áùçîä éòãîì äîâîä ÌÈÏÈ ÂÁ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "áùçîä éòãîì äîâîä ÌÈÏÈ ÂÁ"

Transcript

1 åôé-à"ú ìù úéîã àä äììëîä áùçîä éòãîì äîâîä :ÌÈ Â È Ó ÌÈÏÈ ÂÁ

2 הנחיות כלליות: יש להגיש את כל התרגילים בזמן (זמני ההגשה מצוינים בסילבוס הקורס). ציונו של תרגיל שיוגש באיחור יהיה 0, למעט מקרים חריגים כגון שירות מילואים, לידה ומחלה. במקרים אלה יש להביא אישור על כך. יש להגיש כל תרגיל עד לתחילתו של השיעור השני בשבוע ההגשה. יש להגיש את כל התרגילים בכתב ברור ומסודר. תלמיד שאינו מסוגל לעשות זאת, מתבקש להדפיס את התרגילים! התרגילים העיוניים הם אישיים. אנו רואים בחומרה רבה העתקות של בעבודות שהוגשו בסמסטרים קודמים), וכאלו אם יתגלו יטופלו משמעתית. (כולל שימוש עבודות הציון על תרגילי הבית ישקף גם את ההערכה לעבודתו של הסטודנט ולא רק את נכונות הפתרון. כאשר אתם מתארים מבנה נתונים הקפידו על השלבים הבאים: תארו את מבנה הנתונים במילים בצורה מדויקת. 1. אם מבנה הנתונים כולל כמה חלקים, הקפידו לתאר תחילה תיאור ברמת על של החלקים, 2. ורק אח"כ תארו בפירוט כל חלק. הוסיפו ציור של מבנה הנתונים שכולל את חלקיו השונים ואת הקשרים ביניהם. 3. אם אתם משתמשים במנה נתונים זהה לחלוטין למה שנלמד בכיתה, ניתן להשתמש בו 4. שחורה. אולם אם אתם משנים משהו במימוש תארו את השינויים במדויק. כבקופסה כאשר אתם כותבים אלגוריתם הקפידו על השלבים הבאים: 1. כתבו תחילה תיאור עילי קצר של האלגוריתם. 2. כתבו את האלגוריתם בצורה ברורה, הקפידו על אינדנטציה, מספרו את השלבים השונים וכדומה. פרטים המסרבלים את האלגוריתם יש לכתוב לחוד כמו פונקציה בשפת תכנות. למשל, נניח שאתם כותבים אלגוריתם כלשהו המטפל בעץ בינארי ובתוך האלגוריתם יש קטע המוצא את הצומת הגדול ביותר בערכו בעץ. כתבו רק "נמצא את הצומת בעל הערך הגדול ביותר בעץ" ותארו בנפרד איך לבצע זאת. 3. הוכיחו את נכונות האלגוריתם. 4. נתחו את יעילותו של האלגוריתם מבחינת זמן וזיכרון. נסחו במפורש ובמדויק כל תוצאה שהוכנו בכיתה, כאשר אתם משתמשים בה.

3 log( n 3 סדרי גודל: שאלה 1: הוכיחו את הטענות הבאות עפ"י הגדרה: 3 3. n 5 n = Ω(n א ) n n = Ο(n) ב. + 7 n) = Θ(log(n)) ג. שאלה 2: הוכיחו ש- O משרה יחס סדר חלש, כלומר מקיים :. f (n) = O(f (n)) : רפלקסיביות. i ו- O(h(n)) g (n) = אז אם n)) f (n) = O(g( טרנזיטיביות :. ii. f (n) = O(h(n)).(f(n) = Θ(g(n)) אמ "מ g(n) = O(f(n)) אז f(n) = O(g(n)) אנטי סימטריות חלשה: אם. iii שאלה 3: נתונה ההגדרה הבאה עבור ˆO (רמזים באתר הקורס): + תהיינה f, g : N R שתי פונקציות. נאמר שהפונקציה g היא Ô של f, ונסמן זאת על ידי. g(n) c f(n) מתקיים n כך שלכל 1 c אם קיים קבוע > 0, g ( n) = Oˆ ( f ( n)) הוכיחו שההגדרות של ˆO ו- O שקולות.. g ( n) = O( f ( n)) אם"ם g ( n) הערה : כדי להראות ששתי ההגדרות שקולות הראו ש- ((n) = O ˆ ( f (שימו לב שהפונקציות חיוביות ממש) שאלה 4: הוכיחו עפ"י הגדרה (רמזים באתר הקורס): n / 2 n / 2 א. n O(3 n! O(3 n ) ב. ) ג. ) a,(n - b) a = Θ(n כאשר a,b שני קבועים, 0 > a. (שימו לב, b אינו בהכרח חיובי, הוא יכול להיות גם שלילי או 0)

4 log( n) 6 log( n) n n n n! n log( n) שאלה 5: דרגו את הפונקציות הבאות עפ"י סדר גודל עולה: 6 log( n) n n n n log(log( n)) n 2 log( ) 2 log ( ) 1 n log( n) 2 n n n n n n log(log( )) הערה : אין צורך להוכיח את הדירוג, אך חשוב שתשתכנעו בעצמכם בנכונותו. שאלה 6: בנוסף לסימונים O,Ω,Θ שנראו בכיתה, קיימים שני סימונים חשובים נוספים, o,ω קטן. ההגדרות של o,ω נמצאות במקראה. אומגה קטן ו- אוו 3 f (n) = n 4 n g(n) = 5 n 2 + 3n נתונות f ו - g הבאות : הוכיחו ש- o(f) g = המופיעות שם). עפ"י ההגדרה הראשונה של o קטן מהמקראה (לא על פי ההגדרות הנוספות ניתוח סדרי גודל זמן ריצה - 2 -

5 זמני ריצה של פונקציות איטרטיביות: שאלה 1: נתחו את זמן הריצה של הפונקציות הבאות במונחים של Θ (הוכיחו טענתכם במפורט ): א. void func1(int n) { int i,j,x; for (i = 1; i <= n; i++) if (i % 2 == 1) x++; void func2(int n) { int i,j,y; ב. for (i = n; i >= 1; i = i - 2) for (j = i; j <= n; j++) y--; int func3(int n) { int x, y; ג. y = 1; x = n; while (x > 1){ x = x / 2; y++; return y; int func4(int n) { int j, y; ד. for(j = 1; j <= n; j++){ y = j; while (y > 1) y /= 2; - 3 -

6 int func5(int n) { int j, y; ה. for(j = n; j >= 1; j--){ y = 1; while (y < j) y *= 2; while (y > 2) y = sqrt(y); הערה : ניתן להניח שפעולת sqrt מתבצעת ב- (1 )Θ. int func6(int n) { int j, y; ו. for (j = 2; j <= n; j *= j){ y = 1; while (y < j) y *= 2; while (y > 2) y = sqrt(y); הערה : ניתן להניח שפעולת sqrt מתבצעת ב- (1 )Θ. ז. עבור כל אחד מהסעיפים א' ב' ו- ג' (של שאלה זו), ציירו גרף, המתאר את זמן הריצה (במילי-שניות) של הפונקציות, כפונקציה של גודל הקלט. הריצו את הפונקציות השונות על קלטים בגודל: n=1000; n=5000; n=10,000; n=50,000; n=100,000; n=500,000; n=1,000,000; לשם מדידת הזמנים, השתמשו בפונקציה._ftime() להלן תוכנית דוגמא, המודדת את הזמן של ביצוע הפונקציה, func1 עם קלט בגודל 10,000: #include <stdio.h> #include <sys/timeb.h> #include <time.h> const MILLI_SECONDS_IN_SECOND = 1000; const SECONDS_WINDOW = ; void main(){ struct _timeb Start_timebuffer,End_timebuffer; unsigned long int milli_start, milli_end, milli_diff; int n=10000; _ftime( &Start_timebuffer ); func1(n); _ftime( &End_timebuffer ); milli_start = (Start_timebuffer.time % SECONDS_WINDOW) * MILLI_SECONDS_IN_SECOND + Start_timebuffer.millitm; milli_end = (End_timebuffer.time % SECONDS_WINDOW) * MILLI_SECONDS_IN_SECOND + End_timebuffer.millitm; milli_diff = milli_end - milli_start; printf("this function took %lu milli-seconds\n", milli_diff); - 4 -

7 הערה: עבור קלטים קטנים, או כאשר זמן הריצה של הפונקציה הינו מהיר, זמן הריצה שנמדוד עלול להיות קטן מידי (אולי אפילו 0 מילי-שניות). בכדי להעריך את זמן הריצה במקרים כאלו, ניתן להפעיל את הפונקציה מספר רב של פעמים, ולחלק במספר ההפעלות. כלומר: _ftime( &Start_timebuffer ); for (i=0; i<1000; i++) func1(n); _ftime( &End_timebuffer ); milli_diff = (milli_end - milli_start)/1000.0; כמובן, את ההשמה האחרונה יש לבצע לתוך משתנה מטיפוס double כי אחרת שוב עלולים לקבל. 0 במקום לחלק במספר ההפעלות, אפשר לחילופין לתת את התוצאה ביחידות אחרות. בדוגמה למעלה, אם לא נחלק ב אז התוצאה תהיה במיקרו שניות

8 זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות: שאלה 1: פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת. א. n T(n) = T(n 1) + log כאשר = 1 T(1). ב T(n 3) T(n) = כאשר = 1 T(2). T(0) = T(1) = ג. 1 + ) n T(n) = T( כאשר = 1 T(2). T(1) = ד. הפונקציה הבאה מקבלת כקלט מערך A הכולל n מספרים, ושני אינדקסים :.0 left right n 1 חשבו חסם הדוק במונחי Θ לזמן הריצה של הפונקציה כאשר היא נקראת עם הפרמטרים = 0 left, ו- n 1 right = לפי ההנחיות הבאות: כתבו נוסחת נסיגה לזמן הריצה ופתרו אותה על ידי הצבה חוזרת. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; if ( left < right) { p = (right left + 2)/3; Sort(A,left, left + p 1); Sort(A, left + p, left + 2*p 1); MergeSort(A, left + 2*p, right); Merge3(A, left, left + p, left + 2*p, right); היא הפונקציה שראינו בכיתה שממיינת את המערך A בין הגבולות i ל- j בעזרת אלגוריתם MergeSort שלמדנו. כאשר: MergeSort(A, i, j) היא פונקציה הממזגת שלושה חלקים ממוינים הנמצאים בין הגבולות i ל- 1 j j, ל - k 1, ו- k ל -,f ויעילותה ליניארית במספר הנתונים הכולל שהיא ממזגת. (אם אחד החלקים ריק אז הפונקציה ממזגת את שני החלקים הנותרים) Merge3(A, i, j, k, f) - 6 -

9 שאלה 2: פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ב על ידי עץ רקורסיה. יש לשרטט את העץ בצורה ברורה ולציין ליד כל רמה את מספר הרמה ואת מספר הפעולות המתבצעות ברמה. כמו כן יש לתת את הנוסחה למספר הפעולות ברמה l כלשהי בעץ. א. n T(n) = T(n/3) + T(n/2) + כאשר = 1 T(1). T(0) = ב. n T(n) = T(2n/5) + T(3n/5) + כאשר = 1 T(1). T(n) = n + k i= 1 T(a n) i שאלה 3: הכלילו את הפתרונות לשאלה 2 כדלקמן. נניח שנוסחת הנסיגה היא כאשר k קבוע ולכל a i, 1 i k הוא קבוע המקיים < 1 i < a 0. מה יהיה פתרון נוסחת הנסיגה כאשר : k i= 1 k i= 1 k i= 1 a i א. < 1 a i ב. = 1 עבור כל אחד מהסעיפים, הסבירו במילים מדוע לדעתכם הפתרון שנתתם נכון (אינכם צריכים לתת את פרטי הפתרון).? a i נמקו. מה יקרה לדעתכם כאשר > 1 שאלה 4: מצאו את נוסחת הנסיגה עבור זמן הריצה של האלגוריתמים הבאים. אין צורך לפתור את הנוסחה שמצאתם. int stam(int Arr[], int n){ int mid1, mid2, mid3; int i, sum; if (n <= 1) return 0; else{ mid1 = n/3; sum = stam(arr, mid1); mid2 = (n - mid1)/2; sum += stam(arr + mid1, mid2); mid3 = (n - mid1 - mid2)/2; sum += stam(arr + mid1 + mid2, mid3); for(i=0; i< 2n; i++) sum += Arr[i]; return sum; - 7 -

10 י" שאלה 5: האלגוריתם הרקורסיבי הבא למציאת האיבר ה- i הקטן ביותר במערך A בעל n איברים ) אלגוריתם,(iii) ), ii) (שלבים pivot דומה לאלגוריתם שלמדנו. ההבדל העיקרי הוא דרך מציאת ה- ( Selection ו- iv) ( להלן.( אם 70 n נמיין את A בעזרת Bubble Sort ונחזיר את האיבר ה - i במערך הממוין. (i) אחרת: יכיל את 5 האיברים נחלק את A ל - n/5 תתי מערכים n/5 A 1, A 2,..., A כך שתת המערך (ii) A 1 A 2 יכיל את 5 האיברים הבאים ב - A, וכך הלאה. הראשונים ב-, A תת המערך (iii) לכל j n / 5,j 1 נמיין את A j בעזרת. Bubble Sort עבור כל מערך A j הממוין כעת, נסמן את האיבר האמצעי (השלישי מתוך החמישה) ב- b j וניצור מערך n/5. B = b 1, b 2,..., b (iv) נמצא ברקורסיה את החציון ב- B (כלומר את האיבר ה- 10/n הקטן ביותר ב - B ). זה יהיה ה-.pivot k יהי ). iv) שמצאנו בשלב pivot - בעזרת ה A על המערך Partition נבצע את אלגוריתם (v) המיקום של ה- pivot שמוחזר ע Partition (כלומר ה- pivot הוא האיבר ה - k הקטן ביותר ב- A)..pivot הקטן ביותר בתת המערך משמאל ל- i - נמצא ברקורסיה את האיבר ה i < k אם (vi) אחרת, אם i > k נמצא ברקורסיה את האיבר ה- (i-k) הקטן ביותר בתת המערך מימין ל-.pivot אחרת, אם i = k נחזיר את ה- pivot הוא האיבר ה- i הקטן ביותר הנדרש. אפשר להראות שכתוצאה מבחירת ה- pivot בצורה שתוארה, הערך k בשלב (v ( מקיים n n 6 k (למעוניינים, אפשר למצוא את הפרטים בחלק מהספרים המומלצים לקורס למשל,.(Introduction to Algorithms, Cormen, Leiserson and Rivest לשם השאלה שלנו נניח שהערך. 7 k בשלב (v ( הוא בדיוק n 1 ושהרקורסיה בשלב (vi) תהיה תמיד לתת המערך הגדול יותר 10 + בהתחשב בהנחות אלו, מצאו נוסחת נסיגה לזמן הריצה T(n) של אלגוריתם ה- Selection שתואר. שאלה : 6 פתרו את נוסחאות הרקורסיה בסעיפים א-ד בעזרת משפט האב. הניחו כי = 1 (1)T. T(n) = 16T(n/4) + n א. T(n) = 6T(n/6) + n ב. T(n) = T(3n/4) + n 2 ג. 7 + T(5n/6) T(n) = ד. T 2 (n) = 2 T( n ) + n / log(n ) שאלה 7: א. נתונה נוסחת הנסיגה הבאה: מצאו חסם הדוק ל-.T(n) ב. נתונה נוסחת הנסיגה הבאה : n T(n) = T( 2) + log(n) מצאו חסם הדוק ל- T(n) והוכיחו את נכונות החסם שמצאתם עפ"י ההגדרה. שימו לב שנדרש שימוש באינדוקציה בסעיף זה

11 מיונים: שאלה 1: נתונים n אברים, המחולקים ל- k קבוצות S 1,S2,, Sk כל אחת מכילה קבוצה קטנים מאברי הקבוצה הבאה וגדולים מאברי הקבוצה הקודמת, כלומר כל אברי n/k אברים. אברי כל S i גדולים. S i+1 i 1, S וקטנים מאברי מאברי א. מצאו חסם תחתון לסדר גודל מספר ההשוואות המינימלי הנדרש כדי למיין את n האברים במקרה הגרוע. הוכיחו תשובתכם. כלומר עליכם להוכיח ששום אלגוריתם לבעיה זו אינו יכול לרוץ בזמן מהיר יותר (בסדר גודל) מהחסם שנתתם. (שימו לב שתשובה לסעיף זה אינה יכולה להיות תאור של אלגוריתם). ב. הראו שהחסם שנתתם הדוק, ע"י תאור אלגוריתם שרץ בזמן זה. הדרכה לסעיף א': חשבו ראשית את מספר העלים בעץ ההכרעה, כלומר את מספר התמורות השונות האפשריות של הקלט לקבלת מערך ממוין. שאלה 2: בכיתה ראינו שאפשר להשתמש ב- Radix Sort על מנת למיין מספרים בתחום {1-, n 2,0 בזמן ליניארי, במקרה הגרוע. א) תארו שתי שיטות לחילוץ המספרים המופיעים ב- log n הביטים הראשונים וב- log n הביטים האחרונים של כל מספר בקלט (מספרים אלו משמשים כמפתח key בהפעלות.(bucket sort שיטה אחת תשתמש בפעולות על ביטים, ושיטה אחת לא תשתמש בפעולות כאלו. ב) נשתמש עתה ב- Radix Sort על מנת למיין מספרים מתחום גבוה יותר מ- n: 2 i) מה יהיה זמן הריצה אם תחום המספרים יהיה {1- l, n,0? (מותר להניח ש- l שלם.) (ii לאילו ערכי l זמן הריצה יישאר ליניארי??Merge Sort המכסימלי כך שהאלגוריתם יהיה יעיל לפחות כמו l מה ערך ה- (iii - 9 -

12 מחסניות ותורים : שאלה 1: נגדיר סדרה בנויה היטב ומדורגת של סוגריים באופן רקורסיבי: הסדרות ),( ],[ { בנויות היטב. דרגתן היא,2,1 ו- 3 בהתאמה. אם, b, a ו - c סדרות בנויות היטב שדרגתן,2,1 ו- 3 בהתאמה אז : (a) סדרה בנויה היטב ודרגתה 1. [a] ו- [b] סדרות בנויות היטב ודרגתן. 2 {b, ו - {c סדרות בנויות היטב ודרגתן. 3,{a אם a ו - b סדרות בנויות היטב שדרגתן היא i ו - j בהתאמה, אז :.max(i,j) היא סדרה בנויה היטב ודרגתה היא b) ו- a כאן לשרשור הסדרות (הכוונה ab למשל,{] ] [,{ ו - ) ] [ ( אינן בנויות היטב, ואילו הסדרה ) ( ] [ { בנויה היטב ודרגתה.3 כתבו אלגוריתם המקבל קלט הבנוי מסוגריים ומכריע האם הוא סדרה בנויה היטב. על האלגוריתם להשתמש רק במחסנית כמבנה נתונים, כאשר השימוש במחסנית יהיה כקופסה שחורה, כלומר רק ע"י הפעולות,Push(x),IsEmpty( ),Top( ),Pop( ) ו- ),MakeEmpty( מבלי להיכנס למימוש הפנימי של המחסנית. אתם יכולים להחליט על טיפוס הנתונים השמורים במחסנית (טיפוס זה יועבר לפעולה Push ויוחזר מהפעולות Pop ו-.( Top לצורך מעבר על הקלט על האלגוריתם להשתמש בפעולה ) GetNextParen( המחזיר את סימן הסוגריים הבא בקלט, או END_OF_INPUT בסוף הקלט. 2 שאלה 2: נניח שמוגדר טיפוס הנתונים המופשט מחסנית Stack היכול להכיל מספרים שלמים, ולבצע את הפעולות הבאות: Push(x), IsEmpty( ), Top( ), Pop( ), ו - ) MakeEmpty(. כמו כן מוגדר טיפוס הנתונים המופשט תור דו-כווני DQueue היכול להכיל מספרים שלמים ולבצע את הפעולות הבאות: ) MakeEmpty( מרוקנת את התור. ) IsEmpty( מחזירה true אם"ם התור ריק. QPush(x) מוסיפה נתון חדש לראש התור. ) QPop( - מורידה ומחזירה את הנתון הנמצא בראש התור. Enqueue(x) מוסיפה נתון חדש בסוף התור. ) Dequeue( מורידה ומחזירה את הנתון הנמצא בסוף התור. תור דו-כווני דומה מאוד לתור, אולם הוא מאפשר להוסיף ולהוריד נתונים משני צדי התור. הראו כיצד ניתן לממש בעזרת מחסנית אחת S, תור דו-כווני אחד,DQ וזיכרון נוסף בגודל קבוע (ללא שימוש ברקורסיה) את טיפוס הנתונים המופשט מחסנית אמצע MStack היכולה להכיל מספרים שלמים, ולבצע את הפעולות הבאות, כל אחת ב- (1 )Θ זמן במקרה הגרוע: MPush(x) מוסיפה נתון חדש לראש המחסנית (כמו מחסנית רגילה) ) MPop( מורידה את הנתון שנמצא בראש המחסנית ומחזירה אותו כערך(כמו מחסנית רגילה) MPushMid(x) מכניסה את x לאמצע המחסנית. n נתונים, ו- n זוגי אז x יכנס בדיוק לאמצע, אך אם n אי-זוגי x יכנס אחרי אם במבנה כרגע n+1. הנתון ה

13 שאלה 3: ברצוננו לממש טיפוס נתונים מופשט מחסנית מקסימום MaxStack שתומך בפעולות,Push(x) ו- Pop() הרגילות המוגדרות על מחסנית, וכן מאפשר לבצע את הפעולה ) Max( שמחזירה את האיבר הגדול ביותר מבין הנתונים שנמצאים כרגע במחסנית (מבלי להוציא אותו מהמחסנית!). א. תארו מבנה נתונים שמאפשר לבצע כל אחת מהפעולות האלה בזמן (1)Θ במקרה הגרוע. ב. נניח שברצוננו להחליף את הפעולה Max() בטיפוס הנתונים המופשט מחסנית מקסימום בפעולה ) DeleteMax( המוציאה את הנתון המקסימלי מהמחסנית ומחזירה את ערכו. הוכיחו כי במודל השוואות, אחת הפעולות Push(x) או ) DeleteMax( תדרוש Ω(log(n)) זמן במקרה הגרוע בכל מימוש שהוא. שאלה 4: נרצה לממש תור בעזרת 2 מחסניות. הסבירו כיצד תתבצע כל אחת מהפעולות הבסיסיות המוגדרות על תור, תוך שימוש בפעולות הבסיסיות של מחסנית כקופסאות שחורות, וכן זיכרון נוסף בגודל קבוע (ללא שימוש ברקורסיה). א. הציעו מימוש פשוט בו היעילות הנדרשת במקרה הגרוע עבור פעולות התור :.O(1) תתבצע ב- EnQueue(x) ) DeQueue( תתבצע ב-,O(k) כאשר k הוא מספר הנתונים כרגע בתור. בנוסף נדרש שסדרה של n פעולות EnQueue ו- DeQueue (בסדר כלשהו) המתחילה מתור ריק )Θ n זמן במקרה הגרוע. 2 תיקח ) שימו לב שמשמעות ה- Θ היא כפולה: א) כוון ה- O: יש להראות שכל n פעולות ייקחו ) 2 O(n זמן. ב) כוון ה- Ω: יש להראות שקיימת סדרת פעולות שתיקח ) 2 Ω(n זמן. ב. הציעו מימוש מתוחכם יותר בו היעילות הנדרשת במקרה הגרוע עבור פעולות התור היא כמו בסעיף א, כלומר:.O(1) תתבצע ב- EnQueue(x) ) DeQueue( תתבצע ב-,O(k) כאשר k הוא מספר הנתונים כרגע בתור. בנוסף נדרש הפעם שסדרה של n פעולות EnQueue ו- DeQueue (בסדר כלשהו) המתחילה מתור ריק תיקח Θ(n) זמן במקרה הגרוע. הערה : חישוב יעילות של סדרת פעולות נקרא.Amortized Analysis התרגיל הוא דוגמה לשני אלגוריתמים שיעילותם במקרה הגרוע זהה לכל פעולה, אך יעילותם שונה לחלוטין עבור סדרה של פעולות. שאלה 5 (רשות לא להגשה): ברצוננו לממש טיפוס נתונים מופשט תור מקסימום MaxQueue שתומך בפעולות EnQueue(x), ו - DeQueue() הרגילות המוגדרות על תור, וכן מאפשר לבצע את הפעולה ) Max( שמחזירה את האיבר הגדול ביותר מבין הנתונים שנמצאים כרגע בתור (מבלי להוציא אותו מהתור!). הציעו מימוש בו היעילות במקרה הגרוע המושגת עבור הפעולות: EnQueue(x) תתבצע ב-,O(k) כאשר k הוא מספר הנתונים כרגע בתור.. O(1) תתבצע ב- DeQueue( ).O(1) תתבצע ב- Max( ) בנוסף נדרש שכל סדרה של n פעולות DeQueue,EnQueue ו- Max (בסדר כלשהו) המתחילה מתור ריק תיקח O(n) במקרה הגרוע. הערה : למעשה אפשר (אך קשה יותר) לבצע את פעולת EnQueue ב- (n O(log במקרה הגרוע. המעוניינים מוזמנים לנסות זאת

14 עצים בינאריים: שאלה 1: נתון עץ בינארי T שבקדקודים שלו יש מספרים טבעיים, חלקם זוגיים, וחלקם אי-זוגיים. העץ ממומש על ידי מצביעים לילדים. כתבו אלגוריתם (T LongestSignChangingPath(Tree שיחזיר את אורכו של המסלול הארוך ביותר שמתחיל בשורש ומורכב מנתונים זוגיים ואי-זוגיים לסירוגין (המסלול אינו חייב להסתיים בעלה). דוגמה: בעץ הבא מודגש המסלול הארוך ביותר (שמתחיל בשורש ומכיל זוגיים ואי-זוגיים לסירוגין), האלגוריתם יחזיר, אם כן, את אורכו לשם כתיבת האלגוריתם השתמשו בשני תורים,Q1. Q2 לכל תור מוגדרות הפעולות הבסיסיות הבאות: ) ( MakeEmpty לרוקן את התור. ) ( IsEmpty מחזירה 1 אם התור ריק, 0 אחרת. data) En Queue (TreeNode מכניסה את הנתון data לתור. הנתון data יכול להיות צומת בעץ, או מצביע לצומת בעץ, עפ"י בחירתכם. ) ( DeQueue מוציאה ומחזירה את הנתון שבראש התור. בנוסף אתם יכולים להשתמש רק בזיכרון נוסף בגודל קבוע (אין להשתמש ברקורסיה). שימו לב, האלגוריתם שלכם ישתמש ב- Q1,Q2 ובפעולות המוגדרות עליהם כבקופסאות שחורות! נתחו את יעילותו של האלגוריתם במקרה הגרוע כפונקציה של מספר הצמתים בעץ, בהנחה שכל פעולות התור יכולות להתבצע ב- (1)O זמן

15 שאלה 2: כתבו אלגוריתם שמדפיס ב- InOrder את כל הנתונים המאוכסנים בעץ בינארי T. האלגוריתם יכול להשתמש בזיכרון נוסף בגודל קבוע בלבד ) אסור לכן למשל להשתמש ברקורסיה, במחסנית או בתור). האלגוריתם ישתמש כקופסה שחורה ב - ADT של עץ בינארי המכיל את הפעולות הבאות : T. מחזירה את הקדקוד שהוא שורש העץ - Root() (n - LeftChild(Node מחזירה את הילד השמאלי של קדקוד n בעץ NULL) T אם אין ילד שמאלי). (n - RightChild(Node מחזירה את הילד הימני של קדקוד n בעץ NULL) T אם אין ילד ימני ). (n Parent(Node מחזירה את הקודקוד שהוא ההורה של n בעץ NULL) T אם n שורש העץ).. T בעץ n מחזירה את הנתונים המאוכסנים בקדקוד - Retrieve(Node (n יש לכתוב את האלגוריתם ב-.Pseudo Code נתחו את יעילותו של האלגוריתם במקרה הגרוע כפונקציה של מספר הצמתים בעץ, בהנחה שכל פעולות ה- ADT יכולות להתבצע ב- (1)O זמן. שאלה 3: הוכיחו שבעץ בינארי מלא (לאו דווקא שלם) מספר העלים גדול באחד ממספר הקדקודים מדרגה 2. שאלה 4: נתון עץ בינארי שלם שגובהו h. חשבו (בסדר גודל) את התוחלת של מספר העלים בתת עץ של צומת בעץ, כפונקציה של h. הניחו שלכל צומת בעץ יש את אותה הסתברות להיבחר

16 עצי חיפוש בינאריים: שאלה 1: נתונים שני קודקודים u ו - v בעץ בינארי T. תארו אלגוריתמים יעילים לחיפוש ההורה הקדמון הנמוך ביותר של u ו- v בעץ במקרים הבאים. ב. העץ הוא עץ רגיל וקיימת (אך ורק) הפעולה (n Parent(Node המחזירה את הקודקוד שהוא ההורה של n בעץ NULL) T אם n שורש העץ ). העץ הוא עץ חיפוש בינארי וקיימות (אך ורק) הפעולות הבאות: T. מחזירה את הקדקוד שהוא שורש העץ - Root() a. - LeftChild(Node (n. b מחזירה את הילד השמאלי של קדקוד n בעץ NULL) T אם אין ילד שמאלי). NULL) אם אין T בעץ n מחזירה את הילד הימני של קדקוד - RightChild(Node (n c. ילד ימני).. T בעץ n מחזירה את הנתונים המאוכסנים בקדקוד - Retrieve(Node n).d כמו ב' אלא שהעץ הוא עץ רגיל. מותר בסעיף זה להשתמש ברקורסיה או במחסנית. א. ג. נתחו את יעילותם במקרה הגרוע של האלגוריתמים שנתתם כפונקציה של גובה העץ. שאלה : 2 נתונים 3 עצים בינאריים, 3 T 1 T, 2 T, וידוע שכל אחד מהם מכיל את n המספרים {n,1,2. עוברים על T 1 ב-,Inorder על T 2 ב- Preorder ועל T 3 ב-.Postorder התוצאה המתקבלת בשלושת המעברים האלה היא, 1,1-n,n, כלומר המספרים מודפסים בסדר יורד. הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות: א. T 1 הוא בהכרח עץ חיפוש בינארי. ב. T 2 הוא בהכרח עץ חיפוש בינארי. ג. אם נעבור על T 2 ב- Postorder ועל T 3 ב- Preorder נקבל אותו פלט בשני המקרים (לאו דווקא הפלט, 1 n-1,.(n,

17 עצים מאוזנים: שאלה 1: עליכם לקרוא בחומר העזר שבמקראה את הנושא AVL Trees ולענות על השאלות הבאות: 8 א. נתון עץ AVL הבא: i) מוסיפים את המפתח 15 לעץ. ציירו את כל השלבים שעובר העץ ואת העץ המתקבל לבסוף. (ii מורידים את המפתח 3 מהעץ המקורי. ציירו את כל השלבים שעובר העץ ואת העץ המתקבל לבסוף. שאלה 2: א. (i) תארו אלגוריתם רקורסיבי IsSearchTree(root) הבודק אם עץ בינארי ששורשו root הוא עץ חיפוש בינארי (הניחו שהעץ ממומש על ידי מצביעים לילדים). האלגוריתם אינו מחזיר שום ערך נוסף (מלבד 0 או 1) ואינו משנה את העץ (אפילו לא זמנית). בנוסף לרקורסיה מותר להשתמש בזיכרון נוסף בגודל קבוע בלבד. (ii) נתחו את יעילותו של אלגוריתם זה במקרה הגרוע כפונקציה של מספר הצמתים בעץ n ושל גובה העץ h. הערה: שימו לב שעליכם להניח ש- n ו- h נתונים ולנתח את זמן הריצה כפונקציה של שניהם. מבין כל העצים בעלי n צמתים שגובהם h, המקרה הגרוע הוא עץ כזה שזמן הריצה של האלגוריתם עליו הוא הגבוה ביותר (איננו יכולים לומר שבמקרה הגרוע גובה העץ הוא n כי זהו רק ערך אפשרי אחד של h, ועלינו לנתח את האלגוריתם לכל h אפשרי). (iii) עתה מותר לאלגוריתם הרקורסיבי IsSearchTree לחשב ולהחזיר ערך אחד נוסף. שנו את האלגוריתם כך שיעילותו כפונקציה של מספר הצמתים בעץ תהפוך לליניארית. הראו שזו אכן יעילותו של האלגוריתם שנתתם. ב. בצעו את השלבים בi, בii, ו- בiii בדומה ל- א' אך הפעם במקום IsSearchTree תארו אלגוריתם רקורסיבי IsAVLTree(root) הבודק אם עץ בינארי ששורשו root הוא עץ AVL (הניחו כמו קודם שהעץ ממומש על ידי מצביעים לילדים)

18 שאלה 3: נתון ה- ADT הבא לשמירת נקודות (y,x) במישור הממשי, התומך בפעולות הבאות: (y Insert(x, מכניס את הנקודה (y,x) למבנה ביעילות,O(log(n)) כאשר n הוא מספר הנקודות במבנה. y) Delete(x, מסיר את הנקודה y) (x, מהמבנה ביעילות O(log(n)), כאשר n הוא מספר הנקודות במבנה. a) SameFactor(double מדפיס את כל הנקודות במבנה המקיימות, x = a y ביעילות log(n)),o(k + כאשר n הוא מספר הנקודות הכולל במבנה, ו- k הוא מספר הנקודות מהמבנה המקיימות קשר זה. הציעו מבנה נתונים למימוש ה- ADT הנ"ל, ופרטו איך תתבצע כל אחת מהפעולות. הערה: ניתן להשתמש במבני הנתונים שנלמדו בכיתה כקופסאות שחורות, מבלי לממשן

19 טבלאות ערבול: שאלה 1: נתונה טבלת ערבול שבה התנגשויות נפתרות בשיטת.Open Addressing הכניסו לטבלה את המפתחות הבאים: 59 90, 17, 28, 16, 4, 31, 22, 10, (מימין לשמאל), כאשר גודל הטבלה הוא = 11 m, תוך שימוש בשיטות הבאות:. h 1 (k) = k mod m כאשר, h(k,i) = (h 1 (k) + i) mod m :Linear Probing א. ב. h(k,i) = (h 1(k) + c1i + c2i 2 ) mod m :Quadratic Probing כאשר (k) h 1 כמו בסעיף א' ו- = 1 1.c 2 = 3 c ג. h(k,i) = (h 1 (k) + ih 2 (k)) mod m :Double Hashing כאשר (k) h 1 כמו בסעיף א,' ו- (m 1)). h 2 (k) = 1+(k mod ציירו את הטבלה המתקבלת בכל אחד מהמקרים. שאלה 2: נתונה טבלת ערבול שבה התנגשויות נפתרות ע"י שרשור, תוך שימוש בשיטת החלוקה ובפונקצית הערבול.h(k) = k mod m הדגימו את הכנסת המפתחות 10,17,12,34,20,16,19,28,5 (מימין לשמאל) טבלה בגודל = 9.m ציירו את הטבלה המתקבלת. שאלה 3: נתונה טבלת ערבול בגודל n ופונקצית ערבול אחידה לטבלה סגורה. איברים המסומנים.(DELETED נניח שיש 5 איברים בטבלה (ואין א. נסמן את ההסתברות שהכנסת המפתח השישי תיקח בדיוק i ניסיונות ב-.pr(i) תנו נוסחה לתוחלת מספר הניסיונות להכנסת המפתח השישי. ב. חשבו ישירות (כלומר ללא שימוש בנוסחאות) את.pr(3) שאלה 4: א. נתונה טבלת ערבול בגודל m שבה התנגשויות נפתרות ע"י שרשור ופונקצית ערבול h. יהי U תחום המפתחות האפשריים. הוכיחו שאם U = m log n אז קיימת תת-קבוצה של log n מפתחות ב- U שכולם ימופו ע"י h לאותו תא בטבלה. ב.נניח עתה ש- h אחידה ושכל m log n המפתחות ב- U הוכנסו בעזרתה לטבלה. מה תהיה יעילות חיפוש מוצלח במקרה הטוב, במקרה הגרוע, ובמקרה הממוצע. הראו את חישוביכם (מותר להשתמש במשפטים שהוכחו בכיתה). שאלה 5: נתונות שתי רשימות משורשרות L, 1 L, 2 כאשר כל רשימה מכילה n נתונים, ונתון בנוסף מספר k. הציעו אלגוריתם שזמן הריצה הממוצע שלו טוב ככל האפשר, אשר בודק אם יש בדיוק k נתונים זהים בשתי הרשימות (k אלו לא חייבים להופיע באותו סדר)

20 שאלה 6: נתון קלט של n מספרים ממשיים הלקוחים בהתפלגות שווה מהקטע (0,1). עליכם לבדוק אם יש בקלט שני מספרים x ו- y כך ש-. x 3 = y א. כתבו אלגוריתם יעיל ככל האפשר במקרה הגרוע. ב. כתבו אלגוריתם יעיל ככל האפשר במקרה הממוצע. בשני המקרים נתחו את יעילות האלגוריתם שלכם

21 ערימות : שאלה 1: נתונה ערמת מקסימום בגודל n כאשר מבנה הנתונים עבורה הוא (כרגיל) מערך ומשתנה המייצג את מספר האיברים בערמה. הניחו שאינדקסי המערך הם, n,1 במקום 1-n,,0 (שינוי זה נועד לפשט את חישוב מיקומו של הורה). תארו אלגוריתם key) PseudoInsert(KeyType המקבל מפתח key ומחזיר את המקום במערך אליו היה נכנס key בסופה של פעולת הערמה key) Insert(KeyType לו בצענו אותה. האלגוריתם PseudoInsert צריך לרוץ בזמן ((n. Ο log(log( הניחו לשם ביצוע האלגוריתם שחישוב כל חזקה של 2 לוקח (1)Θ זמן. הראו ( ) שהאלגוריתם שלכם רץ בזמן הנדרש. שאלה 2: נסתכל על האלגוריתם הבא למיון מערך A בעל n איברים מהגדול לקטן. n יכיל את כך שתת המערך A1,A1,...,A2 A n תת מערכים n A ל- נחלק את (i) A 2 יכיל את n האיברים הבאים ב- A, וכך A, תת המערך האיברים הראשונים ב- הלאה. : 1 i n,i לכל (ii).bubble sort בעזרת A i נמיין את A i אם < 4 o אחרת נמיין את Ai ברקורסיה. o,a1,...,a2 A למערך ממוין אחד בעזרת אלגוריתם n נמזג את תתי המערכים הממוינים (iii) k) = הבא: n למיזוג k מערכים ממוינים (אצלנו נכניס את האיבר הראשון מכל מערך (כלומר הקטן ביותר) לתור עדיפויות מקסימום a. בגודל k. נבצע n איטרציות כדלקמן: b. נוריד את האיבר המקסימלי בתור (בעזרת (DeleteMax ונדפיס אותו. נסמן את i. האיבר שהורדנו ב- y ונניח ש- y הגיע לתור מתת המערך A. j A j (אם נכניס לתור העדיפויות (בעזרת (Insert את האיבר שבא אחרי y ב-.ii קיים איבר נוסף ב- A). j הניחו שתור העדיפויות ממומש ע"י ערימת מקסימום, וששלב a ממומש בעזרת האלגוריתם של,Floyd הבונה ערימה בזמן ליניארי. חשבו חסם הדוק במונחי Θ לזמן הריצה של אלגוריתם המיון שתואר, לפי ההנחיות הבאות: כתבו נוסחת נסיגה לזמן הריצה ופתרו אותה על ידי עץ רקורסיה. יש לשרטט את העץ בצורה ברורה ולהראות את כל החישובים המתבצעים על העץ

22 שאלה 3: נתון עץ בינארי T שבקדקודים שלו יש מספרים שלמים. העץ ממומש על ידי מצביעים לילדים. כתבו אלגוריתם (T OrderedLayers(Tree שידפיס את תוכן הקדקודים של T, רמה אחרי רמה החל מהשורש, כאשר בכל רמה יודפסו המספרים בסדר יורד מהגדול לקטן. דוגמה: עבור העץ הבא יודפס הפלט הבא משמאל לימין,7.,9,3,10,8,5, לשם כתיבת האלגוריתם השתמשו בשני תורי קדימויות מקסימום,Q1 Q2 המכילים זוגות מהצורה (נתונים, מפתח), כאשר שדה הנתונים יכול להכיל קדקוד בעץ (או מצביע לקדקוד), ואילו המפתחות הם מספרים שלמים. סדר הקדימויות בכל תור נקבע כמובן לפי שדה המפתח. לכל תור קדימויות כזה מוגדרות הפעולות הבסיסיות הבאות: ) MakeEmpty( לרוקן את התור. ) ( IsEmpty מחזירה 1 אם התור ריק, 0 אחרת. data) Insert(KeyType key, TreeNod e מכניסה את הזוג data) (key, לתור הקדימויות. ) Max( מחזירה את הזוג data) (key, שהמפתח שלו מקסימלי מבין כל המפתחות בתור. ) DeleteMax( מורידה מהתור את הזוג data) (key, שהמפתח שלו מקסימלי מבין כל המפתחות בתור ומחזירה את הזוג כערך. בנוסף אתם יכולים להשתמש רק בזיכרון נוסף בגודל קבוע ) אין להשתמש ברקורסיה). נתחו גם את מקסימום. יעילותו של האלגוריתם במקרה הגרוע בהנחה שתורי הקדימויות ממומשים על ידי ערימת שימו לב, האלגוריתם שלכם ישתמש ב- Q1,Q2 ובפעולות המוגדרות עליהם כבקופסאות שחורות! שאלה 4: כתבו את הפונקציה key) SetKey(int index, KeyType שמשנה את ערך האיבר הנמצא בתא ה- index במערך המכיל ערימת מקסימום לערך.key הפונקציה תתקן כמובן את הערימה. מה יעילות הפונקציה?

23 שאלה 5: נתונות שתי ערים A,B וביניהן יש p כבישים מקבילים (לא נחתכים), הממוספרים מ - 1 ועד p. במהלך הזמן בונים על הכבישים גשרים, כאשר על כל כביש יכול להיות מספר כלשהו (לא מוגבל) של גשרים, והגובה של כל גשר יכול להיות מספר ממשי חיובי כלשהו. דוגמה: במקרה זה יש = 3 p כבישים בין A ל - B, כאשר על כל כביש מצוירים הגשרים שנבנו עליו, וליד כל גשר רשום גובה הגשר. מספר הגשרים הכולל במקרה זה הוא 6. העירA כביש 3 כביש 2 כביש 1 העירB עליכם לתכנן מבנה נתונים שתומך בפעולות הבאות: Init() אתחול מבנה הנתונים כך שיכיל p כבישים ללא גשרים עליהם. יעילות הפעולה צריכה להיות O(p)..i על כביש מספר h הוספת גשר שגובהו AddBridge(float h, int i) היעילות צריכה להיות (p O(log במקרה הגרוע. (h WhichRoad(float הפונקציה תחזיר מספר של כביש שבו יכולה לנסוע משאית שגובהה h (המשאית תיסע מתחת לגשרים ואסור לה כמובן להיתקל באף אחד מהגשרים שעל הכביש הזה. לכן גובה המשאית צריך להיות קטן ממש מגובה כל הגשרים שעל הכביש). אם יש כמה כבישים שבהם המשאית יכולה לעבור, יוחזר מספרו של אחד מהם. אם המשאית אינה יכולה לעבור באף כביש תחזיר הפונקציה 0. יעילות הפעולה צריכה להיות (1)Θ במקרה הגרוע. i. הפונקציה מדפיסה את הגבהים של כל הגשרים שנמצאים על כביש מספר Print(int (i יעילות הפונקציה צריכה להיות ליניארית במספר הגשרים שעל הכביש. תארו את מבנה הנתונים וכתבו אלגוריתם לכל אחת מהפעולות. הסבירו מדוע יעילות כל אחת מהפעולות היא כנדרש

24 קוד הפמן: שאלה 1: נתון קובץ שבו מספר סוגי התווים השונים הוא n (הקובץ יכול להכיל כמובן כל תו כמה פעמים). נניח שבנינו עץ הפמן לצורך קידוד הקובץ הנתון. כמה צלעות יהיו בעץ שבנינו כפונקציה של n? (שימו לב, אתם מתבקשים לתת תשובה מדויקת ולא במונחים של Θ). הוכיחו תשובתכם. שאלה 2: א. מצאו קוד הפמן עבור השכיחויות הבאות: 16:f :a.,2,2:b :c,4 :d,6 :e,10 מצאו גם את משקלו של הקוד. ב. הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: נתון קוד הפמן עבור סדרה של שכיחויות ותווים. יהיו x,y שני תווים כך שאורך מילת הקוד של x קטן ממש מאורך מילת הקוד של y. אז בהכרח השכיחות של x קטנה ממש מהשכיחות של y. ג. הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: נתון קוד הפמן עבור סדרה של שכיחויות ותווים. יהיו x,y שני תווים עם אותו אורך של מילת קוד. אז השכיחות של x שווה לשכיחות של y

25 קבוצות זרות: שאלה 1: נממש את טיפוס הנתונים המופשט (Union- Find) Disjoint Sets כפי שלמדנו בכיתה על ידי רשימות משורשרות כאשר כל איבר מצביע לאיבר הבא בקבוצה וכן מצביע לנציג הקבוצה, ונציג הקבוצה הוא האיבר בראש הרשימה. כמו כן הניחו שבפעולת Union מאחדים קבוצה קטנה לגדולה. כל הנתונים לקוחים מהתחום {n,,1,2. הראו דוגמה של סדרת פעולות MakeSet ו- Union אשר תיקח בסה"כ Ω(nlogn) זמן במבנה הנתונים הזה. שימו לב, הדוגמה צריכה להיות כללית ל- n כלשהו. שאלה 2: נתבונן במשחק הבא: נתון לוח משבצות A בגודל.n n מדי פעם צובעים משבצת בלוח בשחור. כתוצאה מכך נוצרות בלוח צורות שונות. אנחנו נאמר ששתי משבצות שחורות שייכות לאותה צורה בלוח אם אפשר להגיע מאחת המשבצות לשנייה על ידי סדרת משבצות שחורות הנוגעות זו בזו. נגיעה פרושה צלע משותפת; בדוגמה המשבצת (2,4) אינה נוגעת במשבצת (3,3). דוגמה: הלוח A הוא בגודל 4 4. יש בלוח שלוש צורות : (2,1),{(1,1), (2,4) (1,4),,{(1,3),.{(3,3) הציעו מבנה נותנים שיתמוך בפעולות הבאות ביעילות טובה ככל האפשר:.O(n 2 ) אתחול המבנה כך שכל המשבצות יהיו לבנות, בזמן Init( ) y2) SameShape(x1, y1, x2, מחזירים 1 אם זוג המשבצות (x1,y1) ו- (x2,y2) שייכות לאותה צורה בלוח, ואחרת מחזירים 0. Color(x,y) צובעים בשחור את המשבצת,(x,y) כלומר המשבצת שנמצאת בשורה ה- x ובעמודה ה- y. תארו את מבנה הנתונים, וכמו-כן כתבו לכל אחת מהפעולות אלגוריתם, ונתחו את היעילות של כל פעולה במקרה הגרוע. שאלה 3: תארו מימוש של טיפוס נתונים מופשט לייצוג קבוצות זרות שאיבריהן לקוחים מתחום כלשהו (שימו לב שהמימוש שנתנו בכיתה הסתמך על כך שהנתונים הם מהתחום{ n,,1). היעילות הנדרשת לכל אחת מהפעולות (כולל (MakeSet היא (n O(log במקרה הגרוע. תארו את מבני הנתונים שבהם אתם משתמשים, כתבו במילים במדויק כיצד תתבצע כל אחת מהפעולות ונתחו את זמן הריצה שלהן

26 שאלה 4: ברצוננו לממש טיפוס נתונים חדש לייצוג קבוצות זרות שאיבריהן לקוחים מהתחום {n,...,1,2, כך שיתאפשר לבצע את הפעולות הבאות: Makeset(x) יוצרת קבוצה חדשה בעלת איבר יחיד. x האיבר x הינו נציג הקבוצה..x,y מאחדת את שתי הקבוצות שנציגיהן Union(x,y) x. מחזירה את נציג הקבוצה שאליה משתייך - Find(x) Deunion() - מבטלת את השפעתה של פעולת ה- Union האחרונה שבוצעה (לכן k קריאות לפונקציה יבטלו את k פעולות ה - Union האחרונות, בהנחה שבוצעו כמובן לפחות k פעולות Union קודם. אם לא בוצעו פעולות Union קודם לכן, אז הפונקציה Deunion לא תעשה דבר). תארו את מבני הנתונים שבהם אתם משתמשים, כתבו במילים במדויק כיצד תתבצע כל אחת מהפעולות ונתחו את זמן הריצה שלהן

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

םינותנ ינבמ 3 ליגרתמ תולאשל המוד תולאש טסל תונורתפ תולאשה

םינותנ ינבמ 3 ליגרתמ תולאשל המוד תולאש טסל תונורתפ תולאשה מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 3 השאלות נתונה רשימה משורשרת L המכילה n מספרים שלמים חיוביים מתחום לא חסום כאשר 1 k n = 2 עבור > 0 k כלשהו. נניח שהמספרים ברשימה מקיימים את התכונה הבאה:

Διαβάστε περισσότερα

השאלות ידי מצביעים לילדים.

השאלות ידי מצביעים לילדים. מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 4 השאלות 1. כתבו פונקציה לא רקורסיבית שמדפיסה ב- Postorder את כל הנתונים המאוכסנים בעץ בינארי T. הפונקציה אינה צריכה להיות תלויה במימוש העץ T. הניחו שנתון

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

( n) ( ) ( ) שאלה 1: שאלה 2: שאלה 3: (n 5) = Θ. ב. אם f 1, f 2, g 1, g 2. .g 1 *g 2 = Ω(f 1 *f 2 ) , g. ג. ) n.n! = θ(n*2. n) f ( אז ד. אם ה. אם ו.

( n) ( ) ( ) שאלה 1: שאלה 2: שאלה 3: (n 5) = Θ. ב. אם f 1, f 2, g 1, g 2. .g 1 *g 2 = Ω(f 1 *f 2 ) , g. ג. ) n.n! = θ(n*2. n) f ( אז ד. אם ה. אם ו. נתונים מבני לקט שאלות ממבחנים - 0 - ניתוח סדרי גודל ב. שאלה 1: הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות ישירות על ידי שימוש בהגדרות 3 3 א. ) =Ω( log( ) =Ω( ) ( ) log(log ) = O ( 5) log (+ 5) = O() 6 ( 10 ) =Θ(

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשסו TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים (8..05). טענה אודות סדר גודל. log טענה: מתקיים Θ(log) (!) = הוכחה: ברור שמתקיים: 3 4... 4 4 4... 43 פעמים במילים אחרות:! נוציא לוגריתם משני האגפים: log(!) log( ) log(a b

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE סמסטר אביב תשס"ו מס' סטודנט:

TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE סמסטר אביב תשסו מס' סטודנט: TECHNION ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מבני נתונים 234218 1 מבחן מועד ב ' סמסטר אביב תשס"ו מרצה: אהוד ריבלין מתרגלים: איתן

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #3 נושאים: תור קדימויות/ערימה, עצים

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #3 נושאים: תור קדימויות/ערימה, עצים מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #3 נושאים: תור קדימויות/ערימה, עצים חזרה מבנה נתונים אמצעי לאחסון נתונים במחשב. יש הרבה סוגים שונים, וצריך להשתמש במבנה שהכי מתאים לבעיה שלנו מבחינת שימוש בנתונים הוספה, מחיקה

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר אביב תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר אביב תשסו TECHNION ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: אהוד ריבלין מבני נתונים 234218 1 מבחן מועד א' סמסטר אביב תשס"ו מתרגלים: איתן

Διαβάστε περισσότερα

אסימפטוטיים תוכנית הקורס עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות סיבוכיות משוערכת מיון מיון שימושים: גרפים איסוף אשפה

אסימפטוטיים תוכנית הקורס עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות סיבוכיות משוערכת מיון מיון שימושים: גרפים איסוף אשפה תוכנית הקורס cs, Technion 2..3.4 מבני נתונים בסיסיים וסימונים אסימפטוטיים מערכים ורשימות מקושרות עצים ועצי חיפוש עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות.5 רשימות דילוגים סיבוכיות משוערכת.6.7.8.9.0..3.4 מטרת הקורס: מבני

Διαβάστε περισσότερα

2 יח"ל ) השלמה ל - 5 יח"ל) (50 נקודות) מעבר חוקי, ו-'שקר' אחרת.

2 יחל ) השלמה ל - 5 יחל) (50 נקודות) מעבר חוקי, ו-'שקר' אחרת. 1 6 מאי, 2004 מועד הבחינה: 2 יח"ל ) השלמה ל - 5 יח"ל) פרק ראשון (50 נקודות) :1 Ï (מקור: שירלי רוזנברג כהן) נגדיר טיפוס נתונים חדש בשם תלת-מחסנית, כמבנה המכיל 3 מחסניות S3. S2, S1, נגדיר את הפעולות הבאות

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים חידה לחימום בסל מקש יש צמר. כדורי 00 שני שחקנים משחקים בתורות: כל שחקן, בתורו, צריך להוציא כמות כלשהי של כדורי צמר מהסל לפחות כדור אחד, אך לא יותר ממחצית מכמות כדורי הצמר שבסל. מי שלא יכול לעשות מהלך (מתי

Διαβάστε περισσότερα

חלק א' שאלה 3. a=3, b=2, k=0 3. T ( n) היותר H /m.

חלק א' שאלה 3. a=3, b=2, k=0 3. T ( n) היותר H /m. פתרון למבחן במבני נתונים, מועד א', קיץ 2005 חלק א' שאלה 1 א. רכיב הקשירות החזק של קודקוד x בגרף מכוון הינו אוסף כל הקודקודים y שמקימים שיש מסלול מ- x ל- y וכן מסלול מy ל- x. טעויות נפוצות שכחו לכתוב שזה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא:

דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: של שאלות מבחינות פתרונות.1 שאלהזוהופיעהבמבחןמועדג 01 דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: הגדרות: עבור צומת בעץ בינארי T נסמן ב- T את תת העץ של T ששורשו. (תת העץ הזה כולל את ). נגדיר את תת העץ

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

תאריך הבחינה: שם המרצה: רפי כהן שם המתרגל: יסודות מבני נתונים שם הקורס:

תאריך הבחינה: שם המרצה: רפי כהן שם המתרגל: יסודות מבני נתונים שם הקורס: תאריך הבחינה:... נובה פנדינה שם המרצה: רפי כהן שם המתרגל: יסודות מבני נתונים שם הקורס:..00 מספר הקורס:. סמסטר: א' מועד: שנה: שלוש שעות משך הבחינה: ללא חומר עזר חומר עזר: ב' הנחיות חשובות: רצוי לפתור את

Διαβάστε περισσότερα

תורת הגרפים - סימונים

תורת הגרפים - סימונים תורת הגרפים - סימונים.n = V,m = E בהינתן גרף,G = V,E נסמן: בתוך סימוני ה O,o,Ω,ω,Θ נרשה לעצמנו אף להיפטר מהערך המוחלט.. E V,O V + E כלומר, O V + E נכתוב במקום אם כי בכל מקרה אחר נכתוב או קשת של גרף לא

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים (234218) 1

מבני נתונים (234218) 1 מבני נתונים (234218) 1 חומר עזר לבחינה 13 בספטמבר 2016 שימו לב: מותר לצטט טענות המופיעות בדף זה ללא הוכחה. כל טענה אחרת, שאינה מופיעה באופן מפורש, יש לנמק באופן מלא. נימוקים מהצורה "בדומה לטענה שבחומר

Διαβάστε περισσότερα

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS כלליים שיטות חיפוש בבגרפים שיטה 1: חיפוש לרוחב S (readth irst Search) זמן: ) Θ( V + הרעיון: שימוש בתור.O שיטה 2: חיפוש לעומק S (epth irst Search) Θ( V + ) יהי =(V,) גרף כלשהו, V הוא צומת התחלת החיפוש.

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t. תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 פתרון שאלה 1 נזכר כי בגרף (E G, =,V) עבור שני קודקודים d(u, (v,u, v הוא אורך מסלול קצר ביותר מ u ל v. אם אין מסלול מ u ל.d(u, v) =,v נתונות שתי בעיות. בעיה א' מופע: גרף מכוון

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר חורף תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר חורף תשסו TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד א' סמסטר חורף תשס"ו

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים הגבלת אחריות פרק - 1 אלגוריתמי מיון ואנליזה אסימפטוטית. מיון בועות Sort Bubble מאת : סשה גולדשטיין,

מבני נתונים הגבלת אחריות פרק - 1 אלגוריתמי מיון ואנליזה אסימפטוטית. מיון בועות Sort Bubble מאת : סשה גולדשטיין, 009 מבני נתונים סיכום למבחן, יולי sashag@cs מאת : סשה גולדשטיין, 7:50,3.7.09 עדכון אחרון : בשעה הגבלת אחריות הסיכום להלן הוא האינטרפרטציה שלי של החומר, שממש לא חייבת להיות נכונה או מייצגת את זו של הסגל.

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים עצים שיעור 7

מבני נתונים עצים שיעור 7 בס ד מבני נתונים עצים שיעור 7 שי גולן כ ח בניסן, תשע ו 6 במאי 2016 תקציר בתרגול זה נתחיל לדון בעצים. נגדיר עצים כלליים ועצים בינאריים, ונציג את ההגדרות הבסיסיות בתחום. נתרגל הוכחת תכונות של עצים באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

םינותנ ינבמ (הנכות ידימלתל)

םינותנ ינבמ (הנכות ידימלתל) מבני נתונים (לתלמידי תוכנה) 0368.2158 מועד ב', גירסה 1 2 מתוך 2 שיטת האב Method Master n Tn ( ) = at( ) + fn ( ) b logba logba ε Θ ( n ) if : ε > 0, f( n) = O( n ) logba logba Tn ( ) = Θ ( n lg n) if:

Διαβάστε περισσότερα

עצי 2-3 תזכורת: בנים. דוגמאות: Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )

עצי 2-3 תזכורת: בנים. דוגמאות: Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( ) עצים מאוזנים Lecture 5 of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds תזכורת: משפחת עצים נקראת מאוזנת אם ( h. = (log עצי -3 ועצי דרגות עצי AVL הם עצים מאוזנים. עצי 3- מהווים דוגמא

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

עץץץץ AVL. עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1, 0, או 1-. הגדרה: במילים אחרות: לכל צומת x בעץ,

עץץץץ AVL. עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1, 0, או 1-. הגדרה: במילים אחרות: לכל צומת x בעץ, עץץץץ AVL הגדרה: עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1,, או 1-. h(t left(x) ) - h(t right(x) ) 1 במילים אחרות: לכל צומת x בעץ, בעץ AVL שומרים עבור כל צומת

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

Nir Adar גירסה 1.00 עמוד 1

Nir Adar    גירסה 1.00 עמוד 1 גירסה 1.00 מבני נתונים מסמך זה הורד מהאתר. אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות התוכן

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תש"ע

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תשע אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים 89-120 תרגולים (חלקי) מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין נכתב ונערך ע"י: גלעד אשרוב סמסטר ב', תש"ע הערות כלליות. המסמך מכיל סיכומי תרגולים שניתנו במהלך הסמסטר (סמסטר ב', תש"ע).

Διαβάστε περισσότερα

Nir Adar

Nir Adar גירסה 28.6.2003-1.00 רשימת דילוגים מסמך זה הורד מהאתר. אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות

Διαβάστε περισσότερα

פרק 13 רקורסיה רקורסיה רקורסיה רקורסיות פשוטות: חישוב עצרת. תמונת המחסנית ב-() factorial רקורסיות פשוטות: פיבונאצ'י

פרק 13 רקורסיה רקורסיה רקורסיה רקורסיות פשוטות: חישוב עצרת. תמונת המחסנית ב-() factorial רקורסיות פשוטות: פיבונאצ'י פרק 3 רקורסיה רקורסיה נכתב ע"י רן רובינשטיין עודכן ע"י איתי שרון רקורסיה הינה שיטה לתכנון אלגוריתמים, שבה הפתרון לקלט כלשהו מתקבל על ידי פתרון אותה הבעיה בדיוק על קלט פשוט יותר, והרחבת פתרון זה לאחר מכן

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים. אחרי שלב זה המשיכו והריצו את מיון מהיר על המערך. תארו את כל שלבי הרקורסיה, אך עתה אין צורך להיכנס לתיאור הריצה של.

מבני נתונים. אחרי שלב זה המשיכו והריצו את מיון מהיר על המערך. תארו את כל שלבי הרקורסיה, אך עתה אין צורך להיכנס לתיאור הריצה של. מבני נתונים תרגיל 2 פתרונות מיון מהיר 1. הריצו את השיטה partition על המערך הבא. הראו את שלבי הריצה השונים. 6, 10, 20, 4, 2, 15, 5, 99, 12, 1 אחרי שלב זה המשיכו והריצו את מיון מהיר על המערך. תארו את כל

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:

מבני נתונים אדמיניסטרציה דר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: מבני נתונים בס"ד, ט' אדר א' תשע"א: שעור 1 אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: בחינת מגן 20%. תרגילים: 14 13, מורידים את האחד הכי גרוע. 10% מהציון. אתר: www.cs.huji.ac.il/~dast

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי

ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי ננסה להשתמש בכך שהפונקציה היא רקורסיבית על מנת לרשום גם עבור הסיבוכיות ביטוי רקורסיבי. factorial() 3 מתחילים מכתיבת ביטוי לא מפורש ל-( T( ביטוי רקורסיבי

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון גירסה 1. 11.11.22 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 8: מטלאב לולאות

תרגול 8: מטלאב לולאות מבוא למחשב בשפת Matlab : מטלאב לולאות נכתב על-ידי רמי כהן,אולג רוכלנקו, לימור ליבוביץ ואיתן אביאור כל הזכויות שמורות לטכניון מכון טכנולוגי לישראל לולאת while a=input('enter a positive number:'); קליטת

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

מדעי המחשב ב' פתרון בחינת הבגרות. One n 4.0. One n T 4 3 T 8 4 T 16 5 T 32 6 F

מדעי המחשב ב' פתרון בחינת הבגרות. One n 4.0. One n T 4 3 T 8 4 T 16 5 T 32 6 F ב' פתרון בחינת הבגרות פרק א - tg Together double x 5.0 int from 2 int to 6 One first Two second One n 5.0 Queueq שאלה : א. One n 4.0 One n 8.0 One n 6.0 One n 32.0 new Two ((from,to) n m i i

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים: אוסף שאלות מס. 5 שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), חשבו את הנגזרת (t) g בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה g(t) וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך

Διαβάστε περισσότερα

"שקר". במקום המילים "אמת" או "שקר" משתמשים באותיות T ו- F (באנגלית truth אמת, false שקר (

שקר. במקום המילים אמת או שקר משתמשים באותיות T ו- F (באנגלית truth אמת, false שקר ( . חלק : 1 תחשיב הפסוקים. 1) פסוקים. משתנים פסוקיים. ערכי האמת. בדיבור יום-יומי אנו משתמשים במשפטים שונים. לדוגמא: " יורם סטודנט ", "בישראל בקיץ חם.", "מה השעה?", "דג כרפיון עף בשמיים.", "לך הביתה!", "פרות

Διαβάστε περισσότερα