ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D)

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Άλγεβρα διανυσμάτων και πινάκων: Πίνακες και διανύσματα (ως μονοδιάστατοι πίνακες). Βασικές πράξεις πινάκων (πρόσθεση αντιστροφή). Εύρεση ιδιοτιμών ιδιοδιανυσμάτων πίνακα. Ανάλυση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών: Ιδιότητες και κανόνες διαφόρισης. Ολική παράγωγος Μερικές παράγωγοι. Ανάπτυξη σε πολυωνυμική σειρά (Taylor). Τοπικά ακρότατα Κρίσιμα σημεία. 2

3 ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Ευθεία διάταξη n αριθμών. Χ = (x 1, x 2,, x n ). Γεωμετρική ερμηνεία: Ευθύγραμμο τμήμα του R n. Πράξεις με διανύσματα: Πράξεις με συντεταγμένες... Μέτρο X x x... x n Τριγωνική ανισότητα Εσωτερικό γινόμενο 2D X Y X Y. X Y x y. n k 1 k k 3D 3

4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ορθογώνια διάταξη αριθμών στις m x n διαστάσεις. x Στοιχείο στη γραµµή i και τη στήλη j. Ανάστροφος πίνακας Χ Τ : T x xji (Αντί)Συμμετρικός πίνακας: T ( ) Προσαρτημένος πίνακας Χ C : Αφαιρούμε τη γραμμή i και τη στήλη j από τον Χ Διάνυσμα = Μονοδιάστατος πίνακας: k X x. k1 4

5 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ειδικές κατηγορίες πινάκων: Μηδενικός Όλα τα στοιχεία ίσα με 0. Τετραγωνικός Ίσος αριθμός γραμμών στηλών (m = n). Διαγώνιος Τετραγωνικός, μόνο τα διαγώνια στοιχεία 0. Μοναδιαίος Διαγώνιος, όλα τα μη μηδενικά στοιχεία = 1. Πράξεις με πίνακες Πράξεις με τα στοιχεία τους! Πρόσθεση Αφαίρεση m x n πινάκων: Αντίθετος πίνακας ενός m x n πίνακα: X x. Γραμμική υπέρθεση: X Y x y z. X Y x y. 5

6 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (συν.) Πολλαπλασιασμός τετραγωνικών πινάκων. Κατ αντιστοιχία με εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων: X Y x y. Αντίστροφος πίνακας: Χ -1 Χ = Ι. n k 1 ik kj Αντίστροφος = Ανάστροφος Ορθογώνιος πίνακας. Θετικά ορισμένος Υ T X Υ> 0 για κάθε Υ 0 ϵ R n. Θετικά ημιορισμένος Υ T X Υ 0 για κάθε Υ 0 ϵ R n. 6

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Αν o πίνακας Χ επαληθεύει τη σχέση Χ 2 = Χ, δείξτε ότι την ίδια σχέση επαληθεύει και ο πίνακας Ι - Χ, καθώς και ότι ο Χ επαληθεύει την ιδιότητα X k = Χ (k 3). Στο πρώτο ζητούμενο, αρκεί να δείξουμε ότι (Ι - Χ) 2 = Ι - Χ. Ι Χ 2 = Ι Χ Ι Χ = Ι 2 Ι Χ Χ Ι + Χ 2 = Ι 2Χ + Χ = Ι Χ. Στο δεύτερο ερώτημα, παρατηρούμε τα ακόλουθα: Συνεπώς, η λύση απαιτεί χρήση της μεθόδου επαγωγής: 1 Απόδειξη για το μικρότερο k (=3) Χ 3 = Χ 2 Χ = Χ Χ = Χ 2 = Χ. 2 Παραδοχή της ισχύος για τυχαία τιμή k = n Χ n = Χ. 3 Απόδειξη για k = n + 1 Χ n+1 = Χ n Χ = Χ Χ = Χ 2 = Χ. 7

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Να βρείτε για ποιές τιμές των α 1, α 2, α 3, α 4 ο πίνακας Α = α 1 α 2 α 3 α 4 είναι αντιστρέψιμος, καθώς και τον Α -1. Για να υπάρχει ο Α -1, πρέπει να ισχύει ότι Α 0: Οι προσαρτημένοι πίνακες είναι ίσοι με: Ο υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα ολοκληρώνεται: 8

9 ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Περαιτέρω απλοποίηση συμμετρικών πινάκων. Ορισμός διαγωνιοποίησης πίνακα: Κάθε συμμετρικός πίνακας αναλύεται ως Χ = U T D U, όπου U ορθογώνιος πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων του Χ και D διαγώνιος πίνακας με στοιχεία τις ιδιοτιμές του Χ. Υπολογισμός ιδιοτιμών ιδιοδιανυσμάτων: Επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών λι Χ = 0 Χ Ξ = λξ. Οι θετικά ορισμένοι πίνακες έχουν ιδιοτιμές > 0. Οι θετικά ημιορισμένοι πίνακες έχουν ιδιοτιμές 0. 9

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΡΙΤΟ Να υπολογιστεί το c ώστε να αποτελεί ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α = c το διάνυσμα Χ = Χ ιδιοδιάνυσμα του Α Yπάρχει λ ϵ R ώστε Α Χ = λχ. Κάνουμε τις απαιτούμενες πράξεις (πρόβλημα ιδιοτιμών):. Απάντηση: Όταν c = 5/2, μια ιδιοτιμή του Α είναι ίση με 3 και έχει ως αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το διάνυσμα Χ. 10

11 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (1D) Σχετική μεταβολή της τιμής μιας συνάρτησης ως προς τις αλλαγές της τιμής της μεταβλητής. Κλίση εφαπτόμενης γραμμής στη γραφική παράσταση. Καλύτερη γραμμική προσέγγιση στο εν λόγω σημείο. Ορισμός της παραγώγου: Η f(x): R R είναι διαφορίσιμη στο x 0 αν και μόνο αν υπάρχει το πεπερασμένο όριο lim x x 0 f x f x 0 x x 0, το οποίο ονομάζεται παράγωγος df/dx = f (x) της f στο x 0. 11

12 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (1D) 12

13 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Διανύσματα Πράξεις με πίνακες Διαφορικός λογισμός (1D) 13