{teo,

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 4 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (0, σελ.5- ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΩΝ ΜΕ ΑΣΑΦΗ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Η ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ (ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕ ΑΠΟΑΣΑΦΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Ιωάννης Θεοδώρου, Φίλιππος Αλεβίζος, Αριστείδης Κεχρινιώτης Τμήμα Ηλεκτρονικής, Τ.Ε.Ι. Λαμίας {teo, kechrin}@teilam.gr Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών philipos@math.upatras.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή είναι άμεση συνέχεια των προηγούμενων εργασιών μας [6,7,8], όπου αναπτύχθηκε η μαθηματική θεμελίωση της επέκτασης της Ανάλυσης Αντιστοιχιών (Correspondence Analysis-CA στην επεξεργασία ασαφών δεδομένων. Δεδομένου δε ότι αλγεβρικά η Ανάλυση Αντιστοιχιών είναι κυρίως ένα πρόβλημα ιδιοδομής, μία μέθοδος «δύοβημάτων» αναπτύχθηκε για τη θεωρητική επεξεργασία του προβλήματος της ασαφούς ιδιοτιμής, όταν η CA εφαρμόζεται σε ένα πίνακα τυχαιότητας με ασαφή δεδομένα (Correspondence Analysis ith Fuzzy Data-CAFD. Στην εργασία αυτή ολοκληρώνουμε τα προηγούμενα θεωρητικά αποτελέσματα με την πρακτική εφαρμογή της CAFD, δηλ. παρουσιάζουμε τα γεωμετρικά (γραφικά αποτελέσματα της CA όταν αυτή εφαρμόζεται σε έναν πίνακα τυχαιότητας που τα στοιχεία του είναι ασαφείς αριθμοί. Προς τούτο, θεωρούμε ένα απλό αλλά πραγματικό πρόβλημα της CAFD και όλες οι χρησιμοποιούμενες υπολογιστικές διαδικασίες (αλγόριθμοι παρουσιάζονται αναλυτικά μέσω ενός στοιχειώδους αλλά αντιπροσωπευτικού αριθμητικού παραδείγματος. Για τον καίριο γεωμετρικό χαρακτήρα της CAFD και με σκοπό την προβολή των ασαφών δεδομένων (fuzzy profiles σε ένα χώρο μικρότερης διάστασης, ένα νέο βήμααποασαφοποίησης (defuzzification-step έχει αναπτυχθεί. Τέλος, σε μια ενιαία παραγοντική γραφική παράσταση, επιτυγχάνουμε να παρουσιάσουμε τα γεωμετρικά αποτελέσματα της CAFD ταυτόχρονα και σε σύγκριση με αυτά της κλασικής CA. Ο κύριος στόχος αυτής της εργασίας είναι να δειχτεί ότι η CAFD μπορεί να λειτουργήσει όχι μόνο θεωρητικά, αλλά και πρακτικά-υπολογιστικά και κυρίως γεωμετρικά (γραφικά. Συνεπώς το τελικό βήμα που απομένει για την τελική πρακτική χρήση της CAFD είναι πλέον η δημιουργία του κατάλληλου λογισμικού (softare. Λέξεις Κλειδιά: Ανάλυση Αντιστοιχιών, Ασαφείς Αριθμοί, Ασαφείς Πίνακες, Ασαφής Ιδιοτιμή, Μέθοδοι Αποασαφοποίησης, Ασαφής Στατιστική και Ανάλυση Δεδομένων. 5

2 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στις προηγούμενες εργασίες μας [6,7,8] αναπτύχθηκε η μαθηματική θεμελίωση της επέκτασης της κλασικής Ανάλυσης Αντιστοιχιών (Correspondence Analysis-CA, έτσι ώστε αυτή να καταστεί ικανή για την εφαρμογή της σε πολυδιάστατους πίνακες τυχαιότητας με Ασαφή Δεδομένα (Correspondence Analysis ith Fuzzy Data- CAFD. Στην εργασία αυτή ολοκληρώνουμε τα προηγούμενα θεωρητικά αποτελέσματα με την πρακτική εφαρμογή της CAFD, δηλ. παρουσιάζουμε τα τελικά γεωμετρικά (γραφικά αποτελέσματα της CA όταν αυτή εφαρμόζεται σε έναν πίνακα τυχαιότητας που τα στοιχεία του είναι ασαφείς αριθμοί.. ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ CAFD. Αντιπροσωπευτικό αριθμητικό παράδειγμα Έστω ομάδες υποψήφιων σπουδαστών που προετοιμάζονται για την εισαγωγή τους σε ένα πανεπιστήμιο, όπου κάθε ομάδα εκπροσωπεί μια διαφορετική γεωγραφική κοινότητα, που συμβολίζονται: stud-, stud-, stud-. Με σκοπό την επιτυχία τους στο συγκεκριμένο πανεπιστήμιο, οι υποψήφιοι σπουδαστές μπορούν να επιλέξουν να συμμετέχουν σε ένα μόνο από τα τμήματα-κατευθύνσεις του πανεπιστήμιου, που είναι: Μαθηματικό (MATH, Φυσικό (PHYS, Φιλολογία (LITR. Ειδικοί εκπαιδευτικοί αναλυτές κάνουν μια προσεγγιστική πρόβλεψη-εκτίμηση, χρησιμοποιώντας Τριγωνικούς Ασαφείς Αριθμούς (Triangular Fuzzy Numbers-TFN, σχετικά με το πόσοι υποψήφιοι από κάθε «σπουδαστική κοινότητα» θα επιτύχουν σε καθένα «πανεπιστημιακό τμήμα», που καταγράφεται στον ακόλουθο Πίνακα. Πίνακας. Επιτυχία ως προς Σπουδαστικές Κοινότητες και Πανεπιστημιακό Τμήμα: stud- k (6,8,0 stud- k (5,0,5 stud- k (,, MATH PHYS LITR k (0,,6 k (0,40,50 k (5,5,5 k (,8,4 k (7,7,7 k (7,8,9 Συνεπώς παίρνουμε έτσι, έναν ( ασαφή μη-αρνητικό πίνακα j K (k,(i, j,,, (ασαφή πίνακα τυχαιότητας-fuzzy contingency table, που δίνει i «την επιτυχία των υποψηφίων» ως προς «τις σπουδαστικές κοινότητες» και τα «πανεπιστημιακά τμήματα», δηλ. κατανέμει τις συμπτώσεις δύο ποιοτικών μεταβλητών I, J, όπου οι γραμμές (I είναι «οι σπουδαστικές ομάδες-γεωγραφικές κοινότητες» stud-, stud-, stud-, και οι στήλες (J είναι «τα πανεπιστημιακά τμήματα» MATH, PHYS και LITR. 6

3 Από το ανωτέρω απλό αλλά εμπειρικό πρόβλημα (που προέκυψε από πραγματική σχετική έρευνα στην περιοχή του Πανεπιστημίου Πατρών, παίρνουμε λοιπόν έναν αρχικό ασαφή πίνακα τυχαιότητας K σύμφωνα με την CAFD, όπου τα στοιχεία του είναι μη-αρνητικοί συμμετρικοί Τριγωνικοί Ασαφείς Αριθμοί, δηλ. της μορφής A(x (a,a,a, με a, a,a και a a a a, (βλ. []. Οι TFN είναι οι απλούστεροι ασαφείς αριθμοί που μπορούν να εκφράσουν βέλτιστα διάφορες προσεγγιστικές και μη-ακριβείς εκτιμήσεις ή ασαφείς-υποκειμενικές καταστάσεις και μετρήσεις, ενώ σε σύγκριση με τα συνήθως χρησιμοποιούμενα κλασικά (to-valued logic διαστήματα ή ποσοστώσεις, υπερτερούν κυρίως διότι: α Τα κλασικά διαστήματα που εκφράζονται μέσω ενός ανώτερου και ενός κατώτερου απόλυτου αριθμητικού ορίου και εσωκλείουν την υποτιθέμενη ακριβή τιμή, δεν έχουν τη δυνατότητα αξιολόγησης (βαθμονόμησης των διάφορων ενδιάμεσων διαδοχικών μεταβατικών τιμών, αγνοώντας έτσι και χάνοντας τις σημαντικότερες πληροφορίες που συνήθως «κρύβονται» στις ενδιάμεσες μετρήσεις κατά την παροδική συνύπαρξη των διάφορων διαδοχικών ασαφών καταστάσεων, β Αντίθετα οι ασαφείς αριθμοί και γενικότερα τα ασαφή σύνολα (multi-valued logic έχουν τη δυνατότητα να εκφράζουν τη συνύπαρξη ασαφών καταστάσεων και να αποδίδουν έναν ιδιαίτερο βαθμό αξιολόγησης (membership function σε κάθε στοιχείο ενός διαστήματος (ενώ στα κλασικά διαστήματα κάθε στοιχείο έχει μια ομοιόμορφη σημασία, βλ. [,4] και [6,7,8].. Υπολογισμός των ασαφών ιδιοτιμών της CAFD. Χρησιμοποιώντας την Ασαφή Αριθμητική και σύμφωνα με τη γνωστή διαδικασία της κλασικής CA, βλ. [,,,4,5,9], παίρνουμε (προσεγγιστικά μέσω της αριθμητικής των TFN τους αντίστοιχους στον K ασαφείς πίνακες: x (0.,0.6,0.6 x (0.,0.47,0.68 x (0.,0.7,0.6 X x(0.6,0.6,0.4 x =(0.,0.5,0.8 x =(0.8,0.,0.7, x(0.06,0.,0. x =(0.9,0.,0.8 x =(0.4,0.5,0.69 (0.,0.5, D 0 (0.7,0.55,0.8 0, 0 0 (0.08,0.,0.5 (.97,4.7, Q 0 (.9,.07,.75 0., 0 0 (.6,.8,4.7 T Επίσης υπολογίζουμε τον ασαφή πίνακα S X DX Q που αντιστοιχεί στον K, δηλ.: p,p p,n n,n n,p p,p 7

4 T j j j j S X DXQ (s (l,c,r i i i i, s (0.04,0.,.6 s (0.04,0.,.5 s (0.04,0.0,0.95 s (0.08,0.50,.88 s =(0.0,0.49,.46 s =(0.,0.47,.. s (0.05,0.8,.56 s =(0. 06,0.9,.8 s =(0.08,0.4,.6 Ακολούθως υπολογίζουμε μέσω της μεθόδου «δύο βημάτων (to-step», στο ο βήμα τον πίνακα διαστημάτων (α-cut S του ασαφούς πίνακα S :, j j j j j j j j S [S, S r ] [(s i, (s i r ] [l i (ci l i, r i (ri c i] X T D X Q X T ( [( D X Q, ( X T DXQ r ] [ ,.6. ] [ ,.50.9 ] [ , ] [ ,.88.8 ] [ , ] [0.+0.6,.-.64 ], [0.050.,.56.8 ] [ , ] [ ,.6-.8 ] όπου, j j X [X, X ] [(x, (x ] r i i r [0.0.06, ] [0.0.4, ] [ 0.0.7, ] [0.60., ] [0.+0.9, ] [ , ] [ , 0.0. ] [ , ] [0.4+0., ] j j D [D, D r ] [(d i, (d i r ] [0.0., ] [ , ] [ , ] και j j Q [Q, Q r ] [(q i, (q i r ] [.97.7, ] [ , ] [.6+.0, ] [.97.7, ] [ , ] [.6+.0, ] S (Q Επιπλέον στο ο βήμα της to-step μεθόδου, από τον πίνακα διαστημάτων μπορούμε να υπολογίσουμε τους συνήθεις αριθμητικούς τετραγωνικούς πίνακες: 8

5 T S ( X D X Q α α α α T S (X D X Q α..64 r r r r r Επίσης μπορούμε να υπολογίσουμε τον ισοδύναμο με τον πίνακα A, δηλ.: T A Q X DXQ,,,,,, a (0.04,0.,.4 a (0.06,0.,.7 a (0.04,0.,. a (0.06,0.,.7 a =(0.,0.49,. a =(0.08,0.7,.6 a (0.04,0.,. a =(0.08,0.7,.6 a =(0.08,0.4,.6. S, ασαφή συμμετρικό με αντίστοιχο πίνακα διαστημάτων, σύμφωνα με την δύο βημάτων (to-step μέθοδο, j j A [A, A ] [(a, (a ] r i i r T T (Q D X (Q (Q D X (Q r r r r r [ ,.7.9 ] [0. r [ (X, (X ] [ ,.4. ] [ ,.7.9 ] [ ,.0.97 ] +0.9,.-.7 ] [ ,.6-. ] [ ,.0.97 ] [ ,.6-. ] [ ,.6-.6 ] {( A A } A(,, ά, 0,, από όπου μπορούμε προφανώς να υπολογίσουμε τους αντίστοιχους συνήθεις αριθμητικούς πίνακες A(,, για οποιαδήποτε τιμή των, 0,.. Υπολογισμός των παραγοντικών συντεταγμένων της CAFD Σύμφωνα με τη μέθοδο «δύο βημάτων», στο ο βήμα, μετατρέπουμε τον ασαφή πίνακα των προφίλ-γραμμών X στην οικογένεια των (α-cut διαστημάτων πινάκων, j j X [X, ] [(x, (x ] 0,. Στο ο βήμα, κάθε πίνακας διαστημάτων X r i i r, για μπορεί να γραφεί, 0, : X [, ]: {(, 0,} X(, r r. Έτσι, ο συνήθης πίνακας των προφίλ-γραμμών, που υπολογίζεται για α= και θ=0 (είτε θ=, είναι j j j j X [X, X r ] [(x, (x i i r] {( (x (x i i r } X(, , και έχει προφανώς ως προς τους κλασικούς παραγοντικούς άξονες των κλασικών ιδιοδιανυσμάτων s (s,, τις ίδιες παραγοντικές συντεταγμένες (factorial coordinates όπως στην κλασική CA, που είναι οι ακόλουθες: 9

6 0.5 proj ( ( Q, ( X (, 0 X (, 0 X (, ( X (, 0 proj ( X (, 0 ( XQ (, Όμοια, μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραγοντικές συντεταγμένες κάθε συνήθους πίνακα X(,, για κάθε, 0,, από τη γνωστή σχέση: ( X proj ( X (, 0, (, 0, ( XQ s s s (, 0,.. ΑΠΟΑΣΑΦΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΣΑΦΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ- ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ (ΕΞΟΔΩΝ ΤΗΣ CAFD Τελικά, όπως και στον ασαφή έλεγχο (fuzzy control, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διάφορες τεχνικές αποασαφοποίησης (defuzzification για μια αντιπροσωπευτική κλασική γεωμετρική έξοδο της CAFD, που θα εκπροσωπεί το σύνολο των παραγοντικών συντεταγμένων που παράγονται από τη «δύο βημάτων» μέθοδο. Υπολογίζουμε ακολούθως μερικές παραλλαγές των συνήθων τεχνικών αποασαφοποίησης, προκειμένου να βρεθεί μια αντιπροσωπευτική τιμή-έξοδος όλων των παραγοντικών συντεταγμένων για τις διάφορες τιμές, 0,, επί των κλασικών παραγοντικών αξόνων. Κέντρου Βάρους έξοδος (Centroid output: Προβάλλουμε το Κέντρο Βάρους των στοιχείων του πίνακα των προφίλ-γραμμών X (που εδώ είναι τρίγωνα-tfn, δηλ. για,, και υπολογίζουμε τις συντεταγμένες τους ως προς τους κλασικούς παραγοντικούς άξονες,, σύμφωνα με τους επόμενους εναλλακτικούς τρόπους: 0. a ( X proj (, 0 ( X X (, (Q (, 0 (, (, ( (, και b ( X proj ( ( X X (Q, 0 (, (, 0 (, (, (, 0 ( X proj ( X ( XQ (, (, (, ( X proj ( X ( XQ (, (, (, ( ( (4 0

7 Αριθμητικού Μέσου έξοδος (Arithmetic Mean output: ( X proj (, 0, ( X s s (, 0, {X(, Q (, s (, }, ( (,,...,,,...,, 0, 0 0 όπου,,, και ν, μ. Έτσι, π.χ. για α, θ=0,, (δηλ., ν,μ= και (ν+(μ+=4, έχουμε: ( X proj (, 0, ( X (, 0, {X(, Q (, (, } ( (, 0, (5 (5a {X(0,0Q (0,0 (0,0 X(0,Q (0, (0, X(, 0Q (, 0 (, 0 X(,Q (, (,} ( X proj (, 0, ( X (, 0, {X(, Q (, (, } ( (, 0, {X(0, 0Q (0, 0 (0, 0 X(0,Q (0, (0, X(, 0Q (, 0 (, 0 X(,Q (, (,} Γενικά, η μέθοδος αυτή είναι πιο αντιπροσωπευτική αλλά απαιτεί προφανώς στη, 0,, για μια ικανοποιητική προσέγγιση των πράξη πολλές τιμές των παραγοντικών συντεταγμένων (π.χ.,, 00. (5b. Ταυτόχρονη γραφική παράσταση των προβολών της CAFD και CA Στην επόμενη Εικόνα, δίνεται η ταυτόχρονη γραφική παράσταση των παραγοντικών συντεταγμένων της CAFD και CA (με χρήση του SPAD, βλ. [5,9]. Εικόνα : Ταυτόχρονη παραγοντική γραφική παράσταση της CAFD και CA, όπου: (i Τα έντονα μαύρα σύμβολα ( stud-, stud-, stud- εκφράζουν τις παραγοντικές συντεταγμένες των προφίλ-γραμμών της κλασικής CA, δηλ. τις κεντρικές τιμές των TFN-στοιχείων των προφίλ-γραμμών του ασαφούς πίνακα X, δηλ. του συνήθους αριθμητικού πίνακα X X(, 0 X(, Xr. (iiτα κεφαλαία γράμματα ή σύμβολα ( MATH, PHYS, LITR εκφράζουν τις παραγοντικές συντεταγμένες των προφίλ-στηλών της κλασικής CA. (iii Τα μωβ γράμματα ή σύμβολα (*stud-, *stud-, *stud- εκφράζουν τις παραγοντικές συντεταγμένες που παράγονται από τη CAFD μέσω της αποασαφοποιητικής διαδικασίας «Κέντρου Βάρους-a», βλ. σχέσεις (, (. (iv Τα μπλε γράμματα ή σύμβολα (**stud-, **stud-, **stud- εκφράζουν τις παραγοντικές συντεταγμένες που παράγονται από τη CAFD μέσω της αποασαφοποιητικής διαδικασίας «Κέντρου Βάρους-b», βλ. σχέσεις (, (4.

8 (v Τα κόκκινα γράμματα ή σύμβολα (#stud-, #stud-, #stud- εκφράζουν τις παραγοντικές συντεταγμένες που παράγονται από τη CAFD μέσω της αποασαφοποιητικής διαδικασίας «Αριθμητικού Μέσου-», βλ. σχέσεις (5, (5a, (5b.

9 Τέλος, είναι αξιοσημείωτα στην παραπάνω Εικόνα, τα εξής: a Αυτή η πρώτη αλλά αντιπροσωπευτική παραγοντική γραφική παράσταση δείχνει ότι η CAFD μπορεί να λειτουργήσει τόσο αυτοτελώς όσο και σε σύγκριση με τη CA. b Εμφανίζεται ήδη μια αρμονική ομοιότητα μεταξύ των αντίστοιχων παραγοντικών συντεταγμένων (βλ. π.χ. την όμοια θέση των: stud-, #stud-, *stud-. c Όσο πιο ασαφή είναι τα στοιχεία του X, τόσο πιο μεγάλη είναι η απόκλιση μεταξύ των αντίστοιχων κλασικών (της CA και μη-κλασικών (της CAFD προβολώνσυντεταγμένων (βλ. π.χ. τη θέση των: stud-, #stud-, *stud-, **stud-. d Ως προς τη φυσική ερμηνεία του ανωτέρω γραφήματος, παρατηρούμε π.χ. κατά την CAFD (#, ότι: η γεωγρ. περιοχή (#stud- συνδέεται ισχυρά με το Μαθηματικό Τμήμα ( MATH δηλ. οι υποψήφιοι από την περιοχή αυτή εκτιμάται ότι θα εισαχθούν κυρίως στο Μαθηματικό Τμήμα, η περιοχή (#stud- βρίσκεται μακριά από το Μαθηματικό και πιο κοντά στο Φιλολογικό ( LITR, ενώ η περιοχή (#stud- φαίνεται διεσπαρμένη (πιο κοντά στα Τμήματα ( LITR, ( PHYS, κ.λπ. ABSTRACT This paper is the continuation of our previous orks [6,7,8] here Correspondence Analysis (CA for fuzzy data as introduced, and the mathematical foundation for Correspondence Analysis ith Fuzzy Data (CAFD as investigated. In this ork, e complete these theoretical results ith the practical approach of implementing CAFD. A real problem is considered and the employed computational processes are explained in detail through a simple numerical but representative example. Finally, on a first simultaneous geometrical display, e are presenting and illustrating the defuzzifiedfactorial projections of CAFD in comparison ith those of standard CA. ΑΝΑΦΟΡΕΣ [] Benzécri J.P. & al. (984. L analyse des données, Dunod, Paris. [] Bertier P., Bouroche J.M. (977. Analyse des données multidimensionnelles. PUF, Paris. [] Kaufmann A., Gupta M. (985. Introduction to Fuzzy Arithmetic. Van Nostrand Reinhold Company. [4] Moore R. (979, Interval Analysis, Prentice Hall-Engleood Clifs. [5] SPAD: Système Portable pour l Analyse des Données (00, V.5.0, CISIA- CERESTA, France. [6] Θεοδώρου Ι., Δρόσος Κ., Αλεβίζος Φ. (005. Ασαφής Ανάλυση Αντιστοιχιών. ΕΣΙ, Πρακτικά 8 ου Πανελλήνιου Συνέδριου Στατιστικής-Ρόδος, σελ [7] Theodorou Y., Alevizos Ph. (006. The Fuzzy Eigenvalue problem of Fuzzy Correspondence Analysis, Journal of Interdisciplinary Mathematics, 9, No., pp.5-7. [8] Theodorou Y., Drossos C., Alevizos Ph. (007. Correspondence Analysis ith Fuzzy Data: The Fuzzy Eigenvalue Problem. Fuzzy Sets and Systems, 58, pp [9] Wolkenhauer O. (998. Possibility theory ith applications to Data Analysis. Research Studies Press Ltd., England.