ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π."

Transcript

1 ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες)

2 Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα Σχήμα 3 Είναι Μ ' Μ " y. Ενδέχεται τα ΜΜ ', " να ταυτίζονται και αυτό συμβαίνει όταν το Μ βρίσκεται στο διχοτομούν επίπεδο των τεταρτοχώρων II, IV. Το επίπεδο αυτό ονομάζεται ευλόγως ως επίπεδο σύμπτωσης του συστήματός μας. Συχνά, μετά την τοποθέτηση των σημείων που μας ενδιαφέρουν στο παραστατικό σχήμα, το σημείο Ο παραλείπεται, κι αν επιθυμούμε, το όνομά του χρησιμοποιείται εκ νέου για άλλα σημεία. Σε ένα καθαρά παραστατικό σχήμα φροντίζουμε να εμφανίζονται μονάχα οι πρώτες και δεύτερες προβολές των σημείων που μας ενδιαφέρουν.

3 Παράσταση ευθείας. Σχήμα 4 Σχήμα 5 Φυσικά αν M Σχήμα 6 ε τότε Μ ' ε' και Μ '' ε' '.

4 Παράσταση επιπέδου. Σχήμα 7 Σχήμα 8 Αν ε ευθεία, έστω με ίχνη Ι, Ι και π επίπεδο, έστω με ίχνη σ, σ, τότε φυσικά αν ε π θα είναι και Ι σ και Ι σ. Παρατήρηση. Σχήμα 9 Σχήμα 0 Το αληθές μέγεθος ρ ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ προκύπτει ως υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με μία κάθετη πλευρά την προβολή Α' Β του τμήματος σε κάποιο επίπεδο π, και άλλη κάθετη πλευρά τη διαφορά των αποστάσεων υa υb των σημείων από το επίπεδο. Ως ειδική περίπτωση, προκύπτει επίσης ως το μέγεθος της προβολής του τμήματος σε επίπεδο παράλληλο προς το τμήμα ΑΒ. 3

5 Κατάκλιση επιπέδου επί του πρώτου επιπέδου προβολών. Σχήμα Δίνεται σύστημα προβολής δύο επιπέδων π, π. Κατάκλιση επιπέδου π επί του π είναι η περιστροφή του π στο χώρο γύρω από το ίχνος του σ στο π, έως ότου το π συμπέσει με το π. Στο σχήμα σημειώνεται η κατάκλιση M 0 ενός σημείου Μ του π, καθώς και η κατάκλιση i 0 της ιχνοπαραλλήλου i από το Μ. Υπάρχουν δύο κατακλίσεις του π επί του π. Σχήμα 4

6 Στο προηγούμενο σχήμα δίνεται παραστατικά η κατάκλιση Μ 0 ενός σημείου Μ του επιπέδου π, η κατάκλιση i 0 της πρώτης ιχνοπαραλλήλου i από το M και οι κατακλίσεις ( σ) 0,( σ ) 0 των ιχνών σ, σ. Το αληθές μέγεθος της γωνίας των σ, σ δίνεται από τη γωνία φ. Το σημείο ΛΛ ( ', Λ '') ανήκει στο ίχνος σ του π. Σχήμα 3 Στο παραπάνω σχήμα δίνεται παραστατικά, με δεύτερο τρόπο, η κατάκλιση Μ 0 ενός σημείου Μ του πρόσθιου επιπέδου π. Παρατηρήστε πως αν σ, σ τα ίχνη του π, τότε κάθε σημείο M του επιπέδου αυτού έχει δεύτερη προβολή M '' επάνω στην σ ''. Μάλιστα ολόκληρη η πρώτη ιχνοπαράλληλη i από το M, έχει δεύτερη προβολή μονάχα το σημείο M ''. Σημειώστε τις κατακλίσεις της πρώτης ιχνοπαραλλήλου από το M καθώς και των ιχνών του π, και υπολογίστε το αληθές μέγεθος της γωνίας των ιχνών σ, σ του π. 5

7 Στα σχήματα 4-7 που ακολουθούν δίνονται ως χωρικά σκαριφήματα τα γνωστότερα και πλέον χρήσιμα στις τεχνικές κατασκευές στερεά: πρίσμα, (κυκλικός) κύλινδρος, πυραμίδα, (κυκλικός) κώνος, τοποθετημένα με ιδιαίτερο τρόπο στο σύστημα των δύο επιπέδων π, π. Αμέσως μετά θα μελετήσουμε την παράσταση των στερεών αυτών καθώς και χρήσιμες γραφικές ιδιότητές τους, θεωρώντας επιπλέον και ένα τέμνον επίπεδο (για ευκολία πρόσθιο). Σχήμα 4 Σχήμα 5 6

8 Σχήμα 6 Σχήμα 7 7

9 Στα παραδείγματα που ακολουθούν δίνεται ένα στερεό (πρίσμα, πυραμίδα, κύλινδρος ή κώνος) και ένα τέμνον επίπεδο, έστω σ, παριστάμενα με τη μέθοδο των προβολών σε δύο επίπεδα π,π με οριζόντιο το π. Θα ζητείται να βρούμε το (α) αληθές μέγεθος της τομής του στερεού με το επίπεδο, (β) το ανάπτυγμα του στερεού, (γ )τη μετασχηματισμένη της τομής επάνω στο ανάπτυγμα, καθώς και (δ) τη μετασχηματισμένη της βάσης επάνω στο ανάπτυγμα. Ανάπτυγμα αυτών των στερεών είναι το «ξεδίπλωμα-ξετύλιγμα» της παράπλευρης επιφάνειάς τους επάνω σε ένα επίπεδο, μαζί και με την παράθεση της (επίπεδης) βάσης τους δίπλα στο ανάπτυγμα. Ξετύλιγμα σημαίνει να τοποθετηθεί η παράπλευρη επιφάνεια ισομετρικά επί του επιπέδου, δηλαδή η απόσταση δύο οποιωνδήποτε σημείων επάνω στην επιφάνεια να ισούται με την απόσταση των εικόνων τους επάνω στο επίπεδο. Με τη βοήθεια της διαφορικής γεωμετρίας μπορούμε να αποδείξουμε πως για τα παραπάνω στερεά τέτοιο ξεδίπλωμα υπάρχει πάντοτε (φυσικά για τα πρίσματα και τις πυραμίδες αυτό είναι τετριμμένο). Μετασχηματισμένη μιας καμπύλης στην επιφάνεια ενός στερεού, είναι η θέση της εικόνας της καμπύλης επάνω στο ανάπτυγμά του, δηλαδή η θέση που θα πάρει η καμπύλη μετά το ξετύλιγμα της επιφάνειας επάνω στο επίπεδο. Για σχεδιαστική απλότητα συνήθως επιλέγουμε το π ώστε να περιέχει μια βάση του στερεού και το π ώστε το τέμνον επίπεδο σ να είναι πρόσθιο στο σύστημα π,π, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο. Επίσης, για σχεδιαστική απλότητα και πάλι, ασχολούμαστε με κυλίνδρους και κώνους με κυκλική βάση, χωρίς να είναι αυτό απολύτως απαραίτητο. Η μεθοδολογία που θα αναπτύξουμε πιο κάτω εφαρμόζεται και στη γενική περίπτωση που η βάση τους είναι τυχαία καμπύλη, ακόμη και μη κλειστή ή αυτοτεμνόμενη. Για ιδιαίτερες κατηγορίες στερεών, όπως π.χ. οι ορθοί κυκλικοί κώνοι (δηλαδή κυκλικοί κώνοι με την κορυφή τους στην κάθετη στη βάση ευθεία στο κέντρο του κύκλου), οι κατασκευές αυτές απλουστεύονται κατά πολύ, αλλά δεν θα περιορίσουμε το ενδιαφέρον μας μονάχα σε αυτούς. Ομοίως, παρότι οι κατασκευές είναι απλούστερες στην περίπτωση των ορθών πρισμάτων και κυλίνδρων, ισχύουν ομοίως και για τυχαία πρίσματα και κυλίνδρους). Για τη σχεδίαση των ζητούμενων ακολουθούμε τα εξής βήματα: () Επιλέγουμε σημεία της βάσης, έστω A,A,,A n που καθορίζουν το πολύγωνο A A An της βάσης με το οποίο θα ασχοληθούμε. Στην περίπτωση του πρίσματος και της πυραμίδας, αυτό είναι ακριβώς το δοσμένο πολύγωνο της βάσης, ενώ στην περίπτωση του κυλίνδρου και του κώνου επιλέγουμε τα A,A,,A n τυχαία. Όμως προκειμένου να είναι αξιόλογες οι προσεγγίσεις των κατασκευών που θα προκύψουν από τις επιλογές μας, φροντίζουμε να επιλέξουμε σημεία σκορπισμένα ομοιόμορφα στην καμπύλη της βάσης. Έτσι αν ο κύλινδρος ή ο κώνος έχουν π.χ. κυκλική βάση, επιλέγουμε τα A,A,,A n να αποτελούν κορυφές κανονικού πολυγώνου. Προκειμένου οι κατασκευές μας να προσεγγίζουν ικανοποιητικά την πραγματικότητα φροντίζουμε το πλήθος των επιλεγμένων σημείων να είναι μεγάλο. Για λόγους απλότητας και σχεδιαστικής ευκρίνειας, στα παραδείγματά μας θα επιλέγουμε 6,8 ή σημεία. Για μαθηματικούς λόγους, συχνά είναι βολικό να επιλέγουμε κορυφές ανά δύο συμμετρικές ως προς την «οριζόντια» διάμετρο του κύκλου της βάσης (δηλαδή παράλληλη στον άξονα y ). Στην περίπτωση αυτή ανά δύο οι δεύτερες προβολές των κορυφών (που βρίσκονται επάνω στον άξονα y ) ταυτίζονται και στο σχέδιό μας υπάρχουν λιγότερα σημεία και γραμμές, καθιστώντας το πιο ευανάγνωστο. Προσοχή: στο σχέδιό μας πρέπει να δείχνουμε το κάθε σημείο και την κάθε γραμμή με το σωστό τρόπο, ώστε να αποφεύγουμε ανώφελες συγχύσεις. Έτσι τα σημεία A,A,,A n που επιλέγουμε στη βάση πρέπει να σημειώνονται με την πρώτη και δεύτερη προβολή τους. Καθώς τα σημεία αυτά ανήκουν στο π, οι πρώτες προβολές τους είναι οι εαυτοί τους, και οι δεύτερες προβολές τους βρίσκονται επάνω στον άξονα y. Τα ίδια τα ονόματα A,A,,A n δεν πρέπει να εμφανιστούν στο σχέδιό μας! Για παράδειγμα το όνομα A δεν πρέπει να εμφανιστεί στο σχέδιό μας, αλλά στη θέση τους πρέπει να υπάρχουν τα σημεία με τα ονόματα A ',A ''. 8

10 () Ονομάζουμε τα σημεία τομής του επιπέδου σ με τις παράπλευρες ακμές του στερεού που αντιστοιχούν στα A,A,,A n, και σημειώνουμε τα σημεία στο σχέδιό μας με τις πρώτες και δεύτερες προβολές τους. Π.χ. ονομάζουμε ως,, τα σημεία τομής, και σημειώνουμε στο σχέδιό μας τα ','',','', Στην περίπτωση που το τέμνον επίπεδο σ είναι πρόσθιο, η εύρεση των προβολών αυτών γίνεται εύκολα αν ξεκινήσουμε με τις δεύτερες προβολές. Αν το στερεό είναι π.χ. μια πυραμίδα με κορυφή το Κ, η ακμή από το Α είναι η ΑΚ και το σημείο τομής του επιπέδου σ με αυτή, έχει δεύτερη προβολή '' που τη βρίσκουμε στο σχέδιό μας ως τομή του Α'' Κ '' με το σ ''. Κατόπιν το ' το βρίσκουμε στο σχέδιό μας ως τομή της Α' Κ ' με την κάθετη ευθεία προς τον άξονα y από το σημείο ''. (3) Για το αληθές μέγεθος της τομής: Χρησιμοποιώντας τις πρώτες και δεύτερες προβολές ','',','', των σημείων τομής, κατακλίνουμε το επίπεδο σ στο επίπεδο της βάσης (δηλαδή στο χαρτί μας) βρίσκοντας τις εικόνες των σημείων τομής,,. Ονομάζουμε τις εικόνες αυτές o, o, και το ζητούμενο αληθές μέγεθος της τομής είναι είτε το πολύγωνο o o no (όταν το στερεό είναι πρίσμα ή πυραμίδα) είτε μια καμπύλη o o no διερχόμενη από τις κατακλίσεις (όταν το στερεό είναι κύλινδρος ή κώνος). Όταν πρόκειται για καμπύλη, σχεδιάζεται προσεγγιστικά. Η θεωρία μας βοηθάει να γνωρίζουμε περίπου το σχήμα της: π.χ. όταν τέμνουμε ένα επίπεδο με έναν κυκλικό κώνο ή κυκλικό κύλινδρο, η τομή είναι είτε τετριμμένη (σημείο, ευθεία κτλ), είτε μια γνήσια κωνική τομή δηλαδή κύκλος, έλλειψη, υπεβολή, παραβολή (για τον κύλινδρο: κύκλος ή έλλειψη). Επίσης, με χρήση γνώσεων από τη διαφορική γεωμετρία μπορούμε να γνωρίζουμε την καμπυλότητα της καμπύλης σε κάθε σημείο και τη γνώση αυτή μπορούμε να την περάσουμε στο σχέδιό μας. Όμως στα μαθήματα αυτά δεν θα το κάνουμε. Μπορούμε όμως να βοηθηθούμε στη χάραξη με άλλους τρόπους, γνωρίζοντας για παράδειγμα ευθείες στις οποίες εφάπτεται η αρχική καμπύλη επί του σ, και περνώντας τις πληροφορίες αυτές στην κατάκλιση. Τέτοιου είδους πληροφορίες θα χσησιμοποιήσουμε στα παραδείγματά μας στην περίπτωση π.χ. ενός κώνου για τον οποίο η κορυφή του προβάλλεται επί του π στο εξωτερικό της βάσης του. Ας σημειώσουμε πως μπορούμε να αγνοήσουμε τέτοιου είδους πληροφορίες στην περίπτωση που το πλήθος των επιλεγμένων σημείων A,A,,A n είναι πολύ μεγάλο, καθώς τότε «το μάτι ξεγελιέται», τακτική που ακολουθείται και στο σχεδιασμό μέσω υπολογιστή. (4) Για το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας: Θεωρούμε προσεγγιστικά πως η επιφάνειά μας αποτελείται από τα πολύγωνα που δημιουργούν οι διαδοχικές παράπλευρες ακμές που αντιστοιχούν στα επιλεγμένα σημεία A,A,,A n, μαζί με τις αντίστοιχες ακμές της βάσης. Για πρίσματα και πυραμίδες δεν χρειαζόμαστε νέα προσέγγιση καθώς η παράπλευρη επιφάνειά τους αποτελείται ήδη από πολύγωνα, αλλά για ένα κύλινδρο με παράπλευρες ακμές A A,A A, προσεγγίζουμε την παράπλευρη επιφάνειά του με τα πολύγωνα A A A A,A A A3 A 3, Ομοίως για έναν κώνο κε κορυφή K, προσεγγίζουμε την παράπλευρη επιφάνειά του με τα τρίγωνα ΚΑ Α, ΚΑ Α 3, Στο σχέδιό μας τοποθετούμε τα πολύγωνα αυτά διαδοχικά με τη σειρά το ένα δίπλα στο άλλο ώστε να όταν αυτά μοιραζόταν στην παράπλευρη επιφάνεια κάποια κοινή ακμή, να συνεχίσουν να μοιράζονται κοινή ακμή και στο ανάπτυγμά τους. Γνωρίζοντας τα αληθινά μήκη των πλευρών των πολυγώνων μπορούμε να τα κατασκευάσουμε με τις συνηθισμένες γεωμετρικές τεχνικές. Σημαντικό: Για την κατασκευή των πολυγώνων της παράπλευρης επιφάνειας του αναπτύγματος πρέπει να βρούμε τα αληθινά μήκη των πλευρών τους, και αυτά δεν δίνονται π.χ. οι δεύτερες προβολές τους! Το αληθές μέγεθος των τμημάτων της βάσης επί του π δίνονται από τις πρώτες προβολές τους. Π.χ. το αληθές μέγεθος του ΑΑ είναι το μήκος Α Α ' '. Για τις παράπλευρες ακμές αληθεύει πως το αληθές μήκος δίνεται από τις δεύτερες προβολές τους μόνο όταν οι παράπλευρες ακμές είναι κατακόρυφες (κάθετες στο π ), π.χ. όταν το στερεό μας είναι ένα ορθό πρίσμα. Στη γενική περίπτωση, το αληθές μέγεθος των παράπλευρων ακμών το βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τις πρώτες προβολές των ακμών μαζί με την κατακόρυφη υψομετρική διαφορά των άκρων τους 9

11 όπως στην Παρατήρηση της σελίδας 3. Για παράδειγμα, για μία πυραμίδα κορυφής K, το αληθές μέγεθος της παράπλευρης ακμής A K κατασκευάζεται ως υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με μια κάθετη πλευρά την πρώτη προβολή A ' K' και δεύτερη κάθετη πλευρά το υψόμετρο του K (που ισούται με την υψομετρική διαφορά των άκρων της ακμής A K ). Το υψόμετρο του K μπορούμε να το βρούμε από το σχέδιό μας, π.χ. ως η απόσταση του K'' από τον άξονα y. (5) Για τη μετασχηματισμένη της τομής: Πρέπει να βρούμε πρώτα την αληθινή τοποθέτηση των σημείων τομής επάνω στις αντίστοιχες ακμές και κατόπιν να ενώσουμε τα διαδοχικά σημεία τομής με πολυγωνικά τμήματα (στην περίπτωση του πρίσματος και της πυραμίδας) ή με καμπύλες (στην περίπτωση του κυλίνδρου ή του κώνου). Στην περίπτωση των καμπυλών, ισχύουν παρατηρήσεις ανάλογες με αυτές που κάναμε για το αληθές μέγεθος της τομής όσον αφορά τον καλύτερο σχεδιασμό των καμπυλών. Μία επιπλέον τεχνική που ακολουθούμε για την ορθότερη κατασκευή των καμπυλών είναι να ενώνουμε αρχικά τα διαδοχικά σημεία με ευθύγραμμα τμήματα δημιουργώντας μια πολυγωνική γραμμή, και κατόπιν να χαράσσουμε την καμπύλη που ονομάζουμε μετασχηματισμένη της τομής θεωρώντας στα σημεία τομής καμπυλότητες που στρέφουν τα κοίλα όπως υποδεικνύει η πολυγωνική γραμμή. Το μέγεθος της καμπυλότητας μπορεί να υπολογιστεί σε κάθε περίπτωση με χρήση γνώσεων από τη διαφορική γεωμετρία, αλλά δεν θα το κάνουμε αυτό στα μαθήματά μας. Η αληθινή τοποθέτηση επάνω στις παράπλευρες ακμές μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Ένας από αυτούς είναι ο εξής: τα ορθογώνια τρίγωνα που χρησιμοποιούμε για την κατασκευή των αληθών μηκών των παράπλευρων ακμών (ως υποτείνουσές τους), τα τοποθετούμε με τη μια κάθετη πλευρά επί του άξονα y και τη δεύτερη κάθετη πλευρά καθέτως στον άξονα, με τη δεύτερη πλευρά να είναι αυτή που ισούται σε μήκος με την υψομετρική διαφορά της ακμής (δηλαδή το ύψος της κορυφής K για πυραμίδες και κώνους). Κατόπιν, από τις δεύτερες προβολές '','', των σημείων τομής,, χαράσσουμε ευθείες παράλληλες στον άξονα y και σημειώνουμε ως,, τα σημεία τομής τους αντιστοίχως με τις υποτείνουσες που δίνουν τα μήκη των παράπλευρων ακμών από τα A,A, Τα σημεία αυτά έχουν (αποδεικνύεται!, μπορείτε μήπως;) επάνω στην αντίστοιχη υποτείνουσα-παράπλευρη ακμή τη σωστή τοποθέτηση του αληθινού σημείου τομής στην αντίστοιχη παράπλευρη ακμή της παράπλευρης επιφάνειας (και αυτός είναι ο λόγος που τα ονομάσαμε με τα ονόματα των σημείων τομής!) (6) Για τη μετασχηματισμένη της βάσης: Αφού πρώτα έχουμε δημιουργήσει το ανάπτυγμα της προσεγγιστικής παράπλευρης επιφάνειας ενώνουμε διαδοχικά τα σημεία A,A, του αναπτύγματός μας με μια καμπύλη με τρόπο ανάλογο με αυτό της μετασχηματισμένης της τομής. Ισχύουν και ανάλογες παρατηρήσεις για την ορθότητα της μεθόδου και τον καλύτερο σχεδιασμό. 0

12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 8

13 Λύση Σχήμα 9

14 Σχήμα 0 3

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και πυραμίδα κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα της πυραμίδας, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο. Σχήμα 4

16 Λύση Σχήμα 5

17 Σχήμα 3 6

18 Σχήμα 4 7

19 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ, γ με τη βάση γ επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού οκταγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του κυλίνδρου με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του κυλίνδρου με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του κυλίνδρου, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του κυλίνδρου με το επίπεδο. Σχήμα 5 8

20 Λύση Σχήμα 6 9

21 Σχήμα 7 0

22 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ, γ με τη βάση γ επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε την παράσταση της δεξιόστροφης και της αριστερόστροφης έλικας c, c του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από το σημείο a= του π. Λύση Σχήμα 8 Σχήμα 9

23 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου. Σχήμα 30

24 Λύση Σχήμα 3 3

25 Σχήμα 3 4

26 Σχήμα 33 5

27 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Δίνεται ευθεία ε και πυραμίδα κορυφής Κ και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με την πυραμίδα (αν υπάρχουν). Λύση Σχήμα 35 Σχήμα 36 6

28 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Έστω ΚΑΒΓ ΕΖ πυραμίδα κορυφής Κ (40,0,70) και βάσης κανονικό εξάγωνο του π, όπου Α(40,0,0), (40, 70,0). Έστω επίσης π( σ ', σ '') πρόσθιο επίπεδο διερχόμενο από το Α και κάθετο στην ευθεία Κ. Τοποθετήστε τα δεδομένα στο σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά και πως Ο (0,0,0). Σχήμα 3 Λύση Σχήμα 37 7

29 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8. Έστω π( σ ', σ '') πρόσθιο επίπεδο διερχόμενο από το Ο (0,0,0) με γωνία κλίσης 45 o ως προς το π, για τα σημεία ( x, y, z ) του οποίου είναι y 0 στο τεταρτοχώριο I. Έστω επίσης κυκλικός κώνος κορυφής K (40,0,60) και βάσης κύκλο γ του π κέντρου Μ(40, 30,0) και ακτίνας 30. Έστω τέλος πυραμίδα κορυφής Κ, εγγεγραμένη στον κώνο και βάσης κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ όπου Α (40,0,0). Τοποθετήστε τα δεδομένα στο σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. Λύση Σχήμα 38 Σχήμα 39 8

30 ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 40 9

31 ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ Ε, ΑΒΓ Ε με τη βάση ΑΒΓ Ε στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 4 30

32 ΑΣΚΗΣΗ 3. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και πυραμίδα κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα της πυραμίδας, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο. Σχήμα 4 3

33 ΑΣΚΗΣΗ 4. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και πυραμίδα κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα της πυραμίδας, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο. Σχήμα 43 3

34 ΑΣΚΗΣΗ 5. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και δύο εφαπτόμενοι ορθοί κυκλικοί κύλινδροι βάσεων γ, γ ο πρώτος και c, c ο δεύτερος, με τις βάσεις γ, c επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού οκταγώνου των βάσεων γ, c και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε: () τις δύο προβολές των τομών των κυλίνδρων με το επίπεδο, () τα αληθή σχήματα των τομών των κυλίνδρων με το επίπεδο, καθώς και τη σχετική τους θέση επί του π. (3) τα αναπτύγματα των κυλίνδρων, (4) τις μετασχηματισμένη των τομών των κυλίνδρων με το επίπεδο. Σχήμα 44 33

35 ΑΣΚΗΣΗ 6. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ, γ με τη βάση γ επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε την παράσταση της δεξιόστροφης και της αριστερόστροφης έλικας c, c του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από τα σημεία a, αντιστοίχως του π. Σχήμα 45 34

36 ΑΣΚΗΣΗ 7. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ,γ με τη βάση γ επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε την παράσταση της δεξιόστροφης και της αριστερόστροφης έλικας c,c του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από τα σημεία a, αντιστοίχως του π. Σχήμα 46 35

37 ΑΣΚΗΣΗ 8. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ, γ παράλληλων στο π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε την παράσταση της δεξιόστροφης και της αριστερόστροφης έλικας c, c του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από τα σημεία a, αντιστοίχως της γ. Σχήμα 47 36

38 ΑΣΚΗΣΗ 9. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου. Σχήμα 48 37

39 ΑΣΚΗΣΗ 0. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Η πρώτη προβολή στον y. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου, (8) το εμβαδόν της τομής του κώνου με το επίπεδο. Κ ' του Κ βρίσκεται στην ευθεία της διαμέτρου του γ που είναι παράλληλη Σχήμα 49 38

40 ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου Σχήμα 50 39

41 ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Η πρώτη προβολή Κ ' του Κ βρίσκεται στην ευθεία της διαμέτρου του γ που είναι παράλληλη στον y και το ίχνος σ του π είναι παράλληλη στη γενέτειρα Κα του κώνου. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου, Υπόδειξη: Η τομή είναι μια παραβολή. Σχήμα 5 40

42 ΑΣΚΗΣΗ 3. Δίνεται κατακόρυφο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 5 4

43 ΑΣΚΗΣΗ 4. Δίνεται κατακόρυφο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 53 4

44 ΑΣΚΗΣΗ 5. Δίνεται οριζόντιο επίπεδο π με δεύτερο ίχνος σ, και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 54 43

45 ΑΣΚΗΣΗ 6. Δίνεται ευθεία ε και πυραμίδα κορυφής Κ και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με την πυραμίδα (αν υπάρχουν). Σχήμα 55 44

46 ΑΣΚΗΣΗ 7. Έστω κανονικό οκτάγωνο Σ ΑΒΓ ΕΖΗΘ γ (40,0,0), 40 του π όπου Α (40,40,0), και έστω πυραμίδα Σ κορυφής Κ (80,0,80) και βάσης ΑΓΕΗ. Έστω επίσης πρίσμα Σ 3 βάσεων = εγγεγραμμένο στον κύκλο ( ) Β ΖΘΒ, Β ΖΘΒ με ύψος 80 και σημεία μη αρνητικών υψομέτρων. Τέλος, έστω πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το Α και από το μέσον της ακμής ΚΕ.Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ 8. Έστω κανονική πυραμίδα Σ κορυφής Κ (0,0,80) και βάσης κανονικό οκτάγωνο ΑΒΓ ΕΖΗΘ του π εγγεγραμμένο στον κύκλο γ κέντρου Μ (40,40,0) με Α (40,80,0). Έστω επίσης πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το Α και κλίσης 0.5 (ως προς το π ). Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ 9. Έστω (α) λοξός κώνος Σ κορυφής (40,40 40,80) γ του π, (β) πυραμίδα Σ κορυφής Κ και βάσης το κανονικό οκτάγωνο το εγγεγραμμένο στον γ, όπου Α (40,80,0), (γ) πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το Α και από το μέσον του ύψους της πυραμίδας. Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) Κ και βάσης τον κύκλο ((40, 40, 0), 40) ΑΣΚΗΣΗ 0. Έστω (α) πυραμίδα Σ κορυφής Κ (40,0,80) και βάσης κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ του π με Α (40,0,0) και (40,80,0), (β) ορθό εξαγωνικό πρίσμα Σ βάσης ΑΒΓ ΕΖ και ύψους 80 με σημεία μη αρνητικών υψομέτρων, (γ) πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το Α και κάθετο στην ευθεία Κ. Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ. Έστω (α) κώνος Σ κορυφής Κ με σημεία μη αρνητικών υψομέτρων, ύψους 80 και βάσης κύκλο γ του π ακτίνας 40 και κέντρου το Μ (40,40,0), (β) πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το μέσον του ύψους του κώνου και πρώτο ίχνος ευθεία που εφάπτεται στη βάση του κώνου αριστερά (όταν η y χαράσσεται οριζόντια), (γ) οριζόντιο επίπεδο τ που διέρχεται από το μέσον του ύψους του κώνου. Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ. Κώνος Κ + και βάση κύκλο γ του π κέντρου Μ (40,40,0) και Σ έχει κορυφή το ( 40, 40 0,80) ακτίνας 4 0. Επίσης, τετραγωνική πυραμίδα Σ κορυφής Κ έχει βάση τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο στον γ με Α (40,80,0). Τέλος, πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διέρχεται από το Α και το μέσον της ακμής ΚΓ του κώνου. Να τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ 3. Δίνεται ορθός κύλινδρος Σ ύψους 80, με σημεία μη-αρνητικού υψομέτρου και βάσης κύκλο γ του π κέντρου Μ (40,40,0) και ακτίνας 4 0. Δίνεται επίσης, ορθή τετραγωνική πυραμίδα Σ κορυφής Κ (40,40,80) και βάσης τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο στον γ, όπου Α (40,0,0). Τέλος, δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') που διέρχεται από το Α και το μέσον του ύψους της πυραμίδας. Να τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) 45

47 ΑΣΚΗΣΗ 4. Δίνεται κώνος Σ κορυφής Κ(50,.5,65) και βάσης κύκλο γ του π κέντρου Μ (50,0,0) και ακτίνας 50. Δίνεται επίσης, ορθό εξαγωνικό πρίσμα Σ με σημεία μη αρνητικού υψομέτρου, βάσης κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ εγγεγραμμένο στον γ και ύψους ίσο με το ύψος του κώνου. Τέλος, δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') που εφάπτεται στον γ στο Α, με δεύτερο ίχνος κάθετο στη γενέτειρα του κώνου με το μικρότερο μήκος. Να τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) Πόσες διαφορετικές τοποθετήσεις υπάρχουν; ΑΣΚΗΣΗ 5. Δίνεται ορθός κώνος Σ κορυφής Κ, ύψους 80 και βάσης κύκλο γ του π κέντρου Μ (40,40,0) και ακτίνας 4 0. Δίνονται επίσης τα πρόσθια επίπεδα π( σ ', σ ''), p( τ ', τ '') που διέρχονται από το μέσον του ύψους του κώνου και έχουν το καθένα τους ως πρώτο ίχνος μια ευθεία εφαπτόμενη στον γ. Να τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) 46

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 2014) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες)

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 2014) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 04) ΕΜΠ (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Προοπτική απεικόνιση του (προβολικού) χώρου ονομάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΩΝΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ Σχήµα 1 Η κωνική επιφάνεια ή κώνος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας (γενέτειρες) η οποία διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΦΑΙΡΑΣ (Ο, ρ) Σχήµα 1 Η σφαίρα σε κάθε ορθή προβολή προβάλλεται κατά µέγιστο κύκλο που έχει κέντρο την προβολή του κέντρου της σφαίρας και

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 6 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Κάντε κλικ στο URL https://www.geogebra.org/m/msrbdbc5.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) 3 ) 3) 5 3 3 5 3 5) 5 4) 3 5 6) ( α 3 + 3β ) 7) (7 + )(7 ) 8) (β 4 + 1)(β + 1)(β + 1)(β 1). Να κάνετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις

Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις Ενότητα: ΜΕΘΟΔΟΣ MONGE Διδάσκων: Γεώργιος Ε. Λευκαδίτης Τμήμα: Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΜΕΘΟΔΟΣ MONGE ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΑΡΑΣΤAΣΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος

Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 6 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Όλες οι εφαρμογές που καλείσθε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ.

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. Πρόκειται για εικόνες τις οποίες μπορούμε να παρατηρήσουμε χρησιμοποιώντας κατάλληλες ανακλαστικές επιφάνειες, οι οποίες συνήθως είναι κωνικές ή κυλινδρικές

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Μέσα χορδών Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Σχεδιάστε με το Sketchpad το ίχνος των μέσων των χορδών κατά την παράλληλη μεταφορά μιας ευθείας. Για το σκοπό αυτό, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε τα μέσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14

ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14 ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΓΗΣ ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Περιεχόμενα 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 I. ΠΥΡΑΜΙΔΑ 4 II. ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ 5 III. ΟΓΚΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ 5 2. ΜΟΡΦΕΣ ΙΣΟΚΛΙΝΟΥΣ ΣΤΕΓΗΣ 6 I. ΔΥΡΙΧΤΗ 6 II. ΤΕΤΡΑΡΙΧΤΗΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Πρόκειται να δώσουμε τον ορισμό των κωνικών τομών και

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) ( ) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του αποτελέσματος για χ = 2

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) ( ) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του αποτελέσματος για χ = 2 ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) ( χ 3) ) ( χ + ω) 3) ( 5χ + 3ω) ( 3ω 5χ) 4) ( ) 3 3 5) ( 5χ ψ) ψ 5 6) αα 3 + 3ββ 7) 7 + 7 8) (ββ 4 + 1)(ββ

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Γεωμετρία της Β Λυκείου παρουσιάζονται θεωρήματα και προβλήματα που έχουν μεγάλη ιστορική και μαθηματική αξία. Αξιοποιείται η αναλυτικήσυνθετική μέθοδος και επιχειρείται μία πρώτη επαφή με

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα