ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα. Η µελέτη της κίνηση ενός στερεού σώµατος δεν είναι εύκολη υπόθεση και σίγουρα υπερβαίνει κατά πολύ το επίπεδο του παρόντος µαθήµατος. Για να εισαγάγοµε µε φυσικό τρόπο τις έννοιες της ροπής δύναµης και στροφορµής θα περιοριστούµε στην περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. 7. Ροπή δύναµης Ας θεωρήσοµε ένα στερεό σώµα που µπορεί να περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα, ο οποίος, ας δεχτούµε χωρίς να είναι απαραίτητο, διέρχεται από το σώµα. Επιλέγοµε το επίπεδο να τέµνει το στερεό σώµα και θεωρούµε ένα σηµείο P του σώµατος που να βρίσκεται στο επίπεδο. Έστω ότι οι συντεταγµένες του σηµείου P είναι (,,). Εποµένως η διανυσµατική ακτίνα του σηµείου P είναι ˆ, (7.) όπου + και ˆ cosθ ˆ + snθ ˆj είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. Εδώ θεωρήσαµε ότι η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατική ακτίνα µε τον άξονα είναι θ, δηλαδή cosθ και snθ. Ας θεωρήσοµε τώρα ότι το σώµα περιστρέφεται κατά απειροστή γωνία d θ. Ας δούµε πόση είναι η µεταβολή d της διανυσµατικής ακτίνας. Κατά την περιστροφή το µέτρο του διανύσµατος, δηλαδή το, παραµένει σταθερό. Άρα, µε παραγώγιση της (6.) έχοµε d d dˆ d dθ ˆ + + (cosθ ˆ + snθ ˆ) j ( snθ ˆ + cosθ ˆj ). (7.) Αλλά, όπως είδαµε στο Παράδειγµα.5, το διάνυσµα στην παρένθεση είναι το µοναδιαίο (εφαπτόµενο στον κύκλο) διάνυσµα θˆ, ˆ θ snθ ˆ + cosθ ˆj. (7.) Έτσι, πολλαπλασιάζοντας µε το αµφότερα τα µέλη της (7.) παίρνοµε d dθ ˆ θ. (7.) Το αποτέλεσµα (7.) θα µπορούσαµε να το γράψοµε κατ ευθείαν, χωρίς να κάνοµε πράξεις, διότι το µέτρο της µεταβολής d είναι dθ, δηλαδή είναι το µήκος τόξου που διέγραψε το σηµείο P µετά από περιστροφή κατά γωνία d θ. Επίσης, η

2 κατεύθυνση της κίνησης του σηµείου P είναι αυτή του µοναδιαίου διανύσµατος θˆ. Άρα η (7.) είναι προφανής. Ας θεωρήσοµε τώρα ότι στο σηµείο P ασκείται δύναµη F F ˆ+ F ˆj και ότι λόγω αυτής της δύναµης το στερεό σώµα περιστρέφεται περί τον άξονα κατά γωνία d θ. Το έργο λοιπόν που έκανε η δύναµη είναι dw F d ( F ˆ + F ˆ) j dθ ˆ θ ( F ˆ + F ˆ) j dθ ( snθ ˆ + cosθ ˆ) j F sn θ dθ + F cosθ dθ F dθ + F dθ ( F F dθ, (7.5) ) που έχει κάπως περίεργη µορφή. Στη µονοδιάστατη κίνηση, ας πούµε στον άξονα, το έργο της δύναµης F για µετατόπιση κατά d είναι dw F d, από την οποία θα µπορούσε κα γράψει κανείς εξίσωση (7.5) έχοµε F dw / d. Αν κάνοµε κάτι παρόµοιο στην F F dw dθ. (7.6) / Βλέποµε λοιπόν ότι, για το ίδιο έργο dw, στην περιστροφή εµφανίζεται η ποσότητα F που θα τη λέµε ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων. F Όπως θα δούµε αµέσως παρακάτω, η ροπή της δύναµης F ορίζεται ως διανυσµατικό µέγεθος και η ποσότητα που εµφανίζεται στην εξίσωση (7.6) είναι η -συνιστώσα της ροπής. Γι αυτό εµφανίζεται ως βαθµωτό µέγεθος. Ορισµός: Αν είναι η διανυσµατική ακτίνα ενός σηµείου στο οποίο δρα η δύναµη F, τότε η ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως τ F, (7.7) όπου το συµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6). Στην ειδική περίπτωση που εξετάσαµε παραπάνω, δηλαδή την περιστροφή στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα, όπου τα διανύσµατα και F είχαν µόνο και συνιστώσες, γράφοµε τ F ˆ ˆj kˆ ( ˆ + ˆ) j ( F ˆ + F ˆ) j ( F F ) kˆ. (7.8) F F Το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι µια ορίζουσα µε πρώτη γραµµή τα µοναδιαία διανύσµατα ˆ, ˆ, j kˆ, µε δεύτερη γραµµή τις συνιστώσες του πρώτου

3 διανύσµατος και µε τρίτη γραµµή τις συνιστώσες του δεύτερου διανύσµατος. Το ανάπτυγµα της ορίζουσας αυτής γίνεται πάντοτε κατά µήκος της πρώτης γραµµής. Αυτό σηµαίνει ότι το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι διάνυσµα. Είναι προφανές από τα παραπάνω ότι η υπο-ορίζουσα του î είναι µηδέν και οµοίως για την υπο-ορίζουσα του ĵ. Μόνο η υπο-ορίζουσα του kˆ είναι διάφορη του µηδενός και ίση µε την ποσότητα (7.6), δηλαδή τ F F. 7. Στροφορµή υλικού σηµείου Θα δούµε τώρα πως εµφανίζεται µε φυσική τρόπο η στροφορµή. Ας ξεχάσοµε προς το παρόν το στερεό σώµα που εξετάσαµε παραπάνω και ας θεωρήσοµε ότι στο σηµείο P υπάρχει ένα υλικό σηµείο µάζας m, πάνω στο οποίο ασκείται δύναµη F F ˆ+ F ˆj. Όπως είδαµε παραπάνω, η -συνιστώσα της ροπής της δύναµης F είναι τ F F. (7.9) Από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα για το υλικό σηµείο µάζας m έχοµε ότι d Αντικαθιστώντας στην (7.9) έχοµε F m και m d F. (7.) Αλλά, d m d d m d d τ m m. (7.) d d d d d d m + m m m Έτσι, η (7.) γράφεται d d m m. (7.) d ( mu mu ) ( p p ) d d d d τ m m, (7.) όπου u και u είναι οι συνιστώσες της ταχύτητας του υλικού σηµείου και είναι οι αντίστοιχες συνιστώσες της ορµής. Η ποσότητα ( p ) p, που εµφανίζεται στην (7.) µας θυµίζει τη -συνιστώσα εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων. p, p

4 Ορισµός: Αν είναι η διανυσµατική ακτίνα ενός υλικού σηµείου µάζας m στο οποίο δρα η δύναµη F, τότε η στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως l p, (7.) όπου το συµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6). Στην ειδική περίπτωση που εξετάσαµε εδώ, δηλαδή την κίνηση υλικού σηµείου στο επίπεδο, γράφοµε ˆ ˆj kˆ l p ( ˆ + ˆ) j ( p ˆ + p ˆ) j ( p p ) kˆ (7.5) p p και η στροφορµή l έχει µόνο -συνιστώσα. Έτσι, η εξίσωση (7.) γράφεται ως όπου d l τ, (7.6) l p p είναι η -συνιστώσα της στροφορµής του υλικού σηµείου. Η εξίσωση (7.6) δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα γραµµένος µε τη χρήση της ροπής δύναµης και της στροφορµής. Παρατήρηση: Στην ειδική περίπτωση που το υλικό σηµείο κάνει κύκλο ακτίνας, η διανυσµατική ακτίνα του και η ορµή του p είναι κάθετα διανύσµατα και η στροφορµή του υλικού σηµείου µπορεί να γραφεί ως l p ˆ p ˆ θ pkˆ, (7.7) διότι ˆ θ ˆ kˆ, κατ αναλογία προς τις σχέσεις (6.5). 7. Στροφορµή στερεού σώµατος Τώρα που ξέροµε τι είναι η στροφορµή υλικού σηµείου, µπορούµε νε εξετάσοµε τη στροφορµή στερεού σώµατος, αφού τα στερεά σώµατα αποτελούνται από άτοµα, που µπορούµε να τα θεωρήσοµε σαν υλικά σηµεία. Ας θεωρήσοµε ξανά ένα στερεό σώµα, που µπορεί να περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα. Έστω ότι το στερεό σώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόσταση από τον άξονα. Αν το στερεό σώµα είναι κράµα πολλών στοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιστροφή του στερεού σώµατος.

5 Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για τη στροφορµή του, σύµφωνα µε την (7.7), l p m u mω ω m, (7.8) όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα. Έτσι, η ολική στροφορµή του στερεού σώµατος είναι l ω m ω, (7.9) όπου ορίσαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς Από τον ορισµό της ροπής αδράνειας στερεού σώµατος ως προς τον άξονα, που είναι το άθροισµα των γινοµένων των µαζών του επί το τετράγωνο των αποστάσεών τους από τον άξονα, µπορούµε να γενικεύσοµε τον ορισµό για συνεχείς κατανοµές µάζας. Έτσι, όπως στο Κεφάλαιο, θεωρούµε στερεό σώµα µάζας M µε πυκνότητα ρ και θεωρούµε επίσης έναν απειροστό όγκο του σώµατος dv που απέχει από τον άξονα απόσταση. Σ αυτόν τον όγκο υπάρχει η απειροστή µάζα dm ρ dv. Κατ αναλογία λοιπόν προς τη ροπή αδράνειας για διακριτά υλικά σηµεία γράφοµε dm ( V ) ( V ) ρ dv, (7.) όπου το σύµβολο (V ) στο ολοκλήρωµα σηµαίνει ότι πρέπει να ολοκληρώσοµε ως προς όλον τον όγκο V του στερεού σώµατος. Αν το στερεό σώµα έχει αµελητέο πάχος, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την επιφάνεια του σώµατος. Αν το στερεό σώµα είναι λεπτό σύρµα, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την γραµµή που διατρέχει το σώµα. 7. Κινητική ενέργεια στερεού σώµατος Ας θεωρήσοµε ξανά ένα στερεό σώµα, που µπορεί να περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα. Έστω ότι το στερεό σώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόσταση από τον άξονα. Αν το στερεό σώµα είναι κράµα πολλών στοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιστροφή του στερεού σώµατος. Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για την κινητική ενέργειά του m u mω m ω, (7.) όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα. Έτσι, η ολική κινητική ενέργεια του στερεού σώµατος είναι

6 T ω m ω, (7.) όπου ορίσαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς Παράδειγµα 7.: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο, σχήµατος ρόµβου, στο επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ (οι µονάδες είναι kg/m), µε κορυφές στα σηµεία (,),(,),(,),(, ). Το πλαίσιο µετά περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου. Λύση: Πρώτα πρέπει να βρούµε τη ροπή αδράνειας του πλαισίου. Ας θεωρήσοµε την πλευρά µεταξύ των κορυφών (,) και (,). Αν βρούµε τη ροπή αδράνειας αυτής της πλευράς, την πολλαπλασιάζοµε µε το για να βρούµε την ολική ροπή αδράνειας. Η εξίσωση της ευθείας που ενώνει τις κορυφές (,) και (,) είναι. Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το σύρµα που έχει εξίσωση ένα κοµµάτι µήκους ds d + d d + ( d / d) d + ( ) d. Το κοµµάτι αυτό του σύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του σύρµατος που έχει >, > είναι. d λ dλ Η συνολική ροπή αδράνειας είναι πλαισίου είναι λ και η συνιστώσα της στροφορµής του λω. Παρατήρηση : Στο αποτέλεσµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται στο ότι η εξίσωση είναι µαθηµατική και όχι φυσική. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως α, µε α m. Επίσης, το όριο είναι µαθηµατική και όχι φυσική σχέση. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το α και το β µέσα στο τελικό αποτέλεσµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα!!!

7 Παρατήρηση : Λόγω του ότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας του σύρµατος, η στροφορµή του σύρµατος είναι k. ˆ Παράδειγµα 7.: Στo προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείστε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από το συρµάτινο πλαίσιο. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα M και η επιφανειακή πυκνότητά της σ (διαστάσεις kg/m ) είναι οµογενής. Αν η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Λύση: Ας θεωρήσοµε το / της επιφάνειας που βρίσκεται στο τεταρτηµόριο >, >. Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το τεταρτηµόριο που είναι κάτω από την ευθεία µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds ( ) d. Η λωρίδα έχει µάζα dm σ ds σ ( ) d και απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση ίση µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm, η ροπή αδράνειας του τεταρτηµορίου είναι d σ ( ) d σ σ και η ολική ροπή αδράνειας είναι M σ M 6, διότι το κάθε τεταρτηµόριο έχει εµβαδόν / και ο ρόµβος έχει εµβαδόν. Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεσµα «φαίνεται» να µην έχει σωστές διαστάσεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει σωστές διαστάσεις. Η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου είναι ω Mω. 6 Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας. Παράδειγµα 7.: Θεωρείστε έναν οµογενή κύλινδρο µάζας M, ακτίνας R και ύψους h ο οποίος περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα, που είναι ο άξονας συµµετρίας του, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του κυλίνδρου. Λύση: Θεωρούµε οµοαξονικό κυλινδρικό φλοιό ύψους h µεταξύ των ακτίνων και + d, όπου < < R. Αν ρ M /( π R h) είναι η πυκνότητα του κυλίνδρου, τότε η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ dv ( dv είναι ο όγκος του) και η ροπή αδράνειάς του είναι d dm κυλινδρικού φλοιού κάνοµε το εξής:. Για να υπολογίσοµε τη µάζα dm του

8 Ο όγκος dv του κυλινδρικού φλοιού µεταξύ των ακτίνων και + d είναι dv h [ π ( + d) π ] h π d διότι ο όρος (d) είναι διαφορικό δευτέρας τάξεως, που είναι αµελητέο σε σχέση µε το διαφορικό πρώτης τάξεως d. Η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ π d h και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι M R πρhr d dm πρ h d MR. Έτσι, η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου είναι ω MR ω. Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, άξονας συµµετρίας. k ˆ διότι ο άξονας περιστροφής είναι Παράδειγµα 7.: ίνεται σύρµα, σχήµατος U στο επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ, που περιγράφεται από την εξίσωση και εκτείνεται από µέχρι. Το σύρµα µετά περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του σύρµατος. Λύση: Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το σύρµα ένα κοµµάτι µήκους ds + d + d d + ( d / d) d + () d. Το κοµµάτι αυτό του σύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd + και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του σύρµατος είναι d λ + d λ + d λ + d. Χρησιµοποιώντας Πίνακες Ολοκληρωµάτων βλέποµε ότι ) / d ln( ( όπου /. Έτσι το αποτέλεσµα του ολοκληρώµατος πρέπει να το υπολογίσοµε στο και στο. ),

9 Στο τελικό αποτέλεσµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται στο ότι η εξίσωση είναι µαθηµατική και όχι φυσική. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Επίσης, το είναι µαθηµατική και όχι φυσική σχέση. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως γ µε γ m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το β και το γ µέσα στο τελικό αποτέλεσµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα! Έτσι, η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου έιναι ω. Λόγω του ότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας του σύρµατος, η στροφορµή του σύρµατος είναι k. ˆ Παράδειγµα 7.5: Στο προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείστε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από τις γραµµές, και. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι σ. Αν η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Λύση: Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από την επιφάνεια που είναι κάτω από την καµπύλη µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds d. Η λωρίδα έχει µάζα dm σ ds σ d και απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση ίση µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας της επιφάνειας κάτω από την καµπύλη d σ d σ είναι. 5 d σ 5 86 σ 5 Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεσµα «φαίνεται» να µην έχει σωστές διαστάσεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει σωστές διαστάσεις. Η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου είναι 86 ω σω. 5 Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας.

10 Παράδειγµα 7.6: Θεωρείστε στο επίπεδο µια οµογενή πλάκα µάζας M, σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, απειροστού πάχους, µε πλευρές και b, παράλληλες προς τους άξονες και. Το κέντρο της πλάκας είναι στην αρχή των αξόνων. Η πλάκα περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Α) Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της πλάκας. Β) Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της πλάκας, αν η πλάκα έχει πάχος c και στον άξονα εκτείνεται από c µέχρι c. Η µάζα της παραµένει M. Λύση: Α) Πρώτα θα βρούµε τη ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα. Το εµβαδόν της πλάκας είναι b και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι σ M /( b). Θεωρούµε µια απειροστή λωρίδα παράλληλη προς τον άξονα, µεταξύ και + d, εύρους d. Σ αυτή τη λωρίδα θεωρούµε το απειροστό κοµµάτι µεταξύ και + d, εµβαδού d d. Το απειροστό αυτό κοµµάτι απέχει από τον άξονα κατά + και έχει απειροστή ροπή αδράνειας d σ d d. Έτσι η συνολική ροπή αδράνειας της πλάκας είναι d b b dσ σ d b b d ( + ) σ d + b b σ b b d b+ b σ + b σ b+ σ b( + b ) M ( + b ) και η συνιστώσα της στροφορµής της πλάκας είναι M ( + b )ω. Β) Αν η µάζα έχει πεπερασµένο πάχος και µάζα M το δεν αλλάζει! Αυτό το καταλαβαίνοµε ποιοτικά διότι η πεπερασµένου πάχους πλάκα µπορεί να θεωρηθεί σαν υπέρθεση πλακών µε απειροστό πάχος η κάθε µια και συνολική µάζα M. Αλλά και ποσοτικά έχοµε c c ρ d d d ( + ) ρ d b ( + b ) M ( + b ), c b b c διότι η πυκνότητα ρ ισούται µε M /( 8bc) και η απόσταση του απειροστού όγκου d d d από τον άξονα είναι +.

11 7.5 Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων Αν γνωρίζοµε τη ροπή αδράνειας σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του, τότε µπορούµε εύκολα να υπολογίσοµε τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς τον πρώτο. Ας θεωρήσοµε ένα στερεό σώµα ( σωµάτια) µάζας M και τρεις άξονες,,, που η αρχή τους είναι στο κέντρο µάζας του σώµατος. Ας υποθέσοµε ότι έχοµε υπολογίσει τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς τον άξονα και θέλοµε να υπολογίσοµε τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα, που είναι παράλληλος προς τον. Έχοµε m m ( + ). (7.) Επιλέγοντας τους άξονες, να είναι παράλληλοι προς τους, αντιστοίχως, γράφοµε ότι X + και Y +, όπου X, Y είναι οι - και - συντεταγµένες του κέντρου µάζας στο σύστηµα,,. Όλες οι ποσότητες είναι αλγεβρικές. Με αντικατάσταση στην (7.) έχοµε X m Η ποσότητα ( X + X + + Y + Y + ) m + X m + m + Y m + m + Y m. (7.) M m είναι ίση µε µηδέν, διότι είναι εξ ορισµού η -συντεταγµένη του κέντρου µάζας ως προς το κέντρο µάζας. Με άλλα λόγια, αφού το κέντρο µάζας είναι στην αρχή των αξόνων,,, οι συντεταγµένες του είναι µηδέν. Έτσι, ο δεύτερος και ο πέµπτος όρος στη σχέση (7.) είναι µηδέν. Έτσι, η (7.) γράφεται ως M X + Y + MD +, (7.5) όπου D + ( ) X Y είναι η απόσταση του άξονα από τον άξονα ( + ) m m. Έτσι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα. και Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων: Η ροπή αδράνειας σώµατος ως προς έναν άξονα ισούται µε τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς αυτόν και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του σώµατος, συν τη µάζα του σώµατος επί το τετράγωνο της απόστασης µεταξύ των δυο αξόνων. Παράδειγµα 7.7: Να βρεθεί η ροπή αδράνεια της πλάκας του Παραδείγµατος 7.6 ως προς ακµή της που είναι παράλληλη στον άξονα.

12 Λύση: Η απόσταση µιας τέτοιας ακµής από τον άξονα είναι D + b. Συνεπώς, η ζητούµενη ροπή αδράνειας είναι 7 M ( + b ) + M ( + b ) M ( + b ). Άσκηση 7.: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο σχήµατος τετραγώνου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό του στον άξονα. Το πλαίσιο περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου. Απάντηση: ω m ω. Άσκηση 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό της στον άξονα. Η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Απάντηση: ω m ω. Άσκηση 7.: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο σχήµατος τετραγώνου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά του στον άξονα. Το πλαίσιο περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου. Απάντηση: 5 m ω Άσκηση 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά της στον άξονα. Η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Απάντηση: m ω Άσκηση 7.5: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο σχήµατος ορθωγωνίου τριγώνου καθέτου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά του στον άξονα. Το πλαίσιο περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου.

13 Απάντηση: + m ω. (+ ) Άσκηση 7.6: ίνεται τριγωνική επιφάνεια καθέτου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά της στον άξονα. Η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Απάντηση: m ω 6.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Σοφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περισοφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς Πριν το κάνοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Συστήµατα µεταβλητής µάζας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Συστµατα µεταβλητς µάζας Μέχρι τώρα µελετσαµε την κίνηση υλικού σηµείου µε συγκεκριµένη µάζα m, η οποία παραµένει σταθερ. Θα εξετάσοµε τώρα την περίπτωση που η µάζα δεν είναι σταθερ, αλλά µεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1 ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε.

L 1 L 2 L 3. y 1. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής Σιδερής Ε. Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 06-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Μια οριζόντια ράβδος που έχει μάζα είναι στερεωμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης. Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ - N Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Θεωρήστε ότι στα σηµεία υπάρχουν τέσσερα φορτία το καθένα Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Β Να βρεθεί η ένταση του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή

Στροφορµή. Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή Στροφορµή Στροφορµή υλικού σηµείου Αν έχουµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ, τότε έχει στροφορµή ως προς σηµείο ή ως προς άξονα, που το µέτρο της υπολογίζεται από την εξίσωση L = mυr Όπου

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις στην μηχανική στερεού σώματος

Παρατηρήσεις στην μηχανική στερεού σώματος Παρατηρήσεις στην μηχανική στερεού σώματος Πρόλογος Με αφορμή την τελευταία μας συζήτηση για το ΘΜΚΕ στην μεταφορική κίνηση ενός στερεού σώματος, θεώρησα σκόπιμο να οργανώσω τις σκέψεις μου στο χαρτί.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ταλαντώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ταλαντώσεις Στο Παράδειγµα 9 είδαµε τη µελέτη της κίνησης υλικού σηµείου µάζας, που βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου µε το άλλο άκρο του ελατηρίου σταθερό Θα επανεετάσοµε το ίδιο πρόβληµα εδώ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε όλες τις κινήσεις που μελετούσαμε μέχρι τώρα, προκειμένου να απλοποιηθεί η μελέτη τους, θεωρούσαμε τα σώματα ως υλικά σημεία. Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΠΑΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 4-5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Νίκος Κυλάφης Πανεπιστήµιο Κρήτης //4 Σελίδα από 55 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Το µάθηµα της Γενικής Φυσικής Ι θα γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής

Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 Κολόνα πέφτει σε γίγαντα. Δίνονται η µάζα του γίγαντα Μ, της κολόνας m, το µήκος της κολόνας l, η ταχύτητα της κολόνας v. H κίνηση γίνεται σε λεία επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

α. 2 β. 4 γ. δ. 4 2 Μονάδες 5

α. 2 β. 4 γ. δ. 4 2 Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ Β Λ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 5 (Παράδοση 5/6/05) Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 5 (Παράδοση 5/6/05) Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 5 (Παράδοση 5/6/5) Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΑΣΗΣΗ 1 Ομογενής ράβδος μάζας m και μήκους L είναι στερεωμένη σε οριζόντιο άξονα Ο. Αρχικά βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση και αφήνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

S συνφ (3.27), =± F h (3.28)

S συνφ (3.27), =± F h (3.28) Στη συγκεκριμένη ενότητα, θα ασχηθούμε με το έργο και την μηχανική ενέργεια στην περιστροφική κίνηση, όπως επίσης και με την ορθή διτύπωση των ενεργειακών θεωρημάτων και αρχών (ΘΜΚΕ, ΘΔΜΕ, ΑΔΕ, κλπ) που

Διαβάστε περισσότερα

A e (t σε sec). Το πλάτος των ταλαντώσεων

A e (t σε sec). Το πλάτος των ταλαντώσεων ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 1. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις µε πλάτος που µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο σύµφωνα µε την 0,01t σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Θέµα ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ένα σηµειακό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς Στην Εισαγωγή στη Μηχανική, πριν το Κεφάλαιο 1, είδαµε ότι ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα ισχύει µόνο για αδρανειακούς παρατηρητές, δηλαδή για παρατηρητές που είτε

Διαβάστε περισσότερα

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Είδη κινήσεων, γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή επιτάχυνση, σύνθετη κίνηση, κέντρο μάζας

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Είδη κινήσεων, γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή επιτάχυνση, σύνθετη κίνηση, κέντρο μάζας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Είδη κινήσεων, γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή επιτάχυνση, σύνθετη κίνηση, κέντρο μάζας Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 01: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

5. Στερεό σώµα. (5.1) Το µέτρο της ταχύτητας είναι ίσο µε υ = ω a, όπου a είναι η απόσταση του σωµατιδίου από τον άξονα περιστροφής.

5. Στερεό σώµα. (5.1) Το µέτρο της ταχύτητας είναι ίσο µε υ = ω a, όπου a είναι η απόσταση του σωµατιδίου από τον άξονα περιστροφής. 5 Στερεό σώµα Βιβλιογραφία C Kttel, W D Knght, A Ruderman, A C Helmholz και B J oyer, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 998) Κεφ 8 R Spegel, Θερητική Μηχανική (Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 985) Κεφ 9 5

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΡΕΦΜΕΝΙ ΙΣΚΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΦΡΜΗΣ Ένας οµογενής και συµπαγής δίσκος µάζας m και ακτίνας =,2m στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω =1 ra/sec.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορμή. Μερικές όψεις

Στροφορμή. Μερικές όψεις Στροφορμή. Μερικές όψεις Ένα φυλλάδιο θεωρίας και μερικών εφαρμογών. Με βάση το σχολικό μας βιβλίο, ορίζουμε τη στροφορμή ενός υλικού σημείου το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση κέντρου Ο, το διάνυσμα το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 3 ΜΑΪOY 016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός.

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Κίνηση Ράβδου σε κατακόρυφο επίπεδο Εστω µια οµογενής ϱάβδος ΟΑ µάζας Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 10 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓ Α ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ Ι ΑΚΤΩΡ ΕΜΠ Ε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα. Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως. Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 1

Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα. Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως. Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 1 Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα ιδακτική Ενότητα: Κινηµατική του Στερεού Σώµατος Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 3ο: Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 1 ιδακτική Ενότητα: Ροπή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Μ10. Περιστροφή άκαµπτου σώµατος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο Μ10. Περιστροφή άκαµπτου σώµατος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο Μ10 Περιστροφή άκαµπτου σώµατος γύρω από σταθερό άξονα Άκαµπτο σώµα Τα µοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαµε µέχρι τώρα δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούµε να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ ΘΕΜΑ 1ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7/4/06 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις - 7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράµμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 6 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μέση και Στιγμιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1

Στροφορµή. ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 Στροφορµή ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.25 2 Στροφορµή q Ένα από τα βασικά µεγέθη που σχετίζονται µε την περιστροφική κίνηση είναι η στροφορµή q Θυµηθείτε ότι για µάζα m που κινείται µε ταχύτητα v

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , , ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, 77 98 044, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙOΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. δ. γ 3. α 4. δ 5. α.σ β.λ γ.σ δ.λ ε.λ ΘΕΜΑ Β. Σωστή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

s(t) = + 1 γ 2 (2 µονάδες)

s(t) = + 1 γ 2 (2 µονάδες) . ύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται σε ευθύ δρόµο µε την ίδια σταθερή ταχύτητα προς την ίδια κατεύθυνση. Την στιγµή t = (ο χρόνος µετρείται σε δευτερόλεπτα) το αυτοκίνητο Β προπορεύεται κατά s =3 (η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΜΑΪΟΥ 03 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α-Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα