Αστροφυσική. Οµάδα 2. v f = 0

Transcript

1 Αστροφυσική Οµάδα 2 1 Η εξίσωση Boltzann αποτελεί τη ϐάση της κινητικής ϑεωρίας των αερίων και περιγράφει την εξέλιξη της συνάρτησης κατανοµής ταχυτήτων f x, v, t ενός αερίου πλάσµα, αστέρες, µόρια στο χώρο και το χρόνο, Df Dt + F v f όπου F είναι η δύναµη µε την οποία έλκονται τα συστατικά του αερίου µεταξύ τους και η µάζα τους. Αν ορίσουµε την πυκνότητα του αερίου και τη µέση ταχύτητα του ϱευστού µε τη σχέση ρ x,t n f x, v,td 3 v u 1 vfd 3 v n και την πίεση από τη σχέση P x,t v u v ufd 3 v είξτε ότι αν ολοκληρώσετε όλα τα µέλη της εξίσωσης Boltzann ως προς τις ταχύτητες ϑα καταλήξετε στην εξίσωση συνέχειας και αν πολλαπλασιάσετε όλα τα µελή της εξίσωσης Boltzann µε την ταχύτητα v και στη συνέχεια ολοκληρώσετε ως προς τις ταχύτητες από το ως το ϑα καταλήξετε στη εξίσωση κίνησης του ϱευστού. Λύση: Η πρώτη ϱοπή ϐρίσκεται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση Boltzann µε v ολοκληρώνοντας στον χώρο των ταχυτήτων: f t + v F xf + vf f t d3 v + v x fd 3 v + 1 F v fd 3 v fd 3 v + x f vd 3 v+ 1 v ffd t 3 v 1 1

2 Κάνοντας χρήση των εξισώσεων n fd 3 v 2 u 1 f vd 3 v 3 n και του ϑεωρήµατος Gauss, η τελευταία σχέση γράφεται: n t + x n u+ 1 ff ds 4 S Στο τελευταίο όρο της 4 η ολοκλήρωση νοείται σε επιφάνεια του χώρου των ταχυτήτωνs. Επειδή για οποιαδήποτε κατανοµή ταχυτήτων πεπερασµένης ενέργειας η συνάρτηση κατανοµής f καθώς v γρηγορότερα από οποιαδήποτε δύναµη της ταχύτητας v n, οι όροι αυτοί µηδενίζονται. Καταλήγουµε λοιπόν στην εξίσωση συνέχειας: n t + x n u 5 Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση Vlassov µε v 1 και ολοκληρώνουµε και πάλι στο χώρο των ταχυτήτων: v f t d3 v + f t + v F xf + vf v v x fd 3 v + 1 ] v[ F v f d 3 v 6 Ο πρώτος όρος της 6 µας δίνει: v f t d3 v t Ο δεύτερος όρος αναλύεται ως εξής: vfd 3 v n u 7 t v v x fd 3 v ê x v x 2 f x +v f xv y ê y v x v y f x +v2 y ê z v x v z f x +v yv z f y +v2 z y +v f xv z d 3 v + z f y +v f yv z d 3 v+ z f d 3 v z ή συνοπτικότερα, δεδοµένου ότι τα v δεν εξαρτώνται από τα x n : 2

3 v v x fd 3 v 1 fv n v d 3 v eˆ 8 Θεωρούµε ότι έχουµε µια κατανοµή η οποία κινείται µε µέση ταχύτητα u και ϑερµική ταχύτητα w. Τότε για τους όρους που περιέχουν µικτά γινόµενα συνιστωσών της ταχύτητας n ϑα ισχύει: ενώ για τους διαγώνιους όρους n : fv n v d 3 v nu u n 9 fvnd 2 3 v u 2 n fu n +w n 2 d 3 v fd 3 v + nv 2 n ++ nu 2 th 2u n w n fd 3 v + w 2 n fd3 v nu 2 n+ nu 2 th 1 όπου ϑέσαµεu 2 th w 2 n fd3 v. Συνεπώς το άθροισµα των διαγωνίων όρων ϑα µας δώσει: fvnd 2 3 v ê n nu 2 x n ê n + nu 2 n x th ê n n nu 2 x n ê n + nu 2 th n nu 2 x n ê n + 1 P 11 n όπου P nu 2 th η πίεση. Συνολικά εποµένως, η 8 γράφεται ως εξής: 3

4 v v x fd 3 v 1 1 n nu n u nu n u 1 nu n u eˆ + eˆ + eˆ + 1 P 1 nu 2 x n ê n + 1 n P u nu n eˆ + 1 P [ n u] u+n u u+ 1 P 12 Ο τρίτος όρος της 6 µπορεί να γραφεί ως εξής: v F [ ] v fd 3 v v Ff v d 3 v f v v Fd 3 v f F v vd 3 v Οι δύο πρώτοι όροι της παραπάνω εξίσωσης µηδενίζονται µε επιχειρηµατολογία όµοια µε εκείνη που χρησιµοποιήθηκε για τον µηδενισµό των ολοκληρωµάτων της 4, ενώ v v 1, οπότε: 1 Αντικαθιστώντας τις 7,12 και 13 στην 6 παίρνουµε: ] v[ F v f d 3 v n F 13 t n u+[ n u] u+n u u+ 1 P qn F 14 Κάνοντας χρήση της εξίσωσης συνέχειας εξίσωση 5, η τελευταία σχέση παίρνει τη µορφή: n u t +n u u P +n F 15 Η εξίσωση αυτή αποτελεί την εξίσωση κίνησης του ϱευστού. 2 Ενας δίσκος πάχους 2h και ακτίνας a αποτελείτε από ϱευστό µε οµοιόµορφη πυκνότητα ρ. Να υπολογισθεί η δυναµική του ενέργεια. Λύση: Θα ξεκινήσουµε µε τον τύπο που ϑα µας δώσει την δυναµική ενέργεια dw Gr,zdr,zsinθ r2 +z 2 4

5 υποθέτουµε ότι ο δίσκος είναι λεπτός και η ακτίνα του είναι πολύ µεγαλύτερη από το πάχος του, οπότε το ηµίτονο περιγράφει µόνο την ακτινική συνιστώσα της δύναµης ϐλέπε σχήµα, sinθ θ h/a. Με ϐάση αυτά ρ M/πa 2 2h r,z ρ πr 2 2z dr,z ρ 2πrdr2dz dw Gρ 2 8π2 r 2 drzdz h a a h h W 8π 2 Gρ 2 rdr zdz a W GM2 h 3a 2 3 Ενας αστέρας ϐρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας και υποθέτουµε ότι έχει σφαιρική συµµετρία και είναι οµογενής. είξτε ότι η ολική ϐαρυτική δυναµική ενέργεια του αστέρα W συνδέεται µε την εσωτερική του ενέργεια U µε το τύπο W +2U. Λύση: Η ισορροπία του αστέρα περιγράφεται από την εξίσωση dp dr ρg r 2 αν πολλαπλασιάσουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε τον όγκο V Η δυναµική ενέργεια και το αριστερό µέλος της εξίσωσης Pr P Γνωρίζουµε ότι dv d/ρ άρα VdP 1 Gd 3 r r Grd W r Vr VdP [PV] r PdV [PV] r Vr PdV r P ρ d Vr PdV 5

6 τελικά ϑα έχουµε αν συνδυάσουµε όλα τα παραπάνω [PV] r r P ρ d 1 3 Wr αν εφαρµόσουµε τη γενική αυτή σχέση για ολόκληρο τον αστέρα ϑα έχουµε M P ρ d 1 3 W απο την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ή M P ρk BT µ H RT µ d 1 3 W όπου R k B / H. Για το µονοατοµικό αέριο η εσωτερική ενέργεια ανά σωµατίδιο είναι 3/2k B T και η εσωτερική ενέργεια αν µονάδα µάζας u 3/2RT/µ και επιστρέφοντας στην αρχική µας σχέση ϑα έχουµε ] M 2 3 ud 1 3 W U 1 2 W. 6