+µ ª ª²ª ª µ³ ³ ³» + ² ª± ³ ª ³, +ª± ª

Transcript

1

2 +µ ª ª²ª ª µ³ ³ ³» + ² ª± ³ ª ³, +ª± ª,üù ù ù ú.œ).œ.!.&00.!.".œ 0.-!./.Œ!". û0 " û.*. / üœ!. *. 0 ü*! " #Œ.Œ) ùûü ò&. 0. Œ #.3!.. 0)" Œ# * +.. #0! /0. 0 #" " " 0." 0. x i.. $0" #$)0" i, 0 i=,, 3,..., )Œ #.!%00Œ ".!)"03!0$0#$).f i " - "x i...œ /000) f + f f = ùûü 0Œ)0 Œ &0!&) Œ #Œ#$0. /.Œ / 3.! #0.+0"Œ!&.. "!..x i ù+0" i " Œ.!.& 0!&0".!%00 0!/).".!) " 0!+". /Œ.!. Œ #. $0 &.Œ þ0. ù ú +ûü ùûü þ/0 "0. ù ú +ûü ùûü

3 þ$0#$).""0. ùú +û ü ùûü ú. $.!.!00 " Œ! 0" Œ #. # *!3." 0-!/)." /0 &) " /Œ.!. Œ #.- $000Œ!).. þ/.*.. #Œ.Œ) $ # " /0" /0"!- " & Œ.!.!0& 0 0 * /0/ & 0.!)- 0!0" 0".Œ). #Œ) Œ 0. 0.*0-!0"0".Œ) û./* /0"+Œ #$ # ù / ú / *0!/.Œ!Œ.! #0 /.ú ùûü,üù û0.#!f(x)= x 3 +3x -9x+..., 5....Œ /000)f Œ.! #0. Œ).. Œ- )0$ ùûü. Œ! /!00 " " #.. " Œ 0" Œ) "f 0.Œ.Œ) Œ)0$ ùûü.!00.#œ!$0 #[. Œ.!#)"0.- ""f(x) 0.0$ " ùûü,üù û./* 0/0$)0.ù.ú0)"/0. *$+! #.. Œ. $* # P(A-B)=, P(A B)=.3ú ù

4 ..!00Œ.).P(A) ùûü..œ /000)Œ.).3% ùûü.!00œ.). #0/0$ #.Œ!.. Œ 0)-..Œ).0/0$)0.ù.ú ùûü,üù 0Œ)0 " Œ.." /0.!) &.!& 0 0. /0" $/0"..!)&0.+00!0+00. /0"..0.$+! ù!)".!&x i 4 4,3 8,3 8,7 7,3 ù!)"0.+ Œ!0&\ i #Œ 00&0.+. ùûü ùœ)0& \Ö =.Ö + [ "0#0."&0.$&0!.+& "Œ&0.0).0.* #.! *&.!&..!)"&0.+Œ!0&.# !000&: \Ö =.Ö + Ö [ ùûü Ö.!)"&.!& ".#0..0$ !)&0.+00!0+ " ùûü6 / Œ! *0. $! Œ #0 0& " 0#0." Œ.- /!)" # 0!&. ".. 0 #0.!) &.-!& )..!)" & 0.+ Œ!0& 0.û-. 0.Œ." ùûü

5 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 00 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B ) (μονάδες 5) Β. Δίνεται η ευθεία y ˆ = α ˆ + β ˆ χ της παλινρόμησης της μεταβλητής Y πάνω στη Χ. α. Να δώσετε, με απόδειξη, την ερμηνεία της εκτιμήτριας β ˆ. (μονάδες 5) β. Να εξηγήσετε γιατί διέρχεται από το σημείο (, y ) x. (μονάδες ) Γ. Να δώσετε τους ορισμούς των εννοιών που αναφέρονται στις προτάσεις (α) εώς (δ). α. Τι λέμε καμπύλη συχνοτήτων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής; β. Πώς ορίζεται η παράγωγος f (χ ο) της συνάρτησης f στο χ ο; γ. Τι είναι το εύρος ενός δείγματος; δ. Τι ονομάζεται στατική ομαλότητα; (μονάδες 8) Δ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: π α. Αν ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης f στο διάστημα Δ= 0, είναι + +, τότε ο τύπος της f είναι: χ συν χ χ χ Α) lnx+ +, Β) 3 +εφχ+ χ, Γ) lnx+εφχ+ χ, ημ χ χ Δ) (lnx) +(εφx) + χ, Ε) Τίποτα από τα Α, Β, Γ, Δ (μονάδες,5) β. Αν για την πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει [Ρ(Α)] Ρ(Α)+=0 (), τότε: Α) το Α είναι το αδύνατο ενδεχόμενο Β) το Α είναι βέβαιο ενδεχόμενο Γ) ισχύει 0<Ρ(Α)< Δ) η σχέση () είναι αδύνατη Ε) τίποτα από τα Α, Β, Γ, Δ (μονάδες,5)

6 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις φ, f, g με f()=f ()= και φ(χ)=f ( g ( x )), g(x)=lnx+x, με χ>0. Α. Να αποδείξετε ότι: g()=φ()= και g ()=φ ()=. Β. Να εξετάσετε αν η g(χ) έχει ακρότατα στο διάστημα Δ=(0,+ ) (μονάδες 7) (μονάδες 5) Γ. Να υπολογιστεί η τιμή του ορίου: lim h 0 ln( h + ) + ( h + ) g ( ). h (μονάδες 4) Δ. α. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε, ε των γραφικών παραστάσεων των φ και f στα σημεία τους Α(,φ()) και Β(,f()) αντίστοιχα. (μονάδες 7) β. Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα των χ. (μονάδες ) ΘΕΜΑ 3 ο ν τηλεθεατές δήλωσαν την προτίμησή τους σε ένα μόνο από κ προγράμματα τα α, α,, α κ με ν,κ Ν*. Από τις μετρήσεις προέκυψε ότι για τα ποσοστά προτίμησης f(α i) των 400 α i είναι: f(α 3)= % και f(αi)=λ 3 i με i=,,,κ και λ σταθερό αριθμό. Α. Να αποδείξετε ότι λ= και κ=5. 3 (μονάδες 4) Β. Επιλέγουμε ένα τηλεθεατή στην τύχη. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχωμένων: Α: Να προτίμησε το πρόγραμμα α 4. Β: Να προτιμήσε ένα από τα πιο δημοφιλή προγράμματα. Γ: Να μην προτίμησε το α. Γ. Αν το α 4 προτιμήθηκε από 60 άτομα, να βρείτε το ν. (μονάδες 6) (μονάδες 5) Δ. α. Να γίνει το ραβδόγραμμα συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: «ο αριθμός των προτιμήσεων» που έλαβε κάθε πρόγραμμα. (μονάδες 7) β. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή της μεταβλητής Χ. (μονάδες 3)

7 ΘΕΜΑ 4 ο Το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής Χ των ετήσιων μισθών (σε εκατοντάδες ) ενός δείγματος εργαζομένων, ομαδοποιημένης σε κλάσεις ίσου πλάτους, έχει κορυφές τα σημεία: Α(0,0), Β(40,5), Γ(60,0), Δ(80,0), Ε(00,30), Ζ(0,ν 5), Η(40,0), Θ(60,0). Η κατακόρυφη γραμμή με εξίσωση χ=00 διαιρεί το χωρίο που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Α. Να αποδείξετε ότι ν 5=5. Β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων της κατανομής Χ. Γ. Να υπολογίσετε τις τιμές των μέτρων θέσης της Χ. (μονάδες 5) (μονάδες 5) (μονάδες 7) Δ. Αν σαν «όριο φτώχιας» θεωρήσουμε τον μισθό των 700, να εκτιμήσετε το ποσοστό επί τοις % των φτωχών του δείγματος. (μονάδες 5) Ε. Να χαρακτηρίσετε την κατανομή ως προς την συμμετρία της. (μονάδες 3)

8 Προσομοίωση 00 Μαθηματικά Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας Θέμα Δίνεται η συνάρτηση x α + e x (,0] f(x) = x ln( x) + x x (0,) α) Να προσδιορίσετε την τιμή του α ώστε η f να είναι συνεχής στο x o = 0 Μονάδες 7 β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο διάστημα (0, ) και να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της. Μονάδες 7 γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει σημείο Α (x ο, f(x o )) της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης f με το x o (,o] τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α να είναι παράλληλη προς τον xx. Μονάδες 6 Θέμα Σε ένα κουτί υπάρχουν 50 μπαλάκια αριθμημένα από το έως το 50. Αν ο Μιχάλης τραβήξει τυχαία έναν αριθμό που διαιρείται με το κερδίζει ένα βιβλίο, ενώ αν τραβήξει έναν αριθμό που διαιρείται με το 5 κερδίζει ένα CD. Να βρείτε την πιθανότητα για καθένα από τα επόμενα ενδεχόμενα. Α: Θα κερδίσει ένα βιβλίο. Β: Θα κερδίσει ένα βιβλίο ή ένα CD. Γ: Θα κερδίσει ένα βιβλίο και ένα CD. Δ: Θα κερδίσει μόνο ένα βιβλίο. Ε: Δε θα κερδίσει ούτε βιβλίο ούτε CD. Θέμα 3 Α. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [0, + ) για την οποία ισχύει: 4f(x) + 4 = x + + f(x) x. Να βρεθεί η f(x). Β. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους f(x) = x και g(x) = (x ). Μονάδες 0 Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C f, C g στο σημείο τομής αυτών είναι κάθετες μεταξύ τους. Μονάδες 0

9 Θέμα 4 Δίνεται η εξίσωση x λ + λ = 3x με λ (0, ). Να δείξετε ότι οι λύσεις της εξίσωσης μπορεί να είναι πιθανότητες κάποιων ενδεχομένων Α, Β ενός πειράματος τύχης όπου Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα, Μονάδες 0 Θέμα 5 Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δερματικού χώρου Ω, ώστε Ρ(Α) = 3 4, Ρ(Β) = 5 6 και P(A B) =. Να χαρακτηρίσετε τα παρακάτω. 3. Ρ(Β ) = 3 Σ Λ. P(A B) = Σ Λ P(A B') = Σ Λ 0 4. P[(A B') (B A ')] = Σ Λ 4 5. Ρ(Ω) = 0 Σ Λ Θέμα 6 Να επιλέξετε τη σωστή από τις παρακάτω προτάσεις:. Σε κάθε κατανομή το 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες της μέσης τιμής και το 50% είναι μεγαλύτερες της μέσης τιμής.. Σε κατανομή με θετική συμμετρία ισχύει x < δ 3. Αν x = 3s τότε το δείγμα είναι ομοιογενές. 4. Σε κάθε κατανομή ισχύει 0 < fi < 5. Σε δύο δείγματα αν είναι x < x τότε CV > CV

10 Θέμα 7 Έστω ŷ = αˆ + 0, 7x η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων για τα παρακάτω ζεύγη τιμών: Να βρείτε: i) Την τιμή y 3 ii) Την εκτιμήτρια ˆα x 4 5 y 4 y 3 5 Μονάδες 0 Θέμα 8 Μια επιχείρηση έχει προς ενοικίαση αυτοκίνητα για τα οποία ο μέσος χρόνος λειτουργίας τους πριν την εμφάνιση της πρώτης βλάβης είναι μήνες με τυπική απόκλιση 3 μήνες. i) Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. Μονάδες 0 ii) Αν η επιχείρηση έχει φροντίσει (βελτιώνοντας τη συντήρηση κλπ.) να μεγαλώσει τον χρόνο λειτουργίας κάθε αυτοκινήτου πριν την εμφάνιση της πρώτης βλάβης κατά c μήνες, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του c για την οποία το δείγμα θα ήταν ομοιογενές. Μονάδες 0 Θέμα 9 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x(x + x +). α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Μονάδες 5 β) Να μελετηθεί η f ως προς, τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 7 γ) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ) όπου ΑΒ = x μονάδες μήκους και ΑΓ = μονάδα μήκους. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις x και y, όπου y = ΒΓ + ΑΒ, (ΒΓ, ΑΒ τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ). Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ως προς x, όταν x = 3 Μονάδες 8 Θέμα 0 Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα συχνοτάτων σχετικών συχνοτήτων. x i v i f i f i % N i F i F i % 0, 0, Σύνολο Μονάδες 0

11 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 003 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ Ο Α. Αν Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, δείξτε ότι ισχύει: P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B). (7 µονάδες) Β. Έστω ότι έχουµε την κατανοµή συχνοτήτων ενός δείγµατος µεγέθους n. Αν X,, K Xkοι τιµές της (ποσοτικής) µεταβλητής, µε συχνότητες n, n,..., n k και σχετικές συχνότητες f, f,..., f k αντίστοιχα και X ο αριθµητικός µέσος των τιµών του δείγµατος, δείξτε ότι X k = i= (4µονάδες) Γ. Απαντήστε (χωρίς απόδειξη - αιτιολόγηση) στις επόµενες ερωτήσεις.. Σε ένα δείγµα µεγέθους n, παρατηρήθηκε ότι για κάθε τιµή της µεταβλητής x i, η απόλυτη συχνότητα n ισούται µε την (αντίστοιχη) εκατοστιαία σχετική συχνότητα f %, i δηλαδή ισχύει ni= fi% για κάθε i=,,3, Ποιο είναι το µέγεθος n του δείγµατος; ( µονάδες). Τις τελευταίες 7 ηµέρες, οι θερµοκρασίες σε ένα χωριό της Νορβηγίας ήταν 3, -, -, 0,,, 3 βαθµούς αντίστοιχα. Τι έχετε να παρατηρήσετε για το συντελεστή µεταβλητότητας της θερµοκρασίας αυτού του επταηµέρου; ( µονάδες) 3. Έστω x,, K xn οι τιµές ενός δείγµατος, x η µέση τιµή τους και s η τυπική τους απόκλιση. Αν κάθε µία από τις πιο πάνω τιµές πολλαπλασιαστεί µε τον αριθµό α και σε κάθε γινόµενο προστεθεί ο αριθµός b, γράψτε τη µέση τιµή x' και την τυπική απόκλιση s ' των νέων τιµών ax+ b, ax+ b,..., axn+ b ( µονάδες) 4. Έστω ότι έχουµε ένα δείγµα µεγέθους n και συµβολίζουµε µε n i τις συχνότητες και f i τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες των τιµών x i της µεταβλητής. Αν συµβολίσουµε µε a i το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων του δείγµατος, γράψτε µε τι ισούται το a i. ( µονάδες). Ένας µαθητής της Γ Λυκείου, διεκδικεί την εισαγωγή του στην τριτοβάθµια εκπαίδευση µε τους εξής βαθµούς:. Γενικός βαθµός πρόσβασης: 6. ο µάθηµα αυξηµένης βαρύτητας: 5 3. ο µάθηµα αυξηµένης βαρύτητας: 7 Υπολογίστε τη µέση επίδοση του συγκεκριµένου µαθητή. (Υπενθυµίζεται ότι ο γενικός βαθµός πρόσβασης έχει συντελεστή βαρύτητας 8, το ο µάθηµα αυξηµένης βαρύτητας έχει συντελεστή βαρύτητας,3 και το ο 0,7). ( µονάδες) Ε. Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραµµα πάνω στην Εθνική οδό, µεταφέροντας εµπορεύµατα από τη Θεσσαλονίκη προς την Αθήνα. Καθώς πλησιάζει προς τη Λάρισα, η θέση του πάνω στην Εθνική οδό συναρτήσει του χρόνου t, δίνεται από τη συνάρτηση 3 x( t) = t t t. Βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του 3 φορτηγού. Η ταχύτητά του αυξάνεται ή ελαττώνεται; (4 µονάδες) X f i i i

12 ΖΗΤΗΜΑ Ο Στον επόµενο πίνακα συχνοτήτων, φαίνεται η κλιµάκωση των βαθµών πρόσβασης του συνόλου των µαθητών της Γ Λυκείου, που εξετάστηκαν σε εθνικό επίπεδο το έτος 00, σύµφωνα µε τα επίσηµα στοιχεία που έδωσε στη δηµοσιότητα το Υπουργείο Παιδείας. Κλάσεις [ - ) Σχετική Συχνότητα % f i Αν είναι γνωστό ότι το πλήθος των µαθητών που πήραν βαθµό πρόσβασης µεγαλύτερο ή ίσο του 6 και µικρότερο του 8, ήταν τετραπλάσιο αυτών που πήραν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 4 και µικρότερο του 6, να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις δύο σχετικές συχνότητες που λείπουν. (5 µονάδες). Είναι γνωστό, ότι 5587 µαθητές, πήραν βαθµό πρόσβασης µεγαλύτερο ή ίσο του 0. Να βρείτε το συνολικό πλήθος των υποψηφίων. (4 µονάδες) 3. Να υπολογίσετε πόσοι υποψήφιοι είχαν βαθµό πρόσβασης µεγαλύτερο ή ίσο του και µικρότερο του 3. (4 µονάδες) 4. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Η πιθανότητα αυτός να είναι υποψήφιος της θεωρητικής κατεύθυνσης είναι 0,34 ενώ η πιθανότητα να είναι υποψήφιος της θετικής, είναι µισή από την πιθανότητα να είναι υποψήφιος της τεχνολογικής. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου «ο µαθητής προέρχεται, είτε από τη θεωρητική, είτε από την τεχνολογική κατεύθυνση», καθώς και το πλήθος των µαθητών της θετικής κατεύθυνσης (στρογγυλοποιείστε την απάντησή σας στον πλησιέστερο ακέραιο). ( µονάδες) ΖΗΤΗΜΑ 3 ο Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και θεωρούµε το ενδεχόµενο Α: «να φέρουµε τουλάχιστον µία φορά κεφάλι».. Βρείτε την πιθανότητα να συµβεί το ενδεχόµενο Α. (8 µονάδες). ίνεται ο πιο κάτω πίνακας συχνοτήτων: Τιµές µεταβλητής y i Απόλυτες συχνότητες n i x P( A) 3 3 x P( A') xp(ω) 3 Όπου Ω και P(A) ο δειγµατικός χώρος και η πιθανότητα αντίστοιχα του ου ερωτήµατος και x R 0,. α. Υπολογίστε (ως συνάρτηση του x ) τη µέση τιµή y της µεταβλητής y (4 µονάδες) β. Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f ( x) = y (3 µονάδες)

13 ΖΗΤΗΜΑ 4 Ο 3 ίνεται η συνάρτηση f ( x) = ( P( A)) x [7 P( A) 3] x xln x + P( B), µε x> 0 και P( A), P( B ), οι πιθανότητες των ενδεχοµένων Α, Β αντίστοιχα, ενός δειγµατικού χώρου Ω.. Βρείτε την f '( x ) (4 µονάδες). Βρείτε την P(A), αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f έχει, για χ=, εφαπτοµένη παράλληλη στον άξονα χ χ. (6 µονάδες) Αν P( A ) = και f () =, δείξτε ότι P( B ) = και ότι τα ενδεχόµενα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα. (7 µονάδες) 4. είξτε ότι P( A B) (8 µονάδες) 3

14 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 004 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο Α. ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η F( x ) = f ( x ) + g ( x ). Α ν ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς, ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : F ( x ) = f ( x ) + g ( x). Μ Ο Ν Α Ε Σ 8 Β. Ρ ί χ ν ο υ µ ε έ ν α ζ ά ρ ι µ ι α φ ο ρ ά κ α ι η έ ν δ ε ι ξ ή τ ο υ ε ί ν α ι ο α ρ ι θ µ ό ς 4. Έ σ τ ω τ α ε ν δ ε χ ό µ ε ν α Α = {, 3, 5 } κ α ι Β = {, 4, 6 } Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε σ α ν Σ ω σ τ ή ( Σ ) ή Λ ά θ ο ς ( Λ ) κ α θ ε µ ι ά α π ό τ ι ς ε π ό µ ε ν ε ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς έ ω ς 4 :. Π ρ α γµ α το ποι ή θ η κε το ενδ ε χόµε νο Α Β.. Π ρ α γµ α το ποι ή θ η κε του λ ά χ ι στον έν α απ ό τ α Α κ α ι Β. 3. Π ρ α γµ α το ποι ή θ η κε το αν τ ί θε το ε νδ εχόµ ενο του Β. 4. Π ρ α γµ α το ποι ή θ η κε το ενδ ε χόµε νο Α Β. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 Γ. Ο ι π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς t, t, t 3,, t ν έ χ ο υ ν µ έ σ η τ ι µ ή x = 4, ε ύ ρ ο ς R = 0 κ α ι τ υ π ι κ ή α π ό κ λ ι σ η s =. Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ η µ έ σ η τ ι µ ή, τ ο ε ύ ρ ο ς κ α ι τ η ν τ υ π ι κ ή α π ό κ λ ι σ η τ ω ν π α ρ α τ η ρ ή σ ε ω ν t, t, t 3,, t ν ( ν ΙΝ * ) Μ Ο Ν Α Ε Σ 6. Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο υ ς κ α ν ό ν ε ς, π ο υ δ ί ν ο υ ν τ ι ς π α ρ α γ ώ γ ο υ ς τ ω ν π α ρ α κ ά τ ω σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν : f x cf ( x ) µ ε c π ρ α γ µ α τ ι κ ή σ τ α θ ε ρ ά, f ( x) g ( x ), ( ) ( ) g x µ ε g( x) 0, f ( g ( x ) ). Μ Ο Ν Α Ε Σ 7

15 Θ Ε Μ Α ο Έ ν α κ ο υ τ ί π ε ρ ι έ χ ε ι µ ί α κ ό κ κ ι ν η σ φ α ί ρ α Κ κ α ι τ ρ ε ι ς µ α ύ ρ ε ς τ ι ς Μ, Μ κ α ι Μ 3. Α φ α ι ρ ο ύ µ ε τ υ χ α ί ω ς µ ι α σ φ α ί ρ α α π ό τ ο κ ο υ τ ί, τ η ν κ α τ α γ ρ ά φ ο υ µ ε κ α ι σ τ η ν σ υ ν έ χ ε ι α α φ α ι ρ ο ύ µ ε τ υ χ α ί ω ς µ ι α δ ε ύ τ ε ρ η σ φ α ί ρ α κ α ι τ η ν κ α τ α γ ρ ά φ ο υ µ ε ε π ί σ η ς. α. Ν α βρ ε ί τ ε το δε ι γ µα τ ι κό χώ ρο Ω του π ε ι ρ άµ α τος. Μ Ο Ν Α Ε Σ 9 β. Ν α π α ρ α σ τ ή σ ε τ ε µ ε α ν α γ ρ α φ ή τ α ε ν δ ε χ ό µ ε ν α, π ο υ π ρ ο σ δ ι ο ρ ί ζ ο ν τ α ι α π ό τ η ν α ν τ ί σ τ ο ι χ η ι δ ι ό τ η τ α : Α : Κ α ι ο ι δ ύ ο σ φ α ί ρ ε ς ε ί ν α ι µ α ύ ρ ε ς Β : Μ ό ν ο µ ί α σ φ α ί ρ α ε ί ν α ι µ α ύ ρ η Γ Κ α µ ί α σφ α ί ρ α δ εν ε ίν α ι µ αύ ρη Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 γ. Ν α υπο λογ ί σ ε τε τ ι ς π ι θα νότ η τε ς των Α, Β κα ι Γ. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 δ. Ν α σ χ ε δ ι ά σ ε τ ε τ ο σ η µ ε ι ό γ ρ α µ µ α, π ο υ π ε ρ ι γ ρ ά φ ε ι τ ο ν α ρ ι θ µ ό τ ω ν µ α ύ ρ ω ν σ φ α ι ρώ ν, που π ερ ι έ χουν τ α α π λ ά ε νδ εχ όµ εν α του Ω. Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 Θ Ε Μ Α 3 ο Έ σ τ ω ο δ ε ι γ µ α τ ι κ ό ς χ ώ ρ ο ς Ω κ α ι έ ν α µ η κ ε ν ό ε ν δ ε χ ό µ ε ν ό τ ο υ Α. ( Α ) Α. Ν α β ρ ε ί τ ε τ α α κ ρ ό τ α τ α τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f ( x ) = x x +, x IR. ΜΟΝΑ ΕΣ 0 B. Θ εω ρούµ ε τ ι ς π αρ α τ ηρ ή σε ι ς: P( A ), P ( A ), P( ), P (Ω ). α. Ν α υ πο λογ ί σε τ ε τ ην µ έ σ η τ ι µ ή τους κ α ι τ ην δ ι ά µε σό τους. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Ν α δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι η δ ι α κ ύ µ α ν σ ή τ ο υ ς ε ί ν α ι : s = P (A) - P(A)+ 4 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ. Ν α δ ε ί ξ ε τε, ότ ι : CV κ α ι η ι σότ η τα ισ χ ύε ι, ό τα ν P( A) = P ( A ). ΜΟΝΑ ΕΣ 4

16 Θ Ε Μ Α 4 ο Τ α ψ υ γ ε ί α µ ι α ς ε τ α ι ρ ε ί α ς σ υ ν τ ή ρ η σ η ς τ ρ ο φ ί µ ω ν ε ί ν α ι κ α τ α ν ε µ η µ έ ν α σ ε τ έ σ σ ε ρ ι ς κ λ ά σ ε ι ς, σ ύ µ φ ω ν α µ ε τ η ν θ ε ρ µ ο κ ρ α σ ί α Χ ( σ ε ο C ), π ο υ ε π ι κ ρ α τ ε ί σ τ ο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό τ ο υ ς, ό π ω ς φ α ί ν ε τ α ι σ τ η π ρ ώ τ η σ τ ή λ η τ ο υ ε π ό µ ε ν ο υ π ί ν α κ α. Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιµές x i Συχνότητες ν i Σχετικές συχνότητες f i % [ 4, ) [, 0 ) [0, ) [, 4 ) ΣΥΝΟΛΟ: Σ ε σ χ έ σ η µ ε τ ο ν α ρ ι θ µ ό τ ω ν ψ υ γ ε ί ω ν τ η ς π ρ ώ τ η ς κ λ ά σ η ς, η δ ε ύ τ ε ρ η κ λ ά σ η έ χ ε ι τ ρ ι π λ ά σ ι ο α ρ ι θ µ ό κ α ι η τ έ τ α ρ τ η π ε ν τ α π λ ά σ ι ο α ρ ι θ µ ό ψ υ γ ε ί ω ν. Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι η µ έ σ η θ ε ρ µ ο κ ρ α σ ί α τ ω ν ψ υ γ ε ί ω ν ε ί ν α ι x = o C ΜΟΝΑ ΕΣ 6 B. Έ σ τ ω, ό τ ι η τ ρ ί τ η κ λ ά σ η έ χ ε ι ί δ ι ο α ρ ι θ µ ό ψ υ γ ε ί ω ν µ ε τ η ν π ρ ώ τ η κ λ ά σ η. α. Ν α σ υ µ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ η ν σ τ ή λ η µ ε τ ι ς σ χ ε τ ι κ έ ς σ υ χ ν ό τ η τ ε ς f i % τ ο υ π α ρ α π ά ν ω π ί ν α κ α κ α ι ν α κ α τ α σ κ ε υ ά σ ε τ ε τ ο π ο λ ύ γ ω ν ο α θ ρ ο ι σ τ ι κ ώ ν σ χ ε τ ι κώ ν σ υ χνοτ ή τ ων. ΜΟΝΑ ΕΣ 9 β. Ν α υπο λογ ί σ ε τε τ ην δ ι άµ εσο θε ρ µοκ ρ α σ ί α δ. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ Α π ό τ ο π ο λ ύ γ ω ν ο α θ ρ ο ι σ τ ι κ ώ ν σ χ ε τ ι κ ώ ν σ υ χ ν ο τ ή τ ω ν, ν α ε κ τ ι µ ή σ ε τ ε τ ο π οσοσ τό τω ν ψυ γ ε ίω ν µ ε θε ρµο κρ α σ ί α µε γ α λύ τ ερ η α πό 0,5 ο C. ΜΟΝΑ ΕΣ 5

17 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. i) Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας µιας συνάρτησης f στο πεδίο ορισµού της Α. Μονάδες ii) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 3 Β. Να γράψετε και να αποδείξετε τις ιδιότητες που ισχύουν για την σχετική συχνότητα f i της τιµής x i, i=,,,κ του δείγµατος µεγέθους ν κ, των τιµών µιας µεταβλητής Χ. Μονάδες 0 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεµία από τις επόµενες προτάσεις.. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση µόνο ποιοτικών δεδοµένων. Μονάδες. Αν για τις αθροιστικές συχνότητες Ν i, i=,,3,4,5 ενός δείγµατος τιµών x, x, x 3, x 4, x 5 της µεταβλητής Χ, ισχύει i N = 4 i + i, τότε το µέγεθος του δείγµατος είναι ν=0. Μονάδες 3. Σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα, το εύρος ισούται µε την διαφορά της κεντρικής τιµής της πρώτης κλάσης από την κεντρική τιµή της τελευταίας κλάσης. Μονάδες 4. Σε κανονική κατανοµή ισχύει: x= δ, όπου x είναι η µέση τιµή και δ η διάµεσος της. Μονάδες 5. Αν για τις πιθανότητες P(A), P(B) δύο ενδεχοµένων Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω είναι P(A) P(B) τότε ισχύει πάντα A B. Μονάδες

18 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ΘΕΜΑ ο Έστω t, t,, t 00 ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής Τ µε µέση τιµή t, τυπική απόκλιση s 0 και η συνάρτηση F µε τύπο ( )( ) t s x 4, αν x 0 και x 4 F( x) = x, 4 s, αν x = 4 η οποία είναι συνεχής στο διάστηµα Α = [ 0, + ). α) Να αποδείξετε ότι για x 4 ο τύπος της συνάρτησης F είναι F( x) = ( t s)( x + ). Μονάδες 7 β) Να εξετάσετε αν είναι οµοιογενές το δείγµα των τιµών t, t,, t 00 της µεταβλητής Τ. Μονάδες 0 γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g µε τύπο g( x) F( x) = στο σηµείο της t s A,g 4 4. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3 ο Ο κυβισµός των κινητήρων Χ, σε κυβικά εκατοστά (κ.εκ.), ενός δείγµατος αυτοκινήτων, ακολουθεί κανονική κατανοµή. Στο παραπάνω δείγµα βρέθηκαν 00 αυτοκίνητα µε κυβισµό µικρότερο από.400κ.εκ. και αυτοκίνητα µε κυβισµό µικρότερο από.000κ.εκ. α) Να βρείτε τη µέση τιµή x, την τυπική απόκλιση s και να εκτιµήσετε το εύρος R του κυβισµού των κινητήρων των αυτοκινήτων του δείγµατος. Μονάδες β) Επιλέγουµε τυχαία ένα αυτοκίνητο από το δείγµα. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει κινητήρα µε κυβισµό µικρότερο από.00κ.εκ. ή µεγαλύτερο από.000κ.εκ. Μονάδες 7 γ) Αν, µετά από επισκευή, ο κυβισµός κάθε κινητήρα αυξηθεί κατά 6%, να βρείτε την µέση τιµή και την διασπορά των νέων τιµών του, και να εκτιµήσετε το εύρος τους. Μονάδες 6

19 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ 4 ο ίνονται τα ενδεχόµενα Κ, Λ ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πιθανότητες P(K), Ρ(Λ) αντίστοιχα, όπου Ρ(Κ) 0. α) Η συνάρτηση f ( x) = x P( Λ) x P( K) +, x ΙR έχει στο σηµείο x o ΙR µέγιστο το P( K) 5. Να αποδείξετε ότι: i) x o = Ρ(Κ)+Ρ(Λ) Μονάδες 6 ii) Ρ(Λ) = Ρ(Κ) β) Έστω, επιπλέον, ότι οι παρατηρήσεις: P( ), P(K), P(Λ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Ω), Ρ(Κ), Ρ( ), Ρ(Κ), Ρ(Κ Λ), Ρ(Κ Λ) έχουν διάµεσο δ 4 = και P ( K Λ) ( Λ Κ) = i) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Κ, Λ, Κ Λ, Κ Λ. Μονάδες ii) Να κάνετε το διάγραµµα συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των παραπάνω παρατηρήσεων. Μονάδες 3 3.

20 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α. Αν x, x,, x κ οι τιµές µιας µεταβλητής X που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν όπου κ, ν µη µηδενικοί φυσικοί αριθµοί µε κ ν i) Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα f i της τιµής x i, i =,,,κ ii) είξτε ότι 0 f i για i =,,,κ iii) είξτε ότι f + f + + f κ = (9 ΜΟΝΑ ΕΣ) Β. Έστω Α, Β δύο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι P ( A B) = P( A) + P( B) (8 ΜΟΝΑ ΕΣ) Γ. Να γράψετε στην τελευταία στήλη το γράµµα της σωστής απάντησης Α Β Γ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν Ρ(Α)=0.3 τότε το Ρ(Α ) ισούται µε Αν Ρ(Α)=0.3, Ρ(Β)=0.4, Ρ(Α Β)=0. τότε το Ρ(Α Β) ισούται µε Αν Ρ(Α)=0.8, Ρ(Α Β)=0. Το Ρ(Α - Β) ισούται µε τότε Το Ρ(Α Β ) ισούται µε Αν Ρ(Α)=0.3 και Ρ(Β)=0.6 Ρ(Α Β) = Ποια από τις διπλανές σχέσεις Ρ(Α Β)= ΕΝ µπορεί να ισχύει Ρ(Α - Β)= ΘΕΜΑ ο 3 ίνεται η συνάρτηση f ( x) = λ x 6x + µ. Αν x + 3 x lim = x x λ i) είξτε ότι λ = και το µέγιστο της συνάρτησης f είναι 9 : (8 ΜΟΝΑ ΕΣ) (7 ΜΟΝΑ ΕΣ) ii) είξτε ότι µ = 5 (6 ΜΟΝΑ ΕΣ) iii) Βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της f όπου η εφαπτοµένη (ε) είναι παράλληλη στον x x (6 ΜΟΝΑ ΕΣ) iv) Να βρείτε για ποια τιµή του x ο ρυθµός µεταβολής της f γίνεται ελάχιστος. (6 ΜΟΝΑ ΕΣ)

21 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 ΘΕΜΑ 3 ο Μελετήσαµε ένα δείγµα Ι.Χ. αυτοκινήτων που κυκλοφορούν στο κέντρο της Αθήνας ως προς τον αριθµό των επιβατών συµπεριλαµβανοµένου και του οδηγού. Μερικά από τα αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Αριθµός επιβατών Αριθµός αυτοκινήτων f i f i % N i F i F i % x i ν i ΣΥΝΟΛΑ Α. i) Να µεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συµπληρώσετε. (4 ΜΟΝΑ ΕΣ) ii) Να υπολογίσετε την µέση τιµή και τη διάµεσο του δείγµατος (3 ΜΟΝΑ ΕΣ) iii) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές (4 ΜΟΝΑ ΕΣ) Β. Επιλέγουµε τυχαία ένα αυτοκίνητο. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Α: το αυτοκίνητο έχει το πολύ δύο επιβάτες (3 ΜΟΝΑ ΕΣ) Β: το αυτοκίνητο έχει τουλάχιστον τέσσερις επιβάτες (3 ΜΟΝΑ ΕΣ) Γ. Επιλέγουµε στην τύχη έναν επιβάτη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Γ: ο επιβάτης έχει τρεις συνεπιβάτες (4 ΜΟΝΑ ΕΣ) : ο επιβάτης δεν έχει συνεπιβάτες (4 ΜΟΝΑ ΕΣ) ΘΕΜΑ 4 ο Σ ένα χωριό υπάρχουν ν άνθρωποι που ο καθένας είναι x, x,, x ν ετών. Α. Αν το δείγµα x, x,, x ν των ηλικιών τους έχει συντελεστή µεταβολής 0% και µετά από 5 χρόνια γίνεται για πρώτη φορά οµοιογενές, i) Βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση των ηλικιών τους ii) Βρείτε τη µέση τιµή του δείγµατος x, x,..., xv iii) Αν ο µικρότερος σε ηλικία είναι 0 ετών, βρείτε προσεγγιστικά τη µεγαλύτερη ηλικία, αν υποθέσουµε ότι η κατανοµή των ηλικιών είναι κανονική. (9 ΜΟΝΑ ΕΣ) Β. Στο παραπάνω χωριό υπάρχουν µόνο καφενεία, το Α και το Β. Αν το 30% των κατοίκων πηγαίνει στο Α καφενείο και το 60% δεν πηγαίνει στο Β ενώ το 50% πηγαίνει σε ένα τουλάχιστον από τα δύο καφενεία, να βρείτε: i) Τι ποσοστό των κατοίκων πηγαίνει και στα δύο καφενεία ii) Απ αυτούς που πηγαίνουν µόνο στο ένα καφενείο ποιοι είναι οι περισσότεροι, αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Α ή αυτοί που πηγαίνουν µόνο στο Β. (8 ΜΟΝΑ ΕΣ)

22 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Γ. Το κάθε ένα από τα ν άτοµα αγοράζει ένα λαχνό. Οι λαχνοί είναι αριθµηµένοι από το έως το ν και έχουν ίδια πιθανότητα κλήρωσης. Αν η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός αριθµός είναι κατά 0,8% µεγαλύτερη από το να κληρωθεί άρτιος να βρείτε πόσα άτοµα έχει το χωριό. (8 ΜΟΝΑ ΕΣ)

23 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες 3. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) B. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη, να αποδείξετε ότι: ( ) cf (x) ' = cf (x), c IR Μονάδες 8 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη (Σ) ή (Λ) δίπλα στον αριθµό της ερώτησης.. Αν Α είναι το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f και υπάρχει x0 το οποίο ισχύει x x0 o A για lim f (x) f (x ) τότε η f δεν είναι συνεχής στο Α. Μονάδες. Ένα τοπικό ελάχιστο µιας συνάρτησης µπορεί να είναι µεγαλύτερο από ένα τοπικό της µέγιστο. Μονάδες 3. Η διάµεσος της κανονικής κατανοµής συµπίπτει µε τη µέση τιµή της. Μονάδες 4. O συντελεστής µεταβολής (CV) είναι µέτρο σχετικής διασποράς. Μονάδες 5. Η διακύµανση εκφράζεται µε τις µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες

24 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f (x) = x + lnx α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της. β. Να υπολογίσετε την παράγωγό της. γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. δ. Να υπολογίσετε το όριο: xf (x) 3 x lim x Μονάδες 5 Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3 ο Ο χρόνος εργασίας 80 υπαλλήλων µιας εταιρείας, που εργάζονται από 5 εως 30 χρόνια, έχει ταξινοµηθεί σε 5 ισοπλατείς κλάσεις. Είναι γνωστό ότι το ύψος του ορθογωνίου του ιστογράµµατος συχνοτήτων που αντιστοιχεί στην τέταρτη κλάση είναι 30, η συχνότητα της δεύτερης κλάσης είναι τετραπλάσια από τη συχνότητα της τρίτης κλάσης, η σχετική συχνότητα της πρώτης κλάσης είναι 0% και ο αριθµός των υπαλλήλων που εργάζονται τουλάχιστον 5 χρόνια είναι 40. α. Να παραστήσετε τα παραπάνω δεδοµένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων (απολύτων, σχετικών, αθροιστικών και αθροιστικών σχετικών). Μονάδες 8 β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. Μονάδες 8 γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που εργάζονται λιγότερο από 3 χρόνια.

25 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ δ. Πόσα το πολύ χρόνια πρέπει να εργάζεται ένας υπάλληλος, ώστε να είναι µεταξύ των 60 υπαλλήλων µε τα λιγότερα χρόνια εργασίας; Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4 ο Για τα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, είναι Ν(Α) Ν(Β) = 5 Ν(Ω) Έστω R το εύρος του δείγµατος των παρατηρήσεων: Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β) Α. Να αποδείξετε ότι: α. 0 < R β. R = P(A B) + P(Α Β ) Μονάδες 7 Β. Αν η συνάρτηση f (x) = στο IR να αποδείξετε ότι: α. Ρ(Β) = Ρ(Α Β) + 5 5P(A)x 5P(B), αν x x 5P(A B)+3, αν x = είναι συνεχής β. R = γ. Ρ(Α Β) = και Ρ(Α Β) = 0 Μονάδες 7 Μονάδες 3 3

26 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Θέµα ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Τι ονοµάζεται εύρος ή κύµανση R ενός δείγµατος παρατηρήσεων και τι µειονέκτηµα παρουσιάζει; Μονάδες 3 Α. Έστω Ω ={ω, ω, ω ν } ο δειγµατικός χώρος µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Να δώσετε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας του απλού ενδεχοµένου {ω i }. Α3. Αν η f(x) = x παραγωγίσιµη συνάρτηση, να δείξετε ότι η παράγωγός της είναι f (x) = x. Μονάδες 8 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα το οποίο αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού f(x0+ h) + f(x 0 ) της τότε ισχύει f (x 0) = lim. h 0 h Μονάδες β. O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης που είναι η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο σηµείο (x 0, f (x 0 )) θα είναι f (x 0 ) δηλαδή ο ρυθµός µεταβολής της f (x) ως προς x όταν x = x 0. Μονάδες γ. Αν η πραγµατοποίηση ενός ενδεχοµένου Α συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Β τότε Α Β. Μονάδες δ. Πάντοτε ένα µεγαλύτερο δείγµα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα από ένα µικρότερο δείγµα. Μονάδες ε. Ο δειγµατικός χώρος κάθε πειράµατος τύχης αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Μονάδες

27 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Θέµα ο ίνεται συνάρτηση f(x)= x 4 x +. α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. Μονάδες 6 β. Να βρείτε το σηµείο Μ(x, f(x)) στο οποίο η γραφική παράσταση της f τέµνει τον x x. Μονάδες 5 γ. Να δείξετε ότι lim f ( x) =6 x Μονάδες 6 δ. Έστω x i, i =,,3,4 οι τιµές µιας µεταβλητής x, ενός δείγµατος µεγέθους ν=40. Αν κ= lim f ( x) να συµπληρωθεί ο πίνακας: x Xi vi fi Ni Fi 4 κ 3 4 0, Σύνολο Μονάδες 8 Θέµα 3 ο «Σε µια εταιρία εργάζονται συνολικά 00 υπάλληλοι στο διοικητικό ή στο τεχνικό τµήµα. Από αυτούς οι 60 είναι άνδρες, 40 άτοµα εργάζονται στο διοικητικό τµήµα ενώ 0 γυναίκες εργάζονται στο τεχνικό τµήµα. Η µέση ηλικία τόσο των ανδρών όσο και των γυναικών είναι 40 χρόνια.» α. Επιλέγουµε τυχαία ένα άτοµο που εργάζεται στην εταιρεία. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Α: «Το άτοµο είναι άνδρας που εργάζεται στο τεχνικό τµήµα» Β: «Το άτοµο είναι άνδρας ή εργάζεται στο διοικητικό τµήµα» Μονάδες 7 β. Κάποιοι υπάλληλοι αποχώρησαν από την εταιρεία η οποία κάλυψε το κενό τους προσλαµβάνοντας για κάθε άτοµο που αποχώρησε, ένα νεότερο κατά 4 χρόνια. Αν η νέα µέση ηλικία των υπαλλήλων της εταιρείας είναι 39,6 χρόνια, να βρείτε πόσοι υπάλληλοι αποχώρησαν. Μονάδες 6

28 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ γ. Αν είναι γνωστό ότι η κατανοµή των 00 αρχικών ηλικιών είναι περίπου κανονική και το,5% των υπαλλήλων έχει ηλικία το πολύ 6 χρόνια, να βρείτε πόσοι υπάλληλοι της εταιρείας έχουν ηλικία µικρότερη από 33 χρόνια. Μονάδες 6 δ. Αν ισχύει 00 κ κ vx i i vx i i i= i= ( ) = µετά την πρόσληψη των νεότερων ατόµων και η κατανοµή των ηλικιών εξακολουθεί να είναι κανονική, να βρείτε κατά προσέγγιση το εύρος της κατανοµής των ηλικιών των υπαλλήλων της εταιρείας. ίνεται S Θέµα 4 ο ( vi xi ) [ ]. v κ i = vi xi v i κ Μονάδες 6 «Έστω πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω = {,,3,4,5,6,7} και m η ελάχιστη τιµή της µέσης τιµής των αριθµών x, 5e x, x+4, -7x, (x R). Επιλέγουµε τυχαίο κ Ω και σχηµατίζουµε τη συνάρτηση g(x)=mx -κ x+3 (x R)» Α. Να δείξετε ότι m=. Μονάδες 9 Β. Θεωρούµε το ενδεχόµενο Ε={ κ Ω / «η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σηµείο της Α(, g()) δεν είναι παράλληλη στον άξονα x x}. Nα βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου E. Μονάδες 8 Γ. Αν Α,Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω µε Α Β, Α Β, να δειχτεί ότι 3 P( A B) 3 P( A) h( x) = x + x + x + 008, x R είναι γνησίως αύξουσα στο R. Μονάδες 8 3

29

30

31

32

33 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Αν f ( x) και ( x) συνάρτηση F ( x) = f ( x) + g( x) ισχύει F ( x) = f ( x) + g ( x) g παραγωγίσιµες συναρτήσεις, να δείξετε ότι για την. Μονάδες 9 B. α. Να διατυπώσετε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας για ένα ενδεχόµενο Α ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Μονάδες 3 β. Τι εκφράζει η αθροιστική συχνότητα Ν i της τιµής x i µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ; Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο x A όταν f ( x) f ( x ) για κάθε x σε µια περιοχή του x. Μονάδες β. Το τόξο α i ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων είναι ίσο µε αi = 360 νi. Μονάδες γ. Αν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου τότε το ενδεχόµενο να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα δύο είναι ( A B). f ( x) f x g x + f x g x δ. Ισχύει: g( x) = ( g( x) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Μονάδες Μονάδες ε. Το εύρος σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα µπορεί να διαφέρει από τα αντίστοιχα δεδοµένα πριν αυτά οµαδοποιηθούν. Μονάδες

34 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f ( x) ln( x + ) + x+ + 5 = α, όπου α µια σταθερά µε α 5. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f ( x) Β. Να βρείτε: α. την f ( x). x + β. το ( ) lim f x x x x. Μονάδες 3 Μονάδες 5 Μονάδες 5 Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της f ( x) που είναι παράλληλη στην ευθεία y= x είναι y = x+ α + 5. Μονάδες 6. Να βρείτε την τιµή του α αν η διάµεσος των τεταγµένων των σηµείων της ευθείας (ε) τα οποία έχουν τετµηµένες 0,, 9, 0 είναι 50. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 3 ο Το παρακάτω ιστόγραµµα συχνοτήτων δείχνει τις βαθµολογίες των µαθητών της Γ Λυκείου ενός σχολείου, σε ένα διαγώνισµα. Μέσα στα ορθογώνια που έχουν βάση ίση µε τη µονάδα δίνονται τα εµβαδά τριών από αυτά. v i E 3 = 8 E 4 E 5 = 8 E = 4 E Βαθµοί Αν N4= 6ν και το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι 50, τότε: Α. Να βρείτε το πλήθος των µαθητών. Μονάδες 3

35 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 3 Β. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Μονάδες 0 Γ. Αν επιλέξουµε τυχαία ένα µαθητή της Γ Λυκείου του σχολείου να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων. α. Ο βαθµός του γραπτού να είναι µεγαλύτερος ή ίσος του 0 και µικρότερος του 7. Μονάδες 6 β. Ο βαθµός του γραπτού να είναι κάτω από 0 ή τουλάχιστον 6. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω {,3,6, κ, λ, µ } Ω= ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και το Α = κ, λ, µ, ώστε να ισχύουν: P ( A) = και P( 3) P ( ) ( ) ( λ) = = P 6= P κ =. 3 ενδεχόµενο { } P ( ) Α. Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του Ω. Μονάδες 5 3 Β. Να βρείτε τα κ, λ, µ αν η συνάρτηση f ( x) x x + 0x + 00 = λ έχει 3 εφαπτοµένη στο σηµείο A(,f ( ) ) µε συντελεστή 48 ενώ τα κ και µ είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της µε κ µικρότερο του µ. x 3 =. x 3 5 Να βρείτε το πεδίο ορισµού της g(x) και στη συνέχεια τα στοιχεία του ενδεχοµένου Β όταν: B = { x Ω και x }. Γ. ίνεται η συνάρτηση g( x). Σε ένα δείγµα 60 παρατηρήσεων που ακολουθούν κανονική κατανοµή οι 4 από αυτές είναι µεγαλύτερες από το 0 ενώ το εύρος R των παρατηρήσεων είναι ίσο µε τα 4 3 της µέσης τιµής x. Να βρείτε το ενδεχόµενο Γ = {c Ω ώστε ο c προστιθέµενος σε όλες τις παρατηρήσεις να γίνεται το δείγµα οµοιογενές}. Ε. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων A Γ, Β Γ, Α Γ, Β Α. Μονάδες 8 3

36 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A. αποδειχθεί ότι : ( ) ( ) Μονάδες 8 Α. Αν x, x,,x κ είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, κ ν µε αντίστοιχες συχνότητες ν, ν,,ν κ και α i όπου i=,,,κ το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων τότε : i. Να αναφέρετε για ποιά δεδοµένα χρησιµοποιείται το κυκλικό διάγραµµα. ii. Με τι ισούται το τόξο α i ; Α3. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της. Μονάδες 3 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f ( x0) = 0 για x 0 ( α, β), ( ) στο ( α,x 0 ) και f ( x) < 0 στο ( 0 ) διάστηµα ( ) x= x µέγιστο. α,β για 0 f x > 0 x,β, τότε η f παρουσιάζει στο Μονάδες β. Η παράγωγος της συνάρτησης f στο x0 του πεδίου ορισµού της εκφράζει το ρυθµό µεταβολής του y= f( x) ως προς το x, όταν x= x0. Μονάδες γ. Στην κανονική κατανοµή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα ( x 3s, x+ 3s), όπου x είναι η µέση τιµή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση. Μονάδες

37 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Ni δ. Σε ένα δείγµα µεγέθους ν ο λόγος F είναι ίσος µε ν. i Μονάδες ε. Για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, όταν P A P B τότε A B. ( ) ( ) Μονάδες ΘΕΜΑ Β 3 ίνεται η συνάρτηση f( x) = x κx + 4, x R και κ R. Αν f ( ) 3f ( ) τότε : Β. Να αποδείξετε ότι κ=3. Β. Nα µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα της. Β3. Να βρείτε το όριο ( ) της συνάρτησης f στο σηµείο ( ) =, Μονάδες 6 Μονάδες 7 f 3+ h 4 L= lim και την εξίσωση της εφαπτοµένης h 0 h 3,f 3. ( ) Μονάδες 7 Β4. Να βρείτε το σηµείο της γραφικής παράστασης της f, στην τετµηµένη του οποίου ο ρυθµός µεταβολής του y=f(x) ως προς x, έχει την ελάχιστη τιµή. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ

38 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 3 Στο παραπάνω σχήµα δίνεται το ιστόγραµµα συχνοτήτων σε ευρώ ( ) και το πολύγωνο συχνοτήτων της ηµερήσιας αµοιβής 40 εργαζοµένων µιας επιχείρησης. Τα δεδοµένα έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους. Η τετµηµένη του σηµείου Α είναι 35, του σηµείου Β είναι 55 και η µέση ηµερήσια αµοιβή των εργαζοµένων είναι x= 36. Γ. Να δείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c =0 και να γράψετε τις κλάσεις. Μονάδες 5 Γ. Να δείξετε ότι οι συχνότητες ν, ν 3 της δεύτερης και της τρίτης κλάσης αντίστοιχα είναι ν = 6, ν 3= 8. Μονάδες 6 Γ3. Να κάνετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων της ηµερήσιας αµοιβής των εργαζοµένων της επιχείρησης, το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και να εκτιµήσετε τη διάµεσο. Μονάδες 9 Γ4. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος των εργαζοµένων της επιχείρησης και Α, Β δύο P A 0,5 P B 0,65. ενδεχόµενα του Ω τέτοια ώστε ( ) και ( ) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) P A B + P B A 0,55 P A B ( ) Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Έστω X µια ποσοτική µεταβλητή ως προς την οποία εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους ν και x, x,,x ν οι παρατηρήσεις που έχουν µέση τιµή x, τυπική απόκλιση s, συντελεστή µεταβλητότητας CV = 5% και διάµεσο δ Θεωρούµε τη συνάρτηση f( x) = 4x ( x + s) x + +s, x R. Αν η f στο CV σηµείο µε τετµηµένη x 0 = έχει εφαπτόµενη παράλληλη στον άξονα x x τότε :. Να δείξετε ότι x= 4, s= και να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. Μονάδες 7. Να βρείτε τον µικρότερο θετικό αριθµό c κατά τον οποίο πρέπει να αυξηθούν οι τιµές των παρατηρήσεων ώστε το δείγµα να είναι οµοιογενές. Μονάδες 5 3

39 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Υποθέτουµε ότι η παραπάνω κατανοµή είναι κανονική ή περίπου κανονική. Θεωρούµε δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πιθανότητες s Ρ( Α ) = και Ρ( Β ) =. x δ 5s = να βρείτε τις πιθανότητες: 9 P A B P A B P A B. i. Αν P( A B) P( A B) ii. ( ), ( ) και ( ) Μονάδες 9 Αν το πλήθος των παρατηρήσεων x i, µε x i είναι 5 τότε να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος. 4

40 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ( 9 µονάδες) Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x A ; ( 3 µονάδες) Α3. Τι µας δίνουν τα µέτρα θέσης και τί τα µέτρα διασποράς ή µεταβλητότητας µιας κατανοµής ενός συνόλου δεδοµένων; ( 3 µονάδες) Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Η αθροιστική συχνότητα N i µιας τιµής x i εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες της τιµής x i. β) Αν f ( x) < 0 για κάθε x R τότε η συνάρτηση f(x) δεν παρουσιάζει ακρότατα. γ) Σε µια κανονική κατανοµή το 0,3% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται εκτός του διαστήµατος ( x 3 s, x+ 3 s). δ) Αν η διάµεσος ν παρατηρήσεων είναι ίση µε µία από αυτές τότε είναι βέβαιο ότι το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθµός. ε) Αν Α,Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τότε οι εκφράσεις «εν πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόµενα Α και Β» και «Πραγµατοποιείται µόνο ένα από τα ενδεχόµενα Α και Β» είναι ισοδύναµες. (Χ5 µονάδες)

41 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΘΕΜΑ Β Εξετάζουµε ένα αντιπροσωπευτικό δείγµα συνταξιούχων ως προς το ποσό της µηνιαίας συνολικής σύνταξης που λαµβάνουν σε εκατοντάδες ευρώ. Για την κατανοµή τους έχουν δηµιουργηθεί 5 ισοπλατείς κλάσεις και γνωρίζουµε ότι: το εµβαδόν του πολυγώνου συχνοτήτων v i είναι 50. το µέσο της άνω βάσης του ορθογωνίου του ιστογράµµατος σχετικών συχνοτήτων f i %, που αντιστοιχεί στη η κλάση είναι το σηµείο Α(0,α). Το εύρος των παρατηρήσεων είναι 0. Η συχνότητα f % είναι τριπλάσια της f % και δεκαπλάσια της f 4 %, ενώ η f % είναι διπλάσια της f 3 % και πενταπλάσια της f 5 %. Β. Να δείξετε ότι α=0 και να συµπληρωθεί ο πίνακας κατανοµής όλων των συχνοτήτων. (8 µονάδες) Β. Να υπολογιστεί η µέση τιµή, καθώς και η διάµεσος των συντάξεων. Τί είδους ασυµµετρία έχει η κατανοµή; (6 µονάδες) Β3. Αν η κυβέρνηση αποφασίσει µείωση των συντάξεων που υπερβαίνουν τα 300 ευρώ, βρείτε το ποσοστό των θιγόµενων συνταξιούχων καθώς και να εκτιµήσετε το πλήθος τους αν γνωρίζουµε ότι ο συνολικός αριθµός συνταξιούχων της χώρας είναι (5 µονάδες) Β4. Αν δοθεί επίδοµα στους έχοντες συνολικό ετήσιο εισόδηµα (από συντάξεις µηνών) µικρότερο ή ίσο των ευρώ τότε: i. Επιλέγοντας τυχαία από το δείγµα έναν συνταξιούχο, να βρεθεί η πιθανότητα να λάβει το επίδοµα. (3 µονάδες) ii. Αν το επίδοµα δοθεί από τα χρήµατα, που θα εξοικονοµήσουν τα ταµεία αφαιρώντας 00 ευρώ από κάθε συνταξιούχο της 3 ης κλάσης, 00 ευρώ από κάθε συνταξιούχο της 4 ης και 400 ευρώ από καθέναν της 5 ης κλάσης και τα οποία µοιραστούν εξίσου στους δικαιούχους, τότε να βρεθεί το ποσό που αναµένεται να λάβει ανά µήνα ο κάθε δικαιούχος. (3 µονάδες)

42 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΘΕΜΑ Γ 3 x 6 ίνονται οι συναρτήσεις f ( x) = και x 4 Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. g( x) P(Β) ln x x x 6 = + + και τα Α, Γ. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f(x) και g(x). (4 µονάδες) Γ. Αν η πιθανότητα Ρ(A) του ενδεχοµένου A του δειγµατικού χώρου Ω είναι ίση µε το lim f ( x) και η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g(x) στο x 0 =4 x 4 σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία 4 π, τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(A) και Ρ( Β ). 3 Γ3. Αν P(A) = και P(Β)= και Ρ( Α Β),, τότε: α) Να δείξτε ότι Ρ( Α Β ) =. 5 (8 µονάδες) (5 µονάδες) β) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το Α ή να µην πραγµατοποιηθεί το Β. (4 µονάδες) γ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα ενδεχόµενα Α και Β. (4 µονάδες) ΘΕΜΑ 4 ίνεται η συνάρτηση f ( x) = x + x +, x R. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. (6 µονάδες). Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και Α,Β δύο ενδεχόµενα για τα οποία ισχύει: ( ) f P( Β ) = Ρ( Α ), όπου f(x) η προηγούµενη συνάρτηση. i. Να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ενδεχόµενο και το Β είναι αδύνατο ενδεχόµενο. (7 µονάδες)

43 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ii. ίνεται ο παρακάτω πίνακας απόλυτων συχνοτήτων ν i και τα ενδεχόµενα Γ, του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω, διαφορετικά των Α και Β µε Γ και Γ. x i ν i P(Γ) 4Ρ( ) 3 4Ρ(Γ)+4Ρ( ) 4 Ρ(Α) Σύνολα α) Να αποδείξετε ότι ν = και ν =3 και να συµπληρωθεί ο πίνακας. β) Να υπολογιστεί η διάµεσος των παρατηρήσεων. γ) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: Ρ( Γ ), Ρ(Γ ). (6 µονάδες) (3 µονάδες) (3 µονάδες)

44 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 03 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 03 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f ( x) = x =, για κάθε x R. Α.. Α.3. ( ) x f ( x) = x είναι (7 µονάδες) Να ορίσετε το σταθµισµένο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο για τις τιµές x, x,..., x ν ενός συνόλου δεδοµένων που έχουν διαφορετική βαρύτητα και η οποία εκφράζεται µε τους λεγόµενους συντελεστές βαρύτητας w w,..., w, ν. (4 µονάδες) Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής; Α.4. (4 µονάδες) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο Α και g ( x) 0 για f ( x) g( x) f ( x) g ( x) f( x) κάθε x A τότε ισχύει ότι: =, για κάθε x A g( x) ( g( x) ) β) Ο συντελεστής µεταβλητότητας CV παριστάνει ένα µέτρο απόλυτης διασποράς και όχι ένα µέτρο σχετικής διασποράς. γ) Η διάµεσος δ ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων είναι πάντα µία από τις παρατηρήσεις. δ) Το ενδεχόµενο «ιαφορά του Β από το Α» πραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β. ε) ύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα είναι ασυµβίβαστα. (Χ5 µονάδες)

45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 03 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΘΕΜΑ Β Ο χρόνος αναµονής σε min των µαθητών ενός σχολείου στη στάση του λεωφορείου έχει οµαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. Το εύρος είναι R = 0 min, η κεντρική τιµή της τρίτης κλάσης είναι 0 min, 3 µαθητές περιµένουν λιγότερο από 4 min, 0 µαθητές λιγότερο από min, το 84 % περιµένουν χρόνο λιγότερο από 6 min, N = 50 και F = 0,. 5 Β.. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c της κάθε κλάσης είναι 4 και να µεταφέρετε στο τετράδιο σας σωστά συµπληρωµένο τον παρακάτω πίνακα χρόνος σε min [...,...) xi νi Ni fi F i F i % [...,...) [...,...) [...,...) [...,...) Σύνολο (8 µονάδες) Β.. Β.3. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διασπορά και τη διάµεσο του χρόνου αναµονής των µαθητών του δείγµατος (7 µονάδες) Θεωρούµε ότι όλοι οι χρόνοι των µαθητών είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένοι σε κάθε µία από τις παραπάνω κλάσεις. Επιλέγουµε έναν µαθητή στην τύχη και θεωρούµε τα ενδεχόµενα: A: ο χρόνος αναµονής του µαθητή είναι µικρότερος από 0 min B: ο χρόνος αναµονής του µαθητή είναι τουλάχιστον 8 min και λιγότερος από 7 min α) Να βρείτε τις πιθανότητες P (A) και P (B) β) Να βρείτε τις πιθανότητες P( A B), ( A B) P, P( ( A B) A). (5 µονάδες) (5 µονάδες)

46 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 03 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΘΕΜΑ Γ Θεωρούµε µια µεταβλητή X η οποία µετράει σε mmhg τη συστολική πίεση ενός δείγµατος Α ν ατόµων µιας πόλης και η οποία ακολουθεί περίπου την κανονική 5x 5 κατανοµή. ίνεται ότι η διάµεσος δ της κατανοµής είναι δ = 3 lim σε x x mmhg και ότι το 84 % του δείγµατος έχει συστολική πίεση µεγαλύτερη από 5 mmhg. Γ.. Να βρείτε τη µέση τιµή x A, την τυπική απόκλιση s A του δείγµατος Α και να εξετάσετε αν το δείγµα Α είναι οµοιογενές. (8 µονάδες) Γ.. Έστω ότι για το δείγµα Α ισχύει ότι x A= 30 mmhg και s A = 5mmHg. Ένα δεύτερο δείγµα Β, επίσης ν ατόµων, παρουσιάζει συστολική πίεση y i = x i +0 mmhg, για κάθε i =,,..., ν, όπου x i η συστολική πίεση των ατόµων του δείγµατος Α. α) Να βρείτε τη µέση τιµή y B, την τυπική απόκλιση s B και να συγκρίνετε ως προς την οµοιογένεια τα δύο δείγµατα. (7 µονάδες) β) Αν επιπλέον το πλήθος των ατόµων του δείγµατος Α, των οποίων η x A+ s, x A+ s, είναι 540, συστολική πίεση παίρνει τιµές στο διάστηµα ( ) i. να βρείτε το µέγεθος ν του δείγµατος Α. A A (5 µονάδες) ii. Να βρείτε πόσα συνολικά άτοµα και από τα δύο δείγµατα έχουν συστολική πίεση κάτω από 35 mmhg. (5 µονάδες) ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση ε ) : y= x+ β ( στο σηµείο (, f ()) f ( x) =, x R, µε a > 0, και η εφαπτοµένη ax + Α της γραφικής της παράστασης... α) Να δείξετε ότι α = β=. (5 µονάδες) β) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. (5 µονάδες)

47 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 03 Ε_3.Μλ3Γ(ε).. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α, Β, Γ, ενός δειγµατικού χώρου Ω, που οι πιθανότητες των ενδεχοµένων του δίνονται από τις τεταγµένες y, σηµείων ( x, y) της εφαπτοµένης (ε ). α) Για τις τετµηµένες x των παραπάνω σηµείων ( x, y), να αποδείξετε ότι 0 x. ( µονάδες) 4 7 β) Έστω τα σηµεία K, y, M, y, N, y3 της εφαπτοµένης (ε ). Αν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων ( A B), A B και A είναι διαφορετικές ανά δύο και στοιχεία του συνόλου y, y, }, τότε: { y3 3 3 i. Να αποδείξετε ότι P ( A) =, P( A B) = και P ( A B) = (5 µονάδες) ii. Να αποδείξετε ότι f( P( A B') ) > f( P( A B') ) iii. Αν 3 P ( Γ) = να αποδείξετε ότι 0 5 P ( Β Γ) (4 µονάδες) (4 µονάδες) Σας ευχόµαστε Επιτυχία. Σήµερα και στις Πανελλήνιες Εξετάσεις

48 Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου