ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ"

Ἀπόλλων Γιαννόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ -A.1 -

2 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. A rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. -A.2 -

3 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ KΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΡΑΝΟΥ Ι) ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ 1. ΒΑΣΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΟΝ ΟΜΟΓΕΝΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ) YI φ 1 Y I O 1 h OI X1 θ O1 Y1 XI h O I r I r r B θ X 1 Y 1 X I α β Σχήμα 1. Γερανός α) με το αδρανειακό και το σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων και β) διανυσματική παράσταση θέσης. Οι άξονες Ο ΙΖ Ι, Ο 1Ζ 1 είναι κάθετοι στο επίπεδο του σχήματος. Μετάβαση από το αδρανειακό Σύστημα Συντεταγμένων Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι στο σωματοπαγές Σύστημα Συντεταγμένων Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1 Η μετάβαση από το αδρανειακό σύστημα Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι στο σωματοπαγές σύστημα Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1 περιλαμβάνει κατά σειρά: Α) μία μεταφορά και Β) μία στροφή. Στην προκειμένη περίπτωση, ισχύουν τα ακόλουθα: Α) Μεταφορά: κατά το διάνυσμα r = (O I O 1 ) = [ h 1] T συνιστώσες της μεταφοράς): (με μπλέ χρώμα σημειώνονται οι T I,1 = h [ 1] (1) -A.3 -

4 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Β) Στροφή: στη θέση O 1 και κατά γωνία φ 1 περί τον z - άξονα του σωματοπαγούς συστήματος Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1 ο οποίος στην προκειμένη περίπτωση είναι παράλληλος με τον z - άξονα του αδρανειακού συστήματος Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι (με κόκκινο χρώμα σημειώνονται οι συνιστώσες της στροφής): cosφ 1 sinφ 1 sinφ 1 cosφ 1 R I,1 = 1 [ 1] (2) Πίνακας Ομογενούς Μετασχηματισμού: (προκύπτει από τη σύνθεση των τελεστών μεταφοράς και στροφής): cosφ 1 sinφ 1 Η I,1 = R I,1 T I,1 = sinφ 1 cosφ 1 h 1 [ 1] (3) Οι συνιστώσες του διανύσματος θέσης r B = (O 1 ) του σημείου ως προς το Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1 είναι: r,1 = r B = [ 1] (4) Το διάνυσμα θέσης r I = (O Ι ) του σημείου ως προς το Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι βρίσκεται μέσω του ομογενούς μετασχηματισμού: Ο συνδυασμός των Εξ.(3,4,5) δίνει: r,i = r I = Η I,1 r,1 (5) x cosφ 1 sinφ 1 x cosφ 1 + r,i = r I = Η I,1 r B y z [ 1 ] = sinφ 1 cosφ 1 h 1 [ 1] [ 1] y z [ 1 ] = sinφ 1 + h [ 1 ] (6) Από τη γεωμετρία της κατασκευής (βλ. Σχήμα 1a), ισχύει: φ 1 = 3π θ (7) 2 -A.4 -

5 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Ο συνδυασμός των Εξ.(6,7) δίνει: x = sinθ (8) y = h cosθ (9) z = (1) Οι Εξισώσεις (8),(9),(1) περιγράφουν τον τρόπο κίνησης του σημείου ως προς το αδρανειακό σύστημα Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι. 2. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΕΩΝ Οι συνιστώσες της ταχύτητας του σημείου προκύπτουν από παραγώγιση ως προς το χρόνο των εξισώσεων (8),(9),(1) x = x = sinθ sinθ x = ṡinθ θ cosθ (11) y = y = h cosθ cosθ y = h ċosθ θ sinθ (12) z = (13) Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του σημείου προκύπτουν από παραγώγιση ως προς το χρόνο των (11),(12),(13) x = sinθ θ cosθ θ cosθ θ cosθ + θ 2 sinθ = = sinθ 2 θ cosθ θ cosθ + θ 2 sinθ (14) y = h cosθ θ sinθ θ sinθ + θ sinθ + θ 2 cosθ = = h cosθ 2 θ sinθ + θ sinθ + θ 2 cosθ (15) z = (16) -A.5 -

6 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: ΙΙ) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ 1.ΒΑΣΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΛΟΓΙΣΜΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Από το Σχήμα 1.β προκύπτει: r I = r + r B (17) Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων r, r, στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι: Από τις (17),(18),(19) προκύπτει: 2.ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ r = [ h] (18) sinθ r B = [ cosθ] (19) x sinθ r I = [ y ] = [ h cosθ] (2) z Οι ταχύτητες προσδιορίζονται από τις σχέσεις: v I = v + v B + ω r B = v + v B + v Τ (21) v T = ω r B v I : Ταχύτητα του σημείου ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι. v : Ταχύτητα της αρχής Ο 1 του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1 ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι v Β : Ταχύτητα του σημείου ως προς την αρχή Ο 1 του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (Ακτινική ταχύτητα κατά μήκος του διανύσματος θέσης r Β ). v T : Εφαπτομενική ταχύτητα του σημείου ως προς την αρχή αρχής Ο 1 του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (κάθετα στα διανύσματα γωνιακής ταχύτητας ω και θέσης r Β ). ω : Διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας του σώματος Β ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι r Β : Διάνυσμα (σχετικής) θέσης του σημείου ως προς την αρχή Ο 1 του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς : Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. (22) -A.6 -

7 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Η ταχύτητα v είναι: v = [ h ] (23) Η απομάκρυνση του σημείου από το Ο 1 γίνεται κατά μήκος του άξονα Ο 1Χ 1 με ρυθμό. Άρα, οι συνιστώσες της ταχύτητας v Β ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι είναι: ṡinθ v B = [ cosθ] (24) Οι συνιστώσες της ταχύτητας του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας ω του Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1 ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι είναι: ω = [ ] (25) θ Αρα: i j k θ cosθ v T = ω r B = det [ θ ] = [ θ sinθ ] (26) sinθ cosθ Τα i, j, k παριστάνουν μοναδιαία διανύσματα κατά τους άξονες Ο ΙΧ Ι, Ο ΙΥ Ι, Ο ΙΖ Ι Ο συνδυασμός των (21),(23),(24),(26) οδηγεί στην: x ṡinθ θ cosθ v I = [ y ] = [ h cosθ + θ sinθ] (27) z Η διανυσματική παράσταση των ταχυτήτων φαίνεται στο σχ. 2.α 3.ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΕΩΝ Οι επιταχύνσεις προσδιορίζονται από τις σχέσεις: a Ι = a + a B + 2ω v B + ω r B + ω (ω r B ) = a + a B +a C + a T + a R (28) a C = 2ω v B (29) a T = ω r B (3) -A.7 -

8 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: a R = ω (ω r B ) (31) a I : Επιτάχυνση του σημείου ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι. α Επιτάχυνση της αρχής Ο 1 του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1 ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι α Β : Επιτάχυνση του σημείου ως προς την αρχή Ο 1 του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (Ρυθμός μεταβολής v Β. Ακτινική κατά μήκος του διανύσματος θέσης r Β ). α C : Επιτάχυνση Coriois. α T : Εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου ως προς την αρχή Ο 1 του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (κάθετα στα διανύσματα γωνιακής ταχύτητας ω και θέσης r Β ). α R : Κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου ως προς την αρχή Ο 1 του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (Κατά μήκος του διανύσματος θέσης r Β ). Οι επιμέρους συνιστώσες της επιτάχυνσης προσδιορίζονται από: α = [ h ] (32) sinθ α B = [ cosθ] (33) i j k 2θ ċosθ a C = 2ω v B = det [ θ ] = [ 2θ ṡinθ ] (34) ṡinθ cosθ ι j k θ cosθ a T = ω r B = det [ θ ] = [ θ sinθ ] (35) sinθ cosθ i j k θ cosθ ω r B = det [ θ ] = [ θ sinθ ] (36) cosθ sinθ i j k θ 2 sinθ a R = ω (ω r B ) = det [ θ ] = [ θ 2 cosθ ] (37) θ cosθ θ sinθ -A.8 -

9 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Πρόσθεσή τους οδηγεί στις εξισώσεις (14),(15),(16). Η διανυσματική παράσταση των επιταχύνσεων φαίνεται στο σχ. 2.b Y I v Y I a O 1 O 1 h v T X 1 Y 1 r B h a T a C a R X 1 Y 1 r B v B θ,ω v B a B θ,ω O I X I O I X I α Σχήμα 2. α) Διανυσματική παράσταση ταχυτήτων, β) Διανυσματική παράσταση επιταχύνσεων β -A.9 -

Σχετικά έγγραφα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 7.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ