ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα. Η µελέτη της κίνηση ενός στερεού σώµατος δεν είναι εύκολη υπόθεση και σίγουρα υπερβαίνει κατά πολύ το επίπεδο του παρόντος µαθήµατος. Για να εισαγάγοµε µε φυσικό τρόπο τις έννοιες της ροπής δύναµης και στροφορµής θα περιοριστούµε στην περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. 7. Ροπή δύναµης Ας θεωρήσοµε ένα στερεό σώµα που µπορεί να περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα, ο οποίος, ας δεχτούµε χωρίς να είναι απαραίτητο, διέρχεται από το σώµα. Επιλέγοµε το επίπεδο να τέµνει το στερεό σώµα και θεωρούµε ένα σηµείο P του σώµατος που να βρίσκεται στο επίπεδο. Έστω ότι οι συντεταγµένες του σηµείου P είναι (,,). Εποµένως η διανυσµατική ακτίνα του σηµείου P είναι ˆ, (7.) όπου + και ˆ cosθ ˆ + snθ ˆj είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. Εδώ θεωρήσαµε ότι η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατική ακτίνα µε τον άξονα είναι θ, δηλαδή cosθ και snθ. Ας θεωρήσοµε τώρα ότι το σώµα περιστρέφεται κατά απειροστή γωνία d θ. Ας δούµε πόση είναι η µεταβολή d της διανυσµατικής ακτίνας. Κατά την περιστροφή το µέτρο του διανύσµατος, δηλαδή το, παραµένει σταθερό. Άρα, µε παραγώγιση της (6.) έχοµε d d dˆ d dθ ˆ + + (cosθ ˆ + snθ ˆ) j ( snθ ˆ + cosθ ˆj ). (7.) Αλλά, όπως είδαµε στο Παράδειγµα.5, το διάνυσµα στην παρένθεση είναι το µοναδιαίο (εφαπτόµενο στον κύκλο) διάνυσµα θˆ, ˆ θ snθ ˆ + cosθ ˆj. (7.) Έτσι, πολλαπλασιάζοντας µε το αµφότερα τα µέλη της (7.) παίρνοµε d dθ ˆ θ. (7.) Το αποτέλεσµα (7.) θα µπορούσαµε να το γράψοµε κατ ευθείαν, χωρίς να κάνοµε πράξεις, διότι το µέτρο της µεταβολής d είναι dθ, δηλαδή είναι το µήκος τόξου που διέγραψε το σηµείο P µετά από περιστροφή κατά γωνία d θ. Επίσης, η

2 κατεύθυνση της κίνησης του σηµείου P είναι αυτή του µοναδιαίου διανύσµατος θˆ. Άρα η (7.) είναι προφανής. Ας θεωρήσοµε τώρα ότι στο σηµείο P ασκείται δύναµη F F ˆ+ F ˆj και ότι λόγω αυτής της δύναµης το στερεό σώµα περιστρέφεται περί τον άξονα κατά γωνία d θ. Το έργο λοιπόν που έκανε η δύναµη είναι dw F d ( F ˆ + F ˆ) j dθ ˆ θ ( F ˆ + F ˆ) j dθ ( snθ ˆ + cosθ ˆ) j F sn θ dθ + F cosθ dθ F dθ + F dθ ( F F dθ, (7.5) ) που έχει κάπως περίεργη µορφή. Στη µονοδιάστατη κίνηση, ας πούµε στον άξονα, το έργο της δύναµης F για µετατόπιση κατά d είναι dw F d, από την οποία θα µπορούσε κα γράψει κανείς εξίσωση (7.5) έχοµε F dw / d. Αν κάνοµε κάτι παρόµοιο στην F F dw dθ. (7.6) / Βλέποµε λοιπόν ότι, για το ίδιο έργο dw, στην περιστροφή εµφανίζεται η ποσότητα F που θα τη λέµε ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων. F Όπως θα δούµε αµέσως παρακάτω, η ροπή της δύναµης F ορίζεται ως διανυσµατικό µέγεθος και η ποσότητα που εµφανίζεται στην εξίσωση (7.6) είναι η -συνιστώσα της ροπής. Γι αυτό εµφανίζεται ως βαθµωτό µέγεθος. Ορισµός: Αν είναι η διανυσµατική ακτίνα ενός σηµείου στο οποίο δρα η δύναµη F, τότε η ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως τ F, (7.7) όπου το συµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6). Στην ειδική περίπτωση που εξετάσαµε παραπάνω, δηλαδή την περιστροφή στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα, όπου τα διανύσµατα και F είχαν µόνο και συνιστώσες, γράφοµε τ F ˆ ˆj kˆ ( ˆ + ˆ) j ( F ˆ + F ˆ) j ( F F ) kˆ. (7.8) F F Το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι µια ορίζουσα µε πρώτη γραµµή τα µοναδιαία διανύσµατα ˆ, ˆ, j kˆ, µε δεύτερη γραµµή τις συνιστώσες του πρώτου

3 διανύσµατος και µε τρίτη γραµµή τις συνιστώσες του δεύτερου διανύσµατος. Το ανάπτυγµα της ορίζουσας αυτής γίνεται πάντοτε κατά µήκος της πρώτης γραµµής. Αυτό σηµαίνει ότι το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι διάνυσµα. Είναι προφανές από τα παραπάνω ότι η υπο-ορίζουσα του î είναι µηδέν και οµοίως για την υπο-ορίζουσα του ĵ. Μόνο η υπο-ορίζουσα του kˆ είναι διάφορη του µηδενός και ίση µε την ποσότητα (7.6), δηλαδή τ F F. 7. Στροφορµή υλικού σηµείου Θα δούµε τώρα πως εµφανίζεται µε φυσική τρόπο η στροφορµή. Ας ξεχάσοµε προς το παρόν το στερεό σώµα που εξετάσαµε παραπάνω και ας θεωρήσοµε ότι στο σηµείο P υπάρχει ένα υλικό σηµείο µάζας m, πάνω στο οποίο ασκείται δύναµη F F ˆ+ F ˆj. Όπως είδαµε παραπάνω, η -συνιστώσα της ροπής της δύναµης F είναι τ F F. (7.9) Από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα για το υλικό σηµείο µάζας m έχοµε ότι d Αντικαθιστώντας στην (7.9) έχοµε F m και m d F. (7.) Αλλά, d m d d m d d τ m m. (7.) d d d d d d m + m m m Έτσι, η (7.) γράφεται d d m m. (7.) d ( mu mu ) ( p p ) d d d d τ m m, (7.) όπου u και u είναι οι συνιστώσες της ταχύτητας του υλικού σηµείου και είναι οι αντίστοιχες συνιστώσες της ορµής. Η ποσότητα ( p ) p, που εµφανίζεται στην (7.) µας θυµίζει τη -συνιστώσα εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων. p, p

4 Ορισµός: Αν είναι η διανυσµατική ακτίνα ενός υλικού σηµείου µάζας m στο οποίο δρα η δύναµη F, τότε η στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως l p, (7.) όπου το συµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6). Στην ειδική περίπτωση που εξετάσαµε εδώ, δηλαδή την κίνηση υλικού σηµείου στο επίπεδο, γράφοµε ˆ ˆj kˆ l p ( ˆ + ˆ) j ( p ˆ + p ˆ) j ( p p ) kˆ (7.5) p p και η στροφορµή l έχει µόνο -συνιστώσα. Έτσι, η εξίσωση (7.) γράφεται ως όπου d l τ, (7.6) l p p είναι η -συνιστώσα της στροφορµής του υλικού σηµείου. Η εξίσωση (7.6) δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα γραµµένος µε τη χρήση της ροπής δύναµης και της στροφορµής. Παρατήρηση: Στην ειδική περίπτωση που το υλικό σηµείο κάνει κύκλο ακτίνας, η διανυσµατική ακτίνα του και η ορµή του p είναι κάθετα διανύσµατα και η στροφορµή του υλικού σηµείου µπορεί να γραφεί ως l p ˆ p ˆ θ pkˆ, (7.7) διότι ˆ θ ˆ kˆ, κατ αναλογία προς τις σχέσεις (6.5). 7. Στροφορµή στερεού σώµατος Τώρα που ξέροµε τι είναι η στροφορµή υλικού σηµείου, µπορούµε νε εξετάσοµε τη στροφορµή στερεού σώµατος, αφού τα στερεά σώµατα αποτελούνται από άτοµα, που µπορούµε να τα θεωρήσοµε σαν υλικά σηµεία. Ας θεωρήσοµε ξανά ένα στερεό σώµα, που µπορεί να περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα. Έστω ότι το στερεό σώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόσταση από τον άξονα. Αν το στερεό σώµα είναι κράµα πολλών στοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιστροφή του στερεού σώµατος.

5 Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για τη στροφορµή του, σύµφωνα µε την (7.7), l p m u mω ω m, (7.8) όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα. Έτσι, η ολική στροφορµή του στερεού σώµατος είναι l ω m ω, (7.9) όπου ορίσαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς Από τον ορισµό της ροπής αδράνειας στερεού σώµατος ως προς τον άξονα, που είναι το άθροισµα των γινοµένων των µαζών του επί το τετράγωνο των αποστάσεών τους από τον άξονα, µπορούµε να γενικεύσοµε τον ορισµό για συνεχείς κατανοµές µάζας. Έτσι, όπως στο Κεφάλαιο, θεωρούµε στερεό σώµα µάζας M µε πυκνότητα ρ και θεωρούµε επίσης έναν απειροστό όγκο του σώµατος dv που απέχει από τον άξονα απόσταση. Σ αυτόν τον όγκο υπάρχει η απειροστή µάζα dm ρ dv. Κατ αναλογία λοιπόν προς τη ροπή αδράνειας για διακριτά υλικά σηµεία γράφοµε dm ( V ) ( V ) ρ dv, (7.) όπου το σύµβολο (V ) στο ολοκλήρωµα σηµαίνει ότι πρέπει να ολοκληρώσοµε ως προς όλον τον όγκο V του στερεού σώµατος. Αν το στερεό σώµα έχει αµελητέο πάχος, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την επιφάνεια του σώµατος. Αν το στερεό σώµα είναι λεπτό σύρµα, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την γραµµή που διατρέχει το σώµα. 7. Κινητική ενέργεια στερεού σώµατος Ας θεωρήσοµε ξανά ένα στερεό σώµα, που µπορεί να περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα. Έστω ότι το στερεό σώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόσταση από τον άξονα. Αν το στερεό σώµα είναι κράµα πολλών στοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιστροφή του στερεού σώµατος. Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για την κινητική ενέργειά του m u mω m ω, (7.) όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα. Έτσι, η ολική κινητική ενέργεια του στερεού σώµατος είναι

6 T ω m ω, (7.) όπου ορίσαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς Παράδειγµα 7.: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο, σχήµατος ρόµβου, στο επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ (οι µονάδες είναι kg/m), µε κορυφές στα σηµεία (,),(,),(,),(, ). Το πλαίσιο µετά περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου. Λύση: Πρώτα πρέπει να βρούµε τη ροπή αδράνειας του πλαισίου. Ας θεωρήσοµε την πλευρά µεταξύ των κορυφών (,) και (,). Αν βρούµε τη ροπή αδράνειας αυτής της πλευράς, την πολλαπλασιάζοµε µε το για να βρούµε την ολική ροπή αδράνειας. Η εξίσωση της ευθείας που ενώνει τις κορυφές (,) και (,) είναι. Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το σύρµα που έχει εξίσωση ένα κοµµάτι µήκους ds d + d d + ( d / d) d + ( ) d. Το κοµµάτι αυτό του σύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του σύρµατος που έχει >, > είναι. d λ dλ Η συνολική ροπή αδράνειας είναι πλαισίου είναι λ και η συνιστώσα της στροφορµής του λω. Παρατήρηση : Στο αποτέλεσµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται στο ότι η εξίσωση είναι µαθηµατική και όχι φυσική. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως α, µε α m. Επίσης, το όριο είναι µαθηµατική και όχι φυσική σχέση. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το α και το β µέσα στο τελικό αποτέλεσµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα!!!

7 Παρατήρηση : Λόγω του ότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας του σύρµατος, η στροφορµή του σύρµατος είναι k. ˆ Παράδειγµα 7.: Στo προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείστε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από το συρµάτινο πλαίσιο. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα M και η επιφανειακή πυκνότητά της σ (διαστάσεις kg/m ) είναι οµογενής. Αν η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Λύση: Ας θεωρήσοµε το / της επιφάνειας που βρίσκεται στο τεταρτηµόριο >, >. Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το τεταρτηµόριο που είναι κάτω από την ευθεία µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds ( ) d. Η λωρίδα έχει µάζα dm σ ds σ ( ) d και απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση ίση µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm, η ροπή αδράνειας του τεταρτηµορίου είναι d σ ( ) d σ σ και η ολική ροπή αδράνειας είναι M σ M 6, διότι το κάθε τεταρτηµόριο έχει εµβαδόν / και ο ρόµβος έχει εµβαδόν. Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεσµα «φαίνεται» να µην έχει σωστές διαστάσεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει σωστές διαστάσεις. Η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου είναι ω Mω. 6 Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας. Παράδειγµα 7.: Θεωρείστε έναν οµογενή κύλινδρο µάζας M, ακτίνας R και ύψους h ο οποίος περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα, που είναι ο άξονας συµµετρίας του, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του κυλίνδρου. Λύση: Θεωρούµε οµοαξονικό κυλινδρικό φλοιό ύψους h µεταξύ των ακτίνων και + d, όπου < < R. Αν ρ M /( π R h) είναι η πυκνότητα του κυλίνδρου, τότε η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ dv ( dv είναι ο όγκος του) και η ροπή αδράνειάς του είναι d dm κυλινδρικού φλοιού κάνοµε το εξής:. Για να υπολογίσοµε τη µάζα dm του

8 Ο όγκος dv του κυλινδρικού φλοιού µεταξύ των ακτίνων και + d είναι dv h [ π ( + d) π ] h π d διότι ο όρος (d) είναι διαφορικό δευτέρας τάξεως, που είναι αµελητέο σε σχέση µε το διαφορικό πρώτης τάξεως d. Η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ π d h και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι M R πρhr d dm πρ h d MR. Έτσι, η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου είναι ω MR ω. Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, άξονας συµµετρίας. k ˆ διότι ο άξονας περιστροφής είναι Παράδειγµα 7.: ίνεται σύρµα, σχήµατος U στο επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ, που περιγράφεται από την εξίσωση και εκτείνεται από µέχρι. Το σύρµα µετά περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του σύρµατος. Λύση: Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το σύρµα ένα κοµµάτι µήκους ds + d + d d + ( d / d) d + () d. Το κοµµάτι αυτό του σύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd + και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του σύρµατος είναι d λ + d λ + d λ + d. Χρησιµοποιώντας Πίνακες Ολοκληρωµάτων βλέποµε ότι ) / d ln( ( όπου /. Έτσι το αποτέλεσµα του ολοκληρώµατος πρέπει να το υπολογίσοµε στο και στο. ),

9 Στο τελικό αποτέλεσµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται στο ότι η εξίσωση είναι µαθηµατική και όχι φυσική. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Επίσης, το είναι µαθηµατική και όχι φυσική σχέση. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως γ µε γ m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το β και το γ µέσα στο τελικό αποτέλεσµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα! Έτσι, η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου έιναι ω. Λόγω του ότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας του σύρµατος, η στροφορµή του σύρµατος είναι k. ˆ Παράδειγµα 7.5: Στο προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείστε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από τις γραµµές, και. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι σ. Αν η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Λύση: Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από την επιφάνεια που είναι κάτω από την καµπύλη µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds d. Η λωρίδα έχει µάζα dm σ ds σ d και απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση ίση µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας της επιφάνειας κάτω από την καµπύλη d σ d σ είναι. 5 d σ 5 86 σ 5 Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεσµα «φαίνεται» να µην έχει σωστές διαστάσεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει σωστές διαστάσεις. Η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου είναι 86 ω σω. 5 Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας.

10 Παράδειγµα 7.6: Θεωρείστε στο επίπεδο µια οµογενή πλάκα µάζας M, σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, απειροστού πάχους, µε πλευρές και b, παράλληλες προς τους άξονες και. Το κέντρο της πλάκας είναι στην αρχή των αξόνων. Η πλάκα περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Α) Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της πλάκας. Β) Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της πλάκας, αν η πλάκα έχει πάχος c και στον άξονα εκτείνεται από c µέχρι c. Η µάζα της παραµένει M. Λύση: Α) Πρώτα θα βρούµε τη ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα. Το εµβαδόν της πλάκας είναι b και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι σ M /( b). Θεωρούµε µια απειροστή λωρίδα παράλληλη προς τον άξονα, µεταξύ και + d, εύρους d. Σ αυτή τη λωρίδα θεωρούµε το απειροστό κοµµάτι µεταξύ και + d, εµβαδού d d. Το απειροστό αυτό κοµµάτι απέχει από τον άξονα κατά + και έχει απειροστή ροπή αδράνειας d σ d d. Έτσι η συνολική ροπή αδράνειας της πλάκας είναι d b b dσ σ d b b d ( + ) σ d + b b σ b b d b+ b σ + b σ b+ σ b( + b ) M ( + b ) και η συνιστώσα της στροφορµής της πλάκας είναι M ( + b )ω. Β) Αν η µάζα έχει πεπερασµένο πάχος και µάζα M το δεν αλλάζει! Αυτό το καταλαβαίνοµε ποιοτικά διότι η πεπερασµένου πάχους πλάκα µπορεί να θεωρηθεί σαν υπέρθεση πλακών µε απειροστό πάχος η κάθε µια και συνολική µάζα M. Αλλά και ποσοτικά έχοµε c c ρ d d d ( + ) ρ d b ( + b ) M ( + b ), c b b c διότι η πυκνότητα ρ ισούται µε M /( 8bc) και η απόσταση του απειροστού όγκου d d d από τον άξονα είναι +.

11 7.5 Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων Αν γνωρίζοµε τη ροπή αδράνειας σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του, τότε µπορούµε εύκολα να υπολογίσοµε τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς τον πρώτο. Ας θεωρήσοµε ένα στερεό σώµα ( σωµάτια) µάζας M και τρεις άξονες,,, που η αρχή τους είναι στο κέντρο µάζας του σώµατος. Ας υποθέσοµε ότι έχοµε υπολογίσει τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς τον άξονα και θέλοµε να υπολογίσοµε τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα, που είναι παράλληλος προς τον. Έχοµε m m ( + ). (7.) Επιλέγοντας τους άξονες, να είναι παράλληλοι προς τους, αντιστοίχως, γράφοµε ότι X + και Y +, όπου X, Y είναι οι - και - συντεταγµένες του κέντρου µάζας στο σύστηµα,,. Όλες οι ποσότητες είναι αλγεβρικές. Με αντικατάσταση στην (7.) έχοµε X m Η ποσότητα ( X + X + + Y + Y + ) m + X m + m + Y m + m + Y m. (7.) M m είναι ίση µε µηδέν, διότι είναι εξ ορισµού η -συντεταγµένη του κέντρου µάζας ως προς το κέντρο µάζας. Με άλλα λόγια, αφού το κέντρο µάζας είναι στην αρχή των αξόνων,,, οι συντεταγµένες του είναι µηδέν. Έτσι, ο δεύτερος και ο πέµπτος όρος στη σχέση (7.) είναι µηδέν. Έτσι, η (7.) γράφεται ως M X + Y + MD +, (7.5) όπου D + ( ) X Y είναι η απόσταση του άξονα από τον άξονα ( + ) m m. Έτσι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα. και Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων: Η ροπή αδράνειας σώµατος ως προς έναν άξονα ισούται µε τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς αυτόν και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του σώµατος, συν τη µάζα του σώµατος επί το τετράγωνο της απόστασης µεταξύ των δυο αξόνων. Παράδειγµα 7.7: Να βρεθεί η ροπή αδράνεια της πλάκας του Παραδείγµατος 7.6 ως προς ακµή της που είναι παράλληλη στον άξονα.

12 Λύση: Η απόσταση µιας τέτοιας ακµής από τον άξονα είναι D + b. Συνεπώς, η ζητούµενη ροπή αδράνειας είναι 7 M ( + b ) + M ( + b ) M ( + b ). Άσκηση 7.: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο σχήµατος τετραγώνου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό του στον άξονα. Το πλαίσιο περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου. Απάντηση: ω m ω. Άσκηση 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό της στον άξονα. Η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Απάντηση: ω m ω. Άσκηση 7.: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο σχήµατος τετραγώνου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά του στον άξονα. Το πλαίσιο περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου. Απάντηση: 5 m ω Άσκηση 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά της στον άξονα. Η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Απάντηση: m ω Άσκηση 7.5: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο σχήµατος ορθωγωνίου τριγώνου καθέτου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά του στον άξονα. Το πλαίσιο περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου.

13 Απάντηση: + m ω. (+ ) Άσκηση 7.6: ίνεται τριγωνική επιφάνεια καθέτου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά της στον άξονα. Η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Απάντηση: m ω 6.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς. Πριν το κάνοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παγκόσµια έλξη ύναµη µεταξύ υλικών σηµείων Σε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες και Η µάζα είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων και η µάζα βρίσκεται στη διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 3, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 3, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ 4-4 Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Ένας κυκλικός δίσκος µάζας M και ακτίνας R µπορεί να περιστρέφετε χωρίς τριβές γύρω από έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ένα αβαρές νήµα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Σοφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περισοφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς Πριν το κάνοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Διατήρηση ορμής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Διατήρηση ορμής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διατρηση ορμς Ας θεωρσομε δυο υλικά σημεία και, με μάζες και αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονικ στιγμ στις αντίστοιχες διανυσματικές ακτίνες r και r και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Συστµατα µεταβλητς µάζας Μέχρι τώρα µελετσαµε την κίνηση υλικού σηµείου µε συγκεκριµένη µάζα m, η οποία παραµένει σταθερ. Θα εξετάσοµε τώρα την περίπτωση που η µάζα δεν είναι σταθερ, αλλά µεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1 ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ)

ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ) ΤΜΗΜΑ Α.2 ΚΑΘΗΓ. ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΖΒ114 (ΡΑΓΚΟΥΣΗ-ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ) E-mail: zacharia@uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

Στερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνολο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους.

Στερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνολο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους. Φροντιστήριο ο : Εξίσωση κίνησης στερεών σωµάτων και επίλυση (ΠΕΡΙΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ, ΚΥΛΙΗ, ) τερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που

Διαβάστε περισσότερα

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε.

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 06-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Μια οριζόντια ράβδος που έχει μάζα είναι στερεωμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ )

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ) Η περιστροφική αδράνεια ενός σώματος είναι το μέτρο της αντίστασης του στη μεταβολής της περιστροφικής του κατάστασης, αντίστοιχο της μάζας στην περίπτωση της μεταφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ - N Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Θεωρήστε ότι στα σηµεία υπάρχουν τέσσερα φορτία το καθένα Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Β Να βρεθεί η ένταση του

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1 ΦΥΣ - Διαλ.25 Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης

ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης ΦΥΣ - Διαλ.4 Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης Κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 Ορίζουµε τα ακόλουθα µοναδιαία διανύσµατα: ˆ βρίσκεται κατά µήκος του διανύσµατος της ακτίνας θˆ είναι εφαπτόµενο του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης. Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή

Στροφορµή. Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή Στροφορµή Στροφορµή υλικού σηµείου Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή ως προς σηµείο ή ως προς άξονα, που το µέτρο της υπολογίζεται από την εξίσωση L = mυr Όπου

Διαβάστε περισσότερα

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής 11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη που περιστρέφει τον τροχό

Διαβάστε περισσότερα

Ενέργεια στην περιστροφική κίνηση

Ενέργεια στην περιστροφική κίνηση ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 1 Ενέργεια στην περιστροφική κίνηση q Ένα περιστρεφόµενο στερεό αποτελεί µια µάζα σε κίνηση. Εποµένως υπάρχει κινητική ενέργεια. v i θ i r i m i Θεωρείστε ένα στερεό σώµα περιστρεφόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή

11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή 11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη που περιστρέφει τον τροχό κατά dθ dw F ds = F R dθ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/04 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική. Ενότητα 7: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών

Γενική Φυσική. Ενότητα 7: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Γενική Φυσική Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιστροφή Άκαμπτου Σώματος 1) ) 1. Κάθε σημείο Περιστρέφεται με την ίδια Γωνιακή Ταχύτητα.. Κάθε σημείο Περιστρέφεται με την

Διαβάστε περισσότερα

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,

Διαβάστε περισσότερα

Τα θέματα συνεχίζονται στην πίσω σελίδα

Τα θέματα συνεχίζονται στην πίσω σελίδα ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 16-17 Διδάσκων : Χ. Βοζίκης Τ. Ε. Ι. ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις - 22 Μάη Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Β

Πανελλήνιες Εξετάσεις - 22 Μάη Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Β Πανελλήνιες Εξετάσεις - 22 Μάη 203 Α. (γ.) Α.2 (γ.) Α.3 (δ.) Α.4 (γ.) Α.5 Σ,Λ, Σ, Λ, Σ Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Πρόχειρες Λύσεις Θέµα Α Θέµα Β Β.. (ii) Η αρχική ενέργεια του κυκλώµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Γωνιακή Μετατόπιση & Ταχύτητα Περιστροφική Κινητική Ενέργεια & Ροπή Αδράνειας Υπολογισμός Ροπής Αδράνειας Στερεών Σωμάτων Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. Διανυσματικοί χώροι παραμέτρων και μετρήσεων. Θα δανειστούµε για µία ακόµη φορά έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας προκειµένου να δούµε πως µπορούµε να χειριστούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων

Ορμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων Y Ορμή ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ή ταλαντεύεται κατά την κίνησή του, υπάρχει ένα σημείο του σώματος που λέγεται Κέντρο Μάζας, το οποίο κινείται με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο θα κινιόταν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

( ) { } ( ) ( ( ) 2. ( )! r! e j ( ) Κίνηση στερεών σωμάτων. ω 2 2 ra. ω j. ω i. ω = ! ω! r a. 1 2 m a T = T = 1 2 i, j. I ij. r j. d 3! rρ. r! e!

( ) { } ( ) ( ( ) 2. ( )! r! e j ( ) Κίνηση στερεών σωμάτων. ω 2 2 ra. ω j. ω i. ω = ! ω! r a. 1 2 m a T = T = 1 2 i, j. I ij. r j. d 3! rρ. r! e! Κίνηση στερεών σωμάτων ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 1 q Κίνηση στερεού σώµατος: Ø Υπολογισµός της κινητικής ενέργειας Ø Θεωρήσαµε ότι ένα σώµα διακριτής ή συνεχούς κατανοµής µάζας q Η κινητική ενέργεια δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

A! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2

A! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2 A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α! Κινηµατική άποψη

ΜΕΡΟΣ Α! Κινηµατική άποψη ΜΕΡΟΣ Α Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα που κινείται στον χώρο, ενώ ένα σηµείο του Ο είναι διαρκώς ακίνητο ως προς το αδρανειακό σύττηµα από το οποίο εξετάζεται. Η θέση του στερεού καθορίζεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις στην μηχανική στερεού σώματος

Παρατηρήσεις στην μηχανική στερεού σώματος Παρατηρήσεις στην μηχανική στερεού σώματος Πρόλογος Με αφορμή την τελευταία μας συζήτηση για το ΘΜΚΕ στην μεταφορική κίνηση ενός στερεού σώματος, θεώρησα σκόπιμο να οργανώσω τις σκέψεις μου στο χαρτί.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 206-207 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/03/207 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο:

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: 6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα στη ροπή αδράνειας του στερεού.

Ειδικά θέματα στη ροπή αδράνειας του στερεού. Ειδικά θέματα στη ροπή αδράνειας του στερεού Η συνική ροπή αδράνειας ως άθροισμα επί μέρους ροπών αδράνειας Έστω το τυχαίο στερεό του σχήματος που αποτελείται από επιμέρους τμήματα Α,Β,Γ,Δ Η ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: 1 η Εργασία 004-005 (Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/004) Άσκηση 1 (7 µονάδες) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: (α) A+ B C µε A + B C (β) A+ B AB

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων

ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 24 Γενάρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόμενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσματικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναμική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6. 1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα