Πεπερασμένες Διαφορές.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πεπερασμένες Διαφορές."

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x 0, ορίζεται ως f (x 0 )=lim 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό μπορούμε να προσεγγίσουμε την τιμή της f (x 0 ) από το λόγο f (x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ), για μικρές τιμές του >0. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να προσεγγίσουμε την f (x 0 ) από το λόγο f (x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ) = f(x 0) f(x 0 ), για μικρές τιμές του >0. Θα καλούμε τον πρώτο λόγο εμπρός διαφορά και το δεύτερο λόγο, οπισθοδρομική διαφορά και θα θεωρήσουμε τον ακόλουθο συμβολισμό. δ + f(x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ), > 0 δ f(x 0) f(x 0) f(x 0 ), > 0 (1.1) 1

2 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ Γεωμετρική ερμηνεία Επειδή η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x 0, είναι η κλίση της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο (x 0,f(x 0 )) του γραφήματος της f, μπορούμε γεωμετρικά να την προσεγγίσουμε με την κλίση του ευθύγραμμου τμήματος που τέμνει τα σημεία (x 0,f(x 0 )), και (x 0 +, f(x 0 +)), βλέπε το γράφημα Παρόμοια ισχύουν και για την κλίση του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία (x 0, f(x 0 )), και (x 0,f(x 0 )), βλέπετο γράφημα κλίση f(x0 + ) f(x0) κλίση f (x 0) x 0 x 0 + Σχήμα 1.1: Γεωμετρική ερμηνεία της δ + f(x 0) Ενας άλλος τρόπος προσέγγισης της παραγώγου f (x 0 ) είναι η κεντρική διαφορά, η οποία ορίζεται από τό λόγο, f (x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ), 2 για μικρές τιμές του >0 και θα συμβολίζουμε δ c f(x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ), > 0 (1.2) 2 Μια φυσική ερώτηση που δημουργείτε είναι `πόσο καλές είναι αυτές οι προσεγγίσεις για την εκτίμηση της παραγώγου. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(x) =ln(x) και x 0 =1.1. Στο πίνακα 1.1, δίνουμε τις τιμές των παραπάνω προσεγγίσεων για την f (1.1) = 1/

3 1.1. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ. 3 κλίση f (x 0) κλίση f(x0) f(x0 ) x 0 x 0 Σχήμα 1.2: Γεωμετρική ερμηνεία της δ f(x 0) δ + f(1.1) δ f(1.1) δc f(1.1) Πίνακας 1.1: Πίνακας με τιμές των προσεγγίσεων της f (1.1) = 1/1.1 Λήμμα 1.1. Εστω f[a, b] R, f C 2 [a, b], x 0 (a, b) και >0, τότε ισχύουν τα ακόλουθα φράγματα: Αν επιπλέον f C 3 [a, b], τότε δ + f(x 0) f (x 0 ) 2 max x [a,b] f (x), δ f(x 0) f (x 0 ) 2 max x [a,b] f (x). (1.3) δ c f(x 0) f (x 0 ) 2 6 max x [a,b] f (x). (1.4) Απόδειξη. Αναπτύσοντας κατά Taylor έχουμε f(x 0 + ) =f(x 0 )+f (x 0 )+ 2 2 f (ξ 1 ), ξ 1 (x 0,x 0 + ), > 0. (1.5)

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ κλίση f (x 0) κλίση f(x0 + ) f(x0 ) 2 x 0 x 0 x 0 + Σχήμα 1.3: Γεωμετρική ερμηνεία της δ c f(x 0) Επίσης, f(x 0 ) =f(x 0 ) f (x 0 )+ 2 2 f (ξ 2 ), ξ 2 (x 0, x 0 ), > 0. (1.6) Από τις σχέσεις (1.5) και (1.6) εύκολα προκύπτει η ζητούμενη σχέση (1.3). Αν τώρα η f C 3 [a, b], μπορούμε να αναπτύξουμε και πάλι κατά Taylor και να πάρουμε τις παρακάτω δύο σχέσεις. f(x 0 + ) =f(x 0 )+f (x 0 )+ 2 2 f (x 0 )+ 3 6 f (ζ 1 ), ζ 1 (x 0,x 0 + ), f(x 0 ) =f(x 0 ) f (x 0 )+ 2 2 f (x 0 ) 3 6 f (ζ 2 ), ζ 2 (x 0, x 0 ), με >0. Αφαιρώντας τώρα κατά μέλη τις 2 σχέσεις της (1.7) έχουμε f(x 0 + ) f(x 0 ) =2f (x 0 )+ 3 6 (f (ζ 1 )+f (ζ 2 )), από όπου εύκολα προκύπτει η ζητούμενη σχέση (1.4). (1.7) Παρατήρηση: Από το Λήμμα 1.1, φαίνεται ότι το σφάλμα της προσέγγισης δ c f(x 0) είναι μικρότερο από τα αντίστοιχα των προσεγγίσεων δ + f(x 0) και

5 1.1. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ. 5 δ f(x 0), για <1 και εξηγεί γιατί στον Πίνακα 1.1 η δ c f(1.1) προσεγγίζει καλύτερα την f (1.1) από τις δ + f(1.1) και δ f(1.1). Η συμμετρία που υπάρχει στον ορισμό της προσέγγισης δ c f(x 0) είναι ο λόγος γιατί το σφάλμα (1.4) είναι μικρότερο από αυτών των δ + f(1.1) και δ f(1.1). Αυτό φαίνεται στην (1.7), όπου οι όροι 2 2 f (x 0 ) αλληλοαναιρούνται αφαιρώντας τις δύο σχέσεις Δεύτερη παράγωγος. Από τον ορισμό της δεύτερης παράγωγου μιας συνάρτησης f στο x 0 έχουμε f f (x 0 + ) f (x 0 ) (x 0 )=lim. 0 Οπότε, μπορούμε να την προσεγγίσουμε χρησιμοποιώντας μία από τις προσεγγίσεις δ + f (x 0 ), δ f (x 0 ) ή δ c f (x 0 ). Αν όμως θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τιμές της f, θα πρέπει να αντικαταστήσουμε την f (x 0 ) με κάποια προσέγγιση της. Ετσι ένας τρόπος είναι f (x 0 ) δ + f (x 0 )= f (x 0 + ) f (x 0 ) =δ + δ f(x 0). δ f(x 0 + ) δ f(x 0) Από τον ορισμό των δ + και δ προκύπτει ότι δ + δ f(x 0)= 1 (f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0) f(x 0 ) ) = f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2. Ακολουθώντας παρόμοιο τρόπο μπορούμε να προσεγγίσουμε την f (x 0 ) ως f (x 0 ) δ f (x 0 )= f (x 0 ) f (x 0 ) =δ δ+ f(x 0). δ+ f(x 0 + ) δ + f(x 0) Από όπου προκύπτει δ δ+ f(x 0)= 1 (f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0) f(x 0 ) ) = f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2.

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ δ,2 c f(1.1) Πίνακας 1.2: Πίνακας με τιμές των προσεγγίσεων της f (1.1) = 1/(1.1) Επίσης από τον ορισμό της δ c έχουμε δ c /2 δc /2 f(x 0)= δc /2 f(x 0 + /2) δ c /2 f(x 0 /2) = 1 (f(x ) f(x ) = f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2. Συμβολίζουμε λοιπόν f(x ) f(x ) ) δ c,2 f(x 0) f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2, (1.8) και αυτός ο λόγος θα αποτελεί προσέγγιση της f (x 0 ).Οπότεσύμφωναμετα παραπάνω θα έχουμε ότι δ c,2 f(x 0)=δ + δ f(x 0)=δ δ+ f(x 0)=δ c /2 δc /2 f(x 0). Στο πίνακα 1.2, δίνουμε τιμές για παραπάνω προσεγγίσης για τη συνάρτηση f(x) =ln(x) και x 0 =1.1, όπουf (1.1) = 1/(1.1) Λήμμα 1.2. Εστω f[a, b] R, f C 4 [a, b], x 0 (a, b) και >0, τότε ισχύει το ακόλουθο φράγμα: δ c,2 f(x 0) f (x 0 ) 2 12 max x [a,b] f (4) (x). (1.9) Απόδειξη. Αν τώρα η f C 4 [a, b], μπορούμε να αναπτύξουμε και πάλι κατά Taylor και να πάρουμε τις παρακάτω δύο σχέσεις. f(x 0 + ) =f(x 0 )+f (x 0 )+ 2 2 f (x 0 )+ 3 6 f (x 0 ) f (4) (ζ 1 ), f(x 0 ) =f(x 0 ) f (x 0 )+ 2 2 f (x 0 ) 3 6 f (x 0 ) f (4) (ζ 2 ), (1.10)

7 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ. 7 με ζ 1 (x 0,x 0 + ), ζ 2 (x 0, x 0 ) και >0. Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 σχέσεις της (1.10) έχουμε f(x 0 + )+f(x 0 ) =2f(x 0 )+ 2 f (x 0 ) (f (4) (ζ 1 )+f (4) (ζ 2 )). Συνεπώς από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής έχουμε f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2 από όπου εύκολα προκύπτει η ζητούμενη σχέση (1.9). 1.2 Το πρόβλημα 2 σημείων. = f (x 0 ) f (4) (ξ), ξ (ζ 2,ζ1), (1.11) Θεωρούμε το πρόβλημα δύο σημείων για μια συνήθη διαφορική εξίσωση (Σ.Δ.Ε.) δεύτερης τάξης: Ζητείται μια συνάρτηση u C 2 [a, b], τέτοιαώστε u (x)+q(x)u(x) =f(x), x [a, b], με u(a) =u(b) =0, (1.12) όπου a, b R, q, f C[a, b] και q(x) > 0, για κάθε x [a, b]. Θα θεωρήσουμε ένα φυσικό αριθμό N και μια διαμέριση του διαστήματος [a, b] από ισαπέχοντα N +2 σημεία a = x 0 <x 1 <...<x N <x N+1 = b, όπου = x i+1 x i, i =0,...,N. Τότε σε κάθε σημείο του διαμερισμού x i, i =1,...,N,θαισχύει: u (x i )+q(x i )u(x i )=f(x i ), i =1,...,N. (1.13) Σκοπός μας είναι να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις των τιμών u(x i ) της ακριβούς λύσης του (1.12), τις οποίες θα συμβολίζουμε με U i, i =0,...,N+1. Λόγω των συνοριακών συνθήκών έχουμε ότι u(x 0 )=u(x N+1 )=0, θέτουμε λοιπόν U 0 = U N+1 =0. Οι τιμές των U i, i =1,...,N προκύπτουν με τον ακόλουθο τρόπο. Για να προσεγγίσουμε την u (x) στα σημεία x i, i =1,...,N,χρησιμοποιούμε την προσέγγιση δ,2 c που θεωρήσαμε στην (1.8), έτσι αν υποθέσουμε ότι u C 4 [a, b], λόγω της (1.11) η (1.13) γίνεται, u(x i+1) 2u(x i )+u(x i 1 ) 2 + q(x i )u(x i )=f(x i )+η i, i =1,...,N, (1.14) όπου η i = 2 12 u(4) (ξ i ), μεξ i (x i 1,x i+1 ). Για να κατασκευάσουμε λοιπόν προσεγγίσεις U i των u(x i ), i =1,...,N, θεωρούμε τις ακόλουθες εξισώσεις U i+1 2U i + U i q(x i )U i = f(x i ), i =1,...,N. (1.15)

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ Επομένως αν συμβολίσουμε με U R N, το διάνυσμα με συνιστώσες U = (U 1,...,U N ) T, το σύστημα των εξισώσεων (1.15) μπορούμε να το γράψουμε ισοδύναμα με το γραμμικό σύστημα AU = F, (1.16) όπου A είναι ο N N πίνακας 2+ 2 q(x 1 ) A = q(x 2 ) q(x N 1 ) q(x N ) και F =(f(x 1 ),...,f(x N )) T. Ενα ερώτημα που δημιουργείται είναι αν το γραμμικό σύστημα (1.36) έχει μοναδική λύση, το οποίο είναι ισοδύναμο μετο αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος. Οπως εύκολα μπορούμε να παρατηρήσουμε ο πίνακας A είναι τριδιαγώνιος, δηλαδή τα στοιχεία a ij =0αν i j > 1 και έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο αν q(x) > 0 για x [a, b]. Οπωςθαδούμε παρακάτω, υπάρχουν εύκολα υλοποιήσιμοι αλγόριθμοι για την ανάλυση LU ενός αντιστρέψιμου τριδιαγώνιου πίνακα Επίλυση τριδιαγώνιου γραμμικού συστήματος Εστω ότι θέλουμε να λύσουμε το γραμμικό σύστημα Ay = z, δηλαδή να βρούμε το y R N,όπουA είναι ένας N N τριδιαγώνιος πίνακας με στοιχεία a 1 b 1 0 c 2 a 2 b 2 A = , (1.17) 0 c N 1 a N 1 b N 1 c N a N και z R N ένα δοσμένο διάνυσμα. Για τα στοιχεία του πίνακα A, θα κάνουμε τις ακόλουθες υποθέσεις a 1 > b 1, a k b k + c k, k =2,...,N 1, a N > c N. (1.18) Για να λύσουμε το γραμμικό σύστημα Ay = b μπορούμε να εφαρμόσουμε διάφορους αλγόριθμους όπως είναι η απαλοιφή Gauss. Στηνπερίπτωσηόμως του πίνακα A, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε έναν αλγόριθμο που να εφαρμοστεί ειδικά για τριδιαγώνιους πίνακες, όπως ο ακόλουθος:

9 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ. 9 Ο πίνακας A μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο πινάκων LU που έχουν τη μορφή L = 1 e 1,U= 1 e , (1.19) 0 c N d N 1 d 1 c 2 d δηλαδή έχουν μη μηδενικά στοιχεία στη διαγώνιο και ο L στην πρώτη υποδιαγώνιο και ο U στην πρώτη υπερδιαγώνιο. Είναι απλό να δούμε ότι οι αριθμοί d 1,...,d N και e 1,...,e N 1 προκύπτουν με τον ακόλουθο αλγόριθμο, d 1 = a 1,e 1 = b 1 /d 1 για k =2, 3,...,N 1 d k = a k c k e k 1 e k = b k /d k τέλος για d N = a k c N e N 1. (1.20) Η υπάρξη των πινάκων L και U, και η ολοκλήρωση του αλγορίθμου (1.20) αποδεικνύεται στο ακόλουθο λήμμα. Λήμμα 1.3. Εστω A ένας τριδιαγώνιος πίνακας της μορφής (1.17) τέτοιος ώστε ισχύουν οι υποθέσεις (1.18), τότε υπάρχουν πίνακες L και U και ο αλγόριθμος (1.20) είναι καλά ορισμένος και ολοκληρώνεται. Απόδειξη. Για να είναι ο αλγόριθμος (1.17) καλά ορισμένος και συνεπώς να υπάρχει η ανάλυση του Α=LU (1.19), αρκεί να ισχύει, d k 0, k =1,...,N. Από τις υποθέσεις (1.18) έχουμε ότι a 1 > b 1,οπότε e 1 < 1. Επαγωγικά μπορούμε θα δείξουμε ότι d k 0,k =1,...,N, e k < 1 Εστω ότι ισχύει d k 1 0, e k 1 < 1 για κάποιο k. Τότε d k = a k c k e k 1 a k c k e k 1 > a k c k b k > 0. Επιπλέον e k = b k / d k < 1 Εφόσον έχουμε δείξει ότι A = LU, για να λύσουμε τώρα το γραμμικό σύστημα LUy = z, λύνουμε πρώτα το Lw = z εφαρμόζοντας τον ακόλουθο

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ αλγόριθμο w 1 = z 1 /d 1 για k =2, 3,...,N 1 τέλος για w k =(z k c k w k 1 )/d k (1.21) και στη συνέχεια το διάνυσμα y προκύπτει ως λύση του γραμμικού συστήματος Uy = w y N = w N για k = N 1,N 2,...,1 τέλος για y k = w k e k y k+1 (1.22) Παράδειγμα 1: Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών u (x)+u(x) =sin(2πx), 0 <x<1, με u(0) = u(1) = 0. (1.23) Η ακριβής λύση αυτού του προβλήματος είναι η u(x) = sin(2πx) 1+4π 2. (1.24) Η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (1.15) γίνεται τώρα U i+1 2U i + U i U i =sin(2πx i ), i =1,...,N. (1.25) Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο, μπορούμε να βρούμε διακριτές λύσεις που προσεγγίζουν την ακριβή λύση, όπως φαίνεται από το γράφημα Ανάλυση της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών Θεώρημα 1.1. Εστω U R N η λύση του προβλήματος (1.15), μεu 0 = U N+1 =0. Τότε ισχύει η ακόλουθη ανισότητα, max 0 i N+1 U i max x [a,b] f(x i). (1.26)

11 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ ακριβής λύση λύση για N =2 λύση για N = Λύση x άξονας Σχήμα 1.4: Παράδειγμα 1: Ακριβής και προσεγγιστικές λύσεις Απόδειξη. Από τη σχέση (1.15), εύκολα παίρνουμε (2 + 2 q(x i ))U i = U i+1 + U i 1 + f(x i ), 1 i N. Στη συνέχεια, επειδή q συνεχής και q(x) > 0, για x [a, b], αν θέσουμε q min =min x [a,b] q(x), η παραπάνω ισότητα δίνει για κάθε i =1,...,N, Οπότε (2 + 2 q min ) U i U i+1 + U i 1 + f(x i ) 2 max U i +max 0 i N+1 x [a,b] f(x). (2 + 2 q min ) max U i 2 max U i +max 1 i N 0 i N+1 η οποία εύκολα δίνει τη ζητούμενη σχέση (1.32). x [a,b] f(x), Ευστάθεια: Μια αριθμητική μέθοδος λέγεται ευσταθής αν μικρές μεταβολές των δεδομένων οδηγούν σε μικρές μεταβολές της αριθμητικής λύσης. Στην ειδική περίπτωση που η διαφορική εξίσωση είναι γραμμική όπως είναι η (1.12), ζητούμε η αριθμητική λύση να φράσσεται με μια σταθερά επί τα δεδομένα, όπως η σχέση (1.32). Η ευστάθεια του αριθμητικού σχήματος είναι εσωτερική ιδιότητα του σχήματος, δηλαδή δεν έχει σχέση με τη συγκεκριμμένο πρόβλημα που θέλουμε να λύσουμε.

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ Από το Θεώρημα 1.1 μπορούμε να δείξουμε ότι το γραμμικό σύστημα που οδηγεί η (1.15) έχει μοναδική λύση. Αν θεωρήσουμε το αντίστοιχο ομογενές γραμμικό σύστημα, τότε από το Θεώρημα 1.1, οδηγούμαστε ότι η μοναδική λύση είναι η μηδενική λύση U i =0, i =0,...,N +1. Συνέπεια: Αν αντικαταστήσουμε στο αριθμητικό σχήμα που ικανοποιεί η προσεγγιστική λύση U, (1.15), με την ακριβή λύση u, τότε θα πάρουμε τη σχέση (1.14). Φυσικά το διάνυσμα με συνιστώσες u(x i ), i =1,...,N δεν θα ικανοποιεί τη (1.15) και θα υπάρχει ένα σφάλμα, όπως φαίνεται από τη (1.14). Αν αυτό το σφάλμα η i, τείνει στο μηδέν καθώς το τείνει στο μηδέν, όπως γίνεται στη περίπτωση του σχήματος που μελετούμε, τότε η μέθοδος λέγεται συνεπής. Θεώρημα 1.2. Εστω ότι η λύση u του προβλήματος (1.12) είναι αρκετά ομαλή, u C 4 [a, b], τότε υπάρχει μια σταθερά C, ανεξάρτητη του, τέτοια ώστε max U i u(x i ) C 2. (1.27) 0 i N+1 Απόδειξη. Θέτουμε E i = U i u(x i ), i =0,...,N+1, όπου λόγω των σχέσεων U 0 = u(a) =0και U N+1 = u(b) =0, έχουμε E 0 = E N+1 =0. Αφαιρούμε τώρα κατά μέλη τις (1.15) και (1.14), οπότε παίρνουμε E i+1 (2 + q(x i ) 2 )E i + E i 1 = 2 η i, i =1,...,N, όπου λόγω του Λήμματος 1.2, max η i 2 1 i N 12 max a x b u(4) (x). Θέτουμε στη συνέχεια Ē =max 1 i N E i, η =max 1 i N η i και επειδή q συνεχής και q(x) > 0, για x [a, b], q min =min x [a,b] q(x). Συνεπώς οπότε Από όπου προκύπτει η οποία δίνει τη ζητούμενη ανισότητα (2 + q(x i ) 2 )E i = E i+1 + E i η i, (2 + q min 2 ) E i 2Ē + 2 η. q min 2 max E i 2 η 1 i N max E i η C 2 1 i N

13 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ Συνοριακές Συνθήκες Neumann Θεωρούμε τώρα το πρόβλημα δύο σημείων (1.12), με διαφορετικές συνοριακές συνθήκες, δηλαδή το εξής: u (x)+q(x)u(x) =f(x), x [a, b], με u (a) =u (b) =0, (1.28) όπου a, b R, q, f C[a, b] και q(x) > 0, για κάθε x [a, b]. Σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να ισχύει ότι q>0 στο [a, b], γιατί διαφορετικά δεν έχουμε μοναδική λύση του (1.28). Πράγματι, το πρόβλημα u (x) =0, x [a, b], με u (a) =u (b) =0, (1.29) έχει ως λύση όλες τις σταθερές συναρτήσεις στο [a, b]. Θεωρούμε και πάλι ένα φυσικό αριθμό N και μια διαμέριση του διαστήματος [a, b] από ισαπέχοντα N +2 σημεία a = x 0 <x 1 <...<x N <x N+1 = b, όπου = x i+1 x i, i =0,...,N. Σκοπός μας είναι και πάλι να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις U i των τιμών u(x i ) της ακριβούς λύσης του (1.28). Ομως σε αντίθεση με προηγουμένως δεν γνωρίζουμε τις τιμές u(x 0 ) και u(x N+1 ). Ετσι τώρα θα χρειαστούμε 2 επιπλέον εξισώσεις εκτός από τις (1.15), για να υπολογίσουμε τα U i, i =0,...,N +1. Ενας τρόπος για να το κάνουμε αυτό είναι να θεωρήσουμε ότι η u επεκτείνεται άρτια αριστερά του a και δεξιά του b, δηλαδή u(a + ) =u(a ) και u(b ) =u(b + ), >0. Ο λόγος που θεωρούμε άρτια επέκταση είναι διότι αν π.χ. η u είναι άρτια γύρω από το a, τότεu (a) =lim 0 (u(a + ) u(a )/(2) =0. Επομένως η προσέγγιση της u (a), δ,2 c u(a) γίνεται δ,2 c + ) 2u(a)+u(a ) u(a + ) u(a) u(a) =u(a 2 =2 2. Συνεπώς οι δύο επιπλέον σχέσεις που συμπληρώνουν τις (1.15) εδώ είναι 2 U 1 U q(x 0 )U 0 = f(x 0 ) 2 U N U N q(x N+1 )U N+1 = f(x N+1 ) (1.30) Επομένως αν συμβολίσουμε με U R N+2, το διάνυσμα με συνιστώσες U = (U 0,...,U N+1 ) T το νέο σύστημα εξισώσεων μπορούμε να το γράψουμε ισοδύναμα AU = F, (1.31)

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ όπου A είναι ο (N +2) (N +2)πίνακας 2+ 2 q(x 0 ) A = q(x 1 ) q(x N ) q(x N+1 ) και F =(f(x 0 ),...,f(x N+1 )) T. Προκύπτει λοιπόν ένα τριδιαγώνιο γραμμικό σύστημα με αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο διότι q>0. Με όμοια επιχειρήματα όπως και στην περίπτωση του Θεωρήματος 1.1, προκύπτει Θεώρημα 1.3. Εστω U R N+2 η λύση του προβλήματος (1.28). ισχύει η ακόλουθη ανισότητα, Τότε max U i max f(x i). (1.32) 0 i N+1 x [a,b] Απόδειξη. Η απόδειξη προκύπτει με ανάλογο τρόπο όπως και αυτή του Θεωρήματος 1.1 Και σε αυτό το πρόβλημα μπορούμε να δείξουμε ότι η προσεγγιστική λύση θα συγκλίνει στην ακριβή λύση του (1.28). Θεώρημα 1.4. Εστω ότι η λύση u του προβλήματος (1.28) είναι αρκετά ομαλή, u C 4 [a, b], τότε υπάρχει μια σταθερά C, ανεξάρτητη του, τέτοια ώστε max U i u(x i ) C. (1.33) 0 i N+1 Απόδειξη. Η απόδειξη προκύπτει με ανάλογο τρόπο όπως και αυτή του Θεωρήματος 1.2 Παρατήρηση: Μπορούμε να δείξουμε μεγαλύτερη τάξη σύγκλισης (δηλαδή 2) όπως και για τη μέθοδο για το πρόβλημα με τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες, όπως χρειαζόμαστε περισσότερη αναλύση της μεθόδου που δεν θα αναπτύξουμε σε αυτές τις σημειώσεις Ενα γενικότερο πρόβλημα Θεωρούμε τώρα το πρόβλημα δύο σημείων (1.12), με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Diriclet, u (x)+p(x)u (x)+q(x)u(x) =f(x), x [a, b], με u(a) =u(b) =0, (1.34)

15 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ. 15 όπου a, b R, p, q, f C[a, b] και q(x) > 0, για κάθε x [a, b]. Σκοπός μας είναι να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις των τιμών u(x i ) της ακριβούς λύσης του (1.12), τις οποίες θα συμβολίζουμε με U i, i =0,...,N+1. Λόγω των συνοριακών συνθήκών έχουμε ότι u(x 0 )=u(x N+1 )=0, θέτουμε λοιπόν U 0 = U N+1 =0. Οι τιμές των U i, i =1,...,N προκύπτουν με τον ακόλουθο τρόπο U i+1 2U i + U i p(x i ) U i+1 U i q(x i )U i = f(x i ), i =1,...,N. (1.35) Επομένως αν συμβολίσουμε με U R N, το διάνυσμα με συνιστώσες U = (U 1,...,U N ) T το νέο σύστημα εξισώσεων μπορούμε να το γράψουμε ισοδύναμα AU = F, (1.36) όπου A R N+1 N+1 είναι ο πίνακας 2+ 2 q(x 0 ) 1+p(x 1 ) A = 1 1 p(x 2 ) q(x 1 ) 1+p(x 2 ) p(x N 1 ) q(x N 1 ) 1+p(x N 1 ) p(x N ) q(x N ) και F =(f(x 1 ),...,f(x N )) T. Προκύπτει λοιπόν ένα τριδιαγώνιο γραμμικό σύστημα. Για να έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο ο A πρέπει καθώς και 2+ 2 q(x i ) 1+p(x i ) p(x i), i =2,...,N 1, q(x 1 ) 1 p(x 1 ) 2, και 2+2 q(x N ) 1+p(x N ) 2. Για να ισχύουν οι παραπάνω αρκεί να ισχύει ότι p(x i ) 2 < 1, γιατί σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι 1+p(x i ) 2 > 0 και 1 p(x i) 2 > 0. Με όμοια επιχειρήματα όπως και στην περίπτωση του Θεωρήματος 1.1, προκύπτει Θεώρημα 1.5. Εστω U R N η λύση του προβλήματος (1.34) και επιπλέον p(x i ) 2 < 1, i =0,...,N +1. Τότε ισχύει η ακόλουθη ανισότητα, max U i max f(x i). (1.37) 0 i N+1 x [a,b] Απόδειξη. Η απόδειξη προκύπτει με ανάλογο τρόπο όπως και αυτή του Θεωρήματος 1.1

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ 1.3 Ασκήσεις Ασκήσεις για προβλήματα συνοριακών τιμών της μορφής: u (x)+p(x)u + q(x)u(x) =f(x), u(a) =c, u(b) =d. x [a, b], 1. Εστω u η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών x 2 u (x) xu (x)+4u(x) =20x 3, x [1, 2], u(1) = 0, u(2) = 0. Γράψτε το αριθμητικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιώντας κεντρικές διαφορές. Ποιός είναι ο περιορισμός για το βήμα, ώστε ο α- ντίστοιχός πίνακας που χρησιμοποιούμε για την προσέγγιση της λύσης να είναι αντιστρέψιμος; 2. Εστω u η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών u (x)+u =1, u(a) =c, u(b) =d. x [a, b], (αʹ) Εστω ότι προσεγγίζουμε τη δεύτερη παράγωγο, u (x i ),μετηκεντρική διαφορά (u(x i+1 ) 2u(x i )+u(x i 1 ))/ 2 και τη πρώτη παράγωγο, u (x i ), με τη διαφορά (u(x i ) u(x i 1 ))/. Ποιό θα είναι το διακριτό σχήμα και ποιό το σφάλμα διακριτοποίησης; (βʹ) Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή πινάκων. Για να είναι αντιστρέψιμος ο πίνακας υπάρχει περιορισμός στο βήμα ; 3. Εστω u η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών u (x)+u(x) =f(x), x [0, 1], au(0) + bu (0) = c, u(1) = 0. (αʹ) Διατυπώστε ένα διακριτό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης O( 2 ). (βʹ) Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή πινάκων. 4. Εστω u η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών u (x)+u(x) =f(x), x [0, 1], u(0) = u(1), u (0) = u (1).

17 1.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17 (αʹ) Διατυπώστε ένα διακριτό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης O( 2 ). (βʹ) Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή πινάκων. 5. (αʹ) Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Taylor δείξτε ότι u(x i+1 ) 2u(x i )+ u(x i 1 )= 2 u (x i ) u (x i )+O( 6 ) και από αυτό δείξτε ότι u(x i+1 ) 2u(x i )+u(x i 1 )= (u (x i+1 )+10u (x i )+u (x i 1 ))+ O( 6 ). (βʹ) Αν υποθέσουμε ότι η u ικανοποιεί τη Δ.Ε. u (x) =F (x, u), χρησιμοποιείστε το παραπάνω αποτέλεσμα για να καταλήξετε στη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών (U i+1 2U i + U i+1 )= 2 12 (F i+1 +10F i + F i+1 ) (γʹ) Διατυπώστε τη μέθοδο οταν F (x, u) = f(x) q(x)u. Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή πίνακα. 6. Θεωρούμε το πρόβλημα d dx (D(x) d u(x)) + u(x) =f(x), x [0, 1], dx u(0) = u(1) = 0. όπου D είναι θετική συνάρτηση. (αʹ) Γράψτε ένα πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης O( 2 ). Εκφράστε τη μέθοδο και σε μορφή πίνακα. (βʹ) Είναι αυτή η μέθοδος ευσταθής; 7. Θεωρούμε το πρόβλημα u (x)+p(x)u + q(x)u(x) =f(x), x [0, 1], u(0) = u(1) = 0. Θεωρούμε ένα μη ομοιόμορφο διαμερισμό του διαστήματος [0, 1], και συμβολίζουμε με i = x i x i 1 (αʹ) Εκφράστε με πεπερασμένες διαφορές την προσέγγιση της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου στο x i και δώστε το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης. Οι προσεγγίσεις πρέπει να είναι συνεπείς, δηλαδή αν i και i+1 πάει στο μηδέν, τότε το σφάλμα τείνει και αυτό στο μηδέν. (βʹ) Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα του προηγούμενου ερωτήματος για να διατύπώστε ένα σχήμα πεπερασμένων διαφορών για την παραπάνω διαφορική εξίσωση.

Πεπερασμένες διαφορές

Πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Κεφάλαιο 5 Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή παραβολική εξίσωση, την εξίσωση της θερμότητας, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο. Θα κατασκευάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση μεταφοράς. Κεφάλαιο Μέθοδοι upwind και downwind

Εξίσωση μεταφοράς. Κεφάλαιο Μέθοδοι upwind και downwind Κεφάλαιο 7 Εξίσωση μεταφοράς Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, την εξίσωση μεταφοράς, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και ως προς τον χρόνο. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2 Σημειώσεις μαθήματος Μ22 Γραμμική Άλγεβρα Ι Βασισμένες στο βιβλίο του GStrang Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2 Εισαγωγή Αυτές οι σημειώσεις καλύπτουν την ύλη του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f () = uy (, ) + vy (, ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο = + y αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι u( y,

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Σημειώσεις μαθήματος Μ2324 Γεωμετρική Τοπολογία Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2011 Εισαγωγή Η Γεωμετρική Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα ολικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss Τα θεωρήματα των Green, Stokes και Guss Αντώνης Τσολομύτης Σάμος, 2012 curl F div S F Επειδή αναϕέρθηκε στο μάθημα... Ενεργητική ϕωνή Ενεστώτας παράγω παρέχω Ενεστώτας-υποτακτική να παράγω να παρέχω Ενεστώτας-προστακτική

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 3o. όπου x = max{m N 0 : m x} και N 0 = {0, 1, 2,...} Λύση. Ιδιότητες αθροιστικής: lim F (x) = 0 αφού F (x) = 0 για x < 1.

Φροντιστήριο 3o. όπου x = max{m N 0 : m x} και N 0 = {0, 1, 2,...} Λύση. Ιδιότητες αθροιστικής: lim F (x) = 0 αφού F (x) = 0 για x < 1. Φροντιστήριο 3o Όπως έχουμε πει, αναλόγως με τη μορφή που έχει το στήριγμα, διακρίνουμε τις κατανομές σε διακριτές και μη διακριτές. Συγκεκριμένα, μια κατανομή ονομάζεται διακριτή όταν έχει διακριτό στήριγμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές 9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα