Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46"

Transcript

1 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Το Λεξιλόγιο της Λογικής Σύνολα Παράσταση συνόλων Σύμβολα, Πράξεις συνόλων Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου Η έννοια της πιθανότητας Κλασικός ορισμός Αξιωματικός ορισμός πιθανότητας Λογισμός πιθανοτήτων ο Κριτήριο Αξιολόγησης Φύλλο εργασίας στους πραγματικούς αριθμούς και στις πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί: Πράξεις Ιδιότητες Αναλογίες Δυνάμεις Πράξεις πραγματικών αριθμών Αντίθετοι Αντίστροφοι Αναλογίες Δυνάμεις Οι ιδιότητες αβ = 0 και αβ Πραγματικοί αριθμοί: Ταυτότητες Μέθοδοι απόδειξης Παραγοντοποίηση Χρήση ταυτοτήτων Μέθοδοι απόδειξης Παραγοντοποίηση ο Κριτήριο Αξιολόγησης Διάταξη πραγματικών αριθμών Ιδιότητες διάταξης Αποδεικτικές ασκήσεις Σύγκριση αριθμών Διάστημα ο Κριτήριο Αξιολόγησης Φύλλο εργασίας στις απόλυτες τιμές Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Απαλοιφή απολύτων με χρήση του ορισμού Χρήση ιδιοτήτων σε απλοποίηση παραστάσεων και σε αποδείξεις σχέσεων με απόλυτα

2 Περιεχόμενα Χρήση της ιδιότητας α β α+ β α + β στην εύρεση διαστήματος των τιμών που μπορεί να πάρει μια παράσταση με απόλυτα καθώς και σε αποδείξεις ανισοτικών σχέσεων Επίλυση εξισώσεων με απόλυτες τιμές Επίλυση ανισώσεων Γεωμετρική αξιοποίηση της απόλυτης τιμής ο Κριτήριο Αξιολόγησης Φύλλο εργασίας στις ρίζες πραγματικών αριθμών Ρίζες πραγματικών αριθμών Πράξεις ριζών ίδιας τάξης Απλοποίηση ριζών Γινόμενο ρητού - ρίζας Περιορισμοί μεταβλητών σε παραστάσεις με ριζικά Πράξεις ριζών διαφορετικής τάξης Σύγκριση ποσοτήτων με ρίζες Απλοποίηση παραστάσεων της μορφής α± β γ Ρητοποίηση παρονομαστή Μέγιστη και ελάχιστη τιμή παράστασης με ριζικά ο Κριτήριο Αξιολόγησης Επαναληπτικές Ασκήσεις ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φύλλο εργασίας στις εξισώσεις Εξισώσεις 1ου βαθμού Επίλυση εξίσωσης Αδύνατη Ταυτότητα Παραμετρικές εξισώσεις Εξισώσεις που ανάγονται σε πρωτοβάθμιες εξισώσεις Σύνθετες εξισώσεις απόλυτων τιμών και εξισώσεις με ρίζες Επίλυση τύπου Προβλήματα ο Κριτήριο Αξιολόγησης H εξίσωση x v = α Εξισώσεις νιοστού βαθμού που ανάγονται στη μορφή x v = α Εξισώσεις ου βαθμού Επίλυση εξίσωσης ου βαθμού Εξίσωση της μορφής αx + βx + γ = 0 με παράμετρο Εξισώσεις που ανάγονται σε ου βαθμού εξίσωση (Κλασματικές εξισώσεις Εξισώσεις που λύνονται με αντικατάσταση) Φύλλο εργασίας στο άθροισμα και γινόμενο ριζών εξίσωσης ου βαθμού Άθροισμα και γινόμενο ριζών εξίσωσης ου βαθμού Χρήση S και P στην εύρεση ριζών δευτεροβάθμιας εξίσωσης και στον υπολογισμό παραστάσεων

3 Περιεχόμενα Υπολογισμός παραμέτρων δευτεροβάθμιας εξίσωσης με συνθήκη το είδος των ριζών της εξίσωσης Κατασκευή εξίσωσης ου βαθμού ο Κριτήριο Αξιολόγησης Επαναληπτικές Ασκήσεις ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Παράρτημα Α: Αποδείξεις θεωρημάτων και προτάσεων σχολικού βιβλίου Ενδεικτικές Λύσεις Απαντήσεις Λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου

4 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Σε ένα υπό κατασκευή κτίριο, ύψους 50 μέτρων από την επιφάνεια του εδάφους, με υπόγεια βάθους 0 μέτρων από την επιφάνεια του εδάφους, οι εργάτες μετακινούνται με δύο πλατφόρμες επιβίβασης αποβίβασης, μία γκρι και μία κόκκινη. Προκειμένου οι εργάτες να γνωρίζουν σε ποιο σημείο βρίσκονται, σε κάθε πλατφόρμα υπάρχει ηλεκτρονική ένδειξη για το ύψος σε μέτρα σε σχέση με την επιφάνεια του εδάφους, θετική όταν βρίσκονται πάνω από αυτή και αρνητική όταν βρίσκονται κάτω από αυτή. 1) Ποια είναι η απόσταση της πλατφόρμας από την επιφάνεια του εδάφους όταν η ένδειξη είναι 3 και ποια όταν είναι 3; Απ.:... Με τον ίδιο τρόπο να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: Ύψος πλατφόρμας 5 7, ,7 Απόσταση πλατφόρμας από την επιφάνεια του εδάφους 179

5 Φύλλο εργασίας στις απόλυτες τιμές ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ) Η ένδειξη στην γκρι πλατφόρμα είναι και στην κόκκινη 3. Ποια είναι η μεταξύ τους απόσταση; Απ.:... Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: Θέση γκρι Θέση κόκκινης πλατφόρμας πλατφόρμας ,5 7,3 0 8,7 9,1 4 Απόσταση κόκκινης από γκρι πλατφόρμα Απόσταση γκρι από κόκκινη πλατφόρμα Γενικά, αν θεωρήσουμε ότι η κόκκινη πλατφόρμα βρίσκεται σε ύψος α και η γκρι πλατφόρμα σε ύψος β, τότε η απόσταση της κόκκινης πλατφόρμας από την γκρι συμβολίζεται με α β, οπότε η απόσταση της γκρι πλατφόρμας από την κόκκινη είναι β α και άρα προκύπτει ότι α β... β α. Σύμφωνα με τον παραπάνω συμβολισμό, όταν η γκρι πλατφόρμα βρίσκεται στο ισόγειο (ύψος 0) και η κόκκινη σε άγνωστη θέση, έστω x, η απόσταση ανάμεσα στις δύο πλατφόρμες συμβολίζεται:... Άρα, σε οποιοδήποτε ύψος x και αν βρίσκεται η κάθε πλατφόρμα, η απόστασή της από την επιφάνεια του εδάφους είναι:... 3) Αν γνωρίζουμε ότι η γκρι πλατφόρμα βρίσκεται πάνω από την επιφάνεια του εδάφους και το ύψος της είναι x μέτρα, ποια είναι η απόστασή της από αυτή; Απ.:... 4) Αν γνωρίζουμε ότι η κόκκινη πλατφόρμα βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια του εδάφους και το ύψος της είναι x μέτρα, ποια είναι η απόστασή της από αυτή; Απ.:... (Επαληθεύστε τη σχέση που βρήκατε βάζοντας συγκεκριμένες τιμές στο x, θετικές για την γκρι και αρνητικές για την κόκκινη πλατφόρμα.)!!! Συνδυάζοντας τις απαντήσεις στα ερωτήματα 3 και 4 καθώς και τον συμβολισμό 180 της απόστασης, προκύπτει ότι x = x, όταν x... 0, και x =..., όταν x < 0. 5) Αν γνωρίζουμε ότι και οι δύο πλατφόρμες απέχουν 6m από την επιφάνεια του εδάφους, ποια είναι τα πιθανά ύψη στα οποία μπορεί να βρίσκονται και ποιοι οι δυνατοί συνδυασμοί των υψών τους; Απ.:......

6 Φύλλο εργασίας στις απόλυτες τιμές 6) Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι τα δύο ύψη είναι είτε... μεταξύ τους είτε... 7) Γενικά, κάνοντας χρήση του συμβολισμού αν x = α, τότε x =... ή x =... 8) Αν γνωρίζουμε ότι η γκρι πλατφόρμα είναι σε ύψος m και η κόκκινη σε άγνωστο ύψος, έστω x, να εκφραστεί η απόσταση της κόκκινης από την γκρι πλατφόρμα. Απ.:... ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 9) Να απαντηθεί το παραπάνω ερώτημα, αν το ύψος της γκρι πλατφόρμας είναι 1. Απ.:... 10) Αν η γκρι πλατφόρμα βρίσκεται σε ύψος 3 m, ποιες είναι οι πιθανές τιμές του x, αν γνωρίζουμε ότι η απόσταση της κόκκινης πλατφόρμας από την γκρι είναι 5 m; Απ.: ) Για ποιες τιμές του x οι αποστάσεις των ερωτημάτων 8 και 9 είναι ίσες μεταξύ τους; Απ.: (Υπόδειξη: Να λυθεί κάνοντας χρήση της σχέσης του ερωτήματος 7.) 1) Αν γνωρίζουμε ότι η γκρι πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μικρότερη από 5 m, μεταξύ ποιων υψών κινείται; Απ.:... Γενικεύοντας, ισχύει ότι, αν x < θ, με θ > 0, τότε θ... x <... 13) Αν γνωρίζουμε ότι η γκρι πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μεγαλύτερη από 7 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας; Απ.:... Γενικεύοντας, ισχύει ότι, αν x > θ, με θ > 0, τότε x... θ ή x >

7 8 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Αν οι αριθμοί α και β παριστάνονται από τα σημεία Α και Β του άξονα των πραγματικών αριθμών, ορίζουμε ως απόλυτη τιμή της διαφοράς α β το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, το οποίο λέγεται απόσταση των αριθμών α και β και συμβολίζεται με d (α, β): α β = d( α, β) Ειδικότερα, αν ως σημείο Β επιλέξουμε την αρχή Ο(0) του άξονα, έχουμε ότι d( α, O) = α 0 = α. Επομένως έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που παριστάνεται στον άξονα των πραγματικών από το σημείο Α, ονομάζεται η απόσταση του σημείου Α από το Ο(0), συμβολίζεται με α και ορίζεται από τον τύπο: 18

8 =, >0, και α =0, αν α=0, μπορούν να συμπτυ- Επειδή οι περιπτώσεις χθούν στη μορφή α α αν α α, αν α>0 α = 0, αν α=0 α, αν α <0 α = α, αν α 0, ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφεί ως εξής: α α, αν α 0 = α, αν α <0 Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι: α β, αν α> β α β = 0, αν α= β β α, αν α < β ή α β, αν α β α β = β α, αν α < β Από τον ορισμό προκύπτουν οι εξής ιδιότητες για την απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α: α 0 Η απόλυτη τιμή του α είναι μη αρνητικός αριθμός. α α Η απόλυτη τιμή του α είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση και του α και του α α αντίθετού του ( α). α = α Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α ισούται με την απόλυτη τιμή του αντίθετού του. ΣΧΟΛΙΟ Η κατανόηση των παραπάνω ιδιοτήτων διευκολύνεται αν στις παραπάνω, αυστηρά μαθηματικές, διατυπώσεις αναλογιστούμε την απόλυτη τιμή σαν απόσταση του αριθμού α από το

9 Ερωτήσεις εννοιολογικού περιεχομένου 1. Αν 5 =x, τότε ο x ισούται με: Α. 5 Β. 5 Γ. 5 ή 5 Δ. δεν μπορούμε να ξέρουμε την τιμή του x, αφού ο x είναι άγνωστος. Αν 5 = x, τότε ο x ισούται με: Α. 5 Β. 5 Γ. 5 ή 5 Δ. δεν μπορούμε να ξέρουμε την τιμή του x, αφού ο x είναι άγνωστος 3. Αν x = α, τότε για τον α μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι: Α. θετικός αριθμός Β. ομόσημος του x Γ. μη αρνητικός αριθμός Δ. οποιοσδήποτε αριθμός 4. Αν x = α, τότε για τον x μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι: Α. θετικός αριθμός Β. ομόσημος του α Γ. μη αρνητικός αριθμός Δ. οποιοσδήποτε αριθμός 5. Αν x = α, τότε για τον x μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι: Α. θετικός αριθμός Β. ομόσημος του α Γ. μη αρνητικός αριθμός Δ. οποιοσδήποτε αριθμός 6. Αν x = α, τότε για τον x μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι: Α. αρνητικός αριθμός Β. μικρότερος ή ίσος του μηδενός Γ. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός Δ. θετικός, αφού είναι μέσα σε απόλυτο 7. Αν x = α, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: Α. ο α είναι αρνητικός αριθμός Β. α 0 Γ. α 0 Δ. ο α είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 8. Αν α = α, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: Α. ο α είναι αρνητικός αριθμός Β. α 0 Γ. α 0 Δ. ο α είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 184

10 9. Nα επιλέξετε σε κάθε περίπτωση ποια από τις σχέσεις x = x ή x = x θα χρησιμοποιήσετε και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα βρίσκοντας την x : x 3,1,3 5 1,9 4,4 x x, αν x 0 Θυμηθείτε ότι x = x και x =. αν x, x <0 α, αν α Σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής α = α, αν α. <0 «Αν για έναν αριθμό α γνωρίζουμε ότι α + α = 0, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής, α < 0». Είναι σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός; 11. Έστω α <0. Τότε από τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε α = α. Επίσης α >0, δηλαδή η απόλυτη τιμή του α είναι θετικός αριθμός. α ( α) <0 ΑΦΟΥ ( + )( ) = Άρα έχουμε: 1 α ( 1) α ( α) 0 α ( α) <0 = < α<0 == α>0 α α Μπορείτε να εντοπίσετε πού είναι το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό; Συνηθισμένα λάθη Όταν μας δίνεται η α, συμπεραίνουμε ότι ο α είναι θετικός αριθμός. Λάθος. Ο α μπορεί να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός αριθμός είτε και μηδέν. Αυτό που ξέρουμε είναι ότι η απόλυτη τιμή είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. α+ β = α + β Λάθος. Η ισότητα αυτή δεν ισχύει πάντα, π.χ. για α = 5 και β = : 5 = 3 =3, ενώ 5+ =5+=7. α = α Λάθος. Ο α δεν είναι πάντα θετικός αριθμός, π.χ. για α = 3 ισχύει 3 ( ) =3=

11 α, α 0 α = α, α <0 α 0 α α α α και α α = α Ιδιότητες απολύτων Βασική Ιδιότητα Βασική Ιδιότητα Βασική Ιδιότητα Βασική Ιδιότητα = α (Ι.1) α β = α β (Ι.) α β α =, για β 0 (Ι.3) β α α α (Ι.4) α β α+ β α + β (Ι.5) Αν θ > 0, τότε x = θ x = θ ή x = θ Αν α, τότε x = α x = α ή x = α Αν θ > 0, τότε x < θ θ < x < θ Αν x 0 και ρ > 0, τότε x x 0 < ρ x 0 ρ < x < x 0 + ρ Αν θ > 0, τότε x > θ x > θ ή x < θ Αν x 0 και ρ > 0, τότε x x 0 > ρ x < x 0 ρ ή x > x 0 + ρ (Ι.6) (Ι.7) (Ι.8) (Ι.9) 186

12 Μ.1 Απαλοιφή απολύτων με χρήση του ορισμού ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 Η απαλοιφή απολύτων πραγματοποιείται κάνοντας χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής ( α = α, αν α 0, ή α = α, αν α < 0) και άρα πρέπει να γνωρίζουμε τα πρόσημα των παραστάσεων που βρίσκονται μέσα στο απόλυτο: [Μ.1.1] Aν η παράσταση δεν περιέχει μεταβλητές, βρίσκουμε το πρόσημο των παραστάσεων μέσα στα απόλυτα με τη βοήθεια της ισοδυναμίας: α > β α β > 0. [M.1.] Aν η παράσταση περιέχει μεν μεταβλητές αλλά δε μας δίνεται κάποια συνθήκη γι' αυτές, τότε το πρόσημο των παραστάσεων είτε θα είναι προφανές (άθροισμα θετικών αριθμών, π.χ. x + 4, ή άθροισμα αρνητικών αριθμών, π.χ. x 5), είτε θα προκύπτει μετά από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, π.χ. x + x 1 = (x x + 1) = (x 1), είτε θα βρίσκεται με τη βοήθεια της ιδιότητας α α και α α. [M.1.3] Aν η παράσταση περιέχει μεταβλητές αλλά μας δίνεται συνθήκη για τις μεταβλητές αυτές, τότε, κάνοντας χρήση της συνθήκης αυτής και της ισοδυναμίας α > β α β > 0, βρίσκουμε τα πρόσημα των παραστάσεων μέσα στα απόλυτα. [M.1.4] Αν η παράσταση περιέχει μεταβλητές, χωρίς όμως να δίνεται συνθήκη γι αυτές και το πρόσημο των παραστάσεων μέσα στις απόλυτες τιμές δεν είναι προφανές και δεν μπορεί να προκύψει με μετασχηματισμούς, τότε κάνουμε χρήση του ορισμού ή του πίνακα προσήμων. Εν συνεχεία, αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο είναι θετική, απλά βγάζουμε το απόλυτο βάζοντας παρένθεση στη θέση του ( α = α), ενώ, αν η παράσταση είναι αρνητική, τότε βάζουμε πάλι παρένθεση στη θέση του απολύτου και είτε γράφουμε τον αντίθετο της παράστασης μέσα στην παρένθεση είτε αφήνουμε την παράσταση ως έχει και αλλάζουμε το πρόσημο που υπάρχει μπροστά από την παρένθεση ( α = α, αν α < 0). Η περίπτωση που η τιμή της παράστασης του απολύτου ισούται με 0 είναι τετριμμένη και προφανώς τη θέση της απόλυτης τιμής παίρνει το

13 n Λυμένα Θέματα 8.1 Να γραφούν οι παρακάτω παραστάσεις χωρίς τα απόλυτα: α. Α = 5 π 3 + π Λύση β. B = x x 4x+ 4 x x x 1x+ 19 5x [M.1.1] α. Βρίσκουμε το πρόσημο των ποσοτήτων που είναι μέσα σε απόλυτα: 5 > 5 > 5 >0, άρα 5 = 5 π >3 π 3>0, άρα π 3 = π 3 π > 5, αφού π >3= 9 > 5 π 5 >0, άρα π 5 = π 5 1< 1< 1<, άρα 1 = ( 1 ) = 1+ = 1 Άρα: Α= 5 π 3 + π ( π ) ( π ) ( ) A = A = 5 π+3+ π 5+ 1 A = π π+3 1 A = [M.1.] β. Για κάθε x ισχύει: +3 x 0 = x +3 3 x +3>0, άρα x +3 = x +3 x 4 x+4= x x + = ( x ) 0, άρα x 4 x +4 = x 4x + 4 x x x x x x x 0, άρα x x = x+ x x x x x ( x x ) = ( x x 3+3 ) +1=( x 3 ) +1>0, = = = άρα x 1 x+9 = (x 3)

14 Άρα: B = x +3 + x 4 x+4 x x x 1 x+19 5x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B = x +3+ x x+ x x 3 1 5x B = x +3+ x + x x x 3 1 5x B = x x + x x x 1 5x B = x x 3 4 x+ ( ) ( ) ( ) ( ) B = x x 3 x + x 3 4 x+ B =( x x+3)( x + x 3) 4 x+ B =( x 5) 4 x+ B =4x 10 4 x+ B = 8 ΣΧΟΛΙΟ Αν A = 0, τότε Α = 0 = 0. Αν A < 0, τότε Α = Α. Η τελευταία ισότητα επαληθεύεται και για Α =0. Άρα, για πρακτικούς λόγους, μπορούμε να γράψουμε κατευθείαν: Α 0 Α = Α 8. Αν 1< α <, να απλοποιηθεί η παράσταση: Γ = α+ 1 + α + α 3 + α Λύση [M.1.3] +1 1< α< = 0< α+1<3 α+1>0, άρα α+1 = α+1 + ( ) 1< α< == 3< α <0 α <0, άρα α = ( α ) = α+ + 3 ( ) 1< α< == 4< α 3< 1 α 3<0, άρα α 3 = α+3 Άρα: Γ = α+1 + α + α 3 + α Γ = α+1+ ( α+ ) + ( α+3 ) + α Γ = α+1 α+ α+3+ α Γ =6 189

15 8.3 Να γραφεί η παρακάτω παράσταση χωρίς το απόλυτο: Κ = x 1 + Λύση [Μ.1.4] Ισχύει x 1 0 x 1(και x 1< 0 x <1). Δηλαδή: αν x 1, είναι x 1 0, άρα x 1 = x 1 και Κ = x 1+ K = x+1. αν x <1, είναι x 1< 0, άρα x 1 = ( x 1) x 1 = x+1 και Κ = x+1+ K = x+3. Συνοπτικά γράφουμε: x+1, αν x 1 K = x +3, αν x <1 8.4 Να απλοποιηθεί η παράσταση: Λύση Λ = x+ 3 + x [Μ.1.4] Βρίσκουμε το πρόσημο των παραστάσεων μέσα στo απόλυτo με τη βοήθεια του πίνακα προσήμων: x +3 0 x 3 x 0 x Αυτό σημαίνει ότι: +3<0, άρα +3 = 3 Αν x (, 3 ), τότε x x x x <0, άρα x = x +. Άρα Λ = x 3 x+= x 1. x+3 0, άρα x+3 = x+3 x <0, άρα x = x. + Άρα Λ = x+3 x+=5. Αν x 3, [, ) τότε 190

16 x+3>0, άρα x+3 = x+3 Αν x +, [, ) τότε x 0, άρα x = x. Άρα Λ = x+3+ x = x+1. Συνοπτικά γράφουμε: x 1, αν x (, 3) Λ = 5, αν x [ 3, ) x +1, αν x [, + ) Παρατήρηση Στο παραπάνω λυμένο θέμα, τα άκρα των διαστημάτων επιλέχθηκαν έτσι ώστε α, α 0 να είμαστε συνεπείς με τον ορισμό α =. Σε όποιο διάστημα όμως και α, α <0 να επιλέξουμε να συμπεριλάβουμε την κάθε ρίζα, το αποτελέσμα δε θα αλλάξει. Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 8.5 Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: α. Α= π + π 3 β. Β = 1 π π γ. Γ =4 π + π 4 δ. Δ=3 π + π 3 ε. Ε =9 π +1+ π +4 π στ. Ζ =π 8 1+ π 4 ζ. Η =π 18+ π 1+4π η. Θ =3π 7+ + θ. Ι =1 3+ π 4+ 3 π 8.6 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α. Α = x x β. 4 4 B = x + x + 1 x γ. Γ = x 6 x+9 + x + x+1 δ. Δ = x +6 x +9 + x +7 x + ε. E = x x +1 x +4 x +4 στ. Z = x +4 x+4 + x x+1 x +4 ζ. H = x +1 x +1 η. Θ =3 x + x +5 x θ. I = x + 3 x 8.7 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α. Α= x + π + π 4 x 3 1 β. Β = x + + x + x+ 4 x + x + x + π + π 4 γ. Γ = x +3 x +1 x δ. Δ = x 4 x+4 x x+1 3 x 191

17 ε. Ε = x 4 x+5 + x +4 x+5 x +3 στ. Ζ = x x+ x x Αν x < 4, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α. Α = x+3 +7 x+ x 6 x+9 x β. Β = x+ + ( x 4 )( x+4) x 8.9 Αν ισχύει 3 < x < 4, να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α. Α = 7 4 x β. Β = x+3 x+8 γ. Γ = x 5 + x+8 7 δ. Δ = 4 x x Αν 3 < λ <5, να αποδείξετε ότι η παράσταση Α=3λ 5+ λ+3+ λ+4 είναι ανεξάρτητη του λ Αν < λ <8, να αποδείξετε ότι η παράσταση Α= 3+ λ + λ+ + λ 8 είναι ανεξάρτητη του λ. 8.1 Αν < λ <0, να αποδείξετε ότι η παράσταση: Α= λ+ 3 + λ + λ+ 5 + λ +1 3 λ είναι ανεξάρτητη του λ Να αποδείξετε ότι η παράσταση: Α=3λ +3+ λ + λ λ 1 3λ 6 είναι ανεξάρτητη του λ Αν 3 α 0, να δείξετε ότι η παράσταση: Α= α α+1+ α+4 + α + α 3 α+5 είναι ανεξάρτητη του α Αν α <1< β, να αποδείξετε ότι: α. 1 α + 1 β = α β β. α + β α β = 8.16 Αν x << y, να αποδείξετε ότι: α. y +x 4= y x +4 x β. y + x = y x + y γ. y x+1 + x y 3 =3 y x Αν y <0< x <1, να αποδείξετε ότι: α. x + y = x y β. x y + 1 x = 1 y 8.18 Αν z < w <0< x < y, να αποδείξετε ότι: α. x+ y + z+ w = x z + y w β. x y + z w = x w + y z 8.19 Αν α < και 0 < β <, να αποδείξετε ότι: α. β α+ + α + β = 4 β. α+ β = α β 8.0 Αν y >1και 1< x <0, να αποδείξετε ότι: α. x + x+1 + y 1 + y = y β. x y + x+ y = y γ. x + x+1 + y 1 + y = x y + x+ y 8.1 Αν Α= λ + λ λ+1 λ+1, να αποδείξετε ότι Α 0. Για ποιες τιμές του λ ισχύει Α = 0; 8. Αν: Β = λ 6 λ+9 1+ λ 3 λ 4 λ+5 να αποδείξετε ότι Β 0. Για ποιες τιμές του λ ισχύει Β = 0; 19

18 8.3 Έστω 1< x <1, 1< y <και x x+1 x + x+1 Α =, x 1 x +1 ( y 4 y+4) Β =. y α. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α. β. Να απλοποιήσετε την παράσταση Β. γ. Αν επιπλέον A + B <0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Γ = x+ y 3 + x+ y 8.4 Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής, για τις διάφορες τιμές του x, τις παρακάτω παραστάσεις: α. Α = x 3 + β. B = x x 8.5 Δίνεται η παράσταση: Κ = λ+ + λ 3 α. Να απλοποιηθεί η παράσταση Κ. β. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε K = Δίνονται οι παραστάσεις: Α = x+ y x y+1 Β = Α 1 + Α+1 με 0 x 1και < y <3. α. Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του y. β. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή του Α και για ποια x η Α παίρνει αυτές τις τιμές; γ. Να απoδείξετε ότι η παράσταση Β είναι ανεξάρτητη του x. 8.8 Δίνονται οι παραστάσεις: x 1 + x +1 Α = x x + x 1 Β = +1 x x 1 για x. α. Να αποδείξετε ότι Α =. β. Να αποδείξετε ότι Β = x. γ. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του Β και για ποιον x παίρνει αυτή την τιμή; 8.6 Δίνονται οι παραστάσεις: K = y 3 + y+ και Λ = y 4 + y 8 για y R. α. Να γραφτούν οι Κ και Λ χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. β. Να βρεθεί η παράσταση Μ = Κ + Λ. 8.9 Δίνονται οι παραστάσεις: 3 Α= λ +1 + λ λ 1 και Β = λλ 1 λ+ για 1 λ 1. α. Να γράψετε τις Α και Β χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. β. Να αποδείξετε ότι Α B = AB. 193

19 8.137 Αν d ( 4 x, x+1 ) = d( x 1, 3 ), να αποδείξετε ότι η απόσταση του x από το 1 είναι ίση με Να λυθούν οι ανισώσεις: α. d ( x, 4 ) < β. d ( x, 4 ) >6 γ. d ( 3, x) 10 δ. d ( 4, 3x) 11 ε. d ( x, 3 ) > d( x, 5) στ. d ( x, 3 ) < d( x, 7) ζ. d ( x, 1) d( x, 3) d( x, 1) d( x, ) η. 1 θ. 1> 0 d( x, 7) d( x, 4) ι. 1 < d( x, 3 ) < 4 ια. d( x, 4 ) <6 ιβ. 3 < d( 3x, 1) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει d ( α, β) > d ( β, α), να αποδείξετε ότι α < β Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ. α. Να δείξετε ότι: d ( α, β) d( α, γ) + d( γ, β) β. Αν, επιπλέον, η απόσταση των αριθμών α και β είναι 3 και η απόσταση των α και γ είναι, ποια είναι η ελάχιστη απόσταση που μπορεί να έχουν οι β και γ; Στον άξονα των πραγματικών αριθμών xx τα σημεία Α και Β αντιστοιχούν στους αριθμούς 1 και 3. Να βρεθούν οι αριθμοί x που αντιστοιχούν στα σημεία Μ του άξονα με την ιδιότητα ( ΜΑ ). ( ΜΒ ) = 8.14 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως φαίνεται στις πρώτες γραμμές του: Απόλυτη τιμή Απόσταση Διάστημα x 3 d ( x, ) 3 [ 1, 5] x + <3 d ( x, ) < 3 ( 5, 1) x +3 4 d ( x, 3) 4 (, 7] [ 1, + ) x 6 3 x <1 x 4 >3 d ( x, ) > d ( x, 3) d ( x, 1 ) <8 d ( x, 1 ) >0 ( 4, 4) (, 1] [ 3, + ) [ 08, ] Γενικές Ασκήσεις Να απλοποιηθεί η παράσταση: x+ x 3 Α = + x+4 3x 9 για x {, 3} Να διατάξετε από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη τις παρακάτω ποσότητες: x, x, x, x + 1, x, x 45

20 8.145 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: x 4 > και x 1 <1 Στη συνέχεια, να γραφεί χωρίς απόλυτα η παράσταση Β = ( 4 x)( x 3 ), αν ο πραγματικός αριθμός x είναι κοινή λύση των παραπάνω ανισώσεων Να απλοποιηθεί η παράσταση 3 Γ =7x x x+7 για εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες x x 1 και x 4 > Να λυθεί η εξίσωση: x+4 + x +4 x+4 + ( x+)( x 3 ) + + x+ x + x+7 =0 ( )( ) Αν η εξίσωση x 1 = λ, όπου λ, έχει δύο ετερόσημες λύσεις, τότε να δείξετε ότι λ 1+. (, ) Να βρεθούν τα x και y σε κάθε περίπτωση για τα οποία ισχύει ότι: α. x + x y =0 β. xy = x γ. xy = x Δίνεται η παράσταση: x y z A = + + x y z * όπου x, y, z. Να δείξετε ότι: α. Αν xyz >0, τότε 1 Α 3. β. Αν xyz <0, τότε 3 Α 1. γ. Αν x+ y+ z =0, τότε 1 Α 1. δ. Ισχύει το αντίστροφο του ερωτήματος (γ); Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x, y για τους οποίους: y 10 y+ 5 + x y+ 7 = Να απλοποιηθεί η παράσταση: Α= α α για 1< α < Αν α πραγματικός αριθμός, να δείξετε ότι: α +4 α+5 3= α α +6α Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες αληθεύει η παρακάτω ανίσωση: x x Έστω α, β. Να βρεθεί το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές ο πραγματικός αριθμός x, αν ισχύει: β α > β x α x Για ποιες τιμές των α και β ισχύει η ισότητα α+ β = α + β ; Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών α και β για τους οποίους: α. α β = α+ β β. α β = α + β γ. Γνωρίζοντας ότι οι αριθμοί x, y είναι ετερόσημοι και κάνοντας χρήση των (α) και x y x y (β), να δείξετε ότι + =. x+ y x + y Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α, β. α. Να αποδείξετε ότι α β α + β. β. Πότε (για ποιες τιμές των α και β) ισχύει η ισότητα; 46

21 γ. Αν γνωρίζετε ότι αβ >0 και βγ <0, να δείξετε ότι: α β α γ =0 α β α + γ Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α και β. Αν γνωρίζετε ότι αβ <0 και α+ β α β + α β ( α + β ) =50, να αποδείξετε ότι υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών α, β και Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α. ( 5 x ) = ( x 1) 0101 β. ( 5 x ) = ( x 1) ν γ. ( 5 x ) = ( x 1 ) ν για τις διάφορες τιμές * του ν Να απλοποιηθεί η παράσταση: x + x x + x K = 7 3 x + x x Έστω x, y και x 1, y 1. Για τις διάφορες τιμές των x, y να απλοποιηθεί η x 1 y 1 παράσταση Α = + x 1 y Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ δίνεται η σχέση β < α < γ. Να δείξετε ότι α < ( αγ β ) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x, y και z. Αν ισχύει η σχέση 3 z < x <4 y, 1 να αποδείξετε ότι 3z 4 y < x. 3 * Αν για τους α, β ισχύει η σχέση =, να δείξετε ότι: α β 1+ α 1+ β α. α, β ομόσημοι β. α = β Αν αβ+ βα =, να αποδείξετε ότι α, β αντίστροφοι πραγματικοί αριθμοί Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α, β, γ, δ. α β γ Αν ισχύει = = = λ, να δείξετε ότι β γ δ α δ 3 β γ Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α. x = λ +1 β. x 3 x+1 =1 γ. x 9 + x 3 x =0 δ. x 7 x+11 =1 ε. x+ x 4 = 3x Αν x <, να λυθεί η εξίσωση: x +4 + x x 5 = Αν x < 3, να λυθεί η εξίσωση: x 3 4 x + x 6 = Να αποδείξετε ότι: α β = α + β αβ α. ( ) β. 9 x +1 6 x α+3 β +8 α β α + β = 3 α+ β γ. ( )( ) δ. Αν x+3 = x +3, τότε x 0. ε. Αν α β = α+ β, τότε α, β ετερόσημοι. στ. Αν 3 α+ β = 3 α + β, τότε α, β ομόσημοι. 47

22 4ο Κριτήριο Αξιολόγησης Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Προτεινόμενη διάρκεια: 1 διδακτική ώρα Θέμα Α 1. i. Να διατυπώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α. Πώς εκφράζεται η απόσταση δύο πραγματικών αριθμών α και β μέσω της απόλυτης τιμής; ii. Τι ονομάζουμε κέντρο και τι ακτίνα του διαστήματος ( α, β ), όπου α και β πραγματικοί αριθμοί;. i. Να αποδείξετε ότι για α, β R ισχύει α+ β α + β. ii. Πότε ισχύει η ισότητα στη σχέση που αποδείξατε στο (i); 3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: i. α = α για κάθε α R. ii. Για α, β R ισχύει η ισοδυναμία αβ = αβ α, β ομόσημοι. iii. Για x, y R ισχύει d( x, y) = x y. iv. x + y + z =0 x = y = z =0. Θέμα Β Δίνεται η παράσταση Κ = x +1 +, όπου x R. 1. Να γράψετε την παράσταση Κ χωρίς απόλυτο.. Να βρείτε την τιμή του Κ, αν η απόσταση του x από το είναι ίση με 4. Θέμα Γ β R ισχύει η σχέση ( ) * Για τους α και α β = α + β. 1. Να αποδείξετε ότι οι α και β είναι ετερόσημοι. α β α β. Αν επιπλέον + + =1, να αποδείξετε ότι ο α είναι θετικός και ο β α β α β αρνητικός αριθμός. 50

23 4ο Κριτήριο Αξιολόγησης Θέμα Δ Δίνονται οι ακόλουθες παραστάσεις: Α = x 4+ x +4 x+4 x + x+3, x R 1 B = x+3 3, x R 1. Να αποδείξετε ότι Α =.. Να βρείτε τις τιμές του x, ώστε Α Β Α, και να εκφράσετε το αποτέλεσμα γεωμετρικά. 51

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ 5 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αχ +βχ+γ βρίκουμε την διακρίνουσα Δ=β - 4αγ και αν: Δ>0,το τριώνυμο έχει δυο ρίζες χ 1,χ και το προσημό

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( ) 5 6 ii) f ( ) 7 iii) iv) f( ) 4 f( ) 8 v) f ( ) 6 vi) f ( ) 0 5. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα