v tot = 29.86km/s v 1 = 1/15v 2 v i = 2π A i P M 1 M 2 A = αr r = 40pc (2)

Transcript

1 Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 5ο Σετ Ασκήσεων Αστρονομίας Author: Σταμάτης Βρετινάρης Supervisor: Νικόλαος Στεργιούλας Λουκάς Βλάχος January 11, 2016

2 1 Άσκηση Πρόσφατες παρατηρήσεις ενός διπλού συστήματος αστέρων έδειξαν ότι η περίοδός τους είναι 8 έτη και η ολική ακτινική τους ταχύτητα 29.86km/s. Η ακτινική ταχύτητα του πρωτεύοντα άστρα είναι το 1/15 της ταχύτητας του δευτερεύοντα αστέρα. Να υπολογισθεί η συνολική μάζα των αστέρων του διπλού συστήματος και οι μάζες των μελών του ζεύγους. Αν οι αστέρες έχουν μέγιστη γωνιώδη απόσταση 0.2, να υπολογισθεί η απόσταση του ζεύγους. Το φαινόμενο μέγεθος του αμυδρού α- στέρα είναι και του λαμπρότερου 0.5. Η θερμοκρασία του ενός είναι 18700K και του άλλου αστέρα 3850K. Να υπολογισθεί το απόλυτο βολομετρικό μέγεθος, η ακτίνα και η φωτεινότητα των αστέρων του ζεύγους. Οι αστέρες αυτοί ακολουθούν τη σχέση μάζας-φωτεινότητας των αστέρων της κύριας ακολουθίας; Σε ποιο φασματικό τύπο ανήκουν; Άρα v tot = 29.86km/s v 1 = 1/15v 2 v 1 = 1.86km/s και v 2 = km/s Από την θεωρία της κυκλικής κίνησης γνωρίζουμε ότι η γραμμική ταχύτητα ισούται με: v i = 2π A i P Λύνοντας την (1) ως προς Α και αντικαθιστώντας παίρνουμε: Υπολογίζουμε την ακτινα σχετικής απόστασης: Για τις μάζες των αστέρων ισχύουν οι σχέσεις : oπoυ i = 1, 2 (1) A 1 = 0, 5AU και A 2 = 7.4AU A = A 1 + A 2 = 0, 5 + 7, 4 8AU M 1 + M 2 = A3 i P 2 και M 1 M 2 = A 1 A 2 Λύνοντας τις σχέσεις αυτές παίρνουμε τις μάζες : M 1 = 0.5M και M 2 = 7.56M Από τον τύπο της θεωρίας υπολογίζουμε την απόσταση του διπλού συστήματος: A = αr r = 40pc (2) Το φαινόμενο μέγεθος για τον αστέρα με T = 3850K είναι m v = 10.4 με βολομετρική διόρθωση BC = 0.1 και το φαινόμενο μέγεθος του αστέρα με T = 18700K είναι m v = 0.5 με βολομετρική διόρθωση BC = 2.6. Οι πληροφορίες για τις βολομετρικές διορθώσεις πάρθηκαν από τον Πίνακα ΙΙΙ του βιβλίου Προβλήματα Αστρονομίας των Χ.Βάρβογλη, Ν.Σπύρου και Β.Μπαρμπάνη. Για τον αστέρα με Θερμοκρασία T = 3850K έχουμε: Για τον αστέρα με θερμοκρασία T = 18700K έχουμε: m bol = BC + m v = = 10.3 (3) M bol m bol = 5 5logr M bol = 7 (4) m bol = BC + m v = = 3.1 (5) M bol m bol = 5 5logr M bol = 6.1 (6) 1

3 Για τον ήλιο: Ο ήλιος ανήκει στην κατηγορία G2V οπότε η βολομετρική του διόρθωση είναι BC = 0.1 και το απόλυτο μέγεθός του M V = Οπότε εύκολα υπολογίζουμε το απόλυτο βολομετρικό του μέγεθος. M bol = BC + M v M bol = 4.73 (7) Για τις φωτεινότητες εργαζόμαστε ως εξής: Αστέρας 1 (T = 3850K): M star1 bol M bol = 2.5log( L L star1 ) L star1 = L (8) Ομοίως για τον Αστέρα 2 (T = 18700K) παίρνουμε μια φωτεινότητα L = L. προσδιορισμό των ακτίνων θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο του Stef an Boltzman. Για τον L = 4πR 2 σt 4 eff (9) R i = Κάνουμε τις πράξεις και προκύπτουν οι ακτίνες: Li 4πσT 4 i eff (10) R 1 = 0.8R και R 2 = 13.4R (11) Ο αστέρας 1 με θερμοκρασία T = 3850K ακολουθει την σχέση μάζας-φωτεινότητας για την κυρια ακολουθια μιας και ανήκει και στην κατηγορία K5V (*βασει της θερμοκρασιας του τον εντοπιζω στο Ib, κατι που δεν ειναι δυνατον). Ο αστερας 2 δεν ικανοποιεί την σχέση μάζας φωτεινότητας για την κυρια ακολουθία μιας και ειναι υπεργίγαντας και ανήκει στην κατηγορία B2V. 2 Άσκηση Δύο αστέρες νετρονίων (με μάζα 1.2 ηλιακές μάζες και ομογενή πυκνότητα g/cm 3 ο καθένας) συγχωνεύονται και δημιουργούν έναν νέο, βαρύτερο αστέρα νετρονίων με μάζα ίση με το άθροισμα της μάζας των αρχικών αστέρων και με τετραπλάσια κεντρική πυκνότητα. α) Υπολογίστε τη δυναμική ενέργεια των αστέρων πριν και μετά τη συγχώνευση. β) Πόση δυναμική ενέργεια είναι διαθέσιμη για να μετασχηματιστεί σε άλλα ήδη ενεργειών κατά τη συγχώνευση Επαρκεί για να εξηγήσει το φαινόμενο των εκλάμψεων ακτίνων-γ βραχείας διάρκειας (short gamma ray bursts); (Αναζητήστε πληροφορίες για την τυπική ενέργεια αυτών των εκλάμψεων.) Εχουμε ήδη αποδείξει την σχέση για την Δυναμική Βαρυτική ενέργεια για ομογενή σφαιρικά συμμετρικό αστέρα. W i = π2 ρ 2 GR 5 W i = 16 ( ) 3M 5/3 15 π2 ρ 2 G (12) 4πρ Κάνουμε τις πράξεις για τον έναν αστέρα νετρονίων και βρίσκουμε δυναμική ενέργεια W i = J, οπότε η συνολική δυναμική ενέργεια του συστήματος θα είναι W = 2W i = J. Μετά την συγχώνευση η καινούρια δυναμική ενέργεια θα είναι W f = J. Η ενέργεια που είναι διαθέσιμη για να μετασχηματιστεί σε άλλα είδη ενεργειών είναι W = J. Χρησιμοποιούμε και το θεώρημα V irial που στην ολοκληρωμένη του μορφή είναι: 1 d 2 I = 2 T + W + 2U 2 dt2 P r d ˆ s + Φ m + s ( B r ) B d ˆ s 4π s B 2 r d s 8π (13) 2

4 Λαμβάνουμε υπόψιν μας μόνο την βαρυτική δυναμική ενέργεια και την εσωτερική ενεργεια και υποθέτουμε ότι ολόκληρη η εσωτερική ενέργεια πάει σε φωτεινότητα, αγνοώντας τους μαγνητικούς όρους. Συνφωνα με αυτήν την θεώρηση L W/2 Στο άρθρο arxiv.org/astro-ph/ v2 διαβάζουμε: These events suggest that short-hard GRBs are less energetic, typically by more than one order of magnitude, than their long counterparts, which typically release a total γ-ray energy of erg when collimation is taken into account. Η ενέργεια φτάνει και μάλιστα είναι παραπάνω κατά 2 τάξεις μεγέθους.( αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος στους υπολογισμούς μου). Υπενθυμίζω ότι δεν υπολογίσαμε και το μαγνητικό πεδίο που θα μπορούσε να παίξει κάποιο σημαντικό ρόλο. 3 Άσκηση Βρείτε μια σχέση για τις παλιρροιογόνες δυνάμεις που υφίστανται τα μέλη ενός διπλού συστήματος αστέρων κατά τη διεύθυνση της διακέντρου τους, όταν απέχουν απόσταση αρκετά μεγαλύτερη από ό,τι οι ακτίνες τους. (Θεωρήστε ότι ο κάθε αστέρας αποτελείται από δύο ημισφαίρια και υπολογίστε κατά προσέγγιση τη διαφορά στην βαρυτική επιτάχυνση - που δέχονται από τον συνοδό αστέρα - μεταξύ τους). Η επιτάχυνση,δηλαδή η δύναμη ανά μονάδα μάζας, που ασκέι ο αστέρας 1 στην ύλη που βρίσκεται στο απομακρυσμένο ημισφαίριο του αστέρα 2 είναι : g = GM 1 r 2 (14) Η διαφορά μεταξύ της επιτάχυνσης των ημισφαίριων κατα την ίδια διευθυνση είναι εξ ορισμού η παλλιροιογόνος δύναμη του αστέρα 1 στον 2. Η διαφορά αυτή είναι : 4 Άσκηση δg = 2GM 1 r 4 δr = 2GM 1 r 3 R (15) Θεωρήστε έναν σφαιρικό και ομογενή αστέρα στον οποίο ακουστικές διαταραχές διαδίδονται με ταχύτητα ήχου ίση με v s (r) = γp (r)/ρ όπου P (r) είναι η κατανομή της πίεσης, ρ η σταθερή πυκνότητα και γ μια σταθερά που χαρακτηρίζει την ύλη (αδιαβατική σταθερά). α) Ξεκινώντας α- πό την εξίσωση υδροστατικής ισορροπίας βρείτε την κατανομή P (r). β) Βρείτε μια σχέση για την θεμελιώδη περίοδο ακτινικών ταλαντώσεων, υποθέτοντας ότι αντιστοιχεί στο χρόνο που χρειάζεται για μια ακουστική διαταραχή να διανύσει τη διάμετρο του αστέρα. Ελέγξτε εάν το αποτέλεσμα είναι εντός των παρατηρούμενων τιμών της περιόδου ταλάντωσης για έναν τυπικό Κηφείδη, υποθέτοντας μάζα 5 ηλιακές μάζες, ακτίνα 50 ηλιακές ακτίνες και θέτοντας γ= 5/3. Για την ισορροπία έχουμε: dp dr = GM(r)ρ r 2 (16) Λύνουμε την εξίσωση και παίρνουμε P (r) = 4 6 πρ2 Gr 2. Η ταχύτητα των ακουστικών διαταραχών θα είναι : γp (r) 20πG v s (r) = v s (r) = ρ 18 r 3

5 Η μέση ταχύτητα θα προκύψει ως το μισό της μέγιστης ταχύτητας που αντιτοιχεί στην ακτίνα. < v s >= v max 2 = πG 18 50R (17) Ο χρόνος που κάνει ενα κύμα να διανύσει την διάμετρο του αστέρα ορίζετε ως την περίοδο. 18 vt = D T = D/v T = 4 20πG (18) 5 Άσκηση Ενα αστέρας νετρονίων μάζα Μ και ακτίνας R περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του με περίοδο P. α) Βρείτε μια σχέση για την κινητική ενέργεια περιστροφής, εάν ο αστέρας είναι ομογενής. β) Βρείτε μια σχέση για το ρυθμό με τον οποίο ελαττώνεται η κινητική ενέργεια (λόγω μετασχηματισμού σε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία), εάν η περίοδος αυξάνει με ένα ρυθμό dp/dt (θεωρώντας Μ και R σταθερά). Για τον πάλσαρ στο νεφέλωμα το Καρκίνου: P = 33.3ms και dp/dt = Θεωρώντας τυπικές τιμές για τα Μ και R, βρείτε εάν η επιβράδυνση του πάλσαρ μπορεί να δικαιολογήσει την φωτεινότητα L = W του νεφελώματος που το περιβάλλει. Η κινητική του ενέργεια είναι: T = 1 2 Iω2 = MR2 ( ) 2π = 4π2 MR 2 P 5 P 2 dt dt = 4π2 5 MR2 1 P 3 dp dt dt dt = W εφαρμόζουμε το θεώρημα V irial,σχέση (13), και υποθέτουμε ότι όλη η βαρυτική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική. 0 = 2 < T > +U g < T >= U g /2 d < T > dt = 1 dw 2 dt dt dt = 1 2 L (19) dt dt L (20) Οταν αντικαθιστούμε τους αριθμούς βλέπουμε ότι διαφέρουν κατά μια τάξη μεγέθους, συνεπώς επαρκεί γιαα εξηγήσει την φωτεινότητα, αλλά και πάλι δεν λάβαμε υπόψιν μας μαγνητικά φαινόμενα και διεργασίες στο κέντρο του πυρήνα, όπως και η επιβράδυνση λόγω των κυμάτων Alf ven. 6 Άσκηση Ενας κλασικός Κηφείδης αστέρας με περίοδο 10 μέρες παρατηρείται σε ένα μακρινό γαλαξία. Ο παρατηρούμενος δείκτης χρώματος είναι B V = 0.7 και το (μέσο) φαινόμενο μέγεθος m V = 14. Αν υποτεθεί ότι η βολομετρική διόρθωση είναι ίση με 0 και ότι δεν υπάρχει σκόνη ή αέριο μεταξύ της Γης και του αστέρα, να υπολογισθεί η απόσταση του γαλαξία. Δίνεται η σχέση δείκτη χρώματος-θερμοκρασίας T eff = 7200/[0.64+(B V )0] (σε Κ) και οι πειραματικές σχέσεις περιόδουφωτεινότητας logp (days) = 0.232Mbol 2.85logT eff για logt eff < 4.1 και logp (days) = 0.275Mbol 3.91logT eff για logt eff > 4.3 (όπου πάλι η T eff είναι σε K) 4

6 Υπολογίζουμε το logt eff T eff = (B V ) 0 = (21) Άρα logt eff = 3.73 < 4.1. Συνεπώς θα χρησιμοποιήσουμε την πρώτη σχέση περιόδου-φωτεινότητας. logp (days) = 0.232Mbol 2.85logT eff M bol = 10 Η βολομετερική διόρθωση είναι 0 οπότε m V = m bol M bol m bol = 5 5logr r = 631kpc (22) 5