Εισαγωγή στην Αστρονομία

Transcript

1 Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: -5 Εισαγωγή στην Αστρονομία Από τη θεωρία είναι γνωστό ότι η ιδιοπερίοδος των ακτινικών ταλαντώσεων των αστέρων δίνεται από μια σχέση της μορφής Q[<ρ>/<ρ>] / όπου η τιμή της "σταθερής" Q εξαρτάται από την τάξη φωτεινότητας, αλλά μπορεί, σε πρώτη προσέγγιση, να θεωρηθεί σταθερή Υποθέστε ότι Q ημέρες για όλους του αστέρες Πόση θα είναι η ιδιοπερίοδος (α) του Ήλιου, (β) ενός αστέρα τάξης φωτεινότητας V και μάζας και (γ) ενός τυπικού λευκού νάνου; Δίνεται ότι για τους αστέρες της κύριας ακολουθίας ισχύει η σχέση R ~ και ότι R 6 km ρ α) Για τον Ήλιο θα έχουμε: ρ ρ Q Q ημέρες β) Για έναν αστέρα μάζας Μ θα ισχύει και R R, οπότε: ρ ρ V πr π ( R ) π ( R ), συνεπώς: ρ Q Q ημέρες γ) Τέλος για έναν τυπικό λευκό νάνο θα έχουμε ότι & R R Γ R Επομένως ρ 6 6 ρ και V πr π ( R ) π ( R ) 6 ρ Q Q ημέρες

2 - - Δείξτε (προσεγγιστικά) ότι οι αστέρες της κύριας ακολουθίας ακολουθούν μια απλή σχέση φωτεινότητας-μάζας ( ), υποθέτοντας ότι το αέριο στο εσωτερικό ακολουθεί την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων ( r) Αρχικά ξεκινάμε από την εξίσωση διάδοσης της ενέργειας με ακτινοβολία: r T ( r) ( r) ρ( r) ( r) 6πσ dt στην οποία κάνουμε τις προσεγγίσεις r R & κ dr dt T Επίσης, λόγω της μεγάλης μάζας των αστέρων της κύριας dr R ακολουθίας κυριαρχεί η αδιαφάνεια που οφείλεται στη σκέδαση ηλεκτρονίων και είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας Έτσι καταλήγουμε ότι: RT R T και θέτοντας την πυκνότητα ρ προκύπτει: ρ πr Από την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων και την εξίσωση της καταστατικής ισορροπίας βρίσκουμε αντίστοιχα: T µ µ R & ρ R R µ Συνεπώς για την φωτεινότητα ισχύει R, δηλαδή: µ Με την παραδοχή ότι οι αστέρες είναι παραπλήσιας χημικής σύστασης, τότε το μέσο μοριακό βάρος τους δεν διαφέρει αισθητά και η σχέση μάζας-φωτεινότητας γίνεται:

3 5 Αν είναι γνωστός ο νόμος μάζας-φωτεινότητας ( ) - - και τα μέλη ενός διπλού αστέρα έχουν απόλυτα μεγέθη 7,7 και,5 αντίστοιχα Το φαινόμενο μέγεθος του πρωτεύοντα (S) είναι mv 7 και η γωνιώδης απόσταση του πραγματικού μεγάλου ημιάξονα της σχετικής τροχιάς του ζεύγους είναι, Να υπολογισθεί η περίοδος του ζεύγους Γνωρίζουμε ότι : mv 5 5 r οπότε για τον πρώτο αστέρα θα έχουμε: r r r pc Συνεπώς η παράλλαξη του aπ αστέρα θα είναι: π r και ο μεγάλος ημι-άξονας A AU π Επίσης έχουμε: Όμοια και για τον άλλο αστέρα: A Επομένως αστρικά έτη 68 Δύο αστέρες φαίνονται κοντά ο ένας στον άλλο πάνω στην ουράνια σφαίρα Ο ένας έχει απόλυτο μέγεθος -7 και m 5 6 ενώ ο άλλος -5 και m 9 Πως θα αποδείξετε αν είναι ή όχι διπλό σύστημα; v v Γνωρίζουμε ότι : mv 5 5 r οπότε για τον πρώτο αστέρα θα έχουμε: r r 66 και για τον δεύτερο όμοια: r r 68

4 - - r Συνεπώς: r r 98 r 955r r r Επίσης εξετάζοντας το σύστημα Αστέρα-Ήλιου, για την βαρυτική έλξη θα έχουμε: F και r r F F δηλαδή: F F F r Όπως προκύπτει, η ελκτική δύναμη που ασκεί ο Ήλιος στον δεύτερο αστέρα είναι φορές μεγαλύτερη από την αντίστοιχη του πρώτου Σε περίπτωση που ο δεύτερος αστέρας ήταν μέλος διπλού συστήματος, το άλλο μέλος θα ήταν ο Ήλιος Άρα οι δύο αστέρες δεν αποτελούν διπλό σύστημα 5 Εάν ο Ήλιος δεν χάσει καθόλου μάζα και μετατραπεί σε λευκό νάνο με ακτίνα R/ Να υπολογισθεί η αναμενόμενη πλάτυνση των φασματικών του γραμμών στο λ6α Η παρατηρούμενη πλάτυνση είναι <<,5Α Τι συμπέρασμα βγάζετε; Για την πλάτυνση των φασματικών γραμμών έχουμε: λ υ λ c ω c R Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της στροφορμής για τον Ήλιο και τον λευκό π J J I ω I ω R R 5 5 νάνο παίρνουμε ότι: ω R R 87 * 7 * *6 * 6 z π Επομένως λ λ 8 87 * * 696 * * 9979 * και για λ6α λ 5 6*995* 597 A 5 A χάνουν στροφορμή! Οπότε συμπεραίνουμε ότι οι αστέρες

5 - 5-6 Χρησιμοποιώντας το νόμο μάζας-φωτεινότητας να δείξετε ότι το απόλυτο μέγεθος Μ ενός διπλού συστήματος, θεωρούμενου ως συνόλου, είναι 65(α π όπου είναι το απόλυτο μέγεθος του Ήλιου, α ο γωνιώδης μεγάλος ημιάξονας της πραγματικής σχετικής τροχιάς, π η παράλλαξη και η περίοδος του συστήματος Αρχικά έχουμε: 5 με την φωτεινότητα του συστήματος Από το νόμο μάζας-φωτεινότητας παίρνουμε ότι 5 οπότε η σχέση μας γίνεται: k k Η μάζα του συστήματος αφορά και τους δύο αστέρες ως σύνολο και είναι εκφρασμένη σε μάζες Ήλιου Συνεπώς ο λόγος ισούται με ( ) + και η σχέση παίρνει τη μορφή: 875( + ) 875 A 875( A ) 875( A 65( A aπ 65( π 65(α π 65(α π οεδ