f תרגיל... חיבור אותות משתנים בזמן מטרה- שימוש בסופרפוזיציה, חיבור אותות משתנים בזמן Vin Iin במעגל הנתון שני המקורות משתנים בזמן כמתואר בשרטוט. א. חשבו ושרטטו את המתח על הנגד כתלות בזמן. ב. חשבו ושרטטו את הזרם בנגד כתלות בזמן. פתרון 98

99 א. נפתור בעזרת סופרפוזיציה. תרומתו של כל מקור למתח על הנגד : V ( V ) = V ; V ( I ) = I ( ) in in in in + ( ) ( ) V = V V + V I =.5V 3.75[ Ω ] I in in in in I V I V I = + = [ Ω] 4 in in in in ב. באופן דומה התוצאות מופיעה בשרטוט הבא:. 99

100 מטרה תרגיל... טלפון - שימוש בסופרפזיציה, חיבור אותות משתנים בזמן u () t מכשיר הטלפון הקווי פועל באופן הבא. על קווי נחושת, המחוברים אליו, הוא מקבל גם את הספקת המתח וגם את אותות הדיבור. בשאלה כאן ננסה לתת דוגמא לפעולה של מכשיר טלפון (דמיוני). במעגל שמופיע בשרטוט מכשיר הטלפון (והחוטים שמובילים עליו) מיוצג על-ידי נגד. כל שאר הרכיבים נמצאים בתחנת בזק. כאשר הטלפון במצב המתנה, הוא צורך מעט אנרגיה (הפעלת תצוגה וזכרונות, חווי לחיצה על מקשים). האנרגיה הזאות מסופקת על-ידי מקור.Vs עם הקמת השיחה המכשיר צורך יותר אנרגיה (הפעלת רמקול ותקשורת עם שפופרת אלחוטית). האנרגיה הזאת מסופקת על ידי I s שמופעל ע"י הבקר (שמנהל את השיחות) של מרכזיה. אותות הדיבור (שהולכים לכוון הטלפון) מגיעים מהמקור I. s באיורים הבאים מוצג שרטוט המערכת ותהליך הקמת שיחה (ברגע 4=t שניות). לצורך אינטגרציה בין מכשיר הטלפון לבין המרכזיה נדרש המהנדס לשרטט את ס"כ המתח הנופל על המכשיר (על ). הנתונים מופיעים באיורים. בנוסף, ניתן להעזר בהגדרה של הפונקציה :u(t) = t t <

101 Ω I s. ut ( 4)[ A] I s 3.sin( π t)[ A] + Ω - 3Ω V S 3V פתרון המתח V כתוצאה מכל אחד מהמקורות: I s I 3 s V s V = V( Is) + V( Is) + V( Vs) = = ( 4 u( t 4) + sin( πt) + )[ V] 3 3 3

102 תרגיל..3. שקול נורטון - תבנין עבור המעגל הבא נתון: Vs=[V] Vs a Load b =[Ω] =[Ω] 4 3 3=[Ω] 4=4[Ω] מצא פרמטרי שקול נורטון-תבנין בין נקודות :ab Ieq ; Veq ; eq פתרון חישוב :Veq Vs V V 4 V eq V a b 4 3 V 3 V + V = V 3 eq 4 V + V = V 4 V + V = V 3 s s מתוך :KVL הנגדים ו- 4 וגם ו- 3 הם בטור, ולכן:

103 V V = ; V = V 4 s 3 s V V 3[ ] 4 s 3 s Veq = V4 V3 = = V Vs I I a I eq b 4 3 I 4 I 3 I = I I eq 4 חישוב :Ieq מתוך :KCL הנגדים ו- וגם 4 ו- 3 הם במקביל, ולכן: V V V = I =.4[ A] s V V V = I =.9[ A] 3 4 s I = I I =.5[ A] eq 4 3

104 חישוב :eq a b 4 a 4 3 b 3 eq = = 5.8[ Ω] מכאן אפשר לראות כי V = I eq eq eq כמו כן, אפשר לראות שמתקיים: 4

105 3. זרם חילופין 3.. מצב סינוסי מתמיד ופאזורים רישום פאזורי פתרון מעגלי זרם חילופין באמצעות פאזורים משפט הסופרפוזיציה למקורות בתדרים זהים ושונים 5

106 v(t) = V cos(ωt + φ) = e{v e jωt e jφ } j V ( ω) = V e V ϕ ϕ v( t) = e{ V e jωt } רישום פאזורי: רישום פאזורי של אות סינוסואידלי: האות הזמני: הפאזור מסומן כ: מעבר חזרה לאות בזמן: הפאזור הינו וקטור במישור המרוכב אשר גודלו מייצג את אמפליטודת מתח/זרם האות החשמלי הסינוסי בתדר הנתון, ואילו הזוית שלו מייצגת את הפאזה ההתחלתית של האות הסינוסי בזמן (ביחס לאות קוסינוס). המוטיבציה: במעבר ממישור הזמן לרישום פאזורי משוואות דיפרנציאליות הופכות למשוואות V Z I I Y V אלגבריות במישור המרוכב. אדמיטנס ואימפדנס עבור רכיבים אלמנטריים: קבל - C נגד - סליל - L הגדרות אימפדנס אדמיטנס Z L =jωl Y L =/ jωl Z C =/jωc Y C =jωc Z = Y =G 6

107 תזכורת פעולות בסיסיות במספרים מרוכבים: ייצוג קרטזי ייצוג פולרי z=a+jb a=r cos(φ) b=r sin(φ) (a +jb )+ (a +jb )= (a +a )+j(b +b ) Im{Z} z=re jφ r =a +b tan(φ)=b/a מעבר בין ייצוגים חיבור / חיסור כפל b r ϕ e{z} jϕ jϕ re re r ϕ r ( ϕ + ϕ ) ϕ = j ϕ ϕ = rre rr + ( ) a re r = ( ϕ ϕ) ϕ re jϕ j r חילוק 7

108 תרגיל 3... מעגל C מטרה - פתרון מעגל C במצב סינוסי מתמיד בעזרת פאזורים. i(t) + V(t) C - vc(t) במעגל הנתון. Q חשבו את הזרם i(t) ואת המתח על cos(ωt).vs (t) = V המטען על הקבל ב t= הוא פני הקבל Vc(t) כפונקציה של הזמן, בהנחת מצב מתמיד סינוסי. הסבירו מתי פתרון זה תקף. פתרון פתרון תחת הנחת מצב מתמיד סינוסי תקף רק במצב מתמיד. לכן מותר לפתור באמצעות פאזורים רק לאחר זמן "מספיק גדול" כך שתופעות המעבר כבר דעכו. במצב זה אין כמובן שום תלות בתנאי ההתחלה, לכן הנתון לגבי המטען בזמן מיותר. נעבור לרישום פאזורי: j( ω t+ ) v() s t = Ve{ e } V s = V it () I ; v () t ; v c V c () t V 8

109 V s = V + V c = IZ + IZ c V S V I = = + + jωc jωc V V c = IZ c = jωc+ j t j t it ( ) e{ Ie ω ω = }; v ( t) = e{ V e } c c KVL בצורה פאזורית: ונעבור חזרה למישור הזמן: לעיתים נצטרך לרשום פיתרון מפורש. נדגים זאת עבור המתח: (נכפיל את מכנה הפאזור בצמוד ונפריד לחלק ממשי ולחלק מדומה, ישנן דרכים נוספות לפתור וצורות שונות לכתוב את הביטוי) jωt jωc jωt v c( t) = e{ V c e } = e{ V e } + ( ωc) V t = cos t + Csin t + ( ωc) ( ω ω ω ) v() c ( ) ( ) 9

110 תרגיל 3... גנרטור עם מנועים מטרה - שימוש בפאזורים, חיבור אימפדנסים..(L גנרטור cos(ωt) Vs (t) = V בעל התנגדות פנימית מפעיל שני מנועים L ו L. לאחר שידרוג הגנרטור, שהקטין את התנגדותו הפנימית (מתבטא בתוספת ), התחילו שריפות חוזרות במנוע L. על מנת לנתח את הבעיה נדרש למצוא את המתח כפונקציה של הזמן הנופל על L במצב מתמיד (לצורך השוואתו למפרט של המנוע L פתרון eq תחילה נפשט את המעגל למעגל השקול שבציור. נשים לב כי הזרם על פני Leq שווה לזרם על פני במעגל המקורי. L = L + L = ; eq + כעת נעבור לרישום פאזורי: משוואת KVL ברישום פאזורי: V S = V ; ; L jωl eq eq eq eq

111 V V + V = I + I j L = V V eq S L Leq = I jωl = eq ω eq s jωlv S + jωl eq eq jωt v ( ) = e L t eq jωl V + jωl eq e הפתרון הסופי בתחום הזמן: מטרה תרגיל אימפדנס שקול - שימוש בפאזורים, אימפדנס שקול. Zin במפעל מסויים רוצים להגדיל את המתח שמייצר הגנרטור. לאחר התאמת כל הרכיבים למתח הספקה החדש נדרש לקבוע האם תשתית החוטים הקיימים מתאימים לגודל החדש של הזרם. המתכנן נדרש לחשב את הזרם i(t) (שיספק הגנרטור), במצב מתמיד, לצורך הבדיקה.חשבו את: א. אימפדנס הכניסה של המעגל Zin(ω) ב. הזרם i(t) דרך מקור המתח עבור מתח ערור של sin(ωt) Vs(t)=V

112 א. פתרון אימפדנס הכניסה: jωl Zin = + ZC + ZL 3 = jωc + jωl ב. מתח העירור בכתיב פאזורי (של מקור מתח סינוס - הפאזור מדומה טהור): V π s = V = jv = = I jv Yin jv Zin it () = e Ie j ω t הזרם i(t) נתון על ידי: תרגיל ספורפוזיציה של מקורות מטרה - פתרון מעגל מורכב בעל מספר מקורות בתדרים שונים בעזרת משפט הסופרפוזיציה.

113 עבור הרשת הבאה הנתונה מצא את המתח Vab(t) במצב היציב (לאחר שדעכו כל תופעות המעבר), הבע זאת באמצעות - C.,, L, נתון: t) V s =V; V s =V cos(ω t); is(t)=i s3 (t)=i 3 sin(ω 3 b v ab (t) a v ab פתרון מכיוון שייצוג פאזורי מייצג התנהגות המעגל בתדר נתון, נפתור על ידי סופרפוזיציה תרומת בתחום הזמן (ולא סופרפוזיציה בפאזורים!): v V v ab( t ) = = s :V s V s הוא מקור DC לכן במצב היציב הקבל הוא נתק והסליל קצר. 3

114 v ( t) = V cos( ω t) V = V s S תרומת :V s מנוסחת מחלק המתח נקבל v ab (t) Z Z V V V Vab = V S = ab t = e = t Z jωt v ( ) e cos( ω ) קיבלנו מהחשבון הפאזורי את אותה תוצאה שיכולנו להסיק מסימטריה פשוטה. תרומת is () t = I :i s3 3 3sin( ω3t) I = I π, V = V = S 3 S S Z I I ωc 3 3 V = I = j j L L ab 3 s j ω + ω jωc = + ( ωc) + ( ωc) 4

115 v ab (t) Z v ( t) = A cos( ω t+ φ) ab3 3 A= V ; φ = A ab3 Im{ Vab3} e{ V } ab3 I C 3 ω 3 ω3l + + ( ω3c) + ( ω3c) φ arc tan ( ( ) ) ω3l + ω3c ω3c נזכור שכעת התדר הינו ω=ω 3 ולכן: / 5

116 ולסיכום, את הסופרפוזיציה במתחים נבצע בתחום הזמן: V V v ( t) = + cos( ω t) + Acos( ωt+ φ) 3 ab מטרה תרגיל מציאת רכיבי מעגל - מציאת רכיבי המעגל מתוך תגובתו לכניסה סינוסואידלית. i(t) v(t) Z Z במעגל האלמנטים Z, Z הינם רכיבים לינאריים קבועים בזמן מסוג נגד או קבל או סליל. נתון כי: t+φ); i(t)=b cos(ω t+ φ) v(t)=a sin(ω א. מצאו את סוגם וערכם של הרכיבים Z., Z ב. מהו התנאי על פרמטרי המתח והזרם המאפשר קיום הפתרון? פתרון 6

117 Y ( ) א. נמצא את אדמיטנס הכניסה: I B ϕ B π B V π A A A ϕ ω = = = ϕ ϕ+ φ נעבור לכתיבה קרטזית: B B Y = cosφ + j sinφ A A כעת נבחין בשני מצבים אפשריים, אפשרות א: sinφ > Y = G + jω C A Z G = Z C = Bcosφ Bsinφ Aω אפשרות ב: sinφ < Y = G j ω L A A Z = Z L= Bcosφ ω Bsinφ ב. התנאי הוא > φ cos כי: 7

118 < φ cos אינו מאפשר פתרון פיזיקלי עבור רכיבים אלו (גורר התנגדות ממשית שלילית). מטרה תרגיל חיבור עומס עם קו תמסורת - מציאת שקולי תבנין/נורטון עבור מעגל מורכב בעל מקורות בתדר זהה: a b נתון עומס המחובר דרך קו תמסורת (שמיוצג על ידי חוליית (LC למקור מתח Vs (בעל התנגדות פנימית ). מקור מתח סובל מהחזרות (או הדים) של הסיגנל שלו המיוצגים על ידי מקור זרם Is (כפי שניתן לראות בהמשך, הפאזה של מקור הזרם מוזזת יחסית לפאזה של מקור המתח כלומר היא "נשמעת" כמו הד). כדי להקל על הניתוח של התנהגות המתח על העומס כפונציה של הגודל שלו, מוצע לעשות שקול תבנין או נורטון. עבור מצב סינוסי מתמיד נדרש למצוא את שקול תבנין ונורטון לגבי הדקים.a,b נתון: t) Vs(t)=V cos(ω Is(t)=I cos(ω t+φ) 8

119 פתרון נמצא את Zeq על ידי איפוס המקורות: a b V z jωl jω L eq = + = + = jωc + jωc ω C = + ( jω C ) ( j C ) j ωl ω נמצא את Veq בעזרת סופרפוזיציה. הפאזורים של המקורות הם: V = V, I = I ϕ s eq( ) V s Z in s תרומת המקור :Vs jωc V = V s = jωc + + jωc תרומת המקור :Is jϕ Veq = I ( I ) s s = I e jωc + jωc 9

120 נשים לב שהמקורות באותו התדר ולכן מותר לבצע סופרפוזיציה בפאזורים! V eq = V eq + V eq = V + I e AB + s s + jωc jϕ ( ) ( ) ( V ) ( I ) α β ( + ) + ( ) cos sin arctan V + I A α V I ϕ I ϕ B β arctan( ω C) + ( ω C ) I sinϕ cosϕ כאשר: ( ) veq t = ABcos( ω t+ α+ β) V I eq = ; ieq t = e Ieqe z ω () { } eq j t eq בתחום הזמן, מתח תבנין הינו: ובשקול נורטון מקור הזרם:

121 3.. הספקים ואנרגיות במצב סינוסי מתמיד שיקולי אנרגיה והספק הספק ממשי והספק עיוור העברת הספק מקסימלי חיבור הספקים בתדרים שונים

122 Pav ( ) = i( t) v( t) p t T T () ptdt הספק רגעי: הספק ממוצע: (על זמן T) * * S VI = I Z = V Y = Pav + jq Pav = e S = V I cos V I = I e Z = V e Y ( ) ( ϕ ϕ ) ( ) ( ) Qav = Im S = V I sin V I = I Im Z = V Im Y ( ) * ( ϕ ϕ ) ( ) ( ) π ϕ = התנהגות קיבולית טהורה av הספק מרוכב: V cos( ϕ) = cos ( ϕv ϕi) ; ϕ = φv φi = Z ( ω) = I = ϕ התנהגות התנגדותית טהורה - Pav ההספק הממוצע הממשי: - Qav ההספק העיוור: מקדם ההספק: שלושה מקרים פרטיים: התנהגות השראותית טהורה; π ϕ =

123 תרגיל 3... חישובי הספק מטרה - חישוב הספק מתבזבז ונאגר במעגל ומציאת מקדם ההספק במעגל במצב סינוסי מתמיד. נתון המעגל שבציור, כאשר: vs(t)=v cos(ωt); ω=khz; C=nF; L=µHy; = =Ω מצאו את: א. מקדם ההספק.cos(φ) ב. ההספק הכולל הנכנס (הספק המקור): ההספק הממשי וההספק העיוור. ג. מוצע להוסיף רכיב מקבילי למעגל, כך שהמעגל יעבוד ב-.cos(φ)= מהו סוג הרכיב ומה ערכו. א. פתרון האימפדנס השקול הוא 3

124 + ( + jωl) jωc Zin = Zeq = ( jωl + ) jωc + = = + + jωl+ jωc ( ) ( ) C+ L jω ω LC + A ϕ A = = + jωc ω CL+ A ϕ A ω ( ) ( ω ) ( ) ω ( ω ) A = C+ L + LC + A = + C + LC+ ( C + L) ω ϕ = atan ω LC + ωc ( + ) ϕ = atan ω CL ( ϕ ϕ ) ; A ; A ; ϕ ϕ.5 ( ) כאשר נגדיר: נציב ערכים ונקבל: cos ϕ = cos ϕ ϕ.995, Zin 5.65 כלומר, העכבה השקולה של המעגל התקבלה כמעט התנגדותית טהורה e(z)).(im(z) >> 4

125 Zˆin V V I = = Z A in ϕ A * V V A V A S = VI = = cos( ϕ) + j sin( ϕ) A ϕ A A A ϕ av ( ) A A ב. ההספק הממוצע הממשי (Pav) והראקטיבי :(Qav) V A V A Pav = cos( ) [ W ]; Q = Im S = sin( ϕ) [ VA] ג. נקבל כצפוי מאופיו הכמעט-התנגדותי של המעגל: Pav << Qav אנו מחפשים רכיב מקבילי שיאפשר למקור לראות אופי התנגדותי טהור, =.cos(φ) z eq z add ( Zˆ in ) = ( Zeq Zadd ) = ( Yˆ in ) ( Yeq ) ( Yadd ) Im Im Im = Im + Im = ( eq ) Y = jim Y add 5

126 - Y add אך אנו רוצים (אפשר לחבר, בנוסף, במקביל כל נגד שנרצה אקוויוולנטי להוספת מספר ממשי ל רכיב פשוט ולא קומבינציה של שניים) עבור הערכים המוגדרים בבעיה למעגל אופי השראותי Z eq ( Yeq ) ( ) 5.65 [ Ω] Im sin 5.65 [ Ω] Y = jω C = jsin(5.65 )[ Ω] C.985[ µ F] add > ϕ לכן יש להוסיף רכיב קיבולי: במצב זה, כאשר = cos(φ) אימפדנס הכניסה הינו ממשי טהור. אין הפרש פאזה בין המתח לזרם המקור ולכן ההספק הממשי שמוסר המקור למעגל הוא מקסימלי P = V I cos = V I = P ( ϕ ϕ ),max av V I av מטרה תרגיל 3... העברת הספק מכסימלית - תכנון מעגל להעברת הספק מקסימלי למערכת הגברת קול באמפיטאטרון (דמיונית) נדרש למצוא רמקול מתאים. לצורך יצירת אפקט הקול הנדרש, אותו הסיגנל יוצא מ- המקורות (מקור המתח ומקור הזרם) שמוזזים בפאזה אחד יחסית לשני. מערכת הגרבת קול מוצגת בשרטוט הבא, כאשר הרמקול הינו ה- Z. L 6

127 L = mhy = Ω V s (t) z L C = µf i s (t) במעגל הנתונים:.I = A; V = V; ω = KHz ( ) = ( ω + π ) () t = V ( ω t) V i t I cos t / [ A] s v cos [ ] s שימו לב שתדר ω יחסית גבוהה לתדרי הקול ומתאים לכלים כמו כינור א. מהו האימפדנס של הרמקול Z L שיצרוך הספק מקסימלי? מהו הספק זה? ב. אם מותר ש Z L יהיה נגד ) L ) ולא אימפדנס כללי, מהו ערך נגד זה כך שהוא יצרוך הספק מקסימלי? פתרון א. שני המקורות באותו תדר לכן נמצא שקול תבנין בעזרת סופרפוזציה, ואז להעברת הספק מירבי Z. L = Z * eq נדרוש: () 7

128 Z eq + - V eq (t) z L + jωl Zeq = ( + jωl) = = ( j )[ Ω] ω ω + ω j C LC j C / j C V ω π eq = V S + I S ( jωl) [ V] + = + jωl+ jωc 4 jωc Ω mh Z L לכן ניתן למימוש ע"י נגד וסליל (כדאי לציין שהוא בלתי תלוי במקורות): ( ) Z = + j [ Ω ] = + jωl = [ Ω ], L = [ mh] L L L L L P av max V eq = = 8 L 5[ W ] ההספק המקסימלי הוא () ב. במקרה זה ההספק הנצרך ע"י L הוא כאשר נסמן (Zeq) eq = e (Zeq), Xeq = Im נקבל: 8

129 * VL Veq Veq L L av = L e( L ) = = = L L + Zeq L + eq + Xeq P V Y ( ) מתוך גזירה לפי L מקבלים הספק מקסימאלי עבור = Zeq. L נוסחאות () ו-( ) הוכחו בחוברת ההרצאות מטרה תרגיל העברת אמפליטודה - העברת אמפליטודת המקור לעומס ושיקולי צריכת הספק ממוצע המעגל הנתון נמצא במצב סינוסי מתמיד, cos(ωt).vs(t) = V א. מהו ערכו של ( L) L כתלות בשאר פרמטרי המעגל שיבטיח כי אמפליטודת המתח על הנגד תהיה שווה לאמפליטודת מתח המקור? פתרו עבור ביטויים כללים וחשבו את הערך עבור:.ω = 7 [rad/sec]; C = [nf]; = 4[Ω]; = [Ω] ב. עבור איזה תדר יצרכו שני הנגדים אותו הספק ממוצע? 9

130 פתרון א. נמיר את מקור המתח למקור זרם (בדומה למה שעשינו בתרגיל..4 עם נגדים) a ונרשום משוואת KCL עבור צומת a: V s jωl Va Vs Va j ω L ω LC = + + = jωl jωl + + jωc לשם שוויון אמפליטודות נדרוש שהביטוי בסוגריים מימין יהיה בעל גודל "": ωl ( + ) ω + = LC j לאחר הצבת ערכים נפתור עבור L ונקבל [µhy] L =.87 (וכמובן גם =L הינו פתרון) 3

131 V V V = V = V ב. נדרוש שוויון הספק ממוצע הנצרך על ידי הנגדים: נמצא קשר בין שני מתחים הללו בעזרת "מחלק מתח", ונדרוש: + jωc = V = + jωc מכאן נמצא שהתדר בו מתקיים שוויון בהספק הממוצע הינו: ( ) ω = C C = rad. 6.5 [ / sec] מטרה תרגיל חיבור הספקים - חיבור הספקים מאותות בתדרים זהים ובתדרים שונים. נתון: v s (t)=v cosω t; i s (t)= I sinω t א. מצאו את i(t) (הזרם על פני הנגד) במצב מתמיד. 3

132 .T = π /ω ב. ג. מצא את האנרגיה הנצרכת על-ידו במחזור עבור ω. ω= ω= ω. = ω מצאו את האנרגיה הנצרכת ע"י הנגד לאורך זמן כעת ω = ω פתרון נפתור ע"י סופרפוזיציה. תחילה נאפס את מקור המתח ונקבל את תרומת מקור הזרם: I I LC I π ω A A LC j C C S = = ϕ+ ;, tanϕ ω + ω ω ( ω LC ) + ( ωc ). i () t = A cos( ω t+ ϕ + π ) / נחזור לזמן: כעת ננתק את מקור הזרם ונקבל את תרומת מקור המתח: L V V ω ω C I = = A A = S ϕ;, tanϕ + ω ω L C + ω ωc j L i t A t A t () = cos( ω + ϕ + π ) + cos( ω + ϕ) הזרם הכללי על הנגד הינו לפיכך: 3

133 ב. כאשר שני האותות הם בתדר זהה, בנגד, וממנו את ההספק הממוצע: נוכל לחבר את הפאזורים שלהם לקבלת הפאזור של הזרם π A A I ϕ + ϕ + P = = האנרגיה הנצרכת בכל מחזור היא כמובן.E=P*π/ω * במקרה זה, כאשר התדרים זהים, לא ניתן לחבר את ההספקים הממוצעים. אפשר למצוא את המתח והזרם במישור הזמן ולבצע שם את הסופרפוזיציה (ואז לחשב הספק ממוצע). אפשר גם לחבר את הפאזורים עצמם וכך להימנע ממעבר למישור הזמן. ג. כאשר שני האותות הם בתדרים שונים, לא נוכל לחבר את הפאזורים מפני שהם מייצגים למעשה תדרים שונים, שלהם אולם נוכל לחבר את ההספקים הממוצעים, מכיוון שאלו כבר מהווים ממוצע זמני: P = A + A האנרגיה הנצרכת בזמן מחזור היא שוב.E=P*π/ω הגדלים φ A, A, ו- φ תלויים כמובן בω וω (ראה סעיף א'). 33

134 תרגיל תאום אימפדנסים מטרה- שקול נורטון-תבנין, הספק במפעל רוצים להתקין מנוע חשמלי גדול (המיוצג על ידי Z). L מתוך המפרטים של המנוע ידועה כי המנוע Z L הוא בעל,cosφ< כאשר ידוע כי <{ L.Im{Z בחיבור ישיר לרשת של חברת החשמל,Vs מתפתח על המנוע הספק חשמלי P. L צורת החיבור מופיע באיור הבא: ~ V s Z L V L א. מוצע לחבר רכיב בטור לעומס, כדי שחברת החשמל "יראה". מהו הרכיב שיש לחבר? עומס שקול בעל cosφ= P L. נסמן את ההספק החדש המתפתח על העומס ב-. בחר את הטענה הנכונה. נמק. P L < P L (a P L = P L (b P L > P L לא ניתן לקבוע (c (d 34

135 ב. מוצע לחבר רכיב במקביל לעומס, כדי חברת החשמל "יראה" עומס שקול בעל cosφ=. מהו הרכיב שיש לחבר?. P L בחר את הטענה הנכונה. נמק.. מסמן את ההספק החדש המתפתח על העומס ב- P P P L L L < P L = P L > P לא ניתן לקבוע L (a (b (c (d פתרון Im{ Z L} > א. מתוך הנתונים < cosϕ ו- רכיב יש אופי השראותי. Z j = Im{ Z} < ω C. Im{ Z L} > Im{ Z total} = שקולה ל- cosϕ = ) הדרישה הרכיב שיש לחבר בטור הוא קבל, מכיוון ש- נמצא את קיבולו: ועבור קבל j Ztotal = + e{ ZL} + jim{ ZL} + Im{ ZL} = C = ωc ωc ωim{ Z } L 35

136 ) ההספק החדש גדול מההספק הישן, כלומר התשובה הנכונה היא c. זאת מכיוון שכעת המעגל בתדירות תהודה, ובתדירות זו הזרם יהיה מקסימלי. מתמטית: Vs Vs Vs L = e{ L} = e{ } e{ } L = > L = L e{ ZL} ZL + ZL P I Z Z Z P jωc המצב הזה אופטימלי גם מבחינת חברת החשמל וגם מבחינת המפעל. אין הספק עוור שנמשך מחברת המחשל בחלק מסויים של המחזור ומוחזר לחברת החשמל בחלק האחר של המחזור. במצב הזה המפעל יכול להפיק מכסימום עוצמה מהמנוע. ב. עבור אותם הנתונים כמו ב-א': Im{ z } > Im{ Y } < L L ) הרכיב שיש לחבר במקביל הוא שוב קבל. הסבר: Im{ Y total} = cosϕ = הדרישה לכן: שקולה גם ל- Im{ YL} Ytotal = jωc+ e{ ZL} + jim{ YL} ωc+ Im{ YL} = C = ω Im{ Y L} < הקיבול הוא חיובי כמובן- כי 36

137 כלומר אימפדנס הרכיב הוא שלילי, לכן הוא צריך להיות קבל. נחשב את קיבולו: Im{ Z L} Im{ Z L} = Im{ Z } = c= ω ω ω ω L c c ZL c ZL ZL )ההספק החדש יהיה זהה לקודם, כלומר התשובה היא b. בחיבור מקבילי למקור מתח- המתח על כל הענפים המחוברים במקביל נקבע על ידי המקור בלי שישפיעו זה על זה. PL = Vs e{ } = PL Z ההספק נתון לפי: L ולכן אין בו שינוי. המצב הזה הינו טוב מבחינת חברת החשמל (כי האימפדנס הכללי הינו ממשי ואין הספק עוור מבחינת המקור.(Vs מבחינת המפעל הפתרון אינו אופטימלי, כי המנוע לא מפיק את מלוא העוצמה. תרגיל שקול נורטון-תבנין עם מקור מבוקר מטרה- שקול נורטון-תבנין, הספק C a I s C V x gv x C 3 V eq b 37

138 במעגל נתון:.C =C =C 3 =C Is=Acos(ωt)... Zeq,Ieq,Veq : א. חשב את פרמטרי שקול נורטון-תבנין בין הנקודות a b יש לבצע חישוב מפורש של כל אחד מהפרמטרים, ולא להסתמך על V. eq I= eq Z eq ב. בתור עומס Z L מחברים מקור מתח אידיאלי =Bcos(ωt) V L באותו תדר כמו מקור.Is מה ההספק המתפתח על פניו? לצורך ההמשך, יש להניח =g. מחברים עומס Z L כללי. ג. מה אמור להיות הערך של Z L כדי שיתפתח עליו הספק מקסימאלי? ω =. C ד. במידה ו- Z L כפי שמצאת, מהו ההספק הנמסר ע"י,Is ומה הנצילות? הנח : א. פתרון פרמטרי שקול נורטון-תבנין בין נקודות ab V eq נסמן ב- Ic את הזרם דרך הקבל C. ואז: 38

139 Is Ic Vx = jωc Is Ic () Veq = Vx VC = jωc gi gi I ( jωc + g) gi () Veq = ( Ic gvx )( jωc) = [ Ic + ] = jωc + jωc jωc ( jωc + ) jωc (),() ( jωc+ )( Is Ic) = jωcic + gic gis jωc+ g+ Ic = A 3 j ω C + g + A jωc g Veq = jωc 3 jωc+ g + s c c s I eq V x A = jωc A ga A Ieq = Ic gvx = jωcvx gvx = = j C g jωc jωc ( ω ) מחברים "מקור בוחן" VT בין A ו- B. נקבל מעגל מאוד נוח- כל ענף בו מחובר במקביל למקור המתח, לכן אפשר להתייחס לכל ענף כזה בנפרד eq 39

140 x =.5V I = I + gv + V jωc+ V / T c x T T I = V (.5g+.5 jωc+ / ) T Z eq T VT = = I + 3jωC + g T V T שימו לב eq!v eq =I eq Z : ב. ההספק על מקור מתח אידיאלי שמחובר בתור Z L עומס Z eq V eq ~ I ~ V L I Veq V = Z eq L ההספק הוא *I,S=.5V L כאשר ג. ערך של Z L לקבלת הספק מקסימאלי? Z * * 4+ 6jωC L = Zeq = g = = + 3jωC 4+ 9( ωc) 4

141 ω = :( C ד. מתוך Z L שמצאנו בסעיף ג', ההספק הנמסר ע"י,Is ו הנצילות (כאשר מניחים לא ניתן להיעזר בתבנין לצורך חישוב הספק מקור הזרם. יש לחשב מחדש את האימפדנס הכולל שרואה מקור הזרם: פיתרון ל ω כללי: j Ztotal = + ZL = jωc jωc jωc 8 ωc Z total = 8 ( j) עבור ההנחה נקבל: מכאן הספק המקור הוא: ω = נקבל: C PS = IS e{ Ztotal} = 6 A את הספק העומס אפשר לחשב מתוך שקול תבנין. במידה ו- Veq = A ; Zeq = ; ZL = 6j+ + 3j 3j ומכאן: 4

142 I L Veq A = = ( 3 j) Z + Z 4 eq L A PL = IL e{ ZL} = 3 PL η = % = 5% P S 4

143 3.3. פונקצית תמסורת ותהודה פונקצית התמסורת (תגובת התדר) תהודה וגורם טיב שימושים 43

144 ב. ג. ד. פונקצית תמסורת / תגובת תדר היחס בין אות המוצא לאות הכניסה במישור המרוכב, לדוגמא: V V I I H ( ω) = ; H ( ω) = ; H ( ω) = ; H ( ω) = 3 4 V I V I out out out out S S S S * לכל מעגל ניתן לחשב מספר פונקציות תמסורת. לא נוכל לחשב פונקצית תמסורת למעגל מבלי שנדע מהוא הענף עליו נמדוד את אות הכניסה ומהוא הענף עליו נמדוד את אות המוצא (ואם כל אות הוא מתח או זרם). תגובת התדר הינה ביטוי מרוכב וניתן להתייחס לשני מרכיביו: תגובת האמפליטודה (הערך המוחלט) - H(ω) ותגובת הפאזה - תדר תהודה קיימות מספר הגדרות לתדר התהודה, הן לא בהכרח מתלכדות!. H ( ω ) { } אין הפרש פאזה בין Im H ( ω ) = א. התדר בו החלק המדומה של פונקצית התמסורת מתאפס: אות המוצא לאות הכניסה. התדר בו H ( ω) מגיע למקסימום/מינימום מקומי. התדר בו האנרגיה הממוצעת החשמלית במעגל שווה לאנרגיה הממוצעת המגנטית. החלק הממשי של קוטבי פונקצית התמסורת ("קוטב" אפס של פולינום המכנה). ה. החלק הממשי של ω המאפסת את דטרמיננטת המטריצה המייצגת את המעגל 44

145 db הצגת נתונים בסקלה לוגריתמית תגובת האמפליטודה של פונקצית התמסורת מוגדרת לרוב ב.dB מקובל להחליף את גרפית כפונקציה של ω ב) H ( ω) ω) (כאשר גם הפעם "הציר האופקי" הוא ציר log H(ω) [db] (המוצג תדר הקטעון מוגדר כתדר בו תגובת האמפליטודה יורדת ב - 3dB מערכה המקסימלי, כלומר מערכה המקסימלי: ( ) ( log = log 3 db). רוחב הסרט רוחב התדרים בהם האמפליטודה יורדת בפחות מ -3dB מערכה המקסימלי. כלומר, רוחב התדרים בהם האמפליטודה גדולה מאמפליטודת תדר הקיטעון. מטרה תרגיל מעגל C טורי - חישוב תגובת התדר ורוחב הסרט עבור מעגל C טורי. it () + v() s t C - v() t c v ( t) = V cos( ωt)[ V], V = 5[ V], = [ kω ], C = [ nf] s s s מצאו את תגובת התדר עבור מתח הקבל ואת רוחב הסרט. 45

146 פתרון תגובת התדר הינה במקרה זה היחס בין פאזור מתח המוצא לפאזור מתח הכניסה: V jωc C H ( ω) = = = V S + + j ω C jωc הגרפים המצורפים מתארים את תגובת האמפליטודה ותגובת התדר של פונקצית התמסורת בdB 46

147 עבור תדרים נמוכים תגובת האמפליטודה קרובה ל-[ [db (Vout Vin) ועבור תדרים גבוהים קיימת הנחתה של אות הכניסה זהו מסנן מעביר תדרים נמוכים: (LPF).Low-Pass Filter H ( ) ; H( ) ω = ω = + jωc + ( ωc) ω =. C H ( ω ) = עבור המעגל הנתון : בנקודת -3dB מתקיים: מכאן: תרגיל מעגל LC טורי מטרה - ניתוח פונקצית התמסורת, תדר התהודה וגורם הטיב עבור מעגל LC טורי תוך שילוב שיקולי אנרגיה ורוחב סרט. L Vs cosωt C נתוני הרשת: C =.[ µ F] ; L = 4[ mh] ; = 5[ Ω ] ; V S = 5[ V] 47

148 א. מצאו את פונקצית התמסורת בין מתח הנגד למתח המקור, ואת תדר התהודה עבורו אמפליטודת מתח המוצא מקסימלית. ב. חשבו את גורם הטיב ואת ההספקים במעגל בתדר התהודה. ג. חשבו את רוחב הסרט. איזה סוג מסנן מייצג מעגל זה? - א. פתרון תגובת התדר של המעגל, מנוסחת מחלק המתח היא: V H ( ω) = V S + j ωl ωc 4 ω = = 5 [ rad /sec] LC אמפליטודת מתח המוצא מקסימלית- מכיוון שאמפליטודת המקור קבועה, התנאי דומה להגדרה ב' H ( ω) מגיע לערך קיצון. (הגדרה ב כוללת גם את המצב של אמפליטודת המוצא מגיעה למינימום). פונקצית התמסורת מקבלת מקסימום (עבור תגובת האמפליטודה) בתדר: ω. ממשית). בתדר זה למעשה גם אין הפרש פאזה בין מתח המקור לזרם המעגל (כי פונקצית התמסורת 48

149 השרטוט מתאר את תגובת התדר של המעגל. בתדר התהודה ω מתח הסליל והקבל שווים בגודלם והפוכים בכיוונם לכן הם למעשה מתפקדים כ"קצר": L L V = I = j I C jω C C L C V = jω LI = j I ב. נחשב כעת את גורם האיכות לפי הגדרתו הכללית: אנרגיה ממוצעת האגורה במעגל האנרגיה המתבזבזת במעגל במשך מחזור התנודה נעזר בכך שהקבל והסליל המחוברים בטור מתפקדים כקצר בתדר התהודה, ולכן המתח על הנגד שווה למתח על המקור. Q = π 49

150 j C VC( t) e{ V ω ω Ce } e VSe + jωl+ jωc jω t jωc VS = e Ve S = sin ( ωt) ω C j t jωt = = = V WC t = CVC t = L t S () () sin ( ω ) S () () cos( ω ) L L VS jωt VS jωt VS i () t = e{ e } = e{ e } = cos( ωt) L + jω L+ /( jωc) V W t = Li t = L t V V W W t W t L t t L S S = () + () = (sinω + cos ω ) = total C L האנרגיה בקבל: האנרגיה בסליל: האנרגיה הכללית האגורה במעגל: אנרגיה זו קבועה ולכן הינה גם הממוצעת בזמן. האנרגיה המתבזבזת במעגל במחזור: 5

151 ה( π ω V () t V () t V cosω t π V W = () () diss p t dt = p t dt = dt dt dt = = = ω T T T T / S S S Q W W total = π = diss ω L ( ) S V I = = V Y ω s s Y ( ω) = = + jωl+ L ω ω + j jωc C ω ω Y L ω ω + j C ω ω ( ω) = L ω ω + C ω ω גורם הטיב: ההספקים: ההספק המרוכב פרופורציונלי לאדמיטנס הצמוד: בשרטוט מתואר ההספק הממשי והמרוכב כפונקציה של תדר העירור. בתדר התהודה ההספק הממשי "מתבזבז" על הנגד בזמן מחזור) הינו מקסימלי ואילו החלק המדומה - ה"הספק העיוור" מתאפס 5

152 ההספק החשמלי הרגעי (בקבל) שווה והפוך בסימנו להספק המגנטי הרגעי (בסליל), הקבל והסליל מעבירים ביניהם את האנרגיה במהלך המחזור. ג. ניתן לראות מגרף תגובת האמפליטודה כי זהו מסנן מעביר סרט Filter.Band Pass ω ω, הן הנקודות בהן. H( ω) = H( ω ) נעזר בקשר בין רוחב הסרט תדר התהודה וגורם הטיב: הפתרון הוא בקירוב ω ω ω Q ω ω Q 5

153 נספח לתרגיל מעגל LC טורי היחס בין אמפליטודת המתח על הסליל/קבל למתח הכניסה בתדר ω: V I ω L ω L V L C = = Y( ω ) ω L = = = = Q V V V ω C S S S תדר התהודה תלוי רק בערכי הקבל והסליל, בעוד שערך הנגד כן משפיע על גורם הטיב ולכן על רוחב הגרף בסביבת נקודת התהודה. ω Q = הוכחנו באמצעות ההגדרה הכללית של גורם טיב שעבור מעגל LC טורי מתקיים: L 53

154 Q ω עבור מעגל זה מוגדר "גורם הטיב" Factor) (Quality גם כך: α אותו נכיר "תופעות מעבר". כאשר α הינו מקדם הריסון בפרק גורם הטיב מגדיר את "איכות" מעגל התהודה ככל שהוא גדול יותר, כך קטן רוחב הסרט, איכות ה"סינון" טובה יותר. גורם הטיב ניתן גם לחישוב מקורב: Q ω ω בשרטוט לעיל תגובת האמפליטודה של המעגל עבור ערכי Q שונים (בדוגמה זו לערכי שונים). תרגיל חישוב תדרי תהודה באמצעות קטבים/איפוס דטרמיננטה מטרה - חישוב תדר תהודה על ידי מציאת הקטבים של פונקצית התמסורת / איפוס הדטרמיננטה של מטריצת הייצוג. עבור מעגל LC טורי המופיע בתרגיל הקודם, חשב את תדר התהודה על פי ההגדרה הכללית: א. איפוס המכנה של פונקצית התמסורת (קטבי פונקצית התמסורת) ב. איפוס הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת פתרון א. נתבונן בפאזור המתח על פני הקבל C שונות: ופאזור הזרם על פני הסליל L ונגדיר פונקציות תמסורת 54

155 V / jωc C H ( ω) = = = V S + jωl+ ω LC + jωc jωc I jωc L H ( ω) = = = V LC j C S + jωl+ ω + ω jωc בשני המקרים איפוס המכנה של פונקצית התמסורת גורר: jc ± 4LC C ω ' =, LC במקרה זה הקטבים הינם מרוכבים כאשר החלק הממשי החיובי מגדיר את תדר התהודה ואילו החלק המדומה מגדיר את גורם הריסון של המעגל: Im { ω',} = = α L 4LC C ω = e{ ω' } = = LC LC 4Q, L כשאר גורם טיב המוגדר כמו בתרגיל הקודם: Q = C 55

156 . Q >> ω = בתרגיל הקודם תדר התהודה שהתקבל היה: LC התוצאות מתלכדות עבור A x = y ב. עבור מעגל כללי בעל מספר יציאות ניתן להגדיר מטריצה מייצגת:, כאשר x מייצג את וקטור המוצאים ו- y מייצג את וקטור המקורות. במקרה זה תדר התהודה מוגדר כחלק הממשי של ω x = V I C L T המאפס את הדטרמיננטה של מטריצת הייצוג A. נגדיר את וקטור המוצאים כ: וקטור המוצאים מורכב מפאזור מתח הקבל ומפאזור זרם הסליל. נפתח את מטריצת הייצוג: V = I V I = C L C L jωc jωc I + V + jωli = V V + ( jωl+ ) I = V L C L S C L S V C jωc = I V L S jωl + y = V וקטור המקורות: S נדרוש איפוס הדטרמיננטה: 56

157 jωc = jωl+ + = ω LC jωc = jωc jωl+ קיבלנו את אותה משוואה ריבועית (של סעיף א) עם אותם הפתרונות ולכן אותם תדרי תהודה. תדרי התהודה המחושבים בשאלה זו בסעיפים א ו ב מתלכדים. הערה: במקרים רבים ישנה התלכדות בין תדרי התהודה המחושבים לפי ההגדרות השונות אך זה אינו הכרחי! תרגיל מקלט רדיו פשוט i () in t G L C + v out ( t) מטרה - תכנון מעגל בורר תדר. נתון המעגל הבא המשמש כמקלט רדיו פשוט. הגל האלקרומגנטי הנקלט ע"י האנטנה מומר לזרם חשמלי היחסי לאמפליטודת הגל הסינוסואידלי הנקלט. המקלט מכיל מעגל - LC מקבילי אשר באמצעות שליטה בקיבולו של הקבל המשתנה ניתן לברור את תדרי ההעברה של המעגל.נתונים: ;L=4[µH] התדר הנושא של הערוץ הרצוי: =[KHz] f; תדר הערוץ הסמוך ("הגל המפריע"): =5[KHz] f 57

158 שני התדרים נקלטים באותה האמפליטודה, כלומר: t).i in (t)=i cos(πf t)+ I cos(πf תכננו את רכיבי המעגל כך שהיחס בין אמפליטודות האות הרצוי וה"מפריע" במוצא יהיה לפחות [db] 5. פתרון תחילה נתכנן את תדר התהודה המתאים: V out H ( ω) = = Z = G+ + jωc I jωl in f = ולכן ω = /LC מקבלת מקסימום ב H(ω) π LC הוא נבחר את הקבל כך שתדר התהודה יתלכד עם תדר הנושא של הערוץ הרצוי - מכאן שערך הקבל הרצוי C. = 63.3nF נקבע את גודלו של הנגד כך שהיחס בין האמפליטודות של האות הרצוי ושל האות. H ( ω ) = G המפריע יהיה לפחות [db] 5. תגובת האמפליטודה בתדר התהודה f היא H( ω) = Z( ω) = G+ jωc+ = jω L G +.39 תגובת האמפליטודה בתדר f היא: נדרוש הפרש של -5dB : 58

159 5 ( db) =.778 log.778 = 5 H ( ω ).778 H ( ω ) נחלץ מאי השיוויון תנאי מפורש על ונקבל: 377Ω מטרה תרגיל אנרגיות במעגל - ניתוח תכונות מעגל בתהודה ושיקולי אנרגיה. V ( ω ) H ( ω) = V ( ω) S במעגל הנתון מקור המתח הוא סינוסי:.v s (t) = V cos(ωt) א. באילו תדרים אימפדנס הכניסה תלוי בנגד אחד בלבד? ב. חשבו את האנרגיה החשמלית והמגנטית האגורה בקבלים ובסלילים כפונקציה של הזמן ואת סכומם הרגעי (בתנאי סעיף א'). ג. חשבו את פונקצית התמסורת בין מתח היציאה ) V) למתח הכניסה: 59

160 Z = Z + Z in Z = jωl + jωc Z = = LC j L jωc + + G ω + + ω jωl jωl א. פתרון אימפדנס הכניסה:, זהו למעשה תדר התהודה של תת המעגל העליון והענף L מהווה קצר ω = LC,C אפשרות I. אין תלות ב.-.Z in =Z אפשרות,ω= :II בתדר זה הסליל L מהווה קצר ולכן Z in =Z אפשרות,ω :III בתדר זה הקבל C מהווה קצר ולכן Z in =Z :( ω = ω = LC ב. נחשב את האנרגיות ב"אפשרות I" ) אנרגית הקבל C: תת מעגל מהווה קצר ולכן: V V t V t V t W t CV t C t () = () = cos( ω ) () = () = cos( ω ) C s C C 6

161 V V V I i t t W Li t t j ωl ωl ω L s = () = sin( ω ) = () = sin( ω ) L L L V s I = I =, V = I Z L C C C j ωc jωt V e V L W W L L C Z Z אנרגית הסליל L: האנרגיה על קבל C ועל סליל L: נפתור בעזרת פאזורים: והאנרגיות: e V V C je V e s W = C e e L Im C = = Z j ωc ( ωc ) Z Z jωt jωt jωt jωt jωt e V e W = L e V L e L s = Z Z + = = מכיוון שרכיבים אלו נמצאים בתהודה האנרגיות האגורות בהם שוות בגודלן ובעלות הפרש פאזה של 9 מעלות האנרגיה הכוללת בשני הרכיבים קבועה בזמן. האנרגיה האגורה הכוללת בכל המעגל היא לפיכך: V L V C V W t C t Z ωl () = + + sin ( ω ) 6

162 החישוב עבור שתי האפשרויות שנותרו טריוויאלי, נדגים עבור "אפשרות :"II V = V = V V S C = I = C L I = I = V / L S H Z Z + Z ( ω ) = Wt () CV() t L V () t S = S + לכן נציב ונקבל: ג. מנוסחת מחלק המתח ותוך שימוש באימפדנסים שחישבנו בסעיף א': מטרה תרגיל מצאית תהודה לפי מספר הגדרות - מציאת תדר תהודה עבור מעגל מורכב לפי מספר הגדרות. V out 6

163 במשימת everse Engineering המהנדס נדרש להבין את פעולת המעגל שהתעוד שלו הלך לאיבוד. כדי לאמת את תוצאות המדידות במעבדה וכדי להתאים את המעגל לצרכים חדשים, עלה צורך בניתוח אנליטי של המעגל. א. מצאו את תדר התהודה של המעגל הנתון עפ"י ההגדרות הבאות:. התדר בו פונקצית התמסורת ממשית. התדר בו אמפליטודת המוצא מקסימלית 3. החלק הממשי של קטבי פונקצית התמסורת 4. איפוס הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת את מתח הקבל וזרם הסליל 5. התדר בו מתקבל שוויון בין האנרגיה חשמלית והאנרגיה המגנטית הממוצעות ב. חשב את גורם הטיב של המעגל בעזרת תדר התהודה שחושב בסעיף א.( ). פתרון א. () הגדרה זו זהה להגדרה א. שבתחילת שיעור זה (3.3). במקרה הנוכחי הן גם שקולות להגדרה # מחוברת ההרצאות (החלק המדומה של איפדמנס הכניסה מתאפס),כי פונקצית התמסורת עבור מתח המוצא מוגדרת: I H ( ω ) = = V S Z in ופונקצית תמסורת ממשית מתקבלת עבור אימפדנס כניסה ממשי: 63

164 Z j L j L in jωc = + + ω + = + + ω + = C = jω L + ( ωc ) ( ωc ) + + jωc נאפס את החלק המדומה (ונתעלם מהפתרון = ω מאחר ואנו מעוניינים בפתרון סינוסי ולא (DC ω = LC C ונקבל: בתדר זה, פאזה מתח המוצא, כמו גם זרם המעגל, שווה לפאזת מתח המקור. () הגדרה זו דומה להגדרה ב. שבתחילת השיעור (מודול פונקצית התמסורת מקבל ערך קיצון) אך Z in H ( ω) כוללת רק את המקרה של מקסימום. התדר בו יתקבל מקסימום על הינו התדר בו Z in מינימלי. מכיוון שזהו גודל חיובי אז נוכל לחפש תדר בו מינימלי: (נסמן מעתה (Zin=Z C Z = ω L + ( ωc ) + ( ωc ) ישנן מספר דרכים להתמודד עם ביטוי כזה, אחת היא לפרקו לחלק הממשי ולחלק המדומה (וכך לגזור שני ביטויים פשוטים יותר) 64

165 Z e{ Z} Im{ Z} = e{ Z} + Im{ Z} = e{ Z} + Im{ Z} ω ω ω ω x = דרך נוספת היא לשים לב לכך ש ω מופיע בחזקה שנייה ולכן כדאי לסמן ω על ידי גזירה לפי. x איפוס הנגזרת נותן (לאחר חישובים מפרכים): ומכיוון ש <ω נבחר את הפתרון החיובי. ולחפש נקודת קיצון L ω = ± + ( + + ) C LC C ω בתדר זה, נקבל אמפליטודה מקסימלית של מתח אות המוצא. הערה: תוצאה זו מתלכדת עם הסעיף הקודם אם: L + ( + + ) = C = LC C LC C L L + (+ + ) + ( + ) + C C כלומר אם ערך השורש שווה ל כלומר אם מתקיים: >>, >>L/C 65

166 ω (3) בסעיף זה נחפש את תדר התהודה לפי הגדרה ד. שבתחילת השיעור. קטבי פונקצית התמסורת הם אפסי פולינום המכנה כלומר נדרוש =Z = + + ω + = Z j L + + ( + jωc)( + + jωl) = jωc [ ] = ( ) ωj ( ) C L ω ( LC ) L+ C ( + ) = j ± ערכי ω אשר עבורם =Z (נמצא שורשים לפולינום מסדר שני מרוכב): 4 LC ( + + ) [ L + C ( r + )] ', LC LC ω החלק הממשי הינו תדר התהודה. זהו למעשה,איכותית, החלק הממשי של הפתרון הגורם לתגובת התדר ל"התפוצץ". (4) (הגדרה ה.) נרשום משוואות KVL ו KCL פאזוריות: V C jωcv C + = I L jωli + I ( + ) + V = V L L C S 66

167 jωc+ V C = והמטריצה המייצגת הינה: I V L S jωl+ + איפוס דטרמיננטת המטריצה נותן פולינום מרוכב מסדר זהה לזה שבסעיף (3), ואז הפתרון זהה ל-( 3 ). (5) (הגדרה ג.) שוויון אנרגיות ממוצעות. תחילה נחשב את מתח וזרם הקבל והסליל: V S V S I L = V C = V S ( + + jωl) Z Z + + jωl V S CV C = CV S = LI L = L 4 4 Z 4 4 Z ω = LC C נדרוש שוויון אנרגיות: התדר בו מתקבל שוויון הינו תדר התהודה בהגדרה זו: תוצאה זו מתלכדת עם תוצאת סעיף () (פונקצית תמסורת ממשית). ב. גורם הטיב: האנרגיה האגורה במעגל WT Q = π = ω < > P האנרגיה המתבזבזת במעגל במשך מחזור התנודה av 67

168 כאשר P av הינו ההספק הממוצע המתבזבז במעגל (הממשי) ו > T W> מייצג את האנרגיה הממוצעת האגורה במעגל. שני ביטויים אלו נחשב עבור תדר התהודה שמצאנו בסעיף א.( ): Pav = V S e{ Y} V S < WT >= CV C + L I L = L I L = L 4 4 Z * - מסעיף א.( 5 ), בתדר התהודה (של סעיפים () ו-( 5 )) מתקיים שוויון אנרגיות. L L Lω Y Lω C C Q = = = e{ Y} Z + + L/( C ) - מסעיף א.( ) בתדר תהודה Z הינו ממשי ולכן גם Y הינו ממשי. * תרגיל פתרון בעזרת טור פורייה מטרה- פונקצית תמסורת, טור פורייה. נתון המעגל הבא: 68

169 Vout I S Vs C H C L L H Vout 3 C = C = C = [ uf], = = 3 = = [ kω], L = L = L= [ mh]. הנח כי V out ועבור V out בהתאמה, ביחס למתח H ו- ω) ( H ( ω) א. הכניסה. ב. חלק א מצא את פונקציות התמסורת עבור שרטט את תגובת התדר והפאזה של המעגל (ניתן להיעזר במחשב). שרטט כאשר ציר X הוא? H ( jω ) לוגריתמי. ג. ד. מהו תדר התהודה המתקבל לפי מקסימום מהו תדר התהודה המתקבל לפי ההגדרה כי תדר התהודה הוא התאפסות החלק המדומה של אימפדנס הכניסה? 69

170 ט- ט- ה. הסק מסקנות לסעיפים ג', ד'. חלק ב נתון כי אות הכניסה הוא גל משולש מחזורי, בעל אמפליטודה של V ומחזור של T כמתואר איור : V V T T T T ו. ז. מהו פירוק פורייה של האות? מהו המתח והזרם על? 3 ח. מהו ההספק המתבזבז במקור? ט. מהו ההספק המתבזבז על? 3 י. נתון כי אות הכניסה הוא מחזורי כנראה באיור. חזור על סעיפים ו' אות זה ואות הכניסה הקודם (של סעיפים ו' פתרון ' וציין מהם ההבדלים בין ' המקוריים)? V OUT הפתרון : א. נפתור עבור 7

171 ניתן לראות מחלק מתח בין הנגד לשני ענפי האימפדנסים (הזהים). אימפדנס הענף הוא : ( ω LC) ( ) + Z = + jωl = jωc ω LC jωc H ω = Z + ( ) וכמובן שמחלק המתח ייתן פונקצית תמסורת: H Z ω = Z + ( ) : V OUT עבור ב. תגובת התדר והפאזה: 7

172 ג-ה. ניתן לראות כי תדר התהודה (לפי שני הסעיפים) מתלכד סביב.3kHz ω =, כלומר.3.6kHz ההגדרות של סעיפים ג' ד' מתלכדות במקרה זה. בחישוב מפורש מקבלים LC. V ו. פירוק פוריה לאות משולש בתחום [T,] ועם אמפליטודה טור.sin כמו כן נפתח (מטעמי נוחות) על הקטע נשים לב כי הפונקציה זוגית לכן אין [ T /, T / באופן כללי: ] T / T / f t a a n t a f t dt a f t n t dt () = + cos( ω ) = () = () cos( ω ) n= n n T T T / T / ω = π כאשר מוגדר כאן: T T/ T/ V a = f t dt = a = f t n t dt = () () cos( ω ) n T T T/ T/ T / 4 V an = V t cos( nωt) dt T = T 4V n π sin nπ = n is odd niseven sin nπ שימו לב שכתיבת היא פשוט דרך אחרת לכתוב 7

173 V 4V nπ V t = + sin cos n t π n=,3,5 n () ( ω ) פירוק הפורייה: ז. בגלל עקרון הסופרפוזיציה נתייחס למקור כאל טור מקורות בטור שאמפליטודת הכניסה שלהם היא מקדמי טור פורייה ותדירותם היא התדירות של האיבר המתאים בטור. לכן נחשב את התוצאה עבור כל תדירות בנפרד ונסכם ביציאת המעגל: 4V V V = sin ( nπ / ) V = π n nin, DC, in V = V H( nω ) V nout, nin, DC, out V = 3 DC, in נמצא בעזרת פונקציית התמסורת מחלק א': נחזור עבור כל מקור בנפרד למישור הזמן: 4V Vnout, t = V nin, H nω e = nπ H nω nωt H nω nωt π n V VDC, out () t = 6 [ ] jωnt ( ) e{ ( ) } sin ( / ) e{ ( )}cos( ) Im{ ( )}sin( ) V 4V nπ Vout t sin e{ H ( n )}cos( n t ) Im{ H ( n )}sin( n t ) 3 π n=,3,5 n () = + [ ω ω ω ω ] 73

174 ח. כדי לחשב את ההספק הממוצע נחשב אותו עבור כל תדר בנפרד ונסכם את ההספקים הממוצעים. ההספק הנכנס למעגל הוא ט. י. ( VDC in ), V nin, P = + e 3 n Zeq ( ωn ) כאשר ההתנגדות השקולה היא ההתנגדות אותה רואה המקור (חישבנו בתחילת סעיף א'). יש לשים לב כי האימפדנס השקול תלוי בתדירות. מותר לחבר את ההספקים כי הפירוק לתדרים הוא בעזרת פונקציות אורתוגונאליות (במקרה הזה cos בלבד). באותו אופן. ( VDC out ), V n, out P = + e n השינוי היחידי הוא בפתרון המתחים והזרמים אליהם נוספת פאזה של π לכל מקור סינוסי (כלומר לפני פונקציות הבסיס COS מכפילים ב( -) כי cos ). האנרגיה הממוצעת ( f ) = cos( π f ) וההספק הממוצע אינם משתנים (כי הם כוללים העלאה בריבוע של הפאזורים). תרגיל ניתוח מעגל לפי תגובת התדר שלו רוצים לתכנן מעגל חשמלי שתגובת התדר שלו, H V V L ( jω ) = S, היא בעלת האמפליטודה כפי שמתואר ברגף, כאשר תבנית המעגל היא כמו שמופיע בשרטוט. נדרש לקבוע את ערכי הרכיבים. 74

175 Z Z C V S Z L לצורך כך הוצג המעגל הבא:? Z L מהו א. קבל. ב. נגד. ג. סליל. ד. אינו נגד קבל או סליל - בהכרך צירוף של שני רכיבים לפחות. ה. לא ניתן לקבוע. אלו מבין הצרופים הבאים אפשריים?.. Z קבל ו- Z נגד. Z קבל ו- Z סליל. Z סליל ו- Z נגד. א. ב. ג. 75

176 H Z סליל ו- Z סליל. ( jω ) Z נגד ו- Z נגד. Z נגד ו- Z סליל. ד. ה. ו. קבל ביטוי עבור כתלות ברכיבי המעגל, תחת כל אחד מהצירופים שמצאת ב-,.. Z L איזה מהצירופים ב-, נותר מתאים? Z, Z ידוע כי. H ( jω ) = max עבור הצירוף המתאים ב- 4 בחר את הערכים עבור ו פתרון נגד Z Z נגד וב- יתכן כי ב- סליל ולהיפך. פונקצית התמסורת עם עומס התנגדותי:. L L + ( r+ jωl) + L L + ( r+ ) jωl+ jωc jωc...3 תשובה ג' תשובה ו' נשים לב כי באפשרות ו' בתדר תהודה ענף הסליל והקבל קצר, לכן פונקצית התמסורת היא..4 76

177 Z =, Z L נקבל: = נדרוש כי זאת כדי לשמור על אותו מחלק מתח ב- DC ובתדר אינסופי. עבור I Z Z S, S, V 3 Z 3 V t ± ± V (), t S, ().ω = LC תרגיל תדרי תהודה בנוכחות מקורות מבוקרים I I S LC L i Z =.5 jωl נתון המעגל החשמלי המתואר באיור הבא: Z 3 Z כל אחד מהרכיבים, Z מקבילי עם התנגדות ו- וקיבול הינו מעגל C i והשראות (,,3 = i (. המעגל מוזן על-ידי שני מקורות מתח המשתנים הרמונית בזמן בתדר זהה לפי הביטויים V () t = V cos( ωt) ; V () t = V cos( ωt) S, S, בהנחת מצב מתמיד סינוסי יש לענות על השאלות הבאות: I א. רשום/רשמי מערכת משוואות עבור פאזורי הזרם ו-. הבא/הביאי את המערכת לרישום Z I וקטור פאזורי הזרם, מטריצי מהצורה Z I = V S כאשר הינה מטריצת אימפדנסים מסדר i I ו- V S וקטור המקורות. ו- ב. על-סמך המערכת הנ"ל הגדר/הגדירי את תדרי התהודה של המעגל הנתון. אין צורך למצוא את התדרים בצורה מפורשת. I 77

178 V () S, t ג. מחליפים עתה את המקור במקור מתח מבוקר מתח מהצורה V () S, t ± ± µ V 3 µ > חזור/חזרי על הסעיפים א' ו- ב'. ד. האם תדרי התהודה של המעגל ישתנו בהשוואה לסעיף ב'? בנוסף לשינוי שבוצע בסעיף ג' מחליפים את המקור () S, V t במקור מתח מבוקר זרם. מהצורה V () S, t ± ± gi g > חזור/חזרי על הסעיפים א' ו- ב'. האם מספר תדרי התהודה ישתנה? ה. במידה ותדרי התהודה שקבלת בסעיפים ג' ו- ד' שונים מאלה שהתקבלו בסעיף ב' משמעות הדבר שתדר התהודה לפי ההגדרה שהגדרת בסעיף ב' תלוי באופי העירור ב"סתירה" לעובדה שתדר התהודה הינו תכונה פנימית של המעגל. איך ניתן להסביר את "הסתירה" הנ"ל? במידה והתדרים לא משתנים הסבר/הסבירי מדוע? א. פתרון נרשום תחילה את חוקי קירכהוף עבור המעגל הנתון: 78

179 ( S, ) ( S, ) V = I + Z + Z3 + IZ3 KCL: I3 = I + I; KVL: V = I + Z + Z + I Z 3 3 וברישום מטריצי מקוצר נקבל: S, + Z + Z3 Z3 I V Z I = VS = Z3 S, Z Z I V. Zi = j i ωl i ; i =,, 3 jωc i כאשר ב. תדרי התהודה מתקבלים מחיפוש האפסים ב- ω של הדיטרמננט של מטריצת האימפדנסים. התדרים המתקבלים הינם מרוכבים שחלקם הממשי מהווה את תדר התהודה של ( ) det Z( ω ) = המעגל. ג. בדומה לסעיף א' נקבל עתה שינוי בחוק קירכהוף למתחים בלולאה הימנית ומקבלים: S, + Z + Z3 Z3 I V Z I = VS = Z ( µ ) + Z + Z ( µ ) I 3 S, 3 מאחר ומטריצת האימפדנסים שונה מזאת שהתקבלה בסעיף א' הרי הדיטרמננט שלה ישתנה בהתאם ואיתה תדרי התהודה של המעגל. ד. בדומה לסעיף א' נקבל עתה שינוי בחוק קירכהוף למתחים בלולאה השמאלית ומקבלים: 79

180 S, + Z + Z3 Z3 g I Z I = VS = Z ( µ ) + Z + Z ( µ ) I 3 S, 3 מאחר ומטריצת האימפדנסים שונה מזאת שהתקבלה בסעיף א' הרי הדיטרמיננט שלה ישתנה בהתאם ואיתה תדרי התהודה של המעגל. יש לשים-לב שעקב השינוי הנ"ל סדר הפולינום שמתאר את הדיטרמיננט אינו משתנה ועל-כן כעקרון מספר תדרי התהודה לא ישתנה. ה. אין כל סתירה בתוצאות הרי שינינו מקורות בלתי תלויים במקורות תלויים אשר משנים את המבנה הפנימי של המעגל ואכן משנים את תדרי התהודה. תרגיל מעגל עם מספר תדרים C נתון מעגל חשמלי במצב מתמיד: I I L ~ V 3 V out Z L = א. יש למצוא שקולי תבנין ונורטון עבור Z L ו- כאשר נתון ω עבורם. V = V 3 I = Bcos( ω t), I = Acos( ω t) ב. מה ההספק המתבזבז על העומס? (אין צורך לפתח ביטויים עד הסוף)., I ג. כעת נתון = V 3 מנותק. מה הערכ/ים של העברת ההספק לעומס מכסימלית? 8

181 א. פתרון. I eq V Z eq = = eq A L jω L C jωc, Z = + j L+ eq jωc ( ω ), V eq = A jω L+ 4 : I ) עבור. I eq V Z eq = = eq B L jω L C jωc, Z = + j L+ eq jωc ( ω ), V eq = B jω L+ 4 : I ) עבור V 3 לא קיימים שקולי תבנין ונורטון. 3) עבור ב. עבור תדרים שונים ניתן לחבר את הפאזורים של ההספקים:. P = V eq Z + eq 4, P = V eq Z + eq 4 V Out = V eq Z + eq, V Out = V eq Z + eq מתוך שקול תבנין מקבלים ואז:. P = P + P total לכן עבור ההספק הכללי נקבל:. ω = LC ג. בתנאים הנ"ל מקבלים מעגל LC טורי, לכן מקבלים: 8

182 4. תופעות מעבר 4.. תופעות מעבר מסדר ראשון מעגלים מסדר ראשון חלוקת הפתרון ל- ZI ו- ZS סופרפוזיציה, אינווריאנטיות בזמן, אינווריאנטיות לגזירה ואינטגרציה. חלוקת הפתרון למצב מתמיד ותופעת מעבר הספק ואנרגיה במעגלים מסדר ראשון 8

183 הגדרות מעגל מסדר ראשון הוא מעגל שהתנהגותו הדינאמית ניתנת לתיאור על ידי משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון. מעגל ליניארי הוא מעגל שמשוואת המצב של כל רכיביו היא ליניארית. רכיב בלתי תלוי בזמן הוא רכיב שמשוואת המצב שלו בלתי תלויה בזמן. במשוואות הדיפרנציאליות המתארות מעגל עם רכיבים ב"ת בזמן, המקדמים יהיו קבועים בזמן. ו- ZS ZI בכל מעגל ליניארי (לאו דווקא מסדר ראשון ולאו דווקא ב"ת בזמן) הפתרון ניתן לכתיבה כסכום של תגובת ZI ותגובת.ZS תגובת (Zero State esponse) ZS היא פתרון המעגל (זרם או מתח כלשהו) כאשר תנאי ההתחלה (מתחי כל הקבלים וזרמי כל הסלילים) הם אפס. תגובת Zero ) ZI (Input esponse הוא פתרון המעגל (זרם או מתח כלשהו) כאשר כל המקורות הב"ת מאופסים תנאי ההתחלה המקוריים). (עם סופרפוזיציה בכל מעגל ליניארי תגובת ZS מקיימת סופרפוזיציה ביחס למקורות. כלומר בפרט: אם מאפסים את כל המקורות הב"ת פרט לאחד בכל פעם ומסכמים את תגובות ה- ZS לכל אחד מהם לבד, מקבלים את ה- ZS של המעגל המלא. 83

184 בכל מעגל ליניארי תגובת ZI מקיימת סופרפוזיציה ביחס לתנאי ההתחלה. כלומר בפרט: אם מאפסים את כל תנאי ההתחלה פרט לאחד בכל פעם ומסכמים את תגובות ה- ZI לכל אחד מהם לבד, מקבלים את ה- ZI של המעגל המלא. מצב מתמיד ותופעת מעבר כאשר המקורות במעגל הם מחזוריים (ובפרט קבועים) בזמן, ניתן לרשום את הפתרון כסכום של מצב מתמיד, שהוא בעל אותה מחזוריות כמו המקורות, ותופעת מעבר, שהיא פרופורציונית לתגובת.ZI אניווריאנטיות להזזה בזמן, גזירה ואינטגרציה כאשר המערכת היא ליניארית וגם ב"ת בזמן מתקיים: אם גוזרים את מתחי וזרמי כל המקורות (הב"ת) במעגל אזי פתרון תגובת ה- ZS הינה גם כן נגזרת פתרון ה- ZS המקורי. (כנ"ל לגבי אינטגרציה). אם מזיזים בזמן (קדימה או אחורה) את מתחי וזרמי כל המקורות במעגל, תגובת ZS מוזזת בזמן באותו השיעור. כל האמור לעיל נכון למערכת מכל סדר שהוא. 84

185 I מטרה תרגיל 4... שני קבלים - תופעות מעבר מסדר ראשון C, V C, V בשאלה זו אנו חוזרים לתרגיל..4, אותו פתרנו קודם לכן מתוך חוק שימור המטען. נתונים שני קבלים, בעלי קיבולים C ו- C. הקבלים טעונים במתחים V ו- V. ברגע מסוים סוגרים את המפסק במעגל המתואר בציור. א. רשמו מד"ר למעגל ומצאו את גודלו וכיוונו של הזרם בנגד כפונקציה של הזמן לאחר סגירת המפסק. ב. לאחר זמן רב מפסיק לזרום זרם בנגד. מה יהיו מטעני הקבלים אז? כמה מטען עבר מהאחד לשני? ענו על השאלה ללא שימוש בחוק שימור המטען, ע"י אינטגרציה על הזרם בנגד. השוו לפתרון תרגיל..4. ג. מהו ההספק הנצרך ע"י הנגד כפונקציה של הזמן? כמה הוא צרך סה"כ? השוו לתוצאת הפתרון של תרגיל..4. פתרון 85

186 v + I v = C + C v + v = I = C = C CC v v א. על אף שהמשוואה היא מסדר שני, היא למעשה מתנוונת למשוואה מסדר ראשון כי v עצמו לא מופיע בה. נפתור ונקבל v t = Ae + B; τ = CC C + C t / τ () t / () t = + C = B A e v v v כעת נדרוש את קיום תנאי ההתחלה על מתחי הקבלים. נפתור עבור A ונקבל C C C V V A = V V I t = e C + C t / ( ) () עבור הזרם בנגד כפונקציה של הזמן. ניתן לראות כי ()I, = V) - V /( כפי שקיבלנו בתרגיל..4. ב. את המטען הכולל נקבל מאינטגרציה של הזרם ונקבל תשובה זהה ל-..4 : CC Q I() t dt ( V V) C + C = = τ ומתוך זה קל לחשב את מטעני הקבלים בסוף. ג. גם כאן נקבל תשובה זהה ל-..4 : τ 86

187 () () ( ) () ( ) V V t / τ V V CC Pt = I t= e, W= I tdt= C + C מטרה תרגיל 4... טעינה ופריקה של קבל - תופעות מעבר מסדר ראשון ו- ZS. ZI - - סופרפוזיציה ואינווראינטיות להשהיה בזמן - אינווריאנטיות לגזירה ואינטגרציה מערכת (דמיונית) של בקרת מעלית נושאים מכילה מעגל נתון שתפקידו "להחליק" את אופן התנוע של המעלית. מקור V s מייצג בקרה דיגיטאלית שקובעת באיזו כוון ובאיזו מהירות צריכה המעלית לנוע. המתח על הקבל V c מייצג את את המתח שיועבר למנוע בפעול. כוון וגודל המתח על הקבל מייצג את כוון ומהירות של הסיבוב של המנוע של המעלית בהתאמה. כך למשל, עבור מצב התחלתי אפס עם מתן פקודה לנסוע למעלה V s V= המעלית, שמבוקרת בפועל על-ידי V c תתחיל לזוז ממנוחה עם תאוצה מסויימת (הנקבעת על ידי τ של המעגל) ולא תפתח ישר את המהירות הגבוהה (שתגרום אי-נוחות). במעגל שבציור מצאו את (t) V c בכל אחד מן המקרים הבאים: א. (t) V s ו- (ZI).V c () = V המעלית מאיטה ב.,V c () = V ואילו u(t) V s (t) = V המעלית שזזה, מקבלת פקודה חדשה לנסוע למעלה 87

188 ,V c () = V ואילו u(t-t) - V s (t) = V u(t) V המעלית שזזה מקבלת פקודה לעלות למעלה וכעבור זמן T מקבלת פקודה לרדת למטה. Vst () = Aut () t - Aut ( - T) t-t.,v c () = V ואילו ) ( ג. ד. V s (t) AT -AT T V s (t) V V s (t) V ב' ב ג' ד' T -V i = i + i = CV + c S c c c c V + + V = V c c s C C c V V = i + V = CV + V + V c פתרון א. נרשום מד"ר למעגל עבור = s V נקבל משוואה הומוגנית, נפתור, נציב את תנאי ההתחלה ונקבל 88

189 t / τ + c () = ; = τ C V t V e V () Vc + Vc = u t τ C ב. הפתרון הכללי של המד"ר הלא הומוגנית יהיה פתרון פרטי + הפתרון ההומוגני. אולם כעבור זמן ארוך הפתרון ההומוגני דועך לאפס, וכך ניתן "לנחש" פתרון פרטי: כעבור זמן ארוך הקבל הופך לנתק, ואת המתח עליו ניתן לקבל מנוסחת מחלק V V V t = Ae + = e + V e c () ( ) t/ τ t/ τ t/ τ + + המתח. כך נקבל פתרון כללי: ג. השלב האחרון בשוויון האחרון נרשם ע"ס תנאי ההתחלה. ניתן, כמובן, לפתור לפי הנוסחה הכללית למד"ר ליניארית מסדר ראשון, או בדרכים אחרות. כאן V(t) S = Vu(t) נפתור בדרך "פיסיקלית" יותר. תגובת ZS (כלומר = (Vc() של המערכת ל - היא V V s t = Ae + = V e u t t/ τ / () t τ ( ) () + + כאשר הינה התגובה למדרגת יחידה. st ( ) 89

190 זהו מקרה פרטי של הסעיף הקודם עם = V, והוספת u(t) הופכת אותו לפתרון של המד"ר לכל t, ( ) = ( ) ( ), לפי עקרון הסופרפוזיציה ואינווריאנטיות בזמן, Vs t Vu t Vu t T כולל >t. מאחר ו- המתח על הקבל בתנאי התחלה אפס הוא ( t T) / τ ( ) ( ) V t / τ VZS () t = Vs () t Vs ( t T) = ( e ) u() t e u t T + אולם תנאי ההתחלה אינם אפס אלא V c () = V ולכן הפתרון לסעיף זה לבסוף הוא ( t T) / τ ( ) ( ) V t τ Vc() t = VZS() t + VZI() t = ( e ) u() t e u t T + V e + / t/ τ ד. גם כאן ניתן לפתור בדרכים רבות. דרך אחת מתקבלת אם נשים לב כי Vs של סעיף זה מתקבל ע"י אינטגרל של Vs מהסעיף הקודם, אם נחליף את V ב- A. נשתמש בעובדה שמדובר במד"ר ליניארית וב"ת בזמן, נחשב את VZS ע"י אינטגרל של VZS שהתקבל בסעיף הקודם: t / τ ( ) () ( t T) / τ ( ) ( ) A t / τ VZS () t = ( e ) u( t ) e u t T dt = + A + ( t T) / τ ( ) ( ) = + + t t τe τ u t t τe τ T u t T 9

191 לקבלת הפתרון המלא נוסיף את :ZI ( t T) / τ ( ) ( ) A t τ Vs () t = ( t+ τe τ) u() t t+ τe τ T u t T + V e + / t / τ בגרף שלמטה ישנו שרטוט של הפתרון לסעיפים ג' (קו רציף) וד' (קו מקווקו), למקרה הפרטי : =, T = τ, V = בהשוואה לגרפים המתארים את המתח במקור, ניתן לראות שהמתח על הקבל נבנה בהתאם למתח המקור, כאשר קיימת השהייה בין מתח המקור למתח הקבל. כאן ניתן לראות בברור כי תנועת המעלית יותר חלקה מאשר פקודות הבקרה. 9

192 מטרה תרגיל תופעת מעבר עבור עירור סינוסי - תופעת מעבר ומצב מתמיד במעגל C עם עירור סינוסי V c (t) V s (t) C ( ) = ( ) ( ω ) Vs t Vu t sin t נתון המעגל שבציור. המתח שהמקור מייצר הוא א. מצאו את מתח הקבל כפונקציה של הזמן במצב מתמיד, כלומר, ב t. ב. מצאו את תגובת ZS של המערכת, כלומר את מתח הקבל בכל זמן אם ידוע כי = () c V. ג. כעת נתון כי V. c () = V מצאו את (t) V c לכל t, ובפרט לזמנים שליליים. פתרון א. על ידי שימוש בפאזורים נמצא כי Vs jv V Vss = = Vss () t = sin t arctan C + jωc + jωc + ωc ( ) ( ω ( ω )) ב. t החלק ההומוגני דעך ל- לכן (t) V ss הוא הפיתרון המבוקש בסעיף א. 9

193 ב. (t) V ss הוא פתרון פרטי של המד"ר של המעגל, ולכן לקבלת פתרון כללי נוסיף לו את הפתרון. c () () V t = V t + Ae ( ωc) ss t C V A V ( ) C + הכללי של המד"ר ההומוגנית: כאשר A נקבע מתנאי ההתחלה = () c. V ( ( ω )) ωcv = ss = sin arctan = + ( ωc) ( ) V t < = ZS ג. לכן תגובת ZS לזמן כלשהו: כי המקור הוא בזמן זה, והפיתרון מקיים את התנאי = (t) V c t V ωcv C VZS () t = ( ωt ( ωc) ) + e u t + ( ωc) sin arctan + ( ωc) הZI נכון לכל זמן (כאשר תנאי ההתחלה הוא אילוץ המאפשר לנו להוריד דרגת חופש ואינו קובע "התחלה"). כמו תמיד, הפתרון יהיה (t),v c (t) = V ZS (t) + V ZI ובמקרה שלנו: t t V ωcv C C Vc () t = ( ωt ( ωc) ) + e u () t + Ve + ( ωc) sin arctan + ( ωc) () 93

194 תרגיל 4..4 ת. ופעת מעבר עבור עירור ריבועי מטרה - מציאת מצב מתמיד ותופעת מעבר כאשר המקור הינו מחזורי בזמן אך אינו סינוסי. שאלה זו דנה במעגל מהתרגיל הקודם, אולם הפעם המתח שהמקור מייצר הוא מחזורי בזמן, בעל מחזור T, כדלהלן (ראו גם ציור): V S () t V nt t < n+ T = V n T t ( n ) T + < + א. אם נתון כי בזמן = t מתקיים,V c () = V מצאו את המתח (t) V c לכל < t < T. בפרט מצאו את (T).V c ב. מצאו V כך שהמתח על הקבל יהיה מחזורי בזמן. נכנה את (t) V c שמתקבל במקרה זה בשם (t).v ss שרטטו את (t) V ss באופן איכותי. 94

195 ג. נניח כעת כי המתח על-פני הקבל ב - = t היה V כלשהו. הראו כי ניתן לרשום אז את המתח על-פני הקבל כ (t) V c (t)=v ss (t) + V T כאשר V T היא פונקציה אקספוננציאלית המתארת תופעת מעבר. ד. הביעו את תגובת ZS של המערכת באמצעות (t) V. ss עבור תנאי ההתחלה V כלשהו, רשמו את מתח הקבל כפונקציה של הזמן באמצעות (t) V. ZS ה. רשמו טור פורייה לפונקציה (t) V. s כך ניתן לחשב את (t) V s כסופרפוזיציה של (אינסוף) אותות סינוסיים בתדרים שונים. מצאו (באמצעות פאזורים) את (t) V ss כסכום אינסופי של פונקציות סינוסואידליות בתדרים שונים. ו. וודאו כי הפונקציה שקיבלתם בסעיף ב' אכן מיוצגת ע"י טור הפורייה שמצאתם בסעיף ה'. הדרכה: נוח להשתמש בתכונה (t) V ss (t±t/) = - V ss (הוכיחו אותה). לכל n שלם ולכל פרמטר a נתון האינטגרל: פתרון א. עבור < t < T נוכל לרשום π sin π a ax nx e dx = n n a ( ) e + ( ) בשאלות קודמות, ומכאן נקבל שעבור < t < T ( ) = ( ) ( ) V t V u t u t T s. את התגובה למדרגה מצאנו 95

196 Vc () t = V e u() t V e u( t T /) + Ve t t T/ t τ τ τ C ( ) ( ) T C = + + V T V V V e Ve T C בפרט, מרציפות הפתרון ב T: ב. נדרוש () c V. c (T) = V זה יבטיח מחזוריות (נתוני הבעיה ב- T t = זהים לאלה ב- = t ולכן הפתרון במחזור השני יהיה זהה לזה בפתרון הראשון, וכן הלאה). נקבל: T C ( ) T C V + V V e + Ve = V T T T C C C ( + ) = ( ) V e e V e T T T ( ) ( C C )( C ) V e = V e + e T C e T V = V tanh T = V C + e 4 C הפונקציה המחזורית שמתקבלת, (t),v ss משורטטת עבור.T = 4C 96

197 ג. (t) V ss הוא פתרון פרטי של המד"ר של המעגל. אם נוסיף לו פתרון כללי הומוגני, נקבל פתרון כללי c ( ) = ( ) + = + = SS 3 3 V V V V V V () = ( ) V t V V e C T c () = () + SS 3 V t V t Ve C. c t של המד"ר: נדרוש קיום תנאי ההתחלה: () = () + ( ) V t V t V V e C t SS t ומכאן כאשר V הוא זה שמצאנו בסעיף ב'. ZS () = () SS V t V t Ve t C ד. ZS יתקבל במקרה הפרטי = V: t C () = () + () = () + V t V t V t V t Ve Ve c ZS ZI SS t C הפתרון הכללי הוא כרגיל: באופן זהה לג'. 97

198 ה. תחילה נציין שאנו מחשבים את המתח בstate steady ולא מוצאים את V c הכללי כי השימוש בפאזורים הוא במצב מתמיד בלבד. נגדיר: A π m π m V () t = + A cos t B sin t s m m + m= T T ואז מקדמי טור פורייה הינם: T T π m π m A = V () t cos t dt; B V () t sin t dt m s m s T = T T T קל לראות כי = Am לכל Bm m. נתון ע"י: 4 V, m odd T / 4V π m B = sin t dt m π m T = T, m even 4V V () t = sin ( );, s B ω t B = ω = n n n n n= π ( n+ ) ( n + ) π T לפיכך נרשום נפתור לכל תדר בנפרד ע"י פאזורים. הפאזור של המקור בתדר ω n הוא.-jB n לפי נוסחת מחלק המתח הפאזור של המתח על הקבל הוא 98

199 V c ( n) jb 4 jv n = = + jω C π n+ + π jc n+ / T n ( ) ( ) ( ) לכן כל שנותר הוא לבצע סופרפוזיציה של האותות הסינוסים בתדרים השונים (לאחר המעבר למישור הזמן): () { } { } = e = e jωnt jωnt V t Ce Ce C ss n n n= n= ( n ) = V =, ω = n c n ( ) ( + ) + π ( + ) ( n + ) 4 jv π π n jc n / T T ו. נרצה להוכיח שהתוצאה שקיבלנו עבור V ss בסעיף ב' זהה לזו שקיבלנו בסעיף ה'. הדרך הפשוטה ביותר תהיה לפתח את התוצאה של סעיף ב' לטור (לשם כך נעזר באינטגרל שבהדרכה) ולהראות שהטור זהה לטור שבסעיף ה'. תרגיל בחינת ההתכנסות למצב מתמיד במעגל שבציור מקור הזרם הב"ת הוא קבוע בזמן ואילו מקור המתח הוא סינוסואידלי. המעגל מייצג מגבר, כאשר מקור הזרם קובע את "נקודת עבודה" שלו (עליה תלמדו בהמשך) ומקור הסינוסי הינו ההאות המוגבר. מתח הקבל במקרה הזה הינו מתח המוצא. ניתן לראות שעבור אות משתנה בזמן קיים כאן משוב חיובי: ככל שמתח V גדול יותר כך הזרם של המקור המבוקר גדול יותר וכך המתח V גדל עוד יותר (עבור k חיובי). ברור שבתנאים מסויימים מעגל כזה יכול "לצאת משליטה" ולהגביר את הזרם 99

200 דרכו עד הגבול הפיזיקאלי (עד כמה שנותן ספק אנרגיה). מצב כזה בדרך כלל אינו רצוי הוא דומה למצב של "שריקה" במערכות הגברת קול. לצורך שימוש נכון במעגל מהסוג הזה נדרש לנתח אותו ולקבוע מהו k, לשמל, שעבור המעגל יתפקד באופן תקין. א. מצאו את שקול תבנין של המעגל כאשר הקבל C מהווה עומס. ב. מצאו את מתח הקבל כפונקציה של הזמן במצב מתמיד. נכנה אותו (t) V. ss ג. רשמו את הפתרון הכללי עבור המתח על הקבל. ד. האם קיימים ערכים של k עבורם "תופעת המעבר" מתבדרת? האם במקרה זה למצב המתמיד יש משמעות פיסיקלית? I s V kv V s (t) = V cos(ωt) ה. כעת מאפסים את המקורות הבלתי תלויים. רשמו את האנרגיה האגורה בקבל כפונקציה של הזמן אם בזמן אפס האנרגיה האגורה בו הייתה U. עבור אילו ערכים של k האנרגיה גדלה עם הזמן? א. פתרון לא נפרט את הפתרון של סעיף זה (ראו פרק.). התשובה היא: ( ω ) ( ) V = V cos t I, = k eq s eq

201 eq V eq C ב. המקור הוא סכום של חלק סינוסי וחלק.DC נוכל להתייחס למקור כאל חיבור טורי של מקור DC ומקור סינוסי ונעזר בסופרפוזיציה. DC תדר אפס - ( ) V t = I c s הפתרון במצב מתמיד הוא (הקבל מהווה נתק). עבור תדר ω פותרים בעזרת פאזורים (ראו פרק 3) ומוצאים V ω c jωt Ve e + jω C eq () t = V () () ( ( )) ω V t = V t + V () t = cosωt arctan ω C I ss c c eq s + ( ) V + V C = c c eq ולכן ( ω C) eq לכן בסה"כ ג. (t) V ss הוא פתרון פרטי של המד"ר של המעגל. המד"ר ההומוגנית היא t t C C k eq () () () V t = V t + Ae = V t + Ae c ss ss ( ) הפתרון הכללי הוא: כאשר A נקבע מתנאי ההתחלה.

202 ד. ניתן לראות שכאשר < k תופעת המעבר דועכת אקספוננציאלית, ואז (t) V ss מתאר את מתח הקבל כעבור זמן רב. אולם כאשר > k "תופעת המעבר" מתבדרת, ואז (t) V ss לא מתארת את התנהגות המערכת בזמן ארוך: למעשה התנהגותה נשלטת ע"י האקספוננט המתבדר. בפרק של מצב סינוסי מתמיד למעשה הנחנו שתופעת המעבר דועכת. כאשר היא לא דועכת אין טעם לדון במצב המתמיד. ו A=U V ss (t)= ה. במצב זה t t t C( k) C k C k () () c c c ( ) ( ) V t = Ae U t = CV = CA e = U e עבור > k גדלה האנרגיה זו עם הזמן. תרגיל מוליכות על במשך הקורס אנו מתייחסים לסלילים ולקבלים אידיאליים שאין להם כל רכיב התנגדותי. הרכיבים האמיתיים אכן מכילים רכיב התנגדותי. בתרגיל זה מדגימים כי (עקב האידיאליזציה) מקבלים זרם שזורם תמיד (ז"א במצב מתמיד) בחוג מסויים. גם אם היינו לוקחים שני סלילים מעשיים הכי טובים, הזרם בהם היה דועך עם הזמן.בפועל זרימת זרם בחוג סגור ללא מקור או עירור חיצוני הינו אפשרי רק עבור טמפרטורות נמוכות מאוד (הקרובות לאפס אבסולוטי) התופעה הזאת נקראית "מוליכות על".

203 נתון המעגל הבא: B. למצב A המתג עובר ממצב t בזמן =.DC הינו מקור מתח V S. עבור t המתג ל- L (הבהרה: עבור < t המתג מחבר בין I מחבר בין L לצומת המשותפת העליונה של L.) ו- L א. בזמן = t עובר המתג ממצב A למצב B. מצא את הזרם (העובר דרך I ), הזרם L (העובר דרך מה קורה לזרם בסלילים ב-? הסבר. ב. ( והזרם I (העובר דרך הנגד) כפונקציה של הזמן (עבור > t ). L מצא את האנרגיה שהתבזבזה בנגד בשתי שיטות שונות:. עפ"י שיקולי אנרגיה. עפ"י הזרם העובר בנגד עבור הסק מסקנות לסעיף זה. ג.. t > האם ייתכן מצב שבו כל האנרגיה האגורה במעגל בזמן לכך, אם לאו, נמק. = t תתבזבז? אם כן, מצא את התנאים א. פתרון המשוואות לפתרון: 3

204 KCL( B) I+ I + I = KVL I L = I L = I L L I + + I = I + I + I = L L L I = I L τ L L+ L I = I I + I L = L LL עם ת"ה L : I I נכתוב את המד"ר עבור נפתור את המד"ר עבור t t I t = Aeτ I t = Aeτ + B () () VS I ( ) = = A+ B :( (מוצאים מדרישת רציפות I נכתוב את הפתרון עבור עם ת"ה (מוצאים מKCL ): I 4

205 t IL t AL t τ τ τ I = I I = Ae B = Ae B+ e L τ L AL I ( ) = = A B+ τ L VS L VS VS L VS L A=, B = = L + L L + L L + L נקבל כי A ו- B הם: עבור t הזרם הופך קבוע לכן המתח הוא. ואז אין זרם\מתח בנגד, ובשני הסלילים זורם זרם B. E L = האנרגיה שהתבזבזה בנגד בשתי שיטות שונות: ב. עפ"י שיקולי אנרגיה:. LI L ( ) L בתחילה אגורה אנרגיה רק בסליל כ, לומר תמידי הזורם בשני הסלילים, ועל סמך ערכו:. בסוף לא עובר זרם בנגד וישנו זרם 5

206 VS L E = ( L+ L) I ( ) = ( L+ L) B = ( L+ L) = L+ L V L L L S + הפרש בין שתי אנרגיות אלו היא האנרגיה שהתבזבזה בנגד: V S V S V S L V S LL E = L L = L L = L+ L L+ L L+ L נחשב עם KCL את הזרם בנגד ונמצא את ההספק. האנרגיה שהתבזבזה תהיה אינטגרל מ- לאינסוף על ההספק נקבל כמובן את אותה תוצאה.. E ג. האנרגיה כולה תתבזבז (בקירוב) רק אם B יהיה קטן מאוד. כך ש ישאף ל. נוכל לקבל גבול L זה למשל על ידי הדרישה: את המקרים בהם כל האנרגיה מתבזבזת אפשר לסווג לשתי קבוצות: כבר לפני המיתוג האנרגיה האגורה אפסית (מקרה מנוון) L - הזרם L הסליל והאנרגיה דועכים ל-. אינו מאפשר מצב יציב בו זורם זרם ולכן האנרגיה שהייתה אגורה מתבזבזת בנגד 6

207 4.. תופעות מעבר מסדר שני מעגלים מסדר שני ריסון חסר, ריסון יתר וריסון קריטי חלוקת הפתרון ל- ZI ו- ZS סופרפוזיציה, אינווריאנטיות בזמן, אינווריאנטיות לגזירה ואינטגרציה. חלוקת הפתרון למצב מתמיד ותופעת מעבר הספק ואנרגיה במעגלים מסדר שני קשר לתהודה וגורם טיב 7

208 תרגיל 4... מעגל מסדר שני + v c C v s (t) L i L מטרות - הקשר בין פונקצית התמסורת למד"ר - ריסון חסר, ריסון יתר וריסון קריטי - תגובה למדרגה - סופרפוזיציה, אינוריאנטיות להזזה בזמן ו- ZS ZI - - תהודה ומקדם טיב רשמו משוואה דיפרנציאלית למתח הקבל. H ( ω ) = V V והשווה עם סעיף א'. מצא את פונקצית התמסורת C S באילו תחומים של למעגל יהיה ריסון חסר? ריסון קריטי? ריסון יתר? א. ב. ג. ד. ה. אם תנאי ההתחלה על הקבל והסליל נתונים, ( ) i ( ), והמקור מאופס, מצאו את vc = v, = i L מתח הקבל כפונקציה של הזמן (תגובת.(ZI הפרידו לשלושה מקרים בהתאם לריסון. מצאו את מקדם הטיב של המעגל (בהגדרתו הנובעת מהתשובה לסעיף הקודם). מצאו מהו ערכו של כך שמקדם הטיב יהיה מקסימלי. 8

209 ו. הניחו כי הוא כפי שמצאתם בסעיף הקודם. עבור תנאי התחלה אפס על הקבל והסליל, כאשר () = ( ). מצאו ואת.vc(t) vs t v u t מקור המתח הוא מדרגה I L v = Cv c + vc d + + L I = v t dt c L s () () t vs vc + + v c + vc = L C LC LC פתרון א. ב. פונקצית התמסורת: V jωc ( LC) C H ( ω) = = = V j ( C) L LC S + jωl+ ω + ω + + jωc ( ) ( ) נשים לב שהמכנה של פונקצית התמסורת הוא הפולינום האופייני של המד"ר של מתח הקבל (בהצבת ), λ = jω והמונה הוא המקדם של הכניסה (t) v. S תכונה זו מתקיימת תמיד וניתן להוכיח אותה ע"י j t v ( t) = V e ω במד"ר., v ( t) = Ve S S C C jωt הצבת 9

210 λ + + λ+ = L C LC ג. הפולינום האופייני הוא: λ = ± ± + L C L C LC ושורשיו הם: + < L C LC לקבלת ריסון חסר נדרוש דיסקרימיננטה שלילית: נכפיל את אי השוויון בC) ) ומכאן נקבל את התנאי C 3 8 < < 3+ 8 L C C = 3 8, = 3+ L L 8 C C < 3 8, > 3+ L L 8 לריסון חסר: ריסון קריטי: וריסון יתר: גרף עבור ריסון חסר ד. למקרה של ריסון חסר

211 α = + ω = L C LC ωd = ω α = + LC L C ( ) αt ( t) = e A ( ω t) + B ( ω t) v cos sin c d d ( ) v, c ( v ) ( ) B = i ω C + αv ω d ( ) = A =, ואילו α A + Bωd = vc v d נסמן: אז הפתרון ההומוגני הכללי הוא: A ו B נקבעים ע"י תנאי ההתחלה. ( ) = v ( ) + v ( ). il C c c ומצד שני עבור ריסון קריטי נקבל : מכאן נקבל: ומהצבת תנאי ההתחלה נקבל: ( ) αt ( ) = ( + ) vc t e A Bt ואילו v ומכאן c = α A + B () λ t vc t = Ae + Be ( ) = A = v v ( v ) ( ). B= i C + αv λ t + c עבור ריסון יתר נקבל: שימו לב ש- ±λ הינם שניהם מספרים שליליים. מהצבת תנאי ההתחלה נקבל: גרף עבור ריסון קריטי

212 ( ) = + = ואילו vc A B v מקבלים: גרף עבור ריסון יתר ( ) v. c = λ+ A + λ B A = B = λ Cv C λ+ Cv C + v i ( λ λ ) + + v i ( λ λ ) + בפרק 3.3 מצאנו את תדרי התהודה של מעגל מסדר שני לפי מספר הגדרות, אחת מהן הייתה: החלק הממשי של הקטבים של פונקצית התמסורת. לפי סעיף ב' ראינו את הקשר בין הפולינום האופייני של המעגל לפונקצית התמסורת, לכן הקטבים הם בעצם השורשים של הפולינום האופייני (בהצבת ). λ = jω ולכן תדר התהודה ω לפי הגדרה זו הוא תדר התנודות העצמיות sin ו cos (בריסון חסר) d והחלק המדומה של הקטבים הוא מקדם הריסון α. המקרה בו החלק הממשי בקטבים הוא אפס, מתאים למקרים של ריסון קריטי ויתר. ω d α ה. גורם הטיב נגזור לפי כדי למצוא את המקסימום: Q

213 Q ωd α ω α = = = α α α המקסימום מתקבל כאשר בתנאים אלה α = L C = שזהו האימפדנס האופייני של המעגל. ולכן Q המכסימלי הוא. α = LC, ω = LC, ωd = LC ו. עבור הנגד שמצאנו בסעיף ה' אנו נמצאים בריסון חסר. הפתרון במצב מתמיד הוא t v LC t t vc () t = + e Acos Bsin + LC LC כאשר הוא פיתרון פרטי המתקבל לאחר זמן רב כשמפסיק לזרום זרם במעגל ומתח המקור מתחלק בין שני הנגדים. ומתנאי ההתחלה (נדרוש שמתח הקבל ונגזרתו בזמן הם ) נקבל: t v v t t c cos sin LC LC LC () t = e + u() t v 3

214 L + v c C v s (t) ( ) = ( ). vs t v u t i L תרגיל 4... מעגל LC נתון מעגל ה- LC הטורי שבציור. מקור המתח הוא מדרגה א. רשמו את תגובת ה- ZS של מתח הקבל. ב. מצאו את הערך המכסימלי אליו מגיע (t) v. c השוו אותו ל v. ג. חשבו את ההספק הממוצע הנמסר ע"י מקור המתח בתחום הזמן: π π n, ( n+ ) LC L LC L. עבור n שלם. שרטטו אותה באופן איכותי כפונקציה של t. מה תוכלו לומר על פונקציה זו כאשר? Q ד. מהי האנרגיה האגורה במערכת לאחר שהמערכת התייצבה במצב מתמיד? א. פתרון מעגל זה נפתר בהרצאה. תגובת ZS היא: 4

215 α =, ωd = L LC L כאשר: α v v cos sin αt () t = u() t e ( ω t) + ( ω t) c d d ωd ב. נגזור ונשווה לאפס (<t): Vc(t)/v αt α v c () t = Ve α cos( ωdt) + sin( ωdt) ( ωd sin( ωdt) + αcos( ωdt) ) = ωd αt α αt ω Ve + ωd sin( ωdt) Ve sin( ωdt) ω = = d ωd ω t = nπ d נחשב את מתח הקבל בזמנים אלה: מתח הקבל - תגובה למדרגה nπ nπ α d vc v e ω = cos( nπ ) ωd π α d vcmax, v e ω = + ג. ההספק הרגעי הנמסר ע"י המקור הוא 5

216 () () ( ) v ω ut v ut P t =v Cv t C e sin t e sin t π π n, ( n+ ) ωd זו סכימה על פני המחזור ה +n של ωd ( ) αt αt c = ( ωd ) = d ωd Lωd ( n+ ) ω πα π d ωd Cv () ωd Ptdt e ωde π = π πn ωd ( ω ) תחום הזמן המורכב שבסעיף זה הוא פשוט: παn ω d המערכת. ממוצע על פרק הזמן המבוקש: ( ) גורם הטיב הוא כקרוב: וכאשר הוא שואף לאינסוף נוכל לפתח את האקספוננט בסדר ראשון Q = ωd α ωd π ( n+ ) ω π πn ω d d () Ptdt= Cv αe πα n ω d ואז נקבל: x e + x+... ( x << ) ד. גורם הטיב אינסופי כאשר ההתנגדות שואפת ל- (ואז גם α קטן מאוד), או שהקיבול שואף ל-. בשני ( ) Cv v U = = c C המקרים האנרגיה הנמסרת בממוצע במחזור שואפת ל-. במצב מתמיד אין זרם ויש אנרגיה אגורה בקבל ) s V): c = V 6

217 תרגיל ספורפוזיציה של מקורות מעגל זה זהה למעגל שבשאלה 3..4, אלא שהפעם המקורות אינם סינוסיים. רשמו ביטוי כללי ל-( t ) v ab ( ) ( ) הן v s t,v s t, is( t) הניחו כי פונקציות נתונות כלשהן, וארבעת תנאי ההתחלה, על שני הקבלים ושני הסלילים נתונים גם כן. מומלץ להשתמש בסימטריה של המעגל ובסופרפוזיציה. v ab (t) v c v ab (t) פתרון שלב.ZS :I ZS מקיימת סופרפוזיציה ביחס למקורות. נבדוק את תרומת המקור v. s במצב מתמיד מצאנו, משיקולי סימטריה בלבד,. V מאחר / ab = Vs שתוצאה זו לא תלויה בתדר, ניתן בעצם להשתכנע, בעזרת התמרת פורייה, כי () t = ( t) v v / ab s v s ( t) לכל v c i. אולם כאן נראה זאת בדרך רגילה של משוואות דיפרנציאליות. 7

218 i s (t)/ v c i ( t) v v it () =Cv () t+ = Cv () t+ c c c c ( t) נשים לב שמתקיים: v מקיימים אותה מד"ר עם אותם תנאי ההתחלה,(ZS) הם שווים זהותית. מובן גם ומשום ש c,vc שמתחי הסלילים שווים זה לזה, כי זורם בהם אותו הזרם. מכאן שהמתח על כל "ענף" (LC) שווה, ומ- KVL הוא שווה בדיוק לחצי מתח המקור. מכאן נקבל v c v, v () t = V () t () t = V () t ab s ab s (זאת משום שעל אותו הדיון בדיוק ניתן לחזור עבור V.) s כעת נמצא את תרומת מקור הזרם. כאן נשתמש בסימטריה: ברור שבZS שני הענפים זהים לחלוטין, ולכן הזרם ביניהם מתחלק באופן שווה. לכם מספיק לפתור ענף אחד עם חצי מהזרם: is() t =Cv c () t + t t C e t = e i t dt C t C () ( ) v c ( t) פתרון ZS של משוואה זו הוא: (ראו נוסחה כללית לפתרון מד"ר ליניארית מסדר ראשון). נוסיף לכך את תרומת הסליל למתח, 8

219 v t C t ונקבל כתשובה סופית לבעיית :ZS C () t = V () t + V () t + e i ( t ) dt + i () t u() t abzs s s s s e C t שלב.ZI :II גם כאן ניתן לפתור תוך שימוש בסימטריה, אבל נפתור באופן שיטתי. משוואה () t v v it () =Cv () t+ = Cv () t+ Li t +v t + v t = L c c c c ( ) ( ) ( ) c c ( t) יחד עם ניתן לרשום בצורה מטריצית: () L L i t i() t v c() t = vc () t C C vc() t vc () t C C λ λ+ λ + + = הפולינום האופייני של המטריצה הוא: LC C C 9

220 מכאן נקבל את הע"ע, נמצא את הו"ע ונרשום את הפתרון הכללי: it () v () = - vc () t C C 4 L C + t 4 L C t t + 4 L C 4 L C C c t A e + A e + A e v הקבועים A מתקבלים מתנאי ההתחלה, אולם אין צורך לחשב את כולם, כי ( t) ( t) + Li ( t) = ( t) Li ( t) v =v v ab c c ( t) ( t) v -v v ab () t = t c c C = Ae ואם נחבר את שתי המשוואות מתקבל ומכאן קל למצוא את A כפונקציה של תנאי ההתחלה על הקבלים, ואת הפתרון :ZI ( ) ( ) t v -v v () t c c C ab = e שהיא כצפוי ליניארית והומוגנית בתנאי ההתחלה. הפתרון הכולל הוא לפיכך: t C t t e t L v ( ) -v ( ) C c c C ab () t = Vs() t + Vs () t + e i ( ) () () s t dt + i s t u t + e C

221 + v c 3 L 4 C r m i L + i L תרגיל מגבר עם משוב חיובי מטרות: - תופעות מעבר מסדר שני - סוגים של ריסון - מתי מעגל מגיע למצב מתמיד? - אנרגיה והספק גם כאן, בדומה לשאלה 4..5 מקבים משוב חיובי. ככל שהזרם I L יהיה גדול יותר, כך יגדל המתח של המקור המבוקר (עבור r m חיובי ). הגדלת המתח תגרום להגדלה של הזרם I. L וכך עד שהמתח של המקור המבוקר יגיע לגבול הפיזיקלי שלו (כלומר המקור ייכנס לרוויה ויפסיק להתנהג כמו מקור אידיאלי). עבורהמעגל שבציור. א. ב. ג. מצאו באילו תחומי של ערכים של r m יהיה למעגל ריסון חסר, ריסון קריטי וריסון חסר. עבור אילו ערכים של r m מתקבלים פתרונות הומוגניים שמתפוצצים בזמן? אם מקור המתח הוא v s (t), מצאו את המתח על הקבל במצב מתמיד כפונקציה של v () = cos( ω ) s t V t הזמן. באילו תחומים של r m יתאר פתרון זה את התנהגות מתח הקבל לאחר זמן רב?

222 ( ) = ( ) v s t V u t ד. נניח כעת כי r m הוא בתחום של ריסון חסר, אפס. מצאו את ההספק הנמסר ע"י המקור הב"ת כפונקציה של הזמן. ה. כמה אנרגיה אגורה בקבל ובסליל לאחר זמן רב? פתרון א, ב. נרשום מד"ר ל v: c ותנאי ההתחלה על הקבל והסליל הם v = v + I ri + LI v = v + Cv rcv + LC v c 3 L m L L c 3 c m c c v v v s s = + L = + vc I I I C + r 3 m vc + vc + vc = vs L LC LC + λ ומכאן: 3 + r λ + m λ+ = נרשום פולינום אפייני: L LC 3 + rm 3+ rm = ± L L LC שורשיו הם: עבור ערכים שונים של r m נקבל פתרונות מסוגים שונים. בפרט, יהיו ערכים עבורם הפתרונות ההומוגניים מתפוצצים. התחומים מסוכמים בטבלה:

223 ריסון שורשי הפולינום תחום r < + m 3 4L C λ, λ ממשיים ושליליים פתרון הומוגני דועך ריסון יתר r = + m 3 4L C ריסון קריטי λ λ= ממשי ושלילי, פתרון הומוגני דועך r > + m 3 4L C r < + m 3 r = + m 3 λ, λ מרוכבים פתרון הומוגני סינוסואידלי ריסון חסר סוגי ריסון חסר: λ, λ מרוכבים בעלי חלק ממשי שלילי. פתרון ריסון חסר הומוגני סינוסואידלי עם מעטפת דועכת. "רגיל" λ, λ מדומים טהורים. פתרון הומוגני סינוסואידלי עם מעטפת קבועה. ריסון אפס r > + m 3 λ, λ בעלי חלק ממשי חיובי. הפתרונות ריסון "שלילי" ההומוגניים מתבדרים באינסוף. זהו אינו פתרון פיזיקאלי. 3

224 ω ג. נחליף במד"ר גזירה ב- jω ונקבל את המשוואה הבאה עבור הפאזורים + r ω 3 m - Vc + j Vc + Vc = Vs L LC LC + V = + V, v t = e V e jωt () { } c c c - ω LC + jωc ( 3+ rm ) +. rm < + 3 ונקבל: הפתרון יתאר את המערכת אם תופעת המעבר דועכת, כלומר אם v c = V + αt vc() t = e ( Acos( ωdt) + Bsin( ωdt) ) + V + v c α = ωd d αt () t e sin( ω t) ד. במקרה הפרטי הנ"ל נציב =ω ונקבל: במצב מתמיד. הפתרון הכללי הוא אפוא: 3 + r m 3 m, + ω r = d = V ω + L LC L ( t) ( t) v,v c c כאשר: נדרוש תנאי התחלה אפס על (בדקו שמתקבל): 4

225 V α vc cos d sin d + ωd αt αt () t = e ( ω t) e ( ω t) u() t ( ) ( ) ( ) () + () = v i () t = i t i t = i t Cv i s t i t s s L s c והתוצאה: כעת נמצא את הזרם דרך מקור המתח: v + Cv V is t e dt u t Lω d s c αt () = = + sin( ω ) () V ps t e dt u t + + Lωd αt () = + sin( ω ) () ולכן ההספק הנמסר ע"י המקור הוא: נשים לב שבזמנים קצרים לאחר הדלקת המקור הסליל מתנגד לזרימת זרם דרכו, ולכן ההספק נמסר לנגדים בלבד. בזמנים ארוכים מאוד הקבל הופך לנתק ושוב ההספק נמסר לנגדים בלבד. בזמני הביניים המקור טוען את הקבל והסליל ולכן מוסר למעגל אנרגיה נוספת. sin( ωdt) t e α t, v c ( ) = V t ps + V + ה. מתח הקבל לאחר זמן רב הוא: 5

226 U, c ( ) C V = + וזרם הסליל הוא אפס. לכן האנרגיה האגורה בקבל היא: והאנרגיה האגורה בסליל היא אפס. תרגיל מתג "החלקה" מעגל הנתון יכול לתאר פעולה של מכשיר חשמלי כדלקמן: המקורות V s ו- V s קובעים את הפעילות של התקן מסויים (שמיוצג על ידי נגד שעליו נופל מתח מוצא.(Vout באופן רגיל (כאשר המפסק פתוח) ייכנו שינויים מהירים במתח (ולכן גם בהספק) של ההתקן (עבור ערכים של השראות L קטנים יחסית). שינויים מהירים אלה ייצורו רעש בזמן הפעולה. כדי להתגבר על הרעש נוסף קבל C עם מפסק M. כאשר נדרש אופן פועלה שקט, סוגרים מפסק M ואז הקבל (לאחר דעיכת תופעות המעבר) מקטין את קצב השינויים במתח מוצא. שימו לב כי ברגע הפעלת המספק, כלומר סגירתו, (ותוך כדי זמן תופעות המעבר) ייתכן שיבוש במתח מוצא ולכן שיבוש בפעולת ההתקן. המהנדס נדרש לנתח את ההשפעה של סגירת המפסק על מתח מוצא. 6

227 ת ) V S S ו- V הם מקורות מתח הנח כי מזמן המתג M פתוח, וכן כי הרכיבים בעלי הזיכרון פרוקים. V S הוא מלמטה (פוטנציאל נמוך) למעלה תלויים בזמן (לאו דווקא סינוסואידלים). כוון המתח על V S הוא מימין (פוטנציאל גבוה). כוון המתח על (פוטנציאל נמוך) לשמאל (פוטנציאל גבוה). ( ) V t = OUT נניח כי א. ההנחה מהו () = ( + ) V t V u t T S, ( ) = ( + ) V t Vu t T S VOUT ( t) כפונקציה של הזמן. בהנחה כי << T, מהו? תן אומדן ל- T שיצדיק את.T >> V out לכל בזמן ב. = t סוגרים את המתג M "ה נגזרים מהסעיף הקודם). רשום פתרון ZI עבור סוג ריסון, עבור > t.. t > נניח כי ג. VS ( t ) =, ( ) = ( ) V t Vu t S הנח כי מתג M סגור כל הזמן. רשום פתרון ZS לכל סוג ריסון עבור ד. נתון כי הנגד אשר בטור למקור V S מקוצר. תאר את השפעת הקיצור על המעגל. 7

228 ( ) = ( + ) V t V u t T S ( ) = ( + ) VS t Vu t T, א. פתרון נניח כי V S לסליל, ו- B היא האדמה), כמו כן נכניס נבצע שקול תבנין לנקודות A ו- B (כאשר A היא הצומת בין את הנגד שבטור לסליל לתוך ההתנגדות השקולה. השקול המתקבל: Veq = s s V t + V t eq = + = () () נשרטט מעגל שקול: נפתור את המעגל עבור מיתוג ב- = t, מכיוון שהמערכת אינוריאנטית להזזה בזמן, נזיז את הפתרון בסוף בזמן T. זהו מעגל L ת. "ה הינו ולכן: 8

229 ת ) ( ) ( ) Veq = IL eq + L + VL re + V L eq I L + IL = V L L L = LI L t t Veqτ Veq τ τ IL = e = e L L + eq ( eq + L ) = ( t > ) τ L t VeqL τ Vout = L IL = e u t L + eq () כפי שאמרנו הפתרון הוא במערכת LTI אזי: T t+ T VeqL τ e u t+ T L + eq ( ) כמובן שאומדן מספיק טוב ל- T יהיה << 5τ (אז נהוג לומר שהאקספוננט כבר דעך ל ). ב. בזמן = t סוגרים את המתג M נרשום את מד"ר המשוואה: "ה יגזרו מהסעיף הקודם). 9

230 Veq = ILeq + LI L + V V = I + LI + V out V out V out CV out + = IL I L = CV out + L L V out V out Veq = CV out + eq + L CV out + + Vout L L Veq V outeq Vouteq V out Vout = + + V out + + LC L LCL CL LC V out + V eq V out eq Veq out = L LC LC L LC V C ( ), I ( ) = = L eq L eq L out L V eq + eq ת"ה יהיו: לפתרון סוגי הריסון לפי הפ"א היעזרו בתרגיל 4.. נשים לב כי ת"ה הפעם הם שונים. eq α = + ω = + L LC LC eq eq ωd = ω α = + + LC L L LC eq L α < ω נסמן: למקרה של ריסון חסר 3

231 ( ) α () = t ( ω ) + ( ω ) v t e Acos t Bsin t u( t) c d d αt ( ) = ( + ) v c t e A Bt u( t) ( ) λ t vc t = Ae + Be λ t + ( ) λ α α ω אז הפתרון ההומוגני הכללי הוא: A ו B נקבעים ע"י תנאי ההתחלה. α = ω עבור ריסון קריטי נקבל : ושוב A ו B נקבעים ע"י תנאי ההתחלה. α > ω עבור ריסון יתר כאשר שורשי הפ"א: נקבל: = ± ± L נשים לב שהמד"ר ולכן גם הפתרון שקולים לאלו של תרגיל 4.. כאשר = eq VS ( t ) = ( ) = ( ) VS t Vu t, נניח כי ג. מתג M סגור כל הזמן. אין צורך למצוא ת"ה. היעזרו בתרגיל 4.. סעיף ו'. (מוצאים פיתרון במצב יציב, מוסיפים פיתרון הומוגני מהסעיף הקודם ודורשים קיום ת"ה ) ד. אם הנגד הנ"ל מקוצר, אזי לפי עקרון הסופרפוזיציה אין למקור V S השפעה על המעגל! קבלנו מעגל עם מקור מתח יחיד. V S בטור). V S אינו משפיע על המעגל (רק קובע את המתח על הנגד המחובר אליו 3

232 תגובה להלם (פונקצית גרין).4.3 ההלם כפולס צר הולך וצר עם שטח קבוע וכנגזרת של מדרגה איזון הלמים במעגלים מסדר ראשון ושני משפט גרין ואינטגרל הקונבולציה שיקולי אנרגיה והספק במעגלים עם הלם כללים לבחינת הרציפות של מתחים וזרמים בעת מיתוג 3

233 V s (t) a/ מטרות תרגיל תגובה להלם - תגובת ZS לפולס הולך ונעשה צר עם שטח קבוע (בגבול -.(δ - התגובה להלם כנגזרת התגובה למדרגה - איזון הלמים א' V s (t) a/ המעגל הנ"ל הופיע בתרגיל 4... את תגובת ZS של מתח הקבל למדרגה ב' ( ) = ( ) מצאנו אז: Vs t Vu t V s (t) a/ Vc t V s t V e u t + t / τ () = () = ( ) () מצאו את תגובת ZS של מתח הקבל (t) V c בכל אחד מן המקרים ג' ( ) ( ) ( ) V t = a[ u t u t ] s הבאים: א. 33

234 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V t = atut [ t ut + t ut ] s t / ( ) ( ) V t = ae u t / s ב. ג.. as() t ד. מצאו את (t) V c בגבול בכל אחד מהמקרים. השוו את התוצאות לנגזרת של s () = δ ( ) V t a t ה. ע"י איזון הלמים מצאו את תגובה ZS של מתח הקבל להלם: ( ) ( t / ) () א. פתרון ( t )/ τ ( ) ( ) a τ Vc () t = a[ s() t s( t ) ] = e u t e u t + t ( ) = ( ) u t dt tu t ב. נשים לב כי: ומכאן שהתגובה לכניסה הנ"ל היא : t t t a Vc () t = st ( ) st ( ) + st ( ) = = a ( t ) / τ τ τ ( τ τ) ( ) ( t ) / τ ( τ τ) ( ) t / τ ( ) () t+ e u t t + e u t + ( + ) + t + e u t 34

235 ג. את התגובה לכניסה הנ"ל נחשב בעזרת הפתרון הכללי למד"ר מסדר ראשון. a t c C V c + V = e τ נזכיר את המד"ר של המעגל: ומכאן לפי הנוסחה, למקרה בו τ t / τ t ae t / + t / τ a t/ t/ VC () t = u() t e dt = e e u t C + a a t VC () t = te = e τc τ τ ( )( ) ( τ ) () τ t/ τ t/ τ ( + ) a a Vc () t = e e = e + + () / τ t/ τ t/ τ ( ) τ ( ) a t / τ / τ / τ Vc t = e e + e ( + ) τ a = = a t/ τ / τ t/ τ τe e e ( + ) τ ( + ) עבור המקרה של = τ : ד. עבור א' לכל <t : עבור ב' לכל <t : עבור ג' לכל <t נתון מתקיים: 35

236 a a V t e e e c () = ( )( ) ( t/ t/ τ ) t/ τ τ + = τ( + ). ast () a V c + Vc = t τ C δ ה. תמיד מתקבל אותו ביטוי, שהוא גם הנגזרת של () נמצא כי בעזרת איזון הלמים על המד"ר: + + ( ) ( ) ( ) V V = V = c c c a C עבור > t המשוואה היא הומוגנית ולכן הפתרון הוא: a a Vc() t = Vc( ) e = e = e C τ + t τ t τ t τ ( + ) הערה: מאחר שבזמנים שליליים המשוואה וגם תנאי ההתחלה הם הומוגניים, נכון יותר לרשום את () () = = () t τ Vc t ah t a e u t τ ( + ) התגובה להלם עם מדרגה: 36

237 מטרות ב. ג. ד. תרגיל איזון הלמים - תגובת להלם ואיזון הלמים - דוגמא לכך שפונקצית ההלם יכולה להופיע במד"ר גם כאשר אינה מופיעה מפורשות בשאלה. - שיקולי אנרגיה והספק בעירור הלם. א. רשמו משוואה דיפרנציאלית למתח הקבל C (שלא תכיל אף נעלם מלבד v ונגזרותיו. נתון כי במשך זמן רב מקור המתח היה מאופס, ואז בזמן הוא נדלק לגודל קבוע :V t = מצאו את (t) v לכל זמן. מצאו תנאי לכך ש-( t ) v ( ) = ( ). Vs t Vu t יתנהג כמו מדרגה כפונקציה של הזמן. מצאו את ההספק הנמסר ע"י המקור כפונקציה של הזמן (ללא קשר ל-ג'). שרטטו אותו באופן איכותי והסבירו. ה. מצאו את האנרגיה שנמסרה ע"י המקור בפרק הזמן [+,-]. השוו אותה לאנרגיה האגורה בקבלים ברגע +=t. C v i V s (t) v C 37

238 ( ) v v Cv + + C v + = v v = Vs פתרון א. נרשום משוואת KVL ומשוואת :KCL ונקבל משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון ל- v. Vs Vs() t C+ C v + v + = + CV s = + CV s( t) עבור המקור הנתון בסעיף ב': נשים לב שבאגף ימין מופיעה פונקצית ה- δ למרות שהיא לא מופיעה מפורשות בתנאי השאלה. s ( C + C ) v + v + = + CV = u() t + CVδ() t s V ב. נבצע איזון הלמים. קל לראות שנוכחותה של u(t) (כמו גם כל פונקציה חסומה) באגף ימין לא משפיעה על התוצאות: ε ε ε ε ( C + C ) v ( t) dt+ + v () t dt = u() t + CV δ () t ε ε ε ε V V ומכאן: 38

239 ( ) v ( + )-v ( ) C + C = CV ( + ) = v C V C+ C () ( ), המד"ר לזמנים חיוביים היא: δ t =, u t = מאחר שבזמנים חיוביים v ( C + C ) v + v + = V ( + ) = ( + ) v CV C C. נפתור ונקבל: V C t / τ () t = + V e u() t + C+ C +. C = C ( C C ) ( C + C ) עם תנאי ההתחלה ג. מהביטוי שמעל רואים כי התנאי לכך הוא ד. לאחר לא מעט חישובים מקבלים: v V t / τ VCC it () = Cv = + e ut t + C + C () δ () d u() t δ () t dt = u() t u () t dt = u () t dt u() t dt dt = = נשים לב כי: 39

240 ut t t () δ () = δ () ולכן מכאן נקבל שההספק הנמסר ע"י המקור כפונקציה של הזמן הוא ( C C ) ( C + C ) V t / τ VCC P() t = Vi() t u() t = + e u () t + δ t + ( C+ C ) P(t) () ( C C ) ( ) V + + C + C V + VCC C C δ ( + ) () t t + ( ) ( ) () VCC U U = P t = + ( C + C ) + :[, ] ה. נבצע אינטגרציה על P(t) באינטרוול האנרגיה האגורה במערכת בזמן + מחושבת ממתחי הקבלים ומתקבלת תוצאה זהה: 4

241 C C v = V v = v V = V ( ), ( ) ( ) s ( ) C+ C C+ C + C + C + VCC U( ) = v ( ) + v( ) = ( C + C ) מכיוון שכל האנרגיה של המקור בפרק הזמן נאגרה בקבלים, נובע שלא היה שום בזבוז אנרגיה בנגדים. הסיבה היא שמתח הנגדים שווה למתח הקבלים והוא חסום, לכן גם ההספק המתבזבז עליהם חסום. מכאן שבפרק הזמן [+,-] לא התבזבזה אנרגיה בנגדים. תרגיל משפט גרין i L L מטרות - תגובה להלם ואיזון הלמים במעגל מסדר שני - משפט גרין ואינטגרל הקונבולציה v() t S + - C v C המעגל בשאלה זו הופיע בתרגיל 4... ( ) = δ ( ), ותנאי ההתחלה הם v s t a t כעת נתון כי ( ) i L( ) vc = v, =. i א. מצאו את מתח הקבל כפונקציה של הזמן. הפרידו לשלושה מקרים בהתאם לריסון. ב. עבור ריסון חסר ותנאי התחלה אפס מצאו את התגובה להלם (פונקצית גרין). 4

242 , V() t = ut () ut ע"י שימוש ( ) S ג. עבור ריסון חסר ותנאי התחלה אפס מצאו את התגובה לחלון: ax ( sin( ) cos( )) ax e a bx b bx e sin( bx) dx = a + b ( t) vs vc + + v c + vc = L C LC LC ( ) + ( ) = ( ) ( ) = Cv v i v c c L c במשפט גרין. * ניתן להיעזר באינטגרל א. פתרון את המשוואה הדיפרנציאלית למעגל זה קיבלנו בפרק 4.: i C v C ( t) aδ vc + + v c + vc = L C LC LC v : c נמצא את תנאי ההתחלה על כעת נבצע איזון הלמים: כעת מבצעים אינטגרציה בין = t לבין + = t ומקבלים כמו תמיד בנגזרת האחת לפני הגבוהה ביותר (במקרה שלנו זוהי הנגזרת הראשונה) יש אי רציפות שגודלה הוא המקדם של δ(t) (כלל זה מתקיים כאשר המקדם של הנגזרת הגבוהה ביותר הוא ). נגזרות נמוכות יותר הן רציפות. + + a i v a vc( ) = vc( ) = v, v c( ) =v c( ) + = + LC C C LC 4

243 כעת עלינו לפתור את המד"ר ההומוגנית עם תנאי ההתחלה ב-+. דבר זה נעשה בפירוט רב בשיעור 4. ולא נחזור עליו כאן. ב. עבור תנאי התחלה אפס. לאחר איזון הלמים מקבלים את המשוואה ההומוגנית הבאה עם תנאי vc + + v c + vc = L C LC + + a v() = c, v() = c LC התחלה שונים מאפס: עבור ריסון חסר לאחר הצבת תנאי התחלה מקבלים את התגובה להלם (פונקצית גרין): ( ω ) v() t = G() t = Be sin t u() t C αt d aω α = +, ω =, ω = ω α, = C L LC ω B d d ג. ע"פי משפט גרין לאחר שמצאנו את התגובה להלם, נוכל למצוא את התגובה לכל כניסה אחרת. כאשר המערכת ליניארית וקבועה בזמן ותנאי ההתחלה הם אפס, התגובה נתונה ע"י אינטגרל [ ] [ ] הקונבולציה: v ( t) = v ( t)* G( t) = v ( t τ ) G( τ) dτ u( t τ) u( t τ) Be sin( ωτ) u( τ) dτ C S = = S d ατ = B u( t τ) u( t τ) e sin( ωτ) dτ d ατ 43

244 τ (בתחום בין לאינסןף), לכן תוצאת האינטגרל היא אפס v ( t ) = C נבחין בין תחומי החפיפה: ) >t פונקציות המדרגה הן לכל <t< ( ω ( + ) ( sin( ) cos( )) ( αsin( ωτ) ω cos( ωτ) ) ατ t ατ e + d d d v ( t) = B e sin( ωτ) dτ B C = d = α + ωd αt = e α ω t + ω ω t + ω d d d d ω α ω d d t t> (3 ( αsin( ωτ) ω cos( ωτ) ) ατ t ατ e + d d d v ( t) = B e sin( ωτ) dτ B C3 = d = t α + ωd ( αsin( ω ) ω cos( ω ) d d d ) ( ( d ) d ( d )) αt ω e t + t = α ( ) ( t ω α + ω ) d d + e αsin ω ( t ) + ω cos ω ( t ) t t 44

245 ולכן התגובה הכללית היא :, t < v() t = v (), C t < t< C v ( t), t > C 3 בשיעור 4. ראינו את הקשר בין פונקצית התמסורת למד"ר של המעגל, נציין כאן קשר נוסף: עבור תנאי התחלה אפס, התמרת פורייה של פונקצית גרין היא פונקצית התמסורת- מטרות תרגיל אי רציפות במיתוג { ( )} = H( ω) F G t - התמודדות עם אי רציפויות במיתוג - תגובה להלם ואיזון הלמים במעגל מסדר שני L + v c C V במעגל הנתון (ציור ) המפסק היה פתוח זמן רב עד שבזמן.DC הוא נסגר. המקור הוא t = א. רשמו משוואה דיפרנציאלית ל-( t ) i L בזמנים < t ובזמנים >.t ב. נתון תנאי ההתחלה על מתח הקבל: ).(v c ( - ) = V מצאו את המתח והזרם בקבל ובסליל מייד לאחר סגירת המפסק ) + = t) 45

246 (t) i. L הניחו ריסון חסר. ג. מצאו את + v c L C V s (t) ד. מציעים להחליף את המעגל הנתון במעגל אחר (ראו ציור ), מתוך טענה שאם בוחרים נכון את (t) V s שני () = + ( ), Vs t A Bu t המעגלים שקולים. מוצעת כאשר A וB קבועים. מצאו את A ו- B. ה. מצאו את (t) i L בעזרת ד' בעזרת איזון הלמים. d ( ) d L L ( L) i d i i V + + = = dt L dt CL dt L V, ומאחר שבזמנים שליליים (t),i L C פתרון א. המד"ר עבור < t היא, i = L ואילו לאחר > t היא: ( ) = V i c ( ) i L ( ) = t מתקיים = = ב. בזמן גם וכן. קל לראות כי אם נניח רציפות בכל ארבעת המשתנים האלה לא יתקיים KVL בזמן V L ( ) = + = t. נראה אפוא אם נוכל לשמור לפחות על רציפותם של i. רציפות i, לכן c גוררת רציפות i L L ו- v c נותר רק לוותר על רציפות v. L את הקפיצה בו נמצא בעזרת :KVL ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V =v + v + i = V + v + v = V V c L L L L 46

247 () ( V V ) () = cos( ω ) + sin ( ω ) t il t A t B t e α ולכן i L v, c ו- i c עוברים ברציפות את המיתוג. ג. פתרון המד"ר ההומוגנית הוא: α =, ω = L LC L + d + V V il A i B dt L ( ) = =, L( ) = ω = ( ω ) ( ) αt il t = e sin t u t ωl () ( V V ) ( ω ) αt il t = e sin t ωl כאשר: עם תנאי ההתחלה: ומכאן: ומאחר שבזמנים שליליים זרם הסליל היה אפס, נרשום: ד. נבחר את המקור להיות זהה לזה שבסעיפים הקודמים עבור זמנים חיוביים ושווה לתנאי ההתחלה על הקבל עבור זמנים שליליים: u(t).v s (t) = V + (V -V ) d d i V V L L dt L dt CL L δ L ( i ) + ( i ) + = () t ה. כעת המד"ר תהיה: 47

248 ולכן מאיזון הלמים נקבל: d i dt L + V V L ( ) = ומכאן ההמשך זהה לג'. למרות שבבעיה זו יכולנו להחליף את המיתוג בעירור מדרגה ולפתור בעזרת איזון הלמים, חשוב לציין שדרך זו אינה אפשרית ברוב בעיות המיתוג. בעיות מיתוג נפתור באופן כללי כמו שפתרנו בסעיפים א-ג, על ידי הפעלת KCL KVL לפני ואחרי המיתוג. מטרה תרגיל אי רציפות במיתוג - התמודדות עם אי רציפויות במיתוג בתכנון של דגם משפור של מכונית (דמיונית), המתכנן הוסיף התקן חדש בעל אופי קיבולי על קו הספקה של מאוורר רדיאטור. להזכירכם, הספקת החשמל במכוניות נעשית מהמצבר (בדרך כלל וולט,(DC והרדיאטור מופעל רק בפרקי זמן בהם נדרש קרור נוסף למנוע (כלומר הוא לא פועל תמיד אלה פעם כן פעם לא). במעגל הנתון המצבר מיוצג על ידי המקור V, s המפסק מופעל (נפתח ונסגר) על ידי הטרמוסטט. חוליית L ו- מייצגת את v c + C i L L V s המאוורר, והחוליה של הקבל מייצגת את ההתקן החדש. לאחר הוספת ההתקן הקיבולי, בבדיקות, גילו "התנהגות מוזרה" של המאוורר ושל ההתקן החדש ברגע פתיחת המפסק ע"י הטרמוסטט. כדי לחקור את הבעיה, המהנדס נדרש לנתח את זרם הסליל (הקובע את מהירות וכוון הסיבוב של המאוורר) ואת 48

249 א. ב. ג. מתח הקבל (הקובע את התפקוד של התקן החדש) עבור פתיחה וסגירה של המפסק, כמו כן גם נדרש ניתוח לסגירה רגעית של המפסק (כניסת הלם). המעגל הנתון נמצא זמן רב במצב בו המפסק פתוח. מקור המתח הוא קבוע בזמן. בזמן = t סוגרים את המפסק ובזמן t = t פותחים אותו מחדש. מצאו את מתח הקבל ואת זרם הסליל בכל זמן. לאיזו סוג ריסון, לדעתכם, מתאימה "ההתנהגות המוזרה"? v s () t = V u( t) u( t t ) s כעת המפסק סגור כל הזמן, ואילו המקור הוא. מצאו את מתח הקבל וזרם הסליל בתנאי התחלה ZS כפונקציה של הזמן והשוו את התוצאה לסעיף הקודם. הסבירו את ההבדל. ד. כעת המפסק סגור כל הזמן, ואילו המקור הוא הלם הסליל כפונקציה של הזמן בתנאי התחלה.ZS ( ) = δ ( ). מצאו את מתח הקבל וזרם v s t a t פתרון א. קל לראות שרציפות שני הזרמים ושני המתחים, בקבל ובסליל, סותרת את.KVL ננסה לשמור לפחות על רציפות מתח הקבל וזרם הסליל. בבעיה זו זה מספיק, ומ KVL נקבל את זרם הקבל ומתח הסליל מיד לאחר המיתוג: + + ( ) = V i ( ) = V v, L s C s (בהמשך נראה שאין צורך בתוצאות אלו להמשך השאלה) מאחר ששני הענפים מחוברים במקביל למקור המתח משוואותיהם לאחר המיתוג הן ב"ת: 49

250 d L il + il = Vs, C v c + vc = Vs dt והפתרון, לאחר הצבת תנאי התחלה אפס על מתח הקבל וזרם הסליל הוא: V i t e t V e s () ( ) () ( ) t L t C =, v = L c s בזמן t קל לראות שוב שניתן לקיים את KVL וKCL אם שומרים על רציפות מתח הקבל וזרם הסליל, אך לא יותר מכך. לכן ת"ה בזמן t יהיו: (הרי אין שינוי במתח הקבל וזרם הסליל) d + L i d i L + il + = dt L dt CL V i t e t V e + s ( ) ( ) ( ) ( ) t L + t, v C = = L c s כאשר פותחים את המפסק נוצר מעגל מסדר שני, LC טורי: ( ) i L t +. d L il t i t t dt + + ( ) ( ) ( ) v L = c( ) d + V V + il t e e dt L L s t C s ( ) ( ) t L = ( ) עלינו למצוא את תנאי ההתחלה נמצא אותו בעזרת :KVL הפתרון יהיה בהתאם לריסון (חסר, קריטי או יתר) בהצבת תנאי ההתחלה הנ"ל. 5

251 ב. קל לנחש שעבור ריסון חסר נקבל תנודות כלומר המאוורר, למשל, יסתובב פעם קדימה ופעם אחורה שזה תופעה מאוד לא רצוייה. ג. על-ידי הצבה רואים שאין הבדל בכל הנוגע לזמנים,t<t אולם עבור t>t המצב שונה. בזמנים אלו המערכת אינה קבל סליל ונגדים המחוברים בטור (סעיף א), אלא שני מעגלים נפרדים: קבל- נגד בטור, וסליל-נגד בטור. ההבדל נובע כמובן מכך שבסעיף א כשהמתג פתוח ענף המקור הוא נתק, ובסעיף זה הענף הופך לקצר. גם כאן קל לראות שניתן לקיים את KVL וKCL אם שומרים על רציפות מתח הקבל וזרם הסליל, אך לא יותר מכך. לכן תנאי ההתחלה על מתח הקבל וזרם הסליל בזמן t יהיו כמו קודם. אולם המד"ר d L il + il =, C v c + vc = dt תהיה: V i t t e e v t t V e e S ( > ) = ( ), ( > ) = ( ) t / L ( t t)/ L t/ C ( t t)/ C L C S ולכן הפתרון: ד. התגובה מסעיף א' היא תגובה למדרגה מאחר ותנאי ההתחלה הוא בשני המקרים: a il t e u t c t a e u t t () ( ) () () ( ) () L tc =, v = כאשר החלפנו את V s ב- a. לקבלת התגובה להלם נגזור אותה: 5

252 ת, a il t Lae u t c t e u t C t () () () () L t C =, v = נתון מעגל הבא: תרגיל תופעת מעבר בין קבלים C C +- V s C V V out V = Acos( ωt) S א. ב. רשום משוואה דיפרנציאלית לחישוב (t) V out מצא את פונקצית התמסורת (ω H ( עבור הסבר את הקשר בין התוצאה שקיבלת V H ( ω) = V out S ( ω) ( ω) לבין התוצאה של סעיף קודם. כאשר.V out (t) V = [ V] u( t) + [ V] u( t ) + [ V sec] δ ( t ) S נניח ג. "ה אפס. מצא את א. פתרון משוואה דיפרנציאלית לחישוב (t) V out 5

253 V ( KCL + KVL) C( V V ) = CV + C( V V ) V = Z tot s out Vout Vout V out + V S = CV ( V out ) = C V 3 V out 3Vout VS + = C 3+ jωc = + + = jωc jωc jωc jωc jωc+ V VS jωc + jωc VS ( + jωc) = = Z 3+ jωc V tot V V jωc + 3 jωc jωc S out = = + jω jωc H ( ω) = = 3+ jωc 3 + jω C out out + V 3 S המד"ר המבוקשת: ב. 53

254 jω Vout 3 jω H ( ω) = = jωv + V = V V 3 s + jω C C out out S אפשר לראות כי: כלומר פ' התמסורת היא בדיוק המשוואה הדיפרנציאלית, כאשר פעולת הגזירה מוחלפת בכפל ב-.jω.V out (t) V = [ V] u( t) + [ V] u( t ) + [ V sec] δ ( t ) S ג. נניח ת, "ה אפס. נמצא את נמצא את תגובת המעגל לכניסת מדרגה, עם ת"ה אפס: 3V out V out + = [ V sec] δ ( t ) C Vout ( ) = נבצע איזון הלמים ולאחר אינטגרציה נקבל: + ( ) ( ) + V [V] ( ) out Vout = V [V] out = 3t C Vout, step () t = e u()[ t V] ומכאן שהתגובה למדרגה היא: 3t 3t 3 C C Vout, delta ( t) = e δ ( t)[ V sec] e u( t)[ V] 4C תגובה להלם היא נגזרת של תגובה למדרגה: 54

255 V () t = V () t + V ( t ) + V ( t ) = out out, step out, step out, delta התגובה הכוללת לכניסה נתונה היא (סופרפוזיציה): 3t 3( t ) C C = [ V]e u( t) + [ V]e u( t ) 3( t ) 3( t ) 3[ V sec] C C e ut ( ) + [ V sec]e δ ( t ) 4C תרגיל מעגל עם מפסקים נתון המעגל החשמלי המתואר באיור הבא: S t = t = S IL I C I L C V כמו-כן נתון:. t = המפסק S היה סגור זמן ממושך ונפתח ברגע הזמן. t = המפסק S היה פתוח זמן ממושך ונסגר ברגע הזמן 55

256 . הגדלים L, ו- היחס בין מתח המקור C מקיימים את הקשר. = L C ( ) V לזרם המקור ( ) I שווה ל- א. ב. ג. ד. כפוף לנתונים הנ"ל יש לענות על השאלות הבאות: רשום/רשמי את ערכי זרם ומתח הקבל והסליל ברגעי הזמן: t = +, t = רשום/רשמי משוואה/ מערכת משוואות אשר מאפשרת פתרון מלא של המעגל. מצא/י פתרון מפורש לזרם הסליל עבור t. ו-. t חשב/י את האנרגיה החשמלית האגורה בקבל ואת האנרגיה המגנטית האגורה בסליל ברגעי הזמן: ה. ו. t = +, t = הראה/הראי שמתקיים t. ו- [ ] הסבר/הסבירי את תהליך זרימת האנרגיה במעגל.. על-סמך תוצאה זו + + WL( t = ) + WC( t = ) > WL( t ) + WC( t ) חשב/חשבי את סך כל האנרגיה המתבזבזת בחימום הנגד פתרון נתייחס למעגל עם כיווני הייחוס כלהלן:. 56

257 S t = t = S I IL I I C I L C V א. לרישום הערכים הדרושים נעזר בעובדות הבאות: במצב מתמיד (לאחר זמן ממושך בעירור זרם/מתח ישר) הקבל מהווה נתק והסליל מהווה קצר. בכל רגע זמן נתון חוקי קירכהוף חייבים להתקיים. מתח הקבל רציף וזרם הסליל רציף כל עוד אין עירור הלם עבור גדלים אלה. t = : I = I, V =, I =, V = V על-סמך נתוני המעגל והעובדות הנ"ל קל להראות ש: L L C C ( ) + t = : IL = I, VC = V I =, V = I+ I + I I = I, VL = V, IC = I t = : IL = I, VL =, IC =, VC = V 3 3 ב. נרשום כעת את חוקי קירכהוף בכל רגע זמן נתון עבור t: 57

258 VC = 3I+ IL KCL : I = IC + I + I L ; KVL : V = I+ VC I. C dv = C dt C V, L dil בנוסף משוואות המצב עבור הסליל והקבל = L dt שילוב המשוואות הנ"ל מביא למד"ר מסדר שני עבור זרם הסליל עם תנאי ההתחלה כלהלן: d IL dil V + α + ω I L = dt dt 3LC + IL ( t = ) = I ; α, ω C LC dil V = dt + t= 3L ג. לפי נתוני המעגל הפתרון הינו מהצורה (מתקיים התנאי לריסון קריטי) I V ω t It I t I e ut () = + + ω + () 3 3ω L 3 3 ד. על סמך סעיף א' קל לחשב את האנרגיות ומתקבל: 58

259 t = : WL = LI, W = CV + t = : WL = LI, W = CV 4 t : WL = LI, W = CV 8 8 C C C ה. מהחישוב הנ"ל קל להראות ש- 5 LI = W ( t = ) + W ( t = ) > [ W ( t ) + W ( t )] = LI L C L C יש לשים-לב שבנוסף לאנרגיות ההתחלתיות שהיו אגורות בקבל ובסליל מקור המתח ממשיך לספק אנרגיה כל הזמן למעגל ועל-כן חלוקת האנרגיה תהיה בהתאם לצורת החיבור במעגל. ו. כל עוד מקור המתח מזין את הנגד, ימשיך לזרום דרכו זרם סופי ועל-כן לאחר זמן אינסופי תתבזבז כעקרון אינסוף אנרגיה בנגד. במידה ורוצים לחשב את האנרגיה עד לרגע זמן נתון יש לחשב את הזרם ו/או את המתח על אותו נגד ולחשב את ההספק החשמלי ולאחר מכן לבצע אינטגרציה על ההספק מ- = t עד לזמן המבוקש. 59

260 5. פתרון מטריצי של מעגלים ניתוח בשיטת הצמתים ניתוח בשיטת החוגים 6

261 ..3 פתרון מעגלים חשמליים בשיטת צמתים בשיטת צמתים הפתרון הוא ווקטור פוטנציאלים של הצמתים במעגל - e רישום משוואות צמתים בהסתכלות:. להמיר את כל המקורות (תלויים או בלתי תלויים) למקורות זרם. למספר את כל הצמתים במעגל ולבחור צומת ייחוס. הפוטנציאלים שיתקבלו בפתרון הם הפוטנציאלים של הצמתים, ביחס לצומת ייחוס. לרשום את מטריצת האדמיטנסים א. ב.. Y.4 i. סה"כ אדמיטנסים מחוברים לצומת y ii j. לבין צומת i מינוס סה"כ אדמיטנסים מחוברים בין צומת y ij אפשר לראות ש- Y היא מריצה סימטרית. לרשום ווקטור מקורות זרם.Is א. Is k סה"כ מקורות זרם (תלויים ובלתי תלויים) הנכנסים לצומת k מקור זרם יוצא יש לקחת אם סימן מינוס. 6

262 ב. לבטא את הפרמטר המבקר של כל מקור תלוי בעזרת פוטנציאלים של צמתים (ההפרשים בינהם) ויתר פרמטרי המעגל. מתקבלת מערכת משוואות מהצורה: Y e = I s במקרה כזה יש להעביר איברים אילו לאגף של בגלל מקורות תלויים, ייתכן ש- Is מכיל איברים של e. Y, ולקבל מערכת משוואות שאותה אפשר לפתור. לאחר פתרון של מערכת המשוואות, מתקבל ווקטור פוטנציאלים, שבעזרתו אפשר למצוא את המתחים בכל ענף ).( Vij = ei ej.5.6 פתרון מעגלים חשמליים בשיטת חוגים -עיניים (MESH) בשיטת החוגים, הפתרון הוא ווקטור זרמים של החוגים במעגל - i יש למספר אותם ולקבוע את רישום משוואות חוגים בהסתכלות:. להמיר את כל המקורות (תלויים או בלתי תלויים) למקורות מתח.. במעגל בעל B ענפים ו- N צמתים ישנם (B-N+) חוגים בלתי תלויים. כיוון הזרם (כיוון החוג). 3. לרשום את מטריצת האמפדנסים Z א. z ii סה"כ אמפדנסים בחוג i 6

263 ב. j לבין חוג i מינוס סה"כ אימפדנסים משוטפים בין חוג z ij אפשר לראות ש- Z היא מריצה סימטרית לרשום ווקטור מקורות מתח Vs א. ב. Vs k סה"כ מקורות מתח (תלויים ובלתי תלויים) בחוג k (מקור שכיוון שלו הוא כמו כיוון החוג נחשב חיובי, ומקור אשר כיוונו מנוגד לכיוון החוג נחשב שלילי) לבטא את הפרמטר המבקר של כל מקור תלוי בעזרת זרמי חוגים (ההפרשים בינהם) ויתר פרמטרי המעגל. מתקבלת מערכת משוואות מהצורה: Z i= V s בגלל מקורות תלויים, ייתכן ש- Vs מכיל איברים של i..4.5 במקרה כזה יש להעביר איברים אילו לאגף של Z, ולקבל מערכת משוואות שאותה אפשר לפתור. 6. לאחר פתרון של מערכת המשוואות, מתקבל ווקטור זרמים, שבעזרתו אפשר למצוא את הזרם בכל ענף (זרם בענף ששייך לחוג אחד הוא זרם החוג, וזרם בענף שמשותף למספר חוגים הוא סכום הזרמים של החוגים). 63

264 תרגיל 5... פתרון בהסתכלות מטרה - ניתוח בשיטת הצמתים בהסתכלות - ניתוח בשיטת העניים בהסתכלות נתון המעגל הבא: v s j s8 = Ω = 3Ω 3 = 5Ω 4 = Ω 5 = Ω 6 = 3Ω 7 = 7Ω 8 = Ω v = 4V j = A s s8 א. ב. מצאו את זרמי הענפים, ומתחי הצמתים ביחס לצומת 5. בשיטת מתחי הצמתים. בשיטת זרמי חוגים. פתרון א. בשיטת מתחי צמתים אלגוריתם לפתרון בהסתכלות: ) נבחר צומת ייחוס, כל המתחים במעגל הם יחסית אליה ולכן היא מחוברת להארקה. במקרה שלנו צומת 5. 64

265 ) אם קיימים במעגל מקורות מתח ללא נגדים בטור אליהם (מקורות אידיאלים) יש להזיז אותם לפי- C + - Vs B A C B + V s - A + - V s D D מזיזים את מקור המתח אל כל הענפים המתחברים לצומת ומקצרים את המקור. מבחינת הרשת N אין שינוי בצענו שלב זה על מנת שבשלב הבא נוכל להחליף את מקורות המתח במקורות זרם. ממירים את כל מקורות המתח עם נגד בטור אליהם למקור זרם עם נגד במקביל אליהם לפי: (3 k v s + - is = vs k k במעגל הנדון נמיר את מקור המתח בענף 65

266 vs למקור זרם ונקבל את המעגל הבא: בונים את מטריצת המוליכות ע" התבוננות: אם אין רכיב המחובר ביניהם, המוליכות היא. ( המוליכות y ii היא סכום המוליכויות מצומת i לכל הצמתים המחוברות אליה (דרך רכיבים). 4 j s8 המוליכות k. לצומת i היא מינוס סכום המוליכויות מצומת y ik כמובן שבשלב זה y ki =y ik עבור המעגל שבשאלה מקבלים: Y n =

267 * שימו לב שבמעגל עם מקורות ב"ת בלבד המטריצה היא סימטרית, אם יש מקורות תלויים הסימטריה תשבר בשלב הבא. Y n לאחר הצבת ערכים מקבלים: = ) בונים את ווקטור המקורות (זרם). אם המקור i sk נכנס לצומת k אזי סימנו חיובי אחרת שלילי. i s vs 4 vs 4 = = j s8 js8 עבור המעגל הנדון : * אם יש מקורות תלויים מתייחסים אליהם כמקורות ב"ת- מציבים אותם בווקטור המקורות, כותבים אותם כתלות במתחי הצמתים ומעבירים אגף. אסור שווקטור המקורות יהיה תלוי במתחי הצמתים. 67

268 e i Y e= i n s המשוואה הווקטורית הבאה מתקיימת תמיד:. אנו מחפשים את מתחי הצמתים (6 e e= Y i n s כלומר את הווקטור e ולכן יש לפתור את המשוואה הווקטורית הבאה: e e = = = עבור המעגל שבשאלה מקבלים: V e e נחלץ את זרמי הענפים- e 5 e i = = = A i = = = A e 6 e i = = = 3A i = = = 4A e e e e i A i A = = = = 3 7 נחשב את הזרם בענף 8 על ידי חישוב הזרם דרך הנגד והחסרת זרם המקור 68

269 e e i = = 7A i = i j = 4A s8 8 בדקו את התוצאה בעזרת KCL 7) יש לחזור מענפים מוזזים / מומרים לענפים פיסיקליים ולפתור את המתחים והזרמים שבהם. i e e v s = = 8 6A לדוגמא הזרם האמיתי ב- : חשוב לציין שהזרם דרך הנגד לפני ואחרי ההתמרה שונה והזרם דרך הענף כולו זהה הזרם על הנגד לפני ההתמרה שווה לזרם על הענף כולו. לכן נוכל לחשב בלי לחזור למעגל המקורי בעזרת i = i i5 = 6A : KCL A I S C B I S A I S C B ב. נפתור בשיטת העיניים (החוגים) אלגוריתם לפתרון בהסתכלות: ) הזזת מקורות זרם אידאלים לפי: במעגל הנידון אין מקורת זרם אידיאלים. 69

270 k vs = is k + - is k ) הפיכת מקורות זרם מעשיים למקורות מתח מעשיים. במעגל הנדון המקור בין הצומתים 3,4. (בשיטת הצמתים פותרים עם מקורות זרם בלבד; ובשיטת החוגים פותרים עם מקורות מתח בלבד) v s + - j j קובעים את + N = B העיניים ואת כוונן (מומלץ לבחור B= 8 N = 5 l = 8 5+ = 4 (3 בכוון אחיד). במעגל הנדון- j 3 j js88 Z : רישום מטריצת התנגדויות העיניים המוכללת m - סכום כל ההתנגדויות השייכות לעין i (4 Z mii - סכום ההתנגדות המשותפת לעין i ולעין j Z m ij = Z (אם זרמי העיניים על הענף באותו הכיוון - סימן חיובי, אם לא- שלילי) בחרנו את זרמי העיניים כולם נגד כיוון השעון. במעגל הנתון נכתוב את מטריצת ההתנגדויות בהסתכלות: m ji 7

271 Z m = Z m = לאחר הצבה מקבלים: ) נבנה את ווקטור המקורות : אם כיוון מתח המקור וכיוון זרם העין מסכימים (לאותו כיוון) אזי סימן חיובי, אחרת שלילי. V s Vs 4 js8 8 = = js88 7

272 J J J = J l Z J = V, m s פיתרו את המשוואה : כאשר J הוא וקטור זרמי העיניים הנעלמים- (6 i = j = 6A i = j = 3A i = j = A i = j = A J = Z V m s הפתרון בצורה מטריצית הוא: j 6 j 3 במעגל הנידון נקבל: = j3 j 4 מתוך זרמי החוגים נחלץ את זרמי הענפים- i = j j = 3A i = j j j j = 4A i = j + j + j = A i = j + j = 4A i = i סימנו את הזרם בענף 8 עם ' כי זהו ענף מומר למרות שבמקרה זה 8 8 ( e = V) 5 את מתחי הצמתים נחשב ביחס לצומת 5 7

273 ( ) ( ) e = i = 3 4 = V e = i = 3= 6V e = i = 5 = 5V e = i = = V ) חזרו מענפים מוזזים / מומרים לענפים פיסיקליים, ומצא לגביהם את V, i כנדרש. ( ) ( ) V8 = 8 i8 + js8 = 4+ = 7V לדוגמא המתח האמיתי על : 8 נזכיר בנקודה זו- שהשיטות בהן השתמשנו בתרגיל הנ"ל עובדות גם עבור מעגלים פאזוריים במצב סינוסי מתמיד, ולא רק במעגלי DC התנגדותיים. L מטרה תרגיל 5... פתרון פאזורי עם מקורות מבוקרים - פתרון עבור מעגל הכולל מקורות מבוקרים - פתרון מטריצי בפאזורים + v - עבור המעגל הבא נתון: i s + L C C v- g v m 73

274 C = [ F] C = [ F] L = 4[ H] L = 3[ H] = [ Ω ] = [ Ω ] m = [ Ω ] s = 3sin ( )[ ] g i t A הניחו תנאי התחלה אפס ונסתיימו תופעות המעבר.מצאו את המתח v ואת הזרם i L בשיטת מתחי צמתים Y n פתרון אין מקורות מתח במעגל לכן אין צורך בהתמרות. נבנה את מטריצת האדמיטנסים: ω ω ( ω ω ) ( ω ( ω ω )) ( ω ( ω ω )) ( ω ( ω ω )) + j C+ j L+ j L + j C j L+ j L + j C = j L j L j C j L j L j C j j e 3 j 7 7 j e = j i s is = ge נתייחס למקור התלוי כמקור ב"ת ונבנה את וקטור המקורות - m Yn e= is לפי המשוואה- נעביר את e שבווקטור המקורות אגף ונקבל-השינוי הוא באיבר השלישי במטריצה. * שימו לב שהמטריצה אינה סימטרית. 74

275 ( ) ( e e ) e.63.8 j e.9. j jωl + jωc L L jωl e= Y i n s על פי מקבלים: e e jωc v =..9 j.5.68 v t.5cos t+.68 [ V] () ( ) () ( ) i =.3.6 j..89 i t.cos t.89 [ A] תרגיל פתרון בהסתכלות עבור המעגל הבא מצא את מתחי הצמתים נתון כי כל המקורות פועלים בתדר ω. א. פיתרו בשיטת מתחי צמתים בהסתכלות ב. פיתרו בשיטת זרמי חוגים בהסתכלות א. פתרון בשיטת מתחי צמתים: בחרנו את צומת (4) כצומת ייחוס. 75

276 Y n אין מקורות מתח אידאליים, לכן אין צורך לבצע הזזות. y n נמיר את מקור המתח המעשי בענף 6 למקור זרם. נבנה את מטריצת מוליכויות הצמתים המוכללת jωl jωl jωl jωc jωc = jωc + jωl jωl jωc jωc 76

277 e e= e = Y i n e 3 sn i sn I s = V s 6 e מתקבל ע"י: נבנה את וקטור זרמי הצמתים המוכלל : i sn Y e = i n sn כזכור ב. פתרון בשיטת העניים:,מכאן וקטור מתחי הצמתים N = 4 B = 7 = B N + = 4 אין מקורות זרם אידיאליים להזזה, הרשת מישורית וניתן לפתור בשיטת עיניים. במעגל הנתון לכן 4 עיניים בת"ל לא ספרנו את ענף מקור הזרם הוא יומר בהמשך. (התייחסנו ל 3 L כאל ענף אחד עם רכיב המורכב מחיבור מקבילי שלהם, אפשר.(4 L להתייחס באותו אופן ל ולפתור עם 3 חוגים במקום 77

278 נסמן כווני עיניים בכוון השעון. המרת מקור הזרם המעשי. המעגל המתקבל: J j j = j3 j 4 נרשום משוואת העיניים ולאחר הפתרון של המשוואה המטריצית נקבל: כאשר המשוואה המטריצית (מתוך משוואות העיניים): 78

279 + jωl+ + ( 3 jωl) + ( 3 jωl) J Is( + jωl) jωc jωc J = J3 V s jωc jωc J 4 ( 3 jωl) 5 ( 3 jωl) J Vsm jωc Z m i = j ; i = j j ; i = j j 3 4 נמצא זרמי ענפים: - V a 3 + 3V a + - תרגיל הזזת מקורות נתון המעגל שבאיור. דרוש למצוא את הזרם דרך. 3 פיתרו בעזרת שיטת העניים בהסתכלות. I s 4 פתרון 79

280 . מקור הזרם יוחלף בשני מקורות זרם המחוברים במקביל- אחד לנגד והשני לנגד נמיר אותם למקורות מתח ונקבל מעגל פשוט ( עיניים). אפשר לפתור גם עם חוקי קירכהוף הפתרון המתקבל (לאחר כמה חישובים): (נסו). ( )( ) I 4 = I 3 s I s 3 + V a C g m Vm a - gv 3 L L? e תרגיל מתחי הצמתים נתון המעגל הבא, כאשר המקור פועל בתדר ω. ( ) = j e איזה תנאי חייב להתקיים כדי לקבל 3 + jωc jωc Y = jωc + + jωc jωl + jωl 3 פתרון מטריצת האדמיטנסים: 8

281 Is Is i = g V = g ( e e ) וקטור המקורות: s m a m משוואת המעגל לאחרהעברת אגפים: + jωc jωc e I s g jωc g jωc e = m m jωl e 3 e jωl + jωl + + = = 3 e ωl ע"פ המשוואה האחרונה: תרגיל רישום משוואות המעגל J J 3 7 נתון המעגל הבא: V s J I 4 J4 + - gi 4 8

282 Yn e= i. עבור מעגל זה בצורה הסטנדרטית Z J = v. m עבור מעגל זה בצורה הסטנדרטית s sm א. ב. רשום את משוואת הצמתים רשום את משוואת החוגים e + + e = e ge פתרון משוואת הצמתים: 7 ומכאן מקבלים את המטריצה הלא סימטרית: + + e V 3 3 s e = g 5 ( 4 7) + + e V s ב. (אין צורך להמיר אף מקור): 8

283 + J V s + + J = J J gj ( J) J V + s + + J = J g g + J i 5 = 3Ω + - e תרגיל מעגל אסימטרי e 4 4 = Ω J J Vs + - = 9V i = Ω e 3 = Ω I I נתון המעגל הבא: מצאו את משוואת החוגים של המעגל א. מצאו את מתחי הצמתים e e, הראו כי הם מהצורה: ב. 3 = 4Ω i 3i e

284 וחשבו את הקבועים.A,A,B,B e = A + BI, e = A + B I J I i V + s = + + J I + 3i V s ( ) ( ) 6 J I J I + V s 5 J = I 3 J I V + s פתרון משוואת החוגים של המעגל: 6 3 J 9 I + I + = 4 5 J I 3I 9 3 J = I +, J = I 4 3 מתוך המשוואה הנ"ל מקבלים: e = ( I / 4), e = ( I / 3) 84

285 () V t s L C= µ F + - = 4Ω = Ω תרגיל השוואת אמפליטודות נתון המעגל הבא במצב סינוסי מתמיד: s 6 ( ) = 5cos( )[ ] v t t V? V = V מהו ערכו של L שיבטיח s jωl+ + jωc jωc e V j L ω s jωc jωc e = + פתרון נפתור לפי מתחי צמתים: לאחר הצבת ערכים ומעט משחקים אלגבריים מקבלים: e j+ j V jωl s e = ( j+ )( jωl+ 4+ j) + 4 j j+ 4+ jωl 85

286 e e = ( j+ )( V jωl s ) ( j )( jωl j) ( j+ )/ jωl ( j )( jωl j) = V = s עבור e מקבלים: נציב את התנאי: L = 64 45µ.44[ µ H] : מכאן מקבלים את התנאי על,( L) L הערות: נתונה אמפליטודת מקור המתח - - זהו נתון מיותר. אפשר לפתור את התרגיל בעזרת דרישה על פונקצית התמסורת (בערכה המוחלט) להיות שווה. הפתרון בעזרת מחלק מתח ופונקצית התמסורת פשוט יותר, נסו ותראו שמתקבלת אותה תוצאה. 5[ V ].. 86

287 6. מגבר שרת מגבר שרת מקורות מבוקרים 87

288 רקע מגבר שרת הוא מגבר בסיסי שעל-ידי הוספה של רכיבים חיצוניים ניתן להתאימו למספר רב של שימושים. בלועזית נקרא מגבר שרת מגבר אופרטיבי Amplifier) (Operational בגלל השימוש הראשוני שלו; לראשונה הוא נבנה כרכיב חישוב במחשבים אנלוגיים ותפקידו היה לבצע פעולות (אופרציות) מתמטיות. נתייחס למגבר השרת כאל רכיב בודד ("קופסה שחורה"), ולא נתעמק במבנה הפנימי. נתעניין בתכונותיו וביישומיו. סימון המגבר סכמת תמורה V cc A - B + V in in + r o - ( ) C A V V = A V V B A V in A B - + C r A in V במגבר שרת אידיאלי: 88

289 מגבר שרת מעשי הגבר מתח/הספק מגיע מהספק V cc (חוק שימור אנרגיה). שימו לב, חיבור האדמה בסימון המגבר יכול להיות גם חיבור למתח של V. cc ייחוס מתח המקור המבוקר בסכמת תמורה תמיד כלפי אדמה. 6 A V נקרא גורם ההגבר- גורם הגבר מעשי הוא בסדר גודל של. 7 r ~. in במציאות ~ - לכן בדרך כלל מספיק לבצע חישובים עבור המודל האידיאלי. לא נכנס זרם לתוך המגבר אידיאלי) (בכניסה) אין זרם בין ההדקים A ו- B (זהו קירוב עבור מגבר שרת לא הסבר כללי מגבר שרת יכול לבצע מגוון פונקציות. אופן הפעולה שלו נקבע על ידי צורת החיבור של רכיבים חיצוניים אליו. סוגי החיבור השימושיים ביותר הם: חיבור בחוג פתוח, חיבור בחוג סגור עם משוב שלילי, חיבור בחוג סגור עם משוב חיובי. בקורס הזה נעבוד רק עם חיבור בחוג סגור עם משוב שלילי. צורות החיבור הנוספות, כמו גם המבנה הפנימי של מגבר שרת נלמדים בקורס מעגלים ליניאריים. הסבר עקרוני של פעולת המגבר בחיבור עם משוב שלילי מופיע בשאלה 6... תכונותיו של מגבר שרת (שרשומות לעיל) נגזרות מתוך המבנה הפנימי שלו (מגבר שרת בנוי מהרבה טרנזיסטורים ורכיבים אחרים). תכונות אלה מתוארות (בקירוב) על ידי סכמת תמורה לעיל. 89

290 v in תרגיל 6... מגבר מהפך חיבור עם משוב שלילי נתון המעגל הבא הכולל מגבר אידיאלי א. ב. א. מה המתח בנקודה? x מצאו את המתח v out ואת הגבר המתח פתרון v v out in מתחים בהדקי הכניסה של מגבר שרת הם ו- V (כאשר מתקיים גם מתח המוצא של המגבר הוא V +.( V = V X ( ). Vout = Av V V + + V ו- = בגלל החיבור של מוצא לכניסה המהפכת (משוב שלילי) ניתן להתייחס כאילו השלילה. נניח כי לגדול עד ש-. נראה זאת בדרך V V + V > V + ואז מקבלים מתח V OUT גדול ככל שהמגבר יכול לספק. ההגדלה הזו תגרום למתח V V V + שזה המצב שציינו לעיל. אם נניח כי יכול לספק. ההקטנה הזו תגרום למתח V < V + V לרדת עד ששוב נגיע ל- אז נקבל מתח V OUT קטן (שלילי) ככל שהמגבר V V +. כלומר אנחנו רואים כי V V הוא i in Z in x V + V - i f - + Z f V out 9

291 המצב היציב אליו שואפת המערת. ניתן לראות את זה גם בצורה הבאה: מוצא המגבר וסופי ולכן (מתוך ההגבר ששואף לאינסוף והגדרת ה- V OUT הינו מתח חסום נקבל: (V OUT ההדק החיובי מקוצר לאדמה ולכן. Vout V V = V V Av A + + v V = V = V = X + קבלנו אדמה וירטואלית (מדומה) בהדקי המגבר. אדמה וירטואלית פוטנציאל בין שני הדקים הוא אפס למרות שלא זורם ביניהם שום זרם ואין קצר ממשי ביניהם. ניתן להשתמש בעובדה הזאת כל עוד מגבר שרת מחובר בצורה של משוב שלילי. קצר רגיל אדמה וירטואלית V = I V = I = ב. מכיוון שהתנגדות הכניסה של המגבר שואפת לאינסוף לא יכנס זרם למגבר. ומכאן ש- ניתן להסיק זאת מתוך תוצאות הסעיף הקודם. נניח בשלילה כי זורם זרם בין + V לבין. i in = i f V in מ. כיוון שהתנגדות גדולה מאוד, אז יהיה הפרש פוטנציאלים משמעותי בין + V לבין V. הפרש הפוטנציאלים הזה עומד בסתירה למסקנות של הסעיף הקודם ש-. לכן לא יכנס/יצא זרם בכניסות המגבר! V V + 9

292 i i in f vin vx vin = = Z Z Z = v v v Z = = Z f Z f in in f vout vin x out out in f קיבלנו מגבר מהפך: הגבר המתח הוא, Z Z f in אם האימפדנסים הם נגדים ככל שהיחס in גדול יותר, נקבל הגבר גדול יותר (עם סימן הפוך). מסקנה מהתרגיל - ניתן לממש פונקציות תמסורת שונות בעזרת מגבר שרת: יהיה Vout H( jω) = = V in Z Z in f תרגיל 6... מגבר לא מהפך חיבור עם משוב שלילי i in Z in v in + - x - i f + Z f V out v v out in נתון המעגל הבא המכיל מגבר אידיאלי מה המתח בנקודה? x א. מצאו את המתח v out ואת הגבר המתח ב. 9

293 Z f בקצר, ואת Z in בנתק. ג. חזרו על סעיף ב' כאשר מחליפים את v = v = v = v x + iin = if vx vin Z f iin = = vout = vin + Zin Zin Zin vx vout vin v out i f = = Z f Z f in פתרון ע"פ אותן הנחות שבשאלה הקודמת נקבל א. מכיוון שלא נכנס זרם למגבר: ב. קיבלנו מגבר לא מהפך (אין סימן שלילי). Z + Z f הגבר המתח הוא in v in V out v out = v in ג. מכיוון ש- נתבונן במעגל הבא: v מקבלים = v + * ניתן לקבל אותה תוצאה אם נציב במקום Z f בתוצאת הסעיף הקודם. * מעגל זה נקרא מגבר חוצץ או מגבר יחידה.יש לו שימושים כחוצץ בין מערכות בעלות התנגדויות מוצא וכניסה שונות. (המתח זהה אך הזרם לא) 93

294 תרגיל מגבר לוגריתמי ואקספוננציאלי במעגלים הבאים הכולל מגבר אידיאלי v, היא: D >> משוואת הדיודה כאשר in iin x - i D V D qvd KT id I = s e Is e qv D KT א. נתון מעגל מגבר לוגריתמי v in V out חשבו את V out כפונקציה של. V in i f f v in + - V D i D x - + V out i in = i ב. נתון מעגל מגבר אקספוננציאלי חשבו את V out כפונקציה של. V in D פתרון א. מכיוון שלא נכנס זרם למגבר:. v = v v = v בנקודה x אדמה וירטואלית ולכן out x D D 94

295 D in i i I e T I e T i v = v q ( v ) out vin Kv Kv T T v in iin = = id Ise vout = ln in q Isin D in qv qv qv Kv Kv Kv v v out out = f Ise in = D s = s = f = f ב. בנקודה x אדמה וירטואלית. in T משוואות המעגל: תרגיל מגבר מסכם V i x - i f f - מגבר מסכם - ממיר D/A מטרות V V V 3 3 i i i 3 + V out נתון המעגל הבא הכולל מגבר אידיאלי: א. ב. מצאו את.Vout מה צריך להיות יחסי הנגדים כדי לקבל במוצא את סכום הכניסות (עם סימן שלילי). 95

296 ג. הניחו שכל כניסה היא ביט במילה דיגטלית בעלת 4 סיביות, בטא את ארבעת נגדי הכניסה באמצעות f כדי לקבל מוצא אנלוגי מתאים. vout vi vi i f ( ) = =,,,3 i פתרון א. נשתמש בעקרון הסופרפוזיציה ונקבל עבור כל אחת מהכניסות מגבר מהפך (תרגיל 6..): V V V V 3 vout = f ולכן המוצא הכולל הוא: ב. כדי לקבל במוצא סיכום של הכניסות, דרוש: = = = 3 = f ( ) V = V + V + V + V out 3 קיבלנו מגבר מסכם: ג. עבור מילה דיגטלית בעלת ארבעה סיביות-, VVVV 3 לכל ביט יש משקל שונה,וכמובן כל ביט יכול לקבל רק ערכים או. 96

297 V = V + V + V + V out i 3 ברצוננו לקבל במוצא את ערכה של המילה הדיגטלית כלומר: 3 f = i=,,,3 i נשווה עם תוצאת סעיף א' (נתעלם מהסימן) ונקבל את יחסי הנגדים הדרושים: קיבלנו מערכת שכניסתה דיגטלית ומוצאה אנלוגי, מערכת זו נקראת.D/A-Digital to Analog תרגיל מגבר דיפרנציאלי V i e i 4-4 נתון המעגל הבא הכולל מגבר אידיאלי ( ) V V, V =? out מהו V e 3 + V out פתרון משוואות המעגל: V e e Vout i = i ; i = ; i = V = e ( V e ) = e + V out

298 e = e ; e = V V = + V V V = V V out out 3 3 ( ) V = K V V out = = K אם נבחר 3 4 נקבל: i 3 3 תרגיל מגבר מעשי I s i נתון המעגל הבא הכולל מגבר לא אידיאלי A = A,, r v in o א. מצאו את מתחי הצמתים,,3. ב. השאיפו את A ובדקו מה מתקבל. פתרון א. נצייר את המעגל סכמת התמורה למגברונרשום את משוואות 98

299 e = v = i i i = i3 Is = i+ i e = Av in 3 in Avin + i33 + i i = ( ) ( )( ) + A + 3 e = Is + + A + I s 3 e = A( + ) I 3 s 3 e3 = A A + ( ) אם נשאיף את A נקבל: e I e ( ) s 3 e3 Is + פתרון זה היה מתקבל לו היינו פותרים את המעגל עם מגבר אידיאלי ומשתמשים בעקרון האדמה הוירטואלית בצומת. נשים לב שהמתח על השקול למערכת. e) איננו תלוי בנגד עצמו אפשר לומר שהנגד מחובר במקביל למקור מתח אידיאלי 3) 4 99

300 א. תרגיל מעגל גוזר ואינטגרטור במעגלים הבאים הניחו מגבר אידיאלי, ואות הכניסה הוא סינוסי, כמו כן נסתיימו תופעות המעבר. פתור באמצעות פאזורים את הסעיפים הבאים v in + - C + - v in + - v out + - C v out עבור מעגל מצאו את התמסורת (נגד בטור למקור) A = Vout vin ב. עבור מעגל (קבל בטור למקור) מצאו את התמסורת A = Vout vin ג. בטאו את מתח המוצא עבור שני המעגלים במישור הזמן פתרון A v Z out f jωc = = = = v Z jωc in in א. לפי חיבור מהפך נקבל: זהו אינטגרטור A v Z out f = = = = v Z jωc in in jωc ב. ג. באותו אופן עבור מעגל : פתרון במישור הזמן זהו גוזר 3

301 vin vin() t v = out vout () t vout () t vin () t dt jωc = C = C ( ) ( ) v = jωcv v t = Cv t out in out in עבור מעגל : עבור מעגל : 3

302 7. מעגלים לא לינאריים שיטות פתרון מעגלים לא לינאריים דוגמאות לפתרון מעגלים לא לינאריים מודלים של דיודת מל"מ - לינאריזציה 3

303 V s מטרה תרגיל 7... דיודת מל"מ - שימוש בייצוג נורטון/תבנין לפתרון מעגל לא לינארי - הכרת אופיין דיודת מל"מ -קשר בין הספק DC להספק AC עבור רכיב לא לינארי אופיין זרם/מתח עבור דיודת מל"מ נתון ע"י: א. ב. ג. ד. 3 D I D V D KT I ( V ) = I ( e ) D D qv D כאשר K הינו קבוע בולצמן ו T הינה טמפרטורת העבודה במעלות קלווין. עבור המעגל הבא, מצא את המתח והזרם על פני הדיודה עבור מקור.DC כעת נתון כי המקור הינו VS(t)=VDC+VACcos(ωt) כאשר AC, V DC >> V מהו זרם הדיודה? נתונים: חשב את ההספק הממוצע המתפתח על פני הדיודה על ידי מציאת הספק ה DC והספק ה-.AC מה תוכל לומר על הקשר בין הספקים אלו? VDC = [ V] =.[ Ω ]; =.[ Ω ]; 3 =.[ Ω] KT I = [ ma]; =.6[ V] q 33

304 3 פתרון א. תחילה נמצא ייצוג שקול תבנין לרשת כאשר הדיודה הינה העומס: = ( + ) eq 3 הנגד השקול: eq = Veq Vs ומתח תבנין: V s 3 V eq eq המעגל השקול: V eq D V D I D 34

305 V eq V eq D = I D ( V ) D והקשר בין הזרם והמתח במעגל: את פתרון המשוואה הלא לינארית ניתן לפתור, למשל, בצורה גרפית (ע"י הצגת זרם הדיודה כפונקציה של המתח על פניה): zoom-in V eq V eq D I D ( V ) D V I D D.7[ V] 5.7[ A] כלומר: 35

306 עבור ממתח אחורי ([V]-= V) DC נקבל: V I D D.5[ V].[ A] וכעת: ב. בסעיף א' חישבנו למעשה את נקודת העבודה point).(operating התנהגות הדיודה עבור שינויים קטנים סביב נקודת העבודה ניתן לקבל במספר דרכים, למשל, עפ"י פיתוח לטור טיילור סביב נקודת di I = I + ( V V ) + D D D( o. p.) o. p. dv op.. העבודה: 36

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

דפי נוסחאות לחשמל 1 ג רכיבים מקובצים וחוקי קירכוף ' ' '

דפי נוסחאות לחשמל 1 ג רכיבים מקובצים וחוקי קירכוף ' ' ' דפי נוסחאות לחשמל ג 365 רכיבים מקובצים וחוקי קירכוף רכיבים מקובצים/מפולגים רכיב מפולג - גדול בממדיו ביחס לאורך הגל. רכיב מקובץ - קטן בממדיו ביחס לאורך הגל.(λc/f) λ ברכיב מקובץ ניתן להגדיר מתח וזרם לרכיב.

Διαβάστε περισσότερα

השפעת הטמפרטורה על ההתנגדות התנגדות המוליך

השפעת הטמפרטורה על ההתנגדות התנגדות המוליך בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"ג, 013 מועד הבחינה: משרד החינוך נספח לשאלון: 84501 אין להעביר את הנוסחאון לנבחן אחר א. תורת החשמל נוסחאון במערכות חשמל )10 עמודים( )הגדלים בנוסחאון

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

גלים א. חיבור שני גלים ב. חיבור N גלים ג. גלים מונוכרומטיים וגלים קוהרנטיים ד. זרם העתקה ה. משוואות מקסוול ו. גלים אלקטרומגנטיים

גלים א. חיבור שני גלים ב. חיבור N גלים ג. גלים מונוכרומטיים וגלים קוהרנטיים ד. זרם העתקה ה. משוואות מקסוול ו. גלים אלקטרומגנטיים גלים א. חיבור שני גלים ב. חיבור גלים ג. גלים מונוכרומטיים וגלים קוהרנטיים ד. זרם העתקה ה. משוואות מקסוול ו. גלים אלקטרומגנטיים םילג ינש רוביח ו Y Y,הדוטילפמא התוא ילעב :לבא,,, ( ( Y Y ןוויכ ותואב םיענ

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 3 שטף חשמלי ומשפט גאוס

תרגיל 3 שטף חשמלי ומשפט גאוס תרגיל שטף חשמלי ומשפט גאוס הערה: אינטגרלים חיוניים מוצגים בסוף הדף 1. כדור שמסתו.5 g ומטענו 1 6- C תלוי בחוט שאורכו 1 m ונמצא בשדה חשמלי של לוח אינסופי. החוט נפרש בזווית של 1 לכיוון הלוח. מה צפיפות המטען

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ואלקטרוניקה. M.Sc. יורי חצרינוב תשע'' ד ערך : Composed by Khatsrinov Y. Page 1

חשמל ואלקטרוניקה. M.Sc. יורי חצרינוב תשע'' ד ערך : Composed by Khatsrinov Y. Page 1 חשמל ואלקטרוניקה קובץ תרגילים למגמת הנדסאים מכונות, שנה אי M.Sc., ערך : יורי חצרינוב תשע'' ד Composed by Khatsrinov Y. Page 1 , מטען חשמלי, 1. פרק מתח זרם, התנגדות. C -- האטום מורכב מאלקטרונים, פרוטונים

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME

תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך:

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא כמות השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: חוק גאוס שטף חשמלי שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: Φ E = E d כאשר הסימון מסמל אינטגרל משטחי כלשהו (אינטגרל כפול) והביטוי בתוך האינטגרל הוא מכפלה

Διαβάστε περισσότερα

-הולכה חשמלית- הולכה חשמלית

-הולכה חשמלית- הולכה חשמלית מילות מפתח: הולכה חשמלית התנגדות, וולטמטר, אמפרמטר, נגד, דיודה, אופיין, התנגדות דינמית. הציוד הדרוש: 2 רבי מודדים דגיטלים )מולטימטרים(, פלטת רכיבים, ספק, כבלים חשמליים. מטרות הניסוי: הכרת נושא ההולכה החשמלית

Διαβάστε περισσότερα

מבוא להנדסת חשמל ואלקטרוניקה

מבוא להנדסת חשמל ואלקטרוניקה 28/0/206 דף נוחסאות - מבוא להנדסת חשמל ואלקטרוניקה 6.24 0 Coulomb electrons 9 q e.6 0 Coulomb 8 הגדרת יחידת המטען החשמלי - קולון המטעו היסודי מטען האלקטרון כיוון זרימת האלקטרונים )זרם( בפועל notation(

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית: משפט הדיברגנץ תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: div(f ) dxdy = F, n dr נוסחת גרין I: uδv dxdy = u v n dr u, v dxdy הוכחה: F = (u v v, u x y ) F = u v כאשר u פו' סקלרית:

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 6 קיבול וחומרים דיאלקטרים

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 6 קיבול וחומרים דיאלקטרים חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 6 קיבול וחומרים דיאלקטרים בשיעור הקודם עסקנו רבות במוליכים ותכונותיהם, בשיעור הזה אנחנו נעסוק בתכונה מאוד מרכזית של רכיבים חשמליים. קיבול המטען החשמלי. את הקיבול החשמלי נגדיר

Διαβάστε περισσότερα

הקשור (נפחית, =P כאשר P קבוע. כלומר zˆ P. , ρ b ומשטחית,

הקשור (נפחית, =P כאשר P קבוע. כלומר zˆ P. , ρ b ומשטחית, אלקטרוסטטיקה בנוכחות חומרים התחום שבין מישור y למישור t ממולא בחומר בעל פולריזציה לא אחידה +α)ˆ P 1)P כאשר P ו - α קבועים. מצא את צפיפויות המטען הנתונה ע"י σ). חשב את סה"כ המטען הקשור בגליל (מהחומר ומשטחית

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

כתיבה ועריכהמעודכנת: ד"רסאמר בנא פברואר 2005

כתיבה ועריכהמעודכנת: דרסאמר בנא פברואר 2005 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה להנדסת חשמל תורת המעגלים החשמליים ( 445) רשימות לפי הרצאותיו של פרופ' לוי שכטר מהדורת נובמבר 5 כתיבה ועריכהמעודכנת: ד"רסאמר בנא כתיבה ועריכה ראשונית: עידו ליבנה וניר

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 12 השראות

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 12 השראות חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 12 השראות השראות הדדית ועצמית בשבוע שעבר דיברנו על השראות בין לולאה לבין השינוי בשטף המגנטי שעובר דרכה על ידי שימוש בחוק פאראדיי ε = dφ m dt הפעם נסתכל על מקרה בו יש יותר מלולאה

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן

אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה עש איבי ואלדר פליישמן אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן מספר סידורי: מספר סטודנט: בחינה בקורס: פיזיקה משך הבחינה: שלוש שעות 1 יש לענות על כל השאלות 1 לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי, ולכל סעיף אותו משקל

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

משוואות מקסוול משוואות מקסוול בתחום הזמן: B t H dl= J da+ D da t ρ Η= J+ B da= t בחומר טכני פשוט: משוואות מקסוול בתחום התדר:

משוואות מקסוול משוואות מקסוול בתחום הזמן: B t H dl= J da+ D da t ρ Η= J+ B da= t בחומר טכני פשוט: משוואות מקסוול בתחום התדר: 4414 שדות אלקטרומגנטים, סיכום הקורס, עמוד 1 מתוך 6 משוואות מקסוול l= B a l= J a+ D a D a= v B a= S a+ ( wev+ wmv) = J v J a+ v= S = 1 we = D 1 wm = B l= jω B a l= J a+ jω D a D a= v B a= 1 * S a+ jω( wm

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

גליון 1 גליון 2 = = ( x) ( x)

גליון 1 גליון 2 = = ( x) ( x) 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 גליון מה שוקל יותר: קילו נוצות או סבתא תחשבו לבד גליון Q in E k, q ρ ( ) v Qin ρ ( ) v v 4π Qin ρ ( ) 4π v העקרונות המנחים בגיליון זה: פתרון לשאלה L ( x)

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

: מציאת המטען על הקבל והזרם במעגל כפונקציה של הזמן ( )

: מציאת המטען על הקבל והזרם במעגל כפונקציה של הזמן ( ) : מציאת המטען על הקבל והזרם במעגל כפונקציה של הזמן מעגלי קבל בנוי כך שמטען איננו יכול לעבור מצידו האחד לצידו האחר (אחרת לא היה יכול להחזיק מטען בצד אחד ומטען בצד השני) ולכן זרם קבוע לא יכול לזרום דרך הקבל.עניינינו

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים ( תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע

Διαβάστε περισσότερα

קיבול (capacitance) וקבלים (capacitors)

קיבול (capacitance) וקבלים (capacitors) קיבול (cpcitnce) וקבלים (cpcitors) קבל (pcitor) הוא התקן חשמלי האוגר אנרגיה ומטען חשמליים. הקבל עשוי משני לוחות מוליכים שביניהם חומר מבודד או ריק. הלוחות הם נושאים מטענים שווים והפוכי סימן. המטען הכללי

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי BJT

הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי BJT הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי JT תוכן עניינים: 1. טרנזיסטור ביפולרי :JT מבנה, זרם, תחומי הפעולה..2 מודל: S MOLL (אברסמול). 3. תחומי הפעולה של הטרנזיסטור..1 טרנזיסטור ביפולרי.JT מבנה: PNP NPN P N N P P N PNP

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

התשובות בסוף! שאלה 1:

התשובות בסוף! שאלה 1: התשובות בסוף! שאלה : בעיה באלקטרוסטטיקה: נתון כדור מוליך. חשבו את העבודה שצריך להשקיע כדי להניע יח מטען מן הנק לנק. (הנק נמצאת במרחק מהמרכז, והנק נמצאת במרחק מהמרכז). kq( ) kq ( ) לא ניתן לקבוע שאלה :

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית הפונציאל החשמלי בעבור כל שדה וקטורי משמר ישנו פוטנציאל סקלרי המקיים A = φ הדבר נכון גם כן בעבור השדה החשמלי וניתן לרשום E = φ (1) סימן המינוס

Διαβάστε περισσότερα

מערכות חשמל ג' שתי יחידות לימוד )השלמה לחמש יחידות לימוד( )כיתה י"א(

מערכות חשמל ג' שתי יחידות לימוד )השלמה לחמש יחידות לימוד( )כיתה יא( מדינת ישראל סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים משרד החינוך מועד הבחינה: קיץ תשע"ה, 2015 סמל השאלון: 845201 א. משך הבחינה: שלוש שעות. נספח: נוסחאון במערכות חשמל מערכות חשמל ג' שתי יחידות לימוד )השלמה

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 5 פוטנציאל חשמלי ואנרגייה חשמלית

תרגול 5 פוטנציאל חשמלי ואנרגייה חשמלית תרגול 5 פוטנציאל חשמלי ואנרגייה חשמלית כפי שהשדה החשמלי נותן אינדקציה לכח שיפעל על מטען בוחן שיכנס למרחב, כך הפוטנציאל החשמלי נותן אינדקציה לאנרגיית האינטרקציה החשמלית. הפוטנציאל החשמלי מוגדר על פי מינוס

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

חלק ראשון אלקטרוסטטיקה

חלק ראשון אלקטרוסטטיקה undewa@hotmail.com גירסה 1. 3.3.5 פיסיקה תיכונית חשמל חלק ראשון אלקטרוסטטיקה מסמך זה הורד מהאתר.http://undewa.livedns.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

בפיסיקה 1 למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח. F dl = 0. U = u B u A =

בפיסיקה 1 למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח. F dl = 0. U = u B u A = פוטנציאל חשמלי אנרגיה פוטנציאלית חשמלית בפיסיקה למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח שהעבודה שהוא מבצע על גוף לאורך דרך אינה תלויה במסלול שנבחר בין נקודת ההתחלה לבין נקודת הסיום,

Διαβάστε περισσότερα

מבחן משווה בפיסיקה כיתה ט'

מבחן משווה בפיסיקה כיתה ט' מבחן משווה בפיסיקה כיתה ט' משך המבחן 0 דקות מבנה השאלון : שאלון זה כולל 4 שאלות. עליך לענות על כולן.כתוב את הפתרונות המפורטים בדפים נפרדים וצרף אותם בהגשה לטופס המבחן. חומרי עזר:.מחשבון. נספח הנוסחאות

Διαβάστε περισσότερα

מחוון פתרון לתרגילי חזרה באלקטרומגנטיות קיץ תשס"ז. V=ε R

מחוון פתרון לתרגילי חזרה באלקטרומגנטיות קיץ תשסז. V=ε R מחוון פתרון לתרגילי חזרה באלקטרומגנטיות קיץ תשס"ז v שאלה א. המטען חיובי, כוון השדה בין הלוחות הוא כלפי מעלה ולכן המטען נעצר. עד כניסת החלקיק לבין לוחות הקבל הוא נע בנפילה חופשית. בין הלוחות החלקיק נע בתאוצה

Διαβάστε περισσότερα

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק יציבות מגבר שרת הוא מגבר משוב. בכל מערכת משוב קיימת בעיית יציבות מהבחינה הדינמית (ולא מבחינה נקודת העבודה). חשוב לוודא שהמגבר יציב על-מנת שלא יהיו נדנודים. קריטריון היציבות של נייקוויסט: נתונה נערכת המשוב

Διαβάστε περισσότερα

(ספר לימוד שאלון )

(ספר לימוד שאלון ) - 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:

Διαβάστε περισσότερα

מעגלים ליניאריים, סיכום הקורס, עמוד 1 מתוך 19 הפתק הסגול. מעגלים ליניארים סיכום הקורס

מעגלים ליניאריים, סיכום הקורס, עמוד 1 מתוך 19 הפתק הסגול.  מעגלים ליניארים סיכום הקורס 4442 מעגלים ליניאריים, סיכום הקורס, עמוד מתוך 9 הפתק הסגול www.technon.co.l מעגלים ליניארים 4442 סיכום הקורס 27 www.technon.co.l אבי בנדל 4442 מעגלים ליניאריים, סיכום הקורס, עמוד 2 מתוך 9 תוכן עניינים

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

חפסנ םיגתוממ םיבציימ יראיניל בציי. מ א גתוממ בצי. ימ ב

חפסנ םיגתוממ םיבציימ יראיניל בציי. מ א גתוממ בצי. ימ ב נספח מייצבים ממותגים מסווגים את מעגלי הייצוב לשני סוגים: א. מייצב ליניארי. ב. מייצב ממותג. א. מייצב ליניארי מייצב ליניארי הינו למעשה מגבר שכניסתו היא מתח DC וכל מה שנכון לגבי מגבר נכון גם לגבי המייצב הנ"ל.

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

:ןורטיונ וא ןוטורפ תסמ

:ןורטיונ וא ןוטורפ תסמ פרק ט' -חוק קולון m m e p = 9. 0 = m n 3 kg =.67 0 7 kg מסת אלקטרון: מסת פרוטון או נויטרון: p = e =.6 0 9 מטען אלקטרון או פרוטון: חוק קולון בין כל שני מטענים חשמליים פועל כח חשמלי. הכח תלוי ביחס ישיר למכפלת

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל אמצע הסמסטר - פתרונות

תרגיל אמצע הסמסטר - פתרונות 1856 1 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 פיסיקה כללית : חשמל ואופטיקה לתלמידי ביולוגיה חשמל ואופטיקה 774, תשס"ו - פתרונות 1 מטענים, שדות ופטנציאלים (5) ו- am µc נגדיר d האלכסון בין הקודקודים B המרחק בין

Διαβάστε περισσότερα

normally open (no) normally closed (nc) depletion mode depletion and enhancement mode enhancement mode n-type p-type n-type p-type n-type p-type

normally open (no) normally closed (nc) depletion mode depletion and enhancement mode enhancement mode n-type p-type n-type p-type n-type p-type 33 3.4 מודל ליניארי ומעגל תמורה לטרנזיסטורי אפקט שדה ישנם שני סוגים של טרנזיסטורי אפקט השדה: א ב, (ormally מבוסס על שיטת המיחסו( oe JFT (ormally oe המבוסס על שיטת המיחסור MOFT ו- MOFT המבוסס על שיטת העשרה

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

פתרון א. כיוון שהכדור מוליך, כל המטענים החשמליים יתרכזו על שפתו. לפי חוק גאוס: (כמו במטען נקודתי) כצפוי (שדה חשמלי בתוך מוליך תמיד מתאפס).

פתרון א. כיוון שהכדור מוליך, כל המטענים החשמליים יתרכזו על שפתו. לפי חוק גאוס: (כמו במטען נקודתי) כצפוי (שדה חשמלי בתוך מוליך תמיד מתאפס). פיסיקה ממ- אביב תשס"ח- תרגיל כיתה 4 תרגיל כיתה מס' 4- מוליכים, הארקה ושיטת הדמויות. מוליכים מוליכים הם חומרים שבהם מטענים חשמליים (אלקטרונים) רשאים לנוע בחופשיות. מתוקף הגדרה זו, ברור כי לא יתכן שבמוליך

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

בכל החלקים לפני חיבור המעגל יש לקבל אישור מהמדריך. מעגלים חשמליים- תדריך עבודה

בכל החלקים לפני חיבור המעגל יש לקבל אישור מהמדריך. מעגלים חשמליים- תדריך עבודה הערה: שימו לב ששגיאת המכשירים הדיגיטאליים שאיתם עובדים בניסוי משתנה בין סקאלות ותלויה גם בערכים הנמדדים לכן יש להימנע ממעבר סקאלה במהלך המדידה )למעט במד ההתנגדות בחלק ב'( ובכל מקרה לרשום בכל מדידה באיזה

Διαβάστε περισσότερα

סטודנטים יקרים. לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה 2. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.

סטודנטים יקרים. לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה 2. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט. 1 סטודנטים יקרים לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה 2. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.On-line הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית

Διαβάστε περισσότερα

הפקולטה לפיסיקה בחינת פיסיקה 2 ממ סמסטר אביב תשע"ה מועד טור 0

הפקולטה לפיסיקה בחינת פיסיקה 2 ממ סמסטר אביב תשעה מועד טור 0 הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל 6/7/5 הפקולטה לפיסיקה בחינת פיסיקה ממ 75 סמסטר אביב תשע"ה מועד א ' טור ענו על השאלות הבאות. לכל שאלה משקל זהה. משך הבחינה 3 שעות. חומר עזר: מותר השימוש במחשבון פשוט ושני

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

תמסורת גלים הרצאה

תמסורת גלים הרצאה תמסורת גלים הרצאה 1 21.2.10 הקדמה: הקורס דן בהתקנים נושאי גל )קווי תמסורת(. השינוי המהותי שהקורס מביא עימו הוא השינוי התפיסתי שכאשר אנו דנים בהתקנים אלקטרומגנטיים, אנו לא עוסקים יותר במצב סטטי, כלומר קיימת

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

סטודנטים יקרים. לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה 2. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.

סטודנטים יקרים. לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה 2. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט. 1 סטודנטים יקרים לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה 2. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.On-line הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית

Διαβάστε περισσότερα

חוק קולומב והשדה החשמלי

חוק קולומב והשדה החשמלי דף נוסחאות פיסיקה 2 - חשמל ומגנטיות חוק קולומב והשדה החשמלי F = kq 1q 2 r 2 r k = 1 = 9 10 9 [ N m2 חוק קולומב 4πε ] C 2 0 כח שפועל בין שני מטענים נקודתיים E (r) = kq r 2 r שדה חשמלי בנקודה מסויימת de

Διαβάστε περισσότερα

f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25.

f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25. ( + 5 ) 5. אנטגרלים כפולים., f ( המוגדרת במלבן הבא במישור (,) (ראה באיור ). נתונה פונקציה ( β α f(, ) נגדיר את הסמל הבא dd e dd 5 + e ( ) β β איור α 5. α 5 + + = e d d = 5 ( ) e + = e e β α β α f (, )

Διαβάστε περισσότερα

שדות מגנטיים של זרמים שדה מגנטי של מטען נע שדה חשמלי של מטען נקודתי

שדות מגנטיים של זרמים שדה מגנטי של מטען נע שדה חשמלי של מטען נקודתי שדות מגנטיים של זרמים שדה מגנטי של מטען נע שדה חשמלי של מטען נקודתי חוק ביו-סבר שדה מגנטי של מטען נקודתי נע (, v) ~ q 1 ~ מאונך למישור E ~ q 1 E ~ E מכוון ממטען לנקודה [ k'] qv k' 3 Tm A k'? שדה חשמלי

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

פיזיקה מבחן מתכונת בחשמל ומגנטיות לתלמידי 5 יחידות לימוד הוראות לנבחן

פיזיקה מבחן מתכונת בחשמל ומגנטיות לתלמידי 5 יחידות לימוד הוראות לנבחן מאי 2011 קרית חינוך אורט קרית ביאליק פיזיקה מבחן מתכונת בחשמל ומגנטיות לתלמידי 5 יחידות לימוד הוראות לנבחן א. משך הבחינה: שעה ושלושה רבעים (105 דקות) ב. מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה חמש שאלות, ומהן

Διαβάστε περισσότερα

סטודנטים יקרים. לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה 2. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.

סטודנטים יקרים. לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה 2. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט. 1 סטודנטים יקרים לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה 2. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.On-line הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית

Διαβάστε περισσότερα