ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 4 Ιουνίου 009 Θέμα (0 μονάδες) α) (7 μον) Για τις διάφορες τιμές του k R, να λυθεί το σύστημα y+ kz = y+ z = y+ kz = β) (6 μον) Έστω a και V ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (,, a), (0,,), (0,, a) Για ποιες τιμές του a ισχύει V = ; γ) (7 μον) Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του διανυσματικού υπόχωρου του που παράγεται από τα στοιχεία (,0,),(0,,) Θέμα (0 μονάδες) Έστω A= M( ) α) ( μον) Υπολογίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις ιδιοτιμές του A β) (8 μον) Εξετάστε αν ο A είναι διαγωνοποιήσιμος Στην περίπτωση που ο A είναι διαγωνοποιήσιμος, βρείτε έναν αντιστρέψιμο πίνακα P τέτοιον ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος γ) (7 μον) Υπολογίστε τον πίνακα A A (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το θεώρημα Cayly- Hamilto) Θέμα (0 μονάδες) α) (7 μον) Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) = l με πεδίο ορισμού D = (0, + ) Εξετάστε τη μονοτονία της f, βρείτε τα ακρότατά της και δείξτε ότι f( ) 0 για κάθε D β) Θεωρούμε τη συνάρτηση g ( ) = lμε πεδίο ορισμού D = (0, + ) β) ( μον) Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο (, ) είναι y = (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου και το ότι η εξίσωση μίας ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο y y0 ( 0, y 0) και έχει κλίση a δίνεται από τον τύπο: = a ) 0 β) (0 μον) Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο (,) και τον άξονα των (Υπόδειξη: Κάντε ένα σχετικό σχήμα και θεωρήστε τον κατάλληλο διαχωρισμό του χωρίου)

2 Θ έμα 4 (0 μονάδες) α) (6 μον) Υπολογίστε τα όρια lim 4 +, ( ) π lim si + β) (6 μον) Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες σειρές συγκλίνουν (Υπόδειξη: Συγκρίνετέ την με γνωστή σειρά) = + + ( c > 0 ) = c γ) (8 μον) Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώματα si cos d d 4 d (l ) ( > 0) Θέμα (0 μονάδες) a) Κατά τη διαδικασία επιλογής νέων φοιτητών μιας Σχολής οι υποψήφιοι κρίνονται ως «επιτυχόντες» ή «αποτυχόντες» για την εισαγωγή τους βάσει μιας εξέτασης Έχει μετρηθεί στατιστικά ότι αν ένας υποψήφιος είναι επαρκώς προετοιμασμένος, τότε έχει πιθανότητα 80% να περάσει επιτυχώς την εξέταση ενώ αν δεν είναι επαρκώς προετοιμασμένος, η πιθανότητα επιτυχίας του είναι % Αν γνωρίζουμε ότι σε μια συγκεκριμένη χρονιά το 40% των υποψηφίων είναι επαρκώς προετοιμασμένοι, να υπολογίσετε τις πιθανότητες : a) ( μον) Ένας υποψήφιος που επιλέγουμε τυχαία να πετύχει στις εξετάσεις a) ( μον) Ένας υποψήφιος που πέτυχε στις εξετάσεις να ήταν επαρκώς προετοιμασμένος β) Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο εκτιμήθηκε ότι ο χρόνος t της διάρκειας των τηλεφωνικών συνδιαλέξεων είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί μια κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μορφής kt, t > 0 f() t = 0, αλλού β) ( μον) Δείξτε ότι για να είναι η f () t πράγματι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας πρέπει k = β) ( μον) Βρείτε ποια είναι η πιθανότητα μια συνδιάλεξη να διαρκέσει από έως λεπτά ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

3 Ενδεικτικές λύσεις Θέμα α) Ο επαυξημένος πίνακας k 0 0 k 0 του συστήματος μετά στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών παίρνει τη μορφή k k k / k Γ Γ Γ 0 k 0 Γ Γ 0 0 Γ Γ Γ Γ Γ/ k Γ ΓΓ k k 0 0 k Οπότε φθάνουμε στο τριγωνικό σύστημα y + kz = k y + z = 0 ( k ) z = 0 Διακρίνουμε περιπτώσεις βασιζόμενοι στο k της τελευταίας εξίσωσης Έστω k Τότε από την τελευταία εξίσωση έχουμε z = 0, από τη δεύτερη y = 0 και από την πρώτη = Άρα έχουμε μοναδική λύση, την (,0,0) Έστω k = Τότε το τριγωνικό σύστημα είναι το y+ z = y = 0 0= 0 Άρα y = 0 και = + y z = z, έχουμε άπειρες λύσεις, τις ( z, 0, z), z R ενώ το z παίρνει αυθαίρετες τιμές Δηλαδή β) Έχουμε dimv = τα δοσμένα στοιχεία είναι γραμμικά ανεξάρτητα a dt 0 0 a 0 a

4 γ) Τα διανύσματα v = (,0,), v = (0,,) είναι γραμμικά ανεξάρτητα Σύμφωνα με τη μέθοδο των Gramm-Schmidt, θέτουμε v, v u = v και u = v v = (0,,) (,0,) = (,,) Έχουμε v u u = (,0,), = (,,) Μια ορθοκανονική βάση του χώρου που παράγουν τα u u 6 v, v είναι u u u, u Θέμα α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι χ A( ) = dt( A I) = dt = = ( )( + ) και οι ιδιοτιμές είναι, β) Επειδή ο A είναι πίνακας και έχει δυο διακεκριμένες ιδιοτιμές είναι διαγωνοποιήσιμος Τα ιδιοδιανύσματα του A που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι οι μη μηδενικές λύσεις του 0 συστήματος ( A I) X = 0 =, δηλαδή είναι, { 0} Όμοια, τα y 0 ιδιοδιανύσματα του A που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή - είναι, {0} Θέτοντας 0 P =, έχουμε ότι ο P είναι αντιστρέψιμος και ξέρουμε ότι P AP= 0 γ) Από το Θεώρημα Cayly-Hamilto (ή με άμεσο υπολογισμό) έχουμε A = I Με μια άμεση επαγωγή στο, βλέπουμε ότι για κάθε μη αρνητικό ακέραιο έχουμε A + = A Άρα A A = A A= 0 Θέμα α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο D και / f ( ) = για κάθε D Άρα f / ( ) = 0 = Αν (0, ), τότε f / ( ) < 0 και άρα η f είναι φθίνουσα στο διάστημα αυτό Αν (, ), τότε f / ( )> 0 και άρα η f είναι αύξουσα στο διάστημα αυτό Συνεπώς στο = έχουμε τοπικό ελάχιστο με αντίστοιχη τιμή f() = 0 Άρα στο = έχουμε ολικό ελάχιστο, δηλαδή f( ) 0 για κάθε D β) Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο (,) είναι y = g ( )( ) = ( ), δηλαδή / y = β) 4

5 y = (,) g ( ) = l (,0) Χρησιμοποιώντας το β), το ζητούμενο εμβαδόν είναι E = d + l d Λόγω του α), 0 έχουμε E = d + d = d d = ( l ) l [ l ] = 0 0 ( l ( 0 ) ) = 0 Θέμα 4 α) 4 ( ) ( )( ) lim + = lim = lim lim = Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του L Hospital έχουμε π π si π cos π lim si lim π lim = = = π lim cos π + + = + =

6 4 β) Ισχύει + + = ( + ), δηλαδή συγκλίνει και άρα η σειρά + 0 < 4 δεν συγκλίνει = + Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου για τη σειρά Ξέρουμε ότι η σειρά δεν + = c έχουμε: ( + ) a + + c ( + ) c + = = = ( ) = + a c c c c c Επομένως η σειρά συγκλίνει όταν c> και δεν συγκλίνει όταν c < Δεν συγκλίνει επίσης και για c=, αφού τότε η σειρά γίνεται + = γ) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντικατάστασης έχουμε si cos d = si cos d(cos ) = ( cos ) cos d(cos ) = 4 cos cos cos d(cos ) + cos d(cos ) = + + c Χρησιμοποιώντας ανάλυση σε απλά κλάσματα έχουμε = d = d d = l l + c Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση δυο φορές έχουμε (l ) d= (l ) ( ) ( (l ) ((l ) )) d = d = ( (l ) l d) = (l ) l d και l d= l ( ) ( l (l )) ( l ) l d = d d = = + c 4 Άρα (l ) d= (l ) l + + c 4 Θέμα α) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = ο υποψήφιος είναι επαρκώς προετοιμασμένος, Β = ο υποψήφιος δεν είναι επαρκώς προετοιμασμένος, Ε = ο υποψήφιος πετυχαίνει στις εξετάσεις Από την εκφώνηση έχουμε ότι PA= ( ) και PB ( ) = PA= ( ) Το ενδεχόμενο Ε πραγματοποιείται σε συνδυασμό με ένα από τα Α, Β τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους και καλύπτουν όλες τις δυνατές περιπτώσεις Μπορεί επομένως να εφαρμοστεί το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας για την απάντηση του πρώτου ερωτήματος: PE ( ) = PE ( APA ) ( ) + PE ( BPB ) ( ) = + = Για το δεύτερο ερώτημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος Bays Ζητάμε την PE ( AP ) ( A) PAE ( ) = = = P( E) = 6

7 β) Για να είναι η f () t συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα πρέπει f () tdt= Έχουμε kt kt kt kt a f() t dt = dt = d( kt) d( ) lim k = k = = k a ka k 0 = ( lim ) = (0 ) = k a + k k Συνεπώς έχουμε k k = = β) Υπολογίζουμε t t P( t ) = dt = =