ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Transcript

1 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

2 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα

3 Ι) ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣ) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Εκπαιδευτική Ενότητα 7 η Υπολογισμός Ταχυτήτων και επιταχύνσεων Αποτελεί τον απλούστερο και πιό άμεσο τρόπο υπολογισμού ταχυτήτων/επιταχύνσεων. Υπολογισμός Ταχυτήτων Η ταχύτητα σε κάθε σημείο του μηχανισμού προκύπτει από παραγώγιση ως προς το χρόνο της εξίσωσης θέσης του συγκεκριμένου σημείου, όπως αυτή έχει προκύψει π.χ. από τον ομογενή μετασχηματισμό. Παράδειγμα 1: Αναλυτικός υπολογισμός ταχυτήτων μηχανισμού στρόφαλου-διωστήρα Η βασική κινηματική σχέση του μηχανισμού στρόφαλου διωστήρα είναι (5.19),(5.2): u = rcosθ + lcosφ (1) = rsinθ lsinφ (2) Παραγωγίζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1),(2) ως προς το χρόνο προκύπτει: Από την εξίσωση (2) προκύπτει: u = rθ sinθ lφ sinφ (3) = rθ cosθ lφ cosφ (4) lφ cosφ = lφ sinφ cosφ sinφ = rθcosθ ο lφ sinφ = rθ cosθtanφ (5) Αντικαθιστώντας την (5) στην (3) προκύπτει: Από τις σχέσεις (5.21),(5.22) προκύπτει: u = rθ sinθ rθ cosθtanφ ο u = rθ (sinθ + cosθtanφ) (6) tanφ = sinφ cosφ = (r l )sinθ 1 ( r l ) 2 sin 2 θ Αντικαθιστώντας την (7) στην (6) προκύπτει η τελική σχέση ταχυτήτων το μηχανιμσού στροφάλου διωστήρα με έισοδο (Β.Ε) τη γωνία θ(t) και έξοδο τη μετατόπιση u(t). u = θ rsinθ [1 + (r l )cosθ 1 ( r l ) 2 sin 2 θ (7) ] (8) Υπολογισμός επιταχύνσεων Η επιτάχυνση σε κάθε σημείο του μηχανισμού προκύπτει από παραγώγιση ως προς το χρόνο της ταχύτητας του συγκεκριμένου σημείου

4 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Παράδειγμα 2: Αναλυτικός υπολογισμός επιταχύνσεων μηχανισμού στρόφαλου-διωστήρα Παραγωγίζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1),(2) ως προς το χρόνο προκύπτει: u = rθ sinθ rθ 2 cosθ lφ sinφ lφ 2 cosφ (9) = rθ cosθ rθ 2 sinθ lφ cosφ lφ 2 sinφ (1) ΙΙ) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο αλγεβρικός υπολογισμός ταχυτήτων και επιταχύνσεων δεν προσφέρει φυσική διαίσθηση και πληροφόρηση ως προς τις φορές των ταχυτήτων και των επιταχύνσεων και ως προς την προέλευση των διαφόρων συνιστωσών τους. Για το λόγο αυτό, συμπληρωματικά χρησιμοποιείται και ο διανυσματικός υπολογισμός. Στηρίζεται στις δύο παρακάτω βασικές σχέσεις της μηχανικής (δυναμικής) του στερεού σώματος, με τις οποίες προσδιορίζεται η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σημείου P ενός σώματος Β το οποίο μεταφέρεται και στρέφεται ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς Χ ΙΟ ΙΥ Ι. Z B P Z I ω Y B θ Y B r B A θ v p v B Y I r O B v v T r B X B θ X B P v T =ωxr B v Ι =v +v P O I X I Σχήμα 1: Ταχύτητες σημείου P ενός σώματος Β το οποίο μεταφέρεται και στρέφεται ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι. Το Ο ΒΧ ΒΥ ΒΖ Β είναι ένα σωματόδετο σύστημα αναφοράς. (Για λόγους απλότητας του σχήματος, η γωνιακή ταχύτητα βρίσκεται στον άξονα Ο ΒΖ Β. Υπολογισμός Ταχυτήτων: v I = v + v B + ω r B = v + v B + v Τ (11) v T = ω r B v I : Ταχύτητα του σημείου P ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι. (12)

5 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: v : Ταχύτητα της αρχής Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς Ο ΒΧ ΒΥ ΒΖ Β ως πρός το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι v Β : Ταχύτητα του σημείου P ως προς την αρχή Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (Ακτινική ταχύτητα κατά μήκος του διανύσματος θέσης r Β ). v T : Εφαπτομενική ταχύτητα του σημείου P ως προς την αρχή αρχής Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (κάθετα στα διανύσματα γωνιακής ταχύτητας ω και θέσης r Β ). ω : Διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας του σώματος Β ως πρός το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι r Β : Διάνυσμα (σχετικής) θέσης του σημείου P ως προς την αρχή Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς : Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. Υπολογισμός Επιταχύνσεων: a I = a + a B + 2ω v B + ω r B + ω (ω r B ) = a + a B +a C + a T + a R (13) a C = 2ω v B (14) a T = ω r B a R = ω (ω r B ) (15) (16) a I : Επιτάχυνση του σημείου P ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι. α : Επιτάχυνση της αρχής Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς Ο ΒΧ ΒΥ ΒΖ Β ως πρός το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι α Β : Επιτάχυνση του σημείου P ως προς την αρχή Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (Ρυθμός μεταβολής v Β. Ακτινική κατά μήκος του διανύσματος θέσης r Β ). α C : Επιτάχυνση Coriolis. α T : Εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου P ως προς την αρχή Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (κάθετα στα διανύσματα γωνιακής ταχύτητας ω και θέσης r Β ). α R : Κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου P ως προς την αρχή Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (Κατά μήκος του διανύσματατος θέσης r Β ). ω : Διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας του σώματος Β ως πρός το αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι r Β : Διάνυσμα (σχετικής) θέσης του σημείου P ως προς την αρχή Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς. v Β : Ταχύτητα του σημείου P ως προς την αρχή Ο Β του σωματοπαγούς συστήματος αναφοράς (Ακτινική ταχύτητα κατά μήκος του διανύσματος θέσης r Β ). : Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Κατά την εφαρμογή των σχέσεων (1) έως (6) οι συνιστώσες όλων των διανυσμάτων αναφέρονται στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς

6 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Απόδειξη της σχέσης (1): Στο σχήμα 1 εικονίζεται το σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων Ο ΒΧ ΒΥ ΒΖ Β με συνεχή γραμμή στην αρχική του θέση και με διακεκομένη γραμμή σε νέα θέση Ο ΒΧ ΒΥ ΒΖ Β μετά από περιστροφή του κατά γωνία θ. Για λόγους απλότητας του σχήματος, η περιστροφή γίνεται περί τον άξονα Ο ΒΖ Β. Το σημείο P έχει μετακινηθεί σε νέα θέση P. H μετακίνησή του προκύπτει σαν σύνδεση δύο κινήσεων: Α) Μιας περιστροφής κατά θ περί τον άξονα Ο ΒΖ Β (Διάνυσμα PA ) λόγω περιστροφής του σώματος Β με γωνιακή ταχύτητα ω και Β) Μιας μεταβολής της απόστασής του από την αρχή Ο Β του Ο ΒΧ ΒΥ ΒΖ Β λόγω της σχετικής κίνησης που πραγματοποεί το P στο σωματοπαγές σύστημα Ο ΒΧ ΒΥ ΒΖ Β. P P = OP OP = PA + AP (17) Η ταχύτητα vp ορίζεται: P v p= lim P Δt Δt = lim Δt PA Δt + lim Δt ΑP Δt = lim Δt θ Ο Β Α Δt ΑP + lim Δt Δt = lim θ Δt Δt Ο ΑP ΒΑ + lim Δt Δt [ dr B dt ] I = v P = ω r B + v B (18) Όπου ο όρος [ dχ B dt ] I παριστάνει τη συνολική μεταβολή ως προς το χρόνο ενός διανύσματος x B του σωματόδετου συστήματος συντεταγμένων ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς: [ dx B dt ] I = ω x B + v B (19) Όπως φαίνεται από τις (8) και (9) η συνολική μεταβολή του x B προκύπτει από μία περιστροφή και μία μεταβολή του μήκους του. Απόδειξη της σχέσης (3): Ο συνολικός ρυθμός μεταβολής a P της ταχύτητας v P είναι: α P = [ dv P dt ] = d dt [v B + ω r B ] I = d dt [v B] I + d dt [ω r B ] I (2) d dt [v B] I = v B + ω v B = a B + ω v B (21) d [ω dt r B ] I = ω rb + ω r B + ω (ω r B ) = = ω rb + ω v B + ω (ω r B ) (22) Από το συνδυασμό των (2),(21),(22) η συνολική επιτάχυνση a I ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς προκύπτει: Εφαρμογή σε μηχανισμούς: α P = α + α P = α + α B + 2ω v B + ω rb + ω (ω r B ) (23) Ο διανυσματικός προσδιορισμός ταχυτήτων και επιταχύνσεων σε ένα μηχανισμό από Ν μέλη, ξεκινά από τον ορισμό Ν σωματοπαγών συστημάτων συντεταγμένων Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1... Ο ΝΧ ΝΥ ΝΖ Ν. Κάθε ένα από αυτά τοποθετείται σε ένα μέλος, και η αρχή του επιλέγεται σε ένα κοινό σημείο με το προηγούμενο μέλος. Με τον τρόπο αυτό, οι σχέσεις (1) και (3) εφαρμόζονται διαδοχικά (αλυσιδωτά)

7 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Παράδειγμα 3. Διανυσματικός προσδιορισμός ταχυτήτων σε μηχανισμό στρόφαλου-διωστήρα: Προσδιορισμός ταχυτήτων σημείου Β. Y 1 A B Y 2 O 2 r X 2 l Y I X 1 θ φ X I O I ΞO 1 u C Σχήμα 2: Αδρανειακό και χωρόδετο συστήματα αναφοράς για το διανυσματικό προσδιορισμό ταχυτήτων/επιταχύνσεων σε μηχανισμό στρόφαλου-διωστήρα. Θεωρώντας ως σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων το Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1 (Σχ. 2) η εφαρμογή των σχέσεων (11),(12) οδηγεί σε: επειδή οι αρχές Ο Ι, Ο 1 των συστημάτων συντεταγμένων ταυτίζονται. v B, = [ ] (24) v B,B = [ ] (25) επειδή το σημείο Β απέχει σταθερή απόσταση από την αρχή Ο 1 των αξόνων. ω 1 = [ ] (26) θ rcosθ r B = [ rsinθ] (27) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι συνιστώσες των διανυσμάτων στις εξισώσεις (26),(27) είναι ως προς το αδρανειακό σύστημα συντετεγμένων Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι

8 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Από τις (26),(27) προκύπτει: ι j k rθ sinθ v B,r = ω r B = det [ θ ] = [ rθ cosθ ] (28) rcosθ rsinθ Τα i, j, k παριστάνουν μοναδιαία διανύσματα κατά τους άξονες Ο ΙΧ Ι, Ο ΙΥ Ι, Ο ΙΖ Ι. Από τις (24),(25),(28) προκύπτει: Προσδιορισμός ταχυτήτων σημείου C. v B,I = v B, + v B,B + v rθ sinθ B,r v B,I = [ rθ cosθ ] (29) Θεωρώντας ως σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων το Ο 2Χ 2Υ 2Ζ 2 (Σχ. 2), η εφαρμογή των σχέσεων (11),(12) οδηγεί σε: rθ sinθ v C, = v B,I = [ rθ cosθ ] (3) επειδή οι αρχή Ο 2 του Ο 2Χ 2Υ 2Ζ 2 έχει ταχύτητα ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς την ταχύτητα του σημείου Β, όπως προδιορίστηκε στην εξίσωση (29). v C,B = (31) επειδή το σημείο C απέχει σταθερή απόσταση από την αρχή Ο 2 των αξόνων. ω 2 = [ ] (32) φ lcosφ r C = [ lsinφ] (33) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι συνιστώσες των διανυσμάτων στις εξισώσεις (32),(33) είναι ως προς το αδρανειακό σύστημα συντετεγμένων Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι

9 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: Από τις (32),(33) προκύπτει: ι j k lφ sinφ v C,T = ω 2 r C = det [ φ ] = lφ cosφ (34) lcosφ lsinφ Από τις (3),(31),(34) προκύπτει: v C,I = v C, + v C,B + v rθ sinθ lφ sinφ C,T v C,I = [ rθ cosθ lφ cosφ ] (35) Υπολογίζοντας ανεξάρτητα την ταχύτητα του σημείου C απευθείας ως προς το αδρανειακό σύστημα συντετεγμένων Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι προκύπτει: φ rθ sinθ lφ sinφ v C,I = [ ] = [ rθ sinθ lφ cosφ ] (36) Παράδειγμα 4. Διανυσματικός προσδιορισμός επιταχύνσεων σε μηχανισμό στρόφαλου-διωστήρα: Προσδιορισμός επιταχύνσεων σημείου Β. Θεωρώντας ως σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων το Ο 1Χ 1Υ 1Ζ 1, η εφαρμογή των σχέσεων (13) έως (16) οδηγεί σε: επειδή οι αρχές Ο Ι, Ο 1 των συστημάτων συντεταγμένων ταυτίζονται. a B, = [ ] (37) a B,B = [ ] (38) επειδή το σημείο Β απέχει σταθερή απόσταση από την αρχή Ο 1 των αξόνων. a B,C = 2ω 1 v B,B = [ ] (39) λόγω της (25)

10 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: ι j k rθ sinθ a B,T = ω 1 r B = det θ = rθ cosθ (4) rcosθ rsinθ ι j k rθ 2 cosθ a B,R = ω 1 (ω 1 r B ) = ω 1 v B,r = det θ = rθ 2 sinθ (41) rθ sinθ rθ cosθ ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι συνιστώσες των διανυσμάτων στις εξισώσεις (4),(41) είναι ως προς το αδρανειακό σύστημα συντετεγμένων Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι. Από τις (37) έως (41), προκύπτει: rθ sinθ rθ 2 cosθ a B,I = a B, + a B,B + a B,C + a B,T + a B,R = rθ cosθ rθ 2 sinθ (42) Προσδιορισμός επιταχύνσεων σημείου C. Θεωρώντας ως σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων το Ο 2Χ 2Υ 2Ζ 2, η εφαρμογή των σχέσεων (13) έως (16) οδηγεί σε: επειδή οι αρχή Ο 2 του Ο 2Χ 2Υ 2Ζ 2 rθ sinθ rθ 2 cosθ a C, =a B,I = rθ cosθ rθ 2 sinθ (43) επιτάχυνση του σημείου Β, όπως προδιορίστηκε στην εξίσωση (42). έχει επιτάχυνση ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς την a C,B = [ ] (44) επειδή το σημείο C απέχει σταθερή απόσταση από την αρχή Ο 2 των αξόνων. a C,C = 2ω 2 v C,B = [ ] (45) λόγω της (31) ι j k lφ sinφ a C,T = ω 2 r C = det φ = lφ cosφ (46) lcosφ lsinφ

11 Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: ι j k lφ 2 cosφ a C,R = ω 2 (ω 2 r C ) = ω 2 v C,T = det φ = lφ 2 sinφ (47) lφ sinφ lcosφ ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι συνιστώσες των διανυσμάτων στις εξισώσεις (46),(47) είναι ως προς το αδρανειακό σύστημα συντετεγμένων Ο ΙΧ ΙΥ ΙΖ Ι. Από τις (43) έως (47) προκύπτει: rθ sinθ rθ 2 cosθ lφ sinφ lφ 2 cosφ a C,I = a C, + a C,B + a C,C + a C,T + a C,R ac,i = rθ cosθ rθ 2 sinθ lφ cosφ + lφ 2 sinφ u a C,I = (48)