Πεπερασμένες Διαφορές.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πεπερασμένες Διαφορές."

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x 0, ορίζεται ως f (x 0 )=lim 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό μπορούμε να προσεγγίσουμε την τιμή της f (x 0 ) από το λόγο f (x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ), για μικρές τιμές του >0. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να προσεγγίσουμε την f (x 0 ) από το λόγο f (x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ) = f(x 0) f(x 0 ), για μικρές τιμές του >0. Θα καλούμε τον πρώτο λόγο εμπρός διαφορά και το δεύτερο λόγο, οπισθοδρομική διαφορά και θα θεωρήσουμε τον ακόλουθο συμβολισμό. δ + f(x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ), > 0 δ f(x 0) f(x 0) f(x 0 ), > 0 (1.1) 1

2 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ Γεωμετρική ερμηνεία Επειδή η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x 0, είναι η κλίση της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο (x 0,f(x 0 )) του γραφήματος της f, μπορούμε γεωμετρικά να την προσεγγίσουμε με την κλίση του ευθύγραμμου τμήματος που τέμνει τα σημεία (x 0,f(x 0 )), και (x 0 +, f(x 0 +)), βλέπε το γράφημα Παρόμοια ισχύουν και για την κλίση του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία (x 0, f(x 0 )), και (x 0,f(x 0 )), βλέπετο γράφημα κλίση f(x0 + ) f(x0) κλίση f (x 0) x 0 x 0 + Σχήμα 1.1: Γεωμετρική ερμηνεία της δ + f(x 0) Ενας άλλος τρόπος προσέγγισης της παραγώγου f (x 0 ) είναι η κεντρική διαφορά, η οποία ορίζεται από τό λόγο, f (x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ), 2 για μικρές τιμές του >0 και θα συμβολίζουμε δ c f(x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ), > 0 (1.2) 2 Μια φυσική ερώτηση που δημουργείτε είναι `πόσο καλές είναι αυτές οι προσεγγίσεις για την εκτίμηση της παραγώγου. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(x) =ln(x) και x 0 =1.1. Στο πίνακα 1.1, δίνουμε τις τιμές των παραπάνω προσεγγίσεων για την f (1.1) = 1/

3 1.1. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ. 3 κλίση f (x 0) κλίση f(x0) f(x0 ) x 0 x 0 Σχήμα 1.2: Γεωμετρική ερμηνεία της δ f(x 0) δ + f(1.1) δ f(1.1) δc f(1.1) Πίνακας 1.1: Πίνακας με τιμές των προσεγγίσεων της f (1.1) = 1/1.1 Λήμμα 1.1. Εστω f[a, b] R, f C 2 [a, b], x 0 (a, b) και >0, τότε ισχύουν τα ακόλουθα φράγματα: Αν επιπλέον f C 3 [a, b], τότε δ + f(x 0) f (x 0 ) 2 max x [a,b] f (x), δ f(x 0) f (x 0 ) 2 max x [a,b] f (x). (1.3) δ c f(x 0) f (x 0 ) 2 6 max x [a,b] f (x). (1.4) Απόδειξη. Αναπτύσοντας κατά Taylor έχουμε f(x 0 + ) =f(x 0 )+f (x 0 )+ 2 2 f (ξ 1 ), ξ 1 (x 0,x 0 + ), > 0. (1.5)

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ κλίση f (x 0) κλίση f(x0 + ) f(x0 ) 2 x 0 x 0 x 0 + Σχήμα 1.3: Γεωμετρική ερμηνεία της δ c f(x 0) Επίσης, f(x 0 ) =f(x 0 ) f (x 0 )+ 2 2 f (ξ 2 ), ξ 2 (x 0, x 0 ), > 0. (1.6) Από τις σχέσεις (1.5) και (1.6) εύκολα προκύπτει η ζητούμενη σχέση (1.3). Αν τώρα η f C 3 [a, b], μπορούμε να αναπτύξουμε και πάλι κατά Taylor και να πάρουμε τις παρακάτω δύο σχέσεις. f(x 0 + ) =f(x 0 )+f (x 0 )+ 2 2 f (x 0 )+ 3 6 f (ζ 1 ), ζ 1 (x 0,x 0 + ), f(x 0 ) =f(x 0 ) f (x 0 )+ 2 2 f (x 0 ) 3 6 f (ζ 2 ), ζ 2 (x 0, x 0 ), με >0. Αφαιρώντας τώρα κατά μέλη τις 2 σχέσεις της (1.7) έχουμε f(x 0 + ) f(x 0 ) =2f (x 0 )+ 3 6 (f (ζ 1 )+f (ζ 2 )), από όπου εύκολα προκύπτει η ζητούμενη σχέση (1.4). (1.7) Παρατήρηση: Από το Λήμμα 1.1, φαίνεται ότι το σφάλμα της προσέγγισης δ c f(x 0) είναι μικρότερο από τα αντίστοιχα των προσεγγίσεων δ + f(x 0) και

5 1.1. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ. 5 δ f(x 0), για <1 και εξηγεί γιατί στον Πίνακα 1.1 η δ c f(1.1) προσεγγίζει καλύτερα την f (1.1) από τις δ + f(1.1) και δ f(1.1). Η συμμετρία που υπάρχει στον ορισμό της προσέγγισης δ c f(x 0) είναι ο λόγος γιατί το σφάλμα (1.4) είναι μικρότερο από αυτών των δ + f(1.1) και δ f(1.1). Αυτό φαίνεται στην (1.7), όπου οι όροι 2 2 f (x 0 ) αλληλοαναιρούνται αφαιρώντας τις δύο σχέσεις Δεύτερη παράγωγος. Από τον ορισμό της δεύτερης παράγωγου μιας συνάρτησης f στο x 0 έχουμε f f (x 0 + ) f (x 0 ) (x 0 )=lim. 0 Οπότε, μπορούμε να την προσεγγίσουμε χρησιμοποιώντας μία από τις προσεγγίσεις δ + f (x 0 ), δ f (x 0 ) ή δ c f (x 0 ). Αν όμως θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τιμές της f, θα πρέπει να αντικαταστήσουμε την f (x 0 ) με κάποια προσέγγιση της. Ετσι ένας τρόπος είναι f (x 0 ) δ + f (x 0 )= f (x 0 + ) f (x 0 ) =δ + δ f(x 0). δ f(x 0 + ) δ f(x 0) Από τον ορισμό των δ + και δ προκύπτει ότι δ + δ f(x 0)= 1 (f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0) f(x 0 ) ) = f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2. Ακολουθώντας παρόμοιο τρόπο μπορούμε να προσεγγίσουμε την f (x 0 ) ως f (x 0 ) δ f (x 0 )= f (x 0 ) f (x 0 ) =δ δ+ f(x 0). δ+ f(x 0 + ) δ + f(x 0) Από όπου προκύπτει δ δ+ f(x 0)= 1 (f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0) f(x 0 ) ) = f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2.

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ δ,2 c f(1.1) Πίνακας 1.2: Πίνακας με τιμές των προσεγγίσεων της f (1.1) = 1/(1.1) Επίσης από τον ορισμό της δ c έχουμε δ c /2 δc /2 f(x 0)= δc /2 f(x 0 + /2) δ c /2 f(x 0 /2) = 1 (f(x ) f(x ) = f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2. Συμβολίζουμε λοιπόν f(x ) f(x ) ) δ c,2 f(x 0) f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2, (1.8) και αυτός ο λόγος θα αποτελεί προσέγγιση της f (x 0 ).Οπότεσύμφωναμετα παραπάνω θα έχουμε ότι δ c,2 f(x 0)=δ + δ f(x 0)=δ δ+ f(x 0)=δ c /2 δc /2 f(x 0). Στο πίνακα 1.2, δίνουμε τιμές για παραπάνω προσεγγίσης για τη συνάρτηση f(x) =ln(x) και x 0 =1.1, όπουf (1.1) = 1/(1.1) Λήμμα 1.2. Εστω f[a, b] R, f C 4 [a, b], x 0 (a, b) και >0, τότε ισχύει το ακόλουθο φράγμα: δ c,2 f(x 0) f (x 0 ) 2 12 max x [a,b] f (4) (x). (1.9) Απόδειξη. Αν τώρα η f C 4 [a, b], μπορούμε να αναπτύξουμε και πάλι κατά Taylor και να πάρουμε τις παρακάτω δύο σχέσεις. f(x 0 + ) =f(x 0 )+f (x 0 )+ 2 2 f (x 0 )+ 3 6 f (x 0 ) f (4) (ζ 1 ), f(x 0 ) =f(x 0 ) f (x 0 )+ 2 2 f (x 0 ) 3 6 f (x 0 ) f (4) (ζ 2 ), (1.10)

7 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ. 7 με ζ 1 (x 0,x 0 + ), ζ 2 (x 0, x 0 ) και >0. Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2 σχέσεις της (1.10) έχουμε f(x 0 + )+f(x 0 ) =2f(x 0 )+ 2 f (x 0 ) (f (4) (ζ 1 )+f (4) (ζ 2 )). Συνεπώς από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής έχουμε f(x 0 + ) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2 από όπου εύκολα προκύπτει η ζητούμενη σχέση (1.9). 1.2 Το πρόβλημα 2 σημείων. = f (x 0 ) f (4) (ξ), ξ (ζ 2,ζ1), (1.11) Θεωρούμε το πρόβλημα δύο σημείων για μια συνήθη διαφορική εξίσωση (Σ.Δ.Ε.) δεύτερης τάξης: Ζητείται μια συνάρτηση u C 2 [a, b], τέτοιαώστε u (x)+q(x)u(x) =f(x), x [a, b], με u(a) =u(b) =0, (1.12) όπου a, b R, q, f C[a, b] και q(x) > 0, για κάθε x [a, b]. Θα θεωρήσουμε ένα φυσικό αριθμό N και μια διαμέριση του διαστήματος [a, b] από ισαπέχοντα N +2 σημεία a = x 0 <x 1 <...<x N <x N+1 = b, όπου = x i+1 x i, i =0,...,N. Τότε σε κάθε σημείο του διαμερισμού x i, i =1,...,N,θαισχύει: u (x i )+q(x i )u(x i )=f(x i ), i =1,...,N. (1.13) Σκοπός μας είναι να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις των τιμών u(x i ) της ακριβούς λύσης του (1.12), τις οποίες θα συμβολίζουμε με U i, i =0,...,N+1. Λόγω των συνοριακών συνθήκών έχουμε ότι u(x 0 )=u(x N+1 )=0, θέτουμε λοιπόν U 0 = U N+1 =0. Οι τιμές των U i, i =1,...,N προκύπτουν με τον ακόλουθο τρόπο. Για να προσεγγίσουμε την u (x) στα σημεία x i, i =1,...,N,χρησιμοποιούμε την προσέγγιση δ,2 c που θεωρήσαμε στην (1.8), έτσι αν υποθέσουμε ότι u C 4 [a, b], λόγω της (1.11) η (1.13) γίνεται, u(x i+1) 2u(x i )+u(x i 1 ) 2 + q(x i )u(x i )=f(x i )+η i, i =1,...,N, (1.14) όπου η i = 2 12 u(4) (ξ i ), μεξ i (x i 1,x i+1 ). Για να κατασκευάσουμε λοιπόν προσεγγίσεις U i των u(x i ), i =1,...,N, θεωρούμε τις ακόλουθες εξισώσεις U i+1 2U i + U i q(x i )U i = f(x i ), i =1,...,N. (1.15)

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ Επομένως αν συμβολίσουμε με U R N, το διάνυσμα με συνιστώσες U = (U 1,...,U N ) T, το σύστημα των εξισώσεων (1.15) μπορούμε να το γράψουμε ισοδύναμα με το γραμμικό σύστημα AU = F, (1.16) όπου A είναι ο N N πίνακας 2+ 2 q(x 1 ) A = q(x 2 ) q(x N 1 ) q(x N ) και F =(f(x 1 ),...,f(x N )) T. Ενα ερώτημα που δημιουργείται είναι αν το γραμμικό σύστημα (1.36) έχει μοναδική λύση, το οποίο είναι ισοδύναμο μετο αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος. Οπως εύκολα μπορούμε να παρατηρήσουμε ο πίνακας A είναι τριδιαγώνιος, δηλαδή τα στοιχεία a ij =0αν i j > 1 και έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο αν q(x) > 0 για x [a, b]. Οπωςθαδούμε παρακάτω, υπάρχουν εύκολα υλοποιήσιμοι αλγόριθμοι για την ανάλυση LU ενός αντιστρέψιμου τριδιαγώνιου πίνακα Επίλυση τριδιαγώνιου γραμμικού συστήματος Εστω ότι θέλουμε να λύσουμε το γραμμικό σύστημα Ay = z, δηλαδή να βρούμε το y R N,όπουA είναι ένας N N τριδιαγώνιος πίνακας με στοιχεία a 1 b 1 0 c 2 a 2 b 2 A = , (1.17) 0 c N 1 a N 1 b N 1 c N a N και z R N ένα δοσμένο διάνυσμα. Για τα στοιχεία του πίνακα A, θα κάνουμε τις ακόλουθες υποθέσεις a 1 > b 1, a k b k + c k, k =2,...,N 1, a N > c N. (1.18) Για να λύσουμε το γραμμικό σύστημα Ay = b μπορούμε να εφαρμόσουμε διάφορους αλγόριθμους όπως είναι η απαλοιφή Gauss. Στηνπερίπτωσηόμως του πίνακα A, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε έναν αλγόριθμο που να εφαρμοστεί ειδικά για τριδιαγώνιους πίνακες, όπως ο ακόλουθος:

9 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ. 9 Ο πίνακας A μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο πινάκων LU που έχουν τη μορφή L = 1 e 1,U= 1 e , (1.19) 0 c N d N 1 d 1 c 2 d δηλαδή έχουν μη μηδενικά στοιχεία στη διαγώνιο και ο L στην πρώτη υποδιαγώνιο και ο U στην πρώτη υπερδιαγώνιο. Είναι απλό να δούμε ότι οι αριθμοί d 1,...,d N και e 1,...,e N 1 προκύπτουν με τον ακόλουθο αλγόριθμο, d 1 = a 1,e 1 = b 1 /d 1 για k =2, 3,...,N 1 d k = a k c k e k 1 e k = b k /d k τέλος για d N = a k c N e N 1. (1.20) Η υπάρξη των πινάκων L και U, και η ολοκλήρωση του αλγορίθμου (1.20) αποδεικνύεται στο ακόλουθο λήμμα. Λήμμα 1.3. Εστω A ένας τριδιαγώνιος πίνακας της μορφής (1.17) τέτοιος ώστε ισχύουν οι υποθέσεις (1.18), τότε υπάρχουν πίνακες L και U και ο αλγόριθμος (1.20) είναι καλά ορισμένος και ολοκληρώνεται. Απόδειξη. Για να είναι ο αλγόριθμος (1.17) καλά ορισμένος και συνεπώς να υπάρχει η ανάλυση του Α=LU (1.19), αρκεί να ισχύει, d k 0, k =1,...,N. Από τις υποθέσεις (1.18) έχουμε ότι a 1 > b 1,οπότε e 1 < 1. Επαγωγικά μπορούμε θα δείξουμε ότι d k 0,k =1,...,N, e k < 1 Εστω ότι ισχύει d k 1 0, e k 1 < 1 για κάποιο k. Τότε d k = a k c k e k 1 a k c k e k 1 > a k c k b k > 0. Επιπλέον e k = b k / d k < 1 Εφόσον έχουμε δείξει ότι A = LU, για να λύσουμε τώρα το γραμμικό σύστημα LUy = z, λύνουμε πρώτα το Lw = z εφαρμόζοντας τον ακόλουθο

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ αλγόριθμο w 1 = z 1 /d 1 για k =2, 3,...,N 1 τέλος για w k =(z k c k w k 1 )/d k (1.21) και στη συνέχεια το διάνυσμα y προκύπτει ως λύση του γραμμικού συστήματος Uy = w y N = w N για k = N 1,N 2,...,1 τέλος για y k = w k e k y k+1 (1.22) Παράδειγμα 1: Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών u (x)+u(x) =sin(2πx), 0 <x<1, με u(0) = u(1) = 0. (1.23) Η ακριβής λύση αυτού του προβλήματος είναι η u(x) = sin(2πx) 1+4π 2. (1.24) Η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (1.15) γίνεται τώρα U i+1 2U i + U i U i =sin(2πx i ), i =1,...,N. (1.25) Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο, μπορούμε να βρούμε διακριτές λύσεις που προσεγγίζουν την ακριβή λύση, όπως φαίνεται από το γράφημα Ανάλυση της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών Θεώρημα 1.1. Εστω U R N η λύση του προβλήματος (1.15), μεu 0 = U N+1 =0. Τότε ισχύει η ακόλουθη ανισότητα, max 0 i N+1 U i max x [a,b] f(x i). (1.26)

11 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ ακριβής λύση λύση για N =2 λύση για N = Λύση x άξονας Σχήμα 1.4: Παράδειγμα 1: Ακριβής και προσεγγιστικές λύσεις Απόδειξη. Από τη σχέση (1.15), εύκολα παίρνουμε (2 + 2 q(x i ))U i = U i+1 + U i 1 + f(x i ), 1 i N. Στη συνέχεια, επειδή q συνεχής και q(x) > 0, για x [a, b], αν θέσουμε q min =min x [a,b] q(x), η παραπάνω ισότητα δίνει για κάθε i =1,...,N, Οπότε (2 + 2 q min ) U i U i+1 + U i 1 + f(x i ) 2 max U i +max 0 i N+1 x [a,b] f(x). (2 + 2 q min ) max U i 2 max U i +max 1 i N 0 i N+1 η οποία εύκολα δίνει τη ζητούμενη σχέση (1.32). x [a,b] f(x), Ευστάθεια: Μια αριθμητική μέθοδος λέγεται ευσταθής αν μικρές μεταβολές των δεδομένων οδηγούν σε μικρές μεταβολές της αριθμητικής λύσης. Στην ειδική περίπτωση που η διαφορική εξίσωση είναι γραμμική όπως είναι η (1.12), ζητούμε η αριθμητική λύση να φράσσεται με μια σταθερά επί τα δεδομένα, όπως η σχέση (1.32). Η ευστάθεια του αριθμητικού σχήματος είναι εσωτερική ιδιότητα του σχήματος, δηλαδή δεν έχει σχέση με τη συγκεκριμμένο πρόβλημα που θέλουμε να λύσουμε.

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ Από το Θεώρημα 1.1 μπορούμε να δείξουμε ότι το γραμμικό σύστημα που οδηγεί η (1.15) έχει μοναδική λύση. Αν θεωρήσουμε το αντίστοιχο ομογενές γραμμικό σύστημα, τότε από το Θεώρημα 1.1, οδηγούμαστε ότι η μοναδική λύση είναι η μηδενική λύση U i =0, i =0,...,N +1. Συνέπεια: Αν αντικαταστήσουμε στο αριθμητικό σχήμα που ικανοποιεί η προσεγγιστική λύση U, (1.15), με την ακριβή λύση u, τότε θα πάρουμε τη σχέση (1.14). Φυσικά το διάνυσμα με συνιστώσες u(x i ), i =1,...,N δεν θα ικανοποιεί τη (1.15) και θα υπάρχει ένα σφάλμα, όπως φαίνεται από τη (1.14). Αν αυτό το σφάλμα η i, τείνει στο μηδέν καθώς το τείνει στο μηδέν, όπως γίνεται στη περίπτωση του σχήματος που μελετούμε, τότε η μέθοδος λέγεται συνεπής. Θεώρημα 1.2. Εστω ότι η λύση u του προβλήματος (1.12) είναι αρκετά ομαλή, u C 4 [a, b], τότε υπάρχει μια σταθερά C, ανεξάρτητη του, τέτοια ώστε max U i u(x i ) C 2. (1.27) 0 i N+1 Απόδειξη. Θέτουμε E i = U i u(x i ), i =0,...,N+1, όπου λόγω των σχέσεων U 0 = u(a) =0και U N+1 = u(b) =0, έχουμε E 0 = E N+1 =0. Αφαιρούμε τώρα κατά μέλη τις (1.15) και (1.14), οπότε παίρνουμε E i+1 (2 + q(x i ) 2 )E i + E i 1 = 2 η i, i =1,...,N, όπου λόγω του Λήμματος 1.2, max η i 2 1 i N 12 max a x b u(4) (x). Θέτουμε στη συνέχεια Ē =max 1 i N E i, η =max 1 i N η i και επειδή q συνεχής και q(x) > 0, για x [a, b], q min =min x [a,b] q(x). Συνεπώς οπότε Από όπου προκύπτει η οποία δίνει τη ζητούμενη ανισότητα (2 + q(x i ) 2 )E i = E i+1 + E i η i, (2 + q min 2 ) E i 2Ē + 2 η. q min 2 max E i 2 η 1 i N max E i η C 2 1 i N

13 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ Συνοριακές Συνθήκες Neumann Θεωρούμε τώρα το πρόβλημα δύο σημείων (1.12), με διαφορετικές συνοριακές συνθήκες, δηλαδή το εξής: u (x)+q(x)u(x) =f(x), x [a, b], με u (a) =u (b) =0, (1.28) όπου a, b R, q, f C[a, b] και q(x) > 0, για κάθε x [a, b]. Σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να ισχύει ότι q>0 στο [a, b], γιατί διαφορετικά δεν έχουμε μοναδική λύση του (1.28). Πράγματι, το πρόβλημα u (x) =0, x [a, b], με u (a) =u (b) =0, (1.29) έχει ως λύση όλες τις σταθερές συναρτήσεις στο [a, b]. Θεωρούμε και πάλι ένα φυσικό αριθμό N και μια διαμέριση του διαστήματος [a, b] από ισαπέχοντα N +2 σημεία a = x 0 <x 1 <...<x N <x N+1 = b, όπου = x i+1 x i, i =0,...,N. Σκοπός μας είναι και πάλι να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις U i των τιμών u(x i ) της ακριβούς λύσης του (1.28). Ομως σε αντίθεση με προηγουμένως δεν γνωρίζουμε τις τιμές u(x 0 ) και u(x N+1 ). Ετσι τώρα θα χρειαστούμε 2 επιπλέον εξισώσεις εκτός από τις (1.15), για να υπολογίσουμε τα U i, i =0,...,N +1. Ενας τρόπος για να το κάνουμε αυτό είναι να θεωρήσουμε ότι η u επεκτείνεται άρτια αριστερά του a και δεξιά του b, δηλαδή u(a + ) =u(a ) και u(b ) =u(b + ), >0. Ο λόγος που θεωρούμε άρτια επέκταση είναι διότι αν π.χ. η u είναι άρτια γύρω από το a, τότεu (a) =lim 0 (u(a + ) u(a )/(2) =0. Επομένως η προσέγγιση της u (a), δ,2 c u(a) γίνεται δ,2 c + ) 2u(a)+u(a ) u(a + ) u(a) u(a) =u(a 2 =2 2. Συνεπώς οι δύο επιπλέον σχέσεις που συμπληρώνουν τις (1.15) εδώ είναι 2 U 1 U q(x 0 )U 0 = f(x 0 ) 2 U N U N q(x N+1 )U N+1 = f(x N+1 ) (1.30) Επομένως αν συμβολίσουμε με U R N+2, το διάνυσμα με συνιστώσες U = (U 0,...,U N+1 ) T το νέο σύστημα εξισώσεων μπορούμε να το γράψουμε ισοδύναμα AU = F, (1.31)

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ όπου A είναι ο (N +2) (N +2)πίνακας 2+ 2 q(x 0 ) A = q(x 1 ) q(x N ) q(x N+1 ) και F =(f(x 0 ),...,f(x N+1 )) T. Προκύπτει λοιπόν ένα τριδιαγώνιο γραμμικό σύστημα με αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο διότι q>0. Με όμοια επιχειρήματα όπως και στην περίπτωση του Θεωρήματος 1.1, προκύπτει Θεώρημα 1.3. Εστω U R N+2 η λύση του προβλήματος (1.28). ισχύει η ακόλουθη ανισότητα, Τότε max U i max f(x i). (1.32) 0 i N+1 x [a,b] Απόδειξη. Η απόδειξη προκύπτει με ανάλογο τρόπο όπως και αυτή του Θεωρήματος 1.1 Και σε αυτό το πρόβλημα μπορούμε να δείξουμε ότι η προσεγγιστική λύση θα συγκλίνει στην ακριβή λύση του (1.28). Θεώρημα 1.4. Εστω ότι η λύση u του προβλήματος (1.28) είναι αρκετά ομαλή, u C 4 [a, b], τότε υπάρχει μια σταθερά C, ανεξάρτητη του, τέτοια ώστε max U i u(x i ) C. (1.33) 0 i N+1 Απόδειξη. Η απόδειξη προκύπτει με ανάλογο τρόπο όπως και αυτή του Θεωρήματος 1.2 Παρατήρηση: Μπορούμε να δείξουμε μεγαλύτερη τάξη σύγκλισης (δηλαδή 2) όπως και για τη μέθοδο για το πρόβλημα με τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες, όπως χρειαζόμαστε περισσότερη αναλύση της μεθόδου που δεν θα αναπτύξουμε σε αυτές τις σημειώσεις Ενα γενικότερο πρόβλημα Θεωρούμε τώρα το πρόβλημα δύο σημείων (1.12), με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Diriclet, u (x)+p(x)u (x)+q(x)u(x) =f(x), x [a, b], με u(a) =u(b) =0, (1.34)

15 1.2. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 ΣΗΜΕΙΩΝ. 15 όπου a, b R, p, q, f C[a, b] και q(x) > 0, για κάθε x [a, b]. Σκοπός μας είναι να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις των τιμών u(x i ) της ακριβούς λύσης του (1.12), τις οποίες θα συμβολίζουμε με U i, i =0,...,N+1. Λόγω των συνοριακών συνθήκών έχουμε ότι u(x 0 )=u(x N+1 )=0, θέτουμε λοιπόν U 0 = U N+1 =0. Οι τιμές των U i, i =1,...,N προκύπτουν με τον ακόλουθο τρόπο U i+1 2U i + U i p(x i ) U i+1 U i q(x i )U i = f(x i ), i =1,...,N. (1.35) Επομένως αν συμβολίσουμε με U R N, το διάνυσμα με συνιστώσες U = (U 1,...,U N ) T το νέο σύστημα εξισώσεων μπορούμε να το γράψουμε ισοδύναμα AU = F, (1.36) όπου A R N+1 N+1 είναι ο πίνακας 2+ 2 q(x 0 ) 1+p(x 1 ) A = 1 1 p(x 2 ) q(x 1 ) 1+p(x 2 ) p(x N 1 ) q(x N 1 ) 1+p(x N 1 ) p(x N ) q(x N ) και F =(f(x 1 ),...,f(x N )) T. Προκύπτει λοιπόν ένα τριδιαγώνιο γραμμικό σύστημα. Για να έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο ο A πρέπει καθώς και 2+ 2 q(x i ) 1+p(x i ) p(x i), i =2,...,N 1, q(x 1 ) 1 p(x 1 ) 2, και 2+2 q(x N ) 1+p(x N ) 2. Για να ισχύουν οι παραπάνω αρκεί να ισχύει ότι p(x i ) 2 < 1, γιατί σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι 1+p(x i ) 2 > 0 και 1 p(x i) 2 > 0. Με όμοια επιχειρήματα όπως και στην περίπτωση του Θεωρήματος 1.1, προκύπτει Θεώρημα 1.5. Εστω U R N η λύση του προβλήματος (1.34) και επιπλέον p(x i ) 2 < 1, i =0,...,N +1. Τότε ισχύει η ακόλουθη ανισότητα, max U i max f(x i). (1.37) 0 i N+1 x [a,b] Απόδειξη. Η απόδειξη προκύπτει με ανάλογο τρόπο όπως και αυτή του Θεωρήματος 1.1

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ 1.3 Ασκήσεις Ασκήσεις για προβλήματα συνοριακών τιμών της μορφής: u (x)+p(x)u + q(x)u(x) =f(x), u(a) =c, u(b) =d. x [a, b], 1. Εστω u η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών x 2 u (x) xu (x)+4u(x) =20x 3, x [1, 2], u(1) = 0, u(2) = 0. Γράψτε το αριθμητικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιώντας κεντρικές διαφορές. Ποιός είναι ο περιορισμός για το βήμα, ώστε ο α- ντίστοιχός πίνακας που χρησιμοποιούμε για την προσέγγιση της λύσης να είναι αντιστρέψιμος; 2. Εστω u η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών u (x)+u =1, u(a) =c, u(b) =d. x [a, b], (αʹ) Εστω ότι προσεγγίζουμε τη δεύτερη παράγωγο, u (x i ),μετηκεντρική διαφορά (u(x i+1 ) 2u(x i )+u(x i 1 ))/ 2 και τη πρώτη παράγωγο, u (x i ), με τη διαφορά (u(x i ) u(x i 1 ))/. Ποιό θα είναι το διακριτό σχήμα και ποιό το σφάλμα διακριτοποίησης; (βʹ) Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή πινάκων. Για να είναι αντιστρέψιμος ο πίνακας υπάρχει περιορισμός στο βήμα ; 3. Εστω u η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών u (x)+u(x) =f(x), x [0, 1], au(0) + bu (0) = c, u(1) = 0. (αʹ) Διατυπώστε ένα διακριτό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης O( 2 ). (βʹ) Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή πινάκων. 4. Εστω u η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών u (x)+u(x) =f(x), x [0, 1], u(0) = u(1), u (0) = u (1).

17 1.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17 (αʹ) Διατυπώστε ένα διακριτό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης O( 2 ). (βʹ) Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή πινάκων. 5. (αʹ) Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Taylor δείξτε ότι u(x i+1 ) 2u(x i )+ u(x i 1 )= 2 u (x i ) u (x i )+O( 6 ) και από αυτό δείξτε ότι u(x i+1 ) 2u(x i )+u(x i 1 )= (u (x i+1 )+10u (x i )+u (x i 1 ))+ O( 6 ). (βʹ) Αν υποθέσουμε ότι η u ικανοποιεί τη Δ.Ε. u (x) =F (x, u), χρησιμοποιείστε το παραπάνω αποτέλεσμα για να καταλήξετε στη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών (U i+1 2U i + U i+1 )= 2 12 (F i+1 +10F i + F i+1 ) (γʹ) Διατυπώστε τη μέθοδο οταν F (x, u) = f(x) q(x)u. Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή πίνακα. 6. Θεωρούμε το πρόβλημα d dx (D(x) d u(x)) + u(x) =f(x), x [0, 1], dx u(0) = u(1) = 0. όπου D είναι θετική συνάρτηση. (αʹ) Γράψτε ένα πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης O( 2 ). Εκφράστε τη μέθοδο και σε μορφή πίνακα. (βʹ) Είναι αυτή η μέθοδος ευσταθής; 7. Θεωρούμε το πρόβλημα u (x)+p(x)u + q(x)u(x) =f(x), x [0, 1], u(0) = u(1) = 0. Θεωρούμε ένα μη ομοιόμορφο διαμερισμό του διαστήματος [0, 1], και συμβολίζουμε με i = x i x i 1 (αʹ) Εκφράστε με πεπερασμένες διαφορές την προσέγγιση της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου στο x i και δώστε το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης. Οι προσεγγίσεις πρέπει να είναι συνεπείς, δηλαδή αν i και i+1 πάει στο μηδέν, τότε το σφάλμα τείνει και αυτό στο μηδέν. (βʹ) Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα του προηγούμενου ερωτήματος για να διατύπώστε ένα σχήμα πεπερασμένων διαφορών για την παραπάνω διαφορική εξίσωση.

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss Τα θεωρήματα των Green, Stokes και Guss Αντώνης Τσολομύτης Σάμος, 2012 curl F div S F Επειδή αναϕέρθηκε στο μάθημα... Ενεργητική ϕωνή Ενεστώτας παράγω παρέχω Ενεστώτας-υποτακτική να παράγω να παρέχω Ενεστώτας-προστακτική

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 3o. όπου x = max{m N 0 : m x} και N 0 = {0, 1, 2,...} Λύση. Ιδιότητες αθροιστικής: lim F (x) = 0 αφού F (x) = 0 για x < 1.

Φροντιστήριο 3o. όπου x = max{m N 0 : m x} και N 0 = {0, 1, 2,...} Λύση. Ιδιότητες αθροιστικής: lim F (x) = 0 αφού F (x) = 0 για x < 1. Φροντιστήριο 3o Όπως έχουμε πει, αναλόγως με τη μορφή που έχει το στήριγμα, διακρίνουμε τις κατανομές σε διακριτές και μη διακριτές. Συγκεκριμένα, μια κατανομή ονομάζεται διακριτή όταν έχει διακριτό στήριγμα,

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης Διανυσματική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 30 Απριλίου 2014 Σημείωση: Οι παρούσες σημειώσεις δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του μαθήματος Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ και IV σε φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 4 Ιουνίου 009 Θέμα (0 μονάδες) α) (7 μον) Για τις διάφορες τιμές του k R, να λυθεί το σύστημα y+ kz =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα